Über elliptisch-hyperelliptische funktionen

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Uber elliptisch-hyperelliptische Funktionen. Von Paul Roth in Wien.

In der Theorie der algebraisehen Funktionen ist bekanntlich jener Fall der einfaehste~ bei dem die das Gebilde deiinierende Gleichung sieh auf die Form bri~g'en l~t~t

y~ ~ R (x),

wo R(x) eine gauze rationale Fanktion yore Grade 2n der unab- hitngigen Veranderliehen x ist. Dieser Fall ist unter dem Namen des hyperelliptisehen hinl~tngiieh bekannt. Wenn man das x als Parameter auf einer rationalen Kurve auffagt~ so lal~t sich dieser Fall geometriseh so deuten~ dug man eiue Doppeltiberdeekung dieser Kurve mit einer Reihe yon Verzweigungspunkten~ die dureh die Nullstellen yon • (x) gegeben sind~ vor sieh hat. Also der hyperelliptische Fall lgl~t sich kurz dahin charakterisieren~ verzweigte Doppelttberdeckung und der Tr~ger der verzweigten Doppelttberdecknng ist eine ra-- tionale Kurve.

Es ist nun eine nicht allzuweit hergeholte Verallgemeinerung dieses Falles, wenn man daran geht~ algebraisehe Gebilde zu studieren, bei denen der Trgger der verzweigten Doppeltiberdeekung ein Gesehleeht besitzt~ das yon Null versehieden ist. Und die Funk- tionen, die auf diesen verzweigt doppelt iiberdeckten Ri e m a n n- schen Fli~chen existieren, nennt man naeh einer yon S c h o t t k y eingeftthrten Terminologie Symmetrals 1)

Der erste und einfachste Fall der Symmetralfunktionen ist nattirlieh der: bei dem der Tr~tger der Doppel~iberdeckung das Geschlecht p ~ - 1 besitzt~ also eine elliptische KurYe ist. Ftir diesen Fall hat S e h o t tk y 2) die spezielle Bezeiehnung~ elliptisch- hyperelliptiseh eingeftthrt und mit diesem Sonderfall wollen wir uns in der nachfolgenden Arbeit besehifftigen.

Wenn nun bier der Versueh gemaeht wird. die Theorie dieser Funktionen~ der Seh ot t k y s) vor nunmehr 20 Jahren eine sehr ausffihrliehe Behandlung gewidmet hat, neuerdings darzulegen~ so bedarf ein solehes Unternehmen einer Reehtfertigung; dieselbe glauben wir einerseits in der Nethode zu sehen, die wir zur Unter-

1) Sitzungsber. der Berliner Akademie, 1908. 2) Cre]le Journal, 108. 3) Ci~elle Journal, 106.

[rber el[iptisch-hyperelliptische Funkfionen. 107

suehung dieser Funktionsklasse verwenden und die yon der S e h o t t k y sehen vollkommen versehieden ist, und anderseits in dem Umstand~ dal~ gerade dureh diesen methodisehen Untersehied einige Resultate erzielt werden~ die iiber die S e h o t t k y s hinausreiehen.

Bevor an die Darlegung der allgemeinen Theorie gesehritten wird~ wird zun~ehst dem geometrisehen Ausgangspunkt des elliptiseh-hyperelliptisehen Falles 1) mit seehs Verzweigungspunkten eine genauere ErSrterung gewidmet und in einem weiteren Absehnitt wird auf denselben Fall, wie er sieh als ein dureh zwei gleieh Null gesetzte Thetafunktionen yon drei Yeranderliehen definiertes eindimensionales algebraisehes Gebilde darstellt~ n~her eingegangen.

w

In einer k~irzlieh verSffentliehten Arbeit des Verfassers ~)~ in der Beziehungen zwisehen algebraisehen Gebiiden vom Gesehlecht drei und vier ngher betraehtet wurden, war die algebraise]a-geo- metrische Grundlage in der folgenden Weise pr~zisiert worden. Eine ebene singularit~tenfreie C A ist dutch zwei 10rojektiv aufein- under bezogene Kegelsehnittsbfisehel erzeugt~ lorojektiv entspreehende Kegelsehnitte sehneiden sieh in je vier Punkten einer korresidualen Quadrupelsehar~ die residual ist zu derjenigen Sehar~ in tier die beiden Quadrupel enthalten sind, die die Basispunkte der erzeugen- den Bfisehel bilden. Mit diesen beiden zueinander residualen Quadrupelscharen ist ein ~c 2 System S~ yon Kegelsehnitten gegeben~ yon denen jeder z w e l zueinander residuale Quadrupel verbindet, v_nd dieses ist ganz in einem lineraen ~ Kegelsehnitt- system ~3 enthalten; zu Y'a ist eine Kegelsehnittschar apolar und ihre vier gemeinsamen Tangenten sind vier Doppelgerade yon 23. Diese vier Geraden bilden das gemeinsame Polvierseit der SeJaar und die drei Paar Gegenpunkte desselben sina daher konjugiert bezttglieh aller Kegelsehnitte yon X a. Bildet man X a attf die Punkte elnes linearen dreidimensionalen Raumes ab, so entspreehen den beiden linearen Quadrupelseharen als Basispunkten yon Kegel- sehnittbfiseheln eine Regelsehar zweiten Grades und die dazu gehSrige Leitsehar. Die ~ die sie trSgt~ kann aufg'efalSt werden als Ordnungsfl~tehe einer polaren BeziproziNt im Ra, die dureh Rfiekiibertragung auf das System 2 8 verst~tndlieh maeht, was es heigt, wenn yon einem reziproken Netz eines Kegelsehnittes yon 2~ gesprochen wird. Die Kegelsehnitte yon S~ sind diejenigen. d ie mit ihren reziproken Netzen inzidieren, das heigt~ in ihnen enthalten sin& Jedem Netz yon X~ gehSrt eine J ak o b i sehe Kurve zu, den oc~ Netzen aus 28 die cx~ 3 Mannigfaltigkeit der dureh die seehs Eekpunkte des Vierseits der vier Doppelgeraden hindurehgehenden C 3. Wenn man jedem Kegelsehnitt yon ~ die J a k o b i -

1) Ich verdanke die bez~igliche Angabe einer persSnlichen MitteiIung yon Herrn Prof. Wirtinger.

2) Wiener MonatshefSe, tkl. 22.

108 Paul Rotho

sehe Kurve ihres reziproken Netzes zuweist, so erh~it man eine projektive Zuordnung zwisehen dem System der Kegelsehnitte 2~

t

and dem der J a k o b i s e h e n Kurven 2 3. Geht man jetzt insbesondere zu dem dem System S~ entsprechenden System yon J a k o b i - sehen Kurven S~ fiber, so sind dieselben dadurch vor den anderen ausgezeiehnet, da• sit zwei Tripel yon Diagonalpunkten zweier zueinander residualer Quadrupel miteinander verbinden~ a!s Ort der Doppelpunkte zerfallender Kegelsehnitte desjenigen Netzes~ das zu

dem die Quadrupelpunkte verbinaenden Kegelsehnitt, der ja selbst zum Netz gahsrt, reziprok ist. Nimmt man jetzt zwei Bfisehel van J a k o b i seben Kurven, die zwei zueinander korresiduale Tripet zu Basispankten haben - - was man untar korresidualan und resi- daalan Tripeln z~ verstahen hat geht amaittdbar aus der Pro- jektivitStt yon S.)und s163 hervor - - und bezieht sit projekti~ so atlfeinander~ wit die entspreehenden Kegelsehnitt% dann erzeugen sit eine C G mit seehs Doppelpunkten in den sachs Eekpunkten des Vierseits clef vier Doppelgeraden, den Oft der zu den beiden Quadrupelsebaren gehSrigen Diagonaltripalseharen. Dieser Kurve entsiorieht im R 3 eine singularit~tenfraia C 6 als Durehsehnitt der F ~ dem Bild der Kegelsehnitte yon S2 nnd einer Fl~tehe dritter Ordnung mit vier Doppelpunkten dem Bild der zerfallenden Kegel- sehnitte yon 2 3.

Wit gehen jetzt zu dem Fall fiber, wo die baiden Qaadrupel- seharen der C~ ineinander raeken~ so dafa wir nut e i n e Sehar yon gleiehzeitig resiclualen und korresidualen Qaadrupeln vor uns haben. Das Kegelsehnittsystem wird tin Netz yon Kegelsehnitten

in deal das quaclratisehe 001 Berfihrungskegel-Sehnittsystem

),' g q - e X Vq- W = 0 (2)

enthalten ist als dessen Enveloppe die C 4 erseheint. Im System (2) sincl bekanntliah seehs Paare yon Doppeltangenten der C~ enthMten und die sechs Sehnittpunkte dieser Doppeltangentenpaare liegen attf einem Kegelsehnitt; 1) d as ergibt sieh folgendermafien: Das oo~ System (2) ist als c,o ~ System yon Klassenkegelsehnitten yon der vierten Klass% d. h. eine beliebige Gerade berfihrt vier Kegel- sehnitte~ uncl als solehes ist es ganz in einem linearen ~ System yon Klassenkegelsehnitten enthalten. Zu diesem ist tin bestimmter Ordnungskegelschnitt apolar~ er mSge ~, heilSen; seine Punkte gehSren doppelt genommen dem c,o~ System an~ daher trggt er aueh die seehs in (2) en~haltenen Ptmkte.

Die ebene C6 geht fiber in die doppelt tiberdeekte J a k o b i sehe Karve G des Netzes (1) mit seehs Verzweigungspunkten in den

i) Capo ra l i : MemoHe di Geome~rla. Napoli 1888~ pag. 36d~.

Uber elliptlsch-hyperelliptlsehe Funktionen. 109

Sehnittpunkten yon G mit ~ . Das erklgrt sich in folgender Weis% die ebene C 6 mit sechs Doppelpunkten konnte aufgefal~t werden als der Ort der Doppelpunkte der zerfallenden Kegelschnitte yon $2~ yon jedem ihrer Punkte ist ein Geradenpaar ausgegangen~ das em uncl nur ein Quadrupel aus der Korresidualschar der C 4 aus- schneidet. Hier ist der Ort der Doppelpunkte die J a k o bisehe Kurve G des Netzes, aber jeder ihrer Punkte ist Mittelpunkt eines zwei zaeinander korresiduale Qnadrupel tragenden Geradenpaares, daher hat man die G doppelt zu ttberdeeken. Diese Doppelttber- deeknng hat die Sehnittpunkte yon G mit ~8 zu gerzweignngs- punkten~ denn hit die Doppeltangentenpaare fallen die beiden Quadrupel miteinander zusammen. Also das sieh in diesem Grenz- fall ergebende algebraisehe Gebilde vom Gesehleehte p = 4 ist elliptisch-hyperelliptiseh~ die Kurve dritter Ordnnng ist verzweigt~ doppelt ttberdeek b mit seehs auf einem Kegelsehnitt liegenden Verzweigungspankten. lm Vorausgehenden war die Kurve G der Ort tier Doppelpunkte zerfallender Kegelsehnitt% was der e b e n e n C 6 des allgemeinen Falles entspraeh, wit wollen nun aueh alas der Baumkurve entspreehende Gebilde im Fall des Ineinanderrttekens der Quadrupel n~her verfolgen.

Bilden wit die Kegelschnitte des Netzes (1) anf die Punkte einer Ebene - - die Bildebene soll mit der die Kegelsehnitte tragenden identiseh sein - - ab nnd bertteksiehtigen wir den Umstand, dag das Netz (1) sieh auffassen l/il~t als Polarkegelsehnittnetz einer ganz bestimmten Kurve dritter Ordnung Cs(1)~ 1) so entsprieht jedem Punkt der Ebene sein Polarkegelsehnitt. Das Bild der Be- rtihrungskegelsehnitte ist Bin Kegelsehnitt ~7~. Der C~ im R a als Bild der zerfallenden Kege!sehnitte yon S.2 entsprieht dieselbe Kurve G wie frtther~ abet jetzt aufgefal~t als Ort der Pole zerfallender Polarkegelsehnitt% und aus demselben Grund wie frtiher wird diese doppelt zu iiberdeeken sein mit Verzweigungspnnkten in den seehs Durehsehnittspunkten yon Rh mit G. Denn jeder Punkt der C 6 im R 3 war Bild eines ein e i n z i g e s Quadrupel der Sellar tragenden Geradenpaares yon S~ bier ist jeder Punkt der G Bild yon zwei solehen Quadrupeln, n/~mlieh denjenigen~ die als zwei Polquadrnpel zu den beiden Tangenten gehSren~ die yon diesem Punkt an den Kegelsehnitt R1, gelegt werden kSnnen~ die Tangen*en yon R1, sind dabei aufgefal~t als Polargeraden der C~ ). Daher ist jeder soleher Punkt der G doppelt zu nehmen~ nur diejenigen Punkte, yon denen aus man nut eine Tangente an den Kegelsehnitt ~h legen kann~ das sind die Durehsehnittspunkte yon C, mit ~ , sind einfaeh zu nehmen~ bilden also die Verzweigungs- pankte der Doppelctberdeekung.9)

Wit haben also das elliptiseh-hyperelliptisehe Gebilde in zwei versehiedenen Fassungen erhalten~ einma[ als doppeltttberdeekte G

~) C r e m o n a , Annall di matematica (7), 1865. 2) Man vergleiche ftir alas" hier Gesagte C a p o r a l i 1. c.

110 Paul Roth.

mit Verzweigungspunkten in den Punkten~ in denen die Doppettangen- tenpaare des S t e i n e r sehen Systems der ebenen C~ sich sehneiden~ die G war der 0rt der Doppelpunkte zerfallender Polarkegelschnitt% also die St e in e r sehe Kurve der C~ ); das andere Mal die doppelt ~iberdeekte G mit seehs Verzweigungspunkten in den Poten der Doppeltangentenpaare, die G aufgefal~t als Polort~ also als H e s s e sehe Kurve der C~ (1). Wiewohl diese Seheidung yon S t e i- nerseher und t I e s sesehe r Kurve einer Kurve dritter Ordnung nieht gebrauehlieh ist~ so soll sic hier~ wo sie his zu einem gewissen Grad yon Bedeutung ist~ aufgenommen werden und so benfitzt werden, daft wir sagen~ wir batten das Gebilde in seiner S t e i n e r - sehen Normierung, wenn wir ~ns die Verzweigungspunkte als auf ~ gelegen denken, dagegen yon der I Ie s s e sehen Normierung spreehen~ wenn die Verzweigungspunkte auf ~ liegen.

Die beiden Normierungen stehen vollkommen gleiehbereehtigt nebeneinander, sie m~ssen also modular ganz das gleiehe algebraisehe Gebilde vom Gesehleehte j ) = 4 definieren. Es mul~ Mso birationale Transformationen geben, die yon der einen Normierung z u r anderen fahren. Nun i~t ja bekannt~ dab die G als J a k o b i sehe Kurve -con (1) der Oft der Punktepaare ist~ die beztiglieh aller Kegelsehnitte des Netzes konjugiert sind~ und dal~ gerade dieses eindeutige Entspreehen zweier Kurvenpunkte die Beziehung auso drtiekt~ die sie als t t e s s e s e h e and S t e i n e r s e h e Karve ein- und derselben C~ ~) eharakterisiert, insofern der eine Pankt der Po lde r audere der Doppelpunkt des zugeh~rigen Polarkegelsehnittes ist and umgekehrt; Es ist weiter bekannt~ dab diese (1, 1)-Kor- respondenz~ die als involutoriseh eben gekennzeiehnet wurd% sieh unter Hinzuziehung des elliptisehen Integrals erster Gattang in die analytisehe Form gesetzt werden kann

o.

~2 wo ~ eine der drei primitiven halben Perioden des elliptisehen

Gebildes ist~ das die G definiert. Hat man nun das Gebilde in der t t e s sesehen Normierung

und wendet man die Transformation u ' ~ ~@~--- an, so geht

G in sieh selbst~ der Kegelsehnitt ~1, in den Kegelsehnitt ~ fiber und man ware f~rs erste versueht zu glauben, diese Transformation sei eine birationale ffir die modular gleiehen Gebilde. Das ist abet nieht korrekt~ denu es gehSrt zu einer der wiehtigsten Eigensehaften einer birationalen Transformation~ dal~ sie Integranden erster Gattung wieder in Integranden erster Gattung ttberNhrt; nehmen wir nun der n~heren analytisehen Formulierung vorgreifend vorweg~ dal~ auf dem Gebilde vier linear unabMfigige Integrale existieren~

?tiber elliptisch-hyperelliptische Funktionem 111

neben dem elliptisehen noeh drei und dal? die drei hinzutretenden Integranden neben dem Ausdrnek ]/~A(~) - - wir gehen dabei yon tier Hessesehen Normiernng des Gebildes aus - - e i n e ternSre Linearform besitzen, dal~ also die akzessorisehen Integranden drei linear unabh~ngige C~erade der Ebene sind~ dana geht das System dieser Geraden bei der oben erwahnten Transformation in ein bestimmtes System yon Bertthrungskegelsehnitten ttber~ die tern~ren Linearformen also in ein System yon Wurzelformon und nmgekehrt. Daraus erkennt man, dal~ man die Qaadratwurzeln aus diesen Bertthrungskegelsehnitten der G als rational bekannt ansel~en mug, wenn man die Behauptung reehffertigen will~ dal~ die dureh

Q

gegebene involutorisehe birationale Transformation der G in sieh selbst aueh eine birationale far das elliptiseh-hyperelliptisehe Gebilde aus einer der beiden Normierungen in die andere sein sell, dal~ man also die mit seehs Punkten verzweigt doppelt tiberdeekte G noeh einmal unverzweigt doppelt tiberdeeken mug; man arbeitet dann nieht molar mit einem algebraisehen @ebilde veto Gesehleeht vier~ sondern mit einem solehen veto Geschleeht sieben.

