unidad 4 progresiones y matemática financiera · 2018. 2. 14. · matemática aplicada prof. hugo...

Matemática Aplicada Prof. Hugo Payahuala Vera

1

Unidad IV. Progresiones y Matemáticas Financieras Comentario inicial En esta unidad estudiaremos las progresiones aritméticas y geométricas y su aplicación a las matemáticas financieras, para ello primero definiremos el concepto de sucesión. Definición (Sucesión)

Una sucesión s es una función, tal que RNs →: , cuyo dominio es el conjunto de los números naturales { },...2,1=N y cuyo codominio es el conjunto de los números reales.

Observación y definición

Si s es una sucesión y si Nn∈ , entonces el número real )(ns , lo denotaremos por ns y se llamará el −n ésimo termino de la sucesión.

Ejemplo

Sea RNs →: la sucesión definida por 1)( +== nsns n , entonces

El primer término es 2111 =+=s

El segundo término es 3122 =+=s

El noveno término es 10199 =+=s

El término de orden 105 es 1061105105 =+=s , etc.

Ejemplo

Sea RNs →: la sucesión definida por 1)( 2 +== nsns n , entonces

El primer término es 21121 =+=s

El segundo término es 51222 =+=s

El noveno término es 821929 =+=s , etc.

Progresión Aritmética

Definición (Progresión Aritmética)

Una Progresión Aritmética (PA), es una sucesión en que cada término se obtiene sumándole al término anterior un número constante.

Ejemplo

La sucesión ,.....14,11,8,5,2 es una progresión aritmética, ya que cada término se obtiene del anterior sumándole el número 3 .

Observación

Si el primer término de una Progresión Aritmética es a y el número constante que se suma a cada término sucesivo es d , entonces los términos de la PA son,


2

,...,)1(...,,2,, dnadnadadaa ⋅+⋅−+⋅++

...,,,...,,, 1321 +nn sssss

Observación

De la observación anterior, se tiene que el −n ésimo término de una PA, está dado por

dnasn ⋅−+= )1(

Observación

El número constante d de una PA, se puede obtener haciendo la diferencia entre dos términos consecutivos de la PA, es decir,

nn ssd −= +1 Ejemplo

Dada la sucesión ...,13,9,5,1 Hallar el, a) décimo quinto término y b) el −n ésimo término.

Solución

La sucesión es una PA, ya que:

41512 =−=− ss

45923 =−=− ss

491334 =−=− ss

Por lo tanto, 1=a y 4=d

Así, a) el décimo quinto término es

574141)115(15 =⋅+=⋅−+= das

b) el −n ésimo término es

344)1(1)1( −=⋅−+=⋅−+= nndnasn

Ejemplo (Depreciación)

Una empresa instala una máquina con costo inicial de $1.700. El valor de la máquina se deprecia anualmente en $150. Hallar una expresión para el valor de la máquina después de n años. Si el valor de deshecho es de $200. ¿Cuál es el tiempo de vida útil de la máquina?

Solución

El valor de la maquina al cabo del año 1 es 550.1150700.11 =−=s

El valor de la máquina al cabo del año 2 es 400.1150550.115012 =−=−= ss

El valor de la máquina al cabo del año 3 es 250.1150400.115023 =−=−= ss


3

Y así sucesivamente,

Nótese que,

150... 12312 −=−==−=− + nn ssssss

Por lo tanto, la sucesión es una PA, con 550.11 == sa y 150−=d

Así, el valor de la máquina al cabo de n años es,

nndnasn ⋅−=−⋅−+=⋅−+= 150700.1)150()1(550.1)1(

Si el valor de deshecho es $200, entonces 200=ns , es decir,

10150700.1200 =⇒⋅−= nn

Por lo tanto, la vida útil de la máquina es de 10 años.

Ejemplo

Los pagos mensuales que Alicia hace en el banco por un crédito forman una PA. Si los pagos sexto y décimo son de $345 y $333, respectivamente, ¿de cuánto será su décimo quinto pago al banco?

