unidad 1 lÓgica proposicional
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22 Intelectum 2.°Intelectum 2.°
PRACTIQUEMOSPRACTIQUEMOS
Nivel 1 (página 8) Unidad 1Nivel 1 (página 8) Unidad 1
Comunicación matemática Comunicación matemática
1.1.
2.2.
3.3.
Razonamiento y demostraciónRazonamiento y demostración
4.4. I. (4I. (4 ++ 3 3 == 7) 7) // (2 (2 ++ 5 5 == 8) 8)
VV // FF // FF
II. II. (3(3 ++ 2 211 5) 5) 00 (2 (2 ++ 4 411 8) 8)
FF 00 VV // VV
III. III. (3(3 ++ 4 4 == 7) 7) && (3 (3 ++ 4 4 == 8) 8)
VV && FF // FF
Los Los valores valores de de verdad verdad serán: serán: FVFFVFClave Clave DD
5.5. (p(p && aaq)q) 00 ( (aarr && s) s) // F F
F F FFpp && aaqq // F F aarr && ss // F F " " " " "" " "
V V F F V V FF
aaqq // F F aarr // V V " " " "
qq == V V rr == F F
Los Los valores valores de de verdad verdad de de p, p, q, q, r r y y s s respectivamente respectivamente son: son: VVFFVVFFPiden Piden los los de de r, r, q q y y p: p: FVVFVV
Clave Clave AA
Resolución de problemas Resolución de problemas
6.6. pp qq (p(p 00 ++q)q) && (p(p // q)q)
V V V V F V V V VV V V V F V V V V
V F V V V F V F FV F V V V F V F F
F V F F F V F F VF V F F F V F F V
F F F V V F F F FF F F V V F F F F
En En la la matriz matriz principal principal existen existen combinaciones combinaciones de de V V y y F, F, entonces entonces el el esquemaesquemaes contingente.es contingente.
Clave BClave B
7.7. Se tiene que pSe tiene que p == V y q V y q == F, entonces: F, entonces:
I.I. ++pp 00 qqF F FF
FF II. II. ++qq ++ ++pp
V V FFFF
III. III. qq && ppF F VV
VV Clave DClave D
8.8. p: 6 es un número par.p: 6 es un número par.
I.I. pp 00 ++ppVV 00 FF
VV
II. II. ++pp // ppFF // VV
FFClave AClave A
9.9. Por dato,Por dato,++pp && q es falso, entonces: q es falso, entonces:
++pp && qq // F F. . ..
V V FF(p(p == F) F)
Luego: Luego:I.I. (p(p // q) q) 00 pp
F F F F FFF F FF
FFII. II. (p(p && q)q) && qq
F F FFV V FF
FF Clave CClave C
10.10.
p p qq (p(p ϕϕ q)q) ϕϕ (q(q ϕϕ ++p)p)
VV VV VV VV VV VV FF
VV FF VV VV FF VV FF
FF VV FF FF VV VV VV
FF FF VV VV FF FF VV
Clave AClave A
Nivel 2 (página 9) Unidad 1Nivel 2 (página 9) Unidad 1 Comunicación matemática Comunicación matemática
11.11.
12.12. I. I. Colombia Colombia es es un país un país sudamericano.sudamericano.
Es Es una una proposición proposición lógica.lógica.
II. 13 II. 13 es es un un número número primo.primo.Es una proposición lógica.Es una proposición lógica.
III. ¿Cómo III. ¿Cómo llegaste? llegaste? (Es (Es una una pregunta)pregunta)No es una proposición lógica.No es una proposición lógica.
`̀ Son proposiciones lógicas I y II. Son proposiciones lógicas I y II.Clave Clave BB
Razonamiento y demostración Razonamiento y demostración
13.13. I. (3I. (3 ++ 7 7 ## 10) 10) && (4 (4 ## 0 0 == 4) 4)
VV && FF // FF
II. (12II. (12 ++ 5 511 15) 15) 00 (5 (522 --10)10)
FF 00 VV // VV
III. (7III. (7 ## 1 1 == 7) 7) // (12 (12 $$ 9 9 ++ 3) 3)
VV // VV // VV
`̀ Son verdaderos II y III. Son verdaderos II y III.Clave Clave BB
14.14.pp qq ((∼∼pp // q)q) ++ (p(p 00 ∼∼q)q)
V V F F V F V V FV V F F V F V V F
V F F F F F V V VV F F F F F V V V
F V V V V F F F FF V V V V F F F F
F F V F F F F V VF F V F F F F V V
`̀ El número de valores falsos en la matriz El número de valores falsos en la matriz principal es 4.principal es 4.Clave Clave DD
Unidad 1Unidad 1 LÓGICA PROPOSICIONALLÓGICA PROPOSICIONAL
22 Intelectum 2.°Intelectum 2.°
PRACTIQUEMOSPRACTIQUEMOS
Nivel 1 (página 8) Unidad 1Nivel 1 (página 8) Unidad 1
Comunicación matemática Comunicación matemática
1.1.
2.2.
