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Uma Introdução às Curvas Elípticas
William da S. Pedretti Jaime E. A. RodriguezUniversidade Estadual Paulista - Departamento de Matemática, UNESP
15385-000, Ilha Solteira, SPE-mail: [email protected] , [email protected]
Palavras-chave: Análise e Aplicações, ECC, Característica, Corpo Finito.
Resumo: Neste trabalho analisamos as condições sob as quais duas curvas elípticas são isomorfas, de acordo com a característica do corpo sobre o qual estão definidas.
1- Introdução
Sistemas criptográficos baseados em curvas elípticas (ECC) baseiam sua segurança no problema do logaritmo discreto (PLD) aplicado no grupo de pontos de uma curva elíptica. Este problema atualmente é considerado mais difícil de resolver-se do que a fatoração de números inteiros (IFP), no qual baseia-se o RSA. Além disso, os ECCs trabalham com chaves substancialmente menores comparados a outros métodos criptográficos, permitindo assim, uma eficácia maior na hora de elaborar e implementar algoritmos. Este tipo de sistema forma parte dos chamados métodos assimétricos ou de chave pública, e foi primeiramente proposto e de maneira independente, por Koblitz e Miller em 1985.Certas famílias de curvas elípticas podem ser isomorfas desde que certa transformação seja aplicada, o que proporciona um ganho na hora da programação, pois podemos escolher em qual curva trabalhar de modo que facilite os cálculos, já que a estrutura de ambas é basicamente a mesma.
2 – Definição de Curva Elíptica
Baseia- se no problema do logaritmo discreto em um grupo formado pelos pontos da curva elíptica. O melhor algoritmo conhecido para resolução deste problema tem complexidade exponencial, o que confere um alto grau de segurança ao sistema.
Definição 2.1 Uma curva elíptica é definida sobre o corpo K é dada pela equação de Weierstrass:
542
23
312 axaxaxyaxyay (1)
onde a1, a2, a3, a4, a6 K.
3 – Isomorfismo entre duas Curvas Elípticas.
Teorema 3.1 Sendo K um corpo finito, duas curvas elípticas E1 / K e E2 / K dadas pelas equações:
542
23
312
2
542
23
312
1
:
:
axaxaxyaxyayE
axaxaxyaxyayE
(2)
são isomorfos sobre K, u, r, s, t K e u 0 , tal que a mudança de variáveis.
),(),( 232 tsxuyurxuyx (3)
216
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transforma a equação de E1 na equação de E2.
Usando o conceito de isomorfismo entre curvas elípticas, a equação (1) pode sersimplificada de acordo com a característica do corpo K sobre o qual ela está definida.
4 – Curvas definidas em Corpos de Característica ≠ 2 e ≠ 3
Seja E/K dada por 542
23
312 axaxaxyaxyay (4)
tal que a característica de K é diferente de 2. Uma transformação admissível de variável é
),( yx
22, 31 a
xa
yx (5)
a qual transforma E/K em
542
232
1 :/ bxbxbxyKE (6)
onde
4
2
4
23
55
3144
21
22
aab
aaab
aab
(7)
Nos casos em que a característica de K também é ≠ 3, a mudança de variável
),( yx
216,
36
3 2 ybx(8)
pode ser aplicada sobre E1/K para transformá-la em
.:/ 322 baxxyKE (9)
Como E/K é isomorfa a E1/K e E1/K é isomorfa a E2/K, podemos considerar que toda curva elíptica, definida sobre um corpo cuja característica é ≠ 2 e ≠ 3, escreve como
baxxyE 32: (10)
onde a, b K .
5 – Curvas definidas em Corpos de Característica 2
Seja E/K, dada por 542
23
312 axaxaxyaxyay (11)
217
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uma curva elíptica sobre K, de característica 2.
Se a1 ≠ 0, então a mudança de variáveis
),( yx
31
234
213
11
321 ,
a
aaaya
a
axa (12)
transforma E/K na curva
52
232
1 :/ bxbxxyyKE (13)
Quando a1 = 0, uma mudança admissível de variáveis é
),( yx ),( 2 yax (14)que transforma E/K na curva
543
32
2 :/ cxcxycyKE (15)
com
2455
2244
33
aaac
aac
ac
(16)
6 – Conclusões
Observamos que certas mudanças de variáveis permitem transformar determinadas equações de curvas elípticas em outras mais simples (isomorfas), as quais permitem ser manipuladas com mais facilidade, a efeitos de realizar cálculos, elaborar algoritmos e implementá-los.
Referências
[1] COUTINHO, S.C: Números Inteiros e Criptografia RSA, Série de Computação e Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 2003.
[2] HEFEZ, A. e VILELA, M.A.T.: Códigos corretores de erros, Série de Computação e Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 2002.
[3] KOBLITZ, N.; Elliptic Curve Cryptosystems, Mathematics of Computation, 1987.
[4] LAVOR, C. C; ALVES, M. M. S.; SIQUEIRA, R. M.; COSTA, S. I. R., Uma Introdução à Teoria dos Códigos, Notas em Matemática Aplicada, vol. 21, SBMAC, São Carlos, 2006.
[5] MENEZES, A. J.; Elliptic Curve Public Key Cryptosystems, Auburn University, 1999.
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