unidad 1. numeros reales

5/26/2018 Unidad 1. Numeros Reales

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lgebraUnidad 1. Nmeros reales

Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologa | Logstica y Transporte 1

Ingeniera en Logstica y Transporte

Programa de la asignatura:lgebra

Unidad 1. Nmeros reales

Universidad Abierta y a Distancia de Mxico


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ndice

II. Desarrollo de contenidos por unidad ....................................................................................... 3Unidad 1. Nmeros reales ........................................................................................................... 3

Presentacin de la unidad ........................................................................................................... 3

Propsito ..................................................................................................................................... 3

Competencia especfica .............................................................................................................. 4

1.1. Sistemas de numeracin posicionales .................................................................................. 4

1.1.1. Propiedades y representacin ........................................................................................ 4

Actividad 1. Conversin de bases y operaciones................................................................... 9

1.1.2. Operaciones en n......................................................................................................... 9

Actividad 2. Propiedades de n.............................................................................................. 13

1.2. Propiedades de los nmeros reales ................................................................................... 13

1.2.1. Propiedades de campo ................................................................................................ 14

Actividad 3. Uso de propiedades de campo.......................................................................... 21

1.2.2. Propiedades de orden .................................................................................................. 21

1.2.3. Propiedades de completez ........................................................................................... 22

Actividad 4. Trascendencia de las propiedades................................................................... 24

Autoevaluacin .......................................................................................................................... 25

Evidencia de aprendizaje. Propiedades de campo............................................................... 25

Autorreflexin ............................................................................................................................ 25

Cierre de la unidad .................................................................................................................... 26

Para saber ms ......................................................................................................................... 26

Fuentes de consulta 27


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II. Desarrollo de contenidos por unidad

Unidad 1. Nmeros reales

Presentacin de la unidad

Aunque parezcan simples, los nmeros reales resultan ser la base de todos los estudios queinvolucran cantidades y modelacin a lo largo de las asignaturas que componen tu formacinprofesional como Ingeniero(a) en Logstica y transporte. En este caso los nmeros compartendos caractersticas (por lo menos) con las herramientas multifuncionales como es el caso de lamuy conocida navaja suiza:1

Por un lado son muy potentes porque se pueden aplicar en una gran cantidad desituaciones, as que se vuelven comunes y hasta imperceptibles (invisibles diranalgunos), por lo que incluso se les llega a menospreciar.

Por otro lado, esa misma potencia hace que su comprensin cabal, y por tanto laposibilidad de aprovechar todos sus rasgos, sea ms difcil de lograr. Esto implica quesu estudio requiere de un trabajo y de una reflexin que no es para nada simple y trivial.

En esta unidad estudiars las propiedades de los nmeros reales que soportan toda el lgebraque utilizars en la carrera. Para tu comprensin se est considerando una aproximacinbasada en el estudio de las propiedades de los sistemas numricos posicionales que facilitanun contexto y un sentido a la existencia misma de objetos algebraicos como los polinomios y lasecuaciones.

Propsito

El propsito de esta primera unidad es que te familiarices con los nmeros reales comoestructura algebraica, es decir, como un conjunto de nmeros que tiene propiedades muyimportantes cuando se consideran las dos operaciones bsicas (la suma y la multiplicacin).Como ya conoces estos nmeros y los has utilizado toda la vida hay que aclarar que estafamiliarizacin se refiere a la explicitacin de propiedades que se utilizan y que le darn

sentido al manejo de expresiones algebraicas a lo largo de este curso y de otras asignaturas dela carrera.

1La expresin navaja suiza se refiere a esas navajas plegables desarrolladas originalmente para el ejrcito suizo

que incluyen no slo la navaja en s, sino todo un conjunto de herramientas que pueden ser utilizadas para

labores de mecnica, supervivencia, pesca, etctera.


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Competencia especfica

Utilizar la estructura de los nmeros reales, para identificar su uso en el manejo de polinomios yecuaciones, mediante el anlisis de sistemas de numeracin.

1.1. Sistemas de numeracin posicionales

En este primer tema de la unidad 1, revisars qu son los sistemas de numeracin comoestructuras para expresar cantidades, en particular aquellos en los que su posicin de lossmbolos afecta el valor de stos.

Adems estudiars sus propiedades para as poder generalizarlas en el uso de los nmerosreales y de otros objetos algebraicos como son los polinomios y las ecuaciones que vers enlas dos unidades siguientes.

Es muy importante que seas consciente de las propiedades de los nmeros como estructurasalgebraicas ms que como conjuntos de objetos. Esto ser para que puedas aplicarlas demanera explcita en las siguientes unidades y as comprender el manejo y la naturaleza de losobjetos algebraicos que utilizars como herramientas para diversos cursos de tu formacincomo ingeniero.

1.1.1. Propiedades y representacin

Los sistemas de numeracin son conjuntos de smbolos con sus reglas que permiten expresarlas cantidades que utilizamos. Esto se puede representar de la siguiente manera:

RSN , ,

donde Nes el sistema de numeracin en cuestin, Ses el conjunto de smbolos utilizados y Res el conjunto de reglas utilizadas para determinar cules combinaciones de los elementos de Sson vlidas.

Esta forma de expresarse puede parecer innecesaria, pero es importarte que la consideres enel sentido de que lo que trabajaremos son representaciones no arbitrarias y cuyas reglas

tendrn implicaciones no slo en este curso, sino en otros durante la carrera. Como un ejemploconsidera que la expresin 1,450.732 representa un nmero (mil cuatrocientos cincuenta con

setecientos treinta y dos milsimos)2, mientras que la expresin 1.450.732 norepresenta unnmero.

2En Mxico utilizamos esta notacin o bien 1450.732, pero en otros pases como Espaa este nmero se

expresara como 1.450,732. Es decir, para algunos el smbolo para separar los enteros de los decimales es un

punto y para otros es una coma.


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Otra cosa que tienes que tomar en consideracin es la palabra sistema. Se te ha ocurridopensar en por qu utilizamos esta palabra en la expresin sistema de numeracin y no la

palabra conjunto? La respuesta es porque mientras un conjunto se refiere a una coleccin deobjetos, en el caso del sistema dicha coleccin de objetos tiene al menos una relacin entre s.Esto implica que mientras un conjunto es la suma de las partes, en el caso del sistema ocurre

que ste no es slo la suma de las partes, sino de las relaciones entre las partes. Esto esrelevante por el hecho de que primero se hablar en el curso de sistemas de numeracin ydespus de los nmeros reales como un sistema (que se llamar estructura algebraica).

A lo largo de la historia de la humanidad se han desarrollado muchos sistemas de numeracin ystos se pueden clasificar utilizando, entre otros, dos criterios:

Si son posicionales, si no lo son o mixtos. Segn la base.

La diferencia fundamental entre los sistemas posicionales y los no posicionales es que en losprimeros el valor de un smbolo (una cifra) depende de la posicinque ocupa dentro delnmero en total. Esto tiene muchsimas ventajas prcticas y es lo que ha permitido el desarrollodel lgebra y su aplicacin en otras ramas matemticas (como el Clculo) y no matemticas.

