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Determinantes

UNIDAD 6

Prof. Rosa De Peña

1

Algebra Superior Rosa De Peña & Tulio Mateo

Determinantes

Unidad 6

Índice

6.1 Definición y notación de determinante…………………………………………………..2 6.2 Cálculo de un determinante de segundo orden……………………………………… ..2 6.3 Regla de Sarrus para calcular el valor de un determinante de tercer orden……….3 6.4 Propiedades de los determinantes……………………………………………………….3 6.5 Menor complementario……………………………………………………………………4 6.6 Cofactor o Adjunto………………………………………………………………………….4 6.7 Desarrollo de determinantes por los elementos de una línea………………….……5 6.8 Método para calcular un determinante de orden 3n …………………………........ 6 6.9 Método pivotal o de Chío para calcular determinantes de cualquier orden…………6 6.10 Multiplicación de determinantes. Determinante del producto de matrices………….9 6.11 Matriz de los cofactores…………………………………………………………………10 6.12 Matriz adjunta……………………………………………………………………………10 6.13 Matriz inversa de una matriz cuadrada………………………………………………10 6.14 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales usando la regla de Cramer.. ..13 6.15 Ejemplos………………………………………………………………………………..…16 Practica Propuesta No.1. Unidad 6…………………………………………………………..17 Practica Propuesta No. 2. Unidad 6………………………………………………………….21 Cuestionario Unidad 6…………………………………………………………………………26 Bibliografía Consultada ………………………….……………………………………………27

2


Determinantes

Unidad 6

6.1 Determinantes

Un determinante asociado a una matriz cuadrada de orden ""n en donde ""n es cualquier número

entero y positivo, se representa con un arreglo cuadrado de 2n elementos, dispuestos en ""n

columnas y ""n filas colocados entre barras verticales. Su valor viene dado por la suma algebraica

de todos los posibles productos distintos, cada uno con ""n factores, que pueden formarse al tomar

un elemento, y solamente uno, de cada columna y de cada fila. Estos productos van precedidos de

los signos más o menos según que presenten un número par o impar de inversiones. El producto

formado con los elementos de la diagonal principal no tiene inversiones y está precedido por el

signo más, llamándosele término principal.

6.2 Calculo de un determinante de segundo orden: 1221

22

11baba

ba

baA

Calculo de un determinante de tercer orden:

123312231213132321

333

222

111

cbacbacbacbacbacba

cba

cba

cba

B

Cada término del desarrollo es el producto de tres literales escritos en orden alfabético, diciendo

que se trata de su orden natural. Los términos difieren unos de otros solamente en el orden de los

subíndices 3,2,1 los cuales pueden permutarse en 6!3 formas diferentes. Los subíndices del

primer término del desarrollo son 3,2,1 , ordenados según su magnitud, este orden se llama el orden

normal. Cuando un subíndice mayor precede a uno menor, se dice que definen una inversión. El

primer término 321 cba , formado con los elementos de la diagonal principal, no tiene inversiones.

3


Determinantes

Unidad 6

6.3 Regla de Sarrus para calcular el valor de un Determinante de Tercer Orden

Un modo sencillo de determinar el valor de un determinante de tercer orden es aplicando la Regla de

Sarrus. La regla consiste en repetir debajo de la última fila, las dos primeras filas del determinante o en

repetir al lado de la última columna, las dos primeras columnas del determinante. Luego se procede a

trazar tres diagonales de derecha a izquierda y tres de izquierda a derecha que incluyan siempre tres

elementos. Los productos de los elementos que están en las diagonales trazadas de izquierda a derecha

se escriben con su propio signo y los productos de los elementos que están en las diagonales trazadas de

derecha a izquierda con el signo cambiado; produciendo la suma algebraica de dichos productos el valor

del determinante.

6.4 Propiedades de los Determinantes

I. Si todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz cuadrada 𝐴 son nulos, el determinante

0A Esto es así debido a que, como cada término del desarrollo de un determinante contiene un

elemento de esta fila (o columna), entonces todos los términos de la suma serán nulos.

II. Si en un determinante se intercambian las filas por las columnas, el valor del determinante no se

altera.

