Uitmõtteid matemaatikapädevusest

Juhan Aru

Miks mul on arvamus

Koolis meeldis matemaatika ja vabal ajal ka Olümpiaadid, Eesti võistkonnas IMO 2003 – 2005 Kaastöö matemaatika olümpiaadide zürii juures

Ülesannete pakkumine – 4 ülesannet IMO shortlistis

Olümpiaaditööde parandamine, loengud ettevalmistuslaagrites

Õppisin ülikoolis matemaatikat – Cambridge Ülikool, Trinity Kolledz (Newton, Maxwell, Hardy, Ramanajuan...) Viimasel aastal matemaatika ainekava

komisjonis

Kõrvalepõige 1: Kuidas ülesannet välja mõelda?

1. mängida matemaatiliste objektidega

Võrdhaarse kolmnurga ABC tipunurga C suurus on 120◦. Kolmnurga alusel AB valitakse punktid D ja E nii, et |AD| = = |DE| = |EB|. Leia kolmnurga CDE nurkade suurused. (Lõppvoor 2006, 9. klass)

C

AB DE

F

Kõrvalepõige 1:Kuidas ülesannet välja mõelda? 2. Lähtuda konkreetsetest teoreetilistest

tulemustest, mida soovid kasutada Leia kõik positiivsete täisarvude paarid (m,n),

mille korral(Lõppvoor 2007, 11. klass)

Täisnurkse kolmnurga ühe kaateti pikkus on algarv ning ülejäänud külgede pikkused on mingid täisarvud. Kolmnurga ümbermõõdu ja siseringjoone diameetri suhe on samuti täisarv. Leia kõik võimalused, millised saavad olla selle kolmnurga külgede pikkused.(Lõppvoor 2006, 11. klass)

mn−nm=3

Kõrvalepõige 2:Tööst ainekava komitee juures

5 professorit erinevatest valdkondadest ja kaks üliõpilast

Kohtutakse üks kord iga trimestri jooksul Vaadatakse üle kõik muudatusettepanekud Palju julgeid muudatusi Põhiküsimused: programmi loogilisus,

õpilaste tase, huvitavus, aja efektiivne kasutamine, iga aine ja peatüki juures küsimus MIKS?

The Princeton Companion to Mathematics (T. Gowers + I.Leader, J. Barrow-Green) Eesmärk rääkida tänapäeva puhtast

matemaatikast, tema suundadest ja uurimisaladest, teha seda võimalikult lihtsalt ning ligipääsetavalt, ent siiski rangelt;

koosneb kaheksast osast, 1000 lehekülge Peatoimetaja T.Gowers, Fields’ Medali võitja Rangelt matemaatilised artiklid Lood matemaatika olemusest ja

matemaatikutest

The Princeton Companion to Mathematics (T. Gowers + I.Leader, J. Barrow-Green) Peatükk 1.4:

matemaatilise uurimistöö üldised eesmärgid, läbivad teemad; kokku 10 alapeatükki

tõstatame igaühe kohta kolm küsimust1 Konkreetsemad näited tänapäeva

matemaatikast2 Mõju ja haakumised väljaspool

matemaatikat3 Seosed koolimatemaatikaga

1. Võrrandid

Võrrandid täisarvudes – Fermat Suur Teoreem; võrrandid polünoomides, diferentsiaalvõrrandid;

Diferentsiaalvõrrandid kasutuses looduslike protsesside kirjeldamiseks

Elliptilised kõverad (polünoomi y²=x³+ax+blahendite hulk) kasutusel krüptoloogias

Võrrandid erinevates arvuhulkades: 3x + 4y = 1; lineaarvõrrandid ja üldistused → algebra ja geomeetria kokkupuude

2. Klassifitseerimine Klassifitseerimine

annab võimaluse lihtsamalt uurida – tuleb keskenduda ainult iga klassi esindajate uurimisele

Baasstruktuurid: algarvud täisarvude jaoks

Klassifitseerimine topoloogias; Poincare' konjektuur

2. Klassifitseerimine

Mälu liigitamine reklaamimeestele sihtgruppideks

jagamine Koolimatemaatikas:

Kolmnurgad Jäägiklassid:

Ülesanne: näita, et arvu ruut annab kolmega jagades jäägi 1 või 0.

