Çukurova Ünİversİtesİ fen bİlİmlerİ enstİtÜsÜ yÜksek ... · analizlerde ince plak...

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ Emel YAĞCI

TABAKALI KOMPOZİT İNCE PLAKLARIN PLAK DÜZLEMİNE DİK YÜKLEME ETKİSİ ALTINDAKİ EĞİLME ANALİZİ

İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ADANA, 2007


Emel YAĞCI

YÜKSEK LİSANS TEZİ

İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

Bu tez 04/12/2007 Tarihinde Aşağıdaki Jüri üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu İle Kabul Edilmiştir. İmza:.......................... İmza:..................................... İmza:................... Doç.Dr. H. Murat ARSLAN Yrd.Doç.Dr. A.Hamza TANRIKULU Doç.Dr. Galip SEÇKİN DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu tez enstitümüz İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. Aziz ERTUNÇ Enstitü Müdürü

Bu çalışma Çukurova Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi Tarafından Desteklenmiştir. Proje No:MMF.2005.YL.331 Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaklardan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

TABAKALI KOMPOZİT İNCE PLAKLARIN PLAK DÜZLEMİNE

DİK YÜKLEME ETKİSİ ALTINDAKİ EĞİLME ANALİZİ

I

ÖZ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Emel YAĞCI


İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

Danışman: Doç.Dr. H. Murat ARSLAN Yıl: 2007, Sayfa:193

Jüri :Doç. Dr. H. Murat ARSLAN Yrd. Doç. Dr. A. Hamza TANRIKULU Yrd. Doç. Dr. Galip SEÇKİN

Bu çalışmada, tabakalı plakların düşey yükler altında statik analizleri

yapılmıştır. Analizlerde simetrik ve antisimetrik tabakalanma durumlarındaki plağın

davranışları incelenmiştir. Plak malzemesi izotrop ve ortotrop olarak kabul

edilmiştir. Simetrik tabakalanma durumları için plak eğilime rijitlikleri, plağın farklı

tabakalanma durumları için ise farklı tabakalanma açıları, farklı elastisite modülleri

ve plağın kenar uzunluklarının birbirine oranına göre plak davranışı incelenmiştir.

Analizlerde ince plak kabulleri ile ele edilen diferansiyel denklemler, değişkenlerine

ayırma yöntemleriyle çözülmüştür. MATHEMATİCA adlı bilgisayar programı

yardımıyla, çözüm için bir bilgisayar programı hazırlanıp, sonuçlar sonlu elemanlar

yöntemine dayalı çözüm yapan ANSYS paket programı ile elde edilen sonuçlarla

karşılaşılmıştır.

Anahtar Kelimeler: Statik analiz, Tabakalı plaklar, İnce plak teorisi, Simetrik ve Antisimetrik tabakalanma, Değişkenlerine ayırma yöntemi.

TABAKALI KOMPOZİT İNCE PLAKLARIN PLAK DÜZLEMİNE

DİK YÜKLEME ETKİSİ ALTINDAKİ EĞİLME ANALİZİ

II

ABSTRACT

MSc THESIS

Emel YAĞCI

DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES

UNIVERSTY OF CUKUROVA

Supervisor : Doç.Dr. H. Murat ARSLAN Year : 2007, Pages :193 Jury :Assoc. Dr. H. Murat ARSLAN Asist. Prof. Dr. A. Hamza TANRIKULU Assoc.Prof. Dr. Galip SEÇKİN

In this study, the static analysis of laminated plates under vertical loads, is

studied. In the analysis, the behaviour of the plate in the cases of symmetric and

antisymetric lamination, is investigated. The material of the plate is considered to be

isotropic and orthotropic. For symmetric lamination cases, plate bending stiffnesses,

behaviour of the plate with different lamination angles and different plate

arrangements are investigated while for antisymmetric lamination cases, the plate

behaviour is investigated according to the lamination angles, different elasticity

moduli ratios and different aspect ratios of the plate. In the analysis the differential

equations which are optained employing thin plate assumptions, are solved by the

help of the method of separation of variables. Preparing a computer program for the

solution by the help of a computer algebra system called MATHEMATICA, the

results are compared with the results which are obtained using the commercial

computer program ANSYS which carries out solutions based on the finite element

method.

Key Words: Static analysis, Laminated Plates, Thin Plate Theory, Symmetric and Antisymmetric Lamination, Separation of Variables Method.

BENDING ANALYSIS OF LAMINATED COMPOSITE

THIN PLATES UNDER THE EFFECTS OF THE TRANSVERSE LOADING

III

TEŞEKKÜR

Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren ve

yöneten Danışman Hocam Doç.Dr. H.Murat ARSLAN ’ a teşekkür ederim.

Ayrıca, bu çalışmanın her adımında zamanını ve yardımlarını esirgemeyen

Araştırma Görevlisi Sayın Ali DOĞAN’a, sabır ve desteklerinden dolayı sevgili

aileme ve arkadaşlarıma en içten teşekkürlerimi sunarım.

IV

İÇİNDEKİLER SAYFA

ÖZ ........................................................................................................................ I

ABSTRACT ....................................................................................................... II

TEŞEKKÜR ...................................................................................................... III

İÇİNDEKİLER .................................................................................................. IV

ÇİZELGELER DİZİNİ ..................................................................................... VII

ŞEKİLLER DİZİNİ ........................................................................................... IX

SEMBOLLER DİZİNİ ................................................................................... XIV

1.GİRİŞ ............................................................................................................... 1

2.ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR ................................................................................. 3

3.MATERYAL VE METOD ............................................................................... 5

3.1.Kompozit Malzemeler ................................................................................ 5

3.2.Kompozit Malzemelerin Kullanımı ............................................................ 7

4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ .......................................... 9

4.1.Giriş .......................................................................................................... 9

4.2. Tanımlamaların İncelenmesi .................................................................. 14

4.2.1.Gerilme ......................................................................................... 14

4.2.2. Şekil Değiştirme ........................................................................... 17

4.2.3. Malzeme Modülleri ...................................................................... 22

4.2.4. Şekil Değiştirme Enerjisi .............................................................. 24

4.3. Farklı Tip Malzemeler İçin Hook Kanunları ........................................... 25

4.3.1. Anizotropik Malzeme ................................................................... 27

4.3.2. Monoklinik Malzeme ................................................................... 28

4.3.3. Ortotropik Malzeme ..................................................................... 28

4.3.4. Transversely (Enine) İzotropik Malzeme ...................................... 29

4.3.5. İzotropik Malzeme ....................................................................... 30

4.4. Ortotropik Malzemelerde Gerilme ve Deformasyonların

Esneklik Matrisi İle Olan İlişkisi ........................................................... 31

4.5. Klasik Tabaka Teorisi(CLT) .................................................................. 37

4.6. Hook Kanunlarının Üç Boyuttan İki Boyuta İndirgenmesi ...................... 38

V

4.7. İki Boyutlu Açılı Tabakalar İçin Hook Kanunları .................................. 39

4.8. Bir Tabakadaki Deplasman, Gerilme ve Şekil Değiştirme Denklemleri . 44

4.9. Orta Yüzey Eğilme ve Şekil Değiştirmelerine Bağlı Olarak Oluşan

Kuvvetler ve Momentler ....................................................................... 48

4.10. Bazı Özel Tabakalanma Tipleri ........................................................... 53

4.10.1.Simetrik Tabakalanma ............................................................... 53

4.10.1.1. İzotropik Simetrik Tabakalanma .................................. 53

4.10.1.2. Özel Ortotropik Simetrik Tabakalanma ....................... 54

4.10.1.3. Genel Ortotropik Simetrik Tabakalanma ..................... 55

4.10.2. Antisimetrik Tabakalanma ........................................................ 55

4.10.2.1. Antisimetrik Çapraz-Katlı Tabakalanma ...................... 56

4.10.2.2. Antisimetrik Açılı-Katlı Tabakalanma ......................... 56

5.TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ ........................ 57

5.1. Giriş ...................................................................................................... 57

5.2. Tabakalı Kompozit Plakları İdare Eden Denge Denklemleri .................. 57

5.3. Basit Mesnetli Dikdörtgen İnce Tabakalı Plakların Analizi .................... 62

5.3.1. Özel Ortotropik Tabakalanma ...................................................... 64

5.3.2. Simetrik Açılı-Katlı Tabakalanma ............................................... 65

5.3.3. Antisimetrik Çapraz-Katlı Tabakalanma ...................................... 66

5.3.4. Antisimetrik Açılı-Katlı Tabakalanma ......................................... 67

6. SAYISAL UYGULAMALAR ....................................................................... 69

6.1. Giriş ...................................................................................................... 69

6.2.Sayısal Örnekler ..................................................................................... 70

6.2.1. Simetrik Tabakalanma ................................................................. 70

Örnek 1 ........................................................................................ 70

Örnek 2 ........................................................................................ 74

Örnek 3 ........................................................................................ 82

Örnek 4 ...................................................................................... 107

6.2.2. Antisimetrik Tabakalanma ......................................................... 131

Örnek 5 ...................................................................................... 131

Örnek 6 ...................................................................................... 155

VI

7. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ..................................................................... 180

KAYNAKLAR ................................................................................................ 183

ÖZGEÇMİŞ .................................................................................................... 186

EKLER ............................................................................................................ 187

EK. Mathematica Programında Hazırlanmış Bilgisayar Programı .................... 189

VII

ÇİZELGELER DİZİNİ SAYFA

Çizelge 6.1. Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması .............................. 71

Çizelge 6.2. Plak orta noktasındaki gerilme değerlerinin karşılaştırılması .............. 71

Çizelge 6.3. Plak orta noktasındaki moment değerlerinin karşılaştırılması .............. 71

Çizelge 6.4. Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması ........................... 75

Çizelge 6.5. Plak moment değerleri........................................................................ 75

Çizelge 6.6.a. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri ................. 76

Çizelge 6.6.b. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri ................. 77

Çizelge 6.7. Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-1) .... 83

Çizelge 6.8. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için

farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1).... 84

Çizelge 6.9. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı

iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1) .......... 85

Çizelge 6.10. Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-2) .. 95


iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2) ............. 96



Çizelge 6.13. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı durumlar

için plak eğilme rijitlikleri ............................................................... 108

Çizelge 6.14. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı

açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için plak orta

noktasındaki çökme değerleri .......................................................... 109

Çizelge 6.15.Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı

açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için iki yöntemle

moment değerlerinin karşılaştırılması .............................................. 110

Çizelge 6.16. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak

problemlerinde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak

orta noktasındaki çökme değerleri ................................................... 132

VIII

Çizelge 6.17. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde

tabaka sayısına ve a/b oranına göre moment değerleri ..................... 133


tabaka sayısına ve a/b oranına göre B11 değerleri ........................... 134


tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B11 değerleri ....................... 143

Çizelge 6.20.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde

tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre

plak orta noktasındaki çökme değerleri ........................................ 144

Çizelge 6.20.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde

tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak

orta noktasındaki çökme değerleri................................................ 145

Çizelge 6.20.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde





plak moment değerleri ................................................................. 146







Çizelge 6.22.Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde

tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre

plak orta noktasındaki çökme değerleri ........................................... 156

Çizelge 6.23.Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka

sayısına ve açı değerindeki değişime göre

plak moment değerleri ..................................................................... 157

IX

Çizelge 6.24. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde

tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B16 değerleri ...... 158




tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B16 ve B26 değerleri .......... 168

Çizelge 6.27.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde

tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki

çökme değerleri ........................................................................... 169

Çizelge 6.27.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde


çökme değerleri ........................................................................... 170

Çizelge 6.27.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde


çökme değerleri ........................................................................... 171



moment değerleri ......................................................................... 171







VII

ÇİZELGELER DİZİNİ SAYFA

Çizelge 6.1. Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması .............................. 71

Çizelge 6.2. Plak orta noktasındaki gerilme değerlerinin karşılaştırılması .............. 71

Çizelge 6.3. Plak orta noktasındaki moment değerlerinin karşılaştırılması .............. 71

Çizelge 6.4. Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması ........................... 75

Çizelge 6.5. Plak moment değerleri........................................................................ 75

Çizelge 6.6.a. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri ................. 76

Çizelge 6.6.b. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri ................. 77

Çizelge 6.7. Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-1) .... 83

Çizelge 6.8. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için

farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1).... 84


iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1) .......... 85

Çizelge 6.10. Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-2) .. 95





Çizelge 6.13. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı durumlar

için plak eğilme rijitlikleri ............................................................... 108

Çizelge 6.14. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı

açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için plak orta

noktasındaki çökme değerleri .......................................................... 109

Çizelge 6.15.Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı

açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için iki yöntemle

moment değerlerinin karşılaştırılması .............................................. 110

Çizelge 6.16. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak

problemlerinde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak

orta noktasındaki çökme değerleri ................................................... 132

IX


tabaka sayısına ve a/b oranına göre moment değerleri ..................... 133


tabaka sayısına ve a/b oranına göre B11 değerleri ........................... 134





plak orta noktasındaki çökme değerleri ........................................ 144
















Çizelge 6.22.Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde

tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre

plak orta noktasındaki çökme değerleri ........................................... 156

Çizelge 6.23.Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka

sayısına ve açı değerindeki değişime göre

plak moment değerleri ..................................................................... 157

IX






tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B16 ve B26 değerleri .......... 168



çökme değerleri ........................................................................... 169



çökme değerleri ........................................................................... 170



çökme değerleri ........................................................................... 171










X

ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA

Şekil 4.1. Tabakalı kompozit elemanda fiber ve matris malzemelerin görünümü .... 9

Şekil 4.2. Normal doğrultuda yüklenmiş izotropik plağın deformasyonu .............. 10

Şekil 4.3. Normal doğrultuda yüklenmiş sıfır derece açılı fiberlere sahip

tek doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu ........................................................ 12

Şekil 4.4. Normal doğrultuda yüklenmiş açılı fiberlere

sahip tek doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu .............................. 13

Şekil 4.5. Rasgele bir düzlemde çok küçük bir alandaki gerilmeler ...................... 15

Şekil 4.6. y-z düzleminde çok küçük bir alandaki kuvvetler ................................. 16

Şekil 4.7. Sonsuz küçük kübik elemandaki gerilmeler .......................................... 17

Şekil 4.8. Çok küçük bir alanda x-y düzleminde normal ve

kayma şekil değiştirmeleri .................................................................... 18

Şekil 4.9. Üç boyutlu bir elemanda kartezyen koordinat sistemi ........................... 23

Şekil 4.10. Temel malzeme koordinat sistemi ...................................................... 31

Şekil 4.11. Fiberlerle güçlendirilmiş küçük bir elemandaki gerilmeler ................. 32

Şekil 4.12. σ1 gerilmesi altındaki bir elemanın deformasyonu .............................. 33

Şekil 4.13. τ12 kayma gerilmesi etkisindeki bir elemanın deformasyonu ............... 34

Şekil 4.14. Kirchoff hipotezine göre plağın eğilmesi ............................................ 37

Şekil 4.15. Açılı tabakalarda global ve lokal akslar .............................................. 40

Şekil 4.16. x-z düzleminde deformasyon .............................................................. 44

Şekil 4.17. Tabaka kalınlığı boyunca gerilme ve şekil değiştirmeler ..................... 47

Şekil 4.18. Bir tabakalı elemandaki katmanların koordinat yerleşimi ................... 48

Şekil 4.19. Üç tabakadan oluşan izotropik simetrik tabakalanma .......................... 54

Şekil 4.20. Üç tabakalı özel ortotropik simetrik tabakalanma ............................... 54

Şekil 4.21. Üç tabakalı simetrik açılı-katlı tabakalanma ....................................... 55

Şekil 4.22. İki tabakalı antisimetrik çapraz-katlı tabakalanma .............................. 56

Şekil 4.23. İki tabakalı antisimetrik açılı-katlı tabakalanma .................................. 56

Şekil 5.1. dxdydz boyutundaki kübik elemandaki gerilmeler ................................ 58

Şekil 5.2.a. Plak kuvvetleri .................................................................................. 59

Şekil 5.2.b. Plak momentleri ................................................................................ 59

Şekil 5.3. Lateral yük altındaki basit mesnetlenmiş dikdörtgen plak ..................... 63

XI

Şekil 6.1. Üniform yüklü kare plak ...................................................................... 70

Şekil 6.2. 20x20 SE ağıyla çözülen, a/h=50 olan çelik plak

problemi için düşey deplasman dağılımı ............................................... 72

Şekil 6.3. 20x20 SE ağıyla çözülen, a/h=50 olan çelik

plak problemi için σx gerilme dağılımı ................................................. 73

Şekil 6.4. 20x20 SE ağıyla çözülen, a/h=50 olan çelik

plak problemi için Mx moment dağılımı .............................................. 73

Şekil 6.5. Örnek 2 deki altı farklı tabakalanma durumu ........................................ 74

Şekil 6.6. Durum-1 deki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına

bağlı olarak değişimi ............................................................................ 79








bağlı olarak değişimi ......................................................................... 81


bağlı olarak değişimi ......................................................................... 81

Şekil 6.12. Örnek 3 için plak yerleşimi ................................................................ 82

Şekil 6.13. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plağın

eğilme rijitlikleri (Durum-1) .............................................................. 83

Şekil 6.14. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için

(a/2, b/2) noktasında plak çökme değerleri (Durum-1) ........................ 84


Mx değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1) ....................................... 87


My değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1) ....................................... 87

Şekil 6.17. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta

0o /90o /90o /0o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri .................... 88

XII


15o /90o /90o /15o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri ................ 88












0o /90o /90o /0o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri .................... 91


15o /90o /90o /15o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri ................ 92











Şekil 6.31. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plağın

eğilme rijitlikleri (Durum-2) ............................................................... 95


(a/2,b/2)noktasında ,çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2) . 96


Mx değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2) ....................................... 99

XIII


My değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2) ....................................... 99


90o /0o /0o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri .................. 100


90o /15o /15o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri .............. 100












90o /0o /0o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri .................. 103


90o /15o /15o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri .............. 104









Şekil 6.48.Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta


Şekil 6.49. Örnek 4 için tabaka dizilimi ............................................................. 107

XIV

Şekil 6.50. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme

değerlerinin karşılaştırılması(tabaka kalınlığı 0.120m ) ..................... 113







Şekil 6.54. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için Mx

değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.120m ) .................... 115

Şekil 6.55. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için My














Şekil 6.62. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx

gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.120m)(ANSYS) ................... 119


gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.120m )(D.A.Y.) ..................... 120


gerilmelerinin karşılaştırılması (t.k. 0.120m )(ANSYS-D.A.Y.) ........ 121


gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.240m ) (ANSYS) .................. 122

XV


gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.240m ) (D.A.Y.) .................... 123


gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.240m ) (ANSYS-D.A.Y.) ...... 124




gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.360m ) (D.A.Y.) .................... 126


gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.360m ) (ANSYS-D.A.Y.) ..... 127




gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.480m )(D.A.Y.) ..................... 129


gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.480m ) (ANSYS-D.A.Y.) ..... 130

Şekil 6.74. Örnek 5 deki dört tabakalı plak için tabakalanma şekli ..................... 131

Şekil 6.75. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde

tabaka sayısına ve a/b oranına göre B11 değerleri ............................. 134


tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki

çökme değerleri (D.A.Y) .................................................................. 136



çökme değerleri (ANSYS) ................................................................ 137



çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y) ................................................... 138


tabaka sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (D.A.Y) ................ 139


tabaka sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (ANSYS) .............. 140

XVI


tabaka sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y) . 141





çökme değerleri (D.A.Y) ................................................................. 149



çökme değerleri (ANSYS) ............................................................... 150





tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (D.A.Y) ........... 152


tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (ANSYS) ......... 153


tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y)154

Şekil 6.89. Örnek 6 daki dört tabakalı plak için tabakalanma şekli ..................... 155

Şekil 6.90. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde

tabaka sayısına ve açı değişimine göre B16 değerleri ....................... 158


tabaka sayısına ve açı değişimine göre B26 değerleri ....................... 159


tabaka sayısına ve açı değişimine göre plak orta noktasındaki





XVII



çökme değerleri (D.A.Y-ANSYS) ................................................... 163


tabaka sayısına ve açı değişimine göre Mx değerleri (D.A.Y) .......... 164


tabaka sayısına ve açı değişimine göre Mx değerleri (ANSYS) ........ 165


tabaka sayısına ve açı değişimine göre Mx değerleri (D.A.Y-ANSYS)166


tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B16-B26 değerleri ............... 168











tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (D.A.Y) .......... 177


tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (ANSYS) ........ 178


tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y)179

XVII

SEMBOLLER DİZİNİ

δ1 : 1 doğrultusundaki normal deformasyon miktarı.

δ2 : 2 doğrultusundaki normal deformasyon miktarı.

σx : x doğrultusundaki normal gerilme.

σy : y doğrultusundaki normal gerilme.

σz : z doğrultusundaki normal gerilme.

τyx,τyz,τzx : Eleman yüzeylerindeki kayma gerilmeleri.

εx : x doğrultusundaki normal şekil değiştirme.

εy : y doğrultusundaki normal şekil değiştirme.

εz : z doğrultusundaki normal şekil değiştirme.

u : x doğrultusundaki deplasman

v : y doğrultusundaki deplasman

z : z doğrultusundaki deplasman

γxy,γyz,γzx : Kayma şekil değiştirmeleri

E : Elastisite sabiti

υ : Poisson oranı

G : Kayma modülü

W : Her birim hacimde depolanan şekil değiştirme enerisi

[C] : Rijitlik (stiffness) matris

Cij : Rijitlik (stiffness) matrisinin elemanları

[S] : Esneklik (compliance) matris

Sij : Esneklik (compliance) matrisinin elemanları

Qij : İndirgenmiş rijitlik katsayıları

[T] : Transformasyon matrisi

[R] : Reuter matris

[ ]ijQ : Transformasyona uğramış elemanın indirgenmiş rijitlik matrisi

[ ]ijS : Transformasyona uğramış elemanın indirgenmiş rijitlik matrisi

uc : C noktasının x doğrultusunda yaptığı deplasman

uo : Orta düzlemin,x doğrultusunda yaptığı deplasman

XVIII

vo : Orta düzlemin, y doğrultusunda yaptığı deplasman

wo : Orta düzlemin, z doğrultusunda yaptığı deplasman

zc : Orta düzlemin C noktasına olan uzaklığı

β : x doğrultusunda orta düzlemdeki tabaka eğimi

εxo : Orta düzlemde x doğrultusundaki normal şekil değiştirme

εyo : Orta düzlemde y doğrultusundaki normal şekil değiştirme

γxyo : Orta düzlemdeki x-y kayma şekil değiştirmesi

Kx,Ky,Kxy : Orta düzlemdeki eğrilikler

a,b : Plak elemanının x ve y doğrultusundaki boyutları

t : Her bir tabakanın kalınlığı

h : Tabakalı plağın toplam kalınlığı

t : Her bir tabakanın kalınlığı

h0 : Birinci tabakanın üst yüzeyi

h1 : Birinci tabakanın alt yüzeyi

hn : n. tabakanın alt yüzeyi

hn-1 : n. tabakanın üst yüzeyi

hk-1 : k. tabakanın üst yüzeyi

hk : k. tabakanın alt yüzeyi

Nx,Ny : Birim uzunluktaki normal kuvvet

Nxy : Birim uzunluktaki kesme kuvveti

Mx,My : Birim uzunluktaki eğilme momentleri

Mxy : Birim uzunluktaki burkulma momentleri

Aij : Uzama rijitlik matrisi

Bij : Eğilme uzama arasındaki bağlanma rijitlik matrisi

Dij : Eğilme rijitlik matrisi

zyx F,F,F : Birim hacimdeki ortalama kütlesel kuvvetler

P0 : Birim yük

Amn : x doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı

Bmn : y doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı

Cmn : z doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı

1.GİRİŞ Emel YAĞCI

1

1.GİRİŞ

Plaklar, kalınlıkları diğer iki boyutuna oranla, çok küçük olan taşıyıcı

elemanlardır. Düşey ve yatay yükleri aktararak taşıyıcı sistem elemanları arasındaki

sürekliliği sağlamalarından dolayı, önemli bir taşıyıcı sistem elemanı olarak

görülmektedirler. İkametgah tipi yapılar genellikle, dikdörtgen veya düzgün

geometriye sahip olmaları ve çoğunlukla düzgün yayılı yük etkisi altında

kalmalarından dolayı, bu tip yapılarda plakların analizi daha da kolaylaşmaktadır.

Belirtilen özelliklere sahip plakların analizi için, literatürde ve yönetmeliklerde

problemlerin çözümü için yeterli olabilecek yaklaşık yöntemler verilmiştir.

Kalınlığının açıklığına oranı yaklaşık olarak 1/20 den küçük olan plaklara

ince plaklar denilmektedir. İnce plaklar Kirchoff hipotezinde belirtildiği gibi, plak

kalınlığı boyunca kayma deformasyonları ihmal edilerek çözülebilmektedirler. Plak

kalınlığının büyük olduğu kalın plak durumunda, Reissner-Mindlin hipotezi veya

yüksek dereceden kayma deformasyonları dağılımı teorileri yardımıyla çözüm

yapılabilmektedir. Bunlara ek olarak, literatürde kayma deformasyonlarını dikkate

alan çok sayıda teori de bulunmaktadır.

Bazı özel durumlarda plakların bazı özelliklerinin iyileştirilmesi istenir. Bu

iyileştirmeler ile istenilen özelliklere sahip plakların elde edilmesi sağlanır. Örneğin

tabakalı kompozit plaklarda olduğu gibi zayıf ve güçlü malzemelerin belirli ölçülerde

biraraya getirilmesi ile veya tabaka açılarının değişimi ile bu iyileştirmeler

sağlanabilir.

Tabakalı kompozit plaklar çok çeşitli tabaka dizilimlerine sahip

olabilmektedirler ve bu tabaka dizilimlerine bağlı olarak farklı tabaka rijitlikleri

gösterirler. Bu tabaka rijitliklerinin iyi anlaşılması ile, istenilen amaca en uygun

tabakalanma çeşidine ulaşmak mümkün olur.

Plakların analizinde analitik karmaşıklıklardan dolayı bazı sınırlandırmalar ve

varsayımlar yapılarak yaklaşık yöntemler uygulanabilmektedir. Tabakalandırılmış

plak teorisinin temellendirildiği bazı sınırlamalar ve varsayımlar da bulunmaktadır.

Sınırlamalar, dayandığı teorinin kullanımı üzerindeki sınırlamalardır ki bunlar

giderilebilir veya giderilemez. Örneğin kare plaklar için kullanılan bir teori dairesel

1.GİRİŞ Emel YAĞCI

2

plaklara uymaz. Varsayımlar ise, belirsizlik türündeki teoriler üzerindeki

sınırlamalardır. Örneğin, bir plağın yüzeyine dik olan gerilmelerin genel olarak sıfır

olarak kabul edilebilmesi için boyutunun yeterince küçük olduğu varsayılır veya

değerinin sıfır olduğu farzedilir. Yinede daha doğru bir teoriye başvurmadıkça, kesin

olarak gerilmelerin ne kadar küçük olduğu bilinemez. Özetle sınırlamalar ve

varsayımlar arasındaki fark şudur ki, sınırlamalar bilineni varsayımlar bilinmeyenleri

içerirler (Jones, 1975).

Plaklar her zaman geometri ve yükleme açısından elverişli özelliklere sahip

olmayabilirler ve bu tip özelliklere sahip plakların analizi için yaklaşık yöntemler

yeterli olamayabilir. Bundan dolayı, geniş işlem hacmine sahip olan ancak bilgisayar

desteğiyle bu sorunu aşan Sonlu Farklar, Sınır Eleman ve Sonlu Elemanlar Yöntemi

gibi bazı sayısal yöntemler kullanılmaktadır. Bu yöntemlerden Sonlu Elemanlar

Yöntemi, sistematik olması, her türlü yapıya kolaylıkla uygulanabilmesi ve

programlamaya elverişli olmasından dolayı yaygın olarak kullanılmaktadır. Sonlu

elemanlar yönteminde, analizi yapılan plağın geometrisine ve istenilen hassasiyetine

göre plağa sonlu eleman ağı uygulanmaktadır.

2.ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Emel YAĞCI

3

2.ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR

Plak analizi ile ilgili çalışmalar ilk olarak 1800’lü yıllarda yapılmıştır. Bu

çalışmalar sonucunda Kirchoff Hipotezi’ne dayalı klasik plak teorisi geliştirilmiş

olup çözüm yöntemlerinin geliştirilmesi Galerkin ile başlamıştır. Kirchoff Hipotezi

ince plak üzerine yapılan çalışmalara temel teşkil etmiştir. Bu hipoteze göre plak orta

düzleminin şekil değiştirmediği ve herhangi bir noktanın düşey deplasmanının plak

kalınlığı yanında çok küçük olduğu kabul edilmektedir. Ayrıca Kirchoff Hipotezi’ne

göre orta düzleme dik olan normal gerilme σz, diğer gerilme bileşenleri yanında

ihmal edilmekte ve orta düzleme dik düzlemler şekil değiştirmeden sonra yine orta

düzleme dik kalmaktadır.

Sonraki yıllarda Galerkin (1915) ve Timeshenko (1940) bu teoriye dayalı

olarak plaklar için sayısal ve analitik çözüm yöntemleri geliştirmişlerdir. Ayrıca Ritz

Navier ve Levy (1981) gibi araştırmacılarda seriler yardımıyla basit kabuller yaparak

çözüm yöntemleri geliştirmişlerdir.

Daha sonraki çalışmalarda Reissner (1975) kayma deformasyonlarını göz

önüne alan bir model geliştirmiştir. Reissner birinci mertebe teorisi olarak

adlandırılan teoride, kayma deformasyonlarını ilk olarak statik analizle göz önüne

almış ve kayma deformasyonlarının plak kesiti boyunca lineer dağıldığını kabul

ederek bir basitleştirmede bulunmuştur. Ayrıca Mindlin (1951) izotropik ve elastik

plakların gerilme dağılımını inceleyen araştırmalar yapmıştır. Reissner-Mindlin

Hipotezi olarak bilinen bu teoride kayma deformasyonları lineer olarak kabul

edilmektedir.

Diğer bir kalın plak teorisi de yüksek dereceli kayma deformasyonu teorisidir.

