W. MYLr~n-LsBr~r~. Integralgleiehungen und Randwe~taufgaben. 325

Uber die Anwendung der Integralgleichungen in einer parabolischen Randwertaufgabe:

Von

WERA i~YLLER-LEBEI)EFF in Bukarest.

In meinem Ar~ikel ,Die Theorie der Integralgleichungen in An- " " en" wendung auf einige Reihenentwickmng ~ Math. Ann. Bd. 64, babe ich

reich mit derjenigen Liisung der partiellen Gleichung yore par~.bolischen Typus

~ u 1 ~u 1 ~ 0 C,1) L(u) ~ 3x' q- x 8x x 8t =

besch~ftigt, welche dutch vorgeschriebene Werte auf dem Stiick (0, oo) der Charakteristik t = v i m Bereiche t > v, x > 0 bes~immt wird.*)

Iqehmen wir einen Bereich A B C D in der Halbebene x > 0, welcher duroh die Charakteristiken t---- a, t = b und die Kurven A B and CD be- grenz~ist , deren Gleichungen x = ~l(t) resp. x = ~( t ) sein mSgen. Ich nehme m i r v o r , in den folgenden Zeilen eine im Innern yon A B C D stetige LSsung der 6Heichung (1) zu finden, die auf A B , CD, B C die vor- geschriebenen Werte fx(t), f~(t), f(x) an

nimmt.

Die Funktionen fx, f~, f werden stetig~ differenzierbar und in den Punkten B, C fiber- einstimmend vorausgese~zt. Die Funktionen

t

A t--h

\ B

D

Y C

~(t), ~,(t), ~'(~), ~,'(t) ~erden gleichfans far a<t <b endlich un4 ste~ig vorausgese~zt, hSchstens kSnnen die Ableituagen in den End- punkten unendlich werden, so jedoch, dab

endlich bleiben.

*) Siehe auch S. Kepinski, Math. Ann. Bd. 61.

326 W. I~L,.~- L ~ . ~ r .

Bemerken wit zuniichs~, dal~ dieses Problem nur eine Liisung hat, wenn es iiberhaup~ eine hat. Man beweist das ffir irgendwelche nicht:- geschlossene Randkurve c, die ihre beiden Enden auf einer Charakteri- silk A D ha~ und ganz unter derselben verl~iuft, indem man voraussetz~, da~ dieses Problem zwei LSsungen hat, ihre Differenz u bilde~, die auf c verschwinde~, und das Integral

if. ( ' , ) O = x % ~ + u d x d t

a __ ~ ~ _ f x % ~ d x d t = f f i (c) A D (,)

.a o (~)

be~rach~et. Bei x > 0 folgt daraus u -~ 0, w. z. b. w.*) Wir beginnen mi~ der einfaeheren Aufgabe, wo die vorgeschriebenen

Wer~e gleich f~(t) auf A B , f~(t) auf CD und 0 auf B C sind, und wit benu~zen die Methode~ die E. H o l m g r e n ftir die ~hnliche Aufgabe bei der Gleichung der W~rmeleitung gebraueht hat.**)

Be~rach~en wir das Integral

t

.a.

wo ~ die null~e Besselsche Funktion und Ol(v ) eine willkiirliche sh~tige FunkCion ist. Ein ~ihnliches Integral, wo q)l, ~1 dutch r ~s ersetzt werden, mSge u~ (x, t) heiBen.

u~(x,t) geniigr der Gleichung (1) und ist im Innern yon A B C , D

sam~ den Ableitungen ~ 02u~ 0u, stetig.

Auf A B ist u~(s, t) stetig und nimmt die Werte

t

f % (~)

g

t-b~

an. DaB dieses Integral existier~, wird klar, wenn wir den asymptoti- schen Wer~ yon J0 ftir sehr groBes Argument beriicksichtigen: die Funk-

*) Bes~eh~ die Begrenzungskurve aus den Halbachsen 0x, 0f, so ist aus dieser Formel leich~ ersich~lich, dab man die Werte nur auf 0x vorzuschreiben braucht.

