undulating relativity + § 28

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Autor: Alfredo Dimas Moreira Garcia. E-mail: [email protected]

Resumo

A Teoria da Relatividade Especial conduz a dois resultados, considerados incompreensíveis por vários renomados físicos, que são a dilatação do tempo e a denominada contração espacial de Lorentz. A solução desses paradoxos me conduziu ao desenvolvimento da Relatividade Ondulatória onde a variação temporal é devida à diferença nos percursos de propagação da luz e o espaço é constante entre os observadores. Da análise do desenvolvimento da Relatividade Ondulatória podemos sintetizar as seguintes conclusões: -é uma teoria com princípios totalmente físicos, -as transformações são lineares, -matem intactos os princípios Euclidianos, -considera a transformação de Galileu distinta em cada referencial, -une a velocidade da luz e o tempo em um único fenômeno, -desenvolve uma translação real entre os referenciais. A Relatividade Ondulatória (RO) fornece um conjunto de transformações entre dois referenciais em movimento relativo uniforme, diferentes das obtidas com as transformações de Lorents, para: Espaço

(x,y,z), Tempo (t), Velocidade (u

), Aceleração (a

), Energia ( E ), Momento ( p

), Força (F

), Campo elétrico

( E

), Campo magnético ( B

), Freqüência da luz ( y ), Corrente Elétrica ( J

) e Densidade de Carga Elétrica (

ρ ).

Tanto a Relatividade ondulatória quanto a Relatividade Especial de Albert Einstein explicam, a experiência de Michel-Morley, o efeito Doppler longitudinal e transversal e fornecem fórmulas exatamente idênticas para:

Aberração do zênite 2

2

c

v1/

c

vtangα .

Fórmula de Fresnel )n

1v(1

n

cc'

2 .

Massa (m ) com velocidade (u ) = [massa de repouso (mo )]/2

2

c

u1 .

Energia 2c.mE .

Momento

2

2

c

u1

u.mop

.

Relação entre Momento (p) e Energia (E) 222 .. pcmocE .

Relação entre os Campos Elétrico ( E

) e Magnético ( B

) Ec

vB

2

.

Fórmula de Biot-Savart uR

IB o

2

.

Equação da onda de Louis De Broglie

ux

tπγ2sen.at)ψ(x, onde vc

u2

.

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Com as equações de transformações entre dois referenciais da RO, obtêm-se a invariância de forma para as equações de Maxwell, seguintes:

0.Ediv;εο

ρEdiv

0.Bdiv

.

t

BERot

.t

E.μο.εοBRot;

t

E.μο.εοj.μοBRot

Obtêm-se inclusive a invariância de forma para a equação da onda e equação de continuidade sob forma diferencial:

0tc

1

zyx 2

2

22

2

2

2

2

2

0J.t

ρ

.

Outros trabalhos: §9 O Efeito Sagnac. §10 A experiência de Ives-Stilwell. §11 Transformação entre dois referenciais da potencia dos raios luminosos de uma fonte na Teoria da Relatividade Especial. §12 Linearidade. §13 Richard C. Tolman. §14 Composição de Velocidade. §15 Invariância. §16 Tempo e freqüência. §17 Transformação de H. Lorentz §18 A Experiência de Michelson & Morley §19 Retrocesso do periélio de Mercúrio de –7,13” §§19 Avanço do periélio de Mercúrio de 42,79” §20 Inércia §20 Inércia (esclarecimentos) §21 Avanço do Periélio de Mercúrio de 42,79” calculado com a Relatividade Ondulatória §22 Deformação espacial §23 Curvatura do Espaço e Tempo §24 Princípio Variacional §24 Princípio Variacional continuação §25 Espiral logarítmica §26 Avanço do Periélio de Mercúrio de 42,99” §27 Avanço do Periélio de Mercúrio de 42,99” Condições de contorno §28 Avanço do Periélio simplificado

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Relatividade Ondulatória

§1 Transformações para Espaço e Tempo A Relatividade Ondulatória (RO) mantém o princípio da relatividade (a) e o princípio da Constancia da velocidade da luz (b), exatamente iguais a Teoria da Relatividade Especial (TRE), que Albert Einstein assim definiu: a) As leis segundo as quais se modificam os estados dos sistemas físicos são as mesmas, quer sejam referidas a um determinado sistema de coordenadas, quer o sejam a qualquer outro que tenha movimento de translação uniforme em relação ao primeiro. b) Qualquer raio de luz move-se no sistema de coordenadas “em repouso” com velocidade determinada c, que é a mesma, quer esse raio seja emitido por um corpo em repouso, quer o seja por um corpo em movimento (que explica a experiência de Michel-Morley). Imaginemos inicialmente dois observadores O e O’ (no vácuo), movendo-se um em relação ao outro em movimento uniforme de translação, isto é, os observadores não giram relativamente um ao outro. Assim o Observador O, solidário aos eixos x, y e z de um sistema de coordenadas Cartesianas retangulares, vê o observador O’ mover-se com velocidade v, no sentido positivo do eixo x, com os respectivos eixos paralelos e deslizando ao longo do eixo x, enquanto que O’, solidário aos eixos x’, y’ e z’ de um sistema de coordenadas Cartesianas retangulares, vê O mover-se com velocidade –v’, no sentido negativo do eixo x’, com os respectivos eixos paralelos e deslizando ao longo do eixo x’. O observador O mede o tempo t e o observador O’ mede o tempo t’ (t ≠ t’). Admitamos que, ambos os observadores acertem seus relógios de modo que, quando ocorrer à coincidência das origens dos sistemas de coordenadas t = t’ = zero. No instante que t = t’ = 0, um raio de luz é projetado a partir da origem comum aos dois observadores. Decorrido o intervalo de tempo t o observador O notará que seu raio de luz atingiu simultaneamente com o de O’ o ponto A de coordenadas (x,y,z) com velocidade c e que a origem do sistema do observador O’ percorreu a distância v t ao longo do sentido positivo do eixo x , concluindo que: x2 + y2 + z2 – c2 t2 = 0 1.1 x’ = x – v t. 1.2 Semelhantemente, decorrido o intervalo de tempo t’ o observador O’ notará que seu raio de luz atingiu simultaneamente com o de O o ponto A de coordenadas (x’,y’,z’) com velocidade c e que a origem do sistema do observador O percorreu a distância v’ t’ ao longo do sentido negativo do eixo x’, concluindo que: x’2 + y’2 + z’2 – c2 t’2 = 0 1.3 x = x’ + v’ t’. 1.4 Igualando 1.1 com 1.3 temos x2 + y2 + z2 – c2 t2 = x’2 + y’2 + z’2 – c2 t’2. 1.5 Devido à simetria y = y’ e z = z’, que simplificam 1.5 em x2 – c2 t2 = x’2 – c2 t’2. 1.6 Para o observador O x’ = x – v t (1.2) que aplicado em 1.6 fornece x2 – c2 t2 = (x – v t)2 – c2 t’2 de onde:

tc

vx

c

vtt

22

2 21' . 1.7

Para o observador O’ x = x’ + v’ t’ (1.4) que aplicado em 1.6 fornece (x’ + v’ t’)2 – c2 t2 = x’2 – c2 t’2 de onde:

'

''2'1'

22

2

tc

xv

c

vtt . 1.8

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Quadro I, transformações para o espaço e tempo x’ = x – v t 1.2 x = x’ + v’ t’ 1.4 y’ = y 1.2.1 y = y’ 1.4.1 z’ = z 1.2.2 z = z’ 1.4.2

tc

vx

c

vtt

22

2 21'

1.7

'

''2'1'

22

2

tc

xv

c

vtt

1.8

Do sistema de equações formado por 1.2 e 1.4 encontramos

v t = v’ t’ ou '' tvtv (considerando t>o e t’>0) 1.9

o que demonstra a invariância do espaço na relatividade ondulatória. Do sistema de equações formado por 1.7 e 1.8 encontramos

tc

vx

c

v22

2 21 .

'

''2'1

22

2

tc

xv

c

v = 1. 1.10

Se em 1.2 x’ = 0 então x = v t, que aplicadas em 1.10 fornece,

2

2

1c

v .

2

2'1

c

v = 1. 1.11

Se em 1.10 x = ct e x’ = c t’ então

1c

'v1.

c

v1

. 1.12

Para o observador O, o principio da Constância da velocidade da luz, garante que as componentes ux, uy e uz da velocidade da luz, também são constantes ao longo de seus eixos, por isso

uzdt

dz

t

zuy

dt

dy

t

yux

dt

dx

t

x ,, 1.13

e com isso podemos escrever

tc

vx

c

v22

2 21 =

22

2 21

c

vux

c

v . 1.14

Com a utilização de 1.7 e 1.9 e 1.14 podemos escrever

t

t

v

v '

' =

tc

vx

c

v22

2 21 =

22

2 21

c

vux

c

v . 1.15

Diferenciando 1.9 com v e v’ constantes, ou seja, somente o tempo variando temos

''dtvdtv ou dt

dt

v

v '

' , 1.16

mas de 1.15 22

2

c

vux2

c

v1

'v

v então

22

2 21'

c

vux

c

vdtdt . 1.17

Sendo v e v’ constantes as razões 'v

v e

t

t ' em 1.15 também devem ser constantes, por isso o diferencial

de tc

vx

c

v22

2 21 deve ser igual a zero, de onde deduz-se ux

dt

dx

t

x , que é exatamente igual a 1.13.

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Para o observador O’, o principio da Constância da velocidade da luz, garante que as componentes, u’x’, u’y’ e u’z’ da velocidade da luz, também são constantes ao longo de seus eixos, por isso

'''

'

'

',''

'

'

'

',''

'

'

'

'zu

dt

dz

t

zyu

dt

dy

t

yxu

dt

dx

t

x , 1.18

e com isso podemos escrever,

'

''2'1

22

2

tc

xv

c

v =

22

2 '''2'1

c

xuv

c

v . 1.19

Com a utilização de 1.8, 1.9 e 1.19 podemos escrever

'

'

t

t

v

v =

'

''2'1

22

2

tc

xv

c

v =

22

2 '''2'1

c

xuv

c

v . 1.20

Diferenciando 1.9 com v’ e v constantes, ou seja, somente o tempo variando temos

dtvdtv '' ou '

'

dt

dt

v

v , 1.21

mas de 1.20 22

2 '''2'1

'

c

xuv

c

v

v

v então

22

2 '''2'1'

c

xuv

c

vdtdt . 1.22

Sendo v’ e v constante as razões v

v' e

't

t em 1.20 também deve ser constante, por isso o diferencial de

'

''2'1

22

2

tc

xv

c

v deve ser igual à zero, de onde se deduz ''

'

'

'

'xu

dt

dx

t

x , que é exatamente igual a 1.18.

Substituindo 1.14 e 1.19 em 1.10 obtemos,

22

2 21

c

vux

c

v .

22

2 '''2'1

c

xuv

c

v = 1. 1.23

Para o observador O, o vetor posição do ponto A de coordenadas (x,y,z) é

kzjyixR

1.24

e o vetor posição da origem do sistema do observador O’ é

kjivtoR

00' ivtoR

' . 1.25

Para o observador O’, o vetor posição do ponto A de coordenadas (x’,y’,z’) é

kzjyixR

'''' , 1.26

e o vetor posição da origem do sistema do observador O é

k0j0i't'vo'R

itvoR

''' . 1.27

Devido a 1.9, 1.25 e 1.27 temos, oRoR ''

. 1.28 Como 1.24 é igual a 1.25 mais 1.26 temos

'' RoRR

'' oRRR

. 1.29

Aplicando 1.28 em 1.29 temos, oRRR ''

. 1.30 Para o observador O o vetor velocidade da origem do sistema do observador O’ é

ivvkjivdt

oRdv

00

'. 1.31

6/156

Para o observador O’ o vetor velocidade da origem do sistema do observador O é

ivvkjivdt

oRdv

''00'

'

'' . 1.32

De 1.15, 1.20, 1.31 e 1.32 encontramos as seguintes relações entre v

e 'v

22

2 '''2'1

'

c

xuv

c

v

vv

, 1.33

22

2 21

'

c

vux

c

v

vv

. 1.34

Observação: no quadro I as fórmulas 1.2, 1.2.1 e 1.2.2 são os componentes do vetor 1.29 e as fórmulas 1.4, 1.4.1 e 1.4.2 são os componentes do vetor 1.30.

§2 Lei das Transformações das Velocidades u

e 'u

Diferenciando 1.29 e dividindo por 1.17 temos

K

vu

c

vux

c

v

vuu

c

vux

c

vdt

oRdRd

dt

Rd

22

2

22

2 21

'2

1

'

'

'. 2.1


'

''

'''2'1

''

'''2'1'

''

22

2

22

2 K

vu

c

xuv

c

v

vuu

c

xuv

c

vdt

oRdRd

dt

Rd

. 2.2

Quadro 2, lei das transformações das velocidades u

e 'u

K

vuu

'

2.1

'

''

K

vuu

2.2

K

vuxxu

''

2.3

'

'''

K

vxuux

2.4

K

uyyu ''

2.3.1

'

''

K

yuuy

2.4.1

K

uzzu ''

2.3.2

'

''

K

zuuz

2.4.2

K

v'v

1.15

'K

'vv

1.20

22

2 21

c

vux

c

vK

2.5

22

2 '''2'1'

c

xuv

c

vK

2.6

Multiplicando 2.1 por si mesma temos:

22

2

22

2

21

21

'

c

vux

c

v

u

vux

u

vu

u

. 2.7

Se em 2.7 fizermos u = c então u’ = c conforme exige o princípio da constância da velocidade da luz.

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Multiplicando 2.2 por si mesma temos:

22

2

22

2

'''2'1

'

'''2

'

'1'

c

xuv

c

v

u

xuv

u

vu

u

. 2.8

Se em 2.8 fizermos u’ = c então u = c conforme exige o princípio da constância da velocidade da luz.

Se em 2.3 fizermos ux = c então c

c

vc

c

v

vcxu

22

2 21

'' conforme exige o princípio da constância da

velocidade da luz.

Se em 2.4 fizermos u’x’ = c então c

c

cv

c

v

vcux

22

2 '2'1

' conforme exige o princípio da constância da

velocidade da luz. Remodelando 2.7 e 2.8 temos:

22

2 21

c

vux

c

v =

2

2

2

2

'1

1

c

u

c

u

. 2.9

22

2 '''2'1

c

xuv

c

v =

2

2

2

2

1

'1

c

u

c

u

. 2.10

As relações diretas entre os tempos e as velocidades de dois pontos no espaço, podem ser obtidas, com as igualdades vuxxuu 0''0'

provenientes de 2.1, que aplicadas em 1.17, 1.22, 1.20 e 1.15

fornecem

2

222

2

1

'21'

c

v

dtdt

c

vv

c

vdtdt

, 2.11

2

222

2

c

'v1

dt'dt

c

0'v2

c

'v1'dtdt

, 2.12

2

2

22

2

c

'v1

'vv

c

0'v2

c

'v1

'vv

, 2.13

2

2

22

2

1

'2

1

'

c

v

vv

c

vv

c

v

vv

. 2.14

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Aberração do zênite. Para o observador O’ solidário com a estrela, u’x’ = 0, u’y’ = c e u’z’ = 0, e para o observador O solidário com a Terra temos do conjunto 2.3

vux

cvux2

cv1

vux0

22

2

,2

2

22

2 c

v1cuy

c

vv2

c

v1

uyc

, uz = 0,

cc

vcvuzuyuxu

2

2

2

22222 01 exatamente como prevê o principio da relatividade

Para o observador O a luz se propaga em uma direção que faz um ângulo com o eixo y vertical dado por

2

2

2

2

c

v1

v/c

c

v1.c

v

uy

uxtangα

2,15

que é a fórmula de aberração do Zênite na relatividade especial. Se invertêssemos os observadores obteríamos do conjunto 2.4

v'x'u'

c

x'u'v'2

c

v'1

v'x'u'0

22

2

,

2

2

22

2 c

v'1cu'y'

c

v'2v'

c

v'1

u'y'c

, u’z’=0,

c0c

v'1cv'z'u'y'u'x'u'u' 2

2

2

22222

2

2

2

2

c

v'1

v'/c

c

v'1c.

v'

u'y'

u'x'tangα

2.16

que é igual a 2.15, indicando o sinal negativo o sentido contrário dos ângulos.

Fórmula de Fresnel

Considerando em 2.4, ncxu /'' a velocidade da luz relativa à água, vv ' a velocidade da água em

relação ao aparelho, então 'cux será a velocidade da luz relativa ao laboratório portanto

nc

v2

c

v

2

11v

n

c

nc

v2

c

v1v

n

c

nc

v2

c

v1

vn/c

c

n/vc2

c

v1

vn/c'c

2

22

1

2

2

2

2

22

2

desprezando o termo 22 / cv temos

nc

v

n

vv

n

c

nc

vv

n

cc

2

21'

e desprezando o termo ncv /2 temos a fórmula de Fresnel

22

11'

nv

n

c

n

vv

n

cc . 2.17

9/156

Efeito Doppler

Fazendo 2222 zyxr e 2222 z'y'x'r' em 1.5 temos 222222 t'cr'tcr ou

ctr

ct'r'ct'r'ctr

substituindo então ctr , '' ctr e 1.7 encontramos

tc

2vx

c

v1ct'r'ctr

22

2

como '

'

k

w

k

wc então

tc

2vx

c

v1t'w'r'k'

k'

1wtkr

k

122

2

onde para atender o princípio da relatividade definiremos

tc

2vx

c

v1kk'

22

2

2.18

resultando na expressão t'w'r'k'wtkr simétrica e invariável entre os observadores.

Para o observador O uma expressão na forma de wtkrftr,ψ 2.19

representa uma curva que se propaga na direção de R

. Para o observador O’ uma expressão na forma de

t'w'r'k'f',t'r'ψ' 2.20

representa uma curva que se propaga na direção de 'R

.

Aplicando em 2.18 λ

2πk ,

λ'

2πk' , 1.14, 1.19, 1.23, 2.5 e 2.6 temos

K

λλ' e

K'

λ'λ , 2.21

que aplicadas em 'λy'yλc fornece, Ky'y e 'K'yy . 2.22

Considerando a relação de Planck-Einstein entre energia ( E ) e freqüência ( y ), temos para o observador O

hyE e para o observador O’ 'hy'E que substituídas em 2.22 fornecem

KEE ' e '' KEE . 2.23 Se o observador O, que vê o observador O’ se deslocar com velocidade v no sentido positivo do eixo x, emite ondas de freqüência y e velocidade c no sentido positivo do eixo x, então de acordo com 2.22 e

cux o observado O’ medirá as ondas com velocidade c e freqüência

c

v1y'y 2.24

que é exatamente a fórmula clássica do efeito Doppler longitudinal. Se o observador O’, que vê o observador O se deslocar com velocidade –v’ no sentido negativo do eixo x’, emite ondas de freqüência 'y e velocidade c, então o observador O de acordo com 2.22 e 'v'x'u

medirá ondas de freqüência y e velocidade c em um plano perpendicular ao deslocamento de O’ dadas por

2

2

c

v'1γ'γ , 2.25

que é exatamente a fórmula do efeito Doppler transversal na relatividade especial.

10/156

§3 Transformações das Acelerações a

e 'a


222 K

ax

c

vvu

K

a'a

Kdt

KK/dux

c

vvu

Kdt

K/ud

'dt

'ud

. 3.1


222 'K

'x'a

c

'v'v'u

'K

'aa

'K'dt

'K'K/'x'du

c

'v'v'u

'K'dt

'K/'ud

dt

ud

. 3.2

Quadro 3, transformações das acelerações a

e 'a

22 K

ax

c

vvu

K

a'a

3.1

22 'K

'x'a

c

'v'v'u

'K

'aa

3.2

22 K

ax

c

vvux

K

ax'x'a

3.3

22 'K

'x'a

c

'v'v'x'u

'K

'x'aax

3.4

22 K

ax

c

vuy

K

ay'y'a

3.3.1 22 'K

'x'a

c

'v'y'u

'K

'y'aay

3.4.1

22 K

ax

c

vuz

K

az'z'a

3.3.2 22 'K

'x'a

c

'v'z'u

'K

'z'aaz

3.4.2

K

a'a

3.8

'K

'aa

3.9

22

2

c

vux2

c

v1K

3.5

22

2

c

'x'u'v2

c

'v1'K

3.6

Dos quadros 2 e 3 podemos concluir que se para o observador O zeroa.u

e 2222 uzuyuxc ,

então também para o observador O’ zero'a'.u

e 2222 z'u'y'u'x'u'c , portanto u

é perpendicular a

a

e 'u

é perpendicular a 'a

conforme exige a teoria dos vetores. Diferenciando 1.9 com as velocidades e os tempos variando temos, 'dt'v'dv'tvdttdv , mas considerando 1.16 temos: 'dv'ttdv'dt'vvdt 3.7

onde substituindo 1.15 e dividindo por 1.17 obtemos, dtK

dv

'dt

'dv ou

K

a'a . 3.8

Podemos também substituir 1.20 em 3.7 e dividir por 1.22 deduzindo

'K'dt

'dv

dt

dv ou

'K

'aa . 3.9

As relações diretas entre os módulos das acelerações a e a’ de dois pontos no espaço podem ser obtidas, com as igualdades vuxvu0'x'a0'x'u0'u

provenientes de 2.1, que aplicadas

em 3.8 e 3.9 fornecem

2

2

22

2

c

v1

a

c

vv2

c

v1

a'a

e

2

2

22

2

c

'v1

'a

c

0'v2

c

'v1

'aa

. 3.10

Que também podem ser deduzidas de 3.1 e 3.2 se utilizarmos as mesmas igualdades

vuxvu0'x'a0'x'u0'u

provenientes de 2.1.

11/156

§4 Transformações dos Momentos p

e 'p

Definidos como uump

e 'uu'm''p

, 4.1

onde um e 'u'm simbolizam as massas funções dos módulos das velocidades uu

e 'uu'

.

Obteremos as relações entre um e u'm' e a massa em repouso mo, analisando o choque elástico em

um plano entre a esfera s que para o observador O se desloca ao longo do eixo y com velocidade uy = w e a esfera s’ que para o observador O’ se desloca ao longo do eixo y’ com velocidade u’y’ = -w. As esferas quando observadas em repouso relativo são idênticas e têm massa mo. O choque considerado é simétrico em relação a uma linha paralela aos eixos y e y’ que passe no centro das esferas no momento da colisão. Antes e após o choque as esferas têm velocidades observadas por O e O’ de acordo com a seguinte tabela obtida do quadro 2 Esfera Observador O Observador O’

Antes do choque

s

zerouxs , wuys 'vs'x'u ,

2

2

c

'v1ws'y'u

s’ v'uxs ,

2

2

c

v1w'uys

zero's'x'u , w's'y'u

Após o choque

s

zerouxs , wuys 'vs'x'u ,

2

2

c

'v1ws'y'u

s’ v'uxs ,

2

2

c

v1w'uys

zero's'x'u , w's'y'u

Para o observador O, o princípio de conservação dos momentos, estabelece que os momentos

uxumpx e uyumpy , das esferas s e s’ em relação aos eixos x e y, permanecem constantes

antes e após o choque, por isso para o eixo x

uxs'uys'uxs'muxsuysuxsmuxs'uys'uxs'muxsuysuxsm 22222222 ,

onde substituindo os valores da tabela obtemos

vcv1wvmv

cv1wvm

2

2

22

2

2

22

de onde concluímos que ww ,

e para o eixo y

uys'uys'uxs'muysuysuxsmuys'uys'uxs'muysuysuxsm 22222222 ,

onde substituindo os valores da tabela obtemos

2

22

2

22

2

22

2

22

cv1w

cv1wvmwwm

cv1w

cv1wvmwwm

,

simplificando encontramos

2

2

2

222

cv1

cv1wvmwm

, onde quando 0w se torna

2

22

2

2

2

2

222

cv1

0mvm

cv1vm0m

cv1

cv10vm0m

,

mais 0m é igual a massa om em repouso portanto

2

2

0

c

v1

mvm

, no caso da velocidade ser relativa 2

2

0

c

u1

mumuv

4.2

12/156

que aplicada em 4.1 fornece 2

2

0

c

u1

umuump

. 4.1

Com os mesmos procedimentos obteríamos para o observador O’

2

2

0

c

'u1

m'u'm

4.3

e 2

2

0

c

u'1

'um'uu'm''p

. 4.1

Simplificando a simbologia adotaremos 2

2

0

c

u1

mumm

4,2

e 2

2

0

c

'u1

m'u'm'm

4.3

que simplificam os momentos em ump

e 'um''p

. 4.1

Aplicando 4.2 e 4.3 em 2.9 e 2.10 obtemos

'K'mmc

'x'u'v2

c

'v1'mm

22

2

e Km'mc

vux2

c

v1m'm

22

2

. 4.4

Definindo força como Newton temos dt

umd

dt

pdF

e

dt'

'um'd

dt'

'pd'F

, com isso podemos então

definir a energia cinética como

u

0

2u

0

u

0

u

0

k mududmuu.umdRd.dt

umdRd.FE

,

e

u'

0

2u'

0

u'

0

u'

0

k du'u'm'dm'u''u.'um'd'Rd.dt'

'um'd'Rd'.FE'

.

Remodelando 4.2 e 4.3 e diferenciando temos dmcmududmucmumcm 22220

2222 e

dm'cdu'u'm'dm'u'cmu'm'cm' 22220

2222 , que aplicadas nas fórmulas da energia cinética

fornece

m

m

02

022

k

0

EEcmmcdmcE e 'm

m

02

022

k

0

E'Ecmc'm'dmc'E , 4.5

onde 2mcE e 2c'm'E 4.6

são as energias totais como na relatividade especial e 2oo cmE 4.7

a energia de repouso. Aplicando 4.6 em 4.4 obtemos exatamente 2.23. De 4.6, 4.2, 4.3 e 4.1 encontramos:

222o pcmcE e 222

o p'cmcE' , 4.8

Relações idênticas as da relatividade especial.

13/156

Multiplicando 2.1 e 2.2 por mo obtemos:

vcEp'pvmum'u'm

cu1

vm

cu1

um

cu'1

'um2

2

2

o

2

2

o

2

2

o

4.9

e 'vcE''pp'v'm'u'mum

cu'1

'vm

cu'1

'um

cu1

um2

2

2

o

2

2

o

2

2

o

. 4.10

Quadro 4, transformações dos momentos p

e 'p

vc

Ep'p

2

4.9

'vc

E''pp

2

4.10

vc

Epx'x'p

2

4.11

v'c

E'x'p'px

2

4.12

py'y'p 4.11.1 'y'ppy 4.12.1

pz'z'p 4.11.2 'z'ppz 4.12.2

KE'E 2.23 K'E'E 2.23

2

2

0

1cu

mumm

4.2

2

2

0

cu'1

mu'm'm'

4.3

Km'm 4.4 'K'mm 4.4

ok EEE 4.5 ok EE'E' 4.5 2mcE 4.6 2cm'E' 4.6

2oo cmE 4.7 2

oo cmE 4.7

222o pcmcE 4.8 222

o p'cmcE' 4.8

Equação de onda de Louis de Broglie

O observador O’ associa a uma partícula em repouso em sua origem as seguintes propriedades: -massa de repouso mo

-tempo ot't

-Energia de repouso 2oo cmE

-Freqüência hcm

hE

γ2

ooo

-Função de onda ooo tπγ2asenψ com a = constante.

O observador O associa a uma partícula com velocidade v as seguintes propriedades:

-massa 2

2

1cv

mvmm o

(de 4.2 onde vu )

-tempo

2

2

22

2

121cv

t

cvv

cv

tt oo

(de 1.7 com vux e ot't )

-Energia

2

2

2

2

2

11cv

cm

cv

EE oo

(de 2.23 com vux e oE'E )

14/156

-Freqüência h/E

cv1

/hcm

cv1

γγ

2

2

2

o

2

2

o

(de 2.22 com vux e oγγ' )

-distância x = vt (de 1.2 com x’ = 0)

-Função de onda

uxtπγ2asen

cv1t

cv1πγ2asentπγ2asenψ 2

2

2

2

oo com vcu

2

-Comprimento de onda phλ

pγh

pE

vcγλu

2

(de 4.9 com 0p'p o

)

Para voltarmos ao referencial do observador O’ onde 0x'u'0'u

, consideraremos as seguintes variáveis: -distância x = v’t’ (de 1.4 com x’ = 0)

-tempo 2

2

22

2

cv'1t'

cv'02

cv'1t't (de 1.8 com 0'x'u )

-freqüência 2

2

cv'1γ'γ (de 2.22 com 0'x'u )

-velocidade

2

2

cv'1

v'v

(de 2.13)

que aplicadas a função de onda fornece

t'y'asen

cv'1c

t'v'cv'1t'

cv'1πγ'2asen

cvxtπγ2asenψ'

2

22

2

2

2

2

2

2 2

,

mas como ot't e oγγ' então oψψ' .

§5 Transformações das Forças F

e 'F


222 c

vu.FFK1'F

cv

dtdEF

K1'F

cv

KdtdE

Kdt

pddt''pd

. 5.1


222 c

'v'u'.F'FK'1F

c'v

dt'dE''F

K'1F

c'v

K'dt'dE'

K'dt'

'pddtpd

. 5.2

Do sistema formado por 5.1 e 5.2 obtemos

dt'

dE'

dt

dE ou 'u'.Fu.F

, 5.3

que é um invariante entre os observadores na relatividade ondulatória.

15/156

Quadro 5, transformações das Forças F

e 'F

2c

vu.FF

K

1'F

5.1

2c

'v'u'.F'F

K'

1F

5.2

2c

vu.FFx

K

1x'F'

5.4

2c

v''u'.Fx'F'

'K

1Fx

5.5

KFy/y'F' 5.4.1 K'/y'F'Fy 5.5.1

KFz/z'F' 5.4.2 K'/z'F'Fz 5.5.2

dt

dE

'dt

'dE

5.3

'u'.Fu.F

5.3

§6 Transformações das densidades de carga ρ , ρ'

e densidades de corrente J

e 'J

Multiplicando 2.1 e 2.2 pela densidade de carga elétrica em repouso definida como o

o dv

dqρ temos

vρJ'Jvρuρ'uρ'

cu1

vρ

cu1

uρ

cu'1

'uρ

2

2

o

2

2

o

2

2

o

6.1

e 'vρ''JJ'vρ''uρ'uρ

cu'1

'vρ

cu'1

'uρ

cu1

uρ

2

2

o

2

2

o

2

2

o

. 6.2

Quadro 6, transformações das densidades de carga ρ , ρ' e densidades de corrente J

e 'J

vρJ'J

6.1 'vρ''JJ

6.2

ρvJxx'J' 6.3 'ρ'vJ'x'Jx 6.4

Jy'y'J 6.3.1 'y'JJy 6.4.1

Jz'z'J 6.3.2 'z'JJz 6.4.2

uρJ

6.5 'u'ρ'J

6.6

2

2

1cu

ρρ o

6.7

2

2

1cu'

ρρ' o

6.8

Kρρ' 6.9 Κ'ρ'ρ 6.10

Do sistema formado por 6.1 e 6.2 obtivemos 6.9 e 6.10.

§7 Transformações dos campos elétricos E

, 'E

e magnéticos B

, 'B

Aplicando as forças de Lorentz BuEqF

e 'B'u'Eq'F

em 5.1 e 5.2 temos

2c

vu.BuEqBuEq

K

1'B'u'Eq

e

2c

'v'u.'B'u'Eq'B'u'Eq

K'

1BuEq

, que simplificadas se tornam

2c

vu.EBuE

K

1'B'u'E

e

2c

'v'u'.E'B'u'E

K'

1BuE

de onde

obtemos a invariância de 'u'Eu.E

entre os observadores como conseqüência de 5.3 e as seguintes componentes de cada eixo

16/156

222 c

Ezuzv

c

Eyuyv

c

ExuxvuzByuyBzEx

K

1y'B'z'u'z'B'y'u'x'E' 7.1

uxBzuzBxEyK

1z'B'x'u'x'B'z'u'y'E' 7.1.1

uyBxuxByEzK

1x'B'y'u'y'B'x'u'z'E' 7.1.2

222 c

v'z'u'z'E'c

v'y'u'y'E'c

v'x'u'x'E'y'B'z'u'z'B'y'u'x'E''K

1uzByuyBzEx 7.2

z'B'x'u'x'B'z'u'y'E''K

1uxBzuzBxEy 7.2.1

x'B'y'u'y'B'x'u'z'E''K

1uyBxuxByEz 7.2.2

Para o conjunto 7.1 e 7.2 obtemos duas soluções descritas nos quadros 7 e 8.