Solución

Como la sucesión de pagos forman una PA, entonces si a es el primer pago y d la cantidad constante que se agrega (o quita) a cada pago, entonces 6s y 10s , son respectivamente

das

das

9333

5345

10

6

+==+==

Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales, se obtiene que 360=a y 3−=d

Por lo tanto, el −n ésimo término (n-ésimo pago) es

nndnasn 3363)3()1(360)1( −=−⋅−+=⋅−+=

Por lo tanto, el décimo quinto pago es

31815336315 =⋅−=s dólares

Interés Simple

Si P es una cantidad de dinero invertida a una tasa de interés anual del r⋅100 por ciento. En un año, la cantidad de interés I ganada está dado por,

rPI ⋅=

Si la inversión es a interés simple, entonces en los años sucesivos el interés sólo se paga sobre el

capital P y no sobre los montos de interés ganados. Es decir, al final de cada año, se agrega la cantidad constante rPI ⋅= , según esto, la sucesión de valores de la inversión al final de cada año es

...,3,2,, IPIPIPP +++

la cual forma una PA, donde el primer término es P y la cantidad constante es rPI ⋅=


4

Por lo tanto, si tP es la inversión del monto inicial mas el Interés Simple, después de t años, entonces

)1(. trPrPtPItPPt ⋅+⋅=⋅⋅+=⋅+=

Ejemplo (Interés simple)

Se invierten $2.000 con interés simple a una tasa de interés anual del 12%. Hallar una expresión para el valor de la inversión t años después que se realizó. Calcular el valor de la inversión después de 6 años.

Solución

Tenemos que 000.2=P y 12,0100

1212100 ==⇒=⋅ rr

Por lo tanto, la inversión del monto inicial mas el Interés Simple, después de t años, es

tttrPPt ⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅= 240000.2)12,01(000.2)1(

Después de 6 años el valor de la inversión es,

440.36240000.26 =⋅+=P dólares

Observación (Suma de los primeros n términos de una PA)

La suma nS de los primeros n términos de una PA, donde a es el primer término y d es el término constante, está dada por

[ ]dnanSn ⋅−+⋅= )1(22

Ejemplo

Hallar la suma de los primeros 20 términos de la progresión L+++++ 1411852

Solución

La sucesión K,14,11,8,5,2 es una PA, ya que

,32512 =−=−ss 35823 =−=− ss , 381134 =−=− ss , 3111445 =−=− ss ,

Es decir, la diferencia de cualquier término de la sucesión y su antecesor es constante e igual a 3, o sea 3=d .

Así, 21 == sa , 3=d y 20=n y la suma de los primeros 20 términos de la progresión es,

[ ] 6103)120(222

2020 =⋅−+⋅=S

Ejemplo (Pago de un crédito)

El banco le ha dado un crédito al Sr. González por $5.000.000 a un interés mensual del 1%. Cada mes paga $200.000 al capital más el interés mensual del saldo pendiente. ¿Cuánto deberá pagar en total en el tiempo que esté pagando el crédito?

Solución

La sucesión de pagos es:


5

1s = 200.000+(1% de 5.000.000)=$250.000

2s = 200.000+(1% de 5.000.000-200.000=4.800.000)=$248.000

3s = 200.000+(1% de 5.000.000-400.000=4.600.000)=$246.000

4s =200.000+(1% de 5.000.000-600.000=4.400.000)=$244.000, y así sucesivamente.

Nótese que la sucesión de pagos es una PA, con 000.2501 == sa , 000.2−=d

Como se paga $200.000 al mes del capital, entonces el plazo total del crédito es 25000.200

000.000.5 ==n meses.

Por lo tanto, el total que se pagará al banco, es la suma 25S de los 25 primeros términos de la PA., es decir,

[ ])000.2()125(000.25022

2525 −⋅−+⋅⋅=S

[ ] 000.650.5$000.50000.5022

25 =−⋅=

Nótese que el interés pagado al banco es de $650.000

Ejemplo

Un individuo pagará una deuda de $5.800.000 libre de interés, en cierto número de cuotas, cada una de ellas a partir de la segunda debe exceder a la anterior en $20.000. Si la primera cuota se de $100.000, calcular el número de cuotas que deberá cancelar para finiquitar la deuda.

