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Quinto Cuatrimestre Especialidad en Informática

3

UNIDAD I. ARGUMENTAS EL ESTUDIO DEL CÁLCULO

MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS

MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON

HECHOS REALES.

1.1 Evolución del Cálculo.

El cálculo surge en el siglo XVII con los trabajos independientes de Isaac Newton y de Gottfried Wilhelm Leibniz, a

quienes se les considera sus creadores. Sin embargo, desde antes se realizaron trabajos que dieron lugar al nacimiento

de esta disciplina.

Se cree que el punto de partida fueron los métodos desarrollados por científicos como Aristóteles, Platón, Tales de

Mileto y Pitágoras se generaron las ideas que fueron retomadas tiempo después por Arquímedes para resolver

problemas de la época, las cuales a su vez fueron la base de los trabajos que posteriormente llevaron a cabo Galileo,

Torricelli y Kepler, entre otros, hasta que, en la primera mitad del siglo XVII, Descartes y Fermat desarrollaron, por

separado, la geometría analítica, que fue fundamental para el surgimiento del cálculo. Particularmente, fueron las

ideas de Fermat y Barrow las que sentaron las bases para los trabajos de Newton y Leibniz.

En particular, se considera que los conceptos y métodos del cálculo se desarrollaron al tratar de resolver cuatro

problemas:

1. Determinar la tangente a una curva en un punto dado.

2. Hallar valores de máximos y mínimos.

3. Calcular la longitud de la curva, el área de una región y el volumen de un cuerpo.

4. Determinar la velocidad y la aceleración instantánea de un cuerpo a partir de la distancia recorrida en un

tiempo determinado, e igualmente, encontrar la distancia recorrida en cierto intervalo, conociendo la

velocidad o la aceleración instantánea con que se mueve el cuerpo.

Con una visión general, basada en sus conocimientos de física, Newton estudió éstos y otros problemas, que lo

llevaron a introducir el concepto de fluxiones, para referirse a las variables que consideraba como cantidades que

fluyen. Por ejemplo, a las componentes de la velocidad en un determinado punto, Newton las llamaba fluxiones. En la

actualidad, se aplica el concepto de derivada.

Leibniz utilizó ideas geométricas para la derivada, expresándola como un cociente de incrementos infinitamente

pequeños, a lo que llamó diferenciales. Leibniz fue quien introdujo la notación

para las derivadas.

Newton y Leibniz retomaron el conocimiento de sus antecesores y lograron crear el cálculo para resolver este tipo de

problemas.


4

EJERCICIOS

Integrados en equipos, completen el siguiente cuadro comparativo en el que contrasten las principales

aportaciones de Newton y Leibniz, las cuales dieron lugar al surgimiento del cálculo. Deben destacar la

importancia de sus aportaciones y el uso del cálculo en situaciones reales. Pueden apoyarse en el artículo “El

nacimiento del cálculo” de Martha Cristina Villalba Cruz, dado en el siguiente enlace:

http://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/1-1-5-calculo.pdf

Aportaciones de Newton y Leibniz

Aportaciones Ejemplos en situaciones reales

Newton

Leibniz

El cálculo se siguió desarrollando hasta adquirir el rigor matemático que hoy se conoce. Este nivel se alcanzó gracias

a los trabajos de otros matemáticos, principalmente Euler, quien en el siglo XVIII definió el concepto de función, de

manera general, y escribió un gran número de documentos con contribuciones al cálculo infinitesimal. En este siglo se

resolvieron problemas matemáticos y físicos con el uso del cálculo, como es el caso de la descripción del movimiento

de fluido mediante ecuaciones diferenciales, el cálculo de variaciones y trayectorias de proyectiles, la propagación del

sonido, entre otros relacionados con la mecánica, la electricidad y el magnetismo, así como el movimiento

ondulatorio.

En el siglo XIX, se continuó el estudio de los métodos desarrollados por ellos, y se establecieron con el rigor

necesario los conceptos y demostraciones matemáticas. Se dejó de recurrir a la geometría como única forma de

demostración rigurosa y se empezó a utilizar la aritmética con este fin. Entre los matemáticos más relevantes de este

siglo se encuentra Cauchy, quien define los conceptos de límite y continuidad de una función; Weierstrass, el cual usó

desigualdades para definir la continuidad de una función y demostró que toda función continua posee un máximo y un

mínimo en un intervalo cerrado1, y Riemann, con sus trabajos sobre integrales de funciones.

En el siglo XX, destacan Lebesgue y Hilbert; el primero, al continuar los trabajos sobre integración de funciones y

desarrollar la teoría de la medida, y el segundo, al establecer el rumbo que debían tomar las matemáticas, mediante la

selección de los problemas que debían ser resueltos, además de otras aportaciones como el concepto de espacios de

dimensión infinita, los cuales se conocen como espacios de Hilbert.

EJERCICIOS

Consulta la siguiente página de internet y lee atentamente el texto “Philosophiae naturalis principia

mathematica”.

http://www.solociencia.com/cientificos/isaac-newton-philosophiae-naturalis-principia-mathematica.htm

1 Subconjunto de números reales que incluye los valores extremos, por ejemplo [ ] comprende todos los números reales mayores o iguales que -1 y menores o iguales que 4.

http://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/1-1-5-calculo.pdf

http://www.solociencia.com/cientificos/isaac-newton-philosophiae-naturalis-principia-mathematica.htm


5

Contesta las siguientes preguntas.

1. ¿Cómo explicarías el método de las primeras y últimas razones de newton?

______________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2. ¿A qué concepto actual correspondería la palabra “momento” que utilizó Newton en esta obra?

________________________________________________________________________________

3. ¿A qué concepto actual equivale el término “genita”?

________________________________________________________________________________

4. ¿Qué temáticas generales contienen cada uno de los tres libros de esta obra?

______________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

1.2 Modelos matemáticos: un acercamiento a máximos y mínimos.

Los modelos matemáticos son expresiones algebraicas que describen situaciones o fenómenos de manera precisa o

aproximada; son útiles para resolver problemas que se presentan en diversos ámbitos.

