ucla statistics | websitesczhu/papers/romeo_bound.pdfhjile4¢aÀrc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u...

25

Upload: others

Post on 26-Oct-2020

2 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

� ��� � ������� ������ ��������������� � ����� ��! " #��$��% &'�(����)#+*

,.-0/21314/6587:9;14/=<?>0@A5CBEDGF8H3/6HJIEKL14M8>ONP5RQ8>TSU>�5RQ8>�5RVT>$WX>Y1[Z[IES\I]D=/6H_^.BE<?SCD=>TZ

`badcJefaJgAhjilknmoiph h4qor s�adqot[uwvUxYmoqAyExTm

z�{d|Y}w~3����}

s�aj�n�Tk�qotJ��kn��knadq(�o��ad�o��efcJ� aj����efq�elq��;hjkn������eph4��i;xoknqot0h���ad�nm���knadq(���ohjile�Gad� ad����knc�h4���w�;h4��e��G�;���x�h4�)x�hj��cJh[��k�cmoc��\hp�def��k�h4q?��ad����el��knad���o��ad��hj�okn��k���� ad��c)k�qokncmoc¡elqoef��tj�j¢¤£¥xoefq¤��xoe�jad��moc)ebaj�]��xoe�����hjifeLk��CxYmotde4¦�eP��x�h4mo����kn�de���elhj��i;x_��elifadcJef�§knq��Geph4��k�����ej¢8¨�efqoel��k�i©����a�i;x�h4����kni��ephj��i;x$�2e4¢ªt�¢Ug«hj��¬4a3��i;xohjk�qAg«adq���e­v\hj����aY�Uifadmo�nr0��e�ef�jelqA®§ad����e¯��x�hjq�eP��x�h4mo����kn�de­��elhj��i;xhj�¯kn��cJhp���Tk���k��¯h0�w�;h4��eJ��el��eph4��elro���d¢�°�aAe±���:ef��rok���e���xoe�gAhj��¬ja²�Oi;x�hjk�qO��elhj��i;xE¦.adqoe)cJh²�mo��e�xoelmo��k��w��k�if�bhj�U³�´�µ;³�µ²¶l·j¸�³�´�µj¹;·�¹lº�¸»º�¼=½©��a�tdmoknroeL��x�e¾��eph4��i;xAknq_�o��ajcJkn��k�q�t�:aj����knadqo�\a4�¿��xoe����hjile4¢AÀRc)�ok���k�ilhj�����0��xoe���elifelq���r�h4��h[u�r���kn�jelq�gAhj��¬4a²�Ái;xohjk�q�g«adq���e�v\hj���na��2¾Â�g(vÃg(vÃ���i;xoelc)e�Ä»ÅpÆ�¦�Å3ÇT¦EÇ[È=¦Ehji;x�k�ef�je��2hj�w�L��elhj��i;x�knq(h)qTm�c�:ef� aj�.��kn��knadq«��hj��¬Y�l¦Eh4������kn�om���efr(������®Uaad����el�w�4h4��knadqo�l¢É�2k��±¢Ê°ÃxoeA�:ad�w��ef��k�aj���o��ad��hj�okn��k���k�ef��k�q¤�Tkn��k�ajq?�;hj��¬Y��aj����efqËx�hp�deA�jel�w�Ì��a²®efqY����ad���Áhjqor���xYmo�­q�hj����a²®b�n�(�GaTilm���elrÁadq�h_��kntdx����:aj����knadq�aj�U��xoe)���;h[��e)����hjifej¢��Gk�k��P¢�°Ãxoe�o��ad��ad��hj�Í�o��ad��hj��k���k����_ilajcJ�om���elr«k�q«�:aj����adc�u�m��«c)ef��xoa�r«iphjqAhj�o�o��ap��knc�h[��e���xoe­�:ad�w��ef��k�aj�®§el�n�6¢�Î�qË��xok��_��h4�:ef�l¦b®Ue�����mor��¥h$knqoroel��elq�roelq��Ag«ef����ad��ad�nk�����hjcJ����el�J®bxok�i;x¥k�����k�c)�o�neilhj��ebmo��elr�h4�Riladc)�:ajqoelq����Cknq�roel��k�tdqoknqot¾ilajcJ�o�neP��g(vÃg(v?hj�ntdad��kn��x�c«¢�£ÁeÃad���;h4k�q�hjq�h4�n�Y��kni�Gad��cmo��h©�Gad�.��xoeÃeP����eliP��elr���kncJef�¿��aLÏ����w�Cxokn�8hLilel�w�;hjknq�����h4��e��fÐwÏ������Cxok�����knqot4u6��k�c)elÑ��P¦3hj�8®§el�n�hj�b�def���0��kntdx�� �na3®§el��hjqor«mo�o��el���:adm�qoro��®bx�k�i;x(roef�:efqoro�Lajq«��x�e¯��aj�;hj���4hj��k�h4��k�adq���ef��®§elelq��xoe��;h4��tdeP���:aj����ef��knad�hjq�r���xoe_xoefmo��kn����k�i�����ad��h4�ok��nkn��knel�f¢A°Ãxoef��e���ef��mo�������xoa²®�¦Ò��xoadmotdx$knqxYmoc����e0iphj��el�l¦§��x�h4�Jadqoe0iph4q?k�q�roelefr?��elhji;x?aj����knc�hj�U��ad�nm���knadqo��k�q �def��� �Gef®Ó�w��ef�o�J®bk���xtdaTaTrO����ad��ad��h4�R�o��ad�ohj�ok��nkn��k�el����eft�hj��r���el���­a4�U��x�e)��k�ÔfeJaj�Ò��x�eJad��k�tdknq�hj�¿��eph4��i;x ����hjifej¢�°Ãxokn���el��m��n�§k��ÒroknÕ:el��elq��§�G��adcÉ�o��ef�Tk�adm��Uhjqohj�n�T��kn�§ajqJ��x�eLgAh4��¬ja²�Ji;x�hjknq�ilajqY�jel��tdelqoifeL��h[��eb®bxok�i;xhj��eb�:adm�qoroelrJ������xoe©��efiladqor���hj��tdel�w�Celk�tjelq�u6�jh4��moe¯�GcJaTromo�nmo�;�8hjq�rJaj����elqJilad����el���:ajqorJ��a¯��xoe®§ad���w�Riph4��eÃk�q­��xoe\efq���k���eU��ephj��i;x)����hjifej¢8Î�q�ifadcJ�ohj��kn��adqajmo�8hjqohj�n�T��kn�.��ephj���8c)ad��e§��el�nef�4hjqoife��a���xoe�ad����k�c)k�Ôph[��k�ajqJ�;h4��¬Y��knq_��kn��knadq]¢

Ö«×�Ø]Ù�ÚÜÛ4Ý�Þ�g«hj��¬4a3� vUx�h4k�q g«adq���e�v\hj���nao¦�ß.k������­à�k�����k�qot_°ÃkncJe4¦.vUajqY�jel��tdelqoife�`�h[��ej¦�Î�qoroe±u��elqor�elqoifeg«eP����ad�:aj��k��©s�hjcJ����el�f¢°ÃxoeÁhjm���xoad���0hj��e(®bkn��x¥��xoeOÂLel��h4����c)elq��0aj�sT�;h[��k��w��knil�l¦�á�Ųâjã¤g«h4��x]¢äsTilk�efqoileÁ�U�nroto¦��Uap�

å�æ Å ædæ Æo¦�ç�qok��def����k�����aj�8v\hj��k��Gad��qok�h�¦Tè�ad�bé qotdef��ef�l¦Üè�ad�bé qotjel��ef�l¦�vUé å ãdã å�æ ¢efc�hjkn���fêUë3��cJhjilknmoiph�¦ª��ilÔlxYmEì4íL�w�;h4�l¢ªmoif��h�¢îelr�m

Page 2: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

� ������������ ��������

s�aj�n�Tk�qotb�Tk���k�adq¯�o��aj�o��efcJ�Íaj����elq�efq��;hjkn���Í��elhj��i;xoknqotLh©��ad�nm���knadq�����h4ile�� �Gaj��aj����knc�hj�j���;h[��e��G�;�����������x�h4��x�hj��cJh[��k�cm�c �Uh²�jel��k�hjqO�:aj����ef��knad�¾�o��aj��hj�okn��kn�����������±���2ad� cJknqok�cm�c efqoel��tj���P¢£¥xoefqÁ��xoe�jad��moc)eAa4�L��xoeA����hjife(k��JxYmotdej¦Ã�Gad�JeP��hjc)�o��e4¦bhÁ���T�ok�ilhj�©iladc)�om���el�J�Tkn��k�ajqÌ�o��aj�o��efc cJhp� x�hp�de� �wŲã! �� �jh4��k�h4�o��ef�l¦���xoefq e±��xohjmo����kn�je���elhj��i;x �:efiladc)el�¯k�q��Gelhj��kn�o��e4¢)ßÜm�����x�el��c)ad��eJh_���T�ok�ilhj�C����h4ile�äiladq��;h4k�qo�)h���hj��tde�qYmoc��el��aj� ��mo�o����hjifel��a4���4hj�w��knqot�rok�c)elq���k�ajqo�l¦C��xokn�®bk��n�\��mo�ne_adm��)td��elelr��hj�ntdad��kn��x�c hjqorÁ�jh4��k�h[��k�ajq�hj�8c)ef��xoa�r����#"Ò¾ÀR���­hj�¯��xoeP�Ár�a(qoaj�­��elhj��knÔle)������moif��mo��h4�§i;x�h4qotdel�hjqorilhjqoqoaj��Ð�$�moc)�oÑ)�:eP��®Uefelq(��mo�o����hjilef�¾aj�8r�knÕ:el��efq�� rokncJefqo��knadqo�f¦o��xoadm�tdx«��xoel��ehj�ntdad��k���xoc)�\ilhjqA��emo��elrAhj�biladc)�:ajqoelq����bknq���xoe�tdefqoel��hj����elhj��i;x]¢Î�q���xoe���elifelq��U�jephj���§��x�el��e�x�hj�Ò�:efelq�tj��a²®bk�qot¯k�q���el��ef���Uk�qJhj�o�o����knqot¯����aTi;x�hj�w��kni�c)ef��xoa�r��l¦Y��moi;x

