unidad no 2 razones y proporciones

UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ Facultad de Arquitectura

Fundamentos de Matemática 1er. Semestre, Año 2016

“Conoceréis la verdad y la versad os hará libres” Página 1

FACULTAD DE ARQUITECTURA

UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA UNIDAD NUMERO 2

2.1 RAZONES Y PROPORCIONES, MAGNITUDES DIRECTA E INVERSAMENTE PROPORCIONALES

2.2 REGLA DE TRES SIMPLE 2.3 REGLA DE TRES COMPUESTA




2.1 RAZONES Y PROPORCIONES

2.1-Razones:

Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades. Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede un a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente.

a. -Razón aritmética o por diferencia de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.

Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: Separándolas dos cantidades con el signo ― o con un punto (.). Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6―4 ó 6.4 y se lee seis es a cuatro. Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 6―4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.

a- b = 𝑹 Valor de la razón aritmética El antecedente El consecuente Ejemplo No. 1 Calcule el valor de la razón Aritmética entre 5 y 2. Solución:

𝟓 − 𝟐 = 𝟑

La razón Aritmética de 5 y 2 es tres (3). Ejemplo No. 2 Calcule el valor de la razón aritmética de las edades de un padre y su hijo, si son de 30 y 5 años respectivamente. Solución:

30 - 5 = 25 La razón Aritmética es de 25




b. -Razón geométrica o por cociente de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades. Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: En forma de quebrado, separados numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de división EL Antecedente

𝑎

𝑏= 𝐾 valor de razon geometrica

El Consecuente Ejemplo No. 3

Si en un salón de clases tenemos 24 niñas y 18 niños, entonces lo representaremos de alguna de las siguientes formas:

Solución: 24

18=

4

3 o 4:3, y se lee que hay una razón de 4 a 3 o de 4 niñas por cada 3 niños.

Ejemplo No. 4 Represente la razón de las edades entre una madre y su hijo las cuales son de 24 y 4 años respectivamente. Solución:

24/4 = 4/1, 4:1, 4 por 1 Ejemplo No. 5

En una Parqueo tenemos 3 autos azules y 12 autos rojos, utilice razones para expresar la cantidad de autos azules.




Solución:

(3) (12)

3/12 o 3:12 dividendo entre de 3, tendríamos ¼ o 1:4

Es decir 1 carro azul por cada 4 rojos.

2.1.1- PROPORCIONES.

Consiste en la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras:

a/b = c/d o a:b::c:d

Y se lee a esa b como c es a d. Los puntos a y d se llaman extremos y los puntos b y c se llaman medios.

PROPIEDADES.

a.- En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

a×d=b×c

b.- En toda proporción un MEDIO es igual al producto de los eztremos dividido por el otro MEDIO.

b= a×d ͟∕c

c.- En toda proporción un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por el otro EXTREMO.

a=b×c∕d




Ejemplo No. 6

De acuerdo a la siguiente relación: 4*a=8*b, ¿Cuál es el valor de a?

Solución:

Al aplicar propiedades tenemos:𝑎 =8∗𝑏

4

𝑎 = 2𝑏

Ejemplo No. 7

En una fiesta se invitaron a niños y niñas. Si sabemos que acudieron en una proporción de 6 niñas por cada 4 niños, y en la fiesta hay 32 niños ¿Cuántas niñas fueron?

Solución:

x=Numero de niñas

6/4 = x/32

X=6*32/4, X =48 Niñas

2.1.2-Proporción directa y proporción inversa:

Las proporciones pueden expresar relaciones en que el aumento de la cantidad del

antecedente aumenta la cantidad del consecuente. A esta variación se le llama

proporción directa.

En una proporción inversa, el aumento de la cantidad en el antecedente, significa la

disminución de la cantidad en el consecuente.




Ejemplo No. 8

En una mueblería, 6 trabajadores hacen 8 sillones en 4 días. Si queremos saber

cuántos trabajadores se necesitan para construir los 8 sillones en 1, 2 y 3 días,

usaremos una proporción inversa.

Solución: Para determinarla, usaremos el número de trabajadores como cifra antecedente, y el número de días como cifra consecuente: 6:4=

Siguiendo el mismo orden, del otro lado de la igualdad tendremos como antecedente

nuevamente el número de trabajadores, y como consecuente los días que tardarán.

Tendremos algo como lo siguiente:

6:4 = ?:3

6:4 = ?:2

6:4 = ?:1

Para determinar la proporción inversa, multiplicaremos los factores de la razón

conocida, en nuestro ejemplo, 6 y 4, y el resultado lo dividiremos entre el dato

conocido de la segunda razón. Así, en nuestro ejemplo, tendremos:

6 X 4 = 24

24 / 3 = 8

24 / 2 = 12

24 / 1 = 24

Así tendremos las proporciones siguientes:

6:4 = 8:3

6:4 = 12:2

6:4 = 24:1




Con lo que podemos calcular que para producir los 8 sillones en tres días,

necesitamos 8 trabajadores; para fabricarlos en dos días, necesitamos 12

trabajadores, y para hacerlos en 1 día, necesitamos 24 trabajadores.