Solución

La sucesión de pagos es:

000.1001 =s

000.120000.20000.1002 =+=s

000.140000.20000.1203 =+=s , y así sucesivamente.

La sucesión de pagos es una PA, con 000.100=a y 000.20=d

Debemos determinar n de modo que la suma de pagos mensuales, nS sea el total de deuda $5.800.000.

O sea,

[ ] 000.800.5000.20)1(000.10022

=⋅−+⋅⋅= nnSn

Simplificando la expresión anterior se obtiene la ecuación de segundo grado,

058092 =−+ nn

Las soluciones de esta ecuación son: 20=n o 29−=n

Pero n no puede ser negativo ¿por qué?


6

Por lo tanto, 20=n

Así, el individuo deberá cancelar 20 cuotas para finiquitar el crédito.

Progresión Geométrica

Definición (Progresión Geométrica)

Una Progresión Geométrica (PG), es una sucesión en que cada término se obtiene multiplicándole al término anterior un número constante, no nulo, llamado razón común de la PG.

Observación

Para hallar el número constante o razón común de una PG, basta determinar el cuociente entre un término cualquiera y el término que le antecede.

Ejemplo

La sucesión 2, 6, 18, 54, 162, … es una PG, ya que

3...54

162

18

54

6

18

2

6 ===== que es la cantidad constante que se multiplica a cada término de la PG para

obtener el término siguiente.

Ejemplo

La sucesión L,24

1,

12

1,

6

1,

3

1 −− es una PG, con razón común 2

1−

Observación

Si el primer término de una PG es a y la razón común es r , entonces los términos de la PG son:

L,,,, 32 ararara

Observación

De la observación anterior se tiene que el n-ésimo termino ns de una PG, esta dado por

1−⋅= nn ras Ejemplo

Hallar los términos quinto y n-ésimo de la sucesión 2, 6, 18, 54, 162,…

Solución

La sucesión es una PG, con 2=a y 3=r , por lo tanto el quinto término es

16232 155 =⋅=−s y el n-ésimo es 132 −⋅= nns

Ejemplo

Los términos cuarto y noveno de una PG son 2

1 y

243

16, respectivamente. Hallar el sexto término.


7

Solución

Debemos encontrar a y la razón común r .

Tenemos que

2

134 == ars y 243

1689 == ars

Dividiendo la segunda ecuación por la primera, se obtiene

3

2

3

2

243

32

2

1

243

165

53

8

=⇒

==⇒÷= rrar

ar

Reemplazando este valor de r en la primera ecuación, se tiene que

16

27

22

3

3

2

2

1

2

1

3

23

333

=⋅

=

÷=⇒=

⋅ aa

Por lo tanto,

9

2

24316

3227

3

2

16

275

56 =⋅

⋅=

⋅=⋅= ras

Es decir, el sexto término de la PG es 9

2

Ejemplo (Depreciación)

Una máquina se compró en $10.000 y se deprecia anualmente a una tasa del 20% de su valor. Hallar una expresión para el valor después de n años. Si el valor de deshecho es $3.000, ¿cuál es la vida efectiva de la máquina, es decir, el número de años hasta que su valor depreciado sea menor que el valor de desecho?