Quadro 7, transformações dos campos elétricos E

, 'E

e magnéticos B

e 'B

2c

vux1

K

Exx'E'

7.3

2c

x'u'v'1

K'

x''EEx

7.4

K

vBz

c

vux

c

v1

K

Eyy'E'

22

2

7.3.1

K'

z'B'v'

c

x'u'v'

c

v'1

K'

y'E'Ey

22

2

7.4.1

K

vBy

c

vux

c

v1

K

Ezz'E'

22

2

7.3.2

K'

y'B'v'

c

x'u'v'

c

v'1

K'

z'E'Ez

22

2

7.4.2

Bxx'B' 7.5 x'B'Bx 7.6

Ezc

vByy'B'

2

7.5.1 z'E'

c

v'y'B'By

2

7.6.1

Eyc

vBzz'B'

2

7.5.2 y'E'

c

v'z'B'Bz

2

7.6.2

KEyy'E' 7.7 K'y'E'Ey 7.8

KEzz'E' 7.7.1 K'z'E'Ez 7.8.1

Ezc

uxBy

2

7.9 z'E'

c

x''uy'B'

2

7.10

Eyc

uxBz

2

7.9.1 y'E'

c

x''uz'B'

2

7.10.1

Quadro 8, transformações dos campos elétricos E

, 'E

e magnéticos B

e 'B

2c

vu.EEx

K

1x'E'

7.11

2c

v''u'.Ex'E'

K'

1Ex

7.12

vBzEyK

1y'E'

7.11.1 z'B'v'y'E'

K'

1Ey

7.12.1

vByEzK

1z'E'

7.11.2 y'B'v'z'E'

K'

1Ez

7.12.2

Bx'x'B 7.13 x'B'Bx 7.14

By'y'B 7.13.1 y'B'By 7.14.1

Bzz'B' 7.13.2 z'B'Bz 7.14.2

17/156

Relação entre o campo elétrico e o campo magnético

Se um campo eletromagnético tem para o observador O’ a componente magnética nula zero'B

e a

componente elétrica 'E

. Para o observador O este campo se apresenta com ambas as componentes, sendo o campo magnético descrito pelo conjunto 7.5 e tem como componentes:

zeroBx , 2c

vEzBy ,

2c

vEyBz , 7.15

que são equivalentes a Evc

1B

2

. 7.16

Fórmula de Biot-Savart

O observador O’ associa a uma carga elétrica, em repouso, distribuída uniformemente ao longo de seu eixo x’ as propriedades eletromagnéticas seguintes:

-densidade linear de carga elétrica em repouso 'dx

dqρo

-corrente elétrica nula zero'I

-campo magnético nulo zero'uzero'B

-campo elétrico radial de módulo Rπε2

ρ'z'E'y'E'E

o

o22 em qualquer ponto de raio

22 z'y'R com a componente zerox'E' .

Para o observador O trata-se de uma carga elétrica distribuída uniformemente ao longo de seu eixo x com velocidade vux a qual associa as propriedades eletromagnéticas seguintes:

-densidade linear de carga elétrica

2

2

o

c

v1

ρρ

(de 6.7 com u = v)

-corrente elétrica

2

2

o

c

v1

vρρvI

-campo elétrico radial de módulo

2

2

c

v1

E'E

(de acordo com os conjuntos 7.3 e 7.5 com

zero'uzero'B

e vux )

-campo magnético de componentes zeroBx , 2c

vEzBy ,

2c

vEyBz e módulo

R2

I

Rπε2

ρ

c

v1

1

c

v

c

v1

'E

c

v

c

vEB o

o

o

2

22

2

222

onde 2

oo c

1

, sendo na forma vetorial

uR2

IB o

7.17

onde u

é um vetor unitário perpendicular ao campo elétrico E

e tangente a circunferência que passa pelo

ponto de raio 22 zyR porque do conjunto 7.4 e 7.6 zeroB.E

.

18/156

§8 Transformações dos operadores diferenciais Quadro 9, operadores diferenciais

tc

v

xx' 2

8.1

t'c

v'

x'x 2

8.2

yy'

8.1.1

y'y

8.2.1

zz'

8.1.2

z'z

8.2.2

ttc

vx

c

v1

K

1

xK

v

t' 22

2

8.3

t't'c

x'v'

c

v'1

K'

1

x'K'

v'

t 22

2

8.4

Do sistema formado por 8.1, 8.2, 8.3 e 8.4 e com 1.15 e 1.20 encontramos somente as soluções

otc

x/t

x 2

e ot'c

/t'x'

x' 2

8.5

Do que concluímos que somente as funções ψ (2.19) e ψ' (2.20) que atenderem as condições

ot

ψ

c

x/t

x

ψ2

e ot'

ψ'

c

/t'x'

x'

ψ'2

, 8.6

podem representar a propagação com velocidade c na relatividade ondulatória, indicando que o campo propaga com velocidade definida e sem distorção atendendo a 1.13 e 1.18. Devido à simetria, também podemos escrever para os demais eixos

ot

ψ

c

/ty

y

ψ2

, ot'

ψ'

c

/t''y

'y

ψ'2

e ot

ψ

c

/tz

z

ψ2

, ot'

ψ'

c

/t''z

'z

ψ'2

. 8.7

Das transformações de espaço e tempo da relatividade ondulatória obtemos para o teorema de Jacob

K

c

vux1

z,ty,x,

,t'z',y',x'J

2

e

K'

c

x'u'v'1

t',z',y',x'

tz,y,x,J'

2

, 8.8

variáveis com ux e u’x’ conseqüência do princípio da constância da velocidade da luz, mas são iguais J'J e serão iguais a um 1J'J quando cx'u'ux .

Invariância da Equação de Onda

A equação de onda para o observador O’ é

zerot'c

1

z'y'x' 2

2

22

2

2

2

2

2

onde aplicando às fórmulas do quadro 9 e 1.13 obtemos

zerotc

xuv

c

v1

K

1

xK

v

c

1

zytc

v

x

2

22

2

22

2

2

22

2

de onde encontramos

zerotc

v

tc

uxv

tc

uxv2

tc

vux2

tc

v2

txc

uxv2

txc

v2

txc

v2

xc

v

tc

uxv2

tc

v

tc

v

txc

uxv4

txc

v2

txc

v2

tc

1

zK

yK

xK

2

2

6

4

2

2

6

22

2

2

6

3

2

2

42

2

4

22

4

22

4

32

22

2

2

2

2

2

6

3

2

2

6

4

2

2

4

22

4

22

4

32

22

2

22

2

2

2

2

2

que simplificando fornece

zerotc

uxv

tc

vux2

tc

v

xc

v

txc

uxv2

tc

1

zK

yK

xK

2

2

6

22

2

2

42

2

4

2

2

2

2

22

4

2

2

2

22

2

2

2

2

2

onde reordenando os termos encontramos

zerotc

ux

txc

ux2

xc

v

tc

1

c

vux2

c

v1

zK

yK

xK

2

2

4

22

22

2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

8.9

19/156

mais de 8.5 e 1.13 temos zerotc

ux

txc

ux2

xtc

xu

xo

tc

x/t

x 2

2

4

22

22

22

22

que aplicada em 8.9 fornece a equação de onda para o observador O

zerotc

1

zyx 2

2

22

2

2

2

2

2

. 8.10

Para retornar ao referencial do observador O’ aplicaremos em 8.10 às fórmulas do quadro 9 e 1.18, obtendo

zerot'c

x''uv'

c

v'1

'K

1

x'K'

v'

c

1

'z'yt'c

v'

x'

2

22

2

22

2

2

22

2

de onde encontramos

zero'tc

'v

'tc

'x'u'v

'tc

'x'u'v

'tc

'x'u'v2

'tc

'v2

't'xc

'x'u'v2

't'xc

'v2

't'xc

'v2

'xc

'v

'tc

'x'u'v2

'tc

'v

'tc

'v

't'xc

'x'u'v4

't'xc

'v2

't'xc

'v2

'tc

1

'z'K

'y'K

'x'K

2

2

6

4

2

2

6

22

2

2

6

3

2

2

42

2

4

22

4

22

4

32

22

2

2

2

2

2

6

3

2

2

6

4

2

2

4

22

4

22

4

32

22

2

22

2

2

2

2

2


zero'tc

'x'u'v

'tc

'x'u'v2

'tc

'v

'xc

'v

't'xc

'x'u'v2

'tc

1

'z'K

'y'K

'x'K

2

2

6

22

2

2

42

2

4

2

2

2

2

22

4

2

2

2

22

2

2

2

2

2

onde reordenando os termos encontramos

zero'tc

'x'u

't'xc

'x'u2

'xc

'v

'tc

1

c

'x'u'v2

c

'v1

'z'K

'y'K

'x'K

2

2

4

22

22

2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

mais de 8.5 e 1.18 temos

zero'tc

'x'u

't'xc

'x'u2

'xt'c

x''u

x'o

t'c

/t'x'

x' 2

2

4

22

22

22

22

que substituída na equação reordenada fornece a equação de onda para o observador O’.

Invariância da Equação de continuidade A equação de continuidade na forma diferencial para o observador O’ é

zeroz'

Jz'

y'

Jy'

x'

Jx'

t'

ρ'zero'J.

t'

ρ'

8.11

onde substituindo as fórmulas do quadro 6, 9 e 1.13 obtemos

zeroz

Jz

y

JyρvJx

tc

v

xKρ

tc

vux

c

v1

K

1

xK

v222

2

fazendo as operações encontramos

zeroz

Jz

y

Jy

t

ρ

c

v

x

ρv

t

Jx

c

v

x

Jx

t

ρ

c

vux

t

ρ

c

v

t

ρ

x

ρv2

2

222

2


zeroz

Jz

y

Jy

t

Jx

c

v

x

Jx

t

ρ

c

vux

t

ρ22

onde aplicando ρuxJx com ux constante obtemos

zero

z

Jz

y

Jy

x

Jx

t

ρzero

z

Jz

y

Jy

t

ux

c

v

x

Jx

t

ρ

c

vux

t

ρ22

8.12

que é a equação de continuidade na forma diferencial para o observador O. Para obtermos novamente a equação de continuidade na forma diferencial para o observador O’. Substituiremos as fórmulas do quadro 6, 9 e 1.18 em 8.12 obtendo:

20/156

zeroz'

z'J'

y'

y'J'v'ρ'x'J'

t'c

v'

x'K'ρ'

t'c

x'u'v'

c

v'1

'K

1

x''K

v'222

2

fazendo as operações encontramos

zeroz'

z'J'

y'

y'J'

t'

ρ'

c

v'

x'

ρ'v'

t'

x'J'

c

v'

x'

x'J'

t'

ρ'

c

x'u'v'

t'

ρ'

c

v'

t'

ρ'

x'

ρ'v'2

2

222

2


zeroz'

z'J'

y'

y'J'

t'

x'J'

c

v'

x'

x'J'

t'

ρ'

c

x'u'v'

t'

ρ'22

onde aplicando x'u'ρ'x'J' com u’x’ constante obtemos

zero

z'

z'J'

y'

y'J'

x'

x'J'

t'

ρ'zero

z'

z'J'

y'

y'J'

t'

'x'u'

c

v'

x'

x'J'

t'

ρ'

c

x'u'v'

t'

ρ'22

que é a equação de continuidade na forma diferencial para o observador O’.

Invariância das Equações de Maxwell Que na forma diferencial são escritas na seguinte forma Com carga elétrica Para o observador O Para o observador O’

oz

Ez

y

Ey

x

Ex

8.13

o

'

'z

'z'E

'y

'y'E

'x

'x'E

8.14

0z

Bz

y

By

x

Bx

8.15 0

'z

'z'B

'y

'y'B

'x

'x'B

8.16

t

Bz

y

Ex

x

Ey

8.17

't

'z'B

'y

'x'E

'x

'y'E

8.18

t

Bx

z

Ey

y

Ez

8.19

't

'x'B

'z

'y'E

'y

'z'E

8.20

t

By

x

Ez

z

Ex

8.21

't

'y'B

'x

'z'E

'z

'x'E

8.22

t

EzJz

y

Bx

x

Byooo

8.23

't

'z'E'z'J

'y

'x'B

'x

'y'Booo

8.24

t

ExJx

z

By

y

Bzooo

8.25

't

'x'E'x'J

'z

'y'B

'y

'z'Booo

8.26

t

EyJy

x

Bz

z

Bxooo

8.27

't

'y'E'y'J

'x

'z'B

'z

'x'Booo

8.28

Sem carga elétrica zero' e zero'JJ

Para o observador O Para o observador O’

0z

Ez

y

Ey

x

Ex

8.29 0

'z

'z'E

'y

'y'E

'x

'x'E

8.30

0z

Bz

y

By

x

Bx

8.31 0

'z

'z'B

'y

'y'B

'x

'x'B

8.32

t

Bz

y

Ex

x

Ey

8.33

't

'z'B

'y

'x'E

'x

'y'E

8.34

t

Bx

z

Ey

y

Ez

8.35

't

'x'B

'z

'y'E

'y

'z'E

8.36

t

By

x

Ez

z

Ex

8.37

't

'y'B

'x

'z'E

'z

'x'E

8.38

21/156

t

Ez

y

Bx

x

Byoo

8.39

't

'z'E

'y

'x'B

'x

'y'Boo

8.40

t

Ex

z

By

y

Bzoo

8.41

't

'x'E

'z

'y'B

'y

'z'Boo

8.42

t

Ey

x

Bz

z

Bxoo

8.43

't

'y'E

'x

'z'B

'z

'x'Boo

8.44

2oo c

1

8.45

Demonstremos a invariância da lei de Gauss na forma diferencial, que para o observador O’ é

o

'

'z

'z'E

'y

'y'E

'x

'x'E

8.14

onde substituindo as fórmulas dos quadros 6, 7, 9 e 1.13, e considerando ux constante, obtemos

o22

2

22

2

22

ε

Κρ

K

vBy

c

vux

c

v1

K

Ez

z

K

vBz

c

vux

c

v1

K

Ey

yc

vux1

K

Ex

tc

v

x

fazendo os produtos, somando e subtraindo o termo x

Ex

c

v2

2

, encontramos

o2

2

2

2

22

2

22

2

4

2

22

ε

ρK

x

Ex

c

v

x

Ex

c

v

z

Byv

z

Ez

c

vux

z

Ez

c

v

z

Ez

y

Bzv

y

Ey

c

vux

y

Ey

c

v

y

Ey

t

Ex

c

uxv

x

Ex

c

vux

t

Ex

c

v

x

Ex

que reordenando resulta em

o22

2

222

2 ρK

c

vux

c

v1

z

Ez

y

Ey

x

Ex

t

Ex

c

1

z

By

y

Bzv

t

Ex

c

ux

x

Ex

c

v

onde o primeiro parêntese é 8.5 e por isso igual a zero, o segundo parêntese é igual a

2

ooo c

uxvuxvJxv

obtido de 8.25 e 8.45 resultando então em

2o

2o

22

2

o22

2

c

vuxρ

c

vuxρ

c

vux

c

v1

ρ

c

vux

c

v1

z

Ez

y

Ey

x

Ex

de onde obtemos oz

Ez

y

Ey

x

Ex

8.13

que é a lei de Gauss na forma diferencial para o observador O. Para fazer o inverso substituiremos em 8.13 as fórmulas dos quadros 6, 7, 9 e 1.18, e considerando u’x’ constante, obtemos:

o22

2

22

2

22

ε

'Κ'ρ

'K

'y'B'v

c

'x'u'v

c

'v1

'K

'z'E

'z

'K

'z'B'v

c

'x'u'v

c

'v1

'K

'y'E

'yc

'x'u'v1

'K

'x'E

'tc

'v

'x

fazendo os produtos, somando e subtraindo o termo 'x

'x'E

c

'v2

2

, obtemos

22/156

o2

2

2

2

22

2

22

2

4

2

22

'K'ρ

'x

'x'E

c

'v

'x

'x'E

c

'v

'z

y'B'v'

'z

'z'E

c

x'u'v'

'z

'z'E

c

v'

'z

'z'E

'y

z'B'v'

'y

'y'E

c

x'u'v'

'y

'y'E

c

v'

'y

'y'E

t'

'x'E

c

x'u'v'

'x

'x'E

c

x'u'v'

t'

'x'E

c

v'

'x

'x'E

que reordenando resulta em

o22

2

222

2

'K'ρ

c

x'u'v'

c

'v1

'z

''z'E

'y

'y'E

x'

'x'E

t'

'x'E

c

1

'z

y'B'

'y

z'B''v

t'

'x'E

c

x'u'

'x

'x'E

c

v'

onde o primeiro parêntese é 8.5 e por isso igual a zero o segundo parêntese é igual a

2

ooo c

'x'u''v'x'u''v'x'J'v

obtido de 8.26 e 8.45 resultando então em

2o

2o

22

2

o22

2

c

x'u'v''ρ

c

x'u'v'ρ

c

x'u'v'

c

'v1

'ρ

c

x'u'v'

c

'v1

'z

'z'E

'y

'y'E

x'

'x'E

de onde obtemos o

'

'z

'z'E

'y

'y'E

'x

'x''E

que é a lei de Gauss na forma diferencial para o

observador O’. Procedendo desta forma podemos provar a invariância de forma para todas as demais equações de Maxwell.

§9 Explicando o Efeito Sagnac com a Relatividade Ondulatória Transformemos o movimento retilíneo dos observadores O e O’ utilizado na dedução da Relatividade Ondulatória em um movimento circular plano de raio constante. Imaginemos que o observador O vê o observador O’ girar com velocidade tangencial v no sentido horário(C) (igual ao sentido positivo do eixo x da RO) e que o observador O’ vê o observador O girar com velocidade tangencial v’ no sentido anti-horário (U) (igual ao sentido negativo do eixo x da RO). No instante t = t’ = zero o observador O emitirá dois raios de luz a partir da origem comum aos dois observadores, um no sentido anti-horário de arco ctU e outro no sentido horário de arco ctC, portanto ctU = ctC e tU = tC, porque c é a velocidade da luz constante, tU e tC o tempo. No instante t = t’ = zero também o observador O’ emitirá dois raios de luz a partir da origem comum aos dois observadores, um no sentido anti-horário (inútil) de arco ct’U e outro no sentido horário de arco ct’C, portanto ct’U = ct’C e t’U = t’C porque c é a velocidade da luz constante, t’U e t’C o tempo. Reescrevamos as equações 1.15 e 1.20 da Relatividade Ondulatória (RO):

t

t

v

v '

' =

22

2 21

c

vux

c

v . 1.15

'

'

t

t

v

v =

22

2 '''2'1

c

xuv

c

v . 1.20

Fazendo ux = u’x’ = c (raio de luz projetado ao longo do eixo x positivo) e desmembrando as equações obtemos:

c

v1t't 9.1

c

'v1'tt 9.2

c

v1

v'v 9.3

c

'v1

'vv 9.4

23/156

Quando a origem do observador O’ detectar o raio anti-horário do observador O, estará a distância

UC 't'vvt do observador O e simultaneamente detectará o seu raio horário no mesmo ponto que o raio

horário do observador O, em uma posição simétrica ao diâmetro que passa pelo observador O porque

CUCU ttctct e CUCU 't't'ct'ct , obedecendo as quatro equações acima, encontramos:

vc

R2tR2vtct CCU

9.5

'v2c

R2'tR2't'v2'ct CUC

9.6

Quando a origem do observador O’ detectar o raio horário do observador O, simultaneamente detectará seu

próprio raio horário e estará a distância U2C2 't'vvt do observador O, então obedecendo a equações

1,2,3 e 4 acima, teremos:

vc

R2tvtR2ct C2C2C2

9.7

c

R2'tR2'ct C2C2

9.8

A diferença de tempo para o observador O é:

22CC2vc

Rv4

vc

R2

vc

R2ttt

9.9

A diferença de tempo para o observador O’ é:

c'v2c

'Rv4

'v2c

R2

c

R2't't't CC2

9.10

Substituindo as equações 5 a 10 em 1 a 4 comprovamos que elas cumprem as transformações da Relatividade Ondulatória.

§10 Explicando a experiência de Ives-Stilwell com a Relatividade Ondulatória Reescrevamos as equações (2.21) para o comprimento de onda na Relatividade Ondulatória (RO):

22

2

c

vux2

c

v1

'

e

22

2

c

'x'u'v2

c

'v1

'

, 2.21

Fazendo ux = u’x’ = c (raio de luz projetado ao longo do eixo x positivo), obtemos as equações:

c

v1

' e

c

'v1

', 10.1

Se o observador O, que vê o observador O’ se distanciando com velocidade v no sentido positivo do eixo x, emite ondas, provenientes de uma fonte estacionada em sua origem com velocidade c e comprimento de

onda F no sentido positivo do eixo x, então de acordo com 10.1 o observador O’ medirá as ondas com

velocidade c e comprimento de onda D' de acordo com as fórmulas:

24/156

cv1

FD' e

c'v1

FD' , 10.2

Se o observador O’, que vê o observador O se aproximando com velocidade v’ no sentido negativo do eixo x, emite ondas, provenientes de uma fonte estacionada em sua origem com velocidade c e comprimento de

onda F' no sentido positivo do eixo x, então de acordo com 10.1 o observador O medirá as ondas com

velocidade c e comprimento de onda A de acordo com as fórmulas:

cv1

' AF e

c'v1

AF' , 10.3

As fontes estacionadas nas origens dos Observadores O e O’ são idênticas portanto FF ' .

Achemos o comprimento de onda médio das ondas medidas DA ', utilizando as fórmulas 10.2 e

10.3, lado esquerdo:

cv1'

cv12

12

'F

FAD

2FAD

cv11

cv122

'

Achemos a diferença entre o comprimento de onda médio e o comprimento de onda emitido pelas fontes

F :

F

2F

F cv11

cv12

cv12

cv12

cv11

cv12

F

2F

cv12

cv11

cv12

2F

cv22

cv

cv211

cv12

2

2F

2

2F

cv

2cv1

1

10.4

http://www.wbabin.net/physics/faraj7.htm

§10 Ives-Stilwell (continuação) O efeito Doppler transversal para a Relatividade Ondulatória foi obtido no §2 do seguinte modo: Se o observador O’, que vê o observador O se deslocar com velocidade –v’ no sentido negativo do eixo x’, emite ondas de freqüência 'y e velocidade c, então o observador O de acordo com 2.22 e 'v'x'u

medirá ondas de freqüência y e velocidade c em um plano perpendicular ao deslocamento de O’ dadas por

2

2

c'v1'yy 2.25

25/156

Para 'v'x'u teremos zeroux e 1cv1

c'v1

2

2

2

2

com isso podemos escrever a relação entre a

freqüência transversal tyy e a freqüência da fonte F'y'y na forma

2

2

Ft

cv1

'yy

10.5

Com FFtt ''yyc obtemos a relação entre o comprimento de onda transversal t e o comprimento de

onda da fonte F'

2

2

Fcv1' t 10.6

A variação do comprimento de onda transversal em relação ao comprimento de onda da fonte é:

2

2F

2

2

F2

2

FF2

2

FFt cv

2

'1

c2v1'1

cv1''

cv1''

t 10.7

que é o mesmo valor obtido na Teoria Especial da Relatividade. Aplicando 10.7 em 10.4 obtemos

cv1

t 10.8

Com as equações 10.2 e 10.3 podemos obter as relações 10.9, 10.10, e 10.11 a seguir descritas

2

DA cv1'

10.9

E desta obtemos a fórmula da velocidade D

A

'1

cv

10.10

DAFF '' 10.11

Aplicando 10.10 e 10.11 em 10.6 obtemos

2

D

ADAt '

11'

10.12

De 10.8 e 10.12 concluímos que DtFA ' . 10.13

Assim com os valores de A e D' obtidos da experiência de Ives-Stiwell poderemos avaliar t , F , cv e

concluir se existe ou não a deformação espacial prevista na Teoria Especial Da Relatividade. §11 Transformação entre dois referenciais da potencia dos raios luminosos de uma fonte na Teoria

da Relatividade Especial A relação entre dois referenciais da potencia desenvolvida por uma força é escrita na Teoria Especial da Relatividade na seguinte forma:

2c

vux1

vFxu.F'u'.F

11.1

A definição da componente da força ao longo do eixo x é:

26/156

dt

duxmux

dt

dm

dt

muxd

dt

dpxFx 11.2

Para um raio luminoso o principio da constância da velocidade da luz, garante que a componente ux da velocidade da luz, também é constante ao longo do eixo x, por isso:

uxdt

dx

t

x constante, demonstrando que em dois zero

dt

dux e ux

dt

dmFx 11.3

A fórmula de energia é 2mcE de onde obtemos dt

dE

c

1

dt

dm2

11.4

Da definição de energia temos u.Fdt

dE que aplicando em 11.4 e 11.3 obtemos

2c

uxu.FFx

11.5

Aplicando 11.5 em 11.1 temos:

2

2

c

vux1

c

uxu.Fvu.F

'u'.F

De onde encontramos que u.F'u'.F

ou dt

dE

'dt

'dE 11.6

Resultado igual a 5.3 da Relatividade Ondulatória que pode ser comprovado experimentalmente, considerando o Sol como fonte.

§12 Linearidade A Teoria da Relatividade Ondulatória tem como axioma fundamental à exigência de que os referenciais inerciais sejam denominados exclusivamente como aqueles em que um raio de luz emitido em qualquer direção a partir da sua origem propague em linha reta, o que matematicamente é descrito pelas formulas (1.13, 1.18, 8.6 e 8.7) da Relatividade Ondulatória:

uzdt

dz

t

zuy

dt

dy

t

yux

dt

dx

t

x ,, 1.13

'z'u'dt

'dz

't

'z,'y'u

'dt

'dy

't

'y,'x'u

'dt

'dx

't

'x 1.18

Woldemar Voigt em 1.887 escreveu a transformação linear entre os referenciais dos observadores O e O’ na forma seguinte:

'Bt'Axx 12.1

'Ft'Ext 12.2 Com as respectivas equações inversas:

tBEAF

Bx

BEAF

F'x

12.3

tBEAF

Ax

BEAF

E't

12.4

Onde A, B, E e F são constantes e devido á simetria não consideramos os termos com y, z e y’, z’. Sabemos que x e x’ são as projeções de dois raios luminosos ct e ct’ que propagam com velocidade constante c (devido o princípio da constância da velocidade da luz), emitidos em qualquer direção a partir

27/156

da origem dos respectivos referenciais inerciais no instante em que as origens são coincidentes e no momento em que: t = t’ = zero 12.5 por isso na equação 12.2 no instante em que t’ = zero devemos ter E = zero para termos também t = zero, não podemos exigir que quando t’ = zero, seja também x’ = zero, porque no caso da propagação ocorrer no plano y’z’ teremos x’ = zero mais zero't . Reescrevamos as equações corrigidas (E = zero):

'Bt'Axx 12.6

'Ftt 12.7 Com as respectivas equações inversas:

AF

Bt

A

x'x 12.8

F

t't 12.9

Para o caso da propagação ocorrer no plano y’ z’ temos x’ = zero e dividindo 12.6 por 12.7 temos:

vF

B

t

x 12.10

onde v é o módulo da velocidade que o observador O vê o referencial do observador O’ se deslocar ao longo do eixo x no sentido positivo porque o sinal da equação é positivo. Para o caso da propagação ocorrer no plano y z teremos x = zero e dividindo 12.8 por 12.9 temos:

'vA

B

't

'x ou 'v

A

B 12.11

onde v’ é o módulo da velocidade que o observador O’ vê o referencial do observador O se deslocar ao longo do eixo x’ no sentido negativo porque o sinal da equação é negativo. A equação 1.6 descreve o princípio da constância da velocidade da luz, que deve ser atendido pelas equações 12.6 a 12.9:

222222 'tc'xtcx 1.6 Aplicando 12.6 e 12.7 em 1.6 temos:

2222222 'tc'x'tFc'Bt'Ax

De onde obtemos:

22222

222222 'tc'x

'tc

'ABx2

c

BF'tc'xA

onde fazendo A2 = 1 no parêntese em arco e 1'tc

'ABx2

c

BF

22

22

no parêntese quadrado obtemos a

igualdade entre ambos os lados do sinal de igual da equação.

28/156

Aplicando A = 1 em 1'tc

'ABx2

c

BF

22

22

temos

'tc

'Bx2

c

B1F

22

22 12.12

Aplicando A = 1 em 12.11 temos 'vB1

B

A

B 12.11

Que aplicada em 12.12 fornece:

't,'xF'tc

'x'v2

c

'v1F

22

2

12.12

sendo F(x’, t’) igual à função F dependente das variáveis x’ e t’. Aplicando 12.8 e 12.9 em 1.6 temos:

2

22

2222

F

tc

AF

Bt

A

xtcx

De onde obtemos:

FtcA

Bx2

FcA

B

F

1tc

A

xtcx

22222

2

222

2

2222

onde fazendo A2 = 1 no parêntese em arco e 1FtcA

Bx2

FcA

B

F

122222

2

2

no parêntese quadrado

obtemos a igualdade entre ambos os lados do sinal de igual da equação.

Aplicando A = 1 e 12.10 em 1FtcA

Bx2

FcA

B

F

122222

2

2

obtemos:

t,xF

tc

vx2

c

v1

1F

22

2

12.13

sendo F(x, t) igual a função F dependente das variáveis x e t. Façamos as seguintes denominações de acordo com 2.5 e 2.6:

'KF'tc

'x'v2

c

'v1'K

22

2

12.14

K

1F

tc

vx2

c

v1K

22

2

12.15

Como a equação para F(x’, t’) de 12.12 e F(x, t) de 12.13 devem ser iguais temos:

tc

vx2

c

v1

1

'tc

'x'v2

c

'v1F

22

222

2

12.16

Então:

1'tc

'x'v2

c

'v1

tc

vx2

c

v1

22

2

22

2

ou 1'KK 12.17

29/156

Exatamente igual a 1.10. Reescrevendo as equações 12.6, 12.7, 12.8 e 12.9 em função de v, v’ e F temos:

't'v'xx 12.6

'Ftt 12.7 Com as respectivas equações inversas:

vtx'x 12.8

F

t't 12.9

Obteremos as equações 12.6, 12.7, 12.8 e 12.9 finais substituindo F pelas formulas correspondentes:

't'v'xx 12.6

'tc

'x'v2

c

'v1'tt

22

2

12.7

Com as respectivas equações inversas:

vtx'x 12.8

tc

vx2

c

v1t't

22

2

12.9

Que são exatamente as equações do quadro I.

Como F

Bv e B'v então as relação entre v e v’ são

F

'vv ou F.v'v 12.18

Vamos transformar F (12.12) função dos elementos v’, x’, e t’ para F (12.13) função dos elementos v, x e t substituindo em 12.12 as equações 12.8, 12.9 e 12.18:

F

tc

vtxvF2

c

vF1

'tc

'x'v2

c

'v1F

22

2

22

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

22

c

Fv

tc

vxF21

c

Fv2

tc

vxF2

c

Fv1F

2

22

2

22

c

Fv

tc

vxF21F

tc

vx2

c

v1

1F1

tc

vxF2

c

FvF

22

22

2

2

222

Que é exatamente a equação 12.13. Vamos transformar F (12.13) função dos elementos v, x, e t para F (12.12) função dos elementos v’, x’ e t’ substituindo em 12.13 as equações 12.6, 12.7 e 12.18:

22

2

2222

2

2

2

222

2

Fc

'v2

F'tc

'x'v2

Fc

'v1

1

'FFtc

't'v'x'v2

F

'v

c

11

1

tc

vx2

c

v1

1F

30/156

'tc

'x'v2

c

'v1F1

F'tc

'x'v2

2Fc

'v1F

'F'tc

'x'v2

'Fc

'v1

1F

22

2

222

22

2222

2

Que é exatamente a equação 12.12. Calculemos o diferencial total de F(x’, t’) (12.12):

'dt't

F'dx

'x

FdF

como:

'tc

'v

'K

1

'x

F2

e 't

'x

'tc

'v

'K

1

't

F2

12.19

temos:

'dt't

'x

'tc

'v

'K

1'dx

'tc

'v

'K

1dF

22 12.20

onde aplicando 1.18 encontramos:

o'dt'dt

'dx

'tc

'v

'K

1'dx

'tc

'v

'K

1dF

22

De onde concluímos que F função de x’ e t’ é uma constante. Calculemos o diferencial total de F(x, t) (12.13):

dtt

Fdx

x

FdF

como:

tc

v

K

1

x

F2

2

3

e t

x

tc

v

K

1

t

F2

2

3

12.21

temos:

dtt

x

tc

v

K

1dx

tc

v

K

1dF

2

2

32

2

3 12.22

onde aplicando 1.13 encontramos:

odtdt

dx

tc

v

K

1dx

tc

v

K

1dF

2

2

32

2

3

De onde concluímos que F função de x e t é uma constante. As equações 1.13 e 1.18 representam para os observadores O e O’ o princípio da constância da velocidade da luz, validas do infinitamente pequeno ao infinitamente grande e significam que na Relatividade Ondulatória o espaço e o tempo são simultaneamente medidos. Não devem ser interpretadas como uma dependência entre espaço e tempo.

