unidad 3. interÉs compuesto y equivalencia de...
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UNIDAD 3. INTERÉS COMPUESTO Y EQUIVALENCIA DE TASAS
Interéscompuestoyequivalenciadetasas
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Tabla de contenido
UNIDAD3.INTeréscompuestoyequivalenciadetasas..................................................1Tabladecontenido.................................................................................................................................2Introducción.............................................................................................................................................3Objetivos....................................................................................................................................................3Objetivogeneral......................................................................................................................................................3Objetivosespecíficos............................................................................................................................................3
3.1Interéscompuesto...........................................................................................................................43.2Cálculodevalorpresente–pagoúnico.................................................................................103.3Tasadeinterésnominalyefectiva.........................................................................................153.4Equivalenciaentretasas............................................................................................................163.4.1 Conversióndetasadeinterésnominalaefectiva.................................................................163.4.2Conversióndetasadeinterésefectivaanominal.....................................................................18
3.5Conversióndetasadeinterésdeanticipadaavencidayviceversa............................193.5.1 Conversióndetasadeinterésanticipadaavencida............................................................203.5.2 Conversióndetasadeinterésvencidaaanticipada............................................................20
3.6Aplicaciónapagosúnicos..........................................................................................................233.7Ecuacióndevalor..........................................................................................................................32Resumen.................................................................................................................................................34Bibliografía............................................................................................................................................35
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Introducción
Laotra formade realizaroperaciones financieras es a interés compuesto, bien sea atasanominal o tasa efectiva, en formavencidao anticipada.Estaunidadmostrará alestudiantecómoresolverproblemasdeinteréscompuestoencualquieradelasformasenquesepresente.
Objetivos
Objetivo general
Resolver e interpretar problemas que involucren el interés compuesto, tanto a tasaefectivacomoatasanominal.
Objetivos específicos
• Comprenderquéeselinteréscompuesto.• Deduciryaplicarlasfórmulaspropiasdelcompuesto.• Resolverproblemasdevalorpresente,valorfuturo,tiempoytasasdeinterésa
interéscompuesto.• Entenderquésignificatrabajarcontasanominalocontasaefectiva.• Comprenderlaequivalenciaentrelatasanominalylatasaefectiva.• Hallar tasas efectivas a partir de tasas nominales y viceversa, sean ellas
vencidasoanticipadas.• Resolverproblemasde interéscompuestoa tasanominaloefectiva,vencidao
anticipada.• Hallarecuacionesdevalorainteréscompuesto.
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3.1 Interés compuesto
Enlaunidadanteriorsemanejaronlasoperacionesfinancierascuandolosinteresessecalculansolamentesobreelcapital,peroenestaunidadseverálaformaderealizarlasoperacionesfinancierascuandoelinterésseliquidasobreelcapitalmáslosintereses,esdecir,ainteréscompuesto. Teniendoclaroelconcepto,seprocederáahoraacalcular,tantoelvalorfuturocomoelvalorpresenteainteréscompuestopagoúnico. CálculodelvalorfuturoLasimbologíaquesemanejaparacalcularelvalorfuturoes:
VF=ValorfuturoVA=Valorpresenten=tiempoí=tasadeinterés
Gráficamenteelcálculodelvalorfuturodeunpagoúnicoserepresentaasí:
Lafórmulaqueseutilizaparaelcálculodelvalorfuturopagoúnicoes:
!" = !$(& + ()*
Ejemplo
Manuelinviertehoy$8.000.000enunacuentaquepagael7%compuestoanual,¿quécantidadpodráretirardentrode4años?Elproblemaplantea lanecesidaddehallarelvalor futuroporque lapersona inviertehoyyesperaretirareldinerodentrode4años.Esainteréscompuestoporqueasí loexpresaelproblema.
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Gráficamenteelproblemaseplanteaasí:
Losdatosqueelproblemaentregason:
VA=$8.000.000 i=0,07compuestoanual n=4añosVF=¿?
Lafórmulaquedebeusarsees:
Reemplazandolosvaloresenlafórmula,setiene:
LarespuestamuestraqueManuel,aloscuatroaños,podráretirar$10.486.368,10.Es de capital importancia que las cifras se manejen con todos los decimales que lacalculadorapermitaylarespuestasedéconmáximodosdecimales. NOTA: Para resolver las operaciones financieras a interés compuesto, éstas debenexpresarqueeseeseltipodeinterésconelcualoperan.Acontinuaciónsepresentalaformadecalcular,tantoeltiempocomolatasadeinterésapartirdevalorfuturo. Cálculodeltiempoapartirdevalorfuturo
( )niVAVF += 1
1,368.486.10031079601,1000.000.8)07,1(000.000.8)07,01(000.000.8
4
4
=
=
=
+=
VFxVF
VF
VF
$8.000.000
VF=?
