unidade 2 - resolucao num sist lineares

63

Unidade 2 Resoluo Numrica de Sistemas Lineares

2.1 Definies

Um sistema linear, com m equaes e n variveis, escrito usualmente na forma:

{

11 121 1

1 1

++

+

12 222 2

2 2

++

+

++

+

1 2

====

12

onde

a i j : coeficientes 1 i m, 1 j n

x j : variveis j = 1, ..., n

b i : constantes i = 1, ..., m

64

A resoluo de um sistema linear consiste na determinao dos valores de xj, (j = 1, ... , n), caso

eles existam, que satisfaam as m equaes SIMULTANEAMENTE.

Usando notao matricial, o sistema linear pode ser assim representado:

A x = b

onde

= [

11 12 121 22 2 1 2

] a matriz dos coeficientes,

= [

12

] o vetor das variveis e = [

12

] o vetor das constantes

Chamaremos de x* o vetor soluo e de , uma soluo aproximada do sistema linear A x = b.

Nesta unidade apresentaremos mtodos numricos para a resoluo de sistemas lineares n x n.

65

Classificao Quanto ao Nmero de Solues

Um sistema linear pode ser classificado quanto ao nmero de solues em:

Compatvel

Determinado Uma nica soluo

Indeterminado Infinitas solues

Incompatvel No apresenta soluo

Um sistema dito homogneo quando o vetor das constantes nulo (bi = 0 , i = 1, 2, ..., n).

Todo sistema homogneo compatvel, pois admite sempre a soluo xi = 0 , i = 1, 2, ..., n, ou

seja, o vetor x = 0 sempre soluo.

Esta soluo chamada de trivial.

66

Exemplo 1

O sistema:

1

0

21

21

xx

xx

incompatvel.

Exemplo 2

O sistema homogneo:

0

0

21

211

xx

xxS determinado,

enquanto que

022

0

21

212

xx

xxS indeterminado.

67

- Sistemas Triangulares

Seja um sistema Sn , com equao matricial A x = b ,onde a matriz A = (a i j) tal que:

Se a i j = 0 para j i; i, j = 1 , 2 , ... , n , tem-se um sistema triangular superior.

{

11 10

0

++

+

12 222 20

++

+

++

+

1 2

====

12

(Todos os elementos abaixo da diagonal principal so iguais a zero)

Se a i j = 0 para j i; i, j = 1 , 2 , ... , n, tem-se um sistema triangular inferior:

{

11 121 1

1 1

++

+

022 2

2 2

++

+

++

+

00

====

12

(Todos os elementos acima da diagonal principal so iguais a zero)

Os sistemas triangulares determinados, isto , quando a i j 0, i = j = 1, 2, ..., n, so facilmente resolvidos por substituio retroativa ou progressiva (sucessiva).

68

Exemplo 3

Calcular a soluo para o sistema triangular inferior usando as substituies sucessivas:

[

2 031

1

564

008

3

0009

] [

1234

] = [

41486

]

Soluo

2 1 = 4 , 1 =4

2 1 = 2

3 1 + 5 2 = 1 , 2 =1 + [3 (2)]

5 2 = 1

1 6 2 + 8 3 = 48 , 3 =48 + [(2) + 6 (1)]

8 3 = 5

1 + 4 2 3 3 + 9 4 = 6 , 4 =6 + [(2) 4 (1) + 3 (5)]

9 3 = 3

Consequentemente, a soluo desse sistema triangular inferior = [2 1 5 3]

{observar que a operao de clculo da varivel de uma linha obedece a um procedimento recorrente:

termo independente menos uma soma de parcelas dos termos restante da linha (entre colchetes)}

69

Exemplo 4

Calcular a soluo para o sistema triangular superior usando as substituies retroativas:

[

5 2000

300

6740

1452

] [

1234

] = [

12288

]

Soluo

2 4 = 8 , 4 =8

2 4 = 4

4 3 + 5 4 = 28 , 3 =28 + [5 (4)]

4 3 = 2

3 2 + 7 3 4 4 = 2 , 2 =2 + [7 (2) + 4 (4)]

3 2 = 0

5 1 2 2 + 6 3 + 4 = 1 , 1 =1 + [2 (0) 6 (2) (4)]

5 1 = 3

Consequentemente, a soluo desse sistema triangular superior = [3 0 2 4]

{observar que a operao de clculo da varivel de uma linha obedece a um procedimento recorrente:

termo independente menos uma soma de parcelas dos termos restante da linha (entre colchetes)}

70

A resoluo do sistema do Exemplo 4 pode ser feita utilizando a recorrncia (retroativa) do

algoritmo abaixo:

Algoritmo {Substituicoes Retroativas}

{Objetivo: Resolver o sistema triangular superior A x = b}

{por meio de substituies retroativas}

{Parmetros de entrada: n, A, b}

{Ordem, matriz triangular superior, vetor independente}

{Parmetros de sada: x}

{soluo da etapa clculos necessrios do sistema triangular superior}

x(n) b(n) / A(n , n)

para I n 1 at 1 passo 1 faa

Soma 0

para J I + 1 at n faa

Soma Soma + A(I , J) * x(J) fim para

x(I) (b(I) Soma) / A(I , I) fim para

Fim algoritmo

71

A resoluo do sistema do Exemplo 3 pode ser feita utilizando a recorrncia (progressiva) do algoritmo

abaixo:

Algoritmo {Substituicoes Sucessivas}

{Objetivo: Resolver o sistema triangular inferior A x = b}

{pelas substituies sucessivas}

{Parmetros de entrada: n, A, b}

{Ordem, matriz triangular inferior e vetor independente}


{soluo da etapa clculos necessrios do sistema triangular inferior}

x(1) b(1) / A(1,1)

para I 2 at n faa

Soma 0

para J 1 at I 1 faa

Soma Soma + A(I , J) * x(J) fim para

x(I) (b(I) Soma)/A(I , I) fim para

Fim algoritmo

72

- Complexidade computacional

A Tabela 2.1 mostra a complexidade computacional do algoritmo "substituies sucessivas".

O clculo do nmero de operaes est baseado na expresso =1 = (+1)

2 aplicada aos

nmeros de operaes de adio, multiplicao e diviso do algoritmo e calculados em funo da ordem

n do sistema linear.

Tabela 2.1 Complexidade do algoritmo de substituies sucessivas para um sistema de ordem n.

Operaes Complexidade

adies 1

2 2 +

1

2 1

multiplicaes 1

2 2

1

2

divises

73

De modo similar, a complexidade computacional do algoritmo de "substituies retroativas" est

mostrado na Tabela 2.2 e so idnticos queles mostrados na Tabela 2.1.

Tabela 2.2 Complexidade do algoritmo de substituies retroativas para um sistema de ordem n.


adies 1

2 2 +

1

2 1

multiplicaes 1

2 2

1

2

divises

74

Exemplo 5

Resolver o sistema triangular inferior do Exemplo 3 usando o algoritmo de substituies sucessivas.

% Os valores de entrada

N = 4

L =

2 0 03 5 01

164

83

0009

c =

41486

% produzem o resultado

X = [2 1 5 3]

75

Exemplo 6

Resolver o sistema triangular superior do Exemplo 4 usando o algoritmo de substituies retroativas.


N = 4

U =

5 2 60 3 700

00

40

1452

d =

12288

% produzem o resultado

X = [3 0 2 4]

76

Sistemas Equivalentes

Dois sistemas de equaes lineares so ditos equivalentes quando possuem o mesmo vetor soluo.

Por exemplo,

{2 1 + 3 21 2

= 8= 1

e {2 1 2 21 + 4 2

= 2= 9

= = [12] ~

onde o smbolo ~ significa equivalncia.

Transformaes Elementares

Denominam-se transformaes elementares s seguintes operaes sobre as equaes de um

sistema linear:

a) Trocar a ordem de duas equaes do sistema.

b) Multiplicar uma equao do sistema por uma constante no nula.

c) Adicionar duas equaes do sistema.

Dois sistemas S1 e S2 sero equivalentes se S2 puder ser obtido de S1 por meio de transformaes

elementares. Neste caso, eles possuiro as mesmas solues.

77

Procedimento:

a) Quando for necessrio permutar, por exemplo,

a 2a equao pela 3a de um sistema de equaes

lineares, devemos representar essa ao assim:

16224

24482

10642

24482

16224

10642

23

zyx

zyx

zyx

L

zyx

zyx

zyx

b) Quando for necessrio multiplicar a 1a

equao, por exemplo, por , devemos

representar essa ao assim:

16224

24482

532

)2

1(

16224

24482

10642 1

zyx

zyx

zyx

L

zyx

zyx

zyx

c) Quando for necessrio substituir a 2a equao,

por exemplo, pela soma dela com a 1a equao,

previamente multiplicada por 2, devemos

representar essa ao assim:

16224

14240

532

2

16224

24482

532

122

zyx

zyx

zyx

LLL

zyx

zyx

zyx

78

O sinal de igualdade da expresso de L2 acima no tem o significado convencional.

Est indicando a substituio a ser feita.

Pode-se verificar que os sistemas mostrados em a), b) e c) so equivalentes, pois apresentam o

mesmo conjunto soluo: x = 2, y = 3 e z = 1.

Os mtodos numricos para resoluo de um sistema linear podem ser divididos em dois grupos:

mtodos diretos e mtodos iterativos.

Mtodos diretos so aqueles que, a menos de erros de arredondamento, fornecem a soluo exata

do sistema linear, caso ela exista, aps um nmero finito de operaes.

Mtodos iterativos geram uma sequncia de vetores {x(k)}, a partir de uma aproximao inicial

x(0). A soluo exata somente ser obtida com um nmero infinito de operaes.

Para certas condies, esta sequncia convergir para a soluo do sistema (x*), caso ela exista.

79

2.2 - Mtodos Diretos

2.2.1 Mtodo de Eliminao de Gauss

O mtodo de eliminao de Gauss consiste em transformar um sistema de equaes lineares em

um sistema triangular superior equivalente por intermdio das transformaes elementares. O nome do

mtodo foi uma homenagem a Gauss. O processo aparece no livro chins Nove Captulos sobre a arte matemtica,

escrito por volta de 250 a. C.

Com (n - 1) passos, um sistema linear A x = b transformado em um sistema triangular

equivalente U x = d o qual se resolve facilmente por substituio.

