unidad 4

Graciela García Arana Electricidad y Magnetismo

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UNIDAD IV

Magnetismo

El conocimiento actual acerca del magnetismo es un torbellino de electrones, campo, fotones y corrientes, y aun así, con seguridad, sigue incompleto. El magnetismo empezó a ser un tema de interés para la humanidad en un lejano pasado, cuando los antiguos descubrieron por primera vez el extraño poder de la magnetita, que tiene la capacidad de reunir sus propios fragmentos y de adherirse al hierro.

4.1 Magnetismo y campo magnético

La ciencia del magnetismo nació de la observación de que ciertas "piedras" (magnetita) atraen pequeños trozos de hierro (ver figura 4.1). La palabra magnetismo proviene del distrito de Magnesia, en Asia Menor, que es uno de los lugares en donde se encontraron estas piedras.

El hierro, el cobalto y el manganeso en su estado natural, y muchos compuestos de estos metales tienen la misma propiedad de atracción de la magnetita.

Esta propiedad, aparentemente específica, no está relacionada con la

Figura 4.1 gravitación puesto que no sólo no la tienen naturalmente todos los cuerpos, sino que aparece concentrada en ciertos lugares del mineral de hierro. Aparentemente, tampoco está relacionada con la iteración eléctrica porque estos minerales no atraen bolitas de corcho o pedazos de papel. En consecuencia, se le dio a esta propiedad física un nuevo nombre; magnetismo. Las regiones de un cuerpo en los cuales el magnetismo aparece concentrado se denominan polos magnéticos. Un cuerpo magnetizado se denomina imán.

La Tierra misma es un inmenso imán (ver figura 4.2). Por ejemplo, si se suspende una varilla magnetizada en cualquier punto de la superficie terrestre y se deja mover libremente, la varilla se oriente de modo que el mismo extremo apunta hacia el polo norte geográfico.

Este resultado demuestra que la tierra ejerce una fuerza adicional sobre la varilla magnetizada, fuerza que no experimenta varillas no magnetizadas.

Figura 4.2

Este experimento sugiere también que hay dos clases de polos magnéticos que se pueden designar como polos norte y sur, o por las letras N y S respectivamente, a los polos que apuntan hacia el norte geográfico y hacia el sur geográfico.

La lista de aplicaciones tecnológicas importantes del magnetismo es muy extensa; por ejemplo, se usan grandes electroimanes para levantar cargas pesadas. También se usan imanes en aparatos como medidores, transformadores, motores y altoparlantes. De manera rutinaria se utilizan cintas magnéticas en la grabación de sonido y TV. En la actualidad se están utilizando intensos campos


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magnéticos generados por imanes superconductores como medio para contener los plasmas (calentados a temperaturas del orden 108E K), los cuales se usan en la investigación de la fusión nuclear controlada.

Magnetismo e imanes

Desde el año 800 a.C., aproximadamente, los griegos conocían el fenómeno del magnetismo; descubrieron que ciertas piedras, ahora conocidas como magnetita (Fe3O4), atraen pequeños trozos de hierro.

En 1269, de Maricourt, usando un imán esférico natural construyó un mapa de las direcciones tomadas por una aguja al colocarla en diversos puntos de la superficie de la esfera; encontró que las direcciones formaban líneas que rodeaban la esfera e interaccionaban en extremos opuestos, a los cuales les dio el nombre de polos del imán (ver figura 4.3).

Figura 4.3

Experimentos subsiguientes mostraron que todo imán, sin importar la forma, tiene dos polos, conocidos como polo norte y polo sur, los cuales presentan fuerzas que actúan entre sí de manera análoga a las cargas eléctricas. Esto es, polos semejantes se repelen y polos diferentes se atraen (ver figura 4.4).

En 1600, William Gilbert extendió estos experimentos a varios metales; al emplear el hecho de que la aguja de una brújula se orienta en direcciones preferidas, sugirió que la propia Tierra es un gran imán.

Figura 4.4

En 1750, John Michell (1724-1793) usó una balanza de torsión para mostrar que los polos magnéticos ejercen fuerzas de atracción o de repulsión entre sí, y que estas fuerzas varían con el recíproco del cuadrado de su separación.

Aun cuando la fuerza entre dos polos magnéticos es semejante a la que existe entre dos cargas eléctricas, se tiene una diferencia importante:

Las cargas eléctricas se pueden aislar. Los polos magnéticos no pueden aislarse. Esto es, los polos magnéticos siempre se encuentran en pares (ver figura 4.5).

Figura 4.5

Definición del campo magnético

Para definir adecuadamente el campo magnético es preciso investigar primeramente el movimiento de las partículas cargadas en el campo.

Se definirá un vector de campo magnético →

B (a veces conocido como inducción magnética o densidad de flujo magnético) en algún punto del espacio, en términos de una fuerza magnética que sería ejercida sobre un objeto de prueba apropiado. El objeto de prueba es una partícula cargada que

se mueve con una velocidad →

v como se ilustra en la figura 4.6a Por el momento, suponga que no


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existen campo eléctricos o gravitacionales en la región de la carga. Los experimentos realizados proporcionan los resultados siguientes:

1. La fuerza magnética, →

F , es proporcional a la carga de la partícula, q, y a la velocidad v de la partícula.

2. La magnitud y dirección de la fuerza magnética depende de la velocidad de la partícula.

3. Cuando una partícula se mueve en una dirección

paralela al vector de campo magnético, →

B , la fuerza magnética sobre la carga es cero.

4. Cuando el vector velocidad forma un ángulo θ con el

campo magnético, →

B , la fuerza magnética actúa en

una dirección perpendicular tanto a →

v como a →

B ; es

decir, →

F es perpendicular al plano formado por →

v y →

B (como se ilustra en la figura 4.6b). 5. La fuerza magnética sobre una carga positiva tiene la

dirección opuesta a la de la fuerza que actúa sobre una carga negativa que se mueve en la misma dirección (como se ilustra en la figura 4.6c).

6. Si el vector velocidad forma un ángulo θ con el campo magnético, la magnitud de la fuerza magnética es proporcional a senθ.

Figura 4.6

De las observaciones vistas en la sección anterior es posible resumirlas escribiendo la fuerza magnética en la forma

→→→

= B x vqF (4.1)

La unidad en el SI del campo magnético es el weber por metro cuadrado (Wb/m2), también conocido como tesla (T). Usando la ecuación, se puede relacionar esta unidad con las unidades fundamentales

2

2

2 sAkg 1

mAsmkg

1mA

N 1

smC

N 1mWb 1T 1

⋅=

⋅=

⋅=

⋅==

Otra unidad muy usada para el campo magnético es el gauss (G) que está relacionada con la tesla por la relación

1 T = 104 G

Por la definición del producto vectorial, la magnitud de la fuerza magnética F es:

F = qvBsenθ (4.2)

en donde θ es el ángulo entre la velocidad de la partícula →

v y el campo

Figura 4.7


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magnético→

B , como se ilustra en la figura 4.7.

Usando la mano derecha se puede comprender la dirección de la fuerza

magnética que siente una partícula cargada que va con una velocidad →

v

en un campo magnético →

B .

Si se mantiene la mano plana con los dedos apuntando en la dirección del campo magnético y el dedo pulgar apuntado en la dirección de la velocidad, si la carga es positiva la palma de la mano apunta en dirección de la fuerza o si la carga es negativa el dorso de la mano apunta en dirección de la fuerza (como se ilustra en la figura 4.8). Ejemplo:

Figura 4.8

En Vermont (Australia) el ángulo de inclinación del campo magnético de la Tierra es de 74o (ángulo que forman las líneas de campo magnético con la horizontal), y la componente del campo paralela a la superficie de la Tierra es 0.16 G. Si en ese lugar, se dispara en forma vertical y hacia arriba un protón con una velocidad de 2x106 m/s, ¿cuál será la magnitud y la dirección de la fuerza que actúa sobre el protón?

Solución: Usando la expresión 4.2, la magnitud de la fuerza está dada por:

Figura 4.9

F = qvBsenθ

donde θ es el ángulo entre el campo magnético y la velocidad.

Por otro lado Bsenθ es la componente del campo magnético perpendicular a la velocidad, que en este caso es la componente paralela a la superficie de la Tierra, Bs (ver figura 4.9), entonces F queda como

F = qvBs = (1.6x10-19)(2x106)(0.16x10-4) F = 5.12 x 10-18 N

Usando la regla de la mano derecha, Si se coloca los dedos apuntando hacia el Norte geográfico y el dedo pulgar en forma vertical, la palma de la mano queda apuntando hacia el Oeste, que es la dirección de la fuerza.

4.3 Movimiento de partículas en campo magnético

En la sección 4.1 se encontró que la fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada en movimiento siempre es perpendicular a la velocidad de la partícula. Con base en esta propiedad, se deduce que el trabajo realizado por la fuerza magnética es cero, ya que el desplazamiento de la carga siempre es perpendicular a la fuerza magnética. Por lo tanto, un campo magnético estático cambia la dirección de la velocidad pero no afecta la rapidez o la energía cinética de la partícula cargada.

Se usan las cruces para representar un campo magnético →

B que entra a una superficie, y los puntos para representar un campo magnético que sale de una superficie. Esta misma convención se usa para representar la velocidad, la corriente y la fuerza.


