unit-02-oke

Pemecahan Masalah Matematika

Goenawan Roebyanto Aning Wida Yanti

Pendahuluan

Modul yang sedang anda pelajari ini adalah unit kedua dari

matakuliah Pemecahan Masalah Matematika. Setelah Anda

mempelajari hakekat suatu masalah matematika yang terdiri dari

pengertian masalah, masalah rutin dan masalah tidak rutin,

klasifikasi masalah matematika yaitu masalah penemuan dan

masalah pembuktian yang diuraikan pada unit 1, pada unit 2 ini

diharapkan Anda mampu memahami pengertian pemecahan

masalah, memahami tugas-tugas yang terdapat dalam pemecahan

masalah, dan memahami kesulitan-kesulitan dalam pemecahan

masalah. Oleh karena itu, materi dalam bahasan unit 2 ini dibagi

menjadi tiga, yaitu :

Subunit 1 membahas tentang pengertian pemecahan masalah

Subunit 2 membahas tentang tugas-tugas yang terdapat dalam

pemecahan masalah

Subunit 3 membahas tentang kesulitan-kesulitan dalam

pemecahan masalah

Perlu diketahui bahwa pengetahuan atau pengalaman yang

anda miliki sebelumnya sangat membantu dalam mempelajari unit

ini. Sehingga secara khusus Anda diharapkan dapat :

Menjelaskan apa yang dimaksud dengan pemecahan masalah

Menjelaskan kriteria siswa sebagai good problem solver

Menjelaskan tugas-tugas dalam pemecahan masalah yang berupa

peng-hitungan rutin

2 - 1

Unit 2


masalah tertutup


masalah open-ended

Menjelaskan kesulitan-kesulitan yang umumnya sering dilakukan

siswa dalam memecahkan masalah

Agar Anda dapat mempelajari bahan ajar cetak (BAC) ini

dengan baik, ikutilah petunjuk belajar berikut ini.

a. Bacalah dengan cermat setiap bagian BAC ini, sehingga Anda

dapat memahami setiap konsep yang disajikan.

b. Kaitkan konsep yang baru Anda pahami dengan konsep-konsep

lain yang telah Anda peroleh.

c. Hubungkan konsep-konsep tersebut dengan pengalaman Anda

dalam mengajar sehari-hari, sehingga Anda dapat menangkap

manfaat atau kegunaan konsep tersebut.

d. Jika Anda masih kesulitan, manfaatkan sumber belajar lain

yang mendukung, misalnya bahan ajar berbasis web yang telah

disediakan.

Selamat Balajar, Semoga Sukses Selalu !

2 - 2

SubUnit 1Pengertian Pemecahan Masalah

Dalam kehidupan sehari-hari kita selalu menghadapi banyak

masalah. Permasalahan-permasalahan itu tentu saja tidak semuanya

merupakan perma-salahan matematis, namun matematika memiliki

peranan yang sangat sentral dalam menjawab permasalahan

keseharian itu. Oleh karena itu cukup beralasan jika pemecahan

masalah menjadi “trend” dalam pembelajaran matematika

belakangan ini.

Pemecahan masalah merupakan bagian dari kurikulum

matematika yang sangat penting karena dalam proses pembelajaran

siswa dimungkinkan memperoleh pengalaman menggunakan

pengetahuan serta keterampilan yang sudah dimilikinya untuk

diterapkan pada pemecahan masalah yang bersifat tidak rutin.

Apa sebenarnya yang dimaksud dengan pemecahan masalah?

Polya (1985) mengartikan pemecahan masalah sebagai suatu

usaha mencari jalan keluar dari suatu kesulitan guna mencapai

suatu tujuan yang tidak segera dapat dicapai. Pemecahan masalah

dalam hal ini (McGivney dan DeFranco, 1995) meliputi dua aspek,

yaitu masalah menemukan (problem to find) dan masalah

membuktikan (problem to prove).

Pemecahan masalah dapat juga diartikan sebagai penemuan

langkah-langkah untuk mengatasi kesenjangan (gap) yang ada.

Sedangkan kegiatan pemecahan masalah itu sendiri merupakan

kegiatan manusia dalam menerapkan konsep-konsep dan aturan-

aturan yang diperoleh sebelumnya (Dahar, 1989; Dees, 1991).

Baroody dan Niskayuna (1993) membagi pendekatan

pemecahan masalah menjadi 3 pengertian berbeda, yaitu: (1)

teaching via problem solving, pemecahan masalah matematika

dalam hal ini lebih difokuskan pada bagaimana mengajarkan isi atau

2 - 3

materi matematika, (2) teaching about problem solving, hal ini

melibatkan strategi pembelajaran dengan pendekatan pemecahan

masalah matematika secara umum, (3) teaching for problem

solving , dimaksudkan sebagai suatu cara tentang bagaimana

memberi kesempatan seluas-luasnya kepada siswa untuk

memecahkan masalah matematika yang dihadapinya. Anderson

(1996) mendukung pengertian yang ketiga di atas dengan

menekankan pada aspek strategi yang dipilih oleh siswa dalam

memecahkan masalah.

Utari (1994) menegaskan bahwa pemecahan masalah dapat

berupa menciptakan ide baru, menemukan teknik atau produk baru.

Bahkan di dalam pembelajaran matematika, selain pemecahan

masalah mempunyai arti khusus, istilah tersebut juga mempunyai

interpretasi yang berbeda. Misalnya menyelesaikan soal cerita atau

soal yang tidak rutin dalam kehidupan sehari-hari.

Di antara delapan rekomendasi yang dikeluarkan oleh NCTM

(1980, 25) untuk pembelajaran matematika, pemecahan masalah

merupakan rekomendasi pada urutan pertama. ….(1) the

mathematics curriculum should be organized around problem

solving, (2) the definition and language of problem solving in

mathematics should be develop …, (3) mathematics teachers should

create classroom environment in which problem solving can flourish,

(4) appropriate curriculer materials to teach problem solving should

be develop …. Apa yang direkomendasikan oleh NCTM tentang

pemecahan masalah mengandung 3 pengertain, yaitu pemecahan

masalah sebagai tujuan, proses, dan keterampilan.

Branca (1980) menegaskan bahwa terdapat tiga interpretasi

umum mengenai pemecahan masalah, yaitu (1) pemecahan masalah

sebagai tujuan (goal) yang menekankan pada aspek mengapa

matematika diajarkan. Hal ini berarti bahwa pemecahan masalah

bebas dari materi khusus. Sasaran utama yang ingin dicapai adalah

bagaimana cara memecahkan suatu masalah matematika, (2)

2 - 4

pemecahan masalah sebagai proses (process) diartikan sebagai

kegiatan yang aktif. Dalam hal ini penekanan utamanya terletak

pada metode, strategi atau prosedur yang digunakan siswa dalam

menyelesaikan masalah hingga mereka menemukan jawaban dan

(3) pemecahan masalah sebagai keterampilan (basic skill)

menyangkut dua hal yaitu (a) keterampilan umum yang harus

dimiliki siswa untuk keperluan evaluasi dan (b) keterampilan

minimum yang diperlukan siswa agar dapat mengaplikasikannya

dalam kehidupan sehari-hari. Memperhatikan rekomendasi dari

NCTM dan pendapat Branca tentang pemecahan masalah

matematika, maka dapat dikatakan bahwa pemecahan masalah

tidak hanya berfungsi sebagai pendekatan, akan tetapi juga sebagai

tujuan (Lovit dan Lowe, 1992).

Dari sejumlah pengertian pemecahan masalah tersebut di

atas, dapat dikatakan bahwa pemecahan masalah merupakan usaha

nyata dalam rangka mencari jalan keluar atau ide berkenaan dengan

tujuan yang ingin dicapai. Pemecahan masalah ini adalah suatu

proses kompleks yang menuntut seseorang untuk

mengkoordinasikan pengalaman, pengetahuan, pemahaman, dan

intuisi dalam rangka memenuhi tuntutan dari suatu situasi.

Sedangkan proses pemecahan masalah merupakan kerja

memecahkan masalah, dalam hal ini proses menerima tantangan

yang memerlukan kerja keras untuk menyelesaikan masalah

tersebut. Dalam istilah sederhana, masalah adalah suatu perjalanan

seseorang untuk mencapai solusi yang diawali dari sebuah situasi

tertentu.

Menurut Charles dan Lester (dalam Kaur Berinderjeet, 2008),

ada tiga faktor yang mempengaruhi proses pemecahan masalah dari

seseorang.

1. Faktor pengalaman, baik lingkungan maupun personal seperti

usia, isi pengetahuan (ilmu), pengetahuan tentang strategi

2 - 5

penyelesaian, pengetahuan tentang konteks masalah dan isi

masalah.

2. Faktor afektif, misalnya minat, motivasi, tekanan, kecemasan,

toleransi terhadap ambiguitas, ketahanan dan kesabaran.

3. Faktor kognitif, seperti kemampuan membaca, kemampuan

berwawasan (spatial ability), kemampuan menganalisa,

ketrampilan menghitung, dan sebagainya.

Proses pemecahan masalah biasanya diawali dari memahami

masalah (problem) itu sendiri, dan biasanya berupa dalam kata-kata

baik secara lisan ataupun tertulis. Selanjutnya, untuk memecahkan

masalah tersebut, terjemahkan kata tersebut ke dalam masalah

yang sama dengan menggunakan simbol matematika, pecahkanlah

masalah yang sama tersebut, kemudian artikan jawabannya. Proses

ini dapat diilustrasikan dalam gambar 2.1.

