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Comportamento meccanico dei materiali Flessione

© 2006 Politecnico di Torino 1

Il caso delle travi

2

Flessione

Sollecitazioni di flessione: piano zySollecitazioni di flessione: piano zxModuli di resistenzaComposizione dei momenti: flessione deviata e retta



Flessione

4

Sezione con doppia simmetriay

x

y

xz z

Assi baricentrici principali

Flessione semplice (zy)

y

zx



5

Flessione semplice – deformata (1/2)

y

zx

6

∆z

α α

Flessione semplice – deformata (2/2)

y

zx



7

ρ

ρ+y2α

∆z ∆z’

Flessione semplice – curvatura (1/2)

ρ = raggio di curvatura kx = curvatura

8

ρ

ρ+y2α

∆z ∆z’

Flessione semplice – curvatura (2/2)

ρ = raggio di curvatura kx = curvatura

yky12

22)y(z

z'zxzz ⋅=

ρ=

αραρ−α+ρ

=∆∆−∆

=ε



9

εzz= kx·y Eεzz = σzz-ν(σxx+σyy)

Eεzz = σzz

σzz= E·kx·y

Flessione semplice – tensioni (1/4)

y

zx

10


Eεzz = σzz

σzz= E·kx·y


y

zx

xxxA

2x

Azzx JEkdAyEkydAM ==σ= ∫∫



11


Eεzz = σzz

σzz= E·kx·y


y

zx

xxxA

2x


xx

xx EJ

Mk =

σzz= E·kx·y

12


Eεzz = σzz

σzz= E·kx·y


y

zx

xxxA

2x


yJM

xx

xzz =σxx

xx EJ

Mk =

σzz= E·kx·y



13

Asse neutro

x

y Sforzo Normale

Flessione semplice – verifica (1/4)

0dANA

zz =σ= ∫

14

Asse neutro

x

y Sforzo Normale

Taglio Tx=Ty = 0 (τxz=τyz=0)


0dANA

zz =σ= ∫



15

Asse neutro

x

y Sforzo Normale


Momento Torcente Mz = 0 (τxz=τyz=0)


0dANA

zz =σ= ∫

16

Asse neutro

x

y Sforzo Normale


Momento Torcente Mz = 0 (τxz=τyz=0)


0JEkxydAEkxdAM xyxA

xA

zzy =−=−=σ−= ∫∫

0dANA

zz =σ= ∫



17

Deformazioni trasversali in flessione

εx = -νεzz εy = -νεzz

x

y

x

y

Flessione



19

y

x

z

MFlessione piano yz

Flessione semplice – zx (1/2)

20

y

x

z

y

x

z

M

MFlessione piano xz

Flessione piano yz

Flessione semplice – zx (2/2)



21

Piano zy

y

zx

α+Mx

Flessione semplice - confronto zx e zy (1/4)

22

Piano zy

y

zx

α+Mx

σzzx

xx

MJ

y=




23

Piano zy Piano zx

y

zx

α+x

zy

α+Mx My

σzzx

xx

MJ

y=


24

Piano zy Piano zx

y

zx

α+x

zy

α+Mx My

σzzx

xx

MJ

y= σzzy

yy

MJ

x= −




Flessione

26

Modulo di resistenza (1/4)

x

y

maxxx

xmax y

JM

=σ

minxx

xmin y

JM

=σ



27


x

y

ymin = - ymax ⇒ σmin = - σmax

maxxx

xmax y

JM

=σ

minxx

xmin y

JM

=σ

28


x

y


Modulo di resistenza a flessione

maxxx

xmax y

JM

=σ

minxx

xmin y

JM

=σ

max

xxf y

JW =



29


x

y


Modulo di resistenza a flessione

maxxx

xmax y

JM

=σ

minxx

xmin y

JM

=σ

max

xxf y

JW =

f

xmin

f

xmax W

MWM

−=σ=σ

30

Moduli di resistenza sezioni rettangolari

x

y

h

b 6bhWM

2hy

12bhJ

2

fx

max

3

xx

=⇒

==

6hbWM

2bx

12hbJ

2

fy

max

3

yy

=⇒

==



31

x

y

G

D

Modulo di resistenza sezioni circolari

32DW

64DJJJ

2Dryx

32DJ

3

f

4

Dyyxx

maxmaxmax

4

p

π=

π===

===

π=

Flessione



33

Principio di sovrapposizione degli effetti

Principio di sovrapposizione degli effetti (1/3)

Quando su una sezione agiscono contemporaneamente i due momenti flettenti Mx e My si applica il:

34


se a = kaA e b= kbB (sistemi lineari)





35


se a = kaA e b= kbB (sistemi lineari)

applicando contemporaneamente A e B otteniamo un effetto:

e = kaA + kbB = a+b



36

x

y Mx

Flessione composta (1/4)



37

x

y Mx

x

y My

+ =


38

x

y Mx

x

y

My

My

y

x Mx

+ =


=



39

x

y Mx

x

y

My

My

y

x Mx

+ =


= xJM

yJM

)M()M(

yy

y

xx

xzz

yzzxzzzz

−=σ

σ+σ=σ

40

Flessione deviata (1/6)

My

y

xMx

ϕ 2y

2xtot MMM +=



41


My

y

xMx

ϕ

x

y

MM

)tan( =ϕ

2y

2xtot MMM +=

42


My

y

xMx

ϕ

θ

Asse neutro: σzz=0 x

y

MM

)tan( =ϕ

2y

2xtot MMM +=



43


My

y

xMx

ϕ

θ


y

MM

)tan( =ϕ

2y

2xtot MMM +=

xJJ

MM

y0xJM

yJM

yy

xx

x

y

yy

y

xx

x ⋅==−

44


My

y

xMx

ϕ

θ


y

MM

)tan( =ϕ

2y

2xtot MMM +=

xJJ

MM

y0xJM

yJM

yy

xx

x

y

yy

y

xx

x ⋅==−

yy

xx

x

y

JJ

MM

)tan( ⋅=θ



45


My

y

xMx

ϕ

θ


y

MM

)tan( =ϕ

2y

2xtot MMM +=

xJJ

MM

y0xJM

yJM

yy

xx

x

y

yy

y

xx

x ⋅==−

yy

xx

x

y

JJ

MM

)tan( ⋅=θ ϕ≠θ

46

Jxx=Jyy=Jp/2=JD ⇒ ϕ = θ ⇒ flessione retta

Flessione composta sezioni circolari (1/3)

y

x



47



My

x

2y

2x MMM +=

48



My

x

2y

2x MMM +=

3f

maxD

M32WM

⋅π

⋅==σ



49

Flessione + sforzo normale

=x

y

x

y

N

x

y Mx

x

y My

+ +

xJM

yJM

AN

yy

y

xx

xzz −+=σ

50

Per applicare le formule proposte per il calcolo delle tensioni dovute alla flessione bisogna utilizzare un riferimento:

CENTRALE (BARICENTRICO)

PRINCIPALE (JXY = 0)

Regola fondamentale

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