[ 11 12 1321 22 23311

322

333

1 2

3]

[ 123]

=

[ 123]

~

[ 11 12 130 22 2300

00

330

1 2

3]

[ 123]

=

[ 123]

A transformao tambm pode ser representada por = ~ = .

Assim, a soluo do sistema triangular superior = obtida pelas substituies retroativas. A exatido da soluo pode ser verificada pelo clculo do vetor resduo = , de modo que se = 0 ,

ento a soluo exata.

80

Exemplo 1

Resolver o sistema abaixo pelo mtodo de eliminao de Gauss e verificar a exatido da soluo.

[1 3 2

2 8 14 6 5

] [

123] = [

111529]

Soluo

- Para obtermos a matriz equivalente triangular superior, os elementos da primeira coluna abaixo da

diagonal devem ser eliminados, baseando-se no elemento da diagonal da primeira linha 11 = 1 .

Por essa razo, 11 chamado de elemento piv e a linha que o contm a linha pivotal.

- Para eliminar 21 = 2 , a primeira linha deve ser multiplicada por um fator (21) e somada

segunda linha.

Este fator tal que 21 11 + 21 = 0 21 = 21 11 = (2) 1 = 2 .

- A nova linha 2 ser 2 = (21) 1 + 2 .

Esta operao elementar deve ser efetuada nos dois lados da igualdade.

- Analogamente, para eliminar 31 = 4 , a primeira linha deve ser multiplicada por um fator (31) e

somada terceira linha, com 31 11 + 31 = 0 31 = 31 11 = 4 1 = 4 .

81

- A nova linha 3 ser 3 = (31) 1 + 3 .

- Aps estas duas operaes elementares, o sistema equivalente intermedirio ter os dois elementos

abaixo da diagonal iguais a zero.

[1 3 20 2 30 6 3

] [

123] = [

117

15]

- Para eliminar o elemento da segunda coluna abaixo da diagonal, deve-se usar 22 = 2 como elemento

piv e a segunda linha como pivotal.

- A segunda linha multiplicada pelo fator (32) e somada terceira linha, com:

32 22 + 32

= 0 32 = 32 22

= 6 2 = 3 .

- A nova linha 3 ser 3 = (32) 2

+ 3 , resultando no sistema triangular superior equivalente:

[1 3 20 2 30 0 12

] [

123] = [

117

36]

82

Esta forma de explicitar as transformaes elementares e obter um sistema equivalente triangular

superior pode ser sumarizada no seguinte dispositivo prtico:

L Multiplicador A b Operaes

123

21 = (2) 1 = 2 31 = (4) 1 = 4

1 3 2

2 8 14 6 5

11

1529

45

32 = (6) 2 = 3

0 2 30 6 3

7

15

2 1 + 24 1 + 3

6 0 0 12 36 3 4 + 5

A partir desta tabela, o sistema triangular superior equivalente composto por:

1 (primeira linha pivotal), 4 (segunda linha pivotal) e 6 (ltima linha pivotal).

- Uma vez obtido um sistema equivalente triangular superior, este pode ser resolvido pelas substituies

retroativas.

- A soluo ser: = [2 1 3]

83

- O vetor resduo = deve ser utilizado para verificar a exatido da soluo obtida.

= [11

1529] [

1 3 22 8 14 6 5

] [2

13] = [

000]

- Como o vetor resduo nulo, a soluo exata.

- Deve ser usado o sistema original = para calcular o resduo r e no o triangular equivalente

= .

- Desta forma, poder ser detectado um possvel erro cometido ao se obter o sistema triangular

equivalente.

84

Outra forma de explicitar as transformaes elementares e obter um sistema equivalente triangular

superior pode ser vista no Exemplo 2 a seguir.

Exemplo 2

3) Resolver o sistema linear

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

pelo mtodo de eliminao de Gauss.

1a etapa (eliminar todos os valores abaixo do piv a11(o) = 2)

Escreve-se a matriz aumentada do sistema acima:

bAB |1132

3344

5132

85

Fazendo Bo = B e chamando de L1(o), L2

(o) e L3(o) as linhas 1, 2 e 3, respectivamente, de Bo, escolhe-

se a11(o) como piv e calculam-se os multiplicadores:

12

2

22

4

)(11

)(31)(

31

)(11

)(21)(

21

o

oo

o

oo

a

am

a

am

Fazem-se, agora, as seguintes transformaes elementares sobre as linhas de Bo:

)1(3

)(3

)(1

)(31

)1(2

)(2

)(1

)(21

)1(1

)(1

LLLm

LLLm

LL

ooo

ooo

o

86

L1(1), L2

(1) e L3(1) so linhas da matriz transformada, B1.

Efetuando-se as transformaes acima indicadas tem-se:

6260

7120

5132

1B

2a etapa (eliminar todos os valores abaixo do piv a22(1) = -2)

Escolhe-se a22(1) = -2 como piv e calcula-se o multiplicador

32

6

)1(22

)1(32)1(

32

a

am

So feitas agora as seguintes transformaes elementares sobre as linhas de B1:

87

)2(3

)1(3

)1(2

)1(32

)2(2

)1(2

)2(1

)1(1

LLLm

LL

LL

L1(2), L2

(2) e L3(2) so linhas da matriz transformada, B2, que j est na forma triangular superior:

15500

7120

5132

2B

Que, por sua vez, a matriz aumentada do sistema triangular superior

155

72

532

3

32

321

x

xx

xxx

que equivalente ao sistema dado.

Resolvendo por substituies retroativas tem-se:

3

2

1

x que soluo para o sistema dado.

88

Exemplo 3

Resolver o sistema a baixo pelo mtodo de eliminao de Gauss e verificar a exatido da soluo.

[

1 6 2 43 19 4 151 4 8 125 33 9 3

] [

1234

] = [

8251872

]

Usando o dispositivo prtico, tem-se:

L Multiplicador A b Operaes

1234

21 = (3) 1 = 331 = (1) 1 = 1

41 = (5) 1 = 5

1 6 2 43 19 4 151 4 8 125 33 9 3

8251872

567

32 = (2) 1 = 2

42 = (3) 1 = 3

0 1 2 30 2 6 160 3 1 17

11032

3 1 + 2 1 + 35 1 + 4

89

43 = (5) 2 = 2,5

0 0 2 100 0 5 26

1229

2 5 + 6

3 5 + 7

10 0 0 0 1 1 2,5 8 + 9

89

- A partir desta tabela, o sistema triangular superior equivalente ser composto pelas linhas pivotais 1

(primeira), 5 (segunda), 8 (terceira) e 10 (ltima).

[

1 6 2 40 1 2 30 0 2 100 0 0 1

] [

1234

] = [

81121

]

- Resolvendo por substituies retroativas obtemos = [138 20 11 1]

- O resduo ser de:

= [

8251872

] [

1 6 2 43 19 4 151 4 8 125 33 9 3

] [

13820111

] = [

0000

]

indicando que a soluo exata.

90

Exemplo 4

Resolver pelo mtodo de Gauss retendo, durante os clculos, duas casas decimais.

3,1065,212,130,810,21

8,804,115,230,843,52

7,491,455,118,85,24

4,160,113,90,37,8

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

Soluo

O sistema triangular obtido aps as transformaes :

81,166397,1662

70,38716,39566,7

95,9512,7673,1426,17

4,160,113,90,37,8

4

43

432

4321

x

xx

xxx

xxxx

que, resolvido por substituies retroativas, fornece Tx 00,197,098,197,0_

91

- Determinando o resduo

=

isto ,

594,0

594,0

214,0

042,0

00,1

97,0

98,1

97,0

5,212,130,810,21

4,115,230,843,52

1,455,118,85,24

0,113,90,37,8

3,106

8,80

7,49

4,16

r

r

92

Refinamento de Solues

Ao se trabalhar com clculo aproximado, como no Exemplo 4, cometem-se erros de

arredondamento que podem se propagar, chegando mesmo a comprometer os resultados. Pode-se

minimizar a propagao de tais erros de arredondamento com o uso de tcnicas como a descrita abaixo:

Seja (0) a soluo aproximada para o sistema A x = b.

Ento, a soluo melhorada (1) obtida como se segue:

(1) = (0) + (0)

onde (0) uma parcela de correo.

Logo, se (1) = , ento:

((0) + (0)) =

(0) = (0)

(0) = (0)

93

Assim, para obter a parcela de correo (0) basta que se resolva o sistema linear acima, onde A

a matriz de coeficientes das incgnitas do sistema A x = b e (0) o resduo produzido pela soluo

aproximada (0).

A nova aproximao ser, ento,

(1) = (0) + (0)

Caso se queira uma melhor aproximao, resolve-se, agora, o sistema (1) = (1) , onde (1) a

parcela de correo para (1) e (1) o resduo produzido por (1).

O processo repetido at que se obtenha a preciso desejada.

94

Exemplo 5

Conforme foi visto no Exemplo 4, a soluo aproximada do sistema :

Tx 00,197,098,197,0_

com resduo

Tr 594,0594,0214,0042,0

Fazendo

(1) = (0) + (0) e

= (0)

O clculo da parcela feito pelo sistema

(0) = (0)

que fornece como resultado

To 000,00294,00195,00295,0)(

95

(1) ser, ento, (1) = (0) + (0)

(1) = [

1,0002,000

0,9991,000

] cujo resduo = [

0,0090,0110,0240,013

]

Fazendo (2) = (1) + (1) e

= (1)

tem-se outra parcela de correo fornecida pelo sistema

(1) = (1)

T0000,00007,00002,00002,0)1(

O valor melhorado de x ser:

Tx 000,1000,1000,2000,1)2(

com novo resduo Tr 0000)2(

Este valor indica que se chegou ao resultado do sistema com resduo nulo.

96

Estratgias de Pivoteamento

No mtodo de eliminao de Gauss necessrio o clculo dos multiplicadores em cada etapa do

processo.

O mtodo possui a restrio de o piv ser diferente de zero.

Para se contornar este problema deve-se adotar uma estratgia de pivoteamento, ou seja, adotar um

processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal.

Estratgia de Pivoteamento Parcial

Esta estratgia consiste em:

a) no incio da etapa k da fase de eliminao, escolher para piv o elemento de maior mdulo entre os

coeficientes: )1( k

kia , i = k, k+1, ..., n;

b) trocar as linhas k e i se for necessrio.

A pivotao parcial garante que o piv seja no nulo, exceto quando a matriz for singular.

Outra vantagem que todos os multiplicadores satisfazem 1 1.