Pemecahan masalah matematika adalah suatu proses di mana

sesorang dihadapkan pada konsep, ketrampilan, dan proses

matematika untuk memecahkan masalah matematika. Hal ini

membutuhkan rancangan dan penerapan sederetan langkah-langkah

demi tercapainya tujuan sesuai dengan situasi yang diberikan.

Dewasa ini pemecahan masalah sedang marak

diperbincangkan oleh banyak kalangan yang peduli pada pendidikan,

khususnya di bidang matematika. Menurut Foong Pui Yee (2007),

kemampuan menerapkan matematika dalam berbagai situasi, dapat

dikatakan sebagai pemecahan masalah. Ketika kita berusaha

2 - 6

Pengecekan

Intepretasi

penyelesaian

MasalahKalimat

matematika

Selesaian versi matematika

Jawaban masalah

perumusan

Gambar 2.1

mendefinisikan “pemecahan masalah” dalam matematika,

permasalahan kuncinya masih terletak pada pertanyaan bagaimana

menemukan solusi ketika dihadapkan pada permasalahan yang

dapat diselesaikan dengan ketrampilan matematika, konsep

matematika, dan proses matematika. Kemampuan untuk

memecahkan permasalahan merupakan jantungnya matematika

(Cockcroft Report, 1982).

Sebagai ilustrasi tentang pemecahan masalah dalam

matematika pada tingkat SD.

Enam belas tahun yang akan datang, usia Andi menjadi 3 kali

usianya sekarang, berapakah usia Andi sekarang? Untuk

menyelesaikan masalah ini, permasalahan di atas dapat ditulis

sebagai suatu persamaan. Misalkan x = usia Andi sekarang, maka x

+ 16 = 3x , dari persamaan ini dapat diselesaikan sehingga

diperoleh nilai x adalah 8 . Jadi usia Andi sekarang adalah 8 tahun.

Selanjutnya apa kriteria yang harus dimiliki oleh seorang

siswa, sehingga dikategorikan sebagai good problem solver dalam

pembelajaran matematika?

Suydan (1980) mengajukan 10 kriteria, yaitu siswa mampu : (1)

memahami konsep dan terminologi, (2) menelaah keterkaitan,

perbedaan dan analogi, (3) menyeleksi prosedur dan variabel yang

benar, (4) memahami ketidak konsistenan konsep, (5) membuat

estimasi dan analisis, (6) menvisualisasikan dan

menginterpretasikan data, (7) membuat generalisasi, (8)

menggunakan berbagai strategi, (9) mencapai skor yang tinggi dan

baik hubungannya dengan siswa lain, dan (10) mempunyai skor

yang rendah terhadap kecemasan.

Latihan :

Untuk memantapkan pemahaman Anda terhadap materi di

atas, coba kerjakan latihan di bawah ini!

2 - 7

1. Dari beberapa pengertian pemecahan masalah menurut beberapa

sumber yang telah disebutkan di atas, menurut Anda apa

sebenarnya yang dimaksud dengan pemecahan masalah?

2. Apa yang mempengaruhi proses pemecahan masalah dari

seseorang?

3. Jelaskan proses pemecahan masalah matematika!

4. Berikan contoh pemecahan masalah matematika!

5. Apa saja kriteria siswa sebagai good problem solver dalam

pembelajaran matematika?

Petunjuk Jawaban Latihan :

1. Pemecahan masalah merupakan usaha nyata dalam rangka

mencari jalan keluar atau ide berkenaan dengan tujuan yang ingin

dicapai.

2. Menurut Charles dan Lester (dalam Kaur Berinderjeet, 2008), ada

tiga faktor yang mempengaruhi proses pemecahan masalah dari

seseorang yaitu faktor pengalaman, faktor afektif, dan faktor

kognitif.

3. Pemecahan masalah matematika adalah suatu proses di mana

sesorang dihadapkan pada konsep, ketrampilan, dan process

matematika untuk memecahkan masalah matematika.

4. Berapa jumlah 100 bilangan asli pertama? Untuk memecahkan

masalah ini siswa menentukan jumlah 1 + 2 + 3 + … + 100

dengan menjumlahkan bilangan-bilangan tersebut secara

berurutan, bisa juga dengan memperoleh 50 pasangan bilangan

(1+100, 2+99, 3+98, …, 50+51) yang masing-masing berjumlah

101, sehingga diperoleh jumlah keseluruhan 50x101 = 5050.

5. Menurut Suydan (1980) siswa sebagai good problem solver dalam

pembelajaran matematika memenuhi 10 kriteria di antaranya

siswa mampu memahami konsep dan terminologi, mampu

2 - 8

menelaah keterkaitan, perbedaan dan analogi, mampu menyeleksi

prosedur dan variabel yang benar, mampu memahami ketidak

konsistenan konsep, mampu membuat estimasi dan analisis.

Rangkuman

2 - 9

Polya (1985) mengartikan pemecahan masalah sebagai suatu usaha mencari jalan keluar dari suatu kesulitan guna mencapai suatu tujuan yang tidak begitu mudah segera dapat dicapai.

Pemecahan masalah dalam hal ini (McGivney dan DeFranco, 1995) meliputu dua aspek, yaitu masalah menemukan (problem to find) dan masalah membuktikan (problem to prove).

Pemecahan masalah dapat juga diartikan sebagai penemuan langkah-langkah untuk mengatasi kesenjangan (gap) yang ada.

Sedangkan kegiatan pemecahan masalah itu sendiri merupakan kegiatan manusia dalam menerapkan konsep-konsep dan aturan-aturan yang diperoleh sebelumnya (Dahar, 1989; Dees, 1991).

Baroody dan Niskayuna (1993) membagi pendekatan pemecahan masalah menjadi3 pengertian berbeda. (1) teaching via problem solving , (2) teaching about problem solving, (3) teaching for problem.

Anderson (1996) mendukung pengertian yang ketiga di atas dengan menekankan pada aspek strategi yang dipilih oleh siswa dalam memecahkan masalah.

Utari (1994) menegaskan bahwa pemecahan masalah dapat berupa menciptakan ide baru, menemukan teknik atau produk baru. Misalnya menyelesaikan soal cerita atau soal yang tidak rutin dalam kehidupan sehari-hari.

Di antara delapan rekomendasi yang dikeluarkan oleh NCTM (1980) untuk pembelajaran matematika, pemecahan masalah merupakan rekomendasi pada urutan pertama. ….(1) the mathematics curriculum shoult be organized around problem solving, (2) the definition and language of problem solving in mathematics should be develop … (P. 25). Apa yang direkomendasikan oleh NCTM tentang pemecahan masalah mengandung 3 pengertain, yaitu pemecahan masalah sebagai tujuan, proses, dan keterampilan.

Branca (1980) menegaskan bahwa terdapat tiga interpretasi umum mengenai pemecahan masalah, yaitu (1) pemecahan masalah sebagai tujuan (goal), (2) pemecahan masalah sebagai proses (process) dan (3) pemecahan masalah sebagai keterampilan (basic skill) menyangkut keterampilan umum yang harus dimiliki siswa untuk keperluan evaluasi dan keterampilan minimum yang diperlukan siswa agar dapat mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari.

Pemecahan masalah tidak hanya berfungsi sebagai

TES FORMATIF 1

Pilih satu jawaban yang paling benar dari beberapa alternatif jawaban yang disediakan !

1. Pemecahan masalah merupakan fokus dari pembelajaran matematika. Hal tersebut dikarenakan:A. pemecahan masalah dapat melatih siswa untuk berinteraksi

dengan lingkungannya

2 - 10

Dari sejumlah pengertian pemecahan masalah tersebut di atas, dapat dikatakan bahwa pemecahan masalah merupakan usaha nyata dalam rangka mencari jalan keluar atau ide berkenaan dengan tujuan yang ingin dicapai.

Menurut Charles dan Lester (dalam Kaur Berinderjeet, 2008), ada tiga faktor yang mempengaruhi proses pemecahan masalah dari seseorang yaitu faktor pengalaman, faktor afektif dan faktor kognitif.

Pemecahan masalah matematika adalah suatu proses dimana sesorang dihadapkan pada konsep, ketrampilan, dan process matematika untuk memecahkan masalah matematika.

Sebagai ilustrasi tentang pemecahan masalah dalam matematika pada tingkat SD, enam belas tahun yang akan datang, usia Andi menjadi 3 kali usianya sekarang, berapakah usia Andi sekarang?

Menurut Suydan (1980) siswa sebagai good problem solver dalam pembelajaran matematika memenuhi 10 kriteria, yaitu siswa mampu memahami konsep dan terminologi, menelaah keterkaitan, perbedaan dan analogi, menyeleksi prosedur dan variabel yang benar, memahami ketidak konsistenan konsep, membuat estimasi dan analisis, menvisualisasikan dan menginterpretasikan data, membuat generalisasi, menggunakan berbagai strategi, mencapai skor yang tinggi dan baik hubungannya dengan siswa lain, dan mempunyai skor yang rendah terhadap kecemasan.