En cambio, los sistemas no posicionales se basan esencialmente en los principios de adicin yde sustraccin, pues una cantidad se puede representar a partir de otra aadiendo o quitandosmbolos. Los egipcios antiguos y los romanos utilizaron sistemas no posicionales, mientras que

los babilonios y los mayas clsicos utilizaron sistemas posicionales mixtos, y actualmenteutilizamos un sistema posicional que aprendemos a utilizar desde la escuela primaria.

El otro criterio, la base, se refiere al tamao del conjunto que se toma como referencia paraestructurar el sistema de numeracin. Los comunes han sido los de base 10 20, como es elcaso del romano y del maya, respectivamente, aunque se han considerado algunos con base60, como en el caso del babilnico. Respecto a los sistemas de numeracin posicional la basees la cantidad de smbolos permitidos y actualmente utilizamos sistemas con tres bases: Eldecimal, el binario y el hexadecimal (base 16), aunque stos dos ltimos se utilizanbsicamente en las computadoras.

A partir de este momento slo debes concentrarte en los sistemas de numeracin posicional.

Nuestra notacin es decimal porque slo utiliza 10 smbolos y es posicional porque cadaposicin determina el valor de las cifras o guarismos que aparecen en un nmero. Por ejemplo,si decimos 34,546 el primer 4 no vale lo mismo que el segundo. Como lo aprendiste en laprimaria y en la vida, la lectura de los nmeros enteros es de derecha a izquierda y lo hacemosjuntando montones de dieces (por ser decimal) de la siguiente manera:


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34 546 = 3 decenas de miles + 4 miles + 5 cientos + 4 dieces + 6 unos == (3 10 000) + (4 1 000) + (5 100) + (4 10) + (6 1) =

= (3 104

) + (4 103

) + (5 102

) + (4 10) + (6 1)

Esta es la notacin desarrollada de un nmero entero y ya se aplic una simplificacin en losdieces. La base es 10, por lo que cada uno de las cifras se multiplica por una potencia de 10para que se le proporcione el valor que corresponde a su posicin. Si consideramos que10 = 101y que 1 = 100entonces tenemos la notacin desarrollada de la siguiente manera:

34 546 = (3 104) + (4 103) + (5 102) + (4 101) + (6 100)

El cero, por su parte, juega un papel muy importante en esta notacin. Por ejemplo, si noexistiera un smbolo para representar un vaco en alguna posicin sera difcil diferenciar elciento nueve del diecinueve.

Quiz esto resulte trivial, pero es la razn de ser de los algoritmos de las operacionesaritmticas y es la base fundamental para el trabajo en el lgebra y, por ende, del desarrollomatemtico avanzado en la parte analtica.

Por ejemplo, qu pasara con los que desarrollan programas de computadora para convertirnmeros a letra a fin de imprimir los cheques de cada quincena si no tuviramos un sistemaposicional? La respuesta es que se complicara mucho el algoritmo.

Otra ventaja es que se pueden hallar patrones gracias a las propiedades del sistema denumeracin posicional. Algunos de estos patrones nos permiten identificar cundo un nmeroentero es divisible. Por ejemplo, considera cualquier nmero entero menor a 100,000 quepuede ser expresado de la forma:

N= 10 000a+ 1 000b+ 100c+ 10d+ e,

donde a, b, c, dy eson elementos del conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Observa la divisibilidadentre 2:

25505005000

22

10

2

100

2

1000

2

10000

2

10100100010000

2e

dcba

edcba

edcbaN

As que2

Nser un nmero entero si

2

ees un nmero entero, as que Nes divisible entre 2 si y

slo si ees divisible entre dos (ees par).


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Considera ahora el caso de la divisibilidad entre 3:

33333333333

333333333333333

333

9

33

99

33

999

33

9999

33)19(

3)199(

3)1999(

3)19999(

310100100010000

3

edcbadcba

edcbadcba

eddccbbaa

edcbaedcbaN

En otras palabras, el resultado de3

Nser entero si la suma de las cifras del nmero es

divisible entre 3. As se puede continuar con otras propiedades, pero te las dejamos para que

puedas verificarlo. Qu ocurre con el 7?

El considerar la notacin desarrollada permite acceder al estudio de los nmeros enterosexpresados en bases diferentes a la de 10. Consideremos al 4 como base del sistema denumeracin, entonces cada posicin (de derecha a izquierda) est relacionada con lascantidades de cuatros y, adems, no se podrn utilizar ms de cuatro smbolos, a saber 0, 1, 2y 3. Por ejemplo, el nmero 302 en base 4 (que se representar como 302 4para no confundirlocon nuestro tradicional 30210) indica:

3124 = 3 conjuntos de conjuntos de cuatro + 1 conjunto de cuatros + 2 unos.

Es decir, en notacin desarrollada:

3124 = (3 42) + (1 41) + (2 100) =

= (3 16) + (1 4) + (2 1) = 4810+ 410+ 210= 5410.

Podemos considerar otras bases, pues en realidad podramos tomar casi cualquier nmeroentero, pero no es la intencin en este momento. (Ser posible considerar un sistema denumeracin posicional base 1?)

Consideremos otros dos ejemplos. Cuando se toma la base 2 slo se admiten dos smbolos: 0 y

1. Se puede ver a qu nmero equivale en base 10 el nmero 110112:

110112 = (1 24) + (1 23) + (0 22) + (1 21) + (1 20) =

= (1 16) + (1 8) + (0 4) + (1 2) + (1 1) = 1610+ 810+ 210+ 110= 2710.

La base 16 se utiliza para cuestiones de Informtica. Alguna vez te ha tocado ver mensajes deerror de las computadoras que hacen referencia a una combinacin de nmeros y letras? Como


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son necesarios 16 smbolos puedes utilizar letras como si fuesen cifras:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F }. As que un nmero como 5A0F16se expresara en base comosigue:

5A0F16 = (5 163) + (A 162) + (0 161) + (F 160).

Pero como A16= 1010y F16= 1510sustituimos:

5A0F16 = (5 163) + (10 162) + (0 16) + (15 1) = 20 48010+ 2 56010+ 1510=

= 23 05510.

Rpidamente puedes ver que entre menos smbolos se tengan mayor ser la longitud delnmero expresado: 3124tiene ms cifras que 5410, pero por la diferencia de bases expresan lamisma cantidad.

Utilizando el procedimiento anterior podemos expresar en base 10 un nmero que estexpresado en otra base. En cuanto al procedimiento inverso (expresar en una base diferente al10 un nmero que originalmente est expresado en base 10) existen varios procedimientos.Consideremos, por ejemplo, el nmero 29510y su conversin para expresarlo en base 6. Estoquiere decir que, en notacin desarrollada, el nmero debe poderse expresar de la forma:

29710= (a 63) + (b 62) + (c 61) + d= (a 216) + (b 36) + (c 6) + d.

Puedes notar que slo se est utilizando hasta 63porque 64= 1 296 y esto excede al 297.