TAA

A partir de esta propiedad se concluye que cualquier teorema sobre los determinantes que sea válido

para sus filas es también válido para sus columnas

III. Si dos filas (o columnas) de un determinante se intercambian, el valor del determinante cambia de

signo pero conserva su valor absoluto. O sea que si B se obtiene de 𝐴 permutando dos cualesquiera de

sus líneas, entonces AB

IV. Si en un determinante hay dos filas o dos columnas iguales su valor es cero.

V. Si cada elemento de una fila (o columna) de un determinante se multiplica por un mismo escalar ""k

, entonces el nuevo determinante tiene un valor igual a ""k veces el del determinante original.

22

11

12211221

22

11

ba

bakbabakbkabka

bka

bka

De esta propiedad se deduce que si todos los elementos de una fila (o columna) tienen un factor común

""k entonces ""k es un factor del determinante. Este factor común ""k puede eliminarse de cada

elemento de la fila y colocarse como multiplicador frente al determinante resultante.

4


Determinantes

Unidad 6

VI. Si en un determinante los elementos de una fila (o columna), son iguales a los de otra fila (o

columna) multiplicados por un mismo número, su valor es igual a cero.

333

222

111

333

222

111

baa

baa

baa

k

baka

baka

baka

00321321231321321321 kaabaabbaabaaababaak

VII. Si cada elemento de una fila (o columna) de un determinante es igual a la suma de varios

términos, el determinante puede escribirse como la suma de tantos determinantes como términos

tengan los elementos de la fila(o columna) de que se trate.

333

222

111

333

222

111

333

222

111

33333

22222

11111

cbk

cbk

cbk

cbm

cbm

cbm

cba

cba

cba

cbkma

cbkma

cbkma

Ver ejemplo con la diagonal principal 32132132132111 cbkcbmcbacbkma

VIII. Si cada elemento de una fila (o columna) de un determinante se multiplica por el mismo número

""k y el resultado se suma al elemento correspondiente de otra fila (o columna) el valor del

determinante no se altera.

6.5 Menor Complementario

Se llama menor complementario de un elemento de un determinante, al determinante de orden inmediato

inferior que se obtiene al suprimir la fila y la columna a que pertenece dicho elemento.

Ejemplos: Dado:

320

111

203

A Hallar: a) 11M b) 23M c) 32M

a) 11M =32

11

b) 23M =

20

03 c) 32M =

11

23

6.6 Cofactor o Adjunto

Se llama cofactor de un elemento de un determinante al menor complementario de ese elemento,

precedido por el signo más o el signo menos, según que la suma de los números de la fila y la columna a

que pertenece el elemento sea par o impar, respectivamente.

5


Determinantes

Unidad 6

Ejemplos

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A a) 11M =3332

2322

aa

aa b) 21M =

3332

1312

aa

aa

Cofactores: 1111

12

11 1 MM

2121

12

21 1 MM

6.7 Desarrollo de un Determinante por los Elementos de una Línea

El valor de cualquier determinante de orden ""n es igual a la suma de ""n productos cada uno de los

cuales se forma multiplicando cada elemento de una cualquiera de las filas (o columnas) por sus

cofactores correspondientes. Entonces en este caso se dice que el determinante se ha desarrollado con

respecto a los elementos de esta fila o columna.

131312121111 aaaA 131312121111 MaMaMa

Ejemplos

1) Calcular el siguiente determinante con respecto a los elementos de:

302

531

423

A

a) La tercera fila

31

2313

51

430

53

4112

3313 A

17293012102 A

b) La segunda columna.

51

430

32

4313

32

5112

2221

A

178931032 A

6


Determinantes

Unidad 6

6.8 Método para Calcular un Determinante de Cualquier Orden, transformándole

de manera que aparezcan tantos ceros como sea posible en una fila (o columna)

1) Se elige como base una fila (o columna).

2) Se multiplica cada elemento de la fila base (o columna) por un número tal que al sumar el resultado

con el elemento correspondiente de otra fila (o columna), se obtenga por lo menos un elemento

igual a cero.

3) Se repite el paso dos 2 tantas veces como sea necesario hasta obtener un determinante equivalente

en el que todos los elementos de una misma fila (o columna), con excepción de uno, sean ceros.