3.3.
Razonamiento y demostraciónRazonamiento y demostración
4.4. I. (4I. (4 ++ 3 3 == 7) 7) // (2 (2 ++ 5 5 == 8) 8)
VV // FF // FF
II. II. (3(3 ++ 2 211 5) 5) 00 (2 (2 ++ 4 411 8) 8)
FF 00 VV // VV
III. III. (3(3 ++ 4 4 == 7) 7) && (3 (3 ++ 4 4 == 8) 8)
VV && FF // FF
Los Los valores valores de de verdad verdad serán: serán: FVFFVFClave Clave DD
5.5. (p(p && aaq)q) 00 ( (aarr && s) s) // F F
F F FFpp && aaqq // F F aarr && ss // F F " " " " "" " "
V V F F V V FF
aaqq // F F aarr // V V " " " "
qq == V V rr == F F
Los Los valores valores de de verdad verdad de de p, p, q, q, r r y y s s respectivamente respectivamente son: son: VVFFVVFFPiden Piden los los de de r, r, q q y y p: p: FVVFVV
Clave Clave AA
Resolución de problemas Resolución de problemas
6.6. pp qq (p(p 00 ++q)q) && (p(p // q)q)
V V V V F V V V VV V V V F V V V V
V F V V V F V F FV F V V V F V F F
F V F F F V F F VF V F F F V F F V
F F F V V F F F FF F F V V F F F F
En En la la matriz matriz principal principal existen existen combinaciones combinaciones de de V V y y F, F, entonces entonces el el esquemaesquemaes contingente.es contingente.
Clave BClave B
7.7. Se tiene que pSe tiene que p == V y q V y q == F, entonces: F, entonces:
I.I. ++pp 00 qqF F FF
FF II. II. ++qq ++ ++pp
V V FFFF
III. III. qq && ppF F VV
VV Clave DClave D
8.8. p: 6 es un número par.p: 6 es un número par.
I.I. pp 00 ++ppVV 00 FF
VV
II. II. ++pp // ppFF // VV
FFClave AClave A
9.9. Por dato,Por dato,++pp && q es falso, entonces: q es falso, entonces:
++pp && qq // F F. . ..
V V FF(p(p == F) F)
Luego: Luego:I.I. (p(p // q) q) 00 pp
F F F F FFF F FF
FFII. II. (p(p && q)q) && qq
F F FFV V FF
FF Clave CClave C
10.10.
p p qq (p(p ϕϕ q)q) ϕϕ (q(q ϕϕ ++p)p)
VV VV VV VV VV VV FF
VV FF VV VV FF VV FF
FF VV FF FF VV VV VV
FF FF VV VV FF FF VV
Clave AClave A
Nivel 2 (página 9) Unidad 1Nivel 2 (página 9) Unidad 1 Comunicación matemática Comunicación matemática
11.11.
12.12. I. I. Colombia Colombia es es un país un país sudamericano.sudamericano.
Es Es una una proposición proposición lógica.lógica.
II. 13 II. 13 es es un un número número primo.primo.Es una proposición lógica.Es una proposición lógica.
III. ¿Cómo III. ¿Cómo llegaste? llegaste? (Es (Es una una pregunta)pregunta)No es una proposición lógica.No es una proposición lógica.
`̀ Son proposiciones lógicas I y II. Son proposiciones lógicas I y II.Clave Clave BB
Razonamiento y demostración Razonamiento y demostración
13.13. I. (3I. (3 ++ 7 7 ## 10) 10) && (4 (4 ## 0 0 == 4) 4)
VV && FF // FF
II. (12II. (12 ++ 5 511 15) 15) 00 (5 (522 --10)10)
FF 00 VV // VV
III. (7III. (7 ## 1 1 == 7) 7) // (12 (12 $$ 9 9 ++ 3) 3)
VV // VV // VV
`̀ Son verdaderos II y III. Son verdaderos II y III.Clave Clave BB
14.14.pp qq ((∼∼pp // q)q) ++ (p(p 00 ∼∼q)q)
V V F F V F V V FV V F F V F V V F
V F F F F F V V VV F F F F F V V V
F V V V V F F F FF V V V V F F F F
F F V F F F F V VF F V F F F F V V
`̀ El número de valores falsos en la matriz El número de valores falsos en la matriz principal es 4.principal es 4.Clave Clave DD
Unidad 1Unidad 1 LÓGICA PROPOSICIONALLÓGICA PROPOSICIONAL
33ARITMÉTICA - SOLUCIONARIOARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1UNIDAD 1
Resolución de problemas Resolución de problemas
15.15.pp qq ∼∼ (p(p && ∼∼q)q) ++ (q(q && ∼∼p)p)
V V V V F F F V F FV V V V F F F V F F
V F F V V V F F V FV F F V V V F F V F
F V F F V F F V V VF V F F V F F V V V
F F F F V V F F V VF F F F V V F F V V
En la matriz principal existe combinaciones de F, entonces es unaEn la matriz principal existe combinaciones de F, entonces es unacontradicción.contradicción.
