ÜÇgenlerde benzerlİk

HER GENÇ GEOMETRİ ÖĞRENEBİLİR

www.muratguner.net

MURAT GÜNERİSTANBUL- 2004

www.muratguner.net

1- BENZER ÜÇGENLER

Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer benzer üçgenlerüçgenler denir.

A

B C

bc

a

D

E F

ef

d

m ( A ) =

m ( D )

m ( B ) =

m ( E )

m ( C ) =

m ( F )

ABC ve DEF üçgenleri için

f

c

e

b

d

a

oranı yazılabilir.

Buradan ABC üçgeni DEF üçgeni benzerdir

denir ve

biçiminde gösterilir.

ABC DEF

www.muratguner.net

k f

c

e

b

d

a

eşitliğinde verilen k sayısına , benzerlik oranı veya benzerlik katsayısı denir.

k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan , bu üçgenlere eş üçgenler denir.

ABC DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.

ABC DEF

k l EF l l BC l

l DF l l AC l

l DE l l AB l

Hayalleri olanlar asla uyuyamaz.

www.muratguner.net

ÖRNEK

A

B C5

D

F5E

ABC üçgeni ile DEF üçgeni karşılıklı açıları eş olduğundan benzerdir.

( l BC l = l EF l = 5 cm )

A ve D eş açıların gördüğü kenarlarda eşit olduğundan aynı zamanda eş üçgendir.

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

A B

C

D EŞekilde [ DE ] // [ AB ] I AC I = I CE I I DE I = 2m + 3 I AB I = m + 5 ise m kaçtır?

2m + 3

m + 5

c

c

a

a

b

b

ABC EDC 32m

5m

l EC l

l ACl

m + 5 = 2m + 3

2 = m

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

BAC CED l ED l

l ACl

l CD l

l BC l

l CE l

lBA l

l ED l

l ACl

x

x

l CE l

4

l CE l = 4

lACl = lDEl = 4+2 = 6 A( ADC )=

[ DC ] [ BC ] ,[ DE ] [ AC ][ AB ] [ AC ], I AE I = 2 cm , I AB I = 4 cm ve I DC I = I BC I ise A( ADC ) = ?

A

B

C

D

E2

4

ab

b

x

x

6.62

= 18

4

6

a

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

Şekilde [ BE ] [ AD ] = { C } I AC I = I CE I I BC I = I CD I ve I EDI =8 cm ise I AB I = ?

A

B

C

D

E

8a a8

I ABI = 8 cm

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

A B

C

D

E

Şekilde I AB I = I AC I I CD I = I EBI I AE I = x + 2I AD I = 2x –1 ise x kaçtır?

x+2

2x -

1

a

a

x + 2 = 2x –1

3 = x

Eş üçgenler

www.muratguner.net

ÖRNEKA

B C

D

E 65°

Şekilde [ AD ] // [ BC ] I AE I = I BC I I AD I = I AC I m( DEC )= 65° ise ABC açısının ölçüsü kaç derecedir? ÇÖZÜM

a

a

A

B C

A D

E

a

a

180°– 65° = 115°

180°– 65° = 115°

www.muratguner.net

ÖRNEK

Şekilde I AB I = I BE I I BC I = I BD I I AD I = 12 cm m( ABE ) = m( DBC )= 60° ise I EC I =?

60°

60°

A

B C

DE

ÇÖZÜM

60°+ c A

B

D

60° + c

C

E

B

c

1212

www.muratguner.net

2- AÇI – AÇI BENZERLİK TEOREMİ

A

B C

bc

a

D

E F

ef

d

Karşılıklı ikişer açıları eş üçgenler benzerdir.benzerdir.

m ( A ) =

m ( D )

m ( C ) =

m ( F )

ABC DEF

İkişer açıları eş olduğundan üçüncü açıları da eş olur.Bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.

m ( B ) =

m ( E ) ve

olur. f

c

e

b

d

a

www.muratguner.net

ÇÖZÜM

ÖRNEK

70 5060

50

A

B C FE

D

Şekildeki üçgenlerin benzerliği nasıl yazılır?7070

6060

BAC DFE

( A.A.A )60 50 70 60 50 70

ABC FDE

( A.A.A )50 60 70 50 60 70

FDE ABC

( A.A.A )50 60 70 50 60 70

EDF CBA

( A.A.A )70 60 50 70 60 50…

…

……

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

1999

ABC DEF ise

A

B CD

EF

40 30

+ 40 = 60 + 50

A

B CD

EF

40 30

ABC DEF ise kaç derecedir?

