unidad 4: dinámica de sistemas de partículas. cuerpo ...4 – energÍa en el movimiento rotacional...

Unidad 4: Dinámica de sistemas de partículas.Cuerpo rígido. (Parte I)

1 – CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

2 – CUERPO RÍGIDO: CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL

3 – MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO RÍGIDO

4 – ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN CUERPO RÍGIDO

5 – CUERPO RÍGIDO: DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL

6 – ROTOTRASLACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO

Es la rama de la Mecánica Clásica que estudia la relación entre:

el Movimiento de los cuerpos (cambios de posición) y las Fuerzas que lo producen.

FÍSICA I

Consideremos que el sistema está formado por un gran número de partículas,

con masas m1, m2, …, etc.

Las coordenadas de m1 son (x1,y1), las de m2 son (x2,y2), …, etc.

( )1 1 2 2

1 2

...

...

i i

icm

i

i

mm m

xm m m

+ += =

+ +

∑

∑

xx x

( )1 1 2 2

1 2

...

...

i i

icm

i

i

mm m

ym m m

+ += =

+ +

∑

∑

yy y

La ubicación del centro de masa del sistema es el punto (xcm,ycm), donde:

El centro de masa (c.m.) de un sistema de partículas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta de la siguiente manera:

- La masa del c.m. es igual a la masa total del sistema de partículas.

- En el c.m. está aplicada la resultante de las fuerzas externas que

actúan sobre el sistema.

El centro de masas se define independiente de cualquier efecto gravitacional.


CENTRO DE MASA

POSICIÓN DEL CENTRO DE MASA

Las componentes x e y de velocidad del centro de masa (vcm-x y vcm-y)

son las derivadas de xcm y ycm respecto al tiempo.


( )1 1 2 2

1 2

...

...

i ix

x x icm x

i

i

mm m

vm m m

−

+ += =

+ +

∑

∑

vv v ( )

1 1 2 2

1 2

...

...

i iyy y i

cm y

i

i

mm m

vm m m

−

+ += =

+ +

∑

∑

vv v

La velocidad del centro de masa del sistema es el punto (xcm,ycm), donde:


MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA

Si llamamos M a la masa total del sistema de partículas: M = m1+ m2+...

1 1 2 2 ...cmMv m v m v P= + + =�

� � �

La cantidad de movimiento p de un sistema de partículas es la masa total

del sistema multiplicada por la velocidad del centro de masa.

Las componentes x e y de aceleración del centro de masa (acm-x y acm-y)

son las derivadas de vcm y vcm respecto al tiempo.


( )1 1 2 2

1 2

...

...

i ix

x x icm x

i

i

mm m

am m m

−

+ += =

+ +

∑

∑

aa a ( )

1 1 2 2

1 2

...

...

i iyy y i

cm y

i

i

mm m

am m m

−

+ += =

+ +

∑

∑

aa a

La velocidad del centro de masa del sistema es el punto (xcm,ycm), donde:


ACELERACIÓN DEL CENTRO DE MASA

Si llamamos M a la masa total del sistema de partículas: M = m1+ m2+...

ext cm

i

F Ma=∑�

Cuando fuerzas externas actúan sobre un sistema de partículas,

el centro de masa se mueve como si toda la masa estuviera

concentrada en ese punto y sobre ella actuara una fuerza neta

igual a la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.


Describimos el movimiento de un cuerpo,

suponiendo que el cuerpo es un punto o partícula.

Hasta ahora � Primer parte de Física I

Pero … Siempre hay un pero…

Hay situaciones donde hacer esto no es adecuado. Por ejemplo:

Movimiento de un CD, de un ventilador de techo, calesita, etc.

Buena aproximación para algunos casos!

CUERPO RÍGIDO

CUERPO RÍGIDO

Debemos considerar los cuerpos con un dado tamaño y una dada forma.

Los CUERPOS RÍGIDOS pueden tener tanto movimiento TRASLACIONAL como ROTACIONAL

Entonces…

Se trata de un cuerpo rígido que gira sobre un eje fijo,

es decir, un eje que está en reposo en algún marco de referencia inercial

y no cambia de dirección relativa al marco.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN CUERPO RÍGIDO


Aguja de velocímetro de un auto que

gira en sentido antihorario sobre un eje fijo.