B. pemecahan masalah merupakan satu-satunya kompetensi dasar yang paling awal untuk dikembangkan

C. pemecahan masalah merupakan suatu proses untuk dapat melatih siswa dalam menerapkan bermacam strategi untuk memecahkannya

D. pemecahan masalah merupakan suatu proses untuk menyelesaikan suatu soal yang tidak rutin

2. Proses pemecahan masalah pada umumnya penyelesaian yang diperoleh tidak dapat dikerjakan dengan prosedur rutin. Hal tersebut berarti…..A. kalau dikerjakan dengan prosedur rutin, dipastikan akan

ketemu solusinyaB. kalau dikerjakan dengan prosedur rutin, berarti dapat

dikatakan sebagai latihanC. proses pemecahan masalah berarti peroses menerima

tantanganD. proses pemecahan masalah pada umumnya soalnya sulit-sulit

3. pengertian pemecahan masalah menurut Polya (1985) adalah ...A. upaya menciptakan ide baru, menemukan teknik atau produk

baruB. suatu usaha mencari jalan keluar dari suatu kesulitan guna

mencapai suatu tujuan yang tidak begitu mudah segera dapat dicapai

C. kegiatan manusia dalam menerapkan konsep-konsep dan aturan-aturan yang diperoleh sebelumnya

D.cara tentang bagaimana memberi kesempatan seluas-luasnya kepada siswa untuk memecahkan masalah matematika yang dihadapinya

4. Baroody dan Niskayuna (1993) membagi pendekatan pemecahan masalah menjadi tiga pengertian berbeda seperti yang disebutkan di bawah ini, kecuali …A. teaching via problem solvingB. teaching about problem solvingC. teaching to problem solvingD. teaching for problem solving

5. Pemecahan masalah dapat berupa menciptakan ide baru, menemukan teknik atau produk baru. Bahkan di dalam pembelajaran matematika, selain pemecahan masalah mempunyai arti khusus, istilah tersebut juga mempunyai interpretasi yang berbeda. Misalnya menyelesaikan soal cerita atau soal yang tidak rutin dalam kehidupan sehari-hari. Hal ini adalah pengertian pemecahan masalah menurut …A. AndersonB. Branca

2 - 11

C. McGivney dan DeFrancoD. Utari

6. Rekomendasi dari NCTM tentang pemecahan masalah mengandung 3 pengertain, yaitu pemecahan masalah sebagai …A. tujuan, proses, dan keterampilanB. prosedur, konsep, prosesC. keterampilan, perilaku, produkD. solusi, prosedur rutin, tujuan

7. Faktor yang mempengaruhi proses pemecahan masalah menurut Charles dan Lester adalah ...A. kognitif, afektif, psikomotorB. pengalaman, afektif, kognitifC. tujuan, proses, dan keterampilanD. motivasi, kompetensi, keterampilan

8. Pemecahan masalah matematika adalah suatu proses di mana sesorang dihadapkan pada konsep, ketrampilan, dan proses matematika untuk memecahkan masalah matematika, sehingga …A. membutuhkan rancangan dan penerapan sederetan langkah-

langkah demi tercapainya tujuan sesuai dengan situasi yang diberikan

B. membutuhkan motivasi demi tercapainya tujuan sesuai dengan situasi yang diberikan

C. membutuhkan solusi demi tercapainya tujuan sesuai dengan situasi yang diberikan

D.membutuhkan inovasi demi tercapainya tujuan sesuai dengan situasi yang diberikan

9. Dari soal-soal berikut, yang termasuk pemecahan masalah dalam matematika pada tingkat SD adalah …A. dengan cara manakah dalam menyelesaikan sebuah Sistem

Persamaan Linear yang paling efektif, dengan cara substitusi, cara eliminasi, atau cara operasi baris elementer?

B. 2 x 3 = ...C. 4 + 4 = ...D.ada berapa cara yang bisa digunakan untuk memperoleh

jumlah uang sebesar Rp. 25.000,00 dengan pecahan puluhan ribu, lima ribuan, dan ribuan?

10. Seorang siswa dikategorikan sebagai good problem solver dalam pembelajaran matematika menurut Suydan (1980) jika memenuhi kriteria di bawah ini, kecuali …A. mampu memahami konsep dan terminologiB. mampu menyeleksi prosedur dan variabel yang benar

2 - 12

C. mencapai skor yang tinggi tetapi memiliki hubungan yang tidak baik dengan siswa lain

D. mampu menggunakan berbagai strategi

Umpan Balik dan Tindak Lanjut

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes

Formatif 1 yang terdapat pada bagian akhir BAC ini. Hitunglah

jawaban Anda yang benar. Kemudian gunakan rumus di bawah ini

untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi subunit

ini.

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:

90 – 100%

=baik sekali

80 – 89% = baik70 – 79% = cukup 70% = kurang

Apabila Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih,

Anda dapat meneruskan dengan materi selanjutnya. Bagus !!. Tetapi

apabila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80%, Anda harus

mengulangi subunit ini, terutama bagian yang belum Anda kuasai.

2 - 13

Sub Unit 2Tugas-tugas dalam Pemecahan Masalah

Tidak sedikit guru matematika yang merasa kesulitan dalam

membelajarkan siswa bagaimana menyelesaikan masalah

matematika. Kesulitan itu lebih disebabkan suatu pandangan yang

mengatakan bahwa jawaban akhir dari permasalahan merupakan

tujuan utama dari pembelajaran. Prosedur menyelesaikan masalah

yang dilakukan siswa dalam menyelesaikan permasalahan kurang,

bahkan tidak diperhatikan oleh guru karena terlalu berorientasi pada

kebenaran jawaban akhir. Padahal perlu kita sadari bahwa proses

penyelesaian suatu masalah yang dikemukakan siswa merupakan

tujuan utama dalam pembelajaran pemecahan masalah matematika.

Secara umum, pengajaran matematika direncanakan dan

dideskripsi-kan dalam bentuk tugas yang akan dikerjakan siswa.

Tugas-tugas tersebut sering mengacu pada permasalahan

matematika, mulai dari latihan, drill tentang perhitungan (drill and

practice computation), dan permasalahan yang hanya membutuhkan

satu langkah penyelesaian (one-step problem) sampai permasalahan

yang menantang siswa dengan beberapa langkah penyelesaian

(multiple-step problem). Meskipun demikian, dalam pemecahan

masalah tidak semua masalah matematika yang ditemukan dari

buku pelajaran (textbooks) merupakan permasalahan yang

sebenarnya (real problems). Masalah-masalah yang ditemukan

2 - 14

dalam buku bacaan (textbooks) dan buku kerja (workbooks)

merupakan peralihan dari satu langkah penyelesaian (on-step

problem) ke permasalahan yang dengan beberapa langkah

penyelesaian (multiple-step problem) dimana siswa dapat langsung

mempraktekkan suatu algoritma. Tujuan utama dari permasalahan

matematika tidak hanya pengembangan kemampuan pemecahan

masalah saja, tetapi juga untuk mengadakan latihan dan penguatan

pemahaman pada akhir pelajaran serta ketrampilan dan

pengembangan konsep untuk berbagai topik dalam silabus.

Oleh karena itu, di kalangan guru-guru matematika

umumnya membedakan antara tugas pemecahan masalah nyata

(real problems-solving) dengan masalah penjumlahan rutin (routin

problem sum) , yaitu tingkat hafalan rendah atau latihan procedural

yang menuntut metode secara langsung untuk mendapatkan

penyelesaian yang benar. Tugas-tugas pemecahan masalah nyata

(real problems-solving) menuntut tingkat proses pemikiran (cognitive

processes) yang tinggi dengan berbagai corak tampilan yang

dibutuhkan, yaitu:

kompleks dan bukan pemikiran algoritma

analisa batasan tugas dan menggunakan strategi heuristik

eksplorasi konsep-konsep matematika, proses, dan hubungan-

hubungannya

kesadaran akan situasi permasalahan dengan ketertarikannya dan

motivasi untuk membuat usaha yang terencana untuk

mendapatkan sebuah solusi

Kebutuhan terakhir dapat dikatakan sebagai sebuah situsi

ketika suatu masalah menjadi sebuah pemecahan masalah bagi

suatu individu. Setiap individu harus sadar dengan keberadaanya

untuk menghadapi situasi yang membutuhkan penyelesaian,

sedangkan dirinya tidak mempunyai metode penyelesaian secara

langsung untuk mengatasi masalah dengan menggunakan strategi

pemecahan masalah yang cocok.

2 - 15

Selanjutnya, untuk mewujudkan peran guru secara

menyeluruh dalam pemecahan masalah sesuai kurikulum, guru

harus bisa membedakan antara beberapa kategori masalah dan

aturan dalam setiap kategori masalah sehingga mereka dapat

memilih atau menyusun tugas pemecahan masalah dalam bentuk

berbeda di dalam pelajaran matematika.

Bersadarkan penelitian tentang pemecahan masalah dan

masalah yang digunakan dalam penelitian Foong 1990 (dalam Pui

Yee. 2007), pada sub unit ini akan menguraikan skema

pengklasifikasian tipe tugas matematika seperti yang ditunjukkan

gambar berikut:

Gambar 2.2 Skema Pengklasifikasian Tipe Tugas Matematika

Semua tugas-tugas matematika dapat diklasifikasikan, secara

umum menjadi 2 golongan, yaitu: penghitungan rutin (routin sum)

dan permasalahan (problems).

