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UM MODELO DE DANO NÃO-LOCAL PARA FRATURA DÚCTIL EM BARRAS
Diego Duque
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de Mestre em
Engenharia Mecânica.
Orientador: Fernando Pereira Duda
Rio de Janeiro
Outubro de 2014
UM MODELO DE DANO NÃO-LOCAL PARA FRATURA DÚCTIL EM BARRAS
Diego Duque
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO
LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA
(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE
EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.
Examinada por:
________________________________________________
Prof. Fernando Pereira Duda, D.Sc.
________________________________________________ Prof. Lavinia Maria Sanabio Alves Borges, D.Sc.
________________________________________________ Prof. Luiz Carlos Pereira, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
OUTUBRO DE 2014
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Duque, Diego
Um Modelo De Dano Não-Local Para Fratura Dúctil
Em Barras/ Diego Duque. – Rio de Janeiro:
UFRJ/COPPE, 2014.
XII, 104 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Fernando Pereira Duda
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Mecânica, 2014.
Referências Bibliográficas: p. 81-83.
1. Fratura Dúctil. 2. Modelo GTN. 3. Elementos
Finitos. 4. Tubulações. I. Duda, Fernando Pereira. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,
Programa de Engenharia Mecânica. III. Título.
iv
À minha amada e sempre companheira
Thaís.
v
"A diferença entre um homem de sucesso e outro orientado para o fracasso é que um
está aprendendo a errar, enquanto o outro está procurando aprender com os seus
próprios erros."
Confúcio
vi
Agradecimentos
Primeiramente agradeço a Deus por ter iluminado meu caminho e ter me dado
força para vencer todos os obstáculos.
A minha esposa Thaís Ferreira Marks Brasil Duque que sempre acreditou em
mim, me apoiou, vivenciou muitos problemas ao meu lado, resolveu muitos outros, se
mostrando um exemplo de companheirismo, dedicação, carinho e amor.
Ao meu orientador Fernando Pereira Duda pelo suporte, confiança,
disponibilidade de tempo e material, pelo seu conhecimento, pelas suas correções e
principalmente pelo grande incentivo.
Ao meu grande amigo e irmão Luiz Antonio Dorneles Soares que me levantou
nos momentos mais difíceis, me deu grandes conselhos e me mostrou o caminho da
sabedoria e da fé.
Aos meus amigos, em especial Francis Gabriel Wasserman e Francisco Eduardo
Costinhas pelo apoio, incentivo, conselhos, palavras de estimulo e contribuição para o
meu crescimento.
Gostaria de agradecer também a COPPE/UFRJ, onde encontrei um ambiente
acolhedor e ótima infraestrutura.
E finalmente a todos os professores que me passaram um pouco dos seus
conhecimentos e experiências de vida, além de serem responsáveis pela UFRJ ser uma
das melhores Universidades do Brasil.
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Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do título de Mestre em Ciências (M.Sc.)
UM MODELO DE DANO NÃO-LOCAL PARA FRATURA DÚCTIL EM BARRAS
Diego Duque
Outubro/2014
Orientador: Fernando Pereira Duda
Programa: Engenharia Mecânica
Este trabalho trata da formulação, análise e simulação computacional de um
modelo para a fratura dúctil. Para evitar complicações que interfiram na análise das
características essenciais do modelo trabalhou-se dentro de um cenário unidimensional.
Uma visão geral da teoria envolvida neste tipo de fratura é apresentada, assim como
alguns modelos mais usados.
O modelo adotado neste trabalho foi o de Gurson (1977) modificado por Tvergaard
e Needleman (1984) conhecido como modelo GTN. O modelo GTN original
(abordagem local) foi modificado pela introdução de um termo não-local, a fim de
avaliar a dependência do tamanho da malha escolhida. O efeito não-local foi
considerado através da introdução dos gradientes da variável de dano e do multiplicador
plástico como argumentos nas equações constitutivas.
O modelo de dano proposto foi analisado através de um modelo numérico baseado
no método dos elementos finitos para a discretização espacial e no esquema de Euler
implícito para a discretização temporal. Para demonstrar como essa abordagem pode ser
implementada, foi utilizado um problema simples de uma barra fixa em uma
extremidade e tracionada na outra.
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Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
A NON-LOCAL DAMAGE MODEL FOR DUCTILE FRACTURE IN BARS
Diego Duque
October/2014
Advisor: Fernando Pereira Duda
Department: Mechanical Engineering
This work deals with the formulation, analysis and computer simulation of a model
for ductile fracture. To avoid complications that can interfere with the analysis of the
essential characteristics of the model, we worked within a one-dimensional setting. An
overview of the theory involved in this type of fracture is presented, as well as some
commonly used models.
The model adopted in this work was the Gurson model (1977) modified by
Tvergaard and Needleman (1984) known as GTN model. The original GTN model
(local treatment) has been modified by the introduction of a non-local term, in order to
evaluate the dependence of the selected mesh size. The non-local effect was considered
by the introduction of the gradients of the damage variable and the plastic multiplier as
arguments in the constitutive equations.
The damage model proposed was analyzed using a numerical model based on
finite element method for spatial discretization and the implicit Euler scheme for the
time discretization. To demonstrate how this approach can be implemented, a simple
problem of a bar fixed at one end and loaded in tension at the other end was used.
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SUMÁRIO
CAPÍTULO I ............................................................................................... 1
1.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................. 1
1.2. OBJETIVO ......................................................................................................... 2
CAPÍTULO II .............................................................................................. 3
2.1. MECÂNICA DA FRATURA ............................................................................ 3
2.1.1. O Problema da Fratura Dúctil ........................................................................... 3
2.1.2. Os processos físicos da fratura dúctil ............................................................... 4
2.1.3. Surgimento dos Vazios ..................................................................................... 6
2.1.4. Crescimento de Vazios e Coalescência ............................................................ 8
2.1.5. Parâmetros da Mecânica da Fratura................................................................ 10
2.1.6. A Tensão Equivalente de von Mises (eσ ) ...................................................... 10
2.1.7. Tensão Hidrostática/Tensão de pressão .......................................................... 12
2.1.8. Tensão Desviadora ......................................................................................... 12
2.1.9. Tensão Triaxial ............................................................................................... 13
2.1.10. Deformação Plástica Equivalente ............................................................... 14
2.2. MODELOS DE FRATURA DÚCTIL ............................................................ 14
2.2.1. Modelo de Lemaitre........................................................................................ 15
2.2.2. Modelo de Rousselier ..................................................................................... 16
2.2.3. O Modelo de McClintock e Rice-Tracey ....................................................... 17
2.2.4. O Modelo de Gurson-Tvergaard-Needleman (GTN) ..................................... 18
2.2.5. Problemas da Abordagem Local..................................................................... 21
2.2.6. Modelos de abordagem não-local ................................................................... 23
CAPÍTULO III .......................................................................................... 26
3.1. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA 1-D ........................................................ 26
3.1.1. Cinemática ...................................................................................................... 26
3.1.2. Modelo Constitutivo ....................................................................................... 27
3.1.3. Equação do momento local (Equilíbrio) ......................................................... 37
3.1.4. Princípio das Potências Virtuais para a Equação do Equilíbrio ..................... 38
x
3.1.5. Princípio das Potências Virtuais para a Equação da Evolução de Vazios ...... 39
CAPÍTULO IV .......................................................................................... 42
4.1. MODELO COMPUTACIONAL .................................................................... 42
4.1.1. Discretização Espacial. Aproximação por Elementos Finitos ........................ 42
4.1.1.1. Equação do Equilíbrio ............................................................................ 42
4.1.1.2. Equação da Fração Volumétrica de Vazios ............................................ 44
4.1.2. Discretização Temporal. Método de Euler Implícito ..................................... 48
CAPÍTULO V ............................................................................................ 50
5.1. SIMULAÇÕES NUMÉRICAS ........................................................................ 50
5.1.1. Exemplos ilustrativos de resultados gráficos locais e não locais. .................. 52
5.1.1.1. Análise Local .......................................................................................... 52
5.1.1.2. Análise Não Local .................................................................................. 54
5.1.2. Análise do primeiro problema: barra com junta soldada no meio .................. 55
5.1.2.1. Análise Local (l = 0) ............................................................................... 57
5.1.2.2. Análise Não Local (l = 0.0025L) ............................................................ 62
5.1.3. Análise do segundo problema: Barra com entalhe no meio ........................... 67
5.1.3.1. Análise Local (l = 0) ............................................................................... 68
5.1.3.2. Análise Não Local (l = 0.0025L) ............................................................ 73
CAPÍTULO VI .......................................................................................... 78
CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES .................................................................. 78
CAPÍTULO VII ......................................................................................... 81
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 81
ANEXOS .................................................................................................... 84
A. CÁLCULO DAS EQUAÇÕES DO CAPÍTULO III .............. ........................... 84
B. CÁLCULO DAS EQUAÇÕES DO CAPÍTULO IV ......................................... 88
C. ALGORITMO DO PROBLEMA ....................................................................... 90
D. CÓDIGO DESENVOLVIDO NO MATLAB .................................................... 93
xi
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 - Os três mecanismos mais comuns de fratura nos metais e suas ligas. Esquerda: representa a fratura dúctil. Central: fratura por clivagem. Direita: fratura intergranular (ANDERSON, 1995). 3
Figura 2.2 - Esquema que ilustra a mudança na forma do corpo de prova do ensaio de tração após a remoção da carga aplicada durante o curso do ensaio. (a) forma da amostra inicial. (b) Forma da amostra após a remoção da carga dentro do regime elástico. (c) Forma da amostra após a remoção da carga dentro do regime plástico uniforme. (d) Forma da amostra após a remoção da carga dentro do regime plástico não-uniforme. (e) Forma da amostra após a fratura (TAWANCY et al., 2004). 5
Figura 2.3 - Estágios da fratura dúctil (CALLISTER, 2007). 7
Figura 2.4 - Nucleação, crescimento e coalescência de vazios em metais dúcteis (ANDERSON, 1995). 9
Figura 2.5 - Imagens microscópicas da zona de fratura de um material dúctil. Na imagem (a) a superfície áspera do centro da fratura pode ser visto rodeado pela superfície lisa da parte angular da fratura. Na figura (b) um zoom sobre a superfície áspera da área do centro da fratura (ANDERSON, 1995). 9
Figura 2.6 - A figura mostra a superfície de escoamento de von Mises no espaço definido pelas três tensões principais. O critério define uma superfície cilíndrica em torno do eixo hidrostático. A superfície de escoamento de Tresca (forma hexagonal) também é mostrada, em comparação com o critério de von Mises (http://en.wikipedia.org/wiki/Von_Mises_yield_criterion). 11
Figura 2.7 - Simulação do crescimento de uma trinca em uma MMC (matriz de alumínio e partículas duras), com o modelo local de danos de Gurson com três malhas de elementos finitos diferentes (A, B, C) (REUSCH e SVENDSEN, 2004). 22
Figura 2.8 - Representação esquemáticas do fluxo de vazios (RAMASWAMYA e ARAVAS, 1998). 24
Figura 3.1 - Representação esquemática do problema. 26
Figura 3.2 - Modelo uniaxial do Domínio Elástico (SOUZA NETO, 2008). 29
Figura 3.3 - Plasticidade com encruamento (b) versus plasticidade perfeita (a) (SIMO e HUGHES, 2000). 30
Figura 3.4 - Resposta de um modelo linear isotrópico de encruamento em um ciclo fechado. (SIMO e HUGHES, 2000). 31
Figura 4.1 – Aproximação do valor da fração de vazios no elemento. 45
Figura 5.1 - Problema comparativo (ÖCHSNER e MERKEL, 2013). 50
xii
Figura 5.2 - Resposta do modelo. 51
Figura 5.3 – Resultados da dependência da malha na densidade de danos para l = 0 (ABU AL-RUB et al., 2010). 52
Figura 5.4 - Variação de f para l =0 (RAMASWAMYA e ARAVAS, 1998). 53
Figura 5.5 – Resultados da dependência da malha na densidade de danos para l = 1 µm (ABU AL-RUB et al., 2010) 54
Figura 5.6 - Evolução de f para a dependência do gradiente de Gurson com l = 0.2L (RAMASWAMYA e ARAVAS, 1998). 55
Figura 5.7 - Barra com junta soldada no meio. 55
Figura 5.8 - Barra com entalhe no meio. 67
1
CAPÍTULO I
1.1. INTRODUÇÃO
No campo da engenharia, o entendimento dos mecanismos de dano nos sólidos é
crucial para a operação segura de estruturas e equipamentos. A fim de prever com mais
exatidão esses mecanismos durante a fase de projeto, modelos apropriados para a
simulação do dano são requeridos. Esses modelos serão responsáveis pelo fornecimento
de constantes dos materiais utilizados em equipamentos e estruturas. Através destas
constantes será possível uma melhor previsão de quanto tempo o material irá resistir em
serviço e quando a fratura pode ocorrer.
A Mecânica do Dano Contínuo (MDC) consiste num ramo da Mecânica dos
Meios Contínuos e, tal como o próprio nome indica, tem como objetivo desenvolver
modelos que contabilizem a degradação interna de um material. É com o recurso de
uma variável (variável de dano) que a degradação interna de um material é
contabilizada. Simultaneamente, pode-se utilizar esta variável como um indicador de
ruptura. Dois dos modelos de dano mais utilizados, tanto pela indústria como pela
comunidade científica, são os modelos originais de Gurson e Lemaitre. O primeiro
modelo foi desenvolvido com base na micromecânica e emprega como variável de dano
a porosidade ou fração volumétrica de vazios no material (GURSON, 1977), enquanto
que o segundo modelo foi desenvolvido com base na teoria da termodinâmica dos
processos irreversíveis com variáveis internas (LEMAITRE e CHABOCHE, 1990).
O modelo de Gurson, baseado em microvazios, foi desenvolvido a partir de uma
superfície de escoamento para materiais porosos. A variável de dano empregada é a
fração volumétrica de vazios, f, definida como a relação entre o volume de vazios e o
volume aparente. O comportamento dos vazios é descrito através da consideração dos
três mecanismos básicos de variação do volume de vazios: nucleação, crescimento e
coalescência desses vazios (ou microcavidades).
A fim de explicar os efeitos da nucleação e coalescência de vazios e, assim,
obter uma melhor concordância entre o modelo, os resultados experimentais e as
simulações numéricas para a fratura dúctil e propagação de trincas, o modelo de Gurson
original e, em especial, sua função de escoamento, foi modificado e estendido como
uma forma de modelo semi-fenomenológico por Chu e Needleman (1980), Needleman
2
e Tvergaard (1984) e Koplic e Needleman (1988). Nos anos seguintes, essa abordagem
modificada foi mais ampliada com base na hipoelasticidade de forma incremental
(SIMO e HUGHES, 2000) para explicar o encruamento isotrópico e cinemático.
Assim como em outros tipos de modelagem utilizando o método dos elementos
finitos, uma questão em aberto no âmbito da modelagem de danos, com base no modelo
Gurson, seria o problema da localização e da dependência da malha (número de
elementos) escolhida. Para obter mais conhecimentos sobre estas questões, neste
trabalho, a modelagem local de Gurson será comparada a uma extensão não-local do
mesmo no contexto de uma simples simulação numérica. Sendo assim, a solução de um
problema simples utilizando o modelo de Gurson-Tvergaard-Needleman (GTN)
levando em conta o encruamento isotrópico será comparada com a solução do mesmo
problema com a adição de termos não locais.
Muitos modelos teóricos e abordagens numéricas foram apresentados para
estudar fenômenos de fratura dúctil em ambas as escalas. No entanto, devido à
complexidade desses fenômenos, muitas questões teóricas e numéricas ainda continuam
por ser resolvidas. Existem muitos artigos científicos que abordam este assunto, porém
a maioria tem como foco a determinação e a calibração dos parâmetros de modelos
baseados em dados experimentais (XUE, 2007; BESSON, 2010; RUGGIERI, 2011).
O modelo matemático unidimensional para esse trabalho será desenvolvido
utilizando o método dos elementos finitos no software comercial MATLAB®.
1.2. OBJETIVO
O objetivo deste trabalho é estudar e desenvolver um modelo matemático
simples para analisar a fratura dúctil, a fim de avaliar o comportamento da fratura de
acordo com os parâmetros escolhidos, utilizando um modelo unidimensional de Gurson-
Tveergaard-Needleman, padrão e modificado, no software MATLAB®. Além disso,
também será realizado um estudo para caracterizar os fenômenos responsáveis pela
fratura dúctil e identificar melhor a influência de cada parâmetro do modelo.
O trabalho é limitado à fratura de materiais dúcteis isotrópicos homogêneos. As
teorias a esse respeito serão estudadas e apresentadas como uma introdução para a
ciência da fratura dos materiais, e também será abordado como essas teorias são usadas
com auxílio do método dos elementos finitos.
3
CAPÍTULO II
2.1. MECÂNICA DA FRATURA
Existem três mecanismos mais comuns que podem impor falha nos metais e
ligas, são eles: a fratura por clivagem (frágil), fratura intergranular e fratura dúctil
(ANDERSON, 1995). Este trabalho centra-se no mecanismo da fratura dúctil. Uma
descrição geral dos três mecanismos mais comuns pode ser vista na Figura 2.1.
Figura 2.1 - Os três mecanismos mais comuns de fratura nos metais e suas ligas. Esquerda:
representa a fratura dúctil. Central: fratura por c livagem. Direita: fratura intergranular
(ANDERSON, 1995).
2.1.1. O Problema da Fratura Dúctil
O problema da fratura dúctil é um tema que vem sendo muito estudado nos
últimos 20 anos e temos visto o surgimento de muitos trabalhos sobre a modelagem
desta fratura. Vários fatores explicam esse interesse, como por exemplo, a procura
crescente em proporcionar ferramentas que permitam aumentar a eficácia das estruturas
(como reduzir o peso, aumentar a temperatura de serviço ou de carga, etc.), mantendo
ou aumentando a segurança. Podemos alcançar essa meta com o uso de melhores
materiais, mas também melhorando as ferramentas de projeto. Melhores ferramentas
consistem em melhores equações constitutivas para o material, melhor descrição da
base física dos processos de fratura e melhores ferramentas numéricas, que permitem
utilizar as equações melhoradas em cálculos estruturais, que se tornam cada vez mais
realistas.
Simulações numéricas preditivas de fratura dúctil podem ser de grande interesse
em situações industriais, para os quais abordagens experimentais em larga escala são
demasiadamente caras ou mesmo impraticáveis. Este é o caso de ruptura dúctil de
gasodutos de várias centenas de metros, da propagação de trincas em grandes navios
4
nucleares ou de fratura dúctil na fuselagem de uma aeronave. Para essas aplicações, as
simulações devem prever os caminhos da trinca, estabilidade, estados de tensões, etc.
A falha dúctil é geralmente precedida por uma extensa deformação plástica, e
pode ocorrer devido às instabilidades associadas com as dimensões e geometria do
corpo (espécime) ou devido à nucleação, crescimento e coalescência de vazios
microscópicos que se iniciam e propagam-se a partir de inclusões, partículas de segunda
fase, ou contornos de grão. Uma vez que materiais dúcteis são geralmente utilizados em
virtude da sua resistência, é essencial se compreender como a falha se inicia e evolui, de
modo que a tenacidade relativamente elevada possa ser usada no projeto (YIP, 2005).
Várias abordagens têm sido propostas para descrever o fenômeno da fratura.
Tais abordagens incluem os conceitos de: fator de intensidade de tensão (K), a taxa de
liberação de energia (G), a integral J, os modelos de nucleação-crescimento-
coalescência de vazios e os modelos da mecânica do dano contínuo.
