Unitat 7

EL CON

Melbourne Central

Melbourne

View from Melbourne Central, vincentq, CC BY-SA 2.0

2

Índex

Unitat 1: L’ortoedre. L’aula d’un institut.

Unitat 2: El cub. L’Escola Zollverein d’Administració i Disseny.

Unitat 3: El prisma triangular. L’Edifici Fòrum.

Unitat 4: El prisma pentagonal. El Pentàgon.

Unitat 5: La piràmide. L’Hotel Luxor.

Unitat 6: El cilindre. La Torre Westhafen.

Unitat 7: El con. Melbourne Central.

Unitat 8: L’esfera. L’Ericsson Globe.

Unitat 9: Síntesi.

Autors:

Germán Arbiol Oliver Ramon Miquel Bergadà Marimon Rosa Castillo Cervelló M. Montserrat Córdoba Marsà Andreu Grau Bernadó Palmira Ortiz Escoda Montserrat Siscart Alberich

Els textos i gràfics publicats en aquests materials estan subjectes a una llicència Creative Commons. La llicència completa

es pot consultar a http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/es/deed.ca

Amb el suport de:

3

Unitat 7: EL CON

Melbourne Central

Melbourne Central és un complex de Melbourne que inclou un gran centre

comercial, l'estació de tren central i una torre d'oficines de 211 metres d’alçada

que es caracteritza pel seu color negre i dues antenes de comunicacions. Va ser

dissenyat per Kisho Kurokawa i és propietat de GPT Group.

A l’interior del centre comercial hi ha

l'edifici històric “Coop's Shot Tower”,

declarat patrimoni victorià el 1973. Aquest

edifici, construït el 1888, és una torre de

tir de 50 m d’alçada que va estar en

funcionament fins al 1961. L’any 1991 es

va incorporar a l’interior del complex

Melbourne Central. Actualment s'hi ha

instal·lat l’anomenat Museu Shot Tower.

Per poder-lo incorporar al centre

comercial es va construir un sostre de

vidre cònic que s’enlaira 49 m per sobre

de l’edifici. Aquest con, anomenat “Con

màgic”, és l'estructura de vidre més gran

del seu tipus al món. Pesa 490 tones i té

924 llunes de vidre.

Australia location map,NordNordWest, CC BY-SA 3.0

Austràlia

Corner of Latrobe and Swanston April 1991 Looking South, s2art,CC BY-SA 2.0

View from Melbourne Central, vincentq, CC BY-SA 2.0

4

Coop's Shot Tower

La Shot Tower (torre de tir) va ser una construcció

dedicada a la producció de perdigons de plom per a

les armes de foc de la seva època. Al 1782 el britànic

William Watts en va patentar el disseny.

El procés de fabricació consisteix a fondre el plom i

deixar caure el líquid fos a través d'un sedàs de

coure des de dalt de la torre. El plom,

quan passa pels orificis del sedàs, es

divideix en petites porcions que cauen

al llarg de la torre fins a acabar en una

cisterna d'aigua. A causa de la tensió

superficial, el plom líquid va formant petites esferes

en la caiguda, mentre es solidifica per refredament.

Quan arriba a l'aigua, el perdigó, ja format, acaba de

refredar-se i endurir-se del tot.

El diàmetre dels

perdigons obtinguts

depèn de l'altura

des d’on es deixa

caure el plom. Per

obtenir perdigons

grans l'altura de

caiguda havia de ser de més de 45 metres.

La torre de Melbourne produïa setmanalment sis

tones de perdigons fins al 1961, quan la

demanda dels perdigons de plom es va reduir a

causa de les noves regulacions de les armes de

foc.

Straightened Shot Tower, Amir Yalon, CC BY-SA 2.0

5

Coneguem el lloc

País/Estat

Localitat

Coordenades geogràfiques (UTM)

Longitud:

Latitud:

Moneda Equivalència amb l’euro:

Fus horari de la localitat

Quina hora li correspondria segons les seves

coordenades geogràfiques?

UTC (+/-) ........

Quina hora té en realitat?

UTC (+/-) ........

