uma introduc¸˜ao `a otimizac¸˜ao sob incertezaintroduc¸a˜o o problema do fazendeiro o problema...
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Uma Introducao a Otimizacao sob Incerteza
Bernardo Kulnig Pagnoncelli1 e Humberto Jose Bortolossi2
1 Departamento de Matematica
Pontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro
2 Departamento de Matematica Aplicada
Universidade Federal Fluminense
III Bienal da SBM
Universidade Federal de Goiania
6 a 11 de novembro de 2006
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
1a
aula
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Sumario
1 Introducao
2 O problema do fazendeiroIntroduzindo cenariosEVPI e VSS
3 O problema do jornaleiroEnunciado e formulacaoSolucaoExemploOutras interpretacoes para o problema
4 Referencias
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Sumario
1 Introducao
2 O problema do fazendeiroIntroduzindo cenariosEVPI e VSS
3 O problema do jornaleiroEnunciado e formulacaoSolucaoExemploOutras interpretacoes para o problema
4 Referencias
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
O que e otimizacao?
Segundo J.L. Nazareth, “Optimization is the art, science, andmathematics of finding the “best” member of a finite orinfinite set of possible choices, based on some objectivemeasure of the merit of each choice in the set”.
A area de otimizacao tem uma longa historia de sucesso,tanto no plano teorico quanto nas aplicacoes.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
O que e otimizacao?
Segundo J.L. Nazareth, “Optimization is the art, science, andmathematics of finding the “best” member of a finite orinfinite set of possible choices, based on some objectivemeasure of the merit of each choice in the set”.
A area de otimizacao tem uma longa historia de sucesso,tanto no plano teorico quanto nas aplicacoes.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
O que e otimizacao?
Segundo J.L. Nazareth, “Optimization is the art, science, andmathematics of finding the “best” member of a finite orinfinite set of possible choices, based on some objectivemeasure of the merit of each choice in the set”.
A area de otimizacao tem uma longa historia de sucesso,tanto no plano teorico quanto nas aplicacoes.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Selecao de portfolio
O modelo de Markowitz (1952):
minimizar σ2p = x
TVx
sujeito a xtµ = Rp,xT1 = 1.
As incertezas µ e V sao definidas a priori, usando por exemploseries historicas dos ativos. E possıvel incorpora-las ao modelode alguma forma?
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Selecao de portfolio
O modelo de Markowitz (1952):
minimizar σ2p = x
TVx
sujeito a xtµ = Rp,xT1 = 1.
As incertezas µ e V sao definidas a priori, usando por exemploseries historicas dos ativos. E possıvel incorpora-las ao modelode alguma forma?
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Selecao de portfolio
O modelo de Markowitz (1952):
minimizar σ2p = x
TVx
sujeito a xtµ = Rp,xT1 = 1.
As incertezas µ e V sao definidas a priori, usando por exemploseries historicas dos ativos. E possıvel incorpora-las ao modelode alguma forma?
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
A resposta e dada por otimizacao estocastica. E uma areavoltada para a modelagem e resolucao de problemas queenvolvem incertezas.
Diferentemente de otimizacao determinıstica, as incertezasestao explicitamente descritas nos modelos atraves devariaveis aleatorias.
Ao inves de definicoes formais, vamos comecar com umaaplicacao de otimizacao estocastica.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
A resposta e dada por otimizacao estocastica. E uma areavoltada para a modelagem e resolucao de problemas queenvolvem incertezas.
Diferentemente de otimizacao determinıstica, as incertezasestao explicitamente descritas nos modelos atraves devariaveis aleatorias.
Ao inves de definicoes formais, vamos comecar com umaaplicacao de otimizacao estocastica.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
A resposta e dada por otimizacao estocastica. E uma areavoltada para a modelagem e resolucao de problemas queenvolvem incertezas.
Diferentemente de otimizacao determinıstica, as incertezasestao explicitamente descritas nos modelos atraves devariaveis aleatorias.
Ao inves de definicoes formais, vamos comecar com umaaplicacao de otimizacao estocastica.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Sumario
1 Introducao
2 O problema do fazendeiroIntroduzindo cenariosEVPI e VSS
3 O problema do jornaleiroEnunciado e formulacaoSolucaoExemploOutras interpretacoes para o problema
4 Referencias
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
O problema do fazendeiro
Joao e um fazendeiro especializado em tres culturas: trigo,milho e cana-de-acucar.
Ele precisa decidir durante o inverno o que plantar em seus500 ha de terras.
Cada um dos cultivos possui um custo associado, em R$/ha.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
O problema do fazendeiro
Joao e um fazendeiro especializado em tres culturas: trigo,milho e cana-de-acucar.
Ele precisa decidir durante o inverno o que plantar em seus500 ha de terras.
Cada um dos cultivos possui um custo associado, em R$/ha.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
O problema do fazendeiro
Joao e um fazendeiro especializado em tres culturas: trigo,milho e cana-de-acucar.
Ele precisa decidir durante o inverno o que plantar em seus500 ha de terras.
