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Investigación de operaciones II

Unidad 2. Modelos de redes y transporte

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Logística y Transporte 1

Ingeniería en Logística y Transporte

10° cuatrimestre

Programa de la asignatura:



Clave

130941039

Universidad Abierta y a Distancia de México




Unidad 2. Modelos de Redes de Transporte ................................................................. 3

Presentación de la Unidad ............................................................................................ 3

Propósitos de la unidad ................................................................................................ 3

Competencia específica ................................................................................................ 4

2.1. Introducción a los modelos de redes y transporte .................................................. 4

2.1.1. Antecedentes históricos ...................................................................................... 4

2.1.2. Utilidad de la asignación de redes y modelo de transporte ................................. 6

2.2. Problemas de transporte ........................................................................................ 7

2.2.1. Descripción y formulación general de un problema de transporte ....................... 8

2.2.2. Problema de transporte no equilibrado en suministro........................................ 18

2.2.3. Modelo de transporte no tradicional .................................................................. 28

Actividad 1. Problemas de flujo ................................................................................... 31

2.3. Modelos de Redes ............................................................................................... 31

2.3.1. Trayectoria más corta ....................................................................................... 31

2.3.2. Modelo de flujo máximo .................................................................................... 36

2.3.3 Modelo de ruta crítica......................................................................................... 41

2.3.4. Revisión técnica del programa de evaluación .................................................. 47

2.3.5. Modelo de costo mínimo para problemas de flujo ............................................. 50

Actividad 2. Problemas de red .................................................................................... 53

Actividad 3. Reflexión de los modelos ......................................................................... 53

Autoevaluación ........................................................................................................... 54

Evidencia de aprendizaje. Solución de un problema real ............................................ 54

Autorreflexión ............................................................................................................. 54

Cierre de la Unidad ..................................................................................................... 55

Para saber más .......................................................................................................... 55

Fuentes de consulta ................................................................................................... 55




Unidad 2. Modelos de Redes de Transporte

Presentación de la Unidad

Te damos la bienvenida a esta segunda unidad y te exhortamos a mejorar tu

desempeño, ya que estas por llegar a casi la mitad de esta asignatura. En esta unidad

conocerás los diferentes modelos en redes y transporte. Los cuales sirven para

abordar una serie de problemas de programación lineal. Recuerda que un modelo te

ayudará a ver de manera global una serie de eventos.

Como recordarás en la materia de investigación de operaciones 1, se te

proporcionaron los elementos base, para que con lo que aprendas en esta asignatura

puedas resolver este tipo de problemas. Sin embargo, estos problemas son tan

recurrentes que fue necesario crear algoritmos especiales para la resolución de los

mismos.

El conocimiento de estos modelos son una extensión para la toma de decisión, y este

tipo de decisiones siempre se te presentarán como futuro ingeniero. Aquí te

presentaremos algunos casos prácticos, de la vida laboral o que incluso ya estás

viviendo.

Actualmente el desarrollo de estrategias de planeación así como la creación de rutas

en los diferentes sistemas (ya sean productivos, o de personal) es fundamental para la

optimización de los recursos, incluso en muchas empresas esta es una de las partes

más caras en el desarrollo de todo su producto.

Como lo has venido revisando en las distintas asignaturas, Si revisas lo que

actualmente es la logística para una empresa, te darás cuenta que es un área de

mayor crecimiento en tiempos recientes, esto a causa del aumento del combustible y

tráfico, de ahí la necesidad de tener una mejor planeación del mismo. Esta unidad es

indispensable para comprender esta asignatura, como lo es para un médico conocer

las partes del cuerpo.

Te deseamos éxito y esperamos que te agrade esta segunda unidad y que te

esfuerces para aprender a utilizar los conocimientos que adquieras. Recuerda que

cuentas con el apoyo de tu Facilitador(a) para aclarar dudas, emitir comentarios y

complementar tu aprendizaje.

Propósitos de la unidad

Los propósitos de esta segunda unidad son:

Relacionar las variables con los diferentes modelos.

Aplicar los modelos de redes y transporte.




Competencia específica

Utilizar el modelo de redes o transporte, para resolver un problema de toma de

decisiones, relacionando las variables con los diferentes modelos de acuerdo al

objetivo.

2.1. Introducción a los modelos de redes y transporte

La utilización de un modelo de red y de transporte es de manera general construir un

plan de su distribución generalmente reflejado en el costo. Sin embargo, realizar un

plan de distribución es algo complicado debido a que no siempre tenemos problemas

balanceados, en donde la oferta y la demanda son iguales, al contrario en la mayoría

de los problemas no existe este balance, de ahí el conflicto al momento de realizar un

plan de distribución. Piensa por ejemplo en una empresa que hace refrescos, si esta

empresa supiera en realidad la cantidad de refrescos que va a vender exactamente, se

podría realizar un plan de producción y de logística con relativa facilidad, sin embargo

la situación no es así y con lo único que se cuenta es con un ponderado de lo que se

requiere producir.

En la unidad 1 de esta asignatura obtuviste el tiempo promedio que estarías en una fila

determinada, sin embargo, no tienes el dato exacto del tiempo que permanecerás en

ésta. Esto acarreará problemas de equilibrio de ahí tu participación con la ayuda de los

modelos en los que estas a punto de iniciar su estudio, suerte y recuerda apoyarte con

tu facilitador(a).

2.1.1. Antecedentes históricos

Al igual que en la unidad pasada el inicio de todas estas estrategias, para resolver

problemas las descubren matemáticos o personas que utilizaban a las matemáticas

como un pasatiempo. Sin embargo, en la unidad 1, se puede decir que un solo hombre

contribuyó con la creación de la teoría de colas, en esta unidad no se puede decir lo

mismo, ya que fueron varios los que contribuyeron en la creación de todas las teorías.

Iniciemos mencionando a uno de los principales precursores, el cual era físico y

matemático; George Bernard Dantzing, que nació el 8 de noviembre de 1914 en

Portland Estados Unidos. Desde niño parecía confinado a las matemáticas, los juegos

de su padre, quien también era matemático eran la resolución de problemas de

geometría proyectiva.

A diferencia de muchos matemáticos, que se dedican únicamente a realizar y

comprobar teoremas, Dantzing deseaba poner en práctica su conocimiento

matemático, tal es su deseo que cuando termina su licenciatura en matemáticas y

física en 1936, queda defraudado por el hecho de no haber visto ni una aplicación de




matemáticas en ninguna de las materias que había cursado. Sin embargo es en la

universidad cuando desarrolla el sistema simplex y todo fue por obra de la casualidad

y de su ingenio, Dantzing asistía a un curso de Estadística impartido por el profesor

Jerzy Neyman, el cual tenía por costumbre proponer un par de ejercicios en la pizarra

al inicio de sus clases para que fuesen resueltos como tarea en el hogar. Un día

George llegó tarde a clase y anotó los dos problemas de la pizarra pensando que se

trataba de tarea para casa. Algunos días después se los entregó al profesor Neyman,

disculpándose por haber tardado un poco más de lo habitual ya que les parecieron

un poco más difíciles que los problemas ordinarios. Unas 6 semanas más tarde,

cuando Jerzy Neyman revisó aquellas notas concienzudamente y comprendió el gran

hallazgo que podía suponer, se presentó en casa de su alumno un domingo a primera

hora de la mañana. Estaba impaciente por proponerle a Dantzig la publicación de un

artículo fundamentado en la resolución de estos ejercicios ya que se trataba de dos

famosos problemas no resueltos de la Estadística. A raíz de este hecho, y a

sugerencia de Neyman, George Dantzig desarrolló su tesis doctoral acerca de dichos

problemas, otorgándole los derechos de autor” [Copyright ©2006-2013 PHPSimplex]

Para ampliar estos datos puedes consultar la página web Optimizando recursos con

programación lineal, disponible en: www.phpsimplex.com/biografia_Dantzing.Htm

Dantzing estudiando en la Universidad de Michigan.

Pero su hallazgo no fue utilizado inmediatamente, incluso muchas personas no tenían

una idea para lo que podía servir, tuvieron que pasar 8 años y cuando trabajaba como

asesor matemático para las fuerzas aéreas, observó que existía un problema muy

complejo para el cálculo de las computadoras de ese entonces y de acuerdo a sus

propias palabras nos dice:

“Comencé observando que la región factible es un cuerpo convexo, es decir, un

conjunto poliédrico. Por tanto, el proceso se podría mejorar si se hacían

http://www.phpsimplex.com/

http://www.phpsimplex.com/biografia_Dantzing.Htm




movimientos a lo largo de los bordes desde un vértice al siguiente. Sin embargo,

este procedimiento parecía ser demasiado ineficiente. En tres dimensiones, la

región se podía visualizar como un diamante con caras, aristas y vértices. En los

casos de muchos bordes, el proceso llevaría a todo un recorrido a lo largo de ellos

antes de que se pudiese alcanzar el vértice óptimo del diamante” (Frederick, et al

2010).