0123
i=0,07
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En ocasiones lo que se requiere es encontrar el tiempo en el cual se debe tenerinvertida una cantidad A de dinero, a una determinada tasa de interés para poderretirarenelfuturounacantidadB.Paraefectosdenoconfundirallector,lacantidadAseráelvalorpresenteylacantidadBelvalorfuturo.Parapoderencontraresestiempo,setomacomopuntodepartidalaecuaciónutilizadaparahallarelvalorfuturoysevadespejando ésta hasta llegar a la fórmula que permite calcular el tiempo a partir devalorfuturo. Acontinuaciónsepresentaelprocesoquehadeseguirse:
, Luegoseprocedeadespejarnasí:
Comoloquesedeseadespejareslan,sedebeaplicarlogaritmoymásespecíficamenteeldeunapotencia.Sepuedetrabajarconlogaritmoenbase10ologaritmoenbasee.Aquísetrabajaráconlogaritmoenbase10.
Ejemplo
Saratiene$1.000.000yquierequintuplicarlos.Silatasadeinterésquelepaganesdel12%compuestoanual,¿enquétiempoloconseguirá?
( )niVAVF += 1
( )
( )n
n
iVAVF
iVAVF
+=
+=
1
1
( )[ ]
( )
( )iVAVF
n
ordenando
ni
VAVF
inVAVF
iVAVF n
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=
=+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
1log
log
:)1log(
log
1loglog
1loglog
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Esteesuncasotípicodecálculodeltiempoapartirdevalorfuturo.¿Porqué? Acontinuaciónloselementosdelproblema:
1. Tienehoy$1.000.0002. Quierequintuplicarlos,esdecir,convertirlosen$5.000.000.3. Latasadeinterésquelepaganparaconseguirloesel12%compuestoanual.
Gráficamenteelproblemaseveasí:
Segúnestegráfico,elproblemaentregalossiguientesdatos: VA=$1.000.000 VF=$5.000.000 i=12%compuestoanual n=¿?Reemplazándolosenlafórmula:
Dadoqueelnumeradoresellogaritmodeunadivisión,lafórmulaseconvierteen:
( )
( )12,01log000.000.1000.000.5
log
)1log
log
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=
n
iVAVF
n
20150518,1470492180226,0
698970004,070492180226,06698970004.612,1log
000.000.1log000.000.5log
=
=
−=
−=
n
n
n
n
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Saratardará14,20añosenacumular$5.000.000apartirde$1.000.000,aunatasadel12%compuestoanual. Resolviéndoloconellogaritmoenbasee,elproblemaquedaría:
Seobtienelamismarespuesta.
Cálculodelatasadeinterésapartirdevalorfuturo Aligualqueconeltiempo,enocasionesloquesedebeencontrareslatasadeinterésquepermitiráacumularunaciertacantidad(VF),apartirdeunacantidadinicial(VA),aunadeterminadatasadeinteréscompuesto.Enestecaso,seestáhallandolatasadeinterésapartirdevalorfuturo.Parahacerlo,separtenuevamentedelafórmulaparaelcálculodelvalorfuturoysellegaalaquepermiteencontrarlatasadeinterés,así:
Comoloquesedeseahallares“i”,sedebeaplicarradicalalosdosladosdelaigualdadasí:
( )
( )
20150517.141133286853,060943791.1
1133286853,081551056.1342494847.15
12,1ln000.000.1ln000.000.5ln
12,01ln000.000.1000.000.5ln
)1ln
ln
==
−=
−=
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=
n
n
n
n
iVAVF
n
( )
( )n
n
iVAVF
iVAVF
+=
+=
1
1
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Ejemplo
La empresa de comestibles, El Cerdito Feliz, quiere saber a qué tasa de interéscompuesto puede colocar sus excedentes de tesorería que ascienden a $10.000.000,paraqueen6mesesseleconviertanen$12.000.000.Elproblemaes claro,puespidehallar la tasade interésapartirdevalor futuro,porcuantocolocará$10.000.000yquiereretirar,alos6meses,$12.000.000. Gráficamente,elproblemaseveasí:
Losdatosdelproblemason: VA=$10.000.000VF=$12.000.000n=6mesesi=¿? Aplicandolafórmulaseobtiene:
( )
( )
1
:
1
1
1
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+=
+=
n
n
n
n nn
VAVFi
Ordenando
iVAVF
iVAVF
iVAVF
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Laempresadebecolocarlos$10.000.000enunacuentaquelepagueel3,1%mensual,siquiereretiraralos6meses$12.000.000. NOTA:Sieltiempoestáenmeseslatasadeinterésesmensual;sieltiempoestáenañoslatasadeinterésesanual.
