unidade 1 faculdade católica salesiano - profº. msc. jerry adriane domingos matrizes matrizes
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UNIDADE 1UNIDADE 1
Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos
MATRIZESMATRIZES
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Definição de Matrizes
Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Amxn = [a11 a12 L a1n
a21 a22 L a2n
M M Mam1 am2 K amn
] = [aij]mxn
matriz A de m linhas e n colunas
Elemento da linha ie coluna j
Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna
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Tipos de Matrizes
214
311
221
Matriz quadrada
m = n (x linhas = x colunas)
Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)
Diagonais
Só tem sentido falar de diagonais em matrizes quadradas.
Diagonal principal (i = j) Diagonal secundária = (n + 1 = i + j)
Elementos dadiagonal principal:
1, 1 e 2
Elementos dadiagonal secundária:
2, 1 e 4
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400
210
112
Matriz triangular superior
Matrizes Triangulares
2754
0432
0011
0002
Matriz triangular inferior
500
020
004
Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos.
Lembre-se o ou da matemática não é exclusivo, ou seja, vale também
quando ambos são verdade!
Esta também é uma matriz triangular!
Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares
são quadradas.
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Casos especiais de Matrizes Triangulares.
700
040
002
Matriz diagonal
Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero
Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares são quadradas. Chatice hein!Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos
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Matriz identidade
A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da diagonal principal são todos iguais a um.
100
010
001
Chamamos a matriz acima de I3 (identidade de ordem 3)
No geral, In onde n é a ordem da matriz.
Obs.Todas as Triangulares são quadradas, logo, a diagonal e a identidade são quadradas.
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0000
0000
0000
Matriz nula
Todos os elementos são nulos.
Chamamos a matriz nula de OmxnEntão essa é O3x4
A Matriz nula não precisa ser quadrada!
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Igualdade de Matrizes
Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos correspondentes são iguais.
421
21 3
112
421
21 3
112
Caso ao olhar essas duas matrizes e não ver que elas são iguais, favor procurar o oculista.
=
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Matriz Transposta
3x2 41
30
12
=A
.
431
102
2x3
=At
Matriz A transposta
É formada pela troca de linha por coluna (m x n => n x m )
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Matriz Simétrica Matriz quadrada tal que At = A
2x2 23
31
=A
2x2 23
31
=At
Matriz A transposta
Matriz Antissimétrica Matriz quadrada tal que At = -A
3x3 013
102
320
=A
3x3 013
102
320
=At
=
Os elementos da transposta
são os opostos da original.
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Operações com MatrizesAdição
[1 −14 02 5 ]+[ 0 4
−2 51 0 ] = [1 3
2 53 5 ]
Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B.
É sempre possível somar matrizes?
Não!
Somente quando estas forem de mesma ordem.
+ =
Se liguem, o mesmo vale pra subtração.
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3231
2221
1211
3231
2221
1211
3231
2221
1211
cc
cc
cc
bb
bb
bb
aa
aa
aa +
c11 = a11 + b11 c21 = a21 + b21 c31 = a31 + b31
c12 = a12 + b12 c22 = a22 + b22 c32 = a32 + b32
Regra Pratica Para Soma De Matrizes
A 3 x 2 B 3 x 2 C 3 x 2
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c11 = 2 + (-5) = -3 c21 = 1 + 3 = 4 c31 = -1 + 4 = 3
c12 = 3 + 3 = 6 c22 = 4 + (-2) = 2 c32 = 3 + 1 = 4
3231
2221
1211
cc
cc
cc
14
2-3
35-
31-
41
32 +
Exemplo A B C
3231
2221
1211
cc
cc
cc
43
24
63- =
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Multiplicação por escalar
Multiplicação por escalar ( número real qualquer) multiplicamos todos os elementos da matriz por este número.
31
102 2.
2.3 2.1
2.102.2=
6 2
204=
Matriz A Matriz -2A
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Multiplicação de Matriz por Matriz
CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Am x n
e Bl x p SE O NÚMERO DE COLUNAS da primeira for igual ao NÚMERO DE LINHAS da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p.
2x2
3x2
40
11 .
35
24
12
3x2 3.4153.05.1
2.4142.04.1
1.4121.02.1
+)(+
+)(+
+)(+=
Ihhh... Aqui ..!
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O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11.
O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12.
Em geral AB BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo
Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.
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x
EXEMPLO:
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[2 14 25 3 ]3x2
.[1 −10 4 ]
2x2
75
44
22=2.1 + 1.0 2.(-1) + 1.4
4.1 + 2.0 4.(-1) + 2.45.1 + 3.0 5.(-1) + 3.4
Observe, multiplicamos
ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o
primeiro elemento da linha com o
primeiro da coluna e por aí vai...
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Exemplos para resolver
1) Seja A =
143201
e seja B =
012
411
Calcule A + B.
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2) Seja A =
143201 e seja B =
012
411 .
Calcule A – B.
20
3) Calcule o produto das matrizes:
205312
.021102321
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4) A matriz A de ordem 2 x 3 definida por , .i ja i j é dada por:
a)
321642
b)
1242621
c)
642321
d)
321111
e)
321642
21
5) Determine x, y e z para que A + B = C
143
50234113
2023 y
zax
. A B C
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6) Dadas as matrizes
654321
A
102231
B
calcule a matriz A – Bt é:
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Matriz INVERSA
nIAA 1.
Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = I.
Calcule a inversa da matriz A =
Resolvendo os sistemas temos a matriz inversa de A.Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos
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Exercício.
Use a definição para calcular a inversa da matriz
A =
3121
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