Desde este punto de vista, generó lo que sería la resolución de ecuaciones lineales

con n incógnita y m ecuaciones a través del método simplex. El primer lugar donde

demostró esto, fue en el problema de nutrición de los soldados, en el cual el cocinero

quería gastar el minino pero a su vez que los soldados consumieran las proteínas,

minerales, vitaminas y carbohidratos necesarios. Su algoritmo matemático demostró la

eficiencia del mismo y tuvieron que pasar 52 años para que los matemáticos

demostraran por qué funcionaba tan bien el método simplex.

A partir de esto, se desarrollaron los métodos de programas de transbordo y

asignación, los cuales son una parte especial de la programación lineal debido a su

gran utilidad.

El poder aplicar estos algoritmos y modelos han demostrado que reducen los gastos

hasta un 60% pero la aplicación del mismo requiere de un gusto por enfrentar

problemas difíciles y en donde muy pocos van a confiar en que un ecuación les

resuelva problemas, en donde la mayoría de la gente los ve como algo práctico. Como

en el caso de la comida de los soldados, uno pensaría ¿qué hace un matemático

interesado en esto?, más bien es un problema que debe resolver un cocinero o un

nutriólogo, pero la realidad es que no y este es uno de los problemas a los cuales te

debes enfrentar, pero al igual que todo lo que te hemos comentado al inicio de cada

unidad, la respuesta es la insistencia y la convicción en tu conocimiento.

Ahora que sabes los antecedentes históricos, te invitamos a comenzar con esta

aventura.

2.1.2. Utilidad de la asignación de redes y modelo de transporte

Desde la creación de la civilización, el hombre ha tenido la necesidad de transportar ya

sea personas, animales o cosas. Actualmente la necesidad de la utilización del

transporte es de mayor importancia debido a la globalización.

Podemos comentarte muchos casos de éxito de la asignación de redes y modelos de

transporte pero hablaremos de uno muy claro y que quizá pocos piensan en su

importancia. Nos referimos a comprar una camioneta o un camión para el transporte

de nuestros productos, parece un problema muy simple y la mayoría de las personas

se basan únicamente en el producto que van a transportar, pero jamás consideran la

parte de la movilidad, hacia donde se dirigen, el rendimiento del combustible y la

pericia que el conductor debe tener. Se ha demostrado que es mejor la utilidad de una




camioneta debido a que es pequeña y se puede trasladar más fácilmente entre las

calles, embotellamientos y no requiere de mucha pericia por parte del conductor.

Sin embargo un camión es en ocasiones más difícil de movilizar, además que la

pericia del conductor debe ser mayor.

Esto es lo que debes tomar en cuenta a través de modelos matemáticos que te

ayudarán a tomar la decisión más factible ante un problema.

La mayoría de los conflictos de una empresa, se resuelven de manera práctica y

lógica, pero estas decisiones en muchas ocasiones generan pérdidas cuantiosas a

largo plazo, por lo regular decisiones de este tipo son tomadas por técnicos, pero su

labor como ingeniero es dejar de tomar decisiones de este tipo y realmente empezar a

resolver problemas, esto es quitar de raíz el origen de los incendios y no ser

simplemente apaga fuegos.

Cualquier problema que conozcas relacionado a transportación, lo podrás solucionar

con los métodos que aprenderás en esta unidad, esperemos que sea de tu agrado y

realmente al final cuentes con los conocimientos necesarios, para que te desenvuelvas

como un ingeniero en logística y transporte.

2.2. Problemas de transporte

Los problemas que estudiarás en este tema, son los relacionados a saber designar las

rutas, ya sea la más económica o donde puedas tener un mayor flujo. Por ejemplo

para transportar mercancía u algún producto lo que uno desea es encontrar la ruta

más económica, pero si lo que deseamos es transportar personas o combustibles lo

que se requiere en la mayoría de los casos es la ruta que nos entregue el mayor flujo,

esto se considera al construir una ruta del metro bus o del metro, tuvo que existir un

estudio en el cual se garantice que esta ruta va a transportar una gran cantidad de

personas, de otra manera no es de utilidad. También podrás observar problemas, en

los cuales para transportar un producto a través de terceros en muchos casos

conviene que existan transbordos, esto es contratar dos o más empresas para la

transportación de un producto.

Por último podrás encontrar todo un plan para trazar una ruta para traslado de

productos, de ahí que no solo te dedicarás a transportar personas u objetos sino

también a planear y diseñar, para esto te puedes apoyar del programa Solver, que

como ya usaste en la unidad 1, te será más sencillo seguir practicando.




2.2.1. Descripción y formulación general de un problema de

transporte

El planteamiento de un problema de transporte es la modelación matemática,

seguramente recordarás lo que estudiaste en la asignatura de investigación de

operaciones I, a modo de que recapitules, planteamos el siguiente ejemplo:

La empresa el Sardinerio, se dedica a la distribución de abarrotes, tiene tres centros

de distribución, que cubren las necesidades de cuatro ciudades.

Cada centro de distribución suministra las siguientes toneladas de productos: el centro

de distribución (C1) 350 toneladas por día, el C2 500 toneladas, C3 40 toneladas. La

siguiente tabla muestra el costo de envió a cada una de las ciudades.

Tabla 1. Costo de envíos por cada centro de distribución

A

De Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Suministro

(toneladas)

C1 $16000 $12000 $20000 $18000 350

C2 $18000 $24000 $26000 $14000 500

C3 $28000 $18000 $32000 $10000 400

Demanda

(toneladas)

450 200 300 300

Las demandas en estas ciudades son: 450, 200, 300 y 300 toneladas como se

muestra en la tabla 1, así como los costos de envío.

Este tipo de problemas son muy sencillos de resolver, primero definimos el número de

variables que tenemos.

El número de variables es igual a la combinación de filas por columnas, en este caso

se tienen tres filas y cuatro columnas, entonces se tendrán 12 variables, la suma de

estas variables multiplicada cada una por su costo será la función objetivo como se

muestra a continuación:

16000X11 + 12000X12+ 20000X13 + 18000X14 + 18000X21 + 24000X22 + 26000X23 +

14000X24 + 28000X31 + 18000X32 + 32000X33 + 10000X34 = Z minimizar

El número de restricciones es igual a la cantidad de filas y de columnas que se tengan,

en este caso se tienen 3 filas y 4 columnas por lo tanto se tienen 7 restricciones. Las

restricciones serán la suma de las variables menores iguales al total que se tenga en

la fila y la columna.




Observa las restricciones de las filas:

X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 350

X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 500

X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 400

Restricciones de las columnas:

X11 + X21 + X31 ≤ 450

X12 + X22 + X32 ≤ 200

X13 + X23 + X33 ≤ 300

X14 + X24 + X34 ≤ 300

Por supuesto ninguna variable puede ser negativa:

Si todas estas variables las introducimos en algunos de los programas ya conocidos

como Tora, Lindo, QSL o Solver, podemos encontrar la solución del problema.

A continuación te mostramos como se resuelve utilizando Solver, el cual lo tiene

cualquier programa de Excel, recuerda que este programa ya lo utilizaste en la

asignatura Aplicación de TIC a la logística y el transporte, así que puedes ir

practicando conforme te vamos explicando.

Primero se debe insertar todos los costos en un cuadro, como se muestra en la

siguiente figura:

Figura 1. Colocación de los costos en la página de Excel.

En otro recuadro se colocan los valores en blanco, en este recuadro vacío aparecerá

al final el valor de cada una de las variables, de ahí que le llamemos tabla de

resultados, observa la figura 2.




Figura 2. Colocación de la tabla de resultados.

En la parte de suministros y demanda se colocará la suma de cada uno de estos, con

la finalidad de que el programa Solver al final cuadre los resultados como se observa

en la figura 3.

Figura 3. Tanto en la demanda como en los suministros se debe realizar la suma

de forma horizontal para los suministros y la suma vertical para la demanda.




Posteriormente colocamos la tabla que debe contener la multiplicación de cada uno de

los costos con nuestra tabla vacía, como se muestra en la figura 4.

Figura 4. Obtención de un nuevo recuadro en donde debe ir multiplicada cada

una de las celdas de la tabla de costos con las celdas de la tabla de resultados.

Ahora seleccionaremos una celda que llamaremos función objetivo en donde

colocaremos la suma de todos los valores de la última tabla realizada como se

muestra en la figura 5.

Figura 5. Creación de la celda objetivo.




Posteriormente utilizamos el programa Solver, que como sabes lo tiene cualquier

programa de Excel en la sección de datos, pero en caso de que tu computadora no lo

tenga instalado, puedes descargar el documento Activar solver de Excel y realiza los

pasos que se recomiendan.