Solución

La sucesión de valores al final de cada año es,

Valor al final del año 1 es %20000.101 −=s de 000.8000.10 =





La sucesión de valores al final de cada año es una PG, con 000.8=a y razón común

5

48,0

000.8

400.6

400.6

120.5

120.5

096.4 =====r

Por lo tanto,

El valor de la máquina después de n años es


8

nnnn

n ras

⋅=

⋅⋅=

⋅=⋅=−

−

5

4000.10

5

4

4

5000.8

5

4000.8

11

Ahora debemos calcular n , tal que 000.3


9

Ahorro de $1.000 el 3er. Año, a 8 años de intereses es: 8)08,1(000.1 ⋅ y así sucesivamente,

Ahorro de $1.000 el 10mo. Año, a 1 años de intereses es: 1)08,1(000.1 ⋅ , mas el ahorro del año actual de

$1.000

Por lo tanto, el total del plan de ahorro al décimo año, incluido el ahorro actual es la suma,

000.1)08,1(000.1)08,1(000.1)08,1(000.1 1910 +⋅++⋅+⋅ L

Escribiendo de menor a mayor los términos de la suma anterior, se observa que se trata de la suma de los 11

primeros términos de una PG, con 000.1=a y razón común 08,1=r .

Por lo tanto,

625.168,0

)33,1(000.1

08,11

))08,1(1(000.1

1

)1( 111111 ≈−

−⋅=−

−⋅=−−⋅=r

raS dólares

Observación (suma de una PG infinita)

La suma S de la progresión geométrica infinita,

L++++= 32 arararaS

está dada por,

r

aS

−=

1 , siempre que 11


10

Matemáticas Financieras

Algunas de las aplicaciones que estudiaremos de las progresiones a las matemáticas financieras son: Planes de Ahorro, Anualidades y Amortización.

Planes de Ahorro

Antes de dar una definición formal, el tipo más simple de plan de ahorro es el que consiste en pagos regulares de una cantidad fija de dinero, que se realiza en el plan (por ejemplo, al término de cada mes o una vez al año) y el saldo invertido en el plan gana intereses a una tasa fija.

Ejemplo

Cada mes una persona deposita $100 en un plan de ahorros que gana intereses al %2

1 mensual.

Calcular el valor de sus ahorros:

a) Inmediatamente después de efectuar el vigésimo quinto depósito

b) Después de realizar su n -ésimo depósito.

Solución

a) El primer depósito estará en el plan de ahorros durante 24 meses y su valor será: 24)005,1(100 ⋅

El segundo depósito estará en el plan de ahorros durante 23 meses y su valor será: 23)005,1(100 ⋅

El tercer depósito estará en el plan de ahorros durante 22 meses y su valor será: 22)005,1(100 ⋅


El penúltimo depósito (depósito 24) estará solo un mes en el plan de ahorros y su valor será: )005,1(100 ⋅

El último depósito, que es al inicio del mes 25, no gana intereses, por lo tanto su valor es: 100

Por lo tanto, el valor total del plan de ahorros es la suma de todos estos valores, es decir,

242 )005,1(100)005,1(100)005,1(100100 ⋅++⋅+⋅+= LS

Esta es una suma de los términos de una PG, con 100=a , 005,1=r y 25=n

Por lo tanto,

( )91,655.2

005,11

)005,11(100

1

)1( 25

25 =−−⋅=

−−⋅=r

raS

n

Así, el plan de ahorros después de efectuar el vigésimo quinto depósito es de 91,655.2$

b) El valor de los ahorros después del n -ésimo depósito, es

( ) [ ]1)005,1(000.20005,11

)005,11(100

1

)1( −⋅=−−⋅=

−−⋅= n

nn

n r

raS

Siguiendo el mismo razonamiento del ejemplo anterior podemos determinar en general el valor de un Plan de Ahorros:


11

Observación (Plan de Ahorro)

Si una cantidad de dinero P se deposita cada período de tiempo (un mes, un trimestre, un año o cualquier otro período de tiempo de longitud fija) a una tasa de interés de i⋅100 por ciento en cada periodo, entonces el valor del Plan de Ahorros inmediatamente después que se hace el n -ésimo depósito es:

12 )1()1()1( −+⋅+++⋅++⋅+= nn iPiPiPPS L

Que es la suma de los n primeros términos de una PG, con Pa = y ir += 1

Por lo tanto,

[ ] [ ]1)1(1)1( −+⋅=−+⋅= nnn iiP

i

iPS

Anualidades

Definición (anualidad)

Una anualidad es una sucesión de pagos de cierta cantidad fija de dinero que se realizan a intervalos regulares de tiempo, con interés compuesto.