3.2 Cálculo de valor presente – pago único
Laotraexpresióndelvalordeldineroeneltiempoeselvalorpresente,esdecir,siseconocecuántosevaaacumularopagarenundeterminadoperiododetiempoaunatasadeinterés,sepuedeencontrarelvalorinicial.Lasimbologíaautilizar,enestecaso,eslamismausadaenelcasodelcálculodelvalorfuturo,así:
VF=ValorfuturoVA=Valorpresenten=tiempoí=tasadeinterés
Tasanominal Gráficamenteelcálculodelvalorpresentees:
( )
.%1,3031,0
1030853321.112.1
1000000.10
000.000.12
1
6
6
mensualiiii
i
VAVFi n
=
=
−=
−=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
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Lafórmulaautilizarparaelcálculoes:
Ejemplo
Jaimequierecomprarunacasay leofrecen lassiguientesalternativas:Comprarladecontado por $120.000.000 o pagarla dentro de 30 años por $350.000.000 con uninterésdel4,8%compuestoanual.¿Quéleconvienemás?Este es el típico caso de cálculo de valor presente. Para poder comparar lasalternativas,éstasdebencolocarseavalorpresente.A laprimeraalternativanose lehacenadaporqueelpagodecontadoseentiendecomosifuerahoy. Lasegundaalternativasídebesertraídaavalorpresenteasí:
Dónde:
Va=¿?VF=$350.000.000n=30añosi=4,8%compuestoanual
Gráficamenteseveasí:
Reemplazándoloenlafórmula,resulta:
niVFVA −+= )1(
niVFVA −+= )1(
90,098.749.852449974254,0000.000.350048,1000.000.350
)048,01(000.000.35030
30
=
=
=
+=−
−
VAxVAxVA
VA
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Dadoqueestevaloresmenorhoyque los$120.000.000de laprimeraalternativa, lomejor que puede hacer Jaime es comprarla para pagarla dentro de 30 años por$350.000.000. Cálculodeltiempoapartirdevalorpresente EnocasionesloqueserequiereesencontrareltiempoenelcualsetuvoinvertidaofuehechounpréstamodeunacantidadAdedineroaunadeterminadatasadeinterésparapoderretirarenelfuturoopagarunacantidadB.Paraefectosdenoconfundirallector, lacantidadAseráelvalorpresentey lacantidadBelvalorfuturo.Parapoderencontraresetiempo,setomacomopuntodepartidalaecuaciónutilizadaparahallarelvalorpresenteysevadespejandoéstahastallegaralafórmulaquepermitecalculareltiempoapartirdevalorpresente. Acontinuaciónsepresentaelprocesoquehadeseguirse:
,
Ejemplo
AMateo,elBancoXXXleprestó$2.000.000aunatasadel5%compuestoanual.Sabequetranscurridoel tiempoestipulado,él tendráquecancelar$3.124.987,56.¿Dequétiemposeestáhablando? Esteesuncasotípicodecálculodetiempoapartirdevalorpresente¿Porqué?Consulteloselementosdelproblema:
( ) niVFVA −+= 1
( )[ ]
( )
( )iVFVA
n
ordenando
ni
VFVA
inVFVA
iVFVA n
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=−
−=+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
1log
log
:)1log(
log
1loglog
1loglog
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1. Mateotieneunpréstamode$2.000.0002. Sabequedebepagar$3.124.987,563. Latasadeinterésquelecobranesel5%compuestoanual.
Gráficamenteelproblemaseveasí: Segúnestegráfico,elproblemaentregalossiguientesdatos: VA=$2.000.000 VF=$3.124.987,56 i=5%compuestoanual n=¿?Reemplazándolosenlafórmula:
Dadoqueelnumeradoresellogaritmodeunadivisión,lafórmulaseconvierteen:
Dadoque-n=-9,146989552,porlaleydelossignosn=9,146989552 Mateosedemorará9,15añosencancelar ladeudade$2.000.000por3.124.987,56aunatasadel5%compuestaanual.
( )
( )05,01log56,987.124.3
000.000.2log
)1log
log
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=−
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=−
n
iVFVA
n
146989552,970211892990,0
1938182972,070211892990,0
494848293.6301029996.605,1log
56,987.124.3log000.000.2log
−=−
−=−
−=−
−=−
n
n
n
n
$2.000.0000
0
i=0,05%
$3.124,987,65
n=¿?
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Resolviéndoloconellogaritmoenbasee,elproblemaquedaría:
Seobtienelamismarespuesta. Cálculo de la tasa de interés a partir de valor presente Aligualqueconeltiempo,enocasionesloquesedebeencontrareslatasadeinterésquepermitirápagarunadeudaopermitióacumularunaciertacantidad(VF)apartirde una cantidad inicial (VA), a una determinada tasa de interés compuesto. En estecaso, se está hallando la tasa de interés a partir de valor presente. Para hacerlo, separtenuevamentede la fórmulaparael cálculodevalorpresentey se llegaa laquepermiteencontrarlatasadeinterés.
Ejemplo
La empresa de comestibles, El Cerdito Feliz, quiere saber a qué tasa de interéscompuesto puede colocar sus excedentes de tesorería que ascienden a $10.000.000,paraqueen6mesesseleconviertanen$12.000.000. Elproblemaes claro,puespidehallar la tasade interésapartirdevalor futuro,porcuantocolocará$10.000.000yquiereretiraralos6meses$12.000.000. Gráficamenteelproblemaseveasí:
( )
( )
14698955,91133286853,060943791.1
70487901641,095494086,1450865774,14
05,1ln56,987.124.3ln000.000.2ln
05,01ln56,987.124.3
000.000.2ln
)1ln
ln
==−
−=−
−=−
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=−
+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=−
n
n
n
n
iVFVA
n
$12.000.0000123456
i=¿?