31/156

O tempo tem uma interpretação própria que pode ser compreendida se analisarmos para um determinado observador a emissão de dois raios de luz a partir do instante t = zero. Se somarmos os tempos obtidos, para cada raio de luz obtemos um resultado sem qualquer utilidade para a física. Se no instante t = t’ = zero o observador O’ emite dois raios de luz, um ao longo do eixo x e outro ao longo do eixo y, transcorrido o intervalo de tempo t’ os raios atingem para o observador O’ simultaneamente, os pontos Ax e Ay à distância ct’ da origem, no entanto para o observador O os pontos não serão atingidos simultaneamente. Para que ambos os raios de luz sejam simultâneo aos observadores eles deverão atingir os pontos que possuam o mesmo raio em relação ao eixo x e que forneça os mesmos tempos para ambos os observadores (t1 = t2 e t’1 = t’2), o que significa que realmente somente um raio de luz é necessário para aferir o tempo entre os referenciais. Conforme o § 1, ambos os referenciais dos observadores O e O’ são inercial, sendo assim neles a luz propaga em linha reta conforme exige o axioma fundamental da Relatividade Ondulatória § 12, por isso a diferença entre as velocidades v e v’ é devida somente a diferença de tempo entre os referenciais.

t'xxv 1.2

't'xx'v 1.4

Também podemos relacionar um referencial inercial para o qual a luz propaga em linha reta conforme exige o axioma fundamental da Relatividade Ondulatória, com um referencial em movimento acelerado para o qual a luz propaga em linha curva, sendo que neste caso a diferença entre v e v’ não é devida somente a diferença de tempo entre os referenciais. Conforme o § 1, se o observador O no instante t = t’ = zero emite um raio de luz a partir da origem do seu referencial, depois de transcorrido o intervalo de tempo t1 o raio de luz atinge o ponto A1 de coordenadas (x1, y1, z1, t1) à distância ct1 da origem do observador O, então temos:

12

12

2

11

21

tc

vx

cvt't

Após atingir o ponto A1 o raio de luz continua a propagar na mesma direção e no mesmo sentido, tendo transcorrido o intervalo de tempo t2 o raio de luz atinge o ponto A2 de coordenadas (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2) à distância ct2 do ponto A1, então temos:

22

2

22

22

2

12

12

2

2

2

1

1 212

12

1cvux

cv

tc

vx

cv

tc

vx

cvux

tx

tx

uxdtdx

tx

e com isso obtemos:

22

2

22

22

2

2

2221

21

cvux

cvt

tc

vx

cvt't

21

221

2

2

2122

2

2122

2

21

21

2

2

121

212121

21

ttc

xxv

cvtt

cvux

cvtt

cvux

cvt

tc

vx

cvt't't

A geometria do espaço e tempo da Relatividade Ondulatória está resumida na figura abaixo que pode ser expandida para An pontos e vários observadores.

32/156

Na figura os ângulos têm a relação ' e são iguais os seguintes segmentos:

O1 a 'OO é igual a 'OO a O’1 1111 't'vvt'OO

O2 a O1 é igual a O’1 a O’2 211222212122 'O'OOO't'vvt't't'vttv'OO

E são paralelos os seguintes seguimentos: O2 a A2 é paralelo a O1 a A1 O’2 a A2 é paralelo a O’1 a A1

'XX é paralelo a 11 'XX

O cosseno dos ângulos e ' de inclinação dos raios para os observadores O e O’ de acordo com 2.3 e

2.4 são:

cos

cv

cv

c/vcos'cos

cvux

cv

cv

cux

c'x'u

cvux

cv

vux'x'u212121 2

2

22

2

22

2

K

c/vcos'cos

12.23

E com isso temos: K

sen'sen

12.24

'cosc'v

c'v

c/'v'coscos

c'x'u'v

c'v

c'v

c'x'u

cux

c'x'u'v

c'v

'v'x'uux

212121 2

2

22

2

22

2

33/156

'K

c/'v'coscos

12.25

E com isso temos: 'K'sen

sen 12.26

O cosseno do ângulo de interseção dos raios é igual a:

K'

'coscv'1

K

coscv1

K'cx'u'v'1

Kcvux1

cos2

2

12.27

E com isso temos: K''sen

c'v

Ksen

cvsen

12.28

A invariância do cos demonstra a harmonia de todas as hipóteses adotadas para o espaço e tempo na

Relatividade Ondulatória. O cos é igual ao Jacobiano da transformação para o espaço e tempo do quadro I, onde os radicais

tcvx

cvK

22

2 21 e 'tc'x'v

c'v'K

22

2 21 são considerados variáveis e por isso derivados.

K

cvux

Ktc

vx

tcvx

cv

KK

c/v

v

t,z,y,x't','z,'y,'x

x'xJcosj

i 22

22

22

11

1100

01000010

001

8.8

'K

c'x'u'v

'K'tc'x'v

'tc'x'v

c'v

'K'K

c/'v

'v

't,'z,'y,'xt,z,y,x

'xx'Jcos

l

k 22

22

22

11

1100

01000010

001

8.8

§13 Richard C. Tolman

O §4 Transformações dos Momentos da Relatividade Ondulatória, foi desenvolvido baseado na experiência idealizada por Lewis e Tolman, conforme referência [3]. Onde a colisão de duas esferas preservando o princípio de conservação da energia e o princípio de conservação dos momentos demonstra que a massa é função da própria velocidade de acordo com:

2

2

o

cu

1

mm

onde om é a massa da esfera quando em repouso e uuuu

o módulo da sua velocidade.

Analisemos a colisão entre duas esferas idênticas quando em repouso relativo, que para o observador O’ se denominam S’1 e S’2 e se deslocam ao longo do eixo x’ em sentido contrário com as seguintes velocidades antes da colisão: Tabela 1 Esfera S’1 Esfera S’2

'v'x'u 1 'v'x'u 2

zero'y'u 1 zero'y'u 2

zero'z'u 1 zero'z'u 2

34/156

Para o observador O as mesmas esferas se denominam S1 e S2 e têm as velocidades

zerouzuy,ux,ux ii21 antes da colisão calculadas de acordo com o Quadro 2 da seguinte forma:

A velocidade 1ux da esfera S1 é igual a:

2

2

22

2

21

2

2

11

c'v31

'v2

c'v'v2

c'v1

'v'v

c

'x'u'v2

c'v1

'v'x'uux

.

A transformação de v’ para v de acordo com 1.20 do Quadro 2 é:

2

2

22

2

21

2

2

c'v31

'v

c'v'v2

c'v1

'v

c

'x'u'v2

c'v1

'vv

.

Que aplicada em 1ux fornece:

v2

c'v31

'v2ux

2

21

A velocidade 2ux da esfera S2 é igual a:

zero

c'v'v2

c'v1

'v'v

c

'x'u'v2

c'v1

'v'x'uux

22

2

22

2

2

22

Tabela 2 Esfera S1 Esfera S2

v2

c'v31

'v2ux

2

1

zeroux2

zerouy1 zerouy2

zerouz1 zerouz2

Para os observadores O e O’ as duas esferas possuem a mesma massa quando em repouso relativo. Sendo que para o observador O’ as duas esferas colidem com velocidades de módulo igual e sentido

oposto por isso os momentos 21 'p'p se anulam durante a colisão formando por um instante 't um

único corpo de massa 210 'm'mm .

De acordo com o princípio de conservação dos momentos para o observador O teremos que impor que os momentos antes da colisão são iguais aos momentos após a colisão, portanto:

wmmuxmuxm 212211

Onde para o observador O, w é a velocidade arbitrária que supostamente por um instante t também

verá as massas unidas 21 mmm se deslocando. Como as massas im possuem velocidades

diferentes e as massas variam de acordo com as próprias velocidades esta equação não pode ser simplificada algebricamente, sendo as variações das massas da seguinte forma: Para o lado esquerdo do sinal de igual da equação temos:

v2uxu 1

35/156

2

2

o

2

2

o

2

21

o

2

2

o1

cv41

m

c

v21

m

c

ux1

m

c

u1

mm

zerouxu 2

0

2

2

o

2

22

o

2

2

o2 m

czero

1

m

c

ux1

m

cu

1

mm

Para o lado direito do sinal de igual da equação temos:

wu

2

2

o

2

2

o

2

2

o1

cw1

m

c

w1

m

c

u1

mm

2

2

o

2

2

o

2

2

o2

cw1

m

c

w1

m

c

u1

mm

Aplicando na equação de conservação dos momentos temos:

wmwmwmmuxmuxm 21212211

w

cw1

mw

cw1

m0.mv2

cv41

m

2

2

0

2

2

00

2

2

0

De onde obtemos:

2

2

2

2

2

2

0

2

2

0

cw1

w

cv41

v

cw1

wm2

cv41

vm2

2

2

cv31

vw

Como vw para o observador O as massas unidas 21 mmm não se deslocariam

momentaneamente solidárias ao observador O’ o que é concebível se considerarmos que são diferentes os instantes 'tt que supostamente as massas ficariam em repouso do ponto de vista de cada observador e que a massa incidente com velocidade 2v é maior do que a massa em repouso. Se operássemos com as variáveis com linha teríamos:

wmwmwmmuxmuxm 21212211

2

2

0

2

2

0

2

2

00

2

2

2

2

0

1

2

11

031

2

31

211cw

wmw

cw

mw

cw

m.m

c'v

'v

c'v

'vc

m

36/156

2

2

0

2

2

22

0

1

2

31

41131

2

cw

wm

c'v

'vcc

'v

'vm

2

2

0

2

2

2

0

1

2

431

2

cw

wm

c'v

c'v

'vm

2

2

0

2

2

0

1

2

1

2

cw

wm

c'v

'vm

De onde concluímos que 'vw o qual deve ser igual ao valor anterior de w ou seja:

2

231cv

v'vw

Relação entre v e v’ que se obtém do Quadro 2 quando v2ux1 que corresponde para o observador O a

velocidade da esfera incidente sobre a esfera em repouso.

§14 Composição de velocidades Referência – Millennium Relativity URL: http://www.mrelativity.net/MBriefs/VComp_Sci_Estab_Way.htm Escrevamos as transformações de Hendrik A. Lorentz para espaço e tempo da Teoria Especial da Relatividade:

2

2

1cv

vtx'x

14.1a

2

2

1cv

'vt'xx

14.3a

y'y 14.1b 'yy 14.3b z'z 14.1c 'zz 14.3c

2

2

2

1cv

cvxt

't

14.2

2

2

2

1cv

c'vx't

t

14.4

Destas obtemos as equações de transformação de velocidade:

21

cvuxvux'x'u

14.5a

21

c'x'vuv'x'uux

14.6a

2

2

2

1

1

cvux

cvuy

'y'u

14.5b

2

2

2

1

1

c'x'vucv'y'u

uy

14.6b

2

2

2

1

1

cvux

cvuz

'z'u

14.5c

2

2

2

1

1

c'x'vucv'z'u

uz

14.6c

Consideremos que em relação ao observador O’ um objeto se move com velocidade:

37/156

c,s/km.,'x'u 5001051 5 .

E que a velocidade do observador O’ em relação ao observador O é:

c,s/km.,v 5001051 5 .

A velocidade ux do objeto em relação ao observador O deve ser calculada pela fórmula 14.6a:

c,s/km.,

.,

.,..,

.,.,

c

'x'vuv'x'uux 80051042

251003

51051510511

5105151051

21

.

Onde usamos c,s/km.,c 0011003 5 .

Considerando que o objeto se movimentou durante um segundo em relação ao observador O s,t 001

podemos então com 14.2 calcular o tempo transcorrido para o observador O’:

s,'t,

,

.,

.,

.,

.,..,,

c

v

c

vuxt

c

v

c

vxt

't 6930750

600

251003

2510511

251003

51042510511001

2

21

21

2

21

2

.

Para o observador O o observador O’ está à distância d dada pela fórmula:

km.,,..,vtd 55 10510011051 . Para o observador O’ o observador O está à distância d’ dada pela fórmula:

km.,,

,.,'vt'd . 55 10039231750

6001051 .

À distância do objeto OO 'd,d em relação aos observadores O e O’ é dada pelas fórmulas:

km.,,..,uxtdO55 10420011042 .

km.,,

,

.,

.,

.,.,

cv

'tv'x'uuxtdo

5

25

25

55

2

210402

750

600

1003

10511

10511051

1

.

km.,,

,..,'t'x'u'd O55 10039231

750

6001051 .

km.,

.,

.,

,.,.,

cv

tvuxu'x't'd'o

5

25

25

55

2

210039231

1003

10511

00110511042

1

.

Para o observador O à distância entre o objeto e o Observador O’ é dada pela fórmula:

km.,.,.,ddd O555 1090010511042 .

Para o observador O a velocidade do objeto em relação ao observador O’ é dada por:

38/156

c,s/km.,s,km.,

td 30010900

00110900 5

5

.

Relacionar os tempos t e t’ utilizando a fórmula 2

2

1cvt't só e possível única e exclusivamente quando

vux e zero'x'u o que não é o caso acima, para entendermos isso escreva as equações 14.2 e 14.4 na forma abaixo:

2

2

1

1

cv

coscvt

't

14.2

2

2

1

1

cv

'coscv't

t

14.4

Onde ctxcos e

'ct'x'cos .

As equações acima podem ser escritas como:

,tf't e ','t'ft 14.7

Em cada referencial dos observadores O e O’ a propagação da luz gera uma esfera de raio ct e 'ct que se

interceptam formando uma circunferência que propaga com velocidade c. Os raio ct e 'ct e o sentido

positivo dos eixos x e 'x formam os ângulos e ' constantes entre os referenciais. Se para o mesmo

par de referencial os ângulos fossem variáveis os tempos seriam aleatórios e se tornaria inútil para a física. Na equação ,tf't temos t’ função igualmente de t e , se nesta tivermos constante e t’ variar devido

a t obtemos a relação comum entre os tempos t e t’ entre dois referenciais, entretanto se tivermos t constante e t’ variar devido a teremos para cada valor de um valor de t’ e t entre dois diferentes

referenciais, esta analise também vale para ','t'ft .

Dividindo 14.5a por c obtemos:

coscv

cvcos

'cos

cvuxcv

cux

c'x'u

112

. 14.8

Onde cux

ctxcos e

c'x'u

'ct'x'cos .

Isolando a velocidade obtemos:

'coscos

'coscoscv

1 ou

21

c'x'uxu'x'uuxv

14.9

De onde concluímos que devemos ter os ângulos e ' constantes para obtermos a mesma velocidade

entre os referenciais. A exigência dos ângulos constantes entre os referenciais deve resolver as controvérsias de Herbert Dingle.

§15 Invariância As transformações para o espaço e tempo do quadro I, conjunto 1.2 mais 1.7, na forma matricial se escreve:

tzyx

K

v

't'z'y'x

00001000010

001

15.1

Que escritas na forma abaixo representam as mesmas transformações de coordenadas:

39/156

ctzyx

K

c/v

'ct'z'y'x

00001000010

001

15.2

Que denominaremos como:

4

3

2

1

'cx'x'x'x

'ct'z'y'x

'x'x i ,

K

c/v

ij

00001000010

001

,

4

3

2

1

cxxxx

ctzyx

xx j 15.3

Que são as funções ctzyxxcxxxxxxxx iijii ,,,',,,''' 4321 15.4

Que na forma simbólica se escreve:

xx .' ou na forma indexada jij

i4

1j

jij

i x'xx'x

15.5

Onde utilizamos a convenção da soma de Einstein. As transformações para o espaço e tempo do quadro I, conjunto 1.4 mais 1.8, na forma matricial se escreve:

't'z'y'x

'K

'v

tzyx

00001000010

001

15.6

Que escritas na forma abaixo representam as mesmas transformações de coordenadas:

'ct'z'y'x

'K

c/'v

ctzyx

00001000010

001

15.7


4

3

2

1

cxxxx

ctzyx

xx k ,

'K

c/'v

'' kl

00001000010

001

,

4

3

2

1

'cx'x'x'x

'ct'z'y'x

'x'x l 15.8

Que são as funções ',',','',',','' 4321 ctzyxxcxxxxxxxx kklkk 15.9

Que na forma simbólica se escreve:

''. xx ou na forma indexada lkl

k4

1l

lkl

k 'x'x'x'x

15.10

Sendo 42

1

2

2 21xcvx

cvK (1.7),

42

1

2

2 21'xc'x'v

c'v'K (1.8) e 1'K.K (1.10).

As matrizes de transformação ij e kl'' têm as propriedades:

il

jjlijklij I

'K

c/'v

K

c/v

'''.

1000010000100001

00001000010

001

00001000010

0014

1

15.11

40/156

jk

iikjilkji

tt I

'Kc/'vKc/v

'''

1000010000100001

00010000100001

00010000100001

4

1

15.12

Onde jit é a matriz transposta de ij e lk

t '' é a matriz transposta de kl'' e é o

Delta de Kronecker.

kj

lljklijkl I

K

c/v

'K

c/'v

'''.

1000010000100001

00001000010

001

00001000010

0014

1

15.13

li

kkilkjilk

tt I

Kc/v'Kc/'v

'''

1000010000100001

00010000100001

00010000100001

4

1

15.14

Onde lkt '' é a matriz transposta de kl'' e ji

t é a matriz transposta de ij e é o

Delta de Kronecker.

Observação as matrizes ij e kl' são inversas uma da outra, mas não são ortogonais, ou seja: klji '

e lkij ' .

As derivadas parciais j

i

xx ' do diferencial total j

j

ii dx

x'x'dx

das componentes das coordenadas que se

relacionam de acordo com jii xxx '' , onde na matriz de transformação ij o radical K é

considerado constante é igual a: Quadro 10, derivadas parciais das componentes das coordenadas:

jj

i

xx

xx 1'' 1

x'x1

1

0x'x2

1

0x'x3

1

cv

xx

4

1'

j

2

j

i

x'x

x'x

0x'x1

2

1x'x2

2

0x

'x3

2

0x'x4

2

j

3

j

i

x'x

x'x

0x'x1

3

0x'x2

3

1x'x3

3

0x'x4

3

j

4

j

i

x'x

x'x

0'1

4

xx 0

x'x2

4

0x'x3

4

Kxx

4

4'

O diferencial total das coordenadas na forma de matriz é igual a:

4

3

2

1

4

3

2

1

00001000010

001

cdxdxdxdx

K

c/v

'cdx'dx'dx'dx

15.15


4

3

2

1

'cdx'dx'dx'dx

'dx'dx i ,

K

c/v

x'xAAj

iij

00001000010

001

,

4

3

2

1

cdxdxdxdx

dxdx j 15.16

Então temos jj

ii

j

jij

i dxxxdxdxAdxAdxdx

''''4

1

15.17

41/156

As derivadas parciais l

k

xx'

do diferencial total ll

kk dx

xxdx ''

das componentes das coordenadas que se

relacionam de acordo com lkk xxx ' , onde na matriz de transformação kl'' o radical 'K é

considerado constante é igual a: Quadro 11 derivadas parciais das componentes das coordenadas:

l

1

l

k

'xx

'xx

1'xx

1

1

0'xx

2

1

0'xx

3

1

cv

xx ''41

l

2

l

k

'xx

'xx

0'xx

1

2

1'xx

2

2

0'xx

3

2

0'xx

4

2

l

3

l

k

'xx

'xx

0'xx

1

3

0'xx

2

3

1'xx

3

3

0'xx

4

3

l

4

l

k

'xx

'xx

0'14

xx 0

'xx

2

4

0'xx

3

4

''44

Kxx

O diferencial total das coordenadas na forma de matriz é igual a:

4

3

2

1

4

3

2

1

00001000010

001

'cdx'dx'dx'dx

'K

c/'v

cdxdxdxdx

15.18


4

3

2

1

cdxdxdxdx

dxdx k ,

'K

c/'v

'xx'A'A

l

kkl

00001000010

001

,

4

3

2

1

'cdx'dx'dx'dx

'dx'dx l 15.19

Então temos: ll

kk

l

lkl

k dxxxdxdxAdxdxAdx ''

''''4

1

15.20

Os Jacobianos das transformações 15.15 e 15.18 são:

K

K

c/v

x,x,x,x

'x,'x,'x,'x

x'xJj

i

00001000010

001

4321

4321

15.21

'K

'K

c/'v

'x,'x,'x,'x

x,x,x,x

'xx'J

l

k

00001000010

001

4321

4321

15.22

Onde 2

1

2

2 21cvux

cvK (2.5),

2

1

2

2 21c

'x'u'vc'v'K (2.6) e 1'K.K (1.23).

As matrizes de transformação A e 'A também possuem as propriedades 15.11, 15.12, 15.13 e 15.14 das matrizes e ' .

Da função lkk xxx ''' onde as coordenadas se relacionam na forma lkk xxx ' temos

l

k

kl xx

xx ''

descrito como:

42/156

1

4

41

3

31

2

21

1

111 '''''' xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxk

k

2

4

42

3

32

2

22

1

122 '''''' xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxk

k

3

4

43

3

33

2

23

1

133 '''''''

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxk

k

4

4

44

3

34

2

24

1

144 ''

''''' xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxk

k

Que na forma matricial e sem apresentar a função se torna:

2c

1'x'u'v2c

2'v1'K

14'x

4x03'x

4x02'x

4x

'K2c

'v1'x

4x

04'x

3x13'x

3x02'x

3x01'x

3x

04'x

2x03'x

2x12'x

2x01'x

2x

'v4'x

1x03'x

1x02'x

1x11'x

1x

xxxx'x'x'x'x'x 43214321l

Onde substituindo os itens abaixo:

221

4

c

v

'Kc

'v

'x

x

K

v'v'x

x

4

1

2

1

2

2

4

4

2

1

2

2

4

41111

c

vux

c

v

Kx

'x

c

'x'u'v

c

'v

'K'x

x

Observação: está ultima relação demonstra que o tempo varia de forma igual entre os referenciais. Obtemos:

2

1

2

2

4

4

3

4

2

4

21

4

4

3

3

3

2

3

1

3

4

2

3

2

2

2

1

2

4

1

3

1

2

1

1

1

43214321l

c

vux

c

v1K

1

'x

x0'x

x0'x

x

c

v

'x

x

0'x

x1'x

x0'x

x0'x

x

0'x

x0'x

x1'x

x0'x

xK

v

'x

x0'x

x0'x

x1'x

x

xxxx'x'x'x'x'x

Que é o conjunto 8.1 mais 8.3 do quadro 9, operadores diferenciais, na forma de matriz.

Da função jii xxx '''' onde as coordenadas se relacionam na forma jii xxx '' temos:

j

i

ij xx

xx

'

'''

descrito como:

43/156

1

4

41

3

31

2

21

1

111

''''

'''

'''

'''

'''

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxi

i

2

4

42

3

32

2

22

1

122

''''

'''

'''

'''

'''

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxi

i

3

4

43

3

33

2

23

1

133

''''

'''

'''

'''

'''

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxi

i

4

4

44

3

34

2

24

1

144

''''

'''

'''

'''

'''

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxi

i

Que na forma matricial e sem apresentar a função se torna:

2

1

2

2

4

4

3

4

2

4

21

4

4

3

3

3

2

3

1

3

4

2

3

2

2

2

1

2

4

1

3

1

2

1

1

1

43214321j

c

vux

c

v1K

1

x

'x0x

'x0x

'x

Kc

v

x

'x

0x

'x1x

'x0x

'x0x

'x

0x

'x0x

'x1x

'x0x

'x

vx

'x0x

'x0x

'x1x

'x

'x'x'x'xxxxxx

'

Onde substituindo os itens abaixo:

'K

'vvx'x

4

1

221

4

c'v

Kc

vx'x

2

1

2

2

4

4

2

1

2

2

4

4

1111c

'x'u'vc'v

'K'xx

cvux

cv

Kx'x

Observação: está ultima relação demonstra que o tempo varia de forma igual entre os referenciais. Obtemos:

2

1

2

2

4

4

3

4

2

4

21

4

4

3

3

3

2

3

1

3

4

2

3

2

2

2

1

2

4

1

3

1

2

1

1

1

43214321j

c

'x'u'v

c

'v1'K

1

x

'x0x

'x0x

'x

c

'v

x

'x

0x

'x1x

'x0x

'x0x

'x

0x

'x0x

'x1x

'x0x

'x'K

'v

x

'x0x

'x0x

'x1x

'x

'x'x'x'xxxxxx

'

Que é o conjunto 8.2 mais 8.4 do quadro 9, operadores diferenciais, na forma de matriz. Aplicando 8.5 em 8.3 e em 8.4 simplificamos estás equações na forma seguinte:

44/156

Quadro 9B, operadores diferenciais com as equações 8.3 e 8.4 simplificadas:

411 xcv

xx' 2

8.1 411 'xc

v'x'x 2

8.2

22 x'x

8.1.1 22 'xx

8.2.1

33 x'x

8.1.2 33 'xx

8.2.2

44 xcK

'xc

8.3B 44 'xc'K

xc

8.4B

zeroxc

uxx 2

4

1

1 8.5 zero

'xc'x'u

x' 2

4

1

1 8.5

O quadro 9B, na forma matricial fica:

Kc/vxcxxx'xc'x'x'x

00010000100001

43214321 15.23

'Kc/'v'xc'x'x'xxcxxx

00010000100001

43214321 15.24

As matrizes quadradas das transformações acima são as transpostas das matrizes A e A’.

Invariância do Diferencial Total

No referencial do observador O o diferencial total de uma função kx é igual a:

4

3

2

1

4321

4

4

3

3

2

2

1

1

cdxdxdxdx

xcxxxdx

xdx

xdx

xdx

xdx

xxd k

k

k 15.25

Onde as coordenadas se relacionam com as do referencial do observador O’ de acordo com lkk xxx ' ,

substituindo as transformações 15.24 e 15.18 e sem apresentar a função obtemos:

4

3

2

1

4321

00001000010

001

00010000100001

'cdx'dx'dx'dx

'K

c/'v

'Kc/'v'xc'x'x'x

dxx

d kk

15.26

O produto das matrizes do meio fornece:

42

12100

01000010

001

00001000010

001

00010000100001

'dxc'dx'vc/'v

c/'v

'K

c/'v

'Kc/'v

15.27

Resultado que pode ser dividido em duas matrizes:

42

1

42

1 200

00000000

000

1000010000100001

2100

01000010

001

'dxc'dx'vc/'v

c/'v

'dxc'dx'vc/'v

c/'v

15.28

Que aplicadas no diferencial total fornece:

45/156

4

3

2

1

42

14321200

00000000

000

1000010000100001

'cdx'dx'dx'dx

'dxc'dx'vc/'v

c/'v

'xc'x'x'xdx

xd k

k

15.29

Efetuando as operações do segundo termo encontramos:

444

1

24

11

42

4

3

2

1

42

14321

2

200

00000000

000

'dx'x'dx

'dxc'v'dx

'x'v'dx

'xc'v

'cdx'dx'dx'dx

'dxc'dx'vc/'v

c/'v

'xc'x'x'x

Onde aplicando 8.5 obtemos:

zero'dx'x'dx

'dxc'v'dx

'x'dx'dx

c'v'dx

'xc'v

4

44

1

24

44

1

21

42

21

Então temos:

zero

'cdx'dx'dx'dx

'dxc'dx'vc/'v

c/'v

'xc'x'x'x

4

3

2

1

42

14321200

00000000

000

15.30

Com esse resultado obtemos em 15.29 a invariância do diferencial total:

'd'dx'x

'

'cdx'dx'dx'dx

'xc'x'x'xdx

xd l

lk

k

4

3

2

1

4321

1000010000100001

15.31

No referencial do observador O’ o diferencial total de uma função ix' é igual a:

4

3

2

1

43214

43

32

21

1

'cdx'dx'dx'dx

'xc

'

'x

'

'x

'

'x

''dx

'x

''dx

'x

''dx

'x

''dx

'x

''dx

'x

''x'd i

ii 15.32

Onde as coordenadas se relacionam com as do referencial do observador O de acordo com jii xxx '' ,

Substituindo as transformações 15.23 e 15.15 e sem apresentar a função obtemos:

4

3

2

1

4321

00001000010

001

00010000100001

cdxdxdxdx

K

c/v

Kc/vxcxxx

'dx'x

''d i

i

15.33

O produto das matrizes do meio fornece:

42

12100

01000010

001

00001000010

001

00010000100001

dxcvdxc/v

c/v

K

c/v

Kc/v

15.34


46/156

42

1

42

1 200

00000000

000

1000010000100001

2100

01000010

001

dxcvdxc/v

c/v

dxcvdxc/v

c/v

15.35

Que aplicadas no diferencial total fornece:

4

3

2

1

42

14321200

00000000

000

1000010000100001

cdxdxdxdx

dxcvdxc/v

c/v

xcxxx'dx

'x

''d i

i

15.36


444

1

24

11

42

4

3

2

1

42

14321

2

200

00000000

000

dxxdx

dxcvdx

xvdx

xcv

cdxdxdxdx

dxcvdxc/v

c/v

xcxxx


zerodxxdx

dxcvdx

xdxdx

cvdx

xcv

4

44

1

24

44

1

21

42

21

Então temos:

zero

cdxdxdxdx

dxcvdxc/v

c/v

xcxxx

4

3

2

1

42

14321200

00000000

000

15.37

Com esse resultado obtemos em 15.36 a invariância do diferencial total:

ddxx

cdxdxdxdx

xcxxx'dx

'x

''d j

ji

i

4

3

2

1

4321

1000010000100001

15.38

Invariância da Equação de Onda

A equação de onda para o observador O é igual a:

0

1000010000100001

1

4

3

2

1

1

43214

2

3

2

2

2

1

2

24

2

22

xc

x

x

x

xcxxxxc1

xxxxc 22222

15.39

Onde aplicando 15.24 e a transposta de 15.24 temos:

0

00001000010

001

1000010000100001

00

010000100001

1

4

3

2

1

432124

2

2

2

'xc

'x

'x

'x

'K

c'v

'Kc'v'xc'x'x'xxc

15.40

O produto das três matrizes do meio fornece:

47/156

2

12100

01000010

001

00001000010

001

1000010000100001

00

010000100001

c'x'u'v

c'v

c'v

'K

c'v

'Kc'v

15.41


2

1

2

1 200

00000000

000

1000010000100001

2100

01000010

001

c'x'u'v

c'v

c'v

c'x'u'v

c'v

c'v

15.42

Que aplicadas na equação de onda fornece:

0

200

00000000

000

1000010000100001

1

4

3

2

1

2

1432124

2

2

2

'xc

'x

'x

'x

c'x'u'v

c'v

c'v

'xc'x'x'xxc

15.43


24

2

2

1

2412412

4

3

2

1

2

14321

2

200

00000000

000

'xc'x'u

c'v

'x'xc'v

'x'xc'v

'xc

'x

'x

'x

c'x'u'v

c'v

c'v

'xc'x'x'x

Fazendo as operações obtemos:

24

2

2

1

2412

22

'xc'x'u

c'v

'x'xc'v

Onde aplicando 8.5 temos:

zero'xc

'x'uc'v

'x'xc'x'u

c'v

24

2

2

1

2442

1

2

22

Então temos:

zero

'xc

'x

'x

'x

c'x'u'v

c'v

c'v

'xc'x'x'x

4

3

2

1

2

14321

200

00000000

000

15.44

Com esse resultado obtemos em 15.43 a invariância da equação de onda:

48/156

01

1000010000100001

124

2

2

2

4

3

2

1

432124

2

2

2

'x

'

c'

'xc

'x

'x

'x

'xc'x'x'xxc

15.45

A equação de onda para o observador O’ é igual a:

0

1000010000100001

1

4

3

2

1

43214

2

3

2

2

2

1

2

24

2

2

2

'xc

'x

'x

'x

'xc'x'x'x'x

'

c1

'x

'

'x

'

x'

'

'x

'

c'

22222

15.46

Onde aplicando 15.23 e a transposta de 15.23 temos:

0

00001000010

001

1000010000100001

00

010000100001

1

4

3

2

1

432124

2

2

2

xc

x

x

x

K

cv

Kcvxcxxx'x

'

c'

15.47

O produto das três matrizes do meio fornece:

2

12100

01000010

001

00001000010

001

1000010000100001

00

010000100001

cvux

cv

cv

K

cv

Kcv

15.48


2

1

2

1 200

00000000

000

1000010000100001

2100

01000010

001

cvux

cv

cv

cvux

cv

cv

15.49

Que aplicadas na equação de onda fornece:

0

200

00000000

000

1000010000100001

1

4

3

2

1

2

1432124

2

2

2

xc

x

x

x

cvux

cv

cv

xcxxx'x

'

c'

15.50


49/156

24

2

2

1

2412412

4

3

2

1

2

14321

2

200

00000000

000

xcux

cv

xxcv

xxcv

x

x

x

x

cvux

cv

cv

xcxxx


24

2

2

1

2412

22

xcux

cv

xxcv

Onde aplicando 8.5 temos:

zeroxc

uxcv

xxcux

cv

24

2

2

1

2442

1

2

22

Então temos:

zero

x

x

x

x

cvux

cv

cv

xcxxx

4

3

2

1

2

14321

200

00000000

000

15.51

Então em 15.50 temos a invariância da equação de onda:

01

1000010000100001

124

2

2

2

4

3

2

1

432124

2

2

2

xc

xc

x

x

x

xcxxx'x

'

c'

15.52

Invariância das equações 8.5 de propagação linear

Substituindo 2.4, 8.2, 8.4B em 8.5 obtemos:

zero

'x'K

'K

'v'x'uc'xc

'v'xxc

uxx

4

1

242142

1

1

1


zero'xc

'v'xc

'x'u'xc

'v'xxc

uxx

4242

1

42142

1

1

Que simplificada fornece a invariância da equação 8.5:

zero'xc

'x'u'xxc

uxx

42

1

142

1

1

Substituindo 2.3, 8.1, 8.3B em 8.5 obtemos:

zero

xK

K

vuxcxc

vx'xc

'x'u'x

4

1

242142

1

1

1

50/156


zeroxc

vxc

uxxc

vx'xc

'x'u'x

4242

1

42142

1

1

Que simplificada fornece a invariância da equação 8.5:

zeroxc

uxx'xc

'x'u'x

42

1

142

1

1

O quadro 4 em forma de matrizes se torna:

c/Epxpxpx

K

c/v

c/'E'px'px'px

3

2

1

3

2

1

00001000010

001

15.53

c/'E'px'px'px

'K

c/'v

c/Epxpxpx

3

2

1

3

2

1

00001000010

001

15.54

O quadro 6 em forma de matrizes se torna:

cJxJxJx

K

c/v

'c'x'J'x'J'x'J

3

2

1

3

2

1

00001000010

001

15.55

'c'x'J'x'J'x'J

'K

c/'v

cJxJxJx

3

2

1

3

2

1

00001000010

001

15.56

Invariância da Equação de continuidade

A equação de continuidade para o observador O é igual a:

zero

cJxJxJx

xcxxxx

ρ

xJx

xJx

xJx

x

ρJ.