95

Considere el caso de una partícula con carga positiva q y masa m se mueve en un campo magnético externo uniforme y su velocidad inicial es perpendicular al campo. Suponga que el campo magnético está dirigido hacia la página, como se ilustra en la figura 4.10. En la figura 4.10 se muestra que la partícula se mueve en una trayectoria circular cuyo plano es perpendicular al campo magnético; esto se

debe a que la fuerza magnética →

F forma ángulos rectos con →

v y →

B , y tiene una magnitud constante igual qvB. A medida que la fuerza

desvía a la partícula, las direcciones de →

v y →

F cambian de manera

Figura 4.10 continua, según se indica en la figura 4.10. Por lo tanto, la fuerza es una fuerza centrípeta, que sólo cambia la dirección de v, en tanto que la rapidez permanece constante. Observe que el sentido de la rotación en la figura 4.10 es contrario al del movimiento de las manecillas del reloj, para una carga positiva. Si q fuera negativa, se invertiría el sentido de la rotación, es decir, sería el del movimiento

de tales manecillas. Dado que la fuerza resultante →

F en la dirección radial tiene una magnitud de qvB, se puede igualar esto a la masa m multiplicada por la aceleración centrípeta, v2/r. Con base en la segunda ley de Newton, se encuentra que

rmvqvBF

2

==

o

qBmvr = (4.3)

Esto, es el radio de la trayectoria r es proporcional a la cantidad de movimiento mv de la partícula e inversamente proporcional al campo magnético. La frecuencia angular o velocidad angular de la rotación de la partícula cargada es

mqB

rv==ω (4.4)

El período, T, de su movimiento (tiempo que tarda en realizar una revolución) es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre la rapidez de la partícula

qBm 22

vr 2T π

=ωπ

=π

= (4.5)

La frecuencia, f, de su movimiento (número de ciclos en una unidad de tiempo) es igual al inverso del período

m 2

qB

qBm 2

1T1f

π=

π== (4.5)

Estos resultados indican que la frecuencia, frecuencia angular y el período del movimiento circular no dependen de la rapidez de la partícula o del radio de la órbita.

Ejemplo Un electrón de 1.22 eV está circulando en un plano formando un ángulo recto con un campo magnético uniforme. El radio de la órbita es de 24.7 cm. Calcule a) la velocidad del electrón, b) el campo magnético, c) la frecuencia y d) el periodo del movimiento.


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Solución Como la unidad de la energía (energía cinética) es el eV, se convertirá la unidad eV a joule, la conversión es

1 eV = 1.6 x 10-19 J

entonces el valor de la energía cinética en joule es k = 1.22 x 1.6 x 10-19

k = 1.952 x 10-19 J

a) La energía cinética, está dada por 2mv

21k =

despejando la velocidad, se tiene

m2kv

m2kv2

=

=

sustituyendo valores

31-

-19

9.1x10)2(1.952x10v =

v = 6.55 x 105 m/s

b) El radio de la trayectoria circular, está dado por

qbmvr =

despejando el campo magnético, se tiene

qrmvB =


))(24.7x10(1.6x10))(6.55x10(9.1x10B 2-19-

5-31

=

B = 15.08 μT

c) La frecuencia de revolución, está dada por

πω

=2

f

y la frecuencia angular, está dada por

mqB

=ω

sustituyendo la frecuencia angular en la frecuencia de revolución, se tiene

m 2qBfπ

=


)m10x1.9(2))(15.08x10(1.6x10f 31

-6-19

−π=

f = 4.22 x 105 Hz


97

d) El periodo es

510x22.41

f1T ==

T = 2.37 μs

Selector de velocidades

En muchos experimentos en los que interviene el movimiento de partículas cargadas, es importante tener una fuente de partículas que se muevan esencialmente a la misma velocidad. Es posible lograr esto aplicando una combinación de un campo eléctrico y uno magnético orientados como se indica en la figura 4.11. En la dirección vertical, un par de placas cargas paralelas suministran un campo eléctrico uniforme, mientras se aplica un campo magnético perpendicular a la página (indicado

Figura 4.11

por las cruces). Suponiendo que q es positiva, se ve que la fuerza magnética →→

Bxvq es hacia arriba

mientras que la fuerza eléctrica →

Eq es hacia abajo. Si se eligen los campos en tal forma que la fuerza eléctrica equilibre a la magnética, la partícula se moverá en una línea recta horizontal y saldrá por la ranura. Si se igualan las magnitudes de la fuerza magnética hacia arriba, qvB, con la fuerza eléctrica hacia abajo, qE, se encuentra que

qvB = qE o

BEv = (4.6)

De donde, sólo aquellas partículas que tengan esta velocidad no se desviarán. Las partículas con velocidades mayores se desviarán hacia arriba, y las que tengan una velocidad menor que ella se desviarán hacia abajo.

Ejemplo Un selector de velocidades tiene un campo magnético de magnitud 0.28 T perpendicular a un campo eléctrico de magnitud 0.46 MV/m. a) ¿Cuál debe ser la velocidad de una partícula para pasar a través del selector en línea recta? ¿Qué energía deberá tener un protón para pasar sin ser desviados?

Solución La velocidad para pasar en línea recta por el selector de velocidades, está dada por

BEv =


28.010x46.0v

6

=

v = 1.64 x 106 m/s

La energía cinética, está dada por 2mv

21k =


98

sustituyendo valores 2627- )10x64.1)(10x67.1(

21k =

k = 2.25 x 10-15 J

Isótopos y espectroscopia de masa

El espectrómetro de masa es un aparato que separa iones atómicos y moléculas conforme a su razón masa a carga, m/q. En una de sus versiones, conocida como espectrómetro de masa de Bainbridge, un haz de iones pasa primero por un selector de velocidades y, a

continuación entra a un campo magnético →

oB , dirigido hacia la página (como se ilustra en la figura 4.12). Después de entrar al campo

magnético →

oB , los iones se mueven siguiendo una semicircunferencia de radio r, antes de chocar contra una placa fotográfica en P. Por la

Figura 4.12

expresión 4.3, puede expresarse la razón m/q como

vrB

qm o=

Un selector de velocidades básicamente está formado por dos campos uno magnético →

B y uno

eléctrico →

E orientados perpendicularmente. Las partículas con una velocidad seleccionada son las que salen de este selector y esta velocidad está dada por

BEv =

Sustituyendo este resultado en la ecuación de m/q, se obtiene

vEBrB

qm o= (4.7)

Por lo tanto, es posible determinar m/q midiendo el radio de curvatura y conociendo las magnitudes de los campos B, Bo y E. En la práctica, por lo común se miden las masas de diversos isótopos de un ion dado, con la misma carga q; de donde, pueden determinarse las razones entre las masas aun sin conocer q.

Ejemplo Considere el espectrómetro de masas que se muestra en la figura 4.12. El campo eléctrico entre las placas del selector de velocidades es de 950 V/m y el campo magnético tanto en el selector de velocidades como en la cámara de desviación tiene una magnitud de 0.070 T. Encuéntrese el radio de la trayectoria que seguirá un átomo simplemente cargado de 12C (con carga 1.6 x 10-19).

Solución La razón m/q, está dada por

vEBrB

qm o=


99

como Bo = B y despejando el radio, se tiene

2qBmEr =

la masa del átomo de 12C es

m = 12.011 u = (12.011)(1.66 x 10-27) = 1.99 x 10-26 kg sustituyendo valores

219-

26-

)070.0)(10x6.1()950)(10x99.1(r =

r = 24.16 mm

El ciclotrón

El ciclotrón, inventado en 1934 por E. O. Lawrence y M. S. Livingston, es una máquina que puede acelerar partículas cargadas hasta velocidades muy altas.

En la figura 4.13 se muestra un dibujo esquemático de un ciclotrón. El movimiento de las cargas ocurre en dos recipientes semicirculares, D1 y D2, conocidos como des.

En las des se hace el vacío para minimizar las perdidas de energía provocadas por los choques entre los iones y moléculas de aire. A las des

Figura 4.13 se les aplica un voltaje alterno de alta frecuencia y se dirige un campo magnético uniforme, suministrado por un electroimán, en forma perpendicular a ellas.

Iones positivos que se liberan en P cerca del centro del imán, atraviesan la brecha entre las des, debido a una diferencia de potencial entre las des, y después se desplazan en una trayectoria semicircular dentro de una d y regresan a la brecha, en un, tiempo T/2 donde T es el período de revolución.

Se ajusta la frecuencia de la tensión aplicada V en tal forma que se invierta la polaridad de las des en el mismo tiempo que tardan los iones en completar la mitad de una revolución, la frecuencia angular con la que gira los iones o la del generador se llama frecuencia del ciclotrón.

Si se ajusta la fase de la tensión aplicada de modo que D2 esté a un potencial más bajo que D1 al inicio, en una cantidad V, el ion se acelerará a través de la brecha hasta llegar a D2 y su energía aumentará en una cantidad qV. El ion sigue moviéndose en D2 en una trayectoria semicircular de radio más grande. Después de un tiempo T/2, nuevamente llega a la brecha. Pero en este instante se invierte el potencial a través de las des (de modo que D1 está a un potencial más bajo que D2). El movimiento continúa de modo que en cada media revolución, el ion gana una energía cinética adicional igual a qV cada vez que atraviesa la brecha.

Cuando el radio de su órbita se aproxima al de las des, los iones energéticos salen del sistema por una ranura, como se muestra en la figura 4.13.

Puede obtenerse la energía cinética máxima del ion al salir del ciclotrón, en términos del radio R de las des, recuerde que el radio de la trayectoria circular en función de m, v, q y B es:

qBmvr =


100

para r = R, se encuentra que, la velocidad máxima es

mqBRvmáx = (4.8)

y la energía cinética máxima es

2

22222

máx mRBqm

21

mqBRm

21mv

21k =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

m2RBqk

222

máx = (4.9)

Ejemplo Un ciclotrón diseñado para acelerar protones está provisto de un campo magnético de 0.45 T y tiene un radio de 1.2 m. a) ¿Cuál es la frecuencia del ciclotrón? b) ¿Cuál es la máxima rapidez adquirida por lo protones?

Solución a) La frecuencia del ciclotrón está dada por

mqBω =

Sustituyendo valores, se tiene

27-

19-

10x67.1)45.0)(10x6.1(ω =

ω = 4.3 x 107 rad/s

b) La rapidez máxima que alcanzan las partículas está dada por

mqBRvmáx =


19-

19-

máx 10x67.1)45.0)(10x6.1)(2.1(v =

vmáx = 51.74 x 106 m/s

Efecto Hall

En 1879, Edwin Hall descubrió que cuando un conductor que lleva una corriente y se coloca en un campo magnético, se genera una tensión en una dirección perpendicular tanto a la corriente como al campo magnético. Está observación, conocida como efecto Hall, proviene de la desviación de los portadores de carga hacia uno de los lados del conductor.