Cada um dos cultivos possui um custo associado, em R$/ha.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Duas divisoes possıveis de terra
milho cana-de-açúcar
trigo milho
cana-de-açúcar
trigo
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Restricoes
O gado precisa de pelo menos 240 T de trigo e 200 T demilho.
Joao pode comprar milho e trigo no mercado local, a precoselevados. Seu excedente tambem pode vendido paraatacadistas.
A cana-de-acucar pode ser vendida por 36 reais por tonelada(R$/T). O governo impoe uma cota em 6000 T. A partirdesse valor a cana-de-acucar e vendida por 10R$/T.
Baseado em experiencia pessoal, Joao sabe que osrendimentos medios de trigo, milho e cana-de-acucar sao 2.5,3.0 e 20 T/ha respectivamente.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Restricoes
O gado precisa de pelo menos 240 T de trigo e 200 T demilho.
Joao pode comprar milho e trigo no mercado local, a precoselevados. Seu excedente tambem pode vendido paraatacadistas.
A cana-de-acucar pode ser vendida por 36 reais por tonelada(R$/T). O governo impoe uma cota em 6000 T. A partirdesse valor a cana-de-acucar e vendida por 10R$/T.
Baseado em experiencia pessoal, Joao sabe que osrendimentos medios de trigo, milho e cana-de-acucar sao 2.5,3.0 e 20 T/ha respectivamente.
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Restricoes
O gado precisa de pelo menos 240 T de trigo e 200 T demilho.
Joao pode comprar milho e trigo no mercado local, a precoselevados. Seu excedente tambem pode vendido paraatacadistas.
A cana-de-acucar pode ser vendida por 36 reais por tonelada(R$/T). O governo impoe uma cota em 6000 T. A partirdesse valor a cana-de-acucar e vendida por 10R$/T.
Baseado em experiencia pessoal, Joao sabe que osrendimentos medios de trigo, milho e cana-de-acucar sao 2.5,3.0 e 20 T/ha respectivamente.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Restricoes
O gado precisa de pelo menos 240 T de trigo e 200 T demilho.
Joao pode comprar milho e trigo no mercado local, a precoselevados. Seu excedente tambem pode vendido paraatacadistas.
A cana-de-acucar pode ser vendida por 36 reais por tonelada(R$/T). O governo impoe uma cota em 6000 T. A partirdesse valor a cana-de-acucar e vendida por 10R$/T.
Baseado em experiencia pessoal, Joao sabe que osrendimentos medios de trigo, milho e cana-de-acucar sao 2.5,3.0 e 20 T/ha respectivamente.
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Dados para o problema do fazendeiro
Trigo Milho Cana-de-acucar
Rendimento (T/ha) 2.5 3.0 20Custo de producao (R$/ha) 150 230 260
Preco de venda (R$/T) 170 150 36(≤ 6000 T)10(> 6000 T)
Preco de compra (R$/T) 238 210 –Mınimo para o gado (T) 200 240 –
Total de terra disponıvel: 500 ha
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Enunciado
O Problema do fazendeiro
Encontrar uma divisao de terras que maximize o lucro dofazendeiro sujeito as restricoes relativas ao gado, a cotagovernamental e a dimensao da propriedade.
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Formulacao determinıstica
minimizar 150 x1 + 230 x2 + 260 x3+238 y1 − 170w1 + 210 y2 − 150w2 − 36w3 − 10w4
sujeito a x1 + x2 + x3 ≤ 500,2.5 x1 + y1 − w1 ≥ 200,
3 x2 + y2 − w2 ≥ 240,w3 + w4 ≤ 20 x3,
w3 ≤ 6000,x1, x2, x3, y1, y2,w1,w2,w3,w4 ≥ 0.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Esse e um problema de otimizacao linear! Podemos escreve-loem AMPL, uma linguagem apropriada para otimizacao e facilde aprender (http://www.ampl.com/).
Existem resolvedores eficientes disponıveis gratuitamente(http://www.ampl.com/DOWNLOADS/cplex80.html).
A solucao completa do problema foi obtida atraves doresolvedor CPLEX.
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Esse e um problema de otimizacao linear! Podemos escreve-loem AMPL, uma linguagem apropriada para otimizacao e facilde aprender (http://www.ampl.com/).
Existem resolvedores eficientes disponıveis gratuitamente(http://www.ampl.com/DOWNLOADS/cplex80.html).
A solucao completa do problema foi obtida atraves doresolvedor CPLEX.
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Esse e um problema de otimizacao linear! Podemos escreve-loem AMPL, uma linguagem apropriada para otimizacao e facilde aprender (http://www.ampl.com/).
Existem resolvedores eficientes disponıveis gratuitamente(http://www.ampl.com/DOWNLOADS/cplex80.html).
A solucao completa do problema foi obtida atraves doresolvedor CPLEX.
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Solucao do problema
Trigo Milho Cana-de-acucar
Area (ha) 120 80 300
Total produzido 300 240 6000
Total vendido 100 – 6000
Total comprado – – –
Lucro total: R$118 600
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Introduzindo cenarios
Pronto, o problema esta resolvido!
Mas...