4) Se desarrolla el determinante obtenido en el paso tres 3 con respecto a la fila (o columna) que tiene

todos sus elementos iguales a cero, con excepción de uno de ellos, obteniendo así un solo

determinante del orden inmediato inferior.

5) Se repite el proceso anterior con el determinante obtenido en el paso cuarto 4 .

6) Se continúa este procedimiento hasta obtener un determinante de orden tres 3 ó dos 2 , que se

calculan como ya hemos indicado.

6.9 Método Pivotal o de Chío para Calcular Determinantes

Consiste en transformar un determinante de orden ""n en otro equivalente anulando todos los elementos

de una fila o columna cualquiera menos uno, en cuyo caso el valor del determinante es el producto del

elemento no nulo por su cofactor. Este es un determinante de orden "1" n , que se transforma por el

mismo método hasta llegar a 1n cuyo valor coincide con el único elemento del determinante.

Desarrollaremos el método para un determinante de cuarto .4to orden. Consideremos el determinante y

elijamos como elemento pivotal el "" 4C que supondremos igual a uno(1) (si "" 4C es diferente de uno)

7


Determinantes

Unidad 6

y por supuesto distinto de cero, dividimos la tercera (3ra.) fila por "" 4C Dividiendo la primera (1ra.),

segunda (2da.) , y tercera (3ra.) columna por ,,, 321 CCC respectivamente, se tiene:

4321

4321

4321

4321

dddd

cccc

bbbb

aaaa

A

4

3

3

2

2

1

1

4

3

3

2

2

1

1

4

3

3

2

2

1

1

321

1111

dc

d

c

d

c

d

bc

b

c

b

c

b

ac

a

c

a

c

a

ccc

Restando la cuarta columna a las restantes, se obtiene:

A

44

3

3

4

2

2

4

1

1

44

3

3

4

2

2

4

1

1

44

3

3

4

2

2

4

1

1

321

1000

ddc

dd

c

dd

c

d

bbc

bb

c

bb

c

b

aac

aa

c

aa

c

a

ccc

Desarrollando este determinante por la tercera fila resulta:

4

3

3

4

2

24

1

1

4

3

3

4

2

24

1

1

4

3

3

4

2

24

1

1

321

431

dc

dd

c

dd

c

d

bc

bb

c

bb

c

b

ac

aa

c

aa

c

a

cccA

Introduciendo el factor en el determinante se obtiene finalmente:

43342411

433422411

433422411

2

1

dcddcddcd

bcbbcbbcb

acaacaaca

A

Se resuelve este determinante de tercer orden usando este mismo procedimiento o empleando la Regla

de Sarrus.

8


Determinantes

Unidad 6

Ejemplo:

Calcular A , empleando el Método Pivotal o de Felice Chiò(matemático italiano).

1315

2213

7642

7331

A Elegir el 32a como elemento pivotal.

2

1

2

31

3

511112

734

3

22

7

2

33

3

1

223

1315

2213

7642

7331

A

112

1210

138

1

1112

0010

12410

1338

2

1

2

11

3

200102

114

3

102

1

2

33

3

8

223

12

11

2

311

3

50010

42

74344

3

2

32

73

2

333

3

1

22323

A

12

2101

12

1103

11

128A

6)6(6362441012103128 A

6A

9


Determinantes

Unidad 6

6.10 Multiplicación de Determinantes. Determinante del Producto de Matrices

Dadas

21

53A

37

02B

A) Resuelva BA

1156 A 606 B

66611 BA

66BA

B) Pruebe BAAB

612

1541

32017221

35035523

37

02

21

53AB

661802461512641612

1541

AB

66AB

Como 66BA y 66AB

Entonces: ABBA

10


Determinantes

Unidad 6

6.11 Matriz de los Cofactores

Sea: ijaA

una matriz cuadrada de orden ""n y "" ij el cofactor o adjunto (menor complementario con su signo)

del elemento "" ija , entonces se llamará Matriz de Cofactores a la matriz formada por los cofactores o

adjuntos de cada uno de sus elementos.

2221

1211

aa

aaA ;

Matrices de los cofactores de

2221

1211

A

6.12 Matriz Adjunta

Sea A una matriz cuadrada de orden ""n , entonces se llamará Matriz Adjunta de A

a la traspuesta de la matriz de los cofactores.

