um modelo numÉrico para anÁlise elastoplÁstica …‡Ão... · ministÉrio da educaÇÃo e do...
TRANSCRIPT
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO
Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Engenharia de Minas
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral – PPGEM
UM MODELO NUMÉRICO PARA ANÁLISE ELASTOPLÁSTICA DE
MACIÇOS ROCHOSOS COM BASE NO CRITÉRIO DE RUPTURA DE
HOEK-BROWN
Autor: JEFFERSON TALES SIMÃO
Orientadora: Profa. Dr
a. CHRISTIANNE DE
LYRA NOGUEIRA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação do Departamento de Engenharia de
Minas da Escola de Minas da Universidade
Federal de Ouro Preto, como parte integrante
dos requisitos para obtenção do título de
Mestre em Engenharia Mineral.
Área de concentração:
Lavra de Minas
Ouro Preto/MG
Agosto de 2014
Catalogação: [email protected]
S593m Simão, Jefferson Tales.
Um modelo numérico para análise elastoplástica de maciços rochosos
com base no critério de ruptura de Hoek-Brown [manuscrito] / Jefferson
Tales Simão. - 2014.
90f.: il. color; grafs.; tabs.
Orientador: Profa. Dra. Christianne de Lyra Nogueira.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de
Minas. Departamento de Engenharia de Minas. Programa de Pós-Graduação
em Engenharia Mineral – PPGEM.
Área de concentração: Lavra de Minas.
1. Método dos elementos finitos - Teses. 2. Elastoplasticidade - Teses. 3.
Análise funcional não linear - Teses. 4. Solos - Compactação - Teses.
I. Nogueira, Christianne de Lyra. II. Universidade Federal de Ouro Preto.
III. Título.
CDU: 624.04:519.1
CDU: 669.162.16
ii
iii
AGRADECIMENTOS
À Universidade Federal de Ouro Preto e a CAPES pela contribuição à minha formação
acadêmica e apoio financeiro.
À minha orientadora, professora Dra. Christianne de Lyra Nogueira, pela transmissão
de conhecimentos, discussões, sugestões e contribuições técnicas a este trabalho.
Aos meus familiares, pela sustentação e apoio em todas as etapas da vida.
Aos meus colegas de casa em Ouro Preto, Pedro, Pedro Herinque, Lucas, Iure e
Oswaldo.
iv
RESUMO
Esta dissertação tem como objetivo a implementação computacional do modelo
constitutivo elástico perfeitamente plástico com base no critério de ruptura de Hoek-
Brown e com plasticidade associada para análise não linear tensão deformação de obras
geotécnicas, tais como escavações e fundações superficiais, em maciços rochosos. As
implementação computacionais foram realizadas no programa ANLOG com base na
formulação em deslocamento do método dos elementos finitos. Em função da natureza
não linear do modelo constitutivo adota-se um processo de solução em nível global
incremental interativo do tipo Newton-Raphson com incrementos automáticos de carga
de modo a garantir o equilíbrio. Além disto, um algoritmo explícito com sub-
incrementos automáticos de deformação é adotado para integração de tensão em nível
local de modo a garantir a condição de consistência. Os resultados de simulações
numéricas de ensaios triaxiais convencionais, adotando diferentes trajetórias de tensão,
confirmam a implementação computacional. Exemplos relacionados com abertura de
cavidades e capacidade de suporte em maciços rochosos foram usados para validar as
implementações computacionais e demonstrar a aplicabilidade do modelo numérico
gerado.
Palavras-chaves: critério de resitência de Hoek-Brown, método de elementos finitos,
elastoplasticidade, análise não linear, algoritmo de integração de tensão, capacidade de
suporte, abertura de cavidade, maciço rochoso.
v
ABSTRACT
This dissertation aims the computational implementation of an elastic perfectly
plastic constitutive model based on the Hoek-Brown failure criterion and with non-
associative plasticity in order to be applied to non-linear analysis of geotechnical
problems as excavation and shallow foundation in rock mass. The computational
implementation was carried out into ANLOG system based on the finite element
method displacement formulation. Due to the non-linear nature of the constitutive
model an incremental iterative Newton-Raphson procedure with automatic increments
of load is adopted in order to guarantee the equilibrium in global level. Besides, in order
to guarantee the consistency condition in local level, an explicit algorithm with
automatic sub increment of strain is adopted for the stress integration. Results from the
numerical simulation of conventional triaxial test, following different stress path, have
confirmed the computational implementation. Examples related to circular opening and
bearing capacity in rock mass were used in order to validate the computational
implementation and the applicability of the numerical model developed.
Key words: Hoek-Brown failure criterion, finite element method, elastoplasticity, non-
linear analysis, stress integration algorithm, circular opening in rock mass, bearing
capacity, rock mass.
vi
Sumário
Página
Lista de Figuras ......................................................................................................................... vii
Lista de Tabelas .......................................................................................................................... ix
Lista de Quadros .......................................................................................................................... x
Lista de Símbolos ....................................................................................................................... xi
Capítulo 1 – INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 1
1.1 - Considerações preliminares ................................................................................................... 1
1.2 - Objetivo e descrição do trabalho ........................................................................................... 2
Capítulo 2 – FORMULAÇÃO DO MEF PARA PROBLEMAS ELASTOPLÁSTICOS ..... 4
2.1 - Equações de equilíbrio estático .............................................................................................. 5
2.2 - Estratégias de solução de sistemas de equações não lineares ................................................ 6
2.3 - Estratégias de integração de tensão ..................................................................................... 12
Capítulo 3 – MODELO ELÁSTICO PERFEITAMENTE PLÁSTICO DE HOEK-
BROWN ...................................................................................................................................... 21
3.1 - Conceitos da plasticidade..................................................................................................... 22
3.2 - O Modelo Hoek Brown........................................................................................................ 25
Capítulo 4 – O PROGRAMA ANLOG .................................................................................... 34
4.1 - Macro comando ................................................................................................................... 37
4.2 - Elementos finitos e aproximações ....................................................................................... 38
4.3 - Matriz constitutiva ............................................................................................................... 41
4.4 - Implementações computacionais ......................................................................................... 44
Capítulo 5 – EXEMPLOS DE VERIFICAÇÃO ..................................................................... 52
5.1 - Simulação de um ensaio CTC .............................................................................................. 53
5.2 - Cavidade cilíndrica em meio elastoplástico ......................................................................... 57
5.3 - Capacidade de suporte de fundação superficial ................................................................... 63
Capítulo 6 – CONCLUSÕES .................................................................................................... 70
Referências Bibliográficas ......................................................................................................... 73
vii
Lista de Figuras
Capítulo 2 - FORMULAÇÃO DO MEF PARA PROBLEMAS ELASTOPLÁSTICOS
Figura 2.1 - Ilustração do método puramente incremental ........................................................... 10
Figura 2.2 - Processo de Newton Raphson .................................................................................. 11
Figura 2.3 - Algorítmo de integração de tensão genérico (Adaptado de Oliveira 2006) ............. 15
Capítulo 3 - MODELO ELÁSTICO PERFEITAMENTE PLÁSTICO DE HOEK-BROWN
Figura 3.1 - Tipos de comportamento tensão deformação ........................................................... 22
Figura 3.2 - Comportamento linear elastoplástico bidimensional em meio isotrópico ................ 24
Figura 3.3 - Modelo constitutivo geral ......................................................................................... 24
Figura 3.4 - Relação tensão deformação para um modelo elástico perfeitamente plástico .......... 25
Figura 3.5 - Influência da resistência à compressão uniaxial (ζci) ............................................... 28
Figura 3.6 - Influência constante petrográfica (mb) ..................................................................... 29
Figura 3.7 - Influência do parâmetro s ......................................................................................... 29
Figura 3.8 - Influência do parâmetro a ......................................................................................... 30
Figura 3.9 - Critério de Hoek-Brown (adaptado Benz, 2008) ...................................................... 31
Capítulo 4 - O PROGRAMA ANLOG
Figura 4.1 - Ambiente de trabalho do FORTRAN (Nogueira, 2010) .......................................... 36
Figura 4.2 - Mtool - TecGraf® (Nogueira, 2010) ........................................................................ 36
Figura 4.3 - Elemento finito quadrangular quadrático (Q8) ......................................................... 38
Capítulo 5 - EXEMPLOS DE VERIFICAÇÃO
Figura 5.1 - Simulação de ensaios triaxiais CTC ......................................................................... 53
Figura 5.2 - Malha de elementos finitos – trajetórias de tensão ................................................... 54
Figura 5.3 - Curva tensão-deformação – ensaio CTC .................................................................. 55
Figura 5.4 - Trajetórias de tensão no espaço p-q.......................................................................... 57
Figura 5.5 - Abertura de uma cavidade cilíndrica a grande profundidade ................................... 58
Figura 5.6 - Malha de elementos finitos - cavidade cilíndrica em meio elastoplástico ............... 60
Figura 5.7 - Distribuição das tensões ao redor da abertura circular ............................................. 61
Figura 5.8 - Distribuição de tensão .............................................................................................. 62
Figura 5.9 - Regiões elásticas e plásticas ..................................................................................... 62
Figura 5.10 - Fundação superficial – rígida (Lisa e rugosa) ........................................................ 63
viii
Figura 5.11 - Curva carga-recalque - fundação corrida rígida e lisa - meio puramente coesivo .. 65
Figura 5.12 - Curva carga-recalque – fundação rígida – meio puramente coesivo - corrida versus
circular ......................................................................................................................................... 66
Figura 5.13 - Curva carga-recalque – fundação rígida e rugosa - filito ....................................... 68
Figura 5.14 - Curva carga-recalque – fundação rígida e rugosa - basalto .................................... 68
Figura 5.15 - Curva carga-recalque – fundação rígida e rugosa - arenito .................................... 69
ix
Lista de Tabelas
Capítulo 2 - FORMULAÇÃO DO MEF PARA PROBLEMAS ELASTOPLÁSTICOS
Tabela 2.1 - Fator de incremento de carga ( λ) .............................................................................. 8
Tabela 2.2 - Critérios de convergência – ratio ≤ tolerância ......................................................... 11
Tabela 2.3 - Definição da ocorrência de fluxo plástico ................................................................ 16
Capítulo 3 - MODELO ELÁSTICO PERFEITAMENTE PLÁSTICO DE HOEK-BROWN
Tabela 3.1 - Valores da constante mi para rocha intacta (Hoek e Brown 1997) .......................... 26
Tabela 3.2 - Resistência à compressão uniaxial (Hoek e Brown 1977) ....................................... 26
Capítulo 4 - O PROGRAMA ANLOG
Tabela 4.1 - Alterações no código computacional ANLOG ........................................................ 44
Capítulo 5 - EXEMPLOS DE VERIFICAÇÃO
Tabela 5.1 - Parâmetros do modelo Hoek-Brown - CTC ............................................................. 53
Tabela 5.2 - Parâmetros da solução incremental-iterativa - CTC ................................................ 54
Tabela 5.3 - Valores da resistência ao cisalhamento e deformação axial máxima....................... 56
Tabela 5.4 - Parâmetros do modelo Hoek-Brown - cavidade ...................................................... 60
Tabela 5.5 - Raio de transição e tensões (pi=5MPa e ri=5m) ....................................................... 60
Tabela 5.6 - Parâmetros da solução incremental-iterativa - fundação ......................................... 64
Tabela 5.7 - Parâmetros da solução incremental-iterativa – efeito GSI ....................................... 67
Tabela 5.8 - Fator de capacidade de suporte - κult - (D=0; γ=0) ................................................... 69
x
Lista de Quadros
Capítulo 4 - O PROGRAMA ANLOG
Quadro 4.1 – Sub-rotina DATNPROP ......................................................................................... 45
Quadro 4.2 – Sub-rotina DATIMAT ........................................................................................... 45
Quadro 4.3 – Sub-rotina PROPERTIES ...................................................................................... 46
Quadro 4.4 – Sub-rotina MATDE_ALL ...................................................................................... 47
Quadro 4.5 – Sub-rotina MATDEP_ALL .................................................................................... 47
Quadro 4.6 – Sub-rotina TCALCG_ALL .................................................................................... 47
Quadro 4.7 – Sub-rotina TCALC_2 ............................................................................................. 48
Quadro 4.8 – Sub-rotina TCALC_71 ........................................................................................... 48
Quadro 4.9 – Sub-rotina DHB ..................................................................................................... 49
Quadro 4.10 – Sub-rotina DHB_GAGB ...................................................................................... 50
Quadro 4.11 – Sub-rotina YIELD_FUNC_HB ............................................................................ 50
Quadro 4.12 – Sub-rotina COEF_GRAD_YIELD_HB ............................................................... 50
Quadro 4.13 – Sub-rotina TSUP_HB ........................................................................................... 51
xi
Lista de Símbolos
a - gradiente da função de plastificação
a - parâmetro do critério de Hoek-Brown
ah - função do incremento de deformação plástica
b - gradiente da função potencial plástico
B - matriz cinemática
bp - vetor de forças de corpo
D - fator de perturbação
De - matriz constitutiva elástica
Dep - matriz constitutiva elastoplástica
E - módulo de Young
F - função de plastificação
Fext - vetor de forças externas global
eδF - parcela de força externa devido aos deslocamentos prescritos não nulos
ebF - parcela de força externa devido às forças de peso próprio
esF
- parcela de força externa devido às forças de superfície
eextF - vetor de forças externas do elemento
Fint - vetor de força interna global
eintF - vetor de força nodal
G - função potencial plástico
GSI - índice geológico de resistência
I1- primeiro invariante do tensor de tensão
I2D - segundo invariante do tensor de tensão desviadora
I3D - terceiro invariante do tensor de tensão desviadora
J - matriz jacobiana
K - matriz de rigidez global
Ke - matriz de rigidez elementar
mb - parâmetro do critério de Hoek-Brown
mi - constante petrográfica da rocha intacta
xii
N - matriz que contém as funções de interpolação
Ni - função de interpolação
Q - força de reação
qn - vetor de forças de superfície
R - erro relativo local
RMR - classificação do maciço rochoso
s - parâmetro do critério de Hoek-Brown
ST0L - tolerância para o erro relativo local
T - pseudo tempo
U - vetor de deslocamentos nodais
û - vetor do incremento de deslocamento em cada elemento
x - vetor das coordenadas locais
- operador diferencial de primeira ordem
- coeficiente de Poisson
- fator de carga
- vetor de deformação
ci - resistência à compressão uniaxial da rocha intacta
p - ângulo que define a relação entre a deformação axial e volumétrica plástica
(ζ1 – ζ3) - diferença de tensão
d - multiplicador escalar
δ - valor do deslocamento nodal prescrito
δΔUk - correção iterativa do incremento de deslocamento a nível global
Δλi- fator de incremento de carga
ε1 - deformação axial
εvol - deformação volumétrica
θ - ângulo de Lode
κ - fator de carga
ζ - vetor das componentes de tensão
Ψk - vetor de força desequilibrada
1
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
1.1. Considerações preliminares
Esta dissertação de mestrado está inserida na linha de pesquisa de Geomecânica
e Geotecnia da área de concentração de Lavra de Minas do Programa de Pós-Graduação
em Engenharia de Mineral (PPGEM) da Escola de Minas (EM) da Universidade Federal
de Ouro Preto (UFOP). Ela se justifica pela contribuição ao entendimento do
comportamento mecânico de obras geotécnicas em equilíbrio estático e em estados de
deformação plana e axissimétrica, com base na simulação numérica, via método dos
elementos finitos (MEF).