3

2

1

432143

3

2

2

1

1

4

15.57

Onde substituindo 15.24 e 15.56 obtemos:

zero

'c'x'J'x'J'x'J

'K

c/'v

'Kc/'v'xc'x'x'xx

ρJ.

3

2

1

43214

00001000010

001

00010000100001

15.58

O produto das matrizes de transformação já foi obtido em 15.27 e 15.28 com isso:

'c'x'J'x'J'x'J

c'x'u'vc/'v

c/'v

'xc'x'x'xx

ρJ.

3

2

1

2

143214200

00000000

000

1000010000100001

15.59

Efetuando as operações do segundo termo obtemos:

51/156

42

1

14

1

23

2

1

2

14321

2

200

00000000

000

'x

'

c'x'u'v

'x

''v

'x'Jx

c'v

'c'x'J'x'J'x'J

c'x'u'vc/'v

c/'v

'xc'x'x'x

Aonde substituindo 11 'x'u''Jx e 8.5 obtemos:

zero'x

'

c'x'u'v'

'xc'x'u'v

'x

'

c'x'u'v

42

1

42

1

42

1 2

Então temos:

zero

'c'x'J'x'J'x'J

c'x'u'vc/'v

c/'v

'xc'x'x'x

3

2

1

2

14321200

00000000

000

15.60

Com esse resultado obtemos em 15.59 a invariância da equação de continuidade:

43

2

1

43214

1000010000100001

'x

'ρ'J.

'c'x'J'x'J'x'J

'xc'x'x'xx

ρJ.

15.61

A equação de continuidade para o observador O’ é igual a:

zero

'c'x'J'x'J'x'J

x'cx'x'x'x'

ρ'

x'x''J

x'x''J

x'x''J

x'

ρ''J.

3

2

1

432143

3

2

2

1

1

4

15.62

Onde substituindo 15.23 e 15.55 temos:

zero

cJxJxJx

K

c/v

Kc/vxcxxxx'

ρ''J.

3

2

1

43214

00001000010

001

00010000100001

15.63

O produto das matrizes de transformação já foi obtido em 15.34 e 15.35 por isso temos:

cJxJxJx

cvuxc/v

c/v

xcxxxx'

ρ''J. 3

2

1

2

143214200

00000000

000

1000010000100001

15.64

Efetuando as operações do segundo termo obtemos:

42

1

14

1

23

2

1

2

14321

2

200

00000000

000

xcvux

x

v

xJx

cv

cJxJxJx

cvuxc/v

c/v

xcxxx

Aonde substituindo 11 uxJx e 8.5 obtemos:

zeroxc

vuxxc

uxvxc

vux

42

1

42

1

42

1 2

Então temos:

52/156

zero

cJxJxJx

cvuxc/v

c/v

xcxxx

3

2

1

2

14321200

00000000

000

15.65

Com esse resultado obtemos em 15.64 a invariância da equação de continuidade:

43

2

1

43214

1000010000100001

x

ρJ.

cJxJxJx

xcxxxx'

ρ''J.

15.66

Invariância do elemento diferencial de linha:

Que para o observador O se escreve como:

242322212 cdxdxdxdxds 4321 cdxdxdxdx

1000010000100001

4

3

2

1

cdxdxdxdx

15.67

Onde substituindo 15.18 e a transposta de 15.18 temos:

4

3

2

1

43212

00001000010

001

1000010000100001

00

010000100001

'cdx'dx'dx'dx

'K

c'v

'Kc'v

'cdx'dx'dx'dxds 15.68

O produto das três matrizes central fornece:

42

12100

01000010

001

00001000010

001

1000010000100001

00

010000100001

'dxc'dx'v

c'v

c'v

'K

c'v

'Kc'v

15.69


42

1

42

1 200

00000000

000

1000010000100001

2100

01000010

001

'dxc'dx'v

c'v

c'v

'dxc'dx'v

c'v

c'v

15.70

Que aplicadas no elemento diferencial de linha fornece:

4

3

2

1

42

1

43212

200

00000000

000

1000010000100001

'cdx'dx'dx'dx

'dxc'dx'v

c'v

c'v

'cdx'dx'dx'dxds 15.71


zero'cdx'dx'dx

c'v'dx

c'v'cdx

c'cdx'dx'v

'cdx'dx'dx'dx

'dx'dx

c'v

c'v

c'v

'cdx'dx'dx'dx

44

1

214

41

4

3

2

1

4

1

2

4321 2

200

00000000

000

53/156

Então temos: zero

'cdx'dx'dx'dx

'dx'dx'

c'v

c'v

c'v

'cdx'dx'dx'dx

4

3

2

1

4

1

2

4321

200

00000000

000

15.72

Com esse resultado obtemos em 15.71 a invariância do elemento diferencial de linha:

224232221

4

3

2

1

43212

1000010000100001

'ds'cdx'dx'dx'dx

'cdx'dx'dx'dx

'cdx'dx'dx'dxds

15.73

Para o observador O’ o elemento diferencial de linha se escreve como:

242322212 'cdx'dx'dx'dx'ds 4321 'cdx'dx'dx'dx

1000010000100001

4

3

2

1

'cdx'dx'dx'dx

15.74

Onde substituindo 15.15 e a transposta de 15.15 temos:

4

3

2

1

43212

00001000010

001

1000010000100001

00

010000100001

cdxdxdxdx

K

cv

Kcv

cdxdxdxdx'ds 15.75

O produto das três matrizes central fornece:

42

12100

01000010

001

00001000010

001

1000010000100001

00

010000100001

dxcvdx

cv

cv

K

cv

Kcv

15.76


42

1

42

1 200

00000000

000

1000010000100001

2100

01000010

001

dxcvdx

cv

cv

dxcvdx

cv

cv

15.77

Que aplicadas no elemento diferencial de linha fornece:

4

3

2

1

42

1

43212

200

00000000

000

1000010000100001

cdxdxdxdx

dxcvdx

cv

cv

cdxdxdxdx'ds 15.78


zerocdxdxdx

cvdx

cvcdx

ccdxvdx

cdxdxdxdx

dxdx

cv

cv

cv

cdxdxdxdx

44

1

214

41

4

3

2

1

4

1

2

4321 2

200

00000000

000

Então temos:

54/156

zero

cdxdxdxdx

dxdx

cv

cv

cv

cdxdxdxdx

4

3

2

1

4

1

2

4321

200

00000000

000

15.79

Com esse resultado obtemos em 15.78 a invariância do elemento diferencial de linha:

224232221

4

3

2

1

43212

1000010000100001

dscdxdxdxdx

cdxdxdxdx

cdxdxdxdx'ds

15.80

No §7 como conseqüência de 5.3 obtivemos a invariância de 'u'.Eu.E

onde agora aplicando 7.3.1, 7.3.2,

7.4.1, 7.4.2 e as fórmulas de transformação de velocidade do quadro 2 obtemos novas relações entre Ex e

'x'E distintas de 7.3 e 7.4 e com elas reescrevemos o quadro 7 na forma abaixo: Quadro 7B

uxvKExxE

1''

7.3B

'''1

'''

xuvKxEEx

7.4B

KEyy'E' 7.3.1 K'y'E'Ey

7.4.1

KEzz'E' 7.3.2 K'z'E'Ez

7.4.2

Bxx'B' 7.5 x'B'Bx 7.6

Ezc

vByy'B'

2

7.5.1

z'E'c

v'y'B'By

2

7.6.1

Eyc

vBzz'B'

2

7.5.2

y'E'c

v'z'B'Bz

2

7.6.2

Ezc

uxBy

2

7.9

z'E'c

x''uy'B'

2

7.10

Eyc

uxBz

2

7.9.1

y'E'c

x''uz'B'

2

7.10.1

1''

'11

xuv

uxv

Com os quadros 7B e 9B podemos obter a invariância de todas as equações de Maxwell. Invariância da lei de Gauss para o campo elétrico:

0'

'z

'z'E

'y

'y'E

'x

'x'E

8.14

Onde aplicando os quadros 6, 7B e 9B obtemos:

02 1

K

z

KEz

y

KEy

ux/v

KEx

tc

v

x

Onde simplificando e substituindo 8.5 obtemos:

01

1

z

Ez

y

Ey

ux/v

Ex

xuxv

x

Que reordenada fornece:

55/156

011

z

Ez

y

Ey

ux/v

Ex

ux

v

x.

Que simplificada fornece a invariância da lei de Gauss para o campo elétrico. Invariância da lei de Gauss para o campo magnético:

zero'z

'z'B

'y

'y'B

'x

'x'B

8.16

Onde aplicando os quadros 7B e 9B obtemos:

0222

Eyc

vBz

zEz

c

vBy

yBx

tc

v

x


02

t

Bx

z

Ey

y

Ez

c

v

z

Bz

y

By

x

Bx

Onde o termo entre parêntese é a lei de Faraday – Henry (8.19) que é igual a zero por isso obtemos a invariância da lei de Gauss para o campo magnético. Invariância da lei de Faraday - Henry:

't

'z'B

'y

'x'E

'x

'y'E

8.18


Eyc

vBz

tK

ux/v

KEx

yKEy

tc

v

x 22 1

Que simplificada e multiplicada por ux/v1 obtemos:

ux

v

t

Bz

y

Ex

ux

v

x

Ey11

Onde fazendo os produtos e substituindo 7.9.1 obtemos:

t

Ey

c

ux

x

Ey

ux

v

t

Bz

y

Ex

x

Ey2

Como o termo dentro do parêntese é a equação 8.5 que é igual a zero então obtemos a invariância da lei de Faraday – Henry. Invariância da lei de Faraday - Henry:

't

'x'B

'z

'y'E

'y

'z'E

8.20


t

BxKK

z

EyK

y

Ez

Que simplificada fornece a invariância da lei de Faraday – Henry.

56/156

Invariância da lei de Faraday - Henry:

't

'y'B

'x

'z'E

'z

'x'E

8.22


Ez

c

vBy

tKKEz

tc

v

xux/v

KEx

z 221

Que simplificada e multiplicada por ux/v1 obtemos:

ux

v

t

Ez

c

v

ux

v

t

By

ux

v

t

Ez

c

v

ux

v

x

Ez

z

Ex1111

22

Que simplificando e fazendo as operações obtemos:

t

By

x

Ez

ux

v

t

By

x

Ez

z

Ex


t

Ez

c

ux

x

Ez

ux

v

t

By

x

Ez

z

Ex2

.

Como o termo dentro do parêntese é a equação 8.5 que é igual a zero então obtemos a invariância da lei de Faraday – Henry. Invariância da lei de Ampère - Maxwell:

't

'z'E'z'J

'y

'x'B

'x

'y'Booo

8.24


KEzt

KJzy

BxEz

c

vBy

tc

v

x

00022

Que simplificando e fazendo as operações obtemos:

t

Ez

c

v

ct

By

c

v

x

Ez

c

v

t

Ez

c

vux

ct

Ez

c

v

ct

EzJz

y

Bx

x

By

2

2

222222

2

2000

1211

Onde simplificando e aplicando 7.9 obtemos:

t

Ez

c

ux

c

v

x

Ez

c

v

t

Ez

c

vux

ct

EzJz

y

Bx

x

By22222000

21

Que reordenada fornece

x

Ez

t

Ez

c

ux

c

v

t

EzJz

y

Bx

x

By22000

Como o termo dentro do parêntese é a equação 8.5 que é igual a zero então obtemos a invariância da lei de Ampère - Maxwell:

57/156

Invariância da lei de Ampère - Maxwell:

't

'x'E'x'J

'z

'y'B

'y

'z'Booo

8.26


ux/v

KEx

tKvJxEz

c

vBy

zEy

c

vBz

y

100022


ux/vt

Ex

c

vux

c

vc

z

Ez

y

Ey

c

vJx

z

By

y

Bz

1

121

22

2

002

020

Substituindo no primeiro parêntese a lei Gauss e multiplicando por

uxv1 obtemos:

tEx

cvux

ctEx

cv

cxEx

uxcv

xEx

cvJx

zBy

yBz

uxv

tExJx

zBy

yBz

222

2

22

2

200002111

Onde substituindo uxJx , 7.9.1, 7.9 e 8.5 obtemos:

t

Ex

c

vux

ct

Ex

c

v

ct

Ex

cc

v

x

Ex

c

vux

z

Ez

c

ux

y

Ey

c

ux

ux

v

t

ExJx

z

By

y

Bz

222

2

222

2

2022000

2111

Que simplificada fornece:

t

Ex

c

vux

cx

Ex

c

vc

z

Ez

y

Ey

c

v

t

ExJx

z

By

y

Bz

2222

02000

21

Substituindo no primeiro parêntese a lei Gauss obtemos:

tEx

cvux

cxEx

cv

xEx

cv

tExJx

zBy

yBz

222200021

Que reordenada fica:

t

Ex

c

ux

x

Ex

c

v

t

ExJx

z

By

y

Bz22000

2

Como o termo dentro do parêntese é a equação 8.5 que é igual a zero então obtemos a invariância da lei de Ampère - Maxwell: Invariância da lei de Ampère - Maxwell:

't

'y'E'y'J

'x

'z'B

'z

'x'Booo

8.28


KEyt

KJyEyc

vBz

tc

v

xz

Bx

00022

58/156


t

Ey

c

v

ct

Bz

c

v

x

Ey

c

v

t

Ey

c

vux

ct

Ey

c

v

ct

EyJy

x

Bz

z

Bx

2

2

222222

2

2000

1211

Onde simplificando e aplicando 7.9.1 obtemos:

t

Ey

c

ux

c

v

x

Ey

c

v

t

Ey

c

vux

ct

EyJy

x

Bz

z

Bx22222000

21


x

Ey

t

Ey

c

ux

c

v

t

EyJy

x

Bz

z

Bx22000

Como o termo dentro do parêntese é a equação 8.5 que é igual a zero então obtemos a invariância da lei de Ampère - Maxwell: Invariância da lei de Gauss para o campo elétrico sem carga elétrica:

zero'z

'z'E

'y

'y'E

'x

'x'E

8.30


zeroz

KEz

y

KEy

ux/v

KEx

tc

v

x

12

Onde simplificando e substituindo 8.5 obtemos:

zeroz

Ez

y

Ey

ux/v

Ex

xuxv

x

1

1


zeroz

Ez

y

Ey

ux/v

Ex

ux

v

x

11 .

Que simplificada fornece a lei de Gauss para o campo elétrico sem carga elétrica. Invariância da lei de Ampère – Maxwell sem carga elétrica:

't

'z'E

'y

'x'B

'x

'y'Boo

8.40


KEzt

Ky

BxEz

c

vBy

tc

v

x

0022


t

Ez

c

v

ct

By

c

v

x

Ez

c

v

t

Ez

c

vux

ct

Ez

c

v

ct

Ez

y

Bx

x

By

2

2

222222

2

200

1211

59/156

Onde simplificando e aplicando 7.9 obtemos:

t

Ez

c

ux

c

v

x

Ez

c

v

t

Ez

c

vux

ct

Ez

y

Bx

x

By2222200

21


x

Ez

t

Ez

c

ux

c

v

t

Ez

y

Bx

x

By2200

Como o termo dentro do parêntese é a equação 8.5 que é igual a zero então obtemos a invariância da lei de Ampère – Maxwell sem carga elétrica: Invariância da lei de Ampère – Maxwell sem carga elétrica:

't

'x'E

'z

'y'B

'y

'z'Boo

8.42


ux/v

KEx

tKEz

c

vBy

zEy

c

vBz

y

10022


ux/vt

Ex

c

vux

c

v

z

Ez

y

Ey

c

v

z

By

y

Bz

1

121

22

2

002

Substituindo no primeiro parêntese a lei Gauss sem carga elétrica e multiplicando por ux/v1 obtemos:

t

Ex

c

vux

ct

Ex

c

v

cx

Ex

uxc

v

x

Ex

c

v

z

By

y

Bz

ux

v

t

Ex

z

By

y

Bz

222

2

22

2

200

2111

Onde substituindo 7.9, 7.9.1 e 8.5 obtemos:

t

Ex

c

vux

ct

Ex

c

v

ct

Ex

cc

v

x

Ex

c

v

z

Ez

c

ux

y

Ey

c

ux

ux

v

t

Ex

z

By

y

Bz

222

2

222

2

22200

2111

Que simplificada fornece:

t

Ex

c

vux

cx

Ex

c

v

z

Ez

y

Ey

c

v

t

Ex

z

By

y

Bz

222200

21

Substituindo no primeiro parêntese a lei Gauss sem carga elétrica obtemos:

t

Ex

c

vux

cx

Ex

c

v

x

Ex

c

v

t

Ex

z

By

y

Bz

222200

21


t

Ex

c

ux

x

Ex

c

v

t

ExJx

z

By

y

Bz22000

2

60/156

Como o termo dentro do parêntese é a equação 8.5 que é igual a zero então obtemos a invariância da lei de Ampère – Maxwell sem carga elétrica: Invariância da lei de Ampère – Maxwell sem carga elétrica:

't

'y'E

'x

'z'B

'z

'x'Boo

8.44


KEyt

KEyc

vBz

tc

v

xz

Bx

0022


t

Ey

c

v

ct

Bz

c

v

x

Ey

c

v

t

Ey

c

vux

ct

Ey

c

v

ct

Ey

x

Bz

z

Bx

2

2

222222

2

200

1211

Onde simplificando e aplicando 7.9.1 obtemos:

t

Ey

c

ux

c

v

x

Ey

c

v

t

Ey

c

vux

ct

Ey

x

Bz

z

Bx2222200

21


x

Ey

t

Ey

c

ux

c

v

t

Ey

x

Bz

z

Bx2200

Como o termo dentro do parêntese é a equação 8.5 que é igual a zero então obtemos a invariância da lei de Ampère – Maxwell sem carga elétrica:

§15 Invariância (continuação)

Uma função wtf krf 2.19

Onde a fase é igual a wtkr 15.81

Para representar um movimento ondulatório que propaga em uma direção arbitrária deve satisfazer a equação de onda por isso temos:

zero

fk

fzyx

r

kf

r

zyxr

r

k

2

22

2

2222

2

2222

23

15.82

Que não atende a equação de onda porque os dois últimos termos se anulam mais o primeiro não. Para contornar este problema reformulemos a fase da função da forma seguinte. Um vetor unitário como

kcosjcosicosn 15.83

onde ct

x

r

xcos ,

ct

y

r

ycos ,

ct

z

r

zcos 15.84

tem o módulo igual a 1222 coscoscosn.nnn

. 15.85

Fazendo o produto

61/156

rr

r

r

zyxzcosycosxcoskzjyix.kcosjcosicosR.n

2222

15.86

obtemos zcosycosxcosR.nr

que aplicado na fase fornece uma nova fase

wtzcoskycoskxcoskwtR.nkwtkr

15.87

com o mesmo significado da fase anterior .

Substituindo zcosycosxcosR.nr

e c

wk na fase multiplicada por –1 obtemos também

uma outra fase na forma

c

zcosycosxcostw

c

rtwkrwtwtkr

1 15.88

com o mesmo significado da fase anterior 1 .

E assim podemos escrever uma nova função como:

c

zcosycosxcostwf

f 15.89

Que substituída na equação de onda com os co-senos diretores considerados constantes fornece:

zero

c

wfcos

c

wfcos

c

wfcos

c

wf

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

2

15.90

que simplificada atende a equação de onda. O resultado positivo da fase na equação de onda é conseqüência exclusiva dos co-senos diretores serem constantes nas derivadas parciais, demonstrando que a equação de onda exige que a propagação tenha uma direção fixa no espaço (onda plana). Para o observador O uma fonte situada na origem do seu referencial, produz em um ponto A aleatório

situado à distância 222 zyxctr da origem, um campo elétrico E

descrito por:

kEzjEyiExE

15.91

Onde as componentes são descritas como:

f.EEz

f.EEy

f.EEx

zo

yo

xo

15.92

Que aplicadas em E

fornece:

fEfEjEiEkfEjfEifEE ozoyoxozoyoxo

. 15.93

com módulo igual a f.EEf.EEEE ozoyoxo

222 15.94

Sendo kEjEiEE zoyoxoo

15.95

o vetor amplitude máxima constante de componentes Exo, Eyo, Ezo 15.96

62/156

e módulo 222

zoyoxoo EEEE 15.97

Sendo f uma função com a fase igual a 15.87 ou 15.88.

Derivando a componente Ex em relação à x e t obtemos:

ct

kxfE

r

kxfE

x

wtkrfE

x

fE

x

Exxoxoxoxo

15.98

wf

Et

wtkrfE

t

fE

t

Exxoxoxo

15.99

que aplicadas em 8.5 fornece

zero

tc

t/x

x

fEzero

t

fE

c

t/x

x

fEzero

t

Ex

c

t/x

x

Exxoxoxo

222

zero

tc

t/x

xzero

tc

t/x

x

fExo

22 15.100

demonstrando que é a fase que deve atender a 8.5.

zeroc

wk

ct

xzerow

c

t/x

ct

kxzero

t

wtkr

c

t/x

x

wtkrzero

tc

t/x

x

222

como c

wk então Ex atende a 8.5.

Como a fase é a mesma para as componentes Ey e Ez então elas também atendem a 8.5.

Como as fase para os observador O e O’ são iguais 't'w'r'kwtkr então as componentes do

observador O’ também atendem a 8.5.

zero't

't'w'r'k

c

't/'x

'x

't'w'r'k

t

wtkr

c

t/x

x

wtkr

22 15.101

As componentes relativas ao observador O do campo elétrico se transformam para o referencial do observador O’ de acordo com os quadros 7, 7B e 8. Uma função na forma:

senicoswtkxseniwtkxcosee iwtkxi 15.102

onde 1i Tem as seguintes derivadas:

coskisenkx

e

coswisenwt

15.103

ou ikex

e iwet

15.104 Que aplicadas em 8.5 fornece:

63/156

zerocoswisenwc

t/xcoskisenkzero

tc

t/x

x

22

que simplificada fica igual a:

zerocostc

xwikisen

tc

xwk

22

ou zerowec

t/xkezero

tc

t/x

xii

22

para obtermos uma identidade devemos ter os coeficientes iguais a zero por isso:

tc

xwkzero

tc

xwiki

tc

xwkzero

tc

xwk

22

22

tc

xwkzerowe

c

t/xke ii

22

onde aplicando ckw obtemos:

ct

x

tc

xckk

2

Então para atendermos a equação 8.5 devemos ter uma propagação ao longo do eixo x à velocidade c.

Se aplicarmos ukw e t

xv obtemos:

v

cu

c

vuk

tc

xwk

2

22 .

Resultado também obtido da equação de onda de Louis de Broglie.

§16 Tempo e Freqüência Elevemos o efeito Doppler a categoria de uma lei da física.

Podemos definir relógio como qualquer aparelho que produza uma freqüência de eventos idênticos em série que possam ser enumerados e somados, de tal forma que um evento aleatório n de um aparelho, seja exatamente igual, a qualquer evento da série de eventos produzidos por outra réplica desse aparelho quando os eventos são comparados em repouso relativo. O movimento cíclico do ponteiro de um relógio em repouso no referencial do observador O marca o tempo neste referencial e o movimento cíclico do ponteiro de um relógio em repouso no referencial do observador O’ marca o tempo neste referencial. As fórmulas de transformação de tempo 1.7 e 1.8 relacionam os tempos entre os referenciais em movimento relativo, ou seja, relacionam movimentos em movimento relativo. O movimento relativo entre os referenciais inerciais produz o efeito Doppler que prova que a freqüência varia com a velocidade e como a freqüência pode ser interpretada como a freqüência do movimento cíclico do ponteiro de um relógio, então o tempo varia na mesma proporção que varia a freqüência com o movimento relativo, isto é, basta substituir o tempo t e t’ nas fórmulas 1.7 e 1.8 pelas freqüências y e y’ para obtermos as fórmulas de transformação de freqüência, assim:

Ky'yKt't 1.7 se transforma em 2.22

64/156

'K'yy'K'tt 1.8 se transforma em 2.22

A transformação de Galileu vu'u

de velocidades entre dois referenciais inerciais possui

intrinsecamente três defeitos assim descritos: a) A transformação de Galileu de velocidade para o eixo x é vux'x'u . Nesta se tivermos cux então

vc'x'u e se tivermos c'x'u então vcux . Como ambos os resultados simultaneamente não são

permitidos ou teremos cux ou c'x'u então a transformação não permiti que um raio de luz seja simultaneamente observado pelos observadores O e O’ o que demonstra o privilégio de um observador em relação ao outro porque cada observador só pode observar o raio propagando em seu próprio referencial (defeito intrínseco a análise clássica do efeito de Sagnac). b) Também não atende a primeira lei de Newton a lei da inércia porque um raio de luz emitido paralelo ao eixo x a partir da origem dos respectivos referenciais inerciais no instante em que as origens são coincidentes e no momento em que t = t’ = zero terá pela transformação de Galileu a velocidade c da luz alterada por v para os referenciais, contrariando a lei da inércia, que não permitiria que houvesse variação na velocidade porque não existe nenhuma ação externa atuando sobre o raio de luz e por isso ambos os observadores deveriam observar o raio de luz com velocidade c. c) Como considera o tempo constante entre os referenciais não produz a variação temporal entre os referenciais em movimento como exigido pelo efeito Doppler. O princípio da constância da velocidade da luz nada mais é do que uma exigência da primeira lei de Newton a lei da inércia. A primeira lei de Newton a lei da inércia é introduzida na transformação de Galileu, quando o princípio da constância da velocidade da luz é aplicado na transformação de Galileu obtendo as equações dos Quadros 1 e 2 da Relatividade Ondulatória que não possuem os três defeitos descritos. As equações para o tempo e a velocidade dos quadros 1 e 2 podem ser escritas como:

cosc

v

c

vt't

21

2

2

1.7

cosc

v

c

v

v'v

21

2

2

1.15

'cosc

'v

c

'v'tt 2

12

2

1.8

'cosc

'v

c

'v

'vv

21

2

2

1.20

À distância d entre os referenciais é igual ao produto da velocidade pelo tempo assim:

't'vvtd 1.9 Que não depende do ângulo de propagação do raio de luz, sendo exclusivamente função da velocidade e do tempo, ou seja, o ângulo de propagação do raio de luz só altera entre os referenciais inercial a proporção entre o tempo e a velocidade mantendo constante à distância em cada instante para qualquer ângulo de propagação, As equações acima na forma de função se escrevem como:

't,'v'et,ved 1.9

,t,vf't 1.7

65/156

,vg'v 1.15

','t,'v'ft 1.8

','v'gv 1.20

Então temos que a distância é função de duas variáveis o tempo função de três variáveis e a velocidade função de duas variáveis. Da definição de momento 4.1 e energia 4.6 obtemos:

uc

Ep

2

16.1

Que elevada ao quadrado fornece:

22

2

2

2

pEc

cu 16.2

Elevando ao quadrado a fórmula da energia obtemos:

4202

222

2

2

2

202 cm

cuEE

cu1

cmE


220

2420

22

22242

02

222 cmpcEcmp

EcEEcm

cuEE 4.8

De onde concluímos que se a massa de repouso de uma partícula é nula zeromo a energia da partícula

é igual a pcE . 16.3


cup

cpc

cup

Ec

cu 2

2

2

2

22

2

2

2

2

16.4

De onde concluímos que o movimento de uma partícula com massa de repouso nula zeromo será

sempre á velocidade da luz cu . Aplicando em pcE as relações yhE e yc obtemos:

hppyyh e da mesma forma

'

h'p

16.5

Equação que relaciona o momento de uma partícula de massa de repouso nula com seu comprimento de onda. Elevando ao quadrado a fórmula de transformação de momento (4.9) obtemos:

vpxcE2v

cEp'pv

cEp'p

22

4

222

2

66/156

Onde aplicando pcE e cuxpcosppx encontramos:

Kp'p

c

vux

c

vp'p

c

uxvp

c

cpv

c

cpp'p

22

2

22

4

222 2

12 16.6

Onde aplicando 16.5 resulta em:

K'K

h

'

hKp'p

ou invertida 'K

' 2.21

Onde aplicando yc e ''yc obtemos:

Ky'y ou invertida 'K'yy 2.22

No § 2 obtemos as equações 2.21 e 2.22 aplicando o princípio da relatividade à fase da onda.

§17 Transformação de H. Lorentz Para dois observadores em movimento relativo a equação que representa o princípio da constância da velocidade da luz para um ponto aleatório A é:

2222222222 tczyx'tc'z'y'x 17.01

Nesta cancelando os termos simétricos obtemos:

222222 tcx'tc'x 17.02 Que podemos escrever na forma: ctxctx'ct'x'ct'x 17.03

Se nesta definirmos os fatores de proporção e como:

Bctx'ct'x

Actx'ct'x

17.04

onde teremos que ter 1. para atendermos a 17.03.

As equações 17.04 foram obtidas originalmente por Albert Einstein. Quando para o observador O’ um raio de luz propaga no plano y’z’ teremos x’ = zero e x = vt condições que aplicadas na equação 17.02 fornece:

2

222222 10

cvt'ttcvt'tc 17.05

Resultado que as equações A e B do conjunto 17.04 sob as mesmas condições também devem fornecer:

Bctvtcvct

Actvtcvct

2

2

2

2

10

10

17.06

67/156

Destas obtemos:

cvcv

1

1 e

cvcv

1

1 17.07

Onde comprovamos que 1. .

Do conjunto 17.04 obtemos as Transformações de H. Lorentz:

ctx'x

22 17.08

ctx'ct

22 17.09

'ct'xx

22 17.10

'ct'xct

22 17.11

Calculo dos coeficientes 2

,2

e 2

:

2

2

2

21

12

1

2

11

11

1

1

1

1

cv

cv

cv

cv

cv

cv

cvcv

cvcv

17.12

2

2

2

21

21

2

11

11

1

1

1

1

cv

cv

cv

cv

cv

cv

cv

cv

cvcv

cvcv

17.13

2

2

2

21

21

2

11

11

1

1

1

1

cv

cv

cv

cv

cv

cv

cv

cv

cvcv

cvcv

17.14

Efeito de Sagnac

No instante em que as origens dos dois observadores coincidem o tempo é zerado (t = t’ = zero) em ambos os referenciais e dois raios de luz são emitidos a partir da origem comum, um no sentido positivo (horário índice c) dos eixos x e x’ com frente de onda Ac e outro no sentido negativo (anti-horário índice u) dos eixos x e x’ com frente de onda Au. As condições de propagação acima aplicada nas equações de Lorentz fornecem os quadros A e B abaixo: Quadro A Equação Raio horário (c) Equação Raio anti-horário (u) Soma dos raios Resultado Resultado Condição

cc ctx Condição uu ctx

17.08 cc ct'x 17.08

uu ct'x

cc x'x

uu x'x ucuc xx'x'x

17.09 cc ct'ct 17.09

uu ct'ct ucuc ctct'ct'ct

cc 'ct'x

uu 'ct'x

68/156

Quadro B Equação Raio horário (c) Equação Raio anti-horário (u) Soma dos raios Resultado Resultado Condição

cc 'ct'x Condição uu 'ct'x

17.10 cc 'ctx 17.10

uu 'ctx

cc 'xx

uu 'xx ucuc 'x'xxx

17.11 cc 'ctct 17.11

uu 'ctct ucuc 'ct'ctctct

cc ctx

uu ctx

Observemos que os quadros A e B são inversos um do outro. Formemos o conjunto das equações de soma dos raios dos quadros A e B:

B'ct'ctctctD

Actct'ct'ct'D

ucuc

ucuc

17.15

Onde para o observador O’ cu AA'D é a distância entre as frentes de onda Au e Ac e onde para o

observador O cu AAD é a distância entre as frentes de onda Au e Ac.