Clave Clave CC
16.16. Se tiene:Se tiene:
++pp++ q q // F F , , pp // q q // FF
Si Si p p = = F F : : VV ++ q q // F F , , FF // F F // F F
FFEntonces: Entonces: pp == F F y y qq == F F
Luego:Luego:
I.I. ++pp // q q " "
V V FFVV
II. pII. p&& q qF F FF
VV
III.III. ++qq 00 ++pp " " " "
V V VVVV
Clave EClave E
17.17. Elaboramos la tabla de verdad:Elaboramos la tabla de verdad:
pp qq (p (p // ++q)q) && ((++pp 00 q)q)
V V VV V V F F V F VF F V F V VV
V F VV F V V VV V F F FF F F FF
F V F F FF V F F F V VV V VV VV
F F F F VF F F F V V VV V VV FF
Clave CClave C
18.18. Elaboramos la tabla de verdad:Elaboramos la tabla de verdad:
pp qq (p (p && ++q)q) 00 (q(q ++ p)p)
V V V F F V V V VV V V F F V V V V
V F V V V V F F VV F V V V V F F V
F V F V F V V F FF V F V F V V F F
F F F V V V F V FF F F V V V F V F
Clave BClave B
19.19.pp qq ((++pp 00 q)q) ++ (p(p && q)q)
V V FV V F V V V VV V V V V VV V
V F F F FV F F F F VV V F FV F F
F V V V VF V V V V VV F V VF V V
F F V V FF F V V F VV F V FF V F
Por lo tanto en la matriz principal, hay 4 valores verdaderos.Por lo tanto en la matriz principal, hay 4 valores verdaderos.Clave Clave EE
20.20. pp&& q q // F F
&& p p == V V y y qq == F F
I. (I. (++pp&& q) q) // ( (++pp&& aaq)q)
(F(F && F) F) // (F (F&& V) V)
VV // VV // V V
II. II. (p(p // ++q)q)&& ( (++pp 00 q) q)
(V(V // V) V)&& (F (F 00 F) F)
VV && FF // F F
Los valores de verdad serán: VFLos valores de verdad serán: VFClave Clave BB
Nivel 3 (página 9) Unidad 1Nivel 3 (página 9) Unidad 1
Comunicación matemática Comunicación matemática
21.21.
22.22.
I. I. El sol El sol es la es la unidad monetaria del unidad monetaria del Perú.Perú.Es Es una una proposición proposición lógica.lógica.
II. II. El violeta El violeta es un es un color secundario.color secundario.Es Es una una proposición proposición lógica.lógica.
III. III. ¿Dónde está Miguel Grau? (Es una pregunta).¿Dónde está Miguel Grau? (Es una pregunta).No es una proposición lógica.No es una proposición lógica.
IV. IV. 49 49 es es un un cubo cubo perfecto.perfecto.Es Es una una proposición proposición lógica.lógica.
V. Buenos V. Buenos días. días. (No (No se se puede puede afirmar afirmar o o negar)negar)No No es es una una proposición proposición lógica.lógica.
Por Por lo lo tanto, tanto, hay hay 3 3 proposiciones proposiciones lógicas.lógicas.
Clave Clave CC
Razonamiento y demostración Razonamiento y demostración
23.23.p p qq (p(p 00 ++q)q) && (p(p // ++q)q)
V VV V VV VV F FF F V FV F FF
V FV F VV VV V VV V V VV V VV
F VF V FF FF F VF V F FF F FF
F FF F FF VV V FV F F FF F VV
Por Por lo lo tanto, tanto, el el n.° n.° de de valores valores verdaderos verdaderos en en la la matriz matriz principal principal es es 2.2.Clave Clave CC
44 Intelectum 2.°Intelectum 2.°
24.24. pp && (q (q 00 r) r) // F F
V V FFqq 00 rr // FF
F F FF Luego: Luego:
pp == V, q V, q == F, r F, r == F F..
I. I. p p es es necesariamente necesariamente verdadero. verdadero. (V)(V)II. II. q q es es siempre siempre verdadero. verdadero. (F)(F)III. III. r r es es verdadero. verdadero. (F)(F)Se Se puede puede afirmar afirmar solo solo I.I.
Clave AClave A
Resolución de problemas Resolución de problemas
25.25. (p(p // q) q)&& (r (r 00 t) t) // F F
V V FFpp // q q // V V rr 00 t t // F F
V V V V F F FF
`̀ Son Son verdaderas: p y verdaderas: p y qqClave BClave B
26.26. Elaboramos la tabla de verdad:Elaboramos la tabla de verdad:
pp qq r r [(p[(p && ++q)q) // r]r] ++ (p(p 99 q)q)
V V V V F F F V V V F VV V V V F F F V V V F V
V V F V F F F F V V F VV V F V F F F F V V F V
V F V V V V V V V V V FV F V V V V V V V V V F
V F F V V V F F F V V FV F F V V V F F F V V F
F V V F V F V V V F V VF V V F V F V V V F V V
F V F F V F F F F F V VF V F F V F F F F F V V
F F V F V V V V F F F FF F V F V V V V F F F F
F F F F V V F F V F F FF F F F V V F F V F F F
`̀ 5 5 -- 3 3 == 2 2Clave BClave B
27.27. I.I. pp qq (p (p && aaq)q) // (q(q // p) p)
VVVVFFFF
VVFFVVFF
VVVVFFFF
FFVVVVVV
FFVVFFVV
FFFFFFFF
VVFFFFFF
Luego, I es contradictorio (F).Luego, I es contradictorio (F).