Suponga que se tiene una corriente estable I que fluye en una tira conductora uniforme, como se ilustra en la figura 4.14. La diferencia de potencial entre los puntos M y N es cero cuando no hay campo magnético.

Figura 4.14

Ahora se aplica un campo magnético →

B , perpendicular a la tira, como se ilustra en la figura 4.15.


101

El experimento del efecto Hall nos permite verificar el signo de los portadores de carga. Si los portadores de carga son positivos, como se indica en la figura 4.15a en el punto M aparece carga con signo positivo y el punto N se carga con signo negativo y el vóltmetro marca un voltaje positivo. Si los portadores de carga son negativos, como se indica en la figura 4.15b en el punto M aparece carga con signo negativo y el punto N se carga con signo positivo y el vóltmetro marca un voltaje negativo.

a) b)

Figura 4.15

Por el momento suponga que la corriente es transportada por cargas positivas estas cargas, que se

mueven con una velocidad →

dv perpendicular al campo magnético →

B , por lo que experimentan una fuerza dada por

→→→

= Bxvq F dm

Está fuerza hará que las cargas positivas sean impulsadas hacia el borde superior de la cinta,

cargándose positivamente el punto M y negativo en punto N formándose un campo eléctrico →

E tan grande como para que la fuerza total, en sentido transversal sobre las cargas se haga cero. En este momento

→→→

−== me F EqF

por lo que sus magnitudes deben ser iguales, es decir

qE = q vd B o

E = vd B

y como la diferencia de potencial entre M y N está dada por

V = Ed

sustituyendo el campo eléctrico en la expresión del voltaje, se tiene

V = vd B d

Este voltaje se llama voltaje de Hall VH, entonces

VH = vd B d (4.10)

Pero, la corriente en la tira está dada por I = nqvdA, despejando vd y sustituyendo en la ecuación (4.10), se obtiene


102

nqAIvd =

BdnqA

IVH =

nqAIBdVH = (4.11)

Como A = td, entonces

nqtdIBdVH =

tIB

nq1VH = (4.12)

La cantidad 1/nq se llama coeficiente de Hall, RH.

nq1RH = (4.13)

Ya que pueden medirse todas las cantidades que aparecen en la ecuación (4.12) excepto nq, se obtiene con facilidad un valor para el coeficiente de Hall. El signo y magnitud de RH proporciona el signo de los portadores de carga y su densidad, respectivamente.

Ejemplo En un experimento diseñado para medir el campo magnético de la Tierra aplicando el efecto Hall, se coloca una barra de cobre que tiene un espesor de 0.5 cm a lo largo de la dirección este-oeste. Si una corriente de 8 A en el conductor produce un voltaje Hall de 5.1 x 10-12 V, ¿cuál es el valor calculado de la magnitud del campo magnético de la Tierra? (Suponga que n = 8.48 x 1028 electrones/m3 y que se hizo girar la barra hasta que quedará perpendicular a la dirección de B ).

Solución Por la ecuación (4.12), el voltaje de Hall está dado por

nqAIBdVH =

Despejando la magnitud del campo magnético, B, se tiene

InqtVB H=

Sustituyendo valores

8))(0.5x10)(1.6x10)(8.48x10(5.1x10B

-2-1928-12

=

B = 43.2 μT


103

4.4 Fuerza magnética

Fuerza magnética sobre un alambre recto en un campo magnético uniforme

Considere un segmento rectilíneo de una longitud ℓ y un área A de sección transversal, por el cual circula una corriente I, en un campo magnético

externo uniforme →


La fuerza magnética sobre una carga q que se mueve con una velocidad de

deriva →

dv es →→

Bxvq d . La fuerza que actúa sobre los portadores de carga se

Figura 4.16 transmite a la "masa" del alambre a través de los choques contra los átomos que lo forman.

Para hallar la fuerza total sobre el alambre, se multiplica la fuerza sobre una de las cargas libres (o portadores de carga) por el número de cargas libres que están en el segmento. Dado que el volumen del segmento es A , el número de portadores de carga que están en él es nA , donde n es el número de portadores de carga por unidad de volumen. De donde, la fuerza magnética total sobre el alambre de longitud ℓ es:

)nABxv(qF d

→→→

=

recuerde que la corriente en un alambre está dada por I = nqvdA, por lo tanto

)BxI()BA)xv((nqF d

→→→→→

== o

)Bx(IF→→→

= (4.14)

donde →

es el vector cuya dirección es igual a la dirección de la corriente I y la magnitud de →

es igual a la longitud ℓ del segmento.

Fuerza magnética sobre un alambre en un campo magnético

Considere ahora un alambre de forma arbitraria, en un campo magnético externo, como se ilustra en la figura 4.17.

La fuerza magnética sobre un segmento muy pequeño →

sd , en

presencia de un campo →

B , es

→→→

= Bxsd IFd (4.15)

Figura 4.17

La fuerza total sobre el alambre es

∫→→→

=C

A

Bxsd IF (4.16)

En esta integral A y C representan los puntos extremos de la sección de alambre sobre la cual se quiere calcular la fuerza magnética.


104

Para encontrar la dirección de la fuerza se usa la regla de la mano derecha, como se ilustra en la figura 4.18, colocar los cuatro dedos en la dirección del campo magnético y el pulgar en la dirección de la corriente. La palma indica la dirección de la fuerza, que es perpendicular al campo magnético y al alambre.

Figura 4.18

Fuerza magnética sobre un alambre curvo en un campo magnético uniforme

Sea un alambre curvo que lleva una corriente constante I; el alambre está

ubicado en un campo magnético externo uniforme →


La fuerza magnética que siente la sección de alambre de a hasta b está dada por

∫→→→

=b

a

Bxsd IF

Figura 4.19

como →

B es constante se puede extraer de la integral, y se obtiene →→→→→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∫∫ BxsdIBxsd IF

b

a

b

a

Pero la cantidad ∫→b

a

sd representa la suma vectorial de todos los elementos de desplazamiento, desde

a hasta b, la suma es igual al vector →

' el cual está dirigido de a hasta b, por lo tanto

→→→

= Bx'IF (4.17)

Ejemplo Una espira semicircular de corriente constante, I, está en un campo

magnético →

B perpendicular al plano definido por la espira, como se muestra en la figura 1.6. Deducir la fuerza que siente el arco circular de la espira.

Solución

Un segmento de arco de longitud →

sd siente una fuerza de magnitud

dF = IBds = IBRdθ

Figura 4.20 directamente hacia el centro del semicírculo. La componente dFcosθ se cancela por la contribución de otro segmento de arco localizado en π - θ.


105

Solamente la componente dFsenθ contribuye a la fuerza resultante. La fuerza resultante es

( ) ( ) )0cosπ)(cosIBR(θcosIBRθcosIBRsenθenθIBRdFsenθF -π

0

-π

0

-π

0

-π

0

−−−=−=−=== ∫∫

F = 2IBR

Note que la fuerza que siente el arco semicircular es el mismo que podría experimentar la línea recta de longitud 2R, de acuerdo a la ecuación (4.17).

4.5 Fuerza y momento de torsión sobre una espira

Fuerza sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme

Se coloca una espira cerrada de forma arbitraria que lleva una corriente I en

un campo magnético externo uniforme →


La fuerza magnética que siente la espira está dada por

∫→→→

= BxsdF

Figura 4.21 donde ∫ indica que la integral se realiza a través de una trayectoria cerrada (a través de la espira).

Como →

B es constante, es posible expresar la fuerza en la forma

→→→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫ BxsdF

Dado que el conjunto de vectores de desplazamiento forma un polígono cerrado, la suma debe ser

cero. Por lo que 0sd =∫→

, se concluye que

0F =→

Es decir, la fuerza magnética total sobre cualquier espira cerrada de corriente, en un campo magnético externo uniforme, es cero.

Torque (momento o torca) sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme

Se ha visto que la fuerza neta sobre una espira cerrada que lleva una corriente, cuando se coloca en un campo magnético uniforme externo es cero. Sin embargo, existe un momento de torsión neto sobre la espira de corriente en un campo magnético externo uniforme, y este momento tiende a hacerla girar hasta quedar la espira perpendicular al campo magnético.


106

Considere primero una espira rectangular que lleva una corriente I, en presencia de un campo magnético uniforme en el plano de ella, como se ilustra en la figura 4.22a.

Las fuerza sobre los lados de longitud a son cero, ya que estos

alambres son paralelos al campo, por lo tanto 0Bxsd =→→

.

Por otra parte; como el campo magnético es perpendicular a los lados de longitud b, la magnitud de las fuerzas sobre los lados de longitud b es

F1 = F2 = IbB

en donde F1 es la fuerza sobre el lado izquierdo de la espira y F2 es la fuerza sobre el lado derecho. La dirección (usando la regla de la mano derecha) de F1 es hacia afuera del papel, y la de la fuerza F2 es hacia adentro.

Una vista lateral (ver figura 4.22b) muestra la dirección de estas fuerzas e indica que estas fuerzas forman un par.

Figura 4.22

El momento de torsión debido a este par, alrededor del punto O de la figura 4.22b, tiene una magnitud dada por

IabBIbBa2aIbB

2aIbB

2aF

2aF 21 ==+=+=τ

en donde el brazo de palanca respecto a O es a/2 para las dos fuerzas.

De hecho, este es el momento de torsión respecto a cualquier punto de giro. Por otro lado, el área de la espira es A = ab, entonces

τ = IAB

Observe que este resultado sólo es válido cuando el plano de la espira es paralelo al campo

magnético →

B .

Considere ahora una espira rectangular que lleva una corriente I, en un campo magnético externo uniforme. Suponga que el campo forma un ángulo θ con la normal al plano de la espira, como se ilustra en la figura 4.23a.