hj�_gAhj��¬4a²�Ëi;x�hjknq'g«adq���eOv\hj����a¥�=g(vÃg(vÃ����elhj��i;xE¦���a$tjelqoef��hj�©��kn��knadqÌ�o��ad�o��efcJ��k�q?��xoe�xoad��e��x�h4�\��xoe¯gAhj��¬ja²�_i;x�hjknqo�Ãiph4q�Ïoqor�qoephj���n�Jad����k�cJhj�:��ad��m���k�ajqo�\������hjcJ����k�q�t�h���knqY�J��ad����k�adq�a4�¿��xoe�w�;h4��e�����h4ilej¢Oà©a3®§ef�jel�f¦§tdefqoel��k�i��w��aTi;x�hj�w��k�i���eph4��i;x tdmoknroelr$���Ámoqokn�Gaj��c �o��aj�:ad��hj�U����ad��h4�ok��nkn��knel�ifadmo��r���eÃef�jelqJ®§ad����eÃ��x�h4q)e±��x�hjmo�w��kn�je���ephj��i;x�h4�Òk��RcJh²�¯�Tk���kn�ÒhL����h4��eb��el��eph4��elro���d¢&%LqoeÃad����k�ajq��ae±����el��rokn��e§��xoeÃg(vÃgAv$��ephj��i;xk��Í��a�mo��eUxoelmo��k��w��k�if�l¦4eP���o��ef����elr)hj�Uº�' ³�µ[´±¼6·!(*),+ͳ�´;µ;³�µ²¶l·j¸p³�´�µj¹;·�¹lº�¸»º�¼2½- �.�:�0/1�2�3�L¦Í��a�tdmoknroe���xoeJgAhj��¬ja²��i;x�hjknq���eph4��i;x]¢)°Ãxok���ifadqoilef���­x�hj���:efelqÁmo��efr k�q(��xoe)��elifelq��r�h[�;h[u ro��k��delq¤gAh4��¬ja²�$i;xohjk�q¤g«adq���eAv\h4����a �2¾Â�g(vÃg(vÃ���i;x�elc)ej¦§hjqor elc)�ok���k�iph4���n�(kn��hji;x�k�ef�jel��2hj�w�©��eph4��i;x0k�q0h)qYmoc��:ef�Ãaj�.�Tk���k�adq���hj��¬Y��Ä ÅlÆo¦]Å3Ç�¦�Ç[È6¢Î�qËeP����el��k�c)elq����f¦b®§e(ad����el�w�de(��x�h4�Jroel��k�tdqoknqot���ephj��i;x¥hj��tdaj��kn��xoc)��k�q?�Tk���k�adq �;hj��¬Y��x�hj�)��®Ua

hjr��jh4qY��hjtdef�Ãk�q�iladc)��hj��k���adq���a�aj��xoel�©gAvÃg(v hj���o��kniph4��k�adqo�§k�q_�ox��T��knil��hjqor��oknad��adt4�d¢.°Ãxoh4�bk��f¦�hjqknqo�om��bknc�hjtjeLx�hj�©h���hj��tde�hjc)admoq��baj�¿�ok���ef���bhjqor0�o��a3�Tknroel�©hj�om�qor�hjq��©k�q��Gaj��cJh4��knadq]¢

Åj¢©é�qÌk�cJhjtde0mo��m�hj����� x�hj�_hÁmoqok54YmoeAad�J�jel��� �Gef® ��ad����k��o�neAknqY��el���o��eP�;h4��k�adqo��hjtd��elelrÌhjcJajqotxYmocJhjq)ad�o��el���jel���l¢Ò°ÃxTm��§��x�e���ad����el��k�ad�C�o��ad��hj�okn��k����6��cmo���§��eb�GaTilm���elr�adq�h���kntdx��C�:ad�w��knadqa4����xoe«�w�;h4��e�����hjife0®bk���x ��xoe�c)a�r�e ��� � �roadc)k�q�h[��k�q�tA��xoe0�o��ad��hj�okn��k����d¢�Î�q¤aj��xoef��®Uad��ro��Í�.���±�87 � � Å3��k�� il��aj��e��a�adq�e)k��C®Ue�rokn��il��ef��k�Ôle��xoe����ohjile4¢)°Ãx�e)ePÕEefif��kn�de��w�;h4��e�����hjife��Gad�elhji;x9�Jx�hj�§h¾�dad�nmocJebe:4Tm�kn�4hj��efq��Ò��a­e±���]ë<;�efqY����ad���¿�=���±ì hjqorJk��Caj����efq)�jel�w�J��c�h4���6¢�°Ãxoe©��ef���a4�¿��xoe����;h[��e�����h4ile¯k��Ãk�����ef��ef�4hjq��\��a)��xoe�ad����k�c)k�Ôph[��k�ajq��o��ad�o��efc«¢

ÇT¢©°Ãx�eb�Tkn��k�ajq�iladc)cmoqok�����xohj�Croef�jel��aj�:efr�hj��moqor�hjq��C��aj����adc�u�mo��c)ef��xoa�r��8��x�h4�Cilhjq�iladc)�om���e����ad��h4�ok��nkn��� - �6�Íhj�8h4�o�o��ap��k�cJh4��k�adqo����a>���6�±¢8ç©��m�hj�n�n�?���=�Íkn�.aj�oiladc)�o��e±���Gad��c hjq�r�®UeUiphjqoq�aj�

Ç

Page 3: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

r���hp®É��h4cJ�o�nel���G��adc k���rok���eliP���n�j¢�Î�qo�w��eph4r ®UeJiphjqÁ��hjc)�o�ne - �6��hjqorÁmo��e)��xoef��eJ��hjc)�o��ef�¾��a��el�w� ��ad�§k����C��h[��k�a�¢.Î�qJ��xok��R®Uhp�d¦ - �6� � �§hj��e�mo��elr_h4�§xoefmo��kn����k�il�C��a¯tdmoknroeb��xoe©��elhj��i;x�knq�h���knqY���ad�w��k�ajq_aj�¿��xoe�����h4��e����ohjile4¢

ÂLel���okn��eJ��xoe�efcJ�okn��kniphj�R��moilifel���f¦Cmoq��Gad�w��moq�h[��el������xoef��e�kn�­qoa(hjq�hj������k��¯k�qO��xoeJ��kn��el��h4��mo��ejê¯�Gad�e±�oh4cJ�o�nej¦�®bx��Ailhjq(xoefmo��kn����k�il�©iph4q(eP����el��r�kn��e¯��xoegAhj��¬ja²�Ai;xohjk�q«��eph4��i;x���°�a�®bx�h4� eP�T��efqY� roaTel���xoe�����elelrTu�mo�«roel��elqor0adq���xoe�rok��def��tdefqoile¯�:eP��®Uefelq0��xoe�xoefmo��kn����knil� - hjq��.��x�e���hj��tjef�����Î�q­��xok��Í��h4�:ef�l¦3®UeÒ����mor��­h g0ef����ad��ad��knÔlelr�Î�qor�el��elqoroefqoileÃs�hjc)�o��ef��ad�ÍÎ�qoroel��elq�roelq��Cg0ef����ad��ad��kn�

s�h4cJ�o�nel�p�2Îwg(so�±¦.®bxokni;x¤kn��h���k�c)�o�ne�iphj��e�mo��efrÌhj��ifadcJ��adqoefq�����k�q$roef��kntdqok�q�tOifadc)�o��e±� g(vÃgAvhj�ntdad��kn��x�cJ�pÄ Å3ÇlÈ=¢ %¾m���h4q�hj�n�T��k��Ã��x�a3®b�b��xoh4�badqoe�iph4q«knqoroelefr0Ïoqor«��xoe�ad����knc�h4�E����h4��ef�bk�q_�def���_�Gef®�w��el���Òk��Ü��xoeÃ��®§a¯aj�o��ef���4h4��knadqo�Chj��a²�debxoad�nr����moejê\�wÅ3� ��kn�R�:elhj¬���hjqor«�6Çj�P¢ - k��8if��ad��e\��a?��¢.°Ãx�admotdxadm��¿��el��m��n���.hj��eÒroef��kn�jelr�G��adc�h�xYmoc����eÒiphj��ej¦j��xoef�­hj��e§�def���­roknÕ:el��elq����G��adc ifadq��delq���k�adq�h4�ohjq�h4�n�T��kn�adq_��xoe¾iladq��jel��tjelqoife���h[��e¾��admoqoroefr]¢Cé �î§e¯��x�hj�n�]��xoa²®Ê��h4��el�U��x�h4�Ã��x�e¾iladq��defq���k�ajq�hj����admoqoro�©hj��e��h4��elr�adq«®Uad�������w�;h4��e�:ef���Gad��c�h4qoile�hjqor(��x�ef��h4��e��nel���L��ef��ef�4hjq��L��a���x�e�ad����kncJknÔph4��k�adq��o��ad�o�nelc)�knq��Tkn��k�ajq]¢°Ãxoe���ef����aj�R��xok�� ��hj��el�¾k�� ad��t�h4qok�Ôfelr�hj�L�Gaj����a²®b�f¢¯Î�qOsTelif��k�adqOÇJ®§e�Ï����w��a²�del�w�Tk�ef®�admo�¾cJhjknq

��el��m��n���¯��a(����a²�Tk�roe)��xoe�knq���mok���kn�jeJknroeph4�l¢A°Ãx�elq$k�q�s�eliP��knadq$â�¦.®§e��o��el��elq�����xoeJ�o��eP�Tk�admo����el��mo�n���adq���x�e�ilajqY�jel��tdelqoife��h[��e¾��aJ��ef��mo�0��xoe¯��hji;¬Ytd��admoqorAhjqor«��aJifadc)��hj��e���x�elc ®bkn��x«ajmo� h4q�hj�n�T��k��l¢Î�q?s�eliP��knadq Æo¦R®Ue0��xoa²® admo��hjq�h4�n�T��kn��hjqor �o��aTaj�G��knq r�ef�;h4k����f¢ Î�q?s�eliP��knadq æ £Áe�rok���ilmo������adc)e��elcJhjk�qoknqot�o��ad�o�nelc)�\�Gad�\�Gm���m���e���ef��eph4��i;x]¢vUadqo��k�roef��knqot���x�h4����xoe§c�h4��el��k�hj�n�]c�hp��qoa4�.��e§�2hjc)k��nk�hj����a�tdelqoef��hj���Tk���k�adq�hjmoroknelqoifej¦[®Ue§�o��ef��elq��

��xoe���el��mo�n���bk�q0h��m���ad��k�hj�E�w�����ne�h4qor��o��a²�Tk�roef��r�k���ifmo����k�adq��b�Gaj�Ãil��h4��kn���j¢

� ���� �� ��� � ��� ����� ��������:���

é�����x�e�hjqohj�n�T��kn��knqA��h4��ef�©��eliP��k�ajqo� efqot�hjtdef� �nadqot)c�h4��xoelcJh4��k�iph4�]roelr�moif��k�adqo�f¦�®§e��mocJcJhj��k�Ôle¾��xoecJhjk�q_��el��mo�n���©knq_��xokn�Ã��eliP��knadqAh4qor�k����nmo������h4��e ��x�elc ®bk���x0h���k�c)�o�ne¾eP��hjc)�o��e¾knq�ß.k�tdm���e�Åd¢è�ef� ��� ëYÅ /±Ç /�������� /��Oì���e�h Ï�qok���e«���;h[��e����ohjile4¢ �����:��hjqor - �.�:�0/1��� Å /;Ç /������ /�� hj��e(��e±u

���:efif��k��def�n�(��xoe��;hj��tdef��h4qorÁ����ad��ad��h4�8�o��aj��hj�okn��kn��k�ef�l¢9%Lmo�¾tda�hj�.k��L��a���ephj��i;xO�Gad��h_�w�;h4��e ����®bk���xcJh[��k�cm�c+�o��ad��hj��k���k����

� � �Êh4��tCc�h3����!