Şekilde verilenlere göre

m ( A ) = m ( A ) =

m ( D ) m ( D )

m ( B ) = m ( B ) =

m ( E ) m ( E )

m ( C ) = m ( C ) =

m ( F ) m ( F )

= 70

40

50

50

60

www.muratguner.net

ÖRNEKA

B CDx

3

5

E

4

BAC dik üçgen [ ED ] [ BC]

l AE l = 3 cm , l EC l = 5 cm l DC l = 4 cm

x = ?

A

B CDx

3

5

E

4

ÇÖZÜMBAC EDC

l DC l l AC l

l EC l l BC l

l ED l l BA l

4 53

5 4 x

2 5

4 x

x = 6

( A.A.A )

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

A

B CD

E

x

5

3

2

m ( BAC ) = m ( BDE ) ise x = ?

5

A

B CD

E

x

3

2

BAC EDC

l DC l l AC l

l EC l l BC l

2 5

3 x

2 15

x

( A.A.A )

Başarı tatlıdır ama çoğunlukla ter kokar

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

ABC CDE

2

6

4

x

2

24x x = 12

( A.A.A )

Şekilde verilenlere göre x = ?

A

B C D

E

6

x

4

2

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

B

D

C

A

F

E

9

4

x

Şekilde CDEF bir kare old. göre x = ?

θ

β

θ

βx

x

x

AED EBF

9

x

x

4

6x

( A.A.A )

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

BD

C

A

E

x

4

3

2


θ

θβ

ABC DBE

( A.A.A )

l BE l

l BC l

l DB l

l ABl

3

4

24

3 x

cm 5x

www.muratguner.net

15

16

4

xB

D

C

A

E

1998ÖRNEK

ÇÖZÜM

Şekildeki l BE l = x = ?l BE l = x = ?

15

16

4

xB

D

C

A

ABC EBD

4

25

x

20

E x = 16 / 5

25 ( 3- 4- 5 )

www.muratguner.net

1993ÖRNEK

24

10

B

D

C

A

E

Şekildeki l BC l = x = ?l BC l = x = ?

x

8

ÇÖZÜM

ABC EBD

x

10

24

8

30x

www.muratguner.net

2000ÖRNEK

ÇÖZÜM

A

BO

D

C

Şekildeki [ BO ] çaplı çember ,O merkezli ve [ BC ] çaplı çembere B noktasında içten teğettir.AB doğrusu her iki çembere B noktasında teğet AC doğrusu da içteki çembere D noktasında teğet olduğuna göre

? l ACl

l ABl

yy

y x

ABC NDC

3r

l ACl

r

l ABl

N

3

1

3r

r

l ACl

l ABl

r r 2r

www.muratguner.net

1993ÖRNEK

ÇÖZÜM

θ

x

A B

CD

E

Şekilde ABCD bir dik yamuk ,

m( ABC ) = m(CDE )

l BC l = 15 cm , l AB l = 16 cm l CD l = 8 cm old.göre l BE l = x = ? 16

8

15

θ

ABC DCE

8

16

x 15

x

2

x 15

x

x2x0 3

10x

www.muratguner.net

ÖĞRENCİ HATALARI

3- KENAR – AÇI – KENAR BENZERLİK TEOREMİ

A

B C

bc

a

D

E F

ef

d

İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise üçgenler benzerdir.benzerdir.

m ( A ) =

m ( D )

ABC DEF

l DF l

l ACl

l DE l

l ABl

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

A

B CD

E

4

2

x

3 5

2

7


A

B C

6 x

8 B D

E

4

3

2

7

4 8

3 6

eşitliği sağlandığından

CAB EDB

2 7

x

4

8

3

6 x = 7

( K. A. K )

www.muratguner.net

ÖRNEKB

D

A

C

[ AB ] // [ CD ] , l AB l = 2 cm l AC l = 3 cml BC l = 4 cml CD l = 8 cm old. göre l BDl = x = ?