Joao nao tem tanta certeza sobre os valores dos rendimentosmedios, afinal mudancas climaticas podem alterar bastantesuas estimativas e, consequentemente, seus lucros.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Introduzindo cenarios
Pronto, o problema esta resolvido!
Mas...
Joao nao tem tanta certeza sobre os valores dos rendimentosmedios, afinal mudancas climaticas podem alterar bastantesuas estimativas e, consequentemente, seus lucros.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Introduzindo cenarios
Pronto, o problema esta resolvido!
Mas...
Joao nao tem tanta certeza sobre os valores dos rendimentosmedios, afinal mudancas climaticas podem alterar bastantesuas estimativas e, consequentemente, seus lucros.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Solucao otima com rendimentos 20% acima da media.
Suponha que num ano particularmente favoravel, osrendimentos das culturas foram 20% acima da media. Qual ea solucao do problema neste caso?
Trigo Milho Cana-de-acucar
Area (ha) 183.33 66.67 250
Total produzido 550 240 6000
Total vendido 350 - 6000
Total comprado - - -
Lucro total: R$167 600
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Solucao otima com rendimentos 20% acima da media.
Suponha que num ano particularmente favoravel, osrendimentos das culturas foram 20% acima da media. Qual ea solucao do problema neste caso?
Trigo Milho Cana-de-acucar
Area (ha) 183.33 66.67 250
Total produzido 550 240 6000
Total vendido 350 - 6000
Total comprado - - -
Lucro total: R$167 600
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Solucao otima com rendimentos 20% acima da media.
Em um ano particularmente desfavoravel, os rendimentos dasculturas foram 20% abaixo da media. Qual e a a solucao doproblema neste caso?
Trigo Milho Cana-de-acucar
Area (ha) 100 25 375
Total produzido 200 60 6000
Total vendido - - 6000
Total comprado - 180 -
Lucro total: R$59 950
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Solucao otima com rendimentos 20% acima da media.
Em um ano particularmente desfavoravel, os rendimentos dasculturas foram 20% abaixo da media. Qual e a a solucao doproblema neste caso?
Trigo Milho Cana-de-acucar
Area (ha) 100 25 375
Total produzido 200 60 6000
Total vendido - - 6000
Total comprado - 180 -
Lucro total: R$59 950
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Sensibilidade da solucao
Mudancas de 20% nos rendimentos das culturas em relacaoao rendimento medio fazem o seu lucro variar de R$59 950 aR$167 667!
Pensando na cana-de-acucar, Joao tem o seguinte dilema: sea area reservada para a cana-de-acucar for muito grande e osrendimentos forem acima da media, entao ele tera que venderparte da producao a um preco desfavoravel.
Por outro lado, se ele reservar uma area muito pequena e osrendimentos foram abaixo da media, entao ele tera perdido aoportunidade de vender cana-de-acucar a um preco favoravel.
Como encontrar uma solucao que seja satisfatoria para todosos cenarios?
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Sensibilidade da solucao
Mudancas de 20% nos rendimentos das culturas em relacaoao rendimento medio fazem o seu lucro variar de R$59 950 aR$167 667!
Pensando na cana-de-acucar, Joao tem o seguinte dilema: sea area reservada para a cana-de-acucar for muito grande e osrendimentos forem acima da media, entao ele tera que venderparte da producao a um preco desfavoravel.
Por outro lado, se ele reservar uma area muito pequena e osrendimentos foram abaixo da media, entao ele tera perdido aoportunidade de vender cana-de-acucar a um preco favoravel.
Como encontrar uma solucao que seja satisfatoria para todosos cenarios?
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Sensibilidade da solucao
Mudancas de 20% nos rendimentos das culturas em relacaoao rendimento medio fazem o seu lucro variar de R$59 950 aR$167 667!
Pensando na cana-de-acucar, Joao tem o seguinte dilema: sea area reservada para a cana-de-acucar for muito grande e osrendimentos forem acima da media, entao ele tera que venderparte da producao a um preco desfavoravel.
Por outro lado, se ele reservar uma area muito pequena e osrendimentos foram abaixo da media, entao ele tera perdido aoportunidade de vender cana-de-acucar a um preco favoravel.
Como encontrar uma solucao que seja satisfatoria para todosos cenarios?
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Sensibilidade da solucao
Mudancas de 20% nos rendimentos das culturas em relacaoao rendimento medio fazem o seu lucro variar de R$59 950 aR$167 667!
Pensando na cana-de-acucar, Joao tem o seguinte dilema: sea area reservada para a cana-de-acucar for muito grande e osrendimentos forem acima da media, entao ele tera que venderparte da producao a um preco desfavoravel.
Por outro lado, se ele reservar uma area muito pequena e osrendimentos foram abaixo da media, entao ele tera perdido aoportunidade de vender cana-de-acucar a um preco favoravel.
Como encontrar uma solucao que seja satisfatoria para todosos cenarios?