Nas equações acima 17.15 devido à isotropia do espaço e tempo e as frentes de onda cu AA dos dois

raios de luz ser as mesmas para ambos os observadores, a soma dos raios de luz e dos tempos deve ser invariável entre os observadores o que expressamos por:

t'tctct'ct'ctD'D ucuc 17.16

Este resultado que equaciona a isotropia do espaço e tempo pode ser denominado como o princípio de conservação do espaço e do tempo. As três hipóteses de propagações definidas a seguir serão aplicadas em 17.15 e testadas para ver se cumpre o princípio de conservação do espaço e tempo dado por 17.16: Hipótese A: Se o espaço e o tempo são isotrópicos e não existi nenhum movimento privilegiado de qualquer um dos observadores sobre o outro no espaço vazio, então a geometria de propagação dos raios luminosos se equaciona por:

uc 'ctct e cu 'ctct 17.17

Hipótese que aplicada na equação A ou B do conjunto 17.15 atende o princípio de conservação do espaço e tempo dado por 17.16. A hipótese 17.17 aplicada nos quadros A e B resulta em:

Dctct

CctctBQuadro

B'ct'ct

A'ct'ctAQuadro

cu

uc

cu

uc

17.18

69/156

Hipótese B: Se o espaço e o tempo são isotrópicos porem o observador O está em repouso absoluto no espaço vazio, então a geometria de propagação dos raios luminosos se equaciona por:

ctctct uc 17.19

Que aplicada no quadro A e B resulta em:

D'ctct

C'ctctBQuadro

Bct'ct

Act'ctAQuadro

u

c

u

c

17.20

B'ct'ct

A'ct'ct

cu

uc

2

2

17.21

Somando A e B em 17.20 obtemos:

2

2

2

2

1122

2

cv

t't

cv

D'DD'Dct'ct'ct uc

17.22

Resultado que não concorda como o princípio de conservação do espaço e do tempo dado por 17.16 e como D'D é como se existissem quatro raios de luz, dois para cada observador, cada raio com sua respectiva frente de onda independente dos outros. Hipótese C: Se o espaço e o tempo são isotrópicos porem o observador O’ está em repouso absoluto no espaço vazio, então a geometria de propagação dos raios luminosos se equaciona por:

'ct'ct'ct uc 17.23

Que aplicadas nos quadros A e B resulta em:

D'ctct

C'ctctBQuadro

Bct'ct

Act'ctAQuadro

u

c

u

c

17.24

Bctct

Actct

cu

uc

2

2

17.25

Somando C e D em 17.24 obtemos:

2

2

2

2

1122

2

cv

'tt

cv

'DD'DD'ctctct uc

17.26

70/156

Resultado que exatamente como na hipótese B não concorda como o princípio de conservação do espaço e do tempo dado por 17.16 e como D'D é como se existissem quatro raios de luz, dois para cada observador, com cada raio com sua respectiva frente de onda independente dos outros.

Conclusão

As hipóteses A, B e C são completamente compatíveis com a exigência de isotropia do espaço e tempo como se pode concluir da geometria das propagações. O resultado da hipótese A contradiz o resultado das hipóteses B e C apesar do movimento relativo dos observadores não alterar o movimento da frente de onda Au relativo à frente de onda Ac porque as frentes de onda têm movimento independente uma da outra e dos observadores. A hipótese A aplicada nas transformações de H. Lorentz atende o princípio de conservação do espaço e do tempo dado por 17.16 demonstrando a compatibilidade das transformações de H. Lorentz com a hipótese A. A aplicação das hipóteses B e C nas transformações de H. Lorentz fornece as deformações do espaço e do tempo dadas por 17.22 e 17.26 porque as transformações de H. Lorentz não são compatíveis com as hipóteses B e C. Para obtermos o efeito de Sagnac consideremos que o observador O’ está em repouso absoluto, hipótese C acima e que o percurso dos raios seja de R2 :

R'ct'ct'ct uc 2 17.27

Para o observador O o efeito de Sagnac é dado pela diferença de tempo entre o raio horário e anti-horário

uc ttt que pode ser obtido utilizando 17.24 (C-D), 17.27 e 17.14:

22

2

2

4

1

22

vcc

Rv

cv

cv

cR'tttt uc

17.28

§9 O Efeito de Sagnac (continuação)

No instante em que as origens coincidem o tempo é zerado (t = t’ = zero) em ambos os referenciais e dois raios de luz são emitidos a partir da origem comum, um no sentido positivo (horário índice c) dos eixos x e x’ com frente de onda Ac e outro no sentido negativo (anti-horário índice u) dos eixos x e x’ com frente de onda Au. O raio projetado no sentido positivo (horário índice c) dos eixos x e x’ é equacionado por cc ctx e

cc 'ct'x que aplicadas no Quadro I fornece:

cccc

cc Kct'ctcv

ct'ct

1 (1.7) ccc

ccc 'K'ctct

c'v

'ctct

1 (1.8) 9.11

c

cc

c

cc K

v'v

cv

v'v

1

(1.15) c

cc

c

cc 'K

'vv

c'v

'vv

1

(1.20) 9.12

Destas deduzimos que à distância entre os observadores é dada por:

ccccc 't'vtvd 9.13

Onde temos:

111

cc

cc 'KKc'v

cv

9.14

71/156

O raio projetado no sentido negativo (anti-horário índice u) dos eixos x e x’ é equacionado por uu ctx e

uu 'ct'x : que aplicadas no Quadro I fornece:

uuuu

uu Kct'ctcv

ct'ct

1 (1.7) uuu

uuu 'K'ctct

c'v

'ctct

1 (1.8) 9.15

u

uu

u

uu K

v'v

cv

v'v

1

(1.15) u

uu

u

uu 'K

'vv

c'v

'vv

1

(1.20) 9.16

Destas deduzimos que à distância entre os observadores é dada por:

uuuuu 't'vtvd 9.17

Onde temos:

111

uu

uu 'KKc'v

cv

9.18

Devemos observar que a princípio não existe nenhuma relação entra as equações 9.11 a 9.14 com as equações 9.15 a 9.18. Com as condições de propagação descritas formamos os quadros A e B seguintes: Quadro A Equação Raio horário (c) Equação Raio anti-horário (u) Soma dos raios Resultado Resultado

Condição cc ctx Condição uu ctx

1.2 ccc Kct'x 1.2 uuu Kct'x

ccc Kx'x uuu Kx'x uuccuc KxKx'x'x

1.7 ccc Kct'ct 1.7 uuu Kct'ct uuccuc KctKct'ct'ct

cc 'ct'x uu 'ct'x

Quadro B Equação Raio horário (c) Equação Raio anti-horário (u) Soma dos raios Resultado Resultado

Condição cc 'ct'x Condição uu 'ct'x

1.4 ccc 'K'ctx 1.4 uuu 'K'ctx

ccc 'K'xx uuu 'K'xx uuccuc 'K'x'K'xxx

1.8 ccc 'K'ctct 1.8 uuu 'K'ctct uuccuc 'K'ct'K'ctctct

cc ctx uu ctx

Observemos que para os raios de mesmo sentido os quadros A e B são inversos um do outro. Formemos o conjunto das equações de soma dos raios dos quadros A e B:

B'K'ct'K'ctctctD

AKctKct'ct'ct'D

uuccuc

uuccuc 9.19

Onde para o observador O’ cu AA'D é a distância entre as frentes de onda Au e Ac e onde para o

observador O cu AAD é a distância entre as frentes de onda Au e Ac.

72/156

Nas equações acima 9.19 devido à isotropia do espaço e tempo e as frentes de onda cu AA dos dois

raios de luz ser as mesmas para ambos os observadores, a soma dos raios de luz e dos tempos deve ser invariável entre os observadores o que se expressa por:

t'tctct'ct'ctD'D ucuc 9.20

Este resultado que equaciona a isotropia do espaço e tempo pode ser denominado como o princípio de conservação do espaço e do tempo. As três hipóteses de propagações definidas a seguir serão aplicadas em 9.19 e testadas para ver se cumpre o princípio de conservação do espaço e tempo dado por 9.20. Com estas hipóteses criaremos vínculos entre as equações 9.11 a 9.14 com as equações 9.15 a 9.18. Hipótese A: Se o espaço e o tempo são isotrópicos e não existi nenhum movimento privilegiado de qualquer um dos dois observadores sobre o outro no espaço vazio, então a geometria de propagação dos raios luminosos se equaciona por:

B'KK'vv'tt'ctct

A'KK'vv'tt'ctct

cucucucu

ucucucuc 9.21

Com estas deduzimos que à distância entre os observadores é dada por:

uuuuccccuc 't'vtv't'vtvdd 9.22

Resultados que aplicados nas equações A ou B do conjunto 9.19 atende o princípio de conservação do espaço e tempo dado por 9.20. Demonstrando que o efeito Doppler nos raios horário e anti-horário se compensam nos referenciais. Hipótese B: Se o espaço e o tempo são isotrópicos porem o observador O está em repouso absoluto no espaço vazio, então a geometria de propagação dos raios luminosos se equaciona por:

Cvttvtv

Bvvv

Actctct

uucc

uc

uc

9.23


uuccuc 't'v't'vvtdd 9.24

Resultados que aplicados nas equações A ou B do conjunto 9.19 atende o princípio de conservação do espaço e tempo dado por 9.20. Demonstrando que o efeito Doppler nos raios horário e anti-horário se compensam nos referenciais. Hipótese C: Se o espaço e o tempo são isotrópicos porem o observador O’ está em repouso absoluto no espaço vazio, então a geometria de propagação dos raios luminosos se equaciona por:

C't'v't'v't'v

B'v'v'v

A'ct'ct'ct

uucc

uc

uc

9.25


73/156

uuccuc tvtv't'vdd 9.26

Resultados que aplicados nas equações A ou B do conjunto 9.19 atende o princípio de conservação do espaço e tempo dado por 9.20. Demonstrando que os efeitos Doppler nos raios horário e anti-horário se compensam nos referenciais. Para obtermos o efeito de Sagnac consideremos que o observador O’ está em repouso absoluto, hipótese C acima e que o percurso dos raios seja de R2 :

R'ct'ct'ct uc 2 9.27

Aplicando a hipótese C em 9.11 e 9.15 obtemos:

c'v'tt'K'tt cccc 1 9.28

c'v'tt'K'tt uuuu 1 9.29

Para o observador O o efeito de Sagnac é dado pela diferença de tempo entre o percurso do raio horário e percurso do raio anti-horário uc ttt que pode ser obtido fazendo (9.28 – 9.29) e aplicando 9.27

obtendo:

24211c

'Rvc't'v

c'v't

c'v'tttt uc

9.30

A equação ctv

ctv

c't'vt uucc 222 é exatamente o resultado que se obtém da analise da geometria

de propagação dois raios horário e anti-horário em uma circunferência demonstrando a coerência das hipóteses adotadas na Relatividade Ondulatória. Em 9.30 aplicando 9.12 e 9.16 obtemos o resultado final em função de vc e vu:

u

u

c

cuc

cvc

Rv

cvc

Rv

cRv

ctvttt

222

44'4''2 9.31

A fórmula clássica do efeito de Sagnac é escrita como:

224

vcRvttt uc

9.32

Da geometria de propagação temos obrigatoriamente que:

cvtt 2 9.33

Os tempos clássicos seriam dados por:

cRt 2 9.34

vcRtc

2 9.35

vcRtu

2 9.36

Aplicando 9.34, 9.35 e 9.36 em 9.33 obtemos:

74/156

2422cRv

cR

cvt 9.37

cvcRv

vcR

cvtc

2422 9.38

cvcRv

vcR

cvtu

2422 9.39

Os resultados 9.37, 9.38 e 9.39 são completamente diferentes de 9.32.

§18 A Experiência de Michelson & Morley

A analise tradicional que fornece a solução para o resultado nulo desta experiência considera em repouso no referencial do observador O’ um aparelho que emite dois raios de luz um horizontal na direção x’ (horário índice c) e outro vertical na direção y’. O raio horizontal (horário índice c) propaga até um espelho colocado em x’ = L neste o raio reflete (anti-horário índice u) e retorna a origem do referencial onde x’ = zero. O raio vertical propaga até um espelho colocado em y’ = L reflete e retorna a origem do referencial onde y’ = zero. Na analise tradicional de acordo com o principio de constância da velocidade da luz para o observador O’ o percurso dois raios é dado por:

L'ct'ct uc 18.01

Para o observador O’ a soma dos tempos de percurso dois raios ao longo do eixo x’ é:

cL

cL

cL't't't uc'x

2 18.02

Na analise tradicional para o observador O’ a soma dos tempos de percurso dois raios ao longo do eixo y’ é:

cL

cL

cL't't't 'y

2 18.03

Como temos cL't't 'y'x2 não existe franja de interferência e está explicado o resultado nulo da

experiência de Michelson & Morley. Nesta analise tradicional o percurso idêntico dos raios horários e anti-horários contido na equação 18.01 que da origem ao resultado nulo da experiência de Michelson & Morley contraria o efeito de Sagnac que é exatamente a diferença de tempo existente entre o percurso do raio horário e o percurso do raio anti-horário. Com base na Relatividade Ondulatória façamos uma analise mais profunda da experiência de Michelson & Morley obtendo um resultado que está completamente de acordo com o efeito de Sagnac. Observemos que a equação 18.01 corresponde à hipótese C do parágrafo §9. Aplicando 18.01 em 9.19 obtemos:

B'K'KL'LK'LKctctD'K'ct'K'ctctctD

AKctKctLL'DKctKct'ct'ct'D

ucucucuuccuc

uuccuuccuc 18.04

De 18.04 A obtemos:

uuucccu

uc

c tvcttvctL'Dcv

ctcv

ctL'D

2112 18.05

75/156


cLtttctctL'D ucxuc22 18.06

Em 18.04 B temos:

c'v

c'v

LctctD ucuc 11 18.07

Onde aplicando 9.25 B obtemos:

cLtttLctctD ucxuc22 18.08

As equações 18.06 e 18.08 demonstram que o efeito Doppler nos raios horário e anti-horário se compensa no referencial do observado O resultando em:

cLt't't x'x'y2 18.09

Por isso de acordo com a Relatividade Ondulatória na experiência de Michelson & Morley podemos supor que o raio de luz horário tem percurso diferente do raio de luz anti-horário de acordo com a fórmula 18.08 obtendo também resultado nulo para a experiência e concordando então com o efeito de Sagnac. Esta suposição não pode ser feita com base na Relatividade Especial porque conforme 17.26 temos: x'x t't 18.10

76/156

§19 Retrocesso do periélio de Mercúrio de -7,13” Imaginemos o Sol situado no foco de uma elipse que coincide com a origem de um sistema de coordenadas (x,y,z) imóvel em relação às denominadas estrelas fixas e que o planeta Mercúrio em um movimento governado pela força de atração gravitacional com o Sol descreve uma órbita elíptica no plano (x,y) de acordo com as leis de Kepler e de acordo com a fórmula da lei da atração gravitacional de Newton:

r

r

kr

r

10.28,310.98,110.67,6r

r

mGMF

22

233011

2oo

19.01

O sub índice “o” indicando massa em repouso relativo ao observador. Para descrever o movimento utilizaremos as fórmulas conhecidas:

rrr

19.02

ˆdt

drr

dt

dr

dt

rrd

dt

rdu

19.03

22

2

dt

dr

dt

dru.uu

19.04

ˆdt

dr

dt

d

dt

dr2r

dt

dr

dt

rd

dt

rrd

dt

rd

dt

uda

2

22

2

2

2

2

2

2

19.05

A fórmula da força relativista é dada por:

22

2

2/3

2

2

o2

2

3

2

2

o

2

2o

2

2o

c

u

dt

udua

c

u1

c

u1

mu

dt

du

c

u

c

u1

ma

c

u1

m

c

u1

um

dt

dF

19.06

Nesta o primeiro termo corresponde à variação da massa com a velocidade e o segundo como logo veremos em 19.22 corresponde à variação da energia com o tempo. Com esta e as fórmulas anteriores obtemos:

ˆdt

drr

dt

dr

c

1

dt

dr

dt

d

dt

dr2

dt

dr

dt

dr

dt

rd

dt

dr

ˆdt

dr

dt

d

dt

dr2r

dt

dr

dt

rd

c

u1

c

u1

mF

22

22

2

2

2

22

2

2

2

2

2/3

2

2

o

19.07

ˆdt

d

c

r

dt

dr

dt

d

dt

dr2

dt

dr

dt

dr

dt

rd

dt

dr

dt

dr

dt

d

dt

dr2

c

u1

rdt

dr

c

1

dt

dr

dt

d

dt

dr2

dt

dr

dt

dr

dt

rd

dt

dr

dt

dr

dt

rd

c

u1

c/u1

mF

22

22

2

2

2

2

2

2

22

22

2

22

2

2

2

2

2/322

o

19.08

77/156

Nesta temos a componente transversal F

e radial rF

dadas por:

rdt

dr

c

1

dt

dr

dt

d

dt

dr2

dt

dr

dt

dr

dt

rd

dt

dr

dt

dr

dt

rd

c

u1

c/u1

mF 22

22

2

22

2

2

2

2

2/322

or

19.09

ˆdt

d

c

r

dt

dr

dt

d

dt

dr2

dt

dr

dt

dr

dt

rd

dt

dr

dt

dr

dt

d

dt

dr2

c

u1

c/u1

mF 22

22

2

2

2

2

2

2

2/322

oˆ

19.10

Como a força gravitacional é central devemos ter a componente transversal nula zeroFˆ

assim temos:

zeroˆdt

d

c

r

dt

dr

dt

d

dt

dr2

dt

dr

dt

dr

dt

rd

dt

dr

dt

dr

dt

d

dt

dr2

c

u1

c/u1

mF 22

22

2

2

2

2

2

2

2/322

oˆ

19.11

Desta obtemos:

2

2

2

2

2

2

2

2

dt

dr

c

11

dt

d

dt

dr

c

r

dt

dr

dt

rd

dt

dr

dt

d

dt

dr2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

dt

dr

c

11

dt

dr

dt

rd

dt

dr

c

1

dt

dr

dt

dr

dt

d

dt

drr2

19.12

Da componente radial rF

obtemos:

rdt

dr

c

1

dt

dr

dt

rd

dt

dr

dt

d

dt

dr2

dt

dr

dt

dr

c

u1

dt

dr

dt

rd

c/u1

mF

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2/322

or

19.13

Nesta aplicando 19.12 temos:

rdt

dr

c

1

dt

dr

c

11

dt

d

dt

dr

c

r

dt

dr

dt

dr

c

u1

dt

dr

dt

rd

c/u1

mF

22

2

2

2

22

2

2

2/322

or

19.14

Que simplificada resulta em:

r

dt

dr

c

11

dt

dr

dt

rd

c

u1

mF

2

2

2

2

2

2

2o

r

19.15

Esta igualada à força gravitacional de Newton resulta na força gravitacional relativística:

rr

kr

r

mGMr

dt

dr

c

11

dt

dr

dt

rd

c

u1

mF

22oo

2

2

2

2

2

2

2o

r

19.16

78/156

Como a força gravitacional é central deve atender a teoria de conservação da energia (E) que é escrita como:

pk EEE = constante. 19.17

Onde a energia cinética (Ek) é dada por:

11

1

2

2

222

cu

cmcmmcE ook 19.18

E a energia potencial (Ep) gravitacional por:

r

k

r

mGME oop

19.19

Resultando em:

rk

cu

cmE o 11

1

2

2

2constante. 19.20

Como a energia total (E) é constante devemos ter:

zerodt

dE

dt

dE

dt

dE pk . 19.21

Então temos:

dt

du

c

u1

um

dt

dE

2

3

2

2

ok

19.22

dt

dr

r

k

dt

dE2

p 19.23

Resultando em:

dt

dr

r

k

dt

du

c

u1

umzero

dt

dr

r

k

dt

du

c

u1

umzero

dt

dE

dt

dE

dt

dE2

2

3

2

2

o2

2

3

2

2

opk

19.24

Esta aplicada na força relativista 19.06 e igualada a força gravitacional 19.01 resulta em:

rr

ku

dt

dr

r

k

c

1a

c

u1

mF

222

2

2o

19.25

Nesta substituindo as variáveis anteriores obtemos:

79/156

rr

kˆdt

drr

dt

dr

dt

dr

r

k

c

1ˆdt

dr

dt

d

dt

dr2r

dt

dr

dt

rd

c

u1

mF

2222

22

2

2

2

2o

19.26

Desta obtemos a componente radial rF

igual a:

2

2

22

2

2

2

2

2o

r r

k

dt

dr

r

k

c

1

dt

dr

dt

rd

c

u1

mF

19.27

Que facilmente se transforma na força gravitacional relativista 19.16.

De 19.26 obtemos a componente transversal F

igual a:

zerodt

d

dt

dr

r

k

c

1

dt

dr

dt

d

dt

dr2

c

u1

mF

22

2

2

2

oˆ

19.28

Desta última obtemos:

2

2

22o2

2

22

c

u1

dt

dr

rc

k

m

1

dt

dr

dt

dr

dt

d

dt

drr2

19.29

Como a força gravitacional é central também deve atender a teoria de conservação do momento angula que é escrito como:

prL

constante. 19.30

kdt

dr

c

u1

mˆrdt

dr

c

u1

mˆdt

drr

dt

dr

c

u1

mrr

c

u1

umrprL 2

2

2o2

2

2o

2

2o

2

2o

19.31

kLkdt

dr

c

u1

mL 2

2

2o

= constante. 19.32

zero

dt

Ldzero

dt

kLd

dt

kLd

dt

kLd

dt

kLd

dt

Ld

19.33

Resulta então que L é constante.

Em 19.33 fizemos zerodt

kd porque o movimento é no plano (x,y).

80/156

Derivando L encontramos:

zerodt

dr

dt

d

dt

drr2

c

u1

m

dt

dr

dt

du

c

u1

um

c

1

dt

dr

c

u1

m

dt

d

dt

dL2

22

2

2o2

2

3

2

2

o2

2

2

2o

19.34

Desta obtemos:

2

2

22

2

22

c

1

dt

du

c

u1

u

dt

dr

dt

dr

dt

d

dt

drr2

19.35

Igualando 19.12 proveniente da teoria da força central com 19.29 proveniente da teoria de conservação da energia e 19.35 proveniente da teoria de conservação do momento angular obtemos:

2

2

22

2

22o

2

2

2

2

2

2

2

2

22

c

1

dt

du

c

u1

u

c

u1

dt

dr

rcm

k

dt

dr

c

11

dt

dr

dt

rd

dt

dr

c

1

dt

dr

dt

dr

dt

d

dt

drr2

19.36

Das duas últimas igualdade obtemos 19.24 e das duas do meio obtemos 19.16. Para solução das equações diferencias utilizaremos o mesmo método utilizado na teoria Newtoniana.

Façamos r

1w 19.37

O diferencial total desta é drr

1dwdr

r

wdw

2

19.38

Desta obtemos d

dr

r

1

d

dw2

e

dt

dr

r

1

dt

dw2

19.39

Do módulo do momento angular temos 2

2

2o c

u1

rm

L

dt

d

19.40

Desta obtemos 2

2

2o c

u1

d

dr

rm

L

dt

dr

19.41

Nesta aplicando 19.39 obtemos 2

2

o c

u1

d

dw

m

L

dt

dr

19.42

Que derivada fornece

2

2

o2

2

c

u1

d

dw

m

L

dt

d

d

dt

dt

d

dt

rd

19.43

Onde aplicando 19.40 e derivando obtemos:

81/156

2

2

2

2

2

2

2

2

22o

2

2

2

o2

2

2o

2

2

c

u1

d

d

d

dw

c

u1

d

wd

c

u1

rm

L

c

u1

d

dw

m

L

d

d

c

u1

rm

L

dt

rd

19.44

Nesta com 19.36 a derivada do radical é assim obtida:

2

2

2o

2

2

22o

2222

2

c

u1

dt

dw

cm

k

c

u1

dt

dr

rcm

k

dt

du

c

u

c/u1

1

c

u1

dt

d 19.45

2

2

2o

2

2

22o

2222

2

c

u1

d

dw

cm

k

c

u1

d

dr

rcm

k

d

du

c

u

c/u1

1

c

u1

d

d

19.46


2

22

2o

2

2

2

2

2

2

22o

2

2

2

c

u1

d

dw

cm

k

c

u1

d

wd

c

u1

rm

L

dt

rd

19.47

Simplificada resulta:

2

2

2

2

22o

222

3

2

2

223o

2

2

2

d

wd

c

u1

rm

L

d

dw

c

u1

rcm

kL

dt

rd

19.48

Encontremos a derivada segunda do ângulo derivando 19.40:

2

2

2o

2

2

3o

2

2

2o

2

2

c

u1

dt

d

rm

L

c

u1

dt

dr

rm

L2

c

u1

rm

L

dt

d

dt

d 19.49

Nesta aplicando 19.42 e 19.45 e simplificando obtemos:

2

3

2

2

423o

2

2

2

32o

2

2

2

c

u1

d

dw

rcm

kL

c

u1

d

dw

rm

L2

dt

d

19.50

Aplicando em 19.04 as equações 19.40 e 19.42 e simplificando obtemos:

2

2

2

2

2o

22

r

1

d

dw

c

u1

m

Lu

19.51

A equação da força gravitacional relativística 19.16 remodelada fica:

2o

2

22

22

2

2

rm

k

dt

dr

c

11

c

u1

dt

dr

dt

rd

19.52

Nesta aplicando as fórmulas acima obtemos:

2o

2

2

2

o22

22

2

2

2o

2

2

2

2

22o

222

3

2

2

223o

2

rm

k

c

u1

d

dw

m

L

c

11

c

u1

c

u1

rm

Lr

d

wd

c

u1

rm

L

d

dw

c

u1

rcm

kL

82/156

2o

2

2

2

o22

2

32o

2

2

2

2

2

22o

22

2

2

223o

2

rm

k

c

u1

d

dw

m

L

c

11

c

u1

rm

L

d

wd

c

u1

rm

L

d

dw

c

u1

rcm

kL

2

2

2

223o

2

2o

2

2

32o

2

2

2

2

2

22o

22

2

2

223o

2

d

dw

c

u1

c

1

rm

kL

rm

k

c

u1

rm

L

d

wd

c

u1

rm

L

d

dw

c

u1

rcm

kL

2o

2

2

32o

2

2

2

2

2

22o

2

rm

k

c

u1

rm

L

d

wd

c

u1

rm

L

2

22

o2

2

c

u1L

km

r

1

d

wd

2

2

2

2

2

2o

o2

2

c

u1

dt

dr

c

u1

m

km

r

1

d

wd

242

o

2

2

o

2

2

dt

drm

c

u1km

r

1

d

wd

2

24

o

2

2

2

2

2

dt

drm

c

u1k

r

1

d

wd

482

o

2

22

22

22

2

2

dt

drm

c

u1k

r

1

d

wd

r

2

d

wd

482

o

22

2

482

o

2

22

22

2

2

dt

drm

uc

k

dt

drm

k

r

1

d

wd

r

2

d

wd

482

o

22

2

2

482

o

2

22

22

2

2

dt

drm

dt

dr

dt

dr

c

k

dt

drm

k

r

1

d

wd

r

2

d

wd

83/156

482

o

2

2

2

482

o

2

2

2

482

o

2

22

22

2

2

dt

drm

dt

dr

c

k

dt

drm

dt

dr

c

k

dt

drm

k

r

1

d

wd

r

2

d

wd

2622

o

2

282

o

2

2

2

482

o

2

22

22

2

2

dt

drcm

k

dt

drm

d

dr

c

k

dt

drm

k

r

1

d

wd

r

2

d

wd

2622

o

2

282

o

2

22

2

482

o

2

22

22

2

2

dt

drcm

k

dt

drm

d

dwr

c

k

dt

drm

k

r

1

d

wd

r

2

d

wd

2622

o

2

242

o

2

2

2

482

o

2

22

22

2

2

dt

drcm

k

dt

drm

d

dw

c

k

dt

drm

k

r

1

d

wd

r

2

d

wd

Nesta consideraremos constante o momento angular Newtoniano na forma:

dt

drL 2

19.53

Que é realmente o momento angular teórico conhecido.

2222o

22

222o

2

42o

2

22

22

2

2

Lrcm

k

d

dw

Lcm

k

Lm

k

r

1

d

wd

r

2

d

wd

2222

o

22

222o

2

42o

22

2

22

2

2

wLcm

k

d

dw

Lcm

k

Lm

kww2

d

wd2

d

wd

2

2

22

22

2

2

Awd

dwABww

d

wd2

d

wd

zeroBw1Ad

dwAw

d

wd2

d

wd 2

2

2

22

2

2

19.54

Onde temos:

222o

2

Lcm

kA 19.55

42o

2

Lm

kB 19.56

84/156

A equação 19.54 tem como solução:

Qcos1D

1wA1cos1

D

1w o

19.57

Onde consideramos zeroo .

Está denominado em 19.57 A1Q2 . 19.58

A equação 19.58 é função somente de A demonstrando a união intrínseca entre a variação da massa com a variação da energia no tempo, pois ambas como já descrito participam da força relativística 19.06 nisto está a essencial diferença entre a massa e a carga elétrica que é invariável e indivisível na teoria eletromagnética. De 19.57 obtemos o raio de uma cônica:

Qcos1

Dr

A1cos1

D

w

1r

19.59

Onde é a excentricidade e D a distância do foco a diretriz.

Derivando 19.57 obtemos

D

QsenQ

d

dw 19.60

Que derivada resulta em

D

QcosQ

d

wd 2

2

2

19.61

Aplicando em 19.54 as variáveis obtemos:

zeroBw1AddwAw

dwd2

dwd 2

2

2

22

2

2

.

zeroB

D

Qcos11A

D

QsenQA

D

Qcos1

D

QcosQ2

D

QcosQ2

2

222

2

24

19.62

zeroB

D

Qcos11A

D

QcosQA

D

QA

D

QcosQ2

D

QcosQ2

D

QcosQ2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

24

zeroB

D

Qcos1A

D

Qcos1A2

D

1A

D

QcosQA

D

QA

D

QcosQ2

D

QcosQ2

D

QcosQ2

2

2222

22

2

2

2

22

2

2

2

24

zeroB

D

1A

D

AQ

D

Qcos

D2

DA2

D

Q2

D

Qcos1AAQQ2Q

222

22

2

2224

19.63

Nesta aplicando no primeiro parêntese A1Q2 obtemos:

zero1AAAA22AA211AA1AA12A11AAQQ2Q 222224

85/156

Em 19.63 aplicando no segundo parêntese A1Q2 obtemos:

zero

D

2

D

A2

D

A12

D

2

D

A2

D

Q2 2

O resto da equação 19.63 é portanto:

zeroB

D

1A

D

AQ222

2

19.64

Os dados da órbita elíptica do planeta Mercúrio são [3]:

Excentricidade da órbita 206,0 . Semi-eixo maior = a = 5,79.1010m.

Semi-eixo menor m80,305.160.658.56206,0110.79,51ab 2102 .

m00,600.955.442.55206,0110.79,51aD 2102 .

m00,165.561.140.269

206,0

206,0110.79,51aD

2102

.

O período orbital da Terra (PT) e Mercúrio (PM) em torno do Sol em segundos são:

.s.,PT 710163

.s.,PM 610607 O número de voltas que Mercúrio (mo) da em torno do Sol (Mo) em um século é, portanto:

7941510607

10163100

6

7

,.,.,

N . 19.65

Momento angular teórico de Mercúrio:

3021030112o

222 10.73221293742,7206,0110.79,510.98,110.67,61aGMdt

drL

. 19.66

.10.65,210.32,710.0,3

10.98,110.67,6

Lc

GM

Lcm

mGMA 8

3028

230211

22

20

222o

2o0

19.67

22230

230211

4

20

42o

2o0 10.25,3

10.32,7

10.98,110.67,6

L

GM

Lm

mGMB

19.68

23.013.000.000,110.63,21A1Q 8 19.69

Aplicando os dados numéricos com várias casas decimais ao resto da equação 19.63 obtemos:

30222

8

2

28

222

2

10.976,810.25,300,600.955.442.55

110.65,2

00,165.561.140.269

23.013.000.000,110.65,2B

D

1A

D

AQ

19.70

Resultado que podemos considerar nulo.

86/156

Vamos obter o momento angula relativístico do resto da equação 19.63 nesta aplicando as variáveis obtemos:

zero

L

GM

Lc

GM1

D

1

Lc

GM1

DLc

GMB

D

1A

D

AQ4

20

22

20

2222

20

222

20

222

2

19.71

zeroGMDcLc

GM1cL

Lc

GM1GML 2

0222

22

2024

22

202

022

zeroGMDcLc

GMcLcL

Lc

GMGMLGML 2

0222

22

202424

22

202

0222

022

zeroGMDcGMLcLc

GMGML 2

02222

0224

2

4022

022

zeroGMDcc

GMLGM1Lc 2

0222

2

40222

0242 19.72

2

20

2222

402222

022

02

2

c2

GMDcc

GMc4GM1GM1

L

2

20

22440

240

2220

22

c2

GMDc4GM4GM1GM1L

2

20

22440

240

4220

22

c2

GMDc4GM4GM21GM1L

2

20

22440

240

440

240

20

22

c2

GMDc4GM4GMGM2GMGM1L

2

20

22440

240

440

20

22

c2

GMDc4GM2GMGMGM1L

302

20

22440

2220

22 10.83221292732,7

c2

GMDc4GM1GM1L

. 19.73

Esta última equação tem a exclusiva propriedade de relacionar a velocidade c ao denominado momento angular relativístico que é menor que o momento angular teórico 19.66. A variação do momento angula relativístico em relação ao momento angular teórico é muito pequena e dada por:

00,509.503.72

110.38,1

10.73221293742,7

10.73221293742,710.83221292732,7L 8

30

3030

. 19.74

O que demonstra a exatidão do principio de constância da velocidade da luz.

87/156

Na realidade a fórmula 19.06 prevê um retrocesso secular do periélio de Mercúrio que é dado por:

.rad10.46,323.013.000.000,079,41521Q

179,4152 5

19.75

Convertendo para segundo obtemos:

"13,700,600.3.00,180.10.46,3 5

. 19.76

Este retrocesso não previsto na teoria Newtoniana é devido à variação relativística da massa e energia e está encoberto pela precessão total observada de 5599”.