A abordagem feita por Rice e Tracey (1969) da integral J, é amplamente
utilizada para aplicações industriais, mas apresenta várias limitações, pois só pode lidar
com trincas preexistentes e só pode ser aplicada a um modelo de iniciação e propagação
de uma trinca em um entalhe desde que seja respeitada à restrição do tamanho da zona
plástica. A integral J também é uma propriedade intrínseca do material, uma vez que
depende fortemente da geometria da amostra.
Abordagens que utilizam a medição do deslocamento da abertura da ponta da
trinca (CTOD) ou o ângulo de abertura da ponta da trinca (CTOA) sofrem das mesmas
limitações.
As limitações das abordagens mencionadas (chamadas de "Abordagem Global")
levaram ao desenvolvimento de descrições baseadas no fenômeno físico da fratura que
pertencem à chamada "Abordagem Local da Fratura". A abordagem é referida como
"local" quando uma descrição detalhada e baseada na física do fenômeno de dano é
usada para representar a zona de processo da ruptura. Portanto, o dano e a ruptura
podem ser representados em uma superfície (modelo de zona coesiva) ou no volume
(mecânica do dano contínuo). Ambos os métodos podem ser aplicados utilizando o
método dos elementos finitos (FE) (BESSON, 2010).
2.1.2. Os processos físicos da fratura dúctil
Quando o material chega no ponto de resistência máxima na curva tensão-
deformação sob tensão, um aumento na carga fará com que a deformação (plástica) real
5
aumente drasticamente e de maneira localizada. Este fenômeno pode ser explicado pelo
simples fato que o encruamento por deformação plástica não aumenta a resistência do
material de maneira suficiente a superar a perda de capacidade do material de suportar a
carga, em virtude da diminuição da área de seção transversal. Após o ponto de
resistência máxima para o material, a relação de alteração da tensão real para a alteração
da deformação real é:
realreal
real σδεδσ
< (2.1)
Quando o material se deforma plasticamente, a deformação real no material é
aproximadamente igual ao longo do corpo de prova. Em algum lugar no material haverá
uma zona fraca (entalhe, junta soldada, etc.), que não será capaz de resistir à carga
aplicada. Nesta zona, é alcançada uma deformação local limite que dá origem ao
processo de micromecanismo de fratura dúctil: nucleação, crescimento e coalescimento
de microcavidades. Macroscopicamente, a amostra dá início ao processo de
empescoçamento, e as deformações da amostra são concentradas nessa região. Uma
descrição esquemática deste comportamento é mostrada na Figura 2.2. Esta zona de
fratura do material é definida como zona de instabilidade ou zona de empescoçamento
porque o efeito faz com que se forme um “pescoço” local na estrutura do material.
Figura 2.2 - Esquema que ilustra a mudança na forma do corpo de prova do ensaio de tração após a
remoção da carga aplicada durante o curso do ensaio. (a) forma da amostra inicial. (b) Forma da amostra após a remoção da carga dentro do regime elástico. (c) Forma da amostra após a remoção
da carga dentro do regime plástico uniforme. (d) Forma da amostra após a remoção da carga dentro do regime plástico não-uniforme. (e) Forma da amostra após a fratura (TAWANCY et
al., 2004).
O "pescoço" aparece porque apenas o material dentro da zona instável reduz sua
área de seção transversal. O material fora da zona instável está experimentando os
mesmos valores de tensão, mas uma vez que nunca passou do comportamento plástico
6
para fratura, irá apresentar uma recuperação elástica quando a tensão for reduzida. Toda
a deformação ocorre no material dentro da zona instável, na qual as tensões alcançam o
limite de resistência (UTS).
2.1.3. Surgimento dos Vazios
Quando um material dúctil é carregado e tensionado até a sua carga máxima, o
aumento de tensão pelo encruamento do material se equilibra com a perda da
capacidade de suportar carga devido à redução da área de seção transversal. Além disso,
o esforço irá resultar em instabilidades de deformações locais no material
(empescoçamento).
O processo de fratura dúctil normalmente ocorre em vários estágios. A Figura
2.3 ilustra um corpo de prova de um ensaio de tração. Primeiro, no início do
empescoçamento, pequenas cavidades, ou microvazios, se formam no interior da seção
reta, como indicado em (b). Depois, à medida que a deformação continua, estes
microvazios crescem e, coalescem, quando alcançam um valor de distância crítica entre
as cavidades, para formar uma trinca elíptica, que tem seu eixo longo perpendicular à
direção da tensão. A trinca continua a crescer numa direção paralela ao eixo maior por
um processo de coalescência de microvazios, (c). Finalmente, a fratura resulta pela
rápida propagação de uma trinca ao redor do perímetro externo do pescoço, (d), pela
deformação cisalhante num ângulo de cerca de 45° com o eixo de tração - este é o
ângulo no qual a tensão é máxima.
A degradação das propriedades mecânicas do material ocorre devido à
microvazios que existam ou venham a se formar na matriz do material. Os mecanismos
básicos que originam variação na quantidade de vazios à medida que o material é
deformado plasticamente são:
• Nucleação: normalmente se encontra nos metais uma série de defeitos
(inclusões, juntas de grãos) que, quando submetidos à tensão, podem originar
um vazio. A chamada nucleação ou formação é um fenômeno irreversível,
ocorrendo uma única vez no mesmo local;
• Crescimento: os microvazios, pré-existentes ou nucleados, variam seu
tamanho conforme o estado de deformação plástica e pressão hidrostática no
material. O tamanho do vazio aumenta exponencialmente com a pressão
hidrostática de tração e diminui em caso de compressão (pressão hidrostática
negativa), caracterizando um fenômeno reversível;
7
• Coalescência: quando o volume de vazios atinge um nível relativamente alto,
os microvazios começam a interagir entre si. Quando o afastamento entre os
microvazios é da ordem de seu raio médio, tende a ocorrer união entre vazios
adjacentes, dando origem a vazios maiores.
Figura 2.3 - Estágios da fratura dúctil (CALLISTER, 2007).
Alguns materiais têm fortes ligações entre as partículas e a matriz do material, e
as propriedades do material com relação à fratura dúctil são controladas pelo
desenvolvimento de vazios em torno das partículas. Os laços fortes são geralmente
causados por partículas do material que são relativamente uniformes no tamanho e de
menor raio. Quando os primeiros vazios começam a aparecer, passam a atuar como
"concentradores de tensão", e por isso, a tensão no interior do material é tão grande que
o crescimento e coalescência dos vazios acontecem rapidamente. Este comportamento
faz o material apresentar uma fratura com pouca deformação, no empescoçamento, do
ponto da resistência máxima até a fratura.
Os vazios tendem a aparecer ao redor das inclusões e chamadas partículas de
segunda fase que podem estar no material. O que acontece é que a tensão entre a matriz
do material e a superfície da partícula aumenta até que um vazio seja criado entre a
partícula e a matriz do material. Pode também ocorrer que a tensão seja tão grande que a
própria partícula frature, ou seja, ocorre uma incompatibilidade de deformação entre a
partícula e a matriz.
8
2.1.4. Crescimento de Vazios e Coalescência
Após a criação de vazios no material, estes vazios começam a crescer e
coalescer quando o carregamento no material aumenta. Antes dos vazios serem criados,
a tensão no material é suportada pela área da seção transversal do corpo de prova.
Conforme os vazios vão sendo criados, a seção transversal efetiva que pode suportar o
carregamento é reduzida, uma vez que apenas o material entre os vazios está disponível
para suportar o esforço. A deformação plástica resultante do aumento do alongamento é
concentrada nas paredes entre os espaços vazios. Este é um dos efeitos que causam o
fenômeno de empescoçamento no material. Na Figura 2.4 são apresentadas uma
descrição esquemática do crescimento de vazios e coalescência.
O crescimento de vazios é governado pelo aumento da deformação plástica e da
tensão hidrostática que atuam sobre o material. Em um corpo exposto a deformação, o
volume no centro da área de seção transversal que está suportando o carregamento irá
experimentar uma quantidade maior da tensão hidrostática do que o volume mais perto
da borda. Esta tensão hidrostática maior resulta em um estado triaxial de tensões mais
elevadas no centro da área de seção transversal. Isto irá aumentar a velocidade com que
os vazios ao redor das partículas maiores cresce, e fazer com que o centro da área de
seção transversal solicitada falha antes das bordas (ANDERSON, 1995). A forma da
fratura central causada pelo crescimento de vazios em torno das partículas de maior
dimensão é frequentemente no formato circular, dependendo do modo de carregamento
no sólido (em uma barra plana a forma circular é comprometida pela forma da área de
seção transversal do corpo de prova).
Fora do centro da zona de fratura, a tensão triaxial tem um valor mais baixo
porque a tensão hidrostática é menor. Isto causa o crescimento de vazios menores em
torno das partículas menores, resultando em uma quantidade máxima inferior de
deformação do ponto de resistência máxima até à fratura. Quando de repente toda a
carga é colocada sobre esta área por causa da falha da região central, o crescimento de
vazios vai acontecer de forma rápida e falha irá ocorrer rapidamente.
9
(a) Inclusões na matriz do material dúctil (b) Nucleação de Vazios
(c) Crescimento de vazios (d) Deformação localizada entre os vazios
(e) Empescoçamento entre os vazios (f) Coalescência dos vazios e fratura
Figura 2.4 - Nucleação, crescimento e coalescência de vazios em metais dúcteis (ANDERSON,
1995).
Figura 2.5 - Imagens microscópicas da zona de fratura de um material dúctil. Na imagem (a) a
superfície áspera do centro da fratura pode ser visto rodeado pela superfície lisa da parte angular
da fratura. Na figura (b) um zoom sobre a superfície áspera da área do centro da fratura
(ANDERSON, 1995).
10
2.1.5. Parâmetros da Mecânica da Fratura
Neste tópico, diferentes parâmetros que têm influência sobre o comportamento
de materiais dúcteis, particularmente quando se trata de fratura, são apresentados. Em
uma estrutura real, o aparecimento de vazios pode ser previsto de ocorrer em torno dos
pontos fracos do material, como foi explicado anteriormente. Em uma análise numérica
de elementos finitos o material é considerado homogêneo e não há nenhuma parte fraca
no material onde a fratura poderia começar a se desenvolver. Para solucionar este
problema, é comum introduzir algum critério de iniciação, com base em valores de
parâmetros mensuráveis como tensão, deformação ou energia. Para ter certeza de que o
material se comporta igualmente em todas as direções, os parâmetros que são
independentes do sistema de coordenadas são calculados. Isto significa que para um
dado estado de, por exemplo, tensão, haverá um valor escalar equivalente de tensão que
é independente do sistema de coordenadas e os componentes de tensão a serem
calculados a partir disso serão definidos. Isto garante que o sistema de coordenadas
utilizado na análise não influencia o resultado em relação à fratura.
Os tópicos a seguir abordam uma explicação sobre os parâmetros mais usados
relacionados ao início e desenvolvimento de fraturas.
2.1.6. A Tensão Equivalente de von Mises (eσ )
A tensão equivalente de von Mises vem do critério de von Mises que é utilizado
quando se simula o escoamento de materiais dúcteis isotrópicos, tais como os metais,
como explicado anteriormente. Para comportamento dúctil anisotrópico o critério de
superfície de escoamento de Hill pode ser usado. O critério de von Mises sugere que o
escoamento do material começa quando a tensão equivalente eσ que é igual a um valor
crítico definido como tensão de escoamento uniaxial Yσ (ANDERSON, 1995). A
tensão de von Mises para as tensões principais é definida como:
( ) ( ) ( )[ ] ( )3212
12
322
312
21 ,2
1 σσσσσσσσσσ >>−+−+−=e (2.2)
A tensão de von Mises ainda pode ser definida a partir das componentes gerais
de tensão:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] 21
222222 62
1zxyzxyxxzzzzyyyyxxe τττσσσσσσσ +++−+−+−= (2.3)
11
Onde: 1σ , 2σ e 3σ são as três tensões principais, xxσ , yyσ e zzσ são as
componentes da tensão e xyτ , yzτ e xzτ são as componentes da tensão de cisalhamento.
eσ é o valor escalar de tensão e representa a tensão efetiva que ocorre no corpo. A
Equação 2.2, define uma superfície cilíndrica no espaço definido pelas três tensões
principais, em torno do eixo hidrostático definido como 321 σσσ == , como é
apresentado na Figura 2.6.
Figura 2.6 - A figura mostra a superfície de escoamento de von Mises no espaço definido pelas três
tensões principais. O critério define uma superfície cilíndrica em torno do eixo hidrostático. A
superfície de escoamento de Tresca (forma hexagonal) também é mostrada, em comparação com o
critério de von Mises (http://en.wikipedia.org/wiki/Von_Mises_yield_criterion).
Assume-se que um material muda de comportamento puramente elástico para o
comportamento elasto-plástico, quando a tensão equivalente excede um limite definido
como a tensão de escoamento, Yσ .
A tensão de von Mises independe do sistema de coordenadas em que é
calculada, e exibirá a mesma independência numérica do sistema de coordenadas, no
qual os componentes de tensão são calculados, desde que as condições de carga sejam
as mesmas. Além disso, a tensão de von Mises é sempre positiva (COOK et al., 2002).
Esta característica a torna mais útil como um critério geral de escoamento.
A vantagem da tensão de von Mises é que ela é uma medida escalar para todo o
estado de tensão do ponto em que é calculada (COOK et al., 2002). Os componentes da
tensão podem dar a mesma informação que a tensão de von Mises para algumas partes
do modelo, mas dependem da direção em que são calculadas, e só podem medir partes
do verdadeiro estado de tensão de um determinado ponto.
12
2.1.7. Tensão Hidrostática/Tensão de pressão
A tensão hidrostática, mσ , também é conhecida como a tensão de pressão. É
uma média das três tensões principais em um corpo, e muitas vezes é usada como um
parâmetro para o estado de tensão do material. A pressão hidrostática é definida como a
tensão que causa as alterações volumétricas de um volume de sólido, e não altera a
forma do volume (apenas redimensiona). A forma é influenciada pelo estado de tensão
desviadora, e o estado de tensão total é a soma do estado hidrostático e o estado
desviador (COOK et al., 2002). A tensão hidrostática é definida como:
( )3213
1 σσσσ ++=−= pm (2.4)
Onde: p é a pressão hidrostática equivalente, e está relacionada com a tensão
hidrostática mσ , como visto acima. O sinal negativo na frente de p vem da definição
de compressão que é normalmente designada como negativa e a tração como positiva.
A pressão hidrostática é definida pelas três tensões principais sozinhas, não
contém qualquer tipo de deformação por cisalhamento, uma vez que, as tensões
principais são definidas pelos planos principais eliminando as tensões de cisalhamento.
Na Equação 2.5 pode ser visto que a tensão hidrostática é igual a:
σσ −=−= Spm (2.5)
No espaço definido pelas três principais tensões a tensão hidrostática é um vetor
que se encontra na superfície de von Mises, em paralelo com o eixo hidrostático
( 321 σσσ == ), a partir do plano desviador (plano π), como foi visto na Figura 2.7.
A tensão hidrostática tem uma influência grande no comportamento do material
quando os vazios estão se desenvolvendo e crescendo nos materiais expostos a fatura
dúctil, já que, a tensão triaxial, discutida a seguir, depende da tensão hidrostática e da
tensão equivalente de von Mises. Em uma zona localizada de empescoçamento do
corpo, a tensão equivalente pode ter o mesmo valor no corpo todo, mas a região central
do volume está sujeita a uma pressão hidrostática maior do que nas extremidades do
volume e, portanto, tem um valor mais elevado de tensão triaxial.
2.1.8. Tensão Desviadora
Enquanto a tensão hidrostática altera o volume de um sólido, os componentes da
tensão desviadora são responsáveis pela alteração da forma e, isto é, a alteração dos
13
ângulos entre os lados de um volume sólido predefinido. Somado com a pressão
hidrostática a tensão desviadora define o estado de tensão no material como:
44 344 2144 344 21444 3444 21caHidrostátiTensão
m
m
m
sDesviadoraTensõesdeTensor
zzzyzx
zyyyyx
xzxyxx
VerdadeiraTensão
zzzyzx
zyyyyx
xzxyxx
SSS
SSS
SSS
pS
+
=
=+=σ
σσ
σσσσσσσσσ
σ00
00
00
(2.6)
Onde: ijσ é a tensão verdadeira ou real do material.
Como pode ser visto na Equação 2.6, a tensão de cisalhamento está relacionada
apenas com as componentes da tensão desviadora, já que a tensão de cisalhamento puro
não muda o volume de um sólido, somente altera a forma do mesmo.
No espaço das tensões principais, a tensão desviadora é um vetor que começa na
origem permanecendo no plano desviador (plano π), como foi apresentado na Figura
2.7.
2.1.9. Tensão Triaxial
A tensão triaxial é definida como:
( )
ee
m
σ
σσσ
σση
3213
1 ++== (2.7)
Ela é utilizada como um parâmetro para determinar o estado de tensão em um
corpo com base na pressão hidrostática e a tensão equivalente de von Mises. Nos
materiais que são submetidos à fratura dúctil, a tensão triaxial é um parâmetro
importante. A deformação equivalente na qual um material começa a falhar (iniciação
do dano) é altamente dependente do estado de tensão do material, portanto, da tensão
triaxial.
Em uma zona de fratura de um material, a tensão equivalente pode ter
aproximadamente o mesmo valor no todo. Experimentos têm mostrado que a fratura
dúctil devido ao crescimento e à coalescência de vazios é iniciada no centro do volume
(BESSON, 2010). Quando um material é deformado, um volume no interior da zona de
empescoçamento é esticado sob tensão na direção da tensão principal 1σ e comprimido
nas duas direções transversais porque a espessura e a largura da amostra é reduzida pelo
fenômeno de empescoçamento. Isso cria um estado de alta tensão hidrostática levando a
um estado mais elevado de tensão triaxial no volume. Um volume que está localizado
mais próximo da extremidade da amostra não irá ter a mesma quantidade de tensão
14
hidrostática porque a deformação deste elemento está mais para uma deformação de
alteração de forma do que uma deformação de mudança de volume.
2.1.10. Deformação Plástica Equivalente
A deformação plástica equivalente é frequentemente utilizada em conjunto com
a tensão equivalente de von Mises para determinar o estado do material. Assim como a
tensão equivalente de von Mises, a deformação plástica equivalente é um valor escalar
que representa o estado de deformação plástica do material. A deformação equivalente é
calculada da mesma forma que a tensão equivalente.
2.2. MODELOS DE FRATURA DÚCTIL
Serão apresentados alguns modelos usados ao longo dos anos para a modelagem
da fratura dúctil.
Existem modelos com origem na descrição fenomenológica da fratura, feitas a
partir do regime “global”. Dentre os modelos constitutivos de origem fenomenológica,
os trabalhos mais estudados são os de Lemaitre (1985, 1996), que utilizou os primeiros
desenvolvimentos de Kachanov (BESSON, 2010). Estes modelos são muitas vezes
referidos como “Mecânica do Dano Contínuo” (CDM), Lemaitre (1996). Os modelos de
origem micromecânica também contam com uma descrição contínua de danos, porém
os modelos de origem fenomenológica se baseiam essencialmente em considerações
macroscópicas. O dano é representado por um escalar (D) ou variável tensorial (D, D).
Para lidar com cargas cíclicas este modelo incorpora o encruamento cinemático
(encruamento mais usado em modelos de carga cíclica e fadiga) de uma forma muito
mais fácil do que os modelos baseados na micromecânica. Os fechamentos de danos
(vazios) na compressão, por exemplo, também podem ser contabilizados neste modelo
(como se o material recuperasse suas propriedades no ponto onde o vazio se fecha). Um
dos modelos que será mostrado abaixo é desenvolvido por Lemaitre (1996).