1.Penghitungan rutin (routin sum)

2 - 16

Tugas Matematika (Mathematical Task)

Penghitungan Rutin(Routin Sums)

Permasalahan(problems)

Masalah Tertutup

(Closed Structure)

Masalah Terbuka-tertutup (Open-ended Structure)

Sekumpulan tantangan(ChalengeSumscontent-spesific)

Permasalahanproses strategi heuristik(Process Problemsheuristics strategies)

masalah open-ended pendek (ShortOpen-endedQuestions)

aplikasi masalah kehidupan sehari-hari (Applied Real-lifeProblems)

investigasi matematika (MathematicalInvestigations)

Penghitungan rutin (routin sum) adalah tugas-tugas yang biasa

termuat pada buku pelajaran (textbooks). Siswa diarahkan melalui

sederetan latihan yang didesain untuk meningkatkan kefasihan

dalam suatu skill baru atau membangkitkan atau menyegarkan

kembali keterampilan yang telah dimiliki.

Contoh tugas penghitungan rutin :

3194 67545346 968 8877 x

+ Untuk menyelesaikan tugas di atas siswa, cukup menggunakan

pengetahuan-nya tentang keterampilan berhitung.

2.Permasalahan (problem)

Permasalahan (problem) dapat kita adopsi definisi yang secara

umum tentang “masalah” (seperti pada Unit 1), yaitu bahwa

seseorang sedang dihadapkan pada soal pemecahan masalah yang

belum ada solusinya dan orang tersebut merasa tertantang untuk

menemukan solusinya. Hal ini akan mengabaikan buku latihan-

latihan dalam buku pelajaran (textbooks) tersebut, yang digunakan

untuk latihan “algoritma” atau ketrampilan seperti dalam

penghitungan komputerisasi atau dalam satu sampai dua langkah

pergeseran masalah.

Pada skema tersebut masalah (problems) dibagi menjadi 2, yaitu :

(1) Masalah tertutup (closed structure)

Masalah tertutup disebut juga sebagai masalah lengkap sebab

permasalahan itu telah diformulasikan dengan baik dengan

jawaban benar atau salah dan jawaban yang benar bersifat unik

karena hanya ada satu solusi. Masalah tertutup adalah istilah dari

tugas-tugas terumus yang terstruktur dengan baik, di mana

seseorang dapat mengoreksi jawaban yang ditetapkan dalam

berbagai cara yang diberikan dalam situasi permasalahan.

2 - 17

Masalah tertutup meliputi isi yang spesifik (content- specific

routine), dan berbagai langkah dalam menghadapi tantangan

permasalahan (problem), dan juga problem-problem dasar non-

rutin heuristik. Untuk mengatasi permasalahan tersebut,

pemecah masalah (solver), melalui pemikiran yang produktif

dibandingkan dengan daya ingat sederhana harus menghasilkan

beberapa ketrampilan proses atau langkah-langkah penting

dalam metode pemecahan.

Masalah tertutup dibagi menjadi 2, yaitu :

(a) Sekumpulan tantangan (challenge sums)

Setelah mempelajari suatu topik matematika tertentu,

seorang guru memberikan sekumpulan tantangan dalam

pengajaran untuk pemecahan masalah, di mana

penekanannya adalah pada pembelajaran matematika untuk

memecahkan masalah. Tantangan tersebut digunakan untuk

memecahkan masalah dengan pernyataan yang serupa yang

berkaitan dengan topik aritmetika seperti bilangan cacah,

pecahan, rasio dan prosen.

Perhatikan contoh berikut:

Contoh 1

Dari siswa kelas 6A dan siswa kelas 6B SD “Amanah”

adalah perempuan. Kedua kelas tersebut mempunyai jumlah

siswa yang sama, dan kelas 6A mempunyai 8 siswa laki-laki

lebih banyak dari kelas 6B.

Berapa banyak siswa yang berada di kelas 6A?

Pada contoh 1 ini siswa dihadapkan pada tantangan untuk

memecahkan masalah pada topik pecahan.

Contoh 2

Pada awalnya, rasio uang Susan dengan uang Mary adalah 5 :

3. Setelah Susan memberikan Rp. 20.000,- pada Mary,

2 - 18

mereka masing-masing mempunyai jumlah uang sama

banyak.

Berapa banyak uang yang dipunyai Mary pada awalnya?


memecahkan masalah pada topik rasio.

Contoh 3

25% dari suatu kelas dari 32 siswa adalah laki-laki. Apabila

beberapa siswa laki-laki bergabung dalam kelas tersebut,

prosentase siswa laki-laki meningkat menjadi 40%. Berapa

banyak siswa laki-laki yang bergabung di kelas tersebut?


memecah-kan masalah pada topik prosen.

(b) Permasalahan proses (process problem)

Kadang-kadang permasalahan proses (process problem)

dikenal sebagai masalah tidak rutin (non-routin problems).

Pada contoh 4 dan 5 di bawah menyajikan tipe-tipe non-

routin problems, di mana para guru menggunakan dalam

peranan pengajarannya tentang pemecahan masalah.

Penekanannya adalah pada penggunaan strategi heuristik

untuk pendekatannya, dan memecahkan suatu masalah yang

tidak familier yang bukan biasanya pada berbagai topik-topik

di dalam silabus matematika. Permasalahan yang tidak

familier sering terjadi banyak kasus untuk siswa-siswa dalam

mengorganisir dan mempertimbang-kannya. Siswa

memanfaatkan untuk tujuan memperlihatkan proses yang

dilibatkan dalam pemikirannya dan mengembangkan

berbagai strategi heuristik pemecahan masalah, misalnya

terka dan uji coba kembali (guess and check), melihat pola

dan bekerja mundur. Matematika berisi persyaratan tugas

seperti itu sebelumnya telah dikuasai oleh siswa. Dalam

2 - 19

beberapa hal, guru telah mencobanya untuk menerapkan

strategi heuristik tersebut ke dalam pemecahan masalah.

Pada masa-masa yang lalu, ‘masalah’ diberikan setelah

teorinya didapatkan para siswa, sehingga para siswa hanya

belajar untuk mengaplikasikan pengetahuan matematika

yang didapat namun tidak pernah atau sedikit sekali

mendapat kesempatan untuk belajar memecahkan masalah

yang terkategori sebagai ‘masalah proses’. Padahal, para

siswa harus diberi kesempatan untuk mempelajari proses

pemecahan masalah yang terkategori sebagai ‘masalah

proses’. Para siswa dilatih dan dibiasakan untuk belajar

memecahkan masalah selama proses pembelajaran di kelas

sedang berlangsung sedemikian sehingga pemahaman suatu

konsep atau pengetahuan haruslah dibangun sendiri

(dikonstruksi) oleh siswa.

Perhatikan contoh berikut :

Contoh 4

Pak Raden sedang menghitung itik dan kambingnya. Ia

menghitung-nya ada 10 kepala dan 26 kaki kesemuanya.

Berapa banyak itik dan kambing yang Pak Raden punyai?

Dari contoh 4 di atas, nampaknya ada beberapa strategi yang

dapat digunakan untuk memecahkan masalah tersebut, yaitu:

a. Penggunaan Aljabar

Misal banyaknya itik adalah b, banyaknya kambing adalah k,

maka diperoleh persamaan sebagai berikut :

b + k = 10

2b + 4k = 26

Dengan menggunakan metode substitusi atau eliminasi akan

diperoleh banyaknya itik 7 dan banyaknya kambing 3.

b. terka dan uji coba kembali

2 - 20

Mencoba 5 itik dan 5 kambing, maka 10 + 20 kaki……..

(terlalu

banyak)

Mencoba 6 itik dan 4 kambing, maka 12 + 16 kaki……..

(terlalu

banyak)

Mencoba 7 itik dan 3 kambing, maka 14 + 12 = 26 kaki.........

(Oke)

Atau menyusun tabulasi

c. Dia gram

Jadi terdapat 7 itik dan 3 kambing.d. Logika penalaran

Jika semua itik , 20 kaki, maka 6 kurangnya, 3 pasang ke

kambing.

Jadi 3 kambing, 7 itik.

Contoh 5

Berapa banyak persegi-persegi (squares) pada papan

catur?

Petunjuk : Gunakan strategi heuristik berikut:

1. bekerja secara sistematis

2. melihat pola

3. menggeneralisasi ke aturan

2 -

Itik Kambing

Kepala

Total kaki

Keterangan

5 x 2 5 x 4 10 30 salah6 x 2 4 x 4 10 28 salah7 x 2 3 x 4 10 26 oke

21

4. penyederhanaan sebagai contoh

5. pentabulasan hasil

Penyederhaan sebagai contoh

Berapa banyak persegi-persegi yang terbentuk?

Apakah Anda dapat menemukan 5?

Pentabulasian hasil

ukuran persegi

banyaknya persegi

2 x 2 53 x 3 ?4 x 4 ?…………8 x 8 ?

(2) Masalah terbuka-tertutup (open-ended structure)

Masalah open-ended disebut juga masalah tak lengkap karena

masalah ini diformulasikan memiliki multijawaban yang benar.

Contoh penerapan masalah open-ended adalah ketika siswa

diminta mengembangkan metode, cara, atau pendekatan yang

berbeda dalam menjawab permasalahan yang diberikan dan

bukan berorientasi pada jawaban (hasil) akhir. Tujuan utama siswa

dihadapkan dengan masalah open-ended adalah bukan untuk

mendapatkan jawaban, tetapi lebih menekankan pada cara

bagaimana sampai pada suatu jawaban. Dengan demikian

bukanlah hanya ada satu cara dalam mendapatkan jawaban,

namun beberapa atau banyak.