II. II. pp qq [(q[(q&& p) p) // ( (aaqq 99 p)]p)] // aapp
VVVVFFFF
VVFFVVFF
V V V V F F V V
VVFFFFVV
FFVVFFVV
VVFFFFVV
VVVVFFFF
FFFFFFVV
FFFFVVVV
Luego, II es contingente (C).Luego, II es contingente (C). III. III.
pp qq [p[p && ( (aaqq // p)]p)] 00 [((p[((p ++ q) q) 00 q)q) // qq
VV
VV
FF
FF
VV
FF
VV
FF
VV
VV
FF
FF
FF
VV
VV
VV
FF
VV
FF
FF
VV
VV
VV
VV
VV
FF
FF
VV
VV
FF
VV
VV
VV
FF
VV
FF
VV
FF
VV
FF
VV
FF
VV
FF
Luego, Luego, III III es es tautológica tautológica (T).(T).
Por Por lo lo tanto, tanto, los los esquemas esquemas mostrados mostrados son son FCTFCT..
Clave Clave BB
28.28. (p(p // aat)t)&& (p (p&& r) r) // F F
V V FF
pp // aatt // V V pp && rr // F F
V V V V V V FF
aatt // V V
tt == F F
pp == V, r V, r == F, t F, t == F F..
I. I. (p(p ++ t) t) // ++r r (V(V ++ F) F) // VV
FF // VV // FF
II. II. ((aarr 00 p) p) && ( (aatt // r) r)(V(V 00 V) V) && (V (V // F) F)
VV && FF // FF`̀ FFFF
Clave Clave DD
29.29. (p(p // aaq)q) && (p (p && r) r) // F F
V V FF
pp //aaqq // V y V y pp && rr // F F
V V V V V V FF
aaqq // VV
Luego:Luego:pp == V, q V, q == F, r F, r == F F..
I. I. (V) (V) pp // qq
VV // FF // F F
II. II. (V) (V) rr && qq
FF && FF // VV
III. III. (V)(V) aaqq 00 pp
VV 00 VV // V VClave Clave DD
30.30. Si Carlos Si Carlos no es abogado no es abogado yy
++qq //
no es cierto que Luis es doctor, entoncesno es cierto que Luis es doctor, entonces
++pp &&
Luis Luis no no es es doctor o doctor o Pedro Pedro es es ingeniero.ingeniero.++pp 00 r r
La forma simbólica será:La forma simbólica será:((++qq // ++p)p)&& ( (++pp 00 r) r)
Clave Clave CC
5ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
TEORÍA DE CONJUNTOS
PRACTIQUEMOS
Nivel 1 (página 13) Unidad 1
Comunicación matemática
1. Tenemos:A= {m; {m}; Q; {Q}}Luego:I. {m} ! A V
II. Q 1 A VIII. {Q} ! A VIV. {m; Q}! A F
2. Tenemos:B = {a; m; {m; n}; {a; m; p}}I. m " B F
II. {m; n} ! B V
III. a 1 B F
IV. {a; m; p} 1 B F
3. Tenemos:A= {11; 12; 13; 14; 15}; B= {12; 13}
a) A + B = {12; 13} = B
b) A= {x / x !N; 10 < x < 16}
c) n(A,B) = 5
d) n(B) = 2
Razonamiento y demostración
4. A= {1; 2; {3; 4}; {{5}}; {{{6}}}}Q 1A …(V)
2 ! A …(V)
{5} 1 A …(F)
{{5}} 1 A …(F)
{{{5}}}1 A …(V)
{{{6}}}1 A …(F)
` 3 son verdaderasClave A
5. Tenemos:5a1 2a + 123a 1 12a 1 4
0; 1; 2; 3& a + 7: 7; 8; 9; 10
Luego:G = {7; 8; 9; 10}
a) F b) V c) V d) V
Resolución de problemas
6. Q = {x / x !Z+; -2 1 x 1 6}
Q = {1; 2; 3; 4; 5} & n(Q) = 5
Piden: n[P(Q)] = 2n(Q) = 25 = 32
` n[P(Q)] = 32Clave D
7. M = {a + b; 12}N = {a - b; 6}Por ser conjuntos unitarios se cumple:a + b = 12 / a - b = 6Resolviendo: a = 9 / b = 3
Clave A
8. P = {x2 + 3; 28}R = {y + 5; 12}Por ser conjuntos unitarios se cumple:& x2 + 3 = 28 / y + 5 = 12
x2 = 25 y = 7x = 5
Piden: x - y = 5 - 7 = -2Clave B
9. Si: n(A) = 2& n[P(A)] = 2n(A) = 22 = 4
El conjunto P(A) tiene 4 elementos.