2

34

8

x

ÇÖZÜM

m( ABC ) = m( BCD ) =

( İç ters açılar )

CBA DCB

x

3

8

4

4

2

BA

C

2

3 4

( K. A. K )

6x

C D8

x

B

C

4

www.muratguner.net

4- KENAR – KENAR – KENAR BENZER TEOREMİ

A

B C

bc

a

D

E F

ef

d

İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.benzerdir.

ABC DEF

f

c

e

b

d

a

Kenarları orantılı olan ABC ve DEF Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir.gören açılar eştir.

m ( A ) = m ( A ) =

m ( D ) m ( D )

m ( B ) = m ( B ) =

m ( E ) m ( E )

m ( C ) = m ( C ) =

m ( F ) m ( F )

www.muratguner.net

5- TEMEL BENZERLİK TEOREMİ

Bir üçgenin kenarlarından birine çizilen paralel doğru , kestiği diğer kenarlar üzeride orantılı parçalar ayırır.

B

D

C

A

E

ABC ADE

( [ DE ] // [ BC ] )

l BC l

l DE l

l ACl

l AEl

l ABl

l ADl

l EC l

l AEl

l DB l

l ADl

VEYAVEYA

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

[ DE ] // [ BC ] ise l BC l = x = ?

B

D

A

E

C

5

6

x

2

l BC l

l ABl

l DE l

l ADl

x

25

6

5

5

42 x

[ DE ] // [ BC ] olduğundan

( T.B.T )

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

1991

43

8

x

B

D C

K

A

Şekilde ABCD bir yamuk olduğuna göre x = ?

l ABl

l BB l

l DC l

l KC l

8

3 x

4

x 3x

[ DC ] // [ AB ] olduğundan

( T.B.T )

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

1995

B

D

C

E

A

F 2

4

5

3

?l DC l

lDA l

Ka 5 – a

52

a2

34

4

l DC l

lEK l

( T.B.T )

2a

4k7k

l ACl

5

4k

2

10kl ACl

10k

7

3

7k

3k

l DC l

lDA l

( T.B.T )

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

m( DEB ) = m( EBC ) =

( İç ters açılar )

B

A

C

D E

x

[ DE ] // [ BC ] , [ BE ] açıortay olduğuna göre l BC l = x kaç cm dir?3

2

Buna göre l DE l = 2 cm

2

( İkizkenar Üçgen )

[ DE ] // [ BC ] olduğundan

x

23

2

3

3

10 x

( T.B.T )

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

1992

B D C

F

A

E

x

26

3

Şekildeki ABC üçgeninde D , E ve F noktaları kenarlar üzerinde olup AEDF bir paralel kenardır. Buna göre l EC l = x l EC l = x = ?= ?

ABC FBD

2 x

63

2

3

x = 4

26

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

1997

20

15

x

3

x = 4

x

B D C

F

A

E 20

12

4

Şekildeki ABC üçgeninde D , E ve F noktaları kenarlar üzerinde olup AEDF bir paralelkenarının çevresi kaç cm dir?

3

yx

y

y 4

15

y

12

15y = 48 + 12y

2( x + y ) = 2( 4 +16 ) = 40

3y = 48

y = 16

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

1996

Şekildeki ABC üçgeninde D , E ve F noktaları kenarlar üzerinde olup BFED bir eşkenar dörtgendir. Buna göre l EC l = x = ?l EC l = x = ?

B D C

F

A

E16

25

15

15

25

y

y25

15

16

y

x

8

75 y

15

16

8 75

x

8

75.

15

16 x

10x

y

y

yy x

25 – y

www.muratguner.net

2005ÖRNEK

ÇÖZÜM

45– 2

1

– 3

O

A ( x , y )y

xx

y = x – 3

33 x – 3

2x62x 3x

2x

1

2

8x

538y +

13yx

A noktasının koordinatları

toplamı kaçtır?