Outros modelos de previsão de fratura muito usados são os baseados no
mecanismo microscópico de nucleação de vazios, crescimento e de coalescência,
explicado nos tópicos anteriores deste trabalho. Uma grande parte das pesquisas feitas é
focada na evolução de vazios sujeitos a vários tipos de tensões e deformações. Nestes
modelos microscópicos o vazio é modelado por um vazio contido no material não
15
danificado (matriz), que obedece a mecânica do contínuo convencional. A resposta
global do vazio contido no material (geralmente como num elemento de volume
representativo) é então usada para modelar o comportamento macroscópico do material.
Devido a enorme variedade de cominação de possíveis tamanhos, formas, orientações e
espaçamentos dos espaços vazios e de padrões de deformação, algumas simplificações e
hipóteses têm que ser feitas para tornar o problema matemático de evolução do vazio
tratável. O trabalho pioneiro é devido a McClintock (1968) e Rice e Tracey (1969) que
analisaram um vazio como um cilindro isolado ou de forma esférica que é submetido a
uma tensão uniforme. Nestes modelos, o material é muitas vezes considerado como um
meio poroso e a fratura ocorre quando a fração volumétrica de vazio atinge um valor
crítico. Gurson (1977) introduziu a influência de microvazios para o fluxo plástico
dentro de uma estrutura constitutiva. Tvergaard (1981) e Tvergaard e Needleman (1984)
estenderam o modelo para descrever a aceleração do crescimento de vazios.
2.2.1. Modelo de Lemaitre
Baseado nos conceitos de uma variável de dano, D, e da tensão efetiva,
De −=
1
σσ , Lemaitre (1996) propôs uma teoria de dano termodinamicamente
consistente.
O modelo assume um volume representativo do material que contem defeitos
(microtrincas e microvazios). Se a interseção desse volume com um plano definido pelo
vetor normal nr
é S e a área de interseção dos vazios e trincas do volume nesse plano é
)(nSD
r, então a variável de dano é definida como
S
nSnD D )()(
rr = . Se SnSD ≤≤ )(0
r
então 1)(0 ≤≤ nDr
. D = 0 significa que o material não tem dano, enquanto D = 1
significa que o material não tem mais capacidade de suportar a carga.
Se D não depende do vetor normal nr
, logo o dano pode ser considerado
isotrópico e S
SD D= . Nesse caso a variável de dano tem o mesmo sentido da densidade
efetiva de microdefeitos.
O maior destaque do trabalho de Lemaitre (1996) é que “qualquer equação
constitutiva de deformação para um material danificado deve ser determinada da mesma
maneira que um material virgem, exceto quando a tensão usual é substituída pela tensão
efetiva”. Baseado nesse princípio ele determinou a equação constitutiva para o dano
16
dúctil. Para o caso de dano isotrópico a equação de evolução do dano tem a seguinte
forma:
ple
s
nple
e
p
ES
AD εε
σνν &&
022
0
2
)()21(3)1(3
2
2
−++= (2.8)
Onde: A e n são as propriedades do material da lei de encruamento de Ramberg-
Osgood.
Temos ainda que:
n
eple A
=σε (2.9)
E 0S e 0s são parâmetros da lei evolução do dano:
ple
s
S
yD ε&&
1
0
0 +
−= (2.10)
Essa lei se baseia na regra de normalidade do potencial de dissipação, ϕ :
yD
∂∂−= ϕ& (2.11)
Nas últimas duas equações -y é chamado de “taxa de liberação de energia por
deformação causada pelo dano" (LEMAITRE, 1985).
O modelo de Lemaitre é muito poderoso no sentido de que ele pode ser aplicado
a qualquer processo de danos, não apenas ao dano dúctil. O seu ponto fraco, no entanto,
é que a própria natureza da teoria termodinamicamente consistente é de uma teoria
contínua. Portanto, o modelo de dano dúctil de Lemaitre é essencialmente um processo
contínuo de amolecimento em que a presença de espaços vazios e fissuras são
introduzidos através da variável de dano, D.
Outros modelos baseados na Mecânica do Dano Contínuo (CDM) foram
formuladas ao longo dos anos, como por exemplo, o modelo de Rousselier.
2.2.2. Modelo de Rousselier
O modelo proposto por Rousselier (1987, 2001) baseia-se no quadro
termodinâmico proposto por Lemaitre e Chaboche (1990), e introduz uma variável de
dano como uma variável de estado. No entanto, a força "termodinâmica" associada e a
superfície de escoamento devem ser tal que a lei de evolução do dano corresponda à
17
conservação de massa. A variável de dano é, consequentemente, identificada como a
porosidade e a superfície de escoamento é expressa como:
Rf
pfD
fe −
−−+
−=Φ
11 )1(
3exp
)1( σσσ
(2.12)
Onde: D e 1σ são parâmetros do material que necessitam ser determinados.
Com base nesta definição, a equação anterior não pode ser usada para definir uma
tensão efetiva, que seria uma função homogênea de σ (BESSON, 2010), como no caso
do modelo de GTN (Seção 2.2.4). Sob cisalhamento puro ( 0=p ) e na ausência de
nucleação, o dano ainda é gerado no caso do modelo de Rousselier, porém, nestas
mesmas condições o modelo de Gurson não conduz ao crescimento do dano.
O modelo de Rousselier tem os mesmos pontos fortes e fracos que o anterior, o
modelo de Lemaitre, e que o modelo GTN, que será visto mais a frente (ROUSSELIER,
1987).
Conforme já foi dito, a microestrutura dos metais é complexa e contém materiais
multifásicos, tais como grãos, partículas de segunda fase, precipitados e vazios. Ao
contrário das suposições macroscópicas e homogêneas, os modelos de origem
micromecânica tratam os materiais como um aglomerado de células heterogêneas.
2.2.3. O Modelo de McClintock e Rice-Tracey
Os primeiros modelos micromecânicos para o desenvolvimento de fratura dúctil
por McClintock (1968) e Rice e Tracey (1969) descreveram o crescimento de vazios
cilíndricos ou esféricos isolados numa matriz perfeitamente plástica e rígida. Em ambos
os estudos destacou-se o papel combinado da triaxilidade de tensões e deformação
plástica no crescimento de vazios. No caso de um vazio esférico (que é o mais realista),
a taxa de variação do raio dos vazios, R& , pode ser expressa para uma alta triaxilidade de
tensões como (RICE e TRACEY, 1969):
eqY
p
R
R εσ
α &&
=
2
3exp (2.13)
Onde: α é um fator numérico, eqε é a deformação equivalente de von Mises e
Yσ é a tensão de escoamento da matriz. O valor inicialmente proposto para α , igual a
0,283, foi modificado por Huang para alcançar uma maior precisão (BESSON, 2010). O
modelo de crescimento de vazios também foi estendido para contabilizar os efeitos de
encruamento. O modelo de Rice e Tracey (1969) para crescimento de vazios levou à
18
uma definição de um critério de ruptura simples, afirmando que a fratura ocorre quando
o raio normalizado do vazio atingir um valor crítico:
( ) ( )cRRRR 00 = (2.14)
Em que: 0R é o raio inicial do vazio. ( )0RR é calculada integrando a Equação
2.13, enquanto ( )cRR 0 é o parâmetro dependente do material que define o valor crítico
para o crescimento de vazios, que leva à fratura. (RICE e TRACEY, 1969).
A análise anterior não leva em conta a interação entre os vazios e os efeitos de
um crescimento de vazios no comportamento do material (isto é, amolecimento). Este
problema foi resolvido pela primeira vez por Gurson (1977), em uma análise de limite
superior de uma esfera finita contendo um vazio esférico, no caso de uma matriz
perfeitamente plástica e rígida.
2.2.4. O Modelo de Gurson-Tvergaard-Needleman (GTN)
O fenômeno de crescimento de uma trinca dúctil é resultado da nucleação, do
crescimento e da coalescência de vazios, como foi apresentado anteriormente e ilustrado
pela Figura 2.4. McClintock (1968) e Rice e Tracey (1969) mostraram que a taxa de
crescimento de um vazio em um meio infinito e continuo pode ser considerada como
uma função exponencial da tensão triaxial. Gurson (1977) considerou um meio contínuo
(matriz) que contém um vazio inicial, e mostrou que o potencial de escoamento de um
material pode ser aproximado pela seguinte função:
( ) [ ] 012
3cosh2,,, 2
32
1
2
=+−
+
= fq
pqfqfp
yy
eye σσ
σσσφ (2.15)
onde:
SS:2
3=eσ é a tensão equivalente de von Mises;
σpI+=S é a parte desviadora do tensor de tensão de Cauchy (σ);
I:σ3
1−=p é a pressão hidrostática;
yσ é a tensão de escoamento da matriz do material totalmente denso (sem
defeitos).
f é a fração volumétrica de vazios, e
321 ,, qqq são parâmetros do material.
19
O primeiro termo do lado direito da equação equivale ao segundo invariante J2
do critério de von Mises, e o segundo e terceiro termos introduzem os efeitos de vazios
e de crescimento dos vazios devido a tensão. Para um material não poroso (isto é, f = 0),
o modelo de von Mises (J2) é reproduzido. f = 1 implica que o material é completamente
vazio e não tem capacidade de suportar tensão.
Na análise original de Gurson (1977), foi assumido que 1321 === qqq , porém,
Tvergaard (1981) mostrou que assumindo 5.11 =q , 0.12 =q e 213 qq = , o modelo se
encaixa melhor nos dados experimentais. Estes valores foram muito utilizados na
literatura no modelo GTN.
Após a aplicação de carga, a fração volumétrica de vazios, f, aumentaria, tanto
devido o aumento dos vazios existentes quanto, em uma menor escala, da nucleação de
novos vazios. Então a taxa de aumento da fração volumétrica de vazios seria:
nuclgr fff &&& += (2.16)
Em referência ao fluxo plástico incompressível do material da matriz no modelo
GTN, a taxa de crescimento dos vazios existentes levaria:
( ) plgr dff ε&& −= 1 (2.17)
Needleman e Rice (1978) propuseram uma equação empírica para aproximar a
taxa de crescimento de vazios causada pela nucleação de novos vazios como uma
função das taxas de tensão média e tensão de escoamento e da taxa de deformação
plástica equivalente:
plnucl Af ε&&
1= (2.18)
Chu e Needleman (1980) propuseram ainda uma função de distribuição normal
para contabilizar a contribuição da deformação controlada de nucleação de vazios para
toda a porosidade. Então, no modelo continuo, a taxa de nucleação de vazios, expressa
por 1A fica:
−−=
2
1 2
1exp
2 n
nplm
n
n
ss
fA
εεπ
(2.19)
onde: nε é a deformação média de nucleação e ns é o desvio padrão.
Um material plástico, cujo fluxo pode ser descrito pela Equação (2.15), pode ser
usado como modelo para o crescimento de uma trinca dúctil. Entretanto, o pressuposto
de que os vazios adjacentes (da vizinhança) não interagem está implícito nessa
20
abordagem. Por outro lado, a fase final de um incremento do crescimento de uma
fratura dúctil inclui estiramento da matriz entre dois espaços vazios adjacentes
(vizinhos), conduzindo à coalescência final. Esta fase final é caracterizada por uma
rápida perda da capacidade do elemento de aguentar esforços (tensão). Para levar em
conta estes efeitos, Tvergaard e Needleman (1984) introduziram uma modificação no
potencial de escoamento original de Gurson. Eles introduziram a fração volumétrica de
vazios no início da coalescência dos vazios, definida como Cf , e também Ff que
representa a fração volumétrica de vazios no final da fratura onde a capacidade do
elemento de aguentar tensão desaparece. Sugeriram assim usar *f ao invés de f na
Equação 2.15, definido como:
( )F
FC
C
F
CCF
CFC
ffse
fffse
ffse
f
ffff
fff
f
f
≥
<<
≤
−−−
+=
,
,
,
* (2.20)
Onde: ( ) 33211 qqqqf F −+=
, (lembrando que quando 2
13 qq = , significa que
11 qf F = ).
Então, a Equação (2.15) fica da seguinte forma:
( ) [ ] 012
3cosh2,,,
2*3
2*1
2
* =+−
+
= fq
pqfqfp
yy
eye σσ
σσσφ (2.21)
Após definido o critério de escoamento e o conjunto de leis que controla a
evolução da fração volumétrica de vazios, para que o modelo fique completo é
necessário definir a lei de evolução das deformações irreversíveis ou plásticas.
Segundo Gurson (1977), se a matriz de um material com microvazios segue o
princípio da normalidade, o material também segue esse mesmo princípio. Assim,
empregando-se plasticidade associada, chega-se a lei de fluxo plástico como o
apresentado a seguir:
σ∂Φ∂= λε &&Pl (2.22)
onde: λ& é denominado multiplicador plástico, e as condições de
carregamento/descarregamento do modelo elasto-plástico, definem as seguintes
restrições:
0≤Φ 0≥λ& 0=Φλ& (2.23)
21
A presença da pressão na condição de escoamento resulta em uma deformação
plástica não desviadora. O fluxo plástico é assumido como normal à superfície de
escoamento (Equação 2.22).
2.2.5. Problemas da Abordagem Local
Diversos modelos de dano, baseados tanto na abordagem fenomenológica
quanto na micromecânica, têm sido desenvolvidos recentemente, desde aqueles que
utilizam as formulações originais de Gurson (1977) quanto à de Lemaitre (1985).
Entretanto existem questões em aberto no âmbito da modelagem de danos com base
nestes modelos clássicos, que incluem localização e dependência da malha escolhida
(TVERGAARD e NEEDLEMAN, 1984), que são, aparentemente, devidos em parte à
natureza local dos modelos de material utilizados. Isto resulta em particular na
localização do processo de dano em um único ponto do material.
Estudos numéricos no contexto das simulações de Elementos Finitos do dano e o
comportamento da falha na matriz do material demonstram que a aplicação de modelos
de danos locais para este tipo de problemas e a simulação numérica de iniciação e
propagação de danos de zonas localizadas não são geralmente confiáveis e são
fortemente dependentes da malha escolhida (REUSCH, SVENDSEN e KLINGBEIL,
2003; REUSCH e SVENDSEN, 2004).
De fato, como já foram demonstrados em muitos outros textos da literatura
(REUSCH, SVENDSEN e KLINGBEIL, 2003; REUSCH e SVENDSEN, 2004), as
soluções inicialmente homogêneas para o problema de contorno com base em tais
modelos locais (por exemplo, os que podem apresentar amolecimento do material) se
tornam instáveis com o aumento da carga, o que resulta numa transição para a
deformação localizada, por exemplo, na forma das bandas de cisalhamento. Simulações
baseadas em elementos finitos deste processo, utilizando somente modelos puramente
locais, demonstraram que os resultados da simulação, tais como a resposta do
carregamento versus deslocamento ou a largura da banda de cisalhamento dependerá
fortemente das propriedades da malha de elementos finitos correspondente.
A Figura 2.7 mostra três topologias de malha diferentes (A, B, C) para uma
matriz artificial de metal composta com inclusões esféricas duras (geometria e malha de
elementos finitos mostrada na primeira linha) usando elementos de quatro nós com
deformação plana bi-linear (1ª linha) e os resultados da simulação do crescimento da
trinca utilizando o modelo local de Gurson sob carga de tração externa (segunda linha).
22
Figura 2.7 - Simulação do crescimento de uma trinca em uma MMC (matriz de alumínio e
partículas duras), com o modelo local de danos de Gurson com três malhas de elementos finitos
diferentes (A, B, C) (REUSCH e SVENDSEN, 2004).
O resultado apresentado na Figura 2.7 demonstra claramente a forte dependência
da malha nos resultados, devido à diferença de tamanho do elemento e a orientação que
causa três diferentes previsões do crescimento da trinca na matriz do metal. Uma forma
possível de superar esses problemas seria a aplicação dos chamados modelos de dano
não-locais.
Para ser mais preciso a formulação de um modelo não-local é baseada na
introdução de um parâmetro efetivo e contínuo de danos (formalmente análoga à *f
introduzido por Tvergaard e Needleman (1984) na função de escoamento de Gurson).
Este parâmetro de dano se modela como um campo contínuo microestrutural ou um
campo de fase generalizado através de uma abordagem termodinâmica recente
(REUSCH, SVENDSEN e KLINGBEIL, 2003; REUSCH e SVENDSEN, 2004). Entre
outras coisas, isto conduz a um modelo de dano dúctil em que a falha é considerada em
uma região e não em um ponto. Em comparação com a modelagem local, a extensão
não-local proposta envolve um único parâmetro de material adicional, ou seja, isto
envolve a escala de comprimento característico. Esta extensão do modelo se reduz, de
23
fato, para o modelo local baseado Gurson quando o comprimento característico é
reduzido à zero.
Então o modelo não-local clássico será obtido a partir da simples substituição da
variável de dano local pela sua versão não-local.
2.2.6. Modelos de abordagem não-local
Em grande parte, para (i) conseguir um modelo com um comportamento do
processo de dano mais realista, (ii) minimizar a dependência da malha escolhida, e / ou
(iii) contar com a influência de um ou mais escalas de tamanho do material sobre o seu
comportamento, um grande número de extensões não-locais para a modelagem do
comportamento independente de taxa do material foram propostas nos últimos anos
(RAMASWAMYA e ARAVAS, 1998). Em particular, para o caso de dano isotrópico, a
maioria desses modelos tem sido chamados de modelos de integral ou tipo gradiente.
Modificação tipo gradiente no modelo GTN
Esta seção apresenta o modelo de Gurson apresentado na Seção 2.2.4. com a
modificação do tipo de gradiente (RAMASWAMYA e ARAVAS, 1998).
Será discutido as diferentes formas da equação de evolução para porosidade que
envolvem termos adicionais que representam efeitos tais como difusão, interação e a
coalescência de vazios. A derivação destas equações de evolução será discutida a seguir.
Considerando um volume arbitrário Ω do contínuo poroso elástico-plástico. A
quantidade de "espaços vazios" em Ω pode mudar devido ao crescimento dos vazios
existentes, a nucleação de novos vazios, e o fluxo de vazios que entram em Ω cruzando
a fronteira Ω∂ . Portanto, pode-se escrever:
( ) ∫∫ ∫Ω∂Ω Ω
⋅−+= dSnjdVffdVf nuclcres ˆ&&& (2.24)
Onde: n é a normal para fora de Ω∂ , e j é o vetor de fluxo de vazios. O sinal
negativo na última equação do lado direito é necessário porque ∫Ω∂
⋅ dSnj ˆ é o fluxo de
vazios para fora. Usando o teorema de Green e levando em conta que o volume Ω é
arbitrário, conclui-se facilmente que:
jfff nuclcres ⋅∇−+= &&& (2.25)
24
A equação que descreve j depende do mecanismo físico que causa o fluxo de
vazios. Aqui, serão considerados dois desses mecanismos: (i) de difusão, e (ii) a
interação dos vazios e a coalescência em um metal plasticamente deformável. No caso
da difusão, a forma mais simples para j resultaria em se assumir que o fluxo é
proporcional ao gradiente da porosidade:
fcj ∇−= (2.26)
Em que: c é um coeficiente constante de difusão ( 0>c ) com dimensões
(comprimento)²/tempo. O sinal negativo na equação acima é devido ao fato dos espaços
vazios se movimentarem de uma forma que diminuirá os gradientes de porosidade
(Figura 2.8(a)). Neste caso, a Equação (2.23) se torna:
( ) fcAff plpl 211 ∇++−= εε &&& (2.27)
Figura 2.8 - Representação esquemáticas do fluxo de vazios (RAMASWAMYA e ARAVAS, 1998).