Continuando con nuestro problema ya que tienes el solver instalado, vamos a dar un

clic, en solver y aparecerá un recuadro, como el que se muestra en la figura 6.

Figura 6. Abriendo el programa Solver.




En la parte superior derecha, da un clic en el recuadro de selección y elegimos la

celda de función objetivo en este caso es F2 como lo muestra la figura 7.

Figura 7. Selección de la celda objetivo.

Posteriormente selecciona minimizar, maximizar o un valor específico.

En la sección cambiando las celdas de variables, selecciona el recuadro de resultados

que en este caso es de B8 a E10, figura 8.




Figura 8. Recuadro de solver selección de minimización y de recuadro de

resultados.

Posteriormente en la parte, sujeto a restricciones debes seleccionar cada una de las

sumas que obtuvimos en el recuadro de resultados, con respecto al suministro y

demanda.

Por último elige en la parte método de resolución el método simplex, ver figura 9.




Figura 9. Llenado de la parte de restricciones.

Por último aparecerá un recuadro que te pedirá algunas características específicas del

resultado, solo da clic en aceptar, figura 10.




Figura 10. Vista final de la utilización del solver.

El resultado es Z = 20,400,000.00 el cual es el mínimo a gastar siempre y cuando las

variables sean: X11 = 0, X12 = 100, X13 = 250, X14 = 0, X21 = 450, X22 = 0, X23 = 50, X24 =

0, X31 = 0, X32 = 100, X33 = 0, X34 = 300.

Otra forma de interpretarlo sería como sigue:

La planta 1 debe enviar 100 toneladas a la ciudad 2 y 250 toneladas a la ciudad 3.



Todos los problemas de este tipo siempre se resuelven de la misma manera, claro que

en este problema tenemos un equilibrio entre la oferta y la demanda, en si formar la

tabla de insumos y demandas es lo más difícil del problema.

Ahora revisemos otro ejemplo:

Una bodega de una tienda de servicio, suministra bienes a tres centros comerciales y

cada una requiere 60 toneladas de productos. La bodega se divide en dos partes, en

la primera sección se tienen 80 toneladas y en la segunda 100 toneladas. Los costos

de enviar una tonelada a cada uno de los centros se presentan en la siguiente tabla.




Tabla 2. Costo de envío

Destino

Origen Centro comercial 1 Centro comercial 2 Centro comercial 3

Sección 1 $60 $140 $100

Sección 2 $40 $200 $160

Para obtener la cantidad que debe salir de cada sección y el destino para obtener el

costo mínimo, de acuerdo al programa solver el resultado es el siguiente:

Figura 11. Resultado final del ejemplo de la bodega de una tienda de servicio.

Con el cuadro de resultados de la figura 11 (el cual está en B7:D8), se concluye lo

siguiente: se requiere que de la sección 1 salgan 20 toneladas hacia el cliente 2 y 60

toneladas al cliente 3. De la sección dos se requiere que salgan 60 toneladas la cliente

1 y 40 toneladas al cliente 2 con lo cual se tendrá un costo mínimo de $19,200.00

pesos por tonelada.

Como te puedes dar cuenta es sencillo el procedimiento para solucionar este tipo de

problemas, aunque en estos problemas tenemos un equilibrio entre la demanda y la

oferta, aunque en la realidad esto por lo regular no ocurre. Al contrario la mayoría de

los casos encontramos problemas en los cuales no existe un balance entre la oferta y




la demanda, pero este tipo de problemas los aprenderás a resolver en la sección

siguiente.

2.2.2. Problema de transporte no equilibrado en suministro

En la mayoría de los casos la demanda y el suministro no están equilibrados, o existe

una demanda mayor al que se puede abastecer, a veces es mucho mayor que la

demanda a manejar. En cualquiera de los dos casos siempre es un problema de

abasto, es decir si lo ves desde el punto de vista del empresario y tienes una demanda

mayor que la que puedes surtir, seguramente lo abordarías como un problema de tu

empresa al no poder cumplir con las necesidades de tus clientes.

Seguramente no existe un empresario que diga el problema es de mis clientes y estos

me deben pedir menos. Por otra parte si el suministro que ofreces es mayor a la

demanda, también el problema es tuyo, debido a que este conflicto ocurre por no tener

un sistema de administración efectivo como just in time. Es por esta razón que para

cualquier problema de transporte no equilibrado le hemos llamado un problema de

suministro, aunque en la mayoría de la literatura se hable de demanda y suministro.

Si tanto el suministro como la demanda se exceden es necesario para el equilibrio

crear un punto ficticio de demanda o suministro según sea el caso. Como los envíos a

este punto que no existe, jamás se realizarán su costo es de cero, pero en el método

matemático que estamos manejando ayudará bastante para que los cálculos se

puedan resolver, veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.

Una empresa refresquera cuenta con cuatro fábricas para suministrar de refresco a

seis ciudades. Cada fábrica puede producir hasta 2.5 millones de galones de refresco

por día, (contando que el día es de 24 horas). Se requiere suministrar a cada ciudad, 2

millones de galones por día. Por cada millón de galones por día de demanda sin

satisfacer, la empresa les ha impuesto a los gerentes de cada fábrica una

penalización. En la ciudad 1, la penalización es $2000, en la ciudad 2 es de $1500, en

la ciudad tres $2200, la ciudad cuatro $1700 en la ciudad cinco $2300 y la ciudad seis

$2100. El costo por transportar 50,000 galones desde una de las fábricas a cada

ciudad se ilustra en la tabla 3. Pero ¿Cuánto se debe entregar a cada ciudad para

gastar el mínimo?

Tabla 3. Costo de transporte por cada 50,000 galones

Destino

De Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Ciudad 5 Ciudad 6

Fábrica 1 $70,000 $80,000 $90,000 $68,000 $78,000 $105,000

Fábrica 2 $90,000 $75,000 $100,000 $83,000 $73,000 $93,000

Fábrica 3 $80,000 $70,000 $80,000 $90,000 $75,000 $80,000

Fábrica 4 $103,000 $70,000 $88,000 $98,000 $78,000 $88,000




Para resolver este problema es necesario aplicar la misma metodología de la sección

anterior.

Debes observar que no existe un equilibrio entre la demanda y el suministro debido a

que se pueden producir hasta 2.5 millones de galones por día y por fabrica el total a

producir es de 10 millones de galones por día. Se tienen seis ciudades y cada ciudad

requiere 2 millones de galones por día por lo tanto tenemos un faltante de 2 millones

de galones, lo cual quiere decir que no se podrá surtir todo el pedido a cada ciudad, lo

cual convierte a nuestro problema en un problema no equilibrado.

Para poder resolver este problema primero definimos la función objetivo la cual debe

estar de acuerdo a los costos tanto de transporte como de no cumplimiento, pero

antes de esto debemos realizar una tabla que contenga una fábrica ficticia que

produzca de manera virtual el faltante.

Ahora debemos crear una tabla con el costo unitario, para esto obtendremos una tabla

en donde se obtenga el costo por galón y no por cada 50,000 galones de tal forma la

tabla nos quedaría como se muestra en la figura 18.

Figura 12. Tabla encerrada en rojo es la proporcionada por el problema, la tabla

encerrada en el recuadro azul presenta los costos por unidad y la fábrica ficticia para

equilibrar la demanda y el suministro.




La tabla presentada en la figura 12 la cual está encerrada en azul nos muestra los

costos en forma unitaria de tal forma que es más sencillo poder obtenerlos cálculos, la

forma con la cual se obtuvo el costo unitario fue por una regla de tres, por ejemplo si

cuesta $70,000 por enviar 50,000 galones de la fábrica 1 a la ciudad 1 entonces 1

galón sería igual a 70,000/50,000 = 1.4 tal como se muestra en la celda B9 de la figura

12.

Ahora empezaremos a utilizar el solver pero recuerda que antes debes de realizar

algunos pasos, primero necesitas designar una tabla de resultados la cual debe estar

vacía como se muestra en la figura 13.

Figura 13. Tabla de resultados, la cual debe estar vacía.

Posteriormente creamos algunos comandos de suma y de condición como se muestra

en la figura 14.

Figura 14. Cálculos previos para la utilización del Solver.




En la figura anterior puedes observar la suma de cada una de las filas, así como la

suma de cada una de las columnas. También puede ver en la parte central inferior, un

comando de condición en el cual nos representa el costo por incumplimiento debido a

que si existe cualquier valor en la fila de fábrica 5 ficticia, entonces se cobrará un

incumplimiento.

Ahora se crea una tabla de operaciones como se muestra en la siguiente figura.