Bu teoride esas olarak kayma deformasyonlarının nonlineer olarak değiştiği kabul

edilmektedir. Reddy (1984) kayma deformasyonunun parabolik dağılımını göz önüne

alarak daha gerçekçi yüksek dereceli bir model kullanılmıştır. Phan (1985),

Lo (1977) gibi araştırmacılar da yüksek dereceli kayma deformasyonunu dikkate

alan çeşitli modeller geliştirmişlerdir. Ayrıca Subramanian (1993) izotropik

plakaların eğilmesi üzerine çalışmalarda bulunmuşlardır. Hassis (1998) ise tek bir

tabakadan oluşan plaklar için yüksek dereceli bir model önermiştir.

2.ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Emel YAĞCI

4

Plakların tabakalandırılması son üzerinde sıkça durulan bir konudur. Farklı

tipte malzemelerle yüksek mukavemetli, hafif ve bir çok amaca yönelik tabakaların

oluşturulması için yapılan bu model üzerinde Suresh ve arkadaşları (1979) her bir

düğümde beş serbestlik derecesine sahip süperparametrik kuadratik tabakalı plak

elemanı üzerinde gerilme-şekil değiştirme ilişkisini araştırmışlardır. Hou ve

Jerominidis (2000) ise tabakalar arası kopma dayanımlarını inceleyen bir araştırma

yapmışlardır. Ayrıca Reddy (1989) tabakalı kompozit plakların sınır şartları,

burulma yükleri ve tabakalar arasındaki frekans etkileşimleri konusunda çalışmalarda

bulunmuştur. Lucking ve arkadaşları (1984) ise kompozit plakların boşluklu olması

halini dikkate almış ve bu yönde çalışmalarda bulunmuşlardır.

İnce plakların eğilmesi, bükülmesi ve titreşimi konusunda da birçok çalışma

yapılmıştır. Bunlardan Jones (1999) tabakalı plakları değişkenlerine ayırma

yöntemiyle ele almış ve çeşitli tabaka sayılarına, elastisite modülüne ve tabaka

açılarına göre tabaka rijitliklerini incelemiştir.

Bütün bu çalışmaların çoğu çeşitli sayısal çözüm yöntemleri kullanılarak

yapılmıştır. Bunlar sonlu farklar yöntemi, sınır elemanlar yöntemi ve sonlu elemanlar

yöntemidir. Sonlu elemanlar yöntemini kullanan çok amaçlı bir paket program olan

ANSYS, ince plakları, kalın plakları ve tabakalı plakları çeşitli tipte elemanlar

kullanarak çözmektedir.

3.MATERYAL VE METOD Emel YAĞCI

5

3.MATERYAL VE METOD

3.1. Kompozit Malzemeler

Kompozit malzeme, istenen amaç için tek başlarına uygun olmayan farklı iki

veya daha fazla malzemenin istenen özellikleri sağlayacak şekilde belirli şartlar ve

oranlarda fiziksel olarak bir araya getirilmesiyle elde edilen malzeme grubudur. Üç

boyutlu bu bir araya getirmede amaç, bileşenlerin hiçbirinde tek başına mevcut

olmayan bir özelliğin elde edilmesidir. Diğer bir deyişle, amaçlanan doğrultuda

bileşenlerinden daha üstün özelliklere sahip bir malzeme üretilmesi

hedeflenmektedir. Kompozit malzemeye, “Çok Bileşenli Malzeme”, “Çok Fazlı

Malzeme”, “Donatılı Malzeme” ve “Pekiştirilmiş Malzeme” gibi adlar da

verilmektedir. (Ersoy,2001)

Kompozit malzemelerde çekirdek olarak kullanılan bir fiber malzeme ve bu

malzemenin çevresinde hacimsel olarak çoğunluğu oluşturan bir matris malzeme

bulunmaktadır. Bu iki malzeme grubundan fiber malzeme kompozit malzemenin

mukavemet ve yük taşıma özelliğini sağlar, matris malzeme ise fiber malzemeleri

yük altında bir arada tutar ve yükü lifler arasında homojen olarak dağıtır.

Kompozitlerin özgül ağırlıklarının düşük olması, yüksek mukavemet

göstermeleri, kolay şekillendirilebilmeleri, daha az deformasyona uğramaları ve daha

fazla yük taşıyabilmeleri kullanım alanları için büyük bir avantaj sağlamaktadır.

Bunun yanında, kompozit malzemelerin üretiminde şu özelliklerin geliştirilmesi

hedeflenir. Mekanik dayanım, korozyona karşı direnç, rijitlik, ağırlık, yüksek

sıcaklığa dayanım göstermek, ısı iletkenliği, kırılma tokluğu, ses tutuculuğu ve

görünüm. Bu özelliklerin birisi veya birkaçı geliştirilirken, kompozit malzemenin

zayıf yönleri iyileştirilir. Bu iyileştirme kompoziti oluşturan matris ve fiber

elemanların analizi ile mümkündür

Kompozit malzemelerin tanımından da anlaşıldığı üzere, kompozit

malzemelerde genellikle şu dört koşul aranmaktadır :

1) İnsan yapısı olması, dolayısıyla doğal bir malzeme olmaması.

2) Farklı malzemelerin üç boyutlu olarak biraraya getirilmiş olması.


6

3) Bileşenlerinin hiçbirinin tek başına sahip olmadığı özellikleri taşıması,

dolayısıyla bu amaçla üretilmiş olması.

4) Kompozit malzemeleri oluşturan fiber ve matris malzemelerin bir bütün

olarak davranması.

Kompozitler aşağıdaki şekilde gruplandırılabilir.

1) Tanelerle Donatılı Kompozit Malzeme: Kompoziti oluşturan matris

malzeme içerisinde milimetrik düzeydeki tanelerin yer almasıyla meydana

gelen kompozit türüdür. Bu türe beton örnek olarak gösterilebilir.

2) Liflerle Donatılı Kompozit Malzeme: Çekme ve eğilme dayanımları istenen

düzeyde olmayan zayıf malzemelerin zayıf olan yönlerinin iyileştirilmesi

amacıyla liflerle donatılması ile elde edilen bir kompozit türüdür.

3) Tabakalı Kompozit Malzeme: En az iki adet farklı fazın, tabakalı bir

şekilde kompozitin yapısında yer almasıyla meydana gelir. Bu fazlardan birisi

kompozite özelliğini kazandıran sürekli faz, diğeri ise tabakaları bir arada

tutan bağlayıcı fazdır.


7

3.2. Kompozit Malzemelerin Kullanımı

Kompozit malzemenin bilinen en eski ve en geniş kullanılan alanı inşaat

sektörüdür. Saman ile liflendirilmiş çamurdan yapılan duvarlar ilk kompozit

malzeme örneklerindendir. Bugün taş, kum, kireç, demir ve çimento ile oluşturulan

kompozit malzeme evlerimizi oluşturmaktadır.

Günümüzde kompozit malzemelerin kullanım alanı çok geniş boyutlara

ulaşmıştır. Başlıca kullanım alanları şu şekilde sıralanabilir:

Şehircilik : Bu alanda kompozitler toplu konut yapımında, çevre

güzelleştirme çalışmalarında (heykel, banklar, elektrik direkleri v.s.)

kullanılmaktadır.

Ev Aletleri : Masa, sandalye, televizyon kabinleri, saç kurutma makinesi gibi

çok kullanılan ev aletlerinde ve dekoratif ev eşyalarında kompozit malzemeler

kullanılmaktadır.

Elektrik ve Elektronik Sanayi : Kompozitler başta elektriksel izolasyon

olmak üzere her tür elektrik ve elektronik malzemenin yapımında kullanılmaktadır.

Otomotiv Sanayi : Bu alanda kompozitlerden oluşan başlıca ürünler;

otomobil kaportası parçaları, iç donanımı, bazı motor parçaları, tamponlar ve oto

lastikleridir.

Havacılık Sanayi : Havacılık sanayisinde kompozitler, gün geçtikçe daha

geniş bir uygulama alanına sahip olmaktadır. Planör gövdesi, uçak modelleri, uçak

gövde ve iç dekorasyonu, helikopter parçaları ve uzay araçlarında başarıyla

kullanılmaktadır.

İş Makinaları : İş makinaları kapakları ve çalışma kabinleri yapımında da

kompozit malzeme kullanılmaktadır.

İnşaat Sektörü : Cephe korumaları, tatil evleri, büfeler, otobüs durakları,

soğuk hava depoları, inşaat kalıpları birer kompozit malzeme uygulamalarıdır.


8

Bu çalışmada , tabakalı kompozit plakların farklı tabakalaşma şekillerine göre

tabaka rijitliklerinde ve tabaka iç kuvvetlerinde meydana gelen değişim

incelenmiştir. Bu değişimin bilinmesi, tabakalanma davranışının anlaşılması için

gereklidir.

Bu öncelikle farklı tipteki malzemeler için tabakalı kompozitlerin rijitlik ve

esneklik matrisleri Hooke denklemleri yardımıyla elde edilmiş, daha sonra ortotropik

malzemeler için genel denklemler matris formunda yazılmıştır. Tek tabakalı plaklar

için oluşturulan rijitlik ve esneklik matrisleri önce açılı tek tabakalı plaklara

uygulanmış ve daha sonra çok tabakalı plaklar için geliştirilmiştir. Plaklar için denge

denklemleri yazılarak, çeşitli sınırlandırmalar ve varsayımlar (Kirchoff) ile tabakalı

plaklar için dördüncü dereceden diferansiyel denge denklemleri elde edilmiştir.

Bu çalışmada kullanılan yöntem, değişkenlerine ayırma yöntemidir. Bu

yöntemde plak koordinatı x ve y değişkenlerine ayrılmaktadır. Ayrıca yük ve

deplasman fonksiyonları da x ve y değişkenlerine bağlı olarak yazılabilmektedir.

Plak için düzgün yayılı yükleme tipi seçilmiş ve Navier (1824) çözümü ile

değişkenlerine ayrılan yük fonksiyonu çözüm için basit bir hale dönüştürülmüştür.

Elde edilen diferansiyel denklemler basit mesnetli durum için sınır şartlarına maruz

bırakılmış ve sınır şartlarını sağlayan u, v ve w deplasman fonksiyonları

değişkenlerine ayırma yöntemiyle elde edilmiştir. Bu deplasman fonksiyonları

diferansiyel denklemde yerine konularak çözüme ulaşılmıştır.

Bu çalışmada, mühendislik uygulamalarında yaygın olarak kullanılan

ANSYS paket programı ile sonlu elemanlar yöntemini kullanıp çeşitli modellerin

analizi yapılmaktadır. Ayrıca, tabakalanma teorisi yardımıyla çeşitli sınırlandırmalar

ve varsayımlar ile basite indirgenen problemlerin çözümü için denge denklemleri

kullanılarak Matematica adlı paket programın yardımıyla, bir bilgisayar programı

hazırlanmıştır.

Çalışma sonunda, Matematica adlı paket programın yardımıyla hazırlanan

bilgisayar programı ve literatürde mevcut olan ANSYS paket programı ile çözülen

örneklerin sonuçları tablo ve grafiklerle sunulmuş ve karşılaştırmalar yapılmıştır.

4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI

9

4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ

4.1. Giriş

Yapılar genellikle tek tabakalı bloklardan meydana gelir, bundan dolayı, bu

tek tabakalı yapıların mekanik analizini anlamak, çok tabakalılardan önce gelir. Tek

bir kompozit tabaka bile homojen ve izotrop değildir. Çünkü tabaka, homojen-

izotrop fiber elemanlarla homojen-izotrop matris elemanların birleşmesiyle meydana

gelmesine rağmen, tabaka rijitlikleri, noktanın fiberlerde, matris de veya fiber-matris

arasındaki bir bölgede olup olmamasına göre noktadan noktaya çeşitlilik gösterir. Bu

durum çok karışık mekanik tabaka modellerinin oluşmasına neden olur. Bu sebeple

tabakaların makromekanik analizinde tabakaların homojen olduğu kabul edilerek,

ortalama malzeme özellikleri temel alınır. (Şekil. 4.1)

Şekil 4.1. Tabakalı kompozit elemanda fiber ve matris malzemelerin görünümü

Matris malzeme

Fiber malzeme


10

İnce tabakaların homojenleştirilmesiyle bile, tabakaların mekanik davranışı

hala izotop homojen malzemelerinkinden farklıdır. Örneğin; eni ve boyu “w” ve

kalınlığı “t” olan küçük bir parçayı göz önüne alalım. Bu parçayı Durum-A ve

Durum-B olarak inceleyelim.

Şekil 4.2. Normal doğrultuda yüklenmiş izotropik plağın deformasyonu (Kaw, 1997)

P W+ δ1B

Deformasyona uğramış hal

w

2

1 t

Deformasyona uğramamış hal

w

w

Durum-A


W+ δ2A

W+ δ1A

P


w

w

Durum-B

W+ δ2B

P

P

t

w


11

Durum-A

Kare plağı 1 doğrultusunda normal tekil “P” yüküne maruz bırakalım. 1 ve 2

doğrultusundaki normal deformasyon miktarları, sırasıyla δ1A ve δ2A dır.

Durum-B

Durum-A daki gibi benzer normal “P” yükünü tatbik edelim, fakat şimdi

doğrultusu 2 yönünde olsun. 1 ve 2 doğrultusundaki normal deformasyon miktarları

sırasıyla, δ1B ve δ2B dır. Bu iki durumdan;

2BA1 δδ = (4.1.a)

1B2A δδ = (4.1.b)

sonucuna ulaşırız. Bununla birlikte şekil 4.3’ de, kalınlığı t olan kompozit bir

tabakayı göz önüne alalım. Burada da tabaka içerisinde (w, w, t) ölçülerine sahip tek

doğrultudaki bir kare plağı inceleyelim. Bu durumda

2B1A δδ ≠ (4.2.a)

1B2A δδ ≠ (4.2.b)

Bunun nedeni, tek doğrultulu tabakalarda, fiberlerin doğrultusundaki

rijitliklerin daha büyük olmasıdır. Sonuç olarak, tek doğrultulu tabakanın mekanik

karakteri, izotropik tabaka için ihtiyaç duyulan parametrelerden daha fazla parametre

gerektirir.


12

Şekil 4.3. Normal doğrultuda yüklenmiş sıfır derece açılı fiberlere sahip tek

doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu (Kaw, 1997)

P W+ δ1B

w

2

1 t



w

w

Durum-A


W+ δ2A

W+ δ1A

P


w

w

Durum-B

W+ δ2B

P

P

t


13

Şekil 4.4’de görüldüğü gibi, plak farklı açılarda fiberlere sahip olabilir. Bu

durumda farklı açılar için, farklı deformasyonlar meydana gelecektir. Gerçekte kare

plak, normal doğrultuda deformasyonlara sahip olduğu gibi farklı doğrultuda

deformasyonlara da sahiptir ve şekli bozulmuştur. Tüm bu sebeplerden dolayı, açılı

tabakaların mekanik karakteri çok daha karmaşıktır.

Şekil 4.4. Normal doğrultuda yüklenmiş açılı fiberlere sahip tek doğrultulu plağın deformasyonu (Kaw, 1997)

w

w



P

P

t

2

1

w

t

Fiberler


14

4.2. Tanımlamaların incelenmesi 4.2.1. Gerilme

Gerilme, birim alana düşen yükün yoğunluğu olarak tanımlanır. Mekanik

yapılar, kütlesel kuvvetler ve yüzey kuvvetleri gibi kütle üzerinde hareket halinde

bulunan dış kuvvetleri alırlar. Bu kuvvetler, kütle içinde iç kuvvetlere dönüşür. Kütle

içinde bulunan tüm noktalardaki iç kuvvetlerin bilinmesi gerekir. Çünkü bu

kuvvetlerin değeri, yapıda kullanılan malzemelerin mukavemetlerinden daha düşük

olmak zorundadır.

Şekil 4.5’de çeşitli yükler altında dengede bulunan kütle görülmektedir. Bu

kütlenin herhangi bir kesitinde, ΔA alanı üzerinde bulunan bir ΔP kuvveti düşünelim

bu kuvvet vektörü yüzeye normal, ΔPn ve yüzeye paralel ΔPs elemanlarına sahip

olsun. Gerilmenin tanımından;

AP

limσ0A

n ∆∆

=→∆

(4.3.a)

AP

limτ n

0As ∆

∆=

→∆ (4.3.b)

değerleri elde edilir.

Bu elemanın yüzeyine normal doğrultuda etkiyen gerilmeye σn normal

gerilme ve yüzeye paralel olarak etkiyen gerilmeye τs kayma gerilmesi denir. Aynı

noktadan farklı bir kesit alırsak, gerilmeler değişmeden kalır, fakat gerilmenin iki

bileşeni değişir. Bununla birlikte gerilmeyi tam olarak tanımlayabilmek için herhangi

bir noktada üç boyutlu kartezyen koordinat sistemine ihtiyaç duyulur.

Sağ el kuralı ile üç boyutlu x-y-z koordinat sistemi oluşturularak Şekil 4.6’da

görülen eleman üzerinde y-z düzlemine paralel bir kesit alınır. Kuvvet vektörü ΔP,

ΔA üzerinde bulunmaktadır. Kesitte görüldüğü gibi ΔPx bileşeni yüzeye normal

doğrultudadır. Kuvvet vektörü ΔPs ise yüzeye paraleldir. Ayrıca ΔPs, y ve z aksları


15

boyunca ΔPy ve ΔPz elemanlarına ayrılırsa, gerilmenin tanımından aşağıdaki ifadeler

elde edilir.

AP

limσ x

0Ax ∆

∆=

→∆ (4.4.a)

AP

limτ y

0Axy ∆

∆=

→∆ (4.4.b)

AP

limτ z

0Axz ∆

∆=

→∆ (4.4.c)

Şekil 4.5. Rasgele bir düzlemde çok küçük bir alandaki gerilmeler (Kaw, 1997)

Benzer şekilde x-z ve x-y düzlemine paralel kesitler içinde gerilmeler

tanımlanabilir. Tüm bu gerilmelerin tanımlanabilmesi için genellikle, sağ el kuralına

Rastgele düzlem

∆Ps

∆P

∆Pn


16

Şekil 4.6. y-z düzleminde çok küçük bir alandaki kuvvetler (Kaw, 1997)

göre oluşturulan koordinat sisteminde sonsuz küçük kübik bir eleman alınır. Bu

kübik elemanın herhangi bir yüzündeki gerilmeler bulunarak, bir noktadaki

gerilmeler tanımlanır.

Şekil 4.7’de görüldüğü gibi eleman üzerindeki herhangi bir noktada dokuz

farklı gerilme davranışı bulunmaktadır. Bu gerilmelerin altı tanesi kayma

gerilmesidir ve kayma gerilmeleri arasında şu şekilde bir ilişki bulunmaktadır.

yxxy ττ = (4.5.a)

zyyz ττ = (4.5.b)

xzzx ττ = (4.5.c)

Yukarıdaki üç ifade sonsuz küçük kübik elemandaki momentlerin

dengesinden bulunur. Dolayısıyla geriye altı gerilme kalır. Bunlar kübik yüzeye

y

x

z

∆Py ∆P

∆Px

∆Pz

∆A


17

normal doğrultudaki xxσ , yyσ , zzσ ve kübik yüzeyler boyunca bulunan xyτ , yzτ ,

zxτ dir.

Şekil 4.7. Sonsuz küçük kübik elemandaki gerilmeler. (Kaw, 1997)

Normal çekme gerilmesi pozitif ve normal basınç gerilmesi negatiftir. Kayma

gerilmesiyle beraber dış normalin yönünün negatif olması veya her ikisinin pozitif

olması durumunda kayma gerilmesi pozitif aksi halde kayma gerilmesi negatiftir.

4.2.2 Şekil Değiştirme

Dış kuvvetler sebebiyle eleman içerisinde oluşan deformasyonun bilinmesi de

bizim için çok önemlidir. Şekil değiştirme açısından deformasyon kütlenin şekil ve

boyutunda meydana gelen göreceli değişim olarak tarif edilebilir. Şekil değiştirme

genellikle sağ el kuralı ile oluşturulan koordinat sisteminde sonsuz küçük kübik

eleman üzerinde tanımlanır.Çeşitli yükler altında, sonsuz küçük kübik elemanın

kenar uzunluğu değişir, kübün yüzeyinin şeklinde bozulur. Boydaki değişim, kayma

şekil değiştirmelerindeki biçim bozulmasına ve normal şekil değiştirmesine tekabül

eder. Şekil 4.8’ de kübik elemanın ABCD yüzündeki şekil değiştirmeler

görülmektedir. Her bir şekil değiştirme ve deplasmanın birbiriyle ilişkisi vardır.

Şekildeki AB ve AD kenarları şekil değiştirdikten sonra A`D` ve A’B’ halini alır.

σzz τzy

τzx

τxz τxy

σxx

σyy

τyx

τyz

z

y

x


18

Buradaki deplasmanlar (x,y,z) koordinat sisteminde tanımlanırsa (x,y,z) koordinat

sistemindeki bir nokta için;

u = u(x,y,z) x doğrultusundaki deplasman

v = v(x,y,z) y doğrultusundaki deplasman

w = w(x,y,z) z doğrultusundaki deplasman

olarak ifade edilir.

Şekil 4.8. Çok küçük bir alanda x-y düzleminde normal kayma şekil değiştirmeleri (Kaw, 1997)

X doğrultusundaki normal şekil değiştirme єxx, AB uzunluğundaki değişimin

AB uzunluğuna oranı olarak tanımlanır.

ABABBA

limε''

0Axx

−=

→∆ (4.6)

∆x

∆y

(x,y)

C

D′ Q′

C′

B′

P′

B A

D

θ2

θ1 A′

y

x


19

2''2'''' )PB()PA(BA +=

[ ] [ ]22'' y)v(x,-y)x,v(x)y,x(u)y,xx(uxBA ∆++−∆++∆= (4.7.a)

xAB ∆= (4.7.b)

Denklem (4.7.a) ve (4.7.b) denklem (4.6) da yerine yazılırsa;

1x

)y,x(v)y,xx(vx

)y,x(u)y,xx(u1limε2/122

0xx −

∆−∆+

+

∆−∆+

+=→∆

ve kısmi türevin tanımını kullanarak

1xv

xu1ε

2/122

x −

∂∂

+

∂∂

+=

1xu1ε

2/12

x −

∂∂

+=

xuε x ∂

∂= (4.8)

elde edilir. Çok küçük deplasmanlar için, 1xu

<<∂∂ ve 1

xv

<<∂∂ dir.

Benzer şekilde y doğrultusundaki normal şekil değiştirme, εyy AD

uzunluğundaki değişimin AD uzunluğuna oranı olarak tanımlanır.

ADAD'D'A

limε0AD

yy−

=→

(4.9)

( ) ( )22 'D'QQ'A'D'A' +=


20

[ ] [ ]22 )y,x(u)yy,x(u)y,x(v)yy,x(vy'D'A −∆++−∆++∆= (4.10.a)

yAD ∆= (4.10.b)

Denklem (4.10) denklem (4.9) da yerine yazılırsa;

1y

)y,x(u)yy,x(uy

)y,x(v)yy,x(v1limε2/122

0yy −

∆

−∆++

∆

−∆++=

→∆

ve kısmi türevin tanımını kullanarak

1yu

yv1ε

2/122

y −

∂∂

+

∂∂

+=

1yv1ε

2/12

y −

∂∂

+=

yvε y ∂

∂= (4.11)

elde edilir. Çok küçük deplasmanlar için, 1yu

<<∂∂ ve 1

yv

<<∂∂ dir. Elemanın

uzunluğu artarsa, şekil değiştirme pozitif, azalırsa negatiftir.

AB ve AD kenarları arasındaki 90 derecelik açının değişimi kayma şekil

değiştirmesi γxy olarak adlandırılır. AB ve AD kenarlarının eğilmesiyle, açısal

değişim meydana gelir. Bu kayma şekil değiştirmesi şu şekilde tanımlanır.


21

21xy θθγ += (4.12)

Burada

'P'A'B'P

lim0AB

1→

=θ (4.13.a)

)y,x(v)y,xx(v'B'P −∆+= (4.13.b)

)y,x(ux)y,xx(u'P'A −∆+∆+= (4.13.c)

'Q'A'D'Q

lim0AD

2→

=θ (4.14.a)

)y,x(u)yy,x(u'D'Q −∆+= (4.14.b)

)y,x(vy)yy,x(v'Q'A −∆+∆+= (4.14.c)

Denklem (4.13) ve (4.14) denklem (4.12) de yerine yazılırsa;

y)y,x(vy)yy,x(v

y)y,x(u)yy,x(u

x)y,x(ux)y,xx(u

x)y,x(v)y,xx(v

lim0x0y

xy

∆−∆+∆+

∆−∆+

+

∆−∆+∆+

∆−∆+

=→∆→∆

γ

yu

xv

xy ∂∂

+∂∂

=γ (4.15)

Burada da çok küçük deplasmanlar için, 1yu

<<∂∂ ve 1

xv

<<∂∂ dir.


22

AB ve AD kenarları arasındaki açı azaldığı zaman kayma şekil değiştirmesi

pozitiftir, aksi takdirde kayma şekil değiştirmesi negatiftir.

Normal ve kayma şekil değiştirmelerinin tanımından Şekil4.7’deki sonsuz

küçük kübik elemanın şekil ve boy değişimi şu şekilde bulunabilir.

yw

zv

yz ∂∂

+∂∂

=γ (4.16.a)

zu

xw

zx ∂∂

+∂∂

=γ (4.16.b)

zw

zz ∂∂

=ε (4.16.c)

4.2.3 Malzeme Modülleri

Elemanın bir noktasındaki altı adet gerilmenin tümünün tanımlanması için

Bölüm 4.2.2’de anlatılan üç denge denklemi yetersiz kalmaktadır. Eleman lineer

elastik özellik göstermektedir ve çok küçük deformasyonlara sahiptir. Herhangi bir

noktadaki gerilme ve şekil değiştirmeler Hook kanunları olarak adlandırılan altı adet

eş zamanlı lineer denklem kuralına bağlıdır. Bir noktada onbeş adet bilinmeyen

parametre bulunmaktadır, bunların altısı gerilme, altısı şekil değiştirme ve üçü de

deplasmandır.

Hook kanunlarındaki altı adet eş zamanlı lineer denklem takımının

kombinasyonu, denklem (4.8), (4.11), (4.15), (4.16) tarafından verilen altı adet

deplasman şekil değiştirme ilişkisi ve üç adet denge denklemi ile onbeş bilinmeyen

için onbeş adet denklem elde edilir. Deplasman şekil değiştirme ve denge

denklemleri, çözümün tamamlanması için bilinen sınır şartlarına maruz bırakılır.

Üç boyutlu gerilme durumunda, lineer izotropik bir malzeme için, Şekil 4.9’da

x-y-z ortognal sistemindeki bir noktada, Hook kanunlarıyla elde edilen gerilme- şekil

değiştirme ilişkisi matris formunda aşağıdaki gibidir.


23

=

xy

zx

yz

z

y

x

τττσσσ

100000

010000

001000

000E1

E-

E-

000E

-E1

E-

000E

-E

-1

G

G

G

E

xy

zx

yz

z

y

x

νν

νν

νν

γγγεεε

(4.17)

Şekil 4.9. Üç boyutlu bir elemanda kartezyen koordinat sistemi (Kaw, 1997)

Denklem (4.17) deki 6x6 boyutundaki matris izotropik malzemenin esneklik

(compliance) matrisi [S] olarak adlandırılır. Denklem (4.18) deki 6x6 boyutundaki

matris esneklik matrisinin tersidir. Bu matrise ise rijitik (stiffness) matrisi denir.

y

x

z


24

( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )( )

+−−

+−+−

+−+−−

+−

+−+−+−−

=

xy

zx

yz

z

y

x

xy

zx

yz

z

y

x

γγγεεε

000000000000000

000ν1ν21

ν1ν1ν21

νν1ν21

ν

000ν1ν21

νν1ν21

ν1ν1ν21

ν

000ν1ν21

νν1ν21

νν1ν21

ν1

τττσσσ

GG

G

EEE

EEE

EEE

(4.18)

Burada υ Poisson oranıdır. Kayma modülü G ise, elastik sabit E ve υ nün bir

fonksiyonudur.

υ)1(2EG+

= (4.19)

4.2.4. Şekil Değiştirme Enerjisi

Enerji, iş yapabilme kapasitesi olarak tanımlanabilir. Çeşitli yükler altında

deformasyona uğrayan katı bir elemanda, yüzeysel yükler tarafından yapılan iş, şekil

değiştirme enerjisi olarak depolanır. Eleman içerisinde, her birim hacimde depolanan

şekil değiştirme enerjisi

( )zxzxyzyzxyxyzzyyxx τττσσσ21W γγγεεε +++++= (4.20)

olarak tanımlanır.


25

4.3. Farklı Tip Malzemeler İçin Hooke Kanunları

Lineer olarak elastik ve izotropik olmayan genel bir malzeme için gerilme-

şekil değiştirme ilişkisi denklem (4.17) ve (4.18) den daha karmaşıktır. Bir kompozit

için elastik davrandığı varsayımı genellikle kabul edilebilir, fakat kompozit bir

malzemeyi izotrop olarak kabul edemeyiz. Bundan dolayı, bu malzemelerin gerilme

ve şekil değiştirme ilişkisi Hook kanununa uyar, fakat gerilme ve şekil değiştirmeye

bağlı sabitler sayıca denklem (4.17) ve denklem (4.18) de görüldüğünden daha

fazladır. Üç boyutlu bir kütle için, 1-2-3 ortognal koordinat sistemindeki en genel

gerilme- şekil değiştirme ilişkisi aşağıdaki gibidir.

=

12

31

23

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

12

31

23

3

2

1

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

τττσσσ

γγγεεε

(4.21)

Yukarıdaki denklemde 36 adet sabite sahip olan 6x6 boyutundaki [C] matrisi

rijitlik (stiffness) matrisi olarak adlandırılır.

Deklem (4.21) in tersi alınarak, 1-2-3 ortognal kartezyen koordinat

sisteminde üç boyutlu bir eleman için genel haldeki gerilme-şekil değiştirme ilişkisi

aşağıdaki şekilde elde edilir.

=

12

31

23

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

12

31

23

3

2

1

τττσσσ

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

γγγεεε

(4.22)


26

Malzemenin izotropik olması durumunda yukarıda verilen gerilme-şekil

değiştirme ilişkisi denklem (4.17) deki gibidir. Denklem (4.22) de verilen esneklik

(compliance) matrisinin mühendislik sabitleri,

332211 SSE1S ===

323123211312 SSSSSEνS =====−=

665544 SSG1S === (4.23)

şeklindedir. Ayrıca diger tüm ijS ler sıfırdır.

Rijitlik matrisinin [C] simetrik olmasından dolayı denklem (4.22) de görülen

otuzaltı adet sabit , yirmibir sabite iner.