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Forma extensa de um problema estocastico
minimizar150 x1 + 230 x2 + 260 x3
−1
3(170w11 − 238 y11 + 150w21 − 210 y21 + 36w31 + 10w41)
−1
3(170w12 − 238 y12 + 150w22 − 210 y22 + 36w32 + 10w42)
−1
3(170w13 − 238 y13 + 150w23 − 210 y23 + 36w33 + 10w43)
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Restricoes
sujeito ax1 + x2 + x3 ≤ 500
3 x1 + y11 − w11 ≥ 200, 3.6 x2 + y21 − w21 ≥ 240,w31 + w41 ≤ 24 x3, w31 ≤ 6000,
2.5 x1 + y12 − w12 ≥ 200, 3 x2 + y22 − w22 ≥ 240,w32 + w42 ≤ 20 x3, w32 ≤ 6000,
2 x1 + y13 − w13 ≥ 200, 2.4 x2 + y23 − w23 ≥ 240,w33 + w43 ≤ 16 x3, w33 ≤ 6000
x1, x2, x3 ≥ 0,y11, y21, y12, y22, y13, y23 ≥ 0,
w11,w21,w31,w41,w12,w22,w32,w42,w13,w23,w33,w43 ≥ 0
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
As variaveis xi sao ditas de primeiro estagio: seu valor deveser determinado antes que se conheca a condicao climatica.
As variaveis yis e wis sao de segundo estagio: elas saoescolhidas apos a definicao dos valores de xi e doconhecimento do clima. Elas corrigem possıveis deficits naalimentacao do gado gerados pelas escolhas xi de primeiroestagio.
O problema estocastico na forma extensa e linear e pode serresolvido da mesma forma que fizemos para a formulacaoinicial.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
As variaveis xi sao ditas de primeiro estagio: seu valor deveser determinado antes que se conheca a condicao climatica.
As variaveis yis e wis sao de segundo estagio: elas saoescolhidas apos a definicao dos valores de xi e doconhecimento do clima. Elas corrigem possıveis deficits naalimentacao do gado gerados pelas escolhas xi de primeiroestagio.
O problema estocastico na forma extensa e linear e pode serresolvido da mesma forma que fizemos para a formulacaoinicial.
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As variaveis xi sao ditas de primeiro estagio: seu valor deveser determinado antes que se conheca a condicao climatica.
As variaveis yis e wis sao de segundo estagio: elas saoescolhidas apos a definicao dos valores de xi e doconhecimento do clima. Elas corrigem possıveis deficits naalimentacao do gado gerados pelas escolhas xi de primeiroestagio.
O problema estocastico na forma extensa e linear e pode serresolvido da mesma forma que fizemos para a formulacaoinicial.
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Solucao estocastica
Trigo Milho Cana-de-acucar
1o estagio Area (ha) 170 80 250
s = 1 Rendimento (T) 510 288 6000(Acima) Venda (T) 310 48 6000
(preco favoravel)Compra(T) – – –
s = 2 Rendimento (T) 425 240 5000(Media) Venda (T) 225 – 5000
(preco favoravel)Compra(T) – – –
s = 3 Rendimento (T) 340 192 4000(Abaixo) Venda (T) 140 – 4000
(preco favoravel)Compra(T) – 48 –
Lucro total: R$108 390
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Analise da solucao
A solucao otima do problema estocastico nao e igual anenhuma das solucoes encontradas anteriormente:(x1, x2, x3) = (170, 80, 250).
No caso em que os rendimentos sao 20% abaixo da media,temos a necessidade de se comprar milho no mercado devido abaixa produtividade.
Queremos agora estudar a qualidade da solucao estocastica,isto e, queremos mensurar o ganho em se considerar asvariacoes climaticas bem como o quanto se deixa de ganharpor nao se conhecer com exatidao o futuro.
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Analise da solucao
A solucao otima do problema estocastico nao e igual anenhuma das solucoes encontradas anteriormente:(x1, x2, x3) = (170, 80, 250).
No caso em que os rendimentos sao 20% abaixo da media,temos a necessidade de se comprar milho no mercado devido abaixa produtividade.
Queremos agora estudar a qualidade da solucao estocastica,isto e, queremos mensurar o ganho em se considerar asvariacoes climaticas bem como o quanto se deixa de ganharpor nao se conhecer com exatidao o futuro.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Analise da solucao
A solucao otima do problema estocastico nao e igual anenhuma das solucoes encontradas anteriormente:(x1, x2, x3) = (170, 80, 250).
No caso em que os rendimentos sao 20% abaixo da media,temos a necessidade de se comprar milho no mercado devido abaixa produtividade.
Queremos agora estudar a qualidade da solucao estocastica,isto e, queremos mensurar o ganho em se considerar asvariacoes climaticas bem como o quanto se deixa de ganharpor nao se conhecer com exatidao o futuro.
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EVPI e VSS
Valor esperado de informacao perfeita (EVPI)
O EVPI mede o quanto perdemos por nao saber com exatidaoo futuro.
Para calcula-lo temos que fazer a media entre os rendimentosobtidos conhecendo-se cada um dos cenarios climaticos esubtrair esse valor do ganho com a solucao estocastica.
Temos
EVPI = RP − WS =
− 108 390 +R$ 59 950 + R$ 167 667 + R$ 118 600
3= R$ 7 016.