Figura 15. Tabla de operaciones

En la tabla de operaciones debe ir la multiplicación de los gastos de transporte a cada

una de las ciudades, de ahí que se puede observar que son comandos de

multiplicación. Entre la tabla de costo y la tabla de resultados.

Por último seleccionamos una celda para la función objetivo, en la cual debe ir la suma

de toda la celda de operaciones y la fila que creamos de incumplimientos, la figura 16

muestra el comando para realizar esto.




Figura 16. Celda de función objetivo donde deben ir la suma de tabla de

operaciones y la fila de incumplimientos.

Después de esto se aplica el solver, la figura 17 muestra cómo se llenó esto:

Figura 17. Llenado del programa solver.




El resultado que nos arroja el programa solver, lo puedes observar en la figura 18.

Figura 18. Tabla de resultados.

Como puedes apreciar en la figura 18, el resultado escrito de otra forma quedaría:

La fábrica 1 debe enviar 1,201,163.35 galones a la ciudad 1,222,792.54 galones a la

ciudad 2,69,793.38 galones a la ciudad 3, 262,337.89 galones a la ciudad 4,

312,881.74 galones a la ciudad 5 y por último para la fábrica 1 debe entregar

431,031.10 galones a la ciudad 6.

Así tendríamos que ir escribiendo cada una, la fábrica ficticia nos indica la cantidad

con la cual vamos a quedar mal de acuerdo al pedido del cliente, por ejemplo con la

ciudad tres se va a tener un faltante de 1,297,168.85 galones esto representa un

faltante del 65%. También con la ciudad 4 se tendrá un faltante de 601,606.27 galones

por lo cual se tiene un carente del 30% pero esta forma de distribuir es la más

económica que se puede encontrar.




Ejemplo 2.

Ahora vamos a resolver el ejemplo anterior, pero ahora con un exceso de suministros

con respecto a la demanda.

Por lo tanto piensa que ahora en lugar de pedir cada ciudad 2 millones de galones,

nos piden la mitad mientras que la cantidad que puede suministrar la fábrica continúa

siendo la misma.

La tabla inicial donde tenemos los costos así como la tabla en donde pasamos a un

costo unitario quedan casi igual, con la diferencia que se agrega una columna más que

será la ciudad ficticia que es donde mandaremos el excedente, ver la figura 19.

Figura 19. Tablas de costo inicial y costo unitario adicionando la columna de la

ciudad ficticia.

Posteriormente la tabla de resultados y la tabla de operaciones quedarían como se

puede observar en la figura 20. En la tabla de operaciones puedes ver que se realizó

un cambio en la demanda de 2 millones, se modificó a 1 millón.




Figura 20. Tabla de resultados y operaciones.

Al aplicar el solver en método simplex el resultado que nos arroja se muestra en la

figura 21.

Figura 21. Tabla de resultados después de aplicar el programa Solver.




La conclusión que obtenemos a partir del resultado, nos indica que las fábricas que

tendrán una menor cantidad de producción son la fábrica 2 y 4 debido a que estas son

las que presentan un mayor envío a nuestra ciudad ficticia lo que indica que son

galones que no entregarán a nadie, de esta manera se puede apreciar que las fábricas

solo trabajarán a un 33% de su capacidad mientras que las otras 2 trabajarán a un

75%.

Una pregunta que se nos vendría a la mente es la siguiente: si se cierra una empresa

¿cuál es la más conveniente para cerrar?

Para poder contestar esta pregunta, no implica únicamente escoger entre la fábrica 2 o

4, para realizar un verdadero análisis es necesario revisar cada una de ellas. Esto se

resolvería de la siguiente manera, primero quitaríamos a la fábrica 1 del problema y

realizaríamos una corrida con el programa y verificaríamos el costo, posteriormente se

realizaría lo mismo con la fábrica 2 y así sucesivamente hasta encontrar el costo

mínimo de las cuatro. En este caso si desaparecemos la fábrica 1 se tendría un costo

mínimo de $9,400,000.00, sin la fábrica 2 $8,890,000.00, sin la fábrica 3

$9,160,000.00 y sin la fábrica 4 $8,870,000.00, por lo tanto la fábrica que más

convendría cerrar es la fábrica 4 debido que al eliminar esta se tendría una menor

pérdida.

Ahora revisemos el ejemplo 3.

La empresa Mancheguillo tiene cuatro camiones de diferentes tipos de cabina y cuatro

rutas. Cada camión se debe cargar de acuerdo a cada ruta que se pretenda recorrer,

El tiempo requerido para cargar cada camión de acuerdo a la ruta, se muestra en la

tabla 4.

Tabla 4. Tiempo de tardanza en la carga de cada camión

Tiempo (min)

Camión Ruta 1 Ruta 2 Ruta 3 Ruta 4

1 70 25 40 35

2 10 60 30 25

3 35 40 15 45

4 10 20 30 50

Mancheguillo desea reducir el tiempo de carga necesario para las cuatro rutas.

En este caso la función objetivo es el costo por cada una de las variables, que serán el

tiempo de carga de camión de acuerdo a cada ruta, por ejemplo decir la variable X11 es

el camión uno que va a la ruta 1, por lo tanto la función objetivo es:

Min Z = 70X11 + 25X12 + 40X13 + 35X14 + 10X21 + 60X22 + 30 X23 + 25 X24 + 35X31 +

40X32 + 15X33 + 45X34 + 10X41 + 20X42 + 30X43 + 50X44




El caso de las restricciones es diferente, en este caso no tendremos desigualdades

sino únicamente igualdades, por ejemplo para la fila uno solo se tiene un camión que

puede cubrir una ruta por lo tanto la restricción sería:

X11 + X12 + X13 + X14 = 1

Porque solamente se tiene un solo camión, lo mismo se tendría que hacer para cada

una de las filas y columnas por lo tanto las restricciones serían:

X21 + X22 + X23 + X24 =1

X31 + X32 + X33 + X34 =1

X41 + X42 + X43 + X44 =1

Para las restricciones de ruta se realizaría lo mismo pero con las columnas.

X11 + X21 + X31 + X41 =1

X12 + X22 + X32 + X42 =1

X13 + X23 + X33 + X43 =1

X14 + X24 + X34 + X44 =1

Al ingresar estos datos al Solver el resultado que nos arroja se puede observar en la

figura 22.

Figura 22. Resultado del ejemplo 3 después de aplicar el programa Solver.




Con este último ejemplo te puedes dar cuenta que incluso hasta para cerrar una

fábrica o parar una línea de producción, es necesario tomar una decisión considerando

un análisis forzoso como lo realizado en esta materia, de ahí la importancia de

aprender la misma. Te invitamos a realizar tu actividad y comenzar la última parte de

esta segunda unidad.

2.2.3. Modelo de transporte no tradicional

En muchas ocasiones es imposible mandar de forma directa tu mercancía y esta tiene

que transbordar, sobre todo cuando se tiene que contratar a un transportista y en

algunos casos es mejor contratar a alguien que hace un transbordo que alguien que lo

podría llevar de forma directa, veamos el siguiente ejemplo.

La empresa R, elabora dispositivos neumáticos en dos fábricas, una se encuentra en

Michoacán y la otra en el Estado de México. La fábrica de Michoacán puede producir

hasta 300 dispositivos por día, y la fábrica del Estado de México puede producir 400

dispositivos por día. Estos se necesitan llevar a sus clientes que están en Sonora y

Sinaloa. Los clientes en cada ciudad requieren 260 dispositivos por día, existe una

empresa que puede llevar de forma directa a estos destinos y otra que los lleva con

una escala en Aguascalientes y Zacatecas. Los costos de envío se expresan en la

tabla 5.

Tabla 5. Costos de envió en dólares por dispositivo

Destino

Origen Michoacán Estado de

México

Aguascalientes Zacatecas Sonora Sinaloa

Guadalajara 0 --- 16 26 50 56

Estado de

México

---- 0 30 24 52 50

Guanajuato ---- ---- 0 12 32 34

Aguascalientes ---- ---- ---- 0 28 32

Michoacán ---- ---- ---- ---- 0 ----

Hidalgo ---- ---- ---- ---- ---- 0




Ahora bien, respecto a las formas de entrega, quedarían de la siguiente manera:

Figura 23. Diagrama de la forma de trasbordo.

La forma de resolver este tipo de problemas es casi igual a lo que hemos visto con

anterioridad, la diferencia radica en cómo se presenta la tabla, la figura 24 muestra

cómo se introduce la tabla para trabajarla en solver.

Figura 24. Tabla inicial para resolver el problema en solver.

