unidad ii- relaciones y funciones
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RELACIONES - CONCEPTOS PREVIOS:
Pares Ordenados:Lospares ordenados son entes matemticos que consisten en doselementos, al los cuales se les denomina primera y segunda componente. Es decir:
ba, Donde: a : Primera componenteb : Segunda Componente
TEOREMA N 01: (Igualdad de Componentes):
Dos pares ordenados son iguales si y solo si son iguales sus primeros y segundoscomponentes respectivamente:
db,, cadcba
PRODUCTO CARTESIANO (A x B)
Dados dos conjuntos no vacos A, B se define el PRODUCTO CARTESIANO AxB ,
como el conjunto de pares ordenados:
BbAaAxBbaAxB , BbAaAxBba ,
Nota 1:Si los conjuntos A y B son finitos con m y n elementos respectivamente, entonces elProducto CartesianoA x B tiene m x nelementos.
PROPIEDADES:
P1. No Conmutativa:Si BxAAxBBA
P2. xAAx
P3. Prop. Distributiva:
AxCAxBBxCAx AxCAxBCBAx AxCAxBCBAx DBxCACxDAxB DBxCACxDAxB
P4. Propiedad No Asociatividad:
BxCAxxCAxB P5. Propiedad de Monotona
CBxCAxCBA , Si CxDAxBDByCA
Nota 2:
Si AxB tiene nelementos entonces AxB tiene n2 subconjuntos
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RELACIONES
Definicin:Dados dos conjuntos no vacos A y B, a un conjunto R de pares ordenados se ledenomina RELACION DE A EN B, si es que R es un subconjunto cualquiera de A x B .Se le denomina tambin Relacin Binaria.
AxBRsisoloysiB,enAdeRelacinunaesR
Una Relacin Binaria R, consiste en:a. Un conjunto A ( conjunto de partida)b. Un conjunto B (conjunto de llegada)c. Un enunciado abierto p(x,y), que puede ser verdadero o falso para todo par ordenado.
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACION:
DOMINIO RDom : Se llama dominio de una relacin BAR : al conjunto de todas las
primeras componentes de los pares ordenados de la relacin, entonces:
RyxByAxRDom ,, RyxByRDomx ,
RANGO RRang :
Se llama rango de una relacin BAR : , al conjunto de todas las segundas componentes
de los pares ordenados de la relacin.
RyxAxByRRan ,,
RyxAxRRany , REPRESENTACIN GRFICA DE UNA RELACIN MEDIANTE EL DIAGRAMA DE
VENN
x y
R
A B
Conjunto de Partida
(Dominio)
Conjunto de Llegada(Rango)
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PROPIEDADES:
P1: 2121 RDomRDomRRDom
P2: 2121 RDomRDomRRDom
P3: 2121
RRanRRanRRRan
P4: 2121 RRanRRanRRRan
PROPIEDADESDE LAS RELACIONES BINARIAS:
Dado un conjunto A, para el cual se define una Relacin R en A, con AxAR , se diceque:
1. REFLEXIVA:
R es una relacin reflexiva en A, si: RaaAa ,:
2. SIMTRICA:R es una relacin simtrica en A si se cumple que:
RabRba ,, 3. TRANSITIVA:
R es una relacin es transitiva en un conjunto A, si se cumple:
RcaRcbRba ,,, 4. DE EQUIVALENCIA:R es una relacin de equivalencia si cumple simultneamente las tres condiciones:
Relacin Reflexiva Relacin Simtrica Relacin Transitiva
5. ANTISIMETRICA:R es una relacin antisimtrica si y solo si:
baRabRba ,, 6. DE ORDEN:
R es una relacin de orden, si y solo si verifican las siguientes condiciones R es reflexiva R es antisimtrica R es transitiva
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RELACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES
Dado una relacin R se consideran los valores del Dominio de R, en el eje X, y los valores del
Rango en el eje Y, y luego se van ubicando los puntos en el plano.
Algunas Grficas de Relaciones ms importantes son las siguientes:
01. Relacin de la forma: 0, 2 cbyaxRyxR baxyRyxR 2, ,
tienen por grfica una lnea recta.
