unidad ii completa (trabajo virtual)
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UNIDAD II: METODOS DE TRABAJO VIRTUAL
OBJETIVOS:Utilizar los conceptos de trabajo, energa, trabajo real y trabajo virtual.
Enunciar y plantear el principio del trabajo virtual aplicado a cuerposrgidos y a cuerpos deformables.
Determinar los desplazamientos en cualquier punto de una estructura
estticamente determinada, aplicando el principio de las fuerzas virtuales
INTRODUCCION
Se an desarrollado numerosos m!todos para el clculo de las
deformaciones elsticas de una estructura, entre los cuales se consideran los
ms importantes en el clculo estructural" El m!todo de trabajo virtual y el
primer teorema de castigliano.
En esta unidad se utilizar una variant#e del $!todo de trabajo virtual
para calcular los desplazamientos reales en cualquier punto de una estructura
isosttica, %El $!todo de las &uerzas 'irtuales(, el cual es fundamental en la
aplicaci)n de los m!todos para resolver sistemas indeterminados. Este m!todo
es aplicable a cualquier tipo de estructura, vigas, cercas o armaduras, p)rticos,
entramados planos y espaciales.
El clculo de los esfuerzos en estructuras estticamente indeterminadasest basado principalmente en la determinaci)n de sus deformaciones elsticas
bajo el sistema de cargas actuantes.
*a finalidad de la determinaci)n de los desplazamientos de los miembros
de una estructura, es por una parte, asegurar que la estructura satisfaga todos
los requisitos de dise+o y que se deforme dentro de los lmites aceptables como
son los requeridos por las condiciones de servicio y de seguridad y por otra
parte, para ser utilizados al formar las relaciones de compatibilidad necesarias
para resolver sistemas indeterminados o iperestticos.
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DEFINICIONES BSICAS:TRABAJO Y ENERGA"
Trabajo -/" 0epresenta el producto escalar de la fuerza aplicada a un objeto
por el desplazamiento que se produce y matemticamente se e1presa as"W = F.d
En un cuerpo deformable el aumento de trabajo -d/ realizado por una
fuerza 2 que act3a al desplazarse este una cantidad -d4/ es igual a"
d5 6 2.d4 77 W6 P.d4
Si la fuerza est en tres dimensiones, la ecuaci)n anterior se e
1presa as"
W6 P.d4 6 (P1.d41 8 Py.d4y 8 Pz.d4z/
Energa (E)" 9apacidad que posee un cuerpo para realizar trabajo,
dependiendo de su velocidad, posici)n y configuraci)n.
Energa De Deformacin Interna -u/" Est representada por la relaci)n entre los
esfuerzos desarrollados internamente en los elementos de una estructura y las
deformaciones producidas por dicos esfuerzos y matemticamente se e1presa
como la integral o el rea bajo la curva esfuerzo deformaci)n del material de
que esta eca la estructura"
U = .
d!"
Principio e !on"er#acin e $a Energa: Este principio establece que si un
cuerpo esta sometido a un sistema de fuerzas conservativas la energa
mecnica -E$/ total permanece constante en cualquier instante y es igual a la
energa debida a su movimiento -energa cin!tica/ ms la energa debida a su
deformaci)n -energa potencial/.
EM = U # $% siendo
U" la energa interna almacenada en el cuerpo debida a su deformaci)n, y:" la energa cin!tica, o energa debida al movimiento del cuerpo.
Si el cuerpo esta en equilibrio esttico su velocidad es igual a cero,
entonces" : 6 ; m'< 6 = & EM = U
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Si no se e1cede el lmite elstico, todo el trabajo e1terno -e/ realizado
por un sistema de fuerzas sobre un cuerpo deformable, se convierte en energa
de deformaci)n elstica recuperable y regresa la estructura a su posici)n
original cuando se quitan las cargas. Esto se escribe simplemente como"W = U
%e& B'"ica e Trabajo & Energa( Esta ley establece que el trabajo e1terno
realizado por un sistema de cargas dadas, sobre un cuerpo, es igual a la
energa almacenada internamente en dico cuerpo o trabajo interno
desarrollado por los esfuerzos.