Figura 4.23


107

Por conveniencia, se supondrá que el campo magnético →

B es perpendicular a los lados de longitud

b. En este caso, las fuerzas magnéticas →

3F y →

4F sobre los lados de longitud a se cancelan entre si y no producen momento de torsión, dado que pasan por un origen común y son colineales. Sin

embargo, las fuerzas →

1F y →

2F que actúan sobre los lados de longitud b forman un par y, por lo tanto producen un momento de torsión respecto a cualquier punto.

Con referencia a la vista lateral, ilustrada en la figura 4.23b, se observa que el brazo de palanca de

las fuerzas →

1F y →

2F respecto al punto O es igual a

senθ2a

Ya que F1 = F2 = IbB, pues →

B es perpendicular a los lados de longitud b, el momento de torsión neto respecto a O tiene una magnitud dada por

IABsenθIabBsenθIbBasenθsenθ2aIbBsenθ

2aIbBsenθ

2aFsenθ

2aFτ 21 ===+=+=

en donde A = ab es el área de la espira.

Como se ve en la figura 4.23b, la espira tiende a girar hacia valores más pequeños de θ, esto se cumple para cualquier espira plana colocada en un campo magnético uniforme.

Una expresión vectorial conveniente para el momento de torsión es la siguiente

→→→

=τ BxAI (4.18)

en donde →

A es un vector perpendicular al plano de la espira, su magnitud es igual al área de la

misma y el sentido de →

A se determina usando la mano derecha, al doblar los cuatro dedos de la mano derecha en la dirección de la corriente y el pulgar en la normal del plano de la espira, el pulgar apuntará en la dirección del vector A. El producto IA se define como el momento magnético μ de la espira; esto es,

→→

=μ AI (4.19)

La unidad del momento magnético en el SI es el ampere-metro2 (A · m2)

Aplicando está definición de momento magnético, el momento de torsión queda

→→→

μ=τ Bx (4.20)

Por supuesto, si un circuito tiene N vueltas (en el mismo sentido), todas de las mismas dimensiones en lugar de una sola vuelta, la torca de la ecuación (4.20) y el momento magnético se incrementan en el factor N, es decir

→→→

=τ BxANI (4.21) →→

=μ ANI (4.22)


108

Aun cuando el momento de torsión se obtuvo para una orientación particular de →

B con respecto a la espira, las ecuaciones (1.11), (1.13) y (1.14) son validas para cualquier orientación y para cualquier espira plana.

Ejemplo La figura 4.24 muestra una bobina rectangular de 20 vueltas de alambre, de 12 cm por 5 cm. Porta una corriente de 0.10 A y está sujeta por un lado. Está montada con su plano formando un ángulo de 33o con la dirección de un campo magnético uniforme de 0.50 T. Calcule el momento de torsión alrededor de la línea del sujeción que actúa sobre la bobina.

Solución Haciendo una gráfica de la vista vertical de arriba hacia abajo, como se muestra en la figura 4.25. Se ve que el ángulo entre la normal de la bobina y el campo magnético es

La magnitud de la torca que siente la bobina está dada por

τ = NIAB senθ


τ = (20)(0.1)(12x10-2 x 5x10-2)(0.5)sen57o

τ = 5.03 x 10-3 NAm

Figura 4.24

Figura 4.25

Galvanómetro de bobina móvil y aplicaciones

El galvanómetro de bobina pivoteada, consta de una bobina de alambre sobre un pivote, en un campo magnético radial suministrado por un imán permanente, como se ilustra en la figura 1.15. Los lados de las espiras que entran a la hoja y que están cerca de los imanes son perpendiculares al campo magnético.

El galvanómetro de bobina pivoteada funciona bajo el principio de un momento de torsión que actúa sobre una espira de corriente, en un campo magnético. El momento de torsión experimentado por la bobina es proporcional a la corriente que circula por ella, dado por la expresión

Figura 4.26 τ = NIABsenθ

donde N es el número de espiras en la bobina y B es el campo magnético del imán.

Como los lados son perpendiculares al campo magnético, entonces

τ = NIAB

Un momento de torsión de restitución, proporcionado por un resorte sujeto al pivote, es proporcional al desplazamiento angular de la bobina

τ = kφ


109

donde φ es el ángulo de deflexión de equilibrio y k es la constante de restitución del resorte, igualando los dos momentos, se tiene

kφ = NIAB despejando φ

Ik

NAB=φ (4.23)

Se observa que ángulo φ de deflexión de equilibrio es proporcional a la corriente, pues al construir el galvanómetro queda fijo el número de espiras, la constante de restitución del resorte y el campo magnético.

Este ángulo, φ, es la deflexión de la aguja en el galvanómetro. Y por lo tanto, si se conoce la corriente necesaria para una deflexión (desviación) máxima, se puede hacer una escala de cero al valor máximo con divisiones para medir corrientes intermedias.

En el funcionamiento del galvanómetro existen las condiciones siguientes: 1) El movimiento es intensamente amortiguado, de modo que la bobina gira hasta que el momento queda equilibrado por el mecanismo de restitución; 2) como el campo magnético es radial, la normal al plano de la bobina siempre es perpendicular a ese campo magnético.

Existen muchas aplicaciones del galvanómetro que es activado por fuentes que varían irregularmente. Muchas veces se utilizan para la medida de corrientes y voltajes variables en gran variedad de circuitos y máquinas eléctricas. También tienen en conexión con transductores, instrumentos para convertir magnitudes físicas, tales como presión, temperatura, humedad y otras en señales eléctricas que dan una medida de la correspondiente magnitud física. También se utilizan los galvanómetros en medidas biológicas sobre animales y seres humanos, cuyos corazones, cerebros y nervios producen señales eléctricas que se pueden medir, pero que varían irregularmente con el tiempo.

En muchas de estas aplicaciones conviene registrar automáticamente las deflexiones, obteniendo de esta manera un registro permanente del resultado, lo que permite su posterior análisis. Normalmente esto se consigue con galvanómetros de espejo dirigiendo un rayo de luz sobre el espejo que lo refleja a una cinta móvil de papel fotográfico. A medida que varía φ el punto luminoso se mueve proporcionalmente sobre el papel en dirección perpendicular al desplazamiento del mismo.

Amperímetro y Voltímetro

La bobina del galvanómetro es básicamente un alambre y por lo consiguiente tiene una resistencia llamada resistencia interna del galvanómetro y se denota por Rm, como se ilustra en las figuras 4.27a y 4.27.

Para la construcción de un amperímetro se utiliza un galvanómetro con una resistencia (llamada resistencia de derivación), Rp, conectada en paralelo con el galvanómetro, como se ilustra en la figura 4.27a.

Denote por IM la corriente necesaria para tener una deflexión completa en el galvanómetro con la resistencia en paralelo y que entra por el

Figura 4.27a

punto A de la figura 4.27a. Como la resistencia interna del galvanómetro y la resistencia Rp están conectadas en paralelo, la corriente IM está dada por

IM = Im + Ip


110

donde Ip es la corriente que pasa por la resistencia Rp e Im es la corriente que pasa por el galvanómetro y es la necesaria para tener una deflexión completa de la aguja del galvanómetro.

Por otro lado; como la resistencia interna del galvanómetro y la resistencia Rp están conectadas en paralelo, la diferencia de potencial entre ambos resistores es la misma, es decir

ImRm = Ip Rp despejando Ip, se tiene

p

mmp R

RII =

sustituyendo la corriente que pasa por la resistencia en paralelo en la expresión de la nueva corriente, IM, se tiene

p

mmmM R

RIII +=

despejando Rp, se tiene

p

mmmM R

RIII =−

mM

mmp II

RIR−

= (4.24)

Para la construcción de un voltímetro se conecta al galvanómetro una resistencia en serie, Rs, como se ilustra en la figura 4.27b.

Denote por VM el nuevo voltaje que se va a medir, el cual se conecta abarcando la resistencia Rs y el galvanómetro, por lo que

VM = ImR + ImRs despejando Rs, se tiene

Figura 4.27b

m

mmMs I

RIVR −= (4.25)

Ejemplo Considere un galvanómetro con resistencia interna de 60 Ω. Si el galvanómetro se defleta a escala completa cuando lleva una corriente de 0.5 mA, ¿cuál es el valor de la resistencia que debe colocar en paralelo con el galvanómetro para que la combinación pueda ser utilizada como amperímetro que tenga una deflexión completa con una corriente de 1 A?

Solución El resistor que se conecta en paralelo con el galvanómetro tiene una resistencia de

mM

mmp II

RIR−

=


3-

3-

p 10x5.01)60)(10x5.0(R

−=

Rp = 0.030 Ω


111

Ejemplo Considere un galvanómetro con resistencia interna de 60 Ω. Si el galvanómetro se deflecta a escala completa cuando lleva una corriente de 0.5 mA, ¿cuál es el valor de la resistencia que debe colocar en serie con el galvanómetro para que la combinación pueda ser utilizada como voltímetro que tenga una deflexión completa con una diferencia de potencial de 1.0 V?

Solución El resistor que se conecta en serie con el galvanómetro tiene una resistencia de

m

mmMs I

RIVR −=


3-

3-

s 10x5.0)60)(10x5.0(1R −

=

Rp = 1940 Ω

4.6 Líneas de campo magnético y flujo magnético

Para representar gráficamente los campos magnéticos se utilizan las líneas de campo magnético. Estas líneas se pueden trazar con facilidad por medio de la aguja de una brújula (barras pequeñas de imán). La dirección en la que apunta la aguja se considera como la dirección de la línea del campo magnético. Algunos campos magnéticos comunes se muestran en la figura 4.28.

Figura 4.28

Flujo magnético

El flujo magnético asociado a un campo magnético se define en una forma similar a la que se utilizó para la definición del flujo eléctrico.

