unidad v-yessenia barrera gonzalez

8/8/2019 Unidad v-Yessenia Barrera Gonzalez.

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Instituto Tecnolgico Superior del

Occidente del Estado de Hidalgo.

Unidad V5.1 Mtodo de un solo paso.

5.1.1 Mtodo de Euler.5.1.2 Mtodo de Runge-Kutta

5.2 Mtodos de pasos mltiples.5.3 Sistemas de ecuaciones diferencialesordinarias.5.4 Aplicaciones de las ecuacionesdiferenciales ordinarias.

Nombre de la alumna:

Yessenia Barrera Gonzlez.


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5.1. Mtodo de un solo paso

Los mtodos de un paso son aquellos que empelan una frmula general para resolverecuaciones deferenciales ordinarias

()

Utilizando solo un punto de referencia en el que se encuentra la ecuacin al inicio.

5.1.1 Mtodo de Euler

Una de las tcnicas ms simples para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales es

conocida como Mtodo de Euler o mtodo de las tangentes. Supongamos que queremos

aproximar la solucin del problema de valores iniciales y = f(x, y) para el cual y(x0) = y0. Si h es

un incremento positivo sobre el eje x, entonces, como se muestra en la figura, podemos

encontrar un punto Q(x1, y1) = (x0 + h, y1) sobre la tangente en P (x0, yo) a la curva solucin

desconocida.

De la ecuacin de una recta que pasa por un punto dado, tenemos:

0

00

01

)(y

xhx

yy

;

0

01 yh

yy

o bien001 yhyy

en donde ),( 000 yxfy

Si denotamos x0 + h por x1, entonces el punto Q(x1, y1) ubicado sobre la tangente es una

aproximacin del punto R(x1, y(x1)) que se encuentra sobre la curva solucin. Esto es y1 y(x1).

Por supuesto, la exactitud de la aproximacin depende mucho del tamao del incremento h.

Usualmente debemos elegir el tamao de esta medida de modo que sea razonablemente

pequea.

Suponiendo que h tiene un valor uniforme (constante), podemos obtener una sucesin de

puntos (x1,y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn), que sean aproximaciones de los puntos (x1,y(x1)), (x2,y(x2)), . .

., (xn, y(xn)).

Ahora bien, usando el valor de y2que es la ordenada de un punto sobre una nueva tangente,

tenemos:


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1

12 yh

yy

; o bien

112yhyy es decir ),( 1112 yxfhyy

En general se tiene que:

nnn yhyy

1

),(1 nnnn yxfhyy

En donde xn = x0 + nh.

Ejemplo: Utilice el mtodo de Euler para obtener una aproximacin de y(1.5); a) con h= 0.1 y b)

con h =0.05 para el problema de valor inicialy = 2xy sabiendo que y(1) = 1. Compare con el valor

verdadero de y a partir de la solucin 12

x

ey .

a) f(x, y) = 2xy; x0 = 1; y0 = 1; h = 0.10

y1 = y0 + h(2 x0 y0) = 1 + 0.10 [2 (1) (1) ] = 1.2

y2 = y1 + h(2 x1 y1) = 1.2+ 0.10 [2 (1.1) (1.2) ] = 1.4640.

Ver tabla para los dems valores obtenidos.

Por lo que se obtiene un valor aproximado de

y(1.5) 2.9278.

El valor real es y(1.5) = 3.49034296

Error = 0.562530

Error relativo (%) = 16.12%,

Se reduce considerablemente el error si tomamos h = 0.05. Ver tabla.

N Xn Yn

0 1.00 1.000000

1 1.10 1.200000

2 1.20 1.464000

3 1.30 1.815360

4 1.40 2.287354

5 1.50 2.927813


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y(1.5)=3.173277

Para h = 0.05

Error = 0.317066

Error relativo (%) = 9.084089%

El mtodo de Euler mejorado o frmula de Heun.

La frmula2

),(),( 111

nnnnnn

yxfyxfhyy . . . . . . (A)

donde ),(1 nnnn yxhfyy

se conoce como Frmula de Euler mejorada o Frmula de Heun.

Los valores de f(xn, yn ) y f(xn+1, yn+1) son aproximaciones de la pendiente de la curva en (xn,

y(xn)) y (xn+1,y(x

n+1)) y en consecuencia el cociente 2

),(),( 11 nnnn yxfyxf

puede serinterpretado como una pendiente promedio en el intervalo entre xn, xn+1. Las ecuaciones de (A)

se pueden visualizar fcilmente.