Ein anderer Gesiehtspunkt~ der die Notwendigkeit der unverzweigten Doppelttberdeeknng noeh klarer hervorhebt~ ist der folgende. Die doppelt itberdeekte G mit seehs Verzweigungspunkten auf ~:~ war in Beziehung gesetzt za einer ganz bestimmten C~. Nun kann man sich ja die tblgende Umkehrfrage stellen ; man geht yon der mit seehs Verzweigtmgspnnkten auf einem Kegelsehnitt doppelt tiberdeekten G arts und fragt naeh der Anzahl der C~, die zn ihr gehsren. Die Geometrie gibt darauf die Antwort~ es gibt d r e i solehe Ca~ denn die G ist in dreifaeher Weise H e s s e sehe zn einer C~ (') ( v = 1 , 2 , 5 ) , sie ist J a k o b i s e h e Kurve yon drei versehiedenen Kegelsehnittnetzen~ sie ist Trager yon drei Systemen korrespondierender Ptmktepaar% die immer eine involutorisehe (1, 1)-Korrespondenz vonder Wertigkeit - - 1 kennzeiehnen. Daft alle diese Tatsaehen anf die Berfihrnngskegelsehnittsysteme tier G hin- weisen~ ist viel zu bekannt~ als dal~ es noeh einer n~heren ErSrterung bedgrfte~ die Notwendigkeit der Adjunktion der Wurzelformen far das Studium elliptiseh-hyperelliptiseher Gebilde darzutan~ eine Tat- saeh% die sieh aueh rein formal erkennen lalSt~ woranf wir sp~ter zurttekkommen.

w Wenn man in der Theorie der Thetafunktlonen zweier Ver-

gnderlieher irgend eines der 16 geraden odor nngeraden ~lf~(ul~u~")Jl gleieh Null setzt~ so werden dadurch die Argumente besehri~nkt auf eine bestimmte eindimensionale Mannigfaltigkeit veto Gesehleeht 2~ zn der die Thetas gehSren. Nimmt man insbesondere vier linear

112 Paul l~oth,

unabh~ngige Thetaquadrate als die vier homogenen Punktkoor- dinaten eines linearen R~ so ist dad urch die K u m m e r s e h e Fl~tehe dargestellt nnd eines der ~k (ul~u~)gleieh Nail gese~zt definiert dun verzweigt doppelt ~tberdeekten Kegelsehnitt~ l~ngs dessert die Ebene die K u m m e r sehe Fl~ehe berahrt ; die seehs Verzweigungs- pankte sind die Knotenpunkt% die in der betreffenden singul~tren Ebene liegen~ ihre drei unabhangigen Doppelverh~itnisse die drei l~Ioduln des hyperelliptisehen Gebildes. Im Falle der Thetafunk- tionen yon drei Ver~nderliehen kann man sich nun eine analoge Frage stellen. Man setzt zwei beliebige der 64= geraden and ungeraden Thetas gleieh Null and fragt sieh nael~ dem algebraisehen Gebilde~ das dadureh definiert wird. Es liegen in der Literatur drei versehiedene AnkntipNngspunkte vor~ .urn dieser Frage naher zu treten~ und wk glauben~ dal3 es nieht umnteressant ist~ sie nebeneinander za diskutieren.

Der Bezeiehnung mSge in allen drei F~tllen eine Hauptreihe yon sieben ungeraden dreireihigen Charakteristiken (1), ( 2 ) . . . (7) zu Grunde liegen~ dann sind die Kombinationen zu zweien aueh ungerade~ die zu dreien ersehi~pfen inklusive der Null das System der geraden.

g a m b e r t 1) bringt in der ftir uns in Betraeht kommenden Arbeit die zweidimensionale NatmigfaItigkeit~ die dutch ein gleieh Null gesetztes Theta {}k(ul~us, u3) definiert ist, in der folgenden Weise; er setzt 0~ gleieh Null and betrachtet das Paar yon Funk- tionen ~1 und I)~, ihr Produkt ist eine gerade Funktion yon der zweiten Ordnung und der Charakteristik (12). Als Periodeneharak- teristik IN3t sieh (12) auf 16 versehiedene Arten in die Summe zweier gleiehartiger und anf ebensoviele Arten in die Summe zweier ungleiehartiger Charakteristiken zerlegen~ die 62 ~ibrigen Thetas werden sieh also zu Paare~ in zwei Gruppen scheiden~ yon denen die einen lauter gerade~ die anderen luster ungerade Funktionen zweiter Ordnung mit der Charakteristik (12) darstellem Man nimmt nun das System der 16 ungeraden Funktionen~ dann sind naeh einem bekannten Satz vier yon ihnen im allgemeinen linear n~ab- hgngig~ zwisehen fanf besteht stets eine lineare Relation mit ken- stanten Koeffizienten. Setzt man vier linear unabhangige unter ihnen @~ (i----- 1, 2, 3~ 4) proportional den vier homogenen Punkt- koordinaten eines linearen R~

px~=@~ ( i = 1 .~

dann ist dureh sie eine Fl~ehe dargestellt, die wit mit H~ bezeichnen. Die Ordnung dieser Fl~che ergibt sieh~ wenn man mit P o i n e a r g die gemeinsamen L~sungen von 0~ -----0 and zwei gleieh Null gesetzten Linearkombinationen der 0~. a~fsueht. Eine Theta erster Ordnung and zwei Thetas zweiter Ordnung yon drei Ver-

~) Comptes rendus de l'acadgmle de Paris. Bd. 120, S. 365.

Uber elliptisch-hyperel]iptische Funktlonen. 113

5nderliehen haben 2 .2 .3 ! = 24 gemeinsame Nullstellen~ aber zur Bercchnung der 0rdnang mul~ man zwSlf abziehen, denn so viele halbe Perioden sind far I) 1 m~d s~imtliehe 16 :Fanktionen 0r (i ~---

1...16)~ die zur Darstellung verwendet wurden~ kritisch: wenn man mit S c h o t t k y 1) unter einer ftir eine Theta kritisehen halben Periode eine solehe versteht~ die zu den Argumenten hin- zugeftigt: sie za einer ungeraden maehen. Die dargestellte Fl~iche

1 (24 -- 12) ~ 6, der vorgesetzte Fak- ist also yon der Ordnung ~- 1

to r~- bedeutet~ dal~ man LSsungen, die sieh nur urns Vorzeiehen

unterseheiden~ als nicht verschieden betra~htet, insofern sie denselben Punkt der Fl~iche darstellen. Den zwslf ha]ben Perioden, die wir als gemeinsame Nullperioden yon I) 1 und 01~ 0~, 0~ 04 erkannt haben~ entspreehen auf der H~ Kurven~ die dem Umstand entspreehend~ dal,~ sie einfache Nullstellen der 0 sind~ zwSlfgerade Linien vorstellen. Sie gehen alle dutch einen Punkt~ n~imlieh der

yon der ~- (12 - - 12) ~--- 0 ~e~ Ordnung~ die {)2 = 0~ , 4

Kurve a l l f der

Fl~iche bestimmt~ denn die zwslf kritisehen halben Perioden sind aueh Nullste[len yon l).z, and zwar die gemeinsamen kritischen von ~}1 and I) 2. Der Pankt selbst ist ein dreifacher der Flitch% das ergibt sich so. Die zw61f Halbperioden lassen sich za seebs Paaren mit der gemeinsamen Summe (12) zusammenfassen~ and die Vielfaehheit des (lurch I) 2 ~ - 0 dargestellten Punktes ist bulb so grog wie die Anzahl dieser Paar% wie man leieht einsieht. Die 16 anderen halben Perioden~ die far ~1 allein kritiseh sind~ sind 16 Doppelpunkte der Hg. Ein ~)~ das mit einem I)~2~ zusammen eine gerade Funktion ergibt~ definiert gleich Null gesetzt eine

1 Kurve yon der Ordnung ~- (12 - - 4) ~--- 4: die vier abgezogenen

halben Perioden bilden zwei Paare der f~ir 01 und l)s kritisehen~ daher geht jede der so erhaltenen Raumkurven vierter Ordnung dutch den dreifaehen Punkt der H~. Ein {)~.~ das mit l)~s~, eine ungerade Funktion darstellt~ gibt gleich Null gesetzt eine Kurve

1 yon der -~- (12 - - 6 ) ~ 3 ~e~ Ordnung, die Kurve liegt in der Ebene

t)z {}~z ~ 0~ die sechs abgezogenen Charakteristiken bilden keine Paare~ die Kurve dritter Ordnung geht nieht dureh den dreifaehen Punkt. Bei n~iherer Betraehtung der 16 Doppelpunkte der H~ ersieht man~ dal~ dieselben genau die gleiehe Kont]guration~ wie die 16 Knotenpunkte einer K u m m e r s c h e n Fi~iehe besitzen, dal] die 32 ebenen Kurven dritter Ordnung paarweise in den 16 singul~iren Ebenen der K n m m e r s c h e n Flache liegen~ und dal~ die 30 Kurven vierter Ordnung bestimmt sind, durch die 15 MSglich-

~) Acta mathematica, Be]. 27.

,~Ionutsh. ftir Mathema~ik u. Physlk, XXs 8

114 Paul Roth.

keiten d ie 16 Doppelpunkte in zwei Systeme yon je acht asso- ziierten Punkten zu seheiden~ indem jude dieser Kurven dutch ein solehes Oktupel und den dreifaehen Punkt hindurehgeht.

H u m b e r t 1) gibt nun in einer zweiten Note eine sehr inter- essante Deutung seiner H~. Hat man eine K u m m e r s e h e Fl~tehe K und einen aul~erhalb derselben liegemen Punkt S~ dann bestimmt eine Gerade durch S 3 quadratisehe Involutionen in der auf ihr liegenden Punktreih% wean man nsmlieh ihre vier Sehnitt- punkte mit K auf drei versehiedene Arten in zwei Paare zerlegt Und die Punkte des einzelnen Paares als einander entsprechend annimmt. Dem S ist dann in jeder Involution ein Punkt konjugiert und diese Punktepaare bilden, wenn man das ganze Strahlen- bt~ndel yon S durehlauft, eine Fl~ehe seehster Ordnung~ und zwar eine H 6~ mit S als 4reifaehen Punkt. Die 16 Dopl?elpunkte yon K sind aueh Doppelpunkte der Hg, die zwSlf Geraden~ die yon S auszugehen haben, sind die zw5lf Bitangenten~ dis man an K lege n kann~ die H~ und die K bertihren sieh lungs der Kurve zwslfter Ordnung, lungs der der Ber~thrungskegel yon S aus die K bertihrt und hat eine ebene Kurve dritter Ordnung, den Dureh- schnitt der ersten Polarfl~tche und der Polarebene yon S beztiglieh K zur Doppelkurve. Diese Verh~tltnisse ergeben sieh unmittelbar aus der angegebenen Erzeugung.

Eine zweite Art die Punktepaare einer ebenen singularit~ten- freien C~ auf eine Fl~ehe des R 3 abzubilden gibt S e h o t t k y . ~) Er geht aus yon den 35 ungeraden Thetafunktionen yon der ,~ierten

Ordnung und der Charakteristik Null ~ ~B 0r~Zr~ wobei ~ ~,,( drei beliebig e der Charakteristiken (1), (2)~.. (7)sind. Dann kann man yon diesen Funktionen _F~Br = ~}~ [~Z ~}r ~}~Zr zeigen~ da{5 immer Nnf yon ihnen linear abh~ngig sind~ unter der Voraussetzung~ dug % = 0 ist.: Vier linear Unabhangige unter ihnen proportional gesetzt den vier homogenen Punktkoordinaten eines linearen R,

px~--~Fr (i-~- 1 . . , 4),

ergeben eiue Parameterdarstellung fiir eine Fl~ehe~ die mit S~ bezeiehnet werden soil. Die Ordnung derselben ergibt sieh dureh Aufsuehung de r Anzahl gemeinsamer Ltisungen yon ~o ~ 0 und zwei gleieh Null gesetzten Linearkombinationen der 2~. (i ~-- 1 . . . 4) ; sie betrttgt naeh d e m P o i n e a r ~ s e h e n Satz 3!.4.4-----96, sber davon sind soviel abzuzi~hlen~ als es gemeinsame kritisehe fttr die ~o un4 alle F ~ r gibt; es ist leieht zu sehen~ daI~ alle ungeraden Perioden kritiseh sis)d, d a g aber (1)~ (2) . . . (7) for jedes F eine dreifaehe Nullstelle~ alle anderen, das sind die 21 Kombinationen zu zwei~ einfache Nullstellen sind. IV[an hat also 7 . 9 @- 21 ~-- 84 gemeinsame kritisehe Halbperioden~ z~eht man sis yon 96 ab~ so

1) Comptes rendus, Bd. 120~ S. 425. ~) S c h o t t k y : Crelle Journal, Bd. 105~ pag. 269.

U~ber ellip~iseh-hyperelllptlsehe Fankt~onea. 1~5

1 ergibt sieh fttr die Ordnung ~- ( 9 6 - - 84) ~- 6. Den 28 ab-

gezogenen halbert Perioden entspreehen 28 Kurven~ and zwar sind sieben yon ihnen kttb~sehe Ranmkurven~ die 21 tibrigen Gerade. Je seem Kurven und je seehs Gerade gehen dutch einen Punkt,

1 (24 -- 24) = 0 t~ denjenigen namlieh~ der sich als Kurve yon der -~-

O r d n u n g darstellt~ die man erhglt~ wenn man eines der sieben 0~ (v = 1 . . . 7 ) g l e i e h Null setzt. Jeder dieser Sieben Punkte ist ein dreifaeher far die S~, das ergibt sieh ebenso wie bei H u m - be r t . Was die Konfiguration dieser 28 Ausnahmekurven anlangt~ so kann man sieh leieht Mar machen~ daf5 es die 21Verbindungs- linien j e zweier der sieben dreifaehen Punkte sind und die sieben dureh je seehs der Punkte hindurehgehenden kubiseJaen Raum- kurven. FCihren wir die Bezeiehnung ein~ dug der Punkt l)~ -~- 0 (v -~- 1 . . . 7) (4) heigen mOge, dann definiert .jedes l)~p auf

1 (24 -- 16) ~-- 4 te~ Ordnung der S~ eine Kurve yon der vierten -2-

und man sieht leieht ein~ dag diese 21 Raumkurven stets durch jene fiinf Punkte "h 8, %~, ~i gehen, die der zweigliedrigen Kom- bination (a~) nieht angehSren. Die 35 G/~r definieren endlich

Kurven yon der ( 2 4 - - 18) ~- ~I te~ Ordnung, diese ]iegen in der

Ebene F ~ = 0 und gehen jedesmal dureh die Punkte ~, ~ "r. ErwManenswert ist noeh die geometrisehe Deutung~ die

S e h o t t k y der S~ gibt; hat man sieben Punkte im Raum~ so bestimmen dieselben ein Netz yon Fl~ehen zweiten Grades. Stellt man sieh die Aufgab% dutch einen beliebigen Raampunkt und die sieben vorgegebenen e ineFl~ehe vierter Ordnung mit ~Doppel- punkten in den aeht Punkten. zu legend so besitzt diese Aug gabe im allgemeinen ec 2 LSsangen; das lehrt die einfaehe Ab- z~hlung~ dag eine Fl~tehe vierter Ordnung yon 34 Konstanten abh~tngt und die Ferderung~ aeht Doppelpunkte zu besitzen~ far 4 .8 = 32 ~Bedingungen zahlt. Die L~sungen sind ganz einfaeh die c ~ P a a r e von Fl~ehen zweiten Grades aus dem B~isehel dutch den Raumpunkt und die sieben vorgegebenen, es sind also zerfallende~ die stets eine ganze Kurve vierter Ordnung zur Doppel- kurve haben. Soll es abet mt~glieh sein, du tch den Raumpunkt und die sieben Punkte eine n i e h t zerfallende Fl~tehe zu lege~, so ist dazu eine besondere Lage des aehten Punktes notwendig~ and zwar mug er auf einer S~ s ]iegen mit dreifachen Punkten in den sieben festen. In diesem Sinne ist die S ~ 2 ein gewisses Analogon zur W e d d l e s e h e n Kegelspitzenflaeh% ein Umstand~ der yon S e h o.t t k y besonders betont wird:

Kommen wir nun zu unserem Ausgangspunkt zuriick~ das dutch zwei gleich Null gesetzte Thetas yon drei Argumenten be-

8*

116 PauI Roth.

stimmte Gebilde za definieren~ so ist dureh das Vorhergehende diese Prage erledigt. Sowohl auf der H u m b e r t s e h e n als auf der S c h o t t k y schen Pigche erhiehen wir eine Reihe elliptiseher Kurven~ tells waren es ebene Karven dritter Ordmmg~ tells Raumkurven vierter Ordnung; die Kurven sind doppeh ttberdeckt~ denn die betreffenden ~annigfaltigkeiten sind es, dadurch~ dag Argument,s erten~ die sich blol~ am das Vorzeichen unterscheiden~ derselbe Punkt entsprieht~ und diese Doppeltiberdeckung ist verzweigt in den Punkten respektive Kurven~ die den halben Perioden entspreehen. Man hat also dareh Nullsetzen zweier Thetas ein elliptisch-hyperelliptisehes Gebilde mit zw~lf Verzweignngspunkten~ denn zwei ~}i~ haben zwSlf kritisehe halbe Perioden gemein. Wie hsngen nun diese Gebilde yore Geschleehte 7 mit den Thetafunktionen yon drei Ver~nderliehen zusammen~ die zu ihrer Darstellung verwendet werden. Diese Frage ist nun vorgreifend den spateren Auseinandersetzungen dahin zu beantworten, dal~ auf dem Gebilde vom Geschleehte 7 neben dem elliptischen Theta noch zwei Systeme yon Thetafunktionen yon je drei Vergnderliehen existieren~ und dal3 jedes dieser Systeme das gleiehe algebraisehe Gebilde yore Gesehlechte 3 bestimmt, wie die Funktionen der Darstellung.

l\~an hat also eig'entlich den elliptiseh.hyperelliptisehen Fall von seehs Verzweigungspunkten und die Zahl zwSlf trkt nut infolge der noehma[igen unverzweigten Doppeltiberdeekung~ auf die wit also wieder stol3en, in Erseheinung.