02. Relacin de la forma: 0, 222 FEyDxyxRyxR , tiene por
grfica una circunferencia. En forma particular se tiene:
2222, ryxRyxR 2222, rkyhxRyxR
x = a; DR=a RR=R
X
Y
X
Y
y = a ; DR=R RR=a
X
y = ax+bDR=RR=R
X
Y
X
Y
h
k
C(h,k), radio = r
DR= rhrh , RR= rkrk ,
0,0C , radio = rDR=RR= rr,
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03. Relacin de la forma: 0, 222 FEyDxCyAxRyxR ; tiene porgrfica una elipse:
1,2
2
2
22
b
y
a
xRyxR
;
1,2
2
2
22
b
ky
a
hxRyxR
Donde a, es el semieje mayor y b es el semieje menor, y C( h , k) es el centro de la elipse.
04. Relacin de la forma: 0, 222 FEyDxCyAxRyxR ; tienepor grfica una Hiprbola
1,2
2
2
22
b
y
a
xRyxR ;
1,2
2
2
22
b
ky
a
hxRyxR
Donde aes el semieje transverso o real, bes el semieje conjugado o imaginario, C(h,k)
el centro de la hiprbola.
C(h,k);
DR= ahah ,
RR= bkbk ,
0,0C ,DR= aa, RR= bb,
X
Y
b>a, con Y positivoDR = R
RR = ,, bb
a>b, con X positivo
DR = ,, aa
RR = R
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05. Relacin de la forma:
2
,2
2 akyhxRyxR
tiene por grfica una Hiprbola
06. Relacin de la forma:
cbyyaxRyxR 22, ; kyhxRyxR 22,
cbxxayRyxR 22, y hxkyRyxR , 22
tiene por grfica una parbola
07. Relacin de la forma: xyRyxR 2, y yxRyxR 2,
- a2/2
DR = R-{h}
RR= R
{k}
+ a2/2
DR = R-{h}
RR= R
{k}
Y = + x2
Y = - x2 X = - Y2
X = + Y2
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08. Relacin de la forma: xyRyxR 2, , se le conoce como laFuncin Raz Cuadrada
CRITERIOS GENERALES PARA GRAFICAR ECUACIONES EN R2
Definicin: Llamaremos grfica de una relacin de R en R al conjunto de puntos P(x, y), cuyas
coordenadas satisfagan a dicha relacin.
CRITERIOS GENERALES PARA GRAFICAR UNA ECUACIN:
Para trazar la grfica de una relacin dada por la Ecuacin E(x,y)=0, se considera:
I. Interseccin con los ejes Coordenados:
a. Con el Eje X: Se hace y=0, en la ecuacin y se resuelve E(0,y)=0
b. Con el Eje Y: Se hace x=0, en la ecuacin y se resuelve E(x,0)=0
II. Simetras:
a. Con respecto al Eje X: Existe simetra con el eje X, si se cumple E(x,y)=E(x, -y)
b. Con respecto al Eje Y: Existe simetra con el eje Y, si se cumple E(x,y)=E(-x, y)
c. Con respecto al Origen : Existe simetra con el origen, si se cumple E(x,y)=E(-x, -y)
III. Extensin:
Se trata de indicar los intervalos mximos en los cuales las variables x y y toman valores
permisibles para la ecuacin dada (Dominio y Rango de la relacin)
IV. Determinacin de las Asintotas
Si la distancia de un punto de la curva a una recta fija L va disminuyendo, tendiendo a cero,
conforme el punto se aleja ilimitadamente del origen, entonces dicha recta recibe el nombre
de asntota de la curva
Consideraremos las asintotas verticales y Horizontales:
1. Asntota Verticales: X = a
Se despeja yen trminos de x, se hallan los valores de xque hacen cero al denominador
2. Asntota Horizontales: Y = b
Se despeja xen trminos de y, se hallan los valores de yque hacen cero al denominador.
V. Tabulacin
Consiste en calcular un nmero determinado de pares ordenados a partir de la ecuacin E(x,y)
= 0
VI. Construccin de la Curva:
Mapeo de los pares ordenados en el plano.