Considere un elemento de área →

Ad sobre una superficie de forma arbitraria, como se ilustra en la figura 4.29. Si el campo magnético en

este elemento es →

B , entonces el flujo magnético a través del elemento

es →→

⋅ AdB , donde →

Ad es un vector perpendicular a la superficie cuya

Figura 4.29

magnitud es igual a dA. En consecuencia, el flujo magnético total φm a través de toda la superficie es:

∫→→

⋅=φsuperficie

m AdB (4.26)

Puesto que →

B tiene como unidades Wb/m2 o T en el SI, la unidad del flujo magnético en el SI es el Wb o T · m2.


112

Ejemplo:

Una espira de alambre plana se coloca en un campo magnético )j03.0i02.0(B +=→

T. Encuentre el

flujo a través de la espira, si su vector área es )k25j20i30(A ++=→

cm2.

Solución Como el campo magnético es constante y la superficie es plana, entonces

)k10x25j10x20i10x30()j03.0i02.0(ABAdBAdB 4-4-4-m ++⋅+=⋅=⋅=⋅=φ

→→→→→→

∫∫

φm = 1.2 x 10 -4 Wb

4.7 Ley de Gauss para campo magnético

Nunca se ha detectado un polo magnético aislado, los campos magnéticos son siempre el resultado de espiras de corriente o de efectos atómicos que pueden describirse. Esto significa que, sin importar qué tan pequeño o que tan grande se pueda escoger un volumen, una línea de flujo no terminará o comenzará dentro del volumen ya que las líneas de flujo magnético de un imán no tienen principio ni fin (ver figura 4.30). Por lo tanto, se concluye que si una línea de flujo entra en un volumen, también deberá salir de él. En consecuencia, la suma algebraica del número de líneas de flujo que salen de la superficie de un volumen debe ser cero. Esto, expresado como una ecuación da

0 AdB =⋅∫→→

(4.27) Figura 4.30

4.2 Ley de Biot-Savart

Experimento de Oesterd

Hans Christian Oersted, profesor de física de la Universidad de Copenhague, mientras daba clases, puso por casualidad un alambre unido a una pila voltaica paralela y sobre una brújula. Al cerrar el circuito, el sorprendido Oersted vio que la aguja de la brújula giraba hasta ponerse perpendicular al alambre que conducía la corriente como si estuviera atrapada por un poderoso imán.

Se determinó en rápida sucesión que la fuerza magnética experimentada por la aguja de la brújula en la vecindad de un cable recto que conducía una corriente actuaba en planos perpendiculares a la corriente a lo largo de una serie de círculos concéntricos. Además, el cable activado atraía limaduras de hierro e imantaba barras de hierro y acero, igual que si se tratara de un imán ordinario. La dirección de este campo es la dirección en la que se cierran los dedos de la mano derecha alrededor del alambre, cuando el pulgar apunta en el sentido de la corriente (por convención, la dirección del flujo de la carga positiva), como se muestra en la figura 4.31.

Figura 4.31


113

De aquí en adelante se considerará que las corrientes son las convencionales, es decir, la corriente se debe al movimiento de los protones, a menos que se indique lo contrario.

En la actualidad se dice que un hilo que lleva una corriente genera un campo magnético (B) circular (o más exactamente, cilíndrico) en el espacio que lo rodea, un campo que es constante a cualquier distancia perpendicular dada del cable y se debilita al aumentar dicha distancia.

Ley de Biot-savart

Jean Baptiste Biot y Felix Savart, informaron que un conductor portador de una corriente estable produce una fuerza sobre un polo magnético. De sus resultados experimentales, fueron capaces de llegar a una expresión de la que se obtiene el campo magnético en un punto dado del espacio en términos de la corriente que produce el campo. La ley de Biot-Savart establece que si un alambre conduce una corriente

constante I, el campo magnético →

Bd en un punto P debido a un elemento ds, como se ilustra en la figura 4.32, tiene las propiedades siguientes:

Figura 4.32

1.- El vector →

Bd es perpendicular tanto a →

sd (el cual tiene la dirección de la corriente) y al vector r (vector unitario) dirigido desde el

elemento al punto P.

2.- La magnitud de →

Bd es inversamente proporcional a r2, donde r es la distancia desde el elemento al punto P.


Bd es proporcional a la corriente y a la longitud ds del elemento.


Bd es proporcional a sen θ, donde θ es el ángulo entre los vectores →

sd y r .

La ley de Biot-Savart puede sintetizarse en la expresión matemática

2m rr x sdIKBd

→→

= (4.28)

donde Km es una constante que en el SI es exactamente igual a 10-7 Wb/A • m. Esta constante Km generalmente se escribe como

π4μK o

m = (4.29)

por lo tanto

2o

rr x sdI

π4μBd

→→

= (4.30)

para encontrar el campo magnético total →

B en determinado punto, debido a un conductor de tamaño finito, está dado por

∫→

→

= 2o

rrxsdI

π4μB (4.31)

en la que se debe tomar la integral sobre el segmento de interés del conductor.


114

Es importante reconocer que el campo magnético que se describe en estos cálculos es el campo debido a una determinada corriente que pasa por el conductor. Y éste no debe confundirse con cualquier campo externo que se pudiera aplicar al conductor.

Campo magnético debido a un alambre recto finito

Un alambre conductor recto, muy delgado, tal que pueda considerarse como una línea de corriente, como se ilustra en la figura 4.33. Determinaremos el campo magnético total en el punto P situado a una distancia a del alambre.

Dibujando un sistema de coordenadas de modo que el eje x coincida con el alambre, el eje y pase por el punto P y el eje z positivo saliendo de la hoja como se ilustra en la figura 4.33a.

Considere un elemento ds ubicado en x, como se muestra en la figura 4.33b. De la figura 4.33b se observa que

kdxsenrxsd

)jseni(cosx)idx(rxsd

jsenicosridxsd

θ=

θ+θ=

θ+θ=

=

→

→

→

Entonces

kdB kr

dx senθIπ4μ

rrxsdI

π4μBd 2

o2

o ===

→→

de donde

Figura 4.33

Figura 4.33a

Figura 4.33b

2o

rdx senθI

π4μdB = (4.32)

de la figura 4.33b

θcota θtan

a, xxaθtan

senθa o r

rasenθ

−=−=−=

==

obteniendo la diferencial de x en función de θ, se obtiene

dθθsen

aθ dθcscadx 22 ==

sustituyendo r y dx en (4.32), se obtiene

θθ

θθπμ

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θθ

θθπμ

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θ

θθθ

πμ

=

2

22

o2

2

o2

2o

senasen

dasenI4

senasen

dasenI4

sena

sendsen

a

I4

dB

θθπμ

= dIsena4

dB o


115

Integrando desde θ1 a θ2, como se muestra en la figura 4.33c

( ) ( )

)θcosθ(cosIπa4μB

θcosIπa4μθcosI

πa4μsenθenθI

πa4μB

12o

θ

θoθ

θo

θ

θ

o 2

1

2

1

2

1

−−=

−=−== ∫

Figura 4.33c

( )21o θcosθcosI πa4μB −= (4.33)

Observe que θ1 está colocado por donde "entra" la corriente al segmento de alambre y θ2 está colocado por donde "sale" la corriente del segmento.

Observe que, las líneas de campo son circunferencias concéntricas con el alambre y están en un plano perpendicular al conductor. La dirección del campo magnético debido a un alambre se puede visualizar utilizando la mano derecha. Si se toma el alambre de modo que el pulgar señale el sentido de la corriente, los otros dedos señalan la dirección del campo magnético, como se ilustra en la figura 4.34.

Ejemplo Calcule el campo magnético en el centro de una espira de forma de un triángulo equilátero de lado a, que lleva una intensidad de corriente I, como se ilustra en la figura 4.35.

Solución Considerando cada lado del triángulo de la espira como un alambre recto finito, como se ilustra en la figura 4.35a. Observamos que el campo magnético en el centro de la espira es debido a tres alambres finitos rectos. El campo magnético debido a cada uno de los alambres tiene una dirección hacia dentro de la hoja. Y su magnitud está dada por

( )21o θcosθcosI π r4μB −=

donde r es la distancia de cada alambre al centro de la espira como se ilustra en la figura 4.35b

De la figura 4.35b, observamos que

ar2

2ar30tan o ==

despejando r, se tiene

230tanar

o

=

De la figura 4.35c, observamos que los valores de los ángulos son

θ1 = 30o y θ2 = 120o

Figura 4.34

Figura 4.35

Figura 4.35a

Figura 4.35b


116

Entonces el campo magnético de un lado es

( )ooo

o 120cos30cosI

230tana π 4

μ B −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

pero cos120o = -cos30o, entonces

Figura 4.35c

( ) ( ) 30cos2I 30tanπ a2

μ )30cos(30cosI 30tanπ a2

μ B oo

oooo

o =−−=

)30(cosI

30cos30sena

)30(cosI30tana

B o

o

ooo

oo

π

μ=

πμ

=

( )o2o

o 30cosI 30π a sen

μB = y su dirección es hacia dentro de la hoja

Campo magnético debido a un alambre recto infinito

Considere el caso particular de un alambre recto e infinitamente largo; en este caso, θ1 = 0 y θ2 = π, obteniéndose

( ) ( ))1(1I πa4μ πcos0cosI

πa4μ B oo −−=−=

Ia2

B o

πμ

= (4.34)

La dirección del campo magnético debido a un alambre infinito se puede visualizar utilizando la mano derecha. Si se coloca la mano de modo que el pulgar esté colocado en el alambre y en dirección de la corriente. Y los otros cuatro dedos juntos formando una semicircunferencia y colocando las puntas de los dedos en el punto, las puntas de los dedos indican la dirección del campo magnético, como se ilustra en la figura 4.36

Pasos para determinar la dirección del campo magnético debido a un alambre en un punto P:

1.- Unir al alambre con el punto P (donde se quiere conocer

Figura 4.36

la dirección del campo magnético) mediante un segmento de recta perpendicular a la alambre.

2.- Dibujar una línea recta que pase por el punto y que sea perpendicular al alambre y al segmento de la recta.