88/156

§§19 Avanço do periélio de Mercúrio de 42,79” Escrevamos a fórmula para energia relativística ER gravitacional contendo os termos para a energia cinética, a energia potencial Ep e a energia de repouso:

p

2

2

2o2

op

2

2

2oR E

cu

1

cmcmE1

cu

1

1cmE

. 19.77

Sendo a força gravitacional conservativa sua energia é constante. Supondo então que em 19.77 quando o raio tende ao infinito a velocidade e a energia potencial tende a zero, resulta então:

2op

2

2

2o

R cmE

cu

1

cmE

19.78

Escrevamos a fórmula para energia EN gravitacional Newtoniana contendo os termos Newtonianos correspondentes a 19.77:

2o

2o

2o

N cmcmrk

2

umE 19.79

Onde 2

um 2o é a energia cinética,

rk

a energia potencial e 2ocm a energia de repouso ou melhor

dizendo energia inercial. Desta 19.79 obtemos:

r

GM2u

rm

mGM2

rmk2

urk

2

umcmcm

rk

2

um o2

o

oo

o

22

o2o

2o

2o 19.80

Derivando 19.79 obtemos:

zerocmrk

2

um

dtd

dt

dE 2o

2oN

zerodtdr

rk

dtdu

2

u2m2

o

dtdr

r

GM

dtdr

rmk

dtduu o

o22

dtdr

r

GM

dtduu o

2

2o

r

GM

drdu

u

19.81

89/156

Igualando a energia relativística 19.78 a energia Newtoniana 19.79 obtemos:

2o

2o

p

2

2

2o

NR cmrk

2

umE

cu

1

cmEE

19.82

o

2o

o

oo

o

2o

o

p

2

2

o

2o

m

cm

rm

mGM

2m

um

m

E

cu1m

cm

19.83

Nesta denominando o potencial relativístico ( ) como:

o

p

m

E 19.84

Obtemos:

2o2

2

2

2c

r

GM

2u

cu1

c

2

2

22o2

cu1

ccr

GM

2u

19.85

Nesta substituindo a aproximação:

2

2

2

2 c2u

1

cu

1

1

19.86

Temos:

2

222o2

c2u1cc

r

GM

2u

Que simplificada resulta no potencial Newtoniano:

r

GM

2u

ccr

GM

2u o

222o

2 19.87

Substituindo 19.84 e o potencial relativístico 19.85 na energia relativística 19.78:

2

2

22o

2

o

2

2

2o

R

cu

1

cc

r

GM

2u

m

cu

1

cmE 19.88

Obtemos a energia Newtoniana 19.79:

2o

oo2

oN cm

r

mGM

2

umE

90/156

Derivando o potencial relativístico 19.85 obtemos o módulo da aceleração gravitacional relativística exatamente como na teoria newtoniana:

drd

a

2

2

22o

2

cu

1

cc

r

GM

2u

drd

drd

a

2

2

22o

2

cu

1

cdrd

cr

GM

2u

drd

a

Onde temos:

zerom

E

drd

cr

GM

2u

drd

o

N2o2

. Porque o termo a derivar é a energia Newtoniana dividida por

mo ou seja 2o2

o

N cr

GM

2u

mE

que é constante, resulta então:

2

2

2

cu

1

cdrd

a

drdu

cu

1

ua

2

3

2

2

Nesta aplicando 19.81 obtemos:

2o

2

3

2

2 r

GM

cu

1

1a

19.89

A aceleração vetorial e dada por 19.05:

ˆ2ˆ2

22

2

2

dt

dr

dt

d

dtdrr

dt

dr

dtrda

91/156

O módulo da aceleração gravitacional relativística 19.89 é igual a componente do raio vetor (r ) por isso temos:

2o

2

3

2

2

2

2

2

r

GM

cu

1

1dtd

rdtrd

a

19.90

Sendo nula a aceleração transversal temos:

zeroˆdtd

rdtd

dtdr

2 2

2

19.91

zerodtd

rdtd

dtdr

22

2

Que é igual à derivada do momento angular constantedtd

rL2 19.92

zerodtd

rdtd

dtdr

r2dtd

rdtd

dtdL

2

222

19.93

Reescrevendo algumas equações já descritas temos:

r1

w

drr1

dwdrrw

dw2

ddr

r1

ddw

2

ou

ddw

rddr 2 e

dtdr

r1

dtdw

2

ddw

Ldtdr

ddw

rrL

ddr

rL

dtdr

ddt

dtd

dtdr 2

22

2

2

2

2

22

2

dwd

rL

ddw

Ldd

rL

ddw

Ldtd

ddt

dtd

dtdr

dtd

dtrd

19.94

De 19.90 obtemos:

2o

2

2

2

2

2

r

GM

dtd

rdtrd

c2u3

1

Nesta com 19.94 a velocidade de 19.80 e o momento angular obtemos:

2o

2

22

2

2

2o

2 r

GM

rL

rdwd

rL

r

GM2

c23

1

2o

2

2

2o

L

GM

r1

dwd

r1

c

GM31

92/156

2o

2o

2

2

2o

L

GM

r1

r1

c

Gm31

dwd

r1

c

GM31

zeroL

GM

r1

c

GM3

r1

r1

dwd

c

GM3

dwd

2o

22o

2

2

2o

2

2

zeroBr1

Ar1

r1

dwd

Adwd

22

2

2

2

zeroBAwwwdwd

Adwd 2

2

2

2

2

zeroBwAwwdwd

Adwd 2

2

2

2

2

19.95

Onde temos:

2

3

c

GMA o

2L

GMB o 19.96

A solução da equação diferencial 19.95 é:

QD

wQD

w o

cos11cos11 . 19.97

Onde consideramos zeroo

Portanto o raio é dado por:

Qcos1D

rQcos1

Dw1

r

19.98

Onde é a excentricidade e D a distância do foco a diretriz.

Derivando 19.97 obtemos

DQsenQ

ddw e

D

QcosQdwd 2

2

2

19.99

Aplicando as derivadas em 19.95 obtemos:

zeroBwAwwdwd

Adwd 2

2

2

2

2

zeroBQcos1D1

Qcos1DA

Qcos1D1

DQcosAQ

DQcosQ 2

22

22

zeroBQcosD

1

D

1QcosQcos21

D

AQcos1

D

QcosAQ

D

QcosQ 22222

22

zeroBQcosD1

D1

QcosDA

Qcos2DA

DA

QcosD

QcosAQD

QcosAQD

QcosQ

22222222

2

2

2

22

93/156

zeroB

D1

DA

DQcosA

DQcosAQ

1DA2

DAQ

QDQcos

222

2

2

2222

zero

AB

DA1

DAA

ADQcosA

ADQcosAQ

1DA2

DAQ

QAD

Qcos222

2

2

2222

zero

AB

DA1

D1

DQcos

DQcosQ

A1

D2

DQ

AQ

DQcos

222

2

2

2222

zero

AB

DA1

D1

A1

D2

DQ

AQ

DQcos

1QD

Qcos22

222

2

2

19.100

O coeficiente do co-seno ao quadrado, pode ser considerado nulo porque 1Q e D2 é um número muito grande:

zero1QD

Qcos 22

2

19.101

Resultando da equação 19.100:

zero

AB

DA1

D1

A1

D2

DQ

AQ

DQcos

22

22

19.102

Devido à unicidade desta equação 19.102 devemos ter uma única solução que anule simultaneamente o parêntese e o resto da equação, ou seja, devemos ter uma solução única para ambas às equações seguintes:

zeroA1

D2

DQ

AQ 22

e zeroAB

DA1

D1

22

19.103

Estás equações podem ser escritas como:

D2

A1

Q1

D1

A1

ba2

19.104

ADB

D1

A1

ca

19.105

Nestas o termo comum D1

A1

a

deve ter uma única solução por isso temos:

ADB

D2

A1

Q1

cb2

19.106

Com 19.96 e o momento teórico obtemos:

2

3

c

GMA o

2L

GMB o o

2 DGML 1L

DGMDB

2o

19.107

94/156

Está aplicada em 19.105 e 19.106 resulta em:

A1

D1

A1

ca

19.108

A1

D2

A1

Q1

cb2

19.109

De 19.108 obtemos o erro cometido em 19.105:

zeroD1

A1

D1

A1

19.110

zero10.80,100,600.955.442.55

1D1 11

19.111

De 19.109 obtemos Q:

2o22

2 c

GM3

D2

1QDA2

1QA1

D2

A1

Q1

19.112

Está aplicada em 19.104 resulta em 19.110:

zeroD1

A1

D1

A1

D2

A1

DA2

1

1D1

A1

D2

A1

Q1

D1

A1

2

De 19.112 temos:

599.920.999.999,0

10.300,600.955.442.55

10.98,110.67,661

Dc

GM61Q 28

3011

2o

19.113

Que corresponde a um avanço do periélio de Mercúrio em um século de:

79,415.00,000.296.1.1

Q179,415. 42,79” 19.114

Calculado dessa forma: Em uma volta trigonométrica temos "00,000.296.16060360 segundos. O ângulo em segundos percorrido pelo planeta em uma volta trigonométrica é dado por:

QQ 00,000.296.100,000.296.1 .

Se 00,1Q temos retrocesso. 00,000.296.1 .

Se 00,1Q temos avanço. 00,000.296.1 .

95/156

A variação angular em segundos em uma volta é dada por:

00,000.296.11100,000.296.100,000.296.1

QQ .

Se zero temos retrocesso.

Se zero temos avanço.

Em um século temos 415,79 voltas que fornecem uma variação angular total de:

79,415.00,000.296.1.1

Q179,415. 42,79”

Se zero temos retrocesso.

Se zero temos avanço.

§20 Inércia

Imagine em um universo totalmente vazio, um ponto O’ que seja a origem do referencial do observador O’. Na hipótese de o referencial estar em repouso ou em movimento retilíneo uniforme as ondas eletromagnéticas esféricas emitidas com velocidade c por uma fonte situada em O’ será observada por O’ devido à lei de inércia exatamente esférica e com velocidade c portanto, o movimento retilíneo uniforme e o repouso são indistinguível um do outro permanecendo em ambos os casos valida a lei de inércia. Para o observador O’ as equações da teoria eletromagnética descreverão a propagação exatamente como uma onda esférica. A imagem de um objeto situado em O’ será sempre centrada no próprio objeto e um raio de luz emitido de O’ permanecerá sempre retilíneo e perpendicular às ondas esféricas.

Imagine agora um outro ponto O que seja a origem do referencial do observador O que possui todas as propriedades inerciais descritas para o observador O’.

Obviamente dois pontos imaginários sem nenhuma forma de interação entre eles permanecerão individualmente e no conjunto atendendo perfeitamente a lei de inércia mesmo existindo um movimento retilíneo uniforme entre eles, só observável, devido à presença de ambos os referenciais que individualmente se observarão em repouso estando em movimento o outro referencial.

As propriedades destes dois observadores são descritas pelas equações de transformações relativísticas.

Observação: um universo infinito é aquele em que qualquer ponto pode ser considerado o ponto central deste universo.

§20 Inércia (esclarecimentos)

Imagine em um universo infinito totalmente vazio um único ponto O. Devido às propriedades de unicidade de O um raio de luz emitido de O deve propagar obrigatoriamente com velocidade c. Na hipótese de este raio propagar em linha reta, então se define O como a origem de um referencial inercial porque ou está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Entretanto na hipótese da propagação do raio de luz ser uma curva o movimento de O deve obrigatoriamente ser interpretado como a origem de um referencial acelerado. Portanto a propagação de um raio de luz é suficiente para demonstrar se O é a origem de um referencial inercial ou de um referencial acelerado.

Imagine agora se no universo acima descrito para o referencial inercial O exista outro referencial inercial O’ que não possui qualquer tipo de interação física com O. Não existindo qualquer interação entre O e O’ as propriedades de unicidade são invioláveis para ambos os pontos e os raios de luz emitidos de O e O’ têm a mesma velocidade c. É impossível que a velocidade da luz emitida de O seja diferente da velocidade da luz emitida de O’ porque cada referencial existe como se o outro não existisse. Sendo O e O’ a origem de referenciais inerciais a propagação dos raios de luz ocorre em linha reta com velocidade c e as relações entre os tempos t e t’ de cada referencial são dadas pelo quadro I.

96/156

§21 Avanço do Periélio de Mercúrio de 42,79” calculado com a Relatividade Ondulatória Supondo vux

(2.3) zeroxu

cvv

cv

vv

cvux

cv

vuxxu

''2121

''

22

2

22

2

vux zeroxu '' 21.01

(1.17) 2

2

22

2

22

21'2121'

cvdtdt

cvv

cvdt

cvux

cvdtdt

(1.22)

2

2

22

2

22

2 '1'0'2'1''''2'1'cvdtdt

cv

cvdt

cxuv

cvdtdt

2

21'

cvdtdt 2

2'1'cvdtdt 21.02

1'11 2

2

2

2

cv

cv 21.03

2

2'1

'

cv

vv

2

21

'

cv

vv

21.04

'dtdt 'vv ''dtvvdt 21.05

(1.33)

2

2

22

2

22

2 '1

'0'2'1

''''2'1

'

cvvv

cv

cvv

cxuv

cv

vv

(1.34)

2

2

22

2

22

21

'2121

'

cvvv

cvv

cvv

cvux

cvvv

2

2'1

'

cvvv

2

21

'

cv

vv

21.06

'ˆ rrrr

rrrr

ˆ' rrr '

21.07

'ˆˆ rdrrdrdrrd

rdrrdrdrrd

ˆˆ' 21.08

drrdrrrrdrrdr ˆˆˆˆˆ

drrdrrrrdrrdr ˆˆˆˆ'ˆ 21.09

ˆˆˆdtdrr

dtdr

dtrrd

dtrdv

22

2

dtdr

dtdrvvv

21.10

ˆ

'ˆ''

ˆ'''

dtdrr

dtdr

dtrrd

dtrdv

22

2

'''''

dtdr

dtdrvvv

21.11

97/156

ˆ2ˆˆ2

22

2

2

2

2

2

2

dtdr

dtd

dtdrr

dtdr

dtrd

dtrrd

dtrd

dtvda

21.12

ˆ'''

2ˆ'''

ˆ''

''' 2

22

2

2

2

2

2

2

dtdr

dtd

dtdrr

dtdr

dtrd

dtrrd

dtrd

dtvda

21.13

2

21

'

cv

vv

21.06

2

22

2

2

2

2

21

'11

'1

''''

cv

vdtd

cv

cv

vdtd

dtdt

cv

vdtd

dtvda

21.14

2

2

2

2

2

22

211

1

1'1'''

cv

dtdv

dtvd

cv

cvc

vdtvda

dtdv

cv

cvv

dtvd

cv

cvc

vdtvda 2

21

22

21

2

2

2

2

2

22

2 21211

1

1'1'''

2

2

22

2

2

22

2

1

111

1'1'''

cv

dtdvv

cvdt

vdcv

cvc

vdtvda

2

2

22

2

2

2

2

2

2

22

2

1

1111

1

1

1'1'''

cv

dtdvv

cvdt

vdcv

cv

cv

cvc

vdtvda

22

2

23

2

22

21

1

1'1'''

cv

dtdvv

dtvd

cv

cvc

vdtvda

22

2

23

2

22

2

2

21

1''

'1'1

'''

cv

dtdvv

dtvd

cv

cv

mdtvd

cv

m

cv

amam ooo

98/156

''

'1'1

''''

2

2

2

2 dtvd

cv

m

cv

amamF oo

21.15

22

2

23

2

21

1cv

dtdvv

dtvd

cv

cv

mF o

06.19 21.16

22

2

23

2

22

2

2

21

1''

'1'1

''''cv

dtdvv

dtvd

cv

cv

mFdtvd

cv

m

cv

amamF ooo

21.17

rdrrkrdFrdFEk

ˆ.'' 2 21.18

rdrrkrd

cv

dtdvv

dtvd

cv

cv

mrd

dtvd

cv

mrdFrdFE oo

k

.1

1

'''

'1

.''. 222

2

23

2

22

2 21.19

rdrrk

cv

dtrdvdv

dtrdvd

cv

cv

mdtrdvd

cv

mE ook

.1

1'''

'1222

2

23

2

22

2

rdrrk

cvvvdvvvd

cv

cv

m

cv

vvdmE ook

.1

1'1

''222

2

23

2

22

2

drrk

cvvdvvdv

cv

cv

m

cv

dvvmE ook 22

2

2

2

23

2

22

21

1'1

''

drrk

cv

cv

cv

vdvm

cv

dvvmE ook 22

2

2

2

23

2

22

21

1'1

''

drrk

cv

vdvm

cv

dvvmE ook 2

23

2

22

2

1'1

'' dr

rk

cv

vdvm

cv

dvvmdE oo

k 223

2

22

2

1'1

''

21.20

teconsrk

cv

cmcvcmE o

ok tan1

'1

2

2

2

2

22

21.21

teconsrk

cvcmE oR tan'1 2

22 tecons

rk

cv

cmE oR tan

1 2

2

2

21.22

99/156

rkvm

cmrk

cv

cmE o

oo

R

2

1

22

2

2

2

2

2

2

2

01

cmk

c

cmE o

oR

21.23

rcmk

cmE

cv oo

R 1

1

122

2

2

2cm

EH

o

R 222 cGM

cmmGM

cmkA o

o

oo

o

21.24

rAH

cv

1

1

1

2

2

3

23

2

2

1

1

1

rAH

cv

21.25

kdtdrr

dtdr

dtdrr

dtdrrrvrL ˆˆˆˆˆˆ 22

21.26

kdtdrr

dtdr

cvdt

drrdtdr

cv

rr

cvvrvrL ˆˆˆ

''11ˆ

'ˆ''1

1ˆ'1' 22

2

2

2

2

2

2

21.26

kLkdtdrL ˆ2

= constante

dtdrL 2 21.27

rdrrkdr

rk

cv

vdvm

cv

dvvmdE oo

k

.

1'1

''22

23

2

22

2

21.20

vrrk

dtrdr

rk

dtvdv

cv

mvF

dtdE ok

..

1

2223

2

2

rrk

cv

amF o ˆ

1

223

2

2

21.28

rrk

dtdr

dtd

dtdrr

dtdr

dtrd

cv

mF o ˆˆ2ˆ

122

22

2

2

23

2

2

21.29

zerodtdr

dtd

dtdr

cv

mF o

ˆ2

1

2

2

23

2

2ˆ

21.30

rrkr

dtdr

dtrd

cv

mF or ˆˆ

1

2

2

2

2

23

2

2ˆ

21.31

100/156

2rL

dtd

ddwL

dtdr

2

2

2

2

2

2

dwd

rL

dtrd

ddw

rL

dtd

3

2

2

2 2 21.32

rrkr

rLr

dwd

rL

cv

mF or ˆˆ

12

2

22

2

2

2

23

2

2ˆ

21.33

23

2

2

2

2

2

23

2

21

1rGM

rL

dwd

rL

cv

o

22

2

2

2

23

2

2

1

1

1rGM

rL

rdwd

cv

o

22

2

23

2

2

1

1

1LGM

rdwd

cv

o

21.34

22

2311

LGM

rdwd

rAH o

21.35

22

2 113LGM

rdwd

rAH o

222

2

2

2 13131LGM

rA

rdwdA

rH

dwdH o

zeroLGM

AwwdwdAHw

dwdH o 2

22

2

2

233

2cmE

Ho

R 222 cGM

cmmGM

cmkA o

o

oo

o

2LGM

B o 21.36

zeroBAwwdwdAHw

dwdH 2

2

2

2

233

21.37

QDr

w

cos111

DQQsen

ddw

DQQ

dwd

cos2

2

2 21.38

zeroBQD

AQDD

QQAQD

HD

QQH

222

cos113cos11cos3cos11cos

21.39

zeroBQQ

DAQ

DQ

DAQQ

DH

DH

DQHQ

22

22

22 coscos213cos1cos3cos11cos

101/156

zeroBQDAQ

DA

DA

QDQ

DAQ

DQ

DAQ

DQH

DH

DQHQ

22222222

222

cos3cos233

coscos3cos3cos1cos

zeroBD

QADQ

DA

DA

DQAQ

DQ

DAQ

DQH

DH

DQHQ

2

2

22

2

22

22

cos3cos63

cos3cos3cos1cos

zeroBDA

DH

DQA

DQAQ

DQ

DA

DQ

DAQ

DQH

DQHQ

222

2

2

22

22

31cos3cos3

cos6cos3coscos

zeroBDA

DH

DQAAQ

DQ

DA

DAQHHQ

222

22

22 31cos33cos63

zeroAB

DAA

DAH

ADQ

DA

DAQHHQ

ADQAAQ

333

31

3cos63

3cos33 22

22

2

22

zeroAB

DDAH

DQ

DDQ

AH

AHQ

DQQ

31

3cos2

33cos1

22

22

2

22

21.40

12Q zeroD

QQ 2

22 cos1

21.41

zeroAB

DDAH

DQ

DDQ

AH

AHQ

31

3cos2

33 22

22

21.42

zero

AB

DDAHzero

DQ

31

3cos

22

zeroDD

QAH

AHQzero

DQ

2

33cos 22

102/156

zeroDD

QAH

AHQ

2

33

22 zero

AB

DDAH

31

3 22 21.43

DAH

QDAHba

2

311

3 2

ADB

DAHca

31

3

21.44

12Q 12

2

2 cmcm

cmE

Ho

o

o

R 12 o

oo

DGM

DGM

L

DGMDB

zeroDDA

HDA

Hba

12

3111

3 zero

DADAca

1

311

31

ADB

DAH

Qcb

32

312

21.45

12 o

oo

DGM

DGM

L

DGMDB

21.46

ADA

HQ

cb312

312

DAHQ62 21.47

HQQ O retrocesso é função da energia positiva que governa o movimento.

12

2

2

cmcm

cmE

Ho

o

o

R DAQ612 Retrocesso 21.48

zeroDDA

DADA

ba

1231

61

1131 21.49

zeroDD

QAH

AHQDA

2

333

22 zero

AB

DDAHDA

31

33

2222

21.43

2cmE

Ho

R 2c

GMA o 2L

GMB o

zeroAAQDHDHQ 6322 zeroDBDADH 3

zeroAAQDADAQ 6333 22 DADH 3

zeroAAQDDQAQ 333 222

zeroADDQ 32 DAQ312

Este retrocesso não é governado pela energia positiva.

103/156

2

2'1

'

cvvv

21.06

2

22

2

2

2

2

2 '1

''

1'1

''

''1

'

cvv

dtd

cv

cvv

dtd

dtdt

cvv

dtd

dtvda

21.50

2

2

2

2

2

22

2 '1'

''''1

'1

11cv

dtdv

dtvd

cv

cvc

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21'

'''1

'1

11 2

21

22

21

2

2

2

2

2

22

2

dtdv

cv

cvv

dtvd

cv

cvc

vdtvda

2

2

22

2

2

22

2 ''''

'1

1'''1

'1

11cv

dtdvv

cvdt

vdcv

cvc

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2

2

22

2

2

2

2

2

2

22

2 ''''

'1

1'1'''1

'1

1'1

11cv

dtdvv

cvc

vdtvd

cv

cv

cvc

vdtvda

22

2

23

2

22

2 ''''

'''1

'1

11cv

dtdvv

dtvd

cv

cvc

vdtvda

22

2

23

2

22

2

2

2'

'''

'''1

'111cv

dtdvv

dtvd

cv

cv

mdtvd

cv

m

cv

amam ooo

dtvd

cv

m

cv

amamF oo

2

2

2

211

21.51

22

2

23

2

2

''''

'''1

'1

'cv

dtdvv

dtvd

cv

cv

mF o

21.52

22

2

23

2

22

2

2

2'

'''

'''1

'1

'11

cv

dtdvv

dtvd

cv

cv

mF

dtvd

cv

m

cv

amamF ooo

21.53

104/156

'ˆ''.. 2 rdrrkrdFrdFEk

21.54

'ˆ'''''

'''1

'11

''.. 222

2

23

2

22

2rdr

rkrd

cv

dtdvv

dtvd

cv

cv

mrd

dtvd

cv

mrdFrdFE oo

k

21.55

'ˆ'''''

''''1

'11222

2

23

2

22

2rdr

rk

cv

dtrddvv

dtrdvd

cv

cv

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cv

mE ook

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cvvdvvvvd

cv

cv

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cv

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2

23

2

22

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cvdvvvvd

cv

cv

m

cv

vdvmE ook 22

2

2

2

23

2

22

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'11

drrk

cv

cv

cv

dvvm

cv

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2

2

2

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2

22

2

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1

drrk

cv

dvvm

cv

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23

2

22

2'1

''

1 dr

rk

cv

dvvm

cv

vdvmdE oo

k 223

2

22

2'1

''

1

21.56

teconsrk

cv

cmcvcmE o

ok tan'1

1

2

2

2

2

22

21.57

teconsrk

cvcmE oR tan1 2

22 tecons

rk

cv

cmE oR tan

'1 2

2

2

21.58

rkvm

cmrk

cv

cmE o

oo

R

2'

'1

22

2

2

2

2

2

2

2

01

cmk

c

cmE o

oR

21.59

rcmk

cmE

cv oo

R 1'1

122

2

2

21.60

2cmE

Ho

R 222 cGM

cmmGM

cmkA o

o

oo

o

21.61

105/156

rAH

cv

1'1

1

2

2

3

23

2

2

1

'1

1

rAH

cv

21.62

kdtdrr

dtdr

dtdrr

dtdrrrvrL ˆ

'ˆˆ

'ˆ

'ˆ'

ˆ''' 22

21.63

kdtdrr

dtdr

cvdt

drrdtdr

cv

rr

cvvrvrL ˆ

'ˆˆ

11ˆˆ

11ˆ

1''' 22

2

2

2

2

2

2

21.63

kLkdtdrL ''

' 2

'

' 2

dtdrL 21.64

'ˆ'1

''

122

23

2

22

2rdr

rkdr

rk

cv

dvvm

cv

vdvmdE oo

k

21.56

'ˆ''ˆ

'''

'1

''' 22

23

2

2vr

rk

dtrdr

rk

dtdvv

cv

mvF

dtdE ok

rrk

cv

amF o ˆ

'1

'' 2

23

2

2

21.65

rrk

dtdr

dtd

dtdrr

dtdr

dtrd

cv

mF o ˆˆ

'''2ˆ

'''1

' 22

22

2

2

23

2

2

21.66

zerodtdr

dtd

dtdr

cv

mF o

ˆ'''

2'1

' 2

2

23

2

2ˆ

21.67

rrkr

dtdr

dtrd

cv

mF o

r ˆˆ'''1

' 2

2

2

2

23

2

2ˆ

21.68

rrGM

rdtdr

dtrd

cv

o ˆˆ'''1

12

2

2

2

23

2

2

2'

' rL

dtd

d

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2

2

2

2

2

2 '' d

wdrL

dtrd

ddw

rL

dtd

3

2

2

2 '2' 21.69

106/156

2

2

22

2

2

2

23

2

2

''

'1

1rGM

rLr

dwd

rL

cv

o

23

2

2

2

2

2

23

2

2

''

'1

1rGM

rL

dwd

rL

cv

o

22

2

2

2

23

2

2

'1

'1

1rGM

rL

rdwd

cv

o

22

2

23

2

2 '1

'1

1LGM

rdwd

cv

o

21.70

22

23

'11

LGM

rdwd

rAH o

21.71

22

2

'113

LGM

rdwd

rAH o

222

2

2

2

'13131

LGM

rA

rdwdA

rH

dwdH o

zeroLGM

AwwdwdAHw

dwdH o 2

22

2

2

2

'33

2cmE

Ho

R 2cGM

A o 2'LGM

B o 21.72

zeroBAwwdwdAHw

dwdH 2

2

2

2

233

21.73

QDr

w

cos111

DQQsen

ddw

DQQ

dwd

cos2

2

2 21.38

zeroBQD

AQDD

QQAQD

HD

QQH

222

cos113cos11cos3cos11cos

21.74

zeroBQQ

DAQ

DQ

DAQQ

DH

DH

DQHQ

22

22

22 coscos213cos1cos3cos11cos

zeroBQDAQ

DA

DA

QDQ

DAQ

DQ

DAQ

DQH

DH

DQHQ

22222222

222

cos3cos233

coscos3cos3cos1cos

107/156

zeroBD

QADQ

DA

DA

DQAQ

DQ

DAQ

DQH

DH

DQHQ

2

2

22

2

22

22

cos3cos63

cos3cos3cos1cos

zeroBDA

DH

DQA

DQAQ

DQ

DA

DQ

DAQ

DQH

DQHQ

222

2

2

22

22

31cos3cos3

cos6cos3coscos

zeroBDA

DH

DQAAQ

DQ

DA

DAQHHQ

222

22

22 31cos33cos63

zeroAB

DAA

DAH

ADQ

DA

DAQHHQ

ADQAAQ

333

31

3cos63

3cos33 22

22

2

22

zeroAB

DDAH

DQ

DDQ

AH

AHQ

DQQ

31

3cos2

33cos1 22

22

2

22

21.75

12Q zeroD

QQ 2

22 cos1

21.76

zeroAB

DDAH

DQ

DDQ

AH

AHQ

31

3cos2

33 22

22

21.77

zero

AB

DDAHzero

DQ

31

3cos

22

zeroDD

QAH

AHQzero

DQ

2

33cos 22

zeroDD

QAH

AHQ

2

33

22 zero

AB

DDAH

31

3 22 21.78

DAH

QDAHba

2

311

3 2 ADB

DAHca

31

3

21.79

12Q 12

2

2 cmcm

cmE

Ho

o

o

R 1'2

o

oo

DGMDGM

LDGM

DB

zeroDDA

HDA

Hba

12

3111

3 zero

DADAca

1

311

31

ADB

DAH

Qcb

32

312

21.80

1'2

o

oo

DGMDGM

LDGM

DB 21.81

ADA

HQ

cb312

312

DAHQ62 21.82

108/156

HQQ O avanço é função da energia negativa que governa o movimento.

12

2

2

cmcm

cmE

Ho

o

o

R DAQ

DAQ

6161 22 Avanço 21.83

zeroDDA

DADA

ba

1231

61

1131 21.84

2cmE

Ho

R 2cGM

A o 2'L

GMB o

zeroDD

QAH

AHQ

2

33

22 zero

AB

DDAH

31

3 22 21.78

zeroDD

QAH

AHQDA

2

333

22 zero

AB

DDAHDA

31

33

2222

zeroAAQDHDHQ 6322 zeroDBDADH 3 21.85

1'2

o

oo

DGMDGM

LDGM

DB DADH 3 21.86

zeroAAQDADAQ 6333 22 21.87

zeroAAQDDQAQ 333 222

zeroADDQ 32 DAQ312 21.88

Este avanço não é governado pela energia negativa.

zeroAAQDHDHQ 6322 21.85

zeroAAQDHDAQ 633 22 21.89

zeroAAQDHDQAQ 633 222

zeroADHDQ 62 DAHQ62 21.90

zeroAB

DDAH

DQ

DDQ

AH

AHQ

31

3cos2

33 22

22

21.77

zeroAB

DDAH

DQ

DDQ

AH

AHQDA

31

3cos2

333

22

2222

zeroADAB

DDA

DADAH

DQ

DDA

DDAQ

ADAH

ADAHQD

333

33cos3.23

33

33 22

22

222222

zeroDBDADHDQAAQDHDHQD 3cos6322

109/156

zeroDADDQAAQDHDHQD 3cos6322

zeroDA

DQAAQDHDHQ

3cos6322 21.91

DAQ312

zeroDA

DQAA

DADHDH

DA

3cos633131

zeroDA

DQA

DAAADH

DADHDH

3cos63333

zeroDA

DQA

DAADHAHDH

3cos6933

2

zeroDA

DQA

DAAH

3cos393

2

12

2

2 cmcm

cmE

Ho

o

o

R

zeroDA

DQA

DAA

3cos393

2

zeroDA

DQ

DA

3cos9 2

zero

ADQ

31cos

21.92

zeroDA

DQAAQDHDHQ

3cos6322 21.91

DAQ612

zeroDA

DQAA

DADHDH

DA

3cos636161

zeroDA

DQA

DAAADH

DADHDH

3cos66336

zeroDA

DQA

DAADHAHDH

3cos61836

2

zeroDA

DQA

DAAH

3cos3186

2

1'2

o

oo

DGMDGM

LDGM

DB 1

2

2

2

cmcm

cmE

Ho

o

o

R

110/156

12

2

2 cmcm

cmE

Ho

o

o

R

zeroDA

DQA

DAA

3cos3186

2

zeroDA

DQ

DAA

A

3cos183

31 2

zeroDD

QDA

1cos61

zeroDD

QDA

1cos61

zeroDD

QQ

1cos2 21.93

zeroDA

DQAAQDHDHQ

3cos6322 21.91

12Q 12

2

2

cmcm

cmE

Ho

o

o

R

zeroDA

DQAADD

3cos63

zeroDA

DQA

3cos3

zeroDD

Q

1cos 21.94

DAQ612 12Q

DAQ312

AD

QDD

QDD

QQ31cos1cos1cos2

21.95

111/156

Energia Newtoniana (EN)

rkum

E oN

2

2

2

22222

rL

dtdr

dtd

rdtdru

rk

rL

dtdrm

E oN

2

22

2

rmk

rL

dtdr

m

E

oo

N 1222

22

zerom

E

rmk

rL

dtdr

o

N

o

212

2

22

2rL

dtd

ddwL

dtdr

2

2

2

2

2

2

dwd

rL

dtrd

ddw

rL

dtd

3

2

2

2 2

zerom

E

rmk

rL

ddwL

o

N

o

2122

22

zeroLm

E

rLmk

rddw

o

N

o

222

22121

zeroLm

E

rLmk

rddw

o

N

o

222

22121

zeroLm

Ew

Lmkw

ddw

o

N

o

22

22

22

22Lmkxo

2

2

Lm

Ey

o

N

zeroyxwwddw

22

QDr

w

cos111

DQQsen

ddw

DQQ

dwd

cos2

2

2

zeroyQD

xQDD

QQsen

cos11cos11

22

zeroyQD

xD

xQQD

QDQ

cos11coscos211cos1 22

222

2

2

112/156

zeroyDQx

DxQ

DQ

DDQ

DQ

DQ

coscos1cos211cos 22

2222222

2

2

2

2

zeroyDQx

Dx

DQ

DQ

DDDQQ

DQ

coscoscos21cos

2

2

222

22

2

2

zeroyDx

DDQ

DQx

DQ

DDQQ

DQ

222

2

2

22

2

2 1coscos2coscos

zeroyDx

DDQ

DQx

DDQQ

222

2

2

22 1cos2cos1

12 Q zero

D

QQ

2

22 cos1

zeroyDx

DDDQx

D

22211cos2

zeroxD

2 zeroy

Dx

DD

22211

22Lmkxo

2

2

Lm

Ey

o

N

oo

oo

o

DGMLLmmGM

DLmk

Dxzerox

D

2

221222

zeroyDDxD

DD

DD 22

22

22

22

2

22

zeroyDDx 222 1

22 DxD

DDx

kDE

DGMmE

DLmE

DyD N

oo

N

o

N

222 222

2222

zerokDEN 2

212 12

2 DkEN

2111

Da

akEN 2

113/156

§22 Deformação espacial

2

21

'

cv

tt

'tt

2

221

112

cvc

Lvc

Lvc

Lttt cLt '2'

2

2

2

2

2

21'

1

'2

112

cvLL

cv

cL

cvc

Lt

LL '

Que é a deformação espacial. Sendo o comprimento L’ em repouso no referencial de O’ maior que o comprimento L que está em movimento com velocidade v em relação ao referencial de O. Agora calculemos para o Observador O’ a distancia '' vtd entre 'OO :

cLvvtd '2''

Desta obtemos a velocidade v: '2''2'Lcdv

cLvd .