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Losdatosdelproblemason: VA=$10.000.000 VF=$12.000.000n=6mesesi=¿? Aplicandolafórmulaseobtiene:
Laempresadebecolocarlos$10.000.000enunacuentaquelepagueel3,1%mensualsiquiereretiraralos6meses$12.000.000. Nota:Sieltiempoestáenmeseslatasadeinterésesmensual,sieltiempoestáenañoslatasadeinterésesanual.
3.3 Tasa de interés nominal y efectiva
Las operaciones financieras se realizan utilizando dos tipos de tasa de interés, unasnominalesyotrasefectivas.Asuvez,éstaspuedenseranticipadasovencidas.Enesteaparte,setrabajalaformadeconvertirtasasnominalesaefectivasytasasefectivasanominales,ydetasasanticipadasavencidasyviceversa.TasadeinterésnominalEsunatasadereferenciaqueexistesólodenombre,puesnodeterminalaverdaderatasa de interés que se cobra en la operación financiera. Esta tasa de interés estáafectada por los periodos de capitalización de los intereses, los cuales pueden ser:Mensual,bimestraltrimestral,cuatrimestral,semestral.Losperiodosdecapitalizaciónsereconocenconlaletramyelnúmerodeperiodosdecapitalización,segúnlamodalidadson:
m=12silacapitalizaciónesmensual(cadames).m=6silacapitalizaciónesbimestral(cadabimestre).
( )
.%1,3031,0
1030853321.112.1
1000000.10
000.000.12
1
6
6
mensualiiii
i
VAVFi n
=
=
−=
−=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
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m=4silacapitalizaciónestrimestral(cada3meses).m=3silacapitalizaciónescuatrimestral(cada4meses).m=2silacapitalizaciónessemestral(cada6meses).
Cuandoenunanegociaciónsedice,porejemplo,al12%concapitalizaciónmensual,laoperación se está planteando a una tasa nominal de interés del 12% anual, conliquidacióndeinteresesmensual. Tasadeinterésefectiva Eslatasadeinterésquerealmentesereconoceenunaoperaciónfinanciera.ElDecretoNo.1229de1972,delalegislacióncolombiana,definelatasaefectivadeinteréscomoaquellaque, “aplicadaconperiodicidaddiferenteaunañodeacuerdoconlasfórmulasdeinteréscompuesto,produceexactamenteelmismoresultadoquelatasaanual”.
3.4 Equivalencia entre tasas
Se dice que dos tasas son equivalentes cuando, al partir de una cantidad inicial dedinero una vez transcurrido el mismo tiempo, producen un valor futuro o presenteigual.Sea cual sea la forma en la cual se pacte la negociación, los dos tipos de tasas sonequivalentes, esto significa que para la tasa nominal existe una tasa efectivaequivalenteyviceversa.Laequivalenciaentre tasasseexpresamediante la siguienteecuación:
Dónde: í=tasaefectivaj=tasanominalm=períododecapitalizaciónenelañon=númerodeañosAcontinuaciónseverálaformadeconvertirtasasdeinterés.
3.4.1 Conversión de tasa de interés nominal a efectiva
( )nxm
mj
i ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=+ 11
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Partiendo de la ecuación de equivalencia entre tasas, se puede convertir una tasanominalenunatasaefectiva,así:
Ejemplo
Convertirel12%concapitalizaciónmensualenlatasaefectivaanual.Enestecaso:
j=12%m=12n=1
Utilizandolafórmulaquepermiteconvertirlatasanominalentasaefectiva,setiene:
Es decir, una tasa del 12% con capitalizaciónmensual es equivalente al 12,68% deinterésefectivaanual.
Ejemplo
Convertirel12%concapitalizacióntrimestralenlatasaefectivaanual.Enestecaso:
j=12%m=4n=1
Utilizandolafórmulaquepermiteconvertirlatasanominalentasaefectiva,setiene:
( )
11
11
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=+
nxm
nxm
mj
i
mj
i
%68,121268,0
11268,1101,1
1)01,01(
11212,01
12
12
121
=
=
−=
−=
−+=
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
iiii
i
ix
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Esdecir,queel12%concapitalizacióncuatrimestralesequivalenteal12,55%efectivaanual.
3.4.2 Conversión de tasa de interés efectiva a nominal
Partiendo de la ecuación de equivalencia entre tasas, se puede convertir una tasaefectivaenunatasanominal,así:
Ejemplo
Convertir el 15% efectivo anual en la tasa nominal con capitalización bimestralequivalente.Enestecaso:
í=15%m=6n=1
Utilizandolafórmulaquepermiteconvertirlatasaefectivaentasanominal,setiene:
%55,121255,0
11255,1103,1
1)03,01(
1412,01
4
4
41
=
=
−=
−=
−+=
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
iiii
i
ix
( )
[ ]{ } 10011
11
1 xxmij
mj
i
xm
nxm
−+=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=+
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Una tasa del 15% efectiva anual es equivalente a una tasa del 14,14% concapitalizaciónbimestral.