La rotación del cuerpo rígido

se describe a partir del ángulo θ

que se forma con el eje x positivo

Se adopta que los ángulos son positivos cuando el movimiento

es en sentido antihorario y negativo en sentido horario

Ejemplo:


ÁNGULOS EN RADIANES

2π

360º1 rad = = 57, 3º

/ 2

π

π

180º = rad

90º = rad


[rad/s]

El cuerpo gira en torno

al eje de rotación z

[rad]

Es la magnitud de la velocidad angular instantánea

2 1θ θ θ∆ −�

=

2 1

2 1

med zt t t

θ θ θω −

− ∆=

− ∆

�

=

[rad/s]0

z

t

d

t dt

θ θω

∆ →

∆=

∆

�

= lim

[rad/s]z zω ω

�

=

Además de [rad/s] pueden usarse otras unidades como [rpm] (revoluciones por minuto)

1 rev 2 radπ =2

1 rpm rad/s60

π = (1 rad/s � 10 rpm)

DESPLAZAMIENTO ANGULAR

VELOCIDAD ANGULAR MEDIA

VELOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNEA

RAPIDEZ ANGULAR


REGLA DE LA MANO DERECHA

Para saber el signo de la velocidad angular

Tiene especial utilidad en situaciones donde

cambia la dirección del eje de rotación


[rad/s2]2 1

2 1

z z zmed z

t t t

ω ω ωα −

− ∆=

− ∆

�

=

2

20

z zz

t

d d

t dt dt

ω ω θα

∆ →

∆= =

∆

�

= lim [rad/s2]

La rotación del cuerpo rígido se está acelerando si y tienen el mismo signo.zα

zω

La rotación del cuerpo rígido se está frenando si y tienen signos opuestos.zα

zω

ACELERACIÓN ANGULAR MEDIA

ACELERACIÓN ANGULAR INSTANTÁNEA


Diferentes puntos de un cuerpo rígido en rotación recorren diferentes distancias

en un tiempo dado, dependiendo de la distancia con respecto al eje de rotación.

Sin embargo, dado que el cuerpo es rígido,

todos los puntos giran el mismo ángulo en el mismo tiempo.

En cualquier instante, todas las partes de un cuerpo rígido en rotación tienen la misma velocidad angular.


(Similar a MRUV)

0

2

0 0

1.

2

z

z z z

z z

t

t t

α

ω ω α

θ θ ω α

+ + +

= cte

=

= ( )2

0 02.

z z zω ω α θ θ+ −2 =

Independiente del tiempo:

00 .

2

z z tω ω

θ θ+

− =

ANALOGÍA CON MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Movimiento Rectilíneo

Movimiento RotacionalθxPosición

xvVelocidad zω

xaAceleraciónzα

Movimiento Rotacional

ROTACIÓN CON ACELERACIÓN ANGULAR CONSTANTE


RELACIÓN ENTRE CINEMÁTICA LINEAL Y ANGULAR

Cuanto más lejos del eje esté un punto, mayor será su rapidez lineal.

La dirección del vector de velocidad lineal es siempre tangente a la trayectoria circular.

v ω= r.

Relación entre rapidez lineal y angular para un cuerpo rígido en rotación


RELACIÓN ENTRE CINEMÁTICA LINEAL Y ANGULAR

Actúa cambiando la magnitud de la velocidad de la partícula (su rapidez).

Podemos representar la aceleración lineal

de una partícula que se mueve en un círculo

en términos de sus componentes tangencial y centrípeta.

Está asociada con el cambio de dirección de la velocidad de la partícula.

La componente centrípeta siempre apunta hacia el eje de rotación.

Aceleración lineal de un cuerpo rígido en rotación

tana α= r. (Aceleración tangencial de un punto de un cuerpo en rotación)

rada ω 2= .r (Aceleración centrípeta de un punto de un cuerpo en rotación)

La suma vectorial de las componentes centrípeta y tangencial de la aceleración de una partícula de un cuerpo en rotación es la aceleración lineal a

�

Utilizar ángulos en radianes en todas las ecuaciones!!!



Depende de la masa del cuerpo y de la forma en que se distribuye tal masa.

1 1 2 2 ...CM i i

i

I m m m dm= + + = =∑ ∫2 2 2 2r r r r [kg.m2]

El momento de inercia de un cuerpo rígido con respecto a un eje es una medida de

la resistencia que opone el cuerpo a girar alrededor de ese eje.

MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO RÍGIDO

Consideremos que el cuerpo está formado por un gran número de partículas,

con masas m1, m2, …, a distancias r1, r2, …, del eje de rotación.