∑==

6

1jjiji Cσ ε i=1,........,6 (4.24)

Burada

126315234126315234 γ;γ;γ;τσ;τσ;τσ ====== εεε (4.25)

olarak değişken dönüşümü yapılmaktadır.

Elemanın her bir birim hacmindeki şekil değiştirme enerjisi denklem (4.20) de

açıklanmıştı. Yeni notasyona göre denklem (4.20) tekrar yazılırsa ;

ii

W ε∑=

=6

1iσ

21 (4.26)


27

halini alır. Denklem (4.24), (4.26) da yerine yazılırsa

ij

6

1i

6

1jijC

21W εε∑ ∑=

= = (4.27)

olur. Yukarıdaki ifadenin kısmi diferansiyeli alınarak

ijji

CW=

∂∂∂

εε (4.28)

ve

jiji

CW=

∂∂∂

εε (4.29)

ifadeleri elde edilir. Denklem (4.28) ve (4.29) dan

jiij CC = (4.30)

olur.

Sonuçta denklem (4.21) deki genel rijitlik matrisinde, yirmibir adet bağımsız

elastik sabit bulunmaktadır. Bu sonuca göre , denklem (4.22) da görülen esneklik

matrisinde de bağımsız elastik sabit olduğu görülür.

4.3.1.Anizotropik Malzeme

Bir noktada yirmibir adet bağımsız elastik sabite sahip olan malzemeye

anizotropik malzeme denir. Bu sabitler bir kez özel bir nokta için bulunduğu zaman

gerilme-şekil değiştirme ilişkisi o noktada geliştirilebilir. Şurası önemlidir ki eğer

malzeme homojen değilse, bu sabitler noktadan noktaya değişiklik gösterebilirler.

Malzeme homojen olsa bile (veya öyle oluğu farzedilsin) analitik olarak veya

deneysel olarak, bu yirmibir elastik sabiti bulmak gerekir. Birçok doğal ve sentetik


28

malzeme, malzeme simetrisine sahiptir, yani elastik nitelikler simetri doğrultularında

özdeştir. Bu simetri özelliği 6x6 rijitlik [C] ve 6x6 esneklik [S] matrislerindeki

sabitlerin bazılarını ya sıfırlayarak yada birbirleriyle ilşkilendirerek bağımsız elastik

sabitlerin sayısını düşürür. Bu durum, elastik simetrinin değişik türleri için Hooke

kanunundaki ilişkileri basitleştirir.

4.3.2.Monoklinik Malzeme

Eğer malzemenin, bir tane malzeme simetri düzlemi varsa bu tip malzemelere

monoklinik malzeme denir. Simetri düzlemine dik olan doğrultu, ”temel doğrultu”

olarak adlandırılır. Bu tip malzemeler 13 adet bağımsız elastik sabite sahiptir.

Monoklinik malzemede rijitlik matrisi (4.31) ve esneklik matrisi (4.32) ya indirgenir.

=

66362616

5545

4544

36332313

26232212

16131211

C00CCC0CC0000CC000

C00CCCC00CCCC00CCC

C (4.31)

=

66362616

5545

4544

36332313

26232212

16131211

0000000000

000000

SSSSSSSS

SSSSSSSSSSSS

S (4.32)

4.3.3. Ortotropik Malzeme

Eğer malzeme, karşılıklı olarak birbirine dik üç adet malzeme simetri

düzlemine sahipse bu tip malzemelere ortotropik malzemeler denir. Bu tip


29

malzemeler 9 adet bağımsız elastik sabite sahiptir. Ortotropik malzemeler için rijitlik

ve esneklik matrisleri aşagıdaki gibidir.

=

66

55

44

332313

232212

131211

C000000C000000C000000CCC000CCC000CCC

C (4.33)

=

66

55

44

332313

332212

131211

S000000S000000S000000SSS000SSS000SSS

S (4.34)

4.3.4.Transversely (Enine) İzotropik Malzeme

Ortotropik elemanın düzlemlerinin birinde, bir malzeme izotropi düzlemi

varsa bu tip malzemelere transversely (enine) izotropik malzemeler denir. Bu tip

malzemeler beş adet bağımsız elastik sabite sahip olup rijitlik ve esneklik matrisleri

aşağıdaki şekildedir.

−=

55

55

2322

222312

232212

121211

C000000C0000002)CC(000000CCC000CCC000CCC

C (4.35)


30

−=

55

55

2322

222312

232212

121211

S000000S000000)SS(2000000SSS000SSS000SSS

S (4.36)

4.3.5. İzotropik Malzeme

Eğer ortotropik bir elemanda bütün yüzeyler özdeşse, bu tip malzemelere

izotropik malzemeler denir. İzotropik malzemeler iki adet bağımsız elastik sabite

sahiptir. İzotropik malzemeler için rijitlik ve esneklik matrisleri aşağıdaki gibidir.

−−

−=

2)CC(0000002)CC(0000002)CC(000000CCC000CCC000CCC

C

1211

1211

1211

111212

121112

121211

(4.37)

−−

−=

)SS(2000000)SS(2000000)SS(2000000SSS000SSS000SSS

S

1211

1211

1211

111212

121112

121211

(4.38)

4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI

31

4.4. Ortotropik Malzemelerde, Gerilme ve Deformasyonların Esneklik Matrisi

İle Olan İlişkisi

Şekil 4.10’ da 1-2-3 ortogonal koordinat sisteminde tanımlı kompozit bir

eleman görülmektedir. Bu elemanın fiberlere paralel olan 1 doğrultusuna “fiber

doğrultusu”, fiberlere dik olan 2 ve 3 doğrultularına “matris doğrultusu” denir. Bu

kompozit elemandan, sonsuz küçük kübik bir parça ele alalım. Şekil 4.11’ de sonsuz

küçük kübik elemandaki gerilmeler görülmektedir. Kübik eleman, üzerinde bulunan

bu gerilmelerden dolayı çeşitli deformasyonlara maruz kalmaktadır. Bu

deformasyonları tanımlayabilmek için eleman üzerindeki gerilmeleri ayrı ayrı ele

almak gerekmektedir.

Şekil 4.10. Temel malzeme koordinat sistemi (Hyer, 1998)

Küçük eleman

3 Matris doğrultusu

2 Matris doğrultusu

1 Fiber doğrultusu

Tabakalı malzeme


32

Şekil 4.11. Fiberlerle güçlendirilmiş küçük bir elemandaki gerilmeler (Hyer, 1998)

Şekil 4.12.a’ da görüldüğü gibi sonsuz küçük kübik eleman 1 doğrultusunda

σ1 gerilmesi etkisindedir. Bu durumda denklem (4.22) ve (4.34) den

1111 S σ=ε 023 =γ

1122 S σ=ε 031 =γ

1133 S σ=ε 012 =γ

olduğu görülür. 1 doğrultusundaki deformasyon

1

11 E

σ=ε (4.39)

111

11 S

1E =εσ

= (4.40)

Genel olarak Poisson oranı υij, i doğrultusunda sadece normal yük

uygulandığı zaman, j doğrultusundaki normal şekil değiştirmenin, i doğrultusundaki

normal şekil değiştirmeye oranının negatifi olarak tanımlanır. Yani kısaca enine

daralmanın boyuna uzamaya oranının negatifidir.

τ13

τ12

σ1 σ2

σ3

τ23 τ13

τ23

τ12

1

2

3


33

Şekil 4.12. σ1 gerilmesi altındaki bir elemanın deformasyonu (Hyer, 1998)

1

2

3

σ1

σ1

(a) Genel görünüş

σ1 σ1

2

1

(b) 1-2 Düzlemi

σ1 σ1

3

1

(c) 1-3 Düzlemi

3

2

(d) 2-3 Düzlemi


34

Poisson oranının tanımından

11

12

1

212 S

S−=

εε

−=ν (4.41)

1

1121122 E

σν−=εν−=ε (4.42)

11

13

1

313 S

S−=

εε

−=ν (4.43)

ifadeleri elde edilir. Aynı işlemler 2 ve 3 doğrultuları için de uygulanır.

Ayrıca, sonsuz küçük kübik eleman Şekil 4.13’ de görüldüğü gibi kayma

gerilmelerininde etkisi altındadır.

Şekil 4.13. τ12 kayma gerilmesi etkisindeki bir elemanın deformasyonu (Hyer, 1998)

3

2

(d) 2-3 Düzlemi

3

1

(c) 1-3 Düzlemi

122γ

π−

2

1

(b) 1-2 Düzlemi

1

2

3

τ12

(a) Genel görünüş


35

Şekil 4.13.a’ da görüldüğü gibi sonsuz küçük kübik eleman τ12 kayma

gerilmesinin etkisi altındadır. Bu durumda denklem(4.22) ve (4.34) den

01 =ε 023 =γ

02 =ε 031 =γ

03 =ε 126612 S τ=γ

olduğu görülür.

12

1212 G

τ=γ (4.44)

6612

1212 S

1G =γτ

= (4.45)

Aynı işlemler diğer yüzeyler için de uygulanır.

Burada her malzeme düzleminde bir tane olmak üzere E1, E2, E3, elastisite

modülleri, her düzlemde iki tane olmak üzere altı adet poisson oranı (υ12, υ13, υ21, υ23,

υ31, υ32) ve her düzlemde üç adet G23, G31, G12 kayma modülü bulunmaktadır.

Bunun yanı sıra altı adet poisson oranı Betti-Maxwell teoremine göre

birbirinden bağımsız değildir.

2

21

1

12

EEυ

=υ (4.46)

3

31

1

13

EEυ

=υ (4.47)

3

12

2

23

EEυ

=υ

(4.48)

Bu ilişkiler bağımsız mühendislik sabitlerini toplam dokuza indirir. Esneklik

ve rijitlik matrislerinde bu sayı aynıdır.


36

Mühendislik sabitleri açısından esneklik matrisini tekrar yazarsak;

[ ]

υ−

υ−

υ−υ−

υ−

υ−

=

12

31

23

33

32

3

31

2

23

22

21

1

13

1

12

1

G100000

0G

10000

00G

1000

000E1

EE

000EE

1E

000EEE

1

S (4.49)

elde edilir. Yukarıdaki matris diyagonalin sağına ve soluna göre simetriktir.

1

11 E1S = (4.50.a)

1

1212 E

Sυ

−= (4.50.b)

2

221

ES = (4.50.c)

12

661

GS = (4.50.d)

1

1313 E

Sυ

−= (4.50.e)


37

4.5.Klasik Tabaka Teorisi (CLT)

İnce plaklar kalınlığının açıklığına oranı 1/20 den küçük olan plaklar olarak

tanımlanır. Plak malzemesinin homojen, izotropik(veya burada ortotrop) ve elastik

olduğu kabul edilmektedir. Plaklara etkiyen dış yükler, plak yüzeyine dik doğrultuda

etkiyen tekil veya yayılı yüklerdir.

İnce plaklarda klasik tabaka teorisi olarak bilinen Kirchoff Hipotezi’nin temel

kabulleri aşağıda verilmektedir.

a) Orta düzlemdeki çökme plak kalınlığı yanında çok küçüktür (w<<t)

b) Eğilmeden sonrada orta düzlem şekil değiştirmez.

c) Başlangıçta orta düzleme dik olan düzlemler eğilmeden sonrada orta

düzleme dik kalırlar.

Şekil 4.14. Kirchoff hipotezine göre plağın eğilmesi

Buna göre γxz ve γyz kayma deformasyonları ihmal edilir.( γxz =0, γyz=0)

d)ε z=0 dır.

e) Orta düzleme dik olan normal gerilme σ z diğer gerilme bileşenleri yanında

çok küçüktür ve ihmal edilebilir.

m

m

m’

m’


38

4.6. Hook Kanunlarının Üç Boyuttan İki Boyuta İndirgenmesi

Kirchoff hipotezi ile ince tabakalar için düşey doğrultudaki deplasmanın sıfır

olduğu ve düşey gerilmenin diğer gerilmeler yanında ihmal edilecek kadar küçük

olduğu kabul edilir. Bu durumun bir sonucu olarak, 6x6 boyutundaki rijitlik ve

esneklik matrisleri 3x3 boyutuna iner.

=

12

2

1

66

2212

1211

12

2

1

τσσ

S000SS0SS

γεε

(4.51)

Denklem (4.51) in tersi, gerilme-şekil değiştirme ilişkisini aşağıdaki şekilde

verir.

=

12

2

1

66

2212

1211

12

2

1

γQ000QQ0QQ

τσσ

εε

(4.52)

Yukarıdaki denklemde Qij terimleri indirgenmiş rijitlik katsayıları olarak

tanımlanır. İndirgenmiş rijitlik katsayıları ile esneklik kat sayıları arasındaki bağlantı

aşağıdaki gibidir.

122

2211

2211

SSSSQ

−= (4.53.a)

122

2211

1212

SSSSQ

−= (4.53.b)

122

2211

1122

SSSSQ

−= (4.53.c)

6666 S

1Q = (4.53.d)


39

Denklem (4.50), denklem (4.53) de yerine yazılırsa,

1221

111 1

EQ

υυ−= (4.54.a)

1221

21212 1

EQ

υυυ−

= (4.54.b)

1221

222 1

EQ

υυ−= (4.54.c)

1266 GQ = (4.54.d)

denklemleri elde edilir.

4.7. İki Boyutlu Açılı Tabakalar İçin Hooke Kanunları

Tek doğrultulu tabakalarda, enine doğrultudaki düşük mukavemet özellikleri

ve düşük rijitlikler sebebiyle, tabakalanma genellikle sadece tek doğrultulu

tabakalardan meydana gelmez. Bundan dolayı bazı tabakalar belirli açılarla

tabakalanma içerisinde yer alır. Bu durumun bir sonucu olarak açılı tabakalarda

gerilme-şekil değiştirme ilişkisinin geliştirilmesi gerekmektedir.

Açılı tabakalar için verilen koordinat sistemi Şekil 4.15’de görülmektedir.1-2

koordinat sistemindeki aks, lokal aks veya malzeme aksı olarak adlandırılır. 1

doğrultusu fiberlere paraleldir ve 2 doğrultusu fiberlere diktir. Bazı kaynaklarda 1

doğrultusu longitudinal (boylamasına) doğrultu (L) ve 2 doğrultusu transverse

(enlemesine) doğrultu (T) olarak tanımlanır. x-y koordinat sistemi global aks olarak

isimlendirilir. İki koordinat sistemi arasında θ açısı bulunmaktadır ve açılı

tabakalardaki global ve lokal gerilmeler bu θ tabaka açısına bağlıdır.


40

Şekil 4.15. Açılı tabakalarda global ve lokal akslar (Kaw,1997)

[ ]

=

−

12

2

11

xy

y

x

τσσ

Tτσσ

(4.55)

Burada [T] transformasyon matrisi olarak adlandırılır ve aşağıdaki şekilde

tanımlanır.

[ ]

−−−=

22

22

22

scscscsc2cs

sc2scT (4.56)

Burada

c = cos(θ) (4.57.a)

s = sin(θ) (4.57.b)

Transformasyon matrisinin tersi,

y 1

x

2

θ


41

[ ]

−−

−=−

22

22

22

1 22

scscscsccsscsc

T (4.58)

şeklindedir.

Denklemden (4.52)’de lokal akslardaki gerilme-şekil değiştirme ilişkisi

kullanılarak, denklem (4.55) şu şekilde yazılabilir.

[ ] [ ]

=

−

12

2

11

xy

y

x

γQT

τσσ

εε

(4.59)

Global ve lokal şekil değiştirmeler, birbirlerine transformasyon matrisiyle

bağlanır.

[ ]

=

2T

2 xy

y

x

12

2

1

γεε

γεε

(4.60)

Yukarıdaki denklemi şu şekilde yazabiliriz.

[ ][ ][ ]

=

−

xy

y

x

RTRγεε

γεε

1

12

2

1

(4.61)

Burada [R], Reuter matristir ve aşağıdaki şekilde tanımlanır.

[ ]

=

200010001

R (4.62)


42

Denklem (4.61) (4.59) de yerine koyulursa

[ ] [ ][ ][ ][ ]

=

−−

xy

y

x11

xy

y

x

γRTRQT

τσσ

εε

(4.63)

elde edilir. Denklem (4.63) açık şekilde yazılırsa,

=

xy

y

x

662616

262212

161211

xy

y

x

γQQQQQQQQQ

τσσ

εε

(4.64)

olur. Burada [ ]ijQ transformasyona uğramış elemanın indirgenmiş rijitlik matrisi

olarak adlandırılır. [ ]Q matrisinin açık şekli aşağıda görülmektedir.

22

66124

224

1111 cs)Q2Q(2sQcQQ +++= (4.65.a)

)sc(Qcs)Q4QQ(Q 4412

2266221112 ++−+= (4.65.b)

22

66124

224

1122 cs)Q2Q(2cQsQQ +++= (4.65.c)

cs)Q2QQ(sc)Q2QQ(Q 3661222

366121116 −−−−−= (4.65.d)

sc)Q2QQ(cs)Q2QQ(Q 3

6612223

66121126 −−−−−= (4.65.e)

( ) ( )4466

226612221166 csQcsQ2Q2QQQ ++−−+= (4.65.f)

Denklem (4.64)’ ün tersi alınarak, transformasyona uğramış indirgenmiş

esneklik matrisi aşağıdaki şekilde elde edilir.


43

=

xy

y

x

662616

262212

161211

xy

y

x

τσσ

SSSSSSSSS

γεε

(4.66)

Yukarıdaki [ ijS ] matrisinin açık şekli şu şekildedir.

22

66124

224

1111 cs)SS2(sScSS +++= (4.67.a)

)sc(Scs)SSS(S 4412

2266221112 ++−+= (4.67.b)

22

66124

224

1122 cs)SS2(cSsSS +++= (4.67.c)

cs)SS2S2(sc)SS2S2(S 3661222

366121116 −−−−−= (4.67.d)

sc)SS2S2(cs)SS2S2(S 3661222

366121126 −−−−−= (4.67.e)

)cs(Scs)SS4S2S(2S 4466

226612221166 ++−−+= (4.67.f)

Tek doğrultulu tabakalar için, denklem (4.51) ve (4.52) de görüldüğü gibi

normal ve kayma gerilmeleri ile şekil değiştirmeleri arasında bir bağlantı yoktur.

Fakat, açılı tabakalarda, denklem (4.64) ile (4.66) da görüldüğü gibi normal ve

kayma gerilmeleri ile şekil değiştirmeleri arasında bir bağlantı mevcuttur. Açılı

tabakalarda, sadece normal gerilmelerin etkimesi durumunda, kayma şekil

değiştirmeleri sıfır değildir ve sadece kayma gerilmeleri etkidiğinde normal şekil

değiştirmeleri sıfır değildir. Bu nedenle denklem (4.64) ve (4.66) daki, şekil

değiştirme denklemleri ortotropik tabakalar için genel denklemler olarak

adlandırılır.(Kaw,1997)


44

4.8. Bir Tabakadaki Deplasman, Gerilme ve Şekil Değiştirme Denklemleri

Bir tabakadaki, herhangi bir noktanın şekil değiştirmesine, Şekil 4.16’da

görülen kesitin, deforme olan ve deforme olmayan geometrisine göre karar verilir.

Şekil 4.16’daki B noktası orta düzlem üzerindedir ve x doğrultusundaki uo’ın B

noktasındaki yaptığı deplasmanla, şekli deforme olmamış halden deforme olmuş hale

dönüşür. Kirchoff hipotezindeki kabullerden dolayı ABCD şekli tabakanın

deformasyonu altında doğrusal olarak kalır. Keyfi olarak seçilen bir C noktasındaki

deplasman

uc=uo-zcβ (4.68)

olarak ifade edilir.

Şekil 4.16. x-z düzleminde deformasyon (Jones,1999)

Kirchoff hipotezinin temelinde, deformasyon altında, ABCD düzlemi orta

düzleme dik olarak kalır. Bu nedenle, β, yani x doğrultusunda orta düzlemdeki

tabaka eğimi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.

A

y,v

z,w

x,u

x

z

A

B

C D

zc

uo

zcβ

A

B C

D β

β

wo D

Deforme olmamış hal

Deforme olmuş hal


45

xw

β o

∂∂

= (4.69)

Tabaka kalınlığı boyunca herhangi bir z noktasındaki u deplasmanı

xw

zuu oo ∂

∂−= (4.70)

olarak yazılır. Benzer şekilde aynı işlemler y doğrultusundaki v deplasmanı için

yapılır.

yw

zvv oo ∂

∂−= (4.71)

Kirchoff hipotezine göre εz=γxz=γyz=0 dır.εx ,εy ve γxy i ise sıfırdan farklıdır.

Şekil değiştirmeler açısından deplasmanlar aşağıdaki şekilde yazılabilir.

xu

x ∂∂

=ε (4.72.a)

yv

y ∂∂

=ε (4.72.b)

yu

xvγ xy ∂

∂+

∂∂

= (4.72.c)

Denklem (4.70), ve (4.71), denklem (4.72),(4.73) ve (4.74) ‘de uygulanırsa

aşağıdaki ifadeler elde edilir.

2o

2o

x xw

zx

uε

∂

∂−

∂∂

= (4.73.a)

2o

2o

y yw

zy

vε

∂∂

−∂

∂= (4.73.b)


46

yxw

2zx

vy

uγ o

2oo

xy ∂∂∂

−∂∂

+∂

∂= (4.73.c)

Birim deformasyonlar matris formunda,

(4.74)

şeklinde yazılır. Burada orta düzlemdeki şekil değiştirmeler ve eğrilikler

∂∂

+∂

∂∂∂∂

∂

=

xv

yu

yvx

u

oo

o

o

o

oy

ox

xyγεε

(4.75)

∂∂∂∂∂∂

∂

=

yxw

yw

xw

KKK

o

o

xy

y

x

2

2

2

2

2

2

(4.76)

olarak yazılabilir

Denklem (4.74), denklem (4.64) de yerine konursa, k ıncı tabakadaki

gerilmeler, orta düzlemdeki şekil değiştirmeler, tabaka eğilmeleri ve z koordinatı

açısından aşağıdaki şekilde belirtilebilir.

+

=

xy

y

x

oxy

oy

ox

xy

y

x

KKK

zγεε

γεε


47

+

=

xy

y

x

k662616

262212

161211

oxy

oy

ox

k662616

262212

161211

kxy

y

x

KKK

QQQQQQQQQ

zγεε

QQQQQQQQQ

τσσ

(4.77)

Tabaka kalınlığı boyunca, şekil değiştirmeler lineer olmasına rağmen

gerilmeler lineer olmak zorunda değildir. Çünkü, transformasyona uğramış

indirgenmiş rijitlik matrisi, [ ]Q , tabakalanma içerisinde, her bir tabaka için farklı

olabilir. Bu durum şekil (4.17)’de görülmektedir.

Şekil 4.17. Tabaka kalınlığı boyunca gerilme ve şekil değiştirmeler (Kaw,1997)

z

Orta düzlem

Tabakalı Şekil değiştirme Gerilme


48

4.9.Orta Yüzey Eğilme ve Şekil Değiştirmelerin Bağlı Olarak Oluşan Kuvvetler

ve Momentler

Denklem (4.74) deki orta yüzey şekil değiştirmeleri ve eğilmeleri, tabakadaki

gerilme ve şekil değiştirmeleri bulmak için gerekli olan bilinmeyenlerdir. Fakat

denklem (4.77) bu bilinmeyenlerin ışığında, her bir tabakadaki gerilmeleri verir.

Herbir tabakadaki gerilmeler, tabaka kalınlığı sayesinde, kuvvetleri ve momentleri

elde etmek için kullanılır. Bu sayede, bir tabakadaki kuvvetler ve momentler bilinirse

orta yüzey eğilmeleri ve şekil değiştirmeleri bulunabilir.

Şekil (4.18) ‘de gösterilen ‘n’ adet tabakaya sahip bir plağı göz önüne alalım.

Burada her bir tabaka ‘t’ kalınlığına sahiptir. Tabakalı elamanın kalınlığı ise ‘h’ dır

ve orta yüzey, tabakalının alt veya üst yüzeyinden h/2 mesafesindedir.

∑==

n

1kkth (4.78)

Şekil 4.18. Tabakalı bir elemandaki katmanların koordinat yerleşimi

Orta düzlem

h1

h0

h2 h3

hk-1

hk

hn-1

hn

n

k+1

k

k-1

3

1 2 h/2

h/2

z


49

Şekil (4.18) den görüldüğü gibi

2hh0 −= (1. tabakanın üst yüzeyi)

11 t2hh +−= (1. tabakanın alt yüzeyi)

2hh n = (n.tabakanın alt yüzeyi)

n1n t2hh −=− (n. tabakanın üst yüzeyi) (4.79)

∑+−=−

=−

1k

1LL1k t

2hh (k. tabakanın üst yüzeyi)

∑+−==

k

1LLk t

2hh (k. tabakanın alt yüzeyi)

Tabaka kalınlığı boyunca bulunan gerilmelerin integrasyonunun sonucunda

tabaka üzerindeki kuvvetler ve momentler elde edilir.

∫=−

2h

2hxx dzσN (4.80.a)

∫=−

2h

2hyy dzσN (4.80.b)

∫=−

2h

2hxyxy dzτN (4.80.c)


50

∫=−

2h

2hxx zdzσM (4.81.a)

∫=−

2h

2hyy zdzσM (4.81.b)

∫=−

2h

2hxyxy zdzτM (4.81.c)

Yukarıdaki denklemlerde

Nx, Ny : Birim uzunluktaki normal kuvvetler.

Nxy : Birim uzunluktaki kesme kuvveti .

Mx, My : Birim uzunluktaki eğilme momentleri.

Mxy : Birim uzunluktaki burulma momentleri.

Denklem (4.80) ve (4.81) deki kuvvet ve moment denklemleri matris

formunda şu şekilde yazılabilir.

dzdzNNN

k

n

k

h

h

h

hxy

y

x k

k

∑ ∫∫=− −

=

=

1xy

y

x2

2xy

y

x

1 τσσ

τσσ

(4.82)

zdzzdzMMM

k

h

h

n

k

h

hxy

y

x k

k

∫ ∑ ∫− =

−

=

=

2

2 1xy

y

x

xy

y

x

1 τσσ

τσσ

(4.83)


51

Denklem (4.77) denklem (4.82) ve (4.83) de yerine yazılırsa, orta düzlemdeki

eğilme ve şekil değiştirmeler açısından kuvvetler ve momentler aşağıdaki şekilde

yazılabilir.

k

∑ ∫ ∫=

+

=

− −

n

1k

h

h

h

hxy

y

x

oxy

oy

ox

k662616

262212

161211

xy

y

x k

1k

k

1k

zdzKKK

dzγεε

QQQQQQQQQ

NNN

(4.84)

∑ ∫ ∫=

+

=

− −

n

1k

h

h

h

h

2

xy

y

x

oxy

oy

ox

k662616

262212

161211

xy

y

x k

1k

k

1k

dzzKKK

zdzγεε

QQQQQQQQQ

MMM

(4.85)

Bilindiği gibi

( )∫−

−−=k

k

h

hkk hhdz

1

1

( )∫−

−−=k

k

h

hkk hhzdz

1

21

2

21

( )∫−

−−=k

kh

h

kk hhdzz1

31

32

31

Denklem (4.84) ve (4.85) de bulunan integraller alınarak, kuvvet ve

momentler aşağıdaki şekilde yazılabilir.

+

=

xy

y

x

o

oy

ox

xy

y

x

KKK

BBBBBBBBB

AAAAAAAAA

NNN

662616

262212

161211

xy662616

262212

161211

γεε

(4.86)


52

+

=

xy

y

x

o

oy

ox

xy

y

x

KKK

DDDDDDDDD

BBBBBBBBB

MMM

662616

262212

161211

xy662616

262212

161211

γεε

(4.87)

Burada

( ) ( )∑=

−−=n

1k1kkkijij hhQA (4.88.a)

( ) ( )∑=

−−=n

1k

21k

2kkijij hhQ

21B (4.88.b)

( ) ( )∑=

−−=n

1k

31k

3kkijij hhQ

31D (4.88.c)

Yukarıdaki ifadelerde [A], uzama rijitlik matrisi, [B] eğilme-uzama

arasındaki bağlanma rijitlik matrisi, [D] eğilme rijitlik matrisidir. [B] matrisinin

varlığı, eğilme ve uzama arasında bir girişim bulunduğunu göstermektedir, bu

yüzden [B] matrisinde yer alan Bij terimleri tabaka üzerinde çekme etkisi yaparak,

tabakanın eğilme ve burulmasına neden olur. A16 ve A26 terimleri, bir tabakadaki

kayma şekil değiştirmesi ile normal gerilme arasında ve normal şekil değiştirme ile

kayma gerilmesi arasında varolan bağı gösterir. D16 ve D26 ise bir tabakadaki eğilme

ile burulma arasındaki bağı göstermektedir. [A] , [B] ve [D] matrisleri kompozitlerin

çeşitli şartlar altında davranışını anlamamızda bize yardımcı olmaktadırlar.


53

4.10. Bazı Özel Tabakalanma Tipleri

Simetrik veya antisimetrik tabakalanmanın temelinde açı, malzeme ve tabaka

kalınlığındaki farklılık yer alır. Buna bağlı olarak [A], [B] ve [D] matrislerinden biri

veya birkaçı sıfır olabilir. Bu durum, eğilme momentlerinin, normal ve kesme

kuvvetlerinin, eğilme-burulma momentlerinin ve kuvvet çiftlerinin sıfır veya sıfıra

çok yakın olması ile sonuçlanabilir. Bu durum, kompozitlerin mekanik analizini

basitleştirir.

4.10.1. Simetrik Tabakalanma

Hem malzeme özelliği hem de geometrik özellikleri ile orta düzleme göre

simetrik olan tabakalanmaya “simetrik tabakalanma” denilmektedir.(Jones,1975)

Özellikle kij )Q( ’ nın ve tabaka kalınlığının simetrik olması sebebiyle tüm bağlanma

rijitlikleri olan Bij’lerin sıfır olduğu görülebilir.

Simetrik tabakalarda [B] matrisinin sıfır olmasından dolayı uzama-eğrilik çifti

girişimsizdir yani simetrik tabakalarda girişim etkisi yoktur. Bu durum, simetrik

tabakaların analizini daha kolay hale getirir. Ayrıca simetrik tabakalar, iyileştirme

sürecine müteakip soğutma esnasında, kasılma ve büzülmelere neden olan

kaçınılmaz ısı etkisinden dolayı bir bükülme eğilimi göstermezler. Sonuç olarak, özel

bir durum nedeniyle antisimetrik tabakaların kullanılması gerekmediği müddetçe,

simetrik tabakalar kullanılır.