Adems podramos decir que el valor de ),( 0001 yxhfyy predice un valor de y(x1),

mientras que:

2

),(),( 110001

yxfyxfhyy , corrige esta estimacin.

Ejemplo: Utilice el mtodo de Euler mejorado o frmula de Heun para obtener el valor

aproximado de y(1.5) para la solucin de y = 2xy; y(1) = 1, considere: a)h = 0.1 y b)h = 0.05.

N Xn Yn N Xn Yn

0 1.00 1.000000 6 1.30 1.895498

1 1.05 1.100000 7 1.35 2.141913

2 1.10 1.215500 8 1.40 2.431071

3 1.15 1.349205 9 1.45 2.771421

4 1.20 1.504364 10 1.50 3.173277

5 1.25 1.684887


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a) Para n = 0 y h = 0.1 primero calculamosy* = y0 + h(2x0 y0)

= 1 + (0.1) [(2)(1)(1)]

= 1.2

Entonces:2

),(),(1100

01

yxfyxfhyy =

2

221100

0

yxyxhy

2

)2.1)(1.1(2)1)(1(2)1.0(1

y1 = 1.232000, y as sucesivamente, los valores obtenidos se muestran en la tabla.

N Xn Y*

n+1 Yn

0 1.000000 1.000000

1 1.100000 1.200000 1.232000

2 1.200000 1.503040 1.547885

3 1.300000 1.919377 1.983150

4 1.400000 2.498769 2.590787

5 1.500000 3.316208 3.450929

Entonces por el mtodo de Euler mejorado (Frmula de Heun ) el valor de

y(1.5) =3.450929

b) Para n = 0 y h = 0.05 primero calculamosy* = y0 + h(2x0 y0)

= 1 + (0.05) [(2)(1)(1)]

= 1.1


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entonces:2

),(),(1100

01

yxfyxfhyy =

2

221100

0

yxyxhy =

2

)1.1)(05.1(2)1)(1(2)05.0(1

y1 = 1.107750, y as sucesivamente, los valores obtenidos se muestran en la tabla.

N Xn Y*

n+1 Yn n Xn Y*

n+1 Yn

0 1.000000 1.000000 6 1.300000 1.972233 1.990859

1 1.050000 1.100000 1.107750 7 1.350000 2.249671 2.272118

2 1.100000 1.224064 1.233230 8 1.400000 2.578854 2.606006

3 1.150000 1.368886 1.379769 9 1.450000 2.970847 3.003813

4 1.200000 1.538442 1.551412 10 1.500000 3.439366 3.479542

5 1.250000 1.737582 1.753096

En este caso se obtiene un valor aproximado de y(1.5) =3.479542


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5.1.2 Mtodo de Runge-Kutta

La ventaja de los mtodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de Taylor, que estambin un mtodo de un paso, est expresado en el punto (2) anterior; es decir, los mtodosde Runge-Kutta requieren slo de la funcin f(X, Y) y de ninguna derivada, mientras que la seriede Taylor s requiere de la evaluacin de derivadas. Esto hace que, en la prctica, la aplicacinde los mtodos de Runge-Kutta sean ms simples que el uso de la serie de Taylor.

Un mtodo de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

con error del orden de , de uso tan frecuente que en la literatura sobre mtodos numricosse le llama simplemente el Mtodo de Runge-Kutta, se dar a conocer sin demostrar y consiste

en aplicar la ecuacin de recurrencia (12) en donde la funcin est dada por laexpresin:

(16)

en el cual

(17)

La ecuacin (16) se obtiene haciendo un promedio de las cuatro pendientes, k1, k2, k3 y k4 a lacurva integral, en forma semejante a como se procedi con las pendientes de las tangentes T1 y

T2 que dieron lugar a (11)

EJEMPLO

ndice

Resolver
http://luda.azc.uam.mx/curso2/tema7/eqdif02.html#atras#atrashttp://luda.azc.uam.mx/curso2/tema7/eqdif02.html#atras#atrashttp://luda.azc.uam.mx/curso2/tema7/eqdif02.html#atras#atras


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aplicando el mtodo de Runge-Kutta.

