unidad 2. interÉs simple y...

FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA

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UNIDAD 2. INTERÉS SIMPLE Y DESCUENTO

Interéssimpleydescuento


2

Tabla de contenido

UNIDAD2.INTERÉSSIMPLEYDESCUENTO.........................................................................1Tabladecontenido.................................................................................................................................2Introducción.............................................................................................................................................3Objetivos....................................................................................................................................................3Objetivogeneral:....................................................................................................................................................3Objetivosespecíficos:...........................................................................................................................................3

2.1Tiposdeinterés................................................................................................................................42.2Interéssimple...................................................................................................................................42.3Descuento........................................................................................................................................11Resumen.................................................................................................................................................21Bibliografía............................................................................................................................................22


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Introducción

Lasoperacionesfinancierasserealizanutilizandodostiposdetasadeinterés:simplesycompuestas.Enestaunidadsetrabajarálaformaderesolverproblemas,enloscualesla tasa de interés es simple. Además, se revisará cómo plantear ecuacionesequivalentesytrabajarconeldescuento,tantosimplecomoracionalybancario.

Objetivos

Objetivo general

Resolvereinterpretarproblemasqueinvolucrenelinteréssimpleyeldescuento.

Objetivos específicos

• Comprenderquéeselinteréssimple.• Deduciryaplicarlasfórmulaspropiasdelinteréssimple.• Resolverproblemasdevalorpresente,valorfuturo,tiempoytasasdeinterésa

interéssimple.• Plantearecuacionesequivalentes.• Resolverproblemasdedescuentosimple,racionalobancario.


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2.1 Tipos de interés

Elusodeldineronoesgratuito.Quiendepositaunacantidaddedineroenunacuentade ahorros, o quien le presta dinero a otra persona, está sacrificando el uso de esedineroenotraactividad,comoporejemplo,comprarunbienopagarunservicio.Paradesprendersedeesasuma,élesperaunaretribuciónoganancia,comúnmentellamadainterés.Este concepto puede cuantificarse ymedirse en unidadesmonetarias, como se verámásadelante.El concepto de interés constituye la base fundamental de toda operación financieraparticularenlaqueintervenganvaloresytiempos. Losinteresessuelensercalculadoscomounaporcióndelacantidadinicial, lacualseexpresa en términos porcentuales. Es así como el banco promete a sus ahorradorespagarelY%sobrelassumasqueledepositenocobrarelX%poreldineroquepresta. Lasoperacionesfinancieraspuedenhacersebajotresmodalidades,asaber:Interés simple: Cuando en la operación financiera el interés que se gana o paga secalculasobreelcapital,sedicequeéstasehahechoainteréssimple.Interéscompuesto:Cuandoenlaoperaciónfinancieraelinterésqueseganaopagasecalcula sobre el capital más los intereses, se dice que ésta se ha hecho a interéscompuesto.Interéscontinuo:Sedicequeunanegociaciónesainteréscontinuocuandoelperíododepagoesmuycorto(días,horas). Enestaunidadeltrabajosecentraráenlosdosprimerostiposdeinterés.

2.2 Interés simple

Cuandoen laoperación financiera los interesessepaganúnicamentesobreelcapitalinicial,sedicequeesunaoperaciónainteréssimple.Simbología:Paratrabajarconinteréssimpleseutilizaránlossiguientessímbolos:

I:CantidaddeinteresesapagaroarecibirP:ValorinicialF:Valorfinali:Tasadeinterésn:Tiempo


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PrerrequisitosparatrabajarainteréssimplePararealizaroperacionesfinancierasainteréssimple,esrequisitoindispensablequeel tiempo (n) y la tasa de interés (i), se encuentren en lamisma unidad de tiempo,(años,meses,días,etc). Poreso,seharáunrecuentodecómoconvertirbienlatasadeinterésobieneltiempodeañosamesesodemesesaaños.Conversióndeltiempo DeañosamesesSi en un problema a resolver a interés simple, el tiempo se da en años y se deseaconvertirameses,deberealizarseunadeestasconversiones: a. Añosexactos:Sielnúmerodeañosesexacto,sedebemultiplicarelnúmerodeañospor12.

