unidad 5 analisis numerico
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7/24/2019 Unidad 5 Analisis Numerico
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UNIDAD 5ANALISIS NUMERICO
DERIVACIN E INTEGRACINNUMRICA
alumno:lzaro rojas romero
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10 DE NOVIEMBRE DEL
2014
UNIDAD 5: DERIVACIN E INTEGRACINNUMRICA
5.1 DERIVACIN NUMRICA.
Consideremos una funcin f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de
valores (x0, f0), (x1, f1),...,(xn, fn). El problema que vamos a abordar es el de
calcular la derivada de la funcin en un punto x que en principio no tiene por qu
coincidir con aluno de los que !uran en los datos de que disponemos. "a forma
m#s sencilla de resolver el problema de la diferenciacin numrica consiste en
estimar la derivada utili$ando frmulas obtenidas mediante la aproximacin de
%a&lor, que se denominan frmulas de diferencias !nitas. Es importante tener en
cuenta que el proceso de diferenciacin numrica es inestable. "os errores que
tenan los datos, por ejemplo los cometidos en la adquisicin de los mismos o los
debidos al redondeo aumentan en el proceso de diferenciacin como veremos a lo
laro de ste cap'tulo.
rmulas de diferencias de dos puntos
Este proceso de paso al l'mite presenta distintos problemas para ser reali$ado en
situaciones pr#cticas donde no se cono$ca la forma expl'cita de f(x). En primer
luar un l'mite no puede calcularse de modo aproximado en un computador donde
los n*meros que se manejan son !nitos. + pesar de todo es de esperar que si la
funcin f(x) no se comporta mal & 0 es un n*mero !nito pero peque-o se cumpla
Es m#s, la misma definicin de la derivada implica que si f(x) existe, entonces
a& al*n 0 a partir del cual nuestra aproximacin dista menos de una cantidad /
del valor real para la derivada. El problema es que esto slo es cierto con
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precisin in!nita &a que 0 puede ser tan peque-o que no pueda representarse en
el ordenador o que la diferencia f(x 0) f(x) est seriamente afectada por el
error de redondeo.
"a ecuacin (2.1) es la forma m#s sencilla de aproximar una derivada conocidas
f(x) & f(x0). El siuiente teorema nos proporciona informacin sobre la precisin
de esta aproximacin.
%eorema. 3ea f(x) C1 (a, b) & existe f(x) en (a, b), entonces se cumple que
4emostracin. Escribamos la aproximacin de %a&lor para la funcin en un punto
x
5eordenando la expresin anterior queda demostrado el teorema.
El teorema anterior nos indica que el error cometido al aproximar la derivada
primera por su frmula de diferencia adelantada es una funcin lineal de . Cuanto
menor sea (o sea al tomar valores de f(x) m#s cercanos) la derivada numrica
ser# m#s precisa. Este error se denomina error de truncacin o discreti$acin &
puede acotarse f#cilmente, obtenindose que E 6 m#x(x,x) 7f($)7. En realidad,
para datos obtenidos a partir de una tabla esta acotacin no es de ran utilidad
directa &a que si no se conoce la derivada primera menos a*n se conocer# la
seunda pero al menos nos permite conocer el orden de aproximacin de la
frmula.
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8eomtricamente el error 9() procede del eco de aproximar la derivada por la
pendiente de la cuerda que une los puntos f(x) & f(x ), :or otro lado, si existe la
derivada deben existir las derivadas laterales & entonces
;n problema que presenta esta frmula es que la precisin de la misma es baja &
por lo tanto en situaciones donde slo disponamos de un muestreo de baja
precisin de f(x), como ocurre en ensa&os, datos experimentales, etc., ser#
conveniente utili$ar otras frmulas de derivacin m#s precisas.
rmulas de orden superior
El error de truncacin de la frmula de diferencia adelantada de dos puntos var'a
linealmente con , de manera que es necesario usar valores de mu& peque-os
para reducir suficientemente los errores de truncacin. Es posible deducir frmulas
para las derivadas con errores de truncacin m#s peque-os. :or ejemplo,
tomemos
donde $1 (x, x ) & $2 (x , x). 5estando (2.1a) & (2.1a) obtenemos
que nos proporciona una siuiente aproximacin para la derivada con un trmino
de error de truncacin que depende cuadr#ticamente de . ;sando el teorema del
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valor intermedio f($) < (f($1) f($2))=2, & entonces, si f es suficientemente
derivable.
;sando los desarrollos de %a&lor de f(x) & f(x2) se encuentra la llamada
frmula de diferencia adelantada de tres puntos que es
5eempla$ando por en (2.>) obtenemos una frmula de diferencias retrasadas
de tres puntos
4e todas estas, la frmula de diferencia centrada es la que tiene, en principio,
menor error de truncacin & la que requiere menos evaluaciones de la funcin,
siendo por lo tanto m#s e!ciente desde el punto de vista computacional.
;tili$ando el valor de la funcin en m#s puntos se constru&en frmulas m#s
precisas para las derivadas. +luna de ellas se muestra en la tabla siuiente junto
con las que emos deducido &a.