& El conjunto P(P(A)) tendrá:
n[P(P(A))] = 2n[P(A)] = 24 = 16
` n[P(P(A))]= 16Clave E
10. M = {...; -5; -3; -1; 1; 3; 5; 7; 9; ...}N = {...; -4; -2; 0; 2; 4; 6; 8; 10; ...}
I. M + N = {0} (F), M + N = QII. Mc = N (V)
III. M , N ! Z+ (F), M , N 1 ZClave E
Nivel 2 (página 14) Unidad 1
Comunicación matemática
11. Tenemos:A = {2; {2; 4}; {{1; 4}}; {{{6}}}}
Luego:I. Q ! A F
II. 4 ! A F
III. 5 " A V
IV. {2; 4} ! A V
12. Tenemos:A = {1; 4, 9}B = {4; 5; 6}
Luego:a) A= {x2 / x !N; 1 G x G 3}
B = {x / x !N; 4 G x G 6}b) A + B = {4}
c) n(B) = 3
d) n(A,B) = 5
Razonamiento y demostración
13. Determinamos por extensión a los conjuntosA y B:
; ; ; A5
1
5
4
5
72= ' 1
B = {2} Luego:
a) F b) F c) F d) V
14. Tenemos que a ≠ b, entonces:A = B = {a; b}
Luego:
I. A,B ≠ A+B F
II. A = B V
III. Ac≠ Bc F
IV. A 1 B V
Resolución de problemas
15. M = {1; 2; 3; 4;...}N = {...; -4; -3; -2; -1}
I. M + N = {0} (F), M + N = QII. Mc = N (F), Mc = {0} , NIII. M , N ! Z+ (F), M , N 1 Z
Clave D
16. Dato: A 1 B 1 C n(B) = n(A) + 5 n(C) = 2 # n(B) n(A)+ n(B)+ n(C) = 27 Sea: n(A) = a n(B) = b n(C) = c
& b = a + 5a = b - 5
& c = 2ba + b + c = 27
4b - 5 = 27b = 32b = 8
& b = 8 / a = 3 / c = 16
C
B
A3
5
8
Del gráfico: n(C - B) = 8 n[P(C - B)] = 28
` n[P(C - B)] = 256Clave C
17. Datos:
• n(A - B) = 2
• n[P(B - A)] = 16
& 2n(B - A) = 24
n(B - A) = 4
• n [P(A , B)] = 256
& 2n(A , B) = 28
n(A, B) = 8
Sabemos:
n(A , B) - n(A + B) = n(A - B) + n(B - A)8 - n(A + B) = 2 + 4
n(A + B) = 2
Piden:
n[P(A + B)] + n(A + B)= 2n(A + B) + 2 = 22 + 2 = 6
Clave D
18. Como A y B son comparables y por daton(B - A) = 6, se deduce que A 1 B.
A
B
x 6
6 Intelectum 2.°
Además, del enunciado:n(A , B) = 9
x + 6 = 9 & x = 3` n(A) = 3
Clave C
19. n(U) = 70n(Ac) = 43 & n(A) = n(U) - n(A’)
n(A) = 70 - 43 n(A) = 27
n(Bc) = 34 & n(B) = n(U) - n(B’) n(B) = 70 - 34 n(B) = 36 Además: n(A - B) = 19
A (27) B (36)
19 x
70& 19 + x = 27
` x = 8Clave A
20. I (574) A (726)
1000
574 x- x 7 26 x-
250
& 574- x+ x+ 726- x+ 250= 1000 1550 - x = 1000 550 = x
Clave A
Nivel 3 (página 14) Unidad 1
Comunicación matemática
21. Tenemos:A= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}B = {0; 1; 2}C = {5; 7; 8}a) A= {x / x !N / x G 6}
b) n(A) = 7c) B = {x / x !N / x 1 3}
d) n(C) = 3
22. B = {0; 1; 2; 3}A= Qa) n(A) + n(B) = 0 + 4 = 4b) B = {x / x !N; x 1 4}c) A = {x / x !N / 2x = 3}d) B + U = B = {0; 1; 2; 3}
Razonamiento y demostración
23. Por dato:n.º subconjuntos propios de A= 2n(A) - 1
Entonces:15 = 2n(A)- 116 = 2n(A)
& n(A) = 4; n[P(A)] = 24 = 16Por lo tanto, la afirmación incorrecta es n[P(A)] = 8.