2 - 22

Masalah open-ended dibagi menjadi 3, yaitu :

(a) masalah open-ended pendek (short open-ended

problems)

Guru dapat menggunakan short open-ended problems dalam

pemecahan masalah matematika yang lebih memfokuskan

pada bagaimana mengajarkan isi atau materi matematika

(teaching via problem solving) untuk mengembangkan

kemampuan materi matematika dan kemampuan komunikasi

siswa. Karakter dari masalah open-ended adalah

memungkinkan banyak jawaban dan penyelesaian dengan

banyak cara. Masalah dalam short open-ended problems

bukanlah masalah yang kompleks dan rumit tetapi masalah

yang memiliki struktur yang sederhana.

Contoh short open-ended problems

Pak Tono ingin menaruh 12 apel dan jeruk pada beberapa

piring. Setiap piring harus memuat buah dengan jumlah yang

sama. Tunjukkan ada berapa cara dia dapat menaruh apel dan

jeruk pada piring.

(b) aplikasi masalah kehidupan sehari-hari (applied real-life

problems)

Pemecahan masalah yang dihadapi setiap individu dalam

situasi setiap saat dimulai dengan situasi masalah dalam

kehidupan sehari-hari (applied real-life problems) kemudian

mengaitkan yang ada hubungannya dalam memahami

masalah matematika.

Contoh applied real-life problems

Pak Tono ingin mengecat seluruh tembok dan langit-langit

dalam tiga buah ruangan. Langit-langit rumahnya setinggi 4 m.

Ia mengambil satu liter cat dapat mengecat permukaan seluas

10 m . Satu kaleng cat ia beli dengan harga Rp. 20.000,00.

Apa lagi yang dibutuhkan pak Tono untuk mengecat tembok?

2 - 23

Buatlah rencana dan anggaran belanja untuk melihat

kekeliruan untuk belanja alat-alat yang diperlukan pak Tono

untuk pekerjaan mengecatnya!

(c) investigasi matematika (mathematical investigations)

Umumnya aktivitas siswa dalam open-ended adalah

menyelidiki dan memperbaiki kemampuan matematika murni

untuk kepentingan dirinya sendiri. Kebanyakan memandang

investigasi sebagai proses pemecahan masalah yang besar

dalam open-ended, yang dapat dikembangkan dengan cara

berbeda untuk siswa yang berbeda. Siswa diberi kesempatan

dalam mengembangkan perumpamaan hasil berdasarkan

penyelidikan, pentabulasian data untuk melihat contoh,

membuat perkiran dan melakukan uji coba, serta

membenarkan perumuman yang mereka temukan. Siswa

memberanikan diri untuk memikirkan strategi alternatif

dengan menanyakan “ Apakah jika …” dan mengamati

perubahan.

Contoh mathematical investigations 1. Investigasi bilangan : membalikkan pengurangan dan

membalikkan penjumlahanPilih 3 digit bilangan : 123Balikkan digitnya : 321Kurangkan : 321 – 123 = 198………………………………………………………………..

Mulai dari jawaban : 198Balikkan digitnya : 891Jumlahkan : 198 + 981 = 1089……………………………………………………………….Coba sembarang bilangan : 609

906 – 609 = 297297 + 792 = 1089

Investigasi apa yang terjadi ketika Anda memilih 3 digit

bilangan yang berbeda.

Apakah Anda selalu mendapatkan hasil 1098?

2 - 24

2. Investigasi tetrominoes

a. Tetrominoes mana yang dapat berpanca warna?

b. Bentuk berbeda apa yang dapat Anda buat dengan

menggunakan lima tetrominoes tersebut?

c. Dapatkah Anda membuat segi empat berukuran 4 x 5

dengan tetrominoes tersebut?

d. Apa lagi yang dapat Anda temukan tentang tetrominoes

tersebut?

Latihan :



1. Apa corak tampilan yang dibutuhkan dalam tugas-tugas

pemecahan masalah nyata (real problems-solving)?

2. Berdasarkan penelitian Foong, tugas-tugas matematika terbagi

menjadi berapa? Jelaskan!

3. Apa perbedaan routin sums dengan problems?

4. Apa perbedaan masalah tertutup dengan masalah open-ended?

5. Berikan contoh masalah tertutup dan masalah open-ended!


1. Tugas-tugas pemecahan masalah nyata (real problems-solving)

memiliki corak kompleks dan bukan pemikiran algoritma, analisa

batasan tugas dan menggunakan strategi heuristik serta

eksplorasi konsep-konsep matematika, proses, dan hubungan-

hubungannya.

2 - 25

2. Semua tugas-tugas matematika dapat diklasifikasikan secara

umum menjadi 2 golongan, yaitu: penghitungan rutin (routin sum)

dan permasalahan (problems).

3. Penghitungan rutin (routin sum) adalah tugas-tugas yang biasa

termuat pada buku pelajaran (textbooks) sedangkan

permasalahan (problem) mengabaikan buku latihan-latihan dalam

buku pelajaran (textbooks) tersebut.

4. Masalah tertutup diformulasikan dengan baik dengan jawaban

benar atau salah dan jawaban yang benar bersifat unik karena

hanya ada satu solusi sedangkan masalah open-ended

diformulasikan memiliki multijawaban yang benar.

5. Dengan menggunakan berbagai cara, hitunglah jumlah sepuluh

bilangan ganjil pertama mulai dari satu ! (masalah tertutup)

Kita hendak memperbesar sebuah persegi panjang dengan cara

mengalikan dua ukuran-ukurannya. Metode yang bagaimana yang

dapat Anda temukan untuk memperbesar persegi panjang itu?

(masalah open-ended)

Rangkuman

2 - 26

Tugas-tugas pemecahan masalah nyata (real problems-solving) menuntut tingkat proses pemikiran (cognitive processes) yang tinggi dengan berbagai corak tampilan yang dibutuhkan, yaitu: kompleks dan bukan pemikiran algoritma analisa batasan tugas dan menggunakan strategi heuristik eksplorasi konsep-konsep matematika, proses, dan

hubungan-hubungannya kesadaran akan situasi permasalahan dengan

ketertarikannya dan motivasi untuk membuat usaha yang terencana untuk mendapatkan sebuah solusi.

Bersadarkan penelitian tentang pemecahan masalah dan masalah yang digunakan dalam penelitian Foong (1990), pengklasifikasian tipe tugas matematika yaitu:1. penghitungan rutin (routin sum)

Penghitungan rutin (routin sum) adalah tugas-tugas yang biasa termuat pada buku pelajaran (textbooks).

2. permasalahan (problems)Permasalahan akan mengabaikan buku latihan-latihan dalam buku pelajaran (textbooks).

Masalah (problems) dibagi menjadi 2, yaitu :a. masalah tertutup (closed structure)

Masalah tertutup diformulasikan dengan baik dengan jawaban benar atau salah dan jawaban yang benar bersifat unik karena hanya ada satu solusi.

Masalah tertutup dibagi menjadi 2, yaitu : 1. Sekumpulan tantangan (challenge sums)

Setelah mempelajari suatu topik matematika tertentu, seorang guru memberikan sekumpulan tantangan dalam pengajaran untuk pemecahan masalah, dimana penekananya adalah pada pembelajaran matematika untuk memecahkan masalah.

2. Permasalahan proses (process problem)Kadang-kadang permasalahan proses (process problem) di kenal sebagai masalah tidak rutin (non-routin problems). Penekanannya adalah pada penggunaan strategi heuristik untuk pendekatannya, dan memecahkan suatu masalah yang tidak familier yang bukan biasanya pada berbagai topik-topik di dalam silabus matematika.

2 - 27

b. masalah terbuka-tertutup (open-ended structure)Masalah open-ended disebut juga masalah tak lengkap karena masalah ini diformulasikan memiliki multi jawaban yang benar.

Masalah open-ended dibagi menjadi 3, yaitu : 1. masalah open-ended pendek (short open-ended problems)

Guru dapat menggunakan short open-ended problems dalam pemecahan masalah matematika yang lebih memfokuskan pada bagaimana mengajarkan isi atau materi matematika (teaching via problem solving) untuk mengembangkan kemampuan materi matematika dan kemampuan komunikasi siswa.

2. aplikasi masalah kehidupan sehari-hari (applied real-life problems)Pemecahan masalah yang dihadapi setiap individu dalam situasi setiap saat dimulai dengan situasi masalah dalam kehidupan sehari-hari (applied real-life problems) kemudian mengaitkan yang ada hubungannya dalam memahami masalah matematika.