�����:�"�

â

Page 4: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

°Ãxoe¾gAhj��¬4a²��i;x�h4k�q��w�;hj�w���Ò®bkn��x�h­����h4��e�� � ��hjc)�o�nelrJ�G��adc - �.�:�§h4qor�kn�C�Tk���kn���\h­��e�4Ymoefqoile¾aj�Í�w�;h4��ea²�def�©��k�c)ej¦

� � /����0/���� /������ /���� /������ �>7 - ���:�"�°ÃxoeÃ����hjqo��kn��k�adq�G��adc����L��a����� ��8kn�8roelifk�roefrJ����ifadqorok���k�ajq�hj�T�o��ad�ohj�ok��nkn�����­��xoeÃ����hjqo��kn��knadq¬4el��q�el�®bxokni;x«kn�bhjq ����� cJh4����k��:¦

��.��/��o������ �� -���o���\�.��/��o� ���� ��/�;��! �"# � ֠�.��/$���%� � � �

� Å3�

é\��eph4i;x�����el�]¦4kn�Í�o��ad��ad��ef�.hbqoef®����;h[��e&��hjilifad��r�k�qotÃ��a'��7 - �(���]hjqor­hjilifel����elr­kn��®bkn��x­����ad��h4�ok��nkn����U�.��/$����� c)k�q]�wÅ / - ���:�.�����o�

- ���o�����.�:� �"�Î �0����hp���0h4�� kn�¯��xoe��o��ad��ad��hj� k��_��e $�eliP��elrE¢ä°Ãx�k���k�����xoeÁg«ef����ad��ad��kn�wu�à hj�w��k�q�td��c)ef��xoa�rË®bk���x��xoe��o��aj�:ad��hj�.knqoroef�:efqoroelq��¯aj�R��xoe�ilmo����efqY�¯�w�;h4��e �Í¢­Î �¾kn�Liph4����efrA��x�e�Î�qoroel��elq�roelqoife�g0ef����ad��ad��kn�s�h4cJ�o�nel���GÎwg(so�±¢é �Ukn�\��x�hj�n�:��elifadcJe�il�nephj�§��h4��el�C��x�h4�Ãh�¬jeP��4Ym�hjq���k����J��a���x�e¾hjq�hj���T��k��Òk��Ò��xoe �o��ad�ohj�ok��nkn������h4��kna

) �.�:�� - �.�:������:� �

Î ��c)ephj��mo��ef�¾xoa²®�c�moi;x�¬Tq�a3®b�nelrotje)x�elmo��k�����k�if� - ���:� x�hj��hj��adm��>���.�:�±¢�°Ãxoef��ef�Gaj��e®§e)r�efÏ�qoe���xoe�Gad�n��a²®bk�q�tiladq�ilel�����l¢

*_×,+.-0/213/2Ú4-6587L¶b¶P¼6·j¼ + �Áº�¶Ã¶l·jº(9�¼�µ¹ +Òa²�del� u�knq��Gad��c)elrAº : - �.�:�<; ���.�:�¾·!(496�Oº�¶§moqoroef�wu k�q��Gad��cJefrº : - �.�:�>= �Í�.�:�@?°Ãxoef��e­hj��e¾��x���ele����:efilk�h4�����;h[��el�broePÏ�qoefrA��el��a²®�¢

*_×,+.-0/213/2Ú4-BAC7�¶P¼6·j¼ +��$º�¶\eP��hjif���n��u�knq��Gad��cJefrOº : - ���:�� �����:�@?<7�¶P¼6·j¼ +?� º�¶Ãc)ad���wu�knq��Gad��c)elrED�µ[´�nephj�w��u�knq��Gad��cJefrGF�º :¾º�¼IH�·KJ!+�¼2H +�HTºMLNH +;¶P¼OD�µ[´¾¸�µNP>+;¶P¼QF)´�·j¼=º6µ ) �.�:�SR

�UTWVYX �Êhj��tCcJh[����� ë - �.�:��Í�.�:� ì �UT[Z]\ �Êhj��tCcJknq

���! ë - �.�:����.�:� ì

ß�ad�Ãeph4i;xA����h4��e �ͦo®§e�cJelhj��mo��e¾��xoe«ÐwÏ������©xok�����knqot4u6��k�c)elÑ­roefÏoqoelr«�:ef��a²®�¢

Æ

Page 5: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

*_×,+.-0/213/2Ú4- ��� H +LÏ�������u xokn����knqot4u ��k�c)e :pµ[´�·�¶P¼ ·j¼ + �˺�¶¼�H + (�� ')¹ +P´)µ :­¶P¼ +�³�¶<:pµ[´�´ +�· )SHTº�( L �¥·j¼¼2H +��C´�¶P¼§¼2º�' +¯º�((¼2H +���·j´�µNJ )SH�·jº�(«¶ +�� � + (*),+SR

� �.�:� �'c)k�q:ë�����Å�ê���� � ��ì � �=Çd�

��Ä � �.�:� ÈUº�¶¯¼�H + +��f³ +,)P¼ +�9��C´�¶P¼.HTº�¼=¼2º�( L�¼2º�' +&:pµ[´¯¼2H +���·j´��µNJ�)SH�·jº�( LTµNJ!+P´0(*+�9�¹l½�Ö ?��Ä � ���:� È�k��©h�tdaTa�r�c)ephj��mo��e��Gad�\��xoe�����elelrAaj�.��ephj��i;xAknq«tdefqoel��hj�6¢Cé���h�����elifk�hj��ilhj��e�®§e­qoefelr

��a)¬Yqoa²®���Ä � �.���±��È��Gad�\��xoe�ad����k�cJhj�:���;h[��ej¢%Lmo�bc�h4k�q_ilajqoil�nmo��knadq�iladc)el�©hj�bhjq«hjq�h4�n�Y��kniphj�:��ad�nm���knadq_�:ef��a²®�¦

��Ä � �.�:��È � Å���.�:�f�wÅ�;�� � �

� �2�

Î�q¥��xoe�h4�:a²�de�e:4Tmoh4��knadq]¦Lã�� � � � ) T[Z]\ = ÅOkn����xoe�efk�tdefq�u �4hj�nmoe(aj�¯��x�eO¬4el��qoel��cJh4����k��?Öifad����el����adqor�k�qot���a)����h4��e �ͦÜhjq�r ) T[Z]\¾kn�Ã��xoe���h[��k�a�h[�Ã��xoe���elhj���wu�knq��Gad��c)elr����;h[��ej¢

) T[Z]\ �'c)k�q���� ë- �.�:��Í�.�:� ì � �GÆY�

Î�qO�2hjif�l¦¿��x�eJefk�tdefq�u �4hj�nmoel��iph4q��:e)��aj�n�defr�hjqohj�n�Y��kniphj�n�n�EÄ��²È=¢_ß�mo����xoel��cJaj��ej¦Í®§e�ad����hjk�q��def���O��kntdx���na3®§el�©hjq�r0m��o�:ef�b�:adm�qoro�b�Gad����Ä � ���:� È=¦

Åc)k�qÜë,���.�:�0/ - �.�:�±ì � ��Ä � ���:� È!�

ÅcJknq�ë,�Í�.�:� / - ���:�±ì#"

ÅÅ�;%$&$ ��; - $&$ ')( / � æ �

®bxoef��e*$&$ ��; - $+$ ')(Okn�\��xoe¾��aj�;hj�]�4hj��k�h4��k�adq��:eP��®Uefelq - h4qor �$&$ ��; - $&$ ')( � ÅÇ-,���!

$ ���.�:� ; - �.�:�.$ �Å�;/$&$ ��; - $+$ ')(�k��\��x�e¯a²�jel����hj�0�:eP��®Uefelq �«hjqor - ¢°Ãxoef��ef�Gaj��ej¦�kn� �������±�Òroadc)k�qoh4��ef�§��x�eL�o��aj��hj�okn��kn����hjqor - k��Uif��ad��e ��a6��¦���xoelq���xoe¾hj�ntdad��k���xocÉilhjq

xok��?���©knq_�del�w�_�Gef®Ê����ef�o�©��eltdhj��ro�nel���©a4�¿��xoe�ad��kntdk�q�h4���jad��moc)e¾aj����xoe��w�;h4��e¯����hjifej¢°Ãxoe���admoqor k��­�del�w����kntdx���hj��ß¿k�tdmo��e(Åd¢îe���x�a3®b�Jhjqor$e:4Ym�hj��k���knel��hj��e_hji;xoknef�jelr¤h4���x�e���xo��ele

���:efilk�h4�����;h[��el�f¢

Åj¢���Ä � �.�:��È ��Å�0 �����:�\h4�b��xoe�c)ad���wu�knq��Gad��c)elr����;h[��e �UTWVYX4¢ÇT¢���Ä � �.�:��È ��Å�0 - �.�:�\h4�b��xoe���eph4����u k�q��Gaj��c)elr��w�;h4��e �UT[Z]\4¢

æ

Page 6: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

p (solid) vs. q (dashed)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6lnw resorted in increasing order

�=h�� � �2��ad��knrÜ�Ò�T� - �2r�hj��xoelr�� �2�Ü�\��q ) ��aj����efr«knq�k�qoif��eph4��k�q�t�ad��roef�

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6logarithm of the ratio: lnw

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1eigen−values lambda

�2i²�\�nq ) �2rÜ�\elkntdelqTu �4hj��m�el���A��ad����elr

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

10

20

30

40

50

60

70logarithm of the expected hit−time: lnE

100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

The overlap between p and q

�2ep�U��q���Ä � � � ��ÈU�2��aj��k�r��Uhjqor���admoqoro���2rohj��xoefrÜ� �G��� �(hjq�r - a²�jel����hj� �2��xohjroa²®��

ß.k�tdm���e�ÅdêRé�q«e±�oh4cJ�o�ne¾aj�¿k����nmo������h4��k�adqE¢

Page 7: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

â�¢���Ä � �.�:��È ��Å�0 �����:� " Å�0o� Å?;/$&$ ��; - $&$ ')(Í�\h4�b��xoe�eP��hjiP�����Yu k�q��Gaj��c)elr_����h4��e4¢ß.kntdmo��e�Å­k����nmo������h4��el�Ã��x�e­��el��m��n����k�q«hJ��k�c)�o��e�eP��hjc)�o�nej¢U£Áe�i;xoaTad��ehJ����hjife­®bkn��x � � Ųãjãdã