Em seguida será considerado o caso da interação de vazios numa matriz
plasticamente deformável. Neste caso, pode-se argumentar que, como a matriz se
deforma, vazios maiores vão 'atrair' vazios menores e, eventualmente, se aglutinam com
eles (Figura 2.8 (b)). Ou seja, o fluxo de vazios agora é na direção oposta do que na
difusão. Uma expressão simples para j que apresenta esse recurso é:
fj ∇=0
2
σλ l& (2.28)
onde: l é um comprimento de escala do material, e 0σ é uma tensão de
referência. Na equação acima, o fluxo de vazios é proporcional à "quantidade da taxa de
deformação plástica", medido pelo multiplicador plástico λ& , que controla a magnitude
de plε . Pode-se observar também que j é agora diferente de zero apenas quando o
fluxo plástico ocorre ( 0≠λ& ). Neste caso, a Equação (2.24) se torna:
25
( ) ( )
( ) ( )ffAf
fAff
plpl
plpl
∇⋅∇+∇−+−=
∇⋅∇−+−=
λλσ
εε
λσ
εε
&&l&&
&l&&&
2
0
2
1
0
2
1
1
1
(2.29)
Pode-se concluir, enfatizando os diferentes efeitos que os termos de gradiente
nas Equações (2.26) e (2.28) deverão ter, no caso da difusão, o termo fc 2∇− na
Equação (2.26) tende a eliminar quaisquer gradientes de porosidade já existentes,
enquanto que os termos de gradientes na Equação (2.28) terão um efeito
"desestabilizador" na solução, na medida em que eles tendem a aumentar quaisquer
gradientes de porosidade existentes durante o fluxo de plástico.
A presença dos termos de gradientes na equação de evolução da porosidade
requer condições de contorno adicionais para f no contorno da zona plástica. Na
interface elasto-plástica PiS , o valor de porosidade é especificado. Em particular, se um
ponto A em PiS escoa pela primeira vez, a condição de contorno no ponto é 0ff = , 0f
sendo a porosidade inicial no material; e, por outro lado, se o ponto A já escoou
anteriormente, o valor da porosidade correspondente é igual ao valor de f quando o
ponto sofreu escoamento pela última vez. Também é assumido que nenhum espaço
vazio pode "entrar" no contínuo, de modo que 0=⋅ nj sobre a parte do contorno da
zona de plástica PS0 que pertence à superfície exterior do corpo. Esta condição é
equivalente a:
0=∂∂n
f em PS0 (2.30)
Será considerado o caso onde a equação de evolução do dano para porosidade é
modificada para contabilizar a interação e coalescência de vazios, ou seja:
( ) ( )ffAff plpl ∇⋅∇+∇−+−= λλσ
&&l&&& 2
0
2
11 εε (2.31)
Esta equação representa a modificação para um comportamento não-local do
modelo de Gurson-Tvergaard-Needleman (GTN) de evolução do dano.
26
CAPÍTULO III
3.1. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA 1-D
Neste capítulo serão apresentados, no contexto unidimensional, os conceitos
fundamentais do modelo elasto-plástico desenvolvido, assim como as equações da
cinemática e do princípio das potências virtuais.
Considerando um corpo unidimensional ocupando um intervalo [ ]L,0=Β , com
suas partículas indicadas por suas posições em Β∈x . Os cálculos serão restritos ao
intervalo de tempo [ ]T,0 . O modelo de elementos finitos será de uma barra fixa em uma
extremidade e tensionada na outra. A tensão axial é aplicada de forma que não cause
momento fletor. Este simples modelo demonstrará como as equações serão
implementadas.
Figura 3.1 - Representação esquemática do problema.
O campo de deslocamentos é mapeado como:
[ ] ℜ→×Β Tu ,0: (3.1)
3.1.1. Cinemática
Considerando o corpo Β identificado com a configuração de referência fixa
],0[ L , temos que x é um elemento ou partícula de Β e t é um instante de tempo. O
deslocamento de Β é descrito pela função u . Algumas hipóteses serão consideradas:
i. u é função somente de x , pois a seção transversal é significativamente
menor que o comprimento do corpo, ou seja: ),(txuu = .
τ
)2( xxb ∆+)( xxu ∆+)(xu
)(xF )( xxF ∆+x∆
Β A
Lx =0=x )(xbx
27
ii. Deformações muito pequenas. Se os pontos 2x e 1x na barra são
próximos então à deformação em qualquer ponto x pode ser calculado
como:
x
txuou
x
u
xx
uuxx
xxxx ∂
∂=
∆∆=
−−
=→∆→∆
),(limlim
012
12
0εε (3.2)
iii. Material Isotrópico.
O limite de Β , denotado por Β∂ , consiste em dois pontos extremos:
,0
[,,0]
L
L
=Β∂=Β
Então:
ΒΒ∂=Β U (3.3)
Normalmente, se considera as condições de contorno da forma:
uu
u=
Β∂(prescrito)
e (3.4)
τσσ
=Β∂
(prescrito)
E as condições iniciais:
0),( =tLu
e (3.5)
τσ =),0( t
3.1.2. Modelo Constitutivo
Um modelo matemático simples será formulado. Apesar de sua simplicidade, o
modelo constitutivo unidimensional contém todas as características essenciais que
formam a base da teoria matemática da plasticidade.
• Decomposição elasto-plástica da deformação axial
Uma das principais hipóteses subjacentes à teoria da plasticidade de pequenas
deformações é a decomposição da deformação total ε , em uma soma de uma
componente elástica (ou reversível), elε , e uma componente plástica (ou permanente),
plε (SOUZA NETO, 2008).
28
plel εεε += (3.6)
Ou escrita em forma de taxa:
plel εεε &&& += (3.7)
Com:
x
txu
∂∂= ),(ε e
x
txv
∂∂= ),(ε& onde ),(
),(),( txu
t
txutxv &=
∂∂= (3.8)
• Lei constitutiva elástica uniaxial
A lei constitutiva para a tensão axial pode ser expressa pela lei de Hooke como:
( )plel EE εεεσ −== (3.9)
Onde: E representa o módulo de Young do material da barra. A diferença entre
a deformação total e a deformação plástica atual, plεε − , é totalmente recuperada, sem
mais evoluções da deformação plástica. Isso motiva a decomposição aditiva da tensão
axial.
• Lei de fluxo plástico.
O critério para o escoamento plástico, discutido a seguir, cria as condições em
que pode ocorrer deformação plástica. Após o carregamento plástico, a taxa de
deformação plástica plε& é positiva (alongamento) sob tensão (σ positivo) e negativa
(compressão) sob compressão (σ negativo), a lei do fluxo plástico, apresentada na
equação (2.22), para o modelo uniaxial pode ser formalmente estabelecida como:
)(Φ⋅= SINALpl λε && (3.10)
Onde o sinal é uma função definida por:
<Φ−>Φ+
=01
01)(
se
seSINALσ (3.11)
O multiplicador plástico é não negativo:
0≥λ& (3.12)
E satisfaz a condição de complementaridade:
0=Φλ& (3.13)
• A função de escoamento e o critério de escoamento
A existência de um domínio elástico delimitado por um limite de elasticidade foi
apresentado na Seção 2.2.4 pela Equação (2.15). Agora a função de escoamento, Φ ,
29
será discutida na maneira simplificada, e a seguir os efeitos adicionais serão
introduzidos até que a função apresente os efeitos apresentados na equação (2.15) para o
modelo GTN. Esse procedimento tem como objetivo o melhor entendimento para a
construção do modelo computacional.
A função de escoamento mais simples tem a seguinte forma:
( ) YY σσσσ −=Φ , (3.14)
O domínio elástico em um estado com tensão uniaxial de escoamento Yσ pode
ser definido no modelo simples de plasticidade unidimensional como o conjunto:
( ) 0, <Φ∈= Yσσσ (3.15)
Ou, equivalentemente, o domínio elástico é o conjunto de tensões σ que satisfaz:
Yσσ < (3.16)
Será assumido que o limite de elasticidade em compressão é idêntico ao da
tração. Este domínio elástico idealizado está representado na Figura 3.2. Deve-se notar
que, em qualquer estágio, nenhum nível de tensão é permitido acima da tensão de
escoamento atual, ou seja, plasticamente as tensões admissíveis ficam ou no domínio
elástico ou no seu contorno (limite de escoamento). Assim, todo o esforço admissível
deve satisfazer a restrição:
( ) 0, ≤Φ Yσσ (3.17)
Figura 3.2 - Modelo uniaxial do Domínio Elástico (SOUZA NETO, 2008).
Para os níveis de tensão dentro do domínio elástico, apenas a deformação
elástica pode ocorrer, considerando que, em sua fronteira (na tensão de escoamento), ou
30
o descarregamento elástico ou escoamento plástico (ou carregamento plástico) ocorrem.
Este critério de escoamento pode ser expresso por:
( ) 00, =⇒≤Φ plYSe εσσ & (3.18)
( )
≠=
⇒=Φplásticotocarregamenpara
elásticomentodescarregaparaSe
pl
pl
Y ,0
,00,
εε
σσ&
&
Como próximo passo, será examinado um aprimoramento do comportamento da
função de escoamento, que ilustra um efeito observado experimentalmente em muitos
metais, chamado de encruamento. Para o modelo simplificado que está sendo discutido,
o escoamento (ou seja, 0≠plε& ) ocorre em um valor constante de tensão aplicada, σ ,
tal que Yσσ = , levando para a resposta tensão-deformação que pode ser vista na
Figura 3.3(a). Um modelo de endurecimento por deformação (encruamento), por outro
lado, conduz a uma curva de tensão-deformação do tipo idealizado na Figura 3.3(b).
A diferença essencial entre os dois modelos ilustrados na Figura 3.3 reside no
fato de que para a plasticidade perfeita o intervalo do comportamento elástico σE
continua inalterado, enquanto que para o modelo de encruamento, σE se expande com a
quantidade de escoamento no sistema (ou seja, quantidade de fluxo plástico). Um
modelo matemático que capta esse efeito será considerado a seguir (SIMO e HUGHES,
2000).
Figura 3.3 - Plasticidade com encruamento (b) versus plasticidade perfeita (a) (SIMO e HUGHES,
2000).
31
Para ilustrar a estrutura matemática da plasticidade de encruamento
consideramos a situação mais simples, ilustrada na Figura 3.4. Neste modelo, a
expansão (encruamento) experimentada por σE obedece a duas condições:
a) encruamento é isotrópico, no sentido de que, em qualquer estado de
carregamento, o centro de σE permanece na origem.
b) O endurecimento é linear na quantidade de fluxo plástico (ou seja, linear
em plε& e independente do )( plSINALε& ).
A primeira condição conduz a um critério de escoamento da seguinte forma:
( ) ( ) 00, ≥≤+−=Φ αασσασ eKY (3.19)
Onde: 0>Yσ e 0≥K são dados constantes e, K é frequentemente chamado de
módulo plástico. A variável α é uma função não negativa da quantidade de fluxo
plástico (escoamento), chamada de variável de encruamento interno. Se 0<K , fala-se
de uma resposta de amolecimento devido à deformação.
Com a segunda condição em mente, consideramos a equação evolutiva mais
simples para α , ou seja:
plεα && = (3.20)
O mecanismo irreversível que governa a evolução do escoamento no sistema
(fluxo plástico), o qual é definido pela lei do fluxo plástico, mantém-se inalterado
Figura 3.4 - Resposta de um modelo linear isotrópico de encruamento em um ciclo fechado. (SIMO
e HUGHES, 2000).
32
Agora a função apresentada na Equação (3.19) será modificada para considerar o
crescimento, nucleação e coalescência de vazios através do modelo de Gurson-
Tvergaard-Needleman (GTN). A função ou critério de escoamento do modelo GTN
pode ser vista novamente na Equação (3.21) abaixo:
( ) [ ] 012
3cosh2,,,
2*3
2*1
2
* =+−
+
=Φ fq
pqfqfp
YY
eye σσ
σσσ (3.21)
Esta equação pode ser reescrita da seguinte maneira:
( ) ( ) YYeye fpfp σσωσσσ ** ,,,,, −=Φ (3.22)
Onde:
( )2
1
2*3
2*1
*
2
3cosh21,,
+
−= fq
pqfqfp
YY σ
σω
σ3
1)(
3
1 −=−= σtrp
pS −−= ⇒σpIσ
ijije SS :2
3=σ
22222
333322221111 3
2
9
2
9
4
3
12
3
2: σσσσσ =+=
−+
=++= SSSSSSSS ijij
σσσσ ==
= 22
3
2
2
3e
( )F
FC
C
F
CCF
CFC
ffse
fffse
ffse
f
ffff
fff
f
f
≥
<<
≤
−−−
+=*
Então, para o caso unidimensional:
( ) ( ) YYye fpfp σσωσσσ ** ,,,,, −=Φ (3.23)
Lembrando a Equação (3.19) para o escoamento considerando o encruamento
podemos substituir Yσ por [ ]ασ KY + , obtendo-se a seguinte equação para o modelo
GTN com endurecimento isotrópico:
( ) ( ) 0,, ≤+−=Φ KY ασωσωασ (3.24)
Ou:
33
( ) ( ) [ ] 012
3cosh2,,,,
2*3
2*1
2
* =+−
++
+=Φ fq
K
pqfq
Kfp
YY
y ασασσσασ (3.25)
• Lei de evolução da variável de dano
A lei de evolução da variável de dano será aquela determinada pela Equação
(2.28):
( ) ( )444 3444 21
&&l44 344 21&&&
LOCALNÃOTERMO
ff
LOCALTERMO
Aff plpl ∇⋅∇+∇−+−= λλσ
2
0
2
11 εε (3.26)
Onde:
−−=2
1 2
1exp
2 N
Nplm
N
N
ss
fA
εεπ
Então:
( ) ( ) ( )ffSINALss
fff
N
Nplm
N
N ∇⋅∇+∇−⋅
−−+−= λλ
σσλεε
π&&l&& 2
0
22
)(2
1exp
21
(3.27)
• Condições de carregamento/descarregamento
As equações constitutivas implicam que, tal como indicado no critério de
escoamento, a taxa de deformação plástica desaparece dentro do domínio elástico, isto
é:
000 =⇒=⇒<Φ plελ && (3.28)
O fluxo plástico ( 0≠plε& ) pode ocorrer apenas quando o nível de tensão σ
coincide com o limite de escoamento aparente atual.
( ) 00 ≥⇒=Φ⇒+= λασωσ &KY (3.29)
As Equações (3.17), (3.12) e (3.13) definem as condições de Kuhn-Tucker, ou,
como também são conhecidas, as condições de carregamento/descarregamento do
modelo elasto-plástico, isto é, definem as seguintes restrições:
0≤Φ 0≥λ& 0=Φλ& (3.30)
Pode-se notar que se 0>λ& então 0=Φ& , e se 0<Φ& , então 0=λ& . Portanto
temos uma condição adicional conhecida como condição de consistência:
34
0=Φ&&λ se 0=Φ (3.31)
Essas condições estabelecem quando o fluxo plástico pode ocorrer (SIMO e
HUGHES, 2000).
Do ponto de vista matemático, as condições de Kuhn-Tucker são necessárias
para que uma solução em problemas de programação não-linear seja ótima, dado que
elas satisfazem determinadas condições de regularidade.
• Módulo Tangente Elasto-Plástico
Para a solução numérica de problemas elasto-plásticos com o uso do método de
Newton-Raphson nas equações de equilíbrio global, é necessário determinar o módulo
tangente em cada ponto de integração.
A condição de consistência, Equação (3.31), nos permite resolver explicitamente
para λ& e relacionar com as taxas de tensão e deformação. Primeiramente será
considerado para o cálculo do módulo tangente elasto-plástico o critério de escoamento
simples com encruamento isotrópico mostrado na Equação (3.19). Então as Equações
(3.19), (3.20) e (3.30), juntamente com a relação tensão-deformação elástica são
utilizadas:
( )[ ] 0)(
0)(
≤+−⋅=Φ
=−−⋅=Φ∂∂+
∂∂=Φ
KEESINAL
KESINAL pl
λεσαεεσ
αα
σσ
&&&
&&&&
&&&
(3.32)
Das Equações (3.30) e (3.31) resulta que λ& só pode ser diferente de zero se:
εσλ &&&KE
ESINAL
+=⇒=Φ=Φ )(
0 (3.33)
Então, o formato de taxa da Lei Elástica, Equação (3.9), juntamente com a
Equação (3.33), nos leva a:
>+
==
0,
0,
λε
λεσ
&&
&&
&se
KE
EK
seE (3.34)
O valor ( )KEEK + é chamado de Módulo Tangente Elasto-Plástico.
Agora que o módulo tangente elasto-plástico para a plasticidade simples,
considerando o encruamento isotrópico, foi calculado, o mesmo será feito para o critério
de escoamento do modelo GTN apresentado na Equação (3.24). Este cálculo é feito a
seguir.
35
Considerando a condição de consistência (3.31): 0=Φ&&λ
Para λ& não ser zero, temos que:
( )( )( ) ω
ωασε
ωσλ &&&
KE
K
KE
ESINAL Y
++
−+
= )( (3.35)
Com o valor do multiplicador plástico λ& podemos substituir na equação da lei
elástica:
( )( )
( ) ωω
σασεω
σ &&&KE
SINALKE
KE
EE Y
+++
+−= )(2
(3.36)
onde:
( )2
12
32
1 2
321
+
+−= *
Y
* fqK
pqcoshfq
ασω
A Equação (3.36) fornece o Módulo Tangente Elasto-Plástico, entretanto é
necessário calcular o valor de ω& em função da taxa da deformação total ε& .
O primeiro passo é encontrar o valor de ω& .
Derivando ω :
fBpA &&& +=ω (3.37)
onde:
( ) ( )
++=
K
pqsenh
K
fqqA
YY ασασω 2
3
2
3 221
f
fqB
ωω
2
123
2 −+=
A Equação (3.37) nos fornece o valor procurado de ω& em função da taxa de
variação da pressão hidrostática e da taxa de variação da fração volumétrica de vazios.
Será necessário encontrar o valor dessas duas taxas em função da taxa de deformação
total ε& .
A taxa de variação da pressão hidrostática pode ser escrita da seguinte maneira:
( )( )
( ) ωω
σασεω
ω&&&
KE
SINALKE
KE
KEp Y
++−
+−=
3
)(
3 (3.38)
Substituindo na equação (3.37):
fDC &&& −= εω (3.39)
onde:
36
( ) ( ) )(3 σασωω
SINALKEAKE
KAEC
Y +++−=
( )( ) ( ) )(3
3
σασωω
SINALKEAKE
KEBD
Y ++++=
A Equação (3.39) fornece o valor procurado em função da taxa de deformação
total ε& e da taxa da fração volumétrica de vazios f& .
Continuando os cálculos para a lei de evolução da fração volumétrica de vazios,
tem-se:
( ) ( ) ( )ffSINALss
fff
YN
Nplm
N
N ∇⋅∇+∇−⋅
−−+−= λλσ
σλεεπ
&&l&& 222
)(2
1exp
21
(3.40)
Utilizando outra variável auxiliar, temos:
( )
−−+−=
2
2
1exp
21
N
Nplm
N
N
ss
ffY
εεπ
( ) ( )ffSINALYfY
∇⋅∇+∇−⋅= λλσ
σλ &&l&& 22
)( (3.41)
O termo f∇⋅∇λ& da Equação (3.41) é independente de λ& e, portanto, é também
independente de ε& , impossibilitando, por enquanto, o cálculo do Módulo Tangente
Elasto-Plástico com o método escolhido.
A contribuição desta parcela não-local no cálculo do Módulo Tangente Elasto-
Plástico será contabilizada em um próximo passo.
Portanto, para a continuação do cálculo nesta etapa só será considerado a parcela
local da equação da taxa de fração volumétrica de vazios.