Clave D
24. I. (V)Como A= B, a; b!Z+ entonces a≠ 2a≠ 4aa = 3 / 2b = 6
b = 3 Luego:
a + b = 6
II. (F)
n(A) = 3
III. (V)
De (I): a = 3 = b
IV. (F)
Resolución de problemas
25. C (124) P (187)
500
124 x- x 1 87 x-
200
& 124 - x + x + 187 - x + 200 = 500 511- x = 500
11= xClave D
26. U (120)
30
x65 - x 58 - x
F(65) C(58)
Luego:30 + 65 + 58 - x = 120` x = 33
Clave E
27. Del enunciado tenemos:
2 8 3
1010
6
9
2
50C(35)
M (30) F(30)
Se observa que 2 no aprueban ningún curso.Clave C
28. U (120)
M(60)
H(90)
F(80)
a c
b
40 - c
50 - a - c
40 - b
Dato: todos aprobaron por lo menos 1 curso.& 120 = 60 + 90 - b - c - a` a + b + c = 30 Clave B
29.
50 x-
B A
C
0
0 40 x-
60 x-
0
100
x
& 40 - x + 60 - x + 50 - x + x = 100 150 - 2x = 100
50 = 2x25 = x
` Hay 25 personas que leen las 3 revistas.
Clave C
30. En el salón hay m alumnos.Los conjuntos A y B son los cursos.
A(n)
n- x x p- x
B(p)
U(m)
n- x+ x+ p- x= mx= n- m + p
Piden los que prefieren solo A:n - x = n - (n - m + p)n - x = m - p
Clave C
7ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
PRACTIQUEMOSNivel 1 (página 18) Unidad 1
Comunicación matemática
1.
2.
3.
Razonamiento y demostración
4. I. (V)
aaaa(b) = b4 - 1
aaaa(b) = (b- 1) (b- 1) (b- 1) (b- 1)(b)
a = b - 1
II. (F)
111213= 10+ 1+ 2+ 3= 16= 42
! 43
III. (V)
V. R. (2) = 2 # 10
= 4 # 5
= V. A.(4) # V. A. (5)Clave A
5. De la expresión:
a(a - 3)(a - 3)(n) = mn(2m)(6)
Se observa:a $ 3m: 1; 2n1 6
Luego:I. F II. F III. V
Clave C
Resolución de problemas
6. ab = 88(9)
ab = 9(8) + 8ab = 80Piden: a + b = 8 + 0 = 8
Clave C
7. 110(5) = ab
52(1) + 5(1) + 0 = ab25 + 5 = ab = 30` a = 3 / b = 0Piden: a + b = 3 + 0 = 3
Clave B
8. 202(3) = pq
32(2) + 3(0) + 2 = pq
18 + 2 = pq
20 = pq & p = 2 / q = 0
Piden: p2 + q2 = 22 + 02 = 4Clave C
9. 130(7) = mn
72(1) + 7(3) + 0 = mn49 + 21 = mn & mn = 70` m = 7 / n = 0Piden: m + n2 = 7 + 02 = 7
Clave B
10. 46(n) = 74
4n + 6 = 744n = 68` n = 17
Clave C
Nivel 2 (página 18) Unidad 1
Comunicación matemática
11.
12.
Razonamiento y demostración
13. I. (V)
Si el numeral a a a1 a2 3
22_ _ _i i i está bien
escrito, entonces:
a31 2a2
a 1 2
& a = 1; (2a2$ 2)
II. (F)
a12
10n
b _ li = (n + a)2 ! (2n + a)2
III. (V)
ma(2) = 1a(2); 01 m1 2
1
mb(2) = 1b(2);
Luego:
1a(2)+ 1b(2)= 2+ a+ 2+ b= 4+ a+ b
14. Se observa que n puede ser 0 ó 1.
Si: n = 0
101010 2_ i
= 2 (no cumple)
Si: n = 1
3211
11 2_ i= 322 + 2 = 32(4) = 14 (sí cumple)
Luego:I. F II. V III. F
Clave B
Resolución de problemas
15. 53(a) = 48
5a + 3 = 48
5a = 45
a = 9
Piden: a3 + 1 = 93 + 1 = 730Clave E
16. 10 = a3(4) - 1
11= 4a + 3
8 = 4a
` a = 2Clave A
17. n5(6) = 29
6n + 5 = 29
6n = 24
` n = 4
Clave E
18. 1101(2) = ab
23(1) + 22(1) + 2(0) + 1 = ab
8 + 4 + 1 = ab
13 = ab
& a = 1 / b = 3
Piden:a + b = 1 + 3 = 4
Clave A
19. nn(9)= 80
9n + n = 80
10n = 80
` n = 8Clave D
20. 2ab + ba + 7 = 31a
(200+ 10a+ b)+ (10b+ a)+ 7= 310+ a
207 + 11a+ 11b= 310 + a
11b + 10a = 103. .
3 7& a = 7 / b = 3
Piden:
a2 - b2 = 72 - 32 = 49 - 9 = 40Clave A
Nivel 3 (página 19) Unidad 1
Comunicación matemática
21.
22. Se observa:
31 a1 c; b 1 c; c 1 7
Además:
aa(c)1 ba(c)
a # c 1 b # c
a1 b
Luego:
31 a1 b 1 c 1 7. . .
