unidad iv procedimiento general ley de hooke
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RESISTENCIA DE mATERIALESTRANSCRIPT
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Facultad de Ingeniería - UNA
UNIDAD IV
1. Hipótesis Simplificadoras.
2. Procedimiento general de la Mecánica de los sólidos
3. Problemas Principales
4. Diferentes casos de Resistencia.
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Hipótesis simplificadoras
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Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Hipótesis fundamentales de la Resistencia
de Materiales
LEY DE HOOKE
HIPOTESIS DE NAVIER BERNOULLI
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LEY DE ROBERT HOOKE (1676)
Anagrama:
“ceiiinosssttuv”
Latin: “Ut tensio sic Vis”
Traducido:
“Como la deformación así la tensión”
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Anagrama: De Galileo Galilei a Johannes Kepler(Septiembre 1610)
“Haec immatura a me iam frustra leguntur o.y.”
(“En vano estas cosas son leídas pormi, prematuramente, o.y.”)
Clave del anagrama: “Cynthiae figuras aemulaturmater amorum”
(“la madre de los amores imita las figuras de Diana”)
Venus (la madre de los amores) cambia de forma igualque la luna (Diana). Es decir tiene fases como la luna.
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de
dσEtg α
0
0
0
LANG deLey
Hodkinson deLey
BACH deLey
2
ba
ba
Am
LEY DE HOOKE
G.
Tensiones normales Tensiones tangenciales
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=E.
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Coeficiente de Poisson “µ”
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1233
3122
3211
321
1
1
1
1
EE
Eε
Eε
Eε
Eε
Ley de Hooke Generalizada
EJES
PRINCIPALES
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Módulo de Elasticidad Volumétrico
3 .
lidadcompresibi deFactor k
1
oVolumétric dElasticida de Módulo 213
213
21363
ica)hidroestát(Presión
321
mm
321
V
321V
321
Vk
Ek
E
EEE
si
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Ley de Hooke Generalizada (ejes no
principales)
G
G
G
Eε
Eε
Eε
zy
zy
xz
xz
xy
xy
z
y
x
xyz
zxy
zyx
1
1
1
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Deformaciones Térmicas
tE
ε
tE
ε
tE
ε
t
t
εtεεε
t
z
y
x
zyxzxy
Tzyx
.1
.1
.1
n disminució
aumento
0
.
ra temperatudeVariación
xyz
zxy
zyx
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La Ley de Hooke presupone que:
El cuerpo se deforma idealmente
El cuerpo es elástico. Las deformaciones
producidas por cualquier sistema de carga que
se aplica gradualmente, desaparece al dejar de
actuar este (Reversibilidad del proceso de
deformación), del cual se concluye la relación
unívoca entre una determinada tensión con su
deformación.
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zxyzxyzyx
zx
zxyzxyzyx
xz
zxyzxyzyx
xy
zxyzxyzyxz
zxyzxyzyxy
zxyzxyzyxx
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
2
2
2
Ley de Hooke para materiales anisotrópos
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La ley de Hooke generalizada es función lineal homogénea de las seis
deformaciones (lineales y angulares)
“Existiendo una función lineal de deformaciones, son iguales los coeficientes de
cada pareja, que llevan los mismos subíndices cambiados de orden respecto al
guión que los separa por la propiedad de aquellas funciones de ser iguales sus
derivadas cruzadas (Por ejemplo A12= A21)Ñ; y el número de coeficientes se
reduce de 36 a 21.
En los materiales ortotrópicos, es decir que tienen propiedades diferentes según
tres direcciones ortogonales (como por ejemplo la madera) el número de
constantes independientes se reduce a nueve.
En los materiales isotrópicos el número de constantes independientes se reduce
a tres ya que se puede demostrar que : A11= A22= A33; A12= A13= A23; A44= A55=
A66 y además A12= A21; A13= A31; A23= A32
Entonces:
GA
EA
EA
2
1
1141211
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Isotropismo
La tensión normal no produce deformaciones angulares en el mismo sistema de referencia. Esto es las tensiones normales solamente producen deformaciones lineales en sus mismas direcciones.