�w�;h4��el�l¢ �¤hjqor - hj��e�c)k��T��mo��el��aj�b��®§aÁ¨¯hjm�����k�hjqo�r�k���if��eP��k�Ôfelr$®bkn��x��;hjkn���¯����m�qoiph4��elr¤hjqor���xoelqqoaj��cJhj��knÔlelr���a�adqoej¢�°Ãxoef�(hj��e­�o��a4����efr�hj����ad�nk�r$�=����h4qor(r�hj��xoelr � - �bilmo�w�def�¾k�q�ß.knto¢�Åd¢ h�¢�ß¿k�to¢�Åd¢îi�o�naj�����nq ) �.�:� / � � Å /±Ç /������ /��O¢�°Ãxoe)����h4��ef�¯®bk���x � � ) �.�:�¾��el��a²®���xoe�xoad��k�Ôfadq��;hj�R�nk�qoe�hj��eJm�qoroel� uknq��Gad��c)elrE¦¿aj��xoel�w®bk���eJ��x�ef� hj��e)a²�del� u�knq��Gad��c)elrE¢0°Ãx�e�cJknqok�c�moc«¦�Ôfel��a4u�if��ad����k�q�to¦RhjqorÁc�h3��kncmoc��adk�q����.k�q¯��xoe§Ï�tdmo��e\ilad����ef����adqor���ef����eliP��kn�jel���­��a ��xoeU��eph4����u�¦je±�oh4if������u;¦�hjq�rcJaj����u k�q��Gaj��c)elr¯���;h[��el�f¢ß.knto¢�Åd¢ªe��o�naj������x�eAeP����eliP��elrÌÏo������xokn����knqot4u ��k�c)e���q���Ä � �.�:��È6¢¥°Ãxoe(�na²®Uef��hjq�rÌmo�o��el�J�:adm�qoro��knqe:4Tmoh4��knadq�� æ ��h4��e��o�naj����elr¥k�qË�nadt�hj��kn��x�c h4�_r�hj��x�elr'ilmo�w�del�0®bxok�i;x'hj�ncJaj����ifadk�q�ilk�r�e(®bkn��xË��xoexok�����k�qot4u6��kncJe��o�naj�p¢­°Ãxok��¾kncJ�o�nk�ef����x�e��:adm�qoro�¯hj��e�knq(��xoe���hjcJe�aj��roef��hj�L��xoe�e±���:efif��efr xok�����k�qot4u��k�c)ej¢©é � ®§eiph4q(��efe���x�h[� ��x�ecJaTroe � � � âdâdâ�xohj� ����� � ��� ã �ªã�Å3ÇJh4qor(k���xokn��k�q ��Ä � ��� È�� Å � Ç��k�c)el��adqÌhp�jel��h4tdej¢Ë°Ãxokn�Jkn�Jc�moi;x?��c�hj�n��ef���x�hjq � � Ųãjãdã�¢?£Áe«r�efÏ�qoe0��xoe0��h[��k�aO��el��a²®+��ac)ephj��mo��e�xoa²®Êcmoi;x��Gad��r0h)gAhj��¬ja²��i;x�hjknq�®bk���x�xoefmo��kn����knil�bk�c)�o��a3�jel�ba²�def�©e±��x�hjmo�w��kn�je���ephj��i;x]¢

*_×,+.-0/213/2Ú4-�� � H +A¶ +�·j´ )SH +� )Pº + (*)P½?µ :O· ��·j´�µNJ )SH�·jº�( :pµ[´�¼ ·j´ L +P¼?� PRº�¼2H H + �T´Pº�¶P¼2º );¶ - º�¶' +�·[¶ �T´ +�9�¹l½

e�)ilknelq��U��h4��kna�ê�s]�G� / 4�� � $ � $��Ä � �.� � � È

°�a«��ef�delhj�ÒcJad��e�k�q��Gaj��cJh4��knadq]¦E®§eJ��ad������xoeJ�w�;h4��el�¯k�q�k�q�il��elhj��knqot�ad��r�el�¯aj� ) ���:�¾hjqorO��ePu �o��a4��nq ) k�q¤ß.k�t�¢ÃÅd¢ª�E¢'°Ãx�e(ilad����ef����adqoroknqot efk�tdefq�u �4hj�nmoel�Jhj��e0��aj����efrËhjifilad��rok�qotj�n� hjqor?hj��e«�o��a4����efrknq�ß.knto¢RÅd¢îr]¢«Î �­k��¯il�nephj�¯��x�h[�9�UTWVYXA�G��k�tjxY�­elq�ro�:ajk�q��knq ß.knto¢CÅd¢îrÜ��ifad����el���:adq�ro����a0��xoeJ��cJhj���nel�w�efk�tdefq�u �4hj�nmoe � ���� �� ��ã���xYmo��kn��kn�¾��hjc)�o�nelr���k���ef��hj�n�n�«hjilifad��r�k�qot���aOÅ.0 ���.�UTWVYXp�±¢�Î�qOifadq�����hj���l¦���xoe�nephj�w��u�knq��Gad��cJefr­�w�;h4��e>�UT[Z]\Uifad����el���:adq�ro�8��a ��xoe\��hj��tdef���.elk�tjelq�u6�jh4��moe§ã � å � �2�nef���¿elqor���adknqY�;�P¢¿ß.k�t�¢TÅj¢î��o�naj���§��xoeLa²�jel����hj��Å>; $&$ � ; - $&$ ')(�������xoe¾��x�h4roa²®Xhj��eph�¢R°Ãx�e¾�ok�tdtjel�§��xoe¾a²�def����h4�_k��l¦T��xoe��2hj���Ã��xoe��ephj��i;x«®bk��n�E��ej¢

%Lmo����el��mo�n��adqÁ��xoeJÏ�������xokn����k�q�t0��k�c)eJh4q�hj�n�T��k��¯k���r�knÕ:el��efq��­�G��adc �o��eP��knadmo��hjq�hj������k��¯adq ��xoegAh4��¬ja²�Ái;x�hjknq�iladq��jel��tjelqoife_��h4��eJ®bxokni;x$hj��eJ�:ajmoqoroefr����Á��xoe���elilajqor$��hj��tdel�w��efk�tdefq�u �4hj�nmoeJhjqoraj����elq0ilad����ef����adqor���a���xoe¾®§ad���w��ilhj��e¯k�q_��xoe�elq���kn��e���elhj��i;x«����hjifej¢Ò°¿a)��e¯c)ad��e¾iladqoif��eP��ej¦��Gad�Ã��xoeknqoroel��elq�roelqoifeLg0ef����ad��ad��kn�8��hjc)�o�nel�l¦4��xokn�R��hj��tdel�w�Celk�tjelq�u6�jh4��moe\ifad����el���:adq�ro�Ò��aL��xoeb�nephj�w��u�knq��Gad��cJefr�w�;h4��ej¦�®bx�k�i;x¥k�����xoe�c)ad���_��ef�jel��e���aj������efqoeli;¬Ìknq?��x�e���hjc)�o��knqot��o��a�ifel���l¢�Î�q¥ifadcJ�ohj��kn��adqÌ��xoeÏ������_x�kn����k�qot[u ��kncJe0hjqohj�n�T��kn��kn��qoaj����k�c)kn��elr ���?��x�eA®Uaj������ilhj��e(hjqorËk�q�����elhjrËkn��k���h4ÕEefif��elr¥���

Page 8: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

��xoe�knq��Gad��c)elrTu�qoef���Lh[� elhji;x�����h4��e�hjqorA��xoe­��aj�;hj�Í�4hj��k�h4��knadq��:eP��®Uefelq ��hjq�r - ¢ s�a�k��©�:elhj���Lc)ad��e��el��eP�4hjqoile§��a ��xoe\ad����k�c)k�Ôlh4��knadq¾�;hj��¬T�Rknq­�Tk���k�adqE¢.ß�ad�¿iladc)��hj��k���ajq]¦4®§eÃ��eP��knef® ��x�e\�o��eP�Tk�admo�.��el��mo�n���adq�Îwg(s�iladq��jel��tjelqoifej¢

� � �� � ������� �������� �� � � ��� � ���� ��� ��� � �� � ��� ��� � � ���

s�m��o�:aj��e���xoeAgAhj��¬ja²� i;x�hjk�q ����hj������h[���f¦\h4����el� �¥����ef�o��k���������h4��e������Gad�n��a²®b��Ö � �.� / �:� �$h�o��ad��hj��k���k���� �Gad���Tk���k���knqot �Ê�G��adc ��knq � ����ef�o�l¢�°Ãxoe�ifadq��del��tdelq�ile a4�­��xoeÁgAhj��¬4a²�Ëi;x�hjknq'kn�c)ephj��mo��efr«���_��xoe¾��aj��hj�E�4hj��k�h4��knadq]¦

$&$ Ö � �.��/ " � ; � $&$ ')( �ÅÇ ,����

$ Ö � �.� /1�:� ; �Í�.�:��$ �°Ãxoe ad� $�eliP��k��de¾k��Ò��axoh²�je ��x�e�gAhj��¬ja²��i;x�h4k�q���k�cmo��h4��knqot���xoe ��hj��tjef�\����ad��h4�ok��nkn��� �_��a��x�h[�>����kn�h��2hjkn�§��hjc)�o��e©�G��adc ��¢C`belilhj���Ü��x�h[�\��xokn�Ukn�Ãh­�Tk�hj����e�®Uhp����aro��hp®'�2hjk��Ò��h4cJ�o�nel�U�G��adc �_®bxoelq �_kn�ifadcJ����k�ilh4��efr�hjqor0iphjq�qoaj�b��e¯��hjc)�o��efr0knq�adqoe�����el�]¢°Ãxoe\knqoroef�:efqoroelq��§g«eP����ad�:aj��k��Í��hjcJ����el��k��.h ����elifk�hj�Tiph4��eÃhjq�ril�nephjq­��el��mo�n���8x�hp�deU�:efelq�roef��kn�jelr

�Gad�Ãk����Ãifadq��del��tdelq�ile���h4��e�knq0��aj��x�Ïoqokn��e�hjqor0k�q�Ï�q�kn��e¾����hjifel�l¢

��� ��������������������� ��!#"$�%��&('*) +-,.�/������"0,.�21���1�343$5�!����

°Ãxoe¯ilajqoil�nmo��knadqo�Ãk�q_��xok��Ã��elif��k�adq«hj��eL����m�e��Gaj��� ��elk�q�t)ifadq���knqTm�admo�b����h4ilej¢éägAhj��¬ja²��i;x�hjknq�k��¾roefqoaj��efrÁ����h�����kn�o��eP� =%6 �/ � /;Ö ; ®bkn��x�����ad��h4�ok��nkn���76 L�Gad�Lk����¾k�q�kn��k�hj�

�w�;h4��ej¦!�_��xoe �;h4��tdeP�Ã�o��aj��hj�okn��kn���j¦�h4qor�Ö ��x�e ����hjqo��k���knadq�¬jef��qoef�6¢RÎ �bkn�Uroef��k���hj�o�ne ��axoh²�je¾��xoe ��aj�;h4��4hj��k�h4��k�adq�r�elil��ephj��k�qot)����ephjr�k��n�j¢R°Ãxok��bkn�\��xoe�ilajqoilef���©aj�8��elknqotOÐ�moqok��Gad��c)�n�Jel��tdaTrok�ifÑo¢

*_×,+.-0/213/2Ú4-48C7 ��·j´�µNJ�)SH�·jº�( =96 �/ � /;Ö ;äº�¶�¶l·jº(9_¼�µ_¹ + m�qokn�Gad��cJ����ef��tdaTrok�i3R§º :­¼2H +P´ +�+��dº�¶P¼G¶·)¶ +�� � + (*),+;:@�=< ã(·[¶ �7< > ¶ � )SH0¼2H�·j¼