Multiplicadores grandes podem ampliar os erros de arredondamento.

97

Exemplo 6

Seja uma etapa de aplicao do mtodo de Gauss:

n = 4 e k = 2

150420

77530

63010

51123

)1()1( bA

Incio da etapa 2:

a) escolher piv: 33)1(

32)1(

24,3,2

pivaamxi

i

98

b) trocar linhas 2 e 3

Assim,

150420

63010

77530

51123

)1()1( bA

e os multiplicadores desta etapa sero:

m32 = -1/3 e m42 = -2/3

99

Estratgia de Pivoteamento Completo

Esta estratgia consiste em:

a) no incio da etapa k da fase de eliminao, escolher para piv o elemento de maior mdulo entre

todos os elementos que ainda atuam no processo de eliminao:

max |)1( k

jia | = |)1( k

sra | piv = )1( k

sra ; i, j k

b) trocar as colunas k e s e depois as linhas k e r se for necessrio.

Observamos que, no Exemplo 6, se fosse adotada esta estratgia, o piv da etapa 2 seria 7)1(

34a , o

que acarretaria a troca das colunas 2 e 4, em seguida, das linhas 2 e 3, de onde:

152400

61030

73570

52113

)1()1( bA

OBS: lembrar que, sempre que ocorrer uma troca de colunas na matriz aumentada, os elementos

do vetor soluo sofrero troca simultnea e correspondente.

100

2.2.2 Mtodo de Eliminao Gauss-Jordan

O Mtodo de Gauss-Jordan consiste em modificar as eliminaes do Mtodo de Gauss para anular,

em cada eliminao k, elementos abaixo e acima da diagonal principal.

As eliminaes so feitas atravs de transformaes elementares sobre as equaes do sistema

linear dado at que se obtenha um sistema diagonal equivalente.

Este sistema diagonal pode ser solucionado diretamente.

101

Exemplo 7

Processo de eliminao de Gauss-Jordan aplicado a um sistema:

133

122

3

2

1

)1(

)2(

1

0

4

111

112

211

LLL

LLL

x

x

x

233

211

3

2

1

)3/2(

)3/1(

5

8

4

320

530

211

LLL

LLL

x

x

x

322

311

3

2

1

)15(

)1(

3/1

8

3/4

3/100

530

3/101

LLL

LLL

x

x

x

3/1

3

1

3/100

030

001

3

2

1

x

x

x

cuja soluo Tx 111*

102

2.2.3 Mtodo de Decomposio LU

Uma matriz quadrada pode ser escrita como o produto de duas matrizes, por exemplo:

10

34

12

01

58

34.

Assim, neste mtodo, a matriz A ser fatorada tal que A = L U, onde L uma matriz triangular

inferior (Lower) unitria ( = 1 , ) e U uma matriz triangular superior (Upper).

Deste modo, para resolver o sistema A x = b, usa-se a matriz A na forma decomposta:

= =

Fazendo = , ento =

A soluo y, do sistema triangular inferior L y = b, obtida por substituies sucessivas com li i = 1

por que L uma matriz unitria.

O vetor y utilizado como termo independente no sistema triangular superior U x = y, cuja soluo

x calculada por substituies retroativas.

103

Esquema prtico para a decomposio LU

Uma matriz A pode ser fatorada usando-se o mtodo de eliminao de Gauss.

A matriz triangular superior U a mesma do mtodo de Gauss e a matriz triangular inferior

unitria L, alm de = 1 , = 0 , < , possui = , > , sendo os multiplicadores

usados no processo de eliminao de Gauss.

Considerando um sistema 3X3 teremos:

= [1 0 0

21 1 031 32 1

] e = [

11 12 130 22 230 0 33

]

[

11 12 1321 22 2331 32 33

] = [1 0 0

21 1 031 32 1

] [

11 12 130 22 230 0 33

]

Pode ser verificada a igualdade = em um exemplo numrico.

104

Exemplo 1

Resolver o sistema do Exemplo 1 (seo 2.2.1.1) usando a decomposio LU.

[1 3 2

2 8 14 6 5

] [

123] = [

111529]

Soluo

Usando o dispositivo prtico similar ao da eliminao de Gauss, tem-se:

L Multiplicador A Operaes

123

21 = (2) 1 = 2 31 = (4) 1 = 4

1 3 2

2 8 14 6 5

45

32 = (6) 2 = 3

0 2 30 6 3

2 1 + 2

4 1 + 3

6 0 0 12 3 4 + 5

105

A partir do dispositivo, obtm-se as duas matrizes

= [1 0 0

2 1 04 3 1

] e = [1 3 20 2 30 0 12

]

Pode ser verificada a igualdade = .

[1 3 2

2 8 14 6 5

] = [1 0 0

2 1 04 3 1

] [1 3 20 2 30 0 12

]

A soluo do sistema = calculada pelas substituies sucessivas:

[1 0 0

2 1 04 3 1

] [

123] = [

111529]

O vetor soluo desse sistema = [11 7 36]

106

A soluo do sistema = , obtida pelas substituies retroativas.

[1 3 20 2 30 0 12

] [

123] = [

117

36]

O vetor soluo desse sistema = [2 1 3] , que, obviamente, o mesmo obtido pelo mtodo de

eliminao de Gauss.

A nica diferena entre os dispositivos prticos da eliminao de Gauss e da decomposio LU a

ausncia da coluna relativa ao vetor b de termos independentes na LU.

Na realidade, efetuar as substituies sucessivas para resolver = na decomposio LU o

mesmo que fazer as operaes elementares em b na eliminao de Gauss.

Desta forma, a soluo de = funciona como uma memria de clculo para ser efetuada sobre

o vetor b.

Isto facilita resolver vrios sistemas lineares com a mesma matriz dos coeficientes, pois a fatorao

da matriz A feita uma nica vez.

107

Pivotao parcial

De modo similar ao mtodo de eliminao de Gauss, a estratgia de pivoteamento parcial deve ser

utilizada na decomposio L U para evitar um piv nulo e que os multiplicadores mi j tenham valores

muito grandes.

Quando o pivoteamento parcial for utilizado, a decomposio ser da forma = ;

onde P uma matriz de permutaes, que ser constituda das linhas de uma matriz identidade I,

colocadas na mesma ordem das linhas pivotais que geram a matriz triangular superior U.

A matriz triangular inferior unitria L formada pelos multiplicadores mi j utilizados na

eliminao. A ordem em que os multiplicadores so atribudos a cada linha de L dada pelos ndices

das linhas pivotais.

Para resolver o sistema A x = b, tem-se:

= = =

Fazendo: = , ento = . A soluo y*, do sistema triangular inferior L y = P b, calculada por substituies sucessivas.

Por sua vez, o vetor y* utilizado como termo independente no sistema triangular superior U x = y,

para obter a soluo x* por substituies retroativas.

108

Exemplo 2

Resolver o sistema do Exemplo 1 usando a decomposio LU com pivotao parcial.

[1 3 2

2 8 14 6 5

] [

123] = [

111529]

Soluo

Utilizando o dispositivo prtico, tem-se:

L Multiplicador A Operaes p

123

11 = (1) 4 = 0,2521 = (2) 4 = 0,5

1 3 22 8 14 6 5

123

45

12 = (1,5) 5 = 0,3

0 1,5 0,750 5 1,5

0,25 3 + 10,5 3 + 2

12

6 0 0 1,2 0,3 5 + 4 1

109

Neste dispositivo, o multiplicador utilizado para eliminar o elemento da posio (i , j), e a coluna

p indica quais so as linhas pivotais determinadas durante a pivotao parcial.

A linha pivotal escolhida para eliminar uma coluna sublinhada e as remanescentes so listadas a

seguir para que se faa a escolha da prxima linha pivotal.

Este processo se repete at restar apenas uma nica linha.

Considerando que L uma matriz triangular inferior unitria, ento ela possui todos os elementos da

diagonal principal iguais a 1 e todos os elementos acima da diagonal iguais a 0.

Cada linha de L constituda pelos multiplicadores relativos a cada uma das linhas pivotais.

Mas deve ser notado que no existe multiplicador associado s linhas coloridas (piv) por que uma

linha pivotal no mais transformada.

Os ndices das linhas pivotais esto no vetor = [3 2 1] , cujos elementos informam como montar

as linhas da matriz L a partir dos multiplicadores .

A linha 1 de L no utiliza multiplicador por que 11 = 1 = 0 > .

110

A linha 2 de L construda com o multiplicador 1 , sendo = (2) = 2 , ou seja, 21 = 21 = 0,5.

A linha 3 de L usa os multiplicadores 1 e 2 , com = (3) = 1, consequentemente,

31 = 11 = 0,25 e 32 = 12 = 0,3.

= [1 0 0

21 1 011 12 1

] = [1 0 0

0,5 1 00,25 0,3 1

]

Por sua vez, a matriz U formada simplesmente pelas linhas pivotais.

A matriz P possui as linhas de uma matriz identidade na ordem das linhas pivotais de p , ou P pode ser

vista como uma matriz similar identidade com as linhas colocadas de modo que os elementos iguais a

1 estejam nas colunas relativas aos ndices das linhas pivotais.

= [4 6 50 5 1,50 0 1,2

] = [0 0 10 1 01 0 0

]

111

O vetor obtido do produto P b formado pelos elementos de b dispostos na ordem das linhas pivotais

contidas em p .

A soluo do sistema = conseguida pelas substituies sucessivas fornecendo o vetor:

[1 0 0

0,5 1 00,25 0,3 1

] [

123] = [

291511]

= [29 0,5 3,6]

A soluo do sistema = obtida pelas substituies retroativas resultando no vetor:

[4 6 50 5 1,50 0 1,2

] [

123] = [

290,53,6]

= [2 1 3]

O vetor resduo :

= = [11

1529] [

1 3 22 8 14 6 5

] [2

13] = [

000] indicando que a soluo x exata.

112

Clculo do Determinante

Considerando que: )det()det( ULAPULAP , ento, )det(

)det()det()det(

P

ULA . Como,

1)det(1

n

iiilL e det() =

=1 ( ) e ainda

tP 1)det( , onde t o

nmero de trocas de linhas necessrias para transformar a matriz de permutaes P em uma matriz

identidade, temos:

n

iii

t uA1

1)det(

113

Exemplo 3

Calcular o determinante da matriz do Exemplo 2.