6

Comprensió lectora

1. On es troba situada la ciutat de Melbourne?

2. Què és Melbourne Central?

3. Quina és la finalitat de la construcció del sostre cònic?

4. Quin any es va construir aquest sostre cònic?

5. Quina és l’alçada d’aquest “Con màgic”?

6. Fixa’t en la imatge del con en construcció i explica com es va construir.

7. Què era l’edifici “Coop's Shot Tower” i què hi ha actualment ?

8. Quins anys va estar en funcionament?

9. Quin any es va patentar el procés de fabricació dels perdigons? Quin segle

era?

10. Explica el procés de fabricació dels perdigons.

7

Activitats

1. Fent servir l'escala gràfica, que apareix a la part inferior dreta de la imatge del sostre cònic del Google Maps, calcula’n l'escala numèrica.

2. Quin és el valor en metres del diàmetre de la base del con?

a) Segons la fotografia i l'escala obtinguda en l'exercici anterior.

b) Segons el GeoGebra que es proposa a l’annex del final de la unitat.

Google Maps. 2016. Melbourne Central. Recuperat de https://www.google.es/maps/@-37.8104003,144.9630987,57m/data=!3m1!1e3

8

3. Calcula l’alçada, el radi i la generatriu del sostre cònic que tindria una maqueta

feta a escala 1: 500.

real (m) maqueta (cm)

Alçada

Radi

Generatriu

4. Dibuixa, en un desplegable el sostre cònic a escala 1:500 i construeix-lo.

5. Quina és la superfície real del sostre cònic?

Melbourne Central Cone, Rexness, CC BY-SA 2.0

l g

r

l=2·π·r

9

6. Quin és el volum que aquest sostre afegeix a l’edifici comercial per tal de poder

incloure-hi la torre de tir?

7. A la part interior de l’edifici i just a la base del con, hi ha una passarel·la

circular que ofereix una vista espectacular tant d’aquest “Con Màgic”

com del centre comercial.

(http://www.melbournecentral.com.au/living-melbourne-blog/community/september-2014/unlock-the-secrets-of-melbourne-central)

a) Quina és la longitud d’aquesta passarel·la?

b) Melbourne Central ofereix una visita guiada pel recinte. El preu de la visita

és de 10 $ australians per persona. A quants euros

equivalen?

Melbourne Central's Shot Tower, J T, CC BY-SA 2.0

10

8. El con està construït a partir de circumferències concèntriques disposades com

s’indica a la figura. Quin és el radi de la circumferència que és a 10 m de la

base?

9. Es van plantejar diferents propostes en el disseny del con:

1) Fer-lo amb un metre més de diàmetre que l’actual, però amb la mateixa

alçada.

2) Fer-lo amb el mateix diàmetre que l’actual, però amb un metre més d’alçada.

a) En quin percentatge augmentaria la seva superfície en cada cas?

b) I el seu volum, en quin percentatge augmentaria?

11

Sostenibilitat. Factor de forma.

A partir del coneixement aprofundit de l’edifici Melbourne Central, ens hem

interessat més per l’arquitectura i també per alguns dels criteris que s’hi utilitzen,

especialment els relacionats amb aspectes de la sostenibilitat dels edificis.

Actualment, en arquitectura, es defineix el factor de forma com el quocient entre

la superfície de contacte que té una edificació amb l'entorn (superfície envoltant) i

el seu volum.

𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 =𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚 Les seves unitats són m-1.

Des del punt de vista bioclimàtic, l'edifici òptim serà, a priori, el que tingui la

mínima superfície de pèrdues mantenint el mateix volum d'emmagatzematge de

calor. Tot això dependrà per descomptat del clima. El factor de forma recomanat,

segons el clima, el trobem en la taula següent:

Els dibuixos següents resumeixen una primera aproximació quant a l’orientació i

les formes bàsiques més adequades dels edificis per als diferents climes (segons

Olgyay):

- La fig.1 correspon a un clima fred.

- La fig. 2 a un clima temperat.

- La fig. 3 a un clima càlid sec.

- La fig. 4 a un clima càlid humit.

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

Clima Factor de forma

fred entre 0,5 i 0,8

càlid >1,2

N

12

A les activitats on es demani el factor forma, es tindrà en compte la superfície total

de l’edifici com a superfície envoltant.