Bei den beiden Flgehen hatten wit gewisse Ausnahmsf~ll% indem einzelne Thetas nur singulSre Punkte der Mannigfalti.gkeit definierten~ und wit erhielten nieht 63 elliptisehe Kurven, wm es zu erwarten w~tre, sondern nur 62 hei t t u m b e r t and 56 bei S e h o t t k y , eine Tatsaehe, die sich aus der Bevorzugung" gewisser Gruppen yon Charakteristiken erklart. Von d.iesen Ausnahmen ist jene Darstellung frei~ die man erhslt, wenn man mit W i rt ing e r 1) aeht hnear nnabhanglge g hetaquadrate proportional setzt~ den aeht homogenen Punktkoordinaten eines linearen R 7

pa;~ - - ~ (~t, ~ , u~), (i = i, 2 . . . 8 ) Dadureh ist eine dreidimensionale ~[gnnigfaltigkeit yon der

Ordnang �89 2 . 2 . 2 - - 2 4 gegeben, die als M~ ~ bezeiehnet wird. Irgend ein ~. gleieh Nail gesetzt bertihrg diese I~/~ 4 lgmgs einer zweidimeasionalen gan z i n einem linearen Rs geley.enen Mannig- faltigkeit ,on der zwSiften Ordnung, and diese 21/~ ~ wird dann yon jedem gleieh Null gesetzten i)~ l~tngs einer ganz in einem linearen Rs gelegenen Kurve seehster Ordnung beriihrt. Man:erhalt also auf tier d~reh ~k : 0 definierten M~ ~ der Reihe naeh 68 elliptische Normal-Cs des Rs, Dal~ jedes dieser Gebilde doppelt iiberdeekt ist mit zwSlf Verzweigungspunkten ergibt sich ebenso wie oben.

~)' G~Stfinger Nachrichten~ 1889~ pag,, 474,

Uber elliptlsch-hyperelliptische Funktlonen. 117

w

Naeh diesen einleitenden Betraehtangen fiber den Fall yon seehs Verzweigungspunkten~ wenden wit uns der allgemeinen Theorie zm Wi t haben in diesem Fall eine elliptisehe Kurve mit 2 n Verzweigungspunkten doppelt zu /iberdeeken. Im allgemeinen Fall wollen wir als definierencles algebraisehes Gebilde die elliptisehe Normal-C,~ des R,~_~ nehmen, ihre Parameterdarstellung ergibt sieh bekanntlieh dadureh~ dal~ man n li, ear unabh/~ngige 0-Funktionen n ter Ordnung mit der Charakteristik [0] proportional setzt den n homogenen Punktkoordinatrn des R,,-1

px~=O~(u). ( i = 1 ,2 . . .n )

Zwisehen dan quadratisehen Verbindungen des x~. gibt es bekanntlieh ~ n (n--3) linear unabh/~ngige Relationen~ die ~Iannig- faltigkeiten zweiter Ordnung yon (n--2)-Dimensionen M~)_2)darstellen und die in ihrer Gesamtheit die C,, rein zum Aussehnitt bringen. Im R,~_I sei augerdem eine yon den definierenden M,(~2_~ unabh~ngig% nieht zerfallende ;,~,~-2az(2) dutch die Gleiehung

K(z~, z~,...x,,) = o (1)

gegeben~ sie sehneidet die C~ in 2 n Punkten~ und wit dt~rfen ohne die Allgemeinheit des Problems irgendwie einzusehr/mken, annehmen, dal3 diese 2n Punkte die Verzweigungsptmkte der Doppeltiberdeekung sind>) Die 2 n Punkte der Kurve n/~mlieh sind dutch 2 n Werte des elliptisehen Integrals u~, u~...u2,~ eharakterisiert~ sei dann u o gegeben dnreh die Gldiehung

2 n U o = U ~ + u ~ + . . ' �9 T u ~ , . (2)

so kann man das parallelogrammatisehe Cxitter in der u-Ebene immer so versehieben~ dal~ u o in einen Perioden-n ~e'- Pnnk t zu liegen kommt, damit ist abet aueh erreieht~ dat~ die 2n Punkte Durehsehnitts- punkte einer qnadratisehen 5Iannigfaltigkeit sind?)

Das so definierte Gebilde hat das Gesehlecht:

p : 2+~-- i =n+ 1. (3)

1) Die F~lle n : 2 und n = 1, ffir die diese Bestimmungen keinen Sinn haben, sollen dabei als Grenzfalle yon n = 3 erkl~rt sein; die 4 resp. 2 Ver- zweigungspunkte der be~reffenden F~lle sollen auf elner ebenen 6~ durch Kegel- sehnitte, die ein- bezw. zweimal beriihren, ausgeschnltten werden. L~l]t man anderseits mit Rficksicht auf die in w 1 vorffetragenen Er~rterungen auf tier ebenen G den Kegelschnitt ~s uncl damit auch ~h der Reihe nach einmal resp. zweimal bertihren, so erh~lt die Kurve vierter Ordnung, die zum Gebilde gehSrt, nacheiaander einen bezw. zwei Doppelpunkte und die auf diesen elliptisch- hyperelliptischen Gebilden yore Geschlechte 5 bezw. 3 existierenden Thegns yon zwoi and einer Verf~nderlichen~ wie sle sich im Veriuaf der weiteren ErSr~erungen ergeben werden, geh~ren zu der betreffenden hyperel!iptischen resp. elliptischen C 4,

"0) Man sehe auch Scho t tky : Crelle 106, w 3.

118 P a u l Roth.

Es existieren auf ibm n @ 1 linear unahhitngige IntegraIe erster Gattung; erstens das elliptisehe integral u-=fdu nnd zweitens n Integrale u~. (i ~--- 1. : .n)~ die die eharakteristisehe Verzweignngs- irrationalitat ]/K(x)tragen werden - - die Quadratwurzel ist nattirlieh in einem Exemplar der Kurve positiv~ im anderen negativ zu nehmen; setzen wir dieselbe arts bekannten Grttnden in den

du Nenner des Integranden~ so ist ]/K(x----~ eine Differentialform yon

der ( - -1)~Dimension; soll diesetbe, wie es ja sein muB~ yon der 0 Ce~ Dimension werden~ so hat man sie mk einer beliebigen Linear- form in den xx (i = 1 . . . n ) zu multiplizieren. Bezeiehnen wir eine solehe mit R,~_s (x) oder aueh kurz mit R(x), so sehreibt sich das allgemeine Integral ~ in der Form

/" (0 tt (x) u ~ - - ~ = d ~ ( i=l ,2 . o.n) (4) J IlK(x)

Gleieh Null gesetzt~ stelh ein R (x) einen linearen Raum yon ( n - - 2 ) Dimensionen dar und irgend n linear unabhsngige R (~ reprasen- tieren das System der akzessoriseh hinzutretenden Integranden erster Gattung~ far ~ 3 heiBt da 5 die Integranden sind drei nieht dureh einen Pankt gehende gerade Linien der Ebene, wie bereits frtther erw~hnt nnd beni~tzt.

Als eharakteristisehe R ie m a n n sehe Mannigfaltigkeit legen wir der Untersuehung zwei Tortxsse T~ and Tzz zu Grunde; die beiden Fl~;ehen seien dureh 2n Verzweigungspunkte miteinander verbunden. Bei dieser Doppeltiberdeekung sind i wie iiblieh die 2n Punkte~ die stets mlt 7ro~ 7q . . . ~,,~_~ Dezelehnet werden, paarwe se verbunden % mit ~1~ % mit 7rz, ~:~ .... ~ mit ~r2~,_~, l~tngs derselben T x und ~ t aufgesehnitten u n d krenzweise aneinander geheftet. Diese (2n-}-3)-faeh zusammenhttngende Flaehe, die wit mit F} ~+~) oder aueh kurz mk F 1 bezeiehnen~ zersehneiden wit in folgender Weise in eine einfaeh zusammenh~ngende. Zwei Quersehnittpaare al~ b t und a,~+i~ b,~+~ brauehen wir zur Zersehneidung der beiden Torusse~ dabei bedeuten al~ ~,,+1 parallel tibereinander laufende Breitekreis% bl, b~+~ die entspreehenden Meridiansehnitte in T z resp. Tzz. Naeh Anlage dieser. Sehnitte haben wir eine Doppel- t~berdeekung wie im"gew~hnli2hen" hyperelliptisehen Fall yore Gesehleeht p : ~ z - - !, die wlr wm gewshnlieh zn behandeln haben. Wit legen in ~/), den wit aneh bisweilen als den oberen Toms bezeiehnen werden im Gegensatz zu dem in ihm Iiegenden unteren Toms Tzz ~ ~ - - 1 die Verzweigungssehnitte r.~ -- %, % ~r~ s

. �9 .~2,~-~ - - ~,~-~ umkreisende Quersehnitte b. 2 ~ b~ . . . 5~ nncl yon je einem ihrer Punkte je einen Querschnitt ct~ ( ~ 2 ~ 3 . . . n)~'der teils in T z teils in Tzz verlauft. Die Quersehnltte a~ treffen s~tmtlieh den die Punkte % und ~ verbinclenden Verzweigungssehnitt.

Uber el!iptisch-hypereliiptisehe Funktionen. 119

Die d u~ haben an en tspreehenden Punk t en yon T z and TII entgegengesetz t bezeiehnete Wer t% entspreehend dem Umstand 7 -

dal~ in T e ] / K positiv, in ~/)i dagegen nega t iv genommen werden soil. Zwei solehe P u n k t e sollen konjug ie r t beztiglieh I /K- oder aneh

kurz r e 1 a t i v k o n j u g i e r t e P n n k t e genannt werden ; bezeiehnet man den einen yon ihnen mit x 7 so soll dee andere mit x bezeielmet werden i fa r die In tegra le gilt die t~elation

Y y

wahrend far das elliptisehe In tegra l

x

gilt. ~

W i r bezeiehnen nun die Per ioden des elliptisehen Integrals u an den Querschni t ten a,, mit my ( v = 1 . . . ~ z @ 1), and die an den b~ mit (,,~+~+~ ( v = l . . . n @ l ) 7 die Per ioden der u~. mit mi,~ resp. mit m,.,,,+l+~. Dann ergeben sigh sofort eine Reihe von Reduk t ionen i bez(iglieh tier (,~ ist za b e m e r k e n 7 dag sie fa r

----- 2 . . . ~ s~tmtlieh gleieh Null sind 7 da j a die beztigliehen Quer - sehnitte auf Tz~ das bereits zur Definition yon u ausreieht~ au f Null za sammenz iehba r sind. Wel te rs i s t % - - - - - - (~,~+~ wenn wit mit S e h o t t k y die bier reeht zweekmSl~ige Vere inba rung treffen 7 dal3 die Durehlaufungss inne in t tbereinanderl iegenden Quersehnit t - paaren zueinander entgegengesetzt sein sollen; dementspreehend ist (,,~ + ~ + ~ ~ 0 (v -~- 2 . . . n) and ~,~ + 2 -=- - - m~, + 2. Analog ergibt sigh ffir die m,,r

~oi,~ = ~',,~,+~ (i = 17 2 . . . n)

and ~i,,~+2 --~- ~',.2,,.+ ~ ( i = 1~ 2 . . . n)

�9 1 u l~Iultiplizieren ww das Integ'ral u mit - -7 s e t z e n - = v ~ vers tehen

(D 1 (1~ 1 welter nnter ~ die GriJ~/e

curt-I-2 _ _ 7~ ( ~ )

(1) 1

setzen des wei teren die Gleiehungen ein

= v (i = 1 . . . (7 )

120 Panl Rotb.

und definieren die n s @rOgen z~ ctureh die Gleiehungen

so erhalten wit fiir dieses neue System yon n-~-1 linear unab- h~tngigen Integralen erster Gattung das naehstehende Perioden- schema :

v _1 i

v~ 0 �9 0

v~ 1 0

vo_ o o i

v,, 0 0 0

a a~ . . . . a._~a,~a,~+~ bt b~ . . . . b, ,_a b,~ b,~+~

o[ . . . . i o o . . . . o o

0 1 T11 T12

0 O, ~ z~

0 T~,t. 1 T~

' �9 * Tl.n---I TI,

�9 . �9 T2,~-- ] T2,

�9 �9 �9 ~-- I~ ~l-- ~--

TI 1

T~, 1

7% 1

l~lit Hilfe der bekannten Ri e m a n n sehen Bilinearrelation zwisehen den Perioden zweier Integrale erster Gattang ergibt sieh: dal~ fttr

]g :=~ 1, 2"~k, 1 ~ "ffl, k3 (9)

sonst

ist.

( ~ 2 . . . ~ ) (10)

Infolge dieser Unsymmetrie fiir den Index 1 wird es anch nieht mSglich sein~ mit dem Schema der z~k~ wit es oben ange- schrieben steht~ Thetafanktionen yon ~, Veri~nderliehen za bilden, sondern mart wird hieftir das Schema~ wie es unmittelbar gegeben ist~ ablindern mttssen dadureh; dal~ man die erste Kolonne mit 2 muhipliziert~ also zur Bildung yon Thetafunktionen yon den $olgen- den Thetamoduln ausgeht

~2 T l l ~ T1~2 �9 . . T l ~ r ~ - - l ~ '1~1~ :~,

~ T 2 ~ 1 ~ "~'~, 2 �9 �9 �9 T 2 , ~ - - 1 ~ ' ~ 2 ~

(~,k)

Uber ellipgisch-hyperelliptlsche Funktionen. 1~[

Bildet man mit dieser symmetrisehen Ti, k-Matrix~ die quadratisehe Form

we die Gri313en m~ n reelIe Zahlen sind~ so zeigt sieh~ dal3 der imagin~tre Tei[ yon (12) wesentlieh positiv ist~ dal3 also die Bedin- gang far die Konvergenz der ~ (v - - e, ~,k) erfallt ist. Das System der Funktionen ~ (v - - e, T~,x.), das wir als zur Klasse der el!iptiseh- hyperelliptisehen Fanktionen im engeren Sinne gehSrig bezeichnen wollen~ Wird uns hier vornehmlieh beseh~tftigen, w~hrend wit die neuerclings yon S e h o t t k y und J u n g 1) eingefahrten Funktionen

F l r 7

mit dem gleiehfalls symmetrisehen Schema der ~ beiseite lassen

wollen. Das System der ~}(v--e~ T~k) wollen wir aueh kurz mit

q0 (v - - e ) bezeiehnen and sehliegen uns damit der Bezeiehnung an, die S e h o t t k y far diese Funktionsklasse in Verwendung bringt. "~)

Das System der q~ ( v i - ei) Funktionen hat die Eigenttimlieh- kei~ da;~ auf der J~ Perioden der Argumente der Funktion existieren, die blo13 halbe Perioden der Funktion sind, es kommt also bei I)ber- sehreitung yon b~ und b,~+~ vor~ dal3 die ~ (vi--e~), abgesehen yon einem Exponentialfaktor in die ganz neue analytisehe Funkdon ~.~ (v~- e d ttbergeht, wenn wit unter ;z die halbe Periode mit der

100 . . . 00 verstehen. In diesem Sinne kann Charakteristik 0 0 0 0 0 man

wohl sagen~ dal~ die ~ (v~--ei) Nr sieh allein gar nieht zur F 1 gehi3rt, sondern erst das Paar ~ ( v ~ - e~)~ (vi--e~.). Zwei so einander entspreehende q0-Funktionen wollen wir in Hinknnft ein Paar verwandter Funktionen nennen, wobei der Begriff der Verwandt- sehaft yon dem analogen S e h o t t k y s darin abweieht~ dal3 er sieh blol~ auf die q~-Fanktionen allein bezieht, und nieht wie dort auf die R i e m a n n sehen Thetas alter (n --1- 1) Ver~tnderlieher. Wollten wit nun in der Ri e m a n n sehen Manier naeh den eharakteristisehen

/ \ X

Eigensehaften der ~(fdvx--ex)fragen, so miil3ten wir notwendiger-

weise Paare verwandter Funktionen der Untersuehung zu Grunde legen. Viel nat~irlieher und einfaeher ist der Weg~ der nns auf einer transformierten Ri e m a n n sehen Mannigfaltigkeit das System der T~k als das eharakteristisehe System der Periodizit~,ttsmoduln direkt gibt; das leistet aber~ wie wit im n~ehs~en Paragraph sehen werden~ noehmalige unverzweigte D.oppelttberdeekung~ und zwar entspringt hier die Notwendigkeit derselben einem rein formalen Ges!ehtspunkt.

x) Sitzungsberichte tier Berllner Akademie, 1909~ pag. ~8"2. 2) Crelle Journal, 106, pag. '218.

192 Paul Ro~h.

w

Wir nehmen also aui3er dem zersehnittenen Exemplar ~1 noeh eiu zweites ihm vollst~tndig kongruentes Exemplar /72~ die Quer- schnitte bezeichnen wit zero Unterschied yon den auf F 1 gelegenen mit Akzenten~ also a~, b',. Wir haben dann im ganzen vier Toruss% erstens T• and Ts~ ~ die zusammen E1 bilden und zweitens T~• z und Tzr~ die Verzweigt doppelt ttberdeekt mit Verzweigungspunkten in =;, = i . . . ~,~-1 die ~:2 ausmaehen.

Wir ftigen nun clad reehte Ufer yon bl an das linke Ufer yon b 1 end entsprechend das linke Ufer -con b;~+~ an dad reehte Ufer yon b~+~ - - diese Vertaudehung yon links und reehts entsprieht underer fi4theren Vereinbarung fiber die Riehtungssinne. Dadureh erhalten wir ein dreifaeh zusammenhi~ngendes Fl~tehensttiek~ welches wit nun dutch noeh ein Quersehnittpaar in ein eiufaeh zasammen- h~ngendes zu zerlegen haben. Dieses nene Paar, das wit vorlSufig mit a, b bezeiehnen, legen wit folgendermageu, den b-Sehnitt ffihren wit als einen alle Verzweigungspunkte ~ (v = 0, 1 . , . 2 ~ - -1 ) v o n k ] umgebenden~ ganz in T~ verlaufenden ein; yon einem seiner Punkte ftihren wir a, lassen ihn in T m gehen, dann fiber den die Pankte ~ - ~[ verbindenden Verzweignngsschnitt zun~ehst in T~v~ dann in Tiz ~ibergehen~ nm sehlieglieh fiber den die Punkte % - % verbindenden Verzweigungssehnitt zu seinem Aasgangspunkt zurfiek- zukommen.