= [1 3 2

2 8 14 6 5

]

Soluo

Para o clculo do determinante de A pela equao, devemos encontrar o valor de t (o nmero de trocas

de linhas necessrias para transformar a matriz P em uma matriz identidade). Para isso, basta contar

quantas permutaes precisam ser feitas para colocar os ndices das linhas pivotais em ordem crescente.

t Linhas pivotais Comentrio

01

3 2 11 2 3

3 1

Deste modo, = 1 e o determinante, dado pela equao anterior ser:

det() = (1)

3

=1

= (1)1 4 5 1,2 det() = 24

114

Exemplo 4

Resolver o sistema abaixo pela decomposio L U, usando pivotao parcial, e verificar a exatido e a

unicidade da soluo.

[

4 1 0 11 2 1 00 4 4 15 0 5 1

] [

1234

] = [

1234

]

Soluo

Construindo o dispositivo prtico, tem-se:


1234

11 = (4) 5 = 0,821 = (1) 5 = 0,2

31 = (0) 5 = 0

4 1 0 11 2 1 00 4 4 15 0 5 1

1234

567

12 = (1) 4 = 0,25

22 = (2) 4 = 0,5 0 1 4 0,20 2 0 0,20 4 4 1

0,8 4 + 10,2 4 + 2

0 4 + 3

123

89

23 = (2) 5 = 0,4

0 0 5 0,050 0 2 0,7

0,25 7 + 50,5 7 + 6

12

10 0 0 0 0,68 0,4 8 + 9 2

115

O vetor p formado pelos ndices das linhas pivotais, ou seja, = [4 3 1 2].

A linha 1 de L j est pronta, pois 11 = 1 e 1 = 0 > 1 .

A linha 2 de L usa o multiplicador 1 , sendo = (2) = 3 , portanto, 21 = 31 = 0 .

A linha 3 de L construda com os multiplicadores 1 e 2 , com = (3) = 1 , assim,

31 = 11 = 0,8 e 32 = 12 = 0,25 .

A linha 4 de L utiliza os multiplicadores 1 , 2 e 3 , sendo = (4) = 2 , ou seja,

41 = 21 = 0,2 , 42 = 22 = 0,5 e 43 = 23 = 0,4 .

Logo,

= [

1 0 0 031 1 0 011 12 1 021 22 23 1

] = [

1 0 0 00 1 0 0

0,8 0,25 1 00,2 0,5 0,4 1

]

116

A matriz U obtida pelas linhas pivotais, e a matriz P possui elementos iguais a 1 nas colunas com

ndices das linhas pivotais contidos em p.

= [

5 0 5 10 4 4 10 0 5 0,050 0 0 0,68

] e = [

0 0 0 10 0 1 01 0 0 00 1 0 0

]

O produto da matriz P pelo vetor b equivalente ao vetor obtido pelos elementos de b dispostos na

ordem das linhas pivotais dada em p.

A soluo do sistema = dada pelas substituies sucessivas:

[

1 0 0 00 1 0 0

0,8 0,25 1 00,2 0,5 0,4 1

] [

1234

] = [

431

2

] = [

43

2,953,12

]

A soluo do sistema = obtida pelas substituies retroativas:

[

5 0 5 10 4 4 10 0 5 0,050 0 0 0,68

] [

1234

] = [

43

2,953,12

] = [

0,66170,94120,5441

4,5882

]

117

A quase exatido da soluo verificada pelo vetor resduo = que, para este caso,

= [0,0002 0,0000 0,0002 0,0002] .

A unicidade da soluo confirmada por intermdio do clculo do determinante.

Para isto, necessrio encontrar t , contando quantas permutaes precisam ser feitas para colocar os

ndices das linhas pivotais em ordem crescente.

t Linhas pivotais Comentrio

0123

4 3 1 21 3 4 21 2 4 31 2 3 4

4 1 3 2 4 3

Assim, = 3 e o determinante, dado pela equao geral ser:

det() = (1)

3

=1

det() = (1)3 5 4 5 0,68 0

118

Nmero de solues de um Sistema

O determinante da matriz dos coeficientes A, de um sistema linear = , define o nmero de

solues de um sistema. H trs situaes possveis:

a) nica soluo

1 + 2 = 31 2 = 1

[1 11 1

] [12] = [

31] det() 0 = [1 2]

O fato do det() 0 resulta que o sistema admite uma nica soluo.

Geometricamente, a soluo de um sistema linear de ordem n um ponto no comum aos n

hiperplanos descritos por cada uma das n equaes, ou seja, o ponto que satisfaz, simultaneamente, a

todas as equaes. Por exemplo, a soluo de

[1 3 2

2 8 120 5 3

] [

123] = [

221265

]

o vetor = [5 1 10].

O vetor soluo x a interseo dos trs planos descritos por cada uma das trs equaes E1 , E2 e

E3 acima, conforme mostrado na Figura 2.1.

Neste caso, com det() = 251 0 , os trs planos se interceptam em um nico ponto no 3.

119

b) Infinitas solues

1 + 2 = 22 1 + 2 2 = 4

[1 12 2

] [12] = [

24] det() = 0 = [ (2 )]

Como det() = 0 , o sistema admite infinitas solues, uma para cada valor de .

A Figura 2.2(a) exibe a representao geomtrica dos planos descritos por

[1 3 2

2 8 11 5 1

] [

123] = [

221210].

Neste sistema, com det() = 0, os trs planos se interceptam em uma linha reta descrita por

= [(70 6,5 ) (16 1,5 ) ]. Assim, para cada valor de obtm-se uma soluo do sistema.

120

c) Sem soluo

1 + 2 = 11 + 2 = 1

[1 11 1

] [12] = [

11] det() = 0

Se det() = 0 , o sistema pode tambm no ter soluo. A Figura 2.2(b) mostra que os planos descritos por

[1 3 2

2 8 11 5 1

] [

123] = [

201080]

(com det() = 0) no tm nenhum ponto em comum, ou seja, o sistema acima no admite soluo.

Deste modo, conclui-se que, se det() 0, o sistema possui uma nica soluo, e, se det() = 0, ou o

sistema tem infinitas solues ou nenhuma.

121

Exemplo 5

Resolver os sistemas = e = usando decomposio L U com pivotao parcial, sendo:

= [1 3 2

2 8 11 5 1

] , = [22

1210] e = [

201080] .

Soluo

Utilizando o dispositivo prtico, tem-se:


123

11 = 1 (2) = 0,5

31 = (1) (2) = 0,5

1 3 2

2 8 11 5 1

123

45

32 = (1) 1 = 1

0 1 1,50 1 1,5

0,5 2 + 1

0,5 2 + 3

13

6 0 0 0 4 + 5 3

Assim, os trs fatores so:

= [1 0 0

0,5 1 00,5 1 1

] , = [2 8 10 1 1,50 0 0

] e = [0 1 01 0 00 0 1

] .

122

- Sistema = :

A soluo do sistema = obtida pelas substituies sucessivas:

[1 0 0

0,5 1 00,5 1 1

] [

123] = [

122210] = [

12160]


[2 8 10 1 1,50 0 0

] [

123] = [

12160]

A terceira linha do sistema acima tem como equao equivalente 0 3 = 0. Logo, esta equao

verdadeira para qualquer valor de 3.

Da 2 linha obtemos: 2 + 1,5 3 = 16 2 = 16 1,5 3

Da 1 linha obtemos: 21 + 82 3 = 12 1 =128(161,53)+3

2 1 = 70 6,5 3

Consequentemente, o vetor soluo do sistema = [(70 6,5 3) (16 1,5 3) 3] , ou seja, o

sistema = apresenta infinitas solues, uma para cada valor de 3 .

123

- Sistema = :

A soluo do sistema = obtida pelas substituies sucessivas:

[1 0 0

0,5 1 00,5 1 1

] [

123] = [

102080] = [

101570]


[2 8 10 1 1,50 0 0

] [

123] = [

101570]

A terceira linha do sistema acima tem como equao equivalente (0 3 = 70).

Logo, esta equao no possui soluo, pois no existe um valor de 3 tal que (0 3 = 70).

Assim, o sistema = no tem soluo.

124

Algoritmo para a decomposio L U de uma matriz A , via mtodo de eliminao de Gauss com

pivotao parcial.

Algoritmo Decomposio_LU

{Objetivo: Fazer a decomposio LU de uma matriz A}

{Parmetros de entrada: n, A}

{Ordem, matriz a ser decomposta}

{Parmetros de sada: A, Det, Pivot}

{matriz decomposta A = U + L I, determinante, pivs} {Declarar variveis}

{ ... }

{Iniciar variveis}

{ ... }

{Entrada de Dados}

{ ... }

{ Clculos Necessrios }

para I 1 at N faa

Pivot(I) I fim para

Det 1

para J 1 at (N 1) faa {Escolha do elemento pivot}

P J

Amax abs(A(J , J))

125

para K J + 1 at N faa se abs(A(K , J)) > Amax ento

Amax abs(A(K , J))

P K fim se

fim para

se P J ento {Troca de linhas}

para K at N faa

T A(J , K)

A(J , K) A(P , K)

A(P , K) T fim para

M Pivot(J)

Pivot(J) Pivot(P)

Pivot(P) M

Det Det fim se

Det Det*A(J , J)

se abs(A(J , J)) 0 ento {eliminao de Gauss}

R 1 / A(J , J)

para I J + 1 at N faa

Mult A(I , J) * R

A(I , J) Mult

126

para K J+1 at N faa

A(I , K) A(I , K) Mult * A(J , K) fim para

fim para

fim se

fim para

Det Det * A(N , N) {Separao das matrizes L e U a partir da matriz A modificada}

para I 1 at n faa

para J 1 at n faa se I = J ento

L(I , J) 1 fim se

se I > J ento

L(I , J) A(I , J) seno

U(I , J) A(I , J) fim se

fim para

fim para

{ Sada de dados }

{ ... }

Fim algoritmo

127

Algoritmo modificado das substituies sucessivas, para soluo de = , a partir das matrizes

L e U obtidas com pivotao parcial.