En general, representa una realidad, que puede ser un escenario real o supuesto mediante una expresión matemática,

que puede ser una ecuación o una función.

Se puede realizar predicciones de manera precisa o aproximada, según la complejidad de la situación, y mediante la

predicción hecha a través de un modelo matemático se puede tomar decisiones acerca de la situación analizada.

EJERCICIOS

Responde las siguientes preguntas:

1. ¿Cómo se calcula el área de un rectángulo de base x y altura y?

________________________________________________________________________________

2. Calcula el área de una pared de forma rectangular cuya base mide el doble que su altura

________________________________________________________________________________

3. ¿Cómo se calcula el volumen de una esfera de radio r?

________________________________________________________________________________

4. Calcula el volumen de una pelota de beisbol que mide aproximadamente 3.82 cm de radio

________________________________________________________________________________

Los modelos matemáticos son útiles para resolver problemas como los de optimización, en los que se debe hallar un

valor máximo o un mínimo.


6

EJEMPLO:

Un fabricante necesita construir envases de lata para refrescos de forma cilíndrica que contengan un volumen de 250

ml, con el mínimo material posible, por lo que necesita conocer las dimensiones que deberá tener el envase para que

cumpla con estas condiciones.

Para ello, hay que recordar que el volumen de un cilindro es igual al área de la base (que es un círculo) por la altura,

la cual se expresa como:

Para construir el envase, el fabricante necesita dos tapas circulares y un rectángulo.

El área de cada tapa circular es , por lo tanto, el área de las dos tapas es . El área del rectángulo

que formará el cuerpo del envase se obtiene multiplicando la base por la altura, la altura es h y la base es igual al

perímetro de la circunferencia de la tapa, esto es , entonces el área del rectángulo es .

Así, el área total del envase es , y equivale a la cantidad de material que se necesitará para

construir el envase.

Como el volumen es de 250 ml, entonces

Con esta ecuación, se despeja h, y se obtiene

.

Se sustituye el valor de h en la expresión y se obtiene:

.

Simplificando, se tiene:

La expresión anterior nos da el área del envase en función del radio de las tapas; se expresa:

Este es un modelo para calcular el área de todos los cilindros cuyo volumen sea igual a 250 unidades cúbicas.

Como el fabricante lo que necesita es optimizar el material con el que va a construir el envase cilíndrico, el modelo le

sirve para conocer cuál es el radio que le da el área mínima. Gráficamente la función queda de la siguiente forma:


7

El área mínima se da cuando el radio es aproximadamente 3.4 cm, por lo que el fabricante deberá elaborar envases

con un radio de 3.4 cm.

Con este valor del radio, se calcula la altura que deberá tener el envase. Recordando que la altura es

,

sustituyendo el valor del radio se obtiene:

Por lo tanto, el envase deberá medir de radio 3.4 cm y de altura 6.88 cm.

El problema anterior, tiene una fuerte relación con la obtención de máximos y mínimos. Este tipo de problemas

surgieron con Kepler, a quien le pidieron diseñar cubas de vino que tuvieran la mayor capacidad. Al estudiar el caso

para resolver el problema, Kepler se dio cuenta que el volumen aumentaba cada vez menos a medida que se acercaba

a su valor máximo, con lo cual se acercó al concepto de derivada que se desarrolló tiempo después y que actualmente

se conoce.

EJERCICIOS

Analiza y responde los cuestionamientos de los siguientes problemas.

1. El modelo matemático que describe las ganancias anuales acumuladas y (en miles de pesos) de una empresa es

, donde x es el número de años que ha laborado la empresa.

a) ¿Cuánto habrá ganado después del primer año?

b) ¿Cuánto habrá ganado después de 12 años fundada?

c) ¿Cuál es el pronóstico a largo plazo de las ganancias de esta empresa?

2. La pantalla plana de un televisor de 42 pulgadas mide 92.98 cm de largo y 52.3 cm de alto, sin tomar en cuenta su

marco. Si x representa su ancho, construye un modelo matemático para calcular su volumen como una función de x y

elabora la gráfica correspondiente.

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8

área


8

3. Se desea plantar una barda que mide 2.30 m de alto. Cada litro de pintura alcanza para cubrir con una capa de

.

a) Construye un modelo en función de la longitud x para todas las bardas de esa altura, que permita calcular

cuántos litros de pintura se necesitarán para pintarlas.

b) Elabora la gráfica correspondiente.

c) ¿Cuántos litros de pintura se requieren para cubrir con una capa una barda cuya longitud es de 25 m?

d) ¿Cuántos litros de pintura se requieren para cubrir con dos capas una barda cuya longitud es de 60 m?

4. Un fabricante de chocolates desea lanzar una nueva presentación de su producto en una caja rectangular cerrada de

base que contenga un volumen de . ¿Qué dimensiones deberá tener la caja para que su construcción requiera

el mínimo de material?


9

AUTOEVALUACIÓN

Resuelve los siguientes problemas.

1. ¿Qué dimensiones debe tener un dado para que su volumen sea de ?

2. La distancia que recorre un automóvil en cierto intervalo de tiempo está dado por la siguiente gráfica:

a) ¿Qué distancia ha recorrido después de cinco horas?

b) ¿En qué tiempo recorre 600 kilómetros?

c) ¿Con qué velocidad se mueve el automóvil?

d) ¿Cuál es el modelo matemático que describe esta situación?

3. Construye un modelo matemático para calcular el área de una pantalla de 52 pulgadas, como la que se muestra a

continuación.

4. Se desea construir un calendario rectangular, utilizando la menor cantidad de papel. Si se debe dejar un centímetro

de margen de cada lado y el contenido debe ocupar un área de , ¿qué dimensiones debe tener el calendario?

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

KM

HORA

Km/H

52’’

y

x


10

UNIDAD II. RESUELVES PROBLEMAS DE LÍMITES EN

SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO,

ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL.

2.1 Los límites: su interpretación en una tabla, en una gráfica y su aplicación en funciones

algebraicas.