Ahora bien el trabajo consiste en hallar los valores de a, b, cy d.

A la pregunta de cuntos montones de 63hay en el 297?, la respuesta es 1 pues 63= 21610.Esto quiere decir que a= 1. (Se puede verificar que 1 0006= 21610.) As que se toma 216 de297 y queda 81 (297216 = 81).

Ahora para la siguiente posicin se considera el 36, por lo que se consideran cuntosmontones de 62hay en 81 y la respuesta es 2 (b = 2) y sobran 9. Nuevamente se consideran

cuntos montones de 6 hay en 9 y la respuesta son 1 y sobran 3, por lo que c= 1. Finalmente

los 3 que sobraron corresponden a las unidades (d= 3). As que tenemos como resultado que

29710= 12136.Todo esto se puede resumir en la siguiente serie de operaciones:

Para a: 293 63= 1y sobran 81,

Para b: 81 62= 2y sobran 9,

Para c: 9 61= 1y sobran 3,

Para d: 3 60= 3.


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(Los nmeros en negritas indican los valores buscados y los nmeros subrayados son los quepasan al siguiente rengln de operaciones.)

Algo que podra ser interesante es ver si se pueden desarrollar reglas para determinarrpidamente la divisibilidad de nmeros enteros expresados en bases diferentes al 10 como lasque se mencionar ms arriba. Por ejemplo, cul podra ser una regla para determinarrpidamente si un nmero en base 3 es divisible entre 103(es decir, entre 310)?

Actividad 1. Conversin de bases y operaciones

La siguiente actividad te permitir ejercitar las nociones relacionadas con los sistemas denumeracin e identificar algunas propiedades que utilizars en est y la siguiente unidad.

1. Descargael documentoAct1. Conversin de bases y operaciones2. Resuelvelos ejercicios que se te piden.3. Cuando concluyas los ejercicios gurdalosen un archivo .doccon el nombre

LALG_U1_A1_XXYZ y envaloa tu Facilitador(a) para que te retroalimente.

1.1.2. Operaciones en n

Para generalizar los algoritmos de las operaciones con nmeros expresados en basesdiferentes no slo decimales vas a considerar algo que se le llama no bien los enteros

mdulo n.3

Considera la cartula de un reloj de manecillas normal que aparece abajo a la izquierda(aunque se cambi el 12 por el 0 debido a que es la hora cero, el 10 por el A y el 11 por B comoen el ejemplo de la base 16 de la seccin anterior). Si queremos considerar un reloj base 4sera como el de abajo a la derecha porque slo tendra cuatro horas el medio da. Las flechasindican el inicio y la direccin en que se cada reloj.

3El smbolo utilizado () es la inicial de la palabra alemana Zahl que significa cifra o guarismo.


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Para establecer la relacin de estos dos ejemplos con los sistemas de numeracin que se han

estado utilizando consideremos los siguientes ejemplos:

Para el reloj de la izquierda las horas van en este orden: despus de la hora A sigue la B,despus la hora 0, luego la hora 1 y despus la 2. Paralelamente en la base 12 resulta quedespus si al nmero B12(el 11 de nuestros relojes) le aadimos otro nos dara 1210, pero enbase 12 slo hay 12 smbolos y ese ya no existe! As que la solucin es convertirlo y entoncesel 1210es 1012que en notacin desarrollada es:

1210= (1 121) + (0 120) = 1012.

En otras palabras, en el reloj de la izquierda se cumple la suma:

B + 1 = 0. (Despus del B se avanz una hora.)

Y el cero de esta suma corresponde a las unidades del 10 12.

En el reloj de la derecha ocurre que despus de la hora 3 sigue la hora 0, despus la 1 y assucesivamente. En general ocurre algo similar que en el caso anterior. Si consideramos el 4 10como el nmero siguiente al 310en la base 4 pasa lo siguiente:

410= (1 41) + (0 40) = 104.

De manera similar al ejemplo anterior, la hora 0 que se obtiene al avanzar una hora a partir dela hora 3 (3 + 1 = 0) es el cero de las unidades del 104.

As pues, podemos considerar las dos operaciones bsicas con estos dos ejemplos. stas sonla suma y la multiplicacin que denotaremos por + y por comodidad. Los relojes se utilizan


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como si fueran las rectas numricas utilizadas en la primaria y as podemos calcular para elreloj de la izquierda (correspondiente a 12) sumas como las siguientes:

1 + 5 = 63 + 9 = 08 + 2 = AB + 7 = 6

De igual manera podemos calcular multiplicaciones como sumas abreviadas:

1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

3 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3

7 6 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 6

Esto queda resumido en las siguientes tablas (una para cada operacin):

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 0 1 2 0 2 4 6 8 A 0 2 4 6 8 A3 3 4 5 6 7 8 9 A B 0 1 2 3 0 3 6 9 0 3 6 9 0 3 6 94 4 5 6 7 8 9 A B 0 1 2 3 4 0 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 85 5 6 7 8 9 A B 0 1 2 3 4 5 0 5 A 3 8 1 6 B 4 9 2 76 6 7 8 9 A B 0 1 2 3 4 5 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6

7 7 8 9 A B 0 1 2 3 4 5 6 7 0 7 2 9 4 B 6 1 8 3 A 58 8 9 A B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 8 4 0 8 4 0 8 4 0 8 49 9 A B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 9 6 3 0 9 6 3 0 9 6 3A A B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 0 A 8 6 4 2 0 A 8 6 4 2B B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 0 B A 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Para el caso de 4, al que le corresponde el reloj de la derecha, las tablas quedaran comosigue:

+ 0 1 2 3 0 1 2 30 0 1 2 3 0 0 0 0 01 1 2 3 0 1 0 1 2 32 2 3 0 1 2 0 2 0 23 3 0 1 2 3 0 3 2 1

Hay dos cosas que te podemos sealar:


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En primer lugar, hay una manera rpida para obtener los resultados. Considera los resultadosde las siguientes operaciones que se tienen en base 10 y en las tablas de operaciones de 4:

Operacin Resultadoen base 10 Resultadoen 4

3 + 2 5 11 + 2 3 33 + 1 4 0

2 3 6 2

3 3 = 32 9 1

2 2 = 22 4 0

En trminos formales, se dice que cada uno de los nmeros de la segunda columna es

congruente con su correspondiente mdulo 4. Por ejemplo, 5 es congruente con 1 mdulo 4, 4es congruente con 0 mdulo 4 y 9 es congruente con 1 mdulo 4. Esto se denota 5 1 (mod 4),

4 0 (mod 4) y 9 1 (mod 4), respectivamente.

Puedes observar de manera rpida que los nmeros de la tercera columna se obtienen con elresiduo de la divisin de los nmeros respectivos de la segunda columna entre la base omdulo. Por ejemplo, 5 4 = 1 y sobra 1, 4 4 = 1 y sobra 0, 9 4 = 2 y sobra 1.

En segundo lugar es interesante que prestes atencin en los productos de las dos tablas demultiplicacin (de 12y de 4) ya que aparece el cero en varias ocasiones, no slo en el primer

rengln y la primera columna. Por ejemplo en 12se cumple que

6 2 = 3 8 = 9 x 4 = 0.