Algoritmo {Substituicoes Sucessivas Pivotal}

{Objetivo: Resolver o sistema triangular inferior = } { pelas substituies sucessivas, com a matriz L}

{ obtida de decomposio LU com pivotao parcial}

{Parmetros de entrada: n, L, b, Pivot}

{Ordem, matriz triangular inferior unitria, }

{vetor independente e posio dos pivs}

{Parmetros de sada: y}

{Declarar variveis}

{ ... }

{Iniciar variveis}

{ ... }

{Entrada de Dados}

{ ... }


{soluo da etapa clculos necessrios do sistema triangular inferior}

K Pivot(1)

Y(1) B(K)

128

para I 2 at N faa

Soma 0

para J 1 at (I 1) faa

Soma Soma + L(I , J) * Y(J) fim para

K Pivot(I)

Y(I) B(K) Soma fim para

{ Sada de dados }

{ ... }

Fim algoritmo

129

Algoritmo das substituies retroativas para soluo de = .

Algoritmo {Substituicoes Retroativas}

{Objetivo: Resolver o sistema triangular superior U x = y}

{por meio de substituies retroativas}

{Parmetros de entrada: n, U, y}

{Ordem, matriz triangular superior, vetor independente}


{soluo da etapa clculos necessrios do sistema triangular superior}

{Declarar variveis}

{ ... }

{Iniciar variveis}

{ ... }

{Entrada de Dados}

{ ... }


X(N) B(N) / U(N , N)

para I (N 1) at 1 passo 1 faa

Soma 0

para J (I + 1) at N faa

Soma Soma + A(I , J) * X(J) fim para

X(I) (B(I) Soma) / U(I , I) fim para

{Sada de dados} { ... }

Fim algoritmo

130

Exemplo 6

Implementar os algoritmos para decomposio L U do Exemplo 4. Resolver o sistema e comparar os

resultados intermedirios com os valores obtidos na soluo algbrica.

Soluo


N = 4

= [

4 1 0 11 2 1 00 4 4 15 0 5 1

]

% produzem os resultados pela decomposio LU

= [

5.0000 0 5.0000 1.00000 4.0000 4.0000 1.0000

0.8000 0.2500 5.0000 0.05000.2000 0.5000 0.4000 0.6800

]

Det = 68.0000

= 4 3 1 2

131

% Vetor de termos independentes:

=

1234

% As substituies sucessivas pivotal produzem:

=

4.00003.00002.95003.1200

% As substituies retroativas resultam em:

=

0.66180.94120.5441

4.5882

132

- Complexidade computacional

A Tabela 2.3 mostra a complexidade computacional do algoritmo decomposio LU. Deve-se

mencionar que foram consideradas as operaes de trocas de sinal e multiplicaes necessrias para o

clculo do determinante.

Tabela 2.3 Complexidade do algoritmo da decomposio LU de uma matriz de ordem n.

(Desconsiderando operaes para o clculo do determinante)


adies 1

3 3

1

22 +

1

6

multiplicaes 1

3 3

1

3

divises 1

OBs.: A complexidade computacional do algoritmo de substituies sucessivas pivotal difere do

anterior somente quanto ao nmero de divises que nulo para o caso pivotal.

133

2.3 Sistemas lineares complexos

Os sistemas de equaes lineares que envolvam nmeros complexos podem ser solucionados pelos

algoritmos apresentados nesta unidade.

Os sistemas so resolvidos tanto pelos algoritmos implementados em uma linguagem de

programao que suporta aritmtica complexa quanto pelos algoritmos implementados com aritmtica

real.

No entanto, para esse ltimo caso, o sistema complexo deve ser previamente transformado em um

sistema real.

Para resolver um sistema complexo usando aritmtica real, faz-se necessria uma transformao.

Seja um sistema complexo = , se

= + = + = +

e i2 = -1.

substituindo na equao matricial de sistemas lineares teremos:

134

=

( + ) ( + ) = ( + )

( ) + ( + ) = +

Como duas entidades complexas so iguais, se forem iguais as suas partes real e imaginria, ento:

{ = + =

As equaes anteriores formam um sistema linear de coeficientes reais, cujas incgnitas so os

vetores e , que pode ser resolvido por qualquer um dos mtodos apresentados anteriormente.

Esse sistema pode ser colocado na seguinte forma matricial:

[

] [] = [

]

135

Exemplo 7

Resolver o sistema abaixo, utilizando os algoritmo "Decomposio_LU" e o algoritmo

"Substituies_Sucessivas_Pivotal" e ainda o "Substituies_Retroativas" implementados em uma

linguagem com aritmtica complexa.

{

(1 + 2 ) 1 + (3 ) 2 + (5) 3 = 10 16 (2 + 3 ) 1 + (1 + ) 2 + (1 ) 3 = 5 + 12

4 1 + (2 ) 2 + (3 2 ) 3 = 9 + 3

temos como soluo:


N = 3

= [

(1 + 2 ) (3 ) (5)(2 + 3 ) (1 + ) (1 )

4 (2 ) (3 2 )]

136


= [4.0000 0 + 2.0000 3.0000 2.0000

0.2500 + 0.5000 1.0000 3.5000 3.2500 1.0000 0.5000 + 0.7500 0.1887 + 0.6604 3.2736 4.2075

]

Det = -72.0000 + 29.0000 i

= 3 1 2


= 10.0000 16.0000 5.0000 + 12.0000 13.0000 + 2.0000


= 13.0000 + 2.0000 7.7500 23.0000

26.6509 + 0.4717

137


= 3.0000 + 4.0000 2.0000 + 0.0000 3.0000 4.0000

O vetor soluo

= [3 + 4 2

3 4 ]

138

Exemplo 8

Resolver o sistema do Exemplo 7, utilizando os mesmos algoritmos anteriores, implementados em uma

linguagem que no tem aritmtica complexa.

Soluo

Por meio da equao [

] [] = [

], o sistema complexo ser resolvido pelo sistema real:

[ 1 0 5 2 3 02 1 1 3 1 14 0 3 0 2 22 3 0 1 0 53 1 1 2 1 10 2 2 4 0 3]

[ 123456]

=

[ 10513

16122]


N = 6

139

=

[ 1 0 5 2 3 02 1 1 3 1 14 0 3 0 2 22 3 0 1 0 53 1 1 2 1 10 2 2 4 0 3]


=

[ 4.0000 0 3.0000 0 2.0000 2.00000.5000 3.0000 1.5000 1.0000 1.0000 4.00000.2500 0 4.2500 2.0000 3.5000 0.50000 0.6667 0.7059 3.2549 3.1373 5.3137

0.7500 0.3333 0.8824 0.1747 5.3735 0.53610.5000 0.3333 0.2353 0.9639 0.7780 6.7545]

Det = 6.0250e+03

= 3 4 1 6 5 2

140


=

10513

16122


=

13.000022.50006.7500

8.23532.1446

27.0179

141


=

3.00002.00003.00004.00000.0000

4.0000

O vetor soluo

= [3 + 4 2

3 4 ]

142

2.4 Mtodos Iterativos

Um mtodo iterativo para resoluo do sistema de equaes lineares = consiste em um

processo que gera, a partir de um vetor inicial 0 , uma sequncia de vetores

{1 , 2 , 3 , , , } que deve convergir para a soluo do sistema.

Existem vrias classes de mtodos iterativos, todavia somente os estacionrios sero estudados

neste texto.

Seja uma matriz M chamada matriz de iterao e c um vetor constante.

Um mtodo iterativo escrito na forma:

+1 = +

dito estacionrio quando a matriz M for fixa, ou seja, quando ela no for alterada durante o processo.

Sero abordados, nesta seo, dois mtodos iterativos estacionrios: Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel.

143

- Condio de Convergncia

O fato de a sequncia de vetores {1 , 2 , 3 , , , } convergir para a soluo do

sistema = garantido pela condio do teorema 2.1.

Teorema 2.1 O mtodo iterativo +1 = + converge com qualquer valor inicial 0 se, e

somente se, () < 1 , sendo () o raio espectral (maior autovalor em mdulo) da matriz de

iterao M.

Porm, a determinao do raio espectral da matriz de iterao () pode requerer maior esforo

computacional que a prpria soluo do sistema = . Por isso, para alguns mtodos iterativos

estacionrios usualmente se utiliza outros critrios para prever a convergncia.

Sero vistos trs mtodos de convergncia neste texto: critrio das linhas; das colunas e de

Sassenfeld.

144

- Critrio de Parada

A cada passo do mtodo iterativo +1 = + a soluo obtida com uma exatido

crescente:

lim

=

O processo deve ser interrompido quando algum critrio de parada for satisfeito, como, por

exemplo,

() =max1|

()

(1)|

max1|()|

< ou

onde a tolerncia e o nmero mximo de iteraes e d a Norma Relativa ;

sendo ()

o i-simo componente do vetor obtido na k-sima iterao.

Assim, dada uma preciso , o vetor ser escolhido como , soluo aproximada da soluo

exata. Entretanto, quando se utiliza aritmtica de ponto flutuante, a exatido no pode ser to grande

quanto se queira, pois est limitada pelo nmero de bytes da mquina utilizada.

145

2.4.1 Mtodo de Gauss-Jacobi.

A forma como o mtodo de Gauss-Jacobi transforma o sistema linear A x = b em +1 = +

est baseado na decomposio da matriz A de modo que:

= + +

onde D uma matriz diagonal e E e F so matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente,

com diagonais nulas.

Logo, o sistema original pode ser escrito na forma:

( + + ) = = ( + ) +

Esta igualdade pode ser convertida em um processo iterativo formando a recorrncia:

+1 = (1( + )) + 1 +1 = +

tal que a matriz = (1( + )) a matriz de iterao do mtodo de Jacobi.

146

Uma forma anloga de deduzir o mtodo de Jacobi consiste em escrever o sistema de equaes

lineares na forma:

{

11 1 + 12 2 + 13 3 + + 1 = 121 1 + 22 2 + 13 3 + + 2 = 231 1 + 32 2 + 33 3 + + 3 = 3

1 1 + 2 2 + 3 3 + + =

e explicitar na i-sima equao.

Escrevendo na forma de iterao, tm-se as chamadas equaes de iteraes do mtodo de Jacobi:

1+1 =

1

11 (12 2

13 3 1

+ 1) ,

2+1 =

1

22 (21 1

23 3 2

+ 2) ,

3+1 =

1

33 (31 1

32 2 3

+ 3) ,

+1 =

1

(1 1

2 2 ,1 1

+ ) ,}

147

ou na forma matricial

[ 1+1

2+1

3+1

+1]

+

=

[ 0

1211

1311

111

2122

0 2322

222

3133

3233

0 333

1

2

,1

0]

[ 1

2

3

]

+

[ 111222333]

Uma das vantagens dos mtodos iterativos que a convergncia independe do valor inicial 0 .