Esta dissertação está relacionada ao desenvolvimento do sistema computacional
ANLOG que se constitui num código aberto, escrito em linguagem de programação
FORTRAN, inicialmente desenvolvido na PUC-Rio (Zornberg, 1989) e que vem sendo
atualizado sob a supervisão da professora Christianne de Lyra Nogueira desde o final de
sua tese de doutorado na PUC-Rio em 1998 (Nogueira, 1998). Este programa contou
com a colaboração de vários alunos de iniciação científica, mestrado e doutorado
(Zornberg, 1989; Nogueira, 1992 e 1998; Machado Jr., 2000; Pereira, 2003; Pinto,
2004; Silva, 2005; Oliveira, 2006; Yang, 2009; Valverde, 2010; Armond e Nogueira,
2013).
A aplicação do método dos elementos finitos para análise de problemas
mecânicos em equilíbrio estático permite com certa facilidade investigar, dentre outros
aspectos, a influência dos diversos modelos de comportamento tensão deformação, ou
simplesmente constitutivos, nas previsões do comportamento de diversas obras
geotécnicas.
2
Vários modelos constitutivos podem ser encontrados na literatura. No entanto,
os que melhor representam o comportamento tensão deformação são os modelos não
lineares, tais como o elástico (Duncan e Chang, 1970), elástico perfeitamente plástico
(Sloan e Booker, 1986) e elastoplástico (Lade e Kim, 1990).
As grandes dificuldades encontradas na ampla utilização de análises tensão
deformação não lineares estão: no controle do processo de solução não linear, tanto em
nível global quanto local; e, na definição dos parâmetros dos modelos constitutivos, os
quais, em sua maioria são definidos a partir de resultados de ensaios de laboratórios tal
como o ensaio de compressão triaxial convencional (CTC).
Um modelo constitutivo que vem sendo cada vez mais adotado nas análises
tensão deformação de maciços rochosos e que considera parâmetros empíricos que
podem ser determinados a partir de observações do levantamento geológico-geotécnico
é o modelo elástico perfeitamente plástico com base no critério de resistência de Hoek-
Brown (Hoek, 2006).
O critério de resistência de Hoek-Brown foi inicialmente desenvolvido para
estimar a resistência de maciços rochosos não fraturados e em seguida foi modificado
levando em conta a condição de fraturamento do maciço (Hoek e Brown, 1980, 1988 e
1997; Hoek, 1980 e 1994; Hoek et al, 1992; 1995 e 2002). As dificuldades associadas
aos processos de integração de tensão e de solução de equação não linear também tem
sido objeto de estudo de alguns autores no âmbito da aplicação do critério de Hoek-
Brown (Clausen e Damkilde, 2008; Choi e Deb, 2005) e é objeto de estudo desta
dissertação.
1.2. Objetivo e descrição do trabalho
Esta dissertação de mestrado tem como objetivo o desenvolvimento de um
modelo numérico, com base no MEF, para análise tensão deformação em condição de
deformação plana e axissimétrica de obras geotécnicas realizadas em maciços rochosos,
considerando o modelo elástico perfeitamente plástico com plasticidade associada de
Hoek-Brown (Clausen e Damkilde, 2008).
O desenvolvimento desta dissertação envolve: além das características básicas
do programa ANLOG, a obtenção da matriz elastoplástica com base na formulação em
3
deslocamento do MEF e do algoritmo de integração de tensão para o modelo Hoek-
Brown.
Esta dissertação está organizada em 6 capítulos, incluindo este. No Capítulo 2 é
apresentada a formulação via MEF do problema mecânico de equilíbrio estático, as
equações elastoplásticas, os procedimentos mais utilizados para a solução de sistemas
de equações não lineares, em nível global; e, os algoritmos de integração de tensão. No
Capítulo 3 apresenta-se o modelo constitutivo de Hoek-Brown. No Capítulo 4 é
apresentado o programa ANLOG e as mudanças necessárias para a implementação do
modelo Hoek-Brown. No Capítulo 5 são apresentados os resultados dos exemplos de
verificação e aplicação. E, finalmente, no Capítulo 6, apresentam-se as conclusões
obtidas nesta dissertação.
4
Capítulo 2
FORMULAÇÃO DO MEF PARA PROBLEMAS
ELASTOPLÁSTICOS
A aplicação do MEF na análise de problemas mecânicos em equilíbrio estático
levando em conta a natureza elastoplástica das relações constitutivas conduz a um
sistema de equações não lineares cuja solução deverá garantir a condição de equilíbrio,
em nível global, e a condição de consistência, em nível local, pela qual todo estado de
tensão deve permanecer no interior ou no máximo sob a superfície de plastificação
definida pelo modelo constitutivo adotado.
Neste capítulo apresenta-se o sistema de equação, na forma matricial com base
na formulação em deslocamento do MEF, que governa esse problema mecânico para
um estado generalizado de tensão e deformação juntamente com as estratégias de
solução da equação de equilíbrio e da integração de tensão ao longo de uma trajetória de
deformação qualquer.
A apresentação generalizada destas equações pode ser encontrada na literatura
específica cabendo destacar os trabalhos: Bathe (1982), Crisfield (1991 e 1997),
Nogueira (1998), Oliveira (2006); Sloan e Booker (1986) e Sloan et al (2001).
5
2.1. Equações de equilíbrio estático
O sistema de equação diferencial que governa um problema mecânico de
equilíbrio estático é dado por:
0bζ pT
em V (2.1)
em que é um operador diferencial de primeira ordem, ζ é o vetor das componentes de
tensão, bp é o vetor de forças de corpo (peso próprio) e V é o domínio do problema.
Esse sistema de equação deverá atender às seguintes condições de contorno:
nn qζ em Sq (condição de contorno natural) (2.2a)
δU i em Su (condição de contorno essencial) (2.2b)
em que qn é o vetor de forças de superfície, U é o vetor de deslocamentos nodais e δ é o
valor do deslocamento nodal prescrito (nulo ou não) num ponto do contorno do domínio
do problema. Sq e Su são, respectivamente, os contornos do domínio do problema com
força e deslocamentos prescritos.
Com base na formulação em deslocamento do MEF o sistema de equação de
equilíbrio (Equação 2.1) pode ser reescrito na seguinte forma simplificada:
extint FF (2.3)
em que extF é o vetor de forças externas que representam o arranjo global do vetor de
forças nodais equivalentes às forças externas do elemento e
extF definido como:
ee
b
e
s
e
ext FFFF (2.4)
em que
qe
ee
s dS
qeS
TqNF (2.5a)
6
representa a parcela de força externa devido às forças de superfície;
eVe
T dVep
e
b bNF (2.5b)
representa a parcela de força externa devido às forças de peso próprio; e por fim,
δKFee
(2.5c)
representa a parcela de força devido aos deslocamentos prescritos não nulos .
As Equações 2.5a e 2.5b são integradas, respectivamente, ao longo de uma face
(Sqe) e do volume (Ve) de um dado elemento finito. eK é a matriz de rigidez elementar
e N é a matriz que contém as funções de interpolação Ni que dependem do tipo de
elemento (Nogueira, 1998).
O vetor de força interna intF representa o arranjo global do vetor de força nodal
e
intF equivalente ao estado de tensão em um dado elemento, o qual é definido como:
eV
e
Te
int dVζBF (2.6)
O operador B é a matriz cinemática que relaciona as componentes de
deformação e deslocamento e, portanto, contém as derivadas das funções de
interpolação Ni.
As matrizes de rigidez, de interpolação e cinemática são descritas no Capitulo 4
juntamente com a descrição do programa ANLOG (Nogueira, 2010).
2.2. Estratégias de solução de sistemas de equações não lineares
Problemas mecânicos de equilíbrio estático que envolve materiais com
comportamento elastoplástico são representados matematicamente por um sistema de
equações algébricas não lineares em função da não linearidade da parcela de força
interna (Equação 2.6). Assim, para a obtenção da solução deste sistema de equação,
7
alguma estratégia de solução deve ser adotada de modo a garantir a condição de
equilíbrio global (Equação 2.3).
Dentre as estratégias de solução de sistemas de equação não lineares as que
adotam um procedimento puramente incremental ou incremental iterativo são as mais
difundidas.
Nessas estratégias, a trajetória de equilíbrio é controlada pelo fator de carga, ,
que é atualizado a cada passo de carga i ao longo desta trajetória fazendo:
i1ii (2.7)
em que i é o fator de incremento de carga. O fator de carga varia de zero à unidade
ao longo de uma dada trajetória de equilíbrio.
Para problemas fortemente não lineares o tamanho do passo de carga pode
conduzir a uma resposta numérica que se afasta da resposta real, no caso do
procedimento puramente incremental, ou pode inviabilizar a convergência do processo
iterativo, no caso do procedimento incremental-iterativo. Incrementos de carga muito
pequenos podem tornar o processo de solução muito lento. Desta forma, a seleção
automática do tamanho do incremento de carga é fator importante para o sucesso do
processo de solução do sistema de equação (Nogueira, 1998).
Uma estratégia eficiente de incremento automático de carga deve fornecer
grandes incrementos quando a resposta da estrutura for quase linear e conduzir a
pequenos incrementos quando a resposta da estrutura for fortemente não linear. A
Tabela 2.1 apresenta os valores dos fatores de incrementos de carga tal como sugerido
por Crisfield (1991 e 1997) os quais podem ser usados juntamente com um
procedimento de solução incremental-iterativo partindo de um valor inicial para o fator
de incremento de carga, 0 , previamente estabelecido.
8
Tabela 2.1 - Fator de incremento de carga ( )
Numa solução incremental-iterativa com incrementos automáticos de carga, os
fatores de incrementos de carga calculados automaticamente não poderão ser maiores
ou menores que valores máximos e mínimos (max e mín) fornecidos pelo usuário
para que o programa não entre num “loop” infinito. Se a convergência não é verificada
para um número máximo de iterações num dado passo, uma simples estratégia de corte
do tamanho do passo é utilizada.
Nas estratégias puramente incremental e incremental iterativa atualizam-se, no
final de cada passo de carga, a nível global (ou da estrutura), os vetores de
deslocamento, U, de força externa, Fext, e de força interna, Fint; e a nível local (ou do
elemento), os vetores de deformação, , e tensão, , de modo que:
i1ii UUU (2.8)
i1iiextextext FFF
(2.9)
i1iiintintint FFF
(2.10)
i1ii εεε (2.11)
i1ii ζζζ (2.12)
O incremento de deformação, , avaliado a nível do elemento depende da
relação cinemática e do incremento de deslocamento em cada elemento, u . O
Estratégia
1 2
1i
1i
d
I
I
1i
ratio
toler
ninc/10
Id é o número de iterações desejadas para se obter a convergência; Ii-1 é o número de iterações necessárias para a
convergência do passo anterior; é um expoente usualmente tomado como 0.5 ou 2.0; toler é a tolerância do processo
iterativo; ratio é uma variável que depende do tipo de critério de convergência adotado; ninc é o número de incremento de carga.
9
incremento de tensão, , depende, além do modelo constitutivo, do algoritmo de
integração de tensão adotado.
O incremento de deslocamento, U, em cada passo de carga i depende da
estratégia de solução adotada em resposta ao incremento de força externa:
extiextiFF (2.13)
No procedimento puramente incremental o vetor de incremento de deslocamento
nodal é obtido a nível global resolvendo o seguinte sistema de equação:
ext
1FKU
(2.14)
em que K é a matriz de rigidez global que representa o arranjo global das matrizes de
rigidez de cada elemento e
K definida como:
ev
eep
Te dVBDBK (2.15)
que depende da matriz constitutiva elastoplástica, epD , a qual é avaliada em função do
estado de tensão em cada elemento. Este procedimento pode ainda ter algumas
variações em função do estado de tensão adotado na avaliação da matriz de rigidez,
quais sejam: método da rigidez inicial (Figura 2.1a) e método da rigidez tangente
(Figura 2.1b).
No método da rigidez inicial (Figura 2.1a) a matriz de rigidez é avaliada em
função do estado de tensão inicial e é mantida constante ao longo de toda trajetória de
deformação. No método da rigidez tangente (Figura 2.1b) a matriz de rigidez é avaliada
em função de estado de tensão no início de cada incremento ou passo de carga.
10
a) Método da rigidez inicial b) Método da rigidez tangente
Figura 2.1 - Ilustração do método puramente incremental
A eficiência deste método (entendida como a capacidade de reproduzir uma dada
trajetória de equilíbrio) é altamente influenciada pelo tamanho dos incrementos
utilizados e pelo grau de não linearidade da relação constitutiva do material.
No procedimento incremental iterativo o vetor de incremento de deslocamento
nodal é obtido a nível global resolvendo a seguinte lei de recorrência:
iter
1k
k0UUU (2.16)
em que 0
U é a solução predita obtida de acordo com a Equação 2.14 tal como no
procedimento puramente incremental, e
k1kkΨKU
(2.17)
é a correção iterativa do incremento de deslocamento a nível global, do tipo Newton-
Raphson, em que:
k k
ext int Ψ F F (2.18)
é o vetor de força desequilibrada em cada iteração k. Esse processo é interrompido
quando numa dada iteração k um dado critério de convergência (Tabela 2.2) é
verificado.
11
Tabela 2.2 - Critérios de convergência – ratio tolerância
Critério ratio
Força ext int extF F F
Deslocamento UU
Energia ext
0FUΨU
O símbolo indica produto escalar
O método de correção iterativa de Newton Raphson caracteriza-se por manter o
nível de força externa constante durante o ciclo iterativo. Com relação à matriz de
rigidez, dois procedimentos podem ser adotados: o padrão e o modificado. O
procedimento incremental-iterativo de Newton-Raphson é chamado de padrão quando a
matriz de rigidez é atualizada em cada ciclo iterativo (ver Figura 2.2a) ou de modificado
quando a matriz de rigidez é mantida constante durante o ciclo iterativo (ver Figura
2.2b). O procedimento modificado, apesar de ser mais lento é mais estável que o
procedimento padrão e, por isso é adotado neste trabalho.
a) Padrão b) Modificado
Figura 2.2 - Processo de Newton Raphson
Também colabora para o bom desempenho do procedimento incremental
iterativo a avaliação do vetor de força interna que depende do esquema de integração de
tensão adotado para avaliação do estado de tensão ao longo da trajetória de deformação.
12
2.3. Estratégias de integração de tensão
Os procedimentos apresentados anteriormente envolvem a avaliação do estado
de tensão em cada elemento e a cada ciclo iterativo. Esta avaliação é feita atualizando-
se o estado de tensão no início do passo corrente uma vez obtido as variáveis
incrementais:
uBε i (2.19)
iepi εDζ (2.20)
As Equações 2.11 e 2.12 (ou ainda, as Equações 2.19 e 2.20) só são válidas para
incrementos infinitesimais de tensões, dζ, e deformações, dε. No entanto, como estes
incrementos não são infinitesimais e erros podem ser cometidos e acumulados durante a
integração das tensões, algum esquema de integração de tensão em nível local deverá
ser adotado a fim de o critério de plastificação não seja violado.