6.13 Inversa de una Matriz Cuadrada A

La inversa de A se obtiene al multiplicar la matriz adjunta de A por el inverso del valor del

determinante de A . De ahí se concluye que la condición necesaria y suficiente para que una matriz

cuadrada A posea inversa es que sea regular, esto es que el determinante sea distinto de cero ( )0A .

La inversa de una matriz regular de orden ""n es única.

Determine la matriz inversa de A, siendo

341

431

321

A

Pasos a seguir para calcular la inversa.

Primero: Hallamos el determinante de A. Si 0A , entonces la matriz posee inversa.

Si el 0A , la matriz considerada no posee inversa.

Determinante de A=

341

431

321

= 41

313

31

412

34

431

11


Determinantes

Unidad 6

2327)1(3)1(27)34(3)43(2169 DetA

2DetA

Segundo: Encontramos la matriz de los cofactores de A

Matriz de cofactores de

333231

232221

131211

A

7169

34

431

11

11

1)43(

31

411

21

12

134

41

311

31

13

6)126(

34

321

12

21

033

31

311

22

22

2)24(

41

211

32

23

198

43

321

13

31

1)34(

41

311

23

32

123

31

211

33

33

Matriz de cofactores de

333231

232221

131211

A

111

206

117

12


Determinantes

Unidad 6

Tercero: Formamos la matriz de los adjuntos

121

101

167

AdjA

Cuarto: Multiplicamos el recíproco del determinante por la matriz de los adjuntos. La matriz

encontrada corresponde a la matriz inversa de A.

2

11

2

12

10

2

12

13

2

7

121

101

167

2

11A

Matriz inversa de A es :

2

11

2

12

10

2

12

13

2

7

1A

Comprobar que : IAA 1

341

431

3211AA

2

11

2

12

10

2

12

13

2

7

=

1AA

2

12

12

12

12

12

7

21

21

21

21

21

27

21

21

21

21

21

27

341130431341

431140331431

321130231321

= 1AA

23

21

23

27

23

21

23

27

23

21

23

27

23032

24032

13031

=

100

010

001

13


Determinantes

Unidad 6

6.14 Regla de Cramer.

Resolución de Sistemas de Igual Número de Ecuaciones que de Incógnitas, con Determinante No

Nulo.

1) 1313212111 kxaxaxa

2323222121 kxaxaxa

3333232131 kxaxaxa

El sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas

Determinante del sistema.

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D

Si se desarrolla D por los elementos de la primera columna, tenemos:

331221111 AaAaAaD

Considerando a 321 ,, AAA cofactores respectivos de 312111 ,, aaa

332211

33323

23222

13121

' AkAkAk

aak

aak

aak

D

1) Multiplicando cada ecuación por el cofactor correspondiente a su primer elemento, tenemos:

3.1) 11313121211111 kAxaAxaAxaA

3.2) 22323222221212 kAxaAxaAxaA

3.3) 33333323231313 kAxaAxaAxaA

Sumando miembro a miembro las igualdades 3.1, 3.2, 3.3:

( 1111 xaA 1212 xaA )1313 xaA ( 2121 xaA 2222 xaA )2323 xaA ( 3131 xaA 3232 xaA )3333 xaA =

332211 KAKAKA

( 111aA 212aA 1313 )xaA ( 121aA 222aA 2323 )xaA ( 131aA 232aA 3333 )xaA =

332211 KAKAKA

Como ( 121aA 222aA )323aA ( 131aA 232aA )333aA = 0

14


Determinantes

Unidad 6

La suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) multiplicados por los

cofactores de otra línea siempre es igual a cero.

Entonces, nos queda que:

( 111aA 212aA 1313 )xaA = 332211 KAKAKA

De donde:

D

D

aAaAaA

KAKAkAx

'

313212111

332211

1

Bajo la hipótesis de que el determinante del sistema es diferente de cero, el sistema admite una y

solamente una solución, la cual viene dada por el cociente entre el determinante de la matriz que se

obtiene de la matriz D del sistema, reemplazando la columna correspondiente a la incógnita que se

investiga por la columna de los términos conocidos ik dividido entre el determinante del sistema.