Assim, pode ser usado como 0 ou uma estimativa conhecida, ou um valor qualquer, caso esta no

esteja disponvel.

Usualmente, faz-se 0 = 0 o que implica em se ter como valor inicial real 0 =

.

148

- O algoritmo, a seguir, calcula a soluo de um sistema linear = pelo mtodo iterativo de Gauss-

Jacobi, com critrio de parada dado pela norma relativa () =max1|

()

(1)|

max1|()|

< ou .

- Os parmetros de entrada so:

a ordem n ,

a matriz A ,

o vetor b ,

a tolerncia (como outro critrio de parada) Toler e

o nmero mximo de iteraes IterMax.

- Os parmetros de sada so:

o vetor soluo x ,

o nmero de iteraes gastas Iter e

a condio de erro CondErro para verificar se houve convergncia:

(CondErro = 0 significa que houve convergncia e

CondErro = 1, que no houve).

- Os valores intermedirios do vetor soluo tambm so listados durante a execuo do algoritmo.

149

Algoritmo Gauss-Jacobi

{Objetivo: Resolver o sistema A x = b pelo mtodo iterativo de Jacobi}

{Parmetros de entrada: n, A, b, Toler, IterMax}

{Ordem, matriz, vetor independente,}

{tolerncia e nmero mximo de iteraes}

{Parmetros de sada: x, Iter, CondErro}

{vetor soluo, nmero de iteraes e condio de erro}

{Declarar variveis}

{ ... }

{Iniciar variveis}

{ ... }

{Entrada de Dados}

{ ... }


{ Construo das matrizes para as interaes }

para I 1 at N faa

R 1/A(I , I)

para J 1 at N faa se I J ento A(I , J) A(I , J) * R fim se

fim para

150

B(I) B(I) * R

X(I) B(I) fim para

{ ... }

{Incio do processo iterativo de Jacobi }

NormaRel 100 109 Iter 0 enquanto ((NormaRel > Toler) e (Iter < IterMax)) faa

Iter Iter + 1

para I 1 at N faa

Soma 0

para J 1 at N faa se I J ento Soma Soma + A(I , J) * X(J) fim se

fim para

V(I) B(I) - Soma fim para

NormaNum 0

NormaDen 0

para I 1 at N faa

T ABS(V(I)-X(I))

151

se T > NormaNum ento

NormaNum T fim se

se ABS(V(I)) > NormaDen ento

NormaDen ABS(V(I)) fim se

X(I) V(I) fim para

NormaRel NormaNum/NormaDen { Sada de dados intermediria }

Escreva Iter , X , NormaRel

fim enquanto

se NormaRel Toler ento CondErro 0 seno

CondErro 1 fim se

{ Sada de dados complementar }

{ ... }

Fim algoritmo

152

Exemplo 1

Resolva o sistema linear:

{10 1 + 2 2 + 3 = 71 + 5 2 + 3 = 8

2 1 + 3 2 + 10 3 = 6

pelo mtodo de Gauss-Jacobi com (0) = [0,7 1,6 0,6] = 0,05 .

Soluo

- A montagem do processo iterativo resulta em:

{

1

(+1) =1

10 (2 2

1 3 + 7) = 0 1

() 0,2 2

() 0,1 3

()+ 0,7

2(+1) =

1

5 (1 1

1 3 8) = 0,2 1

()+ 0 2

() 0,2 3

() 1,6

3(+1) =

1

10 (2 1

3 2 + 6) = 0,2 1

() 0,3 2

()+ 0 3

()+ 0,6

153

- Matricialmente teremos +1 = + , onde:

= [0 0,2 0,1

0,2 0 0,20,2 0,3 0

] e = [0,7

1,60,6]

Assim, para (k = 0) teremos:

{

1(1) = 0 1

(0) 0,2 2

(0) 0,1 3

(0)+ 0,7

2(1) = 0,2 1

(0)+ 0 2

(0) 0,2 3

(0) 1,6

3(1) = 0,2 1

(0) 0,3 2

(0)+ 0 3

(0)+ 0,6

{

1(1) = 0 (0,7) 0,2 (1,6) 0,1 (0,6) + 0,7 = 0,96

2(1) = 0,2 (0,7) + 0 (1,6) 0,2 (0,6) 1,6 = 1,86

3(1) = 0,2 (0,7) 0,3 (1,6) + 0 (0,6) + 0,6 = 0,94

ou (1) = (0) + = [0,96

1,860,94

]

154

- Calculando () =max1|

()

(1)|

max1|()|

< teremos:

(1) = |

1(1) 1

(0)

2(1) 2

(0)

3(1) 3

(0)

|

= 0,26

= 0,26

= 0,34

max1

|()

(1)|

max1

|()|

(1) =0,34

1,86= 0,1828 >

Prosseguindo as iteraes, teremos para k = 1:

(2) = (1) + = [0,978

1,9800,966

] (2) =0,12

1,98= 0,0606 >

e para k = 2

(3) = (2) + = [0,9994

1,98880,9984

] (3) =0,0324

1,9888= 0,0163 <

ento, a soluo do sistema linear acima, com erro menor que 0,05, obtida pelo mtodo de Gauss-

Jacobi,

= (3) = [0,9994

1,98880,9984

] .

155

Exemplo 2

Implementar o algoritmo de Gauss-Jacobi e resolver o sistema de equaes com < 105 e

= 50 usando os critrios da Norma Relativa () =

max1|()

(1)|

max1|()|

< e .

[10 3 22 8 11 1 5

] [

123] = [

57204]

Os resultados gerados pelo algoritmo Gauss-Jacobi so:


n = 3

A =

10 3 22 8 11 1 5

e

156

b =

57204

Toler = 1.0000 e-05

IterMax = 50

% produzem os resultados

Solucao de sistema linear pelo metodo de Gauss-Jacobi

Iter x1 x2 x3 NormaRelativa

0 5.70000 2.50000 -0.80000

1 4.79000 0.97500 -2.44000 3.42380e-01

2 4.91950 0.99750 -1.95300 9.89938e-02

3 5.01015 1.02600 -1.98340 1.80933e-02

4 4.99552 0.99954 -2.00723 5.29725e-03

5 4.99869 1.00022 -1.99901 1.64413e-03

157

6 5.00013 1.00045 -1.99978 2.88007e-04

7 4.99991 0.99999 -2.00012 9.12629e-05

8 4.99998 1.00001 -1.99998 2.72243e-05

9 5.00000 1.00001 -2.00000 4.59167e-06

Solucao = 5.00000 1.00001 2.00000

Iter = 9

CondErro = 0

Na implementao do algoritmo foram acrescentadas algumas informaes para facilitar o

entendimento dos resultados. Pelos valores acima,

= (9) = [5,00000 1,00001 2,00000] .

O valor CondErro = 0 indica que a soluo convergiu dentro das condies especificadas pelos

parmetros Toler e IterMax.

158

Exemplo 3

Resolver o sistema pelo mtodo de Gauss-Jacobi com < 103 e = 50 usando os critrios de

Norma Relativa e .

[

5 2 0 11 8 3 20 1 6 11 1 2 9

] [

1234

] = [

61050

]

Soluo

Os resultados gerados pelo algoritmo Gauss-Jacobi so:


n = 4

A =

5 2 0 11 8 3 20 1 6 11 1 2 9

159

e

b =

61050

Toler = 1.0000 e-03

IterMax = 50


Solucao de sistema linear pelo metodo de Gauss-Jacobi

Iter x1 x2 x3 x4 NormaRelativa

0 1.20000 1.25000 -0.83333 0.00000

1 0.70000 0.78750 -1.04167 0.19074 4.80000e-01

2 0.92315 0.72419 -0.99637 0.24120 2.23960e-01

3 0.95856 0.70067 -0.99423 0.19931 4.21369e-02

160

4 0.95960 0.70751 -0.98333 0.19229 1.10879e-02

5 0.95545 0.71323 -0.98330 0.19051 5.81305e-03

6 0.95281 0.71420 -0.98396 0.19160 2.68474e-03

7 0.95264 0.71402 -0.98430 0.19215 5.56291e-04

Solucao = 0.95264 0.71402 0.98430 0.19215

Iter = 7

CondErro = 0

Desse modo, = (7) = [0.95264 0.71402 0.98430 0.19215] .

161

- Critrio das Linhas para Convergncia dos Mtodos Iterativos

Este teorema estabelece uma condio suficiente para a convergncia do mtodo iterativo de

Gauss-Jacobi:

Seja o sistema linear A x = b e seja

=||

=1

/ ||.

Se

= max1

< 1 ,

ento o mtodo de Gauss-Jacobi gera uma sequncia {()} convergente para a soluo do sistema

dado, independentemente da escolha da aproximao inicial, (0).

162

Exemplo 4

Analisando a matriz A do sistema linear do exemplo 1 dessa seo, = [10 2 11 5 12 3 10

] , temos

1 = 2+1

10= 0,3 < 1 ; 2 =

1+1

5= 0,4 < 1 ; 3 =

2+3

10= 0,5 < 1 e ento

= max13

= 0,5 < 1 ,

de onde, pelo critrio das linhas, temos garantia de convergncia para o mtodo de Gauss-Jacobi.

Exemplo 5

Para o sistema linear {1 + 2 = 31 3 2 = 3

, o mtodo de Gauss-Jacobi gera uma sequncia

convergente para a soluo exata = [32

32 ]

.

No entanto, o critrio das linhas no satisfeito, visto que 1 = 1

1= 1 .

Isso mostra que a condio do critrio das linhas apenas suficiente.

163

Exemplo 6

A matriz A do sistema linear {

1 + 3 2 + 3 = 25 1 + 2 2 + 2 3 = 3

6 2 + 8 3 = 6 no satisfaz o critrio das linhas,

pois 1 = 3+1

1= 4 > 1 .

Contudo, se permutarmos a primeira equao com a segunda, teremos o sistema linear

{

5 1 + 2 2 + 2 3 = 31 + 3 2 + 3 = 2

6 2 + 8 3 = 6 que equivalente ao sistema original e a matriz [

5 2 21 3 10 6 8

] ,

deste novo sistema, satisfaz o critrio das linhas.

Assim, conveniente aplicarmos o mtodo de Gauss-Jacobi a esta nova disposio do sistema,

pois desta forma a convergncia estar assegurada.