$&$ Ö � �.� / " � ; � $+$ ')( �9:@� / ?������ �£Áe¯��ePu ���;h[��e¯h��xoefad��efc �Gad�\��xoe�ifadq��del��tdelq�ile���h4��eJ�=g«ef�Tq«hjqor0°\®Uefelroknej¦ÍÅ ådå â�¦oi;x�hj����el�¯Å � �±¢

á

Page 9: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

��� ×YÚÜÛ3×�� 5��=¨�efadcJeP����k�iLifadq��del��tdelq�ile²��7 ��·j´��µNJ )SH�·jº�(Aº�¶ � (�º :pµ[´0'�¸»½�+P´ LTµ@9jº )SRCº :�¼2H +P´,+ +��dº�¶P¼G¶· );µ (�¶P¼6·!(�¼�� ;Ìã�·!(49�¶²µ ' +U³�´;µj¹;·�¹lº�¸»º�¼2½��]� " �¾¶ � )SH�¼�H�·j¼

Ö �.��/$�o� �����]���o�0/ ?���/1����� � 2:¾¼�H + );µ (49jº�¼2º6µ ( H�µ[¸M9[¶SRC¼2H +���·j´��µNJ )SH�·jº�( );µ (UJ!+P´YL +;¶�·j¼.L +;µ ' +P¼2´±º )�´�·j¼ +

$&$ Ö � �.�:/ " � ; � $&$ ' ( � �wÅ�;��4������ ��

Ä � 0���ȧº�¶¯¼2H +¯º�(�¼ +YL +P´�µ :�� 0�� ?%L����knadmo���n�d¦Íh4����k��¾if��ad��e��a_Ôlef��ao¦���xoelq���x�e�g«hj��¬4a3�(i;x�hjk�q�ifadq��del��tdel���def��������a²®b�n�j¢ß�ad�L��xoe

Îwg(s_iph4��ej¦Üadq�e¯ilhjq0iladc)�om���e��eP���o��knilk����n�EÄ á3È=¦

� �¥cJknq���! ë - �.�:������:� ì�� ) T[Z]\ �

°Ãx�h[��kn�\��xoe���h4��kna�h4�Ã��xoe��nephj�w��u�knq��Gad��cJefr_���;h[��ej¢

��� ×YÚÜÛ3×�� AÉ�=g«elqotjel����elqÁhjqor�°\®§elelr�k�ej¦ å Æ��@?� (Á¼�H +)·�¹PµNJ!+ (Eµ[¼6·j¼=º6µ ( R©·!(� ���� ��·j´�µNJ )SH�·jº�(º�¶ � (�º :pµ[´0'�¸»½ +P´ LTµ@9jº )�º :�¼2H +P´ + +��dº�¶P¼G¶ ) T[Z]\ ;Ëã R§·!(49

$&$ Ö � �.��/ " � ; � $+$ ')( � � Å�; ) T[Z]\l� � �� µ (UJ!+P´�¶ +P¸»½)º : ) T[Z]\ �Xã R§¼2H + (�¼�H +·j¸ LTµ[´±º�¼2H 'Óº�¶ (Eµ[¼ � (�º :pµ[´ '�¸»½+P´ LTµ@9jº )SRÒº(?#+@?¾º�¼<9Tµ +;¶ (Eµ[¼ H�·KJ!+�·L +;µ ' +P¼2´±º )�´�·j¼ +�µ : );µ (UJ!+P´ L + (*),+@?°Ãxoe¯�o��a�aj��kn�Ã��h4��xoel�b��kncJ����ej¦T®Ue¯�om��©k��Ã�:ef��a²®'��a)k����nmo������h4��e���xoe�k�roelhj�l¢Ä "C��a�a4��È=¢Cß�ad�bhjq��_����h4��ef����/������L¦

Ö �.��/$��� � - �(����cJknqÜë�Å / �Í�(��� - �.�:��Í�.�:� - �(��� ì� c)k�q:ë - ���o������o� / -

���:������:� ì,�����o�

� c)k�q���! ë - �.�:��Í�.�:� ì,�Í�(����� ) T[Z]\ ���(���"�

°Ãxoefq$kn���Gad�n��a²®b�¾�G��adc ��xoelad��elc Å�®bk���x�� � Åj¦�� � ��¦.hjqor�� � )�� �! ��¢�°�a(��hp�de�����hjifej¦.®§eroajq � �©��xoa²®Ê��x�e¯ifadq��def����e­iladq�il��m���k�ajq��Gaj� ) T[Z]\ �'ã�¢#" ¢

å

Page 10: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

°Ãxokn�b��xoelaj��elc roel�oknif����h���h4��xoef�Ãrok���c�hp���ok�iP��mo��eL�Gad�\��xoe¾ÎwgAs«gAh4��¬ja²��i;x�h4k�q]¦��Gaj�Ãkn���Ãifadq��def�wutdefqoile_��h4��eJk��­roelifk�roefr ���O��xoe���eph4����u k�q��Gaj��c)elr �w�;h4��e�k�qÁ��xoe�efq���k���e�����h4��e�����hjifej¢Oß�ad�¯eP��hjc)�o��e4¦��mo�o��ad��eî§eÃx�hp�deÃ��®Ua­¨�hjmo����k�h4qo�.®bkn��x�k�roefq���k�ilhj���4hj��k�hjq�ilel�8hjqor����nk�tdx����n�¯��xok�����efr�ilelq���el����6 � �� 6 �l¢

�����:� � ��� 6 � / � � �0/$hjqor - ���:� � ��� 6 � / � � � �°ÃxoefqAk��Ãk��\����kn�Tk�hj�:��aJ��xoa²®Ê��xoh4�

) T[Z]\ �¥cJknq���! ë- �.�:������:� ì �Êã �

°Ãxoe¾�nephj�w��u k�q��Gad��cJefr�iph4��e¾aTililm����bh4�Ãknq�Ï�qok����d¦T��xoefq0��xoe�gAhj��¬ja²�_i;x�h4k�q�x�hj�Ãqoa4�Ãef�jelq«htdeladc)ef����kni��h4��eLa4�¿ifadq��def��tdefqoile��§Î �b��elifadcJef�\moqok��Gad��c)�n��ef��tdaTrokni�®bxoefq - x�hj�Ãh�okntdtdef�§�4hj��k�hjqoife ��x�h4q ��¦�k=¢ªe4¢��xoe­����ad��ad��h4������ad��h4�ok��nkn����kn�b�o��a�h4roel�f¢bs�moi;xA®§ad�����Lilhj��e�hjq�hj���T��k��©hj�n��a)��xoa²®b��mo�Aknq0��xoe­r�k���if��eP��eÏ�q�kn��e¾����hjifej¢

���� ��������������������� ��!#"$�%��&('*) +-,.���=� , "0�%305�!����

£Áe�qoa²®Éiladq���k�r�el�¾Ï�qok���e�����h4ile � ®bkn��x � �w�;h4��el�l¦Í®bkn��xoadm����nad����aj�§tdefqoel��hj��k����d¦�®Ue)��e±u�ad��roel�¾��xoe�w�;h4��el�©hjqor0k�qor�eP�_��xoelc knq0hjq«knqoil��ephj��k�qot�aj��roef�©a4�¿��xoe��o��ad�ohj�ok��nkn���J��h4��k�a ) ���:�P¦

) �wÅ3�� - �wŲ����wÅ3� ����6Çd�� - �6Çj�

���6Çd� � "."." � ) � �(�� - � �A���� �A� � � �

°Ãxoe¯hjr��jh4qY��hjtdeL�Gad�U��ePu ad��r�el��knqot��x�e¯�w�;h4��el�bk��§��x�h4�î§e�iphjq�ef��k�c)k�qoh4��eb��xoe�c)k�qE�6�§�Gmoq�if��knadq_k�q_��xoe����hjqo��kn��k�adq_¬4el��q�el�6¢Òß�ad� � ���¦o®§e­xoh²�je

Ö�� � /�T�� - �����c)k�qÜëYÅ / - � � �.�Í��T�- �������� � � ì�� - ��T��cJknq�ëYÅ!/ ) � � �

) ��T� ì �°Ãxoef��eP�Gad��e�®Ue�x�hp�je

֠� � / �� �������� ������) � � ������T� � =� /�; �����

- ���o� ; ) � � � ����� ����o� � �� /

- ���� � ) ��T�.����T� � ;� �é���h���el��m��n�©aj����xokn�Ãqoeph4�b�Gad��cmo��h4��knadq]¦Tkn���Ãefk�tdefq�u �4hj�nmoel�Ãilhjq��:e�ifadcJ��m���efrAhjqohj�n�Y��kniphj�n�n�j¢

Ųã

Page 11: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

��� ×YÚÜÛ3×�� � ���jmoq è�knm]¦CÅ ådå�æ u å � � ?�� H + (�¼2H +�¶P¼ ·j¼ +;¶�·j´ +)´,+���µ[´ 9 +P´ +�90º�(2+���(4?�� R ¼2H +�¼2´�·!(�¶Pº�¼=º6µ (')·j¼2´±º ��Ö H�·[¶�µ[´ 9 +P´ +�9+PºML + (�� J[·j¸ � +;¶

Å�; � � � �U� � "."." � � �¥ã ���+P¼ �\����� �6� � � - � � ��·!(49��U� �o�� � � � ��� � �SRR¼�H + (

� � �6� � ; ) ���o� " �U� �o�"�� H + +PºML + (�� J!+,)P¼�µ[´.:pµ[´�� � º�¶

� � � �2ã / "."." /;ã /��§� ���'Å3�0/ ; �Í���o�0/ "."." /�; ��� �o�����µ[´¯·)¶�³ +,)Pº2·j¸ )�·[¶ +SR �U�wÅ3����U� Å3���Å�·!(49 � ���Å�; ) �wŲ����Å�;���� ���� � ��� ?%Lqoe�iph4qO�jel��k����(��x�e)ifadqoif��mo��k�adq�®bkn��x��Gelhj��kn�o��e�ePÕEaj��������°Ãxoelq]¦���xoe��Gad�n��a²®bk�q�t���®Ua0��ef��mo�����¯��ef��h4��e��xoe�iladq��def��tdefqoile­��h4��e¾��a#� �\hjqor���x�e¯��h4��kna�aj����xoe���elhj���wu�knq��Gad��c)elr����;h[��e ) T[Z]\ � ) �wŲ�P¢��� ×YÚÜÛ3×�� �ä�2ÂLk�hjifadqok���hjqorXà�hjqo�nadq]¦�Å ådå Çd� ?���µ[´�¼�H +O·�¹PµNJ!+� ���� ��·j´��µNJ +P´ (*+P¸\Ö R PRº�¼�H¶P¼6·j¼=º6µ (�·j´±½ 9jº�¶P¼=´±º2¹ �T¼=º6µ ( ��R:pµ[´¯·!(�½�¶P¼6·j´±¼=º�( L)¶P¼6·j¼ + � RU· :±¼ +P´�� ¶P¼ +�³�¶SR

� Ö � � � / " � ; � �� � � � ��Æ���� � � �

��� ×YÚÜÛ3×�� 8É���jmoqAè�knm]¦]Å ådå � � 2:¾¼2H +¯º�(�º�¼=º2·j¸�³�´�µj¹;·�¹lº�¸»º�¼2½Jº�¶ - ¼2H + (� Ö � ; � � �'Ç � � � �XÇo� Å�; ) T[Z]\²� � �

°Ãxoe¯��hj�w�b��ef��mo����kn�b�o��a²�defrA���0h�iladmo����k�q�t�hj��tdm�cJefqY�b®bxokni;x«�w��kn���]xoaj��ro�\�Gad�©h�ilajmoq��;hj�o�ne­�w�;h4��e�Gad�bh�ifadmoq��;hj����e�����h4��e����ohjile­hjqor0hj�n��a��Gad�bh�iladq���k�qYmoadmo�©����h4��e�����hjileJ�2èÍknm�Å ådå � �±¢é tdhjk�q]¦¿��xokn���h4��e�k�����hj��efr adq ��x�e_��eph4����u k�q��Gaj��c)elr ilhj��e4¢�£¥xoelq ) T[Z]\�kn��il�nad��eJ��a�Ôlef��ao¦R��xoe

gAh4��¬ja²��i;x�h4k�q�iladq��jel��tjel���jel�w������a²®b���d¢

� � � � � � �"! ���:� ��� � �#! ���%$ � � � � �'& �����

(©a3®ä®§e0��ef��mo��q���a���xoe�Ï������wu�xok�����knqot4u6��k�c)e)hjq�hj���T��k��hjqor �o��ef��efqY�Jh(��e�4Ymoelq�ile0aj�©��el��mo�n����k�q���xoead��roel�L��x�h4�¾®§e�ad��kntdk�q�h4���n���omo����moelr���x�elc0¢�°Ãxoe�Ï�q�h4�8��ef��mo���¾®\hj��rokn��ifmo����elr knq(��xoe�knq�����aTromoiP��knadq��elif��k�adqE¢

ÅdÅ

Page 12: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

°�a)Ï��_qoaj�;h[��k�ajq]¦�®§e�h4����m�cJe¾��x�e¯�w�;h4��el��hj��e¾��ePu ad��roef��efr«��a)��x�h4�p¦

) �wÅ3�� - � Å3����wŲ� � "."." � ) � �(�� - � �A�

��� �A� �

°Ãxoe�gAhj��¬ja²�_i;x�h4k�q0���;h[��e�a²�del�©rokn��il��ef��e���k�c)eL����el�o��hj��e

��/����0/���� /������ /���� /�������� / � 7 - �

£Áehj��e�knqY��el��el����elr(knq � � � �>�_��xoe­Ï������L��k�c)e¾��x�h4�©��x�e�gAhj��¬ja²�«i;x�hjk�qAxokn�������kn��k����;�Ã����h4��e � ¦:hj��®§eroePÏ�qoe¯�:eP�Gad��e4¢R°Ãxoelq0��xoe¯hp�def��hjtje­xok�����k�qot���k�c)e¾aj� � k��

��Ä � � � � È � �,� # ������ � � � � �%�����Å � �

,� � ���� � � � � � ��� � � �d�

� �� ����� � ��3 "�� � � ��� ��1 �� �������������� ��� �"!$#&%£Áe�����hj���­®bkn��x$hjq�knroephj�Òiph4��e���x�h4��®§e�x�hp�je_�:ef���GeliP��¬Yqoa²®b��efrotde_hj��adm��6���G��ajc¡x�elmo��k�����k�if�l¦8k=¢ªe4¢- � � � � ��� � � / � ��Å!/±Ç /������ /��O¢8Î�q«a4��xoef�b®§ad��ro�l¦�®§e¯ilhjq0��hjc)�o��eL�G��adc �«rokn��eliP������®bkn��x0hjilifel����hjqoile

�\� � /�T�� c)k�q�ëYÅ / - � � �.����T�- ��T����� � � ì ��Å /.? � /� ��Å!/±Ç /������ /�� �

°Ãxoefq«®§e�x�hp�de­h�4Ymokni;¬��o��aj�:ad��kn��k�adq_��el�na3®�¢

'¯Û3Ú)(RÚ�Þ�/213/GÚ4- 5 ��µ[´¯·!(�º(9 +�·j¸ �����PRº�¼2H - � � � � �Í� � �0/ � ��Å /±Ç /������ /�� RC¼2H + (��Ä � � � ��È � Å

��� � � �Å- � � � / ? � �

Ä "R��aTaj��ÈE£¥xoelq«��hjc)�o��e��G��adc �0knqoroel��elq�roelq������d¦o��xoe��o��ad�ohj�ok��nkn���Jaj�¿xokn����k�q�t����;h[��e � k��l¦

��� � � � ��%�]� �����2������ � /���� �� � /��!����/����+*U� �� � /���� � � � ���w�; ��� � ��� �,*U� ��� � �"�

°Ãxoefq��Ä � � � ��È � �

,� # ��8�w�; ��� � ��� �,*U� ��� � � � �2�

�§�_h��w�;hjq�r�hj��r�����eph4��cJefq��p¦o®§e­cm��n��kn�o�n�)��aj��x���k�roef�©���Á� Å�; ��� � ���P¦o��xYmo�

� Å�; ��� � ��� ��Ä � � � � È � �,� # �� �;ÌÅ3�f�wÅ�; ��� � ��� �,*U� �Í� � � ��� � å �

Å3Ç

Page 13: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

�2á��Òu � å �§�Tknel��r��l¦

��� � � ��Ä � � � � È � �,� # ��wÅ�; ��� � ��� �,*U� �Í� � � � ��� � �

Å�;'� Å?; ��� � ��� � Å �

°Ãxoef��eP�Gad��e ��Ä � � � � È � Å�0 ��� � �P¢#"°Ãxokn�_��elq�ro��mo��h Ï����w��elqoifadmo��hjtdk�q�t$cJef����h4tde(��x�h[�_Îwg(sÌiladm���rË��eph4�_e±��x�hjmo�w��kn�je���eph4��i;x'kn�

�������±�>;¥Ç 0!� ��x�h4�§k��Cephj��k�������h4��k��wÏ�elrJk�q)iladc)�om���el�C��kn��knadq]¢.°Ãx�k��ÒÑdk�roelhj��Ñ�ilhj��e���eph4ro�Cmo�§��a­��el�nk�ef�je��x�h4� �

� � �hjqor �

��� �hj��e��xoe���a²®§el�¾��admoqor��¯a4� ��Ä � � � ��ÈR�Gad�Ltdefqoel��hj�Riph4��el�f¦��Gad�L®Ue�ilhjqoqoaj��knc�h4tdk�qoe

h�Ñj�:eP����ef��Ñ_�o��ad��ad��hj�Í��xohjq(��xokn� knroephj��iph4��e®bxoef��eeP�del�w������h4��e�k�� e±��hjif���n��u�knq��Gad��c)elrE¢ °Ãxokn�Ltdmoef���®bkn���E����a²�de���a���e�����moe4¢

'¯Û3Ú)(RÚ�Þ�/213/GÚ4- A ��µ[´¯·!( ����O·!(49 (Eµ[¼6·j¼=º6µ (�·�¹PµNJ!+SR��Ä � � � ��È � Å

- � � � / ? � � �

� H + +�� ��·j¸»º�¼2½�H�µ[¸M9[¶­·j¼§¸5+�·[¶P¼���º�(�:pµ[´0' +�9¶P¼ ·j¼ +;¶ � PRº�¼2H ) � � ��'c)k�q�ë ��� �

�� � �� ìG?

Ä "C��a�a4��ÈÍß¿k����w�îUe¯qoaj��eL��x�h[�

Ö��� / � � � - � � � �U�� / � � � - � � � / ? �� � � �wŲãd�

s�efiladq�ro�n��®§e¯��xoa²®Ê��x�h4�

�J� � � � � � ��� � - � � � �J� � � � �<; ��;ÌŲ� / ? � ;ÊÅ � �wÅdŲ�

°Ãxokn�Ãk��Ãad���Tk�ajmo�lêRk��¿k��ÃroaTel�Ãqoa4�bxokn�Ã�w�;h4��e � k�q_��x�eLÏ����w� � ;Ìž����el�o�f¦Ü��xoe¾i;x�hjq�tde¾��a�xok�� � h4� �Yu6��x�w��el�0k��b��c�hj�n��ef�§��xohjq - � � �P¢R°�aJ��xoa²®Xk��Ã�Gad��cJhj�����d¦Y®Ue�x�hp�je

�J� � � � � � ����� �J����� �� � /���� �� � /������:/�� � � � �� ,

�"# �J��� � � � $ � � *U����T� �J��� � *U��� /!������/ � � �� � /������� � �

� ,�"# ��� / � �$���2� � *U��� /����!� /���� �� � /���� �� � �

� - � � � ,�"# ���2� � *U�� /������:/���� �� � /���� �� � � ; ;�m���e �wÅpã��

� - � � � �J��� � *U�O�� � /������:/���� �� � /���� �� � �

Ųâ

Page 14: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

°Ãxoe���x�k���r_�w��ef�Ak��\��a��o��a²�de���xoh4�

��� � � � �<; �o� � �wÅ�; - � � ��� �J� � � � �>; � ;ËÅ3�"� �wÅ3Çj�

°Ãxokn�Ã�Gad���na3®b�f¦

��� � � � �>; �o��� �J� � � � �<; � ;ÌÅ3� ; �J� � � � � � �o�� �J� � � � �<; � ;ÌÅ3� ; - � � � �J� � � � �<; � ;ËŲ� ; ;©mo��e � ÅdÅ3�� �wÅ�; - � � ��� �J� � � � �>; � ;ËÅ3�

ç©��k�q�t)knqoe�4Ym�h4��kn�����wŲâd�U��el��eph[��elr��n�d¦o®§e�x�hp�de

�J� � � � �<; ��� � �wÅ�; - � � ��� � ��� � � � �<;Ëã��� � Å?; - � � ��� � �wŲâd�

ß���ajc+��x�e��Gaj��cmo��h�� �d�\h4qor«knqoe�4Ym�h4��kn���(�wÅpâ��P¦�®§e¯tdef�Ã��xoe���a²®Uef�b�:adm�qor]¦��� � � � ����� Å � ,� � �

�J� � � � � � �o�� Š� ,� � �

�J� � � � �<;����

� Š� ,� � ��w�; - � � ��� �

� ,� � ��w�; - � � ��� �

� Å- � � �

°Ãxoe)�o��ef�Tk�adm��¯����aTaj�U��ef�jephj�n����x�h4����x�e)e:4Ym�hj��k�������� � � � ��� �ÓÅ�0 - � � � xoad�nro�¯h4�¾��xoe��nephj�w��u�knq��Gad��cJefrilhj��ef�l¦

֠�� / � � � - � � � / ? �� � ��� �\�� / � � ��Š/.? �� � ��� � ����/.? ��� ) � � ��'c)k�q

� �� ë ) ��T�±ì �

°Ãxokn�biladqoif��mor�el�Ã��xoe��o��a�a4�.aj����x�e¯����ad��ad��k���knadq]¢ "(�a²® ®§ehj��e�ad����k�tdh4��efr���a�hjq���®§el�¾h�4Tm�el����k�adqAhj��kn��knqotJx�el��e4¢bÎ �R®Ue­��k�c)�o���_xokn�©elhji;x(����h4��e­���

��hjcJ����k�q�tA��xoe_����ad��ad��h4�\�o��aj��hj�okn��kn��� - ¦R��xoefq?hjifilad��rok�q�t(��a��o��aj�:ad��kn��k�adqÌÅ_®§e���xoadm���r xokn�ephji;x�w�;h4��e¾h4�LÅ.0 - � � �Cadq�hp�del��hjtde ®bx�k�i;x_k��Ò��xoe ��a²®Uef�\��admoqor]¢8£¥x���roa�®§e¾qoelefr�h�g«ef����ad��ad��kn�§�w��ef���Gad���e $�eliP��knadq��°Ãxoef��e­hj��e¯h4�b�nephj�w�Ã��®Ua)��elhj��adq��©�Gad�Ãknq��dad����knqot��x�e�g0ef����ad��ad��kn�\��e $�elif��k�adq0cJhji;xok�q�el���j¢

ÅpÆ

Page 15: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

ß.kn�������n�j¦�k�q��o��hjif��k�ile���xoe)gAhj��¬ja²��i;x�hjknqOcJhp����e�roel��k�tdqoefrÁ����knqY��eltd��h4��knqot�cJhjq���xoefmo��kn����knil�f¢ÀChji;x - �6�Ãk��©mo��elr�k�q0��ajcJe¯��mo�Tu�rokncJefqo��knadqo�©aj�8��x�e���aj��m���k�adq0����h4ilej¢�ß�ad�beP��hjc)�o��e4¦:knq0��xoe¾Â�g_uvÃg(v���i;xoelc)e�Ä»Å3Ç�¦�Ç�¦CŲâ3È6¦Í®§e�x�hp�deJ�o��aj�:ad��hj�R�o��ad��hj�okn��k���k�ef�Lk�q���x�e)��eP�T��mo��ej¦¿ilad�nad�l¦Íad� $�efif������m���u����hjilef�\k�q�roel��elqor�elq������d¢R°Ãxoef��eL��aj����adc�u�mo���o��ad��hj�okn��k���k�ef�Chj��e©ilajcJ�om���elr���aTiphj�n�n��hjqor�h4��e ifadq � knif�wuknqoto¦Y��xYmo�\®§eLqoelefr_��a�hjiP��k��jh[��eb��xoe ��hj��tjef�\��ad�w��el��k�ad�§�o��aj��hj�okn��kn��� ����aifa�ad��rok�qoh4��e©��xoe��o��ad��ad��hj���f¢(©ad��cJhj����� �Akn�Ãc�hjr�e¾aj�.tjelqoef��h4��kn�de�c)a�r�el���f¢s�efiladqor��n�d¦���xoe­Îwg(s�gAhj��¬ja²�«i;x�hjk�q(hj����mocJef����x�h4�Lk�� ilhjq(c)a²�de­�G��elef�n���G��adc hJ���;h[��e � ��a�hjq��

�w�;h4��e «k�q���xoe)���ohjile �L¢JÎ�qO�o��hjif��k�ile4¦���xokn�¯kn�¾adqo���(����moe�k�qOh0ifadc)�:adq�elq��¯��mo�o����hjifeJ®bkn��xok�q���xoe®bxoaj��e¯��eph4��i;x����ohjile4¢ ÂLmoe���aJ�o��h4if��kniphj�Íifadqo������hjknq���� ajqAadmo�©ad��el��h4��ad���l¦���moi;x�h4�����o��k���u�c)el��tdej¦o®§eilhjqoqoaj�Òc)a²�deÃ�G��efel�n�­�G��adc�adqoeb����h4��eÃ��a¯hjq)hj���okn����hj�w�aj��xoel�C�w�;h4��ej¢Rß�ad�Re±�oh4cJ�o�nej¦�k��R®bk�����qoaj� $�moc)��G��adc adqoebknc�hjtje\��eftdcJefq��;h4��k�adq�����h4��eb®bkn��x æ ��eltdknadqo�8��a­h����;h[��eîbkn��x0Åpã¯��eltdknadqo�Rk�q)h���knqotd��eÃ�w��ef�]¢Î�qo�w��elhjrAk��Ãk��Ãroajqoe�k�q0h)��e�4Ymoefqoile­aj�.��c�h4���E�w��ef�o�l¢Ò°ÃxYmo�©��xoe�tdmoknr�hjqoife¯a4� ���=�Uk��Ãqoefilef����h4���«hj��ajqot��xok��Ã��h[��x]¢£Áe iph4qoqoaj�§�o��a²�Tk�r�e c)ad��ebilajqoil��ef��e hjqo�w®Uef���U��a­��x�e qoefilel����k�����aj��gAhj��¬ja²��i;xohjk�q�hjqor�r�ef�;h4k���efr

��h4��hjqoife¾k�q���elhj��i;xE¦:h4qor0�Gm�����x�el�b��ef��eph4��i;xAajq���xok��Ã��ad�ok�i k��Ãqoefelroefr]¢

� ��� � & ����� 1 � ! !��� /3$� ������ �.� � ��� ��1 �� ����� ! #&% � � ����� !$#&%°ÃxoeÒÏ����w�R��a²®§el���:ajmoqor�nephjro��mo�.��a�®§adqoroef�¿®bxoeP��xoef�.��x�eÃgAhj��¬ja²�­i;x�hjk�q�iphjqx�kn�¿hjqa²�def�wu k�q��Gad��cJefr�w�;h4��e�®bkn��x ��Ä � � � � È =ÉÅ�0 �Í� � �±¢¯s�mo�o��ad��e��xoe�xoefmo��kn����k�il� - k��©�def����q�h4����a²®b���«�GaTilmo��elr�hj��admoqor���xoec)a�r�e ���p¦Riphjq$��xoe0gAhj��¬ja²��i;x�h4k�q$�Tk���k�� ����h4��GeP®Uef������ef�o����x�h4qËÅ�0 �������;� � °Ãxoe�hjq���®§el����mo��qo�adm�����a��:e_q�ao¢$Î�q���mok���kn�jel���d¦R��xoe«gAh4��¬ja²�$i;xohjk�q iph4qoqoaj���Gmo�n�n�O����m�������x�e0x�elmo��k�����k�if�l¢$Î ��®bk��n�U��eÐ�ifadmoq���ef�wu �o��aTromoiP��kn�jelÑ)kn����xoe�xoefmo��kn����k�il�Ãa²�jel�wu elc)�ox�hj��k�ÔfelrA��adc)e¾���;h[��el�f¢°�aJ�o��a²�de¾��xoe���elilajqorA�na3®§el�b��admoqorE¦�®Ue¯qoefelr���a�roef�jel�nad�Ah4qAhjqohj�n�Y��kniphj���Gad��c�mo��h­�Gaj����Ä � � � � È=¢`beliph4���E�G��adc e�4Yq � �d�±¦�®§e­x�hp�je�h�Gad��cmo��h

��Ä � � � � È � Å � �,� � �

�J� � � � � � �]���Š� �,� � �

�J� � � � � ; ���"�°�aJifadc)�om���e �J� � � � � ; ��� �J��xoe��o��ad��hj��k���k����J��x�h4�Ã��xoe­gAhj��¬4a²��i;x�hjk�q�c)k�����el�b�w�;h4��e � knq���xoe¾Ï�������A����k�hj���f¦Y®§e¾ilajqo��knroel�Ãh­qoef®XgAhj��¬ja²���o��a�ifel���ÃÎwg(soÇ­®bxokni;x0kn�§��xoeL��h4cJe hj�U��x�eLÎwg(s�eP��ilef���Ã��xoh4�k��bk��Ã�o��adxok���kn��efr��G��adcä�Tk���k���knqot � ¢R£Áe¯r�elqoaj��e�kn�b�����Gadmo�Ãifadc)�:adq�elq����

ÎwgAsoÇ�ê � = � * / - *�/ ��* /;Ö * ;Å æ

Page 16: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

®bxoef��e � k��Ã��efcJa²�jelr��G��adc ��xoe�����h4ilej¦�����ad��h4�ok��nkn��knel�Uhjqor0c�h4����k �E¢�� * � �3;Ìë � ìY¦ohjqor

- * � � - � Å3� /!����� / - � � ;ËÅ3� / - � � �'Å3�0/������ / - � �(��� / � * ��� ��� Å3� /������ / �Í� � ;ÌÅ3�0/ ��� � �'Å3�0/������ / ��� �A��� �Ö *Akn�bhA� � ;ËÅ3�<�$� � ;ËŲ�Uc�h4����k ��®bk���x_��xoe � u ��x0ilaj��moc)q�hjqor0��a²®X��elc)a²�delr��G��ajc ÖÁ¢

Ö *¿����/�T��ÊÖ�� � /�T� /.? ���� � / �� � �

sT��hj���©�G��adc h4���ok�����h4������7 - *�¦Eh4����el� �Á�w��ef�o����xoe��o��ad��hj��k���k������Gad�Ã��xoe­ÎwgAsoÇJ����h4��e�®bk��n���:e­h� � ;?Å3��u6�deliP��ad�

� � * � - * " Ö�+*U�* �

°Ãxoef��eP�Gad��e4¦¿��x�e���m�c aj�U��xok����defif��aj��k��¾��xoe)��aj�;h4�R�o��ad�ohj�ok��nkn���«��x�h4�¯Îwg(sOcJkn����ef� � knqO��xoeJÏ������ ��w��el���l¢

��� � � � �>; ��� � ,�"# � �+*U�* ��T�� - *�Ö �+*U�* 5 � /

®bxoef��e 5 ��� Å /pÅ /!����� /lÅ3�§k��bh«� � ;ËŲ��u �jeliP��ad�îbkn��x�adqoel�f¢C°Ãxoel��ef�Gad��ej¦

��Ä � � � � È � Å � ,� � ���� � � � �<; ��� �wÅpÆ��

� Å � ,� � � -*�Ö �,*U�* 5 � �wÅ æ �

� Å � - *.Ä ,� � �Ö �+*U�* È 5 � �wÅ � �

� Å � - *.��� ; Ö *:� *U� 5 � � �wÅ��j�Î�q���xoe¯hj��a²�de�e�4Ym�h[��k�ajq]¦��Lk��bh4q«knroelq���k�����cJh4����k��:¢'¯Û3Ú)(RÚ�Þ�/213/GÚ4- � 0(�¼�H +­·�¹PµNJ!+ (Eµ[¼ ·j¼2º6µ ( R

��Ä � � � ��È ��Å � - *�����; Ö *�� *U� 5 � / ? � ��� �

ç���k�qot���x�e­h4�:a²�de¾�Gad��cmo��h��Gad����� � � � ���U®§e¯ilhjq0�o��a²�de���x�e¯��elifadqorA�na²®Uef�©��admoq�r]¢'¯Û3Ú)(RÚ�Þ�/213/GÚ4- � ��µ[´ ����Á·!(49 (Eµ[¼6·j¼=º6µ (O·�¹PµNJ!+SR

��Ä � � � ��È � Å�Í� � � / ? � ��� �

� H + +�� ��·j¸»º�¼2½�H�µ[¸M9[¶­·j¼ '�µ²¶P¼���º�(�:pµ[´0' +�9¶P¼ ·j¼ +;¶ � PRº�¼2H ) � � ��'cJh[��ë ��� �

�� � �� ìG?