2.1.1 Noción de límite

En 1975, el matemático Benoit Mandelbrot llamó fractales a los objetos que poseen una estructura que se repite en

diferentes escalas. El término fractal viene del latín fractus, que significa roto, fracturado o quebrado. Deben cumplir

con dos requisitos: poseer una estructura irregular, la cual no pueda describirse geométricamente (usando la geometría

euclidiana); y su forma se repite de manera semejante, pero a diferente escala.

De acuerdo con Mandelbrot; Si la escala disminuye, la medida del perímetro aumenta. En general, la longitud L de

una curva aumentará al disminuir la escala x del instrumento de medida. Esto se puede expresar como:

El límite de la longitud L de una curva es infinito, cuando la escala x del instrumento de medida tienda a menos

infinito.

Esto se expresa como

En matemáticas, el concepto de límite de una función es fundamental para el estudio del cálculo, por lo que se puede

decir que:

El límite de una función es el valor al que sus imágenes se aproximan (sin sobrepasarlo), a medida que el

argumento se acerca cada vez más a cierto valor.

De manera precisa, se puede decir que:

El límite de una función , cuando x se aproxima tanto como se quiera a un cierto valor l, es L, si se

acerca tanto a L tanto como sea necesario, es decir, si | | puede hacerse tan pequeño como se desee.

Cabe aclarar que la expresión | | es el valor absoluto de la diferencia entre la función y el valor límite, el cual

siempre es una cantidad positiva.

La notación utilizada en este caso es:

Lo cual se lee: “el límite de f(x), cuando x tiente a l, es L”. O también, cuando , lo cual se lee: “la

función f de x tiene a L, cuando x tiende a l”.

Observa la gráfica de la función


11

En el intervalo [ ], la curva no presenta cortes ni rupturas, es decir, es continua al menos en ese intervalo.

2.1.2 Funciones continuas y discontinuas.

Cuando la gráfica de una función no presenta cortes ni rupturas, se trata de una función continua. Si la gráfica de una

función presenta cortes o rupturas, se dice que es una función discontinua o que presenta puntos de discontinuidad.

Las funciones pueden ser continuas en todo el eje real (R) o sólo en algún intervalo.

Definición:

Una función es continua si su gráfica no presenta rupturas o cortes.

EJERCICIOS

Analiza y contesta

1. Determina el dominio y el rango de la función

2. Calcula el límite de la función

cuando , esto es,

_________________________________________________________________________

3. Traza o esboza la gráfica de la función a partir del límite obtenido.

2.1.3 Límites laterales.

El límite por la izquierda de una función , cuando x tiende a l, es L, si al tomar x valores cada vez más

próximos a l, pero menores que éste, se aproxima a L, tanto como sea necesario.

El límite por la derecha de , cuando x tiende a l, es L, si al tomar valores de x cada vez más cercanos a l,

pero mayores que l, se aproxima a L tanto como sea necesario.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

D(K

M)

T (MINUTOS)


12

Estos límites son útiles para analizar el comportamiento de la función y obtener información acerca de la situación o

del fenómeno que describen.

El límite por la izquierda se denota como:

Y se lee: “El límite de f(x), cuando x tiende a l por la izquierda, es L”.

El límite por la derecha se denota como:

Y se lee: “el límite de f(x), cuando x tiende a l por la derecha, es L”.

Cuando los límites laterales de una función, para un determinado valor, existen y coinciden, entonces ése es el límite

de la función para ese valor. Cuando los límites laterales existen, pero no coinciden, entonces no existe el límite de la

función para ese valor.

EJEMPLO:

Después de t horas de haberle aplicado a una persona un medicamento determinado por la vía intravenosa, la cantidad

de éste en su torrente sanguíneo está dado por la función

; ¿qué cantidad del medicamento tendrá en su

sangre 1 hora después de la aplicación? ¿Cuánto medicamento conservará en su sangre después de muchas horas de la

aplicación del medicamento?

Se traza la gráfica de la función para analizar su comportamiento.

En el tiempo t=0 (cuando le acaban de aplicar el medicamento) tiene en la sangre 250 mg.

Una hora después de aplicar, tiene en la sangre aproximadamente 75 mg del medicamento. Se aprecia que continúa

disminuyendo la cantidad del medicamento en la sangre del paciente.

Unas 8 horas después de la aplicación, la cantidad de medicamento es prácticamente cero, por lo que a la larga esta

persona ya no tendrá medicamento en la sangre, es decir, la cantidad de medicamento en su sangre será cero.

0

50

100

150

200

250

300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

CA

NTI

DA

D D

EL M

EDIC

AM

ENTO

EN

LA

SA

NG

RE

EN M

ILIG

RA

MO

S

TIEMPO EN HORAS


13

Los límites pueden ayudar en casos médicos, por ejemplo, a determinar la rapidez con que el organismo elimina un

medicamento que se le ha aplicado, también el tiempo en que debe volver a aplicarse un medicamento para combatir

o controlar una enfermedad, así como qué sucederá a futuro con el medicamento aplicado.

EJERCICIOS

Esboza la gráfica de cada una de las siguientes funciones.

Calcula los siguientes límites laterales mediante tabulación.

2.2 El cálculo de límites en funciones algebraicas y trascendentes.

Existen teoremas que permiten obtener el límite de una función de manera analítica, sin necesidad de tabular o de

graficar.

Teorema sobre límites

, donde k es una constante.

Si f y g son funciones tales que y , entonces

[ ]

[ ]


14

[ ]

2.2.1 Límites de funciones polinomiales.

Para calcular el límite de una función polinomial, se aplica los teoremas sobre límites a dicho polinomio y a cada uno

de los términos que contiene.

EJEMPLO:

Calcula

Como se trata de una suma y resta de funciones, se usarán los teoremas 3 y 4, que dicen que el límite de una suma o

resta de funciones es igual a la suma o resta de los límites de cada uno de sus términos:

Para el primer límite del segundo miembro, se aplica el teorema 1, que menciona que el límite de una constante es esa

misma constante; 5, que establece que el límite de un producto es el producto de sus límites, y 9, que afirma que el

límite del argumento elevado a una potencia es igual al valor al que tiende dicho argumento elevado a esa potencia.