Ejemplos

A) Resuelva el sistema usando la Regla de Cramer, si es posible.

11423 zyx

5285 zyx

336 zyx

)4815(4)125(2)68(336

854

16

252

13

283

136

285

423

D

0112132146 D

1112

112

112

33

854

13

252

13

2811

133

285

4211

D

x

2112

224

112

36

554

16

2511

13

253

136

255

4113

D

y

15


Determinantes

Unidad 6

3112

336

112

36

8511

36

552

33

583

336

585

1123

D

z

El conjunto solución es: (x, y, z) = ( -1, 2 ,3 )

B) Determine X en cada caso:

1)

321

210

634

43

2

x

Desarrollando los dos determinantes: 21

106

31

203

32

21464 x

)10(6)20(3)43(464 x

4664)1(6)2(3)1(464 x

2464 x Por lo que : 2

1x

2) 0

21

11

12

x

x

x

Desarrollando el determinante: 021

11

1

112

2

1

x

xx

xx

0211222 xxxx 022223 xxxx

010 23 xxxx Igualando cada factor a cero: 0x

012 x 1x 1x 1x

16


Determinantes

Unidad 6

6.15 Ejemplos. Determine X en cada caso:

a)

321

210

634

43

2

x

Desarrollando los dos determinantes: 21

106

31

203

32

21464 x

)10(6)20(3)43(464 x

4664)1(6)2(3)1(464 x

2464 x Por lo que : 2

1x

b) 0

21

11

12

x

x

x

Desarrollando el determinante: 021

11

1

112

2

1

x

xx

xx

0211222 xxxx 022223 xxxx

010 23 xxxx Igualando cada factor a cero: 0x

012 x 1x 1x 1x

17


Determinantes

Unidad 6

AUTONOMA DE SANTO DOMINGO FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230

PRACTICA PROPUESTA No. 1 . UNIDAD 6

Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________

Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________

I. Evaluar el determinante:

0275

4223

5634

3451

A

a) Mediante la primera columna.

b) A partir de la tercera fila.

c) Usando como pivote el elemento aij = a42 = 1.

II. Use las propiedades de los determinantes al evaluar:

1)

0723

4100

1310

1502

A 2)

5612

012

324

B

3)

1908

4506

1302

2104

C 4 )

432

012

005

D

18


Determinantes

Unidad 6

III.

a) Resolver cada sistema BXA . mediante la Regla de Cramer.

b)b.1) Identificar en el sistema BXA . , la matriz “A” de los coeficientes de las incógnitas.

b.2) Determinar la matriz de los cofactores de A: “ ij ” que corresponde a la matriz de los

coeficientes de las incógnitas.

b.3) Halle la inversa 1A de la matriz de los coeficientes de las incógnitas usando determinante.

b.4) En el sistema de la forma: BXA . encuentre la solución “X” efectuando: BAX .1

1) 2) 3)

13

02

722

zyx

zyx

zyx

11528

5323

62

zyx

zyx

zyx

5

363

42

6

wx

wz

wzx

wzyx

IV. Resolver las ecuaciones dadas. Determine X en cada caso

1) 2) 3)

172

501

432

33

212

x

0

806

513

356

x

0

10

154

12

x

x

4) 5)

0

41

51

54

x

x

x

10

25

114

221

131

122

x

x

x

x

x

6) 7) 8)

321

210

654

24

15

x 0

965

712

21

x

0

221

131

122

x

x

x

19


Determinantes

Unidad 6

V. Cada alumno debe realizar los sistemas de ecuaciones indicados

mediante:

A) Cramer

B) Inversa. Usar determinantes al hallar la inversa: 𝑿 = 𝑨−𝟏𝑩

1) 2) 3)

3𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 42𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 8

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 14

4𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 10𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1

5𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 3

4𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 10𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1

5𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 11

4) 5) 6)

2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 184𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 24

3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 4

2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 184𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 24

2𝑥 + 7𝑦 + 12𝑧 = 30

3𝑥 + 6𝑦 − 6𝑧 = 92𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧 = 6

−𝑥 + 16𝑦 − 14𝑧 = −3

7) 8) 9)

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 74𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 4

6𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 20

𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 114𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 4

2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 10

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 74𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 4

2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 0

10) 11) 12)

4𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 63𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 4

5𝑥 − 3𝑦 − 3𝑧 = 5

3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 42𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −3𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 9

4𝑥 − 𝑦 + 4 𝑧 = 22𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 27𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧 = 5

13)

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 02𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 1

−4𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2

20


Determinantes

Unidad 6

VI. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales mediante el uso de la inversa.