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EVPI e VSS
Valor esperado de informacao perfeita (EVPI)
O EVPI mede o quanto perdemos por nao saber com exatidaoo futuro.
Para calcula-lo temos que fazer a media entre os rendimentosobtidos conhecendo-se cada um dos cenarios climaticos esubtrair esse valor do ganho com a solucao estocastica.
Temos
EVPI = RP − WS =
− 108 390 +R$ 59 950 + R$ 167 667 + R$ 118 600
3= R$ 7 016.
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EVPI e VSS
Valor esperado de informacao perfeita (EVPI)
O EVPI mede o quanto perdemos por nao saber com exatidaoo futuro.
Para calcula-lo temos que fazer a media entre os rendimentosobtidos conhecendo-se cada um dos cenarios climaticos esubtrair esse valor do ganho com a solucao estocastica.
Temos
EVPI = RP − WS =
− 108 390 +R$ 59 950 + R$ 167 667 + R$ 118 600
3= R$ 7 016.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Valor da solucao estocastica (VSS)
O VSS mede o ganho em se considerar o modelo estocasticoao inves de assumir rendimentos medios.
Para calcula-lo, pense que Joao e um fazendeiro teimoso: eledivide suas terras supondo que os rendimentos sao os medios.Resolve-se o problema inicial para cada cenario, fixando(x1, x2, x3) = (120, 80, 300).
Dessa forma o VSS e dado por
VSS = EEV − RP
−R$ 55 120 + R$ 118 600 + R$ 148 000
3+ R$108 390 = R$ 1 150.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Valor da solucao estocastica (VSS)
O VSS mede o ganho em se considerar o modelo estocasticoao inves de assumir rendimentos medios.
Para calcula-lo, pense que Joao e um fazendeiro teimoso: eledivide suas terras supondo que os rendimentos sao os medios.Resolve-se o problema inicial para cada cenario, fixando(x1, x2, x3) = (120, 80, 300).
Dessa forma o VSS e dado por
VSS = EEV − RP
−R$ 55 120 + R$ 118 600 + R$ 148 000
3+ R$108 390 = R$ 1 150.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Valor da solucao estocastica (VSS)
O VSS mede o ganho em se considerar o modelo estocasticoao inves de assumir rendimentos medios.
Para calcula-lo, pense que Joao e um fazendeiro teimoso: eledivide suas terras supondo que os rendimentos sao os medios.Resolve-se o problema inicial para cada cenario, fixando(x1, x2, x3) = (120, 80, 300).
Dessa forma o VSS e dado por
VSS = EEV − RP
−R$ 55 120 + R$ 118 600 + R$ 148 000
3+ R$108 390 = R$ 1 150.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Sumario
1 Introducao
2 O problema do fazendeiroIntroduzindo cenariosEVPI e VSS
3 O problema do jornaleiroEnunciado e formulacaoSolucaoExemploOutras interpretacoes para o problema
4 Referencias
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Enunciado e formulacao
O problema do jornaleiro
Joao tem um irmao na cidade chamado Jose, que e jornaleiro.
Toda manha ele vai ao editor do jornal e tem que decidirquantos jornais comprar sem saber a demanda daquele dia.
Seu poder de compra e limitado, ou seja, ele pode comprarate uma quantidade fixa u. Alem disso, os jornais naovendidos podem ser devolvidos ao editor, a um preco menordo que o valor pago no inıcio do dia.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Enunciado e formulacao
O problema do jornaleiro
Joao tem um irmao na cidade chamado Jose, que e jornaleiro.
Toda manha ele vai ao editor do jornal e tem que decidirquantos jornais comprar sem saber a demanda daquele dia.
Seu poder de compra e limitado, ou seja, ele pode comprarate uma quantidade fixa u. Alem disso, os jornais naovendidos podem ser devolvidos ao editor, a um preco menordo que o valor pago no inıcio do dia.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Enunciado e formulacao
O problema do jornaleiro
Joao tem um irmao na cidade chamado Jose, que e jornaleiro.
Toda manha ele vai ao editor do jornal e tem que decidirquantos jornais comprar sem saber a demanda daquele dia.
Seu poder de compra e limitado, ou seja, ele pode comprarate uma quantidade fixa u. Alem disso, os jornais naovendidos podem ser devolvidos ao editor, a um preco menordo que o valor pago no inıcio do dia.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Formulacao
min0≤x≤u
{cx + Q(x)}
onde
Q(x) = Eξ[Q(x , ξ)]
eQ(x , ξ) = min −qy(ξ) − rw(ξ)
sujeito a y(ξ) ≤ ξ,y(ξ) + w(ξ) ≤ x ,
y(ξ),w(ξ) ≥ 0.
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Assim como no problema do fazendeiro, o problema dojornaleiro e estruturado em dois estagios: no primeiro estagioJose decide quantos jornais vai comprar atraves da variavel x .
As variaveis de segundo estagio representam quanto eleconseguiu vender (y(ξ)) e quanto ele devolveu ao editor(w(ξ)).