Así se concluye que:

2.2.2 Límites de funciones racionales.

Para calcular el límite de una función racional, se procede como en el caso anterior; basta aplicar los teoremas sobre

límites tanto en el numerador como en el denominador, y posteriormente, a cada uno de sus términos.

EJEMPLO:

Calcula el límite de la función

Esta es una función racional, es decir, es el cociente de dos polinomios; por ser cocientes, se debe verificar su

dominio de definición para conocer qué valores anulan el denominador.

La función no está definida para x=0, así que su dominio es el conjunto de los números reales, excepto x=0.

Se aplica el teorema del límite y se tiene:


15

Por lo que:

2.2.3 Límites de funciones trigonométricas.

En el caso del límite de funciones trigonométricas se recurre a analizar las gráficas de la función o de las funciones

involucradas, así como al uso de los teoremas sobre límites.

EJEMPLO:

Calcula el límite de la siguiente función:

Construyendo la función trigonométrica se tiene:

La gráfica muestra que cuando x tiende a cero, la función también se aproxima a cero. Por lo tanto, se afirma que:

2.2.4 Límite de funciones logarítmicas.

Calcula

Se trata del producto de una constante por el logaritmo de x.


16

En la gráfica se observa que cuando x se acerca a 5, la función se aproxima al valor de 0.7

2.2.5. Límite de las funciones exponenciales

Calcula

En una función exponencial de base a, con . Observar la gráfica:

Se deduce entonces que

EJERCICIOS

Calcula los siguientes límites utilizando los teoremas de límites.

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 2 4 6 8 10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


17

2.2.6 Límites infinitos y límites en el infinito.

¿Qué sucede cuanto el límite de la función es infinito, o bien, cuando el argumento tiende a infinito?

Para el caso en que el límite de la función es infinito, significa que al acercarse el argumento a un cierto valor l, la

función toma valores cada vez más grandes o más pequeños, creciendo o decreciendo su valor infinitamente. Esto

puede ocurrir al considerar el límite de una función, o bien, al tomar su límite por la izquierda o por la derecha,

independientemente de que sus límites laterales coincidan o no.

Para aclarar lo anterior realiza la siguiente actividad.

EJERCICIOS

Calcula el límite de la siguiente función

Completa las siguientes tablas con valores de x mayores y menores que cero:

x

1

0.8

0.5

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

-0.00001

-0.0001

-0.001

-0.01

-0.1

-0.5

-0.8

-1


18

Responde las siguientes preguntas

1 ¿Cuál es el límite de la función cuando x tiende a 0 por la derecha?

2 ¿Cuál es el límite de la función cuando x tiende a 0 por la izquierda?

3 ¿Coinciden los valores de los límites que obtuviste?

4 Construye la gráfica de la función usando un software a tu alcance.

5 ¿Qué sucede con el valor de la función cuando x tiende a 0?

A medida que x se va aproximando cada vez más a cero por la derecha, la curva crece infinitamente; por ello se dice

que el límite por la derecha de esta función cuando x tiende a cero es . Por el contrario, a medida que x se va

aproximando cada vez más a cero por la izquierda, la función decrece infinitamente, por lo que se afirma que su límite

por la izquierda es .

Si la curva tiene asíntotas verticales, éstas se localizan en los puntos en que la función no está definida porque su

dominio es cero. Cabe aclarar que, independientemente de que se esté calculando un límite por la derecha o un límite

por la izquierda, la función puede tender a o a , pues esto depende de la función considerada.

Esto es, en el caso anterior, el límite por la derecha es y el límite por la izquierda es , pero puede suceder lo

contrario, ya que existen funciones por las que al aproximarnos a cierto valor el límite por la derecha sea y el

límite por la izquierda sea .

De manera que existen cuatro casos de límites infinitos.

Sea f(x) una función cualquiera, tal que cuando x tiende a un cierto valor a (por la izquierda o por la derecha), su

límite es o ; entonces puede ocurrir que, al calcular sus límites laterales, se obtenga alguno de los siguientes

casos:

En general, cuando sucede que, al tender x a a, el límite por la derecha es y el límite por la izquierda es o

viceversa; se tiene que la recta x=a es una asíntota a la curva, y, por lo tanto, la función no está definida para x=a.

¿Qué sucede cuando el argumento tiende a o a , es decir, cuando el argumento crece o decrece infinitamente?.


19

EJEMPLO:

Calcula el límite de la función:

Se elabora una tabla con valores de x cada vez mayores:

x

10 2.47

100 2.0497

1000 2.004997

10000 2.00049

100000 2.00005

A partir de esta tabla se deduce que:

Graficando se comprueba el resultado.

El límite anterior puede calcularse también de otra manera, ya que en el caso de límites de funciones racionales,

cuando , también se puede aplicar el siguiente procedimiento.

En primer lugar, se divide cada término tanto en el numerador como en el denominador de la expresión, entre x

elevada al mayor exponente que aparezca en ella.


20

(

,

(

)

O, lo que es lo mismo,

[ (

) (

)

]

[ (

* (

*

]

Como se nota, se ha expresado el límite buscado en términos de

.

Se sabe que

Por tanto, aplicando los teoremas sobre límites y el resultado anterior, se tiene que:

(

) (

) (

) (

) (

)

De manera que

Tal como se obtuvo anteriormente.

EJERCICIOS

Calcula los siguientes límites infinitos:

Calcula los siguientes límites en el infinito:


21

Resuelve los siguientes problemas

1. Se lanza al mercado un producto a un precio de $300. Se estima que su precio dependerá de la oferta y la demanda

mediante la función

, donde t es el tiempo en meses.

1 ¿Cuál será el precio del producto al mes de su lanzamiento?

2 ¿A qué valor tiende su precio a medida que pasa el tiempo?

3 ¿Qué puede esperarse que suceda con el precio de este producto con el paso del tiempo?