Ejemplo
Convertir el 15% efectivo anual en la tasa nominal con capitalización semestralequivalente.Enestecaso:
í=15%m=2n=1
Utilizandolafórmulaquepermiteconvertirlatasaefectivaentasanominal,setiene:
Una tasa del 15% efectiva anual es equivalente a una tasa del 14,48% concapitalizaciónsemestral.
3.5 Conversión de tasa de interés de anticipada a vencida y viceversa
Lastasasdeinterésnominalesoefectivaspuedensercanceladasenformaanticipadaovencida.Sedenominatasade interésanticipadaaaquellaquesecancelaal iniciodelperiododepagoyvencidaaaquellaquesecancelaalfinaldelperíododepago.Aligual
[ ][ ][ ]
%14,141414,0
6023567073,061023567073,1
6115,1
6115,016
61
=
=
=
−=
−=
−+=
jj
xjxj
xj
xj x
[ ][ ][ ]
%48,141448,0
2072380529,021072380529,1
2115,1
2115,012
21
=
=
=
−=
−=
−+=
jj
xjxj
xj
xj x
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queen las tasasnominalesyefectivas, sepuedenhallar lasequivalenciasentre tasasanticipadasytasasvencidas.Simbología:
ia=tasaanticipadaiv=tasavencida.
3.5.1 Conversión de tasa de interés anticipada a vencida
Paraconvertirunatasaanticipadaavencidaseutilizalasiguientefórmula:
Ejemplo
Convertirel12%anticipadoanualaunatasavencidaanual.Ía=12%Utilizandolafórmulaquepermiteconvertirlatasaanticipadaatasavencida,setiene:
Unatasadel12%anticipadaesequivalenteauntasadel13,64%vencida.
3.5.2 Conversión de tasa de interés vencida a anticipada
Paraconvertirunatasavencidaaunatasaanticipadaseutilizalasiguientefórmula:
( )100
1x
ii
ia
av −=
( )
( )
%64,131006363,13,0
10088,012,0
10012,0112,0
1001
=
=
=
−=
−=
v
v
v
v
a
av
ixi
xi
xi
xii
i
( )100
1x
ii
iV
Va +=
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Ejemplo
Convertirel12%anticipadoanualaunatasavencidaanual. ÍV=12% Utilizandolafórmulaquepermiteconvertirlatasavencidaatasaanticipada,setiene:
Unatasadel12%vencidaanualesequivalenteauntasadel10,74%anticipadaanual. De igual forma, se puede convertir una tasa efectiva vencida a una tasa nominalanticipadaoviceversa.
Ejemplo
Hallar la tasa efectiva anual anticipada equivalente a una tasa del 14% concapitalizaciónmensual.Sehallalatasaefectivaanualequivalenteal14%concapitalizaciónmensual.
( )
( )
%71,1010714,0
10012,112,0
12,0112,0
1001
=
=
+=
+=
a
a
a
a
v
Va
ii
xi
i
xii
i
%93.141493,0
11493,1101166666,0,11)01166666,01(
11214,01
12
12
121
=
=
−=
−=
−+=
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
iiii
i
ix
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
22
Sehallalatasaefectivaanticipadaequivalente.
Ejemplo
Hallarlatasaconcapitalizacióntrimestralvencida,equivalenteaunatasaefectivadel18%anualanticipada.Primerosehallalatasanominalconcapitalizacióntrimestralanticipadaequivalente:
Ahorasehallalatasanominalvencida:
( )
( )
%99,121299,0
1001493,193,14,0
1001493,011493,0
1001
=
=
+=
+=
a
a
a
a
v
Va
ii
xi
xi
xii
i
[ ][ ][ ]
%48,141689,0
4042246635,041042246635,1
4118,1
4118,014
41
=
=
=
−=
−=
−+=
a
a
a
a
a
xja
jj
xjxj
xj
x
( )
( )
%93,161001693,0
1008552,01448,0
1001448,011448,0
1001
=
=
=
−=
−=
v
v
v
v
a
av
jxj
xj
xj
xii
j
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
23
Parasaberelvalortrimestralsedivide latasanominalvencidaentre losperiodosdecapitalización,esdecir:
3.6 Aplicación a pagos únicos
Sedenominapagoúnicoaaquellacantidaddedineroquesóloseinvierteoprestaporunavezysobreelcualsegeneranopaganinteresesaunatasadeinterésquepuedesernominaloefectiva.Yasesabequeexisteunaequivalenciaentreestetipodetasas,portanto,enesteaparteseverálaformaenlacualestaequivalenciasehacepresente.Caberesaltarqueparapodersaberconquétipodeinterésseestátrabajando,esnecesarioquelaoperaciónfinancieraseaplanteadaenformaclara,esdecir,debeseñalarsiellaserealizaráconunatasaefectivao,porelcontrario,aunatasaconcapitalización. Enlossiguientesejemplossemostrarálaformaenlacualseplanteanlasoperacionesfinancieras,utilizando,tantotasasefectivascomotasasnominales,tasasanticipadasytasasvencidas.