4.10.1.1. İzotropik Simetrik Tabakalanma

Çeşitli kalınlıklardaki izotropik tabakalar, hem malzeme özellikleri açısından

hemde geometrik açıdan orta düzleme göre simetrik bir şekilde yerleştirilirse,

izotropik simetrik tabakalar elde edilir. Tabakalanma uzama-eğrilik arasında bir

girişim sergilemez. Simetrik izotropik tabakalanmaya örnek olarak, üç tabakadan

oluşan tabakalanma şekli Şekil 4.19’da görülmektedir.


54

Şekil 4.19. Üç tabakadan oluşan izotropik simetrik tabakalanma (Jones, 1975)

4.10.1.2. Özel Ortotropik Simetrik Tabakalanma

Analitik karmaşıklıklar içermesi sebebiyle denklemlerde bulunan A16, A26,

D16 ve D26 rijitliklerinin olmaması arzu edilir. Tabakalanma, tabaka aksı ile fiber

malzeme doğrultusu aynı hizaya gelecek şekilde ortotropik tabakalarla

oluşturulabilir. Özel ortotropik tabakalanma, ya özel ortotropik malzemenin tek bir

katmanında ya da tabakalı orta yüzey çevresinde simetrik olarak düzenlenmiş özel

ortotropik katmanlardan meydana gelmiştir. Tabakaların kalınlıkları, konumu ve

malzeme özellikleri, tabakanın orta düzlemine göre simetrikse, uzama ve eğrilik

arasında bir girişim mevcut değildir. Üç tabakalı özel ortotropik tabakalanmaya Şekil

4.20 örnek olarak verilebilir.

k16 )Q( ve k26 )Q( ’ nın sıfır olması sebebiyle A16, A26, D16 ve D26

rijitliklerinin etkisi kaybolur. Ayrıca simetriklikten dolayı Bij’ler de sıfırdır.

Şekil 4.20. Üç tabakalı özel ortotropik simetrik tabakalanma

E1, ν1, t

y

x

E2, ν2, t

E1, ν1, t

x

y


55

4.10.1.3. Genel Ortotropik Simetrik Tabakalanma

Genel ortotropik simetrik tabakalanma, orta yüzey çevresinde simetrik olarak

yerleştirilmiş genel ortotropik katmanlardan meydana gelmiştir. Bu tabakalı eleman,

eğilme ve uzama arasında bir ilişki sergilemez, yani Bij’ler sıfırdır. Fakat, normal

kuvvetler ve kayma şekil değiştirmesi kesme kuvvetleri ve normal şekil

değiştirmeler, normal momentler ve burulmalar, burulma momentleri ve eğrilikler

arasında bir ilişki bulunduğu için Aij ve Dij’ye gereksinim duyulur. Bu simetrik

tabakalanmanın özel bir alt sınıfı olan düzenli simetrik açılı-katlı tabakalanmada, her

bir tabaka eşit kalınlıktadır ve birbirine bitişik bu ince tabakalar birbirlerine göre zıt

işaretlere sahiptir.(Şekil 4.21)

Şekil 4.21. Üç tabakalı simetrik açılı-katlı tabakalanma

4.10.2. Antisimetrik Tabakalanma

Orta düzleme göre simetrik olan tabakalarda, uzama-eğrilik arasındaki

ilişkiden kaçınılmak istenir. Bunun yanısıra, tabakalı kompozitlerin birçok fiziksel

uygulaması, dizayn gereksinimlerini karşılamak için nonsimetrik tabakalanma

gerektirir. (Jones,1975). Bu durumdan dolayı antisimetrik tabakalanmaya gereksinim

duyulur.

Eğer tabakalanmadaki, malzemeler ve tabaka kalınlıkları, orta düzlemin

aşağısına ve yukarısına göre aynı özelliklere sahip, fakat orta düzlemin aşağısı ve

yukarısına göre eşit mesafedeki tabakaların yönlenimi (oryantasyonu), birbirine zıtsa

bu tip tabakalanmaya “antisimetrik tabakalanma” denir.

+ α

x

y - α

+ α


56

4.10.2.1. Antisimetrik Çapraz-Katlı Tabakalanma

Antisimetrik çapraz-katlı bir tabakalanma Şekil 4.22’de görüldüğü gibi 0o ve

900 de değişen temel malzeme doğrultusunda uzanan, üst üste konulmuş çift sayıda

ortotropik ince tabakalardan meydana gelir. Bu tür tabakalar A16,A26,D16 ve D26’ya

sahip değildir, fakat eğilme ile uzama arasında girişim etkisi mevcuttur.

Şekil 4.22. İki tabakalı antisimetrik çapraz-katlı tabakalanma

4.10.2.2. Antisimetrik Açılı-Katlı Tabakalanma

Antisimetrik açılı-katlı bir tabakalanma, orta yüzeyin bir tarafındaki

tabakalanmanın koordinat eksenleriyle +α derecesinde açı yönlenimi yapması ve

diğer tarafındaki tabakalanmanın koordinat eksenleriyle – α derecesinde yönlenim

yapmasıyla meydana gelen özdeş eşit kalınlıktaki ince tabakalardan oluşur.

(Şekil .4.23)

Şekil 4.23. İki tabakalı antisimetrik açılı-katlı tabakalanma

x

y

+ α

x

y

- α

5.TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Emel YAĞCI

57

5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ

5.1. Giriş

Tabakalandırılmış plaklar, kompozit tabakalıların, en basit ve en yaygın

pratik uygulamalarından biridir. Bu tabakalı plaklar eğilme, bükülme ve titreşim

durumlarında farklı rijitlik özellikleri gösterirler. Bu etkilerin incelenmesi, fiberlerle

takviyeli kompozit malzemelerin davranışının anlaşılmasında bize yardımcı

olmaktadır.

Bu bölüm, tabakalandırılmış plak teorisi çalışmasını tam olarak içermemektedir,

onun yerine tabakalandırılmış plak teorisinin bazı sonuçları incelenmekte ve böylece

rijitliklerin fiziksel önemleri değerlendirilmektedir. Ayrıca sadece tabakalandırılmış

plakların düşey yükler altında eğilmesi incelenmiştir. Plaklar değişkenlere ayırma

yöntemiyle çeşitli sınır şartları altında incelenmiş ve bu sınır şartları, çözüm için

gerekli olan diferansiyel denklemlere uygulanmıştır

5.2. Tabakalı Kompozit Plakları İdare Eden Denge Denklemleri

Boyutları dx, dy ve dZ olan sonsuz küçük kübük bir elemanda, kuvvet ve

momentlerin dengesi hesaba katılarak, bir ‘O’ noktası için denge denklemleri elde

edilir. (Şekil .5.1)

Denge denklemleri yazılırken, her bir tabakanın ortotropik olduğu, plağın

kalınlığının uzunluğu ve genişliğine göre çok küçük olduğu, hiçbir kütlesel kuvvetin

mevcut olmadığı, deplasmanların (u, v ve w )plak kalınlığı yanında çok küçük

olduğu ve Kirchoff Hipotezi’nin geçerli olduğu varsayılmıştır.

Şekil.5.1’den yararlanarak x, y, ve z doğrultularında denge denklemleri

yazılabilir.


58

dzz

zxzx ∂

∂+

ττ dz

z

zz ∂

∂+

σσ dz

z

zyzy ∂

∂+

ττ

dxx

xzxz ∂

∂+

ττ dyτ

y

yzyz ∂

∂+

τ

dxx

xx ∂

∂+

σσ dy

y

yy ∂

∂+

σσ

dxx

xyxy ∂

∂+

ττ dy

y

yxyx ∂

∂+

ττ

Şekil.5.1. dxdydz boyutundaki kübik elemandaki gerilmeler

x doğrultusunda denge yazılarak

(5.1)

denklemi elde edilir. Aynı işlemler y ve z doğrultuları için de yapılır.Denklemler

dx.dy.dz’ye bölünerek gerilmeler cinsinden aşağıdaki ifadeler elde edilir.

(5.2.a)

0dxdydzFdxdyτdzz

τ

dxdzτdyy

ττdydzσdx

xσσ

xzxzx

zx

yxyx

yxxx

x

=+

−

∂∂

+

+

−

∂

∂++

−

∂∂

+

τ

0Fz

τy

τxσ

xzxyxx =+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

y σz

τxz

τxy

τzx

τzy

σx σy

τyz

τyx

z

x dy

dx

dz


59

0Fx

τz

τyσ

yxyzyy =+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ (5.2.b)

0Fx

τy

τzσ

zxzyzz =+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

(5.2.c)

Şekil 5.2.a. Plak kuvvetleri

Şekil 5.2.b. Plak momentleri

x

y

Nxy

Nx

Qx

Qy

Nyx

Ny

P(x,y)

z

x

y

Qx Myx My

P(x,y)

Mxy Mx

z


60

Daha önceki bölümlerde tabakalı plaklar için yapılan sınırlandırmalar ve

varsayımlar ışığında, yukarıdaki denklemler tüm tabakalar için integre edilir ve

gerekli denge denklemleri yazılır.

Denklem (5.2.a) nın z-doğrultusundaki integrasyonuyla

( )∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫= = = =− − − −

=+

∂∂

+

∂

∂+

∂

∂n

k

h

h

n

k

h

h

n

k

h

h

n

k

h

hkx

kkk

k

k

k

k

k

k

k

k

dzFdzdzdz1 1 1 1

zxyx

1 1 1 1

0z

τy

τxxσ

0Fy

Nx

Nx

xyx =+∂

+∂

∂ (5.3)

Denklem (5.2.b) nin z-dogrultusundaki integrasyonuyla

( )∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫= = = =

− − − −

=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂n

k

h

h

n

k

h

h

n

k

h

h

n

k

h

hky

kkk

k

k

k

k

k

k

k

k

dzFdzdzdz1 1 1 1

xyzyy

1 1 1 1

0x

τz

τyσ

0Fx

Ny

Ny

xyy =+∂

+∂

∂ (5.4)

Denklem (5.2.c) nin z-doğrultusundaki integrasyonuyla

( )∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫= = = =

− − − −

=+

∂∂

+

∂

∂+

∂∂n

k

h

h

n

k

h

h

n

k

h

h

n

k

h

hkz

kkk

k

k

k

k

k

k

k

k

dzFdzdzdz1 1 1 1

xzyzz

1 1 1 1

0x

τy

τzσ

0Fpy

Qx

Qz

yx =++∂

∂+

∂∂

(5.5)

İntegrasyonlar momentler cinsinden yazılarak, Şekil 5.2.a ve Şekil 5.2.b yardımıyla x

ekseni ile y ekseni etrafında denge şartı yazılırsa,


61

∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫= = =

− − −

=

∂∂

+

∂

∂+

∂∂n

k

h

h

n

k

h

h

n

k

h

h kkk

k

k

k

k

k

k

zdzzdzzdz1 1 1

zxyxx

1 1 1

0z

τy

τxσ

0Qy

My

Mx

yxx =−∂

∂+

∂∂

(5.6)

∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫= = =

− − −

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂n

k

h

h

n

k h

n

k

h

h kkk

k

k

kh

k

k

k

zdzzdzzdz1 1 1

xyzyy

1 1 1

0x

τz

τyσ

0Qx

My

My

xyy =−∂

∂+

∂

∂ (5.7)

denklemleri elde edilir. Denklem (5.6) ve (5.7) denklem (5.5) de yerine yazılırsa,

0Fpy

Myx

M2

xM

z2y

2xy

2

2x

2

=++∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂ (5.8)

denklemi elde edilir. Bu ifade plakların momentler cinsinden eğilmesini ifade eden

diferansiyel denklemdir.

xF , yF ve zF : Birim hacimdeki ortalama kütlesel kuvvetlerdir. Fakat hiçbir

kütlesel kuvvetin mevcut olmadığı kabulünden dolayı, bu kuvvetler ihmal edilir.

Denklemler aşağıdaki şekilde yazılabilir.

0NN y,xyx,x =+ (5.9)

0NN y,yx,xy =+ (5.10)

pMM2M yy,yxy,xyxx,x −=++ (5.11)

5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Emel YAĞCI

62

Yukarıdaki denklemler açık şekilde yazılırsa;

( )

( ) 0,,2,3,ν,ν,ν,,,2,

26661216

11yy26xy6612xx16661611

=−+−−

−++++++

yyyxyyxxy

xxxyyxyxx

wBwBBwBwBAAAAuAuAuA

(5.12)

( )

( ) 0,,3,2BB-w,-Bν,Aν,2Aν,,,,

22266612

xxx16yy22xy26xx6626661216

=−−+

++−+++

yyyxyyxxy

yyxyxx

wBwBwAuAuAAuA

(5.13)

( )

( )( ) ( )yx,pν,-Bν,-3Bν,2BB-

ν,,,2,3,

,,4,22,4,

yyy22xyy26xxy6612

xxx162666121611

222666121611

=+

−−+−−−

+++++

BuBuBBuBuBwDwDwDDwDwD

yyyxyyxxyxxx

yyyyxyyyxxyyxxxyxxxx

(5.14)

ifadeleri elde edilir.

Elde edilen denklemler yardımıyla, birçok yöntemi kullanarak (sonlu

elemanlar, sonlu farklar gibi sayısal yöntemler ve Rayleigh-Ritz, Galerkin gibi

değişik enerji metodları) tabakalı kompozit plakların çözümüne ulaşabiliriz. Bu

yöntemlere ek olarak, diğer yöntemlere yardımcı bir yöntem olan değişkenlere

ayırma yöntemi ile de çözüme ulaşılabilir.

5.3.Basit Mesnetli Dikdörtgen İnce Tabakalı Plakların Analizi

Basit mesnetli dikdörtgen ince plaklara Navier(1823) çözümü

uygulanabilmektedir. Şekil.5.3 ’de x=0, x=a, y=0 ve y=b kenarları boyunca basit

mesnetli lateral yüklü bir plak görülmektedir.

Plak üzerindeki lateral yük çift Fourier serisi ile aşağıdaki şekilde ifade

edilebilir.

( ) ∑∑∞

=

∞

=

=1 1 b

πyaπx,

m nmn

nSinmSinpyxp (5.15)


63

Şekil 5.3. Lateral yük altındaki basit mesnetlenmiş dikdörtgen plak (Jones, 1975)

Denklem (5.7)’ nin her iki tarafı bylSin

axkSin ππ ile çarpılıp, 0 <x<a ve

0<y<b sınırları arasında integre edilirse

( )∫ ∫= =

b

y x

dxdylSinkSinyxp0

a

0 bπy

aπx,

∑∑ ∫∫∞

=

∞

=

=

1 1 0 0 bπy

aπx

bπy

aπx

m n

b a

mn dxdylSinkSinnSinmSinp (5.16)

Hatırlatma,

=

≠=∫ kma

kmdxkSinmSin

a

2

0

aπx

aπx

0

(5.17)

∫

=

≠=

b

lnbln

dylSinnSin0 2

0

bπy

bπy

mnP çift Fourier açılım katsayısı için,

x

y

P(x,y)

z

a

b


64

( )∫ ∫= =

=b

y

a

xmn dxdyynSinxmSinyxP

abP

0 0 bπ

aπ,4 (5.18)

denklemi elde edilir. Denklemdeki P(x,y) verilirse Pmn bulunur.

Denklem (5.18) birçok farklı yükleme tipleri için kolaylıkla kullanılabilir. Bu

yükleme tiplerinden birisi olan düzgün yayılı yükleme tipi için denklem (5.18)

integre edildikten sonra

P(x,y) = P0 = Sabit

( )( ) ( )[ ] ( )[ ]nmmn mn

PCosmCosmnPP 1111

π4

nπ 1π 1π4

20

20 −−−−=−−=

0=mnP (m veya n çift sayı ise)

mnPPmn 2

0

π16

= (m veya n tek sayı ise) (5.19)

denklemleri elde edilir.

Yöntem, farklı tabakalanma türleri için sınır şartları yazılarak, her

tabakalanma çeşidi için ayrı ayrı ele alınacaktır.

5.3.1.Özel Ortotropik Tabakalanma

Özel ortotropik tabakalanmada, tabaka rijitlikleri sadece A11, A12, A22, A66,

D11, D12, D22 ve D66’yı içerir. Bu yüzden plak denge denklemleri, tek bir diferansiyel

denklemle açıklanabilir.

( ) ( )yxpwDwDDwD yyyyxxyyxxxx ,,,22, 22661211 =+++ (5.20)


65

Basit mesnetli plak için sınır koşulları aşağıdaki şekilde yazılabilir.

0,,0,0 1211 =−−=== yyxxx wDwDMwax

0,,0,0 2212 =−−=== yyxxy wDwDMwby (5.21)

Plak içerisinde oluşan u, v, ve w deplasmanlarından u ve v deplasmanları

dördüncü derece diferansiyel denklemde bulunmadığından dolayı çözüm daha da

kolaylaşır. Bu durumda sadece w deplasmanı için deplasman fonksiyonu yazmamız

yeterlidir.

∑∑∞

=

∞

=

=1 1 b

ππm n

mnynSin

axmSinCw (5.22)

5.3.2. Simetrik Açılı – Katlı Tabakalanma

Bu tabakalanma çeşidinde, özel ortotropik tabakalanmaya ek olarak D16 ve

D26 rijitlikleri bulunmaktadır.

( )

( )yxpwD

wDwDDwDwD

yyyy

xyyyxxyyxxxyxxxx

,,

,4,22,4,

22

2666121611

=+

++++

(5.23)

Basit mesnetli plak için sınır koşullarıda şöyle yazılabilir.

0,2,,0,0 161211 =−−−=== xyyyxxx wDwDwDMwax

0,2,,0,0 262212 =−−−=== xyyyxxy wDwDwDMwby (5.24)


66

5.3.3.Antisimetrik Çapraz-Katlı Tabakalanma

Bu tip tabakalanma, A11, A12, A22=A11 ve A66 uzama rijitliklerine,

111211, BBB −= uzama ve eğilme arasındaki bağlanma rijitliklerine ve D11, D12,

D22=D11 ve D66 eğilme rijitliklerine sahiptir.

( ) 0w,-Bν,,, xxx11xy66126611 =+++ AAuAuA yyxx (5.25.a)

( ) 0w,Bν,Aν,, yyy11yy11xx666612 =++++ AuAA xy (5.25.b)

( ) ( ) ( ) ( )yxpuBwDDwwD xxxxxyyyyyyxxxx ,ν,,,22,, yyy11661211 =−−+++ (5.25.c)

Basit mesnetli durum için sınır şartları aşağıdaki şekildedir.

0,,,0,0 121111 =−−=== yyxxxx wDwDuBMwax

0w,-Bν,,0 xx11y1211 =+== AuANv xx (5.26.a)

0w,-Dw,-Dν,0,0 yy11xx12y11 =−=== BMwby y

0w,Bν,,0 yy11y1112 =++== AuANu xy (5.26.b)

Yukarıdaki sınır şartlarını sağlayan deplasman fonksiyonları aşağıda verilmektedir.

∑∑∞

=

∞

=

=1 1 b

πyaπ

m nmn

nSinxmCosAu


67

∑∑∞

=

∞

=

=1 1 b

πyaπ

m nmn

nCosxmSinBv (5.27)

∑∑∞

=

∞

=

=1 1 b

πaπ

m nmn

ynSinxmSinCw

5.3.4. Antisimetrik Açılı-Katlı Tabakalanma

Antisimetrik açılı-katlı tabakalanma, ,A11 2212 A,A ve 66A uzama

rijitliklerine 16B ve 26B uzama ve eğilme arasındaki bağlanma rijitliklerine ve

221211 D,D,D ve 66D eğilme rijitliklerine sahiptir. Bu yüzden, bu tip tabakalanma,

antisimetrik çapraz-katlı tabakaların yaptığından farklı bir tür uzama-eğrilik ilişkisi

sergiler. Diferansiyel denge denklemleri aşağıdaki gibidir.

( ) 0w,-Bw,-3Bν,,, yyy26xxy16xy66126611 =+++ AAuAuA yyxx (5.28.a)

( ) 0w,-3Bw,-Bν,Aν,, xyy26xxx16yy22xx666612 =+++ AuAA xy (5.28.b)

( ) ( )

( ) ( )yxpuB

uBwDwDDwD

yyy

xxyyyyyxxyyxxxx

,ν,3,

ν,,3,,22,

xyy26

xxx1622661211

=+−

+−+++

(5.28.c)

Basit mesnetlenmiş durumlarda sınır şartları şöyledir.

( ) 0,,ν,,0,0 1211x16 =−−+=== yyxxyx wDwDuBMwax

( ) 0,,ν,,0 2616x66 =−−+== yyxxyxy wBwBuANu (5.29.a)


68

( ) 0,,ν,,0,0 2212x26 =−−+=== yyxxyy wDwDuBMwby

( ) 0,,ν,,0 2616x66 =−−+== yyxxyxy wBwBuANv (5.29.b)

Yukarıdaki sınır şartlarına uyan deplasman fonksiyonları aşağıdaki gibidir.

∑∑∞

=

∞

=

=1 1 b

ππm n

mnynCos

axmSinAu

∑∑∞

=

∞

=

=1 1

πaπ

m nmn b

ynSinxmCosBv (5.30)

∑∑∞

=

∞

=

=1 1 b

πaπ

m nmn

ynSinxmSinCw

6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI

69

6.SAYISAL UYGULAMALAR

6.1.Giriş

Tabakalı kompozit plakların analizinden sonra, elde edilen denklemlerle

Mathematica adlı paket programın yardımıyla bir bilgisayar programı hazırlanmıştır.

Program genel ortotropik plakların, düşey yükler altında çökmesini, her bir tabakanın

üst ve alt liflerindeki gerilmeleri ve tabakalarda meydana gelen momentleri

bulabilmektedir. Sonlu elemanlar yöntemine dayalı olarak çalışan ANSYS adlı analiz

programı yardımıyla örnekler tekrar çözülmektedir. ANSYS programı yardımıyla

yapılan analizlerde, ince plak teorisi için dört düğümlü lineer eleman, tabakalı plak

teorisi için sekiz düğümlü quadratik eleman tipleri kullanılmıştır. Analizlerde plak

eleman 20x20 SE ağı kullanılarak analiz edilmiştir.

Bu çalışmada farklı tabakalanma durumlarına göre altı adet örnek incelenmiştir.

Bu örneklerden dördü simetrik tabakalanma ile ilgili olup diğer ikisi antisimetrik

tabakalanma ile ilgilidir. İncelenen örnekler, Çukurova Üniversitesi Fen Bilimleri

Enstitüsünde 2004 yılında Araştırma Görevlisi Ali DOĞAN tarafından hazırlanmış

olan “Fiber Çubuklarla Güçlendirilmiş Tabakalı Plakların Plak Düzlemine Dik

Yükleme Etkisindeki Davranışı Y.Lisans Tezi, Ç.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü” adlı

yüksek lisans tezinde yer alan örneklerin farklı açılardan ve daha geniş kapsamlı

olarak incelenmesiyle elde edilmiştir. Simetrik tabakalanma durumunda farklı

elastisite modülleri, farklı tabakalanma açısı ve farklı tabakalanma çeşitlerine bağlı

olarak çökme değerleri, moment değerleri, gerilmeler ve eğilme rijitliklerinin

denklem içerisindeki etkisi bulunmuştur. Antisimetrik plak durumunda ise çökme

değerleri, moment değerleri ve uzama eğrilik arasındaki girişim etkisini gösteren

bağlanma rijitlikleri bulunmuştur. Bulunan bu değerlerle plağın davranışı

incelenmiştir.

Hazırlanan programın ve analizlerin doğruluğunu kontrol etmek amacıyla elde

edilen sonuçlar, ANSYS programıyla elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. İki

programın sonuçları arasında bazı durumlarda hemen hemen aynı değerler elde

edilmiş, bazı durumlarda ise beklendiği gibi bazı farklılıklar görülmüştür. Oluşan bu


70

farklar her iki yöntemdeki kabullerin ve sınırlandırmaların farklılığından

kaynaklanmaktadır.

6.2.Sayısal Örnekler

6.2.1.Simetrik Tabakalanma

Örnek 1:

Bu örnekte üniform yayılı yük etkisinde kalan, kenarlarından basit mesnetlenmiş

izotropik kare plak göz önüne alınmıştır (Şekil6.1 ). Plak malzemesi olarak çelik ve

aliminyum seçilmiş olup malzeme özellikleri Eç= 2.1x108 kN / m2,

Ea = 0.724x108 kN / m2, νç=0.26, νa=0.3 tür. Plak bu ilk örnekte tek tabakalı olarak

ele alınacaktır. Analizler, plak kenarı a ile plak kalınlığı h arasındaki oran, a/h=100

ve a/h=50 olarak iki kez yapılacaktır. Problem önce değişkenlerine ayırma yöntemi

(D.A.Y) ile elde edilen formülasyonla Matematica programı yardımıyla sonra,

ANSYS paket programıyla çözülecektir. Analizlerde 20x20 SE ağı kullanılmıştır.

Şekil 6.1.Üniform yüklü kare plak

a

h

a

y z

P(x,y) = po=100 kN/m2

x


71

Çizelge 6.1.Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması (mm)

Çizelge 6.2. Plak orta noktasındaki gerilme değerlerinin karşılaştırılması (kN/m2)

a/h Malzeme

Çeşidi

Plak elemandaki gerilme değerleri (σ) X doğrultusundaki gerilmeler Y doğrultusundaki gerilmeler

σx D.A.Y.

σx ANSYS

Fark (%)

σy D.A.Y.

σy ANSYS

Fark (%)

50 Tek tabakalı

çelik 69552 70771 1.72 69552 70771 1.72

Tek tabakalı aliminyum

71760 72962 1.65 71760 72962 1.65

100 Tek tabakalı

çelik 278210 281172 1.05 278210 281172 1.05


278042 289987 1.02 278042 289987 1.02

Çizelge 6.3. Plak orta noktasındaki moment değerlerinin karşılaştırılması (kN.m)

a/h Malzeme

Çeşidi

Plak elemandaki moment değerleri (M) x-x momentleri y-y momentleri

Mx D.A.Y.

Mx ANSYS

Fark (%)

Mx D.A.Y.

Mx ANSYS

Fark (%)

50 Tek tabakalı

çelik 6.677 6.737 0.89 6.677 6.737 0.89


6.889 6.946 0.82 6.889 6.946 0.82

a/h Malzeme çeşidi Plak ortası deplasman değerleri(w)

D.A.Y. ANSYS Fark(%)

50 Tek tabakalı çelik 3.247 3.312 1.98

Tek tabakalı aliminyum 9.191 9.368 1.89

100 Tek tabakalı çelik 25.973 26.222 0.95

Tek tabakalı aliminyum 73.526 74.194 0.90


72

100 Tek tabakalı

çelik 6.677 6.691 0.21 6..677 6.691 0.21


6.889 6.901 0.17 6.889 6.901 0.17

Analitik çözüm ile ANSYS çözümü birbirine yakın sonuçlar vermiştir. Düşey

deplasman sonuçları arasında yaklaşık olarak % 1-2 arasında bir fark mevcuttur. Bu

farkın en önemli nedeni iki yöntemde farklı çözüm yollarının kullanılması, farklı

sınırlandırmalar ve varsayımların yapılmasıdır. Ayrıca plak kenarının plak

kalınlığına oranı da sonucu etkilemektedir. Beklendiği üzere plak inceldikçe sonuçlar

birbirine yaklaşmaktadır. Bunun sebebi değişkenlere ayırma yönteminde ince plaklar

için geçerli olan bazı kabullerin yapılmış olmasıdır. Doğal olarak plak kalınlaştıkça

bu kabullerin geçerliliği gitgide azalacak ve sonuçlar gerçek sonuçlardan

uzaklaşacaktır. Çizelge 6.1’ de görüldüğü gibi a/h = 50 iken % 2 mertebesinde olan

fark a/h =100 iken % 0.9 mertebesine düşmüştür, yani plak inceldikçe ANSYS

sonuçları ile analitik çözüm sonuçları birbirine yaklaşmaktadır.

Her iki yöntemde de farklı malzemelerin kullanılması, çökme miktarını aşırı

bir şekilde etkilemiş gerilme ve moment değerlerine ise çok küçük değişikliklere

neden olmuştur.


73

Şekil 6.2. 20x20 SE ağıyla çözülen a/h= 50 olan çelik plak problemi için düşey

deplasman dağılımı (ANSYS)

Şekil 6.3. 20x20 SE ağıyla çözülen a/h= 50 olan çelik plak problemi için σx

gerilme dağılımı (ANSYS)


74

Şekil 6.4. 20x20 SE ağıyla çözülen a/h= 50 olan çelik plak problemi için Mx

moment dağılımı (ANSYS)


74

Çelik

Durum-1

Durum-5 Durum-6

Örnek 2:

Bu örnekte q =100 kN/m2 değerinde üniform yayılı yük etkisinde kalan,

kenarlarından basit mesnetlenmiş tabakalı kare plak göz önüne alınmıştır. Her bir

tabaka kendi içinde izotrop olup plak malzemesi olarak çelik ve aliminyum

seçilmiştir. Malzeme özellikleri Eç= 2.1x108 kN/m2, Ea=0.724x108 kN/m2, υç=0.26,

υa=0.3 tür. Plak Durum-1 de en dıştaki tabakalar çelik aradaki tabaka aliminyum

olacak şekilde üç tabaka olarak (Şekil 6.5). Durum-2 de en dıştaki tabakalar çelik

içteki üç tabaka aliminyum olacak şekilde beş tabaka olarak (Şekil 6.5). Durum-3 te

en dıştaki tabakalar çelik içteki sekiz tabaka aliminyum olacak şekilde on tabaka

olarak (Şekil 6.5). Durum-4 te en dıştaki tabakalar aliminyum içteki üç tabaka çelik

olacak şekilde beş tabaka olarak (Şekil 6.5). Durum-5 te en dıştaki ve ortadaki

tabakalar alüminyum diğer iki tabaka çelik olacak şekilde beş tabaka olarak

(Şekil 6.5) ve son olarak Durum-6 da ilk tabaka çelik sonraki 2 tabakalar alüminyum

olacak şekilde on tabaka olarak ele alınmıştır. Analizler plak kenarı a ile plak

kalınlığı h arasındaki oran a/h = 100 olacak şekilde yapılmıştır. Her bir tabakanın

kalınlığı eşit ve toplam tabaka kalınlığı sabittir. ANSYS paket programıyla yapılan

analizlerde SHELL91 adı ile tanımlanan sekiz düğümlü altı serbestlik dereceli

elemanlar kullanılmıştır.

Şekil 6.5.Örnek 2 deki altı farklı tabakalanma durumu

Aliminyum

h

Durum-2 Durum-3

Durum-4

a


75

Çizelge 6.4.Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması (mm)

Çizelge 6.5. Plak moment değerleri (kN.m)

Malzeme çeşidi

Plak elemandaki moment değerleri(M)

x-x momentleri y-y momentleri

Mx

D.A.Y.