Observación (tipos de anualidades)

Hay varios tipos de anualidades, siendo las más comunes la Anualidad ordinaria o vencida, la anualidad anticipada y la anualidad diferida.

1. Anualidad ordinaria o vencida, es aquella en que los pagos se hacen al final de cada periodo de tiempo.

Observación

El ejemplo anterior del plan de ahorros es una anualidad vencida de $100 mensuales

Observación (Valor Futuro de una anualidad)

La expresión

[ ] [ ]1)1(1)1( −+⋅=−+⋅= nnn iiP

i

iPS

se llama el valor futuro después de n periodos de una anualidad vencida P por periodo, cuando la tasa es i⋅100 por ciento en cada periodo.


12

La próxima observación da una expresión que nos permite calcular el valor A de una anualidad, en que los pagos de la anualidad son iguales a P , pagados en intervalos de tiempo regulares durante n períodos, empezando un periodo después que se adquiere la anualidad a una tasa de i⋅100 por ciento en cada periodo.

Observación

Si se adquiere una anualidad cuyo valor es A , en que los pagos de la anualidad sean iguales a P , pagados en intervalos de tiempo regulares durante n periodos, empezando un período después que se adquiere la anualidad a una tasa de i⋅100 por ciento en cada periodo, entonces

[ ]nii

PA −+−= )1(1

Observación (Valor Presente de una anualidad vencida)

El valor de A de la observación anterior se llama Valor Presente de la anualidad vencida P por periodo para n períodos. Es decir, el valor presente A de una anualidad P , es el valor que se debe pagar para adquirir dicha anualidad.

Ejemplo

Una persona debe pagar al final de cada mes $200 por 5 años. Hallar el valor presente de la anualidad si la tasa aplicada es del 24% nominal (anual) capitalizable mensualmente.

Solución

Se trata de una anualidad vencida, ya que el pago se hace al final de cada mes.

Los datos son:

200=P , 5=n años 125 ⋅= meses 60= meses,

tasa nominal %24= anual, entonces la tasa (efectiva) mensual es de %212

24 = , es decir, 02,0=i

Por lo tanto, el valor presente de la anualidad es

[ ]nii

PA −+−= )1(1

[ ]60)02,01(102,0

200 −+−=

18,952.6=

Es decir, esta persona debe adquirir una anualidad (préstamo inicial) de de $6.952,18, por lo cual pagará durante 60 meses a una tasa nominal de 24% anual, la cantidad fija de $200 mensuales.


13

Ejemplo

El señor Hernández al cumplir 65 años de edad, desea adquirir una anualidad que le pagará $5.000 cada año por los próximos 10 años, el primer pago lo recibirá al cumplir 66 años. Su compañía de Seguros le dará una tasa de interés anual del 8% en la inversión. ¿Cuánto deberá depositar inicialmente con el propósito de adquirir dicha anualidad?

Solución

Se trata de una anualidad vencida, ya que el primer pago lo recibirá al cumplir los 66 años, es decir, al final de los 65 años.

Debemos determinar el valor presente A de dicha anualidad.

Los datos son:

000.5=P , 10=n años y la tasa efectiva es 08,0=i

Por lo tanto, el valor presente de la anualidad es

[ ]nii

PA −+−= )1(1

[ ] 550.33)08,01(108,0

000.5 10 =+−= −A

Es decir, el Sr. Hernández al cumplir los 65 años, deberá depositar en su compañía de seguros, la cantidad de $33.550, para poder recibir $5.000 anuales durante 10 años.

Ejemplo

Una persona se retira a la edad de 65 años y usa sus ahorros de toda la vida de $120.000 para adquirir una pensión anual. La compañía de seguros de vida le ofrece una tasa de interés del 6% y estima que su esperanza de vida es de 15 años. ¿De cuanto será la anualidad (esto es la pensión mensual máxima) que recibirá?