Ejemplo
Camila quiere saber qué cantidad podrá retirar dentro de 5 años, si invierte hoy$600.000enunacuentaquepagael3%efectivotrimestral.Setratadehallarelvalorfuturodeunpagoúnicotasaefectiva. Segúnloquesevioenelcálculodelvalorfuturo,lafórmulaautilizares:
Cuandosetrabajaainterésefectivo,estaeslafórmulaqueseemplea.Identificandocadatérminodelafórmulasetiene:
i=3%efectivatrimestraln=5añosque,convertidosentrimestres,serán:5x4=20trimestres.
%0423,041493,0/ ==mj
( )niVAVF += 1
00.600$=VA
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
24
Reemplazandolosdatosenlafórmula,setiene:
Camilapodráretirardentrode5años$1.083.666,74
Ejemplo
Camila quiere saber qué cantidad podrá retirar dentro de 5 años, si invierte hoy$600.000enunacuentaquepagael3%concapitalizacióntrimestral.Setratadehallarelvalorfuturodeunpagoúnicotasanominal.Segúnloquesevioenelcálculodelvalorfuturo,lafórmulaautilizares:
Perocomoestasanominal,yasesabeque
Reemplazándolaenlafórmulaoriginalqueda:
Identificandocadatérminodelafórmula,setiene:
j=3%concapitalizacióntrimestraln=5añosm=4(númerodetrimestresen1año). Reemplazandolosdatosenlafórmula,setiene:
( )( )
74,666.083.1800611123,1000.60003,1000.600
03,01000.60020
20
=
=
=
+=
VFxVF
VF
VF
( )niVAVF += 1nxm
mJ
i ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=+ 1)1(
nnx
mj
VAVF ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += 1
00.600$=VA
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
25
Camilapodráretirardentrode5años$696.710,48 Sisecomparanlosresultadosdelosdosejemplosanteriores,seveclaramentequenoeslomismohablarde3%efectivotrimestralque3%concapitalizacióntrimestral.
Ejemplo
¿Qué cantidad le prestaron a Santiago para que a los 3 años la cancelara por $2.456.789.56,aunatasadel6%efectivaanual?Setratadehallarelvalorpresentedeunpagoúnicoatasaefectiva.En el aparte sobre cálculo del valor presente se vio que la fórmula a utilizar paracalcularelvalorpresentees:
Aligualqueenelcasodelvalorfuturo,éstaeslafórmulaquesedebeemplearsilatasaesefectiva.Identificandolostérminosdelproblemasetiene: VF=$2.456.789,56i=6%efectivaanualn=3años. Reemplazándolosenlafórmula,setiene:
Elvalordelpréstamofuede$1.731.939,7
Ejemplo
( )
48,710.69616118414,11000.600
0075,01000.600
403,01000.600
20
45
=
=
++=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
VFxVF
VF
VFx
( ) niVFVA −+= 1
( )( )
7,939.731.170496054,056.789.456.206,156,789.456.2
06,0156,789,456.26
6
=
=
=
+=−
−
VAxVAxVA
VA
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
26
¿Qué cantidad le prestaron a Santiago para que a los 3 años la cancelara por $2.456.789.56,aunatasadel6%concapitalizaciónbimestral?Setratadehallarelvalorpresentedeunpagoúnicoatasanominal.En el aparte sobre cálculo del valor presente se vio que la fórmula a utilizar paracalcularelvalorpresentees:
Aligualqueenelcasodelvalorfuturoysabiendoquelastasasnominalesyefectivassonequivalentes,lafórmulaquesedebeempleares:
Identificandolostérminosdelproblemasetiene: VF=$2.456.789,56j=6%concapitalizaciónbimestraln=3añosm=6(númerodebimestresquetieneelaño) Reemplazándolosenlafórmula,setiene:
Elvalordelpréstamofuede$.1.717.111,52 Sisecomparan losdosúltimosejemplos, sevequenoes lomismotrabajarcon tasaefectivaquecontasanominal.
Ejemplo
¿Encuántos semestres sepodránacumular$4.000.000apartirde$2.600.000,aunatasadel4%concapitalizaciónsemestral?