3. Üldistamine ja defineerimine Põhivoolu matemaatika

Üldistamine objekti omaduste kaudu: arvu astendaja üldistamine naturaalarvudelt reaalarvudele

Matemaatiline objekt võib nõnda muutuda lihtsamaks: kompleksarvude hulgas on igal n-astme reaalarvulisel polünoomil täpselt n lahendit

Vähemate eeldustega tihti lihtsam ülesandeid lahendada

Mugava ja hea definitsiooni leidmine

3. Üldistamine ja defineerimine Ülesanne:

Aga kas leidub naturaalarv, mis on 4 erineva kuubi summa vähemalt kümnel erineval moel?

Lahendusidee: Sõnastame üldisemaks: antud on naturaalarvude jada a1, a2, a3,... teatava omadusega ja me tahame näidata, et leidub naturaalarv, mis on esitatav 4 erineva jadaliikme summana 10l erineval moel;

Omadus, mida otsime: jadas leidub vähemalt 1000 arvu, mis ei ole suuremad kui 1 000 000 000.

1729 10 3 9 3 12 3 1 3

3. Üldistamine ja defineerimine Täislahendus:

Ükskõik millise nelja arvu summa, mis on jadas ning väiksemad kui 1 000 000 000 on maksimaalselt 4 000 000 000. Võimalusi nelja erineva kuubi võtmiseks on 1000*999*998*997/4! (sest järjekord ei loe), mis on suurem kui 40 x 1 000 000 000. Seega keskmiselt saab iga 4 000 000 000-st väiksemat arvu esitada rohkem kui kümne sellise summana ehk teisisõnu leidub vähemalt üks arv, millel on vähemalt 10 esitust.

3. Üldistamine ja defineerimine Ajaloo selgitamine Arstiteadused Koolimatemaatikas:

Reaalarvud → kompleksarvud

Kõrvalepõige 3: definitsioonidest Definitsioonide sissetoomiseks 2 head

põhjust: Objekti pidev esinemine, mugavusest:

kolmnurga kõrgus, võrdhaarne kolmnurk Definitsioon aitab laiendada mõistet või

tuua sisse mõne uue huvitava nähtuse - tuletis

AGA: pole vahet, kuidas asju kutsuda nii kaua, kui kõigil on selge, millest juttu on.

4. Mustrite-seaduspärasuste avastamine ja tekitamine „A mathematician,

like a painter or poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas.“ G. H. Hardy

Penrose Tilings – seaduspärata!„Role of aesthetics in pure and applied research.“

4. Mustrite-seaduspärasuste avastamine ja tekitamine Mustrid loodused – kuldlõige; ilumeel ja

avastamisrõõm Muusika, harmoonia Pärinevus (Mendel), hiljem DNA struktuur! Palju võimalusi koolimatemaatikaks:

Geomeetrilised mustrid ja sümmeetriad; Arvujadad:

Ülesanne: 1, 11, 21, 1211, 111221, ... järgmine?

5. Näiliste juhuste selgitamine

Finantskatastroofid; Helendav kärbes (Firefly);Sotsiaalsed võrgustikud (Väikese maailma fenomen)

Koolimatemaatikas vaatab π ringi siin ja seal

eπ∗163=262537 412 640768 743.99999999999925...

6. Loendamine ja mõõt Küsimused „kui palju“, hindamine:

Kui palju on hulktahukates täisarvuliste kordinaatidega punkte? (tegeleb üks eesti tüdruk)

Kui palju on algarve, mis on väiksemad kui n?Funktsioon π(n) – muutub suure n korral nagu n/ log n, Riemanni hüpotees algarvude jaotusest

Pokker, muud kaardimängud; valijaskonna või turu hindamine

Loendamisülesanded:kui palju on 10 elemendiga hulgal alamhulki?

Raskem ülesanne: Mitmeks osaks jagavad tasandi n paarikaupa mitteparalleelset sirget, millest ükski kolmik ei lõiku ühes punktis?