Mx

ANSYS

Fark

%

My

D.A.Y.

My

ANSYS

Fark

% 3 tabakalı plak

(Durum-1) 6.680 6.700 0.29 6.680 6.700 0.29

5 tabakalı plak (Durum-2)

6.696 6.719 0.34 6.696 6.719 0.34


6.734 6.757 0.33 6.734 6.757 0.33


6.796 6.801 0.06 6.796 6.801 0.06


6.799 6.807 0.12 6.799 6.807 0.12


6.725 6.743 0.26 6.725 6.743 0.26

Malzeme çeşidi Plak ortası deplasman değerleri(w)

D.A.Y. ANSYS Fark(%)

3 tabakalı plak (Durum-1) 26.610 26.897 1.07







76

Çizelge 6.6.a. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri (kN/m2)

Malzeme çeşidi

Tabaka

kalınlığı

(m)

Plak elemandaki gerilme değerleri (σ) X doğrultusundaki

gerilmeler

Y doğrultusundaki

gerilmeler σx D.A.Y.

σx ANSYS

S

Fark (%)

σy D.A.Y.

σy ANSYS

Fark (%)

3 tabakalı plak

(Durum-1)

0.006 288.300 285.038 1.13 288.300 285.038 1.13 0.002 96.100 95.013 1.13 96.100 95.013 1.13 0.002 35.025 34.629 1.13 35.025 34.629 1.13 -0.002 -35.025 -34.629 1.13 -35.025 -34.629 1.13 -0.002 -96.100 -95.013 1.13 -96.100 -95.013 1.13 -0.006 -288.300 -285.038 1.13 -288.300 -285.038 1.13

5 tabakalı plak

(Durum-2)

0.006 323.387 327.242 1.18 323.387 327.242 1.18 0.0036 194.032 196.345 1.18 194.032 196.345 1.18 0.0036 70.717 71.560 1.18 70.717 71.560 1.18 0.0012 23.573 23.853 1.17 23.573 23.853 1.17 0.0012 23.573 23.853 1.17 23.573 23.853 1.17 -0.0012 -23.573 -23.853 1.17 -23.573 -23.853 1.17 -0.0012 -23.573 -23.853 1.17 -23.573 -23.853 1.17 -0.0036 -70.717 -71.560 1.18 -70.717 -71.560 1.18 -0.0036 -194.032 -196.345 1.18 -194.032 -196.345 1.18 -0.006 -323.387 -327.242 1.18 -323.387 -327.242 1.18

10 tabakalı plak

(Durum-3)

0.006 415.945 420.852 1.17 415.945 420.852 1.17 0.0048 332.756 336.681 1.17 332.756 336.681 1.17 0.0048 121.277 122.708 1.17 121.277 122.708 1.17 0.0036 90.958 92.031 1.17 90.958 92.031 1.17 0.0036 90.958 92.031 1.17 90.958 92.031 1.17 0.0024 60.639 61.354 1.17 60.639 61.354 1.17 0.0024 60.639 61.354 1.17 60.639 61.354 1.17 0.0012 30.319 30.677 1.17 30.319 30.677 1.17 0.0012 30.319 30.677 1.17 30.319 30.677 1.17

0 0 0 1.17 0 0 1.17 0 0 0 1.17 0 0 1.17

-0.0012 -30.319 -30.677 1.17 -30.319 -30.677 1.17 -0.0012 -30.319 -30.677 1.17 -30.319 -30.677 1.17 -0.0024 -60.639 -61.354 1.17 -60.639 -61.354 1.17 -0.0024 -60.639 -61.354 1.17 -60.639 -61.354 1.17 -0.0036 -90.958 -92.031 1.17 -90.958 -92.031 1.17 -0.0036 -90.958 -92.031 1.17 -90.958 -92.031 1.17 -0.0048 -121.277 -122.708 1.17 -121.277 -122.708 1.17 -0.0048 -332.756 -336.681 1.17 -332.756 -336.681 1.17 -0.006 -415.945 -420.852 1.17 -415.945 -420.852 1.17


77

Çizelge 6.6.b. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri (kN/m2)

Malzeme çeşidi

Tabaka

kalınlığı

(m)

Plak elemandaki gerilme değerleri (σ) X doğrultusundaki

gerilmeler

Y doğrultusundaki

gerilmeler σx D.A.Y.

σx ANSYS

Fark (%)

σy D.A.Y.

σy ANSYS

Fark (%)

5 tabakalı plak

(Durum-4)

0.006 205.696 207.577 0.91 205.696 207.577 0.91 0.0036 123.418 124.546 0.91 123.418 124.546 0.91 0.0036 338.629 341.725 0.91 338.629 341.725 0.91 0.0012 112.876 113.908 0.91 112.876 113.908 0.91 0.0012 112.876 113.908 0.91 112.876 113.908 0.91 -0.0012 -112.876 -113.908 0.91 -112.876 -113.908 0.91 -0.0012 -112.876 -113.908 0.91 -112.876 -113.908 0.91 -0.0036 -338.629 -341.725 0.91 -338.629 -341.725 0.91 -0.0036 -123.418 -124.546 0.91 -123.418 -124.546 0.91 -0.006 -205.696 -207.577 0.91 -205.696 -207.577 0.91

5 tabakalı plak

(Durum-5)

0.006 207.878 209.888 0.96 207.878 209.888 0.96 0.0036 124.727 125.933 0.96 124.727 125.933 0.96 0.0036 342.221 345.530 0.96 342.221 345.530 0.96 0.0012 114.074 115.177 0.96 114.074 115.177 0.96 0.0012 41.576 41.978 0.96 41.576 41.978 0.96 -0.0012 -41.576 -41.978 0.96 -41.576 -41.978 0.96 -0.0012 -114.074 -115.177 0.96 -114.074 -115.177 0.96 -0.0036 -342.221 -345.530 0.96 -342.221 -345.530 0.96 -0.0036 -124.727 -125.933 0.96 -124.727 -125.933 0.96 -0.006 -207.878 -209.888 0.96 -207.878 -209.888 0.96

10tabakalı plak

(Durum-6)

0.006 394.579 398.946 1.09 394.579 398.946 1.09 0.0048 315.663 319.156 1.09 315.663 319.156 1.09 0.0048 115.047 116.321 1.10 115.047 116.321 1.10 0.0036 86.286 87.240 1.09 86.286 87.240 1.09 0.0036 86.286 87.240 1.09 86.286 87.240 1.09 0.0024 57.524 58.160 1.09 57.524 58.160 1.09 0.0024 157.831 159.578 1.09 157.831 159.578 1.09 0.0012 78.916 79.789 1.09 78.916 79.789 1.09 0.0012 28.762 29.080 1.09 28.762 29.080 1.09

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-0.0012 -28.762 -29.080 1.09 -28.762 -29.080 1.09 -0.0012 -78.916 -79.789 1.09 -78.916 -79.789 1.09 -0.0024 -157.831 -159.578 1.09 -157.831 -159.578 1.09 -0.0024 -57.524 -58.160 1.09 -57.524 -58.160 1.09 -0.0036 -86.286 -87.240 1.09 -86.286 -87.240 1.09 -0.0036 -86.286 -87.240 1.09 -86.286 -87.240 1.09 -0.0048 -115.047 -116.321 1.10 -115.047 -116.321 1.10 -0.0048 -315.663 -319.156 1.09 -315.663 -319.156 1.09 -0.006 -394.579 -398.944 1.09 -394.579 -398.944 1.09


78

Bu örnekteki analizlerde tabaka sayısı arttırılmış ve Şekil 6.5’de görüldüğü gibi

plak malzemesi olarak çelik ve alüminyum kullanılarak farklı tabakalanma

dizilimleri elde edilmiştir. Sonuçlar bu artan tabaka sayısına ve farklı tabakalanma

durumlarına göre irdelenmiştir.

Tabaka sayısı arttıkça plağın toplam kalınlığı değişmediği halde her bir

tabakanın kalınlığı azalmaktadır. Durum-1 her bir tabakanın en kalın olduğu

durumdur. Durum-1 den Durum-2 ye geçirilirken her bir tabakanın kalınlığı % 40

oranında azaldığı halde, çökme miktarı % 12 civarında artmaktadır. Durum-1 den

Durum-3 e geçirilirken her bir tabakanın kalınlığı yaklaşık % 70 oranında azaldığı

halde, çökme miktarı % 30 civarında artmaktadır. Durum-2, Durum-5 ve Durum-

6’da güçlü tabaka olan çelik eşit miktarda kullanıldığı halde en iyi sonuç çeliğin en

dışta olduğu Durum-2’de görülmektedir. Bu sonuçlar göstermektedir ki, güçlü

tabakaların orta düzleme göre en dış kenarda tutulması şartıyla, tabaka sayısının

arttırılıp tabaka kalınlığının inceltilmesi ile daha ekonomik tabakalanma çeşitleri elde

edilebilir (örneğin; sandiviç tipi tabakalanma). Ancak güçlü tabakaların orta düzleme

yakın tutulması bizi tam aksi bir sonuca götürür. Şöyle ki, Durum-2, Durum-4 ve

Durum-5 te plak 5 tabakaya ayrılmıştır. Durum-4 de Durum-2’ye göre güçlü eleman

olan çelik daha fazla kullanılmasına rağmen yaklaşık olarak iki kat daha fazla çökme

meydana gelmiştir.(Çizelge 6.4). Durum-2 ve Durum-5 te çelik eleman eşit

kullanılmasına rağmen Durum-5’te çökme miktarı % 43 civarında artmaktadır.

Şekil 6.6’da görüldüğü gibi ANSYS ve D.A.Y. sonuçları birbiriyle

örtüşmüştür. Gerilme değerleri arasında yaklaşık % 1-2 arasında bir fark mevcuttur.

Şekillerde de görüldüğü gibi tabaka sayısı artıkça plaktaki maksimum gerilme

değerinde de bir artış meydana gelmektedir. Örneğin Şekil 6.6’ da görülen Durum-1

deki maksimum gerilme değeri ile Şekil 6.8.’ de görülen Durum-3 deki maksimum

gerilme değeri arasında yaklaşık % 50 oranında bir fark bulunmaktadır. Durum-1-2-3

ve 6 da dıştaki rijit tabakalarda gerilme değerinde artış meydana gelmiştir. Şekil 6.9,

Şekil 6.10’da görülen Durum-4 ve Durum-5 te daha rijit kısmın iç tabakalarda

bulunmasından dolayı maksimum gerilme iç tabakalarda oluşmuştur. Tüm

durumlarda tabakalanmanın orta düzleminde σx gerilmeleri sıfırdır.


79

Şekil 6.6. Durum-1 deki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi

Şekil 6.7. Durum-2 deki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişim

Durum-2

-0,006

-0,0036

-0,0012

0,0012

0,0036

0,006

-400 -200 0 200 400

D.A.Y.

ANSYS

Gerilme (103 kN /m2)

Taba

ka k

alın

lığı (

m)

Durum-1

-0,006

-0,002

0,002

0,006

-400 -200 0 200 400

D.A.Y. ANSYS

Taba

ka k

alın

lığı (

m)



80

Şekil 6.8. Durum-3 deki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi

Şekil 6.9. Durum-4 teki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi

-0,006

-0,0036

-0,0012

0,0012

0,0036

0,006

-400 -200 0 200 400

D.A.Y. ANSYS

Durum-4

Taba

ka k

alın

lığı (

m)


Durum-3

-0,006 -0,0048

-0,0036

-0,0024

-0,0012

0,0012

0,0024

0,0036

0,0048

0,006

-600 -400 -200 0 200 400 600

D.A.Y.

ANSYS

Taba

ka k

alın

lığı (

m)



81

Şekil 6.10. Durum-5 teki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi

Şekil 6.11. Durum 6-daki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi

-0,006

-0,0036

-0,0012

0,0012

0,0036

0,006

-400 -200 0 200 400

D.A.Y. ANSYS

Taba

ka k

alın

lığı (

m)

Durum-5


-0,006

-0,0048

-0,0036

-0,0024

-0,0012

0,0012

0,0024

0,0036

0,0048

0,006

-600 -400 -200 0 200 400 600

D.A.Y.

ANSYS


Taba

ka k

alın

lığı (

m)

Durum-6


82

Örnek 3:

Örnekte, dört tabakalı, dört kenarından basit mesnetlenmiş q üniform yayılı

yüküne maruz, tabakalı kare plak göz önüne alınmıştır. Analizler plak kenarı a ile

plak kalınlığı h arasındaki oran a/h = 100 olacak şekilde yapılmıştır. Her bir tabaka

ortotrop olup plak malzemesi olarak Graphite /epoxy seçilmiştir. Malzeme özellikleri

E1=181 GPa., E2=10.3 GPa., G12=7.17 GPa. ve υ12 =0.28 ’dir. Bu örnek iki durum

için ayrı ayrı ele alınacaktır. Durum-1 de en dıştaki tabakalarda açı değişimi

yapılacak, Durum-2 de ise en içteki tabakalarda açı değişimi yapılacak ve açı

değişimi sebebiyle tabaka eğilme rijitliklerinde meydana gelen değişime dikkat

edilerek simetrik plaklar için D16 ve D26 rijitliklerinin etkisi incelenecektir. Değerler

(a/b , b/2) noktası için elde edilmiştir. Ayrıca belli açı aralıklarında plaktaki her

tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri de incelenmiştir.

Şekil.6.12. Örnek 3 için plak yerleşimi

θ

θ

θ

Durum-1 θ / 90 / 90 / θ

Durum-2 90 / θ / θ / 90

θ


83

Çizelge 6.7.Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-1)

Açı Plak eğilme rijitlikleri

D11 D12 D22 D26 D16 D66

0 0.023094 0.000417 0.004576 0 0 0.001032 5 0.022781 0.000567 0.004591 0.000088 0.001787 0.001182

10 0.021862 0.000998 0.004647 0.000251 0.003444 0.001614

15 0.020405 0.001659 0.004782 0.000550 0.004851 0.002274 20 0.018515 0.002469 0.005051 0.001026 0.005918 0.003085 25 0.016321 0.003332 0.005520 0.001692 0.006583 0.003947 30 0.013968 0.004142 0.006252 0.002527 0.006828 0.004758 35 0.011601 0.004803 0.007298 0.003479 0.006672 0.005418 40 0.009351 0.005234 0.008685 0.004470 0.006169 0.005850

45 0.007325 0.005384 0.010411 0.005401 0.005401 0.005999 50 0.005599 0.005234 0.012437 0.006168 0.004469 0.005849 55 0.004212 0.004803 0.014687 0.006672 0.003479 0.005418 60 0.003166 0.004142 0.017054 0.006828 0.002527 0.004758 65 0.002434 0.003332 0.019407 0.006583 0.001692 0.003947 70 0.001965 0.002469 0.021601 0.005918 0.001026 0.003085

75 0.001695 0.001659 0.023491 0.004851 0.000550 0.002274 80 0.001560 0.000998 0.024948 0.003444 0.000251 0.001613 85 0.001504 0.000567 0.025867 0.001787 0.000088 0.001182 90 0.001490 0.000417 0.026181 0 0 0.001032

Şekil 6.13. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plağın eğilme rijitlikleri (Durum-1)

Plak Eğilme Rijitlikleri

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0 15 30 45 60 75 90 Açı (derece)

D11 D12 D22 D26 D16 D66

Değ

erle

r


84

Çizelge 6.8. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1)

Şekil6.14. Basit mesnetlenmiş tabakalı plak problemi için (a/2, b/2) noktasında plak

çökme değerleri (Durum-1)

Açı Plak orta noktasındaki çökme değerleri ( wx10-9 m )

ANSYS D.A.Y. Fark(%)

0 10338 10286 0.50 5 10334 10100 2.26

10 10317 9599 6.96 15 10276 8923 13.18 20 10200 8212 19.50 25 10083 7571 24.92 30 9941 7053 29.07 35 9802 6679 31.87 40 9699 6453 33.48 45 9656 6374 34.00 50 9680 6439 33.49 55 9761 6648 31.89 60 9873 7001 29.10 65 9980 7491 24.95 70 10051 8093 19.49 75 10077 8752 13.16 80 10068 9371 6.94 85 10049 9822 2.28 90 10040 9988 0.54

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Açı (derece)

ANSYS

D.A.Y.

Çök

me

(wx1

0-9 m

)


85

Çizelge 6.9.Basit mesnetlenmiş tabakalı plak problemi için farklı iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1)

Açı Plak moment değerleri (M)

Mx

ANSYS

Mx

D.A.Y.

Fark

%

My

ANSYS

My

D.A.Y.

Fark

% 0 15.951 16.001 0.31 2.995 2.992 0.10

5 15.722 15.586 0.87 3.135 3.048 2.78

10 15.044 14.423 4.13 3.531 3.207 9.18

15 13.962 12.825 8.14 4.115 3.447 16.23

20 12.571 11.100 11.70 4.792 3.747 21.81

25 11.028 9.465 14.17 5.473 4.095 25.18

30 9.515 8.024 15.67 6.119 4.495 26.54

35 8.167 6.805 16.68 6.757 4.962 26.57

40 7.033 5.793 17.63 7.456 5.520 25.97

45 6.089 4.956 18.61 8.279 6.199 25.12

50 5.281 4.251 19.50 9.272 7.034 24.14

55 4.562 3.645 20.10 10.454 8.062 22.88

60 3.885 3.104 20.10 11.81 9.315 21.13

65 3.216 2.603 19.06 13.264 10.806 18.53

70 2.548 2.128 16.48 14.675 12.503 14.80

75 1.919 1.682 12.35 15.891 14.291 10.07

80 1.396 1.295 7.23 16.800 15.945 5.09

85 1.048 1.02 2.67 17.352 17.148 1.18

90 0.927 0.919 0.86 17.536 17.592 0.32


86

Simetrik açılı-katlı tabakalanmada özel-ortotropik tabakalanmada bulunan

A11, A12, A22 ,A66, D11, D12, D22 ve D66 rijitliklerine ek olarak D16 ve D26 rijitlikleri de

bulunmaktadır. Ancak deplasman fonksiyonu simetrik açılı-katlı tabakalanmada

tabaka rijitliklerini doğru bir şekilde ifade edememekte ve plak ortasına doğru

gidildikçe D16 ve D26 rijitliklerinin plak eğilmesine olan katkısı giderek azalmaktadır.

Plak ortasında ise D16 ve D26 rijitliklerinin plak eğilmesine katkısı sıfır olmaktadır.

Özel ortotropik tabakalanmada ise deplasman fonksiyonu plak eğilmesini doğru bir

şekilde ifade edebilmektedir. Çizelge 6.8 çökme değerleri ile Çizelge 6.9 moment

değerleri özel ortotropik durum olan 0o/90o/90o/0o durumunda iki ayrı yöntem için

yaklaşık olarak aynı sonuçları vermiştir. Ancak Durum-1’de açı değişimi yapılan

tabakalar en dışta olduğundan D16 ve D26 rijitliklerinin plak eğilmesine olan katkısı

giderek artmaktadır. Şekil 6.14, Şekil 6.15 ve Şekil 6.16 da görüldüğü gibi açı değeri

yükseldiğinde, yani tabakalanma simetrik açılı katlı tabakalanmaya dönüştüğünde

D16 ve D26 eğilme rijitliklerinin ifade edilememesiyle sonuçlar beklendiği gibi

kötüleşmektedir. Açı değişimi 0o den 90o ye yaklaştıkça en dıştaki tabakaların fiber

dizilimi giderek içteki tabakaların dizilimiyle aynı yönlenime sahip olmaktadır. Ve

bu yüzden Mx değerleri azalmakta, My değerleri artmaktadır. Aynı durum gerilmeler

içinde geçerlidir. Şekil 6.17.’de görülen σx gerilme değerleri ile Şekil 6.24’te görülen

σy gerilme değerlerinin, özel ortotropik olan 0o/90o/90o/0o durumunda ANSYS ve

D.A.Y. sonuçları birbirleriyle örtüşmektedir. Şekillerde de görüldüğü gibi 45o ye

kadar açı değeri arttıkça sonuçlar birbirinden uzaklaşmaktadır, 45o den 90o ye doğru

olan açı artışında da tam tersine sonuçlar giderek birbirine yaklaşmaktadır. Bunun

sebebi yukarıda da belirtildiği gibi açının artmasıyla fiber aksları ile içteki tabaka

aksları aynı hizaya gelmekte ve böylece sonuçlar iyileşmektedir. Şekil 6.23. ve Şekil

6.30. de görüldüğü üzere 90o/90o/90o/90o durumunda sonuçlar hemen hemen aynı

çıkmıştır. Ayrıca açının artmasıyla plaktaki maksimum gerilme değeri azalmıştır.

Tüm durumlarda tabakalanmanın orta düzleminde σx ve σy gerilmeleri sıfırdır.

Tabakalanma açısının 0 derece olduğu durumda gerilme en büyük değerini, 90

derece olduğu durumlarda en küçük değerini almıştır.


87

Şekil.6.15.Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için Mx değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1)

Şekil.6.16.Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için My değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Açı (Derece)

ANSYS

D.A.Y.M

omen

t (G

pa.m

)

024

68

10

1214

1618

20

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Açı (Derece)

ANSYS

D.A.Y.

Mom

ent (

Gpa

.m)


88

Şekil 6.17. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 0o /90o /90o /0o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri


-0,06

-0,03

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

Gerilme ( 103 kN/m2)

ANSYS

D.A.Y.

Taba

ka k

alın

lığı (

m)

-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY


Taba

ka k

alın

lığı (

m)


89



-0,06

-0,03

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

D.A.Y.

Taba

ka k

alın

lığı (

m)

-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY



Taba

ka k

alın

lığı (

m)


90



-0,06

-0,03

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY

Taba

ka k

alın

lığı (

m)

-0,06

-0,03

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY

Taba

ka k

alın

lığı (

m)




91



0o /90o /90o /0o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri

-0,06

-0,03

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

D.A.Y.

Taba

ka k

alın

lığı (

m)

-0,06

-0,03

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

D.A.Y.

Taba

ka k

alın

lığı (

m)




92

Şekil 6.25. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 15o /90o /90o /15o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri

-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000


Taba

ka k

alın

lığı (

m)

ANSYS

DAY


-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY

Taba

ka k

alın

lığı (

m)



93

Şekil 6.27. Durum-1deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 45o /90o /90o /45o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri


-0,06

-0,03

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

D.A.Y.

Taba

ka k

alın

lığı (

m)


-0,06

-0,03

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

D.A.Y.

Taba

ka k

alın

lığı (

m)



94



-0,06

-0,03

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

D.A.Y.

Taba

ka k

alın

lığı (

m)


-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

D.A.Y.


Taba

ka k

alın

lığı (

m)


95

Çizelge 6.10.Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-2)

Açı Plak eğilme rijitlikleri

D11 D12 D22 D26 D16 D66

0 0.004576 0.000417 0.023094 0 0 0.001032 5 0.004531 0.000439 0.023097 0.000013 0.000255 0.001054

10 0.0044 0.0005 0.023105 0.000036 0.000492 0.001115 15 0.004192 0.000595 0.023124 0.000079 0.000693 0.00121 20 0.003922 0.00071 0.023162 0.000147 0.000845 0.001326 25 0.003609 0.000833 0.023229 0.000242 0.00094 0.001449 30 0.003272 0.000949 0.023334 0.000361 0.000975 0.001565 35 0.002934 0.001044 0.023483 0.000497 0.000953 0.001659 40 0.002613 0.001105 0.023682 0.000639 0.000881 0.001721 45 0.002323 0.001127 0.023928 0.000772 0.000772 0.001742 50 0.002077 0.001105 0.024217 0.000881 0.000639 0.001721 55 0.001879 0.001044 0.024539 0.000953 0.000497 0.001659 60 0.001729 0.000949 0.024877 0.000975 0.000361 0.001565 65 0.001625 0.000834 0.025213 0.00094 0.000242 0.001449 70 0.001558 0.00071 0.025527 0.000845 0.000147 0.001326 75 0.001519 0.000595 0.025797 0.000693 0.000079 0.00121 80 0.0015 0.0005 0.026005 0.000492 0.000036 0.001115 85 0.001492 0.000439 0.026136 0.000255 0.000013 0.001054 90 0.00149 0.000417 0.026181 0 0 0.001032

Plak Eğilme Rijitlikleri

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0 15 30 45 60 75 90Açı (derece)

Değ

erle

r

D11 D12 D22 D26 D16 D66

Şekil 6.31.Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plağın eğilme rijitlikleri(Durum-2)


96

Çizelge 6.11. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Açı (derece)

Çök

me

(wx1

0-9 m

)

ANSYS

D.A.Y.

Şekil 6.32. Basit mesnetlenmiş tabakalı plak problemi için (a/2, b/2) noktasında plak çökme değerleri (Durum-2)

Açı Plak orta noktasındaki çökme değerleri ( wx10-9 m )

ANSYS D.A.Y. Fark(%)

0 10338 10286 0.50 5 10315 10257 0.56

10 10248 10175 0.71 15 10146 10049 0.96 20 10020 9898 1.22 25 9885 9739 1.48 30 9755 9590 1.69 35 9643 9465 1.85 40 9559 9376 1.91 45 9510 9329 1.90 50 9500 9327 1.82 55 9529 9368 1.69 60 9591 9447 1.50 65 9679 9553 1.30 70 9779 9674 1.07 75 9879 9794 0.86 80 9963 9896 0.67 85 10020 9964 0.56 90 10040 9988 0.52


97

Çizelge 6.12.Basit mesnetlenmiş tabakalı plak problemi için farklı iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2)

Açı Plak moment değerleri(M)

Mx

ANSYS

Mx

D.A.Y.

Fark

%

My

ANSYS

My

D.A.Y.

Fark

% 0

2.995 2.992 0.10 15.951 16.016 0.41 5

2.968 2.967 0.03 15.927 15.983 0.35 10

2.889 2.896 0.24 15.858 15.890 0.20 15

2.768 2.784 0.57 15.755 15.753 0.01 20

2.617 2.643 0.98 15.636 15.595 0.26 25

2.448 2.481 1.33 15.519 15.442 0.50 30

2.274 2.309 1.52 15.426 15.320 0.69 35

2.101 2.134 1.55 15.377 15.249 0.84 40

1.934 1.963 1.48 15.386 15.247 0.91 45

1.777 1.799 1.22 15.463 15.324 0.91 50

1.630 1.645 0.91 15.614 15.482 0.85 55

1.492 1.499 0.47 15.833 15.718 0.73 60

1.364 1.365 0.07 16.111 16.019 0.57 65

1.247 1.243 0.32 16.427 16.365 0.38 70

1.142 1.136 0.53 16.756 16.725 0.19 75

1.054 1.045 0.85 17.062 17.064 0.01 80

0.985 0.977 0.81 17.314 17.343 0.17 85

0.942 0.934 0.85 17.479 17.528 0.28 90

0.927 0.919 0.86 17.536 17.592 0.32


98

Durum-2’de ise açı değişimi yapan tabakalar orta düzleme yakın

olduğundan Çizelge 6.10 ve Şekil 6.31’de görüldüğü gibi D16 ve D26 eğilme

rijitlikleri diğer eğilme rijitliklerine göre çok küçük çıkmıştır. Bundan dolayı

Durum-2 Durum-1’e göre daha iyi sonuçlar vermektedir. Bu sonuçlar Çizelge 6.11

ve Şekil 6.32’deki çökme değerlerinde, Çizelge 6.12, Şekil 6.33 ve Şekil.6.34’deki

moment değerlerinde ve Şekil 6.35’ten ve Şekil 6.48’e kadar gösterilen gerilme

değerlerinde açık bir şekilde görülmektedir. Ayrıca Çizelge 6.12’deki moment

değerleri özel ortotropik durum olan 90o/0o/0o/90o durumunda iki ayrı yöntem için

yaklaşık olarak aynı sonuçları vermiştir. Durum-2’de de yine Durum-1’deki gibi açı

değişimi 0o den 90o ye yaklaştıkça en içteki tabakaların fiber dizilimi giderek dıştaki

tabakaların dizilimiyle aynı yönleneme sahip olmaktadır. Ve bu yüzden Mx değerleri

azalmakta, My momenti ise açı değişimi 0o den 45o ye gittikçe azalmakta, 45o den

90o ye doğru gittikçe de artmaktadır.

Bu iki durum için yorum yapacak olursak, Değişkenlerine ayırma

yönteminde simetrik açılı plaklar için açı değişimi orta düzleme göre uzaktaki

tabakalarda yapılırsa, sonuçlarda sapma miktarı artmaktadır. Yani deplasman

fonksiyonu plağın elastik eğrisini temsil edememektedir. Ayrıca her iki yöntemde de

tabakalanma açısının 45o olduğu durumda düşey deplasman en küçük değerini

almaktadır.


99

Şekil6.33. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için Mx değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2)

Şekil6.34. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için My değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2)

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Açı (Derece)

ANSYS

D.A.Y.M

omen

t (G

pa.m

)

14

15

16

17

18

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Açı (Derece)

ANSYS

D.A.Y.

Mom

ent (

Gpa

.m)


100



-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY

Taba

ka k

alın

lığı (

m)


-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY

Taba

ka k

alın

lığı (

m)



101



-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAYTaba

ka k

alın

lığı (

m)


-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY

Taba

ka k

alın

lığı (

m)



102



-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY

Taba

ka k

alın

lığı (

m)


-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY

Taba

ka k

alın

lığı (

m)



103



90o /0o /0o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri

-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY

Taba

ka k

alın

lığı (

m)


-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY

Taba

ka k

alın

lığı (

m)



104



-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY

Taba

ka k

alın

lığı (

m)


-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY

Taba

ka k

alın

lığı (

m)



105



-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY

Taba

ka k

alın

lığı (

m)


-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY

Taba

ka k

alın

lığı (

m)



106



-0,06

0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY

Taba

ka k

alın

lığı (

m)


-0,06

-0,03

0

0,03

0,06

-10000 -5000 0 5000 10000

ANSYS

DAY

Taba

ka k

alın

lığı (

m)



107

Örnek 4:

Örnekte altı tabakalı dört kenarından basit mesnetlenmiş q üniform yayılı

yüküne maruz plak göz önüne alınmıştır. Analizlerde plak kenarı a ile, plak kalınlığı

h arasındaki oran değişmektedir. Her bir tabaka ortotrop olup plak malzemesi olarak

Graphite/epoxy seçilmiştir. Malzeme özellikleri E1=181 GPa, E2=10.3 GPa,G12=7.17

GPa ve υ12=0.28 dir. Bu örnekte plak farklı tabaka kalınlıklarında incelenecektir.