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

60

O

135

2

Soru Sayısı

Zaman ( Saat )

2.Öğrenci1.Öğrenci

5

Yanda grafikte iki öğrencinin zamana göre çözdükleri soru sayıları verilmiştir.Şekle göre kaçıncı saatte çözdükleri soru sayıları eşitlenir?

b

3 a

60b

a

b

b

5a

75

5

a

60aab3bab 20ab

20a

5a

15

1 7515a20a

15a 20t

tt

www.muratguner.net

2002ÖRNEK

ÇÖZÜM

BKE BLD

l LD l

3a

2

a 6l LD l

ALD ABC

x

12

l LD l

3 42x

x

12

6

3

B

D

C

A

E

L

H

K

F

Şekildeki ; l AL l = l LH l = l HK l = l KB l [ LD ] // [ HF ] // [ KE ] // [ BC ]l KE l = 2 cm ise l BC l = x = ?

2

xa

a

a

a

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜMB

D

A

K

C

E

L

[ DA ] // [ EK ] , [ KL ] // [ BC ]l DE l = 2 cm , l EB l= 3 cm , l KL l = 4 cmold. göre l BC l = ?

3

2

4

[ DA ] // [ EK ] olduğundan

2

3

lKA l

lBK l

l ED l

l BE l

2a

3a

3a

2a

( T.B.T )

[ KL ] // [ BC ] olduğundan

l BC l

3a2a

4

2a

l BC l

5a

4

2a cm 10l BC l

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

[ DF ] // [ BE ] l FE l

l AFl

1

2

l BD l

l ADl

( T.B.T )

2 l FE l

4

[ DE ] // [ BC ]

A

B C

D E

F4

x

[ DF ] // [ BE ] , [ DE ] // [ BC ]l AF l = 4 cm , l AD l= 2l BD l old. göre l EC l = ?

y

2y

l EC l

l AEl

l BD l

l ADl

( T.B.T )

x

24

y

2y cm 3x

2

www.muratguner.net

6- TALES TEOREMİ

Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı oranda bölerler.

d1

d2

d3C

B

A D

E

F

l EF l

l DE l

l BC l

l ABl

d1 // d2 // d3 doğruları için

l DF l

l DE l

l ACl

l ABl

VEVE

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

d1

d2

d3C

B

A D

E

F

2

3 x

d1 // d2 // d 3 ,

l DF l = 10 cm l AB l = 2 cm l BCl = 3 cm olduğuna göre x = ?

l EF l

l DE l

l BC l

l ABl

x

x10

3

2

3x302x

305x 6x

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

d1

d2

d3C

B

A D

E

F

3

x

d1 // d2 // d 3 ,

l AD l = 3 cm l DE l = 6 cm l l BE l = 5 cm l CF l = 8 cm olduğuna göre x = ?

5

8

6

C

B

A D

E

F

3

x

6 5

x 6

2

6

x615

9x 3 2

3 5

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

2

5

8

x

4

C

B

A D

E

F

[ AD ] // [ BE ] // [ CF ]

l AD l = 5 cm l BE l = 8 cm l l AB l = 2 cm l BC l = 4 cm l CF l = 8 cm olduğuna göre x = ?

5

x – 5

2

5

4

C

B

A D

E

F5

3

5x

42

3

2

18102x

41x

www.muratguner.net

7- BENZERLİK ÖZELLİKLERİ

A

B C

bc

a

D

E F

ef

d

k f

c

e

b

d

a ABC DEF

Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlikler oranına eşittir.

h

h

h

h

h

h k

f

c

e

b

d

a

f

c

e

b

d

a

hahd

www.muratguner.net

1999ÖRNEK

ÇÖZÜM

B

D

C

A

E F

G

H

DEFG karesinin köşeleri ,şekildeki ABC üçgeninin kenarları üzerindedir. l AH l = 8 cm ve l BC l = 12 cm olduğuna göre l DE l = x = ? l DE l = x = ?

xx xx

8 –

x8 –

x

x -8

8 k ( Yükseklikler

oranı benzerlik sabitine eşittir. )

96 – 12x = 8x 96 = 20x x = 4,8

ABC ADG

x

12

l ADl

l ABl

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

ABC EDC

k l EC l

l ACl

l CD l

l BC l

l ED l

l ABl

A

B C D

E

m( ABC ) = m(CDE )

l AK l = 5 cm l LE l = 3 cm l BD l = 16cm olduğuna göre l BC l = ?K

L

θ

θ

l LE l

l AK l

3

5

5al BC l 3al CD l +8al BD l

168a 2a

cm 105.2l BC l

www.muratguner.net

A

B C

bc

a

D

E F

ef

d

k f

c

e

b

d

a ABC DEF

Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenarortayların oranı benzerlikler oranına eşittir.