Jose procura a quantidade otima de jornais a comprar deforma a maximizar seu lucro esperado sob incerteza dedemanda.
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Assim como no problema do fazendeiro, o problema dojornaleiro e estruturado em dois estagios: no primeiro estagioJose decide quantos jornais vai comprar atraves da variavel x .
As variaveis de segundo estagio representam quanto eleconseguiu vender (y(ξ)) e quanto ele devolveu ao editor(w(ξ)).
Jose procura a quantidade otima de jornais a comprar deforma a maximizar seu lucro esperado sob incerteza dedemanda.
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Assim como no problema do fazendeiro, o problema dojornaleiro e estruturado em dois estagios: no primeiro estagioJose decide quantos jornais vai comprar atraves da variavel x .
As variaveis de segundo estagio representam quanto eleconseguiu vender (y(ξ)) e quanto ele devolveu ao editor(w(ξ)).
Jose procura a quantidade otima de jornais a comprar deforma a maximizar seu lucro esperado sob incerteza dedemanda.
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Solucao
O primeiro passo para encontrar uma solucao explıcita doproblema do jornaleiro e resolver o problema de segundoestagio.
A solucao e imediata: y∗(ξ) = min{ξ, x} ew∗(ξ) = max{x − ξ, 0}.
Com isso temos Q(x) = Eξ [−q min{ξ, x} − r max{x − ξ, 0}].
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Solucao
O primeiro passo para encontrar uma solucao explıcita doproblema do jornaleiro e resolver o problema de segundoestagio.
A solucao e imediata: y∗(ξ) = min{ξ, x} ew∗(ξ) = max{x − ξ, 0}.
Com isso temos Q(x) = Eξ [−q min{ξ, x} − r max{x − ξ, 0}].
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Solucao
O primeiro passo para encontrar uma solucao explıcita doproblema do jornaleiro e resolver o problema de segundoestagio.
A solucao e imediata: y∗(ξ) = min{ξ, x} ew∗(ξ) = max{x − ξ, 0}.
Com isso temos Q(x) = Eξ [−q min{ξ, x} − r max{x − ξ, 0}].
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Vamos aprender mais a frente que a funcao Q e convexa,contınua e, se ξ e v.a. contınua, derivavel.
Como estamos no intervalo [0, u], se cx + Q′(0) > 0, entao aderivada nao troca de sinal no intervalo e solucao otima ex∗ = 0.
Se cx + Q′(u) < 0, entao a solucao otima e x∗ = u.
Vamos procurar por solucoes de cx + Q′(x) = 0.
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Vamos aprender mais a frente que a funcao Q e convexa,contınua e, se ξ e v.a. contınua, derivavel.
Como estamos no intervalo [0, u], se cx + Q′(0) > 0, entao aderivada nao troca de sinal no intervalo e solucao otima ex∗ = 0.
Se cx + Q′(u) < 0, entao a solucao otima e x∗ = u.
Vamos procurar por solucoes de cx + Q′(x) = 0.
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Vamos aprender mais a frente que a funcao Q e convexa,contınua e, se ξ e v.a. contınua, derivavel.
Como estamos no intervalo [0, u], se cx + Q′(0) > 0, entao aderivada nao troca de sinal no intervalo e solucao otima ex∗ = 0.
Se cx + Q′(u) < 0, entao a solucao otima e x∗ = u.
Vamos procurar por solucoes de cx + Q′(x) = 0.
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Vamos aprender mais a frente que a funcao Q e convexa,contınua e, se ξ e v.a. contınua, derivavel.
Como estamos no intervalo [0, u], se cx + Q′(0) > 0, entao aderivada nao troca de sinal no intervalo e solucao otima ex∗ = 0.
Se cx + Q′(u) < 0, entao a solucao otima e x∗ = u.
Vamos procurar por solucoes de cx + Q′(x) = 0.
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A expressao para Q e
Q(x) =
∫ x
−∞
(−qt − r(x − t))f (t) dt +
∫ ∞
x
−qx f (t) dt.
Rearrumando, temos
Q(x) = −(q − r)
∫ x
−∞
t f (t)dt − rxF (x) − qx(1 − F (x)).
Usando integracao por partes obtem-se
Q(x) = −qx + (q − r)
∫ x
−∞
F (t)dt.
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A expressao para Q e
Q(x) =
∫ x
−∞
(−qt − r(x − t))f (t) dt +
∫ ∞
x
−qx f (t) dt.
Rearrumando, temos
Q(x) = −(q − r)
∫ x
−∞
t f (t)dt − rxF (x) − qx(1 − F (x)).
Usando integracao por partes obtem-se
Q(x) = −qx + (q − r)
∫ x
−∞
F (t)dt.
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A expressao para Q e
Q(x) =
∫ x
−∞
(−qt − r(x − t))f (t) dt +
∫ ∞
x
−qx f (t) dt.
Rearrumando, temos
Q(x) = −(q − r)
∫ x
−∞
t f (t)dt − rxF (x) − qx(1 − F (x)).
Usando integracao por partes obtem-se
Q(x) = −qx + (q − r)
∫ x
−∞
F (t)dt.