( ) niVFVA −+= 1
nxm
mj
VFVA−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += 1
( )
( )
52,111.717.190204524,056.789.456.201,156,789.456.2
606,0156,789,456.2
36
63
=
=
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
−
−
VAxVAxVA
VAx
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
27
Se sabe que es cálculo del tiempo a partir de valor futuro, porque se invierten$2.600.000yseesperaobtener$4.000.000.Estasanominalporquedicequeesel4%concapitalizaciónsemestral.Identificandolostérminosdelafórmula,setiene:
VA=$2.600.000VF=$4.000.000j=4%CCSm=2
Lafórmulaparaelcálculodeltiempoapartirdevalorfuturoes:
Dadoquelatasaesnominal,lafórmulaseconvierteen:
Dónde:
VA=$2.600.000VF=$4.000.000j=4%CCSm=2
Reemplazandolosvaloressetiene:
( ))1log
log
iVAVF
n+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
xm
mj
VAVF
n
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=)1log
log
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
28
Sedemorará43,51semestres.
Ejemplo
¿Quétasadeinterésconcapitalizacióncuatrimestralpermitirácuadruplicaruncapitalen10añosy8meses?Elejercicioqueseplanteacorrespondealcálculodelvalordelatasadeinterésapartirdevalorfuturotasanominal,debidoaqueelcálculodelatasadeinterésa partirdevalor futurotasaefectiva,eselquesevioenelapartecorrespondiente(cálculode latasa a partir del valor futuro). En el interés compuesto, sólo se hace este ejercicio.Además, se presenta otra de las formas en las que se puede plantear este tipo deproblemas.Lafórmulaqueseutilizaparaestetipodeproblemaseslasiguiente:
DóndeVA=1VF=4n=10años8mesesm=3(unañotiene3cuatrimestres)
Enestecaso,loprimeroquehadehacerseesconvertirnennxmasí:10x3=30+(8/4)=2=32cuatrimestres.
51.43275.21
2620086001717,0
414993348.6602059991.6
202,1log
000.600.2log000.000.4log
2)
204,0
1log
000.600.2000.000.4
log
=
=
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
nxn
xn
xn
xn
xmVAVF
j nxm
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 1
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
29
Reemplazandolostérminosconlosdatosdelproblema,setiene:
La tasa de interés con capitalización cuatrimestral que permitirá cuadruplicar uncapitalen10años8meseses13,28%.
Ejemplo
Tadeo desea saber cuánto tiempo se demoró su padre en pagar un préstamo de$5.000.000,si laentidadfinancieralecobróel12%concapitalizaciónmensualy fuepagadopor$6.000.000. En este caso, se pide calcular el tiempo a partir de valor presente, debido a que elproblema está planteado en pasado. Esta es una de las características del valorpresente,susproblemas,normalmente,seplanteandeestaforma. Cuando se vio el cálculo del tiempo a partir de valor presente, se estableció que lafórmulaautilizarera:
Comoelproblemaesatasanominal,éstaseconvierteen:
Dónde:
VA=valorpresente
( )[ ][ ]
%28,13132821,0
3044273782,031044273782.1
314
3114
32
32
=
=
=
−=
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
jj
xjxj
xj
xj
)1log(
log
iVFVA
n+
=−
xm
mj
VFVA
n
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=−
)1log(
log
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
30
VF=valorfuturoj=tasanominalm=periododecapitalizaciónporaño
Losdatosdelproblemason:
VA=$5.000.000VF=$6.000.000j=12%conCCMm=12(unañotiene12meses)
Reemplazándolosenlafórmulaquedaría:
El padre de Tadeo se demoró 219,88 meses en pagar la deuda de $5.000.000 por$6.000.000. Si se quiere saber cuántos años, el resultado se divide entre doce y da18,32años.
Ejemplo
Encontrarlatasadeinterésconcapitalizaciónbimestral,quecobraronporunadeudade$3.000.000por$4.098.765,43en37bimestres.Enestecasosedebehallar latasade interésnominal(concapitalización)apartirdevalorpresente,debidoaqueelplanteamientodelproblemaespasado.
88,21988,219
1232316528.18
12830043213737,050791812460.0
12830043213737,0
77815125.6698970004.6
1201,1log
000.000.6log000.000.5log
12)
1212,0
1log(
000.000.6000.000.5
log
=
−=−
−=−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=−
nn
xn
xn
xn
xn
xn
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
31
Cuandoseviocómocalcularlatasadeinterésapartirdelvalorpresente,seplanteólasiguientefórmula:
Dadoqueelproblemaescontasanominal,lafórmulaseconvierteen:
Dónde:
Antilog=antilogaritmoenbase10VA=valorpresenteVF=valorfuturoj=tasanominalm=períododecapitalizaciónenunañonxm=tiempo
Enelproblemaplanteadolosdatosson:
VA=$3.000.000VF=$4.098.765,43j=¿?m=6(unañotiene6bimestres)nxm=37bimestres
Reemplazándolosenlafórmula,setiene:
1log
log −
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
nVFVA
antii
xmnxmVFVA
antij
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−= 1
loglog
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
32
Latasadeinteréscobradafuedel5,08%concapitalizaciónbimestral.