Solución

Se trata de una anualidad vencida, ya que su primera pensión anual, será al final de los 65 años.

En este caso debemos calcular el valor P de la anualidad.

Los datos son:

000.120=A , 15=n años y la tasa 06,0=i

Por lo tanto,

[ ]n

n

i

AiPi

i

PA −

−

+−⋅=⇒+−=

)1(1)1(1

53,355.12)06.01(1

000.12006.015 =+−

⋅=⇒ −P

Por lo tanto, esta persona recibirá una pensión anual de $12.355,53 durante 15 años.


14

2. Anualidad anticipada, es aquella en que los pagos se hacen al inicio de cada período.

Observación (Valor Futuro de una anualidad anticipada)

La expresión

[ ])1()1( 1 iii

PS nn +−+=

+

[ ] )1(1)1( ii

i

P n +⋅−+=

se llama el valor futuro después de n periodos de una anualidad anticipada P por periodo, cuando la tasa es de i⋅100 por ciento en cada periodo.

Observación (Valor Presente de una anualidad anticipada)

Si se adquiere una anualidad anticipada cuyo Valor Presente es A , en que los pagos de la anualidad son iguales a P , pagados en intervalos de tiempo regulares durante n periodos, a una tasa de i⋅100 por ciento en cada periodo, entonces

[ ]1)1()1( +−+−+= niii

PA

[ ] )1()1(1 ii

i

P n +⋅+−= −

Ejemplo

Un trabajador deposita $250 en una cuenta de ahorro al inicio de cada mes. Si dicha cuenta paga 1,3% de interés mensual capitalizable al mes. ¿Cuánto ha ahorrado al cabo de un año?

Solución

Se trata de una anualidad anticipada, en la cual nos piden el valor futuro de dicha anualidad.

Los datos son: 250=P , 013,0=i y 12=n meses


15

Por lo tanto, el valor futuro es,

[ ])013,01()013,01(013,0

250 11212 +−+=

+S

4,265.3=

Por lo tanto, al cabo de un año el trabajador ha ahorrado $3.265,4

Ejemplo

Una empresa constructora desea comprar una máquina excavadora que vale $200.000, con un crédito del banco, mediante cuotas iguales mensuales anticipadas durante 5 años de plazo, con una tasa del 18% nominal, capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el valor de las cuotas? El banco le paga al contado al vendedor de la máquina.

Solución

Se trata de una anualidad anticipada, en la cual nos piden el valor del pago o de las cuotas P .

Los datos son:

Valor presente 000.200=A ,

Tasa nominal 18%, capitalizable mensualmente 015,012

18,0 ==⇒ i

5 años 60125 =⋅=⇒ n meses

Por lo tanto, debemos despejar P de la fórmula del valor presente de una anualidad anticipada.

Es decir,

[ ]160)015,01()015,01(015,0

000.200 +−+−+= P

7,003.5=

Así, el valor de las cuotas que debe pagar al banco la empresa constructora es de $5.003,7 durante 5 años.

3. Anualidad diferida, es aquella anualidad vencida en que el primer pago se hace a partir del segundo período de tiempo o posterior, en este caso, hay un período de gracia. Es decir, el primer pago se hace después de haber transcurrido un cierto número de períodos de tiempo


16

Observación (Valor Futuro de una anualidad diferida)

La expresión

[ ]1)1(; −+= −knkn ii

PS

se llama el valor futuro después de kn − periodos de una anualidad diferida P por periodo, cuando la tasa es de i⋅100 por ciento en cada periodo y k es el número de periodos diferidos o de gracia.

Observación (Valor Presente de una anualidad diferida)

Si se adquiere una anualidad con k periodos diferidos o de gracia, cuyo Valor Presente es A , en que los pagos de la anualidad son iguales a P , pagados en intervalos de tiempo regulares durante kn − periodos, a una tasa de i⋅100 por ciento en cada periodo, entonces

[ ] kknkn iiiP

A −+− +⋅+−= )1()1(1;

Ejemplo

Un productor agrícola obtiene un préstamo de $50.000 que deberá ser cancelado en 10 años, mediante cuotas iguales anuales, la primera dentro de 3 años. Determinar el valor de las cuotas si el banco le cobra una tasa de interés efectiva de 12%.