10. Calcula el factor de forma d’un edifici cúbic de 12 m de

costat.

11. A partir de l’esquema següent on la base està formada per un rectangle i un trapezi rectangle (les unitats estan en m):

a) Calcula’n la superfície de la base i la superfície lateral de la figura.

b) Es correspon amb alguna de les quatre figures esmentades anteriorment?

Amb quina?

c) Quina en serà la superfície d’intercanvi energètic?

12 m

Fig. 1

13

d) Quin n’és el seu volum?

e) Calcula’n el factor de forma.

12. A partir de l’esquema següent:

a) Calcula’n la superfície de la base i la

superfície lateral de la figura.

b) Quina en serà la superfície d’intercanvi energètic?

c) Calcula’n el volum.

d) Calcula’n el factor de forma

14

13. L’edifici de la Fig. 4 té 16 m de llargada. Si suposem que el dibuix està fet a

escala:

a) Quina és l’escala d’aquest esquema?

b) Afegeix a la imatge les mides reals de tot l’edifici.

c) Quin n’és el seu perímetre?

16 m

Fig. 4

15

d) Calcula’n la superfície de la base.

e) Calcula’n la superfície lateral.

f) Quina serà la superfície d’intercanvi energètic d’aquesta figura?

g) Calcula’n el seu volum.

h) Calcula’n el factor de forma.

16

14. Alguns dels edificis estudiats en aquestes unitats tenen formes geomètriques poc convencionals. La seva situació geogràfica els associa a climes diferents. Esbrina si la seva forma geomètrica i les seves dimensions són les adients pel lloc on s’han construït.

a) Localitza les ciutats on són ubicats aquests edificis, associa-les amb un dels 4 climes, el número de la figura d’Olgyay segons el clima i el valor del factor de forma corresponent. Posa-ho a la taula.

b) Calcula el valor del factor de forma d’aquests edificis i posa’ls a la taula.

c) Compara els valors del factor de forma que proposa Olgyay amb els valors

obtinguts. Quan no siguin compatibles, intenta trobar-hi una explicació.

Ciutat Clima

Factor forma

Olgyay (m-1)

Cos geomètric/

edifici

Superfície d’intercanvi

(m2)

Volum (m3)

Factor forma edifici (m-1)

Compati-bilitat de la

forma (Sí/No)

Ortoedre

Cub

Prisma

triangular

Piràmide

Cilindre

Con

Esfera

17

Cilindres i Cons

15. En l’applet interactiu que trobaràs en aquest enllaç https://ggbm.at/KQsy6Cg3

es disposa d’un cilindre i d’un con que tenen la mateixa base i la mateixa

altura. Movent els punts lliscants es pot estudiar la variació dels volums en

funció del radi i de l’altura. Omple les taules següents.

a) Fixa el radi i varia’n l’alçada.

b) Fixa l’alçada i varia’n el radi.

Radi Alçada Volum cilindre

Volum con

V. cilindre/V. con

1 8

2 8

8

8

8

c) Varia’n el radi i l’alçada.

Radi Alçada Volum cilindre

Volum con

V. cilindre/V. con

1 8

3 6

Radi Alçada Volum cilindre

Volum con

V. cilindre/V. con

3 3

3 6

3

3

3

18

16. En relació a l’activitat anterior, assenyala la o les informacions correctes que podrien completar la frase:

a) Mantenint constant el radi i variant l'alçada...

o Els volums no varien en variar l'alçada.

o Els volums del con i del cilindre són iguals.

o Puc afirmar que en el cilindre hi caben tres cons.

o Puc afirmar que en el con hi caben tres cilindres.

b) Mantenint constant l'alçada i variant el radi...

o L'àrea de la base és igual en el con i el cilindre.

o Els volums no varien en variar el radi.

o Els volums de con i cilindre són iguals.

o Puc afirmar que en el cilindre hi caben tres cons.

o Puc afirmar que en el con hi caben tres cilindres.

c) Variant el radi i l'alçada...

o L'àrea de la base és igual en els dos cossos geomètrics.

o Els volums no varien en variar l'alçada i/o radi.

o Els volums del con i del cilindre són iguals.

o Puc afirmar que en el cilindre hi caben tres cons.

o Puc afirmar que en el con hi caben tres cilindres.