Uygulanan her tabaka kalınlığı için plak yedi farklı açı durumu ile ele alınacak ve

değerler (a/2, b/2) noktası için elde edilecektir. Ayrıca tüm durumlar için her

tabakada oluşan gerilmelerin değişimi de incelenmiştir. Yedi farklı durum şöyledir:

Birinci durum (90/0/0/0/0/90)

İkinci durum (90/15/-15/-15/15/90)

Üçüncü durum (90/30/-30/-30/30/90)

Dördüncü durum (90/45/-45/-45/45/90)

Beşinci durum (90/60/-60/-60/60/90)

Altıncı durum (90/75/-75/-75/75/90)

Yedinci durum (90/90/90/90/90/90)

Şekil 6.49. Örnek 4 için tabaka dizilimi

α

α

-α

-α

90

α

-α

-α

α

90


108

Çizelge 6.13. Basit mesnetlenmiş simetrik plak probleminde farklı durumlar için plak eğilme rijitlikleri

Tabaka Tipi

Plak Kalınlığı

(m)

Plak Eğilme Rijitlikleri (10-5)

D11 D12 D22 D26 D16 D66

Durum-1

0.120 881 42 1887 0 0 103.25 0.240 7045 334 15092 0 0 826 0.360 23775 1126 50935 0 0 2788 0.480 56356 2670 120736 0 0 6608

Durum-2

0.120 790 84 1893 14 123 145 0.240 6316 670 15148 112 986 1162 0.360 21317 2262 51123 377 3327 3923 0.480 50529 5361 121181 894 7885 9299

Durum-3

0.120 572 168 1943 64 173 229 0.240 4572 1343 15546 513 1387 1835 0.360 15431 4532 52468 1733 4682 6194 0.480 36578 10743 124368 4107 11099 14681

Durum-4

0.120 346 210 2084 137 137 271 0.240 2773 1679 16673 1097 1097 2171 0.360 9358 5668 56270 3704 3704 7329 0.480 22181 13434 133382 8779 8779 17372

Durum-5

0.120 206 168 2309 173 64 229 0.240 1646 1343 18472 1387 513 1835 0.360 5549 4532 62344 4682 1733 6194 0.480 13167 10743 147778 11099 4107 14681

Durum-6

0.120 156 84 2527 123 14 145 0.240 1247 670 20216 986 112 1162 0.360 4210 2262 68230 3327 377 3923 0.480 9980 5361 161730 7885 894 9299

Durum-7

0.120 149 42 2618 0 0 103 0.240 1192 334 20945 0 0 826 0.360 4022 1126 70688 0 0 2788 0.480 9535 2670 167557 0 0 6608


109

Çizelge 6.14. Basit mesnetlenmiş simetrik plak probleminde farklı açı durumları ve

farklı tabaka kalınlıkları için plak orta noktasındaki çökme değerleri

Tabakalanma Durumu a(m) b(m)

Plak Kalınlığı

(m)

Plak Orta Noktasındaki Çökme Değerleri (wx10-9 m)

D.A.Y. ANSYS Fark %

Durum-1 (90/0/0)s

12 12 0.120 10380.200 10429.000 0.47 12 12 0.240 1297.530 1314.000 1.25 12 12 0.360 384.452 393.389 2.27 12 12 0.480 162.191 168.213 3.58

Durum-2 (90/15/-15)s

12 12 0.120 9853.060 10018.000 1.65 12 12 0.240 1231.630 1264.000 2.56 12 12 0.360 364.928 379.465 3.83 12 12 0.480 153.954 162.632 5.34

Durum-3 (90/30/-30)s

12 12 0.120 8926.240 9252.000 3.52 12 12 0.240 1115.780 1172.000 4.80 12 12 0.360 330.601 353.429 6.46 12 12 0.480 139.478 152.184 8.35

Durum-4 (90/45/-45)s

12 12 0.120 8476.690 8842.000 4.13 12 12 0.240 1059.590 1123.000 5.65 12 12 0.360 313.951 339.405 7.50 12 12 0.480 132.448 146.553 9.62

Durum-5 (90/60/-60)s

12 12 0.120 8768.630 9062.000 3.24 12 12 0.240 1096.080 1149.000 4.61 12 12 0.360 324.764 346.910 6.38 12 12 0.480 137.010 149.662 8.45

Durum-6 (90/75/-75)s

12 12 0.120 9538.220 9685.000 1.52 12 12 0.240 1192.280 1224.000 2.59 12 12 0.360 353.267 368.515 4.14 12 12 0.480 149.035 158.591 6.03

Durum-7 (90/90/90)s

12 12 0.120 9987.670 10039.000 0.51 12 12 0.240 1248.460 1267.000 1.46 12 12 0.360 369.914 380.975 2.90 12 12 0.480 156.057 163.778 4.71


110

Çizelge 6.15.Basit mesnetlenmiş simetrik plak probleminde farklı açı durumları ve

farklı tabaka kalınlıkları için moment değerleri

Tabaka

Tipi

Plak

Kalınlığı (m)

Plak Moment Değerleri(GPa.m)

ANSYS Mx

D.A.Y. Mx

Fark %

ANSYS My

D.A.Y. My

Fark %

Durum-1

0.120 5.989 6.0006 0.19 13.112 13.167 0.42 0.240 6.014 6.0006 0.23 13.112 13.167 0.42 0.360 6.046 6.0006 0.76 13.141 13.167 0.20 0.480 6.085 6.0006 1.39 13.139 13.167 0.21

Durum-2

0.120 5.308 5.345 0.69 12.891 12.775 0.90 0.240 5.337 5.345 0.15 12.930 12.775 1.20 0.360 5.375 5.345 0.56 12.959 12.775 1.42 0.480 5.420 5.345 1.39 12.978 12.775 1.56

Durum-3

0.120 3.957 4.011 1.35 12.596 12.265 2.63 0.240 3.986 4.011 0.62 12.672 12.265 3.22 0.360 4.021 4.011 0.26 12.741 12.265 3.74 0.480 4.063 4.011 1.30 12.800 12.265 4.18

Durum-4

0.120 2.776 2.799 0.82 12.966 12.587 2.92 0.240 2.795 2.799 0.13 13.064 12.587 3.65 0.360 2.818 2.799 0.68 13.152 12.587 4.29 0.480 2.845 2.799 1.61 13.232 12.587 4.87

Durum-5

0.120 1.892 1.884 0.42 14.405 14.112 2.04 0.240 1.901 1.884 0.90 14.493 14.112 2.63 0.360 1.913 1.884 1.52 14.571 14.112 3.15 0.480 1.927 1.884 2.26 14.641 14.112 3.62

Durum-6

0.120 1.111 1.208 8.02 16.465 16.374 0.55 0.240 1.225 1.208 1.40 16.393 16.374 0.11 0.360 1.232 1.208 1.99 16.567 16.374 1.16 0.480 1.243 1.208 2.83 16.606 16.374 1.40

Durum-7

0.120 0.927 0.919 0.81 17.536 17.592 0.32 0.240 0.931 0.919 1.22 17.572 17.592 0.11 0.360 0.938 0.919 2.03 17.601 17.592 0.05 0.480 0.950 0.919 3.22 17.624 17.592 0.18


111

Analizlerde plağın tabaka kalınlığı arttırılırken aynı anda açı değişimi de

yapılarak farklı tabaka kalınlıklarına ve farklı açılara göre sonuçlar irdelenmiştir.

Tabaka kalınlığının arttırılmasıyla plak, kalın plak sınıflandırmasına doğru

yaklaşmakta ve ince plaklar için kullanılan kabullerin geçerliliği gitgide azaldığından

sonuçlar gerçek değerlerden uzaklaşmaktadır. Şekil 6.50, Şekil 6.51, Şekil 6.52,

Şekil 6.53 ve Çizelge 6.14’de iki farklı yöntemle farklı tabaka kalınlıklarında, plak

orta noktasındaki çökme değerleri karşılaştırılmış ve plak kalınlığının artmasıyla

D.A.Y. sonuçlarının ANSYS sonuçlarından uzaklaştığı görülmüştür.

Tabaka kalınlığının artması, plak eğilme rijitliklerinin değerini değiştirmekte

fakat eğilme rijitliklerinin birbirlerine olan oranını etkilememektedir. Örneğin tabaka

kalınlığı artsa bile D11 rijitliğinin D22 rijitliğine olan oranı değişmemektedir. Açı

değişimi ise, plak eğilme rijitliklerinin hem değerini değiştirmekte hem de eğilme

rijitliklerinin birbirine olan oranını etkilemektedir. Açı 0o den 45o ye doğru

yaklaştıkça, D16 ve D26 eğilme rijitliklerinin değeri artmakta, 45o den 90o ye doğru

yaklaştıkça, D16 veD26 eğilme rijitliklerinin değeri azalmaktadır. Ancak simetrik

açılı-katlı tabakalanma için kullanılan deplasman fonksiyonu D16 ve D26 rijitliklerinin

etkisini denklem içinde tam olarak ifade edemediği için, açı değerinin büyüdüğü yani

D16 ve D26 rijitliklerinin etkisinin arttığı durumlarda, çökme değerleri gerçek

değerlerden uzaklaşmaktadır (Çizelge 6.13, Çizelge 6.14). Bu durum deplasman

fonksiyonunun değiştirilmesiyle veya özel bir dönüşüm yapılmasıyla aşılabilir.

Ancak sınır şartlarını sağlayan ve elastik eğriyi tam olarak ifade eden bir deplasman

fonksiyonu elde etmek oldukça zordur.

Elde edilen çökme değerleri içerisinde en büyük fark %9.62, en küçük fark

%0.47 olarak elde edilmiştir. Ayrıca en büyük sapma, tabaka kalınlığının 0.480 m

olduğu ve tabaka açısının 45o olduğu anda elde edilmiştir. Maksimum çökme 0o de

ve minimum çökme 45o de meydana gelmiştir.

Şekil 6.54’ten 6.61’e kadar ve Çizelge 6.15 te de iki farklı yöntemle elde

edilen moment değerleri karşılaştırılmıştır. Şekil 6.54,55,56,57 deki grafiklerde Mx

moment değerleri gösterilmiştir. Buradan açının artmasıyla Mx moment değerlerinin

azaldığı ve diğer tabaka kalınlıklarında da aynı durumun ortaya çıktığı


112

görülmektedir. Şekil 6.58, 59, 60, 61 de gösterilen My grafiklerinde ise moment

değerleri 0o den 45o dereceye kadar azalmakta, 45 o den 90 o ye doğru da artmaktadır.

Bu da bize plağın açı değişimiyle giderek simetrik açılı-katlı tabakalanmaya

dönüştüğünü ve açı değerinin büyüdüğü yani D16 ve D26 rijitliklerinin etkisinin arttığı

durumlarda sonuçların giderek gerçek değerlerden uzaklaştığını bir kez daha

göstermiştir. Ayrıca tabaka kalınlığının artmasıyla Mx , My moment değerleride

artmaktadır.

Şekil 6.62’te tabaka kalınlığının 0.120 m olduğu durumda ANSYS programı

ile elde edilen gerilme grafiği görülmektedir. Bu grafikten anlaşılacağı gibi açı değeri

arttıkça gerilme değerleri azalmaktadır. Aynı durum Şekil 6.34 teki D.A.Y. ile elde

edilen sonuçlar içinde geçerlidir. Ayrıca Şekil 6.62 ve 6.63’ teki değerler Şekil

6.64’te tek bir grafikte gösterilmiştir. Buradan da açı değişimi 0 o den 45 o ye

yaklaştıkça iki yöntemle bulunan gerilmelerin arasındaki farkın bir miktar arttığı

görülmektedir. Aynı işlemler tabaka kalınlıkları arttırılarak tekrarlanmış ve bu

grafikler Şekil 6.65’ten Şekil 6.73’e kadar gösterilmiştir. Burada dikkat edilmesi

gereken önemli husus tabaka kalınlığı arttıkça gerilme değerlerinin azaldığıdır. Şöyle

ki en büyük gerilme tabaka kalınlığının en ince olduğu 0.120 m kalınlığında 4831

(103 kN/m2) değerinde iken tabakanın en kalın yani 0.480 m olduğu durumda 307

(103 kN/m2) değerine düşmüştür. Bunun sebebi bizim kabullerimizin ince plaklar

için geçerli kabuller olması ve tabaka kalınlığı arttıkça plağın giderek kalın plak

durumuna yaklaşmasıdır. Ayrıca bütün farklı tabaka kalınlıklarında açı değeri

arttıkça gerilme değerlerinin azaldığı gözlemlenmiştir.


113

Şekil.6.50. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.120 m)

Şekil.6.51. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin

karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.240 m)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 15 30 45 60 75 90

ANSYS

D.A.Y.

Çök

me

(10-9

m)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 15 30 45 60 75 90

ANSYS

D.A.Y.

Çök

me

(10-9

m)

Açı (derece)

Açı (derece)


114



0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 15 30 45 60 75 90

Açı (derece)

ANSYS

D.A.Y.

Çök

me

(10-9

m)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 15 30 45 60 75 90

Açı (derece)

ANSYS

D.A.Y.

Çök

me

(10-9

m)


115

0

1

2

3

4

5

6

7

0 15 30 45 60 75 90Açı (Derece)

Mom

ent (

GP

a.m

)

ANSYS

D.A.Y.

Şekil.6.54. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için Mx değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.120 m)

0

1

2

3

4

5

6

7

0 15 30 45 60 75 90Açı (Derece)

Mom

ent (

GP

a.m

)

ANSYS

D.A.Y.

Şekil.6.55. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için Mxdeğerlerinin



116

0

1

2

3

4

5

6

7

0 15 30 45 60 75 90Açı (Derece)

Mom

ent (

GP

a.m

)

ANSYS

D.A.Y.

Şekil.6.56. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için Mx değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.360 m)

0

1

2

3

4

5

6

7

0 15 30 45 60 75 90Açı (Derece)

Mom

ent (

GP

a.m

)

ANSYS

D.A.Y.

Şekil.6.57. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için Mxdeğerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.480 m)


117

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 15 30 45 60 75 90Açı (Derece)

Mom

ent (

GP

a.m

)

ANSYS

D.A.Y.

Şekil.6.58. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için My değerlerinin


0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 15 30 45 60 75 90Açı (Derece)

Mom

ent (

GP

a.m

)

ANSYS

D.A.Y.

Şekil.6.59. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için My değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.240 m)


118

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 15 30 45 60 75 90Açı (Derece)

Mom

ent (

GP

a.m

)

ANSYS

D.A.Y.



0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 15 30 45 60 75 90Açı (Derece)

Mom

ent (

GP

a.m

)

ANSYS

D.A.Y.




119

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,006

-6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000

Gerilme (103 kN/m2)

Taba

ka k

alın

lığı(m

)

DURUM-1 DURUM-2 DURUM-3 DURUM-4DURUM-5 DURUM-6 DURUM-7

Şekil.6.62. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin

karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.120 m) (ANSYS)


120

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,006

-6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000

Gerilme (103 kN/m2)

Taba

ka k

alın

lığı (

m)


Şekil.6.63. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.120 m) (D.A.Y.)


121

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,006

-6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000

Gerilme (103 kN/m2)

Taba

ka k

alın

lığı(m

)

DURUM-1(ANSYS) DURUM-1(D.A.Y.) DURUM-3(ANSYSDURUM-3(D.A.Y.) DURUM-4(ANSYS) DURUM-4(D.A.Y.)DURUM-5(ANSYS) DURUM-5(D.A.Y.) DURUM-7(ANSYS)DURUM-7(D.A.Y.)

"

Şekil.6.64. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.120 m) (ANSYS-D.A.Y.)


122

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,006

-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500

Gerilme (103 kN/m2)

Taba

ka k

alın

lığı(m

)


Şekil.6.65. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.240 m)(ANSYS)


123

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,006

-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500

Gerilme (103 kN/m2)

Taba

ka k

alın

lığı(m

)




124

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,006

-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500

Gerilme (103 kN/m2)

Taba

ka k

alın

lığı(m

)




125

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,006

-600 -400 -200 0 200 400 600

Gerilme (103 kN/m2)

Taba

ka k

alın

lığı(m

)


Şekil.6.68. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.360 m) (ANSYS)


126

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,006

-600 -400 -200 0 200 400 600

Gerilme (103 kN/m2)

Taba

ka k

alın

lığı(m

)


Şekil.6.69. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.360 m)(D.A.Y.)


127

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,006

-600 -400 -200 0 200 400 600

Gerilme (103 kN/m2)

Taba

ka k

alın

lığı(m

)


Şekil.6.70. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.360 m)(ANSYS-D.A.Y.)


128

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,006

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

Gerilme (103 kN/m2)

Taba

ka k

alın

lığı(m

)


Şekil.6.71. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.480 m) (ANSYS)


129

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,006

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

Gerilme (103 kN/m2)

Taba

ka k

alın

lığı (

m)




130

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,006

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

Gerilme (103 kN/m2)

Taba

ka k

alın

lığı(m

)




131

6.2.2. Antisimetrik Tabakalanma Örnek 5:

Örnekte, dört kenarından basit mesnetlenmiş q üniform yayılı yüküne maruz,

antisimetrik çapraz-katlı tabakalanmış plak göz önüne alınmıştır. Analizlerde, iki,

dört, altı, sekiz ve on tabakalı plaklar incelenmiştir. Hesaplamalar iki farklı durum

için yapılmıştır. Durum-1 de tabakalanma için a/b değerlerindeki değişime göre

çökme değerleri ve moment değerleri, Durum-2 de her tabakalanma için E1/E2

oranına göre çökme değerleri ve moment değerleri incelenmiştir. Ayrıca her iki

durumdaki uzama–eğilme arasındaki girişim etkisi de incelenmiştir. Örnekteki her

bir tabaka ortotrop olup, plak malzemesi olarak Durum-1 için Graphite/epoxy

seçilmiştir. Graphite/epoxy için malzeme özellikleri E1=181GPa., E2=10.3 GPa.,

G12=7.17 GPa. ve ν12=0.28 dir. Durum-2 için ise farklı E1/E2 oranları kullanılmıştır,

G12/E2=0.5 ve ν12=0.25 olarak seçilmiştir. Örnekte toplam plak kalınlığı

değişmemektedir. Değerler (a/2, b/2) noktası için elde edilecek ve aşağıdaki şekilde

normalize edilecektir.

Durum-1 için normalizasyon Boyutsuz deplasman = 34

0

32 10bp

twE


0

32 10ap

twE

Şekil 6.74.Örnek 5 deki dört tabakalı plak için tabakalanma şekli

0

90

0

90


132

Çizelge 6.16. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka

sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri

Tabaka Sayısı

a(m)

b(m)

a/b

Tabaka Kalınlığı

(m)

Plak Orta Noktasındaki Çökme Değerleri (w x 10-9 m)

D.A.Y. ANSYS Fark %

İk

i Tab

aka

12 12 1 0.06 21719 12982 40.23 12 10 1.2 0.06 14365 8526 40.65 12 8 1.5 0.06 7657 4430 42.14 12 6 2 0.06 2906 1608 44.67 12 4 3 0.06 613 323 47.23 12 3 4 0.06 191 102 46.59

Dör

t Tab

aka

12 12 1 0.03 11963 10768 9.98 12 10 1.2 0.03 7853 7064 10.04 12 8 1.5 0.03 4083 3661 10.34 12 6 2 0.03 1487 1326 10.85 12 4 3 0.03 297 264 11.13 12 3 4 0.03 91 81 10.34

Altı

Tab

aka

12 12 1 0.02 11044 10580 4.20 12 10 1.2 0.02 7245 6941 4.19 12 8 1.5 0.02 3758 3597 4.29 12 6 2 0.02 1364 1303 4.44 12 4 3 0.02 271 260 4.27 12 3 4 0.02 83 80 3.42

Seki

z Ta

baka

12 12 1 0.015 10754 10522 2.16 12 10 1.2 0.015 7054 6903 2.14 12 8 1.5 0.015 3656 3577 2.17 12 6 2 0.015 1325 1296 2.19 12 4 3 0.015 263 258 1.87 12 3 4 0.015 80 79 1.00

On

Taba

ka

12 12 1 0.012 10626 10496 1.22 12 10 1.2 0.012 6968 6885 1.19 12 8 1.5 0.012 3611 3568 1.19 12 6 2 0.012 1308 1293 1.15 12 4 3 0.012 260 258 0.75 12 3 4 0.012 79 80 1.20


133

Çizelge 6.17. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka

sayısına ve a/b oranına göre plak moment değerleri

Tabaka Sayısı

a/b


(m)

Plak Moment Değerleri (GPa.m)

D.A.Y Mx

ANSYS Mx

Fark %

D.A.Y My

ANSYS My

Fark %

İk

i Tab

aka

1 0.06 7.985 9.330 14.42 7.985 9.330 14.42 1.2 0.06 5.198 6.143 15.38 7.660 8.792 12.87 1.5 0.06 2.657 3.196 16.88 6.399 7.108 9.97 2 0.06 0.891 1.162 23.27 4.317 4.565 5.42 3 0.06 0.142 0.259 45.15 2.045 2.052 0.33 4 0.06 0.056 0.105 46.47 1.136 1.131 0.43

Dör

t Tab

aka

1 0.03 9.382 9.547 1.73 9.382 9.547 1.73 1.2 0.03 6.052 6.176 2.00 8.928 9.059 1.45 1.5 0.03 2.985 3.065 2.60 7.263 7.332 0.95 2 0.03 0.903 0.956 5.58 4.692 4.702 0.21 3 0.03 0.081 0.115 29.38 2.100 2.090 0.48 4 0.03 0.020 0.038 47.94 1.139 1.135 0.37

Altı

Tab

aka

1 0.02 9.513 9.562 0.51 9.513 9.562 0.51 1.2 0.02 6.132 6.175 0.70 9.046 9.079 0.36 1.5 0.02 3.015 3.050 1.16 7.342 7.351 0.13 2 0.02 0.903 0.933 3.18 4.724 4.716 0.17 3 0.02 0.076 0.096 20.97 2.104 2.097 0.37 4 0.02 0.016 0.028 40.69 1.139 1.136 0.27

Seki

z Ta

baka

1 0.015 9.554 9.566 0.12 9.554 9.566 0.12 1.2 0.015 6.157 6.175 0.29 9.083 9.085 0.02 1.5 0.015 3.025 3.046 0.70 7.366 7.357 0.12 2 0.015 0.903 0.926 2.39 4.734 4.721 0.28 3 0.015 0.074 0.090 17.25 2.106 2.099 0.33 4 0.015 0.015 0.024 36.54 1.139 1.136 0.24

On

Taba

ka

1 0.012 9.573 9.568 0.05 9.573 9.568 0.05 1.2 0.012 6.168 6.175 0.11 9.100 9.088 0.14 1.5 0.012 3.029 3.044 0.49 7.377 7.360 0.23 2 0.012 0.904 0.922 2.03 4.739 4.723 0.33 3 0.012 0.073 0.087 15.36 2.106 2.100 0.31 4 0.012 0.015 0.023 34.18 1.139 1.136 0.22


134

Çizelge 6.18. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre B11 değerleri

a(m)

b(m)

a/b

B11 DEĞERLERİ

2 Tabaka 4 Tabaka 6 Tabaka 8 Tabaka 10 Tabaka

12 12 1 0.308637 0.154318 0.102879 0.0771592 0.0617274

12 10 1.2 0.308637 0.154318 0.102879 0.0771592 0.0617274

12 8 1.5 0.308637 0.154318 0.102879 0.0771592 0.0617274

12 6 2 0.308637 0.154318 0.102879 0.0771592 0.0617274

12 4 3 0.308637 0.154318 0.102879 0.0771592 0.0617274

12 3 4 0.308637 0.154318 0.102879 0.0771592 0.0617274

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4a/b

B11

Değ

erle

ri

İki Tabaka Dört Tabaka Altı TabakaSekiz Tabaka On Tabaka

Şekil 6.75. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre B11 değerlerinin karşılaştırılması


135

Daha önceki bölümlerde ifade edildiği gibi, antisimetrik çapraz-katlı

tabakalanmada uzama rijitlikleri ile eğilme rijitliklerinin yanı sıra B11, B12 = -B11

uzama ve eğilme arasındaki bağlanma rijitlikleri de bulunmaktadır. Bu tür

tabakalarda bulunan B11 ve B12 rijitlikleri plak eğilmesi durumunda meydana gelen

deformasyonların girişim etkisi altında olduğunu göstermektedir. Bu girişim etkisi ile

plak düzlemine dik kuvvetlerin etkisi altındaki simetrik olmayan tabakalanma

durumunda , plak düzleminde deplasmanlar meydana gelmektedir.

Örnekte, antisimetrik çapraz-katlı tabakalanmış dikdörtgen plak, iki farklı

durum için analiz edilmiştir. İlk olarak plak 2,4,6,8 ve 10 tabakaya ayrılmış ve a/b

oranına göre incelenmiştir. Çizelge 6.18’ teki B11 rijitlikleri Şekil 6.75’te grafikle

gösterilmiştir. Buradan görüldüğü üzere a/b oranı arttıkça her bir tabadaki B11

değerleri değişmemekte, ancak tabaka sayısı arttıkça B11 değerleri azalmaktadır.

Bunun sonucu olarak tabakalanma sonsuza doğru yaklaştıkça B11 değerlerinin

denklem içerisindeki etkileri azalmakta ve böylece ANSYS ve D.A.Y. sonuçları

birbirine yaklaşmaktadır. Çizelge 6.16’ya bakıldığında iki tabakalı plak ile diğerleri

arasındaki çökme değerinde yaklaşık %50 lik bir fark mevcuttur. Tabakalanma

sonsuza doğru yaklaştıkça tabakalar arasındaki bu fark a/b oranına bağlı olmaksızın

azalmaktadır. Ayrıca yine iki tabakalı plak için D.A.Y. ile ANSYS sonuçları arasında

% 40’lık bir fark mevcuttur. Ancak tabaka sayısı arttıkça bu fark giderek yok

olmaktadır. Bulunan çökme değerlerinin D.A.Y. sonuçları Şekil 6.76’da, ANSYS

sonuçları Şekil 6.77’de ve ANSYS-D.A.Y. sonuçları bir arada Şekil 6.78’de

gösterilmiştir. Çizelge 6.17’de de her iki yöntemle elde edilen moment değerleri

verilmiştir. Elde edilen moment değerlerinin D.A.Y. ve ANSYS sonuçları Şekil 6.79

ve Şekil 6.80’deki grafiklerde ayrı ayrı gösterilmiştir. Bu grafiklerden görüldüğü

gibi moment değerleri tüm tabakalanma durumlarında a/b oranının artmasıyla

azalmaktadır. Ve her iki yöntemle bulunan değerlerin bir arada gösterildiği Şekil

6.81’de tabaka sayısı arttıkça ANSYS-D.A.Y. sonuçlarının birbirine yaklaştığı

görülmektedir. Aynı durum Mx ve My momentleri için geçerlidir.


136

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

a/b

Boy

utsu

z D

epla

sman

İki tabaka Dört tabaka Altı tabaka Sekiz tabaka On tabaka

Şekil 6.76. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y.)


137

0

5

10

15

20

25

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

a/b

Boy

utsu

z D

epla

sman

İki tabaka Dört tabaka Altı tabaka Sekiz tabaka On tabaka

Şekil 6.77. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS)


138

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

a/b

Boy

utsu

z D

epla

sman

İki Tabaka (D.A.Y.) Dört Tabaka (D.A.Y.) Altı Tabaka (D.A.Y.)

İki Tabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı Tabaka (ANSYS)

Şekil 6.78. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y.)


139

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00

a/b

Mom

ent (

GP

a.m

)

İki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka

Sekiz Tabaka On Tabaka

Şekil 6.79. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (D.A.Y.)


140

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00

a/b

Mom

ent (

GP

a.m

)



Şekil 6.80. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (ANSYS)


141

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00

a/b

Mom

ent (

GP

a.m

)

İki Tabaka(ANSYS) Dört Tabaka(ANSYS) Altı Tabaka(ANSYS)

İki Tabaka(D.A.Y.) Dört Tabaka(D.A.Y.) Altı Tabaka(D.A.Y.)

Şekil 6.81. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka

sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y.)


142

İkinci olarak plak, E1/E2 oranına bağlı olarak incelenmiştir. Tabakalı

kompozit malzemelerde uzama ve eğilme arasındaki girişim etkisi ile oluşan plak

üzerindeki deplasmanlar, ortotropik modül olarak tarif edilen E1/E2 oranına bağlıdır.

Bunun sonucu olarak Çizelge 6.19 ve Şekil 6.82’de görüldüğü gibi E1/E2 oranı

yükseldikçe uzama-eğrilik arasındaki girişim etkisi, yani B11 değerleri artmaktadır.

Ayrıca buradan tabaka sayısının artmasıyla B11 değerlerinin azaldığı da açıkça

görülmektedir. Örnekte G12 /E2 oranı ve ν12 sabit olarak seçilmiştir. E1/E2 oranı ise

küçük oranlarda arttırılarak karşılaştırmalar yapılmıştır. E1/E2 =2 iken Şekil 6.83. ve

Şekil 6.84’de görüldüğü gibi beklenen bir şekilde girişim etkisi çok az oluşmakta,

E1/E2 oranı yükseldikçe uzama-eğrilik arasındaki girişim etkisi de artmaktadır.

Çizelge 6.20.a,b ve c ‘de çeşitli E1/E2 oranlarına göre plak orta noktasındaki çökme

değerleri verilmektedir. Burada iki tabakalı durumda iki yöntem birbirinden oldukça

farklı sonuçlar vermekte tabaka sayısı arttıkça bu fark giderek yok olmaktadır. Aynı

durum Çizelge 6.21.a,b,c’de verilen moment değerleri içinde geçerlidir. Yani

tabaka sayısının artmasıyla ANSYS-D.A.Y. sonuçları arasındaki fark giderek

azalmaktadır. Ayrıca Şekil 6.86 ve Şekil 6.87’de her iki yöntemin ayrı ayrı

gösterildiği grafiklerde E1/E2 oranının artmasıyla moment değerlerinin arttığı

görülmektedir.

Şekil 6.81 ve Şekil 6.88’de ANSYS ve D.A.Y ile elde edilen sonuçlar bir arada

gösterilmiştir. Altı tabaka ve üzeri tabakalanmalarda, iki yöntem yaklaşık aynı

sonuçları verdikleri için bu gösterim altı tabakaya kadar verilmiştir.