Solución

Se trata de una anualidad diferida con un periodo de gracia de 3 años.

Debemos encontrar el valor de la cuota anual, dado el valor presente de la anualidad.

Los datos son:

Valor presente de la anualidad, 000.50=A

Tres años de gracia o diferidos 2=⇒ k

Tiempo de la anualidad 10= años

Tasa efectiva de 12% 12,0=⇒ i

Hay que despejar P de la fórmula del valor presente de una anualidad diferida

Es decir,

[ ] 2210 )12,01()12,01(112,0

000.50 −+− +⋅+−= P

7,625.12=

Por lo tanto, el productor agrícola deberá pagar 7 cuotas anuales de $12.625,7 después de 3 años de otorgado el préstamo.


17

Ejemplo

Una empresa industrial estima que la utilidad anual que generará un proyecto es de $500.000 dólares a partir (o inicio) del año 3. La tasa de reinversión de los fondos liberados es de un 20% anual. El proyecto concluye al término de 18 años continuos de explotación. Determinar el monto de la reinversión en el año 18.

Solución

Se trata de una anualidad diferida y nos piden el valor futuro de dicha anualidad.

Los datos son:

000.500=P

2=k , las utilidades se generan a partir del año 3 (dos años de gracia)

2,0=i

20=n , dos años de gracia, más los 18 años continuos de explotación.

Hay que calcular knS − , de la fórmula del valor futuro de una anualidad diferida, es decir,

[ ]1)2,01(2.0000.500 220

18220 −+==−

− SS

[ ]1)2,1(000.500.2 18 −= 2,333.058.64=

Por lo tanto, el monto de la reinversión al finalizar el proyecto es de $64,058 millones de dólares.

Amortización

Definición (Amortización)

Una amortización es el proceso mediante el cual se extingue gradualmente una deuda por medio de pagos o abonos periódicos que pueden ser iguales o diferentes, en intervalos de tiempos iguales o diferentes.

Observación

La amortización de una deuda presenta el mismo problema que el pago de una anualidad. Por lo tanto, los problemas de amortización se resuelven utilizando las fórmulas y resultados de las anualidades.

Ejemplo

Una pequeña empresa solicitará un préstamo al banco, el cual fija una tasa de interés del 1% mensual y un plazo de 24 meses para pagar la deuda. La empresa se compromete a pagar la deuda con pagos mensuales de $1.500. ¿Cuánto es lo máximo que puede pedir al banco?

Solución

Este problema de amortización se puede considerar como una anualidad vencida, en la cual debemos

calcular el valor presente A .

Los datos son:

500.1=P , 01,0=i y 24=n


18

Reemplazando estos valores en la fórmula del valor presente de una anualidad vencida, tenemos

[ ]24)01.01(101.0

500.1 −+−=A

08,865.31=

Por lo tanto, la pequeña empresa puede pedir al banco máximo $31.865,08 dólares.

Ejemplo

Un matrimonio tiene un ingreso anual de $45.000. El banco les dará un crédito hipotecario para adquirir su nueva vivienda, de modo que los pagos correspondan a la tercera parte de sus ingresos. Si la tasa de interés es del 1,2% mensual amortizado en 25 años. ¿Cuál es el valor máximo de la vivienda que desean adquirir??

Solución

Este problema de amortización se puede considerar como una anualidad vencida, en la cual debemos

calcular el valor presente A .

Los datos son:

250.13)12()000.45( =÷÷=P mensuales

3001225 =⋅=n meses

012,0=i mensual


[ ]300)012,01(1012,0

250.1 −+−=A

80,258.101=

Por lo tanto, a lo mas pueden adquirir una vivienda cuyo valor se a de $101.258,80 dólares

Ejemplo

Durante sus años en la universidad, un estudiante acumula préstamos de modo que al titularse, la deuda es de $8.000. El préstamo acumula intereses al 8% anual y debe liquidarlo en pagos únicos al término de cada año. ¿Cuánto deberá pagar el estudiante cada año con el propósito de saldar la deuda en 5 años?