**) Arkiv f6r Matem~tik, Bd. 8; Comptes Rendus, 21. d~c. 190q. Siehe auch E. E. Levi , Comptes Rendus, 27. janv. 1908.

In~egralgleichungen und Ra'ndwertaufg~ben. 327

~ion unter dem an t wie

Integralzeiehen verh~lt sieh bei

~ (0 + ~, (0 V t - - ~ ~ V ~ - ~

1 1 1

der Ann~herung

e t-~

v o n

Zugleich sehen wir, dal3 die Kurve x-----~l(t) keinen gemeinsamen Punkt mi~ der t-Aehse haben darf, was vorauszusehen war, denn x----0 ist die fes~e singul~re Linie der Gleichung (1).

Die gesuchte LSsung m(ige die Form

haben; die Bedingungen flit die Randwerte fiihren dann zu dem folgenden System yon Integralgleichungen fiir die Funktionen q)l(v), r

t

~ - d t _ _ ~ Jo 2i t - - ~

t

f,(O =,.I Jo 2i i;i

t

+ j ~ _ e r

i~ (0 + ~, (~)

Wi t transformieren dieses System nach dem Vorgange yon V. Vol te r ra*) ,

indem w i r e s mit d~ multiplizieren und yon a bis z integrieren. ~/z -- t

Dureh Umkehrung der Integrationsfolge finden wir

,$ z

a o~

U. c$

*) A~i di Torino, k ~l, Note IL

3~8 W. MYLLEI~- LE]~EDEFF.

WO

und

J V~-~ . . . . . . d t

z~ (0 + ~ (~) ~- _ _ e t - ~ J o 2 i - - - - d r .

Wit differenzieren das neue System naeh z, wobei die Formeln

1 V ~ i = j

0 i =b j ,

~ (0 + ~j (~) 1 - ( ~/~ii(t)~j(v))

= : - - e t - ~ Jo 2 i

in Betraeht komme~, und wir gelangen schlieBlieh zum System

= _ _

( 2 )

=

wo die Kerne

~ ez az (% a

O~ q,

bei den den Funktionen ~1, ~ auferlegCen Bedingungen im Punk~e z ~

1 unendllch werden. E in entweder stetig sind oder hiiehstens wie ~

solehes System wird in gewiihnllcher Weise dutch sukzessive Approxima- tionen geliist und hat ein und nur ein System yon stetigen LSsungen.

Betrachten wit jetzt das allgemeine Problem, wo auch die auf B(7 vorgeschriebenen Werte yon Null verschieden sind; sie miigen f ( x ) sein. Aus der gewiih~_liehen Greenschen Transformation des Integrals

(~BCl))

WO U eine LSsung yon (1) und v eine LSsung der adjungierten Gleichung

In$egralgleiehungen und Randwer~aufgaben. 329

M(v) ~ ~z~

ist, folgt

f -~uvdx A D

(3)

x 0 ~ + u v ~ O

A B

CD BO

Geling~; es, eine Funktion

(x, z, t, b) = ~ (x, ~, t, b) + ~, (~, t)

zu konsr wo

G(x,~,t ,b)= x F-__~ e x + ~

und v~(x, t) eine ste~ige LSsung yon M(v)----0 ist, dingungen

erffillt, so ist

~ (x, b) = O,

v~ (~(t) , t) - - - G (~, (~, x, t, b),

(4) f -}~dx = ~(~, b), A D

die folgende Be-

Es versehwinden dann die Glieder mit % in der reehten Seite der For- reel (3) und es ist

/. f f + Z u v d x , u ()~, b ) = - - v~ d t - - u v ~ d t x

A B C, D

oder, wenn wit s~at~; 2~ b, x, t die Bezeichnungen x~ t, ~, v einfiihren,

t t

~ (a)

Somit ist die gesuchte Liistmg u(x, t) yon (1) im Bereiehe ABCJI) durch ihre Randwer~e definiert. Es bleib~; zu zeigen, dab die Funktioa

3 3 0 W. MYLI,Ea-Lrn~r~EVF. In~egr~lgleichungen und Randwertaufgaben.

% ( x , t) konstruierg werden kann. Diese Aufgabe aber l~iBt sich gerade .ebenso behandeln, wie die spezielle am Anfang behandelte Aufgabe ffir die Oleichung (1).

Es wird v 1 (x , t) in der Form

b x + ,~ (~)

e ~-~ Jo 9i d~ t

b

_C:_~_ t e ~ - t J'o 2 i -C-Z-- ~ . t

dargestell~, und q)l(v), r dutch ein dem (2) analoges System yon Integralgleichungen definier~.