Concluindo, sempre que o critrio das linhas no for satisfeito, devemos tentar uma permutao de

linhas e/ou colunas de forma a obtermos uma disposio para a qual a matriz dos coeficientes satisfaa

o critrio das linhas. No entanto, nem sempre possvel obter tal disposio, como facilmente

verificamos com o sistema linear do Exemplo 5 dessa seo.

164

- Critrio das Colunas para Convergncia dos Mtodos Iterativos


Gauss-Jacobi:

Seja o sistema linear A x = b e seja

=||

=1

/ ||.

Se

= max1

< 1 ,

ento o mtodo de Gauss-Jacobi gera uma sequncia {()} convergente para a soluo do sistema

dado, independentemente da escolha da aproximao inicial, (0).

Na prtica, so utilizados os critrios de suficincia de convergncia expressos pelos mtodos de

linhas e/ou colunas. Basta que o sistema satisfaa apenas um desses critrios para ter-se convergncia

garantida, independentemente da escolha do vetor inicial.

165

2.4.2. Mtodo de Gauss-Seidel.

Seja o sistema linear A x = b , com a matriz A sendo decomposta tal que = + + , sendo D

uma matriz diagonal e E e F so matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, com

diagonais nulas.

Logo, o sistema original pode ser escrito na forma:

( + + ) = ( + ) = () +

Esta igualdade pode ser convertida em um processo iterativo formando a recorrncia:

+1 = (( + )1()) + ( + )1 +1 = +

Comparando-se a expresso acima com a equao padro dos processos iterativos conclumos que a

matriz = (( + )1()) a matriz de iterao do mtodo de Gauss-Seidel.

166

Uma forma anloga de deduzir o mtodo de Gauss-Seidel consiste em escrever o sistema de

equaes lineares da forma ( + + ) = ( + ) = () + , na forma de

recorrncia:

( + ) +1 = () + () +1 = +1 +

Escrevendo o segundo lado da igualdade da expresso na forma matricial

+1 =

[ 0 0 0 021 0 0 0

1,1 1,2 0 0

,1 ,2 ,1 0]

[ 1+1

2+1

3+1

+1]

+1

[ 0 12 13 10 0 23 2 0 0 0 1,10 0 0 0 ]

[ 1

2

3

]

+

[ 123]

167

Escrevendo na forma de iterao, tm-se as chamadas equaes de iteraes do mtodo de Gauss-

Seidel:

1+1 =

1

11 (12 2

13 3 1

+ 1) ,

2+1 =

1

22 (21 1

+1 23 3 2

+ 2) ,

3+1 =

1

33 (31 1

+1 32 2+1 3

+ 3) ,

+1 =

1

(1 1

+1 2 2+1 ,1 1

+1 + ) ,}

As equaes de iteraes do mtodo de Gauss-Jacobi mostram que +1 calculado usando

somente valores da iterao anterior.

A equao acima mostra que no mtodo de Gauss-Seidel o vetor +1 obtido a partir dos

elementos mais recentes +1, e os valores

.

O vetor inicial 0, para o mtodo de Gauss-Seidel pode ser o mesmo usado pelo Gauss-Jacobi,

dado por 0 =

.

168

- O algoritmo, a seguir, calcula a soluo de um sistema linear = pelo mtodo iterativo de Gauss-

Seidel, com critrio de parada dado pela norma relativa () =max1|

()

(1)|

max1|()|

< ou .

- Os parmetros de entrada so:

a ordem n ,

a matriz A ,

o vetor b ,

a tolerncia (como outro critrio de parada) Toler e

o nmero mximo de iteraes IterMax.

- Os parmetros de sada so:

o vetor soluo x ,

o nmero de iteraes gastas Iter e

a condio de erro CondErro para verificar se houve convergncia

(CondErro = 0 significa que houve convergncia e

CondErro = 1, que no houve).

- Os valores intermedirios do vetor soluo tambm so listados durante a execuo do algoritmo.

169

Algoritmo Gauss-Seidel

{Objetivo: Resolver o sistema A x = b pelo mtodo iterativo de Gauss-Seidel}

{Parmetros de entrada: n, A, b, Toler, IterMax}

{Ordem, matriz, vetor independente,}

{tolerncia e nmero mximo de iteraes}

{Parmetros de sada: x, Iter, CondErro}

{vetor soluo, nmero de iteraes e condio de erro}

{Declarar variveis}

{ ... }

{Iniciar variveis}

{ ... }

{Entrada de Dados}

{ ... }


{ Construo das matrizes para as interaes }

para I 1 at N faa

R 1/A(I , I)

para J 1 at N faa se I J ento A(I , J) A(I , J) * R fim se

fim para

170

B(I) B(I) * R

X(I) B(I) fim para

{Incio do processo iterativo de Gauss-Seidel }

NormaRel 100 109 Iter 0 enquanto ((NormaRel > Toler) e (Iter < IterMax)) faa

Iter Iter + 1

para I 1 at N faa

Soma 0

para J 1 at N faa se I J ento Soma Soma + A(I , J) * X(J) fim se

fim para

V(I) X(I)

X(I) B(I) Soma fim para

NormaNum 0

NormaDen 0

para I 1 at N faa

T ABS(X(I)-V(I))

171

se T > NormaNum ento

NormaNum T fim se

se ABS(X(I)) > NormaDen ento

NormaDen ABS(X(I)) fim se

fim para

NormaRel NormaNum/NormaDen { Sada de dados intermediria }

Escreva Iter , X , NormaRel

fim enquanto

se NormaRel Toler ento CondErro 0 seno

CondErro 1 fim se

{ Sada de dados complementar }

{ ... }

Fim algoritmo

172

Exemplo 1

Resolva o sistema linear:

{5 1 + 2 + 3 = 53 1 + 4 2 + 3 = 63 1 + 3 2 + 6 3 = 0

pelo mtodo de Gauss-Seidel com (0) = [0 0 0] = 5 102 .

Soluo

- A montagem do processo iterativo resulta em:

{

1(+1) = 1 0,2 2

() 0,2 3

()= 0 1

() 0,2 2

() 0,2 3

()+ 1

2(+1) = 1,5 0,75 1

(+1) 0,25 3()

= 0,75 1(+1)

+ 0 2()

0,25 3()

+ 1,5

3(+1) = 0 0,5 1

(+1) 0,5 2(+1)

= 0,5 1(+1)

0,5 2(+1)

+ 0 3()

+ 0

173

- Matricialmente teremos +1 = + , onde:

= [0 0,2 0,2

0,75 0 0,250,5 0,5 0

] e = [1

1,50]

Assim, para (k = 0) teremos:

{

1(1) = 0 1

(0) 0,2 2

(0) 0,2 3

(0)+ 1

2(1) = 0,75 1

(1)+ 0 2

(0) 0,25 3

(0)+ 1,5

3(1) = 0,5 1

(1) 0,5 2

(1)+ 0 3

(0)+ 0

{

1(1) = 0 (0) 0,2 (0) 0,2 (0) + 1 = 1

2(1) = 0,75 (1) + 0 (0) 0,25 (0) + 1,5 = 0,75

3(1) = 0,5 (1) 0,5 (0,75) + 0 (0) + 0 = 0,875

ou (1) = (0) + = [1

0,750,875

]

174

- Calculando () =max1|

()

(1)|

max1|()|

< teremos:

(1) = |

1(1) 1

(0)

2(1) 2

(0)

3(1) 3

(0)

|

= 1

= 0,75

= 0,875

max1

|()

(1)|

max1

|()|

(1) =1

1= 1 >

Prosseguindo as iteraes, teremos para k = 1:

(2) = (1) + = [0,978

1,9800,966

] (2) =0,12

1,98= 0,0606 >

e para k = 2

(3) = (2) + = [1,00750,9912

0,9993] (3) = 0,0409 <

ento, a soluo do sistema linear acima, com erro menor que 0,05, obtida pelo mtodo de Gauss-

Seidel,

= (3) = [1,00750,9912

0,9993] .

175

Exemplo 2

Implementar o algoritmo de Gauss-Seidel e resolver o sistema de equaes com < 105 e

= 50 usando os critrios da Norma Relativa e .

[10 3 22 8 11 1 5

] [

123] = [

57204]

Os resultados gerados pelo algoritmo Gauss-Seidel so:


n = 3

A =

10 3 22 8 11 1 5

e

176

b =

57204

Toler = 1.0000 e-05

IterMax = 50


Solucao de sistema linear pelo metodo de Gauss-Seidel

Iter x1 x2 x3 NormaRelativa

0 5.70000 2.50000 -0.80000

1 4.79000 1.20250 -1.99850 2.70877e-01

2 4.93955 1.01530 -1.99097 3.78982e-02

3 4.99722 1.00182 -1.99981 1.15396e-02

4 4.99949 1.00015 -1.99993 4.55035e-04

5 4.99997 1.00002 -2.00000 9.55994e-05

6 5.00000 1.00000 -2.00000 5.32440e-06

177

Solucao = 5.00000 1.00000 2.00000

Iter = 6

CondErro = 0

Na implementao do algoritmo foram acrescentadas algumas informaes para facilitar o

entendimento dos resultados. Pelos valores acima,

= (6) = [5,00000 1,00000 2,00000] .

O valor CondErro = 0 indica que a soluo convergiu dentro das condies especificadas pelos

parmetros Toler e IterMax.

178

Exemplo 3

Resolver o sistema pelo mtodo de Gauss-Seidel com < 103 e = 50 usando os critrios de

Norma Relativa e .

[

5 2 0 11 8 3 20 1 6 11 1 2 9

] [

1234

] = [

61050

]

Soluo

Os resultados gerados pelo algoritmo Gauss-Seidel so:


n = 4

A =

5 2 0 11 8 3 20 1 6 11 1 2 9

e

179

b =

61050

Toler = 1.0000 e-03

IterMax = 50


Solucao de sistema linear pelo metodo de Gauss-Seidel

Iter x1 x2 x3 x4 NormaRelativa

0 1.20000 1.25000 -0.83333 0.00000

1 0.70000 0.85000 -0.97500 0.23333 5.12821e-01

2 0.90667 0.71271 -0.99101 0.19867 2.08542e-01

3 0.95465 0.70937 -0.98467 0.19156 4.87314e-02

4 0.95456 0.71354 -0.98418 0.19193 4.22999e-03

5 0.95297 0.71383 -0.98429 0.19216 1.61801e-03

6 0.95290 0.71374 -0.98432 0.19216 9.20739e-05

180

Solucao = 0.95290 0.71374 0.98432 0.19216

Iter = 6

CondErro = 0

Desse modo, = (6) = [0.95290 0.71374 0.98432 0.19216] .