19

Coop's Shot Tower

17. El plom necessari per la fabricació de les 6 tones de perdigons setmanals els

era subministrat en lingots de formes diferents. Si el proveïdor enviava lingots

de base rectangular de dimensions 12 x 8 x 24 cm i sabent que la densitat del

plom és de 11,34 g/cm3,

a) Quin era el pes de cada lingot?

b) Quants perdigons de 4 mm de diàmetre es podien obtenir amb un

d’aquests lingots de plom?

c) Quants lingots necessitaven setmanalment?

d) Quants perdigons de 4 mm de diàmetre es fabricaven setmanalment?

e) Si els perdigons els servien en bosses de 25 kg, quants

perdigons de 4 mm de diàmetre hi havia en cada bossa?

20

18. Si el proveïdor enviava lingots cilíndrics de 25 cm de llarg i de 22,27 kg de pes,

quin era el seu radi?

19. Avui en dia es continua utilitzant aquest mètode per a fabricar perdigons. Com que no és gaire precís, els fabricants inclouen a les etiquetes de les capses la tolerància del diàmetre.

Completa la taula per tenir la informació necessària per posar-la a l’etiqueta:

Càlculs

Es consideren perdigons de 3,5 mm tots aquells que tenen un diàmetre comprés entre 3,35 i 3,65 mm. Això s’indica com a tolerància de ± 0,15

diàmetre (mm)

tolerància (mm)

3,5 ± 0,15

diàmetre (mm)

tolerància (mm)

volum màxim (mm3)

volum mínim (mm3)

pes màxim (g)

pes mínim (g)

3,5 ± 0,15

21

20. La formació inicial d’una gota la podríem modelitzar amb un con i una

semiesfera, com es mostra a la figura. Si l’alçada “a” és de 3 mm i el diàmetre

“b” és 2 mm:

a) Quin és el volum d’aquesta gota?

b) Quin serà el radi de la gota esfèrica final?

Anem de compres

Melbourne Central disposa de tot tipus de botigues, restaurants, bars... És època

de descomptes!

Main area in the Melbourne Central Shopping Centre, Simeon87, CC BY-SA 3.0

22

21. En una botiga de material informàtic veiem aquest anunci :

Analitza la promoció següent a partir de les preguntes i elabora una publicitat

pròpia. Corregeix, si n'hi ha, els errors de la promoció presentada a continuació

tenint en compte que l'IVA és l'impost que paguem a l'estat en comprar

qualsevol producte. L’impost que paguen a Austràlia en aparells electrònics és

del 10%.

a) Quant em costaria una “tablet” de 10 polzades que marca 128,94 €, un

“smartwatch” que marca 125,27 € i un televisor que marca 2.999,99 €

aplicant la promoció del “dia sense IVA”?

Tablet_01, Marina Latini

CC BY-SA 2.0 Ivva, SmartWatch N2

CC BY-SA 2.0 Jorbasa Fopographies

CC BY-ND 2.0

b) Quant em costaria una “tablet” de 10 polzades que marca 128,94 €, un

“smartwatch” que marca 125,27 € i un televisor que marca 2.999,99 €,

aplicant-hi el 10% de descompte?

23

c) Són iguals els preus? Quina diferència hi ha en cada cas? Qui hi guanya?

d) A quin percentatge de descompte equival treure un IVA del 10%?

e) Fes un cartell anunciant la teva promoció segons les dades que obtinguis del

problema.

f) Ordena els aparells segons el preu de més gran a més petit.

24

22. Cada país té uns tipus d'impostos indirectes diferents. A l'estat espanyol

l’impost que s’aplica s’anomena IVA (impost del valor afegit). N’existeixen tres

tipus: el normal del 21%, el reduït del 10% i el súper reduït del 7%, i és el

Govern qui decideix quin és l’IVA que cal aplicar a cada producte. A Austràlia

es paga un tipus únic del 10%.