Agora calculemos para o Observador O a distancia vtd entre 'OO :

2

221

112

cvc

Lvttvvtd

Desta obtemos a velocidade v:

2

2

2

21

2112

cv

Lcdv

cvc

Lvd .

A velocidade v é a mesma para ambos os observadores por isso temos:

2

21

2'2'

cv

Lcd

Lcdv

Onde aplicando a relação 2

21'

cvLL obtemos:

2

2

2

2

2

21'1

1'2'2'

cvdd

cv

cvL

cdLcd

'dd .

Onde as distâncias d e d’ variam de forma inversa as distancias L e L’.

114/156

No geral teremos de 14.2 e 14.4:

2

2

2

1

1'

cvcvuxd

d

ou

2

2

2

1

''1'

cvcxvud

d

zeroxu ''

2

2

2

1

01'

cvcvd

d

2

21

'

cv

dd

cxu ''

2

2

2

1

1'

cvcvcd

d

cvcv

dd

1

1'

vxu ''

2

2

2

1

1'

cvcvvd

d

2

21'

cvdd

vux

2

2

2

1

1'

cvcvvd

d

2

21'

cvdd

cux

2

2

2

1

1'

cvcvcd

d

cvcv

dd

1

1'

zeroux

2

2

2

1

01'

cvcvd

d

2

21

'

cv

dd

115/156

§23 Curvatura do Espaço e Tempo

As variáveis com linha 'r,'y,'x,'v,'t

, etc... São as utilizadas no §21.

Geometria do espaço e tempo no plano xyxy .

xfy

'ctx 'rd'.rd'dsy

'ctf'ds

'cdtdx 'rd'.rd'dsdy

j'dsi'ctjyixr

j'yi'x'r

j'dsi'cdtjdyidxrd

j'dyi'dx'rd

dyry

dxrx

rrd.rdr

j'vicj'dt'dsi

'dt'cdtj

'dtdy

i'dt

dx'dtrdv

j'dt'dy

i'dt'dx

'dt'rd'v

c'dt

dx 'v'dt'ds

'dtdy cosvc vsen'v

'dt'ds

cc'dt'ds

'dtdx'dt

dy

dxdy

tg 1 2

2

22

2111

'dt'sd

c'dt'ds

c'dtd

cdxdy

dxd

dxyd

'vcv

icc

j'v'v

'dt'vd

'dtcd

'dtvda

zero

'dtcd

'aa'dt'vd

'dtvd

222222 'ds'dtcdydxj'dsi'cdtj'dsi'cdtjdyidxjdyidxrd.rdds

222 'ds'dtcds 222 'dtcds'ds

c'vc'dt'dsc

'dtdsv

22

22

222

2

cvc'dt

ds'dt'ds'v

116/156

dsd

curvatura teórica

dxdy

tg dxdy

arctg 2

2

2

2

2

2

2

2

11

1

1

'dt'ds

c

'dt'sd

c

dxdydxyd

dxd

2

2

2111

'dt'ds

cdxdy

dxds

23

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

11

1

11

11

1

'dt'ds

c

'dt'sd

c

'dt'ds

c

'dt'ds

c

'dt'sd

c

dxdsdxd

dsd

23

2

2

2

23

2

2

2

2

2

1

1

11

1

c'v

'dt'vd'v

c

'dt'ds

c

'dt'sd

'dt'ds

cdsd'v'v

dsd

'dt'ds

'dt'ds

23

2

2

2

1

1

c'v

'dt'vd'v

cdsd'v'v

23

2

2

2

c'v1

'dt'vd

c1

dsd

'rdrrkdr

rk

c'v

'dv'vm

cv

vdvmdE oo

k

22

23

2

22

2

11

21.56

'vrrk

'dt'rdr

rk

c'v

'dt'vd'v

ccm

'v'.F'dt

dE ok

2223

2

2

2

2

1

'vrrk

dsd'vcm'v'.F

'dtdE

ok

22

rrk

dsd

cm'F o 22

r

rcmk

dsd

o221

117/156

§ 24 Princípio Variacional

tetanconsrk

cv1

cmE

2

2

2o

k

21.21

tetanconsrk

cv1

cmcv1cm

cv1

vmE

2

2

2o

2

22

o

2

2

2o

k

2o2

22

o

2

2

2o cm

rk

cv1cm

cv1

vm

2

2

o2

22

o

cv1

vm

cv1cm

dvdp

rk

cv1cmL

2

22

o Lagrangeana.

2o

2

2

2o cmL

cv1

vm

Que é a energia inercial da partícula de massa mo.

2ocmLpv

rk

cv1cmcmpvL

2

22

o2

o

Princípio Variacional

2

1

t

t

dtt,tx,txLSAção uxdtdxx Esta é a componente da velocidade no eixo x.

zerodtt,x,xLS2

1

t

t

Variação nula da ação ao longo do eixo x.

Construindo a variável x'x no intervalo 21 ttt nesta vemos que quando x'xzero e

quando zero teremos as condições:

zerodtd t zerot1 zerot2 zero

dd

dtd

x'x x'x d'dx

d

'xd zero

ddx

zerodxd

Temos então uma nova função 2

1

2

1

t

t

t

t

dtt,'x,'xFdtt,x,xGI onde quando

2

1

2

1

t

t

t

t

dtt,x,xLdtt,'x,'xFLFx'xx'xzero

118/156

2

1

2

1

t

t

t

t

dtt,x,xLdtt,'x,'xFLFx'xx'xzero

Assim 2

1

t

t

dtt,'x,'xFI que derivada fornece:

zerodt

'xFdt

'xFdt

d'xd

'xt,'x,'xF

dtd

'dx'x

t,'x,'xFdI

2

1

2

1

2

1

2

1

t

t

t

t

t

t

t

t

'xF

dtd

'xF

dtd

'xF

dtd'x

F'x

Fdtd

'xF

dtd

zerodt

'xF

dtd

'xF

dtddt

'xFdt

'xFdt

'xF

dI

2

1

2

1

2

1

2

1

t

t

t

t

t

t

t

t

zerodt

'xF

dtd

'xFddt

'xF

dI

2

1

2

1

2

1

t

t

t

t

t

t

zerot'x

Ft'x

F'x

F'x

Fd 12

t

t

t

t

2

1

2

1

zerodt

'xF

dtd

'xFdt

'xF

dtddt

'xF

dI

2

1

2

1

2

1

t

t

t

t

t

t

zero

'xF

dtd

'xFzerozerodt

'xF

dtd

'xF

dI

2

1

t

t

zeroxL

dtd

xLLFx'xx'xzero

xL

dtd

xL

Esta é a componente do eixo x

rk

cv1cmL

2

22

o

rk

cv1cm

xdtd

rk

cv1cm

x 2

22

o2

22

o

zerocv1cm

x 2

22

o

zero

rk

x

222222

zyxdtdz

dtdy

dtdxv

2

22

o cv1cm

xdtd

rk

x Esta é a componente do eixo x

119/156

32

111

rxk

rx

r1k

xrr1kr

xk

rk

x

2222 zyxr

222

2

2

o2

121

2

22

o2

22

o zyxxd

d

cv1

vmxd

dvcv2

cv1

21cm

cv1cm

x

2

2

o

222

2

2

o121

222

2

2

o2

22

o

cv1

xm

zyxx

cv1

vmx2zyx

21

cv1

vmcv1cm

x

dtdv

cv2

cv1

21x

cv1

dtxd

cv1

mcv1

dtdx

cv1

dtxd

cv1

m

cv1

xmdtd

2

121

2

2

2

2

2

2o

2

2

2

2

2

2o

2

2

o

dtdv

cv

cv1

x

cv1

cv1

cv1

dtxd

cv1

mdtdv

cv

cv1

xcv1

dtxd

cv1

m

cv1

xmdtd

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2o

2

2

22

2

2

2o

2

2

o

22

2

23

2

2

o2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2o

2

2

o

cx

dtdvv

dtxd

cv1

cv1

mdtdv

cv

cv1

x

cv1

cv1

cv1

dtxd

cv1

m

cv1

xmdtd

icx

dtdvvx

cv1

cv1

mi

rxk

22

2

23

2

2

o3

Eixo x

jcy

dtdvvy

cv1

cv1

mj

ry

k22

2

23

2

2

o3

Eixo y

kcz

dtdvvz

cv1

cv1

mk

rzk

22

2

23

2

2

o3

Eixo z

rr

krr

kkzjyixr

kkrzkj

r

yki

rxk

233333

rrkk

cz

dtdvvz

cv1

cv1

mj

cy

dtdvvy

cv1

cv1

mi

cx

dtdvvx

cv1

cv1

m222

2

23

2

2

o22

2

23

2

2

o22

2

23

2

2

o

rrkk

cz

dtdvvz

cv1j

cy

dtdvvy

cv1i

cx

dtdvvx

cv1

cv1

m222

2

22

2

22

2

23

2

2

o

120/156

rrkk

cx

dtdvvkz

cv1j

cy

dtdvvjy

cv1i

cx

dtdvvix

cv1

cv1

m222

2

22

2

22

2

23

2

2

o

rrkkzjyix

dtdv

cvkzjyix

cv1

cv1

m222

2

23

2

2

o

dtvdkzjyix

dtdkzjyixa

kzjyixv

rrk

cv

dtdvv

dtvd

cv1

cv1

mF

222

2

23

2

2

o

= 21.16

rrk

cv

dtdvv

dtvd

cv1

cv1

mF

222

2

23

2

2

o

= 21.19

§ 24 Princípio Variacional Continuação

tetanconsrk

cv1

cm

c'v1cmE

2

2

2o

2

22

ok

21.21

tetanconsrk

cv1

cm

cv1cm

cv1

vm

c'v1cmE

2

2

2o

2

22

o

2

2

2o

2

22

ok

tetanconsrk

rk

rk

cv1

cmrk

cv1cm

cv1

vmrk

c'v1cm

rkE

2

2

2o

2

22

o

2

2

2o

2

22

ok

tetanconscmrk

cv1cm

cv1

vmrk

c'v1cm

rkE 2

o2

22

o

2

2

2o

2

22

ok

2

22

oc'v1cm'T

2

22

ocv1cmT

rkEp

2

2

2o

cv1

vmpv

'p'v

c'v1

'vm'vv

cv1

vmpv

2

2o

2

2o

.

2

2

c'v1'pp

2

2

cv1p'p

pppkR ETpvE'TEEE

121/156

'TEk TpvEk Tpv'T 'T'v'pT

pE'T'L pETL

Lpv'LEEE pkR

Lpv'L 'L'v'pL 'v'ppv'LL

vm

c'v1

'vm

c'v1cm

'dvd

'dv'dT'p o

2

2

o2

22o

'vm

cv1

vm

cv1cm

dvd

dvdTp o

2

2

o2

22o

rdkdzjdyidxk'dzj'dyi'dx'rd

21.08

2

2

2

2

2

2

cv1

vdtrd

cv1

1kdtdzj

dtdy

idtdx

cv1

1k'dt'dzj

'dt'dy

i'dt'dx

'dt'rd'v

2

2

2

2

x

2

2'x

cv1

x

cv1

vdtdx

cv1

1'dt'dx'v'x

xm

c'v1

'xm

c'v1cm

'xdd

'xd'dT'p o

2

2

o2

22ox

'xm

cv1

xm

cv1cm

xdd

xddTp o

2

2

o2

22ox

rkzjyixk'zj'yi'x'r

21.07

x'x y'y z'z

1x'x

1

y'y

1z'z

zeroxL

dtd

xL

zeroxL

'dtd

dt'dt

'xL

x'x

xL

dtd

xL

'L'v'pL 'xmp

xT

xL

ox

zero'xm'dt

d

c'v1

1'L'v'p'xx

L'dt

ddt

'dt'x

Lx'x

o

2

2

zero'dt'xd

c'v1

m'x'L

'x'v'p

'x'p

'v'dt'xd

c'v1

m'L'v'p

'x2

2

o

2

2

o

zero'x'p

zero'x'v

rk

c'v1cm'L2

22

o

122/156

zero'dt'xd

c'v1

m'x'L

2

2

o

2222222 zyx'z'y'xr.r'r'.rr

32

1112

22

or

'xkr'x

r1k

'xrr1kr

'xk

rk

'xrk

c'v1cm

'x'x'L

zero

c'v1

'xm

r'xk

'dt'xd

c'v1

m'x'L

2

2

o3

2

2

o

3

2

2

o

r'xk

c'v1

'xm

'r

rk'r

rkk'zj'yi'x

rkk

r'zkj

r'y

kir

'xk233333

'rrk

c'v1

'amk

c'v1

'zmj

c'v1

'ymi

c'v1

'xm2

2

2

o

2

2

o

2

2

o

2

2

o

rrk'r

rk

c'v1

'am22

2

2

o

r'r rrk

c'v1

'am2

2

2

o

= 21.19

§25 Espiral logarítmica

zeroBAw3wd

wdA3Hwd

wdH 22

2

2

2

aer 21.37

Qcos1D1

r1w

D

QQsenddw

DQcosQ

dwd

2

2

2

21.38

a

ae

e1

r1w

aae

ddw

a2

2

2ea

dwd

zeroBeA3eeAa3HeeHa2aaa2aa2

zeroBAe3eAa3HeeHa a2a22aa2

zeroBAe3a1Hea1 a22a2

zeroBHea1Ae3a1 a2a22

zeroBHwa1Aw3a1 222

zeroa1

BHwAw32

2

123/156

2

22

2

a

a1AB12H

A61

A6H

A3.2a1

BA3.4HH

r1ew

zeroa1

Ba1

AB12HA61

A6HH

a1AB12H

A61

A6HA3

222

2

22

zeroa1

Ba1

AB12HA6

HA6H

a1AB12H

A61

a1AB12H

A61

A6H2

A6HA3

222

2

2

22

22

2

zeroa1

Ba1

AB12HA6H

A6H

a1AB12H

A361

a1AB12H

A61

A6H2

A6HA3

222

2

22

222

2

zeroa1

Ba1

AB12HA6

HA6H

a1AB12H

A361

a1AB12H

A18H

A36HA3

222

2

22

222

22

2

zeroa1

Ba1

AB12HA6H

A6H

a1AB12H

A121

a1AB12H

A6H

A12H

222

2

22

22

2

zeroa1

BA6

Ha1

AB12HA12

1A12

H2

2

22

2

zeroa1

BA6

Ha1

BA12

HA12

H2

2

2

22

§25 Espiral logarítmica Continuação

2o

2

23

'L

GMr1

dwd

r1AH

21.71

2o

2

23

'L

GMr1

dwd

r1AH

Br1

dwd

r1AH

2

23

2o

R

cm

EH

2o

c

GMA

2o

'L

GMB

124/156

zeroBr1

dwd

r1AH

2

23

zeroBr1

dwd

r1A

r1HA3

r1AH3H

2

2

33

2223

r1AH3H

r1A

r1HA3

r1AH3H

23

3

3

2

223 zeror1A

r1HA3

3

3

2

2

zeroBr1

dwd

r1AH3H

2

223

zeroBwd

wdwAH3H2

223

zeroBwAH3wd

wdAH3wHd

wdH 222

223

2

23

Qcos1D1

r1w

D

QQsenddw

DQcosQ

dwd

2

2

2

21.38

zeroBQcos1D1AH3

Qcos1D1

DQcosQ

AH3Qcos1D1H

DQcosQ

H

22

223

23

zeroBQcosQcos21D1AH3

QcosD1

DQcosQ

AH3D1

DQcosQ

AH3QcosD1H

D1H

DQcos

QH

2222

2

22

223323

zeroBQcosQcos21D

AH3

D

QcosQAH3

DQcos

DQAH3

DQcos

HD

HD

QcosQH

2222

2

2

222

223

323

zeroBQcosD

AH3Qcos2D

AH3D

AH3

D

QcosQAH3

DQcos

DQAH3

DQcos

HD

HD

QcosQH

2222

2

22

2

22

2

2

222

223

323

zeroB

D

QcosAH3

DQcos

DAH6

DAH3

D

QcosQAH3

D

Qcos

DQAH3

D

QcosH

DH

D

QcosQH

2

22

2

22

2

2

222

223

323

125/156

zero

AH3B

D

Qcos

AH3AH3

D

Qcos

DAH3AH6

DAH3AH3

D

Qcos

AH3

QAH3D

Qcos

DAH3

QAH3D

Qcos

AH3H

DAH3H

DQcos

AH3

QH

22

2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

22

2

22

2

3

2

3

2

23

zero

AH3B

D

QcosD

QcosD2

D1

D

QcosQ

D

Qcos

DQ

D

Qcos

A3H

DA3H

D

Qcos

A3HQ

22

2

22

2

22

22

zero

AH3B

D1

DA3H

DQcos

D2

DQcos

DQ

DQcos

A3H

DQcos

A3HQ

D

QcosQ

D

Qcos

222

22

2

22

2

2

zero

AH3B

D1

DA3H

DQcos

D2

DQ

A3H

A3HQ

D

QcosQ1

222

22

2

22

1cmcm

cmE

H2

o

2o

2o

R DA61Q

2

zero

)1(A3

B

D

1DA3

)1(

D

Qcos

D2

DQ

A3

)1(

A3

Q)1(

D

QcosQ1

222

22

2

22

zero

A3B

D

1DA3

1D

Qcos

D2

DQ

A31

A3Q

D

QcosQ1

22

22

2

22

zero

DA3DB

D

1DA3

1D

Qcos

D2

DQ

A31

A3Q

D

QcosQ1

22

22

2

22

1'L

DGMDB

2o

zero

DA31

D

1DA3

1D

Qcos

D2

DQ

A31

A3Q

D

QcosQ1

22

22

2

22

zero

D

1D

Qcos

D2

DQ

A31

A3Q

D

QcosQ1

22

22

2

22

DA61Q

2

zero

D

1D

Qcos

D2

DA61

D1

A31

DA61

A31

D

Qcos

DA611

222

2

126/156

zero

D

1D

Qcos

D2

DA6

D1

D1

A31

DA6

A31

A31

D

Qcos

DA611

222

2

zero

D

1D

Qcos

D1

D

A6D2

D

Qcos

DA6

22222

2

zero

D

1D

Qcos

D

A6D1

D

Qcos

D1A6

22222

2

zero

D1

D1

D

Qcos

D1

DA61

D

Qcos

D1A6

2

2

zero

D1

D

Qcos

DA61

D

QcosA6

2

2

A6.2

D1.A6.4

DA61

DA61

D

Qcos

2

A12DA24

DA6

DA6121

DA61

D

Qcos

22

A12

DA24

DA6

DA121

DA61

D

Qcos

2

A12

DA36

DA361

DA61

D

Qcos 22

2

A12

DA36

DA361

DA61

D

Qcos 22

2

DA361

D

A36DA361

22

2

zero

D

A3622

2

2

o

c

GMA

14

2

28

3011

2

2

2o

2222

2

10.55,210.99792458,2

10.989,110.67,6

600.955.442.5536

c

GM

D

36

D

A36

A12

DA361

DA61

DQcos

127/156

A12

DA181

DA61

A12DA36

211

DA61

A12DA361

DA61

DQcos

D1

A12DA12

A12DA181

DA61

A12DA181

DA61

DQcos

zeroD1

DQcos

zeroD1

D

Qcos

DA61QzeroM)Q(rzero o

zero

D

1D

Qcos

D2

DQ

A31

A3Q

D

QcosQ1

22

22

2

22

1QzeroMr o

1c

zeroG

D61

c

GM

D61

DA61Q

22o

zero

D

1D

Qcos

D2

D1

A31

A31

D

Qcos11

222

2

zeroD

1D

Qcos

D1

22

zeroD1

D

Qcos

zero

D1

D

QcosQcos1

D1

r1w1QzeroMr o

A presença de Q na fórmula Qcos1

D)Q(rr

, permite que ela descreva também uma espiral.

128/156

§25 Espiral logarítmica Continuação II

zero

D

1D

Qcos

D2

DQ

A31

A3Q

D

QcosQ1

22

22

2

22

DA61

DA121

QzeroM)Q(rzero o

zeroD1

DQcos

D2

DA61DA121

D1

A31

DA61DA121

A31

DQcos

DA61DA121

1222

2

zero

DA61

D1

DQcos

DA61

D2

DA121

D1

DA61

A31

DA121

A31

DQcos

DA121

DA61

222

2

zero

DA6

D1

D1

DQcos

DA6

D2

D2

DA12

D1

D1

DA6

A31

A31

DA12

A31

A31

DQcos

DA121

DA61

22222

2

zero

DA6

D1

D1

DQcos

D1

DQcos

DA6

22222

2

DA62

DA6

D1

D1

DA64

D1

D1

DQcos 2222

2

DA12

DA6

D1

D1

DA24

D1

D1

DQcos 222222

DA12

DA6

D1

DA24

D1

DA24

D1

D1

DQcos 222222

DA12

DA6

DA24

DA241

D1

D1

DQcos

DA12

DA144

DA1221

D1

D1

DQcos 22

2

DA12

DA121

D1

D1

DQcos

2

129/156

DA12

DA121

D1

D1

DQcos

DA12

DA12

D1

D1

D1

DQcos

DA12

DA12

D1

D1

D1

DQcos

DA12

DA12

D1

D1

D1

DQcos

DA12DA12

D1

DQcos

D1

DQcos

zeroD1

DQcos

zeroD1

DQcos

DA61DA121

QzeroM)Q(rzero o

DA61

DA61DA121

Q2

DA61Q2

2

o

c

GMA

40,568.469.460.5520563593,0100,000.227.909.571aD 22

42.535.089,477.110.99792458,2

10.9891,1.10.6740831,6c

GMA 28

3011

2o

1.920.999.999,0

DA61DA121

Q

1.920.999.999,0

DA61Q

1,276.789.102.53-14

130/156

Q00,000.296.100,000.296.1Q. 1Q Avanço 1Q Retrocesso

00,000.296.11Q1

zero Avanço zero Retrocesso

"544.893.549.103,000,000.296.11

DA61DA121

121

"997.876.549.103,000,000.296.11

DA61

1

21

139.316.210,415969,87

004.363.256,365100PMPT.100N

"7.034.984.994,42139.316.210,415x544.893.549.103,0N.

"2.164.977.994,42139.316.210,415x997.876.549.103,0N.

Por definição zero

DA61DA121

QzeroM)Q(rzero o

1QzeroMr o

Qcos1zero

D1

DQcos

Qcos1zero

D1

DQcos

Se 1Q

cos1

cos1

Energy Newtonian (EN)

zeroy

Dx

D1

D

QD

QcosD2x

D

QcosQ1 222

2

2

22

zero

D1

DQcos

Qcos1D1

r1w1Qr

131/156

zeroyDx

D1

DQ

D1

D2x

D1

D1Q1 222

22

zeroyDx

D1

DQ

D2

Dx

D1Q1 222

2

22222

zeroyDx

D1

DQ

D2

Dx

DQ

D1

222

2

2222

2

22

zeroyDx2

D4

DQ

DQ

222

2

22

2

1Q2

zeroyDx2

D4

D1

D1

22222

zeroyDDDx2

DD4

DD

DD 2222

22

22

2

22

22

22

zeroyDDx241 222

D2x

2

o

N

Lm

E2y DGML2 1D1

a1 2

zeroyDDD2241 222

zeroyD1 222

zeroLm

E2D1 2o

N222 zeroDGMmE2D1

oo

N222

zeromGM

E2D1oo

N2 kE2

1D1 N2

a2kEN

132/156

§26 Avanço do Periélio de Mercúrio de 42,99" Supondo vux

(2.3) zeroxu

cvv

cv

vv

cvux

cv

vuxxu

''2121

''

22

2

22

2

vux zeroxu '' 21.01

(1.17) 2

2

22

2

22

21'2121'

cvdtdt

cvv

cvdt

cvux

cvdtdt

(1.22)

2

2

22

2

22

2 '1'0'2'1''''2'1'cvdtdt

cv

cvdt

cxuv

cvdtdt

2

21'

cvdtdt 2

2'1'cvdtdt 21.02

1'11 2

2

2

2

cv

cv 21.03

2

2'1

'

cv

vv

2

21

'

cv

vv

21.04

'dtdt 'vv ''dtvvdt 21.05

(1.33)

2

2

22

2

22

2 '1

'0'2'1

''''2'1

'

cvvv

cv

cvv

cxuv

cv

vv

(1.34)

2

2

22

2

22

21

'2121

'

cvvv

cvv

cvv

cvux

cvvv

2

2'1

'

cvvv

2

21

'

cv

vv

21.06

'ˆ rrrr

rrrr

ˆ' rrr '

21.07

'ˆˆ rdrrdrdrrd

rdrrdrdrrd

ˆˆ' 21.08

drrdrrrrdrrdr ˆˆˆˆˆ

21.09

21.10

21.11

drrdrrrrdrrdr ˆˆˆˆ'ˆ

ˆˆˆdtdrr

dtdr

dtrrd

dtrdv 22

2

dtdr

dtdrvvv

ˆ

'ˆ''

ˆ'''

dtdrr

dtdr

dtrrd

dtrdv 22

2

'''''

dtdr

dtdrvvv

133/156

21.12

21.13

21.06

21.50

21.51

ˆ2ˆˆ2

22

2

2

2

2

2

2

dtdr

dtd

dtdrr

dtdr

dtrd

dtrrd

dtrd

dtvda

ˆ'''

2ˆ'''

ˆ''

''' 2

22

2

2

2

2

2

2

dtdr

dtd

dtdrr

dtdr

dtrd

dtrrd

dtrd

dtvda

2

2'1

'

cvvv

2

22

2

2

2

2

2 '1

''

1'1

''

''1

'

cvv

dtd

cv

cvv

dtd

dtdt

cvv

dtd

dtvda

2

2

2

2

2

22

2 '1'

''''1

'1

11cv

dtdv

dtvd

cv

cvc

vdtvda

'''2'1

21'

'''1

'1

11 2

21

22

21

2

2

2

2

2

22

2

dtdv

cv

cvv

dtvd

cv

cvc

vdtvda

2

2

22

2

2

22

2 ''''

'1

1'''1

'1

11cv

dtdvv

cvdt

vdcv

cvc

vdtvda

2

2

22

2

2

2

2

2

2

22

2 ''''

'1

1'1'''1

'1

1'1

11cv

dtdvv

cvc

vdtvd

cv

cv

cvc

vdtvda

22

2

23

2

22

2 ''''

'''1

'1

11cv

dtdvv

dtvd

cv

cvc

vdtvda

22

2

23

2

22

2

2

2

''''

'''1

'111cv

dtdvv

dtvd

cv

cv

mdtvd

cv

m

cv

amam ooo

dtvd

cv

m

cv

amamF oo

2

2

2

211

134/156

21.52

21.53

21.54

21.55

21.56

21.57

21.58

22

2

23

2

2

''''

'''1

'1

'cv

dtdvv

dtvd

cv

cv

mF o

22

2

23

2

22

2

2

2

''''

'''1

'1

'11

cv

dtdvv

dtvd

cv

cv

mF

dtvd

cv

m

cv

amamF ooo

'ˆ''.. 2 rdrrkrdFrdFEk

'ˆ'''''

'''1

'11

''.. 222

2

23

2

22

2rdr

rkrd

cv

dtdvv

dtvd

cv

cv

mrd

dtvd

cv

mrdFrdFE oo

k

'ˆ'''''

''''1

'11222

2

23

2

22

2rdr

rk

cv

dtrddvv

dtrdvd

cv

cv

mdtrdvd

cv

mE ook

drrk

cvvdvvvvd

cv

cv

mvvd

cv

mE ook 222

2

23

2

22

2

'''''''1'11

drrk

cvdvvvvd

cv

cv

m

cv

vdvmE ook 22

2

2

2

23

2

22

2

''''''1'11

drrk

cv

cv

cv

dvvm

cv

vdvmE ook 22

2

2

2

23

2

22

2

''1'1

''

1

drrk

cv

dvvm

cv

vdvmE ook 2

23

2

22

2'1

''

1dr

rk

cv

dvvm

cv

vdvmdE oo

k 223

2

22

2'1

''

1

teconsrk

cv

cmcvcmE o

ok tan'1

1

2

2

2

2

22

teconsrk

cvcmE oR tan1 2

22 tecons

rk

cv

cmE oR tan

'1 2

2

2

135/156

21.59

21.60

21.61

21.62

21.63

kdtdrr

dtdr

cvdt

drrdtdr

cv

rr

cvvrvrL ˆ

'ˆˆ

11ˆˆ

11ˆ

1''' 22

2

2

2

2

2

2

21.63

21.64

21.56

21.65

21.66

21.67

rkvm

cmrk

cv

cmE o

oo

R

2'

'1

22

2

2

2

2

2

2

2

01

cmk

c

cmE o

oR

rcmk

cmE

cv oo

R 1'1

122

2

2

2cmE

Ho

R 222 cGM

cmmGM

cmkA o

o

oo

o

rAH

cv

1'1

1

2

2

3

23

2

2

1

'1

1

rAH

cv

kdtdrr

dtdr

dtdrr

dtdrrrvrL ˆ

'ˆˆ

'ˆ

'ˆ'

ˆ''' 22

kLkdtdrL ''

' 2

'' 2

dtdrL

'ˆ'1

''

122

23

2

22

2rdr

rkdr

rk

cv

dvvm

cv

vdvmdE oo

k

'ˆ''ˆ

'''

'1

''' 22

23

2

2vr

rk

dtrdr

rk

dtdvv

cv

mvF

dtdE ok

rrk

cv

amF o ˆ

'1

'' 2

23

2

2

rrk

dtdr

dtd

dtdrr

dtdr

dtrd

cv

mF o ˆˆ

'''2ˆ

'''1

' 22

22

2

2

23

2

2

zerodtdr

dtd

dtdr

cv

mF o

ˆ'''

2'1

' 2

2

23

2

2ˆ

136/156

21.68

21.69

21.70

21.71

§25 Espiral Logarítmica continuação

2o

2

23

'L

GMr1

dwd

r1AH

21.71

2o

2

23

'L

GMr1

dwd

r1AH

Br1

dwd

r1AH

2

23

2o

R

cm

EH

2o

c

GMA

2o

'L

GMB

zeroBr1

dwd

r1AH

2

23

rrkr

dtdr

dtrd

cv

mF o

r ˆˆ'''1

' 2

2

2

2

23

2

2ˆ

rrGM

rdtdr

dtrd

cv

o ˆˆ'''1

12

2

2

2

23

2

2

2'

' rL

dtd

ddwL

dtdr ''

2

2

2

2

2

2 '' d

wdrL

dtrd

ddw

rL

dtd

3

2

2

2 '2'

2

2

22

2

2

2

23

2

2

''

'1

1rGM

rLr

dwd

rL

cv

o

23

2

2

2

2

2

23

2

2

''

'1

1rGM

rL

dwd

rL

cv

o

22

2

2

2

23

2

2

'1

'1

1rGM

rL

rdwd

cv

o

22

2

23

2

2 '1

'1

1LGM

rdwd

cv

o

22

23

'11

LGM

rdwd

rAH o

137/156

zeroBr1

dwd

r1A

r1HA3

r1AH3H

2

2

33

2223

r1AH3H

r1A

r1HA3

r1AH3H

23

3

3

2

223 zeror1A

r1HA3

3

3

2

2

zeroBr1

dwd

r1AH3H

2

223

zeroBwd

wdwAH3H2

223

zeroBwAH3wd

wdAH3wHd

wdH 222

223

2

23

Qcos1D1

r1w

D

QQsenddw

DQcosQ

dwd

2

2

2

21.38

A primeira hipótese para obter uma solução particular da equação diferencial é supor o raio infinito r , assim fazendo obtemos:

1QcoszeroQcos1D1

r1w

D

QD

QcosQD

QcosQd

wd222

2

2

zeroBwAH3wd

wdAH3wHd

wdH 222

223

2

23

zerow D

Qd

wd2

2

2

1

cmcm

cmE

H2

o

2o

2o

R

zeroBzero1A3zeroD

Q1A3zero1D

Q1 222

232

3

zeroBD

Q2

zeroDBD

DQ2

zero1Q2 1Q2

Este resultado demonstra que no infinito a influência da massa central é zero zeroMo .