Dei" Quersehnitt a 1 gibt mit a~ verbunden einen einzigen Qaersehnitt, den wit A 1 nennen wollen, der dazu gehSrige b-Quer- schnitt setzt sigh aus dem linken Ufer yon b~ und dam reehten Ufer yon b~ zusammen end soll B~ heigen; analog" ist es far a.~,~-~ and a[,+~, die wir uns zu A ,+I verbunden denken nn4 fahren fttr den aus dem reehten Ufer yon b;,+~ and dem l inken Ufer yon b~+~ sieh zusammensetzenden Quersehnitt die Benennnng B~,+~ ein. Dann setzen wir wel ter far a~, b 2 ; . . , a~ b,~ beziehungsweise

A �9 . . . . ' ' J A .2, B s ; ... A,~ B~; far a~ b~...a,.,,, b,~ redp. A~,+2~ B,~ ~-2... ~,~ Bs,~ und sehlieglich ftir a~ b; A o. B o. Das qaerschnktssystem, soweit es sieh auf die =~-Verzweigung:spankte bezieht~ ist dar~n dutch das anf S. 125 folgende Schema veransehaulieht.

Die so erhaltene einfaeh zusammenh~ngende Flgehe bezeiehnen wir mit /~:, die Anzahl ihrer Qaersehnittpaare ist 4~n @ 2, sie ist also vom C~esehleehte 2~r wie es ja sein mnl~, d a sic aus einer Flache yore Gedchleehte n @ 1 dnreh unverzweigte Doppel- tiberdeekang ents~anden ist.

Die 2n @ 1 Integrale crater Gattung sind erstens die n @ I bereitd erwghn~en Integrale v, vt, vs . . . v~,~ dann treten noeh n hinzu~ die wit vorlgnfig mit wr (i ~ 1 . . . n) bezeichnen; dabei ist ~;~. gegeben dutch den Ausdrnek

w ~ = . . . . . =d~ ( i = l , 2 . . . n ) , (1) �9 ]

Uber elliptiseh-hyperellip~isehe Funktlonen. 123

der Z~thler des Integranden ist eine Wurzelform zweiter Stufe und zweiten Grades in den x, die der langs der C~uersehnitte b i and b,~+i

durehgeftihrten Doppeltiberdeekung die Elementareharakteristik 10

tr~tgt~ nattirlieh auf das ursprfingliehe elliptisehe Gebilde bezogen. Die (I)(~)_~. (x) - - oder aueh kurz d) (i) (x) - - sind die G~ ttberall b~- rtthrende Mannigfaltigkeiten zweiten Grades yon der ( n - - 2 ) ~ Dimension~ es sind diejenigen Gebild% in die die R (0 (ibergehen wenn man auf die C,~ die involutorisehe birationale Transformation

1 v'-~-v@2- ausftihrt; die Anzahl der linear unabh~tngigen F ~

ist n, denn die Form versehwindet an ~ Stellen der C~ einfach, wie es ja sein mug. Im einfaehen Falle n = 3 sind die (I) eines der drei zur ebenen C a geh0rigen Ber~thrungskegelsehnittsystem% eine Tatsaeh% die wit sehon friiher bentitzt haben.

Die Wurzelform soll auf F~ positiv~ auf/~"2 negativ genommen werden. An zwei entspreehenden Stellen der F i and F s hat also eine V~-Werte mit entgegengesetztem Vorzeiehenl zwei so sieh entspreehende Stellen wollen wir konjugiert beztiglieh ]/O oder kurz a b s o l u t konjugiert nennen, im Gegensatz zu dem frLther eingef~ihrten Begriff des r e 1 a t i v Koniugiertseins. Ist der eine Punkt % so soll der absolut konjugierte Punkt mit x' bezeiehnet werden. Wit ftihren aul~erdem far ein Stellenpaar, dessen Punkte gleichzeitig relativ and absolut konjugiert sind, die Bezeiehnung k o r r e s p o n d i e r e n d ein und markieren diese Lage durch simal- tanes t{inzaftigen eines Querstriehs und eines Akzents. Liegt dana x in TI, so liegt x' in Tz~, liegt x in Tzz , so liegt x' in T~• nnd umgekehrt.

ttier w~tren noeh einig'e unmittelbar einzusehende Integral- relationen ztl erwshnen~ sind x uad y zwei Stellen in F~ dann ist bei passender Wahl der Integrationswege

" clv~ / 'dv~ (i 1 . . ~) (2) o, d y e - - - - - - - d v i ~ . - ~ - - - ~ .

and welter

E ~' 7 '

Wenn wir jetzt weiter daran gehen, die Perioden der Integrale v, v,.~ we auf F naher zu betraehten, so haben wir beztiglieh des elliptisehen Integrals zu bemerken, dal3 seine Perioden an A 1 und A,~+I resp. 1 und - - t sind, die Perioden an B~ und B,+~ bezw. 2~ u n d - - 2 5 denn diese sind ja dutch die Integrale fiber A 1

124 Paul Roth.

und A~+I gegeben und die Wege gegenfiber den alten l~ngs a~ und an+~ erstreekten verdoppelt, die Periodizit~tsmoduln an allen anderen Qnersehnitten sind Null.

Was die vi (i ~- 1 . . . n) anlangt~ so bleiben ffir A 1 und A,~+j die Perioclen die gleichen wie fr~iher an a 1 und a~+l~ die f~ir B 1 und B,~+~ verdoppeln sieh gegen vorher; die an A~ bis A~ B~ bis B~ stimmen mit denen yon a 2 und a~ b 2 trod b~ ttberein and sind resp. denen yon A~+2 bis A~,~, B~+2 his B2,~ gleieh~ wie arts (2) ersiehtlieh. An A o ist die Periode von v,i stets Null~ clenn B~ als Integrationsweg liefert keinen Beitrag~ da er sieh am Exemplar F1, auf dem ja die vs sehon definiert sind auf Null zasammen- ziehen l~l~t~ an B o sind die Periodizit~.tsmoduln der v~ gleieh 2 % ~ denn das ~ber A o erstreekte Integral l ~ t sieh auffassen als das vom Verzweigungspankt ~; his % und zctrfiek erstreekte Integral~ verlaaft aber der Integrationsweg einmal in den Torussen T z and Tzzz, so verlauft er beim Zurtiekgehen in ~z and Tiy ~ also fiber relativ konjugierte Stellensysteme. Daher ergibt sieh ftir

- ~ xe r

= = 1 , . . . (4) .]

Ao ~ o

aber [ dv~ ist genau die halbe Periode ~.,~ womit das angegebene o ~o

Resultat erklgrt ist.

Ffir die Perioden der w~ ftthren wit die Bezeiehmmgen A~,I, ( k = 0 , 1 . . . 2n) f~r d~e A-Schnitte und B~.,~ ( k = 0 , 1 . . . 2 n ) fttr die B-Sehnit te ein. ])ann ergibt sieh unmittelbar, dal~

Ai, k -~- - - A~, ~: +,~ (5)

und ebenso 2 ~. . . . . . ~ B~,~ = - - Bi, ~+.~ (5')

als Folge yon (3). Weiter ist B~,~ = Bi,~+t = 0 und A~,~ = Ai,,~§ dal~ bier kein Zeiehenuntersehied besteht~ ist eine Folge der Ver- einbarang fiber den Riehtungssinn~ der 0 -Wef t yon B~,~ erkl~rt sieh aus dem Umstand, dug mun bei Durehlaufung yon AI absolut konjugierte Stellenpaare, und zwar in gleiehem Sinne zu dureh- laufen hat.

Wendet man auf die Integralpaare v~ und wk die R i e m a n n- sehen Bilinearrelationen a.n, dann ergibt sich

- - 4 ~n Ai , x = 2 z ~ Ai , o~ (6) also

A~.,o=---2A,,1 ( i = 1 , 2 . . n ) . (7)

Ube r elliptisch-hyperelliptische Funktionen. 125

m

s

\ \ \ \ \ l

, l \ I \ I

\ I l I I l

/ I i I /

/ 1 1 / /

-->4... / \

\

,. + \

, e m = \ \ I \ I

I \ \ l /

| - \ I ! ,

I / . / / j~=~/ / / / / / / / ]r~..~ / ~ . s , . / / / /

126 Paul Roth.

Jetzt bilden wir ein normiertes System yon w-Integra len mit Hilfe der Gleichungen

n - - 1

g = l

(i = 1 . . . n) (8)

nnd definieren die n "~ Ortil~en x},~ dureh die Relationen

, . A g o , ~,

I = 1

I~ -- I

dann erhalten wit als Endsehema der Integrale % v~ w~ das folgende in der Tabelle zusammengestellte:

A 1 A~ A~ . . . An A o A,~+l A~+~ An+a -- A~.,~

o o o I o --i V

V 1

V2

I

1

0

0 1

0 V~ 0

wl 0 1

w2 0 0

. . ,

0

0

Wn

. . .

. . .

o

0 0 0 0

i o 0

0

1

0

ko

0

0

i

0 0

--I 0

0 --I

0 0

o t 0 0

I 0 . . 0 �9 - 0

�9 �9 0

�9 . 0 �9 . 0

�9 . 0 --I 0 0 2 --i

B i B~ B a Bn B o B n + i Bn+2 B~+a B2~

2~ O i 'O 0 --2= v

v i

v 2

V n

w 1

w 2

Wn

2r2 i

Z~' t , I

TI2 TI3

T2~ T23

Tn 2 T~ 3

TII

2 7 ~ i

�9 �9 �9 0

�9 . . T2~

�9 . . T~ n

F

�9 ' �9 % 2 , n - - 1

r

T~ 1

[ 0 0

TI2 TI3

T22 T23 [

~n 2 Tn 3

r r I ' O - - ~ 1 1 - - T 1 2 ~11 ~:12 ~1, ~'t

T2I T22 Z2~q~ 0 - - T21 - - T 2 2

o r r r r

[ . . . [ 0 �9 " �9 T1 ~

�9 " " T2n

�9 . . T n n

r

- - ~ 1 ~ ~ q z - - I

i Tt,--]

F . , I I ~ . ~ - - ]

Uber elliptisch-hyperelliptisehe ganktionen. 1~7

Wenn wir dis R i s m a n n s e h e n Bilinearrelationen auf zwei Integrale v~.~ vz anwenden~ so erhalten wit die arts bereits bskannts Tatsaehe, dal~ dis quadratisehe %k-Matrix~ wie sic sieh unmittelbar aus dem obigen Schema ergibt, symmetriscJa ist, dag also die im vorigen Paragraphen eingeNhrten q~ (v - -e ) zur F gehSren, wenn wir damit sagen wollen, dai3 jede Periode der Argumente aush eine Periods tier Funktion ist~ wie wit es ja erreiehen wollten.

Wenden wit die R i e m an nschsn Relationen auf zwsi Ints- grale w~ wz an~ so srhalten wir far dis n ~ GriSfasn ~}k

also Symmetric. Die quadratisehe Form ~ ~}~mimT~ hat positiven

imagin~tren Teil, wovon man sish leisht fiberzeugen kann. Also nieht nur die vs~ sondsrn aueh die u,~' gebe~ Anlafa zur Bildung yon Thetaftmktionen yon n Verlinderliehen; wir wollen sic zum Untsrsehied yon den frtiheren Funktionen als ,}-Funktionsn bezeiehnen~ also setzen

O(wl - -q~ %--es~ . . . w~--e,~i = } , k ) = , 5 ( w l - - q , . . . w,~--e,O. (11)

Wir werdenim tblgenden sehen~ dal~ die ~ nsben den ~ vollkommen gleichbereehtigt sind und dal] es daher vollkommen gs- reehffertigt erscheint, wenn wir sagen~ die ,5 sind slliptisch-hyper- elliptisehs Fnnktionen yon n Argumenten. Die r gehSren anderseits zu jener Klasse yon Funktionen~ die W i r t i n g e r im zweiten Teil seiner .yntersuehungen "I) studiert~ so dal~ man einfach be- haupten kann~ slliptisch-hyperelliptisehe Funktionen sind spezielle Fanktionen der W i r t i n g e r s c h e n Klasse. Es wh'd sieh also im weiteren im Grands nur daram handeln~ die yon W i r t i n g e r ausgsbildsten und srweiterten R ie m ann sehen Methoden attf un- seren 8pszialfall anzuwsnden.

w

Wit fragen uns nun naeh Zahl und Lage der Nullstellen

yon q~ "dvi--ei . Sic ist bekanntlieh als Funktion yon x bei

fsstgehaltenem y stetig and endlieh~ die Zahl ihrsr Nullstellen ist endlieh ftir sin allgemeines e-Wertsystem. Wenn x einen Quer- schnitt A~ tibersehreitet~ so bleibt p unge~tndert, bei Ubersehrsitung yon B~., B~.+,~ (z == 1 . . . n) tritt beidemal tier Exponentialfaktor

C \ -Y k k

1) Leipzig 1895.

128 Paul Roth.

vor, wenn wir mit T, wie sehon in w 3, die Moduln yon q~ bezeiehnen; an B o ist der Faktor

"~@ (feq-q)+ %,~) 8-- .v

+

/ Blldet man das Integral d log~ erstreekt positiv mn die Be-

grenzang 4on F~ so ist

/ dlog?~-2~i(~ { I dc~@ ['dv,~@2~i] dv' 1).. \ .~ ~ 'i ~ ,v ~ 1 ~?~ B n ~ ~, Bo I

(1)

Jedes der Integrale gibt als Beitrag 1~ blo~ das letzte Integral gibt Null~ also ist

+

. fd log ~ : 2 ~ i . 2 n . (2) F

x Die FuLnk~ion. ~ t/(~oo~-~et, ht=~t ~so ~m ~l~emeinen ~g]]~1~e~le][]~

die. wit mit ~1~ ~2 ,-- ~2~ bezeiehnen. Um ngheres fiber die Lage der Nallstellen zu er- fahren, bildet man das Integral

4- J(~) = f % d log ~.

F

Wir mfissen vorl/er noeh etwas dartiber sagen~ was wit hier unter pos{tivem and nega- tivem Ufer eines Quersehnittes verstehen; in der nebenstehen- den Figur sind die geknickten Pfeile zur Bezeiehnung des positiven Umlaufssinnes der Fl~che F hingesetzt, insofern

#r--

i Fig. 9.

Ap als be[ dieser Vereinbarung das Innere de," Fl~ehe zar Linken bleibt. Die gera4on Ps becleuten den Umlaufssinn~ wenn der Qnerschnitt als Integmtionsweg genommen

Ober el l ipt isch-hyperell lpt ische Fank t ionen . 129

wird, die stark ausgezogenen Ufer gelten dann als die positiven~ an ihnen ist v~ um die betreffende Periode grSl~er als am gegentiber- liegendea negativen Ufer. Ftir das Quersehnittpaar A,~+a~ B~+~ kehrt sieh die Figur um. Von einem A~ (v---~ 1 . . . n) rtihrt der Beitrag her

fly a~ Ar + (a)

=~.,~ fdlog ~,

0, I s : ~ die Marke ist im letzten Ausdruck wo e m ~ = l ~ K ~ v ist; a i l s g e -

lassen~ da lgngs A~ ~+ ~ - ~ - ist. Anderseits ist

+

f d log ~ = log r - - log ~- , (4) Av

wean log ~+ den Weft von log :p am positiven Ufer yon B. und log q~- am negativen Ufer von B. bedeutet; endlieh hat man

( ( " ) ) l og~+~-~- log~- - - r~ i T~,~-~-2 fdv.--e. @ 2 p : , (5)

folglieh ergibt sieh f~tr das Integral (3) der Wert

( ( f ) ) - % , , ~ i T~,~+2 ., d ~ - e , +2~; (6) Y

yon A,,+~ rtihrt der Beitrag her

( ( ? ) ) F~ir A o ergibt sieh kein Beitrag~ so dal~ der Gesamtbeitrag

ftir Ji~ yon den A gleieh ist

(? +7 ~ ) --2~iT.,~--2~i dr. j d% @2~i.2e.--2r~i ' -" % + ~), (7)

, pt~ und p~ sind uns unbekannte ganze Zahlen.

2~Iona~sh. fiir M~thematik u. Physik. XXIIX. Jahrg. 9

130 Paul Roth.

Von B~ (,~ ~-- 1 . . . n) kommt

fv d|og +.(v, elog =f av Xr By

es ist lttngs B~ stets

d log q~+ --- d log ~ - - - 2=i clv~, also

v~+~dlog~+.-~v~dlog~---2~iv~dv~--{-T~,~dlog~+; (9 )

ftir (8) erh~tlt man daher + +

)3 v B v

Es ist aber

und daher (10) gleich

+

f dlog~+~--2,%

+

yon B,~+~ erh~lt man +

J

Bv+n

yon B o den Beitrag +

27:i f v-~ dr1 - - 2 90 T~,I "zi.