2. El número de millones de árboles sembrados para la reforestación de un bosque queda descrito mediante la función

, donde t es el tiempo en años.

1 ¿Cuántos años se requerirán para sembrar 2 millones de árboles en ese bosque?

2 ¿Qué sucederá con la reforestación de esta bosque a lo largo del tiempo?


22

AUTOEVALUACIÓN

Resuelve los siguientes problemas.

1. Completa la siguiente tabla para la función

X 0.8 0.9 0.95 0.99 0.999 1.001 1.01 1.05 1.1

F(x)

1 ¿Cuál es el valor de f(x) en x=1?

2 ¿Cuál es el valor de f(x) cuando x se aproxima a 1.0 por la izquierda?

3 ¿Cuál es el valor de f(x) cuando x se aproxima a 1.0 por la derecha?

4 ¿Cuál es tu conclusión respecto al comportamiento de esta función?

2. Calcula los siguientes límites utilizando los teoremas sobre límites.

3. Construye la gráfica de la función

y determina su límite cuando x tiende a 2.


23

UNIDAD III CALCULAS, INTERPRETAS Y ANALIZAS

RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES,

SOCIALES, ECONÓMICOS Y ADMINISTRATIVOS.

3.1 La variación de un fenómeno a través del tiempo.

Una relación entre dos variables involucra un cambio en una de ellas, lo cual provocará un cambio en la otra, ejemplo

de esto se puede determinar en un maratón; el tiempo que haga un atleta para terminar la prueba depende de la rapidez

con que se desplazó durante todo el recurrido.

Esta no es constante durante el recorrido. Por lo general, el ganador no se encuentra en primer lugar durante toda la

competencia, sino que alterna posiciones con los otros competidores hasta que, finalmente, ataca y llega en primer

lugar.

Estos cambios en las distancias recorridas en diferentes intervalos originaron el concepto de derivada de una función,

concepto que se analizará más adelante.

3.1.1 Razón de cambio y velocidad instantánea.

El primer acercamiento al concepto de derivada es a través del concepto de razón de cambio, es decir, la comparación

entre el cambio de una variable en relación con el cambio de otra. Para aclarar este punto, realiza la siguiente

actividad.

EJERCICIOS

El señor Ramírez es representante de ventas de un laboratorio medicinal. En su más reciente viaje cubrió un

itinerario y anotó los tiempos en los que los realizó.

Completa la tabla y contesta lo que se pide.

Trayecto Distancia (Km) Tiempo (h) Rapidez (Km/h)

México-Querétaro 215 2.5

Querétaro-

Guadalajara

365 4

Guadalajara-

Guanajuato

302 3.2

Guanajuato-San

Luis Potosí

210 2.5

San Luis Potosí-

Tampico

399 4.3

Tampico- Cd.

Victoria

242 3

Cd. Victoria-

Monterrey

287 3.5


24

1. ¿Cuál fue la rapidez promedio del señor Ramírez?

2. ¿En qué trayecto fue más rápido?

3. ¿En cuál más lento?

4. ¿En qué trayecto el cambio en la rapidez fue mayor respecto del anterior?

En el tramo Guanajuato-San Luis Potosí, el señor Ramírez realizó las siguientes mediciones.

Tiempo Kilómetros recorridos

6:00 0

6:30 45

7:00 80

7:30 130

8:00 175

8:30 210

Grafica los datos registrados por el señor Ramírez y contesta:

1. ¿Cuál era la velocidad a las 6:30?

2. ¿A las 7:00?

3. ¿En qué lapso la rapidez del señor Ramírez es mayor?

4. ¿En cuál menor?

5. ¿Cuál es la velocidad instantánea a las 8:00?

Si se analiza lo ocurrido en el recorrido del señor Ramírez, se descubre su rapidez media, calculada mediante la

relación.

Es:

Esta rapidez no fue constante durante todo el trayecto, ya que, en el tramo Tampico – Cd. Victoria fue más lento y en

el tramo Guadalajara – Guanajuato fue más rápido. Además, el cambio mayor de velocidad se presentó al pasar del

trayecto Guanajuato –San Luis al San Luis-Tampico.

Si llamamos a la posición en el instante , y a la posición en el tiempo , definimos la velocidad media como:

Por lo que en el trayecto Guadalajara – San Luis, a las 6:30, la rapidez del señor Ramírez fue de:


25

Y a las 7:00, la rapidez fue de:

En general, si se define:

Se define a la velocidad media (razón media) como:

Si el señor Ramírez hubiera registrado su posición cada 10 minutos, en vez de cada 30, la precisión en la velocidad

media sería mayor. En general, si t es muy pequeño, la velocidad media es una muy buena aproximación a la

velocidad instantánea (razón media instantánea), es decir, la velocidad a la que conducía el señor Ramírez en

cualquier instante de su trayecto.

Así, se define la velocidad instantánea (razón media instantánea) como:

Si se calcula ahora el cambio de velocidad de un cuerpo en movimiento a lo largo del transcurso del tiempo se estará

calculando la aceleración de dicho cuerpo, es decir:

3.2 La velocidad, la rapidez y la aceleración de un móvil en un periodo de tiempo.

3.2.1 La derivada como razón de cambio instantánea.

Cuando se tienen dos cantidades dependientes entre sí, se puede hablar de rapidez o razón al cambio instantánea de

una de ellas respecto de la otra, por ejemplo, la rapidez con que se llena un tanque de agua en función del gasto que lo

alimenta, o bien con qué rapidez aumenta la distancia de separación entre dos móviles que se mueven en diferentes

direcciones, etcétera.

En general, si f(t) es una función que describe la variación de una cantidad en función del tiempo, la razón o rapidez

instantánea (vi) está definida por:

Esta es la definición de la derivada considerada como razón de cambio instantánea.

En general, la rapidez con que se presente un cambio de variable en relación con otra es una derivada.