Y en 4se cumple que

2 2 = 22= 0.

Esto no ocurre en los nmeros que utilizas normalmente, pues para que el producto sea 0 esnecesario que al menos uno de los factores sea cero. Esto puede parecer curioso, pero tieneamplias repercusiones en el manejo algebraico que posteriormente realizars. Por lo pronto

hars algunos ejercicios y observaciones que te permitirn ampliar estas nociones hacia otrosconjuntos de nmeros.


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Actividad 2. Propiedades de n

Con la intencin de que ejercites tus conocimiento acerca de las propiedades Zn, realiza losiguiente:

1. Descargael documento Act2. Propiedades de Zn

2. Analiza y resuelveel ejercicio con tablas de suma y multiplicacin

3. Ingresaal Foro. Propiedades de ne intercambia opiniones con tus compaeros(as) entorno a las siguientes preguntas:

En todos los casos de las tablas de las operaciones importa el orden en que se

hagan las sumas o las multiplicaciones?

Hay algunos nen los que en sus tablas de multiplicacin aparece el 1 en todos ycada uno de sus renglones, pero cul es la caracterstica de la npara estosconjuntos para saber si un ncumple con esta propiedad sin tener que hacer toda latabla de multiplicacin?

Todos los ntienen en sus tablas de la suma y de la multiplicacin nmeros quedejen a la suma y a la multiplicacin igual?

*Recuerdaque tu participacin en el foro debe ser argumentada, es decir, que tienes queexponer las razones que apoyen tus opiniones.

4. Revisala Rbrica general de participacin en forosdisponible en la seccin Material eapoyo del aula virtual.

1.2. Propiedades de los nmeros reales

Los nmeros reales son los que puedes utilizar de manera directa, en la vida cotidiana de tudesarrollo profesional. stos estn constituidos por los nmeros racionales e irracionales, esdecir, los que se pueden escribir como fracciones y los que no. Juntos pueden ser utilizadospara resolver ecuaciones de diversos grados, as como modelar situaciones al considerarcantidades no conocidas utilizando objetos algebraicos. Esto lo hars tanto en las siguientesunidades como en tus siguientes cursos.

Los nmeros reales no slo son un conjunto de nmeros, sino que adems tienen propiedadesque estn basadas en dos operaciones definidas y por ello se convierten en una estructura


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algebraica. Como te imaginars, las dos operaciones que permiten hacer tal conversin son lasuma y la resta.

Adems, las propiedades de los nmeros reales se pueden verificar y comprender a partir delas actividades del tema 1.1 que recin estudiaste. Ahora lo ampliars, explicitars y aplicarspara comprender el manejo de las herramientas algebraicas que estudiars en las siguientesunidades y en otros cursos de Matemticas de tu carrera.

1.2.1. Propiedades de campo

En las actividades previas has estado observando lo que ocurre con las tablas de sumas y demultiplicaciones de varios conjuntos que se han llamado nporque se basan en el conjunto delos nmeros enteros y se toma a n como base del sistema. Formalmente el nombre que recibenestas estructuras algebraicas, como conjuntos de nmeros que estn relacionados por dosoperaciones (suma y producto), es el de anillos.

Es interesante hacer notar que algunas de las regularidades que estuviste observando en lasactividades previas son les llaman axiomas4y forman parte de las propiedades de estasestructuras algebraicas. A continuacin se har una recapitulacin de sus propiedades.

En primer lugar cuando se llevan a cabo las sumas y las multiplicaciones no importa el orden delos sumandos o de los factores. En trminos de las tablas de las operaciones esto quiere decirque al buscar una solucin no importa si empezamos por identificar la columna correspondientey luego el rengln o si primer se busca el rengln y luego la columna correspondiente. Por

ejemplo, para 7si se quiere el resultado de 5 + 3 se puede considerar la columna y el renglnde la tabla de la izquierda, o bien se puede considerar la columna y el rengln de la tabla de laderecha que corresponde a 3 + 5 porque en ambos casos el resultado es 1.

5 + 3 3 + 5

+ 0 1 2 3 4 5 6

0 0 1 2 3 4 5 61 1 2 3 4 5 6 02 2 3 4 5 6 0 1

3 3 4 5 6 0 1 24 4 5 6 0 1 2 3

5 5 6 0 1 2 3 4

6 6 0 1 2 3 4 5

+ 0 1 2 3 4 5 6

0 0 1 2 3 4 5 61 1 2 3 4 5 6 02 2 3 4 5 6 0 1

3 3 4 5 6 0 1 24 4 5 6 0 1 2 35 5 6 0 1 2 3 46 6 0 1 2 3 4 5

4Un axioma en Matemticas es una proposicin que se acepta sin demostracin para que as se pueda llevar a cabo

el desarrollo formal y axiomtico del conocimiento matemtico a travs de razonamientos vlidos.


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Con esto se plantean dos axiomas:

Axioma 1. Conmutatividad de la suma.Dados dos elementos ay ben nse cumple que

a+ b= b+ a.

Axioma 2. Conmutatividad de la multiplicacin.Dados dos elementos ay ben nse cumpleque

a b= ba.

Aunque estos dos axiomas parecen evidentes, en el prximo curso de lgebra Lineal teencontrars con conjuntos que al multiplicarse no se cumple esta propiedad de conmutatividad.

Otra propiedad que tienen estos conjuntos es la posibilidad de asociarse, es decir, que cuandose tienen tres sumandos o tres factores se obtiene el mismo resultado si se hace la operacinprimero con los dos primeros sumandos (o dos factores) y luego aplicar la operacin con eltercer sumando (o factor) o si se hace la operacin con los ltimos dos nmeros y luego seaplica la operacin al primero. En trminos simblicos es como sigue:

Axioma 3. Asociatividad de la suma.Dados tres elementos a, by cen nse cumple que

(a+ b) + c= a+ (b+ c).

Axioma 4. Asociatividad de la multiplicacin.Dados tres elementos a, by cen nse cumple

que(a b) c= a (b c).

Adems existe la posibilidad de combinar las dos operaciones en la siguiente propiedad:

Axioma 5. Distributividad.Dados tres elementos a, by cen nse cumple que

a (b+ c) = a b+ a c

(a+ b) c= a b+ a c.

En primer lugar este axioma toma este nombre porque el producto se distribuye en cada uno delos sumandos de uno de los factores. En segundo lugar, este axioma te lo vas a encontrarreiteradamente en la siguiente unidad como parte de los productos y de las factorizaciones depolinomios y de expresiones algebraicas.

Ahora bien, en la actividad Propiedades de nobservaste tambin que en todas las tablas desumas que se hicieron existe un nmero que sirve como neutro aditivo, es decir, como un


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nmero que al sumarlo a cualquier otro el resultado es ste ltimo. Este nmero es el cero. Lomismo ocurri con en las tablas de multiplicaciones: existe un nmero que al multiplicarlo porotro siempre da como resultado ese otro nmero. Este nmero es el neutro multiplicativo y es el

uno. Esto se puede expresar como sigue:

Axioma 6. Elemento neutro para la suma.En nexiste un elemento neutro para la suma, el 0,

de tal manera que para cualquier elemento aen nse cumple que

a+ 0 = 0 + a= a.