DR = RR ;0
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FUNCIONESDEFINICION: Una funcin es una transformacin que asocia a cada nmero perteneciente a algn
subconjunto de los nmeros reales otro nmero real (uno slo).
Una funcin de A en B es una regla, o una correspondencia, que relaciona estos dos
conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno ysolo un elemento del segundo conjunto llamado imagen. Consideremos dos conjuntoscualesquiera A y B a la relacin binaria f de A en B le llamaremos funcin de A en B si ysolo si se verifica:
AxBf
fba, fca , b=cY se denota por:
BAf : : Se lee F es una funcin de A en B donde:
A: Conjunto de Partida B: Conjunto de LlegadaObservacin:
Si fba , )(afb Toda funcin es una relacin pero no toda relacin es una funcin
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION
Sea BAf : , una funcin de A en B, llamaremos Dominio de la Funcin Fal conjuntode todas sus primeras componentes, al cual denotaremos por: Dom f
Es decir:
AfyxByAxfDom ,/
Y llamaremos Rango de la Funcin f al conjunto de todas las imgenes de todos loselementos de A, mediante f, al cual detonaremos por: Ran f
Es decir:
BfyxAxByfR ,/anPor ejemplo:
01. La funcin()=
, asocia a cada nmero real distinto de cero su inverso.
Dominioest formado por todos los nmeros reales distintos del cero. D(f) = R - {0}.
02. La funcin()=:
Dominio: conjunto de los nmeros reales mayores o iguales que cero, ya que la raz denmeros negativos no se puede calcular.
QU PUNTOS (X,Y) SON LOS QUE ESTN SOBRE LA GRFICA DE UNA FUNCIN?Es importante tener claro qu puntos son los que estn sobre la grfica de una funcin determinada.
Ejemplo,sif(x) = x2(a veces, como ya sabes, se escribe:y = x2 ), cules de los siguientespuntos estarn sobre la grfica de esa funcin: A( 0, 1); B (0, 0), C(-1, 1/10); D(3, 6); E(3, 9).
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EVALUACION DE FUNCIONES Y TRAZADOS DE GRAFICOS ESPECIALES:
Consideremos una funcin f con regla de correspondencia : )(xfy , )(fDomx , si x toma
valores especficos, entonces se dice que la funcin ha sido evaluada, es decir:
Si )()(00
xfxfxx
Funciones Definidas con varias reglas de correspondencia:
Suponiendo que la funcin f es definida por:
21
22
11
),(
),()( DfDf
Dfxxf
Dfxxfxf donde,
El dominio de la funcin se determina por:21)( DfDffDom
El rango de la funcin se determina por: 21)( RfRffRango
TRAZADOS DE GRAFICAS ESPECIALES:
Cuando se conoce una funciny=f(x) en base a esta funcin, se puede construir otra funcin
en forma rpida mediante el siguiente criterio:
1F(x) = f(x) + c 2F(x) = f(x- c)
3F(x) = f(x-h)+k
(x) + c
f(x)
x + c
c>0
c0
h
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4 F(x) = af(x) 5F(x) = f(ax)
6 F(x) = - f(x) 7F(x) = f(-x)
OPERACIONES DE FUNCIONES:
Consideremos dos funciones reales de valor real, RRgf :, si DgDf , entonces:
a) IGUALDAD DE FUNCIONES:
Dos funciones son iguales si:Dom f =Dom g yf(x) = g(x), DgDfx
Y se denota por: gf gf
b) SUMA DE FUNCIONES:Sean f y g dos funciones con dominios Dom f y Dom g, se denota la nueva funcin
SUMA f + g por )()())(( xgxfxgf , y se define por:
DgDfgfDom )(
)(),()())(( DgDfxxgxfxgf
c) DIFERENCIA DE FUNCIONES
Sean f y g dos funciones con dominios Dom f y Dom g, se denota la nueva funcinDIFERENCIA f - g por )()())(( xgxfxgf , y se define por:
f(x)
a (x)
af(x)a>1
0