Então:
( ))(σλ SINALYf ⋅= && (3.42)
Substituindo o multiplicador plástico λ& na equação (3.42):
( )( )
( ) ωω
σασεω
&&&KE
SINALKY
KE
YEf Y
++−
+= )(
(3.43)
37
A Equação (3.43) nos fornece o valor da taxa da fração volumétrica de vazios f&
em função da taxa da deformação total ε& e da taxa ω& . Finalmente substituindo a
Equação (3.43) na Equação (3.38) o valor de ω& será calculado em função da taxa de
deformação total ε& :
( )( ) ( ) ε
σασωωω &&
)(SINALKDYKE
DYEKEC
Y +++−+= (3.44)
Com o valor do multiplicador plástico λ& e de ω& , podemos substituir na equação
da lei elástica:
( )( )[ ]( )( ) ( ) ε
σασωσασωω
ωσ &
444444444 3444444444 21
&
W
SINALKDYKE
SINALKDYEKECK
KE
E
Y
Y
++++−++
+=
)(
)( (3.45)
Finalmente se chega ao Módulo Tangente Elasto-Plástico para o modelo de
plasticidade simples considerando o encruamento isotrópico e o modelo de dano GTN:
( )εω
σ &&KE
EW
+= (3.46)
Se o material não possuir vazios, ou seja, 0=f , temos que 1=ω . Com isso é
possível verificar que: 0==== DCBA e, portanto, KW = , fazendo com que a
Equação (3.46) fique igual a Equação (3.34).
No caso unidimensional, o Módulo Tangente do algoritmo usado para o cálculo
da matriz tangente de rigidez do elemento é equivalente ao Módulo Tangente Elasto-
Plástico. Em dimensões maiores estes não são equivalentes (SIMO e HUGHES, 2000).
Portanto, esta abordagem de cálculo para o Módulo Tangente Elasto-Plástico é somente
válida para o caso unidimensional.
3.1.3. Equação do momento local (Equilíbrio)
O balanço do momento localizado sobre qualquer ponto de um corpo
unidimensional com área de seção transversal constante fornece a equação:
],0[ Temt
vb
x×Β
∂∂=+
∂∂ ρρσ (3.47)
Onde: ℜ→Β:ρ é a densidade do corpo. Esta equação, junto com as condições
de contorno e as condições iniciais vistas anteriormente, define o problema de valor de
38
contorno inicial dado que a tensão, ),(txσ , é uma função conhecida do campo de
deslocamentos (através das deformações).
Para este problema será considerado que ),(txσ é definido localmente em cada
],0[),( Ttx ×Β∈ pelo modelo constitutivo.
3.1.4. Princípio das Potências Virtuais para a Equação do Equilíbrio
O Problema é apresentado da seguinte forma:
],0[
],0[
],0[0
Tem
Temuu
Tembx
u
×Β∂=
×Β∂=
×Β=+∂∂
στσ
ρσ
(3.48)
Multiplicando a equação de governo e a condição de contorno de tração por uma
função arbitrária )(xw e pela integração sobre os seus domínios de ação. As equações
resultantes são:
a) wdxbx
wL
∀=
+∂∂
∫ ,00
ρσ (3.49)
b) wEw
x
pl ∀=
+−
=
,0)(
0
τσ
εε43421
Convenientemente todas as funções peso têm a seguinte condição imposta:
0)( =Lw
A Equação (3.49a)) poderia ser usada para desenvolver um método de elementos
finitos, mas por causa da derivada segunda de u(x) na expressão, soluções tentativas
muito suaves seriam necessárias; tais soluções muito suaves seriam difíceis de construir.
Além disso, a matriz de rigidez resultante não seria simétrica, porque a primeira integral
não é simétrica em w(x) e u(x). Por essa razão a equação será transformada em uma
formulação que contenha somente a derivada primeira. Isso levará primeiramente a
matrizes de rigidez simétricas, e permitirá o uso de soluções menos suaves e
simplificará o tratamento da condição de contorno de tração.
wbdxwdxx
wLL
∀=+
∂∂
∫∫ ,000
ρσ (3.50)
39
wbdxwdxx
w
x
uEw
LL
L
pl ∀=+∂∂−
−∂∂
∫∫ ,000
0
ρσ
σ
ε4434421
(3.51)
wbdxwdx
x
www
LL
xLx
∀=+∂∂−
−−
∫∫==
,00
000
ρστ
σσ (3.52)
( ) 0)(,0
0
0
=∀+=∂∂
∫∫ = Lwewbdxwwdxx
w L
x
L
ρτσ (3.53)
( ) ],0[0)(,
int
0
0
0
TttodoparaeLwew
extP
bdxww
P
dxx
w L
x
L
∈=∀+=∂∂
∫∫ =
444 3444 214434421
ρτσ (3.54)
Onde:
intP e
extP são respectivamente a potencia interna e externa por unidade
de área.
3.1.5. Princípio das Potências Virtuais para a Equação da Evolução de Vazios
O Problema é apresentado da seguinte forma:
( )( )( ) ( )[,0]0
[,0])(12
1
Temnf
TemfSINALAff
f
Y
×Β∂=⋅∇
×Β∇⋅⋅∇−⋅+−= λσ
σλ &l&&
(3.55)
Como o problema é unidimensional o gradiente é substituído pela derivada em relação a x:
( )( )( ) 0)(12
1 =
∂∂
∂∂+⋅+−−
x
f
xSINALAff
Y
λσ
σλ &l&& (3.56)
Para facilitar o cálculo a seguinte substituição é feita:
( )( )( )
=
⋅+−−=
λσ
σλ
&l
&&
Y
k
SINALAffs2
1 )(1
(3.57)
Então o problema pode ser apresentado da seguinte forma:
40
×Β∂=⋅∂∂
×Β=+
∂∂
∂∂
[,0]0
[,0]0
Temnx
f
Temsx
fk
x
f
(3.58)
Multiplicando a equação de governo por uma função arbitrária )(*
xw e a
condição de contorno por uma função arbitrária )(*
xa e pela integração sobre os seus
domínios de ação. As equações resultantes são:
a) *
0
* ,0 wdxsx
fk
xw
L
∀=
+
∂∂
∂∂
∫ (3.59)
b) ** 0 adSanx
fk
S
∀=
⋅∂∂
∫
Chamando ** kwa = , temos:
[,0]0 ** Temwx
fknw f
f
×Β∂∀=
∂∂
∂
(3.60)
A equação será transformada em uma formulação que contenha somente a
derivada primeira:
*
0
*
0
* 0 wdxswdxx
fk
xw
LL
∀=+
∂∂
∂∂
∫∫ (3.61)
Fazendo a seguinte substituição:
x
fk
∂∂=ξ (3.62)
Tem-se que:
( ) ( )x
ww
xxw
x
w
xww
x ∂∂−
∂∂=
∂∂
⇒∂
∂+∂∂=
∂∂ *
***
** ξξξξξξ (3.63)
Portanto:
x
w
x
fk
x
fkw
xx
fk
xw
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂ *
** (3.64)
Então, a equação é escrita da seguinte forma:
*
0
*
0
*
0
* 0 wdxswdxx
w
x
fkdx
x
fkw
x
LLL
∀=+∂
∂∂∂−
∂∂
∂∂
∫∫∫ (3.65)
Pelo teorema fundamental do cálculo:
41
*
0
*
0
*
0
* 0 wdxswdxx
w
x
fk
x
fkw
LLL
∀=+∂
∂∂∂−
∂∂
∫∫ (3.66)
Utilizando a condição de contorno:
*
0
*
0
*
0
* 0
0
wdxswdxx
w
x
fk
x
fkw
LLL
∀=+∂
∂∂∂−
∂∂
∫∫43421
(3.67)
Então:
*
0
*
0
*
0 wdxswdxx
wk
x
f LL
∀=−∂
∂∂∂
∫∫ (3.68)
42
CAPÍTULO IV
4.1. MODELO COMPUTACIONAL
Neste Capítulo um modelo computacional será obtido para a teoria apresentada
anteriormente. Partindo da formulação fraca, será feita a discretização espacial via
elementos finitos e a discretização temporal utilizando o método de Euler Implícito.
Para cada instante de tempo, o problema é reduzido a um sistema de equações
acopladas.
4.1.1. Discretização Espacial. Aproximação por Elementos Finitos
4.1.1.1. Equação do Equilíbrio
O domínio [ ]L,0=Β será discretizado em uma sequência de elementos:
[ ]1, +=Β eee xx
e (4.1)
e
n
e
el
Β=Β=1U
Onde: 01 =x e Lxeln =+1 . O tamanho da malha é eee xxh −= +1: , que, por
simplicidade, é assumido como uniforme.
A função de teste w para um elemento típico eΒ , pode ser localmente
interpolada da seguinte forma:
ae
a
ae wxNw )(
2
1∑
=
= (4.2)
Onde: 2,1,: =ℜ→Β aN eae , são as funções de forma dadas por:
e
e
ee
e
ee
x
h
xxN
h
xxN
Β∈
−=
−= +
2
11
(4.3)
E, [ ]Teee www 21= é o vetor contendo os valores nodais das funções de teste locais.
Para um elemento típico eΒ , temos:
43
eeeeee wwN
xN
xx
wΒ=
∂∂
∂∂=
∂∂ 21 (4.4)
Onde, para este contexto mais simples:
−=
∂∂
∂∂=Β
eeeeee hh
wNx
Nx
1121 (4.5)
Então a Equação (3.54) fica da seguinte forma:
[ ] 0int
1
1
1
1
33
=−⇒
+
= ∫∫ΒΒ
Β∂∩Β∂
extee
Te
e
eTe
e
eTe
Te
Te ffwbdx
N
Nw
N
NwdxBw
e
ρτσσ
(4.6)
Ou seja:
∫Β
=3
),(int dxtxBf Tee σ (4.7)
Β∂∩Β∂Β
+
= ∫σ
τρe
e
e
e
eexte
N
Ntdxtxb
N
Nf
1
1
1
1
)(),(
3
(4.8)
A Equação (4.7) é chamada de vetor força interna do elemento. É possível ver
que intef é implicitamente uma função de u juntamente com ( ),αε pl através das
equações constitutivas – Seção 3.4.2.
A Equação (4.8) é referida como vetor de força externa do elemento. Através
dos vetores força interna e externa do elemento, é possível somar a contribuição das
forças de cada elemento para encontrar os vetores de força global. O vetor global das
forças é computado da seguinte forma:
=
=
=
=
ΑΑ
)()(
)()(
1
int
1
int
tftF
fF
exte
n
e
ext
e
n
eel
el
σσ (4.9)
onde:
Α é o operador de "montagem" padrão dos elementos finitos.
É assumido que o corpo está em equilíbrio, então:
0)(int =− extFF σ (4.10)
44
4.1.1.2. Equação da Fração Volumétrica de Vazios
Para o mesmo domínio discretizado temos para a equação da fração volumétrica
de vazios as funções de teste *w e *v :
*2
1
*
*2
1
*
)(
)(
ae
a
ae
ae
a
ae
fxNf
wxNw
∑
∑
=
=
=
= (4.11)
Onde:
***
eeee fx
few
x
w Β=∂∂Β=
∂∂
(4.12)
Então a Equação (3.68) fica da seguinte forma:
00
2
1**
0
* =
− ∫∫ dxsN
Nwdxfkw
L
e
eTee
LT
e eTe ΒΒ (4.13)
Onde: *ef é o vetor da fração volumétrica de vazios nodal. A evolução da fração
de vazios é computada da seguinte forma:
02
1
2
1
2
1*
1
**
1=
− ∫Α∫Α==
dxsN
Nwdxfkw
x
x e
eTe
n
ee
x
x
Te
n
e
elel
eTe ΒΒ (4.14)
ou
=
∫Α∫Α==
dxsdxkx
x
n
e
x
x
n
e
elel 2
1
2
1
11
Tee
Te NfΒΒ (4.15)
Como:
sNe=s (4.16)
onde:
=
2
1
s
ss
Então:
sNNfΒΒ eTee
Te
=
∫Α∫Α==
dxdxkx
x
n
e
x
x
n
e
elel 2
1
2
1
11 (4.17)
Resolvendo as integrais temos:
sfΒΒ eTe
=
==ΑΑ
21
12
611
en
ee
n
e
hhk
elel
(4.18)
Considerando somente um elemento e substituindo eΒ , tem-se:
45
sf
=
−−
21
12
611
11 2eh
k (4.19)
Que pode ser escrito em função dos valores modais de f e s:
++
=
−−
ee
eee
ee
ee
ss
ss
k
h
ff
ff
21
212
12
21
2
2
6 (4.20)
Temos então o seguinte Sistema:
( )
( )
+=−
+=−
eeeee
eeeee
ssk
hff
ssk
hff
21
2
12
21
2
21
26
26 (4.21)
A solução é:
−=
−=
eeee
ee
sk
hff
ss
1
2
12
12
6
(4.22)
A função da fração de vazios em um elemento pode ser aproximado por uma
reta, conforme o esquemático abaixo:
Figura 4.1 – Aproximação do valor da fração de vazios no elemento.
Encontra-se assim a fração de vazios do elemento f na média da reta.
Calculando a tangente da reta temos:
e
ee
h
fftg 12 −= (4.23)
Então a reta é: xh
ffy
e
ee12 −=
Como o valor de f está no meio da reta, então:
221212ee
e
e
ee fff
h
h
fff
−=⇒
−= (4.24)
Utilizando o mesmo raciocínio para s , lembrando que sé uma equação de f :
ef1
ef2
tg
eh
f
46
212ee ss
s−= (4.25)
Como uma das soluções encontradas foi ee ss 12 −= , então se tem que:
ssss
s eee
−=⇒−−= 1
11
2 (4.26)
Voltando para a segunda solução:
26261
212
1
2
12
ee
eeeeee s
k
hffs
k
hff −=−
⇒−= (4.27)
Substituindo f e s :
sk
hs
k
hf ee
1226
22
=+= (4.28)
Substituindo os valores de s e k e rearranjando os termos, chega-se na seguinte
equação para a taxa de fração volumétrica de vazios:
( ) )(2
1exp
21
422
2σεε
πλ
σλ SINAL
ss
fff
hf
N
Nplm
N
N
Ye
−−+−+±= &l&& (4.29)
Esta equação tem os termos dependentes de λ& sendo possível evidenciá-lo. A
Equação (3.42) pode ser reescrita da seguinte forma:
Zf λ&& = (4.30)
Onde:
+= )(
4 2
2σ
σYSINALf
hZ
Ye
l
Portanto a Equação (3.43) é substituída pela seguinte equação:
( )( )( ) ω
ωασε
ωσ
&&&KE
KZ
KE
EZSINALf Y
++
−+
= )( (4.31)
E com isso a para o Cálculo do Módulo Tangente Elasto-Plástico, Equação
(3.45) também é substituída pela Equação (4.32):
( )( )[ ]( )
( ) ( ) εασω
ασσωωω
σ &
444444444 3444444444 21
&
W
KDZKE
KDZESINALKECK
KE
E
Y
Y
++++−++
+= )(
(4.32)
Então, a relação da Equação (3.35) é finalmente representada da seguinte forma
para o novo modelo constitutivo:
47
( )
>+
==
0,
0,
λεω
λεσ
seKE
EW
seE
&
&
& (4.33)
Onde:
( )[ ]( )
( ) ( )KDZKE
KDZESINALKECKW
Y
Y
ασωασσωω
++++−++= )(
( )2
1
23
21 2
3cosh21
+
+−= fq
K
pqfq
Y ασω
σ3
1−=p
+= )(
4 2
2σ
σYSINALf
hZ
Ye
l
( )
−−+−=
2
2
1exp
21
N
Nplm
N
N
ss
ffY
εεπ
( )
( ) ( ) )(3
3
σασωω
SINALKEAKE
KEBD
Y ++++=
( ) ( ) )(3 σασωω
SINALKEAKE
KAEC
Y +++−=
f
fqB
ωω
2
123
2 −+=
( ) ( )
++=
K
pqsenh
K
fqqA
YY ασασω 2
3
2
3 221
48
4.1.2. Discretização Temporal. Método de Euler Implícito
Os algoritmos numéricos aplicados para fazer a integração das taxas das
equações constitutivas apresentadas no capítulo anterior são chamados de algoritmos de
integração constitutivos.
O propósito destes procedimentos numéricos é, dado o conjunto inicial de
parâmetros ( nnplnnn f,,,, αεεσ ) em um instante de tempo n e o incremento de
deformação total ε∆ , determinar o conjunto ( 11111 ,,,, +++++ nnplnnn fαεεσ ) no instante 1+n
que satisfaça as condições de carregamento e descarregamento discutidos nos capítulos
anteriores.
É importante destacar que estes processos de integração assumem como variável
independente a deformação total, sendo assim denominados de processos dirigidos por
deformação ou strain driven.
Computacionalmente o algoritmo de integração de Euler Implícito ou Backward
Euler é mais robusto e permite que a solução do problema não linear associado tenha
uma convergência mais rápida quando comparada com os outros algoritmos.
Neste procedimento, os incrementos de deformação plástica e das variáveis
internas são calculados ao final do passo 1+n , conforme as relações abaixo:
Tensão:
TESTEnTESTE
n
n
E1
1
1 1 ++
+
∆−= σσ
λσ (4.34)
Deformação:
)( 11TESTEn
Pn
Pn SINAL ++ ∆+= σλεε (4.35)
Encruamento Isotrópico:
λαα ∆+=+ nn 1 (4.36)
Multiplicador Plástico:
[ ]( )KE
K
n
nYnTESTEn
1
11
+
++
+
+−=∆
ωασωσ
λ (4.37)
Fração Volumétrica de Vazios:
49
( ) )(2
1exp
21
122
2
21 σεεπ
λσ
λ SINALss
fff
hff
N
Nplm
N
Nnn
Ye
nn
−−+−∆+∆+=+
l
(4.38)
O Cálculo das equações (4.34) até (4.38) podem ser vistos no Anexo C.
Para cada incremento de tempo, são determinados os valores nodais de
deslocamento u e são realizadas algumas iterações para determinação dos incrementos
de deformação, divididos em sua parcela elástica e plástica, e dos incrementos de tensão
associados. Estes valores devem satisfazer as condições de carregamento e
descarregamento discutidos anteriormente. Depois de determinado o estado de tensão-
deformação para cada nó da malha é verificada a condição de equilíbrio do modelo e
então se passa para um novo incremento de tempo.
No Anexo D é apresentado o algoritmo usado na solução do problema.
50
CAPÍTULO V
5.1. SIMULAÇÕES NUMÉRICAS
Neste Capítulo, será apresentado um exemplo de um problema resolvido com o
algoritmo proposto. Primeiramente será utilizado um problema do livro: One-
Dimensional Finite Elements - An Introduction to the FE Method, Andreas
Öchsner, Markus Merkel (authors), Springer, Berlin Heidelberg (2013), para validar o
modelo constitutivo elasto-plástico com encruamento isotrópico. Segue abaixo o
problema:
Figura 5.1 - Problema comparativo (ÖCHSNER e MERKEL, 2013).
51
Segue abaixo a resposta obtida com o modelo constitutivo adotado neste
trabalho. A resposta obtida deve ser comparada com o gráfico da Figura 5.1.
Figura 5.2 - Resposta do modelo.
Com o modelo constitutivo validado o exemplo proposto será resolvido
primeiramente considerando a situação local.
Esta primeira simulação será conduzida usando o padrão GTN, portanto, um
modelo de dano elasto-plástico local. Seria como se o parâmetro comprimento
característico da equação (3.28) fosse igual a zero (ou seja, 0=l ). Este parâmetro é
igualado a zero com o intuito de desconsiderar o termo não-local da equação de
evolução do dano:
( ) ( )444 3444 21
&&l&&&
0
1 22
1
=
∇⋅∇+∇−+−=
lsezero
ffAffY
plpl λλσ
εε (5.1)
Na ausência de uma escala de comprimento (l ), para regular a largura da falha,
as soluções numéricas são susceptíveis ao aumento da densidade da malha.
Incorporando uma escala de comprimento interno na descrição do contínuo seria
possível resolver este problema apresentado nos resultados numéricos. O problema é
demonstrado através de exemplos ilustrativos retirados de artigo e depois com a solução
numérica de dois problemas utilizando o algoritmo desenvolvido. As simulações são
executadas para cinco tipos diferentes de densidades de malha.