Puedes notar que en sistemas de numeracin no posicional como el romano o el egipcio no esposible expresar esto.

Axioma 7. Elemento neutro para la multiplicacin.En nexiste un elemento neutro para la

multiplicacin, el 1, de tal manera que para cualquier elemento a en nse cumple que

a 1 = 1 a= a.

Los dos neutros son importantes en los nmeros, pues de hecho son elementos del conjuntocuya identificacin permite la existencia de otros elementos del conjunto. Por ejemplo, en todaslas tablas de sumas que construiste ocurre que en todos y cada uno de los renglones (ocolumnas) aparece por lo menos una vez el neutro de la suma (el 0). Esto quiere decir que paratodos los elementos de cualquier nexiste otro que al sumarse con el primero se anula, esdecir, es su respectivo inverso aditivo. Expresado como se ha estado escribiendo lo pondremos

como sigue:

Axioma 8. Inverso aditivo.Para todos y cada unode los elementos de nexiste algnelemento del mismo conjunto (que puede ser el mismo u otro) que es su inverso aditivo. Sidenotamos a un elemento del conjunto por a, entonces su inverso queda denotado pora, y secumple que

a+ (a) = (a) + a= 0.

Por ejemplo, en la tabla de 7de la pgina 14 puedes ver que el nmero que sumado al 5 da 0

es el 2, y que el nmero que sumado al 3 da 0 es el 4. En otras palabras, el inverso aditivo de 5es 2 (o bien5 = 2) y el inverso aditivo de 3 es 4 (o bien 3 = 4).

Esta propiedad tiene una gran relevancia para resolver ecuaciones, pues es la que nos permiteencontrar el valor de xen ecuaciones como x+ 5 = 4, incluso cuando se utiliza algn ny no los

nmeros reales. Por ejemplo para 7habra que preguntarse cul es el inverso aditivo del 5 y


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as aplicarlo como sigue (en la columna de la derecha aparecen los axiomas que se estnutilizando en cada rengln):

x+ 5 = 4x+ 5 + (5) = 4 + (5)

Le sumamos el inverso aditivo del 5 (el5) a cada miembrode la igualdad.

x+ 5 + 2 = 4 + 2 Sustituimos el5 por el 2 porque es el inverso aditivo del 5.

x+ (5 + 2) = 4 + 2 Aplicamos el axioma 3 de asociatividad de la suma.

x+ 0 = 6Aplicamos el axioma 8 en el que la suma de un nmero y suinverso aditivo producen el 0. Adems, se hizo la operacindel miembro derecho.

x= 6 Aplicamos el axioma del elemento neutro de la suma.

En resumen, qu numero en 7sumado al 5 da 4? Podemos ver la tabla de las sumas (porquees pequea) pero tambin podemos aplicar los axiomas como si fuesen reglas y as establecerque la respuesta es 6. Qu pasara si tuviramos una tabla de sumas extremadamente grandeo de tamao infinita?

Otra relevancia tiene que ver con la resta. Hasta ahora se han mencionado dos operacionesbsicas, pero no la resta y la divisin. El problema se resuelve utilizando la suma y lamultiplicacin, pero por lo pronto slo nos dedicaremos a la resta.

Para poder utilizar las propiedades recin mencionadas de manera cmoda es ms fcilconsiderar a la resta como una suma del minuendo (a) y del inverso aditivo del sustraendo (b).En otras palabras, la resta se puede expresar como:

ab= a+ (b).

Esto permite aplicar las propiedades como la conmutatividad, la asociatividad y la distributividadsin problemas (aunque a veces inventamos atajos para utilizarlas). De esta manera, para 7,podemos ejemplificar esto con las siguientes operaciones:

54 = 5 + (4) = 5 + 3 = 162 = 6 + (2) = 6 + 5 = 403 = 0 + (3) = (3) + 0 = 4 + 0 = 4 (aqu se aplic tambin la conmutatividad)

15 = 1 + (5) = 1 + 2 = 3.

Nota que con esto tambin puedes trabajar con restas en donde el sustraendo es mayor que elminuendo.


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Ahora bien, como ya se dijo los conjuntos que cumplen con estas propiedades son llamadosanillos. Muchas de estas propiedades, repito, pueden parecer triviales y mucho las del inversoaditivo, pero te podras estar preguntando: qu pasa con el inverso multiplicativo?

Si tomamos la tabla de la multiplicacin de 6se podra plantear la pregunta: qu nmeromultiplicado por 4 da 5? Esto equivale a plantear la siguiente ecuacin:

4x= 5.

La tabla de la multiplicacin para 6es la siguiente y la pregunta anterior es equivalente abuscar al 5 como resultado del rengln del 4:

0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 3

4 0 4 2 0 4 2

5 0 5 4 3 2 1

La respuesta es que ninguno. Sin embargo si cambiamos la pregunta a: qu nmeromultiplicado por 5 da 4? (Slo intercambiamos nmeros en la ecuacin 5x= 4.) La respuesta esque s existe ese nmero y es 2.

Esto es posible porque en el rengln del 5 aparece el 1 como resultado (5 2= 1), mientras queen el rengln del 4 noaparece el 1 como resultado. En el primer caso se dice que el 5 tieneinverso multiplicativo y es el mismo 5, mientras que el 4 notiene inverso multiplicativo.

Resulta que no todos los ncumplen con la propiedad de que todos sus elementos,exceptuando el 0, tienen inverso multiplicativo. Reconociste la caracterstica en comn de losnque cumplen con esta propiedad? Resulta que si nes un nmero primo

5entonces el

respectivo ncumple con el siguiente axioma:

Axioma 9. Inverso multiplicativo.Para todos los elementos diferentes de 0que estn en n,existe algn elemento del mismo conjunto (que puede ser el mismo u otro) que es su inversomultiplicativo. Si denotamos a un elemento del conjunto con a, entonces su inverso

multiplicativo queda denotado con a1y se cumple que

aa1= a1a= 1.

5Los nmeros primos son nmeros enteros positivos que slo tienen dos divisores: la unidad y l mismo.


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Es muy importante que quede claro que el 0 no puede tener inverso multiplicativoy, dehecho, al observar las tablas de multiplicar que construiste en todos los casos los renglones (ocolumnas) del 0 tenan ceros como resultados (y ningn uno).

Esta propiedad, al igual que la del inverso aditivo, permite definir a la divisin a partir de lamultiplicacin: Una divisin es el producto del dividendo y del inverso multiplicativo del divisor.

ab= ab1.

De esta manera se puede considerar en 7la divisin 5 4 se puede expresar como 5 41.

Adems, como el inverso multiplicativo de 4 es 2 (4 2 = 1) tenemos el siguiente desarrollo:

5 4 = 5 41= 5 2 = 3.