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS (TEOREMA DE STEINER)

momento de inercia de un cuerpo de masa M alrededor

de un eje que pasa por el centro de masa

Un cuerpo tiene infinitos momentos de inercias porque

el número de ejes sobre los que podría girar es infinito.

2.P CMI I M d= +

CMI

momento de inercia alrededor de cualquier otro eje paralelo al originalPI

distancia entre el nuevo eje y el originald

Un cuerpo rígido tiene menor momento de inercia

alrededor de un eje que pasa por el centro de

masa que alrededor de cualquier otro eje paralelo.

Es más fácil poner a girar un cuerpo si el

eje de rotación pasa por el centro de masa.


MOMENTO DE INERCIA DE DIVERSOS CUERPOS SIMPLES


4 – ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ROTACIONALDE UN CUERPO RÍGIDO

ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL DE UN CUERPO RÍGIDO

Energía cinética de un cuerpo rígido que rota con velocidad angular ω alrededor de un eje que pasa por el centro de masa:

1 1 2 2

1 1 1 1...

2 2 2 2i i i i

i i

K m m m mω ω ω ω

= + + = =

∑ ∑2 2 2 2 2 2 2 2r r r r

1 1

2 2i i i i

m v m ω2 2 2= rEnergía cinética de la i-ésima partícula:

1

2C MK I ω= 2

Un cuerpo rígido en rotación es una masa en movimiento �

� tiene energía cinética que se puede expresar en términos de la rapidez angular.

TRABAJO EN EL MOVIMIENTO ROTACIONAL

La energía cinética de un cuerpo es igual al trabajo efectuado para acelerar ese

cuerpo desde el reposo.

Cuanto mayor sea el momento de inercia de un cuerpo, más difícil será ponerlo a girar

si está en reposo, y más difícil será detener su rotación si ya está girando.


ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA ROTACIONAL DE UN CUERPO RÍGIDO

Para un cuerpo de masa total M, la energía potencial gravitacional U es simplemente

. .GRAV CMU M g y=

Para un cuerpo rígido en rotación, es válido aplicar los principios de energía vistos en la primer parte de la materia para una partícula aislada.

+ +1 GRAV,1 EL,1 OTRAS 2 GRAV,2 EL,2K + U + U + W = K U U

TEOREMA TRABAJO-ENERGÍA MECÁNICA

La energía potencial gravitacional asociada a cualquier cuerpo rígido

de masa M, es la misma que si sustituimos el cuerpo por una partícula

de masa M situada en el centro de masa del cuerpo.



Hemos visto en la Primer parte de Física I que:

Una fuerza neta aplicada a un cuerpo provoca una aceleración lineal a ese cuerpo.

Pero… ¿Qué se requiere para impartir una aceleración angular a un cuerpo?

Es decir, ¿Qué se necesita para poner a girar un cuerpo estacionario

o para detener un cuerpo que está dando vueltas?

Se requiere una fuerza, pero debe aplicarse de tal manera

que proporcione una acción de torcer o de dar vuelta.TORQUE

Describe la acción de torsión o giro debido a una fuerza.

El torque total que actúa sobre un cuerpo rígido determina su aceleración angular.

Movimiento de traslación

Movimiento de rotación

Es una medida de la tendencia de una fuerza para causar o alterar la rotación de un cuerpo.

TORQUE

TORQUE (Momento de una fuerza - Par de torsión - Torca)

El torque no es trabajo ni energía, así que debemos

expresarlo en newton-metros, no joules.F lτ = [N.m]

Para una fuerza de magnitud F cuya línea de acción está a una

distancia perpendicular l del punto O, el torque es:

El cuerpo rígido gira alrededor de un eje perpendicular

al plano de la figura y pasa por el punto O.

l: brazo de palanca

El torque siempre se define con

referencia a un punto específico.

Si cambiamos de posición este punto, el

torque de cada fuerza puede cambiar.

“El torque de con respecto al punto X”F�


TORQUE

¿Qué aspectos de una fuerza son importantes para

provocar o modificar el movimiento rotacional?

La magnitud y dirección de la fuerza son importantes, pero también lo es la posición del punto de aplicación.

Sean , y tres fuerzas de igual magnitud.aF�

bF�

cF�

¿Cuál fuerza tiene mayor probabilidad

de aflojar el tornillo apretado?