Em uma situação multiaxial, ou generalizada em termos do estado tensão-
deformação, a variação infinitesimal do vetor de componentes de deformação
experimentado pelo corpo ao longo de uma determinada trajetória de deformação e/ou
tensão, pode ser escrito como a soma das componentes de natureza elástica e plástica
desta deformação, ou seja:
pe ddd εεε (2.21)
em que edε é a variação infinitesimal do vetor de componentes de deformação elástica e
pdε é a variação infinitesimal do vetor de componentes de deformação plástica. A
componente elástica pode ser escrita como:
ζDε dd1
e
e (2.22)
em que De é matriz constitutiva elástica cujos coeficientes são funções dos parâmetros
elásticos do material. A variação infinitesimal do vetor de componentes de deformação
plástica pode ser escrito de acordo com a lei de fluxo como:
13
bε dd p (2.23)
em que
ζb
G (2.24)
em que d é um multiplicador escalar positivo que depende do acúmulo de deformação
plástica a ser definida por uma lei de endurecimento e b é o gradiente da função
potencial plástico, G(). A função potencial plástico define a direção do incremento de
deformação.
Ao longo de uma dada trajetória de equilíbrio os estados de tensão devem
permanecer dentro ou, no máximo, sobre a superfície de plastificação. Desta forma,
tem-se que:
0daddh
h
Fd
FdF h
T
p
ab
ε (2.25)
ou ainda:
dad h
T a (2.26)
em que
Fa (2.27)
é o gradiente da função de plastificação, F(,h), e
bε
ph
h
h
Fa
(2.28)
é função do incremento de deformação plástica e h é uma função do parâmetro de
endurecimento. No caso de modelos de comportamento com plasticidade perfeita, a
função do incremento de deformação plástica é nula (ah=0).
14
Substituindo-se as Equações 2.22 e 2.23 na Equação 2.21, pré multiplicando-se
ambos os termos por e
TDa , e em seguida substituindo-se o resultado na Equação 2.26,
chega-se a:
ε
bDa
Dad
ad
he
T
e
T
(2.29)
Usando a definição da Equação 2.29 e considerando a decomposição aditiva da
Equação 2.21, pode-se definir a variação infinitesimal do vetor de componentes de
tensão, como sendo:
εDζ dd ep (2.30)
em que
e
he
T
TT
eeepa
DbDa
baDDD
(2.31)
é a matriz elastoplástica que deverá ser adota para avaliação da matriz de rigidez
durante o processo de solução incremental a nível global e para a integração de tensão a
nível local.
Nos casos em que a função potencial plástico, G, é tomada como igual à função
de plastificação, F, tem-se uma plasticidade associada e uma matriz elastoplástica
simétrica uma vez que o vetor b é idêntico ao vetor a. Caso contrário, quando a função
potencial plástico é diferente da função de plastificação, tem-se uma plasticidade não
associada e uma matriz elastoplástica não simétrica uma vez que os vetores a e b são
diferentes.
A integração, a nível local ou em cada ponto de Gauss, da equação constitutiva
elastoplástica ao longo de um incremento de deformação, , conhecido é uma tarefa
fundamental e não trivial, pois, apesar da magnitude da deformação incremental ser
conhecida, o modo como ela varia dentro do incremento é desconhecido.
15
Vários algoritmos para integração de tensão têm sido propostos e tem sido
observado que eles interferem diretamente na precisão da solução numérica, induzindo
erros que podem se propagar ao longo da solução incremental.
Desta forma, considerando a situação indicada na Figura 2.3 a qual representa
um fluxo plástico para uma condição de plasticidade associada, diferentes algoritmos
para integração das equações constitutivas podem ser representados através da seguinte
regra:
)Δ(Δ p
eint1n εεDζζ (2.32)
ou ainda,
p
e
*
1n1n ΔεDζζ (2.33)
em que
[0,1] ],)Δλ[(1Δ CA
p aaε (2.34)
e
εDζζ Δen
*
1n (2.35)
é a tensão elástica predita obtida no ponto B.
n
n+1
n
intζ
Figura 2.3 - Algorítmo de integração de tensão genérico (Adaptado de Oliveira, 2006).
16
Quando =1, tem-se um algoritmo do tipo backward Euler ou completamente
implícito. Neste caso, como as tensões no ponto C não são conhecidas é necessário a
adoção de um processo iterativo. Quando =0, tem-se um algoritmo tipo forward Euler,
ou completamente explícito. Neste caso, é necessário calcular as tensões no limite da
região elástica no ponto A, intζ , assim como o gradiente da função de plastificação neste
ponto, aA.
Aeeint1n ΔλΔ aDεDζζ (2.36)
Durante uma dada trajetória de deformação incremental ε e partindo de um
estado de tensão inicial nζ quatro situações podem ser observadas tal como indicada na
Tabela 2.3.
Tabela 2.3 – Definição da ocorrência de fluxo plástico
Caso Observação
1 o estado de tensão é inicialmente elástico e
permanece elástico FTOL)(F n ζ e FTOL)(F *
1n ζ
2 o estado de tensão inicial muda de elástico para
plástico FTOL)(F n ζ e FTOL)(F *
1n ζ
3 o estado de tensão é inicialmenete plástico e
permanece plástico FTOL)(F n ζ e FTOL)(F *
1n ζ
4
o estado de tensão é inicialmente plástico e
experimenta um descarregamento elástico
seguido de um fluxo plástico
FTOL)(F n ζ e FTOL)(F *
1n ζ
2/
FTOL é uma pequena tolerância positiva. Sloan et al. (2001) sugerem 69 10,10FTOL
No caso 1 o incremento de tensão é completamente elástico e a tensão atualizada
considerando um incremento de tensão puramente elástico adotando a matriz
constitutiva elástica, ou seja, fazendo:
εDζζ en1n (2.37)
O caso 4 ocorre quando o ângulo β entre o vetor gradiente da função de
plastificação no ponto A, aA, e o vetor de incremento de tensão elástica, εDζ e , é
maior que 90°. A tensão atualizada, neste caso é obtida pela Equação 2.37. O ângulo β
pode ser obtido pela seguinte expressão:
17
ζa
ζa
Δ
Δcosβ
A
T
A1 (2.38)
Nos casos 2 e 3, é necessário determinar a porção elástica do incremento de
deformação, Δε. Isto pode ser feito, determinando-se o valor de que satisfaz a
seguinte equação:
FTOL)h,αΔF( nn ζζ (2.39)
em que α é um escalar que varia de 0 a unidade e é obtido resolvendo a inequação 2.39
iterativamente. Quando =0 o incremento de deformação gera apenas incremento de
tensão de natureza elastoplástica (caso 3). Quando =1 o incremento de deformação
gera variações de tensão apenas de natureza elástica (caso 1).
Uma vez conhecido o valor de , as parcelas do incremento de tensão elástica,
do incremento de deformação elástica e o valor da tensão no limite da região elástica
são avaliadas fazendo-se:
ζζ αΔe (2.40)
εε αΔΔ e (2.41)
enint Δζζζ (2.42)
Partindo-se de um estado de tensão na superfície de plastificação, intζ , e
assumindo-se a hipótese de que a direção do fluxo plástico permanece constante ao
longo do incremento de deformação de natureza elastoplástica, epε , pode-se atualizar
o estado de tensão no final do incremento fazendo:
epint1n ζζζ (2.43)
em que
epintepep )( εζDζ (2.44)
18
εε )1(ep (2.45)
Com o intuito de tornar mais precisa a integração de tensão ao longo de uma
trajetória incremental finita o incremento de deformação elastoplástica pode ser
dividido em subincrementos (nsub) de tal forma que:
k
ep
1kk dζζζ (2.46)
/nsub)(Δ)(d ep
nsub
1k
1-k
ep
k
ep εζDζ
(2.47)
A tensão é atualizada no final de cada subincremento, partindo-se do estado de tensão
corresponde ao ponto na superfície de plastificação (int
0ζζ ).
Este procedimento é mais eficiente quando o número de subincrementos é
calculado de forma automática, considerando-se o grau de não-linearidade do
comportamento tensão-deformação e/ou o erro cometido durante o processo.
Desta forma, vários critérios têm sido sugeridos para a definição do seu
tamanho. Sloan et al. (2001) sugeriram uma estratégia em que o tamanho do
subincremento de deformação de natureza elastoplástica, epdε , varia ao longo da
trajetória incremental, epε , fazendo:
ep
kk
ep ΔΔTd εε (2.48)
em que ΔTk é um escalar chamado de incremento de pseudotempo. O incremento de
pseudotempo varia de zero a unidade e é obtido em função do erro relativo local
cometido na avaliação das tensões. A primeira aproximação para o pseudotempo é feita
considerando-se um incremento unitário, ΔT=1. O processo é controlado pelo
pseudotempo T (0≤T≤1) que é atualizado a cada subincremento, ΣΔT=T=1.
Para um dado subincremento k de deformação (Equação 2.48), são calculadas
duas estimativas de variação de tensão, 1Δζ e 2Δζ , fazendo:
19
k
ep
1-k
ep1 )d(Δ εζDζ (2.49)
k
ep1
1-k
ep2 )dΔ(Δ εζζDζ (2.50)
A partir destas duas estimativas, dois estados de tensão aproximados são
definidos:
1
1-kk Δζζζ
(2.51)
)ΔΔ(2/1~21
1kkζζζζ (2.52)
Sloan et al. (2001) sugeriram o cálculo do erro relativo local, R, cometido ao
longo do subincremento corrente k, em função da diferença entre os estado de tensão
aproximados k
ζ
e k~ζ , fazendo:
STOL~
)ΔΔ(5.0
~
~
Rk
12
k
kk
k
ζ
ζζ
ζ
ζζ
(2.53)
em que ST0L é uma dada tolerância adotada. Sloan et al. (2001) sugerem uma
tolerância em torno de 10-6
a 10-2
.
Se o erro local relativo no subincremento corrente for menor que uma dada
tolerância o subincremento corrente será aceito, ou seja: a tensão aproximada será
atualizada, kk ~ζζ , o pseudotempo, T, será atualizado e um novo valor (maior ou igual
ao corrente) de incremento de pseudotempo, ΔT, será calculado.
Se o erro local relativo no subincremento corrente for maior que uma dada
tolerância o subincremento corrente não será aceito, ou seja: a tensão aproximada não
será atualiazada, o pseudotempo, T, não será atualizado e um novo valor (menor que o
corrente) de incremento de pseudotempo, ΔT, será calculado.
Independentemente de o subincremento corrente ser aceito ou não, os próximos
valores de ΔT são dados pela expressão:
k1k ΔT qΔT (2.54)
20
em que
kSTOL/R0.9q (2.55)
O incremento de pseudotempo pode aumentar ou diminuir ao longo da trajetória
ade incremento de deformação em função da tolerância adotada. Assim, de acordo com
Sloan et al. (2001), para acelerar o processo o incremento de psuedotempo pode ser
ampliado em até 10% do valor anterior, ou seja, k1k ΔT1.1ΔT
. Da mesma forma,
para que o tamanho do subincremento não fique muito pequeno o valor do incremento
de pseudotempo deve ser limitado a 10% do valor anterior, k1k ΔT1.0ΔT
.
21
Capítulo 3
MODELO ELÁSTICO PERFEITAMENTE PLÁSTICO
DE HOEK-BROWN
Em uma análise tensão-deformação elastoplástica as variações nos campos de
deslocamento, tensão e deformação dependem do nível de tensão e deformação, mas
também, do histórico de tensões e deformações experimentadas ao longo de uma
trajetória de equilíbrio.
A formulação de um modelo de comportamento elastoplástico envolve
invariavelmente três conceitos: condição de plastificação, que define o estado de tensão
que corresponde ao início do fluxo plástico; a lei de fluxo plástico, que relaciona o
incremento de deformação plástica com as tensões correntes; e a lei de endurecimento,
que define como a condição de plastificação modifica durante o fluxo plástico.
Neste capítulo apresenta-se o modelo de comportamento tensão deformação
elástico perfeitamente plástico, com fluxo associado, baseado no critério de resistência
de Hoek-Brown (Clausen et al., 2006 e Clausen e Damkilde, 2008).
22
3.1. Conceitos da plasticidade
A fim de explicar o comportamento típico de alguns materiais inelásticos, ou
plásticos, considere a situação de compressão uniaxial ilustrada na Figura 3.1.
limζ
a) Elástico perfeitamente plástico
b) Elastoplástico com endurecimento
c) Elastoplástico com amolecimento
Figura 3.1 - Tipos de comportamento tensão deformação
23
Na Figura 3.1a tem-se um material com comportamento elástico perfeitamente
plástico. Neste caso, para valores de tensão inferiores à tensão limite ou de escoamento,
limζ , o corpo experimenta deformações de natureza elástica. Para um valor de tensão
igual à tensão limite o corpo experimenta uma deformação de natureza plástica.
A Figura 3.1b ilustra o comportamento de um material com endurecimento
plástico (strain hardening). Nesse caso a relação tensão-deformação é linear e elástica
até certo ponto (ponto B) a partir do qual se torna não linear com o material
experimentando acúmulos de deformação plástica.
A Figura 3.1c ilustra o comportamento de um material com amolecimento
plástico (strain softening). Neste caso, o material comporta-se como linear e elástico até
o limite de escoamento a partir do qual se inicia uma diminuição de tensão com o
aumento da deformação.
O conceito de tensão limite ou de escoamento é adotado apenas em situações
uniaxiais. Para situações multiaxiais deve-se usar o conceito de função de escoamento
ou plastificação (F).
A função de plastificação, que define uma superfície no espaço das tensões, é
uma função do estado de tensão e de deformação plástica. Sob a superfície de
plastificação, a função de plastificação é nula (F=0) e no interior desta superfície tem-se
um valor negativo (F<0) indicando que nesta região o comportamento do material é
elástico.
Uma vez alcançado o primeiro nível de plastificação, a superfície de
plastificação pode expandir na medida em que acumula deformação plástica. Este
fenômeno, ilustrado na Figura 3.2a, caracteriza um comportamento com endurecimento.
No caso do material que apresenta um amolecimento (Figura 3.2b) observa-se uma
contração da superfície de plastificação. Nestes casos a função de plastificação é uma
função do tipo:
))(h(F)(F))(h,(FF ppεε (3.1)
em que h é uma função da deformação plástica pε .
24
a) Endurecimento b) Amolecimento
Figura 3.2 - Comportamento linear elastoplástico bidimensional em meio isotrópico
A Figura 3.3 apresenta uma curva tensão versus deformação típica para um
modelo constitutivo que leva em conta tanto endurecimento quanto o amolecimento.
Figura 3.3 - Modelo constitutivo geral.