Solución

Este problema se puede considerar como una anualidad vencida, en que el valor presente 000.8=A y nos piden el valor de la cuota P .

Los datos son:

000.8=A , 8,0=i y 5=n (años)


[ ]5)08,01(108,0

000.8 −+−= P


19

Por lo tanto,

65,003.2)08,1(1

6405

=−

= −P

Así, el estudiante deberá pagar $2.003,65 dólares cada año, durante cinco años para pagar su deuda.

Observación (Saldo o Capital insoluto de un crédito)

Si A es el capital actual o presente de un crédito, P es el valor de la cuota de la anualidad, entonces el Saldo o Capital Insoluto del crédito, después del k -ésimo pago está dado por,

−−

−=

− pagoésimokelhastarealizadospagoslosdeSuma

pagoésimokdelfinalal

deudaladeTotal

pagoésimokdeldespues

insolutoCapitaloSaldo

kk SiA −+⋅= )1(

Por lo tanto,

[ ]1)1()1( −+−+⋅=

−kk i

i

PiA

pagoésimokdeldespues

insolutoCapitaloSaldo

Ejemplo (Saldo o Capital insoluto de un crédito)

Una persona adquiere el día de hoy un crédito de $50.000 a una tasa del 24% anual capitalizable trimestralmente que amortiza mediante 4 pagos cuatrimestrales iguales, el primero de los cuales vence dentro de 3 meses ¿de cuánto será cada pago?. Hacer una tabla de amortización de la deuda, que incluya, N° cuota, Valor de la cuota, Interés del Saldo, Amortización y Saldo o Capital Insoluto.

Solución

Datos:

000.50=A

%24=i anual capitalizable trimestralmente 06,04/24,0 ==⇒ i

4=n trimestres

Entonces, el valor de la cuota es,

[ ] 57,429.14$)06,1(106,0

000.50 4 =⇒−= − PP

Por lo tanto,

El saldo del crédito después del primer pago es,

[ ] 43,570.3857.429.14000.531)06,1(06,0

57,429.14)06,01(000.50 11 =−=−⋅−+⋅=

El saldo del crédito después del segundo pago es,

[ ] 09,455.2691,724.29180.561)06,1(06,0

57,429.14)06,01(000.50 22 =−=−⋅−+⋅=


20

El saldo del crédito después del tercer pago es,

[ ] 09,455.2691,724.298,550.591)06,1(06,0

57,429.14)06,01(000.50 33 =−=−⋅−+⋅=

El saldo del crédito después del cuarto pago es,

[ ] 085.6312385,123.631)06,1(06,0

57,429.14)06,01(000.50 44 =−=−⋅−+⋅=

Esta información se puede resumir en la siguiente tabla de amortización del crédito,

Monto del Crédito Hipotecario 50.000,00 tasa cuatrimestral 0,06 Plazo 4 cuatrimestres Cuota cuatrimestral 14.429,57

N° Cuota Pago del periodo Intereses Amortización Saldo

0

0,00 0,00 0,00 50.000,00

1

14.429,57 3.000,00 11.429,57 38.570,43

2

14.429,57 2.314,23 12.115,34 26.455,09

3

14.429,57 1.587,31 12.842,26 13.612,82

4

14.429,57 816,77 13.612,82 0,00

TOTALES 57.718,28 7.718,31 50.000,00

El interés se obtiene, aplicando la tasa del crédito al saldo del periodo anterior.

La amortización es la diferencia entre el Pago y los intereses de un mismo periodo.

El Saldo o Capital Insoluto, es la diferencia entre el saldo del periodo anterior y la amortización del periodo actual.


21

unidad 4 progresiones y matemática financiera · 2018. 2. 14. · matemática aplicada prof. hugo...

Documents