Computing 13,249--252 (1974) �9 by Springer-Verlag 1974

Ober die Bestimmung minimaler Wege und Geriiste in Graphen

H. A. Jung, Berlin

Eingegangen am 30. November 1973

Zusammenfassung - - Abstract

Uber die Bestimmung minimaler Wege und Geriiste in Graphen. Es wird ein Algorithmus (M) zur Bestimmung minimaler Wege und Geriiste in Graphen mit gewichteten Kanten angegeben. (M) stellt einen Zusammenhang zwischen einigen bekannten Konstruktionen her.

On the Determination of Minimal Paths and Spanning Trees in Graphs. An algorithm (M) for the determination of minimal paths and spanning trees in graphs with weighted edges is described. (M) produces a connection between some known constructions.

In dieser Note wird eine Verallgemeinerung (M) eines Algorithmus von G. B. Dantzig [-1] zur Bestimmung minimaler Wege in Graphen besprochen, mit dem auch nichtlineare Fragen behandelt werden kSnnen. (M) enth~ilt als Spezialfall einen der yon J. B. Kruskal in [33 (Konstruktion B) angegebenen A1- gorithmen zur Bestimmung minimaler Gertiste in Graphen.

Ein anderer Spezialfall erlaubt die Konstruktion yon beziiglich der Ecke Vo in G normalen Biiumen T: eine Kante e von G heiBt beziiglich v o in T kontrollierbar, wenn ein Weg in T mit Anfahgspunkt Vo existiert, der beide Endpunkte yon e enth~ilt; T heiBt normal in G beziiglich Vo, wenn T Teilgraph von Gis t und jede Kante von G beztiglich Vo in Tkontrollierbar ist (vgl. [2]).

Im folgenden sei eine reelle Funktion f = f (x, y) gegeben, die monoton auf beiden Parametern ist:

x<=x', y< y' ~ f (x, y)< f (x', y').

Weiter sei ein Graph G mit der Eckenmenge V und der Kantenmenge E gegeben (kurz G=(V, E)); jeder Kante e ~ E sei eine reelle Zahl w (e)zugeordnet. f kann als Bewertungsfunktion, w als Kostenfunktion interpretiert werden.

Fiir Folgen P:vo, e 1, vl . . . . . e,, v,, wobei el Kante zwischen den Ecken vi-1, vl ist (1 < i<u), definieren wir rekursiv die Kosten l(t, P) von P mit Anfangskosten t durch

l (t, P ) = f ( l (t, P'), w (e,)) mit der Folge P ' : v o, el . . . . , v,_ 1;

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besteht P nur aus der Ecke Vo, so sei l(t, P ) = t . Stimmt das letzte Glied einer Folge P~ mit dem ersten einer Folge P~ tiberein, so ergibt sich fiir die zusammen- gesetzte Folge P sofort

l ( t , P ) = l ( t ' , P 2 ) mit t '= l ( t , Pa).

Algorithmus (M): Seien ein v o ~ V und eine reelle Zahl t o vorgegeben. Ffir i = 1, 2, ... werden t i, vi, j (i), ei rekursiv unter der folgenden Bedingung (Mi) bestimmt. (Mi) ti sei das Minimum der Zahlen f( t2, e), wobei l < j < _ i - 1 und e Kante zwischen vj und V - {v l , . . . , v i_ 1} ; das Minimum werde angenommen ffir j = j (i) < i - 1 und die Kante e i zwischen vjti) und vi ~ V - {v 1 . . . . , vi- a}.