26

EJEMPLO:

La posición en metros, que ocupa un ciclista que pasó por una ciudad determinada, está dada por la relación

a Determina su velocidad después de 30 minutos.

b Determina su aceleración en ese instante.

a. De acuerdo con la definición de velocidad instantánea, se tiene que:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

Así se tiene que la velocidad después de 30 minutos es

b. Puesto que la aceleración es la razón de cambio de la velocidad, se tiene que:

[ ] [ ]

[ ]

La aceleración es


27

3.2.2 La derivada como pendiente.

Para hallar la pendiente de la curva en algún punto se añaden rectas tangente en algún punto de la curva.

La pendiente de la curva en el punto P es la pendiente de la recta tangente en P.

En (x, f(x)) la pendiente m de la gráfica y=f(x) es igual a la pendiente de su recta tangente en (x, f(x)) y queda

determinada por la fórmula:

Puesto que es una variación de x, se puede hacer esa variación tan pequeña como sea necesaria , de tal

manera que un punto en específico se aproxima a P y la recta secante se aproxime hacia la recta tangente en P.

Definición de la derivada:

La derivada de una función y=f(x) en el punto P es la pendiente de la recta tangente a la curva definida por f(x)

en dicho punto, y se denota como:

A la expresión

se le llama cociente de Newton.

La derivada de una función representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la curva definida por f(x)

en cualquier punto x del dominio de f(x).

A lo largo del tiempo se han empleado diferentes notaciones para representar la derivada de una función:

Las más utilizadas son las primeras tres y todas significan derivada de y (o f) respecto a x.

Utilizando la definición de derivada, se realiza el siguiente proceso llamado De los cuatro pasos.

1. Se reemplaza la variable y por y la variable x por


28

2. A esta sustitución se le resta la función original.

En este paso se realizan las operaciones indicadas y se simplifica al máximo.

3. Se dividen ambos miembros entre y se simplifica

4. Se calcula la derivada de la función como:

EJEMPLO:

Calcular la derivada de

1. Sustituyendo las variables, se tiene:

2. Restando función original y simplificando se tiene:

3. Dividiendo entre y simplificando se tiene:

4. Se calcula la derivada:


29

3.3.3 Reglas de derivación.

Para calcular de forma rápida la derivada, se tiene un conjunto de reglas, las cuales se analizarán en esta sección.

Se considera la función polinomial para:

Recordando si n=0 se llama constante, f(x)=k, y si k=1, n=1, la función se llama identidad, f(x)=x.

Regla 1. Derivada de la función constante y = k.

La derivada de una constante k es igual a cero.

EJEMPLO:

Deriva la función

Regla 2. Derivada de la función identidad y = x

La derivada de una variable x respecto de ella misma es igual a la unidad.

EJEMPLO:

Deriva la función

Regla 3. Derivada de un múltiplo constante de la función identidad y = kx.

La derivada de un múltiplo constante k de la función identidad es la constante k.


30

EJEMPLO:

Calcula la derivada de la función

Regla 4. Derivada de

La derivada de una función potencia es:

EJEMPLO:


Regla 5. Derivada de un múltiplo de una función

Si se tiene que , se expresa este resultado como:

Regla 6. Derivada de

EJEMPLO:


Regla 7. Derivada de un polinomio.

La derivada de un polinomio es la suma o resta de la derivada de cada uno de sus términos.


31

EJEMPLO:

Deriva el siguiente polinomio:

Empleando la regla 7 se tiene:

Empleando la regla 3 y 6 se tiene:

La derivada también se puede analizar desde el punto de vista de la física.

EJEMPLO:

La posición de un automóvil está dada por la relación (donde t se mide en horas) cuando

se desplaza sobre una carretera cuyo límite de velocidad es de

. ¿Cuánto tiempo puede conducir antes de

alcanzar ese límite?

Puesto que la velocidad es la derivada del desplazamiento, se tiene:

Puesto que el límite de velocidad es de

, el tiempo que puede conducir antes de alcanzarlo se calcula con la

relación:

De donde:

EJERCICIOS

Calcula las derivadas de las siguientes funciones, utiliza las reglas de derivación.

√ √


32

Emplea las reglas de derivación para resolver los siguientes problemas.

1. En el año 2010 se fundó una organización no gubernamental para cuidar el medio ambiente. El número de

miembros de dicha organización cambia de acuerdo con la relación

a ¿Cuántos socios fundadores tuvo la organización?

b ¿Con qué rapidez crece el número de socios en 2014?

c ¿Cuántos socios tendrá este año?

2. El saldo que ha tenido la señora Ramírez durante los últimos 12 meses en su cuenta de banco está dada por la

expresión

a ¿Con qué rapidez cambió su saldo cuando transcurrió el sexto mes?

b ¿Aumentaba o disminuía?

3. Una cadena televisiva presentó un programa piloto para el horario entre las 19 y las 22 horas. El raiting de dicho

programa varía en relación a la función

a ¿Con qué rapidez crece el raiting a las 21 horas?

b ¿Cuál es el raiting a esa hora?

3.3.4 Reglas de derivación del producto y del cociente.

Regla 8. Derivada de un producto de funciones y = f(x)g(x)

Si se elige , se puede expresar la regla como:

EJEMPLO:

Calcula la derivada de la función:

En este producto se identifica:


33

Derivando ambas funciones se tiene:

Aplicando la derivada del producto se tiene:

Desarrollando y simplificando se tiene:

Regla 9. Derivada de un cociente de funciones

Si se elige , se puede expresar la regla como:

(

)

EJEMPLO:


Se identifica:

Donde:

Aplicando la derivada de un cociente, se tiene:

Desarrollando y simplificando se tiene:


34

3.3.5 Derivación de funciones compuestas: regla de la cadena.

Regla 10. Derivada de la función de una función

Si , la derivada de la función de una función se calcula:

Regla 11. Derivada de la potencia de una función ( )

Sea , entonces se expresa a y como

La derivada queda de la siguiente forma:

EJEMPLO:

Calcula la derivada de la siguiente función

Se puede expresar la función como:

Por lo tanto

Entonces la derivada queda como:

Regla 12. Derivada de un múltiplo de una función

EJEMPLO:

Calcula la derivada de

Empleando la regla se tiene:


35

Regla 13. Derivada de √

(√ )

√

EJEMPLO:

Calcula la derivada de √

Aplicando la regla se tiene:

√

√

En el siguiente ejemplo se ilustra cómo calcular el valor de la derivada de una función en un punto indicado.