181

- Critrio de Sassenfeld para Convergncia dos Mtodos Iterativos


Gauss-Seidel:

Sejam,

1 =|1|

|11|

=2

e para = 2 , 3 , ,

=[ ||

1=1 + ||

=+1 ]

||

assim,

1 =|12| + |13| + + |1|

|11|

=|1| 1 + |2| 2 ++ |,1| 1 + |,+1| + + ||

||

182

e seja ainda

= max1

{}

Se < 1, ento o mtodo de Gauss-Seidel gera uma sequncia convergente para qualquer (0).

Alm disso, quanto menor for , mais rpida ser a convergncia.

183

Exemplo 4

Seja o sistema linear,

{

1 + 0,5 2 0,1 3 + 0,1 4 = 0,20,2 1 + 2 0,2 3 0,1 4 = 2,6

0,1 1 0,2 2 + 3 + 0,2 4 = 1,00,1 1 + 0,3 2 + 0,2 3 + 4 = 2,5

- para este sistema linear com esta disposio de linhas e colunas, temos:

1 =(0,5 + 0,1 + 0,1)

1 = 0,7

2 =[(0,2)(0,7) + 0,2 + 0,1]

1 = 0,44

3 =[(0,1)(0,7) + (0,2)(0,44) + 0,2]

1 = 0,358

4 =[(0,1)(0,7) + (0,3)(0,44) + (0,2)(0,358)]

1 = 0,2736

- como

= max1

{} = 0,7 < 1

ento temos a garantia de que o mtodo de Gauss-Seidel vai gerar uma sequncia convergente para esse

caso.

184

Exemplo 5

Seja o sistema linear

{

2 1 + 2 + 3 3 = 9

2 + 3 = 1

1 + 3 3 = 3

- com essa disposio de linhas e colunas, temos:

1 =(1 + 3)

2 = 2 > 1

- trocando a 1 equao pela 3, temos:

{

1 + + 3 3 = 3

2 + 3 = 1

2 1 + 2 3 3 = 9

- de onde

1 =(3)

1 = 3 > 1

185

- A partir desta disposio, trocando a 1 coluna pela 3, teremos:

{

3 3 + + 1 = 3

3 2 + = 1

3 3 + 2 2 1 = 9

- Desta forma,

1 =(1)

3 = 1/3

2 =[(1)(1/3) + 0]

1 = 1/3

3 =[(3)(1/3) + (1)(1/3)]

2 = 2/3

- Portanto,

= max1

{} = 2/3 < 1

ento temos a garantia de que o mtodo de Gauss-Seidel vai gerar uma sequncia convergente para essa

disposio da matriz do sistema.

186

Exemplo 6

Seja o sistema:

{1 + 2 = 31 3 2 = 3

- para esse sistema, o mtodo de Gauss-Seidel gera uma sequncia convergente para a soluo.

- Porm,

1 =(1)

1 = 1

2 =[(1)(1)]

3 = 1/3

e, portanto, o critrio de Sassenfeld no satisfeito.

- Logo, o critrio de Sassenfel apenas suficiente.

187

Exemplo 7

Seja o sistema linear:

{3 1 + 3 = 3

1 2 = 13 1 + 2 + 2 3 = 9

- temos

1 = 1 =(1)

3 = 1/3

2 = (1)

1 = 1

- ento, o critrio de linhas no satisfeito.

- no entanto,

2 =[(1)(1/3)]

1 = 1/3

3 =[(3)(1/3) + (1)(1/3)]

2 = 2/3

- portanto, = max1{} = 2/3 < 1 e o critrio de Sassenfeld satisfeito.

188

OBS.:

- Na prtica, so utilizados os critrios de suficincia de convergncia expressos pelos mtodos de

linhas e/ou colunas tanto para o Mtodo de Gauss-Jacobi quanto para o Mtodo de Gauss-Seidel.

- Em funo das caractersticas da matriz de um sistema de equaes lineares pode ocorrer de um

mtodo iterativo convergir e outro no.

- Em geral, basta que um sistema satisfaa apenas um dos trs critrios para ter-se convergncia

garantida, independentemente da escolha do vetor inicial.

189

Exemplo 8

Calcular as tenses dos ns do circuito eltrico resistivo da Figura abaixo.

Soluo

- Pela lei de Kirchhoff, a soma das correntes que passam em cada n do circuito nula.

- Pela lei de Ohm, a corrente eltrica que flui do n j para o n k de um circuito =

, sendo

e as tenses nos ns j e k, respectivamente, e a resistncia no ramo jk.

- A corrente I expressa em ampres e a resistncia R, em ohms.

- As duas leis combinadas permitem o clculo da tenso em cada n do circuito.

190

- No n 1, pela lei de Kirchhoff, 1 + 21 + 31 + 41 = 0 .

- Usando a lei de Ohm,

01

1+21

1+31

2+41

2= 0 6 1 + 2 2 + 3 + 4 = 0 .

- Determinando as equaes dos ns 2, 3 e 4, constri-se um sistema de equaes lineares.

- O vetor soluo fornece a tenso em cada n do circuito eltrico

[

6 2 1 13 4 1 03 2 13 61 0 2 3

] [

1234

] = [

00

2540

]

- Resolvendo o sistema linear A V = b, formado pelas equaes dos ns 1, 2, 3 e 4, usando

decomposio L U com pivotao parcial obtm-se as tenses em cada n do circuito.

191


N = 4

= [

6 2 1 13 4 1 03 2 13 61 0 2 3

]


= [

6.0000 2.0000 1.0000 1.00000.5000 3.0000 1.5000 0.50000.5000 1.0000 11.0000 7.0000

0.1667000 0.1111 0.2121 1.2929

]

Det = 256.0000

= 1 2 3 4


=

00

2540

192


=

00

254.000053.8788


=

25.796931.750049.609441.6719

As tenses em cada n do circuito eltrico dado so

1 = 25,80 , 2 = 31,75 , 3 = 49,61 4 = 41,67 .

193

Exemplo 9

Equilibrar a equao qumica

4 +2 4 + 2 2 4 + 4 + 3 + 2

Soluo

- O balanceamento de uma equao qumica baseado na lei de conservao da massa de Lavoisier:

Em um sistema qumico isolado, a massa permanece constante, quaisquer que sejam as transformaes

que nele se processem.

- A lei de Lavoisier tambm pode ser expressa na forma:

Em uma reao qumica, a soma das massas dos reagentes igual soma das massas dos produtos

resultantes.

- Conclui-se, ento, que os elementos tm que estar nos dois membros da equao em igual quantidade.

194

- Um mtodo algbrico de balanceamento consiste em atribuir coeficientes literais s substncias que

aparecem na equao, os quais constituem as incgnitas.

- Aplicando a lei de Lavoisier e comparando os elementos membro a membro, constri-se um sistema

de equaes algbricas lineares onde as incgnitas so os coeficientes estequiomtricos da reao

qumica.

- Se houver mais incgnitas do que equaes, ento se atribui um valor arbitrrio a uma delas.

- Portanto, teremos para a equao dada:

1 4 + 2 2 4 + 3 2 4 2 4 + 5 4 + 6 3 + 7 2

- Considerando cada elemento da equao:

: 1 = 2 4

: 1 = 5

: 4 1 + 4 2 + 2 3 = 4 4 + 4 5 + 3 6 + 7

: 2 2 = 2 7

: 2 = 4 + 5

195

: 3 = 6

: 3 = 6

- Como as duas ltimas expresses so iguais, elimina-se uma delas.

- Deste modo, tem-se um sistema linear com 6 equaes e 7 incgnitas.

- Atribuindo um valor arbitrrio a uma delas, por exemplo, 7 = 1, obtm-se o seguinte sistema linear

de ordem 6:

[ 1 0 0 2 0 01 0 0 0 1 04 4 2 4 4 30 2 0 0 0 00 1 0 1 1 00 0 1 0 0 1]

[ 123456]

=

[ 001200]

196

- Resolvendo o sistema linear A x = b usando decomposio L U com pivotao parcial obteremos os

coeficientes estequiomtricos .


N = 6

=

[ 1 0 0 2 0 01 0 0 0 1 04 4 2 4 4 30 2 0 0 0 00 1 0 1 1 00 0 1 0 0 1]


=

[ 4.0000 4.0000 2.0000 4.0000 4.0000 3.0000

0 2.0000 0 0 0 00 0 1.0000 0 0 1.0000

0.2500 0.5000 0.5000 1.0000 0 0.25000 0.5000 0 1.0000 1.0000 0.2500

0.2500 0.5000 0.5000 1.0000 1.0000 0.7500]

Det = 6

= 3 4 6 2 5 1

197


=

001200


=

1.00002.0000

00.7500

0.25001.2500


=

0.66671.00001.66670.33330.66671.6667

198

- Os coeficientes estequiomtricos so obtidos pela soluo do sistema acrescido de 7 = 1. Logo,

= [0.6667 1.0000 1.6667 0.3333 0.6667 1.6667 1]

- Analisando os resultados:

Usualmente, os coeficientes estequiomtricos so expressos como nmeros inteiros.

Pela regra de Cramer, para obter x, com valores inteiros, basta multiplic-lo pelo determinante de A.

No caso, det(A) = 6, logo,

= [4 6 10 2 4 10 6]

Para mais uma simplificao, divide-se o valor obtido por 2, resultando em:

= [2 3 5 1 2 5 3]

- Portanto, a equao qumica balanceada torna-se:

2 4 + 3 2 4 + 5 2 1 2 4 + 2 4 + 5 3 + 3 2

199

REFERNCIAS

Contedo deste captulo foi compilado de:

CAMPOS FILHO, F. F., Algoritmos Numricos, 2 ed Editora LTC, Rio de Janeiro RJ, 2007.

SPERANDIO D., MENDES, J.T., SILVA, L.H.M., Clculo Numrico: Caractersticas Matemticas

e Computacionais dos Mtodos Numricos, Prentice Hall, So Paulo, 2003.

RUGGIERO, M.A.G. E LOPES, V.L.R., Clculo Numrico - Aspectos Tericos e Computacionais,

Makron 3.

BARROSO, L.C., ET AL., Clculo Numrico (com aplicaes), 2a ed., So Paulo, Editora Harbra,

1987.

unidade 2 - resolucao num sist lineares

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