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Derivando, chegamos a Q′(x) = −q + (q − r)F (x).
Finalmente, a solucao do problema e
x∗ = 0, se q−cq−r
< F (0),
x∗ = u, se q−cq−r
> F (u),
x∗ = F−1(
q−cq−r
)
, caso contrario.
Qualquer modelagem razoavel da demanda ξ admite que elaso assume valores positivos, e portanto nao temos x∗ = 0.
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Derivando, chegamos a Q′(x) = −q + (q − r)F (x).
Finalmente, a solucao do problema e
x∗ = 0, se q−cq−r
< F (0),
x∗ = u, se q−cq−r
> F (u),
x∗ = F−1(
q−cq−r
)
, caso contrario.
Qualquer modelagem razoavel da demanda ξ admite que elaso assume valores positivos, e portanto nao temos x∗ = 0.
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Derivando, chegamos a Q′(x) = −q + (q − r)F (x).
Finalmente, a solucao do problema e
x∗ = 0, se q−cq−r
< F (0),
x∗ = u, se q−cq−r
> F (u),
x∗ = F−1(
q−cq−r
)
, caso contrario.
Qualquer modelagem razoavel da demanda ξ admite que elaso assume valores positivos, e portanto nao temos x∗ = 0.
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Exemplo
Um exemplo numerico
Suponha que o custo do jornal para o jornaleiro seja c = 10,que o preco de venda seja q = 25, que o preco de devolucaoseja r = 5 e que o poder de compra e u = 150.
A demanda ξ e uma variavel aleatoria uniforme no intervalo[50, 150].
A solucao e x∗ = F−1(3/4) = 125.
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Exemplo
Um exemplo numerico
Suponha que o custo do jornal para o jornaleiro seja c = 10,que o preco de venda seja q = 25, que o preco de devolucaoseja r = 5 e que o poder de compra e u = 150.
A demanda ξ e uma variavel aleatoria uniforme no intervalo[50, 150].
A solucao e x∗ = F−1(3/4) = 125.
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Exemplo
Um exemplo numerico
Suponha que o custo do jornal para o jornaleiro seja c = 10,que o preco de venda seja q = 25, que o preco de devolucaoseja r = 5 e que o poder de compra e u = 150.
A demanda ξ e uma variavel aleatoria uniforme no intervalo[50, 150].
A solucao e x∗ = F−1(3/4) = 125.
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VSS
Inicialmente precisamos calcular a solucao otima paraξ = 100. A solucao e trivial: se a demanda e 100, entaocompre x∗ = 100 jornais!
Precisamos calcular o EEV, que e igual a
Eξ[10 · 100 + Q(100, ξ)] = 1000 − 25 · 100 + 20
∫ 100
50
ξ − 50
100dξ
= 1000 − 2500 + 20
(
75
2− 25
)
= −1250,
Conclui-se que VSS = 1312.5 − 1250 = 62.5.
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VSS
Inicialmente precisamos calcular a solucao otima paraξ = 100. A solucao e trivial: se a demanda e 100, entaocompre x∗ = 100 jornais!
Precisamos calcular o EEV, que e igual a
Eξ[10 · 100 + Q(100, ξ)] = 1000 − 25 · 100 + 20
∫ 100
50
ξ − 50
100dξ
= 1000 − 2500 + 20
(
75
2− 25
)
= −1250,
Conclui-se que VSS = 1312.5 − 1250 = 62.5.
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VSS
Inicialmente precisamos calcular a solucao otima paraξ = 100. A solucao e trivial: se a demanda e 100, entaocompre x∗ = 100 jornais!
Precisamos calcular o EEV, que e igual a
Eξ[10 · 100 + Q(100, ξ)] = 1000 − 25 · 100 + 20
∫ 100
50
ξ − 50
100dξ
= 1000 − 2500 + 20
(
75
2− 25
)
= −1250,
Conclui-se que VSS = 1312.5 − 1250 = 62.5.
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EVPI
Se conhecemos o valor da demanda ξ, entao a solucao ex∗ = ξ.
Assim, temos que
WS = Eξ[cξ + −qξ] = −15Eξ(ξ) = −1500.
Logo, EVPI = 1500 − 1312.5 = 187.5.
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EVPI
Se conhecemos o valor da demanda ξ, entao a solucao ex∗ = ξ.
Assim, temos que
WS = Eξ[cξ + −qξ] = −15Eξ(ξ) = −1500.
Logo, EVPI = 1500 − 1312.5 = 187.5.
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EVPI
Se conhecemos o valor da demanda ξ, entao a solucao ex∗ = ξ.
Assim, temos que
WS = Eξ[cξ + −qξ] = −15Eξ(ξ) = −1500.
Logo, EVPI = 1500 − 1312.5 = 187.5.
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Outras interpretacoes para o problema
Custo marginal
Vamos usar o conceito de ganho marginal para derivar asolucao do problema por uma outra trilha.
A expressao ganho marginal em economia se refere aocrescimento no lucro obtido quando se aumenta em umaunidade a quantidade vendida ou adquirida de umdeterminado bem.