Usar excel

15 zyx

342 zyx

3724 zyx

[𝑥𝑦𝑧

] = [1 −1 −52 4 14 2 −7

]

−1

[133

] El conjunto solución es: [𝑥𝑦𝑧

] =?

21


Determinantes

Unidad 6

AUTONOMA DE SANTO DOMINGO FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230

PRACTICA PROPUESTA No. 2. UNIDAD 6

Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________

Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________

Encierre en un círculo la expresión que haga cierto lo que se

plantea en cada caso.

1. Resolver un sistema de ecuaciones lineales que posea igual número de ecuaciones que

incógnitas, con determinante no nulo se realiza mediante:

a) Regla de cramer b) Regla de sarrus c) Menor complementario. d) Cofactor o adjunto.

2. La regla utilizada al resolver un determinante que permite repetir debajo de la última fila, las

dos primeras filas del determinante es:

a) Metodo pivotal. b) Regla de cramer. c) Regla de sarrus. d) Ningunas de las anteriores.

3. A la traspuesta de la matriz de los cofactores se llama matriz :

a) De los cofactores. b) Adjunta. c) Inversa d) Ningunas de las anteriores.

4. A la matriz formada por los adjuntos de cada uno de sus elementos se le llamara:

a) Matriz de los cofactores. b) Matriz adjunta.

c) Multiplicación de determinantes d) Ningunas de las anteriores.

5. ¿Cuál es la solución del sistema dado utilizando la regla de cramer 3x + 2y - 4z = -11

-5x - 8y + 2z = -5

6x + 3y - z = -3

a) (x, y, z) = (-1,2,3) b) (x, y, z) = (1,-2,3) c) (x, y, z) = (3, 4, 2) d) (x, y, z) = (4 , 2, 1)

6. La regla utilizada al resolver un determinante que permite repetir al lado de la última

columna, las dos primeras columnas del determinante es:

a) Regla de sarrus b) Método pivotal. c) Regla de cramer. d) Ningunas de las anteriores.

7. El elemento de orden inmediato inferior que se obtiene al suprimir la fila y la columna a que

pertenece un elemento es:

a)Cofactor o adjunto b) Opuesto c) Menor complementario d) Inverso

8. Cuando al calcular un determinante se transforma en otro equivalente haciendo en una fila

un elemento uno y los restantes cero nos referimos a:

a) Sarrus b) Método Pivotal c) Cramer d) ay b son correctas

22


Determinantes

Unidad 6

9. Un arreglo cuadrado de elementos dispuestos en filas y columnas entre rectas verticales

se denomina:

a) Matriz b) Pivote c) Cofactor d) Determinante

10. Método sencillo para evaluar determinante de orden tres es :

a) Cramer b) Pivotal c) Sarrus d) Ninguna anterior

11. Si un determinante posee una fila cero su valor es:

a) Positivo b) Cero c) Negativo d) Ninguna de las anteriores

12. Si un determinante posee una columna cero su valor es:

a)Positivo b) Cero c) Negativo d) Ninguna de las anteriores

13. Si en un determinante se intercambian filas por columnas su valor :

a)Se altera b) No se altera c) Es nulo d) Ninguna de las anteriores

14. Si en un determinante se intercambian filas entre si su valor es:

a)Imaginario b) Irracional c) Es nulo d) Ninguna de las anteriores

15. Si en un determinante se intercambian columnas entre si su valor es:


16. Si un determinante posee dos columnas iguales su valor es:


17. Si un determinante posee dos filas iguales su valor es:


18. ¿Cuál es el menor complementario de 𝑎22 en la matriz [7 2 30 5 71 3 6

]

a) |7 31 6

| b) |7 30 7

| c) |2 33 6

| d) |7 21 3

|

19. ¿Cuál es el menor complementario de 𝑎23 de la matriz [7 2 30 5 71 3 6

]