SOLUCIN

De la condicin inicial del problema se tiene queX = 0, y Y = 1; adems, h = 0.1. Sustituyendoestos valores en (17) se obtiene:

Llevando estos valores a (16) y el resultante a (12) se obtiene que paraX = 0.1 la solucin delproblema es

Los valores de las ki para este punto obtenido de la solucin, son:


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luego

Continuando de la misma forma se obtiene la solucin que se muestra en la siguiente tabla:

X Y k1 k2 k3 k4

0.0 1.0000 0.5000 0.5516 0.5544 0.6127

0.1 1.0554 0.6126 0.6782 0.6823 0.7575

0.2 1.1236 0.7575 0.8431 0.8494 0.9494

0.3 1.2085 0.9492 1.0647 1.0745 1.2121

0.4 1.3158 1.2119 1.3735 1.3896 1.5872

0.5 1.4545 1.5868 1.8234 1.8517 2.1509


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5.1.2 Mtodo de Pasos Mltiples

Mtodos de paso mltiple: clculo de yi+1 a partir de varios valores de yyi+1 = F(xk;yi,yi-1,yi-2,...)

Desventajas de paso mltiple:*Requieren mtodo auxiliar de clculo de valores de y extra a partir de y0 paracomenzar el clculo

* Cambio de paso de integracin dinmico (una vez iniciado el clculo) complicado: noes adecuado para mtodos de paso adaptativo

Ventajas de paso mltiple:*Suelen dar mismo resultado (error) con menor coste computacional

Son aquellos que utilizan la informacin de varios puntos anteriores para la variabledependiente es las derivadas.

La frmula general para los mtodos de un paso es la siguiente:

()


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5.4 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

En un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, puede ser reducido aun sistema equivalente de primer orden, si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esarazn en este artculo slo se consideran sistemas de ecuaciones de primer orden. Un sistemade ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden escrito en forma explcita es un sistemade ecuaciones de la forma:

Reduccin a un sistema de primer orden

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de orden n con m ecuaciones:

Existe un sistema equivalente de primer orden con a lo sumo (n+1)xm ecuaciones. Para ver estoconsideremos un sistema en que intervienen m funciones incgnitas xi y sus n derivadas, eintroduzcamos un nuevo conjunto de variables yi,k definidos de la siguiente manera:

El sistema de primer orden equivalente en las variables yi,k resulta ser:

Como ejemplo de reduccin de un sistema de ecuaciones diferenciales podemos considerar lasecuaciones de movimiento de la mecnica newtoniana de una partcula que es un sistema desegundo orden con tres ecuaciones:
http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtonianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtoniana


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Si se introducen tres funciones incgnitas nuevas que representan la velocidad, el sistemaanterior se puede reducir a un sistema de primer orden y seis ecuaciones:

Sistemas lineales de coeficientes constantes

Un sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes es un sistema de laforma:

Donde representa el vector de funciones incgnita. La solucin de este sistema vienedada por la exponenciacin de la matriz de coeficientes:

Como ejemplo podemos considerar el siguiente sistema homogneo:
http://es.wikipedia.org/wiki/Exponenciaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Exponenciaci%C3%B3n


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Los valores propios de la matriz son y por tanto la exponenciacin de la matriz dalugar a funciones trigonomtricas al tener parte imaginaria no nula, de hecho, la solucincalculada a partir de la exponenciacin resulta:

Sistemas lineales generales

Un sistema de ecuaciones diferenciales general tiene la forma:

Dnde:

es una funcin vectorial.

es una funcin matricial.

Existencia y unicidad de la solucin

El teorema de Peano-Picard establece mediante una demostracin constructiva la existencia yunicidad de la solucin de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma (*) en

las que tanto la matriz como la funcin sean continuas en un intervalo compacto

. El teorema procede por induccin construyendo una serie de funcionesvectoriales que converge hacia la solucin nica del problema:

Probando que la anterior sucesin es una sucesin de Cauchy y dado que el espacio defunciones vectoriales continuas es completo se sigue existe un nico lmite de dicha solucin.Se puede probar que dicho lmite es precisamente la solucin buscada.

Aunque el teorema prueba la existencia y unicidad, el mtodo constructivo puede no resultar

un mtodo prctico para encontrar una buena aproximacin a la solucin y mucho menos unasolucin analtica.
http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_diferenciales#Equation_.2Ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_compactohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_compactohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_diferenciales#Equation_.2Ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio


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5.4 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

ordinarias

En matemticas, una ecuacin diferencial ordinaria (comnmente abreviada "EDO") es una

relacin que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o ms de susderivadas con respecto a esa variable.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales,las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas reas de estudio como lageometra, mecnica y astronoma, adems de muchas otras aplicaciones.

Se ha dedicado mucho estudio a la resolucin de este tipo de ecuaciones, estando casicompletamente desarrollada la teora para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayora de las

ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayora de los casos nose les puede encontrar una solucin exacta.
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

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