Das Verfahren bricht ab, wenn keine Kante zwischen {v~, . . . , 1 ) i_1} und V - { v 1 , ...,v~_x} existiert; fiir dieses i setze i = m + l . Dann ist {Vo, ...,v~} die Eckenmenge der K o m p o n e n t e n Go von G, die v o enth~ilt. AuBerdem folgt un- mit telbar durch Indukt ion tiber i, dab Vi = {vo . . . . , vi} und Ei = {el, ..., e~} einen Baum Ti=(V~, Ei) definieren. Also ist T~ spannender Baum von Go. Ist weiter P~, ~ der Weg in T,, zwischen vj und v~ und liegt vj auf dem Weg in T,, zwischen v o und v i, so folgt nach Kons t ruk t ion l(tj Pj, it= ti, insbesondere l(t o, Po.~t = ti Wir geben als erstes ein Kri ter ium daftir, dab t~ das Min imum aller l(to, P) ftir Wege P in G zwischen v o und v~ ist.

Behauptung 1: S e l f ( t , 0)> t Jfir alle t > t o und w (e)>_O ffir alle Kanten e yon G.

(1) Fiirj<__ i gilt t j< t i.

(2) Ein Weg Q in G zwischen tj und t i erffillt l (t j, Q) >>= ti.

(3) Ist Q Weg in G zwischen v o und v i mit l (to, Q) = t i u n d ist f ( x , Yo) J~r alle Yo >0 sogar streng monoton in x, so kann durch passende Anwendung yon (M) erreicht werden, daft Q Weg in Tm ist.

Beweis:

I. Aus ti=f(tj(1), w (ei))>=f(tj~o,O) ergibt sich durch Indukt ion zun~chst ti>=to und daraus welter ti>=~(i). Sei i 1 ~i2 und til>ti2 , also i3=j(i2)>=ia nach (Mil); es folgt t~3 ~ ti2 < t h und durch I terat ion dieses Schlusses ein Widerspruch.

II. Sei Q Weg in G zwischen Vo und vi. Sei vr die erste Ecke auf Q mit vr~ {vl, ..., vi_l} und e die Kante yon G zwischen vr und dem VorgSnger v s yon v~ auf Q. Sind dann R, S die Anfangsstticke yon Q bis v~ bzw. vs, so k6nnen wir l (to, S) >= t s wegen s < i annehmen und erhalten

l (to, R ) = f (1 (to, S), w (e))>=f (t s, w (e))>=f (t2(i) , w (e~)) = ti, also

l (to, Q) => 1 (to, R) => t i.

Setzt man t~=t(v~)(O<i<__m), so sind nach dem Bisherigen bei festgehaltenen t o, v o die Werte t i = t (v~) unabh~ingig von den Wahlm6glichkei ten in (M). IIL Ist Q* Weg in G zwischen vj und v~ und entsteht Q durch Anheften von Q* an Po,j in der Ecke vj, so rechnet man t~__< l (to, Q)= I (tj, Q*) nach II.

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IV. Sei Q Weg zwischen Vo und v mit 1 (to, Q) = t (v). Im Fall t (v) = to ist klar, dab man in (M) V l , . . . , v i = v in der Reihenfolge von Q w~ihlen kann. Sei also v' die letzte Ecke auf Q m i t t (v')< t (v) und Q' das Anfangsstiick yon Q bis v'. Im Fall t (v ')<l(to, Q') sei v" die auf v' folgende Ecke yon Q und e die Kante zwisehen v' und v", Q" das Anfangsstiick yon Q bis v". Dann reehnet man unter der Voraussetzung in (3)

l (t o, Q)> l (to, Q")= f (l (t o, Q'), w (e))> f (t (v'), w (e))> t (v")= t (v).

Im Fall t (v ' )=l( t0, Q') kann man annehmen, dab (M) so durchgeffihrt ist, dab Q' Weg in Tm ist. Sei j maximal, so dab t j < t (v). Nach (1) gilt v ~ {v 1 . . . . , vj} fiir alle Ecken v auf Q hinter v'. Beginnend mit v j+ ~ = v" kann in der Reihenfolge yon Q bei (M) verfahren werden.

Der Algori thmus yon G. B. Dantzig [1] ergibt sich ffir['(x, y ) = x + y .