3.- En este momento sólo se tiene dos posibles direcciones que están a lo largo de la línea recta que pasa por el punto P (perpendicular al segmento de recta y al alambre), usar la regla de la mano derecha para determinar cual de las dos posibles direcciones es la correcta.

Ejemplo Encontrar la dirección del campo magnético en el punto P de cada uno de los casos ilustrados en la figura 4.37.


117

Figura 4.37

Solución 1.- Trazar un segmento línea recta perpendicular al alambre que una al punto P con el alambre (a, b, c, d, e, f, y h). En el caso (i) considere que el alambre continua hacia atrás con la misma dirección y se traza el segmento de línea recta (como se ilustra en la figura 4.37a).

Figura 4.37a

2.- Trazar la línea que pasa por el punto P perpendicular al alambre y al segmento de línea que une al alambre con el punto P. En los casos e, f, g, h e i la línea entra o sale de la hoja (como se ilustra en la figura 4.37b).

Figura 4.37b

3.- Colocando la mano derecha en cada uno de los casos, la dirección del campo magnético es el indicado en la figura 4.37c.


118

figura 4.37c

Ejemplo Un topógrafo está usando una brújula magnética a 6.3 m debajo de una línea de energía eléctrica. Cuando por la línea de energía eléctrica no pasa corriente la aguja de la brújula está orientada en forma paralela con la línea. Por la línea existe una corriente estacionaría de 120 A. ¿Interferirá esto seriamente con la orientación de la brújula? La componente horizontal del campo magnético de la Tierra en ese lugar es de 21 μT.

Solución El campo magnético debido a un alambre está dado por

π r2IμB o=


T10x81.3)3.6π(2

)120)(10πx4(B 6-7-

a ==

Suponiendo que el campo magnético del alambre Ba es perpendicular al campo magnético de la Tierra BT, como se ilustra en la figura 4.38. La brújula apuntaría con una desviación de

o6-

6-

T

a 28.1010x2110x81.3arctan

BBarctanθ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Figura 4.38

es decir, con una desviación de 10.28o del Norte.

Ejemplo Cuatro conductores largos y paralelos llevan la misma corriente de 5 A. Una vista transversal de los conductores se muestra en la figura 4.39. La dirección de la corriente en los alambres 1 y 2 es hacia afuera de la página (indicado por puntos) y hacia adentro de la página en los alambres 3 y 4 (indicados por cruces). Calcule la magnitud y dirección del campo magnético en el punto P, localizado en el centro del cuadrado de lado 0.2 m.

Solución Figura 4.39

Como los alambres son equidistantes al centro del cuadrado y como todos llevan la misma corriente eléctrica. Los cuatro alambres generan la misma magnitud de campo magnético en el centro. La magnitud del campo magnético debido a un alambre está dado por


119

π r2IμB o=

La distancia de uno de los alambres al centro del cuadrado es

2a

22a

2aar

22

==+

=

sustituyendo la distancia en la expresión del campo magnético, se tiene

π a22Iμ

2aπ 2

IμB oo ==

entonces

π a22IμBBBB o

4321 ====

Dibujando las direcciones de los campos magnéticos usando la regla de la mano derecha, como se muestra en la figura 4.39a

Si se define BA = B2 + B3 y BB = B1 + B4, se tiene

π a22Iμ

π a22Iμ

π a22IμBBB ooo

32A =+=+=

π a2Iμ

π a22Iμ

π a22IμBBB ooo

41B =+=+= Figura 4.39a

Y el campo magnético neto es

π aIμ2

aπIμ4B

π a2Iμ2

π a2Iμ

π a2IμBBB

o22

22o

2

o

2

o

2

o2B

2A

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=


)2.0π()5)(10πx4(2B

7-

=

B = 20 μT, y su dirección es hacia la izquierda, como se muestra en la figura 4.39b.

Figura 4.39b

Solución alternativa Resolveremos este ejemplo utilizando vectores. Ya que el campo magnético se representa por un vector. Recuerde que para describir un vector es necesario dar la magnitud y la dirección, la dirección se puede dar usando un vector unitario.

Como ya vimos la magnitud de los campos magnéticos es

π a22IμBBBB o

4321 ====


120

y sus direcciones dadas por los vectores unitarios 4321 r y r, r, r , como vemos en la figura 4.39c, son:

j2

1i2

1j45seni45cosr

j2

1i2

1j45seni45cosr

j2

1i2

1j45seni45cosr

j2

1i2

1j45seni45cosr

oo4

oo3

oo2

oo1

−−=−−=

+−=+−=

+−=+−=

−−=−−=

Figura 4.39c

entonces los campos magnéticos son:

( )

( )jiπ a2

Iμj2

1i2

1π a2

2IμrBB

jiπ a2

Iμj2

1i2

1π a2

2IμrBB

oo222

oo111

+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−==

−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−==

→

→

( )

( )jiπ a2

Iμj2

1i2

1π a2

2IμrBB

jiπ a2

Iμj2

1i2

1π a2

2IμrBB

oo444

oo333

−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−==

+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−==

→

→

Sumando todos los campos magnéticos, se tiene

( ) ( ) ( ) ( ) iπ a

Iμ2jiπ a2

Iμjiπ a2

Iμjiπ a2

Iμjiπ a2

IμBBBBB ooooo4321T −=−−++−++−+−−=+++=

→→→→→

que es la misma expresión que se obtuvo anteriormente.

Campo magnético debido a una espira circular en un punto sobre el eje de la espira

Se desea calcular el campo magnético en el punto P sobre el eje de una espira circular de corriente de radio R. Como se ilustra en la figura 4.40.

Considerando el campo debido a dos elementos diametralmente opuestos, como se muestra en la figura 4.40a. En la figura 4.40b se ilustra una vista lateral de la espira, donde los elementos de alambre A y B llevan una dirección de intensidad de corriente indicada por el punto y por la cruz. En esta figura, también se ilustra los campos magnéticos de cada uno de los elementos de

alambre, →

ABd y →

BBd , de donde se observa que las componentes de perpendiculares al eje x se cancelan entre si. Por lo que únicamente se considerará la componente x.

Considerando un diferencial de alambre, →

sd , y usando la ley de Biot-Savart

Figura 4.40

Figura 4.40a


121

2o

rrxsd

π4IμBd

→→

=

donde cada término de la fórmula está ilustrado en la figura 4.40c.

Como →

r y →

sd son perpendiculares, entonces

ds rxsd =→

y

2o

2o

rds

π4Iμ

r

rxsd

π4IμdB ==

→

La componente x del campo magnético, observando la figura 4.39c, es

θcosrds

π4IμθcosdBdB 2

ox ==

integrando

Figura 4.39b

Figura 4.40c

∫∫ === dsπ r4

θcosI μ θcosrds

π4IμBB 2

o2

ox

y como ∫ds es precisamente el perímetro de la espira circular, se tiene

2o

2o

r2cosIR)R2(

r4cosIB θμ

=ππ

θμ=

Pero, de la figura 4.39c, se tiene

2222

RxR

rRθcos y Rxr

+==+=

sustituyendo r y cosθ en la expresión del campo magnético, se tiene

( ) ( )22222

2o

222

22o

RxRx2

IR

Rx2Rx

RIRB

++

μ=

+

+μ

=

( ) 2/322

2o

Rx2 IRμB

+= (4.35)

La expresión (4.35) da el campo magnético debido a una espira a una distancia x del centro de ésta sobre su eje como de un lado como del otro de la espira.

Si en lugar de una espira se tienen N espiras del mismo tamaño que llevan la misma intensidad de corriente, entonces el campo magnético está dado por

( ) 2/322

2o

Rx 2 NIRμB

+= (4.36)

La dirección del campo magnético de obtiene mediante la regla de la mano derecha. Poniendo los cuatro dedos en la dirección de la corriente y el pulgar indica la dirección del campo magnético en todo punto sobre el eje de la espira, como se ilustra en la figura 4.41.

Figura 4.41


122

Campo magnético debido a una espira circular en el centro de la espira

El campo magnético en el centro de la espira es cuando x = 0 en la expresión (4.35), es decir,

( ) 3

2o

2/322

2o

R2 IRμ

R0 2 IRμB =

+=

R2I μB o= (4.37)

La expresión (4.37) da el campo magnético en el centro de una espira circular de radio R y que lleva una corriente I.

Ejemplo Calcula la magnitud y dirección del campo magnético debido a una espira circular de radio 0.5 m que lleva una intensidad de corriente de 2 A, en el punto x = -5.0 m, como se ilustra en la figura 4.42.

Figura 4.42 Solución El campo magnético debido a una espira está dado por

( ) 2/322

2o

Rx2IRB+

μ= Sustituyendo valores

( ) 2/322

27-

)5.0()0.5(-2 )5.0)(2)(10πx4(B

+=

B = 2.48 nT y la dirección usando la regla de la mano derecha es hacia el centro de la espira.

Fuerza entre conductores rectos largos y paralelas

Considere dos alambres paralelos rectos, largos y separados por una distancia a entre centro y centro, que conducen corrientes I1 e I2 en la misma dirección, como se ilustra en la figura 4.43.

El alambre 2, transporta una corriente I2, genera un campo magnético B2 en la posición del alambre 1 con una dirección perpendicular al alambre. La fuerza magnética sobre una longitud del alambre 1 es

Figura 4.43

211 BIF = pues es perpendicular a →

2B . El campo magnético generado por el alambre 2 es

a2IB 2o

2 πμ

=

se tiene que

π a2IμIBIF 2o

1211 ==

aII

π2μF 21o

1 = (4.38)

por consiguiente, la fuerza por unidad de longitud es

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

aII K2F

aII

π2μF

21m

1

21o1

(4.39)


123

Cuando las corrientes tienen sentidos contrarios, las fuerzas que sienten los alambres se invierten y los alambres se repelen uno al otro. Por lo tanto, se concluye que alambres paralelos que transportan corrientes en el mismo sentido se atraen (ver figura 4.44a), mientras que sí las corrientes son de sentidos contrarios los alambres se repelen (ver figura 4.44b).

a) b) Figura 4.44

Ejemplo Dos conductores paralelos cada uno de 5 cm de longitud llevan corrientes de 10 A en direcciones opuestas. ¿Qué distancia de separación entre centro y centro deberán tener si se repelen con una fuerza de 1.0 N?