Ejemplo:Convertir2añosameses=2x12=24meses.

b. Añosinexactos:Sieltiempoapareceenformadeañosinexactos,esdecir,enformadeenteroydecimal,tambiénsemultiplicaéstepor12.

Ejemplo:Convertir1,4añosameses1,4x12=16,8meses

c. Años y meses: Si el tiempo aparece en años y meses, la conversión se hace así:Númerodeañospor12,máslosmesesadicionales.

Ejemplo:Convertir1añoy7mesesameses.Enestecasosedice1x12=12+7=19meses.

DemesesaañosSi en el problema a resolver a interés simple, el tiempo viene enmeses y se deseaconvertiraaños,laoperaciónahaceresdividirlosmesesentre12.Ejemplo:Convertir17meses a años: 17/12 = 1,41666666. En este caso, debe trabajarse con todos losdecimalesparaquelaoperaciónarealizarsealomásexactaposible. ConversióndelatasadeinterésLo primero que se debe recordar cuando se trabaja una tasa de interés, es que éstadebeconvertirsedeporcentajeadecimal,esdecir,dividirlaentre100. Detasaanualatasamensual


6

Unavezconvertidalatasadeinterésadecimal,seprocedeadividirlaentre12.Ejemplo:Convertirel12%anualenmensual.Primeroseconvierteelporcentajeadecimal12/100=0.12Ahora,sedivideentre12,esdecir,0,12/12=0,01mensualo1%mensual.Detasamensualatasaanual Paraconvertirlatasadeinterésdemensualaanual,éstadebesermultiplicadapor12.Ejemplo:Convertirel0,85%mensualatasaanual.0,85/100=0,0085x12=0.102anual.=10,2% Teniendo claro estas conversiones, se procede a calcular cada uno de los elementospropiosdelinteréssimple,asaber: CantidaddeinteresesapagaroarecibirSisedeseasaberquécantidaddeinteresessepaganorecibenenunanegociaciónconestetipodeinterés,seutilizalasiguientefórmula:

(1)

Dónde:P:Valorinicial n:tiempo i:tasadeinteréssimple

Ejemplo:

Unapersona inviertehoy$1.000.000enuna cuentaquepaga el 1%simplemensualdurante8meses,¿cuántorecibirádeintereses?P=$1.000.000 n=8meses i=1%mensualRemplazandolosvaloresenlaecuación(1),setiene:

I=1.000.000x8x0,01I=80.000

Lapersonarecibiráenlos8meses$80.000deintereses.

PxixnI =


7

Ejemplo:

Teresa lepideprestado$800.000aCarlosdurante9meses.Él lecobrael6%simpleanual,¿quécantidaddeintereseslepagaráTeresaaCarlos?P=$900.000 n=9meses i=6%anualLoprimeroqueseobservaesqueeltiempoestáenmeses(9)ylatasaenaños(6%),portanto,esnecesarioqueesténenlamismaunidaddemedidaparapoderresolverelproblema.Enestecaso,sevaaconvertirlatasadeinterésdeanualamensual,así:0,06/12=0,005yseaplicalafórmula(1)

TeresadebepagaraCarlos$40.500deinteresesenlos9meses. ValorfinalParahallarelvalorfuturoainteréssimple,seutilizalasiguientefórmula:

(2)

Dónde:P=valorinicialoinversión n=tiempo i=tasadeinteréssimple.

Ejemplo:

Una persona invierte $500.000 durante 11 meses en una cuenta que paga el 1,3%simplemensual,¿cuántopodráretirarunavezcumplidoeltiempo?

P=$500.000 n=11meses i=1,3%mensual.

500.409005,0000.900 == xxI

( )( )nxiPxF += 1


8

Véasegráficamenteloquesucede:

2 0

11 i=0,013 500.000 Aplicandolafórmula(2)seresuelveelinterroganteasí:

Lapersonapuederetirar,alcabodelos11meses,$571.500. CálculodelvalorinicialEn ocasiones lo que se requiere es calcular el valor inicial y, para ello, se utiliza lasiguientefórmula:

(3)

Dónde:F=valorfinalomonto n=tiempo i=tasadeinteréssimple.