4 5 6
Nos piden:a + b + c = 4 + 5 + 6 = 15
Clave E
NUMERACIÓN
40 - b
8 Intelectum 2.°
Razonamiento y demostración
23. I. V
m2# ab = 2200(m)
m2# ab = 22(m) # m2
ab = 22(m)
ab = (2m + 2)2
Sabemos que m > 2; además, para que(2m + 2)2 sea de dos cifras, m solo puede serigual a 3.
ab = (2(3) + 2)2 = 64
II. V
b b1 2 2
( )a^ ^h h = a2 + (2b) # a + b2
= a2 + 2ab + b2
= (a + b)2
Se sabe que a > 2 y que b puede ser iguala cero, entonces:(a + b)2 = (a + 2b)2
a2 = a2
III. V
b ab n n07
2 ab2
=`^
^^
jh
hh
Se observa:01 b12 y 0 1 a 1 2 & b = a = 1
Luego:
n n1 11 027
11 2=^ ^
^ ^hh
h h
13(7) = n0n(3)
10 = 9n + n
10 = 10n
& n = 1Se cumple
a2 + b2 = 1 + 1 = 2 = n2 + 1
24. I. V
[(n - 1)(n - 1) (n - 1)(n) + 1]2 =
[(m - 1) (m - 1)(m) + 1]3
[(n3 - 1) + 1]2 = [(m2 - 1) + 1]3
(n3)2 = (m2)3
n6 = m6
& n = m
II. F
Por dato, el conjunto A es unitario, entonces:56(n) = aab(4) = 65(n - 1)
Luego:
56(n) = 65(n - 1)
5n + 6 = 6(n - 1) + 5
5n + 6 = 6n - 1
7 = n
Entonces: aab(4) = 41 = 221(4)
Por lo tanto: a + b = 2 + 1 = 3
III. V
ab # ba(n) = 169
ab # ba(n) = 13 # 13
a = 1 / b = 3
Luego:31(n) = 133n + 1 = 13n = 4
Por lo tanto:n2 + a2 + b2 = 42 + 12 + 32 = 26
Resolución de problemas
25. x01(5) = 203(7)
A base 10:x . 52 + 0 . 5 + 1 = 2 . 72 + 0 . 7 + 3
25x + 1 = 98 + 3 25x = 100
` x = 4Clave B
26. n53(7) = 1n1n(5)
A base 10:
n . 72+ 5 . 7+ 3= 1 . 53
+ n . 52+ 1 . 5+ n
49n + 35 + 3 = 125 + 25n + 5 + n
49n + 38 = 130 + 26n
49n - 26n = 130 - 38
23n = 92
` n = 4Clave E
27. 235(7) a base 3:
235(7) = 2 . 72 + 3 . 7 + 5 = 124
124 a base 3:
124 3
1 41 3
2 13 3
1 4 3
1 1
` 235(7) = 11121(3)
Clave E
28. aa0(5) = 30
52(a) + 5(a) = 30
25a + 5a = 30
30a = 30 & a = 1
Piden:E = a3 + a2 - a = 13 + 12 - 1 = 1
Clave E
29. 11ba a ab21( )3+ = -
11b+ 10a = 103. .
3 7& a = 7 / b = 3
Piden:a2 - b2 = 72 - 32 = 49 - 9 = 40
Clave A
30. 3yy(9) = (y + 1)(y + 1)3(7)
A base 10:
3 . 92+ y . 9+ y= (y+ 1) . 72
+ (y+ 1)7+ 3
243 + 10y = 49y + 49 + 7y + 7 + 3
243 + 10y = 56y + 59
56y - 10y = 243 - 59
46y = 184
` y = 4
Clave C
31. 125(6) = 104(n)
1 # 62 + 2 # 6 + 5 = n2 + 4
53 = n2 + 4
49 = n2
& n = 7
Clave B
32. ppp(3) + qq(4) = 111(5)
p # 111(3) + q # 11(4) = 111(5)
13p + 5q = 31" "
2 1
Piden: p2 - q3 = 4 - 1 = 3
Clave B
33. pr (a); aab(c); 4abc(5); 1a(b)
1 < a < b < c < 5" " "
2 3 4
Piden: 2 + 3 + 4 = 9
Clave B
9ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
34.+ -
164(n) = 13(m � 1)(m)- +
6< n< m
13(m � 1)(m)= 115(9)
& 6< n< m< 9" "
7 8
Piden: n2 + m = 49 + 8 = 57
Clave A
35. m(m + 1)(m + 3)(5) = abc(m + 3)
m + 3 < 50 < m < 2
"
1
& 124(5) = 39 = abc(4)
& abc(4) = 213(4)
a = 2; b = 1; c = 3
Piden: a2 + b2 + c2 = 22 + 12 + 32 = 14
Clave E
36.