143

Çizelge 6.19. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B11 değerleri

a(m)

b(m)

E1/E2

B11 DEĞERLERİ


12 12 2 0.185806 0.0929032 0.0619355 0.0464516 0.0371613 12 12 3 0.36766 0.18383 0.122553 0.0919149 0.0735319 12 12 4 0.548571 0.274286 0.182857 0.137143 0.109714 12 12 5 0.729114 0.364557 0.243038 0.182278 0.145823 12 12 10 1.63019 0.815094 0.543396 0.407547 0.326038 12 12 15 2.53054 1.26527 0.843515 0.632636 0.506109 12 12 20 3.43072 1.71536 1.14357 0.85768 0.686144 12 12 25 4.33083 2.16541 1.44361 1.08271 0.866165 12 12 30 5.2309 2.61545 1.74363 1.30772 1.04618 12 12 35 6.13095 3.06547 2.04365 1.53274 1.22619 12 12 40 7.03099 3.51549 2.34366 1.75775 1.4062 12 12 45 7.93102 3.96551 2.64367 1.98275 1.5862 12 12 50 8.831.04 4.41552 2.94368 2.20776 1.76621

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 10 20 30 40 50E1/E2

B11

Değ

erle

ri

İki tabaka Dört tabaka Altı tabakaSekiz tabaka On tabaka

Şekil 6.82. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B11 değerlerinin karşılaştırılması


144

Çizelge 6.20.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri

Tabaka Sayısı

a(m)

b(m)

E1/E2


(m)

Plak orta noktasındaki çökme değerleri (w x 10-9 m)

D.A.Y. ANSYS Fark %

İk

i Tab

aka

12 12 2 0.06 4417 4257 3.62

12 12 3 0.06 4100 3691 9.97

12 12 4 0.06 3871 3274 15.43

12 12 5 0.06 3685 2952 19.90

12 12 10 0.06 3035 2025 33.27

12 12 15 0.06 2603 1567 39.80

12 12 20 0.06 2283 1286 43.69

12 12 25 0.06 2035 1093 46.27

12 12 30 0.06 1836 953 48.11

12 12 35 0.06 1672 845 49.49

12 12 40 0.06 1536 759 50.57

12 12 45 0.06 1420 690 51.43

12 12 50 0.06 1321 632 52.14

D

ört T

abak

a

12 12 2 0.03 4233 4224 0.22

12 12 3 0.03 3681 3610 1.91

12 12 4 0.03 3261 3151 3.37

12 12 5 0.03 2928 2795 4.56

12 12 10 0.03 1944 1787 8.12

12 12 15 0.03 1457 1313 9.83

12 12 20 0.03 1165 1039 10.82

12 12 25 0.03 970 859 11.45

12 12 30 0.03 832 733 11.89

12 12 35 0.03 727 639 12.21

12 12 40 0.03 647 566 12.44

12 12 45 0.03 582 508 12.63

12 12 50 0.03 529 461 12.77


145

Çizelge 6.20.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri

Tabaka Sayısı

a(m)

b(m)

E1/E2


(m)


D.A.Y. ANSYS Fark %

A

ltı T

abak

a

12 12 2 0.02 4201 4218 0.42

12 12 3 0.02 3612 3598 0.40

12 12 4 0.02 3168 3133 1.10

12 12 5 0.02 2821 2774 1.67

12 12 10 0.02 1823 1762 3.35

12 12 15 0.02 1347 1291 4.14

12 12 20 0.02 1068 1019 4.58

12 12 25 0.02 885 842 4.86

12 12 30 0.02 755 717 5.04

12 12 35 0.02 659 625 5.23

12 12 40 0.02 584 553 5.26

12 12 45 0.02 525 497 5.32

12 12 50 0.02 476 449 5.64

Se

kiz

Taba

ka

12 12 2 0.015 4190 4216 0.64

12 12 3 0.015 3589 3593 0.12

12 12 4 0.015 3137 3127 0.31

12 12 5 0.015 2785 2767 0.66

12 12 10 0.015 1784 1754 1.67

12 12 15 0.015 1312 1284 2.14

12 12 20 0.015 1038 1013 2.40

12 12 25 0.015 858 836 2.55

12 12 30 0.015 731 712 2.64

12 12 35 0.015 637 620 2.70

12 12 40 0.015 565 549 2.74

12 12 45 0.015 507 493 2.76

12 12 50 0.015 460

447 2.77


146

Çizelge 6.20.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri

Tabaka Sayısı

a(m)

b(m)

E1/E2


(m)


D.A.Y. ANSYS Fark %

O

n Ta

baka

12 12 2 0.012 4184 4215 0.74

12 12 3 0.012 3578 3591 0.37

12 12 4 0.012 3123 3125 0.06

12 12 5 0.012 2769 2764 0.19

12 12 10 0.012 1767 1751 0.90

12 12 15 0.012 1297 1281 1.22

12 12 20 0.012 1024 1010 1.38

12 12 25 0.012 846 834 1.48

12 12 30 0.012 721 710 1.53

12 12 35 0.012 628 618 1.56

12 12 40 0.012 556 548 1.57

12 12 45 0.012 499 491 1.57

12 12 50 0.012 453 446 1.57

Çizelge 6.21.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak moment değerleri

Tabaka Sayısı

E1/E2


(m)

Plak moment değerleri D.A.Y

Mx ANSYS

Mx Fark %

D.A.Y My

ANSYS My

Fark %

İk

i Tab

aka

2 0.06 6.6283 6.8471 3.19 6.6283 6.8471 3.19 3 0.06 6.9576 7.4198 6.23 6.9576 7.4198 6.23 4 0.06 7.1948 7.8446 8.28 7.1948 7.8446 8.28 5 0.06 7.3868 8.1742 9.63 7.3868 8.1742 9.63

10 0.06 8.0538 9.1350 11.84 8.0538 9.1350 11.84 15 0.06 8.4936 9.6196 11.71 8.4936 9.6196 11.71 20 0.06 8.8174 9.9202 11.12 8.8174 9.9202 11.12 25 0.06 9.0679 10.1270 10.46 9.0679 10.1270 10.46 30 0.06 9.2683 10.2800 9.84 9.2683 10.2800 9.84 35 0.06 9.4324 10.3970 9.28 9.4324 10.3970 9.28 40 0.06 9.5694 10.4900 8.78 9.5694 10.4900 8.78 45 0.06 9.6856 10.5660 8.33 9.6856 10.5660 8.33

50 0.06 9.7855 10.6290 7.94 9.7855 10.6290 7.94


147

Çizelge 6.21.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak moment değerleri

Tabaka Sayısı

E1/E2


(m)

Plak moment değerleri (GPa.m)

D.A.Y Mx

ANSYS Mx

Fark %

D.A.Y My

ANSYS My

Fark %

D

ört T

abak

a

2 0.03 6.8140 6.8758 0.90 6.8140 6.8758 0.90

3 0.03 7.3800 7.4880 1.44 7.3800 7.4880 1.44

4 0.03 7.8086 7.9455 1.72 7.8086 7.9455 1.72

5 0.03 8.1467 8.2994 1.84 8.1467 8.2994 1.84

10 0.03 9.1448 9.3005 1.67 9.1448 9.3005 1.67

15 0.03 9.6381 9.7696 1.35 9.6381 9.7696 1.35

20 0.03 9.9328 10.0420 1.09 9.9328 10.0420 1.09

25 0.03 10.1289 10.2200 0.89 10.1289 10.2200 0.89

30 0.03 10.2688 10.3450 0.74 10.2688 10.3450 0.74

35 0.03 10.3736 10.4380 0.62 10.3736 10.4380 0.62

40 0.03 10.4551 10.5090 0.51 10.4551 10.5090 0.51

45 0.03 10.5203 10.5660 0.43 10.5203 10.5660 0.43

50 0.03 10.5736 10.1620 3.89 10.5736 10.1620 3.89

A

ltı T

abak

a

2 0.02 6.8467 6.8807 0.49 6.8467 6.8807 0.49

3 0.02 7.4489 7.4985 0.66 7.4489 7.4985 0.66

4 0.02 7.9016 7.9595 0.73 7.9016 7.9595 0.73

5 0.02 8.2544 8.3152 0.73 8.2544 8.3152 0.73

10 0.02 9.2661 9.3150 0.52 9.2661 9.3150 0.52

15 0.02 9.7477 9.7794 0.32 9.7477 9.7794 0.32

20 0.02 10.0294 10.0470 0.18 10.0294 10.0470 0.18

25 0.02 10.2143 10.2220 0.08 10.2143 10.2220 0.08

30 0.02 10.3450 10.3440 0.01 10.3450 10.3440 0.01

35 0.02 10.4423 10.4350 0.07 10.4423 10.4350 0.07

40 0.02 10.5175 10.5050 0.12 10.5175 10.5050 0.12

45 0.02 10.5774 10.5600 0.16 10.5774 10.5600 0.16

50 0.02 10.6262 10.6050 0.20 10.6262 10.6050 0.20


148

Çizelge 6.21.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak moment değerleri

Tabaka Sayısı

E1/E2


(m)


D.A.Y Mx

ANSYS Mx

Fark %

D.A.Y My

ANSYS My

Fark %

Se

kiz

Taba

ka

2 0.015 6.8581 6.8824 0.35 6.8581 6.8824 0.35

3 0.015 7.4724 7.5021 0.40 7.4724 7.5021 0.40

4 0.015 7.9329 7.9641 0.39 7.9329 7.9641 0.39

5 0.015 8.2903 8.3203 0.36 8.2903 8.3203 0.36

10 0.015 9.3051 9.3195 0.15 9.3051 9.3195 0.15

15 0.015 9.7823 9.7823 0.00 9.7823 9.7823 0.00

20 0.015 10.0596 10.0490 0.11 10.0596 10.0490 0.11

25 0.015 10.2408 10.2220 0.18 10.2408 10.2220 0.18

30 0.015 10.3685 10.3440 0.24 10.3685 10.3440 0.24

35 0.015 10.4633 10.4340 0.28 10.4633 10.4340 0.28

40 0.015 10.5366 10.5030 0.32 10.5366 10.5030 0.32

45 0.015 10.5948 10.5580 0.35 10.5948 10.5580 0.35

50 0.015 10.6422 10.6030 0.37 10.6422 10.6030 0.37

O

n Ta

baka

2 0.012 6.8633 6.8832 0.29 6.8633 6.8832 0.29

3 0.012 7.4832 7.5037 0.27 7.4832 7.5037 0.27

4 0.012 7.9472 7.9662 0.24 7.9472 7.9662 0.24

5 0.012 8.3066 8.3227 0.19 8.3066 8.3227 0.19

10 0.012 9.3226 9.3215 0.01 9.3226 9.3215 0.01

15 0.012 9.7977 9.7835 0.14 9.7977 9.7835 0.14

20 0.012 10.0729 10.0500 0.23 10.0729 10.0500 0.23

25 0.012 10.2525 10.2220 0.30 10.2525 10.2220 0.30

30 0.012 10.3789 10.3440 0.34 10.3789 10.3440 0.34

35 0.012 10.4726 10.4330 0.38 10.4726 10.4330 0.38

40 0.012 10.5450 10.5020 0.41 10.5450 10.5020 0.41

45 0.012 10.6025 10.5570 0.43 10.6025 10.5570 0.43

50 0.012 10.6493 10.6020 0.44 10.6493 10.6020 0.44


149

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 10 20 30 40 50

E1/E2

Boy

utsu

z D

epla

sman


Şekil 6.83. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y.)


150

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 10 20 30 40 50E1/E2

Boy

utsu

z D

epla

sman

İkiTabaka Dört Tabaka Altı Tabaka Sekiz Tabaka On Tabaka

Şekil 6.84. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka

sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS)


151

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 10 20 30 40 50E1/E2

Boy

utsu

z D

epla

sman


İki Tabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı Tabaka (ANSYS)

Şekil 6.85. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y.)


152

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5

9,0

9,5

10,0

10,5

11,0

0 10 20 30 40 50

E1/E2

Mom

ent (

GP

a.m

)


Şekil 6.86. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri(D.A.Y.)


153

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5

9,0

9,5

10,0

10,5

11,0

0 10 20 30 40 50E1/E2

Mom

ent (

GP

a.m

)



Şekil 6.87. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri(ANSYS)


154

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5

9,0

9,5

10,0

10,5

11,0

0 10 20 30 40 50E1/E2

Mom

ent (

GP

a.m

)

İk Tabaka(D.A.Y.) Dört Tabaka(D.A.Y.) Altı Tabaka(D.A.Y.)İki Tabaka(ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı tabaka (ANSYS)

Şekil 6.88. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri(ANSYS-D.A.Y.)


155

Örnek 6:

Örnekte, dört kenarından basit mesnetlenmiş q üniform yayılı yüküne maruz,

antisimetrik açılı-katlı tabakalı plak göz önüne alınmıştır. Analizlerde plak

iki,dört,altı,sekiz ve on tabakaya ayrılarak incelenmiştir. Hesaplamalar iki farklı

durum için yapılmıştır. Durum-1 de her tabakalanma için “θ” açı değerlerindeki

değişime göre çökme değerleri ve moment değerleri, Durum-2 de her tabakalanma

için E1/E2 oranına göre çökme değerleri ve moment değerleri incelenmiştir. Ayrıca

uzama eğrilik arasındaki girişim etkisi dikkate alınarak B16, B26 bağlanma

rijitliklerinin sonuçlara olan etkisi incelenmiştir. Örnekteki her iki tabaka ortotrop

olup, plak malzemesi olarak Durum-1 için Graphite/epoxy seçilmiştir.

Graphite/epoxy için malzeme özellikleri E1=181 GPa., E2=10.3 GPa., G12=7.17 GPa.

ve ν12=0.28 dir. Durum-2 için ise farklı E1/E2 oranları kullanılmış ve θ=45o,

G12/E2=0.5, ν12=0.25 olarak seçilmiştir. Örnekte toplam plak kalınlığı

değişmemektedir. Değerler (a/2, b/2) noktası için elde edilerek aşağıdaki şekilde

normalize edilmiştir.


0

32 10ap

twE

Durum-2 için normalizasyon Boyutsuz deplasman= 24

0

32 10ap

twE

Şekil 6.89.Örnek 6 daki dört tabakalı plak için tabakalanma şekli

+θ

-θ

+θ

-θ

θ

θ

θ

θ


156

Çizelge 6.22. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka

sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak orta noktasındaki çökme değerleri

Tabaka Sayısı

a(m)

b(m)

θ


(m)


D.A.Y. ANSYS Fark %

İk

i Tab

aka

12 12 1 0.06 10009 10048 0.39 12 12 5 0.06 10485 10243 2.31 12 12 10 0.06 11731 10709 8.71 12 12 15 0.06 13168 11146 15.36 12 12 30 0.06 15215 11007 27.66 12 12 45 0.06 15026 10352 31.11

Dör

t Tab

aka

12 12 1 0.03 9987 10036 0.49 12 12 5 0.03 9962 9948 0.14 12 12 10 0.03 9799 9648 1.54 12 12 15 0.03 9415 9153 2.78 12 12 30 0.03 7794 7463 4.25 12 12 45 0.03 7097 6772 4.58

Altı

Tab

aka

12 12 1 0.02 9983 10034 0.51 12 12 5 0.02 9870 9896 0.26 12 12 10 0.02 9509 9486 0.24 12 12 15 0.02 8943 8890 0.59 12 12 30 0.02 7148 7118 0.42 12 12 45 0.02 6466 6455 0.17

Seki

z Ta

baka

12 12 1 0.015 9982 10033 0.51 12 12 5 0.015 9839 9878 0.39 12 12 10 0.015 9411 9431 0.21 12 12 15 0.015 8788 8804 0.18 12 12 30 0.015 6946 7009 0.90 12 12 45 0.015 6270 6355 1.34

On

Taba

ka

12 12 1 0.012 9981 10033 0.52 12 12 5 0.012 9824 9870 0.47 12 12 10 0.012 9367 9406 0.41 12 12 15 0.012 8719 8764 0.51 12 12 30 0.012 6857 6961 1.49 12 12 45 0.012 6184 6311 2.01


157

Çizelge 6.23. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka

sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak moment değerleri

Tabaka Sayısı

θ


(m)

Plak moment değerleri(GPa.m)

D.A.Y Mx

ANSYS Mx

Fark %

D.A.Y My

ANSYS My

Fark %

İk

i Tab

aka

1 0.06 17.5821 17.5270 0.31 0.9253 0.9325 0.78 5 0.06 17.3449 17.2800 0.37 1.0663 1.0686 0.22

10 0.06 16.5795 16.4290 0.91 1.4779 1.4696 0.56 15 0.06 15.2940 14.9190 2.45 2.0727 2.0393 1.61 30 0.06 9.8042 8.6201 12.08 3.9803 3.5466 10.90 45 0.06 5.5706 4.7507 14.72 5.5706 4.7507 14.72

Dör

t Tab

aka

1 0.03 17.5738 17.5190 0.31 0.9243 0.9317 0.79 5 0.03 17.1473 17.1000 0.28 1.0417 1.0473 0.54

10 0.03 15.9062 15.8830 0.15 1.3709 1.3748 0.28 15 0.03 14.1409 14.1420 0.01 1.8246 1.8302 0.31 30 0.03 8.6957 8.6511 0.51 3.3792 3.3672 0.35 45 0.03 5.2762 5.2108 1.24 5.2762 5.2108 1.24

Altı

Tab

aka

1 0.02 17.5723 17.5170 0.31 0.9241 0.9315 0.79 5 0.02 17.1128 17.0680 0.26 1.0374 1.0435 0.58

10 0.02 15.8043 15.7900 0.09 1.3552 1.3600 0.35 15 0.02 13.9936 14.0160 0.16 1.7942 1.8011 0.39 30 0.02 8.5962 8.6451 0.57 3.3273 3.3473 0.60 45 0.02 5.2523 5.2762 0.45 5.2523 5.2762 0.45

Seki

z Ta

baka

1 0.015 17.5717 17.5170 0.31 0.9241 0.9315 0.80 5 0.015 17.1008 17.0570 0.26 1.0360 1.0422 0.60

10 0.015 15.7700 15.7580 0.08 1.3499 1.3550 0.37 15 0.015 13.9454 13.9730 0.20 1.7843 1.7914 0.40 30 0.015 8.5651 8.6428 0.90 3.3111 3.3408 0.89 45 0.015 5.2449 5.2982 1.01 5.2449 5.2982 1.01

On

Taba

ka

1 0.012 17.5715 17.5170 0.31 0.9240 0.9316 0.81 5 0.012 17.0953 17.0520 0.25 1.0353 1.0416 0.61

10 0.012 15.7544 15.7430 0.07 1.3476 1.3527 0.38 15 0.012 13.9236 13.9540 0.22 1.7798 1.7870 0.40 30 0.012 8.5512 8.6416 1.05 3.3039 3.3379 1.02 45 0.012 5.2417 5.3082 1.25 5.2417 5.3082 1.25


158

Çizelge 6.24. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B16 değerleri

a(m)

b(m)

θ

B16 DEĞERLERİ


12 12 1 0.0103354 0.0051677 0.0034451 0.0025839 0.0020671

12 12 5 0.0510660 0.0255330 0.0170220 0.0127665 0.0102132

12 12 10 0.0983907 0.0491953 0.0327969 0.0245977 0.0196781

12 12 15 0.1386100 0.0693051 0.0462034 0.0346526 0.0277221

12 12 30 0.1950950 0.0975474 0.0650316 0.0487737 0.0390190

12 12 45 0.1543180 0.0771592 0.0514395 0.0385796 0.0308637

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 15 30 45Açı (Derece)

B16

Değ

erle

ri

iki Tabaka Dört Tabaka Altı TabakaSekiz Tabaka On Tabaka

Şekil.6.90. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka

sayısına ve açı değerindeki değişime göre B16 değerleri


159

Çizelge 6.25. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B26 değerleri

a(m)

b(m)

θ

B26 DEĞERLERİ


12 12 1 0.0004359 0.0002179 0.0001453 0.0001090 0.0000872

12 12 5 0.0025282 0.0012641 0.0008427 0.0006321 0.0005056

12 12 10 0.0071694 0.0035847 0.0023898 0.0017924 0.0014339

12 12 15 0.0157082 0.0078541 0.0052361 0.0039271 0.0031416

12 12 30 0.0721927 0.0360963 0.0240642 0.0180482 0.0144385

12 12 45 0.1543180 0.0771592 0.0514395 0.0385796 0.0308637

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5


B26

Değ

erle

ri


Şekil 6.91. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka

sayısına ve açı değerindeki değişime göre B26 değerleri


160

Örnekte, antisimetrik açılı-katlı tabakalanmış dikdörtgen plak, iki farklı

durum için analiz edilmiştir. İlk olarak Şekil 6.92 ve Şekil 6.93’de görüldüğü gibi

plak 2,4,6,8 ve10 tabakaya ayrılmış, her tabakalanma için θ açı değerinin değişimine

göre incelenmiştir. Şekiller incelendiğinde tabakalanma sonsuza doğru yaklaştıkça

uzama eğrilik arasındaki girişim etkisinin azaldığı görülmektedir. Bu girişim

etkisinin azaldığını uzama-eğrilik arasındaki bağlanma rijitlikleri diye adlandırılan

Çizelge 6.24 ve Çizelge 6.25 te verilen B16 ve B26 değerlerinden açıkça görmekteyiz.

Buradan anlaşılacağı gibi tabaka sayısının artmasıyla bu değerler azalmakta ve

dolayısıyla denklem içerisindeki etkisi azalmaktadır. Bunun sonucu olarakta sonuçlar

birbirine giderek yaklaşmaktadır. Ayrıca B16 ve B26 değerleri açının artmasıyla

artmaktadır. Bu da bize sonuçların giderek kötüleşmesi gerektiğini gösterir ki

Çizelge 6.22’ye bakıldığında iki tabakalı plak durumunda açı değeri yükseldikçe

D.A.Y ile ANSYS değerleri birbirinden uzaklaşmaktadır, tabaka sayısı arttıkça bu

fark azalmaktadır.

Şekil 6.94’te çökme değerlerinin, Şekil 6.97’de moment değerlerinin ANSYS

ve D.A.Y ile elde edilen sonuçları bir arada gösterilmiştir. Altı tabaka ve üzeri

tabakalanmalarda, iki yöntem yaklaşık aynı sonuçları verdikleri için bu gösterim altı

tabakaya kadar verilmiştir.


161

0

2

4

6

8

10

12

14


Boy

utsu

z D

epla

sman


Şekil 6.92. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak orta noktasındaki

çökme değerleri (D.A.Y.)


162

0

2

4

6

8

10

12


Boy

utsu

z D

epla

sman

iki tabaka Dört tabaka Altı tabakaSekiz tabaka On tabaka

Şekil 6.93. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka

sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS)


163

0

2

4

6

8

10

12

14


Boy

utsu

z D

epla

sman

İki Tabaka (D.A.Y.) Dört Tabaka (D.A.Y.) Altı Tabaka (D.A.Y.)İki Tabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı tabaka (ANSYS)

Şekil 6.94. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak orta noktasındaki

çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y.)


164

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18


Mom

ent (

GP

a.m

)


Şekil 6.95. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre Mx değerleri (D.A.Y.)


165

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18


Mom

ent (

GP

a.m

)


Şekil 6.96. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre Mx değerleri (ANSYS)


166

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18


Mom

ent (

GP

a.m

)

iki Tabaka (D.A.Y.) Dört Tabaka (D.A.Y.) Altı Tabaka (D.A.Y.)

İki Tabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı Tabaka(ANSYS)

Şekil 6.97. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y.)


167

İkinci olarak plak, E1/E2 oranına bağlı olarak incelenmiştir. Tabakalı kompozit

malzemelerde uzama ve eğilme arasındaki girişim etkisi ile oluşan plak üzerindeki

deplasmanlar, ortotropik modül olarak tarif edilen E1/E2 oranına bağlıdır. Bu örnekte

de G12/E2 oranı ve ν12 sabit olarak seçilmiştir, E1/E2 oranı ise küçük oranlarda

arttırılarak karşılaştırmalar yapılmıştır. E1/E2=2 iken Şekil 6.99 ve Şekil 6.100’de

görüldüğü gibi beklenen bir şekilde girişim etkisi çok az oluşmakta, E1/E2 oranı

yükseldikçe uzama-eğrilik arasındaki girişim etkisi de artmaktadır. Girişim etkisinin

yani B16 ve B26 değerlerinin E1/E2 oranı ile doğru orantılı olarak arttığını Çizelge

6.26 da görmekteyiz. Çizelge 6.27.a,b ve c’de çeşitli E1/E2 oranlarına göre plak orta

noktasındaki çökme değerleri iki farklı yöntemle verilmektedir. Burada da iki

tabakalı durum için iki yöntem birbirinden oldukça farklı sonuçlar vermekte tabaka

sayısı arttıkça bu fark giderek yok olmaktadır. Aynı durum moment değerleri içinde

geçerlidir. Açının artmasıyla moment değerleri birbirinden uzaklaşmakta fakat

tabaka sayısının artmasıyla bu fark giderek azalmaktadır.

Şekil 6.101’de çökme değerlerinin, Şekil 6.104’te moment değerlerinin

ANSYS ve D.A.Y ile elde edilen sonuçları bir arada gösterilmiştir. Altı tabaka ve

üzeri tabakalanmalarda, iki yöntem yaklaşık aynı sonuçları verdikleri için bu

gösterim altı tabakaya kadar verilmiştir.


168

Çizelge 6.26. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B16 ve B26 değerleri

a(m)

b(m)

E1/E2

B16= B26 DEĞERLERİ


12 12 2 0.0929032 0.0464516 0.0309677 0.0232258 0.0185806 12 12 3 0.1838300 0.0919149 0.0612766 0.0495740 0.0367660 12 12 4 0.2742860 0.1371430 0.9142860 0.0685714 0.0548571 12 12 5 0.3645570 0.1822780 0.1215190 0.0911392 0.0729114 12 12 10 0.8150940 0.4075470 0.2716980 0.2037740 0.1630190 12 12 15 1.2652700 0.6326360 0.4217570 0.3163180 0.2530540 12 12 20 1.7153600 0.8576800 0.5717870 0.4288400 0.3430720 12 12 25 2.1654100 1.0827100 0.7218050 0.5413530 0.4330830 12 12 30 2.6154500 1.3077200 0.8718160 0.6538620 0.5230900 12 12 35 3.0654700 1.5327400 1.0218200 0.7663690 0.6130950 12 12 40 3.5154900 1.7577500 1.1718300 0.8788730 0.7030990 12 12 45 3.9655100 1.9827500 1.3218400 0.9913770 0.7931020 12 12 50 4.4155200 2.2077600 1.4718400 1.1038800 0.8831040

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40 50

E1/E2

B 1

6 ve

B 26

Değ

erle

ri

İki tabaka Dört tabaka Altı tabaka 8 tabaka 10 tabaka

Şekil 6.98. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B16 ve B26 değerleri


169

Çizelge 6.27.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri

Tabaka Sayısı

a(m)

b(m)

E1/E2


(m)


D.A.Y. ANSYS Fark %

İk

i Tab

aka

12 12 2 0.06 4117 3998 2.88

12 12 3 0.06 3516 3234 8.03

12 12 4 0.06 3145 2758 12.31

12 12 5 0.06 2877 2425 15.70 12 12 10 0.06 2110 1581 25.06

12 12 15 0.06 1699 1204 29.12

12 12 20 0.06 1428 981 31.30 12 12 25 0.06 1234 831 32.63

12 12 30 0.06 1087 723 33.51

12 12 35 0.06 972 640 34.13

12 12 40 0.06 879 575 34.57 12 12 45 0.06 802 522 34.90

12 12 50 0.06 738 478 35.15

D

ört T

abak

a

12 12 2 0.03 3853 3861 0.21

12 12 3 0.03 2995 2971 0.81

12 12 4 0.03 2459 2419 1.62

12 12 5 0.03 2089 2043 2.23

12 12 10 0.03 1199 1156 3.62

12 12 15 0.03 843 809 3.96

12 12 20 0.03 650 624 3.97

12 12 25 0.03 529 509 3.84

12 12 30 0.03 446 430 3.65

12 12 35 0.03 386 372 3.43

12 12 40 0.03 340 329 3.19

12 12 45 0.03 303 294 2.94

12 12 50 0.03 274 267 2.69


170

Çizelge 6.27.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri

Tabaka Sayısı

a(m)

b(m)

E1/E2


(m)


D.A.Y. ANSYS Fark %

A

ltı T

abak

a

12 12 2 0.02 3807 3837 0.76

12 12 3 0.02 2915 2929 0.48

12 12 4 0.02 2364 2370 0.27

12 12 5 0.02 1989 1991 0.13

12 12 10 0.02 1111 1111 0.03

12 12 15 0.02 771 773 0.29

12 12 20 0.02 590 594 0.64

12 12 25 0.02 478 483 1.00

12 12 30 0.02 402 408 1.37

12 12 35 0.02 347 353 1.73

12 12 40 0.02 305 311 2.08

12 12 45 0.02 272 279 2.42

12 12 50 0.02 246 253 2.75

Se

kiz

Taba

ka

12 12 2 0.015 3792 3828 0.96

12 12 3 0.015 2888 2915 0.92

12 12 4 0.015 2332 2353 0.91

12 12 5 0.015 1956 1974 0.94

12 12 10 0.015 1083 1096 1.28

12 12 15 0.015 749 762 1.73

12 12 20 0.015 572 585 2.18

12 12 25 0.015 463 475 2.62

12 12 30 0.015 389 401 3.04

12 12 35 0.015 335 347 3.44

12 12 40 0.015 294 306 3.82

12 12 45 0.015 263 274 4.18

12 12 50 0.015 237 248 4.53


171

Çizelge 6.27.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri

Tabaka Sayısı

a(m)

b(m)

E1/E2


(m)


D.A.Y. ANSYS Fark %

O

n Ta

baka

12 12 2 0.012 3785 3825 1.04

12 12 3 0.012 2876 2908 1.13

12 12 4 0.012 2318 2346 1.21

12 12 5 0.012 1941 1966 1.30

12 12 10 0.012 1070 1090 1.84

12 12 15 0.012 739 757 2.38

12 12 20 0.012 564 581 2.88

12 12 25 0.012 456 472 3.35

12 12 30 0.012 383 398 3.79

12 12 35 0.012 330 344 4.20

12 12 40 0.012 290 304 4.59

12 12 45 0.012 258 272 4.97

12 12 50 0.012 233 246 5.32

Çizelge 6.28.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka

sayısına ve E1/E2 oranına göre plak moment değerleri

Tabaka Sayısı

E1/E2


(m)