Solución Si la distancia de eje a eje es muy pequeña, la longitud de los alambres se puede considerar muy grande. Y la fuerza entre los alambres se puede aproximar por

aII

π2μF 21o=

despejando a, se tiene

π F2IIμ a 21o=


)1π(2)05.0)(10)(10)(10πx4(a

7-

=

a = 1 x 10-6 m, que realmente es muy pequeña.

Ejemplo Tres alambres rectos, largos y paralelos se colocan en los vértices de un triángulo equilátero. Los tres alambres llevan una intensidad de corriente I, con direcciones indicadas en la figura 4.45. Calcule la fuerza magnética por unidad de longitud que siente un alambre debido a los otros dos.

Solución Numerando los alambres como se indica en la figura 4.45a. Calculando la fuerza que siente el alambre 0 debido a los alambres 1 y 2. En la figura 4.45a se indica las direcciones de las fuerzas.

La magnitud de las fuerzas por unidad de longitud que siente un alambre debido a otro está dada por

rII

π2μF 21o=

Para los alambres 0 y 1, las corrientes son iguales a I y la distancia es a, entonces

Figura 4.45

Figura 4.45a


124

aI

π2μ

aII

π2μF 2

oo1 ==

Para los alambres 0 y 2, las corrientes son iguales a I y la distancia es a, entonces

aI

π2μ

aII

π2μF 2

oo2 ==

Las direcciones de las fuerzas →

1F y →

2F se indican en la figura 4.45a. Para dar la dirección de cada fuerza, se tiene que encontrar los vectores unitarios en la dirección de cada fuerza.

De la figura 4.45b, los vectores unitarios son

i r

j23i5.0j30cosi30senr

2

oo1

=

−−=−−=

Entonces las fuerzas por unidad de longitud son

iaI

π2μrFF

j23i5.0

aI

π2μrFF

2o

222

2o

111

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−==

Figura 4.45b

sumando las fuerzas por unidad de longitud, se tiene

iaI

π2μj

23i5.0

aI

π2μFFF 2

o2

o21 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=+=

→→→

[ ]j3iaI

π4μF 2

o −=

→

El ampere

La fuerza que se produce entre alambres paralelos, rectos que conducen corrientes se utiliza para definir el ampere como:

Un ampere es la corriente necesaria para que dos alambres largos, rectos, paralelos, separados por una distancia de 1 metro, sientan una fuerza por unidad de longitud sobre cada alambre de

mN10x2 7− .

En la práctica, el llamado balance de corriente utilizado para medir para medir la fuerza magnética, emplea dos espiras de corriente circular, planas, paralelas y concéntricas, en lugar de dos conductores rectos, porque se evitan en esa forma las complicaciones causadas por los conductores rectos no infinitos.


125

4.8 Ley de Ampere

Sea visto que las líneas del campo magnético, →

B , forman circunferencias concéntricas alrededor del alambre que lleva una

corriente. Y la magnitud de →

B es la misma en cualquier punto de una trayectoria circular que esté centrada en el alambre y que se encuentre en un plano perpendicular al conductor.

Ahora se va a proceder a evaluar →→

⋅ sdB y sumar todos estos productos a lo largo de la trayectoria circular con centro en el alambre y radio r, como se ilustra en la figura 4.46. En esta trayectoria los

Figura 4.46

vectores →

sd y →

B son paralelos y como →

B tiene una magnitud constante, se tiene

∫∫∫ ==⋅→→

dsBds BsdB como este campo magnético es debido a un alambre, se tiene

∫∫ =⋅→→

dsπ r2

IμsdB o

pero como ∫ds es precisamente el perímetro de la circunferencia, se obtiene

)π r2(π r2

IμsdB o=⋅∫→→

IμsdB o=⋅∫→→

(4.40)

Este resultado es válido cuando la intensidad de corriente es constante en el tiempo, y es conocido como la ley de Ampere o ley circuital de Ampere. También es válido para cualquier trayectoria

arbitraria cerrada. Es decir, la ley de Ampere establece que la integral de línea de →→

⋅ sdB alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual a μoI, donde I es la corriente constante total que es encerrada por la trayectoria o atraviesa una superficie delimitada por la trayectoria cerrada.

Como la corriente I en la expresión (4.40) es la corriente encerrada por la trayectoria cerrada la denotaremos por Ie, quedando la ley de Ampere como

eoIμsdB =⋅∫→→

(4.40)

Si podemos aplicar la ley de Ampere a cualquier conductor, se podrá aplicar también a un conjunto de ellos. Si dos corrientes cruzan a la superficie en sentidos opuestos una debe ser considerada positiva y la otra negativa en forma arbitraria. El sentido de integración debe ser definido por la regla de la mano derecha, tomando un alambre de corriente positiva con la mano derecha de modo que el pulgar apunte en la dirección de la corriente los otros cuatro dedos indican el sentido de integración. Con esta convención el sentido de integración y las corrientes positivas están definidos unívocamente, es decir, si se tiene el sentido de integración se sabe cual corriente es positiva o si sabe que corriente es positiva se tiene el sentido de integración.


126

En la figura 4.46 muestra varios conductores con diversas direcciones de la corriente y una trayectoria de integración, la dirección de la corriente positiva se toma arbitrariamente como la que sube, por lo que el sentido de integración es la que se muestra en la figura 4.47.

No olvide que la ley de Ampere solamente es válida para corrientes estacionarías (es decir, corrientes constante en el tiempo). Esta ley es fácil aplicarla en la práctica para determinar el campo magnético de configuraciones geométricas de corriente que tienen un alto grado de simetría.

Figura 4.47

El campo magnético de un solenoide ideal

Un solenoide es un alambre largo devanado en forma de una hélice, como se ilustra en la figura 4.48. Con esta configuración se puede producir un campo magnético razonablemente uniforme dentro de un pequeño volumen de la región interior del solenoide, siempre y cuando las espiras adyacentes estén espaciadas estrechamente.

Un solenoide ideal es cuando las espiras están muy próximas y la longitud es grande comparada con las dimensiones de la sección transversal.

En este caso, el campo magnético exterior del solenoide es débil, y cuando se compara con el campo en el interior se puede despreciar, y el campo en el interior es uniforme a través de un gran volumen a lo largo de la dirección del eje del solenoide.

Se desea encontrar el campo magnético →

B en el punto P, como se ilustra en la figura 4.49.

Para encontrar el campo magnético en el punto P se usará la ley circuital de Ampere en la trayectoria rectangular ACDFA como trayectoria de integración. Entonces

Figura 4.48

Figura 4.49


La integral cerrada se descompondrá en cuatro integrales

∫∫∫∫∫→→→→→→→→→→

⋅+⋅+⋅+⋅=⋅A

F

F

D

D

C

C

A

sdBsdBsdBsdBsdB

a lo largo de FA y CD →

B es cero (en el exterior) o bien perpendicular a sd (en el interior). Entonces

0sdBsdBA

F

D

C

=⋅=⋅ ∫∫→→→→


127

A lo largo de DF, →

B es despreciable. Entonces

0sdBF

D

=⋅∫→→

en el interior del solenoide →

B es constante y está en la misma dirección que sd . Entonces

Bds B sdBsdBC

A

C

A

==⋅=⋅ ∫∫∫→→→→

Por otro lado, la corriente total que encierra la trayectoria rectangular es igual al producto de la corriente que pasa por una espira multiplicada por el número de espiras encerradas. Si N es el número de espiras contenidas en la longitud L, entonces la corriente total es NI. Por consiguiente

NIBsdB oμ==⋅∫→→

nIINB oo μ=μ= (4.41)

donde Nn = es el número de espiras por unidad de longitud.

La dirección del campo magnético se encuentra utilizando la mano derecha. Si se toma el solenoide de modo que los cuatro dedos de la mano apunten en la dirección de la corriente, el dedo pulgar apunta en la dirección del campo magnético, como se ilustra en la figura 4.50.

Ejemplo Un solenoide largo tiene 100 vueltas por centímetro. Un electrón

Figura 4.50

se mueve dentro del solenoide en un círculo de 2.30 cm de radio, perpendicular al eje del solenoide, la velocidad del electrón es de 0.0460c (c = 3 x 108 m/s velocidad de la luz). Halle la corriente en el solenoide.

Solución El radio de la trayectoria de una partícula cargada que se mueve perpendicularmente a un campo magnético uniforme, está dado por

qBmvr =

Despejando B, se tiene

qrmvB =

Por otro lado, el campo magnético debido a un solenoide, está dado por

B = μonI

Igualando estas dos expresiones y despejando la corriente eléctrica, I, se tiene

nqrmvI

qrmvnI

o

o

μ=

=μ


128


))(2.3x10)(1.6x10)(10x10(4))(13.8x10(9.1x10I 2-19-47-

6-31

π=

I = 0.27 A

El campo magnético de un toroide

Una bobina toroidal o toroide consta de N vueltas de alambre alrededor de una estructura en forma de aro como en la figura 4.51 (este toroide tiene una sección transversal rectangular aunque puede tener cualquier forma). Suponiendo que las vueltas están estrechamente espaciadas. Se calculará el campo magnético en un punto P en el interior de la bobina, a una distancia r de su centro.

Figura 4.51

Para calcular el campo magnético en el interior de la bobina en el punto P se usará la ley circuital de Ampere en una trayectoria circular de radio r, como se ilustra en la figura 4.51a.