- +
+ �
n54(x) = n30(9)
5 < x < 9; n < 9
6; 7; 8
nx2 + 5x + 4 = 81n + 27
nx2 + 5x = 81n + 23
5x = n(81 - x2) + 23 & n =x
x
81
5 232
-
-
• x = 6: n45
7g= Z
+
• x = 7: n32
12g= Z
+
• x = 8: n17
17!= Z
+
Clave C
37. 156(a)= a2+ 5a+ 6= (a+ 3)(a+ 2)= (a+ 2)0(a+ 3)
Por dato:a + 2 = 9a = 7Piden: a2 + 1 = 50
Clave C
38. 1a1(b) + 2b(c) + xxxx(a) = def (5)
1 < a < b < c < 5
2 3 4121(3) + 23(4) + 1111(2) = def (5)
16 + 11+ 15 = def (5)
42 = def (5)
132(5) = def (5)
d = 1; e = 3; f = 2
Piden: 12 + 3 + 2 = 6
Clave D
39. p3 - 1 = 508(12)
p3- 1 = 728
p3 = 729
p = 9
Clave D
40. xyxy + 79xy = 4140
101xy + 79xy = 4140
180xy = 4140
xy = 23
` xyxy = 2323Clave B
41. 143(10)(11)+ 2= 1441(11)
Clave C
42. ab(5)+ a+ b= 28; a; b < 5
6a+ 2b= 28
3a+ b= 14
1 11
2 8
3 5
4 2
Piden:
2 # 4 = 8 = 1000(2)
Clave E
10 Intelectum 2.°
PRACTIQUEMOS
Nivel 1 (página 23) Unidad 1
Comunicación matemática
1.
2. cba +321ba9
a + 1 = 9 & a = 8
b + 2 = 8 & b = 6
c + 3 = 6 & c = 3
Luego:
I. a + b + c = 8 + 6 + 3 = 17
II. ab - cc = 86 - 33 = 53
III. (1c)a - b = 132 = 169
3. I. 16 * 10 + 17 * 18 = 1160 + 1178 = 2338
II. *
100
10 10
100
1100= = 11
III. C. A. (20 * 30) = C.A. (3200) =
= 10 000 - 3200 = 6800
Razonamiento y demostración
4. aa + bb + cc + dd = 44
& a, b, c, d ! Z+
Luego:
a # 11+ b # 11+ c # 11+ d # 11= 44
11(a+ b + c + d) = 44
a + b + c + d = 4. . . .
1 1 1 1
Por lo tanto:I. F II. F III. V
5. Del enunciado:
k términos
2pq; ...; ba - r; ba; ...; 2ab
(k - 1) términos k términos
Donde b > a, entonces:
r
ba pq
r ab ba2
1 2 1-
+ =-
+
ba - 2pq = 2ab - ba
2ba - 2ab = 2 # pq
ba - ab = pq (b > a)
Luego:I. V
p + q = 9
II. F(b - 1) - a = p b - a - 1 = p
III. Vtn = 2(54) + 12(n - 1) = 96 + 12n
Resolución de problemas
6. x + y + z = 17
111 xyxy +
& zxyz yzzx 18887
Clave A
7. M + S + D = 400
& 2M = 400
M =2
400
` M = 200
Clave B
8.
7 +
77 777
777757 sumandos
(57 cifras)" 7…7777…abc
En las unidades: 7 # 57 = 399
& Colocamos 9 y llevamos 39 & c = 9
En las decenas: 39 + 7 . 56 = 431
56 sumandos
& Colocamos 1 y llevamos 43 & b = 1
En las centenas: 43 + 7 # 55 = 428
55 sumandos& Colocamos 8 y llevamos 42 & a = 8
Piden: a . b . c = 8 . 1 . 9 = 72
Clave D
9. xyz - zyx = 4ab
Por propiedad: a= 94 + b = 9 & b = 5
Piden:
a2 + b2 = 92 + 52 = 106
Clave B
10. 11a+ 22a+ 33a+ …+ 99a= d(c - 4)b3
(110+ a)+ (220+ a)+ (330+ a)+…+ (990+ a)
9 sumandos = d(c- 4)b3
110(1 + 2 + 3+ … + 9) + 9(a) = d(c - 4)b3
110 .
2
9 10d n + 9(a) = d(c - 4)b3
4950 + 9a = d(c - 4)b3.
7 termina en 3
& 4950 + 9(7) = d(c - 4)b3
5013 = d(c - 4)b3
& d = 5; c = 4; b = 1
Piden:
a + b + c + d = 7 + 1 + 4 + 5 = 17
Clave C
Nivel 2 (página 23) Unidad 1
Comunicación matemática
11. Como: a0c -
c0a
xyz
Entonces:
I. y = 9
II. x + z = 9
III. SI x = 1, entonces a - c = 1 + 1 = 2(a - c = x + 1)
12.
3 #
4 7
3 3
8
5 8 1
2
3 9 0 1
I. 581 + 332 = 913
II. 3 + 9 + 1 = 13
III. 8 # 3 = 24
Razonamiento y demostración
13. ba7 + mn = 7ab
& 7ab - ba7 = mn, b < 7
Luego:
m = 9; n = 9; (7 - 1) - b = 0b = 6
Por lo tanto
I. V
II. F
III. V
14. p + p + p + ... + p = ab0(m)
m veces
OPERACIONES BÁSICAS EN EL CONJUNTO Z+