A los conjuntos que bajo dos operaciones (binarias) cumplen con los nueve axiomasmencionados se les llama campo.

Un campo muy importante que has estado trabajando desde varios aos es el campo de losnmeros reales, que se denota por . Este campo incluye a la cantidad infinita de nmerosenteros (positivos, negativos y el cero), as como todos los que se pueden escribir comofracciones (llamados racionalesy denotados por ) y los que nose pueden escribir comofracciones (llamados irracionalesy denotados por ).En la siguiente seccin retomaremosestos conjuntos.

Todo el trabajo con los anillos nha sido introductorio para comprender los axiomas de campoque rigen a los nmeros reales porque las tablas de sumas y multiplicaciones en los nquetrabajamos son finitas (y pequeas), mientras que en el caso de los nmeros reales tendranque ser infinitamente grandes y no se podran verificar u observar las propiedades de campoolos axiomas de campoque se han mencionado.

Los nmeros reales cumplen con los nueve axiomas mencionados y ello permite aplicarlos paraabordar algunas otras propiedades que se trabajan. Por ejemplo, qu nos garantiza que sitenemos una expresin x+ z= x+ ypodemos quitar la xen cada miembro y afirmar que z= y?Recuerda que la cantidad de nmeros reales es infinita y no tenemos tiempo para estar

verificando todas las posibilidades. Es posible que en algn momento alguien se encuentrealguna tercia de nmeros que no cumplan con esto? La respuesta es negativa y por losiguiente:


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x+ z= x+ y

(x) + x+ z= (x) + x+ yLe sumamos el inverso aditivo de xa ambos miembros de laigualdad porque tenemos la garanta de que existe por el

axioma 8.[(x) + x] + z= [(x) + x] + y Aplicamos el axioma 3 de asociatividad de la suma.

0 + z= 0 + y Aplicamos el axioma 8 del inverso aditivo.

z= y Aplicamos el axioma 6 del elemento neutro para la suma.

Esta es la que comnmente se le llama ley de cancelacin de la suma. De manera similarexiste una ley de cancelacin de la multiplicacin.

Es importante hacer hincapi en la potencialidad de estas ideas. Podemos garantizar un

hecho que ocurre para todos los elementos de en un conjunto infinitoy hacer afirmacionessin miedo sin tener que verificar todos los casos posibles porque no podramos.

Otro ejemplo es ver si podemos garantizar que cualquier nmero multiplicado por 0 da 0. Enotras palabras, que para cualquier elemento xde los nmeros reales se tiene que x0 = 0. Esoocurrira as:

0 = 0Esta es una propiedad de la igualdad (todo elemento esigual a s mismo).

0 + 0 = 0 Aplicamos el axioma 6 del elemento neutro para la suma.

x(0 + 0) = x0Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por x, unnmero real cualquiera.

x0 + x0 = x0Aplicamos el axioma 5 de distributividad en el miembroizquierdo.

(x0 + x0) + (x0) = x0 + (x0)

Como tenemos la garanta de que x0, como nmero real,tiene inverso aditivo gracias al axioma 8, sumamos aambos miembros de la igualdad dicho inverso aditivo, esdecir, (x0).

x0 + [x0 + (x0)] = x0 + (x0) Aplicamos el axioma 3 de la asociatividad de la suma.

x0 + [x0 + (x0)] = 0Aplicamos el axioma 8 del inverso aditivo en el miembroderecho de la igualdad.

x0 + 0 = 0Aplicamos el axioma 8 del inverso aditivo en el miembroizquierdo de la igualdad.

x0 = 0 Aplicamos el axioma 6 del neutro aditivo.


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No hay peligro con los nmeros reales de que al multiplicar uno de ellos por 0 nos d algodiferente al cero (y eso que hay ms nmeros reales que granos de arena en todas las playasdel planeta).

Actividad 3. Uso de propiedades de campo

Esta actividad te permitir identificar una sucesin de ideas para mostrar la validez de unenunciado sobre los nmeros reales.

1. Descargael documentoAct3. Uso de propiedades de campo.

2. Resuelve los ejercicios que se plantean.

3. Revisala escala de evaluacin de esta actividad, que se encuentra en el documentoCriterios de evaluacin de actividades U1.

4. Cuando concluyas tu actividad gurdalaen un archivo .doccon el nombreLALG_U1_A3_XXYZ y envaloa tu Facilitador(a) para que te retroalimente.

1.2.2. Propiedades de orden

El conjunto de los nmeros reales est ordenado, es decir, cuando se comparan dos nmerosdiferentes entre s se puede establecer si alguno est antes o despus. Esto se denota ms

fcilmente utilizando los smbolos de desigualdad > y b y a< b se llamandesigualdades.

Estas relaciones quedan definidas de la siguiente manera:

a> bsignifica que abes positivo.

a< bsignifica que baes positivo.

Como propiedades generales tenemos que:

a> 0 si y slo si aes positivo.

a< 0 si y slo si aes negativo.

Dada la generalidad en el uso de las literales como representaciones de nmeros cualesquieratenemos que al comparar cualesquiera dos nmeros reales se cumple la ley de la tricotoma:

Si a y b son nmeros reales (a, b) entonces ocurre uno y slo unode los siguientes casos:


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a= b, a> b o bien a< b.

Asimismo, dos nmeros reales tienen el mismo signosin ambos son positivos o negativos, ytienen signos opuestossi uno es positivo y el otro negativo. Esto nos lleva a unas propiedadesampliamente utilizadas pero que vale la pena recordar y que son las leyes de los signos:

Si ay btienen el mismo signo, entonces abyb

ason positivos.

Si ay btienen signos opuestos, entonces abyb

ason negativos.

Considera que, finalmente, la divisin es un producto, ya que 1 bab

a, y entonces todo este

tipo de propiedades que afectan a la multiplicacin afectan automticamente a la divisin.

Es por esto que se dice que los nmeros reales () es un campo ordenado, lo cual no ocurrecon todos los campos (al final del curso se mencionar uno de stos).

1.2.3. Propiedades de completez

Otro de los axiomas que cumplen los nmeros reales es el decompletezo de continuidad.Este axioma se puede expresar como sigue:

Dados dos conjuntos de nmeros reales Ay Bque cumplan que todos los elementos de Ason

menores que todos los elementos de B, existe al menos un nmero real cque cumple

a< c< b,

donde aest en Ay ben B(aAy bB).

Representado esto grficamente utilizando la recta numrica queda como sigue:

Recuerda que en el tema1.2.2 se mencion que los nmeros reales contienen a otros conjuntosde nmeros (los racionales, los enteros, los irracionales) y vamos a recapitular al respecto.


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En primer lugar estn los nmeros naturales(= {1, 2, 3, 4, }) que en la recta numricadejan muchsimo espacio sin tomar en cuenta porque ni el cero, ni lo que est a su izquierda, ni

los puntos entre cada uno de los nmeros naturales son tomados en cuenta. Adems, es fcilnotar que no cumplen con varios axiomas: el 6 sobre la existencia del neutro para la suma, el 8sobre la existencia de los inversos aditivos y el 9 sobre la existencia de los inversosmultiplicativos.