Ejemplo No. 9

Dos grúas mueven 50 contenedores en hora y media. ¿Cuantas grúas se necesitan para mover los 50 contenedores en media hora?

Solución:

g=# de grúas

2:1.5 =g: 0.5, 2*1.5=g*0.5

2 X 1.5 = 3

3 /0 .5 =g= 6 grúas son necesarias.

2:1.5 = 6:0.5 (dos grúas es a una hora y media, como seis grúas son a

media hora)




2.2-Regla de tres

La regla de tres, es una operación por medio de la cual, se busca el cuarto término de, una proporción, de la cual se conocen los otros tres. La regla de tres puede resolverse por medio de las propiedades de la proporcionalidad o por el método de reducción a la unidad.

a) Simple: La regla de tres es simple, cuando se considera sólo dos magnitudes, las cuales pueden ser directa o inversamente proporcionales.

a.1) Directamente Proporcional

a.2) Inversamente proporcional

Ejemplo No. 10

Un automóvil recorre 240 Km en 3 horas ¿ Cuantos kilómetros habrá recorrido en 2 horas ?

Solución:

Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros.

240 km 3 h

x km 2 h




Ejemplo No. 11

Juan compra 5 sacos de cemento, si 2 sacos de cemento cuestan Q 160.00. ¿Cuánto gasto Juan?

Solución:

Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más sacos de cemento más quetzales.

2 sacos Q160.00

5 sacos x Q

2

5=

160

𝑋

𝑋 =5 ∗ 160

2

X=Q400.00

Ejemplo No. 12

Tres albañiles construyen un muro de concreto en 12 horas, ¿cuánto tardaran en construirlo 6 albañiles?

Solución:

Son magnitudes inversamente proporcionales ya que a más obreros tardaran menos en construir el muro de concreto.




3 Albañiles 12 h

6 Albañiles x h

2.3-Regla de tres Compuesta:

La regla de tres compuesta se caracteriza porque participan más de 2 magnitudes. Las magnitudes que participan en una regla de tres compuesta son: número de obreros, horas diarias, número de días, cantidad de obra, rendimiento, dificultad, numero de raciones, etc. La regla de tres compuesta, tiene por objeto hallar el valor de una de las “n” magnitudes que participan.

Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente.

Como entre magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta.

b.1)Regla de tres directa.




Ejemplo No. 13

9 grifos abiertos durante 10 horas han consumido un total de Q20.00, ¿Cuánto se pagaría por tener 15 grifos abiertos durante 12 horas?

Solución:

A más grifos, más consumo Directa .

A más horas, más consumo Directa .

9 grifos 10 horas Q20.00

15 grifos 12 horas Q.x

X= 𝟐𝟎. 𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟖𝟎. 𝟎𝟎/𝟗𝟎. 𝟎𝟎=Q40.00

b.2) Regla de tres compuesta inversa.

Ejemplo No. 14

5 Albañiles trabajando 6 horas diarias construyen un muro de block en 2 días, ¿Cuánto tardaran 4 Albañiles trabajando 7 horas diarias?




Solución:

A menos Albañiles , más días Inversa .

A más horas, menos días Inversa

5 Albañiles 6 horas 2 días

4 Albañiles 7 horas x días

b.3) Regla de tres compuesta Mixta.

Ejemplo: No. 15

Si 8 albañiles realizan en 9 días trabajando a razón e 6 horas por día un muro de mampostería de piedra de 30 metros ¿Cuantos días necesitarán10 Albañiles trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 metros de muro que faltan?

Solución:

A más obreros, menos días Inversa .

A más horas, menos días Inversa .

A más metros, más días Directa .




8 Albañiles 9 días 6 horas 30 m

10 Albañiles x días 8 horas 50 m

X=9 días




Ejercicios y Problemas Propuestos:

1.-De un ejemplo del uso de Proporciones en la vida diaria.

2.-Si hay 33 vehículos entre automóviles y camionetas y la razón entre ellos es 4:7

¿cuántos automóviles hay?

3.- Si la razón entre dos números es 2:3 y ambos suman 10 ¿Cuáles son los

números?

4.-Martín tiene cinco fichas de carita alegre por cada dos fichas de carita triste. Si tiene 21 fichas en total, entre carita triste y alegre, ¿Cuántas fichas tiene de cada carita?

6 a les y

5.-A un taller de guitarra asisten 30 estudiantes. Si por cada 8 niñas hay 7 niños,

¿cuántos niños y niñas conforman el taller?

6.-De acuerdo con un Panadero los pasteles de cereza perfectos tienen una razón

de 240 cerezas por cada 3 pasteles.

¿Cuántas cerezas necesita El Panadero para hacer 9 pasteles de cereza

perfectos?




7.-En los primeros 3 días de clase, Juan perdió 2 lápices.

Si Juan se mantiene perdiendo lápices a la misma razón durante 60 días de clase,

¿cuántos lápices perderá?

8.-La siguiente igualdad de proporciones ¿es cierta o Falsa?

3

12=

5

35

9.-Completa la siguiente tabla para que las cantidades siguientes sean magnitudes

directamente proporcionales:

10.-Indica si las magnitudes de la siguiente tabla están relacionadas y en caso

afirmativo indica el tipo de relación:

11.-Luigi usa 37.2 Tazas de harina por cada 6 pasteles que hace.