𝑎) |7 31 6

| b) |7 30 7

| c) |2 33 6

| d) |7 21 3

|

23


Determinantes

Unidad 6

20. ¿Cuál es el menor complementario de 𝑎32 de la matriz [7 2 30 5 71 3 6

]

𝑎) |7 31 6

| b) |7 30 7

| c) |7 20 5

| d) |7 21 3

|

21. Un determinante se forma de una matriz donde:

a)Todos sus elementos son pares b) Sus elementos son cuadrados de números

c) Número de filas es igual al de columnas d) a y b son correctas

22. Podemos decir que todos los determinantes surgen de una matriz que posee traza puesto que son

matrices:

a) Escalares b) Nulas c) Rectangulares d) Cuadradas

23. Cuando realizamos Intercambio de líneas, producto de un escalar por una línea de un determinante

y/o adición de líneas nos referimos a:

a) Propiedades de los determinantes b) Operaciones en determinantes

c) Característica de un determinante d) Equivalencia

24. Al multiplicar un determinante por otro obtenemos:

a) Un determinante b) Una determinante nulo c) Un escalar d) El rango del determinante

25. Es un arreglo cuadrado de elementos distribuidos en filas y columnas entre barras verticales:

a) Igualdad en determinantes b) Traspuesta c) Notación d) Un determinante

26. Una matriz cuadrada A tal que 𝐴𝑡 = 𝐴 nos genera un determinante:

a) Traspuesto b) Unidad c) Escalar d) Simétrico

27. El producto de dos determinantes de orden 2x3 y 3x3 produce un determinante de orden:

a) 2x3 b) 3x2 c) No es posible d) 3x3

28. El producto de dos determinantes de orden 3x3 y 2x3 producen un determinante de orden:

a) 2x3 b) No es posible c) 3x2 d) 3x3

29. El producto de dos determinante de orden 3 producen :

a) 3x1 b) Un escalar c) 3x3 d) No es posible

30. El producto de dos determinante de orden 3 con una incógnita producen :

a) Una ecuación b) No es posible c) 3x3 d) a y c son verdaderas

31. Para que dos determinantes den la misma evaluación deben ser:

a) Rectangulares b) De igual dimensión c) De cualquier dimensión d) Ninguna Anterior

32. ¿Cuándo un determinante es cuadrado?

a) Si el número de filas difiere al número de columnas

b) Siempre

c) Si el resultado de cualquier operación matricial es igual a 4

d) Si el número de columnas difiere del número de filas

24


Determinantes

Unidad 6

33. Siendo 𝐴 = [4 2 31 5 6

] 𝐵 = [1 2 30 2 4

] entonces /A/ +/B/ =?

a) [3 0 01 3 2

] b) 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑐) [5 4 61 7 10

] d) Ninguna Anterior

34. ¿Cuál de las siguientes matrices tienen un determinante igual a uno?

1) [7 2 30 5 71 3 6

] 2) [1 2 30 5 71 3 6

] 3) [1 2 30 1 70 1 6

] 4) [1 2 30 1 50 0 1

]

a) 2 b) 4 c) 1 d) Ninguna Anterior

35. ¿Cuál de las siguientes matrices tienen un determinante igual a cinco?

1) [1 2 30 1 50 0 5

] 2) [1 2 30 5 71 3 6

] 3) [1 2 30 1 70 0 1

] 4) [1 2 30 0 10 1 7

]

a) 2 b) 4 c) 1 d) Ninguna Anterior

36. Para calcular un determinante de tercer orden se puede usar :

a) Cramer b) Una fila c) Pivote d) a-b-c son correctas

37. Para calcular un determinante de tercer orden se puede usar :

a) Cramer b) Una columna c) Pivote d) a-b-c son correctas

38. El determinante de la matriz [2 48 6

]

a) 20 b) 44 c) -20 d) Ninguna anterior

39. La evaluación de la operación 2|𝐴| siendo la matriz A= [2 48 6

]

a) 88 b) -40 c) 40 d) Ninguna anterior

40. El determinante de la matriz [2 4 61 2 3

−4 5 1] es:

a) 12 b) -12 c) 84 d) 8

41. Cuando se transforma toda una línea en un determinante de orden n en otra equivalente

anulando todos los elementos menos uno que es la unidad estamos aplicando el método:

a) Sarrus b) Pivotal c) Cramer d) Ninguna anterior

25


Determinantes

Unidad 6

42. Cuando se transforma toda una fila en un determinante de orden n en otra equivalente


a) Pivotal b) Sarrus c) Cramer d) Ninguna anterior

43. Cuando se transforma toda una columna en un determinante de orden n en otra equivalente


a) Cramer b) Sarrus c) Pivotal d) Ninguna anterior

44. El método que permite resolver un sistema de solución única que posee igual número de ecuaciones

que de incógnitas con determinante del sistema no nulo se identifica como Método:

a) De Cramer b) Pivotal c) Sarrus d) Ninguna anterior

45. El determinante de la matriz [5 3 21 6 7

−3 4 −1] es:

a) -186 b) 188 c) 186 d) 761

46. Sea la matriz dada A, la inversa de A se obtiene mediante:

a) 1

|𝐴| Matriz adjunta de A b)

1

|𝐴| Matriz cofactores de A c)

1

|𝐴| d) Ninguna anterior

47. Para que se utiliza la regla de Cramer?

a)Resolución de sistemas de igual número de ecuaciones que de incógnitas con determinante no nulo

b) Resolución de sistemas de mayor número de ecuaciones que de incógnitas

c) Resolución de sistemas de igual número de ecuaciones que de incógnitas

d) Ninguna anterior

48. El determinante de la matriz [1 2 31 3 41 4 3

] es:

a) -2 b) 2 c) 6 d) 4

26


Determinantes

Unidad 6

Cuestionario No. 6

Después de leer cada pregunta planteada, indique correctamente la respuesta que

corresponde a cada una.

1. Qué es un determinante?

2. Para qué se utiliza la regla de Sarrus?

3. Enumere dos propiedades que se verifiquen en los determinantes.

4. Cómo se forma el menor complementario?

5. A que se le llama adjunto o cofactor?

6. Cómo se realiza el desarrollo de un determinante mediante una línea?

7. Indique qué es el método Pivotal y para qué se utiliza?

8. Indique cómo se forma la Matriz de los cofactores.

9. Defina Matriz inversa respecto a una matriz dada.

10. Ponga algún ejemplo sobre la aplicación o uso de los determinantes.

Bibliografía Consultada

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Learning Iberoamerica.

Grossman, Stanley I. (1996). Algebra Lineal. (Quinta edición). México: MacGraw-Hill Interamericana.

27


Determinantes

Unidad 6 Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (1999). Algebra y Trigonometria.(Segunda edición actualizada).

Colombia: McGraw-Hill. Interamericana S. A.

Féliz Lebreault, Rubén. (2007). Algebra y Análisis Matricial. (Primera edición). República

Dominicana: Editora Universitaria UASD. Serie Multitexto.

Millar, Charles-Heeren; CERN-Homsby,John. (2006). Matemática. ( Décima edición).

México: Pearson.

Smith, Stanley A.; Charles, Randall I.; Dossey,John A. ; Keedy, Mervin L.; Bittinger, Marvin L. (1998).

Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. (Primera edición). México: Pearson.

Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (2008). Precálculo con avances de Cálculo. (Cuarta edición).

México: McGraw-Hill. Interamericana Editores S. A.

Báez Veras, José Justo; De Peña Olivares, Rosa Cristina.(2010). Manual de Prácticas.

(Décima edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD.

Notas de Cátedra de:

Mateo, Tulio; De Peña, Rosa. (2007). Curso de Algebra Superior.

Navarro Peña, Tomás Darío. (2008).Apuntes de Algebra Superior.

Direcciones electrónicas

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/determinantes_api/index.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Cramer_d3/inicio.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Determinantes_de_orden_3/index.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica) http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Sarrus http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/matrices_jgrb/matrices_intro.htm

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Cramer_d3/inicio.htm

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Cramer_d3/inicio.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Sarrus

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer

unidad6 determinantes_algebra superior_rosa_depena

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