Num modelo elástico perfeitamente plástico a função, ou superfície, de
plastificação se confunde com a superfície de ruptura. Este modelo não adota o
endurecimento e, portanto, a função de plastificação depende apenas no nível de tensão,
ou seja,
0)(FF (3.2)
Uma curva tensão s deformação típica de um modelo constitutivo com
plasticidade perfeita é ilustrada na Figura 3.4. Nesta figura, )( 31 é a diferença de
25
tensão, 1 é a deformação axial, vol é a deformação volumétrica, E é o módulo de
Young, é o coeficiente de Poisson, r31 )( é a resistência à compressão e p é um
ângulo que define a relação entre a deformação axial e volumétrica plástica que
dependem do critério de resistência adotado.
axial
E
1
(13)r
(1
3)
axial
vol
e
p
tg(e)=(12)
Figura 3.4 - Relação tensão-deformação para um modelo elástico perfeitamente plástico
3.2. O Modelo Hoek Brown
O critério de resistência de Hoek-Brown (Hoek e Brown, 1980) foi desenvolvido
na década de 80, com base em observações empíricas, originalmente para estimar a
resistência de rochas duras. No espaço das tensões principais, o critério descreve uma
relação não linear, originalmente definida como:
sσ
σmσσσ
ci
3ici31 (3.3)
em que ci é a resistência à compressão uniaxial, mi é a constante petrográfica e s é um
parâmetro ajustável, obtido a partir de ensaios triaxais realizados com amostras de rocha
26
intactas. As Tabelas 3.1 e 3.2 apresentam, respectivamente, valores padrões para a
constante petrográfica e a resistência à compressão uniaxial de algumas rochas.
Ao longo das últimas décadas várias atualizações foram propostas, motivadas
pelo número crescente obras geotécnicas realizadas em maciços rochosos de qualidade
muito baixa, a fim de se considerar a condição do maciço.
Tabela 3.1 - Valores da constante mi para rocha intacta (Hoek e Brown, 1997)
Rocha mi
Mármore 9
Quartzito 24
Granito 33
Gnaisse 33
Tabela 3.2 - Resistência à compressão uniaxial (Hoek e Brown, 1997)
Rocha Condição ci (MPa)
Granito Extremamente forte >250
Gnaisse Muito forte 100-250
Filito Forte 50-100
Concreto Média 25-50
Gesso Fraco 5-25
Rochas alteradas 1-5
Solo Extremamente fraco 0.25-1
Em 1988, Hoek e Brown (Hoek e Brown, 1988) propuseram uma atualização de
modo a se levar em conta a qualidade da rocha utilizando o conceito do RMR proposto
por Bieniawski. Nesta nova versão tem-se que:
sσ
σmσσσ
c
3bic31 (3.4)
em que, para um maciço não perturbado:
28/)100RMR(
ib emm (3.5)
8/)100RMR(es (3.6)
e, para um maciço perturbado:
27
14/)100RMR(
ib emm (3.7)
6/)100RMR(es (3.8)
Em 1992, uma nova modificação foi proposta para aplicação em maciços
rochosos altamente fraturados e sem resistência à tração (Hoek et al, 1992). Nesta nova
versão, um novo parâmetro, a, é introduzido:
a
c
3bic31σ
σmσσσ
(3.9)
Na década de 90, Hoek (Hoek, 1994) introduziu o conceito do índice geológico
de resistência (GSI) como uma forma de reduzir a resistência do maciço rochoso com
base nas condições geológicas. O índice geológico de resistência varia de 0 a 100 e
depende da análise geológica estrutural levando em conta a existência de fraturas, o
estado da rocha e o grau de intemperização.
A partir daí uma nova versão do critério de Hoek-Brown é proposto (Hoek et al,
1995):
a
c
3bic31 sσ
σmσσσ
(3.10)
onde
28/)100GSI(
ib emm (3.11)
e para um maciço com GSI>25
8/)100GSI(es (3.12)
5.0a (3.13)
e para GSI<25
0s (3.14)
28
200
GSI65.0a (3.15)
As Figuras 3.5 a 3.8 ilustram a influência dos parâmetros do critério de
resistência. Da Figura 3.5 podemos observar que quanto maior a resistência à
compressão maior o nível de tensão admissível. Da Figura 3.6 pode-se observar que a
constante petrográfica afeta a inclinação da superfície de modo que quanto maior o mb
mais íngreme é a superfície. O parâmetro s afeta a resistência à tração de modo que
quanto maior o s maior a resistência à tração (Figura 3.7). A curvatura da superfície é
comandada pelo parâmetro a (Figura 3.8) de modo que quanto menor o valor do
parâmetro a maior a curvatura.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
(1+23
) (GPa)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(
3)(
GP
a)
ci = 5MPa
ci = 50MPa
ci = 100MPa200300500 400
ci (MPa)
mb=m
i=33
s=1.0a=0.5
Figura 3.5 - Influência da resistência à compressão uniaxial (ci)
29
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
(1+23
) (GPa)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(
3)(
GP
a)
mb=m
i=1
ci=100MPa
s=1.0a=0.5
mb=mi=5
mb=m
i=15
mb=m
i=33
Figura 3.6 - Influência constante petrográfica (mb).
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300
(1+23
) (GPa)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
(
3)(
GP
a)
s=0.1
ci=200MPa
mb=2.0
a=0.5
s=0.5s=1.0s=1.5
Figura 3.7 - Influência do parâmetro s
30
-100 0 100 200 300 400 500 600 700 800
(1+23
) (GPa)
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
(
3)(
GP
a)
a=1
ci=200MPa
mb=2.0
s=0.1
a=0.5
a=0.3
a=0.1
a=0.1
a=0.3
a=0.5a=1.0
Figura 3.8 - Influência do parâmetro a
Recentemente, Hoek et al (2002) propuseram uma modificação na definição dos
parâmetros mb, s, e a, de tal forma que:
)D1428/()100GSI(
ib emm (3.16)
)D39/()100GSI(es (3.17)
6ee5.0a 3/2015/GSI (3.18)
D é fator de perturbação obtido em função do dano provocado pelo desmonte do maciço
e pela relaxação das tensões. Hoek et al (2002) apresenta alguns valores para D em
função da condição do maciço e do processo construtivo.
A Equação 3.10 pode ser considerada uma forma geral do critério de Hoek-
Brown. As diferentes versões apresentadas afetam os parâmetros mb, s e a, tal como
apresentado anteriormente. Este critério de resistência será usado como função de
plastificação (F) e potencial plástico (G) uma vez que será adotado, neste trabalho, um
31
modelo de comportamento tensão deformação linear elástico perfeitamente plástico com
plasticidade associada.
Assim sendo, a superfície de plastificação (e potencial plástico) do modelo
elástico perfeitamente plástico de Hoek-Brown é definida no espaço das tensões
principais, como:
0sσ
σmσσσ)G()F(
a
ci
3bci31
(3.19)
A Figura 3.9 ilustra a superfície de plastificação no espaço das tensões principais
e no plano desviador. No plano desviador, a superfície de plastificação é um hexágono
irregular.
compressão
extensão
a) Espaço das tensões
principais
b) Plano desviador
Figura 3.9 - Critério de Hoek-Brown (adaptado Benz et al, 2008).
As tensões principais podem ser escritas em termos dos invariantes de tensão tal
como (Owen e Hinton, 1980):
3
Isen
3
1cosθ I
3
I
3
I
3
2θsen
3
I21
2D112D
1
(3.20)
3
Iθsen
3
I212D
2 (3.21)
3
Isen
3
1cosθ I
3
I
3
4θsen
3
I21
2D12D
3
(3.22)
32
em que
D2D2
D31
D3D2II
I
2
33sen
3
1)I,I( (3.23)
é o ângulo de Lode ( 6/6/ ); I1é o primeiro invariante do tensor de tensão; e, I2D
e I3D são, respectivamente, o segundo e o terceiro invariante do tensor de tensão
desviadora. Estes invariantes de tensão podem ser definidos em termos das
componentes cartesianas do tensor de tensão num estado de deformação plana e
axissimétrica como:
zyx1I (3.24)
)()(3
1)(
3
1I
2
xyxzzyyx
2
z
2
y
2
xD2 (3.25)
)()()(9
1
3
2
3
1
3
1)(
27
2
9
4I
yx
2
zxz
2
yzy
2
x
2
xyzyx
3
z
3
y
3
xzyxD3
(3.26)
Substituindo as Equações 3.20 e 3.22 na Equação 3.19 obtém-se a o critério de
plastificação do modelo de Hoek-Brown generalizado definido em termos dos
invariantes de tensão:
0s
3
Imsen
3
1cosθmI
2cosθ I),I,I(F ci
1bb2D
a/1
ci
2D
ciD21
(3.27)
Como pode ser observado na Figura 3.9, o modelo de Hoek-Brown apresenta
singularidades nas arestas. Assim, a seguinte modificação é sugerida para esses pontos:
Para θ = – 30° (na compressão):
0=sσ3
Im
3
3Im
σ
3IσF ci
1b
2Db
1/a
ci
2D
ci
(3.28)
Para θ = + 30°(na extensão):
33
0=sσ3
Im
3
3I2m
σ
3IσF ci
1b
2Db
1/a
ci
2D
ci
(3.29)
O critério de resistência de Hoek-Brown tem sido largamente utilizado para
estimar a capacidade de suporte e a deformação de maciços rochosos (Sharan, 2003;
Choi e Deb, 2005; Benz et al., 2008; Clausen, 2013 e Wang et al., 2011). Uma das
razões da popularidade do critério é a possibilidade de estimar os parâmetros do
material através de simples observações de campo e da resistência à compressão
uniaxial da rocha intacta
Com relação o módulo de deformabilidade elástico várias sugestões foram
indicadas. Serafim e Pereira (1983) sugeriram a seguinte relação em termos do RMR:
)40/10RMR(10E(GPa) (3.30)
Hoek e Brown (1997) a presentam a seguinte modificação:
10010E(GPa) ci)40/10GSI(
(3.31)
Em seguida, levando em conta a influência da perturbação do maciço, tem-se que:
/11GSI25D75
5
e1
D/2)10(1E(MPa)
(3.32)
ou ainda, em função do módulo de deformabilidade da rocha intacta, Ei, fazendo:
/11GSI15D60ie1
D/210.02EE (3.33)
34
Capítulo 4
O PROGRAMA ANLOG
O programa computacional ANLOG (Análise não linear de obras geotécnicas) é
escrito em linguagem de programação FORTRAN 90. Sua primeira versão foi
desenvolvida por Zornberg (1989) tendo sido utilizada na análise de problemas
mecânicos de equilíbrio estático, envolvendo a simulação de aterros e escavações, em
condição de deformação plana e axissimétrica e levando em conta comportamento
tensão-deformação elastoplástico.
Uma nova versão do programa foi desenvolvida por Nogueira (1998)
considerando o acoplamento entre fluxo e deformação. Dando continuidade aos
trabalhos desenvolvidos por Nogueira (1998) outras versões deste código foram
desenvolvidas. Machado Jr. (2000) desenvolveu uma versão (GEOFLUX) para análise
de problemas de fluxo em meio poroso não saturado. Pereira (2003) incorporou os
elementos de reforço que possibilitou a análise de problemas mecânicos de equilíbrio
estático de estruturas de solos reforçado (ANLOG v.2003). Pinto (2004) incorporou à
formulação acoplada o efeito da variação do nível d´água (ANLOG v.2004). Silva
(2005) introduziu os elementos tridimensionais e generalizou o código para situações
3D (ANLOG v.2005). Oliveira (2006) incorporou ao código os elementos de reforço e
interface axissimétricos e os modelos Mohr-Coulomb modificado para o solo e
Coulomb para a interface com comportamento elástico-perfeitamente plástico (ANLOG
v.2006). Yang (2009) incorporou a versão do modelo Lade-Kim proposta por Jacobsen
e Lade (2002), assim como, sugeriu uma nova modificação para a função de
amolecimento a fim de suavizar a curva tensão-deformação na condição pós-pico e
ainda levar em conta o efeito da tensão de confinamento na resistência residual
(ANLOG v.2009). Valverde (2010) generalizou os modelos constitutivos para
35
simulações 3D (ANLOG v.2010). Armond e Nogueira (2013) incorporaram os modelos
constitutivos Brooks e Corey (1964) e Fredlund e Xing (1994) para análise de
problemas de fluxo em meio não saturado (ANLOG v.2013).
De uma forma geral o programa ANLOG pode ser usado para análise de
problemas sem ou com acoplamento de fluxo e deformação (em condições saturadas);
análise de problemas de fluxo em meio poroso saturado e não saturado; simulação de
problemas mecânicos em condições de tensão plana e deformação plana, axissimétrica e
tri-dimensional; e, simulação de problemas acoplados em condições de deformação e
fluxo planos.
Do ponto de vista da aproximação por elementos finitos, o ANLOG apresenta os
seguintes elementos finitos: elementos unidimensionais (linear e quadrático); elementos
planos triangulares e quadrangulares (linear e quadrático); elementos sólidos (linear e
quadrático); elementos de interface de espessura nula e elementos específicos para
reforço; e, elementos finitos para análises acopladas: elementos planos (triangulares e
quadrangulares).
Em relação aos modelos constitutivos os seguintes modelos constitutivos
encontram-se implementados no ANLOG: modelos constitutivos para solos - elásticos
(Linear e Hiperbólico), elastoplásticos (CamClay Modificado, Lade 77, Lade & Kim,
Lade & Kim modificado) e elásticos perfeitamente plástico (Mohr-Coulomb e
Drucker&Prager, originais e modificados); modelos constitutivos para reforços -
elástico linear e elástico perfeitamente plástico von Mises; modelos constitutivos para
junta/interface solo-reforço - elástico linear e elástico perfeitamente plástico baseado no
critério de Coulomb; e, modelos constitutivos para fluxo não saturado - modelo
exponencial, modelo de van Genuchten, interpolação linear e por spline cúbica de dados
de ensaios.
Do ponto de vista de procedimento de solução de sistemas de equações
algébricas, os seguintes algoritmos encontram-se implementados no ANLOG: algoritmo
puramente incremental; algoritmo incremental-iterativo (Newton-Raphson); e,
algoritmo incremental-iterativo (Newton-Raphson) incluindo a estratégia de
incrementos automáticos de cargatempo.
36
No que diz respeito ao procedimento de integração de tensão, tem-se os
seguintes algoritmos: algoritmos de integração de tensão puramente explícitos;
algoritmos de integração de tensão puramente explícitos com sub-incremento; e,
algoritmos de integração de tensão explícitos com sub-incremento e controle do erro na
avaliação das tensões.
O ANLOG roda numa plataforma Windows (Figura 4.1) e o programa MTOOL
(Figura 4.2) desenvolvido pelo grupo de tecnologia em computação gráfica da PUC-Rio
(TecGraf®) é usado como pré e pós processadores gráficos.
Figura 4.1 - Ambiente de trabalho do FORTRAN (Nogueira, 2010).
Figura 4.2 - Mtool - TecGraf
® (Nogueira, 2010).
37
O programa ANLOG adota uma estrutura em macro comando que permite a
simulação de processos construtivos de forma relativamente simplificada. Além disto,
ele adota, no mínimo, 2 arquivos de dados para análise tensão deformação acoplada ou
não: um arquivo com extensão “.D” contendo a sequência de macro-comandos e seus
respectivos conjunto de dados, e outro com extensão “.NF” contendo as informações da
malha de elementos finitos. Para uma análise de fluxo em meio não saturado se faz
necessário, além dos arquivos “.D” e “.NF”, um arquivo de dados com extensão “.INI”.
Os resultados são registrados em arquivos com extensões “.OUT” e “.POS”. O
arquivo com extensão “.POS” é compatível com o pós-processador gráfico através do
programa MTOOL.