W = U
Trabajo Rea$: W = U% El m!todo de trabajo real es utilizado para calcular lacomponente de defle1i)n lineal o rotacional del punto de aplicaci)n y en la
direcci)n de una fuerza -r 6 2. 4 > EI
N. Se resuelve estas integrales y se determina el desplazamiento
respectivo, 4 ) -
EJEMPLOS G8:
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3.,.8. OEn e$ "ig*iente prtico p$ano *"e e$ m.too e trabajo #irt*a$ &etermine( $a componente e ef$e0in #ertica$ e $a j*nta D1 E$ m*$o ee$a"ticia e$ materia$ e"2 E3 41566ton7cm42 & e$ momento e inercia e $a"eccin e $o" miembro" e"2 I 3 481666cm91 !on"iere como po"iti#o $o"
momento" f$ectore" c*&a traccin "ea en $a parte inferior en #iga" & en $a partei+:*iera e $a" co$*mna"1
S;H RH"
S!"
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,. Se analiza cada sistema" calculndole las reacciones, su respectivodespiece y se determina las ecuaciones de los diferentes esfuerzos enfunci)n de P, para cada tramo de la estructura"
A@K";; d" S;H V
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Framo B9"
C$1 6 = 8 $1 6 OA A?IAL
().2. N().2.L
C,
N .N. d
(,. +C,)
REAL
N
( )
VIRTUAL
N
( )
AB 8%52 3%25 2.' ,%34825 ,.35825 #3.2'5AC 2%52 3%42 2.52 ,%34825 2.575 825 #2.752AD 8%8, 4%78 2.3 ,%34825 2.' 825 #8.3BD 2%8 #4%32 2.5 ,%34825 #8.57 825 #,.22CD 8 #3%44 2.52 ,%34825 #8.82 825 #8.,2CE 2%52 2 2 ,%34825 2 2CF 2%8 4%74 2.8 ,%34825 8.82 825 #,.43DF 2%8 #8%,' 2.8 ,%34825 #8.82 825 #2.'35EF 2%52 2 8 ,%34825 #8.82 825 2E1 2%52 2 2 ,%34825 2 2F1 2%8 2 2 ,%34825 2 2
N. (). L =2.284 825
N.N.d=83%'2, ,.
@plicando la formula de trabajo virtual"
8 *?E = N .N. d +EA # N. (). L
83%'2, ,. 2%284855 ,.
'2,,822.+,
Mtodo Grfico:
Proceimiento Para Determinar De"p$a+amiento" En E"tr*ct*ra" I"o"tatica"(
8. Se construye el sistema virtual colocando una carga unitaria ficticia en
el punto y en la misma direcci)n del desplazamiento a determinar.,. Se analizan tanto el sistema real como el sistema virtual" se calculan las
reacciones, los despieces, y se determinan los diagramas respectivos
de los miembros de la estructura, por tramo. En este curso se
'5
8*?E = = = 8%2784824 .
*B = 8%27
#
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consideraran solo los efectos de fle1i)n, por ser estos los que gobiernan
el calculo estructural de las estructuras aporticadas.
3. Se aplica la ecuaci)n del principio de las fuerzas virtuales, sin embargo
se usar la siguiente tabla como resultado de la integraci)n grfica,donde se interceptan los diagramas obtenidos tanto del sistema real
como del virtual para as obtener el resultado de la integral para cada
tramo y luego se suman determinando as el desplazamiento total
respectivo.
B
B
B BA B< BA
@ @B* A>M@B* @*>T-BA8T@B* @*>T-
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Soluci)n"@nlisis del Sistema 0eal
9alculo de 0eacciones"C$D6= 8 O< O
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Diagramas de $omentos flectores"
$iembro" @B $iembro" B9 $iembro"9D #m Mm
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Diagramas de $omentos flectores"
$iembro" @B $iembro" B9 $iembro" 9DMm #m
O O 8
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8 A>A,N - T-O
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S!"
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A@K";; d" S;H V