Suponha que jornaleiro comprou k jornais. Qual e o lucroesperado na venda do k-esimo jornal?
A resposta e
lucro esperado = P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c).
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Outras interpretacoes para o problema
Custo marginal
Vamos usar o conceito de ganho marginal para derivar asolucao do problema por uma outra trilha.
A expressao ganho marginal em economia se refere aocrescimento no lucro obtido quando se aumenta em umaunidade a quantidade vendida ou adquirida de umdeterminado bem.
Suponha que jornaleiro comprou k jornais. Qual e o lucroesperado na venda do k-esimo jornal?
A resposta e
lucro esperado = P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c).
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Outras interpretacoes para o problema
Custo marginal
Vamos usar o conceito de ganho marginal para derivar asolucao do problema por uma outra trilha.
A expressao ganho marginal em economia se refere aocrescimento no lucro obtido quando se aumenta em umaunidade a quantidade vendida ou adquirida de umdeterminado bem.
Suponha que jornaleiro comprou k jornais. Qual e o lucroesperado na venda do k-esimo jornal?
A resposta e
lucro esperado = P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c).
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Outras interpretacoes para o problema
Custo marginal
Vamos usar o conceito de ganho marginal para derivar asolucao do problema por uma outra trilha.
A expressao ganho marginal em economia se refere aocrescimento no lucro obtido quando se aumenta em umaunidade a quantidade vendida ou adquirida de umdeterminado bem.
Suponha que jornaleiro comprou k jornais. Qual e o lucroesperado na venda do k-esimo jornal?
A resposta e
lucro esperado = P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c).
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Se o lucro esperado for negativo temos jornais encalhados e seo lucro for positivo temos excesso de demanda. A situacaoideal ocorre quando esse lucro e zero.
Nesse caso temos
lucro esperado = 0
= P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c)
= F (k)(r − c) + (1 − F (k))(q − c).
Devemos entao comprar
k = F−1
(
q − c
q − r
)
jornais.
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Se o lucro esperado for negativo temos jornais encalhados e seo lucro for positivo temos excesso de demanda. A situacaoideal ocorre quando esse lucro e zero.
Nesse caso temos
lucro esperado = 0
= P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c)
= F (k)(r − c) + (1 − F (k))(q − c).
Devemos entao comprar
k = F−1
(
q − c
q − r
)
jornais.
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Se o lucro esperado for negativo temos jornais encalhados e seo lucro for positivo temos excesso de demanda. A situacaoideal ocorre quando esse lucro e zero.
Nesse caso temos
lucro esperado = 0
= P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c)
= F (k)(r − c) + (1 − F (k))(q − c).
Devemos entao comprar
k = F−1
(
q − c
q − r
)
jornais.
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Estoque zerado
A probabilidade de se vender todos os jornais e
P({vender tudo}) = P(ξ ≥ x) = 1 − F (x).
Para a escolha x∗ temos
P({vender tudo}) = 1 − F (x∗) = 1 −q − c
q − r=
c − r
q − r.
Conclui-se que se r = 0 entao a quantidade de jornal a sercomprada deve ser escolhida de maneira que a probabilidadede se vender todos os jornais seja igual a razao custo/precounitario.
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Estoque zerado
A probabilidade de se vender todos os jornais e
P({vender tudo}) = P(ξ ≥ x) = 1 − F (x).
Para a escolha x∗ temos
P({vender tudo}) = 1 − F (x∗) = 1 −q − c
q − r=
c − r
q − r.
Conclui-se que se r = 0 entao a quantidade de jornal a sercomprada deve ser escolhida de maneira que a probabilidadede se vender todos os jornais seja igual a razao custo/precounitario.
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Estoque zerado
A probabilidade de se vender todos os jornais e
P({vender tudo}) = P(ξ ≥ x) = 1 − F (x).
Para a escolha x∗ temos
P({vender tudo}) = 1 − F (x∗) = 1 −q − c
q − r=
c − r
q − r.
Conclui-se que se r = 0 entao a quantidade de jornal a sercomprada deve ser escolhida de maneira que a probabilidadede se vender todos os jornais seja igual a razao custo/precounitario.
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Sumario
1 Introducao
2 O problema do fazendeiroIntroduzindo cenariosEVPI e VSS
3 O problema do jornaleiroEnunciado e formulacaoSolucaoExemploOutras interpretacoes para o problema
4 Referencias
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Internet
Pagina do curso de otimizacao estocastica lecionado naPUC-Rio em 2006.1:http://www.mat.puc-rio.br/∼hjbortol/disciplinas/2006.1/soe/
Pagina da comunidade de otimizacao estocastica:http://www.stoprog.org
Banco de artigos de otimizacao estocastica:http://edoc.hu-berlin.de/browsing/speps/
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Internet
Pagina do curso de otimizacao estocastica lecionado naPUC-Rio em 2006.1:http://www.mat.puc-rio.br/∼hjbortol/disciplinas/2006.1/soe/
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Banco de artigos de otimizacao estocastica:http://edoc.hu-berlin.de/browsing/speps/