52
5.1.1. Exemplos ilustrativos de resultados gráficos locais e não locais.
5.1.1.1. Análise Local
• EXEMPLO 1
Este exemplo numérico de análise local foi retirado do artigo do Rashid K. Abu
Al-Rub, que trata de uma implementação numérica de um modelo simples não-local
reforçado pela utilização do gradiente da densidade de dano local (densidade de micro-
trincas e micro vazios por unidade de área) em um modelo para danos em materiais
frágeis, que representa principalmente o comportamento das rochas e cerâmicas.
Embora a abordagem numérica proposta pelo autor seja aplicada a um modelo elástico
de danos como um exemplo simples, ele pode ser facilmente adaptado a um modelo
constitutivo de danos não local mais complexo. Este exemplo será útil para representar
como o problema da dependência de malha pode ser visto nas curvas de resposta do
modelo numérico.
Figura 5.3 – Resultados da dependência da malha na densidade de danos para l = 0 (ABU AL-RUB
et al., 2010).
A Figura 5.3 ilustra as distribuições de densidade de danos em toda a banda de
cisalhamento para as diferentes malhas quando 0=l . É possível verificar a partir da
Figura 5.3 que o aumento da densidade da malha faz com que a largura da banda de
cisalhamento se torne mais estreita, e a densidade de danos aumenta, o que não é um
fenómeno físico e sim resultado da densificação da malha. Em outras palavras, mais
53
danos se acumulam dentro de uma área menor. O efeito apresentado pelas curvas da
figura 5.3 é o resultado esperado na solução do problema proposto neste trabalho
quando 0=l , ou seja, análise padrão local do modelo GTN.
• EXEMPLO 2
Este exemplo numérico de análise local foi retirado do artigo do Ramaswamya e
Aravas (1998) que trata da utilização de gradientes em modelos Elasto-plásticos locais,
como o de Gurson, para resolver a dependência patológica da solução de elementos
finitos do tamanho dos elementos escolhidos, ou seja, da densidade da malha. O autor
utiliza um exemplo de localização da deformação plástica em um corpo plano sobre
tensão. Este exemplo também será útil para representar como o problema da
dependência de malha pode ser visto nas curvas de resposta do modelo numérico.
Figura 5.4 - Variação de f para l =0 (RAMASWAMYA e ARAVAS, 1998).
A Figura 5.4 mostra os resultados correspondentes ao modelo local de Gurson
( 0=l ). As curvas mostram a variação de f ao longo do comprimento do corpo para o
cálculo utilizando quatro malhas diferentes. A largura da banda de cisalhamento tende
para zero à medida que a malha é refinada. A forte dependência da malha na solução é
clara. Deve-se notar, contudo, que esta dependência da malha só aparece além da
deformação crítica. Em níveis menores de extensão, os perfis correspondentes de f são
quase idênticos para todas as quatro malhas diferentes.
54
5.1.1.2. Análise Não Local
• EXEMPLO 1
Agora, para mostrar o potencial do algoritmo melhorado pelo gradiente em
eliminar o problema de sensibilidade da malha, o mesmo problema de valor de contorno
foi simulado usando o algoritmo de dano não local, desenvolvido pelo autor, com uma
escala de comprimento do material ml µ1= . O resultado é mostrado na Figura 5.5.
Figura 5.5 – Resultados da dependência da malha na densidade de danos para l = 1 µm (ABU AL-
RUB et al., 2010)
A densidade de danos em toda a banda de cisalhamento é apresentada na Figura
5.5, onde pode ser visto que a largura da zona de danos é, em grande parte da extensão,
independente da densidade da malha escolhida quando comparada com as simulações
locais mostradas na Figura 5.3.
• EXEMPLO 2
A Figura 5.6 mostra o resultado para o modelo de Gurson dependente do
gradiente da fração volumétrica de vazios com L.l 20= . A Figura mostra os perfis de
evolução de f para o mesmo problema calculado usando as quatro malhas diferentes.
A largura da banda de cisalhamento agora é independente do tamanho da malha quando
a malha é refinada de forma suficiente.
55
Figura 5.6 - Evolução de f para a dependência do gradiente de Gurson com l = 0.2L
(RAMASWAMYA e ARAVAS, 1998).
Nos próximos tópicos dois problemas serão analisados com o algoritmo
desenvolvido.
5.1.2. Análise do primeiro problema: barra com junta soldada no meio
Figura 5.7 - Barra com junta soldada no meio.
Resultados da dependência de malha em previsões utilizando elementos finitos
podem ser demonstrados com exemplos simples, como, por exemplo, o da barra sujeita
a tração em uma extremidade e engastada na outra.
Neste primeiro problema, a barra possuirá uma junta soldada no meio. Para
representar esta junta no algoritmo unidimensional desenvolvido algumas propriedades
serão alteradas na região da junta em relação ao resto da barra. O Módulo de Young (E)
e o Módulo Plástico (K) serão diferentes do resto da barra e também, a região da junta,
56
apresentará uma fração de vazios inicial devido a problemas de soldagem, enquanto que
o resto da barra não apresentará vazios iniciais. A deformação horizontal é proporcional
a tensão aplicada na extremidade da barra.
Segue abaixo os dados de entrada:
DADOS DE ENTRADA
Corpo/Material
Módulo de Young: MATRIZJUNTA
MATRIZ
EE
MPaE
%80
)(200000
==
Módulo Plástico: MATRIZJUNTA
MATRIZ
KK
MPaK
%80
)(35000
==
Tensão de Escoamento: )(400 MPaY =σ
Massa específica do material: )3^/(7800 mkg=ρ
Comprimento da Barra: )(100 mmL =
Tamanho da junta: )(1 mmdJ =
Força de Campo: )(10 Gb =
Condições de Contorno:
Deslocamento no nó engastado: 00 =u
Tensão Inicial Aplicada na extremidade livre da barra: MPaP 360= Fluxo de vazios é zero nas duas extremidades. Constantes de Gurson-Tvergaard-Needleman:
Coeficientes: 213
2
1
975.0
7.1
q
q
=
==
Fração Volumétrica de Vazios Inicial: 0002.00 =f
Fração volumétrica de vazios Crítica (início da coalescência dos vazios): 013.0=Cf
Fração volumétrica de vazios Final (perda da capacidade do material): 15.0=Ff
Fração volumétrica de vazios nucleados: 1.0=Nf
Desviador padrão da deformação devido a nucleação de vazios: 1.0=Ns
Deformação média devido a nucleação de vazios: 3.0=Ne
OBS: Os valores dos parâmetros utilizados foram retirados de alguns artigos presentes
na bibliografia deste trabalho (RAMASWAMYA e ARAVAS, 1998; BESSON, 2010;
57
NOURPANAH e TAHERI, 2011). Estes valores foram sendo calibrados e modificados
no algoritmo para melhor se adequarem ao problema.
5.1.2.1. Análise Local (l = 0)
• Segue abaixo os resultados da análise:
Fração volumétrica de vazios X tempo:
20 elementos 50 elementos
100 elementos 200 elementos
58
400 elementos
A barra falha para todas as malhas escolhidas aos 43 segundos.
Início da Coalescência
59
Deformação Plástica X Comprimento da Barra Normalizado (x/L)
20 elementos 50 elementos
100 elementos 200 elementos
400 elementos
60
Fração Volumétrica de Vazios X Comprimento da Barra Normalizado (x/L)
20 elementos 50 elementos
100 elementos 200 elementos
400 elementos
fR =0.0550139 fR =0.0550135
fR =0.0550133 fR =0.0550133
fR =0.0550132
61
Outros gráficos (malha mais refinada)
Tensão X Deformação Tensão X Comprimento da Barra (x/L)
Fração volumétrica de vazios no instante final X Comprimento da Barra (x/L)
62
5.1.2.2. Análise Não Local (l = 0.0025L)
• Segue abaixo os resultados da análise:
Fração volumétrica de vazios X tempo:
20 elementos 50 elementos
100 elementos 200 elementos
63
400 elementos
A barra falha para todas as malhas escolhidas aos 43 segundos.
Início da Coalescência
64
Deformação Plástica X Comprimento da Barra Normalizado (x/L)
20 elementos 50 elementos
100 elementos 200 elementos
400 elementos
65
Fração Volumétrica de Vazios X Comprimento da Barra Normalizado (x/L)
20 elementos 50 elementos
100 elementos 200 elementos
400 elementos
fR =0.0550145 fR =0.0550174
fR =0.0550292 fR =0.0550766
fR =0.0552668
66
Outros gráficos (malha mais refinada)
Tensão X Deformação Tensão X Comprimento da Barra (x/L)
Fração volumétrica de vazios no instante final X Comprimento da Barra (x/L)
67
5.1.3. Análise do segundo problema: Barra com entalhe no meio
Figura 5.8 - Barra com entalhe no meio.
Outro problema que pode ser utilizado para mostrar a dependência da malha é o
da barra com um entalhe no meio. Esta barra apresentará as mesmas propriedades ao
longo de todo o comprimento, inclusive a fração de vazios inicial. A diferença será a
mudança da área de seção transversal no local do entalhe, fazendo com que a tensão
neste local seja mais alta gerando o crescimento, nucleação e coalescência de vazios
localizado, causando assim a trinca e o rompimento da barra. A deformação horizontal é
proporcional a tensão aplicada na extremidade da barra.
Segue abaixo os dados de entrada:
DADOS DE ENTRADA
Corpo/Material
Módulo de Young: )(200000MPaEBARRA =
Módulo Plástico: )(10000MPaK BARRA=
Tensão de Escoamento: )(400 MPaY =σ
Massa específica do material: )3^/(7800 mkg=ρ
Comprimento da Barra: )(100 mmL =
Força de Campo: )(10 Gb =
Raio da Barra: )(08.0 20 mmLr =
Raio na região do entalhe: 2
20 2
−−−= xL
rrr ne ,se nrL
x <−2
; )(026.0 2mmLrn =
Condições de Contorno:
Deslocamento no nó engastado: 00 =u
Força Aplicada na extremidade livre da barra: kNAP 42000= Fluxo de vazios é zero nas duas extremidades. Constantes de Gurson-Tvergaard-Needleman: (BESSON, 2010)
68
Coeficientes: 213
2
1
975.0
7.1
q
q
=
==
Fração Volumétrica de Vazios Inicial: 0002.00 =f
Fração volumétrica de vazios Crítica (inicio da coalescencia dos vazios): 013.0=Cf
Fração volumétrica de vazios Final (perda da capacidade do material): 15.0=Ff
Fração volumétrica de vazios nucleados: 1.0=Nf
Desviador padrão da deformação devido a nucleação de vazios: 1.0=Ns
Deformação média devido a nucleação de vazios: 3.0=Ne
5.1.3.1. Análise Local (l = 0)
• Segue abaixo os resultados da análise:
Fração volumétrica de vazios X tempo:
20 elementos 50 elementos
100 elementos 200 elementos
69
400 elementos
A barra falha para todas as malhas escolhidas aos 39 segundos.
Início da Coalescência
70
Deformação Plástica X Comprimento da Barra Normalizado (x/L)
20 elementos 50 elementos
100 elementos 200 elementos
400 elementos
71
Fração Volumétrica de Vazios X Comprimento da Barra Normalizado (x/L)
20 elementos 50 elementos
100 elementos 200 elementos
400 elementos
fR =0.0743644 fR =0.0743627
fR =0.0743622 fR =0.0743662
fR =0.0743617
72
Outros gráficos (malha mais refinada)
Tensão X Deformação Tensão X Comprimento da Barra (x/L)
Fração Volumétrica de Vazios X Deformação Plástica
Fração volumétrica de vazios no instante final X Comprimento da Barra (x/L)
Região de Crescimento e Nucleação
Região de Coalescência
73
5.1.3.2. Análise Não Local (l = 0.0025L)
• Segue abaixo os resultados da análise:
Fração volumétrica de vazios X tempo:
20 elementos 50 elementos
100 elementos 200 elementos
74
400 elementos
A barra falha para todas as malhas escolhidas aos 39 segundos.
Início da Coalescência
75
Deformação Plástica X Comprimento da Barra Normalizado (x/L)
20 elementos 50 elementos
100 elementos 200 elementos
400 elementos
76
Fração Volumétrica de Vazios X Comprimento da Barra Normalizado (x/L)
20 elementos 50 elementos
100 elementos 200 elementos
400 elementos
fR =0.0743676 fR =0.0743823
fR =0.0744406 fR =0.0746785
fR =0.0756973
77
Outros gráficos (malha mais refinada)
Tensão X Deformação Tensão X Comprimento da Barra (x/L)
Fração Volumétrica de Vazios X Deformação Plástica
Fração volumétrica de vazios no instante final X Comprimento da Barra (x/L)
Região de Crescimento e Nucleação
Região de Coalescência
78
CAPÍTULO VI
CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
Neste trabalho desenvolveu-se um modelo matemático para plasticidade local e
não-local. Quando se utilizam algumas teorias clássicas da fratura dúctil existe um
comportamento de instabilidade que acaba resultando na dependência dos resultados em
relação à malha e uma descrição não física da evolução do dano e da falha, já que a
zona de dano tende a ocupar a menor área possível da malha escolhida.
Conforme pôde ser observado nos resultados obtidos através do algoritmo
desenvolvido, a patologia da dependência de malha do modelo de Gurson padrão foi
observada de maneira muito sutil nos resultados.
O modelo constitutivo de plasticidade simples (SIMO e HUGHES, 2000) foi
desenvolvido na forma de algoritmo e testado, utilizando um problema de resposta
conhecida, e apresentou resultado satisfatório. Este modelo de plasticidade foi então
modificado para o modelo de fratura dúctil de Gurson-Tvergaard-Needleman seguindo
algumas hipóteses simplificadoras.
A principal hipótese simplificadora do problema foi a utilização da fração
volumétrica de vazios calculada no instante anterior para o cálculo de teste dos
seguintes parâmetros: multiplicador plástico, tensão, deformação e encruamento
isotrópico no elemento. Após essa etapa, os valores de teste foram utilizados para o
cálculo da fração volumétrica de vazios no instante atual, e assim finalmente foi
possível calcular o Módulo Tangente Elasto-Plástico para a utilização do Método
Numérico de Newton-Raphson. Esta técnica de divisão de operador é uma forma de
contornar um problema complexo não-linear com equações acopladas simplificando
bastante o problema. Entretanto esta simplificação pode ser a responsável pelo fato da
fração de vazios no instante da fratura ser aproximadamente a mesma utilizando uma
malha grosseira e uma malha refinada.
Mesmo com simplificações o algoritmo desenvolvido se mostrou eficiente na
representação da evolução do dano, no entendimento dos mecanismos de falha e na
influência dos parâmetros do modelo, sendo assim, os objetivos principais deste
trabalho foram alcançados com êxito.
79
Como foi demonstrado neste trabalho, uma maneira muito eficaz para resolver o
problema da dependência de malha é através da teoria do dano reforçada pela inclusão
do termo gradiente não-local. No entanto, uma das questões mais desafiadoras quando
se lida com este tipo de teoria é a sua implementação nos códigos de elementos finitos.
Uma abordagem computacional simples e direta foi desenvolvida neste trabalho
para numericamente tentar integrar as equações constitutivas não-locais, com pouco
esforço, sem modificar o código de elementos finitos que foi desenvolvido para o
modelo padrão local. Assim, usando esta abordagem, foi possível evitar a prática da
introdução de funções de forma de alta ordem no código de elementos finitos para
calcular os termos de gradiente, o que seria computacionalmente mais difícil e caro. O
intuito foi utilizar um algoritmo simples para satisfazer a consistência das equações e
condições propostas para a fratura dúctil, e que pode ser facilmente implementado em
um código de elementos finitos.
O algoritmo numérico apresentado neste trabalho foi desenvolvido no software
MATLAB ® com o intuito de gerar um algoritmo que possa ser implementado
futuramente em um software de elementos finitos como o ABAQUS® via UMAT (User
Material Subroutine).
A eficácia da abordagem utilizada para aliviar o problema da dependência da
malha ao simular danos locais e as respostas da aplicação dos gradientes foram
ilustradas através de dois problemas numéricos. Estes problemas mostraram que os
resultados convergem aproximadamente para uma solução única utilizando diferentes
malhas, evidenciando ainda que, o algoritmo computacional desenvolvido funciona bem
ao integrar as teorias de danos com os termos não-locais.
Os parâmetros utilizados no modelo desenvolvido neste trabalho foram retirados
de artigos baseados em ensaios e experimentos, mas esses parâmetros foram calibrados
para problemas específicos e não para os problemas propostos neste trabalho. O ideal
seria o desenvolvimento do modelo teórico em conjunto com uma análise experimental
de corpos de prova para que os parâmetros do modelo desenvolvido, segundo os
problemas estudados nesse trabalho, fossem corretamente calibrados. Infelizmente para
este trabalho não foi possível a utilização de dados experimentais, mas isso certamente
melhoraria o desempenho e confirmaria assim a veracidade e a representatividade dos
resultados gerados. Apesar disso, a utilização de parâmetros estabelecidos em artigos foi
suficiente para que os objetivos deste trabalho fossem alcançados.
80
Este algoritmo numérico proposto pode ser aprofundado e facilmente adaptado
para modelos constitutivos mais complexos em cenários multidimensionais, ou seja,
assim seria possível verificar o problema da localidade quando mais dimensões são
levadas em conta. Uma outra sugestão para melhorar os resultados é aprimorar a
aproximação por elementos finitos, utilizando funções mais complexas, para verificar a
sua convergência e uma melhor representação dos efeitos esperados.
Espera-se que a contribuição teórica trazida pelo presente trabalho, centrada no
aperfeiçoamento do modelo físico do Fenômeno da Fratura Dúctil e nas possibilidades
matemáticas de sua interpretação, possa ser empregada na construção de uma base
conceitual que sirva tanto à concepção de novos modelos matemáticos quanto para o
melhor conhecimento do Fenômeno da Fratura Dúctil nos sólidos.
81
CAPÍTULO VII
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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ABAQUS Analysis User’s Manual. Version 6.11. Dassault Systémes Simulia Corp.,
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LEMAITRE, J., CHABOCHE, J. L. Mechanics of Solid Materials. Cambridge
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Technology, 2965 p., 2005.
von Mises yield criterion.
Disponível em: http://en.wikipedia.org/wiki/Von_Mises_yield_criterion
Acesso em: 05 de julho 2014, 18:50:30.