EJEMPLO:

Calcula el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva definida por la función dada en el punto indicado.

(

*

Calculando la derivada de la función se tiene:

Sustituyendo se tiene:

(

* (

*

(

* (

*

(

*

(

*

EJERCICIOS

Utiliza la regla de la cadena para calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones

√


36

Calcula el valor de la derivada de cada una de las siguientes funciones en el punto indicado.

√

3.3.6 Reglas de derivación de funciones trigonométricas

EJEMPLO:


Aplicando la regla 1 con , se tiene:

EJEMPLO:

Calcula la derivada de:

Aplicando las reglas:


37

EJERCICIOS

Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones. Simplifica el resultado.

3.3.7 Derivadas de funciones trigonométricas inversas.

EJEMPLO:


√

√


38

EJERCICIOS

Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones.

√

(

*

3.3.8 Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas.

3.3.8.1 Función exponencial.

Derivada de

Si , donde , entonces:

EJEMPLO:


Empleando se tiene:

EJERCICIOS



39

3.3.8.2 Función logarítmica.

Derivada de

Derivada de

Derivada de

EJEMPLO:


Aplicando la derivada de , se tiene:

EJERCICIOS


3.3.9 Derivación implícita.

En una función implícita, la variable dependiente (y) no aparece despejada; por ejemplo, las ecuaciones:

definen implícitamente una función.

Estas funciones se pueden derivar, calculando la derivada de y. Para esto se utilizarán las reglas de derivación

explícitas adaptándolas a la situación del problema; lo cual se enuncia a continuación.

1. Se deriva término a término cada uno de los miembros de la ecuación.


40

2. Se agrupan en el primer miembro de la ecuación los términos que contienen la expresión

y en el segundo

aquellos que no contienen dicha expresión.

3. Se Factoriza la expresión

y se despeja.

EJEMPLO:


(

+

(

*

Agrupando términos, factorizando y despejando

, se tiene:

EJERCICIOS

Deriva implícitamente las siguientes funciones.


41

3.3.10 Derivadas de orden superior.

Si se tiene una función , su derivada es a su vez una función y, por tanto, es susceptible

derivarse, por lo tanto, se puede calcular la segunda, tercera y enésima derivada de f(x).

EJEMPLO:

Calcula la derivada que se solicita de la siguiente función

Se calculan las tres derivadas de la función.

Sustituyendo en la tercera derivada:

EJERCICIOS

En cada una de las funciones dadas, halla la derivada indicada.

En cada una de las siguientes funciones dadas, hallar el valor de la derivada indicada.


42

AUTOEVALUACIÓN

Contesta las siguientes preguntas.

1. ¿Qué se entiende por la razón de cambio de una función con respecto a su variable independiente? ¿Es constante o

variable?

______________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2. Dada una curva cualquiera f, si la recta tangente en un punto de esta curva forma un ángulo obtuso con la

horizontal, ¿f será ascendente o descendente? Realiza un bosquejo de la gráfica.

3. ¿Cuál es el valor de la expresión , a medida que se aproxima a cero?

________________________________________________________________________________

4. Explica cuál es el significado geométrico de la derivada.

______________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

5. ¿Cuál es el significado geométrico del cociente

?

______________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

6. Define, desde el punto de vista del cálculo, los siguientes conceptos:

Velocidad media:

______________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Velocidad instantánea:

______________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Calcula la derivada de las siguientes funciones.

√

√ √


43

Resuelve los siguientes problemas sobre aplicación de las derivadas.

1. Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario C de monóxido de carbono en el aire

en una ciudad, en partes por millón (ppm), está relacionado con el crecimiento de la población en el tiempo t por la

siguiente expresión.

√

¿Con qué rapidez estará variando la concentración de en esa ciudad dentro de tres años?

2. Un estudio realizado durante una epidemia que se propagó entre el ganado vacuno de cierta región mostró que el

número de animales afectados, t días después de iniciado el brote, respondió a una expresión del tipo:

Donde N era el número total de animales del rodeo nacional. Si N=1,000.

a. Encuentra un modelo matemático para describir la rapidez con que se propagó la infección.

b. Determina con qué rapidez se propaga la enfermedad después de 10 días y cuántos animales se habían infectado.


44

UNIDAD IV. CALCULAS E INTERPRETAS MÁXIMOS Y

MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE

OPTIMIZACIÓN

4.1 Producciones, máximos y mínimos.

4.1.1 Puntos críticos.

Para el estudio de los puntos críticos y a su vez, los máximos y mínimos; existe un teorema que los explica, en este

caso, es el teorema de Rolle, el cual se enuncia a continuación.

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado | | y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si f(a) = f

(b), entonces existe tal que f’(c) = 0.

Por lo que el teorema de Rolle explica:

A los puntos donde la derivada de la función es igual a 0 , o bien, donde la derivada de la función

no existe, se conoce como puntos críticos.

El Teorema de Rolle garantiza la existencia de un punto crítico en un intervalo en donde las imágenes de los

extremos f(a) y f (b) son iguales y la función sea continua en dicho intervalo.

Así pues, la existencia de puntos con las características mencionadas da origen a los siguientes conceptos.

Un punto crítico x = c es un máximo relativo de la función f(x) si y sólo si la derivada f’(x) >0 antes del punto

crítico y la derivada f’(x) < 0 después del mismo.

Un punto crítico x = c es un mínimo relativo de la función f(x) si y sólo si la derivada f’(x) < 0 antes del punto

crítico y la derivada f’(x) > 0 después del mismo.

A un punto crítico que no es ni máximo ni mínimo se conoce como punto de inflexión.


45

EJERCICIOS

Completa la tabla (puedes apoyarte en Excel), traza la gráfica y marca en ella los extremos relativos. Utiliza algún

software como Graphmatica o Geogebra para trazar la gráfica.