V

V

V

V

V

Vk

f

c

e

b

d

a

f

c

e

b

d

a

VaVd

ll ll ll ll

www.muratguner.net

A

B C

bc

a

D

E F

ef

d

k f

c

e

b

d

a ABC DEF

Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait açıortayların oranı benzerlikler oranına eşittir.

n

n

n

n

n

n k

f

c

e

b

d

a

F

C

E

B

D

A

nAnD

www.muratguner.net

A

B C

bc

a

D

E F

ef

d

k f

c

e

b

d

a ABC DEF

Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlikler oranına eşittir.

) DEF ( Ç

) ABC( Ç k

f

c

e

b

d

a fe d

cb a

www.muratguner.net

A

B C

bc

a

D

E F

ef

d

k f

c

e

b

d

a ABC DEF

Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.

2k ) DEF ( A

) ABC( A

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

ABC EBD

θ

θ

kl BD l

l BC l

l ED l

l ACl

l EB l

l ABl 2

3

6

2k ) EBD ( A

) ABC( A 42 ) EBD ( A

) ABC( A 2

CB

A

D

E

6

3

m ( ACB ) = m ( BDE )l AC l = 6 cm l DE l = 3 cm

? ) EBD ( A

) ABC( A

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

B C

D

A

E2

3

[ DE ] // [ BC ] l AD l = 2 cml DB l = 3 cm old. göre

? ) DECB ( A

) ABC( A

ADE ABC

5

2

32

2

l ABl

l ADl

2

5

2

) ABCA(

) ADE A(

25

4

4S

21S

21

25

) DECB A(

) ABC A(

www.muratguner.net

2000ÖRNEK

ÇÖZÜM

1

B

D C

A

4 ABCD bir dikdörtgen , l AD l = 3 cm l DC l = 4 cm , l CF l = 2 cm l AE l > l EB l olduğuna göre3

2F

?) AED( A

) EBF A(

E x4 – xθ

β

θβ

BFE AED

k 3

x

x4

1

3x4x 2

034xx2 3 xveya 1x ?!

2k) AED( A

) EBF A(

9

1

) AED( A

) EBF A(

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

B

A

C

[ DE ] // [ BC ]l AD l = 4 cm , l DB l = 3 cmA( DECB ) = 33cm2

olduğuna göre A ( ADE ) = ?

D E

4

3 33cm2

ADE ABC

k 7

4 2k

) ABC( A

) ADE A(

49

16

16cm2

49S

16S

A( DECB ) = 49S – 16S = 33S = 33 S= 1 cm2

A ( ADE ) = 16 cm2

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

1995

B

A

C

[ EF ] // [ BC ]A( EBCF ) = A( AEF ) olduğuna göre

E F

?l EB l

l AEl

AEF ABC

k l EB l

l AEl 2k

) ABC( A

) AEF A(

S

S

2S

S

2

1k2

2

1k

www.muratguner.net

1996ÖRNEK

ÇÖZÜM

ABCD bir yamuk [ EF ] orta tabandır. Şekildeki AEK üçgeninin alanı 4 cm2,

CKF üçgeninin alanı 8 cm2 olduğuna göre , ABCD yamuğunun alanı kaç

cm2dir? BA

CD

FEK4

8

AEKADC

k 2

1

4

1

) ADC( A

4 16 ) ADCA(

CFKCBA

k 2

1

4

1

)CBA ( A

8 32 )CBA A(

A( ABCD ) = 32 + 16 = 48 cm2

www.muratguner.net

Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları bir birime iki birim oranında böler.