3. investigasi matematika (mathematical investigations)investigasi sebagai proses pemecahan masalah yang

TES FORMATIF 2


1. Tugas-tugas pemecahan masalah nyata (real problems-solving) menuntut tingkat proses pemikiran (cognitive processes) yang tinggi dengan berbagai corak tampilan yang dibutuhkan sebagai berikut, kecuali … A. kompleks dan pemikiran algoritmaB. analisa batasan tugas dan menggunakan strategi heuristikC. eksplorasi konsep-konsep matematika, proses, dan hubungan-

hubungannyaD. kesadaran akan situasi permasalahan dengan ketertarikannya

dan motivasi untuk membuat usaha yang terencana untuk mendapatkan sebuah solusi

2. Bersadarkan penelitian tentang pemecahan masalah dan masalah yang digunakan dalam penelitian Foong (1990), pengklasifikasian tipe tugas matematika dibagi menjadi 2 yaitu …A. non-routin problem sum dan problemsB. routin sum dan problemsC. challenge sums dan process problemD. closed structure dan open-ended peoblem

3. Tugas-tugas yang biasa termuat pada buku pelajaran (textbooks) dimana siswa diarahkan melalui sederetan latihan yang didesain untuk meningkatkan kefasihan dalam suatu skill baru atau membangkitkan atau menyegarkan kembali keterampilan yang telah dimiliki merupakan ciri dari …A. non-routin problem B. challenge sumsC. routin sum D. process problem

4. Closed structure dan open-ended structure dikategorikan dalam …

2 - 28

A. problemsB. process problemC. challenge sumsD. routin sum

5. Ani dan Tina betugas mengelola koperasi “Usaha Maju”. Toko ini buka dari pukul 08.00 sampai dengan pukul 16.00 setiap hari. Beberapa barang yang dijual di koperasi ini antara lain cat perahu dan gulungan senar untuk menambal jarring. Harga cat adalah Rp. 5000,00 per kaleng dan gulungan senar seharga Rp. 3500.00 pergulung. Suatu hari Ani dan Tina mendapatkan uang dari kedua barang itu senilai Rp. 22.000.00. Berapakah kaleng cat dan berapa gulung senar terjual hari itu?Soal di atas merupakan …A. routin sumB. problemsC. process problemD. challenge sums

6. Open-ended structure terbagi menjadi 3 yaitu …A. open-ended problems,applied real-life problem, mathematical

investigationsB. long open-ended problems,applied problem, mathematical

investigationsC. short open-ended problems,applied abstrak problem,

investigationsD.short open-ended problems,applied real-life problem,

mathematical investigations

7. Tulis sembarang bilangan yang terdiri atas tiga digit. Kemudian, ulangi lagi sehingga menjadi bilangan yang terdiri atas enam digit. Suatu bilangan, misalnya 726 akan menjadi 726.726. Kemudian, bagilah bilangan yang terdiri atas enam digit itu dengan bilangan 7, 11, 13 (dengan urutan bebas). Kamu akan memperoleh hasil seperti pada bilangan asli yang terdiri atas tiga digit tadi. Cobalah dengan bilangan yang terdiri atas tiga digit lainnya, dan lihatlah hasilnya!Permasalaham di atas termasuk ...A. mathematical investigationsB. applied problemC. short open-ended problemD.routin sum

8. Dari soal-soal di bawah ini yang merupakan challenge sum adalah … A. Kamu dan empat temanmu baru saja selesai memancing. Kamu

berlima mendapatkan 44 ikan. Jika kamu sepakat untuk

2 - 29

membagi ikan-ikan tersebut sama banyak, berapa ikan yang akan dibawa pulang oleh setiap anak?

B. Jumlah uang Ruben dan Fahri adalah Rp. 46.000.00. Setelah masing-masing membelanjakan Rp. 5000.00 untuk membeli buku komik, perbandingan uang Ruben dan Fahri adalah 1 : 3. Berapakah uang yang dimiliki mereka masing-masing?

C. Hari ini adalah hari terakhir masuk sekolah setelah kamu belajar selama satu tahun. Untuk menyambutnya, kelasmu akan mengadakan pesta kebun. Kelasmu pun sudah memesan 15 roti. Setiap roti dipotong menjadi 8 irisan. Ada berapa iris roti seluruhnya?

D.Ambil 2 : 9 hasilnya adalah 0,222…, ambil saja bilangan yang terdiri atas dua digit angka, misalnya 37, kemudian bagi dengan 99, hasilnya adalah 0,373737 …, yang terakhir ambil saja bilangan yang terdiri atas tiga digit angka, misalnya 481, kemudian bagi dengan 999, hasilnya adalah 0,481481 …Dapatkah kalian menentukan hasil bagi sebarang bilangan yang terdiri atas empat digit angka dibagi dengan 9999?

9. Suatu masalah merupakan masalah open-ended apabila …A. masalah tersebut diformulasikan memiliki jawaban dengan

jawaban benar atau salah dan jawaban yang benar bersifat unik karena hanya ada satu solusi yang benar

B. masalah tersebut diformulasikan memiliki multijawaban, lebih menekankan pada hasil akhir saja

C. masalah tersebut diformulasikan memiliki multijawaban yang benar, lebih menekankan pada cara bagaimana sampai pada suatu jawaban.

D. masalah tersebut diformulasikan memiliki multijawaban yang benar, lebih menekankan pada hasil bukan proses

10. Dari soal-soal berikut, yang merupakan masalah open-ended adalah …

A. Sebuah sirkus sedang melakukan pertunjukan di kotamu. Kamu ingin sekali mengajak teman-temanmu menyaksika pertunjukan sirkus tersebut. Kamu telah menghabiskan uang Rp. 60.000.00. Harga tiket pertunjukan sirkus tersebut Rp. 15.000.00 per orang. Berapa orang temanmu yang dapat melihat sirkus tersebut?

B. Sekarang adalah musim kemarau. Kamu dan temanmu berjualan sirup di suatu sudut jalan. Pada hari pertama kamu menjual 32 botol. Setelah satu jam berjualan, kamu hanya mempunyai 18 botol sirup yang tersisa. Berapa botol sirup yang telah terjual dalam waktu satu jam tersebut?

C. Kita hendak memperbesar sebuah persegi dengan cara mengalikan dua ukuran-ukurannya. Metode yang bagaimana yang dapat Anda temukan untuk memperbesar persegi itu?

2 - 30

Gambarkan sebanyak mungkin cara berbeda. Jelaskan metode yang Anda gunakan dengan kata-kata Anda sendiri.

D. Hamzah tinggal di pinggir pantai, ia biasa mencari ikan menggunakan perahu layarnya. Sekali waktu nelayan bisa memperoleh kepiting, udang, ikan kakap, atau ikan cakalang. Di pelelangan ikan tersebut satu takar udang dapat ditukar dengan dua takar kepiting, satu takar kepiting dapat ditukar dengan 3 ekor ikan kakap, 4 ekor ikan kakap dapat ditukar dengan satu ekor ikan cakalang. Mana yang lebih mahal, satu takar udang atau satu ekor cakalang? Jelaskan!






ini.


90 – 100%

=baik sekali






Sub Unit 3Kesulitan-kesulitan dalam Pemecahan Masalah

Dalam sub unit ini, Anda akan mempelajari tentang kesulitan-

kesulitan yang umumnya sering dihadapi siswa dalam memecahkan

2 - 31

masalah. Menurut Kaur Berinderjeet (2008), proses pemecahan

masalah matematika dapat dimodelkan dengan tahapan dan secara

hirarkinya seperti berikut :

Membaca masalah

Memahami masalah

Pikirkan cara memecahkan masalah

Terjemahkan masalah kedalam model matematika/ kalimat matematika

Pengerjaan dengan penghitungan matematika, dst

Tiba pada solusi

Gambar 2.3 Pentahapan pemecahan masalah pada umumnya

Dari masing-masing proses dan pentahapan tersebut, siswa

dimungkinkan mengalami kesulitan-kesulitannya, dan diiringi

dengan penyebabnya, seperti berikut :

1. Ketidakmampuan membaca masalah. Hal ini, misalnya

disebabkan kurangnya kemampuan berbahasa siswa, kurangnya

memahami masalah dalam bentuk bahasa.

Contoh :

Enam belas tahun yang akan datang, usia Andi menjadi 3 kali

usianya sekarang. Berapa usia Andi sekarang?

Dalam soal di atas jika siswa kurangnya memahami masalah

dalam bentuk bahasa, maka siswa tersebut akan kesulitan dalam

menentukan berapa usia Andi sekarang.

2. Kurangnya pemahaman terhadap masalah yang muncul. Hal ini,

misalnya siswa mampu membaca, tetapi tidak dapat menentukan

esensi atau inti dari teksnya.

Contoh :

Diberikan dua bilangan, yaitu 2007 dan 7002. Lena memilih salah

satu bilangan dan mengalikannya dengan 2211, sedangkan Olga

2 - 32

memilih bilangan yang satu lagi dan mengalikannya dengan

1122. Jumlah dari kedua hasil perkalian adalah bilangan genap.

Dapatkah kalian menentukan bilangan yang dipilih Lena dan Olga

sebenarnya?

Dalam soal di atas jika siswa tidak dapat menentukan esensi atau

inti dari teksnya maka siswa akan kesulitan dalam menentukan

bilangan yang dipilih Olga, apalagi dalam soal di atas

membutuhkan kepekaan terhadap angka-angka. Jika esensi dari

soalnya saja tidak paham bagaimana mungkin siswa dapat kreatif

dalam memperhitungkan jawaban yang masuk akal atau tidak.

3. Kesalahan dalam mengintrepetasi tentang kondisi-kondisi

masalah. Hal ini, misalnya siswa telah salah mengintepretasi

kondisi masalah.

Contoh :

Sejumlah jeruk dapat dibagikan secara merata kepada 3, 4, 5, 6,

atau 8 anak dengan tidak ada jeruk yang tersisa. Berapakah

paling sedikit banyaknya jeruk tersebut?

Dalam soal di atas jika siswa salah mengintepretasi kondisi

masalah maka siswa akan kesulitan dalam menetukan paling

sedikit banyaknya jeruk.