4.1. Macro comando
Um macro comando é uma palavra chave utilizada para controlar a execução de
blocos de rotinas que devem ser acionadas para realização de uma tarefa específica. O
usuário deverá fornecer a sequência de macro comandos e todos os dados relacionados a
eles. Esta sequência de macro comandos define o fluxo de informação que deverá ser
usado na solução de um problema específico.
Para solução de um problema mecânico de equilíbrio estático se adota, de uma
forma geral, os seguintes macros comando: DADOS; CEDGE e/ou CPOINT e/ou
CGRAV; SOLVE; e FEXEC (Nogueira, 2010).
O macro comando DADOS ativa um bloco de rotinas as quais são responsáveis
pela leitura dos dados geométricos (coordenadas e conectividades), materiais (modelos
constitutivos e parâmetros) e condições de contorno (essencial).
Os macros comandos CPOIN, CEDGE e CGRAV ativam um bloco de rotinas
que fornecem o carregamento nodal devido às forças pontuais, de superfície e de
volume (ou corpo), respectivamente.
O macro comando SOLVE é usado para se obter as matrizes características
globais e resolver o sistema de equação algébrico característico do problema. As
38
variáveis secundárias (deformação, tensão, gradiente hidráulico, velocidade de fluxo,
etc.) são também obtidas através deste macro comando.
Além destes macros comando, ainda podem ser usados os seguintes macro
comando para definição de um estado de tensão inicial diferente de zero considerando
nulo o estado de deformação inicial: TINIS e TINK0. O macro comando TINK0 é
usado para se obter um estado de tensão geoestático e o TINIS para um estado de tensão
isotrópico.
4.2. Elementos finitos e aproximações
No âmbito desta dissertação foi adotado o elemento isoparamétrico:
quadrangular quadrático Q8, tal como ilustrado na Figura 4.3.
1
(-1,-1) 2 (0;-1)
6 (0,1)
ξ
3
(1;-1)
8
(-1,0)
5
(1;1)
7
(-1,1)
4
(1;0)
1
(-1,-1) 2 (0;-1)
6 (0,1)
ξ
3
(1;-1)
8
(-1,0)
5
(1;1)
7
(-1,1)
4
(1;0)
Figura 4.3 - Elemento finito quadrangular quadrático (Q8)
Relacionado a este elemento finito tem-se as seguintes funções de
forma/interpolação escritas em termos das coordenadas naturais (, ):
1N ( , ) 0.25(1 )(1 )( 1) (4.1a) 2
2N ( , ) 0.5(1 )(1 ) (4.1b)
3N ( , ) 0.25(1 )(1 )( 1) (4.1c) 2
4N ( , ) 0.5(1 )(1 ) (4.1d)
5N ( , ) 0.25(1 )(1 )( 1) (4.1e) 2
6N ( , ) 0.5(1 )(1 ) (4.1f)
7N ( , ) 0.25(1 )(1 )( 1) (4.1g) 2
8N ( , ) 0.5(1 )(1 ) (4.1h)
39
Para problemas em estado plano de deformação e axissimétrico, abordados no
âmbito desta dissertação, os deslocamentos em qualquer ponto do domínio do elemento
pode ser escrito em função dos deslocamentos nodais como:
uNu ˆv
u
(4.2)
onde
T
nnonno11 vu...vuˆ u (4.3)
é o vetor de deslocamentos nodais com u e v sendo, respectivamente, as componentes
do vetor de deslocamento nas direções x e y;
nno
nno
1
1
16x2N0
0N...
N0
0NN (4.4)
é a matriz das funções de interpolação quadráticas, definidas pelas Equações 4.1, e nno
é o número de pontos nodais de cada elemento. Para o elemento Q8, nno é igual a 8.
Usando o conceito de elemento isoparamétrico, as coordenadas cartesianas de
um ponto qualquer no domínio do elemento podem ser escritas em termos das
coordenadas dos pontos nodais tal como:
xNx ˆy
x
(4.5)
em que
T
nnonno11 yx...yxx (4.6)
é o vetor das coordenadas locais dos pontos nodais em relação ao sistema cartesiano
(x,y).
A matriz jacobiana J é utilizada na transformação de sistemas de coordenadas
local-natural (xy e ) e é definida como:
40
J
x y
x y (4.7)
onde
xN0
0N
N0
0N
y
x
nno
nno
1
1
(4.8a)
xN0
0N
N0
0N
y
x
nno
nno
1
1
(4.8b)
O volume elementar dV = dxdydz pode ser escrito em coordenadas naturais
como
dddettdV J (4.9)
onde, para problemas de deformação plana t é igual a unidade e para problemas
axissimétricos t é igual a 2r, em que:
nnonno11 xN...xNr (4.10)
O operador diferencial, , adotado na Equação 2.1 depende da condição de
deformação a qual o meio está sendo submetido. Desta forma, para a condição de
deformação plana, tem-se que:
x
0
y
0
y
0
0
x
(4.11)
e para a condição de deformação axissimétrica, tem-se que:
x
0
y
0
y
x1
0
x
(4.12)
41
Este operador é adotado para definição da equação cinemática que relaciona as
componentes de deformação, , com as componentes de deslocamento, u, ou seja:
uBuuε ˆˆ (4.13)
em que, para o estado plano de deformação
xN
0
yN
0
yN
0
0
xN
xN
0
yN
0
yN
0
0
xN
nno
nno
nno
nno
1
1
1
1
B (4.14a)
e para o estado axissimétrico de deformação
xN
0
yN
0
yN
xN
0
xN
xN
0
yN
0
yN
xN
0
xN
nno
nno
nno
nno
nno
1
1
1
1
1
B (4.14b)
O sinal negativo na relação cinemática (Equação 4.13) indica a convenção de sinal de
compressão positiva.
4.3. Matriz constitutiva
De uma forma geral a matriz constitutiva elastoplástica utilizada na definição
da matriz de rigidez (Equação 2.15) e da relação constitutiva (Equação 2.30) é dada por
e
he
T
TT
eeepa
DbDa
baDDD
(4.15)
No âmbito desta dissertação adota-se uma constitutiva com num modelo
elástico perfeitamente plástico (ah=0) com plasticidade associada (a=b). Desta forma a
matriz elastoplástica pode ser definida como:
e
e
T
TT
eeep DaDa
aaDDD (4.16)
42
onde
2
21000
01
01
01
211
EeD (4.17)
é a matriz constitutiva elástica, em que E é o módulo de Young e é o coeficiente de
Poisson; e o vetor a é o gradiente da função de plastificação.
O gradiente da função de plastificação é definido fazendo:
ζζζζa
D3
D3
D2
D2D2
1
1
D3D2D21 I
I
FI
I
F
I
FI
I
F))I,I(,I,I(F (4.18)
ou então:
332211 CCC aaaa (4.19)
em que, considerando as definições dos invariantes de tensão (Equações 3.24 a 3.26) ,
tem-se
0
1
1
1
I11
ζa (4.20)
xy
zyx
zyx
zyx
D22
2
3/)2(
3/)2(
3/)2(
I
ζa (4.21)
)2(3
23
2)22(
9
2)2(
9
13
1)2(
9
2)2(
9
13
1)2(
9
2)2(
9
1
I
zyxxy
2
xyxzzyyx
2
z
2
y
2
x
2
xyxzzyyx
2
z
2
y
2
x
2
xyxzzyyx
2
z
2
y
2
x
D33
ζa (4.22)
43
Da Equação 4.19 tem-se que:
1
1I
FC
(4.23)
D2D2
2I
F
I
FC
(4.24)
D3
3I
FC
(4.25)
Considerando a definição da Equação 3.27, tem-se que:
3
m
I
F b
1
(4.26)
2D
b2D
a/1
ci
2Dci
2D I2
1sen
3
1cosθmI
2cosθI
aI
F
(4.27)
sencos
3
1mItg
Icosθ2
a
Fb2D
a/1
ci
2Dci (4.28)
3cos2
33
II
I
I2
I
ID2D2
D3
D2
D3
D2
(4.29)
3cos2
3
II
1
ID2D2D3
(4.30)
Para 6
(na compressão), tem-se que:
3
mC b
1 (4.31)
2D
2Db
a/1
ci
2Dci2
2I
1
3
3Im
σ
3I
a
σC
(4.32)
0C3 (4.33)
44
Para 6
(na extensão), tem-se que:
3
mC b
1 (4.34)
2D
2Db
a/1
ci
2Dci2
2I
1
3
3I2m
σ
3I
a
σC
(4.35)
0C3 (4.36)
4.4. Implementações computacionais
Neste item são apresentadas as intervenções feitas no programa ANLOG a fim
de viabilizar a inclusão de mais um modelo constitutivo tensão-deformação. A Tabela
4.1 apresenta as sub-rotinas que sofreram alterações em função de cada macro comando
e ainda as sub-rotinas que foram criadas exclusivamente para o modelo Hoek-Brown.
Tabela 4.1 - Alterações no código computacional ANLOG
Macro comando Sub-rotina
Modificada Nova
DADOS
DATNPROP
DATIMAT
PROPERTIES
SOLVE
MATDE_ALL DHB
MATDEP_ALL DHB_GAGB
TCALCG_ALL YIELD_FUNC_HB
TCALC_2 e
TCALC_71
COEF_GRAD YIELD_HD
TSUP_HB
45
4.4.a. Macro comando DADOS
A sub-rotina DATNPROP lê ou determina o número de parâmetros necessários
para cada tipo de problema que se pretende resolver. Para a implementação do modelo
Hoek-Brown será incluída nessa sub-rotina o número de parâmetros necessários ao
modelo, conteúdo do vetor KELEM(29), o número de funções de plastificação,
conteúdo do vetor KELEM(30), e o número de funções de endurecimento, conteúdo do
vetor KELEM(31). No Quadro 4.1 o texto destacado em negrito é o que está sendo
adicionado à sub-rotina, sendo que a expressão „LCODE==19‟, representa o código do
modelo Hoek-Brown implementado.
A sub-rotina DATIMAT lê do arquivo de entrada os parâmetros que serão
necessários ao modelo e os escreve no arquivo de saída. Novamente, o texto destacado
em negrito no Quadro 4.2 é o que está sendo adicionado à sub-rotina.
A sub-rotina PROPERTIES é responsável por atribuir às constantes do modelo
os valores lidos no arquivo de entrada. O Quadro 4.3 mostra as linhas adicionadas à
sub-rotina.
Quadro 4.1 - Sub-rotina DATNPROP SUBROUTINE DATNPROP (KELEM,PROPG,THICK)
Use Global_variables
Use Local_variables
DO IKEL=KEL1,KEL2,INCR
IF(LTIPEL==1.OR.LTIPEL==2.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4.OR.LTIPEL==13.OR.LTIPEL==14)THEN
ELSE IF (LCODE==19) THEN
KELEM(29,IKEL)=7
KELEM(30,IKEL)=1
KELEM(31,IKEL)=0
END IF
END IF
END DO
RETURN
END
Quadro 4.2 - Sub-rotina DATIMAT SUBROUTINE DATIMAT (LCODE,PROPS,LTIPEL,NPROPM)
Implicit None
IF(LTIPEL==1.OR.LTIPEL==2.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4.OR.LTIPEL==13.OR.LTIPEL==14)THEN
ELSE IF (LCODE==19)THEN !Hoek & Brown
46
READ (1,*) (PROPS(I),I=1,3) !...E, , ci
READ (1,*) (PROPS(I),I=4,7) !...mb, s, a, ftol
WRITE (2,1204) (PROPS(I),I=1,7)
END IF
1204 FORMAT (/5X,'BILINEAR - HOEK & BROWN MODEL:',/, &
8X,'E =',G18.6,/, &
8X,' =',G18.6,/, &
8X,'ci =',G18.6,/, &
8X,'mb =',G18.6,/, &
8X,'s =',G18.6,/, &
8X,'a =',G18.6,/, &
8X,'Ftol =',G18.6,/)
END IF
RETURN
END
Quadro 4.3 - Sub-rotina PROPERTIES SUBROUTINE PROPERTIES (PROPS)
Use Global_variables
Use Local_variables
Use Properties_declare
IF(LTIPEL==1.OR.LTIPEL==2.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4.OR. &
LTIPEL==13.OR.LTIPEL==14)THEN ! PLANE AND SOLID ELLEMENT
ELSE IF (LCODE==19)THEN !Hoek-Brown model ...E,,ci, mb,s,a,Ftol
E =PROPS(1)
NI =PROPS(2)
QCI =PROPS(3)
MHB =PROPS(4)
SHB =PROPS(5)
AHB =PROPS(6)
FTO =PROPS(7)
END IF
END IF
RETURN
END
4.4.b. Macro comando SOLVE
Neste item são apresentadas as rotinas incluídas e as alterações feitas em rotinas
já existentes no código do ANLOG e que estão relacionadas ao macro comando
SOLVE. Estas alterações estão relacionadas à obtenção da matriz constitutiva, à
definição de esquema de integração de tensão e à verificação do nível de tensão.
Os Quadros 4.4 e 4.5 apresentam as alterações feitas nas rotinas MATDE_ALL,
que gerencia a montagem da matriz constitutiva elástica, e MATDEP_ALL que
gerencia a montagem da matriz constitutiva elastoplástica de acordo com o critério de
plastificação adotado.
47
Os Quadros 4.6, 4.7.e 4.8 apresentam as alterações feitas nas rotinas
TCALCG_ALL, que gerencia o esquema de integração de tensão, e TCALC_2 e
TCALC_71 que executam o esquema de integração de tensão Forward-Euller.
Nos Quadros 4.9 a 4.13 são apresentadas, respectivamente, a sub-rotina DHB
que executa a montagem da matriz elastoplástica para o modelo de Hoek-Brown
(Equação 4.16); a sub-rotina DHB_GAGB que calcula o gradiente da função de
plastificação (Equação 4.19); a sub-rotina YIELD_FUNC_HB que avalia a função de
plastificação (Equações 3.27, 3.28 e 3.29); a sub-rotina COEF_GRAD_YIELD_HB que
calcula os valores das constantes da superfície de plastificação (Equações 4.23, 4.24 e
4.25); e a sub-rotina TSUP_HB que verifica o estado de tensão de acordo com o critério
de Hoek-Brown para realizar a integração de tensão.