Complete la tabla para averiguar cuántas tazas de harina necesitaría Luigi para

hacer 12 y 18 pasteles.

1,00 3,00 8,00

2,50 3,00

4,00 6,00 2,00 10,00

12,00 8,00 24,00 4,80

37,20

6,00 12,00 18,00




12.-Si 14 lápices cuestan Q30.00 ¿Cuánto costaran 25 Lápices?

13.-Si 2 Galones de gasolina cuestan Q39.00, ¿Cuánto galones se pueden

comprar con Q50.00?

14.-Un automóvil recorre 30 km en un cuarto de hora, ¿Cuántos kilómetros recorrerá

en una hora y media?

15.-En una escuela hay 467 alumnos y el día de hoy faltaron 63. ¿Qué porcentaje

de alumnos estuvo ausente?

16.-Un trabajador gana por jornada de 8 horas Q124.50, si su jornada aumenta en

2.5 horas ¿Cuál será su nuevo salario?

17.-Una vagoneta recorre 40 km en 72 minutos, ¿en cuánto tiempo recorrerá a 68

km?

18.-Una estufa de 4 quemadores ha consumido Q50.00 de gas al estar encendidos

2 de ellos durante 3 horas. ¿Cuál es el precio del gas consumido si se encienden

los 4 quemadores durante el mismo tiempo?

19.- 6 elefantes consumen 345 kilos de heno en una semana, ¿Cuál es el

consumo de 8 elefantes en 10 días?

20.- 5 robots construyen 9 piezas en 4 horas. ¿Cuántas piezas serán fabricadas

por 7 robots trabajando 3 horas?

21.-Dos bombas de agua trabajando 3 horas diarias llenan un tinaco en 2 días. ¿En

cuánto tiempo se llenará el tinaco con 3 bombas trabajando 2 horas diarias?

22.-Un tapial construido con 300 tabiques tiene un largo de 5 metros y una altura

de 3 metros. ¿Qué largo tendría el tapial si se contaran 850 tabiques y tuviera 2.5

metros de altura?




23.-15 Estudiantes de arquitectura de primer ingreso trabajando 8 horas diarias

elaboran 6 planos ¿Cuántos planos se elaboran con 23 estudiantes trabajando 7

horas diarias?

24.- 15 campesinos labran un terreno de 100 m de largo por 40 de ancho en 2 días

¿Cuántos campesinos se necesitan para labrar un terreno de 250 metros de largo

por 70 de ancho en 3 días?

25.- Para pavimentar 2 km de carretera, 50 trabajadores han empleado 20 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán 100 trabajadores trabajando 10 horas al día en construir 6 km más de carretera?




Cuadro de respuestas de Ejercicios y Problemas Propuestos:

No Respuesta1 En el mercado,al relacionar precios

2 12 automoviles y 21 camionetas

3 4 y 6

4 15 fichas carita alegre y 6 de carita triste.

5 14 ninos y 16 ninas

6 720 cerezas

7 40 lapices

8 Falsa

9 1,00 1,20 3,00 8,00

2,50 3,00 7,50 20,00

10 Inversamente proporcinales los productos son 48.00

11 37,20 74,40 111,60

6,00 12,00 18,00

12 Q53,57

13 2,56 Galones

14 180,00 Km.

15 13,49%

16 Q124,72

17 122,40 minutos

18 Q100.00

19 657,51 Kg.

20 9,45 Piezas

21 2,00 Dias

22 11,80 metros de largo

23 8,05 Planos

24 98,43 Campesinos

25 24,00 Dias




Bibliografía.

Allen, R.A. (2004). Álgebra intermedia. México: Pearson Educación. Chamorro,

M.C. (2003). Didáctica de las Matemáticas. México: Pearson Educación.

Ballester Francisco (2012).Ejercicios de Proporcionalidad en secundaria. Didáctica

de las Matemáticas. México.

http://10ejemplos.com/10-ejemplos-de-regla-de-tres-simple

http://10ejemplos.com/10-ejemplos-de-regla-de-tres-compuesta

Glosario.

Magnitud: todo aquello que se puede medir, que se puede representar por un

número y que puede ser estudiado en las ciencias experimentales (que observan,

miden, representan....).

Proporción: relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos

matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en

buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso

particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede

utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.

Proporcionalidad directa: dos magnitudes son directamente proporcionales si al

multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o

dividida) por ese mismo número. Proporcionalidad inversa: dos magnitudes son

inversamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número,

la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número.

Razón: relación entre dos magnitudes (es decir, objetos, personas, estudiantes,

cucharadas, unidades del SI, etc.), generalmente se expresa como "a es a b" o a:b.

Regla de tres: es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres

o más valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de

linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados. La regla de tres más

conocida es la regla de tres simple directa, si bien resulta muy práctico conocer la

regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta, pues son de sencillo

manejo y pueden utilizarse para la resolución de problemas cotidianos de manera

efectiva.

unidad no 2 razones y proporciones

Documents