4. Kurangnya pengetahuan tentang strategi. Hal ini, biasanya

ditandai siswa tidak tahu apa yang harus dilakukan.

Contoh :

Dalam persegi ajaib 3 x 3, jumlah angka pada setiap baris, kolom,

dan diagonal sama. Buatlah persegi ajaib menggunakan setiap

angka berikut dengan tidak ada angka yang berulang. -9, -5, -1, 3,

7, 11, 15, 19, 23

Dalam soal di atas jika siswa tidak tahu apa yang harus dilakukan

untuk mendapatkan persegi ajaib sesuai aturan yang ditetapkan,

maka siswa tidak akan menemukan persegi ajaib yang sesuai,

2 - 33

namun jika siswa mengetahui strategi, misalnya terka dan uji

coba, berfikir logis maka persegi ajaib tersebut dapat ditemukan.

5. Ketidaktepatan strategi yang digunakan. Hal ini ditandai biasanya

siswa mengadopsi strategi yang salah untuk mendapatkan solusi.

Contoh :

Temukan empat bilangan bulat terbesar kurang dari 250 yang

jumlah faktornya ganjil?

Permasalahan di atas dapat dipecahkan jika siswa menggunakan

strategi menyisihkan kemungkinan, melihat pola, namun jika

siswa menggunakan strategi menuliskan persamaan siswa akan

kesulitan karena strategi tersebut tidak tepat jika digunakan

untuk memecahkan masalah di atas.

6. Ketidakmampuan menterjemahkan masalah dalam bentuk

matematika. Hal ini biasanya ditandai sulitnya memodelkan

dalam bentuk matematika.

Contoh :

Suatu perusahaan memproduksi obat berbentuk kapsul dan

tablet. Beberapa konsumen diwawancarai dan diperoleh data

sebagai berikut:

tidak menggunakan kedua jenis produk

tidak menggunakan produk kapsul

tidak menggunakan produk tablet

8 orang tidak menggunakan kedua jenis produk

Berapakah banyaknya konsumen yang diwawancarai?

Dalam soal di atas jika siswa tidak mampu menterjemahkan

masalah dalam bentuk matematika, maka siswa akan sulit

memodelkan dalam bentuk matematika permasalan di atas.

7. Kesalahan memformulasikan dari bentuk matematika. Misalnya

memformulasikan rumus-rumus dalam bentuk matematika.

2 - 34

Contoh :

Tentukan jumlah bilangan yang dihitung dari 1 sampai 49 secara

berurutan. Dengan kata lain, jika S = 1 + 2 + 3 + … + 48 + 49,

berapakah nilai S?

Dalam soal di atas jika siswa salah dalam memformulasikan dari

bentuk matematika untuk permasalahan di atas untuk

menentukan nilai S, maka nilai S yang ditemukan bisa jadi salah.

8. Kesalahan mengintepretasikan pada konsep-konsep matematika.

Contoh :

Selama bekerja, Budi diberikan bonus Rp 3.000,00 jika ia datang

pukul 08.00 dan denda Rp 500,00 jika ia datang lewat dari pukul

08.00. Budi datang tepat waktu 9 kali dari jumlah ia telat dan ia

menerima bonus Rp 79.500,00. Berapa kali Budi telat datang

bekerja?

Dari soal cerita di atas, siswa dapat menyelesaikannya dengan

benar jika menggunakan konsep operasi hitung yang tepat sesuai

dengan alur cerita di atas.

9. Kesalahan penghitungan. Hal ini, disebabkan sering kali karena

kecerobohan.

Contoh :

Agus pergi ke toko buku setiap 5 hari sekali, sedangkan Rian

pergi ke toko buku setiap 9 hari sekali. Jika mereka pergi bersama

ke toko buku tanggal 26 september, pada tanggal berapakah

mereka pergi bersama untuk kedua kalinya?

Jika siswa ceroboh dalam menghitung KPK dua bilangan, maka

akan diperoleh tanggal yang salah.

10. Ketidaksempurnaan tentang pengetahuan matematika.

Contoh ”persegi bukanlah sebuah persegi panjang”.

Latihan :

2 - 35



1. Jelaskan tahapan proses pemecahan masalah menurut Kaur

Berinderjeet (2008)!

2. Jelaskan kesulitan-kesulitan yang dihadapi siswa dalam

memecahkan masalah berdasarkan tahapan proses pemecahan

masalah yang terdapat pada Gambar 2.3!

3. Jelaskan penyebab kesulitan-kesulitan yang dihadapi siswa dalam

memecahkan masalah berdasarkan tahapan proses pemecahan

masalah yang terdapat pada Gambar 2.3!

4. Berikan contoh kesulitan-kesulitan siswa dalam memecahkan

masalah beserta penyebabnya!


1. Tahapan proses pemecahan masalah menurut Kaur

Berinderjeet (2008) ada 7, yaitu membaca masalah, memahami

masalah, memikirkan cara memecahkan masalah,

menerjemahkan masalah kedalam model matematika/ kalimat

matematika, mengerjakan dengan penghitungan matematika,

tiba pada solusi, mengecek solusi untuk keakuratan atau untuk

membijaksanainya.

2. Kesulitan yang dihadapi siswa dalam memecahkan masalah

yaitu ketidak mampuan membaca masalah, kurangnya

pemahaman terhadap masalah yang muncul, kesalahan dalam

mengintrepetasi tentang kondisi-kondisi masalah, kurangnya

pengetahuan tentang strategi, ketidaktepatan strategi yang

digunakan, ketidakmampuan menterjemahkan masalah dalam

bentuk matematika, kesalahan memformulasaikan dari bentuk

matematika, kesalahan mengintepretasikan pada konsep-konsep

2 - 36

matematik, kesalahan penghitungan, ketidaksempurnaan

tentang pengetahuan matematika.

3. Penyebab kesulitan siswa dalam memecahkan masalah yaitu

kurangnya kemampuan berbahasa siswa, kurangnya memahami

masalah dalam bentuk bahasa, siswa mampu membaca tetapi

tidak dapat membuat esensi atau inti dari teksnya, siswa telah

salah mengintepretasi kondisi masalah, siswa tidak tahu apa

yang harus dilakukan, siswa mengadopsi strategi yang salah

untuk mendapatkan solusi, sulitnya memodelkan dalam bentuk

matematika, sering kali karena kecerobohan.

4. Enam belas tahun yang akan datang, usia Andi menjadi 3 kali

usianya sekarang. Berapa usia Andi sekarang?

Dalam soal di atas jika siswa kurangnya memahami masalah

dalam bentuk bahasa maka siswa tersebut akan kesulitan

dalam menentukan berapa usia Andi sekarang.

Rangkuman

2 - 37

Tahapan proses pemecahan masalah menurut Kaur Berinderjeet (2008) ada 7, yaitu :1. membaca masalah2. memahami masalah3. memikirkan cara memecahkan masalah4. menerjemahkan masalah kedalam model matematika/

kalimat matematika5. mengerjakan dengan penghitungan matematika6. tiba pada solusi7. mengecek solusi untuk keakuratan atau untuk

membijaksanainya

Dari masing-masing proses dan pentahapan tersebut, siswa dimungkin-kan mengalami kesulitan-kesulitannya, dan diiringi dengan penyebabnya yaitu :1. Ketidakmampuan membaca masalah. Hal ini, misalnya

disebabkan kurangnya kemampuan berbahasa siswa, kurangnya memahami masalah dalam bentuk bahasa.

Contoh : Enam belas tahun yang akan datang, usia Andi menjadi 3 kali usianya sekarang. Berapa usia Andi sekarang?

Dalam soal di atas jika siswa kurangnya memahami masalah dalam bentuk bahasa maka siswa tersebut akan kesulitan dalam menentukan berapa usia Andi sekarang.

2. Kurangnya pemahaman terhadap masalah yang muncul. Hal ini, misalnya siswa mampu membaca tetapi tidak dapat membuat esensi atau inti dari teksnya.

3. Kesalahan dalam mengintrepetasi tentang kondisi-kondisi masalah. Hal ini, misalnya siswa telah salah mengintepretasi kondisi masalah.

4. Kurangnya pengetahuan tentang strategi. Hal ini, biasanya ditandai siswa tidak tahu apa yang harus dilakukan.

5. Ketidaktepatan strategi yang digunakan. Hal ini ditandai biasanya siswa mengadopsi strategi yang salah untuk mendapatkan solusi.

6. Ketidakmampuan menterjemahkan masalah dalam bentuk matematika. Hal ini biasanya ditandai sulitnya memodelkan dalam bentuk matematika.