Al igual que todos los ejemplos que has revisado, en la primera columna del lado

izquierdo se colocan los proveedores, en este caso te preguntarás ¿Por qué tenemos

de proveedor a los estados de Aguascalientes y Zacatecas si estos son únicamente un

lugar de trasbordo? Bueno esta es la diferencia en los problemas de este tipo y los

anteriores, aquí debes ver a los lugares de trasbordo como si fueran un proveedor

más, aunque también es un cliente, por tal motivo lo ves en la columna de clientes.

Debido a que el problema no está balanceado es necesario crear un lugar ficticio.

Ahora en la parte de suministro Michoacán solo puede producir 300 dispositivos y el

Estado de México únicamente 400. Aguascalientes y Zacatecas aparentemente

pueden producir 700 debido a que en estos estados puede llegar lo producido por




Michoacán y Estado de México Y la suma seria 700 de acuerdo al diagrama de la

figura 24.

Por lo tanto la demanda de Zacatecas y Aguascalientes debe ser igual a 700. Las de

Sonora y Sinaloa es de 300, cada uno y la ficticia debe ser de 90 debido a que es la

cantidad faltante para llegar al equilibrio.

Realizando estas modificaciones, es posible resolver el problema con el apoyo de

solver y entonces se obtiene el resultado, como se puede observar en la figura 25.

Figura 25. Tabla de resultados y operaciones.

A continuación, debes poner en práctica lo que has aprendido en este primer tema de

la unidad, resolviendo algunos problemas.




Actividad 1. Problemas de flujo

La finalidad de esta actividad es que practiques resolviendo problemas de flujo con

suministro y demanda equilibrados.

1. Tu facilitador (a) te enviará un documento con los ejercicios para esta

actividad.

2. Resuelve los problemas que recibiste vía correo electrónico, si es necesario

repasa los temas estudiados hasta el momento.

3. Revisa el documento A1. Escala de evaluación U2, que se encuentra

disponible en el aula, para que verifiques que tu actividad cumple con los

criterios necesarios para evaluarte.

4. Cuando concluyas tu actividad, envíala con la nomenclatura

LIOP2_U2_A1_XXYZ. Recuerda que tienes oportunidad de enviar dos veces

tu archivo.

2.3. Modelos de Redes

Este tema es de los más importantes para el ingeniero en logística, debido a que es en

esta parte donde como futuro profesionista, empiezas a desarrollar rutas de transporte

tanto para flujo de mercancía como rutas de disminución de costos. Incluso en esta

parte serás capaz de trazar rutas de ideas ya sea por ruta crítica o PERT.

En esta sección encontrarás las diferentes metodologías para resolver problemas de

rutas óptimas desde el punto de vista económico o de satisfacción al cliente.

Esperamos que te agrade y que al final tengas la satisfacción de obtener todos los

conocimientos necesarios para utilizarlos en tu trabajo.

2.3.1. Trayectoria más corta

Muchas empresas que se dedican a la transportación de bienes, tienen la necesidad

que en un mismo transporte se lleven diversos productos para diferentes clientes, de

ahí la necesidad de hacer diferentes paradas para descargar y en algunos casos

volver a cargar más mercancía, de tal forma que el transporte nunca deje de trabajar.




Imagínate lo caro que resulta para una empresa mandar un tráiler del D.F. a la ciudad

de Monterrey y después que el tráiler se regrese vacío, esto representa un gasto de

gasolina y mecánico, como el sueldo del chofer, esto sin contar el pago de las casetas,

entre otras cosas. De ahí la importancia de utilizar al máximo cada uno de los

transportes que tenemos, con la finalidad de que nunca dejen de estar trabajando.

Para esto es necesario realizar una ruta que nos dé la trayectoria más corta y

económica. Aunque en otros problemas únicamente nos importe la ruta más corta sin

importar el costo, como es el caso de traslado de una ambulancia. Lo anterior se

puede ejemplificar así:

Una empresa de comunicaciones tiene que encontrar en donde colocar sus torres

repetidoras, con la finalidad de comunicar al cliente 1 con la central tal como se ve el

diagrama de la figura 26, en el cual se puede observar una serie de nodos unidos por

una flecha que indica la dirección del flujo, en medio de estas flechas va un número

que indica por lo regular el costo entre un nodo y otro. En este caso el número entre

cada nodo es el costo en dólares por hora de enviar una señal por esa repetidora.

Figura 26. Diagrama de nodos del problema de comunicaciones.

Podrás encontrar en la sección fuentes de consulta de esta unidad, un sinfín de

métodos para resolver estos problemas, pero sin duda el más efectivo y más sencillo

es hacer un diagrama de cada una de las rutas que pueden existir, desde el punto

inicial al punto final, posteriormente determinar el costo de cada una de estas rutas. En

este caso, tenemos 10 rutas, a continuación presentamos cada una de estas.




La primera ruta sería:

Figura 27. Ruta 1

De acuerdo a la figura 27 el costo de esta ruta sería 4+7+7+4 = 22 dólares por cada

hora de transmisión. Lo mismo tendríamos que hacer para cada ruta como se

demuestra en las figuras siguientes.

Figura 28. Ruta 2.

Costo de la ruta (2) = 4 + 7 + 7 + 4 = 22.

Figura 29. Ruta 3.




Costo de la ruta (3) = 4 + 7 + 1 + 7 + 4 = 23.

Figura 30. Ruta 4.

Costo de la ruta (4) = 4 + 4 + 2 = 10.

Figura 31. Ruta 5.

Costo de la ruta (5) = 4 + 9 + 4 = 17.

Figura 32. Ruta 6.




Costo de la ruta (6) = 6 + 7 + 4 = 17.

Figura 33. Ruta 7.

Costo de la ruta (7) = 6 + 7 + 4 = 17.

Figura 34. Ruta 8.

Costo de la ruta (8) = 6 + 1 + 7 + 4 = 18.

Figura 35. Ruta 9.




Costo de la ruta (9) = 1 + 4 = 5.

Figura 36. Ruta 10.

Costo de la ruta (10) = 4 + 4 + 7 + 4 = 19

Si sobrepones cada uno de los diagramas de cada ruta, se debe formar el diagrama

original exactamente igual, de ahí que puedes verificar que es correcto en caso de

estar incompleto, tienes un error.

Por último lo que debes encontrar de cada una de las rutas es la que más te conviene,

en este caso es la ruta 9. Si existiera un empate, significa que cualquiera de las dos

es igual de buena, en este caso sería conveniente verificar en un problema real, las

otras variables que permitan tomar una decisión.

Como has visto, no es difícil encontrar la trayectoria más corta el problema en si es

contar con los datos para realizar nuestros diagramas, el siguiente subtema te

mostrará otra forma de tomar una decisión mejor.

2.3.2. Modelo de flujo máximo

Un problema de flujo máximo se utiliza para trazar la ruta que proporciona al final la

máxima cantidad de producto, lo cual nos indica que el valor entre cada uno de los

nodos debe ser la máxima cantidad existente, observa el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.

Una empresa productora de combustible desea enviar la cantidad máxima del mismo

por una tubería del nodo inicial al nodo final (la figura 37 muestra esto).




Figura 37. Rutas para el envío de combustible.

En su camino del nodo inicial al nodo final, el combustible debe pasar por alguna o

todas las estaciones. Entre cada unión se marca con un numero la cantidad máxima

en millones de litros por hora que se pueden enviar. Se debe determinar el número

máximo de millones de litros por hora que pueden enviarse y las rutas.

Para resolver este problema, es necesario determinar cada una de las rutas y realizar

su gráfico, con la diferencia que en cada ruta se observará el valor mínimo de nodo

que existe. También se debe observar que al final, la máxima cantidad de combustible

que puede llegar es de 6 millones de litros por hora, debido que al final el máximo que

puede llegar a través del nodo 4 y 2 son 2 y 4 millones de litros, por lo tanto lo máximo

es 6 millones de litros por hora. Ahora analizaremos cada una de las rutas:

Figura 38. Ruta 1.

En la ruta 1 mostrada en la figura 38 se puede observar que el máximo flujo que puede

pasar son 2 millones de litros hora, esto es debido a que el flujo que pasa entre el

nodo 1 y 2 es de 2 millones de litros por hora y aunque del nodo 2 al nodo final nos

indica que puede transportar 4 millones de litros por hora el que surte al nodo 2 es el

nodo 1 y entre nodo 1 y el nodo 2 solo puede pasar 2 millones de litros por hora y no

es posible enviar más de lo que llega, esto es exactamente igual a un ejemplo de

capital en donde no puedes gastar más de lo que ganas. Por lo tanto en la ruta 1 solo

puede enviar 2 millones de litros por hora.




Figura 39. Ruta 2.

En la ruta 2 se puede transportar únicamente 1 millón de litros por hora debido a que

esta es la cantidad mínima que puede transportar y esto ocurre entre el nodo 3 y nodo

1, dicho de otra manera este es el cuello de botella y de ahí se desencadena el no

poder transportar más. Por lo tanto el flujo máximo de la ruta 2 es 1 millón de litros por

hora.