Als Gesamtbeitrag aller B Querschnitte ergibt sich also

�9 ,~ + ~, + +

(10)

(10')

(11)

(12)

(13)

0bvr elliptisch-hyperelliptische Fankt ionen . 131.

m

Die Zahlen p und p sind wie vorher ganze Zahlen; far den § +

Index u---~v kOnnen wit" die Integrale ( v ; d % und ( dr. aUS-

% Bz+,~ werten~ und zwar ist

§ 1 2 2 =-2- (~,~ ( ~ . ) - v. (~,4 =

1 = ~ (v. (~.) + .~. (~,:))(% ( ~ . ) - % (%)); (~)

es ist aber v~ (~.) = ~ (~,) § 1

und daher +

" vT dv" 1 , = y [~ % (%) § lj = v,, (~.) + -~,

ebenso ergibt sieh +

1

B tt.~-n

(~5')

Ftihrt man diese Werte ein, so erh~tlt man als Sehlul]resultat:

2 ~ i ~

v ~ 1 ~ n + r Bo

(16)

Dutch ganz analoge Betraehtungen erh/~lt man ftir das Integral

+ &(~)~--- ( v d log q~+ (17)

9 ~

132 P a u l Roth.

den Wert

"+' f ( i s )

- p l + ( P 1 - 7 1 ) . s ~ ] bo /

und ebenso far das IntegTal +

,~ ---.. w, d log ": (~ = 1 . , . ~t) (19) F

den Betrag

~I y a,~ ( ~_ 1

~ , + ~ + r

+(~ .t "~:,~+~/~,:~,+ i,~'~v~/+ (~o/

+ ~ ( p , - - ' ' , ,_1, p..) ~ ........ i + pj. ,

fib ~ = n steht an Stelle der ersten beiden Glieder rechts,

dv i dv i - - ( 2 p o - - p i - - P i ) . , J

\ ~o (xo /

Ftthrt man die Bezeichnungen ein

/ \ ~, = 1//v /~nq-v Bo

~v- dv,-t- v-dv~

(Sl)

- k+"+l t ~ + '~ + + t /

Ober ellipfisch-hyperelliptische Funktionen. 133

so ergeben sich far die bier erredaneten Resultate die folgenden ]?ormeln

(~) ~ / dv ~_-0 (modd. Per.) .J

v ~ l g

2 n ~

(I) (z~) ]~ jd,o,=_ 2 ~ , + C (modd. Per.) ( ,= l . . . n ) ~ = 1 y

(I3) ~ / J , , v , , ~ ~, (modd. Per.) (?,= Z...n).

Die gleichen Betrachtungen sind jetzt ftir die Funktion

dwi~er durchzufahren. Die Funktion '4 d w - - e hat an \ ~ J /

den A~ tiberhaupt keine ]~nderung, an den Querschnitten B~ and B,+I aueh nieht, an den Querschnitten B, (v ~---2. . . ~) hat sie den Faktor

e -~ -

an B,~+~ den Faktor

an Bo:

) ) e -)

(c ) ) +

Biidet man /'dlog ~ so ergibt sich 2~i .2n. Die Funktion

verschwindet also in 2n Stellen~ die wir mit ~l~ ~ . . . ~2,~ bezeichnen. Bereehnen wir der Reihe nach die integrale

+

J~> = f v d log F +

~('~') ~ / v~, d log 2 §

J2 ~0 / w~, d log ,5, >

1 ~ Paul Ro%.

so erhalten wir unter der Voraussetzung~ dab wir noeh die Bezeiehntm- gen einflihren,

,~ + ~. + +

,~ + ,, + +

~,=2 B v , , = ~ B, ,+~ -Bo

a a-bn 2. . . 9~)

a~e (~a

~}v ~ = ~ / r /~o

(~.=1 ...,-1) K~= J u,2dw,,_:-- w;dw~_~-- ~Gdw,,

, , { ~ + )

(modd. Per.)

die folgenden Pormeln

a

(iI9 (zz~) ~ / d ~ , , , ~ (moaa. Per.) " = : ;J ( ~ : 1 . . ,n) .

(ZI~) ~ ["dw,~Se,@ K,, (moda. Per.)

Man sieht, dal~ in beiden Systemen yon Integralgleiehungen (I) and ([D nur immer eine Gruppe yon Gleiehungen auftritt~ die von dem e-Wertsystem wirklieh abhangt, w~hrend in den beiden anderen Gruppen die GrSBen % (v-----1...n) gar nieht vorkommen.

6 6 .

Aus den IntegrMgleichungen des vorigen Paragraphen lassen sieh nun pr~zise Aus~agen tiber die La.ge der Nullstellen der tp und Funktionen maehen. Wir beginnen mit der Diskussion der ~ Funk- tionen; dabei kommen die Integralgleiehungen der Gruppe ( H ) i n

l~ber elliptisch-hyperelliptische Funktionen. 135

Betracht. Zun~ehst vollkommen dem Gedankengang W i r t i n g e r s ~) folgend, ist zu bemerken~ dafi. die ~ / ~ ( v = l ~ 2 . . . 2n) jedenfalls dureh (H,3) als Fnnktionen der e~ gegeben sind und daf~ sie daher eine n-faeh ausgedehnte Mannigfaltigkeit bilden. Die Gleiehungen (H1) und ( I~) enthalten blol~ Integrale, die bereits auf der F~ detlniert sind, und da ihre reehten Seiten yon den e-Werten vollkommen unabh~ngig sind, so enthalten die LSsungen dieser Gleiehungen die eben genannte n.-dimensionale ~i-3{annigfaltigkeit. Faint man (H1) und (1/2) aber als) ein Umkehrproblem auf tier /~ definierend aut~ so hat dasselbe c, z 2 ' ~ - ~ - ~ + ~ c ~ - ~ + ~ LSsnngen, wo ~ die Anzahl der linear nnabhiingigen Integranden erster Gattung yon F I sind, die in den ~i~ versehwinden, and da die Dimension der ~ -SIannigfaltigkeit genau n ist, so mug} ~ 1 sein. Sind also die r~. die 2n Nnllstellen einer ~ ( w - e) and projiziert man sie alle in FI~ d. h. ersetzt man eine in F 2 gelegene Nnllstelle dnrch ihre absolnt konjngiert% so versehwindet an diesen 2 n Stellen eine Z" Form der / 7 ' wenn wit entgegen der sonst tibliehen Bezeichnung einen Integranden erster Gattang der F 1 mit .Z bezeichnen. Wir haben bei dieser Gelegenheit naehzutragen~ wle eine z - F ~ der F~ aussieht. Da das allgemeine Integral erster Gattung dnrch einen Ausdrnek yon der Form

~ ~ +c.~,~ § + c,~ v~ + ~ o ~ = / ~ R ~ + ~'~-~'~+~ol/gd~ (~)

gegeben ist, so sehreibt sieh die zugehSrige z - F o r m einfaeh

Bezeiehnet man die ~(-Form, die sich yon ~(c nur durch das Vorzeichen yon c o unterseheidet als die zu Xc konjugierte nnd sehreibt sie Ze, so dal~

zc = cl RI § c~ ~ § § c~, R~ - - c01/K (3)

ist, dann stellt das Produkt

x~ ~ = (cl R1 § ~ ~ § § ~,~ R~) ~ - ~ t;, (4)

das die Norm yon ~(~ heil]en m(ige, eine )Iannigfaltigkeit zweiter Ordnang yon der ( n - - 2 ) t~" Dimension dar. Die Ges~mtheit der

1 Nannigfaltigkeiten zweiten Grades bildet ein ~- n (n @ 1) - - l-faeh

unendliches Kontinuum, in ihm ist das ~ '~-Kont inuum der Normen yon z -Formen enthalten; wir wollen diese zum Unterschied yon

1) Wir t inger ,,Untersuchungen" 1. c. pag. 85,

136 Paul Ro~h.

den allgemeinen als X-Nann~gfaltigkeiten oder auch als zerlegbare Mannig faltigkeiten bezeichnen.

Eine x-Form der f'l mit ihren 2n N ullstellen versehwindet als Z der F betraehtet aueh an den absolut konjugier~en~ in F s gelegeneu Stellen~ im ganzen also an 4n Stellen; bildet man die Gesamtheit der Aufteilungen dieser 4n Stellen auf die beiden Exemplare t71 und F 2 zu 2n, so dug immer nut die eine der beiden Stellen des Paares konjugierter Stellen genommen wird, so w~re zun~ehst jade dieser 2 ~'* Aafteilungen als mSgliehes N~lllsteilen- system einer ,5-Ftmktion in Diskussion zu ziehen~ aber eine nshere Betraehtung lehrt s0fbrt , dug das System dieser Aufteilungen in zwei wohl zu unterseheidende Klasseta zerfgllt. Sieht man n~mlieh die Integralrechnungen (]21,) und (IIs) als ein Umkehrproblem auf der F 1 definierend an, so hat man jede der Stellen S, in F1 zu projizieren, wenn sie night a priori in F 1 lipgt; jedem einzelnen solehen Projektionsverfahren entsprieht eine Anderung der anf der rechten Seite stehenden Konstante K rasp. K~ um die halbe Periode

$ q l ~ f

~ . Je naehdem also die AnzaM der in )~'l und bezw. T %,!~---

damit aueh in F~ gelegenen Stellen ~ gerade oder ungerade ist, geben die 2 ~ Verteilungen zu zwei wohi versehiedenei1 Konstanten Anlal3~ die sieh um eine halbe Periode voneinander unterseheiden. Nar die eine yon ihnen stimmt mit tier dureh die Integralgleichu~gen gegebenen Konstanten tlberein und die zu "dieser Konstanten g'e- hSrige Klasse yon Aafteilungen ist als Nullstellensystem einer +. (w ~ e) m Sglieh, die andere kommt ganz auger Betraeht.

Man kann diesen Verh~ltnissen nun aueh folgendermal3en n~ther treten: Die Stellen % sind als Nullstellen airier nieht identiseh versehwindenden Thetafunktion dureh die Gesamtheit der Integral- gleiehungen (II)~ wenn night eindeutig~ so doch hSehstens endlieh vieldeutig bestimmt; sie durfen im a[igemeinen korresidual nieht versehiebbar sein~ d. h. als Nullstellen einer Thetaf~mktion erster 0rdnang k~Snnen sie nieht die einzigen Unendiiehkeitsstellen einer rationalen Funktion yon F sein.

Wenn man nun mit W i r t i n g e r die Frage stellt, unter weleher Bedingung e iu lediglieh dutch die Integralgleiehungen gegebenes Stellensystem korresidual versehiebbar ist, so erhSlt man als Antwort, es mttssen die mit den 2n GrSger~ % gebildeten 2n linearen Gleichungen

i ~ l i ~ l

in den 2n @ 1 Unbekannten z und ~, eine yon Null versehiedene LOsung besitzen. Dazu ist bekanntlieh notwendig: dug s~mtliehe Determinanten der Matrix

I %), i (6)

(;'her elliptisch-hyperelliptische Funktionen. 137

versehwinden. Die Untersaehung reduziert sieh auI die Betraeh- tung der Determinante A der ersten 2n Kolonnen; denn die De- terminante~ bei der anstatt einer Kolonne R~(@ ( X = 1 , 2 . . . 2 n ) der Ausdruek ]/K(Tz) steht, unterseheidet sieh yon A nur um eine multiplikative Konstante, da wegen der Eigensehaft der % auf einer Z zu liegen~ die Relationen

c~ R~ (7,.) + c.~ R~ %) @ . - - c,~ R~ (7,.) -5 co VK(7b = 0 (7)

0, = I , 2 . . . 2 ~) bestehen. Die Determinanten, in denen samtliche n - 5 1 letzten Kolonnen yon (6) vorkommen, verschwinden stets wegen (7).

Nehmen wit" also

(s)

und fassen zun~chst 71 als variabel auf~ so stellt h (7,) eine rationale Linearform am unverzweigt doppelt tiberdeckten elliptischen Ge- bild% wie es sich durch Verbindung yon T z und 5r~iz allein ergibt~ dar, also ohne Rfieksieht auf die verzweigte Doppel~iberdeekung~ so dal~ s~mtliehe in T• und Tz~, gelegene Stellen dutch ihre relativ konjugierten zu ersetzen sind. Nan kann das etwas anders aueh so ausdrtieken~ h (72) ist rational in dem Periodenparallelogramm mit den Seiten 1 und 2r~ das also gegenfiber dem ursprfinglichen zur Normal-C,~ gehSrigen verdoppelt ist. Bilden wit za dieser Form~ die wit sehreiben kOnnen

A (~) = R (7~) + " Y ~ ) , (9)

- - dabei fassen wit mit den ohne Index gesebriebenen GrSl~en R und ] / ~ die bez~gliehen Linearverbindungen in den R~ und ] / ~ zusammen - - ihre Norm, also

a ( ~ ) . X (7~) = (R (7~) -5 x ~/*--~.)) (R (7~) - - z ~/+ (72)) ( l o )

= R~ ( ~ ) - - ~.-' ~ ( ~ ) ,

so stellt (10) eine Nannigfaltigkeit zweiter Ordnung dar, and zwar genau die zerlegbare Mannigfaltigkeit Z~. X~. Nun versehwindet A (~) an den 2 n - - 1 Stellen ~2~ 73.--72~, wie aas ihrer obigen Deter- minantendarstellung hervorgeh b dureh diese 2 n - - 1 Stellen ist aber

138 Paul Roth.

ihre letzte Versehwind~ngsstelle vollkommen bestimmt. Steht also in der ersten Zeile yon (8) die 2n *e Nnllstelle der dureh die in den restliehen Zeilen stehenden ~ , 7a , . - -~2 , his auf eine multiplikative Konstante wohl definierten rationalen Linearform, so versehwindet der Ausdruek (8), steht abet in der ersten Zeile die zu dieser Nullstelle absolut konjugierte, darn wird der beztigliehe kusdruek A yon N~ll versehieden seln.

Das lediglieh dutch die Integralgleiehnngen (H) definierte System yon Stellen 7~ ist immer dann korresidnal versehiebbar, wenn die betreffenden 7, (v = 1 . . . 2n) projiziert in die dareh T• trod T m gebildete Torusfliiehe die Nullstellen einer rationalen Linearform R (~) @ z V-6 (7) sind, deren Norm R' @) - - ,a * (7) die zerlegbare Nannigfaltigkeit Z~.7~ ~ -darstellt; ist alas System tier ~,, so gelegen, dag es keine ZerlegungsmSgliehkeit Nr die dureh X~.Z~ definierte Mannigfaltigkeit im Doppelparallelogramm bestimmt, darn ist das betreffende System im allgemeinen korresidual nieht verschiebbar. Die erste Klasse yon Verteilungen~ ftir die eine Zerlegung m(Sglieh

. ist~ wird als Nullstellensystem der ~ ( w - e) iiberhaupt nieht in Betraeht kommen~ wircl also ein unmtigliehes Nullstellensystem der t~-Fanktion sein~ die zweite Klasse, die nnmSgliehe Nullstellen- s sterne einer rationalen Linearform bilden~ liefern mSgliehe Null- stYellensysteme eiaer r

Wit haben nur noeh zu zeigen, dal~ in beiden Klassen je 2 2'~-~ Verteilungen enthalten sind~ was wit so tun; da[~ wir ganz allgemein die Frage stellen, artf wieviel versehiedene Arten sieh irgend eine beliebige Mannigfaltigkeit zweiter Ordnung 1~,(~)__2 in zwei Linearformen

im Doppelparallelogramm zerlegen ]~tl~t. Gesetzt, es wi~re fir(x) tier im Punkte v = 0 die C,~ hyperoskulierende lineare Raum~ dann stellt der Qaotient

R (x) @ k ]/ '~(x) (12) w (x)

eine eiliptisehe Funktion mit den Perioden 1 und 2 z vor uncI es gilt, wenn wit mit v~, v~ . . . v2~ die 2n Nullpunkte des Z~hlers bezeiehnen, die Relation

v, -~-v 2 @ - - - @ v 2 , , ~ n z (mod 2=), (13)

wean wit blog auf die Periode 2z, die allein yon Bedeutung isg gtieksieht nehmen. In der reehten Seite tier Kongruenz ktinnen wir abet setzen ~x oder (I~@ 1)z - - dabei bedeutet I~ die Anzahl derjenigen Stellen, die im Toms T m oder wie wir aueh sagen wollen~ im oberen Parallelogramm liegen ~ und zwar ~., wenn

Uber elliptisch-hyperelliptische Funktionen. 139

die Summe der Nullstellen des ~'1~-2 nattirlich auf das Perioden- paraltelogramm (1, x) bezogen, (mod2z) der Null kongruent ist, dagegen ,u@ 1~ wenn sie kongruent ~ (mod2:) i s t . Ftthren wit die Terminologie ein, dal~ wir yon der M , ~ sagen~ sie hgtte im ersten Fall eine gerade residuale Charakteristik~ dagegen eine un gerad% wenn der zweite Fall zutrifft~ so bestimmt sieh } (lurch

_~ n (rood 2) (14)

im erstcn Fall~ dagegen durch

F~ ~ n - - 1 (rood 2) (14')

im Fall einer ungeraden residualen Charakteristik. In beiden FMlen erh~ilt man 2 ~'~-~ LSsungen~ die paarweise zusammengefM~t~ die 2 ~'-2 Msglichkeiten der Zerlegung der M (~) in zwei Linear- faktoren geben~ womit unsere Frage beantwortet ist. Fassen wit das hier erlangte Resultat in einen Satz zusammen~ so-heiI~t derselbe folgendermagen :

D ie 2n N u l l s t e l l e n e i n e r n i c h t i d e n t i s c h ver - s c h w i n d e n d e a ~ ( w - - e ) b i l d e n z u s a m m e n mi t i h r e n a b s o l u t k o n j u g i e r t e n a l l e 4 n N u l l s t e l l e n e i n e r z - F o r m d e r F 1 a u f F . D ie A n z a h l ,~ d e r im E x e m p l a r F 1 a l l e i n g e l e g e n e n S t e l l e n g e n f i g t d e r K o n g r u e n z

,~ - - (n - - 1) ( m o a 2)

w e n n d i e M a n n i g f a l t i g k e i t z w e i t e r Ordnung~ d i e d u r e h ZcZ~ g e g e b e n ist~ g e r a d e r e s i d u a l e C h a r a k - t e r i s t i k hat , d a g e g e n mu~

V~ ---~ n (rood 2)

sein~ w e n n ZcZ~ u n g e r a d e r e s i d u a l e C h a r a k t e r i s t i k bes i tz t~ d e n n n u r u n t e r d i e s e r B e d i n g u n g w i r d das A (die r e g u l i e r e n d e D e t e r m i n a n t e ) im a l l g e m e i n e n y o n N u l l v e r s c h i e d e n s e i n ~ w / i h r e n d s ie in d e n F/i l len~ wo ~ d e r a n g e f ~ h r t e n K o n g r u e n z n i c h t genLigt~ als F u n k t i o n d e r P a r a m e t e r e d e r ~(w- -e ) i d e n t i s c h ver - s c h w i n d e t .

Wir ffigen noch hinz% dag die gauze vorsteheade Unter- suchung unter der stillschweigenden Voraussetzung gemacht wurd% da~ die Konstante c o yon (2) yon Null verschieden ist; wie Sich die Verh~ltnisse modifizieren~ wenn c o ~ 0 ist~ darauf kommen wir sp/iter noch ausffihrlich zurtick.