La tensión tangencial no produce deformaciones lineales en el mismo sistema de referencia. Las tensiones tangenciales producen solamente deformaciones anglaresen el mismo sistema coordenado.
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HIPOTESIS DE NAVIER-BERNOULLI
En el transcurso de la
deformación, la sección
recta de una pieza
permanece:
-Plana
-Idéntica a si misma
-Normal a la fibra media
deformada
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CONDICIÓN DE APLICACIÓN DE LAS LEYES DE
HOOKE Y DE NAVIER
Forma
Cuerpo en forma de barra
Dimensiones de la sección recta del mismo orden de magnitud y pequeñas con respecto a la longitud – 1/10, 1/15
Variación de la sección lenta, contínua
Radio de curvatura grande en relación a las dimensiones de la sección >5.h
Material
Continuo
Homogéneo
Isótropo
Elástico
Fuerzas
Aplicación lenta
Deformaciones locales no permanentes
No debe impedir deformaciones transversales
Debe variar según funciones continuas
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Facultad de Ingeniería - UNA
Procedimiento General de la
Mecánica de los Sólidos
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Método de las Secciones
G x
y
z
x
yQ
N
T
My
Mz
t
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Procedimiento General1º Paso: Relacionar las Cargas con las Fuerzas Internas
a) Expresar las Tensiones en función de las Fuerzas Internas
dAdq
dAdf
i
i
.
.
G x
y
z
x
y
dfl = da
dql = dA
dft
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G x
y
z
x
y
df
Q
N
T
My
Mz
dft
TdA
MzdA
MydA
QdA
NdA
A
y
A
z
A
A
A
..
.
.
.
.
1º Paso: Relacionar las Cargas con las Fuerzas Internas
b) Relacionar las Tensiones con las Fuerzas Internas
dql
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2º Paso: Determinar la ley de distribución de las Tensiones
a) Experimentalmente estudiar la distribución de las tensiones obteniendo
= f (y;z) g = f ( j )
Como se cumple la Hipótesis de Navier
dx
dxx
dx = (A1 + B1y + C1z) dx (a)
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b) Hallar la relación entre tensión y deformación
= f ( ) = f ( )
Si se cumple la Ley de Hooke
= E = G .
c) Expresar la tensión en función de las coordenadas del punto reemplazando
la expresión (a) en (b)
(b)
= E. = E (A1 + B1y + C1z) dx
= f ( y ; z ) = f ( )
d) Expresar las fuerzas internas en función de las coordenadas del punto
etc . .; QdAfNdAzyf
AA
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3er Paso: Obtener las fórmulas de la Tensión en un Punto
en función de las fuerzas internas
a) Se resuelven las ecuaciones del último punto del paso anterior obteniendo:
= f (y ; z ; d ; Fi)
= f (y ; z ; d ; Fi)
S y t ; en función de las coordenadas del punto ( y ; z ) de alguna
Característica Geométrica de la sección y de las fuerzas internas
b) Trazar los diagramas de variación de las tensiones
Tensiones normales Tensiones tangenciales
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Problemas Principales
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Problemas principales
a)Verificación de tensiones
b) Dimensionamiento
a)Verificación de desplazamientos
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Facultad de Ingeniería - UNA
Los diferentes casos de
Resistencia
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Diferentes casos de Resistencia
Estado de Tensión Simple: N
Q
M (My, Mx)
Mt
Resistencia Compuesta: Combinación de dos estados simples
Tensiones Normales: N, M
Tensión Normal con Tangencial: M, T; M, Mt; N, T; N, Mt
Tensiones Tangenciales T, Mt
Tensioens normales en piezas de gran longitud
Combinación de tres estados simples N, T, M
N, T, Mt
N, M, Mt
T, M, Mt
Combinación de cuatro estados simples N, T, M, Mt
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Próxima Clase: Piezas cargadas
axialmente
Fin