3.7 Ecuación de valor
Enciertascircunstanciasesnecesariocambiarolafechadepagooelvalorapagarenoperaciones que se realizan a interés compuesto. En este aparte se verá cuál es elprocedimientoaseguirencadaunodeellos.CambioeneltiempodepagoPararealizarelcambiodefechadepagosedebe:
1. Ubicarlospagosoriginalesenlalíneadetiempo.2. Traerlosvaloresavalorpresente,tantolosoriginalescomoeldepago.3. Despejarnenlafórmula,aplicandolavistaencálculodeltiempoapartirde
valorpresente.
Ejemplo
[ ]{ }( )
%08,51000508,0
600847009,06100847009,1
61890036630218,0log
6137
1355318099,0log
6137612653065.6477121255.6
log
6137
43.765.098.4log000.000.3loglog
6137
43,765.098.4000.000.3
loglog
=
=
=
−=
−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
xjxj
xjxantij
xantij
xantij
xanij
xantij
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
33
Rosa tiene tresdeudas: la primera, a los 2 añospor $1.000.000yuna tasadel 3,8%efectivaanual;lasegundapor$1.800.000alos3años5mesesaunatasadel6%concapitalizaciónbimestraly laterceraalos10semestrespor$2.000.000aunatasadel5%concapitalizaciónsemestral.Siquiererecogerlaspor$4.000.000,¿cuándodeberácancelarlaaunatasadel4%efectivaanual?1. Ubicarlospagoseneltiempo:
2. Traertodoslosvaloresavalorpresente:
Ladebepagaralos0,27años,esdecir,alos3,36meses.Cambioenelvalorapagar Paracalcularunnuevovalordepagoserequiere:
1. Ubicarlosvaloresenlalíneadetiempo.2. Ubicarelmomentoenquesequierepagar.3. Llevarlospagosoriginalesalmomentodepago;bienutilizandolafórmulapara
elcálculodelvalorfuturoobienladelvalorpresente.
Ejemplo
Recogertresdeudasde$1.000.000cadauna.Laprimeraconpagoalos6mesesyunatasa del 1% efectiva mensual; la otra a los 9 bimestres y una tasa del 5% concapitalización bimestral y la tercera a los 2 años, 4 meses y una tasa del 4,8% concapitalizacióncuatrimestral,conservandosustasasoriginales.
( ) ( ) ( ) ( )( )
27,00170333393,0
460046244002,004,1log
000.000.4log66,633.957.3log)04,1log(000.000.466,633.957.3
log
66,633.957.3)04,1(000.000.4
80,396.562.138,114.467.148,122.928)04,1(000.000.4
7811984017,0000.000.2815063543,0000.800.19281224825,0000.000.104,01000.000.4
2/05.01000.000.212/06,01000.800.1038,01000.000.104,01000.000.4 10412
=−
=−
==−
=
++=
++=+
+++++=+
−
−
−
−−−
n
xxx
n
n
n
n
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
34
1. Ubicarlosvaloresenlalíneadetiempo:
Primeroseconviertenlostiemposaañosparaconstruirlalíneadetiempoasí:6meses=0,5deaño9bimestres1,5años2años4mesesson2,33años.Seconstruyelalíneadetiempo
Como se ve en el gráfico, los dos primeros valores se van al futuro y el tercero sedevuelve.2añosenmeses=242añosenbimestres=122añosencuatrimestre=6
Elresultadoes:
Lacantidadquerecogelastresdeudasesde$2.795.680,23
Utilizarunauotra,dependerádelasnecesidadesdelinteresado.
Resumen
( ) ( ) ( )( ) ( )
23,680.795.287,251.98495,410.97531,017.83698425187,0000.000.1)97541095,0000.000.183601731,0000.000.1
016,1000.000.100833333,1000.000.1)01,1(000.000.1
3/048,01000.000.16/05,01000.000.101,01000.000.11318
76912624
=++=
++=
++=
+++++=−−
−−−
XxxxX
X
X
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
35
Hoy en día las operaciones financieras se adelatan a interés compuesto, es decir,pagandointereses,nosólosobreelcapitalsinosobrelosintereses.Si se quiere saber qué cantidad se podrá retirar en un tiempo futuro, se habla delcálculodelvalorfuturo.Sisedeseaconocerquécantidadinicialseinvirtióoprestóaunatasadeinteréscompuestoquesecancelaoretiradespuésdedeterminadotiempo,sehabladelcálculodelvalorpresente.Igualmente,sepuedecalculareltiempoylatasadeinterésapartirdecadaunodeellos.Peroel interéscompuestonosetrabajaenunaúnicaforma.Puedeserquelatasadeinterés sea efectiva (realmente pagada) o nominal (la pactada) y que se capitalizavariasvecesenelaño(tasasnominales).Lastasasnominalesy/oefectivaspuedenservencidasoanticipadas.Todatasanominaltienesuequivalenciaenunatasaefectivayviceversa.Todatasaanticipadatienesuequivalentevencidayviceversa.Tambiénexisten tasasque sepaganen formaanticipada, reconocidas como tasasdedescuentoytasasquesepaganenformavencida.
Bibliografía
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
36
• Aliaga,C. yAliagaC,C.MatemáticasFinancieras,unenfoquepráctico.Editorial
PRENTICE
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