84
ANEXOS
A. CÁLCULO DAS EQUAÇÕES DO CAPÍTULO III
1) Cálculo da Equação (3.36)
Considerando a condição de consistência (3.32): 0=Φ&&λ
Para λ& não ser zero, temos que:
( )[ ] 0=+−=Φ Kdt
dY ασωσ&&
( )[ ] 0=++−=Φ KKY αωασωσ &&&&
( ) ( ) 0)( =−+−−=Φ KKESINAL plY
pl εωασωεεσ &&&&&
( ) 0)( =−+−−=Φ KKEESINAL Y λωασωλεσ &&&&&
( ) ( ) 0)( =+−+− KEKESINAL Y ωλασωεσ &&&
Então:
( )( )( ) ω
ωασε
ωσλ &&&
KE
K
KE
ESINAL Y
++
−+
= )(
2) Cálculo da Equação (3.38)
Encontrar o valor de ω& :
( ) ( ) ( )
( )2
1
23
21
3222
1
2
3212
22
3
2
3
2
320
+
+−
+
++
+
+−−
=
fqK
pqcoshfq
ffqK
pqcoshfp
K
q
K
pqfsenhq
Y
YYY
ασ
ασασασω
&&&
&
( ) ( ) ( )ω
ασασασω
2
22
32
3
2
33
21
212 ffqK
pqcoshfqp
K
fqq
K
pqsenh
YYY
&&&
&
+
+−
+
+=
( ) ( ) ( )ω
ασασασω
2
2
3cosh2
2
3333
21
221 ffqffqK
pqfqp
K
pqsenh
K
fqq
YYY
&&&&
&
+
+
+−+
++=
( ) ( ) ( ) ωωασασασωω
222
3cosh211
2
3
2
3 323
21
221 ffq
f
ffq
K
pqfqp
K
pqsenh
K
fqq
YYY
&&&& +
+
+−−+
++=
85
( ) ( ) ( ) f
fffq
f
ffq
K
pqfqp
K
pqsenh
K
fqq
YYY ωωω
ω
ασασασωω
222
2
2
3cosh21
2
3
2
3 323
21
221&&&
444444 3444444 21
&& −+
+
+−+
++=
( ) ( ) f
fffq
f
fp
K
pqsenh
K
fqq
YY ωωωω
ασασωω
2222
3
2
3 32
221&&&
&& −++
++=
( ) ( ) ff
fqp
K
pqsenh
K
fqq
YY
&&&ω
ωασασω
ω2
1
2
3
2
3 23
2221 −++
++=
Para simplificar os cálculos serão utilizadas as seguintes variáveis auxiliares:
( ) ( )
++=
K
pqsenh
K
fqqA
YY ασασω 2
3
2
3 221
f
fqB
ωω
2
123
2 −+=
Então:
fBpA &&& +=ω
3) Cálculo da Equação (3.39)
σ3
1−=p e ( )plE εεσ −= , então: ( )plEp εε &&& −−=3
1; com )(σλε SINALpl ⋅= &&
( ))(3
1 σλε SINALEp ⋅−−=⇒ &&&
Substituindo o multiplicador plástico λ& já calculado (na Equação (3.36):
( )( )( )
++−
+−−= )(
)(
3
1 σωωασε
ωσε SINAL
KE
K
KE
ESINALEp Y &&&&
( )( )
( ) ωω
σασεω
ε &&&&KE
SINALKE
KE
EEp Y
++−
++−=
3
)(
33
1 2
( )( )
( )( ) ω
ωσασε
ωω
&&&KE
SINALKE
KE
EKEEp Y
++−
+++−=
3
)(
3
2
Então:
( )( )
( ) ωω
σασεω
ω&&&
KE
SINALKE
KE
KEp Y
++−
+−=
3
)(
3
86
4) Cálculo da Equação (3.40)
Voltando para equação de ω& (na Equação (3.38):
( )( )
( ) fBKE
SINALKE
KE
KEA Y &&&& +
++−
+−= ω
ωσασε
ωωω
3
)(
3
( )
( ) ( ) fBKE
KAE
KE
SINALKEA Y &&& ++
−=
+++ ε
ωωω
ωσασ
33
)(1
( ) ( )( )
( ) ( ) fSINALKEAKE
KEB
SINALKEAKE
KAE
YY
&&&)(3
3
)(3 σασωωε
σασωωω
+++++
+++−=
Novamente variáveis auxiliares serão utilizadas para facilitar o cálculo:
( ) ( ) )(3 σασωω
SINALKEAKE
KAEC
Y +++−=
( )( ) ( ) )(3
3
σασωω
SINALKEAKE
KEBD
Y ++++=
Então:
fDC &&& −= εω
5) Cálculo da Equação (3.44)
( )( )
( )
++−
+−= ω
ωσασε
ωεω &&&&
KE
SINALKY
KE
YEDC Y )(
( )( )
( ) ωω
σασεω
εω &&&&KE
SINALKDY
KE
DYEC Y
++−
+−= )(
( )
( )( )
( ) εω
ωωω
σασ&&
KE
DYEKEC
KE
SINALKDY Y
+−+=
+++ )(
1
Então:
( )
( ) ( ) εσασω
ωω &&)(SINALKDYKE
DYEKEC
Y +++−+=
6) Cálculo da Equação (3.45) e (3.46):
Com o valor do multiplicador plástico λ& e de ω& , podemos substituir na equação
da lei elástica:
( )( )
( ) ωω
σασεω
σ &&&KE
SINALKE
KE
EE Y
+++
+−= )(2
87
( )( )
( )( )
( ) ( )
+++−+
+++
+−= ε
σασωω
ωσασε
ωσ &&&
)(
)(2
SINALKDYKE
DYEKEC
KE
SINALKE
KE
EE
Y
Y
( ) ( )( )[ ]( )( ) ( ) ε
σασωσασω
ωε
ωωσ &&&
++++−+
++
+=
)(
)(
SINALKDYKE
SINALKDYEKEC
KE
E
KE
EK
Y
Y
( )( )[ ]( )( ) ( ) ε
σασωσασωω
ωσ &
444444444 3444444444 21
&
W
SINALKDYKE
SINALKDYEKECK
KE
E
Y
Y
++++−++
+=
)(
)(
Novamente utilizando uma variável auxiliar. Neste caso W :
( )[ ]( )( ) ( ) )(
)(
σασωσασωω
SINALKDYKE
SINALKDYEKECKW
Y
Y
++++−++=
Finalmente se chega ao Módulo Tangente Elasto-Plástico:
( )εω
σ &&KE
EW
+=
88
B. CÁLCULO DAS EQUAÇÕES DO CAPÍTULO IV
1) Cálculo da Equação (4.34) - TENSÃO
elEεσ =
( )Pnnn E 111 +++ −= εεσ
( ) ( )Pn
Pn
Pnnn EE εεεεσ −−−= +++ 111
)( 111 +++ ∆−= nTESTEnn SINALE σλσσ
Como 0>∆λ
)()( 11TESTEnn SINALSINAL ++ = σσ
( ) )( 111TESTEn
TESTEnn SINALE +++ ∆−= σλσσ
Então:
TESTEnTESTE
n
n
E1
1
1 1 ++
+
∆−= σσ
λσ
2) Cálculo da Equação (4.35) - DEFORMAÇÃO
)(σλε SINALpl ⋅= &&
)( 11 ++ ∆+= nPn
Pn SINALσλεε
)()( 11TESTEnn SINALSINAL ++ = σσ
Então:
)( 11TESTEn
Pn
Pn SINAL ++ ∆+= σλεε
3) Cálculo da Equação (4.36) – ENCRUAMENTO ISOTRÓPICO
λα && =
Então:
λαα ∆+=+ nn 1
4) Cálculo da Equação (4.37) – MULTIPLICADOR PLÁSTICO
[ ] 0≤+−=Φ ασωσ KY
[ ] 01111 =+−=Φ ++++ nYnnn Kασωσ
TESTEnn E 11 ++ =∆+ σλσ
89
( ) ( )
01111 =
−++−∆−=Φ
∆+
++++ nnnYnTESTEnn
n
KKE ααασωλσλα
[ ] 0111 =∆++−∆−=Φ +++ λασωλσ KKE nYnTESTEnn
[ ] ( ) 01111 =+∆−+−=Φ ++++ KEK nnYnTESTEnn ωλασωσ
01 =Φ +n
Então:
[ ]( )KE
K
n
nYnTESTEn
1
11
+
++
+
+−=∆
ωασωσ
λ
5) Cálculo da Equação (4.38) – FRAÇÃO VOLUMÉTRICA DE VAZIOS
A equação é:
( ) )(2
1exp
21
122
2
2σεε
πλ
σλ SINAL
ss
fff
hf
N
Nplm
N
N
Ye
−−+−+= &l&&
( ) )(2
1exp
21
122
2
2σεε
πλ
σλ
SINALss
ff
tf
htt
f
N
Nplm
N
Nnn
Ye
−−+−
∆∆+
∆∆=
∆∆ l
( ) )(2
1exp
21
122
2
21 σεε
πλ
σλ SINAL
ss
fff
hff
N
Nplm
N
Nnn
Ye
nn
−−+−∆+∆=−+
l
( ) )(2
1exp
21
122
2
21 σεεπ
λσ
λ SINALss
fff
hff
N
Nplm
N
Nnn
Ye
nn
−−+−∆+∆+=+
l
Então:
)(12 *
2
2**
1 σλσ
λ SINALYfh
ff nYe
nn ⋅⋅∆+∆+=+l
90
C. ALGORITMO DO PROBLEMA
Dados: LbffsffqqqKEdd FCNNNYP ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 03210000 ρεσταε∆
1. Determinar um valor inicial para knd 1+∆ (deslocamento nodal incremental):
TempoIntervalotfazer _:0=
iteraçõesNumMáxnfazer _:1=
11 ++ ∆+= nnn ddd (deslocamento nodal total)
Cálculo da deformação:
11 +Β+ Β=neen d
e
ε , onde:
−=
∂∂
∂∂
=Βee
eee hhx
N
x
N 1121
; e
ee h
xxN
−= +11 ;
e
ee h
xxN
−=2 ; eee xxh −= +1
2. Estado tentativo:
( )Pnn
TESTEn E εεσ −= ++ 11
[ ] 0111 =+−=Φ +++ nYTESTEn
TESTEn
TESTEn Kασωσ , onde:
( )
( )
≥
<<
≤
−−−+=
−=
+
+−=
++
++
Fn
FnC
Cn
F
CnCF
CFC
n
TESTEn
TESTEn
nnY
TESTEn
nTESTEn
ffse
fffse
ffse
f
ffff
fff
f
f
p
fqK
pqfq
*
11
21
2*3
12*11
3
1
2
3cosh21
σ
ασω
OBS: A fração de vazios do passo anterior foi utilizada para o cálculo de teste.
3. Se 01 ≤Φ +TESTEn , então o passo é elástico:
TESTEnn 11 ++ = σσ
Pn
Pn εε =+1
91
nn αα =+1
*1 nn ff =+
EMTEP = (Matriz Tangente Elasto-Plástica)
4. Caso contrário ( )01 >Φ +TESTEn , o passo é plástico:
[ ]
( )KE
KTESTEn
nYTESTEn
TESTEn
1
11
+
++
+
+−=∆
ω
ασωσλ
TESTEnTESTE
nn
E1
11 1 +
++
∆−= σσ
λσ
)( 1_1
TESTEn
Pn
Pn SINAL ++ ∆+= σλεε
λαα ∆+=+ nn 1
Cálculo Teste da evolução da fração volumétrica de vazios:
)(12 *
2
2**
1 σλσ
λ SINALYfh
ff nYe
nn ⋅⋅∆+∆+=+l
OBS: Se ⇒= 0l*
1+nf só dependerá da parte local da equação.
onde:
( )
−−+−=2
*
2
1exp
21
N
NPn
N
Nn ss
ffY
εεπ
Cálculo da Módulo Tangente Elasto-plástico
11 3
1++ −= nnp σ
( )2
1
2*13
1
12*111 2
3cosh21
+
+−= +
+
+++ n
nY
nnn fq
K
pqfq
ασω
( )KE
EWMTEP
n 1++=
ω , onde:
92
( )[ ]( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
++=
−+=
+++−=
++++
=
−−+−+=
++++−+
+=
+
+
++
+
++
++
+++
+
+++
+
+++
++
++++
K
pqsenh
K
fqqA
f
fqB
SINALKEAKE
KAEC
SINALKEAKE
KEBD
SINALss
fff
hZ
KDZKE
KDZESINALKECKW
nY
n
nYn
n
nn
nn
nnYn
n
nnYn
n
N
NPn
N
Nnn
Ye
nYn
nYnnn
1
12
11
121
11
213
21
111
1
111
1
2
1*11
2
2
11
1111
2
3
2
3
2
1
)(3
)(3
3
)(2
1exp
21
12
)(
ασασω
ωω
σασωω
σασωω
σεεπσ
ασωασσωω
l
5. Teste de convergência:
810−=tolerância
( ) EXTnn
INT FFR 11 ++ −= σ , onde:
( ) ( ) ( ) enTe
nel
e
x
x
nTe
nel
en
INT htxAdxtxF ,, 11
11
1
2
1
+=+=+ Β=Β= ∫ σσσ ΑΑ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Le
ee
e
enel
ee
ex
x e
enel
e
EXT
N
NthtxAb
N
N
N
Ntdxtxb
N
NtF
+
=
+
=
== ∫ 2
1
2
1
12
1
2
1
1,,
2
1
τρτρ ΑΑ
Se o teste convergir ( tolerânciaR < ), então as soluções estão corretas e avança
o instante de tempo.
Atualizar: 1+= nn σσ ; 1+= nn εε ; Pn
Pn 1+= εε ; 1+= nn αα ; 1+= nn ff
Se não:
6. Matriz Tangente de Rigidez :
ee
MTEP
kn
knT
e
nel
e
x
x
e
MTEP
kn
knT
e
nel
e
kn hAdxAK Β
∂∂Β=Β
∂∂Β=
+
+=+
+=+ ∫
4342143421 1
1
11
1
11
2
1εσ
εσ ΑΑ
[ ] ( )[ ]EXTn
kn
INTkn
kn FFKd 11
1
111 ++
−+
++ −−=∆ σ
1+= nn
iteraçõesfinal _
1+= tt
Tempofinal _
93
D. CÓDIGO DESENVOLVIDO NO MATLAB
function fem_GTN_1D_BARRA_SOLDADA clear all clc format long %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %=============================== PRÉ-PROCESSAMENTO ============================% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Definição do problema, propriedades do material. discretização, % geometria, condições de contorno como forças e de slocamentos % % PROBLEM %================================================== ================================= % DADOS INICIAIS E DO M ATERIAL %================================================== ================================= E = 200000; % (MPa) Módulo de young E1 = E; E2 = 0.80*E; sigma_y = 400; % (MPa) Tensão de Escoamento H = 35000; % (MPa) Módulo Plástico H1 = H; H2 = 0.80*H; rho = 7800*10^(-9); % (kg/mm^3) massa específica do material L = 100; % (mm) comprimento da barra lc = 0.0025*L; posJ = 49.5; %(mm) dJ = 1; %(mm) b = 10; % (G) força de campo u_o =0; % deslocamento inicial do nó engastado P = 360; % (MPa) Tensão inicial no nó da extremidade livre tol = 10^(-8); %Tolerancia (erro) aux = 1; aux2 = 0; maxIter = 200; dt = 1; % delta t %================================================== ================================= % CONSTANTES GURSON-TVERGAA RD-NEEDLEMAN %================================================== ================================= q1 = 1.7; %\ q2 = 0.975; % = Coeficientes de Tvergaard para descrição plásti ca do material q3 = q1^2; %/ f0 = 0.0002; % Fração volumétrica de vazios inicial fc = 0.013; % Fração volumétrica de vazios Crítica (inicio da c oalescencia dos vazios) fF = 0.15; % Fração volumétrica de vazios Final (perda da capa cidade do material) fN = 0.1; % Fração volumétrica de vazios nucleados sN = 0.1; % Desviador padrão da deformação devido a nucleação de vazios eN = 0.3; % Deformação média devido a nucleação de vazios %================================================== ================================= % INFORMAÇÕES DA MALHA E ELEMENTOS %================================================== ================================= num_nodes = 21; num_elems = num_nodes - 1; nodes = linspace (0,L,num_nodes); elm_cnc = [1:1:num_elems ; 2:1:num_nodes]'; h_e = nodes (2) - nodes (1); LT = zeros (num_elems, 1); for i = 1: num_elems; %Tamanho da Barra discretizada LT(i,1)=h_e*i; end % Be = [-1 1]/h_e; Ne = [-0.5 0.5]*h_e; % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %=============================== PROCESSAMENTO ================================% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % %================================================== ================================= % MODELO CONSTITUTIV O %================================================== =================================
94
% # 1º PASSO: Inicialização % ddes_1 = zeros (num_nodes, 1); ddes_1(end) = ddes_1(end)+0.000001; des_1 = zeros (num_nodes, 1) ; eps_p_1 = zeros (num_elems, 1); eps_2 = zeros (num_elems, 1); Q_trial_2 = zeros (num_elems, 1); sigma_trial_2 = zeros (num_elems, 1); alpha_1 = zeros (num_elems, 1); sigma_2e = zeros (num_elems, 1); eps_p_2e = zeros (num_elems, 1); alpha_2e = zeros (num_elems, 1); Q_trial_2e = zeros (num_elems, 1); delta_gama2e = zeros (num_elems, 1); MTEPe = zeros (num_elems, 1); fve = zeros (num_elems, 1); f_1e = zeros (num_elems, 1); ii =1; P1 = P; x = h_e : h_e : L; Tx = length(x); f0e = zeros(Tx,1); XX = zeros(Tx,1); % % caracterização do entalhe % for xx = h_e : h_e : L if xx <= posJ || xx >= (posJ+dJ) f0e(ii) = 0 ; XX(ii) = xx; else f0e(ii) = f0; XX(ii) = xx; end ii = ii + 1; end % f_1e(:,1) = f0e'; % for t=1:dt:150; % for n=1:maxIter; % % Deslocamento nodal total "des" % des_2 = des_1 + ddes_1; % % Cálculo do campo de deformações "eps" % for i = 1:size(elm_cnc,1); % dnode = [des_2(i);des_2(i+1)]; eps_2(i,1) = Be*dnode; % % # 2º PASSO: Estado tentativo (Modelo Constituti vo) % loc = i*h_e; if loc <= posJ || loc >= (posJ+dJ); E = E1; H = H1; else E = E2; H = H2; end % sigma_trial_2(i,1) = E*(eps_2(i,1) - ep s_p_1(i,1)); % % Fração Volumétrica de vazios % aux if aux < 2 aux30 = 1; else aux30 = aux-1; end
95
% f_1 = f_1e(:,aux30); % if f_1(i,1) < fc; fv_1 = f_1(i,1); else fv_1 = fc - (((1/q1) - fc)/(fF - fc ))*fc + (((1/q1) - fc)/(fF - fc))*f_1(i,1); end % if fv_1 >= fF break end % PH_trial = -(1/3)*sigma_trial_2(i,1); aux1 = cosh((3*q2*PH_trial)/(2*(sigma_y +(alpha_1(i,1)*H)))); omega_trial = sqrt(1 - 2*q1*fv_1*aux1 + q3*(fv_1^2)); VAR = round(1 - 2*q1*fv_1*aux1 + q3*(fv _1^2)); if VAR < 0; break end % % Critério de Escoamento % Q_trial_2(i,1) = abs(sigma_trial_2(i,1) ) - omega_trial*(sigma_y + alpha_1(i,1)*H); % if Q_trial_2(i,1) <= 0.0 && eps_p_1(i,1) == 0 % % # PASSO ELÁSTICO % % tensão sigma2 = sigma_trial_2(i,1); % deformação plástica eps_p2 = eps_p_1(i,1); %encruamento isotrópico alpha2 = alpha_1(i,1); % Cálculo da fração volumétrica de vazios fv2 = fv_1; %Cálculo do Módulo Tangente Elasto-Plastico MTEP = E; % else % % # PASSO PLÁSTICO % if fv_1 == 0.0 %Teste para utilização ou não do modelo de GTN % S1 = sigma_trial_2(i,1)/abs(sig ma_trial_2(i,1)); % Multiplicador não negativo para o fluxo plástico delta_gama2 = (Q_trial_2(i,1))/ (E + H); % Tensão sigma2 = (1 - ((delta_gama2*E)/(abs(sigma_trial_2(i,1)))))*sigma_ trial_2(i,1); % Deformação eps_p2 = eps_p_1(i,1) + delta_g ama2*S1; % Encruamento isotrópico alpha2 = alpha_1(i,1) + delta_g ama2; % Cálculo do Módulo Tangente Elasto-Plastico MTEP = E*H/(E+H); % Fração volumétrica de vazios fv2 = 0; % else % % Modelo GTN S1 = sigma_trial_2(i,1)/abs(sig ma_trial_2(i,1)); %(Sinal Tensão) % multiplicador não negativo para o fluxo plástico delta_gama2 = ((abs(sigma_tria l_2(i,1))- omega_trial*(sigma_y + (H*alpha_1(i,1))))/(E+(omega_trial*H))); % tensão sigma2 = (1 - ((delta_gama2*E)/(abs(sigma_trial_2(i,1)))))*sigma_ trial_2(i,1); % deformação eps_p2 = (eps_p_1(i,1) + delta_ gama2*S1); % encruamento isotrópico alpha2 = (alpha_1(i,1) + delta_ gama2);
96