140 Puul Roth;

w Jetzt haben wir noeh die Integralgleichungen der Gruppe (I)

ffir die Diskussion der S e h o t t k y sehen ~o (v -- e) - Funktion aus- zuniitzen. Wir fassen dabei die Integralgleichungen ohne Rtick- sicht auf ihren Ursprung~ wie das gelegentlieh sehon friiher ge- schehen ist~ anf~ sehen also vollstsndig davon ab, dal3 die Stellen {~( ,~=1~ . . . 2n ) die Nallstellen einer nieht identisch Verschwin- denden q~ (v--e) sein sollen, dann ist die Gruppe (I) yon der bereits diskutierten Gruppe (/ /) nieht wesentlieh versehieden.

In der Tat ttben wit auf das dureh die Flaehe F definierte elliptiseh-hyperelliptisehe Gebilde, wie es dutch die adjungierte

und die darauffolgende unverzweigte Doppelttberdeekung ge- l

geben war~ die birationale Transformation v' ~--- v ~ 2 im Fall

~* ~--- 3 entsprieht das dem Ubergang von H e s s e sbher za S t e in e l"- seher Normierung - - aus~ dann bleibt das Integral v unge~tndert~ abet die Systeme der Integrale v~ und wi gehen bei dieser Trans- formation resp. in Systeme w} und v} tiber~ wobei mit der Bei' behaltung des gleiehen Buehstaben angedeutet werden soil, dag die Integranden tier w}-Wurzelformen~ die der v} lineare gaume sind~ and dutch den beigeffigten Akzent die neue qaadratisehe Irratio-

nalitat ] /~(x)angezeigt werden soll. Es gehen also bei dieser Transformation die S e h o t t k y s e h e n ~p in die W i r t i n g e r s e h e n tiber. Fttr diese ist abet die n~there Diskussion im vorigen Para- graphen geleistet und eines der I-Ianptresaitate derselben war~ dal~

ihre Nullstellen auf einer R (x) -@ c -V~(x) der nunmehr in/~. ftber- geftihrten ursprC[ngliehen/~1 liegen. ~'[aehen wit die Transformation

wieder rttekg~ngig, So wird die /? (x)@ c ] / K ( x ) i n eine ~ ) - t - @c]/K(x) der /;~ ttbergehen, and wir kSnnen die Gesamtheit der im vorigen Absehnitt abgeleiteten Resultate ohne weiteres aueh auf die q0 (v - - e) tibertragen, wenn wir iiberall start linearen Raam

Wurzelform mit der Charakteristik ~I setzen. Bevor wir den be- ~ r

ziigliehen Satz formulieren, sol[ nur noeh darauf hingewiesen werden, dal~ die 4n Nullstellen einer ]/O (x) @ c ]/K(x) sieh symmetriseh zu je 2n auf die beiden Exemplare /~1 and F~ verteilen. In der Tat einer Nullstelle i n T z entsprieht aueh eine solehe in T• einer in Tzz eine solehe in T m. Die symmetrisehe Verteilung der Ge- samtheit der Nullstellen ist m~r etwas anders als im Fall der R (x) @ c l/K-~(x). Wahrend es fraher Paare absoktt konjugierter Stellen waren~ sind es hier Paare korrespondierender Punkte.

Das Versehwindungstheorem far eine S e h o t t k y sehe ~ (v-- e) heil3t tblgendermafien :

D i e 2n N u l l s t e l l e n e i n e r n i e h t i d e n t i s e h ver - s e h w i n d e n d e n ~(v- -v) b i l d e n sa in t i h r e n k o r r e s p o n -

~ber elliptisch-hyperelliptische Funktionen. 141

d i e r e n d e n P u n k t e n d i e G e s a m t h e i t d e r 4 n N u l l s t e l l e n e i n e s s p e z i e l l e n I n t e g r a n d e n e r s t e r G a t t u n g yon d e r F o r m ] / O - ( x ) @ c g K ( x ). D i e A n z a h l d e r im E x e m p l a r F 1 a l l e i n b e f i n d l i e h e n S t e l l e n ~ g e n t i g t d e r K o n g r u e n z

~ n - - 1 (rood2),

w e n n d i e M a n n i g f a l t i g k e i t z w e i t e r O r d n u n g

4) (x) - - c'~ K (x)

g e r a d e r e s i d u a l e C h a r a k t e r i s t i k hat~ d a g e g e n is t im g e g e n t e i l i g e n F a l l

~t ~ n (rood 2).

Der letzte Teil des Satzes ergibt sieh einfae.h aus dem Um- stand: dal3: so wie bei den W i r t i n g e r s e h e n Funktionen~ aueh bier die Determinante A mit ihrem nieht Yersehwinden oder wenig- stens nieht identisehen Versehwinden als l?unktion der e~ (v 1.. .n) der aussehlaggebende Punkt der Untersuehung ist.

Hier mag n o e h eine Bemerkung Platz greifen, die das vollst~tndig gleiehbereehtigte Nebeneinanderstehen der ~- und ,6-Funk- tion naeh noeh einer Seite beleuehtet. Im w 3 haben wir den Begriff verwandter ~-Funktionen eingef~ihrt ; aus der Definition derselben geht nan unmittetbar hervor~ dag die Nullstellen yon zwei Funktionen r und q0~ als absolut konjugierte Stellen einander entspreehen, in Unmittelbarer Folge des Umstandes~ dal3 das zwisehen zwei

solehen Stellen erstreekte Integral f d v~ (i = 1... n) eine halbe Periode X

1 0 . . - 0 I mit der Charakteristik 0 0 0 =~ : ist. Dieser Tatsaehe mug

nattirlieh bei der 6. (w--e) etwas Ana!oges entspreehen. Man wird dem bestimmten Integral zwisehen zwei absolut koajugierten Stellen tiber d vr das bestimmte Integral zwisehen zwei korrespondierenden Punkten tiber d wx entgegenhalten. In der Tat ist ein solehes In-

~ t

/ d w i einer halben Periocle kongruent~ denn man kann sieh tegral

leieht davon tiberzeugen, dag sieh ftir dasselbe zwei Integrations- wege finden lassen, so dati

( oaa. Per.) (i ~--~-1 . . . n) (1) X 98

also

2 f d ~ o (modd. Per.) (i = 1 . . . n) (2)

1 4 2 Paul Roth.

ist. Den Wert der halben Periode bestimmt man durch Wahl der Verzweigtmgspunkte r.o and :r~ als Cxrenzen and erhlilt ohne weiteres, dal~ es sieh am die halbe Thetaperiode mit der Charakteristik

0 0 . . . 0 1 0 0 001 ~- p handelt.

Wir werden dementspreehend aueh yon einem Paar ~ ( w - - e ) % ( w - - e ) sagen~ es wgren verwandte Funktionen; hinzuftigen wol|en wir noch, ~ta6, wenn die Nullstellen cler einen anf einer R (x) 2 r- c ]/-~x(x) liegt~ die der anderen auf der konjugierten R ( x ) - c ~ (x)liegen~ dal~ wenn die eine iclentiseh versehwindet, yon der ve rwand ten das Gleiehe ausgesagt werden kann. Ganz Analoges gilt yon den S e h o t t k y schen ~ uncl ? . .

w

Von nun an werden wir die Untersuchung vollkommen auf die ~ (w - - e) beschrgnken, um auf die ? (v - - e) mit einigen Worten zum Schlul~ der Arbeit zurtickzukommen. Die Formal (I/a) , w 5~ hat ergeben~ dal~

e;~ -~- -ff dwx - - Kz @ Perioden ; (1) r = l y

man kann nun ganz den {3berlegungen W i r t i n g e r s 1) folgend~ zeigen~ dal~ jedes System yon 2 n Punkten, das der im Sehlul~satz des w 6 geforderten Eigensehaff gentigt, wirklieh ein Nullstellen- system einer bestimmten r ( w - - e ) ist. Denn geh0rt ein System yon Stellen rj, za einem nicht versehwindencten h-Wert , so ist der Ausdruek als analytische Funktion der n-Werte e~ oder yon n- Stellen ~ , die allein sehon im allgemeinen die R (x)-~-c gKTx) , auf der die ~ libgen,, bestimmt~ aueh yon ~Null versehieden, wenn man die rj, ein wenlg abgndert. Es werden dann die Integral- gleiehtmgen

2n ~v 2n ~v Ej v=E(dv r ~ t y v ~ l y

p

, . , u,~ = d w~

( i)

(k = i, 2 . . . . , n)

~) W i r t i n g e r , 1. e. w 44.

Uber elllptisch-hyperelllptischo Funkfionen. 143

in einer gewissen Umgebung von "% nut durch ~ ~---~ befriedigt werden kSnnen. Die Funktion

f d ,v - - ~ d w - - (2) y " ' v = 1 t j /

verschwindet als Funktion yon x lediglich an den Stellen ~ 72-" ~ , and zw~r auch so lange, als die Stellen ~ so verschoben werden, daO der zugehSrige h-Wert yon Null versohieden bleibt. Fa~t Ran nun, wie oben, die Gesamtheit der 2 n Stellen ~ als Funktion yon n unter ihnen auf, so ist (2) auch oine Funktion derselben und d~ sic for x ~ ~. in einer gewissen Umgebung derselben immer Null ist: so ist sie fiberhaupt Null.

,Es ist also immer

~ d w - - ~ - dw-- = 0 , v ~ l y

so lange die ~ (~-~-1 . . . 2n) ein m~gliehes~ also die Integral- gleichungen (II) befriedigendes Nullstellensystem einer ~-Funktion sind."

Und ulngekehrt kann man aueh zeigen, dal3 jedes Argumenten- system VV~ (k ~ 1 . . . n), das dem (n - - 1)- dimensionalen ~ullraum der ~ ( U ) ~ 0 angeh~rt, in die obige Form gebracht werden kann. also sich schreiben lKf3t

z]~ "2 n ~v

~j - - 1 J

w

Bevor wir an die nahere Untersuchung des identischen Ver-

( i) sehwindens yon ,5 d w - - e als F~nktion yon x herangehen~ ein

Fall, der nattirlieh yon einem versehwindenden • begleitet sein mulS, wollen wir in Fortsetzung der Uberlegangen des w 6 noeh jenen Fall genauer durehsprochen, der sich ergib~ wenn i~l der das Stellensystem ~ tragenden

Zc = cl/71 (x) § § ~,, R,, (,) § c o VK~(.~) (1)

die Konstante c o ~ 0 ist~ wo also der Integrand erster Gattang ein linearer Raum ist. Wir werden gerade in diesem Fall verschwindenden h begegnen, die uns die Mittel bieten werden, ffir die geraden und ungeraden ~-Funktionen jene S~tze abzuleiten, die sic

144 Paul Roth.

als elliptiseh-hyperelliptisehe besonders eharakterisieren, und zwar so~ dal3 dabei die Analogie mit dem gewShnliehen hyperelliptise.hen Fall in roller Deutliehkeit hervortritt.

Ist die %~ : R (x)~ dann f~llt sie mit ihrer konjugierten zusammen, so clal~

z~ zo = R~ (x) (2)

is% die Nullstellen einer solchen %~ aaf /:~ setzen sieh aus n Paaren ~ ~,, relativ konjugierter Ptmkte zusammen, den n Punkten entspreehend~ in denen ein linearer Raum die C~ sehneidet.

In diesem Fall • die residuale Charakteristik gerade: und daher mul3 die Anzahl der in F 1 oder F~ liegenden Stellen '

~ (n - - 1) (mod 2) (3) sein.

Wit fat,ren noeh die folgende Bezeiehnung ein~ wit nennen den Wert der Konstanten~ der sieh ergib% wenn man in :s (x) den Wert r~ einsetzt _~' a~,. so dal~

welter setzen wir

und sehlieNieh

(4) '0

• = • cl~ (7~ = 1 . . . ~). (4")

Der Wert der Determinant% wie dieselbe in (8) w 6 aufge- stellt wurd% versehwindet hier immer~ und zwar fCtr alle mSgliehen

1 ver-

sehwindet. Aber mit dem Versehwinden yon h • jetzt nieht wie frtther das Versehwinden aller anderen Determinanten 2 n te~ Ordnang der Matrix (6) w 6 verkntipft, eben wegen c o = 0 ; wir haben also in diesen FNlen die Determinanten der Matrix zu untersuehen~ be• denen eine der Kolonnen R~ (@ = bi~ dureh :k ]/K-(~z,.) = • dk ersetzt • Die Entsehei&mg tfber das Versehwinden oder nieht Versehwinden einer solehen Determinante flie$t nieht wie friiher atls einer funktionentheoretisehen Betraehtung~ sondern heraht anf der rein formalen A~swertang derselben. Daher • es aueh gleieh- gttltig, welehe bi-Kolonne dureh die bezfigliehe d-Kolonne ersetzt wird, und daher ergibt sieh aueh~ dab mit der Untersuehung einer solehen Determinante die (n - -1 ) anderen mitbetraehtet sin& Diese eine Determinante mSge wie frfiher A hei6en.

Uber elliptiseh-hyperelliptische Funktionem 1~5

Es wird sich dabei nicht nur darum handeln, zn entscheiden~ ob A #: 0 oder h ~ 0 ist, sondern im letzteren Fall noch wesentlich darauf ankommen, welchen Rang p h besitzt, wenn man unter bekanntermagen jene grSl3te ganze Zahl versteht: far welehe die p-reihigen Determinanten yon h - -d i e se lbe als Matrix yon 2n Zeilen und 2 n Kolonnen a u f g e f a l 3 t - nicht samtlich den Wert Null haben.

Die Anz~hl der Stellen~ die in _~ liegen, oder wie wir auch sagen wollen~ die oben liegen, wenn wit im Gegensatz dazu unter runten liegen" verstehen wollen~ daft die Stellen in iv'~ enthalten sind~ sei }; wir nehmen dabei zun~tchst an~ dal3 unter diesen ~-Stellen kein Paar relativ konjugierter sich befinde. Dann lal3t sich die Determinante h (als Typus) folgendermaSen schreiben:

A ~ - - a l , k t , - - a 2 . . . . . . . . . - - a ~ , p t , b l ,# . . . . . . b'Z--1,/*3 - - d l . t . (5 )

al,~+~ a~,t,+~ . . . . . a,~,,,+l~ b~,/~+~ . . . bn-1, t,+~ ~ dt,+~

a~, t*+~ ~ ct2, ,~,+~.. : . . . a,,, t,+~ ~ b~, ,,+~ . . . b~_~, ~+~ ~ - - d~+~

t~ , ~,~ a~, n . . . . . . . c~, ,, ~ b L n . . . . . t~,n-~, ~, / d n

Die Determinante A verszhwindet nattirlieh~ denn die Determi- nanten (2 n -- 1) ~e~ Ordnung aus der Matrix der (2 n - - 1) ersten Kolonnen verschwinden s~tmtlieh~ da jede yon ihnen mindestens n - - l - - ~ Paare gldcher Zeilen enth~lt und diese Zahl ist nur dann gleich I'~ull~ wenn n - - I ~ W . Wenden wir uns zun~ehst dem. Fall n - - l ~ > , ~ zu - - die Ungleiehung n - - l ~ kann natfirlieh immer dureh Vertausehung yon oben und unten in di~ obere Un- gleichung tibergeftthrt werden - - so haben wir den Rang der Determinante A anzugeben; setzen wir n - - 1 - - ~ = ~ so ist der Rang yon A

9 --~ 2 n - - z = n --{- ,~ --~- 1; (6)

Monat~h. ftir Mathematlk u. Physik, XXI][I. Jahrg. 10

t 46 Paul Roth.

in der Ta t die folgende Dete rminan te O~er 0 r d n u n g (als Typus)

a l i . . . . . a ~ , , 1 ~ b l , 1 . . . . . . b / x , 1 ~ d l

- - a ~ , l . . . - - a n , 1 ~ ha, 1 . . . . . . bin1, - - a l l

A' .=. a~, ~ + ~ . . . a,~, ~+~ ~ b~, ,+~ . . . . b ..... +1 ~ d,,+l (7)

al, ,.+2. �9 . a~, ~,+2 : b~, .+~ . . . . b,.,~+2 ~ d.+2

ctl, y~ . . . . . aj~, ,~ ~ bl n . . . . . . bt, , ,~ ~ d n

a~ ,n . . . . . a , , ~ b:t,~ . . . . . . b , . , n~ - - d n

ist yon Null versehieden. En twieke l t man nach der letzten Kolonne( so sind nur die bleiden letzten Glieder yon :Null verschieden und es ergibt sieh naeh einer leichten Ab~tuderung ftir A' der W e f t

0 . . . . . . . O~ 2 b 1 , 1 . . . . 2 b ~ , 1 1

- - a ~ ~ . , . - - c t ~ , ~ ~ b ~ , ~ . . . . . b ~ , ,

"o . :.:.'. o / " :'1 ,_V = - - 2 d ~ . - - a ~ , ~ . . . - - a ,~ ,~ ,~ b~ . . . . . . . . b , , ~ (8)

( '~l , ~ " ] -1 " �9 " a l~ , /Z - t - 1 ~ b l , ,tX-}-I �9 �9 �9 ~r ,U.-~l

(~1 , :t~,--I �9 �9 �9 a~, q ~ . - 1 ~ h i , n - ! �9 �9 �9 D/~. , a . - - 1

ai, n . . . . . an, n ~ hi, n . . . . . D~, ~

Nach dem L a p 1 a e e schen Zerlegungssatz ist dann der absolute Betrag yon A'

= 1 . . .

1 (; :) also in der Ta t yon Null versehieden, denn die Dete rminante 1% k [ist sicher yon Null verschieden ~ die ] G, ~ ! d a r f als yon Null versehieden angenommen werden~ eta sie gegebenenfal ls durch eine solehe ersetzt werden kann~ indem man aus tier ursprfingliehen Dete rminante ,_k irgend ein anderes A' ausw~hlt~ sehliel31ieh ist d~ aueh yon Null

Dber elliptisch-hyperelliptische Funktionen. 147

versehieden~ also der Punkt ~,~ kein Verzweigungspunkt: Das darf immer angenommen werden~ weil es durch eine passende Nume- rierung immer erreicht werden kann.