Quadro 4.4 - Sub-rotina MATDE_ALL SUBROUTINE MATDE_ALL (TENSAO,DEF,PROPS,DE,DT,SUP,THICK)
Use Global_variables
Use Local_variables
Use Properties_declare
IF(LTIPEL==1.OR.LTIPEL==2.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4.OR.LTIPEL==13.OR.LTIPEL==14)THEN
IF(LCODE==19)CALL DHOOKE (DE)
END IF
RETURN
END
Quadro 4.5 - Sub-rotina MATDEP_ALL SUBROUTINE MATDEP_ALL (TENSAO,PROPS,DE,DT,SUP,SUP2,ENDUC,ENDUC2,ET,EC,THICK)
Use Global_variables
Use Local_variables
Use Properties_declare
IF(LTIPEL==1.OR.LTIPEL==2.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4.OR.LTIPEL==13.OR.LTIPEL==14)THEN
IF (LCODE==19) CALL DHB (DE,DT,TENSAOG)
END IF
RETURN
END
Quadro 4.6 - Sub-rotina TCALCG_ALL SUBROUTINE TCALCG_ALL (PROPS,TENSAO,SUP,SUP2,ENDUC,ENDUC2,DDEF,DEF,STEP,THICK)
Use Global_variables
Use Local_variables
Use Solve_variables
IF(LTIPEL==1.OR.LTIPEL==2.OR.LTIPEL==3.OR.LTIPEL==4.OR.LTIPEL==13.OR.LTIPEL==14)THEN
48
IF(LCODE==19)THEN ! ORIGINAL HOEK BROWN
IF(LLINT==21.OR.LLINT==22.OR.LLINT==24)THEN ! EXPLICIT WITH SUBINCREMENT
CALL TCALC_2 (TENSAOG,DEFG,DDEF,SUP,STEP)
ELSE IF(LLINT==31)THEN !EXPLICIT WITH ATOMATICALY SUBSTEPS
CALL TCALC_71 (TENSAOG,DEFG,DDEF,SUP,STEP)
ELSE
WRITE(*,*)'LLINT MUST BE 21,22,24 OR 31'
STOP
END IF
END IF
END IF
RETURN
END
Quadro 4.7 - Sub-rotina TCALC_2 SUBROUTINE TCALC_2 (TENSAO,DEF,DDEF,SUP,STEP)
Use Global_variables
Use Local_variables
Use Properties_declare
Use Solve_variables
DO ISUB=1,NSUB ! substeping loop
IF(LCODE==13.OR.LCODE==15.OR.LCODE==12
.OR.LCODE==16.OR.LCODE==19)THEN ! Evaluating the constitutive matrix
CALL DHOOKE (DE)
IF(LCODE==19)CALL DHB (DE,DT,TENSAO) ! Generalised Hoek Brown
END IF
IF(SUP(5)/=5.0D0.OR.(SUP(5)==5.0D0.AND.LLRUPT==0))THEN ! ------ updating the stess level
IF(LCODE==19)CALL TSUP_HB (TENSAO,SUP) ! Generalised Hoek Brown
END DO
RETURN
END
Quadro 4.8 - Sub-rotina TCALC_71 SUBROUTINE TCALC_71 (TENSAO,DEF,DDEF,SUP,STEP)
Use Global_variables
Use Local_variables
Use Properties_declare
Use Solve_variables
!-- VERIFYING THE INITIAL STRESS STATE
IF(LCODE==19)CALL YIELD_FUNC_HB (STRESS_OLD,F0)
!-- EVALUATING THE ELASTIC PREDICTOR STRESS
!-- VERIFYING THE ELASTIC FINAL STRESS SATE F(STRESS)
IF(LCODE==19)CALL YIELD_FUNC_HB (STRESS,F)
!--- CHECKING THE ELASTIC CONDITION PREDICTION
IF(F<=FTOL) THEN ! THE STRAIN INCREMENT IS PURELY ELASTIC
! UPDATE THE STRESS, STRAIN AND STRESS LEVEL
IF(LCODE==19)CALL TSUP_HB (TENSAO,SUP)
49
ELSE IF (F>FTOL)THEN ! THE STRAIN INCREMENT IS ELASTIC AND PLASTIC
IF(F0<-FTOL) THEN !EALSTOPLASTIC PATH
ELSE IF(DABS(F0)<=FTOL) THEN ! UNLOADING ELASTOPLASTIC
IF(LCODE==19)CALL DHB_GAGB (DE,STRESS_OLD,GA,GB,DEN,F0)
END IF
DO WHILE (TSUB<1.0D0) ! LOOP OF SUBINCREMENT
! EVALUATING THE FIRST TRIAL FOR THE INCREMENT OF STRESS (DS1)
IF(LCODE==19)CALL DHB (DE,DT,STRESS1_T)
! EVALUATING THE SECOND TRIAL FOR THE INCREMENT OF STRESS (DS2)
IF(LCODE==19)CALL DHB (DE,DT,STRESS2_T)
! EVALUATING THE ERROR ON STRESS
IF(R>STOL) THEN ! 'THE SUBSTEP HAS FAILED - A NEW SIZE WILL BE CALCULATED'
ELSE IF(R<=STOL) THEN ! 'THE SUBSTEP HAS SUCCEED'
END IF
END DO ! END OF SUB-STEP LOOP
!---- UPDATING THE STRESS, STRAIN AND STRESS LEVEL
IF(LCODE==19)CALL TSUP_HB (TENSAO,SUP)
END IF
RETURN
END
Quadro 4.9 - Sub-rotina DHB SUBROUTINE DHB (DE,DT,TENSAOG)
Use Local_variables
Use Properties_declare
Use Global_variables
Implicit None
CALL DHB_GAGB (DE,TENSAOG,GA,GB,DEN,F)
IF (FHB<-FTOL)THEN
! --- ELASTIC REGIME
DT=DE
DEALLOCATE(GA,GB,DP,CP)
RETURN
END IF
! --- PERFORMING CP=B*At/DEN
DO I=1,NCOMP
DO J=1,NCOMP
CP(I,J) = (1.0D0/DEN)*GB(I)*GA(J)
END DO
END DO
! DEFINING HE PLASTIC MATRIX [DP]= [D EL] * [CP] [D EL]
DP = MATMUL(MATMUL(TRANSPOSE(DE),CP),DE)
! -- CALCULATING [DT]= [D EL] - [DP]
DT= DE-DP
DEALLOCATE (GA,GB,DP,CP)
50
RETURN
END
Quadro 4.10 - Sub-rotina DHB_GAGB SUBROUTINE DHB_GAGB (DE,TENSAOG,GA,GB,DEN,F)
Use Local_variables
Use Properties_declare
GA=0.0D0; GB=0.0D0
A1=0.0D0; A2=0.0D0; A3=0.0D0
AD1=0.0D0; AD2=0.0D0; AD3=0.0D0
CALL YIELD_FUNC_HB (TENSAOG,F)
CALL COEF_GRAD_YIELD_HB (TENSAOG,C1,C2,C3)
CALL DIFF_INVD (AD1,AD2,AD3,TENSAOG,NCOMP)
CALL DIFF_INV (A1,A2,A3,TENSAOG,NCOMP)
!--- YIELD FUNCTION GRADIENT (GA)---
GA=C1*A1+C2*AD2+C3*AD3
!--- POTENTIAL FUNCTION GRADIENT (GB)---
GB=GA
! CALCULATING DEN = GA*DE*B + H => H = 0
A1 = MATMUL(DE,GB)
DEN=DOT_PRODUCT(GA,A1)
DEALLOCATE (A1,A2,A3,AD1,AD2,AD3)
RETURN
END
Quadro 4.11 - Sub-rotina YIELD_FUNC_HB SUBROUTINE YIELD_FUNC_HB (TENSAOG,F)
Use Properties_declare
Use Local_variables
PI=2.0D0*DACOS(0.0D0)
I2DTOL=1.0D-20
I1=TENSAOG(1)+TENSAOG(2)+TENSAOG(3)
CALL DCAL_INVID (TENSAOG,NCOMP,I1D,I2D,I3D)
IF(I3D==0.0D0)I3D=0.000000001D0
IF(I2D>I2DTOL)THEN
RI2D=DSQRT(I2D)
T3=(-3.0D0*dsqrt(3.0d0)*I3D)/(2.0D0*I2D*RI2D)
IF(T3<-1.0D0)T3=-1.0D0
IF(T3>1.0D0)T3=1.0D0
T=(1.0d0/3.0d0)*dasin(T3)
ELSE
I2D = I2DTOL
T = 0.0D0
T3 = 0.0D0
RI2D =DSQRT(I2DTOL)
END IF
X1= QCI*( 2.0D0*DCOS(T)*RI2D/QCI )**(1.0D0/AHB)
X2= MHB*RI2D*( DCOS(T)+DSIN(T)/DSQRT(3.0D0) )
X3= -SHB*QCI-MHB*I1/3.0D0
F= X1+X2+X3
RETURN
END
Quadro 4.12 - Sub-rotina COEF_GRAD_YIELD_HB SUBROUTINE COEF_GRAD_YIELD_HB (TENSAOG,C1,C2,C3)
Use Properties_declare
Use Local_variables
PI=2.0D0*DACOS(0.0D0)
I2DTOL=1.0D-20
I1=TENSAOG(1)+TENSAOG(2)+TENSAOG(3)
CALL DCAL_INVID (TENSAOG,NCOMP,I1D,I2D,I3D)
!IF(I3D==0.0D0)I3D=0.000000001D0
IF(I2D>I2DTOL)THEN
RI2D=DSQRT(I2D)
R3I2D=DSQRT(3.0D0*I2D)
T3=(-3.0D0*dsqrt(3.0d0)*I3D)/(2.0D0*I2D*RI2D)
IF(T3<-1.0D0)T3=-1.0D0
IF(T3>1.0D0)T3=1.0D0
T=(1.0d0/3.0d0)*dasin(T3)
51
ELSE
I2D = I2DTOL
T = 0.0D0
T3 = 0.0D0
RI2D =DSQRT(I2DTOL)
R3I2D =DSQRT(3.0D0*I2DTOL)
END IF
TL=PI/6.1D0
C4 = (QCI/AHB)*(RI2D*2.0D0*DCOS(T)/QCI)**(1.0D0/AHB)
C5 = MHB*RI2D
C6 = DSQRT(3.0D0)/(2.0D0*I2D*RI2D*DCOS(3.0D0*T))
DF_DI1 = -MHB/(3.0D0*QCI)
IF (DABS(T)>TL) THEN
DF_DI2=(QCI/AHB)*( R3I2D/QCI )**(1.0D0/AHB)
IF (T < 0.0D0)DF_DI2= DF_DI2 + MHB*R3I2D/(3.0D0)
IF (T > 0.0D0)DF_DI2= DF_DI2 + 2.0D0*MHB*R3I2D/(3.0D0)
DF_DI2 = DF_DI2/(2.0D0*I2D)
DF_DT = 0.0D0
DT_DI2 = 0.0D0
DT_DI3 = 0.0D0
ELSE IF (DABS(T)<TL) THEN
DF_DI2 = C4 + C5*(DSIN(T)/DSQRT(3.0D0) + DCOS(T))
DF_DI2 = DF_DI2/(2.0D0*I2D)
DF_DT = -C4*DTAN(T) + C5*( DCOS(T)/DSQRT(3.0D0) - DSIN(T) )
DT_DI2 = (C6*I3D)/(2.0D0*I2D)
DT_DI3 = -C6
END IF
C1 = DF_DI1
C2 = DF_DI2 + DF_DT*DT_DI2
C3 = DF_DT*DT_DI3
RETURN
END
Quadro 4.13 - Sub-rotina TSUP_HB SUBROUTINE TSUP_HB (TENSAOG,SUP)
Use Global_variables
Use Local_variables
Use Properties_declare
I2DTOL=1.0D-20
I1=TENSAOG(1)+TENSAOG(2)+TENSAOG(3)
CALL DCAL_INVID (TENSAOG,NCOMP,I1D,I2D,I3D)
IF(I3D==0.0D0)I3D=0.000000001D0
IF(I2D>I2DTOL)THEN
RI2D=DSQRT(I2D)
T3=(-3.0D0*dsqrt(3.0d0)*I3D)/(2.0D0*I2D*RI2D)
IF(T3<-1.0D0)T3=-1.0D0
IF(T3>1.0D0)T3=1.0D0
T=(1.0d0/3.0d0)*dasin(T3)
ELSE
I2D = I2DTOL
T = 0.0D0
T3 = 0.0D0
RI2D =DSQRT(I2DTOL)
END IF
X1= QCI*(2.0D0*DCOS(T)*RI2D/QCI)**(1.0D0/AHB)
X2= MHB*RI2D*( DCOS(T)+DSIN(T)/DSQRT(3.0D0) ) - SHB*QCI - MHB*(I1/3.0D0)
SUP(1)= DABS(X1) !......... a/1
ci2Dci 2cosθ I)1(SUP
SUP(4)= DABS(X2) !......... s3)Im(3sencosθmI)4(SUP ci1bb2D
SUP(3)=SUP(1)/SUP(4)
IF(SUP(3)>1.0D0)SUP(3)=1.0D0
IF (SUP(3)==1.0D0)THEN
SUP(5) = 5.0D0
ELSE IF (SUP(3)<1.0D0)THEN
IF (SUP(1)>SUP(2)) SUP(5) = 1.0D0
IF (SUP(1)<=SUP(2))SUP(5) = 2.0D0
END IF
RETURN
END
52
Capítulo 5
EXEMPLOS DE VERIFICAÇÃO
Este capítulo apresenta uma série de exemplos com o objetivo de verificar a
implementação computacional do modelo constitutivo de Hoek-Brown no sistema
computacional ANLOG e exemplos com o objetivo de demonstrar a aplicação deste
sistema para análise de problemas geotécnicos incluindo a abertura de cavidades e
capacidade de suporte de fundações superficiais.
Desta forma, apresenta-se primeiramente a simulação de ensaios de compressão
triaxial convencional (CTC) considerando diferentes trajetórias de tensão.
Em seguida apresenta-se um exemplo relacionado à análise elastoplástica de
aberturas de cavidades cilíndricas (furos, poços e túneis) em maciços rochosos cuja
solução analítica, considerando um modelo elástico-frágil perfeito de Hoek-Brown, foi
apresentada por Sharan (2003 e 2005) e Park e Kim (2006) e é adotada neste trabalho
para verificação das implementações computacionais.
Por fim apresenta-se um exemplo de aplicação relacionado à capacidade de
suporte de fundações superficiais.
53
5.1. Simulação de um ensaio CTC
Neste item é apresentada a simulação de um ensaio CTC considerando as
trajetórias de tensão de compressão, por carregamento axial (CA) e descarregamento
lateral (DL), e extensão, por carregamento lateral (CL) e descarregamento axial
(DA tal como ilustrado na Figura 5.1, considerando duas tensões de confinamento de
1500kPa e 2500kPa.
10 c
m
5 cm
Eix
o d
e si
met
ria
axia
l
Eixo de simetria
horizontal
p
qEnvoltória de resistência na
compressão
Envoltória de resistência na
extensão
CA
DL DA
CL
Corpo de prova
Cilíndrico Trajetórias de tensão
Figura 5.1 - Simulação de ensaios triaxiais CTC
A malha de elementos finitos (constituída por 4 elementos Q8 e 21 pontos
nodais) e as condições de contorno são apresentadas na Figura 5.2. O controle de
deformação foi adotado, aplicando-se um deslocamento prescrito , de modo a
possibilitar a descrição do comportamento do material após a ruptura. Os parâmetros do
modelo Hoek- Brown são apresentado na Tabela 5.1.
Tabela 5.1 - Parâmetros do modelo Hoek-Brown - CTC
E(MPa) ci(MPa) mb s a
2340 0.30 20 1.472 0.000073 0.5159
A Tabela 5.2 apresenta os parâmetros adotados no processo de solução
incremental-iterativo do tipo Newton-Raphson modificado com incrementos
54
automáticos de carga. Para a integração de tensão adotou-se o esquema explícito com
sub-incrementos avaliados em função do erro cometido na avaliação da tensão adotando
STOL=10-2
e FTOL=10-5
.