Para compensar algunos problemas prcticos se amplan los nmeros naturales en losnmeros enterosque ya has estado trabajando (= {, 3,2,1, 0, 1, 2, 3, }). Estosnmeros en la recta numrica siguen dejando grandes huecos entre cada uno de ellos yadems sigue sin cumplirse el axioma 9 sobre la existencia de inversos multiplicativos.

Para compensar dicho axioma 9 se amplan los nmeros enteros a los nmeros racionales()

que son los que se pueden expresar como razones (fracciones) donde en el numerador y en eldenominador aparecen nmeros enteros. Los hay positivos, negativos y el cero. Ademsincluyen a todos los enteros porque cada entero puede expresarse como una razn (si pes un

nmero entero se puede expresar como1

p). Tambin es posible expresar los nmeros

racionales con la notacin decimal y entonces sucede que, una de dos, o la serie de decimales

es finita (como en, por ejemplo, 25.04

1 ), o la serie de decimales es infinita pero peridica

o repetitiva(como en, por ejemplo, 1428570.57...142857142828571428570.142857147

1 ).

Uno podra pensar que ya con esto se rellenaron los huecos en la recta numrica, pues se

estn considerando los nmeros que estn entre todos los enteros. Sin embargo no es as,

dnde quedan, por ejemplo, nmeros como y 2 ? ste ltimo es la solucin a la ecuacin

de primer grado x2= 2 que, como vers, tiene como coeficientes nicamente nmeros enteros,as que para ampliar el conjunto de nmeros de tal manera que se incluyeran a las solucionesde este tipo de ecuaciones y otros nmeros importantes se aaden los nmeros irracionales() que son aquellos que no se pueden expresar como razones de nmeros enteros.

Con la unin de estos dos conjuntos (los racionales y los irracionales) se eliminan los huecos yentonces el conjunto resultante, los nmeros reales(), cumple con el axioma de completez.Dicho de otro modo: Este axioma garantiza que entre dos nmeros reales siempreexiste otronmero real.

Recordando un poco lo que trabajaste en las secciones anteriores, si verificas con cualquier n

que observaste te vas a dar cuenta de que aunque nsea primo (y entonces el conjunto es uncampo con las operaciones consideradas como con 7) no se cumple el axioma de completez:


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Si escoges dos elementos cualesquiera no siempre te vas a encontrar otro elemento delconjunto (por ejemplo entre el 3 y el 4 no hay ningn elemento).

Una observacin sobre los irracionales: A diferencia de lo que ocurre con los racionales, en lanotacin decimal la serie de decimales es infinita yno peridica, es decir, que aunquepodemos pensar en un nmero irracional como concepto, no podemos expresar todos susdecimales (o expresar su valor exacto) porque su serie de decimales no va a tener un patrnprevisible. Es por ello que, en realidad, nosotros en la prctica trabajamos con nmerosracionales nada ms, pero los irracionales son necesarios tambin y en muchas ocasiones

conviene dejar el valor exacto (escribir, por ejemplo, 2 y no 1.4142).

Al margen de esta situacin prctica, te has puesto a pensar cul de los dos conjuntos (y )

tiene ms elementos? Considera que si tomamos un solo nmero irracional como 2 y todos

los nmeros racionales (que representaremos por a) se tiene que cada una de las expresionesque se obtienen de la forma 2 + ason nmeros irracionales. Ahora prueba con otros

irracionales como , 3 , 3 2 , etctera, y smales todos los a posibles.

Actividad 4. Trascendencia de las propiedades

Despus de revisar los ejercicios, axiomas y propiedades del tema 1.2. Propiedades de losnmero reales, pudiste observar que en los nmeros reales y en general en todos los camposla divisin entre cero no est definida (esto lo vas a encontrar mucho en tus cursos deClculo). El cero tiene inverso aditivo pero no tiene inverso multiplicativo. Es momento de

opinar acerca de esto!

1. Ingresaal Foro. Trascendencia de las propiedadesy comenta sobre la necesidad deque existan los axiomas de campo, el orden en los nmeros reales y el axioma decompletez, para ello considera las siguientes preguntas:

Qu pasara si se permitiera que todos los nmeros reales tuvieran inversomultiplicativo?

Qu pasara si no se cumpliera el axioma de completez o el orden en losnmeros reales?

Qu pasara si se cambiaran los axiomas de campo? Si tenemos dos nmeros reales diferentes, cmo obtendras otro que

estuviese entre los dos originales?

2. Justificatus opiniones y no slo des argumentos circulares, intercambia puntos de vistapor lo menos con dos compaeros(as).

3. Revisala Rbrica de participacin en forospara que tus aportaciones sean msacertadas.


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Autoevaluacin

Ah llegado el momento de verificar el logro de tu aprendizaje, durante la unidad 1de estaasignatura, te invitamos a resolver el ejercicio de autoevaluacin, para ello ingresa al aulavirtual.

Evidencia de aprendizaje. Propiedades de campo

Sabemos con certeza que has comprendido y practicado los conceptos y formulaciones quehas estudiado en esta unidad, pero ahora tendrs la oportunidad de realizar una evidencia detu aprendizaje.

1. Descargael documento EA. Propiedades de campo

2. Resuelvelas operaciones planteadas

3. Revisala Escala de evaluacinpara que sepas cules criterios te van a evaluar.

4. Cuando concluyas tu evidencia gurdala en un archivo .doc con el nombreLALG_U1_EA_XXYZ y envala a tu Facilitador(a) para que te retroalimente.

Autorreflexin

Adems de enviar tu Evidencia de aprendizaje, es importante que ingresesal foro Preguntasde Autorreflexiny consulteslas preguntas que tu Facilitador(a) presente. A partir de ellas,debes elaborartuAutorreflexinen un archivo de texto. Posteriormente envatu archivomediante la herramientaAutorreflexiones.

Recuerdaque si respondes las preguntas en las tres unidades, obtendrs el 10% de laevaluacin de la asignatura.


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Cierre de la unidad

En esta unidad revisaste las propiedades bsicas de los nmeros que manipulamos en la vidadiaria y que utilizars ampliamente a lo largo de los estudios de tu carrera. Estas propiedadesson tan comunes para nosotros que a veces nos resulta innecesario considerarlas de maneraexplcita; pero para poder entender muchas de las propiedades, aplicaciones y procedimientosque se abordarn ms adelante es necesario estar conscientes de ellas.

De esta manera iniciamos con los sistemas de numeracin y las operaciones en los anillos ncomo un medio para explicitar estas propiedades sin tener que revisar todas las posibilidadesen los nmeros reales () porque es un conjunto infinito.

Los sistemas de numeracin, particularmente la notacin desarrollada en el sistema decimal,los retomars en la prxima unidad, pues los polinomios estn ntimamente relacionados conlos nmeros enteros en su notacin desarrollada y entonces los algoritmos de sus operacionesson semejantes.