Ist n ~ u -@ 1~ so ist p ~ 2n, h versehwindet nicht und wir haben daher den Satz:

Von den 2 2~-1 V e r t e i l u n g e n ~ d ie im alig. e m e i n e n a u f e i n e r z - F o r m e x i s t i e r e n ' u n d d e n e n lm a l lge - m e i n e n n i e h t i d e n t i s c h v e r s e h w i n d e n d e ~ - F u n k t i o n e n e n t s p r e e h e n ~ b l e i b e n a u f e i n e m l i n e a r e n R a u m n u r d i e j e n i g e n n 2 '~ tibrig~ be i d e n e n e | n P a a r r e l a t i v k o n j u g i e r t e r S t e l l e n in t ' 1 o d e r in 17~ zu l i e g e n k o m m t : d i e ( n - - l ) r e s t l i c h e n P a a r e s i n d a u s e i n a n d e r - ge r i s s en~ so dal~ de r e i n e P u n k t d e s P a a r e s u n t e n : d e r a n d e r e o b e n l i e g t .

Es ist vielleieht nieht unnStig hier hervorzuheben~ dal3~ wenn man diejenige Determinante, bei der alle Paare auseinander.gerissen sind~ bildet~ dieselbe natiirlich versehwinde b wie es ja sere mul]~ da dann

,a _~_ ~z (mod 2)

ist. Es l~l]t sieh also bei den linearen R~tumen identisehes und nieht identisches Verschwinden yon h als Funktion der Theta- parameter rein formal aus S~tzen der Determinantentheorie ableiten.

Die obige Formel far den Rang tier Determinante geht in

1-2 , (lO)

wenn sich unter den u. in F~ liegenden Punkten /~ Paare relativ konjugierter befinden.

Bedenken wir nun~ dat; p an die Bedingung gekn~ipft ist

also

so ist

stets eine g e r a d e Zahl; gerade ist.

~- (n - - 1) (rood 2),

~ - - n - - 1 - - 2 k 1. IVII,

a kann nur Null werden~ wenn n u n -

~10.

Wir Wenden uns nun dem identischen Versehwinden der

,) d w - - e zu. Wir maehen die f~ir das folgende stets beizubehal-

10 ~.

148 Paul Roth.

tende Einftihrung, daI~ die untereGrenze i n j du,~ der Verzweigungs- y

punkt ~'0 sein soll. Unter dieser Voraussetzung gilt ffir zwei relativ konjugierte Punkte x und x bei passender Wahl der In- tegrationswege

x x

n). t t

Dann gilt weiter auch der Satz: dal~ wenn die zu einem

e-Wertsystem geh~rige ~ d w - - e identiseh versehwindet, dab

dann aueh die za dem (--e)-Wertsystem gehSrige Funktion identiseh versehwindet.

Denn ~ d w @ e lal~t sieh sehreiben ':%

, - - , d w - f e =_ w - e ,

and dieser letzte Ausdruck ist yon der ob]gen Funktion nicht verschieden.

Identisch verschwindende ~-Funktionen haben e-Weft% die za Darstellungen durch 2n-gliedrige Integralsummen gehisren, bei denen der zugeht~rige h-Wert veschwindet. Der Ausdruck

.2 r ~ l .,v to

ist dann korresiduM auf ec t verschiedene Weisen verschiebbar. Die Bestimmung dieser Zahl t ist nattirlich der'wesentliche Zielpunkt unserer Er@terungen.

Zu diesem Behufe machen wir so wie in der Ri e m a n n schen Theorie gleich den allgemeinen Ansatz, dal3

r d w - - d w - - e

" ~ = ~ ~=~ ~'o (3)

Uber elliptisch-hyperellipfische Fuuktionen. 149

far alle Lagen der 2r @ 1 Punkte o~ 01 .... o~.~ ~1..- ~r versehwindet, so lange r ~ s ~ hingegen night mehr, wenn r = s ~ so dag

als Funktion yon o eine nieht identiseh verschwindende Funktion darstellt. Eine solehe ZahI s existiert stets~ ihre obere Grenze geben wir weiter unten. Die Funktion (4) versehwindet dann in 2n Punkten, 2s yon ihnen kSnnen wit ohne Sehwierigkeit sofort angeben, es sind erstens die s Punkte ~1~ % . - - ~ and anderseits die s Pankte o~ o 9 . . . ~, far die ~ - P a n k t e ist das unmittelbar klar~ Nr die o , ergibt sigh das aus dem Umstand, dal~. dann beispiels- weise far ~

wird. Da aber das (--e)-Wertsystem stets die gleiehen Verh~ltnisse

zeitigt, so sind wit einfach bei dem Fall r-~- s - - 1, also einem versehwindendem Thetaausdruek. Die 2 n - - 2 s fibrigen Punkte ~k (k ~--- 2 s @ 1, . . . 2 n) sind dann wohl bestimmt and im Gegensatz zur R ie m a n n sehen Theorie night nut Funktionen der willkth.- lichen Punkte o~ ( k - ~ - l . . . s ) , sondern aueh tier s Punkte sk, wghrend im R i e m a n n s e h e n Fall die s Punkte s~ ganz einfluglos far die restliehen Pankte sin& Dag das hier nieht der Fall ist~ geht einfach aus dem Umstand hervor, dal~ die 2n Punkte o~ s, rj auf einer Z der/71 liegen mtissen and dal~ natorlieh die e~ Punkte far diesen Integranden erster Gattung ebenso bestimmend sind wie die ok Punkte. Damit ergibt sieh auch sofort eine obere Grenze fOr die Zahl ,s~ denn eine Z ist dureh n Punkte im allgemeinen bestimmt; also kann die ZaM 2s der Willktirliehkeiten die G renze n nieht ~tbersehreiten; daher

(Jl) Nun ist die Thetafunktion ~ d w - - e dadurch als identiseh

~0 versehwindend eharakterisiert, dal3 die Darstellung des e-Wert- systems dureh 2 n-gliedrige Integralsummen unendlieh vieldeutig ist. Man kann diese Tatsaehe aueh so fassen~ zu einem e-Wert gehsrt im allgemeinen e in wohlbestimmtes Z~

1 5 0 P a u l Roth.

also ein wohlde~niertes System von n Werten c~ c~ c~ - - , - - . . . . - - ~ die C 0 C 0 J C o

zugehsrige Determinante h kann also nieht nur als Fnnktion der e. (v ~ 1 . . . n ) aufgefal3t werden~ sondern auch als Funktion der

- v = 1 . . . n . Ist nun die zu betraehtende Funktion identiseh Co

versehwindend, die 2n gliedrige Integralsmnme seines e-Wertes versehiebbar, dann bestimmt dieses e-Wertsystem nieht e in

[

c_, (~= 1 . . . n ) sondern unendlieh viele, das heil~t zum e - W e F t r \ -

geh~rt eine ganze Sehaar yon Integranden erster Gattung tier F 1. Die Vie!faehheit derselben ist genau 2% wenn wit die obigen Voranssetzungen gelten lessen. Des wird in der zugeh0rigen Determinant% die zu dieser Darstellnng gehSr b so in Erseheinung treten, dag sie selbst mit allen ihren Unterdeterminanten his zur (2n--2s @ 1) t~ 0rdnung inklusive verschwinden~ also den Rang p ~- 2 n - - 2 s besitzt.

Aber aueh umgekehrt, hat man eine Determinante (2n) ~ Ordnung vom Rang 2n--2.% die im fibrigen natttrlieh alle Be, dingungen erfttllen mu~ die sie als regulierencle Determinante

o

einer ~(j.dw--e)eharakterisiert, dann ist der zu diesem Stellen-

system yon h gehSrige e-Wert oz2~-faeh korresidual versehiebbar o

und man kann die ~(/dw--e I Fnnkfion el'st durch Adjunktion y ~ k

\--/=~ ,

yon 2s Willkiirliehkeiten in der Form yon oz~ und ek Pun kten zu einer nieht identiseh verschwindenden maehen, wie sie dutch (4) gegeben ist. Des Resaltat formulieren wir folgendermM~en:

V e r s e h w i n d e t d e r A u s d r u c k (3) s o l a n g e r ~ s i s t , ft~r ~ l l e L a g e n d e r 2 r @ l P u n k t e o~ot...o~.,%...el~ n i e h t m e h r a b e t f t t r r - - % so l e s s e n s i e h d i e P a r a m e t e r e~...e,~ a a f u n e n d l i e h v i e i e W e i s e n in d i e F o r m ~n- g l i e c l r i g e r I n t e g r a l s a m m e n b r i n g e n , w o b e i d i e zu- g e h S r i g e n S t e l l e n s y s t e m e zn D e t e r m i n a n t e n v o m R a n g p ~ 2 n 2 s ~ ~ e h S r e n .

Und umgekehrt : B e s i t z t e i n e D e t e r m i n a n t e A d e n R a n g p=2n--2s~

d a n n d e f i n i e r t s ie e in e - W e r t s y s t e m ~ so dal~ d e r Ans- d r u e k

[::ber elliptisch-hyperelliptische Fanktionen. 151

i c l e n t i s e h f a r a l l e L a g e n d e r 2 r @ l Punkte O, Ol. o,. e:.. .e,- v e r s e h w i n d e t ~ s o l a n g e r ~ s ~ n i e h t a b e t f a r r~--s.

Der Rang ~ der Determinante h ist stets eine gerade Zahl; wir lassen es dahingestellt, wie man diesen Satz rein algebraiseh beweist, in den F~ille% wo wit die hier angegebenen S~ttze be- natze% das ist bei den linearen R~ume% haben wir den Beweis sehon erbraeht.

Nun kann man endlieh zeigen~

dag f a r e i n e r d w - - e , ft ir w e l e h e d e r A u s d r u e k (3) -5"

n o e h v e r s e h w i n d e t , w a h r e n d d e r A a s d r u e k (4) im all- g e m e i n e n n i e h t v e r s e h w i n d e t , d i e s ~ m t l i e h e n p a r t i e l - l en D e r i v i e r t e n b i s zu r ( s - - l ) *~n O r d n u n g i n k l u s i v e ft tr a l l e L a g e n de s P u n k t e s o v e r s e h w i n d e n ~ n i e h t a b e r d i e d e r s t ~ O r d t l u n g .

Der erste Teil dieser Behauptung 1513t sieh ebenso beweise% wie im R i e m a n n sehen Fall~ der zweite Tell des Satzes ergibt sieh aus der Erw~tgung, dab es im R i e m a n n s e h e n Fall~ oder sagen wit pr~ziser~ im hyperelliptisehen Fall so ist, und der gewShnliehe hyperelliptisehe Fall im elliptiseh-hyperelliptisehen als Grenzfall enthalten ist. 1)

w 11. x

'~V~i]. " v~enden nl]s je tz t der n~heren ~etraellt l] .ng de]_" ~',~, ( J . ~ / ' \XCo /

g eine Halbeharakteristik Far die hier wo l~ ist~ Zll. vorliegenden

22~ geraden und ungeraden Funktionen kann man die z-Form leieht angeben, auf der ihre Nullstellen liege% vorausgesetzt~ dal~ die bezagliehen Funktionen nieht identiseh versehwinden.

x

Ist nKmlieh der Punkt x o eine Nullstelle van ~. dw so ist wegen ~'l

~'0 Xo

r ! "~0 ~ 0

aueh Xo eine Nullstelle yon ~1~[',~ Nit jeae~ N~llstene xo ist aueh

ihre relativ konjugierto Stelle Nullstelle. Naehdem abet die Null- stellen einer nieht identiseh versehwindenden ,5 auf einer z-Form

1) Man verglelche fiir cliesenParagraph. R i e m a n n : Ges. Werke,%Aufl., S. 212~Krazer : Lehrbuch der Thetafunktionen, S. 426; Ros t : R i e m a n n s c h e Thetafunktio% Leipzig 1901; C h r i s t o f f e l : Ges. Werke, pag. 271 des zweiten Bandes, Leipzig 1910.

1~)~ Paul Roth.

liegen mtissen, die zu den Nallpunkten einer X relativ konjugierten Punkte abet auf Z liegen, so mug die 7.. einer ~'l~[, ~ eine

solehe sein~ die mit ihrer konjugierten iclentiseh ist~ also kann sie entweder nur die ]/K-(x)oder ein linearer Raum sein.

Erinnern wit uns an den zum Sehlul3 des w 7 angef~hrten Satz~ naehdem die Nullstellen verwandter Funktionen ~, and ~o stets auf zaeinander konjugierten 7. liegen~ so haben wit die weitere Fol- gerung, dal~ Nullstellen yon Paaren ~erwandter ~'1~1,, attf der gleiehen

z-Form liegen mtissen~ una dal3 die 4n Nullstellen derselben yon den 4n Ntdlstellen des Paares *[~l~, ,5 ~ gerade aufgebraueht werden.

Um nun zun~tehst die Entseheidung dartiber zu treffen, welehe ~!fll ihre Nullstellen auf der yK(x) haben, mttssen wir auf

den Charakter der 2 ~-~ ,5 4 [I~ -- [.q~] Paare verwandter Funktionen ngher eingehen, ob dieselben gerade oder ungerade Funktionen sin& Die Thetaeharakteristiken eines solchen Paares sind Zer- legungen der Charakteristik p in die Summe zweier~ 2 :'~-~ won ihnen sind Paare gleiehartiger Charakteristiken~ das heil3t beide gerade oder beide ungerad% ihnen entspreehen 2:2~~ Paare verwandter Funktionen~ die in ihrer Zusammenfassung eine gerade Funktion darstellen~ die 2 2'*-2 ~ibrigen Paare sind ungerade. Nut die letzteren kgnnert ihre NuIlstellen auf der 1 / ~ ) haben. Denn angenommen, man hatte ein Paar~ das eine gerade Funktion darstellt~ so wtirde ein solehes im Punkte r.;~ dem Nullpunkt des Argumenten- systems wr gar nieht oder yon der zweiten Ordnung versehwinden~ bei beiden Annahmen kSnnte ein solehes Paar die 4n Nullstellen yon ]/_~(x), die bier direkt die Ver- zweigungspunkte sind~ nieht ersehSpfen ~ ohne dal3 sie identiseh versehwinden. Abet aueh diese Annahme ist unzul/issig, weft V K (x) tat- s/~ehlieh 2 2'~-~ Verteilungen m0glieher Nullstellensysteme mit nicht versehwindendem A-Weft besitzt and diesen 2 2'~-~ Verteilungen entspreehen genaa die 2 2 .... a ~ '~ ~ die za verwandten zusammen-

gefafit die 2 ~'*-~ ungeraden Funktionen zweiter Ordnung ausmaehen. Von diesen letzten Funktionen kann also niemals eine identiseh sis Ftmktion der oberen Grenze versehwinden~ such wenn die untere Grenze an irgencl einen ganz beliebigen Punkt der Fl~ehe /J' verlegt wird.

Ist hinge.gen ~ o eine gerade Funktion~ so liegen die Null- stellen auf emem linearen tlaum. Nun wissen wit einerseits, clag mit jeder Stelle aueh ihre relativ konjugierte Nullstelle ist; anderseits hat uns abet die Untersuehung des w 9 gelehrt~ dag auf einem linearen Raum nut diejenigen n. 2 '~ Verteilungen Determinan-

Uber elliptisch-hyperelliptische /?unktionen. 153

ten h liefern~ die yon Null verschiedeu sind~ bei denen hSchstens ein zusammengehSriges Punktepaar in T'~ oder/~2 zu liegen kommt, alle (~--1) andcreu Paare aber auseinandergezerrt sind, so dal~ wit nur dann yon einer ~L~II, sagen ktinnen, sie verschwindet nicht

identisch~ wenn diesen beiden Bedingungen Rechnung getragen ist. Das kann aber nur so der Fall sein, dab diese (n - -1 ) auseinander- gezerrten Paare ( n - 1) Paare tibereinanderliegender Verzweigu~g-s- punkte sin&

(n2_~Zl) diesen Porderungen gentigenden l~Isglichkeiten Den

( 2~ ~ ( 2 n ) r entsprechen \ n - - 1 ] Paare~ die tibrigen 2 2 ~ - ~ - 2 n - - 1 '

tionen verschwinden also identiseh. Wit wollen noch hinzufggen~ dug wenn wit einen linearen

Raum dutch (n-- l)Verzweigungspunk~e legen~ derselbe die C, 1 nur noch in einem einzigen Punkt schneidet~ end dal3 die Zahl clef nieht versehwindenden • sieh auf zwei reduziert~ dieselben entsprechen genau den beiden nieht identisch verschwin-

dendea r *~e des Paares. Da~ die "~ -(z:~--21 ) linearen Rgume, die \ - - - ;

dutch (~o~ =~) g.ehen zu Paaren ungerader Funktionen gehSren,

die ~ibrigen zu Paaren gerader + \ n - - 1 ~ n - - 2 ]

ist wohl unmittelbar einleuchtend. Wenn wir bei dieser Gelegenheit einen Augenblick bei dem

speziellen Fall n = 3 verweilen~ so haben wir im ganzen 32 Paare - - bei der t t u m be r t schen H~ sind wir ihnen bereits begegnet - - 16 Paare haben ihre Verschwindungspunkte auf dem Kegelschnitt~ yon den iibrigen 16 Paaren verschwinden 15 wie die Geraden durch je zwei Verzweigungspunkt% und zwar fttnfPaare yon je zwei ungeraden Funktionen~ wie die Geraden~ die man durch den Verzweiguilgs- punkt~ der die untere Grenze der Integrale ist~ and noch einen zweiten Verzweigungspunkt legen kann~ die zehn restliehen wie die Geraden dureh je zwei der ttbrigen f~inf Verzweigungspunkte. Ein Paar yon ungeraden versehwindet identiseh. Setzt man fttr die untere Grenze der Integrale einen anderen yon ~" oder ~o versehiede~en Verzweigungspunkt ~ so wird eines der anderen fanf Paare ungerader Funktionen identiseh verschwinden~ und zwar wird jedem der seehs Paare je ein Verzweigungspunktepaar entspreehen, yon dem der eine oder der andere Punkt als untere Grenze eingesetzt sein iclen- ~isehes Versehwinden bewirkt.