.F lτ = [N.m]


EL TORQUE COMO VECTOR

Su sentido está dado por la regla de la mano derecha.

r Fτ = ×�

� �

( ). . .F l r F senτ φ= =

vector

magnitud

La dirección de es perpendicular tanto a como a .τ�

r�

F�

Observación:

Un punto ( ) representa un vector que apunta hacia afuera de la página

y una cruz (X) representa un vector que apunta hacia adentro de la página.


SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA EL MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN CUERPO RÍGIDO

Relación fundamental de la dinámica rotacional de un cuerpo rígido.

La aceleración angular de un cuerpo rígido en rotación es directamente proporcional a la suma de las componentes del torque sobre el eje de

rotación. El factor de proporcionalidad es el momento de inercia.

Aceleración Angular [rad/s2]

Sólo incluye las torcas de las fuerzas externas.

.z zIτ α=∑��

Análogo rotacional de la segunda ley de Newton para un cuerpo rígido.

zαMomento de InerciaI [kg.m2]

Una fuerza externa importante que actúa sobre un cuerpo es su peso.

Esta fuerza no se concentra en un solo punto sino que actúa sobre todas las partículas

del cuerpo.

Pero como el valor es el mismo en todos los puntos, siempre obtenemos la torca

correcta si suponemos que todo el peso se concentra en el centro de masa del cuerpo.


Podemos expresar el trabajo en términos del torque y el desplazamiento angular.

( )2 1τ θ θ τ θ− = ∆z zW = Trabajo efectuado porun torque constante.

2

1

zd

θ

θ

τ θ∫W = Trabajo efectuado por un torque.

Análogo a�

�

W = F.s

TRABAJO EN EL MOVIMIENTO ROTACIONAL

2 1

1 1

2 2I Iω ω2 2

TOTW = -TEOREMA TRABAJO-ENERGÍA CINÉTICA PARA LA ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO

(Potencia: rapidez con que efectúa trabajo)τ ωz zP = Análogo a�

�

P = F.v

POTENCIA EN EL MOVIMIENTO ROTACIONAL


MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA

Momento angular o Cantidad de movimientode una partícula en movimiento rotacional

L r p r mv= × = ×�

� � � �

[kg.m2/s]

( )L mvrsen mvlφ= =

La rapidez de cambio del momento angular de una partícula es igual al torque de la fuerza neta que actúa sobre ella.

dLr F

dtτ= × =

�

�

� �

Para una partícula sobre la que actúa una fuerza neta F.

Análogo adp

Fdt

=

�

�


MOMENTO ANGULAR EN LA ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO

.CM CML I ω=�

� Para un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje de simetría

dL

dtτ =∑

�

�

0ext

τ =∑�

Si , entonces , y es constante. 0dL

dt=

�

L�

Si el torque externo neto que actúa sobre un sistema es cero, el momento angular total del sistema es constante (se conserva).

1 1 2 2. .z zI Iω ω=

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR EN LA ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO



TRASLACIÓN Y ROTACIÓN COMBINADAS

¿Qué sucede si el eje de rotación se traslada?

En tal caso, el movimiento del cuerpo es de traslación y rotación combinados.

Cada posible movimiento de un cuerpo rígido puede representarse como

una combinación de movimiento traslacional del centro de masa y

rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa.

Estos dos movimientos son independientes entre sí!!!

1 1

2 2CM CM

K Mv I ω= +2 2 Cuerpo rígido con traslación y rotación

ENERGÍA CINÉTICA TOTAL

. .GRAV CMU M g y=ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA


RODADURA (RODAR SIN DESLIZAMIENTO)

R es el radio de la rueda y ω su rapidez angular alrededor del centro de masa.

.CM

a Rα=Condiciones para rodar sin resbalar

Un caso importante de traslación y rotación combinadas es el de

rodar sin deslizar:

.CMv R ω= y

Si un cuerpo rueda sin deslizar, la fuerza de rozamiento no realiza trabajo!!!y Froz es menor que µ.N.


.z CM zIτ α=∑

.ext CMF M a=∑�

�

CMI es el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de masa.

zτ∑ incluye todos los torques externos con respecto a este eje.

Si un cuerpo tiene movimientos traslacional y rotacional al mismo tiempo,

necesitamos dos ecuaciones de movimiento independientes para el mismo cuerpo.

Describe la rotación alrededor del eje que pasa por el centro de masa.

Describe la traslación del centro de masa.

DINÁMICA

unidad 4: dinámica de sistemas de partículas. cuerpo ...4 – energÍa en el movimiento rotacional...

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