% Cálculo da fração volumétrica de vazios Y0 = (((1-fv_1) + (fN/(sN*sqrt( 2*pi)))*exp((-(1/2)*(((eps_p2-eN)/sN)^2))))); PNL = (lc^2)*(12/(h_e^2))*(delt a_gama2/sigma_y)*fv_1; PL = Y0*(delta_gama2*S1); fv2 = fv_1 + PNL + PL; % Cálculo da váriavel omega da superficie de escoam ento PH2 = (-1/3)*sigma2; omega2 = sqrt(1 - 2*q1*fv2*cosh(((3*q2*PH2)/(2*(sigma_y+(alpha2*H)))) ) + q3*(fv2^2)); % %Cálculo do Módulo Tangente Ela sto-Plastico S2 = sigma2/abs(sigma2); A = ((3*q1*q2*fv2)/(2*omega2*(sigma_y+(alpha2*H))))*sin h((3*q2*PH2)/(2*(sigma_y+(alpha2*H)))); B = (omega2^2 + q3*(fv2^2) - 1) /(2*omega2*fv2); C = -((A*E*omega2*H)/(3*(E+(ome ga2*H)) + E*A*(sigma_y+(alpha2*H))*S2)); D = (3*B*(E+(omega2*H)))/(3*(E+ (omega2*H)) + E*A*(sigma_y+(alpha2*H))*S2); Y = ((1-fv2) + (fN/(sN*sqrt(2*p i)))*exp((-(1/2)*(((eps_p2-eN)/sN)^2)))); Z = (lc^2)*(12/(h_e^2))*(delta_ gama2/sigma_y)*fv_1 + Y*S2; W = (omega2*H) + ((C*(E+(omega2 *H))*S2 - D*Z*E)*(sigma_y+(alpha2*H)))/((E+(omega2*H)) + D*Z* (sigma_y+(alpha2*H))); MTEP = (E*W)/(E + (omega2*H)); end end % sigma_2e(i,1) = sigma2; eps_p_2e(i,1) = eps_p2; alpha_2e(i,1) = alpha2; MTEPe(i,1) = MTEP; fve(i,1) = fv2; Q_trial_2e(i,1) = Q_trial_2(i,1); end %================================================== ================================= % AGRUPAMENTO (ASSEMBLY) DA MATRIZ DE RIGIDEZ E FORÇAS %================================================== ================================= K = zeros (num_nodes, num_nodes); Fext = zeros (num_nodes, 1); Fint = zeros (num_nodes, 1); BeT = transpose(Be); NT = transpose(Ne); % for j = 1 : size(elm_cnc,1); % K_e = transpose(Be)*MTEPe(j,1)*Be*h_e; asm = elm_cnc (j,:); K(asm , asm) = K(asm , asm) + K_e; Fext_e = NT*rho*b; Fext(asm) = Fext(asm) + Fext_e; Fint_e = BeT*sigma_2e(j,1)*h_e; Fint(asm) = Fint(asm) + Fint_e ; % end %================================================== ================================= % CONDIÇÕES DE CONTORN O %================================================== ================================= P2 = P1 + 10*dt; Fext = Fext - K(:,1) * u_o; Fext (1) = K(1,1) * u_o; Fext (end) = Fext (end) + P2; %Aplicação da força externa Fint = Fint - K(:,1) * u_o; Fint (1) = K(1,1) * u_o; % K(1,:) = 0; K(:,1) = 0; K(1,1) = 1; %================================================== ================================= % TESTE DE CONVERGÊNC IA %================================================== ================================= Resid = Fint-Fext; R = abs(Resid); % if R<=tol %
97
sigma(:,aux) = sigma_2e; eps_p(:,aux) = eps_p_2e; eps(:,aux) = eps_2 + aux2; alpha(:,aux) = alpha_2e; f(:,aux) = fve; des(:,aux) = des_2; ddes(:,aux) = ddes_1; Q_trial(:,aux) = Q_trial_2e; delta_gama(:,aux) = delta_gama2e; f_1e(:,aux) = fve; eps_p_1 = eps_p_2e; alpha_1 = alpha_2e; P1 = P2; % TT(aux,:) = t; % aux2 = eps(:,aux); aux = aux+1 % break % else % Kinv = -inv(K); ddes_2 = Kinv*Resid; % ddes_1 = ddes_2; des_1 = des_2; % if n==(maxIter-1); break end % end end % if n==(maxIter-1); break end % end % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %============================== PÓS-PROCESSAMENTO =============================% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % n f tu = length(TT); ffinal=f(:,tu); TT LT; x = h_e : h_e : L; LN = x/L; % save ffinal400 ffinal -ascii -double -tabs save LN400 LN -ascii -double -tabs figure(1) % plot(eps,sigma) title( 'Tensão X Deformação' ) xlabel( 'Deformação' ) ylabel( 'Tensão (MPa)' ) % figure(2) % plot(TT,f) title( '' ) xlabel( 'Tempo' ) ylabel( 'Fração Volumétrica de Vazios' ) % figure(3) %
98
plot(eps_p,f) title( '' ) xlabel( 'Deformação Plástica' ) ylabel( 'Fração Volumétrica de Vazios' ) % figure(4) % plot(eps) title( '' ) xlabel( 'Comprimento da Barra (L)' ) ylabel( 'Deformação total' ) % figure(5) % plot(LN,eps_p) title( '' ) xlabel( 'Comprimento da Barra Normalizado (x/L)' ) ylabel( 'Deformação Plástica' ) % figure(6) % plot(LN,f) title( '' ) xlabel( 'Comprimento da Barra Normalizado (x/L)' ) ylabel( 'Fração Volumétrica de Vazios no Tempo' ) % figure(7) % plot(LN,sigma) title( '' ) xlabel( 'Comprimento da Barra Normalizado (x/L)' ) ylabel( 'Tensão (MPa)' ) figure(8) % plot(LN,ffinal) title( '' ) xlabel( 'Comprimento da Barra Normalizado (x/L)' ) ylabel( 'Fração Volumétrica de Vazios no Instante Final' ) end
99
function fem_GTN_1D_BARRA_ENTALHE clear all clc format long %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %=============================== PRÉ-PROCESSAMENTO ============================% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Definição do problema, propriedades do material. discretização, % geometria, condições de contorno como forças e de slocamentos % % PROBLEM %================================================== ================================= % DADOS INICIAIS E DO M ATERIAL %================================================== ================================= E = 200000; % (MPa) Módulo de young sigma_y = 400; % (MPa) Tensão de Escoamento H = 35000; % (MPa) Módulo Plástico rho = 7800*10^(-9); % (kg/mm^3) massa específica do material L = 100; % (mm) comprimento da barra lc = 0; %0.0025*L; r0 = L*0.08; %(mm)0.09 rn = L*0.026; % (mm)0.025 b = 10; % (G) força de campo u_o =0; % deslocamento inicial do nó engastado P = 42000; % (N) Tensão inicial no nó da extremidade livre tol = 10^(-8); %Tolerancia (erro) aux = 1; aux2 = 0; maxIter = 200; dt = 1; % delta t %================================================== ================================= % CONSTANTES GURSON-TVERGAA RD-NEEDLEMAN %================================================== ================================= q1 = 1.7; %\ q2 = 0.975; % = Coeficientes de Tvergaard para descrição plásti ca do material q3 = q1^2; %/ f0 = 0.0002; % Fração volumétrica de vazios inicial fc = 0.013; % 0.013 Fração volumétrica de vazios Crítica (inici o da coalescencia dos vazios) fF = 0.15; % Fração volumétrica de vazios Final (perda da capa cidade do material) fN = 0.1; % Fração volumétrica de vazios nucleados sN = 0.1; % Desviador padrão da deformação devido a nucleação de vazios eN = 0.3; % Deformação média devido a nucleação de vazios %================================================== ================================= % INFORMAÇÕES DA MALHA E ELEMENTOS %================================================== ================================= num_nodes = 401; num_elems = num_nodes - 1; nodes = linspace (0,L,num_nodes); elm_cnc = [1:1:num_elems ; 2:1:num_nodes]'; h_e = nodes (2) - nodes (1); LT = zeros (num_elems, 1); for i = 1: num_elems; %Tamanho da Barra discretizada LT(i,1)=h_e*i; end % Be = [-1 1]/h_e; Ne = [-0.5 0.5]*h_e; % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %=============================== PROCESSAMENTO ================================% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % %================================================== ================================= % MODELO CONSTITUTIV O %================================================== ================================= % # 1º PASSO: Inicialização % ddes_1 = zeros (num_nodes, 1); ddes_1(end) = ddes_1(end)+0.000001; des_1 = zeros (num_nodes, 1) ; eps_p_1 = zeros (num_elems, 1); eps_2 = zeros (num_elems, 1); Q_trial_2 = zeros (num_elems, 1); sigma_trial_2 = zeros (num_elems, 1);
100
alpha_1 = zeros (num_elems, 1); sigma_2e = zeros (num_elems, 1); eps_p_2e = zeros (num_elems, 1); alpha_2e = zeros (num_elems, 1); Q_trial_2e = zeros (num_elems, 1); delta_gama2e = zeros (num_elems, 1); MTEPe = zeros (num_elems, 1); AreaT = zeros (num_elems, 1); fve = zeros (num_elems, 1); f_1e = zeros (num_elems, 1); ii =1; P1 = P; x = h_e : h_e : L; Tx = length(x); r = zeros(Tx,1); f0e = zeros(Tx,1); XX = zeros(Tx,1); % % caracterização do entalhe % for xx = h_e : h_e : L par = abs(xx - (L/2)); if par < rn r(ii) = r0 - sqrt((rn^2)-((L/2)-xx) ^2); f0e(ii) = f0 ; XX(ii) = xx; else r(ii) = r0; f0e(ii) = f0; XX(ii) = xx; end ii = ii + 1; end % % re(:,1) = r'; f_1e(:,1) = f0e'; % for t=1:dt:150; % for n=1:maxIter; % % Deslocamento nodal total "des" % des_2 = des_1 + ddes_1; % % Cálculo do campo de deformações "eps" % for i = 1:size(elm_cnc,1); % dnode = [des_2(i);des_2(i+1)]; eps_2(i,1) = Be*dnode; % % # 2º PASSO: Estado tentativo (Modelo Constituti vo) % sigma_trial_2(i,1) = E*(eps_2(i,1) - ep s_p_1(i,1)); % % Fração Volumétrica de vazios % aux if aux < 2 aux30 = 1; else aux30 = aux-1; end % f_1 = f_1e(:,aux30); % if f_1(i,1) < fc; fv_1 = f_1(i,1); else fv_1 = fc - (((1/q1) - fc)/(fF - fc ))*fc + (((1/q1) - fc)/(fF - fc))*f_1(i,1); end %
101
if fv_1 >= fF break end % PH_trial = -(1/3)*sigma_trial_2(i,1); aux1 = cosh((3*q2*PH_trial)/(2*(sigma_y +(alpha_1(i,1)*H)))); omega_trial = sqrt(1 - 2*q1*fv_1*aux1 + q3*(fv_1^2)); VAR = round(1 - 2*q1*fv_1*aux1 + q3*(fv _1^2)); if VAR < 0; break end % % Critério de Escoamento % Q_trial_2(i,1) = abs(sigma_trial_2(i,1) ) - omega_trial*(sigma_y + alpha_1(i,1)*H); % if Q_trial_2(i,1) <= 0.0 && eps_p_1(i,1) == 0 % % # PASSO ELÁSTICO % % tensão sigma2 = sigma_trial_2(i,1); % deformação plástica eps_p2 = eps_p_1(i,1); %encruamento isotrópico alpha2 = alpha_1(i,1); % Cálculo da fração volumétrica de vazios fv2 = fv_1; %Cálculo do Módulo Tangente Elasto-Plastico MTEP = E; % else % % # PASSO PLÁSTICO % if fv_1 == 0.0 %Teste para utilização ou não do modelo de GTN % S1 = sigma_trial_2(i,1)/abs(sig ma_trial_2(i,1)); % Multiplicador não negativo para o fluxo plástico delta_gama2 = (Q_trial_2(i,1))/ (E + H); % Tensão sigma2 = (1 - ((delta_gama2*E)/(abs(sigma_trial_2(i,1)))))*sigma_ trial_2(i,1); % Deformação eps_p2 = eps_p_1(i,1) + delta_g ama2*S1; % Encruamento isotrópico alpha2 = alpha_1(i,1) + delta_g ama2; % Cálculo do Módulo Tangente Elasto-Plastico MTEP = E*H/(E+H); % Fração volumétrica de vazios fv2 = 0; % else % % Modelo GTN S1 = sigma_trial_2(i,1)/abs(sig ma_trial_2(i,1)); %(Sinal Tensão) % multiplicador não negativo para o fluxo plástico delta_gama2 = ((abs(sigma_tria l_2(i,1))- omega_trial*(sigma_y + (H*alpha_1(i,1))))/(E+(omega_trial*H))); % tensão sigma2 = (1 - ((delta_gama2*E)/(abs(sigma_trial_2(i,1)))))*sigma_ trial_2(i,1); % deformação eps_p2 = (eps_p_1(i,1) + delta_ gama2*S1); % encruamento isotrópico alpha2 = (alpha_1(i,1) + delta_ gama2); % Cálculo da fração volumétrica de vazios Y0 = (((1-fv_1) + (fN/(sN*sqrt( 2*pi)))*exp((-(1/2)*(((eps_p2-eN)/sN)^2))))); PNL = (lc^2)*(12/(h_e^2))*(delt a_gama2/sigma_y)*fv_1; PL = Y0*(delta_gama2*S1); fv2 = fv_1 + PNL + PL; % Cálculo da váriavel omega da superficie de escoam ento PH2 = (-1/3)*sigma2; omega2 = sqrt(1 - 2*q1*fv2*cosh(((3*q2*PH2)/(2*(sigma_y+(alpha2*H)))) ) + q3*(fv2^2));
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% %Cálculo do Módulo Tangente Ela sto-Plastico S2 = sigma2/abs(sigma2); A = ((3*q1*q2*fv2)/(2*omega2*(sigma_y+(alpha2*H))))*sin h((3*q2*PH2)/(2*(sigma_y+(alpha2*H)))); B = (omega2^2 + q3*(fv2^2) - 1) /(2*omega2*fv2); C = -((A*E*omega2*H)/(3*(E+(ome ga2*H)) + E*A*(sigma_y+(alpha2*H))*S2)); D = (3*B*(E+(omega2*H)))/(3*(E+ (omega2*H)) + E*A*(sigma_y+(alpha2*H))*S2); Y = ((1-fv2) + (fN/(sN*sqrt(2*p i)))*exp((-(1/2)*(((eps_p2-eN)/sN)^2)))); Z = (lc^2)*(12/(h_e^2))*(delta_ gama2/sigma_y)*fv_1 + Y*S2; W = (omega2*H) + ((C*(E+(omega2 *H))*S2 - D*Z*E)*(sigma_y+(alpha2*H)))/((E+(omega2*H)) + D*Z* (sigma_y+(alpha2*H))); MTEP = (E*W)/(E + (omega2*H)); end end % sigma_2e(i,1) = sigma2; eps_p_2e(i,1) = eps_p2; alpha_2e(i,1) = alpha2; MTEPe(i,1) = MTEP; fve(i,1) = fv2; Q_trial_2e(i,1) = Q_trial_2(i,1); end %================================================== ================================= % AGRUPAMENTO (ASSEMBLY) DA MATRIZ DE RIGIDEZ E FORÇAS %================================================== ================================= K = zeros (num_nodes, num_nodes); Fext = zeros (num_nodes, 1); Fint = zeros (num_nodes, 1); BeT = transpose(Be); NT = transpose(Ne); % for j = 1 : size(elm_cnc,1); rr = re(j,1); Area = pi*(rr^2); % K_e = transpose(Be)*Area*MTEPe(j,1)*Be* h_e; asm = elm_cnc (j,:); K(asm , asm) = K(asm , asm) + K_e; Fext_e = NT*rho*Area*b; Fext(asm) = Fext(asm) + Fext_e; Fint_e = BeT*Area*sigma_2e(j,1)*h_e; Fint(asm) = Fint(asm) + Fint_e ; % AreaT(j,1) = Area; end %================================================== ================================= % CONDIÇÕES DE CONTORN O %================================================== ================================= P2 = P1 + 1000*dt; Fext = Fext - K(:,1) * u_o; Fext (1) = K(1,1) * u_o; Fext (end) = Fext (end) + P2; %Aplicação da força externa Fint = Fint - K(:,1) * u_o; Fint (1) = K(1,1) * u_o; % K(1,:) = 0; K(:,1) = 0; K(1,1) = 1; %================================================== ================================= % TESTE DE CONVERGÊNC IA %================================================== ================================= Resid = Fint-Fext; R = abs(Resid); % if R<=tol % sigma(:,aux) = sigma_2e; eps_p(:,aux) = eps_p_2e; eps(:,aux) = eps_2 + aux2; alpha(:,aux) = alpha_2e; f(:,aux) = fve; des(:,aux) = des_2;
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ddes(:,aux) = ddes_1; Q_trial(:,aux) = Q_trial_2e; delta_gama(:,aux) = delta_gama2e; f_1e(:,aux) = fve; eps_p_1 = eps_p_2e; alpha_1 = alpha_2e; P1 = P2; % TT(aux,:)=t; % aux2 = eps(:,aux); aux = aux+1; % % break % else % Kinv = -inv(K); ddes_2 = Kinv*Resid; % ddes_1 = ddes_2; des_1 = des_2; % if n==(maxIter-1); break end % end end % if n==(maxIter-1); break end % end % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %============================== PÓS-PROCESSAMENTO =============================% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % n f tu = length(TT); ffinal=f(:,tu); TT LT; AreaT; LN = x/L; % save Nffinal20 ffinal -ascii -double -tabs save NLN20 LN -ascii -double -tabs figure(1) % plot(eps,sigma) title( 'Tensão X Deformação' ) xlabel( 'Deformação' ) ylabel( 'Tensão (MPa)' ) % figure(2) % plot(TT,f) title( '' ) xlabel( 'Tempo' ) ylabel( 'Fração Volumétrica de Vazios' ) % figure(3) % plot(eps_p,f) title( '' ) xlabel( 'Deformação Plástica' ) ylabel( 'Fração Volumétrica de Vazios' )
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% figure(4) % plot(eps) title( '' ) xlabel( 'Comprimento da Barra (L)' ) ylabel( 'Deformação total' ) % figure(5) % plot(LN,eps_p) title( '' ) xlabel( 'Comprimento da Barra Normalizado (x/L)' ) ylabel( 'Deformação Plástica' ) % figure(6) % plot(LN,f) title( '' ) xlabel( 'Comprimento da Barra Normalizado (x/L)' ) ylabel( 'Fração Volumétrica de Vazios no Tempo' ) % figure(7) % plot(LN,sigma) title( '' ) xlabel( 'Comprimento da Barra Normalizado (x/L)' ) ylabel( 'Tensão (MPa)' ) % figure(8) % % plot(LT,AreaT) % title('') % xlabel('Comprimento da Barra') % ylabel('Area da seção transversal') % figure(9) % plot(LN,ffinal) title( '' ) xlabel( 'Comprimento da Barra Normalizado (x/L)' ) ylabel( 'Fração Volumétrica de Vazios no Instante Final' ) end