Im Fall f (x, y) = y wird die Best immung yon t i fiberfliissig, und (Mi) geht fiber in:

(M Ci) Sei w (ei) das Minimum alter w (e), wobei e Kante zwischen {vl , ..., vi-1} und V - { v l , . . . , v i _ l } ; ei sei Kante zwischen v i6 V - { v l , . . . , V i _ l } und v~c 0 e V - {vl, ..., v~_ 1}.

Der Algorithmus (MC) liefert Minimalgeriiste und ist ein Spezialfall yon Kon- struktion B in [3].

Behauptung 2: Sei f ( t , y ) < t Jfir alle tN to und alle y < 0 , welter w ( e ) < 0 J~r alle Kanten e yon G. Dann ist T m normal in G O beziiglich Vo. Wenn dariiber hinaus w (e) = c j~r alle Kanten e yon G gilt, so lfifit sich jeder in Go beziiglich Vo normale Baum durch (M) erzeugen.

Beweis:

I. Aus t i = f (tj(i), w (ei)) folgt induktiv fiber i zun~ichst ti < t o und daraus t~ < tj~ o. Sei e Kan te in G zwischen v~ und vs, etwa r < s. Sei u minimal, so dab v, auf Po,s liegt und r < u gilt. Im Fa l l j (u) < r folgt t r __<f (ti Cu), w (e,,)) = tu und andererseits t, < f ( t , w (e)) < t~, also ein Widerspruch. Dies liefert j (u) = r, d. h. v~ liegt auf Po, s.

II. Sei T' beztiglich v o in Go normal. Die Kan ten e l , . . . , e~_ 1 seien auch Kan ten yon T'. Die Kan te e~ sei keine Kan te in T'. Da Po,j(o Weg in T' ist und T' normal in G bezfiglich v o, ist Po, j (i) Anfangsstiick des Weges Q in T' zwischen v o und vi. Die erste Kan te e von Q, die nicht auf Po,jtl) liegt, hat die Endpunkte v2 (o, vu mit u > i. Wegen f (t~ r w (ei)) = f (tj.(1), w (e)) kann man in (Mi) die Kante e start eg w~ihlen. Also liefert (M) einen Baum T(m ~) der die Kan ten e~ 1) . . . . . el 1) mit T' gemeinsam hat. I terat ion dieses Schlusses liefert die Behauptung.

Man beachte, dab ein von v o ausgehender hamil tonscher Weg in G ein bezfiglich v o in G normaler Baum ist. Im Fall f (x, y )= x + y, w ( e ) = - 1 sind mittels (M) nach Behauptung 2 alle beziiglich v o normalen Biiume konst ru ierbar ; man kann sich in (Mi) dann auf die Best immung von ei, vi, j (i) heschr~inken.

(MNi) Unter den Ecken v e {v l , . . . , v i_ l } , die mit V - - { v I . . . . . Vi_l} verbunden sind, habe vj~) maximalen Abstand yon Vo in dem yon v~, ..., vg_~ und el, ..., e~-i definierten Teilgraph yon G; vj(~) sei mit vi~ V - {v 1, ..., v i_ 1} verbunden.

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Literatur

[1] Dantzig, G. B. : On the shortest route through a network. Management Sci. 6, 187--190 (1959). [2] Jung, H. A.: Wurzelbgume und Kantenorientierungen in Graphen. Math. Nachr. 36, 351--359

(1968). [3] Kruskal, J. B. : On the shortest spanning subtree of a graph and the travelling salesman problem.

Proc. AMS 7, 48--50 (1956). [4] Pape, U. : Eine Bibliographie zu ,,Kiirzeste Weglgngen und Wege in Graphen und Netzwerken".

Elektronische Datenverarbeitung 6, 271--274 (1969). [5] Prim, R. C.: Shortest connection networks and some generalization. Bell System Techn. J. 36,

1389--1401 (1957),

Prof. Dr. H. A. Jung Fachbereich Mathematik Technische Universit~it Berlin Stral3e des 17. Juni 135 D-1000 Berlin 12