Por simetría, se ve (figura 4.51a) que el campo magnético es

constante sobre esta trayectoria y tangente a ésta, también →

sd es tangente al círculo, entonces

Figura 4.51a

∫∫ =⋅→→

ds BsdB como B es constante a lo largo de la circunferencia, se puede sacar de la integral, obteniéndose

∫∫ =⋅→→

ds BsdB

y ∫ ds es la suma de incrementos de longitud a través de la circunferencia de radio r, entonces

)r2(BsdB π=⋅∫→→

Por otro lado, obsérvese que la trayectoria cerrada encierra N espiras de alambre, cada uno de los cuales lleva una corriente I. Por lo tanto, la corriente encerrada es Ie = NI, por consiguiente

NI)r2(BsdB oμ=π=⋅∫→→

r 2NIB o

πμ

= (4.42)

Ejemplo Un devanado toroidal (figura 1.38) tiene un total de 500 vueltas sobre un núcleo de radio interior a = 5 cm y radio exterior b = 6 cm. Calcule la magnitud del campo magnético en un punto medio entre la pared interna y externa del núcleo cuando existe una corriente de 0.6 A mantenida en el devanado.

Solución El campo magnético dentro de un toroide, está dado por


129

r 2NIB o

πμ

=

El radio del punto medio entre la pared interna y la externa, está dado por

2bar +

=

Sustituyendo el radio en la expresión del campo magnético, se tiene

b)a(NI

2ba 2

NIB oo

+πμ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π

μ=


0.06)05.0())(500)(0.6x104(B

-7

+ππ

=

B = 1.09 x 10-3 T

El campo magnético a lo largo del eje de un solenoide

Considere ahora un solenoide de longitud ℓ y radio R que contiene N espiras muy juntas y que transporta una corriente constante I, se va a determinar el campo magnético en un punto axial P dentro del interior del solenoide, como se ilustra en la figura 4.52.

Para encontrar el campo magnético se utilizará la expresión del campo magnético debido a una espira, obtenido en la sección 4.2. Considerando un sistema de coordenadas de modo que el eje x esté sobre el eje del solenoide, el origen esté en el punto P y el lado positivo del eje x sea hacia arriba. Considerando una espira de corriente de ancho dx en la posición x (ver figura 4.52a), el número de vueltas en una longitud dx es /Ndx , y la corriente en dx es dx)/IN( , utilizando la formula (ecuación 4.36) del campo magnético para una espira, da

dxN I)R 2(x

RdB 3/222

2o ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+μ

=

de la figura 4.51a

φ=

=φ

tanRxRxtan

obteniendo la diferencial

Figura 4.52

Figura 4.52a dx = R sec2φ dφ

sustituyendo x y dx en la expresión de dB, se obtiene

3/222

2o

3/2223

23o

3/2223/22

23o

3/2222

23o

23/2222

2o2

3/222

2o

)R(tan2d sec NIdB

)R(tanR2d sec NIR

)R(tan)(R2d sec NIR

)Rtan(R2d sec NIR

d sec RNI)Rtan2(R

Rd sec RN I)R) tan2((R

RdB

+φφφμ

=

+φφφμ

=+φ

φφμ=

+φφφμ

=

φφ+φ

μ=φφ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+φμ

=


130

recuerde que tan2 φ + 1 = sec2 φ, entonces

φφμ

=φ

φφμ=

φφφμ

=sec2

d NIsec2

d NIsec)(sec2

d NIsecdB o3

2o

3/22

2o

pero φ=φ sec/1cos , entonces

2d NIcosdB o φφμ

=

integrando, se tiene

2

1

2

1

2

1

)(sen2NId cos

2NI

2d NIcosB ooo φ

φ

φ

φ

φ

φ

φμ

=φφμ

=φφμ

= ∫∫

)sen(sen2NIB 12

o φ−φμ

= (4.43)

Observe que φ1 es negativo, porque está medido en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj y φ2 es positivo. Si P está en el punto central del solenoide y se supone que es muy largo en comparación con R, entonces φ2 . 90o y φ1 . –90o; por lo tanto

nIμNIμ))1(1(2NIμ))90(sen90(sen

2NIμB o

ooooo ==−−=−−=

que coincide con el campo magnético de un solenoide ideal.

Se puede demostrar con facilidad que el flujo en cualquiera de los extremos de un solenoide muy largo es exactamente la mitad que en el centro. O sea, exactamente la mitad de las líneas de campo existen en el centro se escapan por las vueltas del solenoide entre el centro y uno de los extremos. Si P es un punto extremo, por ejemplo el extremo inferior, entonces φ1 = 0o y φ2 ≈ 90o y

nIμ21

2NIμ)01(

2NIμ)0sen90(sen

2NIμB o

ooooo ==−=−= (4.44)

Ejemplo Calcule el campo magnético debido a un solenoide en el centro de éste sobre el eje del solenoide. El solenoide tiene 1000 vueltas uniformemente distribuidas sobre una longitud de 0.4 m, de radio 0.2 m y lleva una corriente de 31.83 mA.

Solución El campo magnético debido a un solenoide finito, está dado por

)sen(sen2NIB 22

o φ−φμ

=

De la figura 4.53, se tiene o

1 450.2

/24.0arctanR/2arctan −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=φ

y o

2 450.2

/24.0arctanR/2arctan =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=φ

Figura 4.53



131

))45sen((sen452(0.4)

).83x10)(1000)(31x10(4 B oo-3-7

−−π

=

B = 70.71 μT

Corrientes de desplazamiento y la ley de Ampere generalizada

En esta sección se introduce un concepto nuevo, el de corriente de desplazamiento.

Como se ha visto, la ley de Ampere sólo es válida para corrientes constantes. Maxwell modificó la ley de Ampere para incluir todos los casos posibles.

Este problema fácilmente se puede comprenderse si se considera un capacitor que se está cargando, como se ilustra en la figura 4.54.

Cuando la corriente I cambia con el tiempo, la carga sobre cada placa varía, pero no pasa corriente de conducción entre las placas.

Figura 4.54

Considere las dos superficies S1 y S2 limitadas por la trayectoria, S1 es la superficie que es atravesada por el alambre y S2 es la superficie que pasa por las placas del capacitor. Cuando se considera la superficie S1, el resultado de la integral es μoI puesto que la corriente atraviesa a S1. Sin embargo, cuando se considera la superficie S2, el resultado es cero, dando dos posibles valores a la integral de la ley de Ampere.

Para visualizar la corrección que realizó Maxwell, se verá el circuito de la figura 4.55a.

Considere una tensión aplicada, V, a un resistor de resistencia R y a un capacitor de capacitancia C en paralelo, como en la figura 4.55a. La naturaleza del flujo de corriente a través de la resistencia es diferente al flujo de corriente a través del capacitor. Una tensión a través de un resistor produce un flujo continuo de corriente de valor constante. Por otro lado, existirá una corriente a través del capacitor sólo cuando la tensión está cambiando a través de éste.

La corriente a través del resistor es una corriente de conducción, mientras que la corriente "entre terminales" del capacitor puede llamarse corriente de desplazamiento. Aunque la corriente no fluye por el capacitor, el efecto hacia el exterior es como si lo hiciese, puesto que la misma corriente que sale de una de las placas es la misma que fluye hacia dentro de la otra placa.

Figura 4.55

Existe una corriente a través del resistor dada por I1 = V/R y una corriente a través del capacitor dada por

dtdVC

dtdqI2 ==

puesto que la carga instantánea q en el capacitor está dada por q = CV.


132

La diferencia de potencial entre las placas del capacitor es igual al producto del campo eléctrico entre las placas por la distancia entre ellas. Esto es, V = Ed, sustituyendo la diferencia de potencial en la expresión del I2, se tiene

dtdECdI2 = (4.45)

La capacitancia del capacitor de placas paralelas es C = εoA/d, donde A es el área de las placas. Sustituyendo este valor para C en (4.45), queda

dtdε

dtdEAε

dtdEAε

dtdEd

dAεI e

oooo2φ

====

Al término I2 Maxwell le llamó corriente de desplazamiento, denotándolo por Id, el cual está definido como

dtdεI e

odφ

= (4.46)

recuerde que φe es el flujo eléctrico, definido por ∫→→

⋅=φ AdEe . Con este nuevo término, Id, la ley de Ampere puede expresarse en una forma más general (llamada ley de Ampere-Maxwell)

dtdφεμIμ)I(IμsdB e

ooodo +=+=⋅∫→→

(4.47)

En el caso de que un capacitor se esté cargando o descargando. La corriente en el circuito, I, es igual a la corriente de desplazamiento, Id. Es decir, I = Id.

Ejemplo Una corriente de 0.2 A está cargando un capacitor con placas circulares de 10 cm de radio (figura 4.56). Si la separación de las placas es de 4 mm, a) ¿cuál es la rapidez de incremento de campo eléctrico dE/dt entre las placas? b) ¿Cuál es el campo magnético entre las placas para un radio de 5 cm del centro?

Figura 4.56 Solución a) En campo eléctrico entre dos placas cargadas con signos contrarios y paralelas muy cercanas, está dado por

oεσE =

donde σ es la densidad de carga en una placa, recuerde que la densidad de carga está definida por

2π rq

Aqσ ==

el campo eléctrico queda

2oo

2

π rεq

επ rq

E ==

derivando el campo eléctrico con respecto al tiempo, se tiene

2o

2o

2o

π rεI

dtdq

π rε1

dtπ rεqd

dtdE

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=


133


212- )1.0)ππ10x85.8(2.0

dtdE

=

s CN

7.19x10 dtdE 11

•=

b) Aplicando la ley de Ampere-Maxwell, en la región central del capacitor, se tiene

dtdεμIμ)I(IμsdB e

ooodoφ

+=+=⋅∫→→

Como la integral es sobre el circulo de radio r, ésta es igual a 2πrB. Por otro lado la corriente de conducción es cero, y

IμAεIAε

dtdEAε μ

dtdEAεμ

dtdεμ o

ooooooo

eoo =μ===φ

entonces B2πr = μoI

despejando el campo magnético, se tiene

π r2IμB o=


)05.0π(2)2.0)(10πx4(B

7-

=

B = 800 nT

unidad 4

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