Figura 40. Ruta 3.




La ruta 3 pude transportar como máximo 4 millones de litros por hora debido a que la

mínima cantidad existe entre cada nodo.

Figura 41. Ruta 4.

La ruta 4 puede transportar como máximo 3 millones de litros por hora.

Figura 42. Ruta 5.

La ruta 5 y última solo puede transportar 2 millones de litros por hora.

Por último solo nos queda realizar el análisis, en este caso el máximo que puede llegar

son 6 millones de litros por hora, lo cual se puede obtener bajo las siguientes rutas:

La ruta 1 máximo = 2.





Las rutas 1 a 4 tienen su penúltimo nodo en 2 y del nodo 2 al final, el máximo es de 4

millones de litros por hora por lo tanto se pueden seleccionar tantas rutas como se

deseen siempre y cuando no sobrepase a los 4 millones de litros.




Recuerda que lo encontrado es el flujo máximo en cada ruta, por lo tanto no podemos

pasar de esta cantidad pero si podemos utilizar un flujo más bajo, por ejemplo

podemos seleccionar las cuatro rutas siempre y cuando la suma del flujo no sobrepase

a 4 millones de litros por hora. En este caso se puede mandar por cada ruta un millón

de litros por hora sin problema.

Otra combinación sería mandar por la ruta 2 y 1 un millón de litros por hora y por la

ruta 3 2 millones y en la última cero.

La tabla 6 explica todas las combinaciones que pueden existir entre las rutas del 1 al 4

sin sobrepasar los 4 millones de litros por hora.

La ruta 5 su penúltimo nodo es el 4 y este tiene una capacidad final de envío de 2 por

lo tanto no tiene combinaciones.

Si lo que deseamos es tener el mínimo número de rutas con el mayor flujo máximo

sería utilizar la ruta 3 y la ruta 5.

Tabla 6. Cantidad de millones de litros por hora que puede existir entre

cada ruta, de acuerdo a una combinación de las mismas

Ruta 1 2 3 4

Flujo máximo permitido (millones de litros por hora) 2 1 4 3

Combinaciones

0 0 4 0

0 1 3 0

1 0 3 0

0 0 3 1

0 0 2 2

2 0 2 0

0 1 2 1

1 0 2 1

1 1 2 0

0 0 1 3

0 1 1 2

2 0 1 1

1 0 1 2

2 1 1 0

0 1 0 3

1 0 0 3

1 1 0 2

2 0 0 2

2 1 0 1




Con esto terminamos este tema y como te podrás dar cuenta aunque la metodología

parece ser la misma que la anterior, el análisis final es muy distinto. Lo que sigue es

ver una ruta en base a un proyecto, aquí es donde tendrás que dar una ruta pero a tus

ideas, te esperamos en el siguiente tema después de realizar la siguiente actividad.

2.3.3 Modelo de ruta crítica

Seguramente en el campo laboral, te enfrentarás con problemas de programación de

proyectos, incluso tal vez estarás encargado de alguno y cuando se conoce la

duración de la actividad con certeza se utiliza el método de la ruta crítica, también

conocido como CPM por sus siglas en inglés (Critic Project Management).

El CPM también se utiliza para determinar cuánto es lo máximo que se puede retrasar

una actividad sin perjudicar el tiempo final del proyecto, lo cual es bastante ayuda

para disminuir el estrés.

El siguiente ejemplo te llevará de la mano para ver todos los pasos que se deben

seguir.

Ejemplo:

Una empresa de computadoras marca PEAR está a punto de introducir un nuevo

producto. Este producto requiere del ensamble de los subproductos s1 y s2. Antes de

que comience la producción del subproducto s1 o s2, se deben comprar la materia

prima y capacitar a los trabajadores. Ya teniendo los subproductos se requiere

ensamblarlos y antes de que esto suceda se necesita inspeccionar el subproducto s2,

debido a que este subproducto es de vital importancia en el producto final. La tabla 7

nos da una lista de las actividades y sus predecesores así como la duración de cada

actividad.

Tabla 7. Designación del tiempo y actividades

Actividad Predecesores Duración en días

Capacitar a los

trabajadores (CT)

Ninguno 6

Comprar materia primas

(MP)

Ninguno 9

Producir el subproducto 1

(s1)

CT y MP 8


(s2)

CT y MP 7

Verificar la calidad del s2

(Vs2)

s2 10

Ensamblar s1 y s2 s1 y Vs2 12




Con esta tabla es posible construir un diagrama de actividades como el que aparece

en la figura 43.

Figura 43. Diagrama de actividades.

La construcción del diagrama es la parte más importante de todo el trabajo y como

verás hay un inicio que por lo regular es una fecha, posteriormente de acuerdo a la

tabla tenemos dos primeros nodos que son capacitación de trabajadores (CT) y

compra de materia prima (MP) entre el inicio y al llegar a cada uno de estos nodos

requerimos de 6 y 9 días y como verás no existe un tiempo entre la unión de MP y CT

debido a que son independientes, esto es, se pueden realizar estas dos operaciones

de forma simultánea aunque es necesario que los dos existan para poder pasar al

nodo de producción de subproducto 1 (s1) y subproducto 2 (s2), debido a que no es

posible fabricarlo si no contamos con la gente capacitada o la materia prima.

Ahora el tiempo para producir el s1 es de 8 días y para el s2 de 7 días y es posible

hacerlos de manera simultánea. Sin embargo debido a que es de suma importancia el

s2 es necesario realizar una verificación exhaustiva por lo que nos lleva 10 días antes

de poder ensamblarlo. Aquí se observa cómo se une s1 y s2 aunque no se requiere

tener a s1 para verificar s2, por lo tanto esta unión no tiene un tiempo pero si

requerimos de los dos para ensamblarlo, lo cual nos tarda 12 días.

Debido a que existen operaciones en las cuales pueden ser independientes, podemos

determinar las actividades que se pueden retrasar sin afectar al tiempo del producto

final, por ejemplo se requiere de CT y MP para empezar a producir tanto a s1 como

s2 pero el tiempo de MP es más largo que CT, de esta manera la capacitación de los

trabajadores (CT) se puede retrasar hasta 3 días.

Lo mismo ocurre en la producción de s1, debido a que la producción de s2 y su

verificación tienen un tiempo de 17 días, el subproducto 1 se puede retrasar 9 días.




Por lo tanto la trayectoria crítica en este trabajo, es la ruta en la cual no puede existir

retraso y esto lo forman los nodos MP – s2 – Vs2 – ensamble, lo que nos tardaría 38

días, 9 días de comparar la materia prima, 17 días de fabricar y verificar el s2 y 12,

respecto al ensamble los demás nodos se pueden realizar en paralelo con todo y los

días de retraso.

Con esto te puedes dar cuenta que la trayectoria crítica es aquella en la cual existe

una dependencia con el tiempo más largo para efectuar el proyecto, en este caso el

proyecto tardará 38 días.

Entonces en resumen te podemos decir que los pasos para llegar a esto son:

1. Desarrollar el diagrama.

2. Determinar las actividades que pueden tener una extensión de sus

actividades.

3. Encontrar la ruta en que los nodos son dependientes y tengan el tiempo más

largo, esto son todos los nodos que no tienen un tiempo de extensión.

Parece muy sencillo realizar una ruta crítica, pero el verdadero problema es determinar

el tiempo de cada una de las actividades.

En muchas ocasiones se requiere terminar en el menor tiempo posible y para ello la

empresa inyecta más dinero, por ejemplo, para construir un edificio, es necesario

terminar en un tiempo menor, entonces muchas veces la empresa recurre a

implementar tres turnos para poder laborar las 24 horas.

El problema de incrementar el tiempo es determinar qué ruta es la mejor, para tener un

costo menor y terminar en un tiempo menor.

Por ejemplo regresemos al caso de un edificio, en este se puede inyectar dinero no

solo considerar tener más horas de trabajo, también se puede inyectar dinero para

mandar a construir paredes prefabricadas y simplemente unirlas, o en comprar un

material que fragüe más rápido o maquinaria especial, y tendrías que decidir en un

caso de este tipo, que es lo que más le conviene a la empresa.

Veamos un caso a detalle, sigamos con el ejemplo de la empresa PEAR, que puede

designar más dinero a cada una de las actividades, lo cual implica un costo por día

reducido tal como lo muestra la tabla 8, con la finalidad de terminar en 25 días.