Ejemplo:

Javierdebepagardentrode1añoy7meses$2.975.342,78aunatasadel0,72%simplemensual,¿quécantidadleprestaron?F=$2.975.342.78 n=1años7meses i=0,70%mensualGráficamentesetiene: $2.975.342.78

1año7meses ?

500.571143,1000.500

)143,01(000.500)013,011(1(000.500

=

=

+=

+=

FxFxF

xxF

( )( )ixnFP

+=1


9

Dadoqueeltiempoestáenunacombinacióndeañosymeses,lomejoresconvertireltiempoamesesasí:

Eltiempoes1año7mesesqueesequivalenteadecir:1año=12meses+7meses=19meses

Aplicandolafórmula(3)setiene:

TasadeinterésCálculodelatasadeinterésEnocasionesloquedebehallarseeslatasadeinteréssimplequesecobra,bienporunpréstamo o se paga por una inversión. En este caso, se debe aplicar la fórmula queapareceacontinuación:

(4)

Dónde:F=valorfinal P=valorinicial n=tiempoDebeentendersequeelresultadodaráenlaunidaddetiempoquetenga“n”,esdecir,sieltiempoestáenmeseslatasaserámensualy,porconsiguiente,sieltiempoestáenañoslatasaseráanual.

( )( )

( )( ) ( )

83,074.626.2133,1

78,342.975.2133,0178.342.975.2

007,019178,342.975.2

1

==

+=

+=

+=

P

xP

ixnFP

nPF

i1−

=


10

Ejemplo:

¿Quétasadeinteréssimplereconocieronporunainversiónde$2.000.000,paraqueen18mesesentregaran$2.400.000?P=20000 F=$2.400.000 n=18mesesRemplazandoenlafórmula(4):

Latasadeinterésreconocidaesdel1,11%mensual. Tiempo CálculodeltiempoCuando el requerimiento es hallar el tiempo en el cual ha de hacerse la inversión opagarladeuda,sehacenecesarioutilizarlasiguientefórmula:

(5)

Dónde:F=valorfinal P=valorinicial i=tasadeinterés

Al igual que con el cálculo de la tasa de interés que se vio anteriormente, el tiemporesultante estará en lamisma unidad demedida que presente la tasa de interés, esdecir,silatasaestáenmeseseltiempodaráenmeses,silatasaestáenaños,eltiempodaráenaños.

%11,1

0111,01812.118

1000.000.2000.400.2

=

=−

=

−=

i

i

i

iPF

n1−

=


11

Ejemplo:

¿Enquétiemposecancelóunadeudade$3.000.000por$4.982.456,67,aunatasade12%simpleanual?P=$3.000.000 F=$4.982.456,67 i=12%anualAlreemplazarlosvaloresenlafórmula(5)setiene:

Esdecir,queladeudasecancelóen5,5años.Sesabequesonañosporcuantolatasadeinterésesanual.

2.3 Descuento

Eldescuentoesunamodalidaddeinteréssimple.Ladiferenciaradicaenqueelinteréssimple, por lo general, se paga vencido, en tanto que el descuento se produceanticipado.Enelmercadofinancierooperantrestiposdedescuentos:comercial,racionalosimpleycompuesto.Enesteapartesetrabajaránlosdosprimeros,elúltimosetrataráconelinteréscompuesto. Lasimbologíaqueseutilizaes:

D=cantidaddedescuesto.Vn=ValornominaloinicialVe=Valorfinaloapagarn=Tiempoi=tasadedescuento

5,5

5,512,0

166081889.112,0

1000.000.367,456.982.4

=

=−

=

−=

n

n

n


12

En el descuento, el tiempo corresponde al tiempo anticipado en el que se paga laobligacióny,aligualqueenelinteréssimple,debeestarenlamismaunidaddemedidaquelatasadedescuento,esdecir,silatasaestáenmeses,eltiempotambién;siporelcontrarioestáenaños,eltiempotambiéndebeestarenaños. Acontinuaciónseverácómocalcularcadaunodeloselementos: CálculodelacantidaddedescuestoParacalcularlacantidadquedescontaránporpagarenformaanticipadaunadeuda,seutilizalasiguientefórmula:

𝐷 = 𝑉𝑛𝑥𝑖𝑥𝑛

Ejemplo:

Juliana tiene una deuda de $1.000.000. Si la quiere cancelar 5 meses antes,aprovechandounatasadedescuentodel8%anual,¿quécantidadledescontarán?Losdatosqueentregaelproblemason:Vn=$1.000.000;n=5meses;i=8%anualD=¿? Como el tiempo y la tasa de descuento no están en lamisma unidad demedida, loprimeroquedebehacerseesconvertirunode losdos.Enestecaso,seconvertirá latasadedescuentoamesesasí:

𝑖( =0,0812

= 0,0066667

Reemplazandolosvaloresenlafórmulasetiene:

𝐷 = 1.000.000𝑥0,0066667𝑥5 = 33.333.33 Esdecir,queJulianarecibiráundescuentode$33.333,33porpagar5mesesantesdelvencimiento. Descuentocomercial Es aquel que se calcula sobre el valor nominal de un documento y siempre se pagaantesdesuvencimiento.

𝑉3 = 𝑉4 1 − 𝑛𝑖


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Ejemplo:

Pedro tiene una deuda de $800.000 y si la paga 9 meses antes del vencimiento, leconcederánunatasadedescuentodel1%mensual.¿Quécantidadpagarárealmentesiaceptalaoferta?Losdatosdelproblemason:Vn=$800.000i=1%mensualn=9mesesVe=¿?Comoeltiempoylatasadedescuentoestánenlamismaunidad,losdatossepuedenreemplazarsinproblemaenlafórmula,dandocomoresultado:

Sipedropaga9mesesantes,tendráquepagar$728.000envezdelos$800.000. Descuentoracional Esaquelquesecalculasobreelvalorefectivodeundocumento.

𝐷6 = 𝑉3𝑥𝑛𝑖 (1) Sinembargo, 𝑉3 = 𝑉4 − 𝐷6 Reemplazando 𝑉3 = 𝑉4 − 𝑉3xnxi

𝑉3 + 𝑉3𝑥𝑛𝑥𝑖 = 𝑉4 𝑉3(1 + 𝑛𝑥𝑖 = 𝑉4

𝑉3 =9:

;< =>4 (2)

Alreemplazar2en1,setiene:

𝐷6 =𝑉4

1 + 𝑛𝑥𝑖 𝑥𝑛𝑥𝑖

𝐷6 =

9:>=>4;< =>4

(3)

Estoesloquesellamadescuentojusto,interioropordentro.

( )( )( )

000.72891,0000.80009,01000.800

901,01000.800

=

=

−=

−=

e

e

e

e

VxV

VxV


14

Ejemplo:

Tadeoquiere saber cuáleseldescuento racionalque leotorganporunpréstamode$2.000.000, si lo cancela antesde8meses auna tasadedescuentodel15%anual ycuántopagarárealmente.Primerosecalculaeldescuentoracionalapartirdelafórmula(3),puessetienenlossiguientesdatos:Vn=$2.000.000i=15%anualn=8mesesim=0,15/12=0,0125.

EldescuentoracionalquerecibiráPedroesde$181.818,18.Parasabercuántodeberápagarseaplicalafórmula(2),así:

LacantidadquePedropagaráes$1.818.818,82. CálculodeltiempoParacalculareltiempoenelcualserealizóelpago,seutilizalasiguientefórmula:

𝑛 =;? @A

@:=

(4)

( )[ ]

( )

18,818.18110,1000.200

0125,08180125,0000.200

1

=

=

+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=

r

r

r

nr

D

D

xxxD

inxixnV

D

( )[ ]

( )[ ]

82,818.818.110,1000.000.20125,081000.000.2

1

=

=

+=

+=

e

e

e

ne

V

V

xV

inV

V


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Ejemplo:

¿En qué tiempo se canceló una deuda de $1.2000.000, para que a una tasa dedescuentodel12%anualsepagara$1.000.000.? Losdatosdelproblemason: Vn=$1.200.000Ve=$1.000.000i=0,12anualo1%mensual Reemplazandolosvaloresenlafórmula(4)setiene:

Comolatasasetrabajóenmeses,eltiempoesenmeses,esdecir,queeltiempoenquesecancelóladeudafuede50meses.Nota:Resolverelproblemaconlatasaenaños.Cálculodelatasadedescuento Paracalcularlatasadedescuento,lafórmulaqueseutilizaes:

𝑖 =;?@A@:4𝑥100 (5)

Ejemplo:

¿Quétasadedescuentoconcedieronporpagarunadeudade$700.000a los5mesespor$538.000? Losdatosdelproblemason: Vn=$700.000Ve=$538.000n=5meses. Reemplazandolosvaloresenlafórmula(5)setiene:

5001,05,0101,0000.000.2000.000.11

=−

=

−=

n

n


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Comoel tiempoestá enmeses, la tasadedescuento esmensual, entonces la tasadedescuentoconcedidafuedel4,63%mensual. VencimientoExistendosclasesdevencimientos:elmedioyelcomún.VencimientomedioSu característica fundamental radicaenqueel valornominaldeundocumento tienequeser iguala lasumadelosvaloresnominalesdelosdocumentosporloscualessedeseacambiar.Esto implicaqueelvalordelnuevodocumentotambiéntienequeserigualalasumadelosvaloresactualesdelosdocumentosquesecambianosenegocian.

Ejemplo:

Se tienen dos letras, una de $50.000 y la otra de $100.000, que vencen a los 6 y 9meses,respectivamente,ycontemplanunatasadeinterésdel3%mensual.Si se quieren cambiar estas dos letras por una sola, ¿cuál será el vencimiento de lanuevaletra?Considerarlaoperaciónenformacomercial.

𝑉3; + 𝑉3B = 𝑉3 nuevaletra+𝑉4B = 𝑉4nuevaletra50.000+100.000=150.000𝑉3 = 𝑉4 − 𝐷C 𝑉3 = 𝑉4(1 − 𝑖𝑛)𝑉3 = 50.000 1 − 0.03 6 + 100.000 1 − 0.03 9 150.000 1 − 0.03 𝑛 = 50.000 0.82 + 100.000 0.73 150.000 − 4.500𝑛 = 41.000 + 73.000−4.500𝑛 = −36.000𝑛 = 8

En el vencimientomedio, el problema consiste en calcular el vencimiento del nuevocontrato.

%63,4

10004628571,0576858143,01

1005000.700000.5381

=

=−

=

−=

i

xi

xi


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Vencimiento común Su característica principal radica en que el valor nominal del(los) nuevo(s)documento(s)esdiferentedelasumadelosvaloresnominalesdelosdocumentosporloscualessedeseacambiar. Dado el valor nominal del nuevo documento o los nuevos documentos, hallar suvencimiento.Dadoelvencimientodelnuevoolosnuevosdocumentos,hallarsuvalornominal.

Ejemplo:

Con los datos del problema anterior y teniendo en cuenta que el valor nominal delnuevo documento será de $170.000, hallar el vencimiento en forma racional ycomercial. Enformacomercial:

𝑉3; + 𝑉3B = 𝑉3 delnuevodocumento𝑉3 = 𝑉4(1 − 𝑖𝑛)50.000 1 − 0.03 6 + 100.000 1 − 0.03 9 = 170.000 1 − 0.03 𝑛 41.000 + 73.000 = 170.000 − 5.100𝑛−56.000𝑛 = −5.100𝑛 = −10,98𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

Enformaracional:𝑉3 =

𝑉41 + 𝑖𝑛

50.0001 + 0,03 6

+100.000

1 + 0,03 9=

170.0001 + 0,03 𝑛

121.113,03(1+0,03n) = 170.000

n = 13,45 meses


18

Ejemplo:

ElseñorGarcíadebeunaletrade$120.000paracancelarladentrode5añosyotrade$150.000paraliquidarladentrode6años.Sinembargo,quierecancelarlasconunsólopago dentro de 2 años.¿Qué cantidad debe hacer efectiva en esa fecha, si la tasa deinterésesde8%anualenformacompuesta?