Coneixent el preu d’aquests productes de la taula amb l’IVA que els correspon

inclòs, troba quins serien els seus preus si l’IVA aplicat fos un altre:

Producte IVA 21 %

(€) IVA 10%

(€) IVA 7 %

(€) IVA 10% AUS ($ australians)

Entrada a un concert 70,00

Llibre de matemàtiques 33,00

Habitatge de protecció oficial (H.P.O.)

121. 900

Paquet de bolquers 22,95

Litre de llet 1,05

Barra de 1/4 kg de pa 0,84

Consola de jocs 395,85

Un quadre de Picasso 5.562.368

25

Climatologia

La taula següent conté les dades climatològiques mitjanes de Melbourne entre

1855 i 2015.

Melbourne Gen Feb Mar Abr Mai Jun Jul Agos Set Oct Nov Dec Anual

Temp.Màxima 26 25,8 23,9 20,3 16,7 14,1 13,5 15,0 17,3 19,7 22,0 24,2 19,9

Temp. Mínima 14,3 14,6 13,6 10,8 8,7 6,9 6,0 6,7 8,0 9,6 11,2 13,0 10,2

Precipitació 46,8 48 50,1 57,3 55,7 49,5 47,5 50,0 58,0 66,0 60,3 59,1 648,3

Aquestes dades ens permeten obtenir el climograma de Melbourne :

(1http://www.bom.gov.au/climate/averages/tables/cw_086071.shtml)

23. Amb les dades anteriors o bé amb dades actualitzades1, elabora el

climograma de manera semblant a l’exemple (temperatura màxima mitjana,

temperatura mínima mitjana i pluviometria total mensual). Fes un full de càlcul,

i contesta les preguntes següents:

a) Quins són els tres mesos més càlids?

b) Quins són els tres mesos més freds?

c) Quina és la màxima amplitud tèrmica anual?

d) Quins són els tres mesos més plujosos?

24. Comenta l'evolució de la temperatura màxima, mínima i de la pluviometria del

gràfic anterior (creixement, decreixement, màxim i mínim).

26

ANNEX

DIÀMETRE DE LA BASE DEL CON

AMB EL GEOGEBRA

27

ANNEX: Diàmetre de la base del Con amb el GeoGebra.

Per trobar el diàmetre de la base del con ens caldrà disposar d’una imatge

guardada a l’ordinador amb una extensió jpg o png. Aquesta imatge la pots

capturar directament del Google

Maps a l’adreça anterior. Caldrà

utilitzar les eines del Google

Maps per aconseguir una imatge

del con centrat i al més gran

possible.

Obre el GeoGebra

1. Agafa l’eina “Insertar

imatge”, clica en un punt de

la zona gràfica i carrega la

imatge del con que tens

guardada.

Amb l’eina “circumferència que passa per tres

punts”, marca tres punts de la base del con. Intenta

moure els punts de manera que la circumferència

s’adapti al màxim possible a la base.

Google Maps. 2016. Melbourne Central. Recuperat de https://www.google.es/maps/@-

37.8104003,144.9630987,57m/data=!3m1!1e3

28

2. Per trobar el radi cal trobar el centre de la circumferència.

(És possible que no coincideixi amb la punta del con degut a la verticalitat de la imatge).

Trobem el centre buscant el circumcentre dels tres punts:

Dibuixem la mediatriu dels punts CDC amb l’eina “mediatriu”.

Dibuixem la mediatriu dels punts CE amb l’eina

“mediatriu”.

Trobem el punt d’intersecció

Dibuixa el segment que va des del punt

d’intersecció al punt C, per exemple. La longitud

d’aquest segment serà el radi de la

circumferència a l’escala del GeoGebra.

3. Per trobar la longitud real del radi ens cal

relacionar l’escala del Google Maps i l’escala del

geogebra.

Dibuixa un segment a l’escala que apareix a la

part inferior esquerra de la imatge

La longitud d’aquest segment que apareix a la finestra algebraica i els 5 m

que figuren a la imatge del Google Maps ens permeten trobar la proporció.

L’escala obtinguda aplica-la a la longitud del segment del radi i obtindràs la

longitud del radi a la realitat.

4. Troba’n el diàmetre.