Das ist nun gerade das Charakteristikum des elliptisch-hyperelliptisehen Falles mit sechs Verzweigungspunkten~ dal~ man ihn als dutch zwei g,leich Null gesetzte Thetat~unktionen erklSren kann, was eben auf das identische Verschwinden zweier ungerader Punktionen herauskommt.

154 Paul Roth.

Dieser Satz yore identischen Versehwinden eines Paares ungerader Funktionen ist das Analogon zu dem bekannten Satz der Theorie der hyperelliptisehen Funktionen zweier Ver~tnderlieher, in der ein ungerades Theta identiseh verschwindet~ wenn die nntere Grenze der hyperelliptisehen Integrale in einea Verzweigungs- punkt verlegt wird.

Das hier ffir den Fall n ~ 3 Erw~hnte wird in den Formeln wiedergegeben die S e h o t t k y ~) in seiner Arbeit fiber elliptiseh-hyperelliptisehe Fank~ienen auf Seite 150 aufgestelh hat.

w 12.

Wit sind dutch die Restfltate des letzten Absehnittes voii- kommen inswtxiert fiber die Verteihmg der Nullstellen der ~"~f'[l soweit sie nieht identisch versehwinden.

Unser n~chstes Ziel wird es nunmehr sein~ unter den identiseh versehwindenden eine Einteilung ztl treffen tiber die Art ihres identisehen Versehwindens und daraus fiber ihren geraden oder ungeraden Charakter zu entscheiden. Vorher mfissen wit noehmals auf die Integralgleiehung (I[3) des w 5 rekurieren und die uns

unbekannten Sehnittkonstanten K~ resp. ~ unter der Voraus-

setzung~ dal3 die untere Grenze ein Verzweigungspankt ist~ zu er- mitteln sttehen.

]~S w a r n 7/v

2 e~. = ~ f d w;. - - K~ -4- Perioden. (1) ~r

~ , ~ I ~ o

Nachdem die K~ Universalkonstanten sind, also vollkommen unabh~ngig "con den jeweiligen e-Werten sind, so kSnnen wir eine ganz beliebige r zur Diskussion heranziehen. Wir w~hlen eine der nicht identiseh versehwindendert ~'J~]',i deren :Nlfll-

stellen in einem linearen Raum liegen, wo also die Stellen aus ( n - - 1 ) Paaren korrespondierender Verzweigungspunkte und einem Paar relativ konjugierter Pankte bestehen. Dann ist die in (1) stehende Summe

unmittelbar bis auf simultane Periodensysteme anzugeben msglieh~ jeder Verzweigungspunkt ~ resp. ~" ergibt Nr, das Integral

1) Crelle Journal , Bd. 108.

Lrber elliptlsch-hyperelllptisehe Funktionen. 155

~lv

, d w z als obere Grenze eingesetzt eine halbe Periode, und zwar % s% dal3 die Summe

r

~r ' r ~ o ~ o

zweier Integrale, deren obere Grenzen ein korrespondierendes Ver- zweigungspunkteioaar ([1~, l]'~) ist~ kongruent der halben Periode p wird als%

?

f / d wz @ gwz~-- p (modd. Per.) (4) r

~ o "Zo

Haben wit ( n - - l ) soleher Paare und bedenken anderseits, dab die Summe der [ntegrale fitr zwei relativ konjugierte Punkte kongruent Null ist~ so erhalten wir ffir den Ausdruek (1)

e~ - - ( ~ - - 1 ) p - - K, . (x = 1 . . . ~ ) ( 5 )

und daher fCir

Kz -4-halbe Periode. (6) ez = (n - - 1) 2 2

Daraus ergibt sieh~ da ez ( > ~ 1 ~ 2 . . . n) selbst hier eine halbe Periode ist/dal~ im Fall

n - - l ~ 0 ( m o d . 2) K -~- aueh eine halbe Periods ist, dagegen im Fall

n - - l z l ( m o d . 2) K 2 abgesehen yon einer halben Periode nosh die Viertelperiode

--P enthalten mug. Ocler wenn wit das auf dis Summe 2

r

fibertragen~ so ist dieselbe im Fall eines ungsradsn n stets eine halbe Period% hingegen im Fall eines gsraden neine halbe Periode vermehrt

um die Viertelperiode ~ . Das stimmt aueh v011sti~ndig mit der

bsreits frfiher gemaehtsn Bemerkung tibsrein~ dal~ im Fall eines ungeraden n alle Punkte eines linearen Raumes in einem Exemplar

156 P a u l Roth .

liegen kSnnen, wahrend bei geradem ~ mindestens ein Paar yogi Punkten attseinandergezerrt sein mul3.

Wenn ein 6'1~1,~ identisch verschwindet, So ist der zu ihm

gehSrige lineare Raum nicht bestimmt, sondern tr~gt eine Reihe von Willktirliehkeiten. Wir sind nun nach dem eben Gesagten ira stand% Verteilungen auf linearen Ranmen zu konstruiere% die zu identisch versehwindenden '~1~1~1 gehSren.

Im Fall eines ungeraden n wird jeder Ranm~ der dureh eine gerade Anzahl 2 ~. yon Verzweigungspunktepaaren geht, solehe Ver- teilungen "liefer% wenn man nur yon den restierenden Nullstellen relativ konjugierte Punktepaare beisammen halt: im Fall eines geraden n wird natttrlieh eine ungerade Zahl 2~,-~-1 soleher Ver- zweigungspunktepaare zu stehen hubert. Bezeiehnen wit die Zahlen 2~, resp. 2k @ 1 zun~ehst mit dem gemeinsamen Bttehstaben h~ so hat die zageh~rige Determinante A den folgenden Typus:

A =

az i , a2 ,1 . . . . . a,~, 1 : b l , 1 . . . . b,~_~, 1 ~ 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . .

(tl, lb ao.,l~ . . . . . . c6~,h: bi ,h . . . . b ~ - i , l ~ 0 i

- - a l , h~ - -ag . , z~ . . . --ctn:, l~: bi ,h . . . . ~',~--i,h~ 0

ai, ] ~ - 1 ~ a 2 , h - @ l - . �9 g ~ / , Jr-j-1 } b l , h-~-1 �9 - " bn--l ,h-~l ~ dh

a i , h-}-i : a.2, h-l-1. �9 �9 Ctn, h-l-i: b l , h + l . �9 �9 bn-i,l~+~ ~ - - d h i

a i n : a2 ~, . . . . . a n ~: bj ~ . . . . b n - i ~ : d ~ t

a i ~ ~ a2 . . . . . . . an , n , bj . . . . . . b ~ - i , ~ : - - d,~ j

(7)

h hat~ wie wir yon ffiiher her wissen, den Rang

p = n - l - - h @ l = 2 n - - 2s und daher ist

n - - h - - 1 8 ~ 2

(8)

(9)

Aus dieser Zahl s l~13t sieh natttrlieh der gerade oder ungerade Charakter der zugehSrigen ,5-Funktion ersehliel3e% wenn man bedenkt, dal3 eine Funktion gerade oder ungerade ist, je naehdem die Ordnung des ersten far den N u l l w e r t der Argumente nieht versehwindenden Differentialquotienten eine gerade oder ungerade Zahl ist, Im allgemeinen wird s diese Ordnang angeben, da ja alle Derivierten ( s - - 1 ) t~ Ordnung yon %~ll far jedes x, also atleh ftir x = =[~ vet'-

Uber elliptisch-hyperelliptlsche Funktionen. 157

schwinden, nur diejenigen r bei denen tier beziigliche lineare

Raam dureh das dem ~Nullpankt entsprechende korrespondierende Verzweigangspunktepaar @0, =~) geht~ maehen nine Ausnahme: denn es gilt der Satz:

G e h ~ r t d i e D e t e r m i n a n t e h v o m R a n g p = 2 n - - 2 s z u l i n e a r e n R a u m e n ~ d i e d u r e h d e n P u n k t % g e h e n , d a n n v e r s c h w i n d e n f t t r d i e l N u l l w e r t e d e r A r g u m e n t e a l l e D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n b i s z u m s te~ i n k l u s i v e .

Das ist leieht zu zeigen, wenn man bedenkt, da~ in diesem Fall wohl

k ~ l x~ 0 1

als Funktion von o nieht identiseh versehwindet~ dab aber~ wie man auch die 2s willktirlichen Stellen 01. . . os~ s l . - - es withlt, der Punkt % stets nine 1hTullstelle yon (10) ist~ dal~ mithin

ais Funktion jedes der l~unkte o u n d s identiseh versehwindet. Dutch s-malige Differentiation naeh sl~ %-- - s~ und naehtr/~gliches Zusammenrgckenlassen der Punkte o m i t den Punkten s ergibt sich der obige Satz.

Diese ErSrterangen setzen uns bereits vollkommen in die Lag% fiber den Charakter der identiseh verschwindenden ,~ r -Funktionen

h

and die Art ihres Versehwindens die letzten Sehlul~s~itze zu ent- wickeln.

1. n sei nngerad% wir seheiden den Fall ~ ~--- 4 ~ -~ 1 yon dem Fall n ~ 4 v -~- 3. Sei zunaehst n ~ 4 v d- ] v dann nehmen wir }, ~---0 and daher

n - - 1 s - - ~ - - 2 v ; (11)

dem entsprieht ein dureh gar keinen gerzweigungspunkt gehender linearer Raum, es gibt also dann ein Paar verwandter Funktionen, das identiseh mit ihren Derivierten bis zur ( 2 v - - 1 ) - O r d n u n g versehwindet. Die beiden Funktionen sind gerade. Dann nehmen wir

5') ~. ~ 1~ es gibt ~ lineare R~nme dureh zwei Verzweigungspunkt-

paar% far sie ist

s - - ~ 2 v - - 1 2

158 Paul Roth.

die zugehSrigen q~I~[,, verschwinden identisch mit ihren Differential-

quotienten his znr (2,~--2) ~e~ Ordnnng~ abet ffir die ( 2 n - - l ) durch den Punkt 7:' und einen der ttbrigen Verzweignngspunkte gehenden linearen Ranm versehwinden noeh die ( 2 ~ - - 1 ) ~e~

Derivierten der bezfigliehen Funktionen fiir die Nnllwerte der Argnmente~ diese letzten Funktionen sind gerade~ die restliehen ungerad% und so kann man welter gehen~ bis inklusive za

n - - 8 X-- T - - 2 ~ - - 1;

f~ir diesen Weft ist n --ns 3 -- 1

3--=- ~--I 2

hier(n2__[n3] lineare RKtlm% deren Determinanten den e s gibt

Rang 2 n - - 2 besitzen. Den ( 2 ~ : ] , die durch den Iqullpunkt \ ]

\ - - - - - - /

gehen~ entspreehen gerad% den anderen ungerade Funktionen. F i i r n m_ 4~ -~- 3 beginnt die Kette mit ungeraden Funktionen.

Ganz analoge Verhaltnisse ergeben sieh fiir gerades n~ wo zwisehen n = 4 ~ und n ~ - - - 4 ~ - 2 zu seheiden ist~ fiir n~---4~ beginnt die Kette mit geraden~ fiir n = 4v-~ S mit ungeraden Funktionen.

Wir wollen nun noeh ftir die einfaehsten Werte yon n die hierher geh~3rigen Resnltate aussprechen.

Der Fal l n~---1 und n = 2 ist bedeutungslos~ fitr n = 3 haben wit anf den c~ 2 Geraden - - dieselben gehen natiirlich durch keinen Verzweigungspunkt - - Determinanten mit s - : 17 zu diesen geh~3rt ein Paar ungerader Funktionen~ wie wir dies schon frgher gesehen haben.

Der Fall n ~---4 mit seinen acht Verzweigungspunktepaaren liefert acht Ebenenbiindel~ die jedesmal cx) s korresidual ver- sehiebbare Punktgruppen tragen. Wghrend die sieben Btindel dutch den yon (=~ %)Versehiedenen Verzweigungspunkt ungerade identisch verschwindende Funktionen liefern~ gehSrt das dureh (=0, ~) gehende Bfindel zu geraden Funktionen. Hier versehwinden also zwei gerade Funkfionen mit den Argumenten.

im Fall n-~-5 haben wir zu den cx~ linearen R s des R~, soweit sie dtlreh keinen Verzweigungspunkt gehen~ Determinanten vom Rang seehs. Ihnen entspreehen zwei gerade ~-Funktionen~ den neun linearen R s dareh je zwei Verzweigungspunkte, yon denen einer der Aafangspunkt is% gehSren 18 gerade Funktionen zu, den iibrigen 36 entspreehen 72 ungerade Funktionen.

Im Fall n~---6 haben wir zwei ungerade Funktionen~ die saint ihren ersten partiellen Differentialquotienten identisch ver-

Funktionen n n d

k /

sehliel~lich 330 ungerade Funktbnen n. s. w.

Uber elliptlsch-hyperelliptische Funktionen. 159

Jedesmal schliel~t die Kette mit ungeraden Funktionen ab. Dieses letzte Glied ist insoferne bedeutungslos~ als dadureh keine modulate Restriktion des zugehSrigen Gebildes bewirkt wird: viel- mehr ist das identische Versohwinden der dieses Glied bildenden Funktionen lediglioh eine Folge der speziellen unteren Grenze. Nur die spater s Glieder~ also yon den geraden Fuuktionen angefangm b geben diejenigen modularen Einschr~nkungen~ die f~ir die Klasse der elliptisch-hyperelliptischen Funktionen charakteristisch sind. Also im Fail n ~ 3 sind die Thetas allgemeine~ in der Tat h~tngt ja das zugehSrige Gebilde vom Geschlechte p~---4 yon 6 Modala ab~ dem Modut des elliptischen Gebildes und den hlnf Pankten, die den Kegelschnitt bestimmen. Der Fall n = 4 hat aeht Moduln~ die zehn T},~ desselben sind durch die beiden Relationen~ die durch die verschwindenden Nullwerte der beiden geraden Funktionen repri~sentiert werden, miteinander verkniipft.

Im allgemeinen Fall hat das Gebilde 2n Noduln. Wieso die identiseh verschwindenden Punktionen gerade so viele unab-

hitngige Relationen darstellen~ dag dutch sie die Zahl der n (n @ 1) 2

Thetamodaln auf 2n unabhi~ngige reduziert werden, das ist eine Frage far sich~ auf die wit nieht nigher eingehen.

Nan kann den letzten Sehlul~s~ttzen aueh noeh eine andere Fassung geben~ be ide r die jedesmalige Unterseheidung zwisehen geraden und ungeraden n wegfi~llt. Verwendet man ni~mlieh die Freiheitsgrade, die ein einem iclentisch verschwindenden */f/jj zu-

gehSriger linearer Raum besitzt, dazu~ um so viele Sehnittpunkte desselben mit der C++ in den dem Punktepaar (%, ~ ) entsprechenden Punkt ztlsammenrtieken zu iassen~ als dieso gestatten~ so wird der bezt~gliehe lineare Raum im allgemeinen die C,+ dort 2s-punktig schneiden, nut dann 2s@-l-punktig~ wenn er a priori clureh ( % ~ ) durchzugehen hat. R~umen~ die dann dort h-punktig schneiden~ im ttbrigen durch die Bestimmung noeh dutch n - - h - - 1 Verzweigungspunktepaare durehzugehen~ vollkommen bestimmt sind~ entspreehen dann identisch verschwindende 6 gl-Paare, die

l.hl tttr die Nullwerte tier Argumente verschwinden mit Einsehlu$ ihrer partiellen Derivierten bis zur ( s - 1) t~= Ordnung inklusive~ wenn h = 2s ist, bis zur s ~+= dagegen, wenn h = 2s @ 1 ist.

Zur Erl~tuterung seien noch die ersten Falle angedeutet. Die ebene C 3 hat in r,; eine Tangente~ der ein ungerades identisches verschwindendes Fanktionenpaar entspricht , bei der C~ des R 3 haben wir sieben Tangentialebenen~ die n och dutch einen der sieben Verzweigung"spunkte gehen, ihnen entsprechen sieben Paare ungerader ~lffl'l J tier Oskulationsebene in (=o ~;), mr die h - - 3

ist, entspricht ein Paar gerader Fanktionen. n ---~ 5 liefert einen vier- punktig schneidenden, neun dreipunktig schneidende und 36 zwei-

160 Paal Roth,

punktig schneidende R3~ diesen entspreehen 20 gerade und 72 ungerade identiseh versehwindende Funktion u. s. w.

Bewiesen wird der obige Satz s% dal~ man zeigt, dag die allgemeinen S~ttze unver~tndert riehtig bleiben~ wenn man mit Integranden erster Gattung operiert~ die teilweise yon hiSherer als der ersten Ordnung versehwinden, indem man namlieh die Reihenentwiekl~ngen der Integrale v~. nnd w,~ nach ganzen resp. gebroehenen Potenzen des elliptisehen Integrals dort n~ther verfolgt.

Znm Sehlul~ kommen wir noeh einmal anf die S e h o t t k y sehen q~ I v - e) zurtiek. Es ist dem fr~iher Gesagten wohl kaum etwas Nennenswertes hinzuzus Man kann die Sgtze yore identisehen Versehwinden wSrtlieh ttbertragen~ wenn man ttberall linearen Raum dureh ]/O ersetzt~ ,,korrespondierend" dutch ,absolnt konjugiert." Es ergeben sieh dann die S~tze~ die S e h o t t k y in seiner Arbeit im 106. Band des C r e l l e s e h e n Journals atffgestellt hat und die er dort mit Itilfe der W e b e r s c h e n Ausnahmes~ttze fttr die R i e m a n n sehen Thetas aller (~z @ 1)-Veranderliehen des blol] verzweigt doppelt iiberdeekten elliptiseh-hyperelliptisehen Gebildes vom Gesehlechte p = r~ @ 1) abgeleitet hat. I)

~) Die 'hier verwendete Methede ist elne Verallgemeinerung tier yon P r y m (Ztiricher Denkschriften Bcl. ~ ) fiir den hyperellipfischen Fall aufges~ellten.

Über elliptisch-hyperelliptische funktionen

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