𝑉3 =

𝑉41 + 𝑖 4

120.0001,08 J +

150.0001,08 K =

𝑉41,08 B

81.671,54 + 94.529,87 =

𝑉41,1664

176.201,41𝑉4

1,1664

Vn = 205.521,32

Ejemplo:

El señor Segura tiene documentos en las siguientes condiciones: $100.000 convencimiento en 4 meses; $250.000 con vencimiento en 10 meses; $300.000 convencimiento en 20 meses. La tasa de interés pactada es de 3%mensual y el señorSegura desea cambiar estos tres documentos en uno solo. ¿Cuál será el plazo paradichodocumento,siseconsideraunvencimientomedio?𝑉> = 𝑉>; + 𝑉>B + 𝑉>L

Vn = 100.000 + 250.000 + 300.000

Vn = 650.000

𝑉3 = 𝑉3; + 𝑉3B + 𝑉3L

𝑉3 = 𝑉>(1 − 𝑖𝑛)

𝑉3; = 100.000 1 − 0,03 4

𝑉3 = 88.000

𝑉3B = 250.000 1 − 0,03 10

𝑉3B = 175.000


19

𝑉3L = 3000.000 1 − 0,03 20

𝑉3B = 120.000

𝑉3 = 88.000 + 175.000 + 120.000

𝑉3 = 383.000

383.000 = 650.000[1 - (0,03)(n)]

n = 13,69 meses

Ejemplo:

Resolver el problema anterior considerando que el valor nominal del nuevodocumentodebeser$900.000.𝑉3 = 𝑉>(1 − 𝑖𝑛)

383.000 = 900.000[1 -(0.03)

= 900.000 - 27.000n

517.000 = 27.000n

n = 19,14 meses

Ejemplo:

Resolverelproblemaanteriorconsiderandoqueelplazodelnuevodocumentoesde15meses.𝑉3 = 𝑉>(1 − 𝑖𝑛)383.000=𝑉> = 1 − 0.03 15 383.000=0,55𝑉>


20

𝑉> = 383.0000,55

𝑉> = 69636,36

Ejemplo:

El señor López tiene una letra de $200.000, la cual reconoce unos intereses del 3%mensual y vence dentro de 5meses. El señor López ofrece la letra porque necesitadinero para atender un compromiso urgente. Quien ofrece comprársela le exige unatasadedescuentodel5%mensual,queesconlacualesapersonaacostumbratrabajar.¿Cuántodebedarleporlaletra? Primero se halla el valor futuro de la letra a la tasa que se conoce, es decir, el 3%mensual.

F = P (1 + in)

F = 200.000[1+ (0,03)(5) ]

F = 230.000

Estevalorfuturoseráelvalornominaldelaletra.Luegosehallaelvalorefectivoquevaarecibirseal5%.

Dondeieslatasadedescuento.

𝑉𝑒 = 230.0001 + 0,05 5

𝑉𝑒 = 184.000

𝑉𝑒 = 𝑉41+ 𝑖𝑛


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Resumen

Lasfórmulasutilizadasalolargodeestaunidadfueron: Interéssimple

Cantidaddeinterés:

𝐼 = 𝑉𝑛𝑥𝑖𝑥𝑛 Valorfuturo:

𝐹 = 𝑃𝑋 1 + 𝑛𝑥𝑖 Tiempo:

𝑛 =𝐹𝑃 − 1𝑖

Tasadeinterés:

𝑖 =𝐹𝑃 − 1𝑛

Valorpresente:

𝑃 =𝐹

1 + 𝑛𝑥𝑖

DescuentoCantidaddedescuento:

𝐷 = 𝑉𝑛𝑥𝑖𝑥𝑛Valorapagarodescuentocomercial:

𝑉𝑒 = 𝑉𝑛[1 − (𝑖𝑛)]Descuentoracional:


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Bibliografía

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• Díaz,A, yAguileraV.Matemáticasfinancieras.EditorialMcGrawHill,Terceraedición.

• García, J.Matemáticas financierasconecuacionesdediferencia finita.EditorialPearson.

• Gómez,A.MatemáticasFinancieras.EditorialUniversidaddelQuindío.

• Portus,L.(2003).Matemáticasfinancieras,EditorialMacGrawHill.

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