Por otro lado, la aplicacin de las propiedades de campo las retomars en las dos unidadessiguientes, pues de hecho son las reglas que te permitirn llevar a cabo procesos comoproductos y factorizaciones de expresiones algebraicas (incluidos los polinomios) y de despejesde ecuaciones para hallar sus soluciones.

Para saber ms

Con la finalidad de ampliar tus conocimientos sobre los temas abordados en esta primeraunidad te recomendamos los siguientes materiales relacionados con la asignatura, para que lospuedas revisar en algn momento:

Para profundizar en el manejo de los sistemas de numeracin puedes revisar loscaptulos 1 Diversin con matemticas, 2 Sistemas de numeracin y 3 Sistemas

matemticos del libro de B.E. Meserve y M.A. Sobel. (2002). Introduccin a lasmatemticas.Mxico: Revert Disponible en:http://books.google.com.mx/books?id=nfYTEuuTjFAC&printsec=frontcover&dq=meserve

&source=bl&ots=SjaoTatHs-&sig=goH6L3ALfSmi-3p6Fu8DnSefQ9Y&hl=es&sa=X&ei=wgJvULWDF8bgyQGYoICgCQ&ved=0CEAQ6AEwAw

Tambin consulta el captulo 4 del libro Matemticas para los estudiantes dehumanidades de Morris Kline, contiene mucha informacin al respecto que te puede sertil. Hay fragmentos de la versin en ingls original que estn disponibles enhttp://books.google.com.mx/books?id=f-e0bro-
http://books.google.com.mx/books?id=nfYTEuuTjFAC&printsec=frontcover&dq=meserve&source=bl&ots=SjaoTatHs-&sig=goH6L3ALfSmi-3p6Fu8DnSefQ9Y&hl=es&sa=X&ei=wgJvULWDF8bgyQGYoICgCQ&ved=0CEAQ6AEwAwhttp://books.google.com.mx/books?id=nfYTEuuTjFAC&printsec=frontcover&dq=meserve&source=bl&ots=SjaoTatHs-&sig=goH6L3ALfSmi-3p6Fu8DnSefQ9Y&hl=es&sa=X&ei=wgJvULWDF8bgyQGYoICgCQ&ved=0CEAQ6AEwAwhttp://books.google.com.mx/books?id=nfYTEuuTjFAC&printsec=frontcover&dq=meserve&source=bl&ots=SjaoTatHs-&sig=goH6L3ALfSmi-3p6Fu8DnSefQ9Y&hl=es&sa=X&ei=wgJvULWDF8bgyQGYoICgCQ&ved=0CEAQ6AEwAwhttp://books.google.com.mx/books?id=nfYTEuuTjFAC&printsec=frontcover&dq=meserve&source=bl&ots=SjaoTatHs-&sig=goH6L3ALfSmi-3p6Fu8DnSefQ9Y&hl=es&sa=X&ei=wgJvULWDF8bgyQGYoICgCQ&ved=0CEAQ6AEwAwhttp://books.google.com.mx/books?id=f-e0bro-0FUC&printsec=frontcover&dq=kline&source=bl&ots=YoxodfbAAD&sig=lm1nMFW5Q5iXoBPVZGp8woXsm5Q&hl=es&sa=X&ei=8SZqUJi6LqP8yAGp8YDICw&redir_esc=y#v=onepage&q&f=falsehttp://books.google.com.mx/books?id=f-e0bro-0FUC&printsec=frontcover&dq=kline&source=bl&ots=YoxodfbAAD&sig=lm1nMFW5Q5iXoBPVZGp8woXsm5Q&hl=es&sa=X&ei=8SZqUJi6LqP8yAGp8YDICw&redir_esc=y#v=onepage&q&f=falsehttp://books.google.com.mx/books?id=nfYTEuuTjFAC&printsec=frontcover&dq=meserve&source=bl&ots=SjaoTatHs-&sig=goH6L3ALfSmi-3p6Fu8DnSefQ9Y&hl=es&sa=X&ei=wgJvULWDF8bgyQGYoICgCQ&ved=0CEAQ6AEwAwhttp://books.google.com.mx/books?id=nfYTEuuTjFAC&printsec=frontcover&dq=meserve&source=bl&ots=SjaoTatHs-&sig=goH6L3ALfSmi-3p6Fu8DnSefQ9Y&hl=es&sa=X&ei=wgJvULWDF8bgyQGYoICgCQ&ved=0CEAQ6AEwAwhttp://books.google.com.mx/books?id=nfYTEuuTjFAC&printsec=frontcover&dq=meserve&source=bl&ots=SjaoTatHs-&sig=goH6L3ALfSmi-3p6Fu8DnSefQ9Y&hl=es&sa=X&ei=wgJvULWDF8bgyQGYoICgCQ&ved=0CEAQ6AEwAwhttp://books.google.com.mx/books?id=nfYTEuuTjFAC&printsec=frontcover&dq=meserve&source=bl&ots=SjaoTatHs-&sig=goH6L3ALfSmi-3p6Fu8DnSefQ9Y&hl=es&sa=X&ei=wgJvULWDF8bgyQGYoICgCQ&ved=0CEAQ6AEwAw


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0FUC&printsec=frontcover&dq=kline&source=bl&ots=YoxodfbAAD&sig=lm1nMFW5Q5iXoBPVZGp8woXsm5Q&hl=es&sa=X&ei=8SZqUJi6LqP8yAGp8YDICw&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false

Para profundizar en el estudio de los axiomas de campo de los nmeros reales puedesver el captulo 1 Conceptosfundamentales de lgebra del libro de E.W. Swokowski yJ.A. Cole (2009)lgebra y trigonometra con geometra analtica.Mxico: CengageLearning. Disponible en:http://books.google.com.mx/books?id=xDL0yU37K4wC&printsec=frontcover&dq=swokowski+algebra+y+trigonometria&source=bl&ots=qrOzRKMdcJ&sig=iIlmr_1ARSIY5q2L-zw5qDmxIXA&hl=es&sa=X&ei=LQBvUL38CqrfyQHCkYHIBA&sqi=2&redir_esc=y

Si te interesa ampliar tu conocimiento sobre los npuedes ver la pginaAritmticamodularen Wikipediaque est disponible en

http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica_modular

Fuentes de consulta

Bsica

Crdenas, Humberto; Lluis, Emilio; Raggi, Francisco y Toms, Francisco (2007).lgebrasuperior. Mxico: Editorial Trillas.

Meserve, Bruce E. y Sobel, Max A. (2002). Introduccin a las matemticas. NuevaMxico: Revert. Disponible en:

http://books.google.com.mx/books?id=nfYTEuuTjFAC&printsec=frontcover&dq=meserve&source=bl&ots=SjaoTatHs-&sig=goH6L3ALfSmi-3p6Fu8DnSefQ9Y&hl=es&sa=X&ei=wgJvULWDF8bgyQGYoICgCQ&ved=0CEAQ6AEw

Aw Oteyza, Elena, et al. (2003).lgebra. Mxico: Pearson Educacin. Disponible

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Swokowski, E.W. y Cole, Jeffery A. (2009).lgebra y trigonometra con geometra

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unidad 1. numeros reales

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