[ DE ] // [ BC ]B

K

A

L

C

2c

Gac

2a2b

b

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

ABC bir üçgen G ağırlık merkezi [ KL ] // [ BC ] old. göreAKL üçgeninin çevresi kaç cm dir?

B

K

A

L

C

G

12

5 6

Ağırlık merkezinden kenara paralel çizildiğinden

l AK l = 2.5 = 10 cm

l AL l = 2.6 = 12 cm

10 12

12

15

l KL l

10

( T.B.T )

cm 8l KL l

Ç ( AKL) = 10 + 12 + 8 = 30 cm

www.muratguner.net

A B

C

ED

ABC EDC

l EC l

l ACl

l DC l

l BC l

l ED l

l ABl

[ AB ] // [ DE ]

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

A B

C

D E

[ DE ] // [ AB ]

l AC l = 4 cml BD l = 5 cm l CE l = 3 cm olduğuna göre l BC l =?

3

4

x

x 5

4

3x

5 –

x

4x3x15

7

15 x

7

20

7

15 5 BC

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

CB

A

D E

F

4

x

[ DE ] // [ BC ]

3l DF l = l FC l l AD l = 4 cm olduğuna göre l DB l = x = ?

l DF l = a l FC l = 3a

3b

b

l BC l

l DE l

3

1

l FC l

l DF l

( KELEBEK BENZERLİĞİ )

3b

x 4

b

4 ( T. B.T )

cm 8x

a

3a

b

3b

www.muratguner.net

2001ÖRNEK

ÇÖZÜM

B D C

A E

F

Şekilde l AB l = l AC l A , F , C noktaları ve E , F , D noktaları doğrudaştır.Buna göre

?l BD l

l DC l

3

2

l FD l

l EF l

AEF CDF

3

2

l DC l

l AEl

( Kelebek Benzerliği )

2x

3x

3y

2y

K

l AE l = l KD l = 2y ( Dikdörtgen )

2y

l BK l = l KC l = 5y ( İkizkenar üçgende yükseklik tabanı iki eş parçaya ayırır. )

5y

7

3

7y

3y

l BD l

l DC l

www.muratguner.net

ÇÖZÜM

2004ÖRNEK

H A B

F

D C

E

ABCD ve HAFE birer kare l HA l = 4 cm l AB l = 12 cmolduğuna göre taralı alanların toplamı kaç cm2 dir?

4 12

K

4

12

FEK CDK

12

4

l KD l

l KE l


3

1 2l KE l

6l KD l

2

6

42

4.2) FKE A(

362

6.12) EDC A(

+

Toplam alan: 40 cm2

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

2004

ABCD bir paralelkenar l DE l = 2 cm , l EC l = 1 cm dir.

Taralı bölgenin alanı aa cm2

olduğuna göre ABCD paralelkenarının alanı kaç cm2 dir ?B

D C

F

A

E2 1

3

DEF BAF


3

2

l FB l

l DF l 2kl KE l

3kl KD l

2k

3kaa

3a3a22

2

5aa

2

3a) FKE A( 5a

2

5a2.) ABCDA(

www.muratguner.net

ÖRNEK 2004

ÇÖZÜM

C

A

E

F

B

D

G

[ AB ] // [ GD ]2l AE l = 6l EF l = 3l FC l olduğuna göre ,

?l FG l

l DF l

x

2x

3x

y

3y y

ACB FCG

( T.B.T )

3

1

6x

2x

l ABl

l FG l

l ACl

l FC l

DEF BEA


3

1

l ABl

l DF l

lEA l

l EF l yl DF l

1l FG l

l DF l

www.muratguner.net

2003ÖRNEK

ÇÖZÜM

B

D C

F

A

E

10

9

ABCD bir dikdörtgenl DE l = l EC l , l BC l = 9 cm l BF l = 10 cm olduğuna göre l AB l kaç cm dir?

a a

x = 2a

DEF BAF


2

1

2a

a

l FB l

l DF l 5l DF l

55

l AB l = l DC l = 12 ( 3k- 4k- 5k )

www.muratguner.net

2002ÖRNEK

ÇÖZÜM

ABCD bir kare l AE l = l EF l = l FB l , l BG l = l CG l A , H , G doğrusal D , H , F , doğrusal olduğuna göre

D

A B

C

FE

G

?l HF l

l DH l

H

D

A B

C

FE

GH

x x x

y

y

K3x 3xDKH FAH


2x

6x

l HF l

l DH l

3l HF l

l DH l

www.muratguner.net

2000ÖRNEK

ÇÖZÜM

D

A B

C

E Fx

[ DC ] // [ EF ] // [ AB ]l DC l = 6 cml AB l = 4 cm olduğuna göre x = ?