7. Erinevate (matemaatiliste) omaduste suhestumine ja seosed

Võrdväärsed, järelduvad, välistavad omadused:

4 Värvi Teoreem tasandi graafide värvimisest

7. Erinevate (matemaatiliste) omaduste suhestumine ja seosed

Aju: teadvus ja tema neuronaalsed korrelaadid

Auto mootori võimsus ja bensiinikulu Koolimatemaatikas:

Kolmnurgad Iga positiivne reaalarv on mõne teise

reaalarvu ruut Tuletis - Integraal

8. Mitte päris rangete argumentidega töötamine

Riemanni hüpotees ja sellest järelduv Numbrilised vihjed – Goldbachi

konjektuur; „Oletame, et mul on miljon. Millise maja

ehitan?“ Majandusnäitajad Päris palju koolimatemaatikas, tasuks

rõhutada: reaalarvude hulk on aukudeta, π irratsionaalsus

Kõrvalepõige 99: Tõestus ja selle rangus

„Rigorous formal proof only becomes important when there is a crisis— when you discover that your imaginary objects behave in a counterintuitive way; when there is a paradox of some kind.“ (Lockhart)

Olulisem on sisuline töö ja arusaamine; Väga suur formaalsus on tüütu!

9. Otseste tõestuste ja algoritmide leidmine

Transtsendentaalsed numbrid – enne olemasolu, siis konkreetsed näited

Minkowski teoreem täisarvuliste kordinaatidega punktidest

Algoritmid arvude tegurdamiseks Algoritmid arvutite keel, krüptoloogia! Kuidas meelde jätta koode? B2639

9. Otseste tõestuste ja algoritmide leidmine

Koolimatemaatikas: Vastunäited – mittepidevad

funktsioonidest, funktsioonid, millel tuletist pole jne...

Algoritmid algarvude leidmiseks Algoritmid mängude lahendamiseks Erinevad mängud nagu male, go,

backgammon – kõik mis arendavad algoritmilist mõtlemist

Kõrvalepõige nr. 5: Kaks mängu Kaks mängijat murravad kordamööda ristkülikutest

koosnevat šokolaaditahvlitmõõtmetega 7x8. Ühe käiguga tuleb teha sirgjooneline murdmine mööda ristkülikute vahet suvalisest tükist, mis võib olla tekkinud ka murdmise käigus. Kaotaja on see, kes ei saa enam murda. Kas üks mängijatest saab kindlustada võidu ja kuidas?

XV sajandi mäng: Kordamööda asetatakse ühe kaupa ruudukujulisele laudlinale ühesuguseid kanamune. Muna tuleb asetada linale nii, et ta ei puutuks kokku ühegi teise juba paigutatud munaga. Jätkatakse, kuni lina on munadega täidetud nii, et ühtegi muna ei saa enam asetada. Kes asetab viimase muna, võidab. Selgub, et esimesel mängijal on võimalik alati võita. Milline on õige strateegia?

10. Matemaatilise artikli kirjutamine Tunnustatud ajakirjad ja seal publitseeritud

artiklid kui viis tänapäeva matemaatika levikuks

„The practice of proof seems to involve three different but closely interconnected processes: a quest for a proof, an organization of the proof, and an explanation of the proof to other people.“

Õpetab enda argumente veenvalt põhjendama, struktureerima ja selgitama;

10. Matemaatilise artikli kirjutamine Koolimatemaatikas:

Esitada ilusaid tõestuseid – näiteks algarvude lõpmatusest ei ole ainult üks ilus tõestus, on mitu!

Küsida ilusaid tõestuseid Vigade leidmine tõestustes:

Kõrvalepõige nr. N: Kaks valetõestust Tõestus, et 2 = 1:

a = b a*a = a*ba*a – b*b = a*b – b*b(a-b)(a+b) = b(a-b)a+b=bb+b=b2b=b2=1

Tõestus, et kõik hobused on ühte värviTõestus induktsiooniga: üks hobune on ühte värvi. Kehtigu väide n-1 korral. Olgu meil nüüd n hobust h1,...,hn. Induktsiooni eelduse põhjal on hobused h1,h2,..,h(n-1) ühte värvi ja hobused h2,...,hn ühte värvi. Aga siis on kõik hobused sama värvi kui h2!

Matemaatika on kunst.Matemaatika õpetamine ehk

suuremgi kunst.Aitäh teile, kallid õpetajad!