Tabela 5.2 - Parâmetros da solução incremental-iterativa - CTC
0 max min Id miter toler (%)
0.01 0.01 0.00001 3 5 0.001
5
cm
2.5 cm
5 c
m
2.5 cm
Carregamento Axial (CA)
=−0.10 cm Descarregamento Lateral (DL)
=0.05cm a) Trajetória de compressão
5 c
m
2.5 cm
5
cm
2.5 cm
Descarregamento Axial (DA)
=0.05cm Carregamento Lateral (CL)
=−0.10 cm b) Trajetórias de extensão
Figura 5.2 - Malha de elementos finitos – trajetórias de tensão
A Figura 5.3 apresenta as curvas tensão desviadora ( D2I3q ) versus
deformação axial (a) obtidas numericamente para as diferentes trajetórias de tensão
55
ilustradas na Figura 5.2 considerando dois níveis de tensão de confinamento iniciais de
1500kPa e 2500kPa. Como pode ser visto nesta figura, a resistência ao cisalhamento,
maxq , aumenta com nível de tensão de confinamento inicial, p0, independente da
trajetória de tensão. Para um mesmo nível de tensão de confinamento inicial, observa-se
que a resistência ao cisalhamento numa trajetória de compressão por carregamento axial
(CA) é idêntica à resistência ao cisalhamento numa trajetória de extensão por
carregamento lateral (CL), no entanto, a deformação axial neste estado é maior, em
módulo, na compressão que na extensão, indicando que a resistência ao cisalhamento é
mobilizada mais rapidamente na extensão. O mesmo comportamento se observa para as
trajetórias de compressão por descarregamento lateral (DL) e extensão por
descarregamento axial (DA).
-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
a(%)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
q=
sqrt
(3I 2
D)
(kP
a)
CA-2500
CA-1500
CL-2500
CL-1500
DL-2500
DL-1500
DA-2500
DA-1500
CompressãoExtensão
Figura 5.3 - Curva tensão-deformação – ensaio CTC
56
A Tabela 5.3 apresenta os valores da resistência ao cisalhamento, qmax, e a
deformação axial na ruptura, εa max, de acordo com as propriedades do modelo de Hoek
Brown apresentadas na Tabela 5.1, para o para as tensões de confinamento de 1.5MPa e
2.5MPa.
Tabela 5.3 - Valores da resistência ao cisalhamento e deformação axial máxima
Trajetória de tensão p0 (MPa) qmax (MPa) εa max (%)
CA 1.5 6.445 0.28
2.5 8.372 0.36
EA 1.5 -1.429 -0.064
2.5 -2.304 -0.1
A Figura 5.4 apresenta as envoltórias de resistência do modelo Hoek Brown no
espaço da tensão desviadora (D2I3q ) e da tensão normal média ( 3/Ip 1 ), para as
trajetórias de compressão (Equação 3.28) e de extensão (Equação 3.29). Nesta figura
são apresentados os resultados numéricos em termos das trajetórias de tensão indicadas
na Figura 5.2 para os dois níveis de tensão de confinamento inicial de 1500kPa e
2500kPa. Como esperado, as trajetórias de tensão caminham para a superfície de
plastificação e lá permanecem uma vez que a situação F>0 é uma situação não
permitida.
Pode-se concluir com esse exemplo que a implementação computacional, para
esse tipo de análise foi bem sucedida, fornecendo soluções de acordo com as obtidas
analiticamente.
57
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000
p=I1/3(kPa)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
q=
sqrt
(3I 2
D)
(kP
a)
Envoltória de Resistência
na Extensão
na Compressão
CA
CA
CL
CL
DL
DL
DA
DA
Comp. por CA
Comp. por DL
Exten. por CL
Exten. por DA
Figura 5.4 - Trajetórias de tensão no espaço p-q
5.2. Cavidade cilíndrica em meio elastoplástico
O problema a ser analisado neste item é ilustrado na Figura 5.5 e consiste na
avaliação da distribuição das tensões e deslocamentos ao redor de uma cavidade
cilíndrica de raio interno, ri, executada a grande profundidade num maciço rochoso,
considerado homogêneo e isotrópico e submetido a um estado de tensão inicial
isotrópico, 0. O comportamento tensão deformação do maciço rochoso é representado
por um modelo elástico perfeitamente plástico, com plasticidade associada, adotando o
critério de plastificação de Hoek-Brown. O raio de transição plástico-elástico, R,
delimita a região de comportamento plástico (R-ri) no entorno da cavidade e o raio
externo, re, delimita o domínio do problema,
58
x,r
y,
ripi
Rre
0
r
r
elástica
plástica
Figura 5.5 - Abertura de uma cavidade cilíndrica a grande profundidade
Sharan (2003 e 2005) e Park e Kim (2006) apresentaram uma solução analítica
para este problema considerando um material com comportamento elástico frágil
perfeito. Neste trabalho, apresenta-se uma adaptação esta solução para o material com
comportamento elástico perfeitamente plástico. Assim, a distribuição das tensões radial
e circunferencial na zona plástica, ou seja, para ri<r<R, é dada por:
i
2
ciicib
i
2
i
cibr psσpσm
r
rln
r
rln
4
σmσ
(5.1)
i
cib2
ciicibrr
rln
2
σmsσpσmσσ (5.2)
Na região elástica, ou seja, para R<r<re, tem-se que:
)σ(σr
Rσσ R0
2
0r
(5.3)
)σ(r
Rσσ R0
2
0
(5.4)
em que ζR é a tensão radial no raio de transição, R, definido como:
59
cib
21
σ2m
FF
IerR
(5.5)
Onde
0cibci
2
b0ci1 Fσm2σmFσF (5.6)
2
ciicib2 σ spσm4F (5.7)
0bci
2
bci0 σm61σmσ 16sF (5.8)
A distribuição dos deslocamentos radial na zona elástica é dada por:
r
R)σ(σ
E
1u
2
R0r (5.9)
Na transição plástico-elástico, tem-se:
)Rσ(σE
1u R0R
(5.10)
Este problema foi analisado numericamente por Wan (1992), Clausen et al
(2006) e Clausen e Damkidle (2008) considerando um estado de deformação
axissimétrico no plano (zx) enquanto Choi e Deb (2005) apresentam os resultados
obtidos considerando uma análise em estado de deformação plana no plano vertical
(xy).
Neste trabalho foi adotada a análise em estado plano de deformação no plano xy.
A Figura 5.6 ilustra a malha de elementos finitos adotada e a Tabela 5.4 apresenta os
parâmetros do modelo de Hoek-Brown adotados neste exemplo.
Para essa análise numérica foi adotado o procedimento incremental iterativo de
Newton-Raphson Modificado com incrementos automáticos de carga (Id=10, miter=20;
toler=0.1%; 0=0.01; min=10-6
; max=10-2
) e o esquema de integração de tensão
Foward Euler com sub incrementos variados (FTOL=10-5
e STOL=10-2
)
60
re=100m
ri=5m
x
y
0=30MPa
200 elementos isoparamétricos Q8 e 661 pontos nodais
Figura 5.6 - Malha de elementos finitos - cavidade cilíndrica em meio elastoplástico
Tabela 5.4 - Parâmetros do modelo Hoek-Brown - cavidade
E(MPa) ci(MPa) mb s a
5500 0.25 30 1.7 0.0039 0.5
As respostas numérica, obtida pelo ANLOG, e analítica, considerando um estado
de tensão inicial isotrópico de 30MPa, são apresentadas na Figura 5.7, em termos da
distribuição de tensão ao longo da direção horizontal (y=0) e na Tabela 5.5, em termos
do raio de transição e das tensões de transição, radial e circunferencial. Como pode ser
observado, as soluções numérica e analítica apresentam uma excelente concordância.
Tabela 5.5 - Raio de transição e tensões (pi=0MPa e ri=5m)
Solução R/ri ζr/ζ0 ζθ/ζ0 ζz/ζ0
Analítica 2.833 0.526 1.474 0.500
Numérica 2.893 0.568 1.400 0.492
61
0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20
r/ri
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6T
ensõ
es
norm
aliz
adas
Numérica
Analítica
r/0
/0
z/0
Figura 5.7 - Distribuição das tensões ao redor da abertura circular
A distribuição de tensão no entorno da cavidade é apresentado na Figura 5.8
através das isócronas das componentes de tensão enquanto na Figura 5.9 são ilustradas
as regiões elástica e plástica. Estas regiões são definidas em função da razão de tensão
(SLR) definida como:
3
Imsσ
3
sinθcosθ Imσ cosθI2
SLR1
bci
2Db
1/a)-(1
ci
1/a
2D
(5.11)
Na região plástica, SLR=1 e na região elástica SLR <1.
62
0
5
15
25
35
45
Tensões
(MPa)
0
5
15
25
35
45
Tensões
(MPa)
a) x b) y
0
5
15
25
35
45
Tensões
(MPa)
-15
-10
-7.5
-5.0
-2.5
+1.0
Tensões
(MPa)
c) z d) xy
Figura 5.8 - Distribuição de tensão
Região elásticaRegião plástica
Figura 5.9 - Regiões elásticas e plásticas
63
5.3. Capacidade de suporte de fundação superficial
A capacidade de suporte de fundações superficiais, sem embutimento, rígida,
lisa ou rugosa, é abordada neste item. O terreno de fundação, considerado sem peso, é
idealizado com comportamento linear elástico perfeitamente plástico com plasticidade
associada.
As análises foram conduzidas por controle de deslocamento de modo a simular
fundações perfeitamente rígidas. Para tanto, um deslocamento prescrito foi aplicado
aos nós sob a fundação (Figura 5.10). A malha de elementos finitos apresentada na
Figura 5.10 apresenta 427 elementos Q8 e 1350 pontos nodais. Esta malha foi utilizada
para todas as análises apresentadas em termos de deformação plana (LLTYPE=1) para
uma fundação corrida e axissimétrica (LLTYPE=2) para uma fundação circular e foi
construída levando-se em consideração a simetria do problema
0.5m
5m
4.5m
Rígida e Lisa
x0; y
0.5m
5m
4.5m
Rígida e rugosa
x=0; y
0.5m
5m
4.5m
0.5m
5m
4.5m
0.5m
5m
4.5m
0.5m
5m
4.5m
0.5m
5m
4.5m
0.5m
5m
4.5m
0.5m
5m
4.5m
0.5m
5m
4.5m
0.5m
5m
4.5m
0.5m
5m
4.5m
0.5m
5m
4.5m
0.5m
5m
4.5m
B=0.5m
Figura 5.10 - Fundação superficial – rígida (Lisa e rugosa)
Os resultados obtidos pelo ANLOG estão apresentados em termos do fator
definido como:
ref
A/Q
(5.12)
em que Q é a força de reação na base da fundação obtida pelo somatório das
componentes verticais da força interna equivalente ao estado de tensão dos elementos
sob a fundação (Potts e Zdravković, 2001); A é a área da fundação e ref é uma tensão
de referência que depende do modelo constitutivo adotado. Para o modelo Mohr
64
Coulomb modificado (Oliveira, 2006) a tensão de referência adotada é a coesão (c) e
para o modelo Hoek-Brown é a resistência à compressão uniaxial da rocha intacta ( ci ).
A Tabela 5.6 apresenta os parâmetros adotados no processo de solução
incremental-iterativo do tipo Newton-Raphson modificado com incrementos
automáticos de carga. Para a integração de tensão adotou-se o esquema de explícito com
subincrementos variados (LLINT=31) adotando as tolerâncias FTOL=10-6
e
STOL=10-2
.
Tabela 5.6 - Parâmetros da solução incremental-iterativa - fundação
0 max min Id miter toler (%)
0.01 0.01 0.00001 3 5 0.01
A Figuras 5.11 apresenta curvas carga-recalque em termos do fator e do
deslocamento relativo /B, para fundação rígida e lisa numa condição de deformação
plana levando em conta os modelos de Morh Coulomb (MC), Oliveira (2006), e Hoek-
Brown (HB). Os parâmetros constitutivos adotados por cada modelo são apresentados
na Figura 5.11 e correspondem a uma situação de um meio puramente coesivo. Nesta
condição, a solução convencional com base na teoria do equilíbrio limite de Terzaghi
(1943) fornece um fator de capacidade de suporte de 5.14. Como pode ser observado na
Figura 5.11, uma boa concordância com a solução convencional é obtida para os valores
de fator de capacidade de suporte (ult) fornecidos pelo ANLOG tanto para o modelo de
Mohr-Coulomb quanto para o modelo de Hoek-Brown proposto neste trabalho.
65
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
/B
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Fundação Lisa
Mohr-Coulomb
Hoek-Brown
ult (HB)=5.19
ult (MC)=5.10
E=100MPa
49
MC
c=100kPa;
HB
c=100kPa; mb=0.0; s=2.0; a=1.0
Figura 5.11 - Curva carga-recalque - fundação corrida rígida e lisa – meio
puramente coesivo
A Figuras 5.12 apresenta curvas carga-recalque, para as condições de
deformação plana e axissimétrica, considerando um fundação rígida e lisa, adotando o
modelo de Hoek-Brown para um meio equivalente a um meio puramente coesivo. Neste
caso, a solução convencional com base na teoria do equilíbrio limite de Terzaghi (1943)
fornece um fator de capacidade de suporte de 5.14 para uma fundação corrida
(deformação plana) e 6.20 para a fundação circular (axissimétrica). Como pode ser
observado na Figura 5.12, uma boa concordância com a solução convencional é obtida
para os valores de fator de capacidade de suporte (ult) fornecidos pelo ANLOG.
66
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
/B
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Fundação Lisa
Plana
Axissimétrica
ult=5.19
E=100MPa; 49
HB
c=100kPa; mb=0.0; s=2.0; a=1.0
ult =6.36
Figura 5.12 - Curva carga-recalque – fundação rígida – meio puramente coesivo
- corrida versus circular
As Figuras 5.13 a 5.15 apresentam os resultados, em termos das curvas carga-
recalque, para uma fundação corrida, rígida e rugosa, considerando um terreno de
fundação constituído por um maciço rochoso, sem peso (=0) e não perturbado (D=0),
cuja resistência é governada pelo modelo de Hoek-Brown generalizado. Várias análises
foram conduzidas variando-se o índice de resistência geológico (GSI) de modo a se
observar a influência da qualidade do maciço rochoso na capacidade de suporte das
fundações superficiais.
A Figura 5.13 refere-se a um terreno de fundação constituído por um filito com:
E=10GPa; =0.26; ci=100MPa e mi=10. A Figura 5.14 refere-se a um terreno de
fundação constituído por um basalto com: E=40GPa; =0.2; ci=200MPa e mi=17. E
por fim, a Figura 5.15 refere-se a um terreno de fundação constituído por um arenito
67
com: E=30GPa; =0.14; ci=150MPa e mi=20. Estes dados foram obtidos da literatura
especializada (Goodman 1989). A Tabela 5.7 apresenta os parâmetros do modelo Hoek-
Brown de acordo com as Equações 3.16 a 3.18 tal como proposto por Hoek et al (2002).