Tabla 8. Designación de mayor recurso y reducción del tiempo

Actividad Predecesores Duración

en días

Dinero

inyectado

(mdd)

Reducción de días

con el incremento

del dinero

Capacitar a los

trabajadores (CT) Ninguno 6 10 1

Comprar materia

primas (MP) Ninguno 9 20 5

Producir el

subproducto 1

(s1)

CT y MP 8 3 4

Producir el

subproducto 2

(s2)

CT y MP 7 30 3

Verificar la

calidad del s2

(Vs2)

s2 10 40 6

Ensamblar s1 y

s2 s1 y Vs2 12 50 8

Utilizar la metodología anterior nos costaría muchísimo trabajo, debido a todas las

combinaciones que pueden existir las cuales serían alrededor de 720, ¡imagínate

realizar 720 diagramas! sería algo imposible por lo que se tiene que acudir

nuevamente al método simplex.

Entonces, la función objetivo es:

Min z = 10CT + 20MP + 3s1 + 30s2 + 40Vs2 + 50Ensamble + 0X1 + 0X2 + 0X3 + 0X4 +

0X5 + 0X6

Las variables X son las intersecciones entre nodos y no tienen un costo, sin embargo

es necesario colocarlas porque son las que le indican a la computadora que nodos son

dependientes e independientes.

Encontramos las siguientes restricciones:




Restricciones de independencia y dependencia.

restricción de número máximo de días.

Al introducir todas las restricciones al Solver usted debe tener algo semejante a la

siguiente figura:

Figura 44. Ejemplo de cómo introducir los valores en Solver.

En la celda C10 puedes observar que está escrita una de las restricciones de

independencia y dependencia como se puede ver esta es la restricción:

Como puedes constatarlo C10 es la suma de X1 representado por la celda B8 más 9

representado por la celda E3 y menos MP representado por la celda B3.

Al momento de correr el programa la pantalla de funciones debe quedar como se

muestra en la figura 45.




Figura 45. Llenado de la pantalla de funciones del Solver.

Y por último el resultado se puede apreciar en la figura 46.

Figura 46. Resultados después de la corrida con el Solver




Los resultados nos indican que si deseamos terminar en 25 días, es necesario invertir

en la capacitación del personal, materia prima, producción del subproducto s2 y

verificación del mismo únicamente.

Con esto terminamos este subtema esperamos que lo hayas comprendido de la mejor

manera, porque como habrás observado, este tipo de casos se te presentarán en el

campo laboral.

2.3.4. Revisión técnica del programa de evaluación

La revisión técnica del programa de evaluación es también conocido como PERT y se

utiliza al igual que el CPM para realizar la ruta crítica de un proyecto, pero a diferencia

de la anterior, en este no se conoce con certeza el tiempo que llevará cada actividad,

solo se conoce en el mejor de los casos un estimado. En muchos trabajos que

desarrollarás también te enfrentarás a este problema y tendrás que hacer uso de esta

técnica, pero no te preocupes la única diferencia con el tema anterior es determinar los

tiempos de cada actividad, de ahí en adelante el problema es prácticamente el mismo.

Así el método PERT requiere que uno tenga en cuenta tres detalles:

1. Una estimación de la duración de la actividad de un modo ideal

2. Una estimación de la duración de la actividad bajo condiciones no

favorables

3. Valor más probable para la duración de la actividad.

De esta forma esta metodología tiene que utilizar la probabilidad, en este caso una

ecuación de probabilidad que es:

( )

Esta ecuación sigue una distribución beta donde:

a = a la estimación de la duración de actividades de modo ideal.

b = a la estimación de la duración de la actividad bajo condiciones no favorables.

m = El valor más probable de la actividad.

El número cuatro se refiere a la importancia de m, en este caso se cree que el valor

más probable de la actividad (m) es tan válido como el doble de las otras

estimaciones, aunque el valor de este número puede aumentar o disminuir de acuerdo

a que confiable es la fuente que nos indica el tiempo.

Y el valor 6 es el número de elementos, en este caso tenemos a, b y 4 veces m por lo

tanto tenemos 6 elementos.

También se requiere de una varianza, la cual nos indica la holgura que tendrá nuestra

predicción y su ecuación es.




( ) ( )

y la desviación estándar es la raíz cuadrada de esta.

Revisa el siguiente ejemplo (que es el mismo del tema anterior):

La empresa de computadoras marca Pear está a punto de introducir un nuevo

producto, este requiere del ensamble de los subproductos s1 y s2.

Antes de que comience la producción del subproducto s1 o s2, se debe comprar la

materia prima y capacitar a los trabajadores. Teniendo los subproductos se requiere

ensamblarlos y antes de que esto suceda, se necesita inspeccionar el subproducto s2,

debido a que este subproducto es de vital importancia en el producto final. La tabla 9

nos da una lista de las actividades y sus predecesores así como la estimación de

duración de cada actividad. La estimación de los valores de “a”, fueron dados por la

gente del departamento de ingeniería, la b por gente de la empresa como supervisores

y la m por gente que ya ha realizado otros proyectos de este tipo.

La empresa desea terminar en 25 días ¿usted cree que se pueda terminar?

Tabla 9. Estimación del tiempo y actividades

Actividad Predecesores Estimación

a b m

Capacitar a los

trabajadores (CT) Ninguno 7 20 6

Comprar materia

primas (MP) Ninguno 1 13 9

Producir el

subproducto 1 (s1) CT y MP 4 15 8

Producir el

subproducto 2 (s2) CT y MP 6 10 7

Verificar la calidad

del s2 (Vs2) s2 9 15 10

Ensamblar s1 y s2 s1 y Vs2 7 16 12

Ahora se obtendrá el tiempo más probable y volveremos a replantear la tabla 9.

5.86

20)6(47

CT




33.86

13)9(41

MP

5.86

15)8(441

s

33.76

10)7(462

s

66.106

15)10(492

Vs

833.116

16)12(47

Ensamble

La desviación estándar seria:

5.4=36

)20+7(=CTdeestándardesviación

2

33.2=36

)13+1(=MPdeestándardesviación

2

16.3=36

)15+4(=1sdeestándardesviación

2

66.2=36

)10+6(=2sdeestándardesviación

2

4=36

)15+9(=2Vsdeestándardesviación

2

83.336

)167( 2

ensambledeestándardesviación

Por lo tanto nuestra tabla 9 ya con la estimación probabilística quedaría como se

muestra en la tabla siguiente:

Tabla 10. Estimación probabilístico del tiempo con desviación estándar y

actividades

Actividad

Predecesores

Estimación

Probabilística

Desviación

estándar

Capacitar a los

trabajadores (CT) Ninguno 8.5 4.5

Comprar materia primas

(MP) Ninguno 8.33 2.33





(s1) CT y MP 8.5 3.16


(s2) CT y MP 7.33 2.66

Verificar la calidad del s2

(Vs2) s2 10.66 4

Ensamblar s1 y s2 s1 y Vs2 11.833 3.83

Recuerda que la desviación estándar es la que nos indica la holgura, por ejemplo CT

tiene una estimación de 8.5 días ± 4.5 días por lo tanto este puede tardar a lo más 13

días y a lo menos 4 días.

Resolver este problema de aquí en adelante es igual que en el caso del CPM en este

caso recuerda que la ruta crítica era, MP – s2 – Vs2 – ensamble lo que nos tardaría

8.33 + 7.33 + 10.66 + 11.833 = 38.153 más, menos una desviación estándar de = 2.33

+ 2.66 + 4 + 3.83 = 12.82 días.

El resultado anterior nos indica que el proyecto puede tardar entre 50.483 y 25.333

días, ni en el mejor de los casos se puede terminar en 25 días. Si la empresa desea

inyectar dinero, el problema también sería igual al anterior la única diferencia es la

tabla de estimación probabilística.

Bueno con esto terminamos este tema, como puedes observar, los problemas no son

difíciles lo único que es difícil son los cálculos, pero la computadora te resolverá este

problema, pero no el análisis que requieres para encontrar los datos e introducirlos a la

computadora, suerte con el siguiente y último tema de esta unidad.

2.3.5. Modelo de costo mínimo para problemas de flujo

Recuerda que en un problema de flujo máximo, únicamente vemos la ruta para el

transporte del máximo flujo y nunca se consideró el costo de esto, en este caso se

deben tomar en cuenta las dos cosas tanto el flujo máximo como el costo mínimo, esto

lo comprenderás mejor con el siguiente ejemplo.

Una empresa de transporte desea minimizar el tiempo requerido de sus vehículos para

viajar del punto inicial al punto final, de acuerdo al siguiente diagrama mostrado en la

figura 47. En esta figura se puede observar la cantidad de vehículos que pasan por

hora entre un nodo y otro. Además entran en promedio 900 vehículos a esta red.

El tiempo que tarda un vehículo en recorrer cada nodo se muestra en la tabla 11.