4

6

ABE CDE

l ED l

l BE l

6

4

l DC l

l ABl


2yl EB l 3yl ED l

2y

3y

BCD BFE

( T.B.T )

6

x

5y

2y

5

12 x

www.muratguner.net

1996ÖRNEK

ÇÖZÜM

[ AB ] // [ TE ]l EF l = l FT l , l BD l = 24 cm l FC l = 10 cmolduğuna göre l DF l = x =? D

A

B C

E

F

T

x1024

θ

θ

ACB TCF

( T.B.T )

a

l ABl

10

34 x

DAB DEF


a

l ABl

x

24

a

a

x

24

10

34 x

24034xx2

6x

www.muratguner.net

Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1 , 3 , 5 , 7 , ….. gibi orantılı olarak artar.

Paralel kenarlar da 1,2,3,4,5,….gibi orantılı artar.

3S

S

a

2a

3a

5S

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

B

D

C

L

A

E

K

[ DE ] // [ KL ] // [ BC ]l AD l = 2l DK l = 2l KB l A( DELK ) = 20 cm2 olduğuna göre A(ABC ) kaç cm2 dir?

B

D

C

L

A

E

K

l DK l = x l AD l = 2x M N

x

x

x

x

S

3S

7S

5S

[ MN ] // [ DE ] // [ KL ]

A( DELK ) = 5S = 20 S = 4

A( ABC ) = 16S = 64 cm2

www.muratguner.net

CB

AD

E

F

yz

x

mn

z

1

y

1

x

1

[ AB ] // [ EF ] // [ DC ] ise benzerlik özelliklerinden

n.zy.m

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

D

A

B C

E

F

x

12

6

[ AB ] // [ EF ] // [ DC ]l DC l = 6 cm , l AB l = 12 cml AB l = 4 cm olduğuna göre x = ?

6

1

12

1

x

1

12

3

x

1

4

1

x

1 4x

FORMÜL KULLANMADAN SİZ YAPINIZ.

1.yol

2.yol

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

1995A

K L

B

8 km6 km

7 km

Şekildeki A ve B şehirleri y yolunun aynı tarafında bulunmaktadırlar.A şehrinden y yolu üzerinde bir NN noktasına uğrayarak B şehrine giden en kısa l AN l + l BN ll AN l + l BN l yolu kaç km dir? y

K L

A

B

8 6

y N

xx

yy

1.YOL1.YOL

P

7 – a a

6 ( 7 – a ) = 8a a = 3

xx2 2 = 8= 82 + 2 + 4422

4 3

yy2 2 = 6= 62 + 2 + 3322

x =

y =

5 4

5 3+

x + y = 5 7

www.muratguner.net

ÖRNEK 19991999

K L

A

B

86

7

y

66

N

B'C

xx

yy

yy

ÖRNEK

ÇÖZÜM

19951995A

K L

B

8 km6 km

7 km

Şekildeki A ve B şehirleri y yolunun aynı tarafında bulunmaktadırlar.A şehrinden y yolu üzerinde bir NN noktasına uğrayarak B şehrine giden en kısa l AN l + l BN ll AN l + l BN l yolu kaç km dir? y

l AB' l2 = ( 8 + 6 )2 + 72

l AB' l2 = 142 + 72

l AB' l2 = 72( 22 + 1 )

l AB' l2 = 72 . 5

5 7l AB'l

www.muratguner.net

B D C

F

A

Ec b

xy

Şekilde ABC bir dik üçgen AFDE bir dikdörtgen olmak üzere ;

1 b

y

c

x

www.muratguner.net

ÜÇgenlerde benzerlİk

Documents