Tabela 5.7 - Parâmetros da modelo Hoek-Brown - Efeito GSI
GSI mb
s a mi=10 mi=17 mi=20
20 0.5743 0.9764 1.1487 0.0001 0.5437
40 1.1732 1.9944 2.3464 0.0013 0.5114
60 2.3965 4.0741 4.7930 0.0117 0.5028
A Tabela 5.8 apresenta os resultados, em termos do fator de capacidade de
suporte (ult), obtidos pelo presente trabalho considerando uma fundação rígida e rugosa
e um terreno de fundação sem peso e não perturbado, e os obtido por Yang e Yin (2005)
com base no limite superior da análise limite, Merifield et al (2006) com base numa
formulação mista da análise limite; Kulhawy e Carter (1992) com base na formulação
do limite inferior da análise limite. Como pode ser visto nesta tabela os resultados
encontrados na literatura variam bastante indicando que esse assunto não se encontra
esgotado, pelo menos no que diz respeito à aplicação do critério de Hoek-Brown para
previsão de capacidade de suporte de fundações rasas.
68
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
/B
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Fundação rugosa
(; D=0)
GSI=20
GSI=40
GSI=60
ult(40) =0.56
Filito (mi=10; ci
=100MPa)
E=1GPa; 0.26
ult(60) =1.13
ult(20) =0.37
Figura 5.13 - Curva carga-recalque – fundação rígida e rugosa - filito
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
/B
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
Fundação rugosa
(; D=0)
GSI=20
GSI=40
GSI=60
ult(40) =1.48
Basalto (mi=17; ci=200MPa)
E=40GPa; 0.2
ult(60) =2.53
ult(20) =0.57
Figura 5.14 - Curva carga-recalque – fundação rígida e rugosa - basalto
69
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
/B
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Fundação rugosa
(; D=0)
GSI=20
GSI=40
GSI=60
ult(40) =0.83
Arenito (mi=20; ci=200MPa)
E=30GPa; 0.14 ult(60) =1.36
ult(20) =0.34
Figura 5.15 - Curva carga-recalque – fundação rígida e rugosa - arenito
Tabela 5.8 - Fator de capacidade de suporte - ult - (D=0; =0)
mi GSI Presente
trabalho
Yang e Yin
(2005)
Merifield et al
(2006)
Kulhawy e
Carter (1992)
10
20 0.37 ***** 0.21 0.06
40 0.56 ***** 0.66 0.23
60 1.13 ***** 1.60 0.62
17
20 0.57 0.68 0.34 0.09
40 1.48 2.14 1.00 0.28
60 2.53 4.48 2.35 0.77
20
20 0.34 ***** 0.39 0.09
40 0.83 ***** 1.49 0.31
60 1.36 ***** 2.67 0.83
70
Capítulo 6
CONCLUSÕES E SUGESTÕES
A análise do comportamento mecânico em equilíbrio estático de obras
geotécnicas executadas em maciços rochosos requer a adoção de um modelo
constitutivo que leve em conta não apenas as características de deformabilidade e
resistência da rocha intacta, mas também que leve em conta a condição do maciço. O
critério de resistência de Hoek-Brown foi inicialmente desenvolvido no início da década
de 80 para rochas duras e desde então foi sucessivamente modificado para levar em
conta as condições geológicas do maciço rochoso.
Nesta dissertação o modelo elástico perfeitamente plástico com plasticidade
associada e com base no critério de resistência Hoek-Brown foi implementado no
programa computacional ANLOG (Análise Não Linear de Obras Geotécnicas). A
natureza não linear do modelo elastoplástico implementado envolveu a adoção de um
procedimento de solução de sistema de equação não linear do tipo Newton-Raphson a
nível global e um procedimento explícito de integração de tensão a nível local.
As implementações computacionais foram verificadas através da simulação
numérica de ensaios triaxias convencionais sob diferentes trajetórias de tensão
indicando uma boa concordância entre as soluções analítica e numérica. Exemplos de
aplicação relacionados com aberturas de cavidade e capacidade de suporte em maciços
rochosos foram apresentados e os resultados comparados com as respostas analíticas e
numéricas disponíveis na literatura especializada indicando uma boa concordância entre
estes resultados e reafirmando a potencialidade da aplicação do sistema ANLOG para
análises do comportamento geomecânico de obras geotécnicas.
A partir das análises realizadas e apresentadas ao longo deste trabalho, chegou-
se às seguintes conclusões:
71
A resistência ao cisalhamento aumenta com nível de tensão de confinamento
inicial independente da trajetória de tensão seguida. Este característica é
importante na aplicação do modelo de Hoek-Brown para análise tensão
deformação de problemas de valor de contorno em que a distribuição de tensão
inicial não é uniforme;
Para um mesmo nível de tensão de confinamento inicial, observa-se que a
resistência ao cisalhamento é mais rapidamente mobilizada na extensão do que
na compressão;
Uma diminuição do nível da tensão circunferencial é observada na região
plástica que se estende no entorno de uma cavidade em função, dentre outros, no
nível de pressão interna. Este valor é máximo para a condição de pressão que
corresponde a uma escavação sem suporte;
A utilização de um esquema de integração de tensão explícito com
subincrementos automático de deformação foi fundamental para obtenção de
uma resposta numérica precisa a nível global;
O modelo de Hoek-Brown apresenta uma boa concordância entre os resultados
apresentados por Terzaghi (1943) com base na teoria do equilíbrio limite para
capacidade de suporte de fundações rasas corridas e circulares para o caso de
solos puramente coesivos usando o critério de Mohr-Coulomb. Para materiais
granulares, não foi possível encontrar os parâmetros do modelo Hoek-Brown
que apresentasse uma equivalência com os parâmetros c e do critério de Mohr-
Coulomb.
A utilização do modelo Hoek-Brown para determinação da capacidade de
suporte de maciços rochosos apresenta a grande vantagem da possibilidade de se
introduzir o efeito da condição geológica do maciço através do índice de
resistência geológica (GSI);
Para uma fundação corrida, rígida e rugosa, considerando um terreno de
fundação constituído por um maciço rochoso, sem peso (=0) e não perturbado
(D=0) os resultados observados mostram uma relação direta entre o fator de
72
capacidade de suporte e o GSI de modo que um maciço mais competente
apresenta uma maior capacidade de suporte;
Os resultados, em termos do fator de capacidade de suporte, obtidos pelo
presente trabalho e os encontrados na literatura especializada variam bastante
indicando que esse assunto não se encontra esgotado, pelo menos no que diz
respeito à aplicação do critério de Hoek-Brown para previsão de capacidade de
suporte de fundações rasas.
Em função da importância do tema central desta dissertação, modelagem
constitutiva de problemas geotécnicos, sugerem-se os seguintes tópicos a serem
abordados futuramente:
A continuidade das análises paramétricas de fundações rasas levando em conta o
peso (0) e o embutimento da fundação;
A realização de análises paramétricas de outras aplicações, tais como,
estabilidades de taludes artificiais e escavações escoradas.
73
Referências Bibliográficas
Armond, D. M. e Nogueira, C. L. (2013). Análise via MEF de problemas de fluxo em
meio poroso não saturado. Relatório técnico-científico final - PIBIC-CNPq/UFOP,
2012-2013, 36p.
Bathe, K.J. (1982). Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Prentice-Hall
Inc., New Jersey.
Benz, T.; Schwab, R.; Kauther, R.A.; Vermeer, P.A. (2008). A Hoek-Brown criterion
with intrinsic material strength factorization. International Journal of Rock Mechanics
& Mining Sciences, 45, 210–222.
Brooks, R. H. e Corey, A. T. (1964). Hydraulic properties of porous media. Colorado
State University Hydrology Papers No. 3, pp 1–27.
Choi, S.O.; Deb, D. (2005). Supplementation of Generalized Hoek-Brown Yield
Surface through the Singularity Adjustment in Elastic-Plastic Analysis. Geosystem
Engineering, 8(2), 43-50.
Clausen, J. (2013). Bearing capacity of circular footings on a Hoek–Brown material.
International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, 57, 34–41.
Clausen, J.; Damkilde, L. (2008). An exact implementation of the Hoek–Brown
criterion for elasto-plastic, finite element calculations. International Journal of Rock
Mechanics & Mining Sciences 45, 831–847.
Clausen, J., Damkilde, L., Andersen, L. (2006). An efficient return algorithm for non-
associated plasticity with linear yield criteria in principal stress space. International
Journal for Numerical Methods in Engineering, 66, 1036–1059.
Crisfield M. A. (1991). Non-linear finite element analysis of solids and structures. John
Wiley & Sons: Chichester, UK, vol 1.
Crisfield M. A. (1997). Non-linear finite element analysis of solids and structures. John
Wiley & Sons: Chichester, UK, vol 2.
74
Duncan,M.J.; Chang,C.Y. (1970). Nonlinear analysis of stress and strain in soils -
Journal of Soil Mechanics and Foundation Division - ASCE, SM5, pp 1629-1653.
Fredlund, D. G. e Xing, A. (1994). Equations for soil-water characteristic curve,
Canadian Geotechnical Journal, v. 31, n. 4, p.521-532.
Goodman, R.E. (1989). Introduction to Rock Mechanics, Wiley.
Hoek, E. (1994). Strengh of rock and rock mass. ISRM New journal, 2(2), 4-16.
Hoek, E. (2006). Pratical Rock Engineering, Rocscience.
Hoek, E., Wood, D.; Shah, S. (1992). A modified Hoek-Brown criterion for jointed rock
mass. Proc. Rock chacarterization Symp, Eurock‟92, London, pp. 209-214.
Hoek, E.; Brown, E.T. (1980). Underground excavation in rock. London: Institution of
Mining and Metallurgy, 527 pages.
Hoek, E.; Brown, E.T. (1988). The Hoek-Brown failure criterion – a 1988 update. In
Rock Engineering for underground excavation, Proc. 15th Canadian Rock Mechanics
Symp, University of Toronto, Toronto, Canadá, 31-38p.
Hoek, E.; Brown, E.T. (1997). Pratical Estimates of Rock Mass Strenght. International
Journal Rock Mechanics Mining Science, vol. 34, n°8, pp 1165-1186.
Hoek, E.; Carranza-Torres, C.; Corkum, B. (2002). Hoek-Brown failure criterion – 2002
edition, Proc. of the Fifith North American Rock Mechanics Symposium and
Seventeenth Tuneling Association of Canada Conference, 267-271.
Hoek, E.; Kaiser, P.K.; Bawden, W.F. (1995). Support of underground excavation in
hard rock, 215p, Balkema, Rotterdam.
Jacobsen, K.P.; Lade, P.V. (2002). Implementation algorithm for a single hardening
constitutive model for frictional materials. International journal for numerical and
analytical method in geomechanics, 26, 661-681.
75
Kulhawy, F.H.; Carter, J.P. (1992). Settlement and bearing capacity of foundation on
rock masses and socketed foundation in rock masses. In: Bell FG, editor. Engineering in
rock masses, Oxford UK: Butterworth-Heinemann, pp 231-245.
Lade, P.V.; Kim, M.K. (1990). Single hardening constitutive model for soil, rock and
concrete. International Journal Solids and Structures, 32(14), pp 1963-1978.
Machado Jr., J. C. (2000). Análise de Problemas de Fluxo em Meio Poroso não
Saturado pelo Método dos Elementos Finitos. Dissertação de Mestrado, Departamento
de Engenharia Civil, PROPEC, UFOP-EM, 120p.
Merifield, R.S.; Lyamin, A.V.; Sloan, S.W. (2006). Limit analysis solutions for the
bearing capacity of rock masses using the generalized Hoek-Brown criterion.
International Journal Rock Mechanics Mining Science, vol. 43, pp 920-937.
Nogueira, C. L. (1998). Análise Não Linear de Escavações e Aterros. Curso de Pós-
Graduação em Engenharia da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
PUC/Rio, Rio de Janeiro, RJ, p.265.
Nogueira, C. L. (2010). Manual de Utilização do ANLOG.
Nogueira,C.L. (1992). Análise de Escavações com Acoplamento de Fluxo e
Deformações - Dissertação de Mestrado, PUC/Rio, Rio de Janeiro.
Oliveira, R. R. V. (2006). Análise elastoplástica via MEF de problemas em solos
reforçados. Dissertação de Mestrado, Departamento de Engenharia Civil, PROPEC,
UFOP-EM, 143p.
Owen, D.R.J.; Hinton, E. (1980). Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice,
Pineridge Press, Swansea, U.K.
Park, K-H.; Kim, Y-J. (2006). Analytical solution for a circular opening in an elastic–
brittle–plastic rock. International Journal of Rock Mechanics & Mining sciences, 43,
616-622.
76
Pereira, A. R. (2003). Modelagem Numérica de Estruturas de Solos Reforçados -
Dissertação de Mestrado, Departamento de Engenharia Civil, PROPEC, UFOP-EM,
138p.
Pinto, M.A.F. (2004). Análise numérica via MEF de problemas de adensamento devido
à variação do nível d‟água. Dissertação de Mestrado, Departamento de Engenharia
Civil, PROPEC, UFOP-EM, 128p.
Potts, D.M.; Zdravkovic, L. (2001). Finite Element Analysis in Geotechnical
Engineering: Application, Thomas Telford Ltd.
Serafim, J.L.; Pereira J.P. (1983). Consideration of the geomechanical classification of
Bieniawski. Proc. Inter. Symp. on Engineering geology and underground construction,
Lisbon, 1(II), 33-44.
Sharan, S.K. (2003). Elastic–brittle–plastic analysis of circular openings in Hoek–
Brown media. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences 40 (2003)
817–824.
Sharan, S.K. (2005). Exact and approximate solutions for displacements around circular
openings in elastic–brittle–plastic Hoek–Brown rock. International Journal of Rock
Mechanics & Mining sciences, 42, 542-549.
Silva, M.A.B. (2005). Modelo Computacional Tridimensional pelo Método dos
Elementos Finitos para Solução de Problemas Geotécnicas - Dissertação de mestrado
em andamento - Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil - UFV (Co-
orientação).
Sloan, S.W.; Abbo, A.J.; Sheng, D. (2001). Refined explicit integration of elastoplastic
models with automatic error control, Engineering Computations, Vol. 18, No. 1/2, 2001,
pp. 121-154.
Sloan, S.W.; Booker, J.R. (1986). Removal of singularities in Tresca and Mohr-
Coulomb yield criteria, Comunications in Applied Numerical Methods, Vol. 2, pp 173-
179.
77
Terzaghi, K. (1943). Theoretical soil mechanics. John Wiley & Sons, Inc, 1943.
Valverde, N.N. (2010). Análise Elasto-plástica 3D de fundações superficiais e aterros
pelo Método dos Elementos Finitos – PUC Rio/UFOP.
Wang, S. e Yin, S. (2011). A closed-form solution for a spherical cavity in the elastic–
brittle–plastic medium, Tunneling and underground space technology, 26, 236-241.
Wang, S.; Zheng, H.; Li, C.; Ge, X. (2011). A finite element implementation of strain-
softening rock mass. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences 48
(2011) 67–76.
Yang, K-H. (2009). Stress distribution within Geosynthetic-Reinforced Soil Structures.
PhD. Dissertation – Environmental and Civil Eng. Depart. University of Texas at
Austin.
Yang, X-L; Yin, J-H. (2005). Upper bound solution for ultimate bearing capacity with a
modified Hoek-Brown failure criterion. International Journal Rock Mechanics Mining
Science, vol. 42, pp 550-560.
Zornberg, J.G. (1989). Análise por elementos finitos do comportamento de escavações
utilizando um modelo elasto-plástico – Disertação de Mestrado – PUC-Rio, Rio de
Janeiro.