Tabla 11. Tiempo entre nodos

Nodos Tiempo entre nodos

(Inicio – 2) 10

(Inicio – 3) 67

(2 – 5) 82

(2 – 4) 85

(5 – 6) 22

(4 – 5) 28

(4 – 6) 21

(3 – 5) 73

(3 – 4) 12

Figura 47. Diagrama de red de las diferentes rutas.

Para resolver este tipo de problemas primero determinamos el número de variables

que tenemos, lo cual es muy sencillo porque es el número de uniones de nodos, en

este caso tenemos nueve, tal como lo muestra la tabla 11. Por lo tanto nuestras

variables son la columna de nodos de la tabla 11.

Así la función objetivo es:

Min Z = 10X(inicio – 2) + 67X(inicio – 3) +82X(2 – 5) + 85X(2 – 4) + 22X(5 – Final) + 28X(4 – 5) + 21X(4 –

Final) + 73X(3 – 5) + 12X(3 – 4)

Las restricciones se dividen en dos partes, la primera son las restricciones de flujo y

esto es la cantidad máxima que puede entrar a esta vía de carreteras en este caso son

900 vehículos por hora y la segunda son las restricciones son las de capacidad entre

un nodo y otro.




Restricciones de flujo

X(inicio – 2) + X(2 – 3) = 900

- X(inicio – 2) + X(2 – 4) + X(2 – 5) = 0

-X(inicio – 3) + X(3 – 4) +X(3 – 5) = 0

-X(2 – 4) - X(3 – 4) + X(4 – 5) + X(4 – Final) = 0

-X(2 – 5) - X(3 – 5) - X(4 –5) + X(5 – Final) = 0

-X(4 – Final) - X(5 – Final) = -900

Restricciones de capacidad

X(inicio – 2) ≤ 700

X(inicio – 3) ≤ 600

X(2 – 4) ≤ 500

X(2 – 5) ≤ 100

X(3 – 4) ≤ 200

X(3 – 5) ≤ 400

X(4 – 5) ≤ 500

X(4 – Final) ≤ 300

X(5 – Final) ≤ 600

Al resolverlo con ayuda de Solver, lo que obtenemos es un costo mínimo de 117200

minutos igual 1953.33 horas, donde la cantidad de vehículos que están pasando por

nodo es:

X(inicio – 2) = 600

X(inicio – 3) = 300

X(2 – 4) = 500

X(2 – 5) = 100

X(3 – 4) = 200

X(3 – 5) = 100

X(4 – 5) = 400

X(4 – Final) = 300

X(5 – Final) = 600

Realmente el uso de Solver en estos problemas es muy importante, aunque si utilizas

otro programa como Lindo, QSL, Tora etc., y se te hace más sencillo no hay ningún

problema, en el que lo puedas hacer, al final los resultados deben ser los mismos.




Actividad 2. Problemas de red

La intención de esta actividad es que puedas resolver problemas del sector logístico,

utilizando modelos de redes.

1. Tu facilitador(a) te hará llegar un documento vía correo electrónico y te

notificará por el mensajero de plataforma.

2. Resuelve los problemas que te envió tu facilitador(a).

3. Consulta el documento A2. Escala de evaluación, para que tu trabajo cuente

con los elementos necesarios, que denoten tu aprendizaje.

4. Guarda tu tarea con la nomenclatura correspondiente y envíala a tu

facilitador(a), recuerda que la herramienta del aula te permite adjuntar dos

veces tus archivos.

Actividad 3. Reflexión de los modelos

La intención de esta actividad es socializar y clarificar las dificultades que se te

hayan presentado al aplicar cada modelo de los revisados en esta unidad.

1. Entra al foro de la actividad y participa en torno a las siguientes preguntas:

Dentro de tu comunidad, trabajo o ambiente en el que te encuentras ¿Cómo

puedes aplicar los modelos revisados en esta unidad?

¿Cuáles son las dificultades que se te presentaron al resolver los problemas

de la actividad 1 y 2 de esta unidad?

2. Revisa los comentarios de tus compañeros(as) y retroalimenta sus aportaciones.

3. Recuerda consultar la rúbrica de participación en foro, que se te otorgó desde la

unidad 1.




Autoevaluación

Para verificar el logro de lo que has prendido hasta este momento, te invitamos a

resolver el ejercicio de autoevaluación que se encuentra en el aula virtual.

Evidencia de aprendizaje. Solución de un problema real

En cada uno de los temas que aquí estudiaste, aprendiste el uso de cada uno de los

métodos para la solución de diversos problemas.

1. A partir de un documento que te enviará tu facilitador(a) realiza lo siguiente:

2. Identifica qué tipo de método debes utilizar.

3. Calcula lo necesario y obtén el mejor resultado de acuerdo a los

requerimientos del cliente de cada situación.

4. Cuando concluyas esta actividad, guárdala en un archivo de texto con la

nomenclatura LIOP2_U1_EA_XXYZ y envíala a tu facilitador(a) para que te

retroalimente.

Autorreflexión

Además de enviar tu Evidencia de aprendizaje, es importante que ingreses al foro

Preguntas de Autorreflexión y consultes las preguntas que tu Facilitador(a) presente.

A partir de ellas, debes elaborar tu Autorreflexión en un archivo de texto.

Posteriormente envía tu archivo mediante la herramienta Autorreflexiones.

Recuerda que si respondes las preguntas en las tres unidades, obtendrás el 10% de

la evaluación de la asignatura.




Cierre de la Unidad

Te felicitamos por todo el esfuerzo que has realizado para terminar esta segunda

unidad y recuerda que ya estás a tan solo un paso de terminar esta asignatura.

Como has observado los temas que hemos visto son la continuación de los problemas

de la unidad 1. En la unidad anterior tan solo veías el problema al llegar ya sea al

almacén, bodega, fabrica empresa etc., y determinabas el tiempo que requerías para

salir o cuantos trabajadores requieres para terminar un trabajo de descarga etc., pero

en ninguno de esos problemas tenías en mente el problema para llegar al destino,

cosa que si pudiste ver aquí, por lo tanto hasta este momento tú ya puedes determinar

una ruta que sea lo más barata o que sea la de menor tiempo o ambas. Así ahora

puedes diseñar todo el proceso desde que sale tu transporte hasta que llega a su

destino y posteriormente cuanto tiempo estará en este destino esperando a descargar

o a cargar depende de la situación.

Te deseamos el mejor de los éxitos con la siguiente unidad en donde podrás ver la

forma de pronosticar ciertos eventos que suceden desde adentro de la empresa o

almacén y con esto tendrás todo el conocimiento necesario para poder planear desde

tu propia empresa el tiempo que sale tu mercancía hasta el momento que regresa tu

transporte por más mercancía.

Para saber más

Te recomendamos leer la literatura básica que se presenta en fuentes de consulta,

puedes acudir a alguna biblioteca o incluso adquirir algún libro para tu biblioteca

personal.

Puedes empezar a tener un poco de curiosidad de cómo se lleva a cabo todo lo de

transporte en tu trabajo y te darás cuenta que en la mayoría de las empresas estas

metodologías no se utilizan y no porque no sirvan sino porque la mayoría no tiene idea

que existan y toda la planeación realizan de una manera empírica y mayoría de las

veces meramente intuitiva.

Fuentes de consulta

Básica

Wayne L. Winston, (2010). Investigación de Operaciones Aplicaciones y

algoritmos. México: Ed. CENGAGE Learning.

Frederick S. Hillier, Gerald j. Lieberman. (2010). Introducción a la Investigación

de Operaciones. México: Ed. Mcgraw Hill Interamericana.

Hamdy A. Taha. (2011). Investigación de Operaciones. México. Ed. Pearson.




Izar Landeta Juan Manuel. (2008). Investigación de operaciones. México: Ed.

Trillas.

Inzunza Inzunza Vicente, Lopez Millan, (2013) Francisco Octavio. Investigación

de Operaciones, México: Ed. Pearson.

Complementaria

Pérez Fermoso Francisco, Gómez García Jesús María, García González Ana.

(2011). Aplicaciones de la Teoría de Colas a la Provisión Óptima de Servicios

Sociales: El caso de Servicio de Teleasistencia. Estudios de economía

aplicada, 29 (3). 1-25 – 25.

Tian Hao a, Tong Yifiei. (2011). Study on Queuing System Optimization of Bank

Base don BPR. Procedia Enviroment Sciences. (10), 640 – 646.

Pardo Maria José, de la Fuente David. (2008). Optimal Selection of the Service

Rate for a Infinite Input Source Fuzzy Queuing System.Fuzzy Sets and

Systems. (159). 325 – 342.

Yue de Quan, Sun Yan Ping. (2008). Waiting Time of M/M/c/N Queuing System

with Balking, Reneging, and Multiple Synchronous Vacations of Partial Servers.

Procedia Enviroment Sciences. 28(2). 89 – 97.

unidad 2. modelos de redes y transporte.pdf

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