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DgDfgfDom )(
)(),()())(( DgDfxxgxfxgf
d) PRODUCTO DE FUNCIONES
Sean f y g dos funciones con dominios Dom f y Dom g, se denota la nueva funcin
PRODUCTO por )()())(( xgxfxgf , y se define por:
DgDfgfDom ).(
)(),()())(( DgDfxxgxfxgf
e) COCIENTE DE FUNCIONES
Sean f y g dos funciones con dominiosDom f y Dom g , se denota la nueva funcin
COCIENTE por)()()(
xgxfx
gf , y se define por:
}0)(/{)( xgDgxDgDfgfDom
)(,)(
)())(( g
fDxxg
xfxgf
COMPOSICION DE FUNCIONES:
Consideremos dos funciones reales de valor real, entonces la composicin gf es aquellaque satisface:
})({)( DfxgDgxxgfDom
La regla de correspondencia es: ))(())(( xgfxgf
Cuando las funciones estn definidas por varias reglas de correspondencia:
2122
11
),(
),(
)( DfDfDfxxf
Dfxxf
xf donde,
A BC
Dg
RgDf
Rfg f
f(g(x))
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),(
),()( DgDg
Dgxxg
Dgxxgxg donde,
Entonces:
)()()()()( 22211211 gfDgfDgfDgfDgfDom
FUNCIONES INVERSAS
FUNCION SURYECTIVA
Una funcin BAf : , se dice que es SURYECTIVA, SOBREYECTIVA, si el conjunto
Imagen de A, vaf, cubre a todo el conjunto de llegada B, es decir que todo elemento de B
es imagen de por lo menos un elemento de A.
Si BAf )( , si BRf (El conjunto de llegada B debe coincidir con el Rango de f)
FUNCION INYECTIVA
Una funcin BAf : , se dice que es INYECTIVA, si para todo fDomxx 21, se
cumple: )()( 2121 xfxfxx 2121 )()( xxxfxf
Observacin:
A estas funciones tambin se les conoce como UNIVALENTES UNO A UNO
Se reconoce a una Funcin Inyectiva cuando Toda recta horizontal corta a su grfica a
lo ms en un punto.
FUNCION BIYECTIVA
Una funcin BAf : , se llama funcin BIYECTIVA, si la funcin f es inyectiva y
suryectiva simultneamente.
FUNCIONES CRECIENTES, DECRECIENTES Y MONOTONAS
o FUNCION CRECIENTE: La funcinfse llama CRECIENTE, si para todo fDomxx
21
,
se tiene: )()( 2121 xfxfxx
o FUNCION DECRECIENTE: La funcin f se llama DECRECIENTE, si para todo
fDomxx 21, se tiene: )()( 2121 xfxfxx
o FUNCION MONOTONA
La funcinfse llama MONOTONA, si la funcin f es decreciente o creciente.
Teorema: Si una funcinfes creciente, entoncesfes inyectiva (univalente)
Teorema: Si una funcinfes decreciente, entoncesfes inyectiva (univalente)
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FUNCION INVERSA:
Consideremos la funcin }/))(,{( fDxxfxf con dominio Df y rango Rf entonces
diremos que existe la funcin inversa def si y slo si,f es inyectiva.
A la funcin inversa defdenotaremosf* f - 1 , la cual es definida en la forma siguiente:
}/)),({( fDxxxff , donde:
ff RD * y f
f
DR *
Prop.
Si BAf : , es una funcin inyectiva y ABf : , es la funcin inversa de f
entonces:
f
f
Dxxxff
Dxxxff
,)(
,)(
Clculo de la funcin Inversa:
Sea BAf : , es una funcin inyectiva, entonces la funcin inversa ABf : ,
se puede hallar resolviendo la ecuacin xxff )(
FUNCIONES PARES, IMPARES Y PERIODICAS
DEFINICIN: Una funcin f se denomina FUNCION PAR, si se cumple que:
fDomxfDomx )()( xfxf Observacin:
Si una funcin f es PAR, su regla de correspondencia )(xfy no vara si reemplaza
x por x , por tanto su grfica es simtrica respecto al eje y
DEFINICIN: Una funcin f se denomina FUNCION IMPAR, si se cumple que:
fDomxfDomx )()( xfxf
DEFINICIN: Una funcin f se denomina FUNCION PERIODICA, si existe un nmero T
0T tal que:
fDomTxfDomx
fDomxxfTxf ),()( Donde T= Periodo de la funcin