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

X √

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

En tu cuaderno traza, apoyando con un software la gráfica de las siguientes funciones y marca en ella los

extremos relativos.

√

4.1.2 Funciones crecientes y decrecientes.

Una función f(x) es creciente en un intervalo cerrado [ ] si y sólo si para cualquier pareja de

argumentos [ ] tales que

Una función f(x) es decreciente en un intervalo cerrado [ ] si y sólo si para cualquier pareja de

argumentos [ ] tales que

Para corroborar esto se sigue el criterio de la primera derivada:


46

Sea c un punto crítico de una función que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f(x) es derivable en

el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue:

1. Si f’(x) cambia de negativa a positiva en c, f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).

2. Si f’(x) cambia de positiva a negativa en c, f tiene un máximo relativo en (c, f(c)).

3. Si f’(x)es positiva o negativa en ambos de c, f no es ni mínimo ni máximo relativo.

Pc Signo de f ’(c)

X<c Comportamiento X > c Comportamiento

+ Creciente - Decreciente

+ Creciente + Creciente

- decreciente + Creciente

EJEMPLO:

Determina los intervalos donde la función es creciente o decreciente.

Se deriva la función para obtener los puntos críticos.

Evaluando la derivada antes y después del punto crítico, se tiene:


47

Pc Signo de f ’(c)

X<c Comportamiento X > c Comportamiento

0 + Creciente + Creciente

La función es creciente en todo su dominio.

EJERCICIOS

Determina los intervalos de crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones.

4.2 Variaciones en las producciones, máximos y mínimos relativos.

4.2.1 Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio de la primera derivada.

El procedimiento recomendado para calcular los máximos y mínimos de una función con base en el criterio de la

primera derivada es el siguiente:

1. Se calcula la derivada de la función.

2. Se iguala a cero la derivada y se resuelve la ecuación para calcular los puntos críticos.

3. Se determinan puntos donde la derivada es positiva o negativa siguiendo la siguiente tabla.

Pc Signo de f’ (x) tipo Coordenadas

X < c X > c

+ - Máximo - - Inflexión

+ + Mínimo

+ + inflexión

4. Se sustituyen los valores de los puntos críticos en la función original para obtener las coordenadas.

5. Se bosqueja la gráfica de la función.

EJERCICIOS

Calcula los puntos críticos de la función dada y determina qué tipo de puntos son.

√

√


48

4.2.2 Cálculo de máximos y mínimos relativos con el criterio de la segunda derivada.

El cálculo de la segunda derivada también permite tener un criterio para determinar qué tipo de punto es un punto

crítico a través del siguiente procedimiento.

1. Se calcula la derivada de la función.

2. Se iguala la derivada a cero y se resuelve la ecuación para encontrar los puntos críticos.

3. Se calcula la derivada de la derivada, es decir, la segunda derivada de la función original.

4. Se calculan los valores de los puntos críticos en la segunda derivada y se analiza lo siguiente:

1. Si f’’(x) < 0, el punto crítico es máximo.

2. Si f’’(x) > 0 el punto crítico es mínimo.

3. Si f’’(x) = 0, el punto crítico es inflexión.

5. Se sustituyen los valores de los puntos críticos en la función original para calcular las coordenadas y bosquejar su

gráfica.

EJERCICIOS

Utiliza el criterio de la segunda derivada para calcular los puntos críticos y determina de qué tipo son.

4.2.3 Trazado de curvas.

4.2.3.1 Concavidad y puntos de inflexión.

Una función es cóncava hacia abajo (cóncava) en un intervalo I, si la segunda derivada de f(x), f’(x) existe y f’’(x) < 0

en todo el intervalo.

Una función es cóncava hacia arriba (convexa) en un intervalo I, si la segunda derivada de f(x), f’(x) existe y f’’(x) > 0

en todo el intervalo.

Un punto donde la gráfica pasa de ser cóncava a convexa o viceversa se llama punto de inflexión.


49

Para determinar los puntos de inflexión de una función se realiza lo siguiente:

1. Se calcula la segunda derivada.

2. Se iguala a cero y se resuelve la ecuación.

3. Si c es una de estas soluciones, es necesario verificar si separa un tramo de curva cóncavo o convexo para ello se

toma un número suficientemente pequeño h y se calcula f’’(c+h) y f’’(c-h).

1) Si los dos tienen signo distinto, significa que a un lado de la c la curva es convexa y al otro cóncava, por lo

que se considera como punto de inflexión.

2) Si tienen el mismo signo, la curva es totalmente convexa o cóncava.

4. Se calculan las coordenadas de los puntos de inflexión sustituyéndolos en la función original.

EJERCICIOS

Calcula los máximos y mínimos, así como los puntos de inflexión de cada una de las siguientes funciones, y traza

su gráfica.


50

AUTOEVALUACIÓN

Dada la función , determina:

1. Su derivada.

2. Sus puntos críticos.

3. Los puntos donde la derivada es positiva o negativa.

4. Los máximos y mínimos, así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

5. Su gráfica.

Dada la función determina:

1. Dónde la función es creciente y decreciente.

2. Dónde es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.

3. Sus máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión.

4. Su gráfica.

Resuelve el siguiente problema.

La producción de lechuga, en kilogramos, en un invernadero depende de la temperatura t dentro de él, si la

producción se modela a través de la expresión . Calcula:

a. La temperatura óptima a mantener en el invernadero.

b. La producción de lechuga a esa temperatura.


51

BIBLIOGRAFÍA

Bibliografía Callejas, L. (2013). Cálculo Diferencial. Xalapa: Nueva Imagen.

Gutiérrez, S. S. (2009). MATEMÁTICAS 2. México: Nueva Imagen.

Vasquez, P. S. (2010). Matemáticas 3 (Primera Edición ed.). Xalapa Veracruz, México: Nueva Imagen.

unidad i. argumentas el estudio del cÁlculo mediante … · 2018. 8. 27. · este es un modelo...

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