Plak moment değerleri D.A.Y

Mx ANSYS

Mx Fark %

D.A.Y My

ANSYS My

Fark %

İk

i Tab

aka

2 0.06 6.238 6.153 1.37 6.238 6.153 1.37 3 0.06 6.061 5.849 3.49 6.061 5.849 3.49 4 0.06 5.954 5.637 5.32 5.954 5.637 5.32 5 0.06 5.877 5.476 6.83 5.877 5.476 6.83

10 0.06 5.658 5.011 11.44 5.658 5.011 11.44 15 0.06 5.538 4.779 13.70 5.538 4.779 13.70 20 0.06 5.458 4.638 15.02 5.458 4.638 15.02 25 0.06 5.400 4.544 15.85 5.400 4.544 15.85 30 0.06 5.355 4.477 16.40 5.355 4.477 16.40 35 0.06 5.320 4.427 16.79 5.320 4.427 16.79 40 0.06 5.292 4.389 17.06 5.292 4.389 17.06 45 0.06 5.269 4.359 17.26 5.269 4.359 17.26 50 0.06 5.249 4.336 17.40 5.249 4.336 17.40


172

Çizelge 6.28.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak moment değerleri

Tabaka Sayısı

E1/E2


(m)


D.A.Y Mx

ANSYS Mx

Fark %

D.A.Y My

ANSYS My

Fark %

D

ört T

abak

a

2 0.03 6.160 6.159 0.01 6.160 6.159 0.01

3 0.03 5.906 5.887 0.31 5.906 5.887 0.31

4 0.03 5.748 5.718 0.53 5.748 5.718 0.53

5 0.03 5.640 5.601 0.69 5.640 5.601 0.69

10 0.03 5.377 5.325 0.98 5.377 5.325 0.98

15 0.03 5.271 5.219 0.99 5.271 5.219 0.99

20 0.03 5.214 5.166 0.92 5.214 5.166 0.92

25 0.03 5.177 5.136 0.80 5.177 5.136 0.80

30 0.03 5.152 5.118 0.67 5.152 5.118 0.67

35 0.03 5.134 5.107 0.53 5.134 5.107 0.53

40 0.03 5.120 5.100 0.39 5.120 5.100 0.39

45 0.03 5.109 5.097 0.24 5.109 5.097 0.24

50 0.03 5.100 5.095 0.10 5.100 5.095 0.10

A

ltı T

abak

a

2 0.02 6.146 6.160 0.23 6.146 6.160 0.23

3 0.02 5.882 5.894 0.21 5.882 5.894 0.21

4 0.02 5.719 5.732 0.22 5.719 5.732 0.22

5 0.02 5.609 5.622 0.23 5.609 5.622 0.23

10 0.02 5.350 5.373 0.43 5.350 5.373 0.43

15 0.02 5.249 5.284 0.66 5.249 5.284 0.66

20 0.02 5.195 5.241 0.89 5.195 5.241 0.89

25 0.02 5.161 5.219 1.10 5.161 5.219 1.10

30 0.02 5.138 5.207 1.31 5.138 5.207 1.31

35 0.02 5.122 5.200 1.51 5.122 5.200 1.51

40 0.02 5.109 5.197 1.70 5.109 5.197 1.70

45 0.02 5.099 5.197 1.88 5.099 5.197 1.88

50 0.02 5.091 5.198 2.06 5.091 5.198 2.06


173

Çizelge 6.28.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak moment değerleri

Tabaka Sayısı

E1/E2


(m)


D.A.Y Mx

ANSYS Mx

Fark %

D.A.Y My

ANSYS My

Fark %

Se

kiz

Taba

ka

2 0.015 6.142 6.161 0.31 6.142 6.161 0.31

3 0.015 5.874 5.897 0.39 5.874 5.897 0.39

4 0.015 5.710 5.737 0.47 5.710 5.737 0.47

5 0.015 5.599 5.630 0.54 5.599 5.630 0.54

10 0.015 5.341 5.389 0.89 5.341 5.389 0.89

15 0.015 5.242 5.305 1.20 5.242 5.305 1.20

20 0.015 5.189 5.266 1.47 5.189 5.266 1.47

25 0.015 5.156 5.247 1.72 5.156 5.247 1.72

30 0.015 5.134 5.236 1.95 5.134 5.236 1.95

35 0.015 5.118 5.231 2.17 5.118 5.231 2.17

40 0.015 5.106 5.230 2.37 5.106 5.230 2.37

45 0.015 5.096 5.230 2.57 5.096 5.230 2.57

50 0.015 5.088 5.232 2.75 5.088 5.232 2.75

O

n Ta

baka

2 0.012 6.140 6.161 0.34 6.140 6.161 0.34

3 0.012 5.870 5.898 0.47 5.870 5.898 0.47

4 0.012 5.705 5.739 0.58 5.705 5.739 0.58

5 0.012 5.594 5.633 0.68 5.594 5.633 0.68

10 0.012 5.337 5.397 1.10 5.337 5.397 1.10

15 0.012 5.239 5.315 1.44 5.239 5.315 1.44

20 0.012 5.186 5.278 1.74 5.186 5.278 1.74

25 0.012 5.154 5.259 2.00 5.154 5.259 2.00

30 0.012 5.132 5.250 2.24 5.132 5.250 2.24

35 0.012 5.116 5.246 2.47 5.116 5.246 2.47

40 0.012 5.104 5.244 2.68 5.104 5.244 2.68

45 0.012 5.095 5.245 2.87 5.095 5.245 2.87

50 0.012 5.087 5.248 3.06 5.087 5.248 3.06


174

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 10 20 30 40 50E1/E2

Boy

utsu

z D

epla

sman

iki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka


Şekil 6.99. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y.)


175

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 10 20 30 40 50E1/E2

Boy

utsu

z D

epla

sman

iki Tabaka Dört Tabaka AltıTabaka


Şekil 6.100. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS)


176

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 10 20 30 40 50E1/E2

Boy

utsu

z D

epla

sman


İk iTabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı Tabaka (ANSYS)

Şekil 6.101. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y.)


177

0

2

4

6

8

0 10 20 30 40 50

E1/E2

Mom

ent (

GP

a.m

)


Şekil 6.102. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (D.A.Y.)


178

0

2

4

6

8

0 10 20 30 40 50

E1/E2

Mom

ent (

GP

a.m

)


Şekil 6.103. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (ANSYS)


179

0

2

4

6

8

0 10 20 30 40 50Açı (Derece)

Mom

ent (

GP

a.m

)

iki Tabaka (D.A.Y.) Dört Tabaka (D.A.Y.) Altı Tabaka (D.A.Y.)

İki Tabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı Tabaka(ANSYS)

Şekil 6.104. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y.)

7.SONUÇLAR VE ÖNERİLER Emel YAĞCI

180

7.SONUÇLAR ve ÖNERİLER

Bu çalışmada, denge denklemleri kullanılarak Mathematica adlı paket

programın yardımıyla bir bilgisayar programı hazırlanmıştır. Hazırlanan bu

programda denge denklemleri ile elde edilen diferansiyel denklemlerin çözümünde

kullanılan Değişkenlere Ayırma Yöntemi (D.A.Y) kullanılmıştır. Bu yöntemin

yardımıyla ince plak teorisi ile çeşitli tipteki tabakalı plakların analizi yapılmış ve

sonuçlar birbiriyle karşılaştırılmıştır. Analizlerde yük fonksiyonu ve deplasman

fonksiyonu Fourier serisi kullanılarak x ve y değişkenlerine ayrılmıştır. Ayrıca

analizler literatürde bulunan ve mühendislik uygulamalarında yaygın olarak

kullanılan Sonlu Elemanlar Yöntemine dayalı ANSYS paket programı ile de

yapılmıştır. Yapılan analizler sonucunda ANSYS paket programı ile elde edilen

değerlerle D.A.Y. ile elde edilen değerlerin bazı durumlarda birbirlerine çok

yaklaştığı, bazı durumlarda da birbirlerinden önemli bir ölçüde uzaklaştığı

görülmüştür. Bu farklılık, iki yöntemdeki kabullerin ve sınırlandırmaların

farklılığından kaynaklanmaktadır. Ayrıca Değişkenlerine Ayırma Yönteminde bazı

durumlarda değişkenler tam olarak ayrılamamakta ve seçilen deplasman

fonksiyonları plağın davranışını tam olarak ifade edememektedir.

Çalışmada ilk olarak tek tabakalı izotropik plak durumu ele alınmış ve

analitik çözüm ile ANSYS çözümünün birbirine yakın sonuçlar verdiği görülmüştür.

Ayrıca plak kalınlığının arttırılmasının sonucu nasıl etkilediği de gözlemlenmiştir.

Beklendiği üzere plak inceldikçe sonuçlar birbirine yaklaşmaktadır. Bunun sebebi

değişkenlere ayırma yönteminde ince plaklar için geçerli olan bazı kabüllerin

yapılmış olmasıdır. Daha sonra tabakalandırılmış izotropik plak durumu incelenmiş

ve izotropik plak durumunda ANSYS ve D.A.Y.’nin yaklaşık aynı sonuçları verdiği

görülmüştür. İzotropik plak çeşitli tabaka dizilimlerinde denenmiş ve tabaka

dizilimlerinde değişim yapılarak, yaklaşık olarak aynı dayanıma sahip olan daha

ekonomik tabakalanma şekillerinin elde edilebileceği görülmüştür.

Çalışmada, izotropik olmayan tabakalı plakların analizi de yapılmıştır. Bu

analizler sonucunda, simetrik plakların özel bir durumu olan özel ortotropik plaklar

için ANSYS ve D.A.Y sonuçlarının birbirine çok yakın değerler verdiği görülmüştür.


181

Ancak tabakalanma simetrik açılı-katlı tabakalanmaya dönüştükçe sonuçlar

tabakaların dizilimlerine bağlı olarak değişmektedir. Şöyle ki, simetrik tabakalardaki

tabaka açısının değişimi, orta düzleme göre dıştaki tabakalarda meydana gelirse

ANSYS ve D.A.Y sonuçları arasındaki fark aşırı bir biçimde artmaktadır fakat açı

değişimi orta düzleme yakın tabakalarda meydana gelirse fark çok az olmaktadır. Bu

durum eğilme rijitliklerinin birbirlerine olan oranlarının plak eğilmesine olan

etkisinden kaynaklanmaktadır. Değişkenlerine Ayırma Yönteminde simetrik plaklar

için seçilen deplasman fonksiyonu, D16 ve D26 eğilme rijitliklerini denklem içerisinde

ifade edememektedir. Plak orta düzleminden uzaklaştıkça D16 ve D26 eğilme

rijitliklerinin denklem içerisinde ifade edilemedikleri için etkinliklerinin artması,

sonucu olumsuz yönde etkilemektedir. Bu durum ANSYS ile D.A.Y çözümleri

arasındaki aşırı farktan da anlaşılmaktadır. Deplasman fonksiyonunda yapılacak

değişim veya düzenleme, sonucu önemli ölçüde iyileştirebilir ancak gerekli sınır

şartlarını sağlayan ve plağın elastik eğrisini tam olarak ifade edebilen bir deplasman

fonksiyonu oluşturmakta oldukça güçtür. Ayrıca plaktaki tabaka kalınlığının

arttırılmasının D.A.Y ile elde edilen sonuçları olumsuz yönde etkilediği görülmüştür.

Buna sebep olarak tabaka kalınlığının artması sonucu, plak eleman içerisinde kayma

gerilmeleri meydana gelmesi gösterilebilir. Plak kalınlığının artmasıyla meydana

gelen ek kayma gerilmeleri giderek ihmal edilemeyecek sınırlara ulaşarak ince

plaklar için yapılan kabullerin geçerliliğini yitirmesine neden olmaktadırlar.

Bu çalışmada, antisimetrik tabakalı plakların analizi de yapılmıştır. İlk olarak

antisimetrik çapraz-katlı tabakalanma durumu ele alınmıştır. Tabakalı plak

sistemlerinde tabakalanmanın simetrik olmaması durumunda plak eğilmesi

deformasyonları girişimli olmaktadır. Yani bu tip tabakalanma, B11 uzama ve eğilme

arasındaki bağlanma rijitliklerine sahiptir. Tabakalanma sonsuza doğru yaklaştıkça

B11 rijitliklerinin denkleme olan etkisi azalmaktadır. Bunun sonucu olarakta her iki

yöntemle bulunan sonuçlar birbirine yaklaşmaktadır. Çalışmada antisimetrik çapraz-

katlı tabakalanma durumu plağın x ve y doğrultusundaki boyutlarının birbirine oranı

(a/b) ve farkı E1/E2 oranları için incelenmiş ve tabaka sayısının artmasıyla uzama-

eğilme arasındaki girişim etkisinin azaldığı görülmüştür.


182

Antisimetrik açılı-katlı tabakalanmada da tabakalı plak farklı tabaka açıları

ve farklı E1/E2 oranları için incelenmiş ve bu tip tabakalanmada da tabaka sayısının

artması ile girişim etkisinin azaldığı görülmüştür. Ayrıca tabaka sayısındaki artışın,

ANSYS ve D.A.Y ile elde edilen sonuçların birbirine yaklaşmasına neden olduğu

belirlenmiştir.

Değişkenlerine ayırma yöntemi tabakalı plaklar için bazı durumlarda çok iyi

sonuçlar verirken bazı durumlarda da biraz farklı sonuçlar vermektedir. Wang’da

değişkenlerine ayırma yönteminin, bazı plak problemleri için tam çözüme neden

olurken bazıları için tam çözüme neden olmadığını belirlemiştir. Yani x ve y

değişkenlerinin tam olarak ayrımı her zaman mümkün olmamaktadır.

Analizler sonucu elde edilen çizelge ve şekillerin incelenmesi ile aynı

malzemenin değişik fiber açıları ile tabakalandırılmasıyla farklı deplasman, gerilme

ve momentlere sahip olunabileceği ve malzeme özelliklerinde değişiklik yapılarak

dizayn için gerekli şartlara sahip değişik plak tipleri meydana getirebileceği

görülmektedir. Yüksek dayanımlı, hafif ve ekonomik çözümler farklı durumlar için

duruma en uygun tabakalanma şeklinin seçimi ile mümkün olmaktadır. Bu yüzden

tabakalı plakların davranışının çok iyi bilinmesi gerekmektedir.

183

KAYNAKLAR ASHTON,J.E., 1970, ’Anisotropik Plate Analysis-Boundary Coditions’, Journal of

Composite Materials, 4, 182-191.

AUSTİN,C.D.,2003.Buckling of Symmetric Laminated Fiberglass Reinforced Plastic

(FRP) Plates. B:S: in Civil Engineering, University of Pittsburgh, 154.

DOGAN,A., 2004.Fiber Çubuklarla Güçlendirilmiş Tabakalı Plakların Plak

Düzlemine Dik Yükleme Etkisindeki Davranışı Y.Lisans Tezi, Ç.Ü. Fen

Bilimleri Enstitüsü.

ERSOY, H.Y., 2001. Kompozit Malzeme. Literatür Yayıncılık Dağıtım Pazarlama

San. ve Tic. Ltd. Şti., İstanbul, Türkiye, 227.

GALERKİN, B.G., 1915. Reihenentwicklungen für Einige Faelle des Gleichgewichts

von Platten und Balken. Wjestnik Ingerenerow, H.19.

GOLUB, G.H., HUANG, L.C., SİMSON, H., et. al.,’ A Fast Poisson Solver for The

Finite Diferance Solution of the Incompressible Navier-Stokes

Equations’Sim. J. Sci. Comput., 19, 5,(1998), 1606-1624.

GÜNALP, G., 2002. Tabakalı Kompozit Plakların ve Kabukların Statik Analizi. Y.

Lisans Tezi, Ç.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Adana, 94.

HASSIS, H., 1998. A Warping Theory of Plate Deformation Eur. Journal

Mechanics/Solidis, 17, 843-853.

HOU,J.P., and JERONIMIDIS, G., 2000. Bending Stiffness of Plates with

Delamination. Composites Part A, 31, 121-132.

HYER, M. W., 1998. Stres Analysis of Fiber-Reinforced Composite Materials. Mc

Graw-Hill Book Comp, Virginia Polytechnic Institute and State Universty,

627.

JONES, R.M., 1975. Mechanics of Composite Materials. Scripta Book Company,.

Washington D.C., 355.

JONES, R.M., 1999. Mechanics of Composite Materials. Taylor & Francis, Inc. 325.

Chestnut Street, Philadelphia, PA19106, 519.

KAW, A.K., 1997. Mechanics of Composite Materials., CRC Press, Boca Raton.

London New York Washington, D.C., 329.

184

LO, K.H., CHRISTENSEN, R.M., and WU, E.M., 1997. A High-Order Theory of

Plate Deformation. Journal of Applied Mechanics, 44, 663-676.

LUCKING, W.M., HOA, S.V., AND sankar, t.s., 1984. The Effect of Geometry on

Interlaminar Stresses of [0/90]s Composite Laminates with Circular Holes.

Journal of Composite Materials, 17, 188-198.

MINDLIN, R.D., 1951. Influence of Rotatory Intertia and Shear on Flexural Motions

of Isotropic, Elastic Plates. Journal of Applied Mechanics, Vol. 73, 31-38.

ÖZCAN, V., 2002. Kompozit Tabakalı Plakların dinamik Analizi. Y.Lisans Tezi,

Ç.Ü. Fen bilimleri Enstitüsü, Adana, 94.

PHAN, N.D., and REDDY, J.N., 1985. Analysis of Laminated Composite Plates

Using A Hıgher-Order Shear Deformation Theory. International Journal for

Numerical Methods in Engineering, 21, 2201-2219.

REDDY, J.N., 1984. A Simple Higher-Order Theory for Laminated Composite

Plates. Journal of Applied M echanics, 51, 745.

REDDY, J.N., 1987. A refined Nonlinear Theory of Plates with Transverse shear

deformation. International Journal for Solids Structures, 20, 881-896.

REISSNER, E., 1944. On The Theory of Bending of Elastic Plates. J.math. Phys, 23,

184-191.

REISSNER, E., 1975. On Trasverse Bending of Plates Including The Effect of

Transverse Shear Deformation. International Journal for Solids Structures,

11, 569-573.

SUBRAMANIAN, P., 1993. A High-Order Theory for Bending of Isotropic Plates.

Computers & Structures, 49(1), 199-204.

SURESH,C., PANDA., and NATARAJAN, R., 1979. Finite Element Analysis of

Laminated Composite Plates. International Journal for Numerical Methods in

Engineering, 14, 69-79.

TIMOSHENKO, ST.,1940. Theory of Plates and Shells. New York a. London, Mc

Graw-Hill Book Comp.

UGURAL, A.C., 1981. Stresses In Plates and Shells. New York a. London,

Mc.Graw-Hill Book Comp, 317.

185

ANSYS, Theory Reference Manual and ANSYS Element Reference.

http://www.ansys.com

MATHEMATICA, Wolfram Research, http://www.wolfram.com

http://www.ansys.com

http://www.wolfram.com

186

ÖZGEÇMİŞ

1980 yılında Antakya’da doğdum. İlk,orta ve lise öğrenimimi Antakya’da

tamamladım. Daha sonra Çukurova Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi

İnşaat Mühendisliği bölümünü kazandım. 2003 yılında lisans öğrenimimi

tamamladım. 2006 yılının Şubat ayından itibaren 16 ay bir yapı denetim firmasında

Yardımcı Kontrol Elemanı olarak görev yaptım. Şu anda da özel bir şirkette

çalışmaktayım.

187

EKLER

188

EK. Mathematica Programında Hazırlanmış Bilgisayar Programı

Programdaki Kısaltmaların Açıklanması

nt : Tabaka sayısı

a,b : Plağın x ve y doğrultusundaki boyutları

Po : Birim yük

tbc : Tabakalanma şekli

t[] : Tabaka kalınlığı

E1[] : 1 doğrultusundaki elastisite modülü

E2[] : 2 doğrultusundaki elastisite modülü

G12 : 1-2 düzlemi için kayma modülü

Poiss12 : 1-2 düzlemi için poisson oranı

aci : Her bir tabakanın açı değeri

h[] : Plak kalınlığı

c : Kosinüs açısı

s : Sinüs açısı

sxust[0] : Sıfır noktasındaki(birinci tabakanın üst noktası) σx gerilmesi.

sxalt[1] : Bir noktasındaki(birinci tabakanın alt noktası) σx gerilmesi

sxust[1] : Bir noktasındaki(ikinci tabakanın üst noktası) σx gerilmesi

sxust[2] : İki noktasındaki(ikinci tabakanın alt noktası) σx gerilmesi

sxust[2] : İki noktasındaki(üçüncü tabakanın üst noktası) σx gerilmesi

Birinci tabaka

İkinci tabaka

Üçüncü tabaka

Dördüncü tabaka

0 noktası

1 noktası

2 noktası

3 noktası

4 noktası

189

(*FIBERLERLE GUCLENDIRILMIS TABAKALI PLAKLARIN DEGISKENLERINE AYIRMA YONTEMIYLE COZUMU*) Clear["Global`*"]; pi=ArcTan[1.0]*4; (*Tabaka sayisini ,boyutlarini ve yükü giriniz*) nt=4;a=12;b=12;po=1; (*Tabakalanma seklini giriniz*) (*simetrik (ozel ortotropik) ise tbc=1, antisimetrik capraz-katli ise tbc=2, antisimetrik acili-katli ise tbc=3*) tbc=1; (*================================================================*) (*Tabakalanma ozelliklerini giriniz*) (*Tabaka sayisina gore tabaka ozelliklerini arttiriniz veya azaltiniz*) t[1]=0.03;E1[1]=181;E2[1]=10.3; poiss12[1]=0.28;G12[1]=7.17;aci[1]=0; t[2]=0.03;E1[2]=181;E2[2]=10.3; poiss12[2]=0.28;G12[2]=7.17;aci[2]=90; t[3]=0.03;E1[3]=181;E2[3]=10.3; poiss12[3]=0.28;G12[3]=7.17;aci[3]=90; t[4]=0.03;E1[4]=181;E2[4]=10.3; poiss12[4]=0.28;G12[4]=7.17;aci[4]=0; (*================================================================*) h[]=Sum[t[k],{k,1,nt,1}]; Do[ poiss21[k]=((poiss12[k])*(E2[k]))/E1[k],{k,1,nt,1}]; Do[ Q11[k]=E1[k]/(1-(poiss12[k])*(poiss21[k])),{k,1,nt,1}]; Do[ Q12[k]=(poiss12[k])*E2[k]/(1-(poiss12[k])*(poiss21[k])), {k,1,nt,1}]; Do[ Q22[k]=E2[k]/(1-(poiss12[k])*(poiss21[k])),{k,1,nt,1}]; Do[ Q66[k]=G12[k],{k,1,nt,1}]; Do[ θ[k]=aci[k],{k,1,nt,1}]; Do[c[k]=Cos[θ[k]Degree],{k,1,nt,1}]//N; Do[s[k]=Sin[θ[k]Degree],{k,1,nt,1}]//N; Do[T[k]={{(c[k]^2),(s[k]^2),(2*c[k]*s[k])}, {(s[k]^2),(c[k]^2),(-2*s[k]*c[k])}, {(-s[k]*c[k]),(s[k]*c[k]),(c[k]^2-s[k]^2)}},{k,1,nt,1}];

190

R={{1,0,0},{0,1,0},{0,0,2}}; Do[Q[k]={{Q11[k],Q12[k],0},{Q12[k],Q22[k],0},{0,0,Q66[k]}}, {k,1,nt,1}]; Do[Qtrans[k]=Inverse[T[k]].Q[k].R.T[k].Inverse[R],{k,1,nt,1}]//N; Do[h[k-1]=-h[]/2+Sum[t[l],{l,1,k-1,1}],{k,1,nt,1}]; Do[h[k]=-h[]/2+Sum[t[l],{l,1,k,1}],{k,1,nt,1}]; (*================================================================*) A11= Sum[Qtrans[k][[1,1]]*Integrate[1,{z,h[k-1],h[k]}],{k,1,nt,1}]; A12=Sum[Qtrans[k][[1,2]]*Integrate[1,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; A16=Sum[Qtrans[k][[1,3]]*Integrate[1,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; A22=Sum[Qtrans[k][[2,2]]*Integrate[1,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; A26=Sum[Qtrans[k][[2,3]]*Integrate[1,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; A66=Sum[Qtrans[k][[3,3]]*Integrate[1,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; A={{A11,A12,A16},{A12,A22,A26},{A16,A26,A66}}; (*================================================================*) B11= Sum[Qtrans[k][[1,1]]*Integrate[z,{z,h[k-1],h[k]}],{k,1,nt,1}]; B12=Sum[Qtrans[k][[1,2]]*Integrate[z,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; B16=Sum[Qtrans[k][[1,3]]*Integrate[z,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; B22=Sum[Qtrans[k][[2,2]]*Integrate[z,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; B26=Sum[Qtrans[k][[2,3]]*Integrate[z,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; B66=Sum[Qtrans[k][[3,3]]*Integrate[z,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; B={{B11,B12,B16},{B12,B22,B26},{B16,B26,B66}}; (*================================================================*) d11=Sum[ Qtrans[k][[1,1]]*Integrate[z^2,{z,h[k-1],h[k]}],{k,1,nt,1}]; d12=Sum[Qtrans[k][[1,2]]*Integrate[z^2,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; d16=Sum[Qtrans[k][[1,3]]*Integrate[z^2,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; d22=Sum[Qtrans[k][[2,2]]*Integrate[z^2,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; d26=Sum[Qtrans[k][[2,3]]*Integrate[z^2,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; d66=Sum[Qtrans[k][[3,3]]*Integrate[z^2,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}];

191

d={{d11,d12,d16},{d12,d22,d26},{d16,d26,d66}}; (*================================================================*) dp1={{epx},{epy},{gamaxy},{kx},{ky},{kxy}}; QT={{A11,A12,A16,B11,B12,B16},{A12,A22,A26,B12,B22,B26}, {A16,A26,A66,B16,B26,B66},{B11,B12,B16,d11,d12,d16}, {B12,B22,B26,d12,d22,d26},{B16,B26,B66,d16,d26,d66}}; u1=Amn*Cos[(m*\[Pi]*x)/a]*Sin[(n*\[Pi]*y)/b]; v1=Bmn*Sin[(m*\[Pi]*x)/a]*Cos[(n*\[Pi]*y)/b]; u2=Amn*Sin[(m*\[Pi]*x)/a]*Cos[(n*\[Pi]*y)/b]; v2=Bmn*Cos[(m*\[Pi]*x)/a]*Sin[(n*\[Pi]*y)/b]; w=Cmn*Sin[(m*\[Pi]*x)/a]*Sin[(n*\[Pi]*y)/b]; (If[tbc\[Equal]1,(u=u1;v=v1;Goto[basla]),Continue]; If[tbc\[Equal]2,(u=u1;v=v1;Goto[basla]),Continue]; If[tbc\[Equal]3,(u=u2;v=v2;Goto[basla])]; Label[basla]); epx=D[u,x]; epy=D[v,y]; gamaxy=D[u,y]+D[v,x]; kx=-D[w,x,x]; ky=-D[w,y,y]; kxy=-2*D[w,x,y]; (*================================================================*) (*tabaka ust noktası*) Do[gerust[z-1]=Qtrans[z].{{epx},{epy},{gamaxy}}+ h[z-1]*Qtrans[z].{{kx},{ky},{kxy}},{z,1,nt,1}] Do[sxust[z-1]=gerust[z-1][[1,1]],{z,1,nt,1}] Do[syust[z-1]=gerust[z-1][[2,1]],{z,1,nt,1}] Do[sxyust[z-1]=gerust[z-1][[3,1]],{z,1,nt,1}] (*tabaka alt noktas\[DotlessI]*) Do[geralt[z]=Qtrans[z].{{epx},{epy},{gamaxy}}+ h[z]*Qtrans[z].{{kx},{ky},{kxy}},{z,1,nt,1}] Do[sxalt[z]=geralt[z][[1,1]],{z,1,nt,1}] Do[syalt[z]=geralt[z][[2,1]],{z,1,nt,1}] Do[sxyalt[z]=geralt[z][[3,1]],{z,1,nt,1}] (*================================================================*) {{Nx},{Ny},{Nxy}}={{A11,A12,A16},{A12,A22,A26},{A16,A26,A66}}. {{epx},{epy},{gamaxy}}+{{B11,B12,B16}, {B12,B22,B26},{B16,B26,B66}}.{{kx},{ky},{kxy}}; {{Mx},{My},{Mxy}}={{B11,B12,B16},{B12,B22,B26},{B16,B26,B66}}. {{epx},{epy},{gamaxy}}+{{d11,d12,d16}, {d12,d22,d26},{d16,d26,d66}}.{{kx},{ky},{kxy}}; (*================================================================*) denklem1=D[Nx,x]+D[Nxy,y]; denklem2=D[Nxy,x]+D[Ny,y];

192

denklem3=D[Mx,x,x]+2*D[Mxy,x,y]+D[My,y,y]; (*================================================================*) pmn=16*po/((pi^2)*(m*n)); x=a/2; y=b/2; p=pmn*Sin[(m*pi*x)/a]*Sin[(n*pi*y)/b]; sonuc= Solve[{denklem1\[Equal]0.,denklem2\[Equal]0.,denklem3\[Equal]-p},{Amn,Bmn, Cmn}]; Cmn=Cmn/.sonuc; Amn=Amn/.sonuc; Bmn=Bmn/.sonuc; cokme=Sum[Cmn*Sin[(m*pi*x)/a]*Sin[(n*pi*y)/b], {m,1,11,1},{n,1,11,1}]; (*================================================================*) (*sonuclar*) Print[" Toplam tabaka sayisi"] nt Print[" COKME"] wmax=cokme Print[" Mx momenti"] MX=Sum[Mx,{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Print[" My momenti"] MY=Sum[My,{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Print[" Mxy momenti"] MXY=Sum[Mxy,{m,1,11,1},{n,1,11,1}] (*================================================================*) (*Tabaka sayisina gore nokta numaralarini arttiriniz veya azaltiniz*) Print["X dogrultusundaki gerilmeler"] Sum[sxust[0],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[sxalt[1],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[sxust[1],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[sxalt[2],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[sxust[2],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[sxalt[3],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[sxust[3],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[sxalt[4],{m,1,11,1},{n,1,11,1}]

193

Print["Y dogrultusundaki gerilmeler"] Sum[syust[0],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[syalt[1],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[syust[1],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[syalt[2],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[syust[2],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[syalt[3],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[syust[3],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[syalt[4],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] (*================================================================*)

Çukurova Ünİversİtesİ fen bİlİmlerİ enstİtÜsÜ yÜksek ... · analizlerde ince plak...

Documents