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4erivadas de orden superior
El mismo procedimiento que se a seuido al deducir frmulas para calcular
numrica? mente las derivadas primeras puede usarse para construir derivadas
de orden superior partiendo del desarrollo de %a&lor & eliminando las derivadas
primeras. Consideremos por ejemplo las expresiones
3umando las ecuaciones anteriores & despejando se encuentra que
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:rocediendo de la misma forma es posible encontrar aproximaciones que usen
diferentes puntos & aproximaciones para derivadas de orden superior. "a tabla
siuiente presenta alunas de las frmulas m#s comunes para calcular derivadas
de orden superior.
5.2 INTEGRACIN NUMRICA: MTODO DEL TRAPECIO,
MTODOS DE SIMPSON 1/3 Y 3/8.
En los cursos de C#lculo @nteral, nos ense-an como calcular una interal definida
de una funcin continua mediante una aplicacin del %eorema undamental del
C#lculo
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Teoe!" #$%&"!e%'"( &e( C)(*$(o
3ea f(x) una funcin continua en el intervalo Aa,bB & sea (x) una anti derivada def(x). Entonces
El problema en la pr#ctica, se presenta cuando nos vemos imposibilitados de
encontrar la antiderivada requerida, a*n para interales aparentemente sencillas
como
la cual simplemente es imposible de resolver con el %eorema undamental del
C#lculo.
REGLA DEL TRAPECIO
Corresponde al caso donde n
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ue es la conocida 5ela del %rapecio. Este nombre se debe a la interpretacin
eomtrica que le podemos dar a la frmula. El polinomio de interpolacin parauna tabla que contiene dos datos, es una l'nea recta. "a interal, corresponde al
#rea bajo la l'nea recta en el intervalo Aa,bB, que es precisamente el #rea del
trapecio que se forma.
REGLA DE SIMPSON DE UN TERCIO
3uponemos que tenemos los datos
a xm b
f(a) f(xm) f(b)
donde xm es el punto medio entre a & b.
En este caso se tiene que
4onde f2(x) es el polinomio de interpolacin para los datos en la tabla anterior.
;saremos el polinomio de "a8rane. +s', tenemos que
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3i denotamos < (b?a)=2 < xm?a < b?xm, entonces
3implificando trminos
Demos que cada uno de los trminos anteriores, es esencialmente de la misma
forma, es decir, una constante por (x?)(x?F).
+s', calculamos la siuiente interal por partes
9bteniendo, por lo tanto,
;samos esta frmula para calcular la interal de cada uno de los tres trminos de
f2(x) & obteniendo como resultado final
4ebido al factor => se le conoce como la rela de 3impson de un tercio.
En la pr#ctica, sustituimos el valor de < (b?a)= 2 para obtener nuestra frmula
final
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REGLA DE SIMPSON DE TRES OCTAVOS
Este caso corresponde a n , es decir,
donde f>(x) es un polinomio de interpolacin para los siuientes datos
x0 x1 x2 x>
f(x0) f(x1) f(x2) f(x>)
G donde a< x0, b< x> & x1, x2 son los puntos que dividen en tres partes iuales
al intervalo Aa,bB.
@ual que en el caso anterior, se usa el polinomio de interpolacin de "arane, &
usando el mtodo de interacin por partes se llea a la siuiente frmula
donde < (b?a) = > . 4ebido al factor > = H es que se le dio el nombre de
5ela de 3impson de >=H. En la pr#ctica, se sustitu&e el valor de para obtener
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5.3 INTEGRACIN CON INTERVALOS DESIGUALES.
Cuando la lonitud de los subintervalos no es iual, se usa una combinacin de la
rela %rape$oidal & las relas de 3impson, procurando seuir el siuiente orden
jer#rquico
1 .? 3impson >=H
Esta se aplica, si contamos con I puntos iualmente espaciados.
2 .? 3impson 1=>
Esta se aplica si falla (1) & contamos con > puntos iualmente
espaciados.
> .? 5ela %rape$oidal
3olo se aplica si no se cumple (1) & (2)
Ejemplo
Evaluar
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usando la siuiente tabla
x 0 0.1 0.> 0.J 0.K 0.LJ 1.2
f(x) 0 M.HI I I.2 J.J1 J.KK 1
3olucin.
Demos que en el intervalo A0,0.01B podemos aplicar la rela del trapecio, en el
intervalo A0.1,0.KB la rela de 3impson de >=H & en el intervalo A0.K,1.2B la rela de
3impson de 1=>. +s', tenemos las siuientes interales
inalmente, la interal buscada es la suma de las tres interales anteriores
5.+ APLICACIONES.
N Otodo del trapecio
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Ejemplo 1
;tili$ar la rela del trapecio para aproximar la interal
3olucin.
;samos la frmula directamente con los siuientes datos
:or lo tanto tenemos que
N Otodo de 3impson 1=>
Ejemplo 1.
;sar la rela de 3impson de 1=> para aproximar la siuiente interal
3olucin.
+plicamos la frmula directamente, con los siuientes datos
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:or lo tanto, tenemos que
N Otodo de 3impson >=H
Ejemplo 1.
+proximar la siuiente interal
aplicando la rela de 3impson de >=H, & subdiviendo en > intervalos.
3olucin
@dentificamos n & la particin correspondiente
+l considerar los puntos que dividen en tres partes iuales a cada subintervalo,
tenemos los siuientes datos
3ustitu&endo todos los datos en la frmula, obtenemos
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