7. Kesalahan memformulasikan dari bentuk matematika. Misalnya memformulasikan rumus-rumus dalam bentuk matematika.

8. Kesalahan mengintepretasikan pada konsep-konsep matematika.

9. Kesalahan penghitungan. Hal ini, disebabkan sering kali karena kecerobohan.

10. Ketidaksempurnaan tentang pengetahuan matematika.

TES FORMATIF 3


1. Tahapan proses pemecahan masalah menurut Kaur Berinderjeet (2008) ada …A. 8B. 7C. 6D.5

2. Kesulitan dan penyebab kesulitan pemecahan masal siswa berdasarkan tahapan tersebut ada ...A. 10B. 8C. 6

2 - 38

D.4

3. Tahapan proses pemecahan masalah menurut Kaur Berinderjeet (2008) di antaranya adalah ….A. membuat masalahB. menerjemahkan model matematikaC. mengerjakan dengan penghitungan matematikaD.tidak ada solusi

4. Kesulitan yang dihadapi siswa dalam memecahkan masalah seperti berikut ini, kecuali ...A. ketidak mampuan membaca masalahB. kesalahan mengintepretasikan pada konsep-konsep matematikC. ketidaktepatan strategi yang digunakanD.kemudahan dalam proses penghitungan

5. Siswa mampu membaca tetapi tidak dapat menentukan esensi atau inti dari teksnya, hal ini akan mengakibatkan ...A. siswa dapat menyelesaikan masalah secara benarB. siswa tidak kesulitan dalam memecahkan masalahC. siswa kurang memahami masalah yang munculD.siswa dapa memahami masalah yang muncul

6. Jika siswa tidak mampu menterjemahkan masalah dalam bentuk matematika maka ... A. siswa akan sulit memodelkan dalam bentuk matematikaB. siswa akan mudah memodelkan dalam bentuk matematikaC. siswa dapat dengan mudah memecahkan masalah matematikaD.siswa sempurna dalam menjawab permasalahan

7. Temukan empat bilangan bulat terbesar kurang dari 250 yang jumlah faktornya ganjil? Dari soal ini jika siswa menggunakan strategi menyisihkan kemungkinan, melihat pola untuk memecahkan masalah di tersebut, maka …A. siswa memilih strategi yang tidak tepatB. siswa memilih strategi yang salahC. siswa memilih strategi yang tidak baikD.siswa memilih strategi yang tepat

8. Tentukan jumlah bilangan yang dihitung dari 1 sampai 49 secara berurutan. Dengan kata lain, jika S = 1 + 2 + 3 + … + 48 + 49, berapakah nilai S?

Dari soal di atas kesalahan yang dapat dilakukan siswa adalah …A. operasi penghitunganB. menterjemahkan masalahC. memformulasikan rumus dalam bentuk matematikaD.memodelkan dalam bentuk matematika

2 - 39

9. Kecerobohan dapat mengakibatkan …A. diperoleh jawaban benarB. kesalahan penghitunganC. siswa mudah memecahkan masalahD.siswa tidak kebingungan

10. Agar siswa tidak kesulitan dalam memecahkan masalah maka …A. mempunyai pengetahuan tentang berbagai strategi pemecahan

masalahB. kurang memiliki pengetahuan tentang berbagai strategi

pemecahan masalahC. tidak perlu mengetahui berbagai strategi pemecahan masalahD.tidak usah menerapkan strategi pemecahan masalah yang

sesuai






ini.


90 – 100%

=baik sekali






DAFTAR RUJUKAN

Anderson, J. 1996. Some teachers’ beliefs and perceptions of problem solving In P.C. Clarkson (Ed). Technology in

2 - 40

Mathematics Education (pp. 30-37). Melbourne: Mathematics Education research Group of Australasia.

Baroody, A.J. & Niskayuna, R. T. C. 1993. Problem solving, reason and communicating, K-8. Helping children think mathematically . New York: Merril, an imprint of Macmillan Publishing Company.

Branca, N.A. 1980. Problem solving as a goal, process and basic skills. In S Krulik and R.E. reys (eds). Problem solving in school mathematics. Washinting, DC : NCTM.

Kaur Berinderjeet. 2008. Problem Solving in the mathematics Classroom (Secondary). National Institute of Education Singapore & Association of Mathematics Educor Singapore.

Lovit, C&Lowe, I. 1992. Problem solving in mathematics: Chance and data. In M. Horne and m. Supple (Eds) Mathematics Meeting the Challenge (pp. 46-52). Mebourne; The Mathematical Association of Victoria. 1992

McGivney, J.M. & DeFranco, T. C. 1995. Geometry proof writing: A problem-solving approach a’la Polya. The Mathematics Teacher journal. 88(7), 552-555.

Musser, G. L. & Shaughnessy, J.M. 1980. Problem-solving strategies in school mathematics. In S. Krulik and R.E. Reys (Eds) ,1980. Yearbook. Problem-solving in school mathematics (pp. 136-145). Virginia: NCTM.

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM).1980. An agenda for action: recommendations for school mathematics of the 1980s. Reston, Virginia: NCTM.

Polya , G., 1985., How to Solve It: A new aspect of mathematics method (2 ed). Princeton, N.J., PrincetonnUniversity Press.

Pui Yee. 2007. Teaching secondary School Mathematics. A Resourse Book second Edition. Mthematics and mathematics Education National Institute of Education Nanyang technological University Singapore.

GLOSARIUM

adopsi : ambil

2 - 41

afektif : sikap algoritma : cara (penghitungan)aljabar : strukturalternatif : cara lain analisis : penghitungananalogi : persamaan anbiguitas : makna gandaaplikasi : penerapanapplied real-life problems : aplikasi masalah kehidupan sehari-hariaspek : halbasic skill : keterampilan dasarchallenge sums : sekumpulan tantanganclosed structure : masalah tertutupcognitive processes : proses pemikiranconten specific routine : spesifik definisi : ide abstrak yang membatasi suatu konsepdeskripsi : gambarandigit : buahdikonstruksi : dibangun sendiri oleh siswa.drill and practice computation : latihan drilleksplorasi : penyelidikanesensi : intiestimasi : dugaanevaluasi : penilaianfamilier : tidak asing formulasi : dibuatgap : kesenjangangeneralisasi : perumumangoal : tujuanguess and check : terka dan uji coba kembaliide : gagasanilmu : pengetahuan interpretasi : gambaranintuisi : isikategori : klasifikasikefasihan : keabsahanketidak konsistenan : ketidakajekan kognitif : pengetahuankompleks : rumitkonsep : ide abstrak untuk mengklasifikasikan suatu

objekkonteks : semesta kriteria : syaratlogika : nalar masalah lengkap : masalah tertutup mathematical investigations : investigasi matematika minat : kemauanmotivasi : semangat

2 - 42

multiple-step problem : permasalaham beberapa langkah penyelesaian on-step problem : permasalahan satu langkah penyelesaian open-ended structure : masalah terbuka-tertutup pendekatan : carapengalaman : apa yang telah dialamipenguatan : penekanan pemahaman personal : orangprocess problem : permasalahan proses produk : hasil prosedur : langkah-langkahrasio : perbandingan real problems : permasalahan yang sebenarnya rekomendasi : lebih di dukung rencana : angan-angan routin problem sum : penjumlahan rutinshort open-ended problems : masalah open-ended pendek silabus : rambu-rambu materi skor : nilaisolusi : penyelesaianspatial ability : kemampuan berwawasanstrategi heuristik : strategi dengan heuristiksymbol : kode tabulasi : dalam tabelteknik : caraterminologi : katatetrominoes : jaring-jaringtextbooks : buku pelajaran toleransi : batas kewajarantopik : babtugas : soalvariabel : hurufvisualisasi : gambaranworkbooks : buku kerja

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF

2 - 43

TES FORMATIF I

1) C pemecahan masalah merupakan suatu proses untuk dapat melatih siswa dalam menerapkan bermacam strategi untuk memecahkannya

2) C proses pemecahan masalah berarti peroses menerima tantangan3) B suatu usaha mencari jalan keluar dari suatu kesulitan guna

mencapai suatu tujuan yang tidak begitu mudah segera dapat dicapai4) C teaching to problem solving 5) D Utari6) A tujuan, proses, dan keterampilan 7) B pengalaman, afektif, kognitif8) A membutuhkan rancangan dan penerapan sederetan langkah-

langkah demi tercapainya tujuan sesuai dengan situasi yang diberikan9) D Ada berapa cara yang bisa digunakan untuk memperoleh jumlah

uang sebesar Rp. 25.000,00 dengan pecahan puluhan ribu, lima ribuan, dan ribuan?

10) C mencapai skor yang tinggi tetapi memiliki hubungan yang tidak baik dengan siswa lain

TES FORMATIF II

1) A kompleks dan pemikiran algoritma2) B routin sum dan problems3) C rutin4) A problems5) C challenge sums6) D challenge sums 7) A open-ended problems,applied real-life problem, mathematical

investigations8) A mathematical investigations9) C Jumlah uang Ruben dan Fahri adalah Rp. 46.000.00. Setelah

masing-masing membelanjakan Rp. 5000.00 untuk membeli buku komik, perbandingan uang Ruben dan Fahri adalah 1 : 3. Berapakah uang yang dimiliki mereka masing-masing?

10) C Kita hendak memperbesar sebuah persegi dengan cara mengalikan dua ukuran-ukurannya. Metode yang bagaimana yang dapat Anda temukan untuk memperbesar persegi itu? Gambarkan sebanyak mungkin cara berbeda. Jelaskan metode yang Anda gunakan dengan kata-kata Anda sendiri.

2 - 44

TES FORMATIF III

1) B 72) A 103) C mengerjakan dengan penghitungan matematika4) D kemudahan dalam proses penghitungan 5) C siswa kurang memahami masalah yang muncul6) A siswa akan sulit memodelkan dalam bentuk matematika7) D siswa memilih strategi yang tepat8) C memformulasikan rumus dalam bentuk matematika9) B kesalahan penghitungan10) A mempunyai pengetahuan tentang berbagai strategi pemecahan

masalah

2 - 45

unit-02-oke

Documents