A segunda hipótese para obter outra solução particular da equação diferencial é obtida observando que o

ângulo Q da equação 1Qcos indica a direção do raio infinito r onde a influência da massa

central é zero zeroMo e 1Q2 , por isso a direção do centro de massa é dada pelo ângulo Q que

substituído na equação 1Qcos resulta na nova equação 1Qcos que indica direção

oposta à direção do raio infinito que é a direção do centro de massa:

1Qcos QcosQcos 1Qcos 1Qcos

138/156

D211

D1Qcos1

D1

r1w

DQ

DQcosQ

DQcosQ

dwd

222

2

2

D2w

DQ

dwd

2

2

2

1

cmcm

cmE

H2

o

2o

2o

R

zeroBwAH3wd

wdAH3wHd

wdH 222

223

2

23

zeroBD21A3

D2

DQ1A3

D21

DQ1

22

223

23

zeroBD2A3

D2

DQA3

D2

DQ 222

zeroBD4A3

D2

DQA3

D2

DQ

22

22

zeroBDA12

DAQ6

D2

DQ

2222

22

zeroDBD

A12DDAQ6D

DD2

DDQ

2222

22

1DGM

DGM

'L

DGMDB

o

o2

o

zero1DA12

DAQ62Q

22

zeroDA12

DAQ61Q

22

DA121

DAQ6Q

22

DA61DA121

Q2

Aplicando os resultados da segunda hipótese na equação diferencial:

zeroBwAH3wd

wdAH3wHd

wdH 222

223

2

23

Qcos1D1

r1w

D

QQsenddw

DQcosQ

dwd

2

2

2

21.38

zeroBQcos1D1AH3

Qcos1D1

DQcosQ

AH3Qcos1D1H

DQcosQ

H

22

223

23

139/156


QcosD1

DQcosQ

AH3D1

DQcosQ

AH3QcosD1H

D1H

DQcos

QH

2222

2

22

223323

zeroBQcosQcos21D

AH3

D

QcosQAH3

DQcos

DQAH3

DQcos

HD

HD

QcosQH

2222

2

2

222

223

323

zeroBQcosD

AH3Qcos2D

AH3D

AH3

D

QcosQAH3

DQcos

DQAH3

DQcos

HD

HD

QcosQH

2222

2

22

2

22

2

2

222

223

323

zeroB

D

QcosAH3

DQcos

DAH6

DAH3

D

QcosQAH3

D

Qcos

DQAH3

D

QcosH

DH

D

QcosQH

2

22

2

22

2

2

222

223

323

zero

AH3B

D

Qcos

AH3AH3

D

Qcos

DAH3AH6

DAH3AH3

D

Qcos

AH3

QAH3D

Qcos

DAH3

QAH3D

Qcos

AH3H

DAH3H

DQcos

AH3

QH

22

2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

22

2

22

2

3

2

3

2

23

zero

AH3B

D

QcosD

QcosD2

D1

D

QcosQ

D

Qcos

DQ

D

Qcos

A3H

DA3H

D

Qcos

A3HQ

22

2

22

2

22

22

zero

AH3B

D1

DA3H

DQcos

D2

DQcos

DQ

DQcos

A3H

DQcos

A3HQ

D

QcosQ

D

Qcos

222

22

2

22

2

2

zero

AH3B

D1

DA3H

DQcos

D2

DQ

A3H

A3HQ

D

QcosQ1

222

22

2

22

1cmcm

cmE

H2

o

2o

2o

R

zero

)1(A3

B

D

1DA3

)1(

D

Qcos

D2

DQ

A3

)1(

A3

Q)1(

D

QcosQ1

222

22

2

22

zero

A3B

D

1DA3

1D

Qcos

D2

DQ

A31

A3Q

D

QcosQ1

22

22

2

22

140/156

zero

DA3DB

D

1DA3

1D

Qcos

D2

DQ

A31

A3Q

D

QcosQ1

22

22

2

22

1DGM

DGM

'L

DGMDB

o

o2

o

zero

DA31

D

1DA3

1D

Qcos

D2

DQ

A31

A3Q

D

QcosQ1

22

22

2

22

zero

D

1D

Qcos

D2

DQ

A31

A3Q

D

QcosQ1

22

22

2

22

DA61

DA121

QzeroM)Q(rzero o

zeroD1

DQcos

D2

DA61DA121

D1

A31

DA61DA121

A31

DQcos

DA61DA121

1222

2

zeroDA61

D1

DQcos

DA61

D2

DA121

D1

DA61

A31

DA121

A31

DQcos

DA121

DA61

222

2

zeroDA6

D1

D1

DQcos

DA6

D2

D2

DA12

D1

D1

DA6

A31

A31

DA12

A31

A31

DQcos

DA121

DA61

22222

2

zeroDA6

D1

D1

DQcos

D1

DQcos

DA6

22222

2

DA62

DA6

D1

D1

DA64

D1

D1

DQcos 2222

2

DA12

DA6

D1

D1

DA24

D1

D1

DQcos 222222

DA12

DA6

D1

DA24

D1

DA24

D1

D1

DQcos 222222

DA12

DA6

DA24

DA241

D1

D1

DQcos

141/156

DA12

DA144

DA1221

D1

D1

DQcos 22

2

DA12

DA121

D1

D1

DQcos

2

DA12

DA121

D1

D1

DQcos

DA12

DA12

D1

D1

D1

DQcos

DA12

DA12

D1

D1

D1

DQcos

DA12

DA12

D1

D1

D1

DQcos

DA12DA12

D1

DQcos

D1

DQcos

Onde aplicando o resultado da segunda hipótese

1Qcos1Qcos :

D1

D11

Que é uma identidade demonstrando que o resultado da segunda hipótese está correto

DA61

DA61DA121

Q2

DA61Q2

2

o

c

GMA

40,568.469.460.5520563593,0100,000.227.909.571aD 22

42.535.089,477.110.99792458,2

10.9891,1.10.6740831,6c

GMA 28

3011

2o

142/156

1.920.999.999,0

DA61DA121

Q

1.920.999.999,0

DA61Q

1,276.789.102.53-14

Q00,000.296.100,000.296.1Q. 1Q Avanço 1Q Retrocesso

00,000.296.11Q1

zero Avanço zero Retrocesso

"544.893.549.103,000,000.296.11

DA61DA121

121

"997.876.549.103,000,000.296.11

DA61

1

21

139.316.210,415969,87

004.363.256,365100PMPT.100N

"7.034.984.994,42139.316.210,415x544.893.549.103,0N.

"2.164.977.994,42139.316.210,415x997.876.549.103,0N.

Energia Newtoniana EN

rkum

E oN

2

2

2

22222

rL

dtdr

dtdr

dtdru

rk

rL

dtdrm

E oN

2

22

2

rmk

rL

dtdr

m

E

oo

N 1222

22

zerom

E

rmk

rL

dtdr

o

N

o

212

2

22

143/156

zeroyDx

DDQ

DQx

DQ

DDQQ

DQ

222

2

2

22

2

2 1coscos2coscos

zeroyDx

DDQ

DQx

DDQQ

222

2

2

22 1cos2cos1

2rL

dtd

ddwL

dtdr

2

2

2

2

2

2

dwd

rL

dtrd

ddw

rL

dtd

3

2

2

2 2

zerom

E

rmk

rL

ddwL

o

N

o

2122

22

zeroLm

E

rLmk

rddw

o

N

o

222

22121

zeroLm

E

rLmk

rddw

o

N

o

222

22121

zeroLm

Ew

Lmkw

ddw

o

N

o

22

22

22

22Lmkxo

2

2

Lm

Ey

o

N

zeroyxwwddw

22

QDr

w

cos111 D

QQsenddw

DQQ

dwd

cos2

2

2

zeroyQD

xQDD

QQsen

cos11cos11

22

zeroyQD

xD

xQQD

QDQ

cos11coscos211cos1 22

222

2

2

zeroyDQx

DxQ

DQ

DDQ

DQ

DQ

coscos1cos211cos 22

2222222

2

2

2

2

zeroyDQx

Dx

DQ

DQ

DDDQQ

DQ

coscoscos21cos

2

2

222

22

2

2

144/156

Energia Newtoniana EN

zeroy

Dx

D1

D

QD

QcosD2x

D

QcosQ1 222

2

2

22

zero

D1

DQcos

Qcos1D1

r1w1Qr

zeroyDx

D1

DQ

D1

D2x

D1

D1Q1 222

22

zeroyDx

D1

DQ

D2

Dx

D1Q1 222

2

22222

zeroyDx

D1

DQ

D2

Dx

DQ

D1

222

2

2222

2

22

zeroyDx2

D4

DQ

DQ

222

2

22

2

1Q2

zeroyDx2

D4

D1

D1

22222

zeroyDDDx2

DD4

DD

DD 2222

22

22

2

22

22

22

zeroyDDx241 222

D2x

2

o

N

Lm

E2y DGML2 1D1

a1 2

zeroyDDD2241 222

zeroyD1 222

zeroLm

E2D1 2o

N222 zeroDGMmE2D1

oo

N222

zeromGM

E2D1oo

N2 kE2

1D1 N2

a2kEN

145/156

§27 Avanço do Periélio de Mercúrio de 42,99" “ Condições de Contorno” Comecemos da equação que expressa o equilíbrio de forças:

21.65

No lado direito temos a força gravitacional

�� definida por Newton, no lado esquerdo

temos a descrição física de Força �� =

da Relatividade Ondulatória.

As propriedades físicas da equação 21.65 exige sua validade quando seu raio varia desde um raio maior que zero até um raio infinito, portanto o raio varia de 𝑧𝑒𝑟𝑜 < 𝑟 ≤ ∞, e por isso temos duas distintas condições de contorno a primeira condição de contorno é quando o raio é infinito 𝑟 = ∞ e a força gravitacional é zero, o que significa que a partícula está em repouso com 𝑣′ = 𝑧𝑒𝑟𝑜 e 𝑎 = 𝑧𝑒𝑟𝑜 e a segunda condição de contorno é quando o raio é maior que zero e menor que o infinito 𝑧𝑒𝑟𝑜 < 𝑟 < ∞ o que significa que a partícula está em movimento devido à influência de uma força gravitacional 21.65 com 𝑣′ ≠ 𝑧𝑒𝑟𝑜 e 𝑎 ≠ 𝑧𝑒𝑟𝑜. No §26 na sequência dos cálculos substitui-se em 21.65 as igualdade 21.62, 21.69 e

2o

R

cm

EH

2o

c

GMA

2o

'L

GMB , mais 𝑤 = .

Após essas substituições obtemos a equação diferencial:

zeroBwAH3wd

wdAH3wHd

wdH 222

223

2

23

27.1

Está equação tem que ser valida para as mesmas condições de contorno que a equação 21.65, ou seja, tem que ter validade desde um raio r maior que zero (𝑟 > 𝑧𝑒𝑟𝑜) até um raio infinito (𝑧𝑒𝑟𝑜 < 𝑟 ≤ ∞). A sua solução exata é dada por:

Qcos1D1

r1w

27.2

Que deve abranger as duas condições de contornos já descritas. Aplicando a solução 27.2 na equação diferencial 27.1 temos:

zeroBwAH3wd

wdAH3wHd

wdH 222

223

2

23

Qcos1D1

r1w

D

QQsenddw

DQcosQ

dwd

2

2

2

21.38

rrk

cv

amF o ˆ

'1

'' 2

23

2

2

146/156

zeroBQcos1D1AH3

Qcos1D1

DQcosQ

AH3Qcos1D1H

DQcosQ

H

22

223

23


QcosD1

DQcosQ

AH3D1

DQcosQ

AH3QcosD1H

D1H

DQcos

QH

2222

2

22

223323

zeroBQcosQcos21D

AH3

D

QcosQAH3

DQcos

DQAH3

DQcos

HD

HD

QcosQH

2222

2

2

222

223

323

zeroBQcosD

AH3Qcos2D

AH3D

AH3

D

QcosQAH3

DQcos

DQAH3

DQcos

HD

HD

QcosQH

2222

2

22

2

22

2

2

222

223

323

zeroB

D

QcosAH3

DQcos

DAH6

DAH3

D

QcosQAH3

D

Qcos

DQAH3

D

QcosH

DH

D

QcosQH

2

22

2

22

2

2

222

223

323

zero

AH3B

D

Qcos

AH3AH3

D

Qcos

DAH3AH6

DAH3AH3

D

Qcos

AH3

QAH3D

Qcos

DAH3

QAH3D

Qcos

AH3H

DAH3H

DQcos

AH3

QH

22

2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

22

2

22

2

3

2

3

2

23

zero

AH3B

D

QcosD

QcosD2

D1

D

QcosQ

D

Qcos

DQ

D

Qcos

A3H

DA3H

D

Qcos

A3HQ

22

2

22

2

22

22

zero

AH3B

D1

DA3H

DQcos

D2

DQcos

DQ

DQcos

A3H

DQcos

A3HQ

D

QcosQ

D

Qcos

222

22

2

22

2

2

zero

AH3B

D1

DA3H

DQcos

D2

DQ

A3H

A3HQ

D

QcosQ1

222

22

2

22

1cmcm

cmE

H2

o

2o

2o

R

147/156

zero

)1(A3

B

D

1DA3

)1(

D

Qcos

D2

DQ

A3

)1(

A3

Q)1(

D

QcosQ1

222

22

2

22

zero

A3B

D

1DA3

1D

Qcos

D2

DQ

A31

A3Q

D

QcosQ1

22

22

2

22

zero

DA3DB

D

1DA3

1D

Qcos

D2

DQ

A31

A3Q

D

QcosQ1

22

22

2

22

1DGM

DGM

'L

DGMDB

o

o2

o

zero

DA31

D

1DA3

1D

Qcos

D2

DQ

A31

A3Q

D

QcosQ1

22

22

2

22

zero

D

1D

Qcos

D2

DQ

A31

A3Q

D

QcosQ1

22

22

2

22

27.3

Esta equação deve ter solução para as mesmas duas condições de contorno de 21.65. Solução de 27.3 para a primeira condição de contorno que é quando o raio é infinito r = ∞, e a força gravitacional é zero o que significa que a partícula está em repouso e temos 𝑣′ = 𝑧𝑒𝑟𝑜 e 𝑎 = 𝑧𝑒𝑟𝑜:

Aplicando 1Q2 em 27.3 obtemos:

(1 − 1 )(∅ )

+ − − +(∅ )

+ = 𝑧𝑒𝑟𝑜.

(∅)

+ = 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝜀 =(∅)

27.4

A equação 27.4 é exatamente igual ao resultado da equação 27.2 quando o raio é infinito 𝑟 = ∞, w = zero e Q = 1, como se comprova em 27.5:

𝑤 = = [1 + 𝜀𝑐𝑜𝑠(∅𝑄)] = [1 + 𝜀𝑐𝑜𝑠(∅1)] =(∅)

+ = 𝑧𝑒𝑟𝑜 27.5

Portanto em 27.4 temos um resultado exato que descreve como no infinito a excentricidade 𝜀 se relaciona com o ângulo ∅ do raio infinito da partícula, sendo 𝜀 ≥ 1 o que significa que o movimento a partir do infinito será ou parabólico com 𝜀 = 1 ou hiperbólico com 𝜀 > 1. Observemos que por definição 𝜀 > 𝑧𝑒𝑟𝑜. Solução de 27.3 para a segunda condição de contorno que é quando o raio é maior que zero e menor que o infinito 𝑧𝑒𝑟𝑜 < 𝑟 < ∞ o que significa que a partícula está em movimento devido à influência de uma força gravitacional com 𝑣′ ≠ 𝑧𝑒𝑟𝑜 e 𝑎 ≠ 𝑧𝑒𝑟𝑜.

Aplicando 𝑄 = em 27.3 temos:

148/156

zero

D

1D

Qcos

D2

DQ

A31

A3Q

D

QcosQ1

22

22

2

22

27.3

zeroD1

DQcos

D2

DA61DA121

D1

A31

DA61DA121

A31

DQcos

DA61DA121

1222

2

zero

DA61

D1

DQcos

DA61

D2

DA121

D1

DA61

A31

DA121

A31

DQcos

DA121

DA61

222

2

zero

DA6

D1

D1

DQcos

DA6

D2

D2

DA12

D1

D1

DA6

A31

A31

DA12

A31

A31

DQcos

DA121

DA61

22222

2

zero

DA6

D1

D1

DQcos

D1

DQcos

DA6

22222

2

DA62

DA6

D1

D1

DA64

D1

D1

DQcos 2222

2

DA12

DA6

D1

D1

DA24

D1

D1

DQcos 222222

DA12

DA6

D1

DA24

D1

DA24

D1

D1

DQcos 222222

DA12

DA6

DA24

DA241

D1

D1

DQcos

DA12

DA144

DA1221

D1

D1

DQcos 22

2

DA12

DA121

D1

D1

DQcos

2

DA12

DA121

D1

D1

DQcos

149/156

DA12

DA12

D1

D1

D1

DQcos

DA12

DA12

D1

D1

D1

DQcos

DA12

DA12

D1

D1

D1

DQcos

DA12DA12

D1

DQcos

D1

DQcos

−(∅ )

+ = 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝜀 =(∅ )

27.6

Na teoria das cônicas para a Hipérbole temos 𝜀 = igualando a 27.6 temos 𝜀 = =

(∅ )

Desta resulta 𝑎 = 𝑐. 𝑐𝑜𝑠(∅𝑄) que é a fórmula correta do semieixo maior da Hipérbole. Portanto em 27.6 temos um resultado exato que descreve como no percurso de 𝑧𝑒𝑟𝑜 <𝑟 < ∞ a excentricidade 𝜀 se relaciona com o ângulo ∅ da partícula, sendo 𝜀 ≥ 1 o que significa que o movimento será ou Parabólico com 𝜀 = 1 ou Hiperbólico com 𝜀 > 1. Observemos que por definição 𝜀 > 𝑧𝑒𝑟𝑜.

150/156

§28 Avanço do Periélio simplificado

Retrocesso do Periélio 𝐐 > 𝟏 Imaginemos que o sol e Mercúrio sejam duas partículas, estando o Sol situado na origem de um sistema de coordenadas e Mercúrio situado em um ponto A no plano xy. O raio vetor r = rr que liga a origem até o ponto A descreverá o movimento de Mercúrio no plano xy. Na descrição do movimento do planeta Mercúrio para o observador O’ corresponde as variáveis com linha para o observador O as sem linha sendo utilizado um único raio r = rr e um único sistema de coordenada para ambos os observadores. O tempo t’ é uma função do tempo t isto é t′ = t′(t) e o tempo t é uma função do tempo t’ isto é t = t(t′).

dt = dt′ 1 + dt′ = dt 1 − 21.02

1 − 1 + = 1 21.03

v′ = v = 21.04

dt > 𝑑t′ v′ > v vdt = v′𝑑t′ 21.05 r = rr 𝑑r = drr + rdr ��. 𝑑r = drr. r + rr. dr = 𝑑𝑟 28.01 O raio pode ser considerado uma função do tempo t′ = t′(t) ou seja, r = 𝑟(t′) = 𝑟[t′(t)] ou pode ser considerado uma função do tempo t = t(t′) ou seja, r = 𝑟(t) = 𝑟[t(t′)]. r = r(t′) = r[t′(t)] r = r(t) = r[t(t′)] 28.02

v′ =

= r + r∅

∅ v =

= r + r∅

∅

v =

=

=

=

v =

=

=

=

v′ =

v =

28.03

�� =

=

=( )

= − r∅

r + 2∅

+ r∅

∅ 28.04

��′ =

=

=( )

= − r∅

r + 2∅

+ r∅

∅ 28.05

Ambas as velocidades e as acelerações são positivas.

�� =

=

�� =

= F = 1 −

+ v

28.06

𝐸 = ∫ ��′. 𝑑𝑟 = ∫ ��. 𝑑𝑟 = ∫ − ��. 𝑑𝑟 28.07

𝐸 = ∫

. 𝑑𝑟 = ∫ 1 −

+ v

. 𝑑𝑟 = ∫ − ��. 𝑑𝑟

151/156

𝐸 = ∫ = ∫ = ∫ − 𝑑𝑟 𝑑𝐸 = ��. 𝑑𝑟 = = = − 𝑑𝑟 28.08

𝐸 = 𝑚 c 1 + = = + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐸 = 𝑚 c 1 + − = 𝑚 c 28.09

𝐸 = − = 𝑚 c = 1 + = 1 + 𝐴 28.10

Nesta primeira variante à energia cinética relativística é maior que a energia inercial > 𝑚 c .Isso

ocasiona o retrocesso do periélio de Mercúrio. O planeta parece mais pesado devido o movimento.

= ��.

= = = − 𝑑𝑟 = − ��.

= ��. v =

=

= − 𝑑𝑟 = − ��. v

= ��. v = .

=.

= − ��. v �� =

= − �� 28.11

�� = − r∅

r + 2∅

+ r∅

∅ = − ��

��∅ = 2∅

+ r∅

∅ = 𝑧𝑒𝑟𝑜 = 𝑟∅

= 2∅

+ r∅

= 𝑧𝑒𝑟𝑜

�� = − r∅

�� = − ��

− r∅

= −

∅

= = −L∅ =

∅

∅− r = −

∅+ r =

∅+ = 𝐴 = 𝐵 =

= 1 + 𝐴 = 1 + 3𝐴 + 3𝐴 + 𝐴 ≅ 1 + 3𝐴 3𝐴 + 𝐴 ≅ 𝑧𝑒𝑟𝑜

1 + 3𝐴∅

+ = 𝐵 28.12

1 + 3𝐴∅

+ 1 + 3𝐴 − 𝐵 = 𝑧𝑒𝑟𝑜

152/156

∅+ 3𝐴

∅+ + 3𝐴 − 𝐵 = 𝑧𝑒𝑟𝑜

∅+ 3𝐴

∅𝑤 + w + 3𝐴𝑤 − 𝐵 = 𝑧𝑒𝑟𝑜

∅+ w + 3𝐴

∅𝑤 + 3𝐴𝑤 − 𝐵 = 𝑧𝑒𝑟𝑜 28.13

𝑤 = = [1 + 𝜀𝑐𝑜𝑠(∅𝑄)] ∅

=(∅ )

∅

=(∅ )

(∅ )

+ [1 + 𝜀𝑐𝑜𝑠(∅𝑄)] + 3𝐴(∅ )

[1 + 𝜀𝑐𝑜𝑠(∅𝑄)] + 3𝐴 [1 + 𝜀𝑐𝑜𝑠(∅𝑄)] − 𝐵 = 𝑧𝑒𝑟𝑜

−𝑄(∅ )

+ +(∅ )

− 3𝐴𝑄(∅ )

− 3𝐴𝑄(∅ )

+ +(∅ )

+ 3𝐴(∅ )

− 𝐵 = 𝑧𝑒𝑟𝑜

(3𝐴 − 3𝐴𝑄 )(∅ )

+ 1 − 𝑄 − 3𝐴𝑄 +(∅ )

+ + − 𝐵 = 𝑧𝑒𝑟𝑜

−(∅ )

+ − − +(∅ )

+ + − = 𝑧𝑒𝑟𝑜

𝜀𝐷𝐵 = = = 1

(1 − 𝑄 )(∅ )

+ − − +(∅ )

+ + − = 𝑧𝑒𝑟𝑜

(1 − 𝑄 )(∅ )

+ − − +(∅ )

+ = 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑄 = 28.14

1 −(∅ )

+ − − +(∅ )

+ = 𝑧𝑒𝑟𝑜

1 +6A

𝜀𝐷− 1 −

12A

𝜀𝐷

𝑐𝑜𝑠 (∅𝑄)

𝐷+

1

3𝐴1 +

6A

𝜀𝐷−

1

3𝐴1 +

12A

𝜀𝐷−

1

𝜀𝐷1 +

12A

𝜀𝐷+

2

𝜀𝐷1 +

6A

𝜀𝐷

𝑐𝑜𝑠(∅𝑄)

𝐷+

1

𝜀 𝐷1 +

6A

𝜀𝐷= 𝑧𝑒𝑟𝑜

−(∅ )

+ + − − − − + +(∅ )

+ + = 𝑧𝑒𝑟𝑜

−(∅ )

+ −(∅ )

+ + = 𝑧𝑒𝑟𝑜

6A(∅ )

+(∅ )

− − = 𝑧𝑒𝑟𝑜

(∅ )=

± .

.

(∅ )=

±

.

(∅ )=

±

(∅ )

=±

(∅ )

= =

(∅ )

= 𝜀 −(∅ )

= 𝑧𝑒𝑟𝑜 28.15

Para a hipérbole a excentricidade (𝜀) é definida como 𝜀 =(∅ )

sendo (∅) o ângulo da assíntota.

153/156

Avanço do Periélio 𝐐 < 𝟏

dt = dt′ 1 + dt′ = dt 1 − dt > 𝑑𝑡′

1 − 1 + = 1

v = v′ = v′ > v

r = rr 𝑑r = drr + rdr ��. 𝑑r = drr. r + rr. dr = 𝑑𝑟

v =

= r + r∅

∅ v′ =

= r + r∅

∅

v =

v′ =

�� =

=

=( )

= − r∅

r + 2∅

+ r∅

∅

��′ =

=

=( )

= − r∅

r + 2∅

+ r∅

∅

�� =

=

�� =

= ��′ = 1 +

− v′

28.16

𝐸 = ∫ ��. 𝑑𝑟 = ∫ ��′. 𝑑𝑟 = ∫ − ��. 𝑑𝑟

𝐸 = ∫

. 𝑑𝑟 = ∫ 1 +

− v′

. 𝑑𝑟 = ∫ − ��. 𝑑𝑟

𝐸 = ∫ = ∫ = ∫ − 𝑑𝑟 𝑑𝐸 = ��′. 𝑑𝑟 = = = − 𝑑𝑟 28.17

𝐸 = −𝑚 c 1 − = − = + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐸 = −𝑚 c 1 − − = −𝑚 c 28.18

𝐸 = − − = −𝑚 c = 1 − = 1 − 𝐴 28.19

Nesta segunda variante à energia cinética relativística é menor que a energia inercial < 𝑚 c .Isso

ocasiona o avanço do periélio de Mercúrio. O planeta realmente está mais leve devido o movimento.

= ��′.

= = = − = − ��.

= ��′. v′ =

=

= − ��. v′

154/156

= ��′. v′ =.

= .

= − ��. v′ ��′ =

= − �� 28.20

��′ = − r∅

r + 2∅

+ r∅

∅ = − ��

��′∅ = 2∅

+ r∅

∅ = 𝑧𝑒𝑟𝑜 = 𝑟∅

= 2∅

+ r∅

= 𝑧𝑒𝑟𝑜

��′ = − r∅

�� = − ��

− r∅

= −

∅

= = −L′∅ =

∅

∅− r = −

∅+ r =

∅+ = 𝐴 = 𝐵 =

= 1 − 𝐴 = 1 − 3𝐴 + 3𝐴 − 𝐴 ≅ 1 − 3𝐴 3𝐴 − 𝐴 ≅ 𝑧𝑒𝑟𝑜

1 − 3𝐴∅

+ = 𝐵 28.21

1 − 3𝐴∅

+ 1 − 3𝐴 − 𝐵 = 𝑧𝑒𝑟𝑜

∅− 3𝐴

∅+ − 3𝐴 − 𝐵 = 𝑧𝑒𝑟𝑜

∅− 3𝐴

∅𝑤 + w − 3𝐴𝑤 − 𝐵 = 𝑧𝑒𝑟𝑜

∅+ w − 3𝐴

∅𝑤 − 3𝐴𝑤 − 𝐵 = 𝑧𝑒𝑟𝑜 28.22

𝑤 = = [1 + 𝜀𝑐𝑜𝑠(∅𝑄)] ∅

=(∅ )

∅

=(∅ )

−𝑄 𝑐𝑜𝑠(∅𝑄)

𝐷+

1

𝜀𝐷[1 + 𝜀𝑐𝑜𝑠(∅𝑄)] − 3𝐴

−𝑄 𝑐𝑜𝑠(∅𝑄)

𝐷

1

𝜀𝐷[1 + 𝜀𝑐𝑜𝑠(∅𝑄)] − 3𝐴

1

𝜀𝐷[1 + 𝜀𝑐𝑜𝑠(∅𝑄)] − 𝐵 = 𝑧𝑒𝑟𝑜

−𝑄(∅ )

+ +(∅ )

+ 3𝐴𝑄(∅ )

+ 3𝐴𝑄(∅ )

− +(∅ )

+ 3𝐴(∅ )


−𝑄(∅ )

+ +(∅ )

+ 3𝐴𝑄(∅ )

+ 3𝐴𝑄(∅ )

− −(∅ )

− 3𝐴(∅ )


(3𝐴𝑄 − 3𝐴)(∅ )

+ 1 − 𝑄 + 3𝐴𝑄 −(∅ )

+ − − 𝐵 = 𝑧𝑒𝑟𝑜

−(∅ )

+ − + −(∅ )

+ − − = 𝑧𝑒𝑟𝑜

155/156

(𝑄 − 1)(∅ )

+ − + 𝑄 −(∅ )

+ − − = 𝑧𝑒𝑟𝑜

𝜀𝐷𝐵 = = = 1

(1 − 𝑄 )(∅ )

+ − + − 𝑄 +(∅ )

− + + = 𝑧𝑒𝑟𝑜

(1 − 𝑄 )(∅ )

+ − + − 𝑄 +(∅ )

+ = 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑄 = 28.23

1 −(∅ )

+ − + − +(∅ )

+ = 𝑧𝑒𝑟𝑜

1 − − 1 +(∅ )

+ − 1 − + 1 − − 1 − + 1 −(∅ )

+ 1 − = 𝑧𝑒𝑟𝑜

(∅ )

+ − + + − − + + −(∅ )

+ − = 𝑧𝑒𝑟𝑜

(∅ )

+ −(∅ )


6A(∅ )

−(∅ )


(∅ )=

± .

.

(∅ )=

±

.

(∅ )=

±

(∅ )

=±

(∅ )

= =

(∅ )

= 𝜀 −(∅ )

= 𝑧𝑒𝑟𝑜 28.24

Para a hipérbole a excentricidade (𝜀) é definida como 𝜀 =(∅ )

sendo (∅) o ângulo da assíntota.

156/156

Os movimentos das elipses terão o foco F’ (esquerdo) na origem do referencial.

Todas as elipses são descrita pela equação 𝑟 = 𝑟(𝑡) =( )

=( )

=.

. ( ). Nestas o raio vetor

de ângulo (tQ), indica a posição do planeta Mercúrio em todas as elipses, o movimento de Mercúrio nas elipses é anti-horário, sendo o valor de Q a causa do avanço ou retrocesso do periélio. A primeira elipse em azul representa retrocesso do periélio, onde temos (𝑄 = 1.1). A segunda elipse em vermelho representa o avanço do periélio, nesta temos (𝑄 = 0.9). Nesta elipse o periélio e o afélio avançam no sentido trigonométrico, ou seja, sentido anti-horário que é o mesmo sentido do movimento do planeta na elipse. A quinta elipse em verde representa uma elipse estacionária 𝑄 = 1.

“Embora ninguém possa voltar atrás e fazer um novo começo,

qualquer um pode começar agora e fazer um novo fim” (Chico Xavier)

Referências [1] Alonso & Finn, Vol. I e II, Ed. Edgard Blücher LTDA, 1972. [2] Robert Resnik, Introdução à Relatividade Especial, Ed. Univ. de S. Paulo e Ed. Polígono S.A., 1971. [3] E. Terradas Y R. Ortiz, Relatividad, Cia. Ed. Espasa-Calpe Argentina S. A., 1952. [4] Abraham Pais, “Sutil é o Senhor...” A ciência e a vida de Albert Einstein, Ed. Nova Fronteira, 1995. [5] Marcel Rouault, Física Atômica, Ao Livro Técnico LTDA, 1959. [6] H. A. Lorentz, A. Einstein e H. Minkowisk, O Princípio da Relatividade, edição da Fundação Calouste Gulbenkian, 1989. [7] L. Landau e E. Lifchitz, Teoria do Campo, Hemus – Livraria Editora LTDA. [8] Robert Martin Eisberg, Fundamentos da Física Moderna, Ed. Guanabara Dois S.A., 1979. [9] Max Born, Física Atômica, edição da Fundação Calouste Gulbenkian, 1986. http://www.wbabin.net/physics/faraj7.htm

undulating relativity + § 28

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