Å �

Page 17: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

Ä "R��aTaj��ÈÜ£Áe �w�;hj�w�§®bk���x�h4q�Îwg(sJ�o��ad��el��������x�h4� �_k��C��xoe�k�q��4hj��k�hjq��Ò�o��ad�ohj�ok��nkn����aj�ÍÖÁ¢.Î�q_h­cJh4����k���Gad��c«¦�kn�bkn�l¦

� ��� Å3� / �Í�6Çd�0/������ / ��� �A���wÖ�� � �Í�wÅ3�0/ ���6Çj� /������ / ��� �(���"�è�ef��Ö *¿� � / " �U��eL��xoe � u ��x0��a²®Êaj�8Ö *ͦ�®§e�h4��e¾k�q���el��ef����elrAknq ��*Ahjqor0rokn�Tk�r�e¾kn�bk�q���®§aJ��el��cJ�f¦

��* ���=���wÅ3�0/������ / ��� � ;ËÅ3� / �Í� � �¥Å3� /������ / �Í� �(��� � ��*�Ö *#����� � ��Ö *¿� � / " � �ç©��k�q�tA��xoeJ�2hjif�­��x�h4��Ö�� � /�T� � - ��T� �\� � /�T�#� - ��T�P¦8®§e�x�hp�de�Ö *¿� � / " �#� - * ifadcJ��adqoefq���u ®bkn��e4¢°Ãxoefq

� *¿����; Ö *:�� ��� � �wÖ *¿� � / " � � ��� � � - * �g«m��n��kn�o�n� 5J��a)��aj��x0��k�roef�baj�¿��xoe¯hj��a3�je­e:4Ym�h4��knadq]¦

��* " 5 � � ��� � � - *.����;$Ö *:� *U� 5 � �%L���Tk�admo���n�9��* " 5 � ��Å�; ��� � �±¢R°Ãxoel��ef�Gad��e

Å�; ��� � ���� � � � - *�����; Ö *:� *U� 5 � �

ç©��k�q�t���xoe¾�Gad��c�mo��hknq0����ad��ad��k���knadq_â�¦o®§e�x�hp�de��Ä � � � � È!� Å

��� � � / ? � ��� �

°Ãxoe�e�4Ym�hj�nkn����xoad�nro� k��ChjqorAadqo�n��k��CÖ�� � / " � � - *�®bxokni;x�k�c)�o��knel� �U� � / �� �äÅ /�? �� � ¢ °Ãxoef��ef�Gaj��e) � � � � ) ��T�0/ ? �¢§s�a�kn�bc�mo���b��e¯h�c)ad�w��u�knq��Gad��cJefr_���;h[��ej¢#"�¢°Ãxokn� ��a²®§el���:adm�qorA��ef���n�b��x�h4�©��xoe�gAhj��¬4a²�«i;xohjk�q(ilhjqoqoa4�Lxok�� � ephj���n�_��x�hjq�Å�00��� � �bqoa�c�h4����ef�

xoa²®Êcmoi;x���xoe�xoefmo��kn����knil�b������ef����ef����xoe����;h[��e��:efiphjm���e¯kn�Ãilhjqoqoaj��Ðw����mo�w��Ñ���xoe�xoefmo��kn����k�il�f¢

� � � � � � 5 �., � , "9& ����� 1 � ! & ��� ��! � !$#&% %°Ãxoe��Gad��cmo��h­k�q "R��ad��ad��k���knadq�â�k�q��dad���def� hjq�knqY�jel����e¯c�h4����k �E¦�k�q���x�k��b��mo����eliP��knadq0®§e¯��elef¬�h)c)ad��ehjqohj�n�Y��kniphj�Y�Gad��c«¢�°Ãxok��.��eph4ro�.��a¾ajmo�8cJhjk�q­��el��mo�n���l¢8°Ãx�eÃ�o��aTaj��k��¿��h4��xoel�8�nadqot¾h4qor�k�q��dad���def�R��el��mo�n����G��adc �o��ef�Tk�ajmo�©hjq�hj������k��f¢��� ×YÚÜÛ3×�� ���]¶ + (Eµ[¼ ·j¼2º6µ ((º�(�¼2H +;µ[´ + '�� R

��Ä � � � � È � Å��� � �l�wÅ�; � �

� ��� � � "

Å- � Å3� � "."." � - � � ;ÌÅ3� � � � �� � �

� ��� � � � "."." ����� �(����

��

Page 18: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

Ä "R��aTaj��È�ßÜaj����a²®bknqot���x�elad��elcÓâ�¦�®Ue¯x�hp�de���xoe�efk�tdefq�u �4hj�nmoel�Ãaj����x�e�����hjq���kn��k�adq_cJh4����k��

� � � ; ) � � � � / ®bkn��x

� ê � - � � � � - � � �'Å3� � ����� � - � �(� � ê � ��� � � ����� � �'Å3� � �����%� ��� �A�"�è�ef�§mo�§roelqoa4��e ���#�

�Ä � � � � È���x�e eP����eliP��elr_x�kn����k�qot¾��k�c)e©a4� � k��]�w�;hj�w��k�q�t­�G��ajcÉ���;h[��e Ü¢¿£ e©®bk�����m���e

h���ef��mo���b�G��adc �2é �nroadmo�bh4qorAß¿k����=¦:Å ådådå �Ò®bx�k�i;x0���;h[��el�b��xoh4�

��Ä � � � � È � ��� � / � � ;���� / � �

�Í� � � �wŲád�

®bxoef��e��� � /�T�Uê � � � � Ö � � � /�T� ; �Í��T� /#? � / �

°Ãxoe¯��ef��h4��k�adqo��xok����:eP��®Uefelq���Ä � � � ��È¿hjqor ��Ä � � � � ÈÍkn�Ãtdkn�jelq0�Y�_��xoe¾�Gad���na²®bk�qotoê

��Ä � � � � È ��Å ��,

� # � -��T���

�Ä � � � ��È � �wÅ å �

°Ãxoe $�mo�w��knÏoiph4��k�adq�k�� 4Ymok���e���kncJ�o�nej¢)ß.kn������ajqoe�x�hj����a0i;xoa�aj��eJhjqÁknqokn��k�hj������h4��eA�G®bx�k�i;x�h4ililajmoq�����Gad�\��xoe�Å�k�q_��xoe¾�Gad��cmo��h��Uhjqor_��xok��bk�q�kn��k�hj�Ü����h4��e�k��bi;xoaj��elq0��a���e �®bkn��x0����ad��h4�ok��nkn��� - ����±¢ß���adc � �d�U®§e�tdef�lê��Ä � � � ��È ��Å �

�,

� # � -��T� ��� � / � � ;���� / � �

�� � � ��Š��,

� # �- ��T���� � � ,

� ��2Ö � � / � � ; Ö L�� / � ��� �6Çjãd�

�6sTcJk���xÁhjqor�°Ãknel��q�ef�d¦UÅ ådå � �LifadcJ��m���efrÁ��x�e�eP��hjiP� ��u ����ef� ����hjqo��kn��knadqO�o��ad�ohj�ok��nkn��k�el�L�Gaj�¯��xoeknqoroel��elq�roelqoifeg0ef����ad��ad��kn�Ã��hjc)�o��ef�l¢.£¥k���x�admo�Ãq�aj�;h4��k�adq_��xoelkn�Ã��el��mo�n�bkn�lê

Ö �� / � � �������� ������

��� � �l� Š�B� �*U�� # ������ � �

� �� � � ���

; � � � � �Gad� = �

��� � �l� Š� � *U�� # ��� �� � �� �

� � � ���; � ��� �

� � � �Gad� � �

��� � �l� Š� � *U�� # � ���� � �� �

� � � ���; � ��� �

� �Gad� ; �

�6�Ų�

°Ãxoef��eP�Gad��e4¦Ü®§e�iphjq�®b��k���e4ê

Ö � � / � ��;$Ö �� / � � �������� ������

��� � �l� � *U�� # �� � � � �

� �� � � ���

; � ��� �� � � �

� ��� � � �Gad� = �

ã �Gad� � �

� �Gad� ; �

�6ÇdÇj�

Ųá

Page 19: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

ç���k�qotA�6Ç4ã��§k�qÁ�=ÇdÇd�Uadqoe�ad���;hjknqo�

��Ä � � � ��È � Å � Å��� � � ë ,

�� - ��T� ,

� �Ä ��� � �l�

*U�,� # �

� � ����o�� � � � �� ;

� � � � ��

� � � È � ,

�� - ��T� ,

� �� ì

� Å � Å��� � � ë ,

�� - ��T�lÄ ��� � �l�

*U�,� # �

� � � � �.����o�� � � � �� ; � � �

� � � ��

� � ,� È � ,

�� - ��T� ,

� ì

£Áe¯ilhjq0��k�c)�o�nkn������xoe¯hj��a²�de¯k�roefq���kn�������_qoaj��k�qot���xoh4� � � � � � �� *

�/ ? � � �=ã /lÅ3�P¢

��Ä � � � ��È � Å � Å��� � � ë ,

�� - ��T�lÄ ��� � �l�

*U�,� # �

��� �o�� �;�� � � � � � � ��

; �w�; � � �

� �w�; �

�� �

� � ÅÅ�;��

È � ,��

- ��T��;��

ì �6Çjâd�

� Š� ,�� - ��T�l�

*U�,� # �

�����o��w�;�� � � � � � � �� ;

� �;�� � �

� � �;��

�� �

� � ��� - ���� � �

�� - ��T���� � �l� Å�;�� ��6Ç4Æ��

� Š� ,�� - ��T�l�

*U�,� # �

�����o��w�;�� � � � � � � �� ;

� �;�� � �

� � �;��

�� �

� � �; - � � ��� � �f�w�; � �

�6Ç æ �

� Š� ,�� - ��T�

*U�,� # �

��� �o�� �; � � � � � � � �� ;

� *U�� # � - ��T��w�;�� � �

� *U�,

� # �- ��T�

�w�;���� �

� �; - � � ��� � �f�w�; � �

�6Ç � �

� Š� ,�� - ��T�

*U�,� # �

��� �o�� �; � � � � � � � �� ;

�;E� �w�;�� � � �

*U�,

� # �- ��T�

�w�;���� �

� �; - � � ��� � �f�w�; � �

�6Ç �j�

�C��������@5��

,�� - ��T�

*U�,� # �

����o��w�; � � � � � � � �� �

Å� ;ÌÅ�;

*U�,

� # �- ��T�

� �;���� �

�6Çjád�

�§´�µ²µ :�§�_i;xohjqotdknqot)��xoe���moc)cJh4��knadq�ad��roel�bk�q_��xoe���ef���\x�hjqor0��knroe¾��el��c ®§e­tdeP�

,�� - ��T�

*U�,� # �

��� �o�� �;�� � � � � � � �� � *U�

,� # ���

,� # � -

��T��� �Í���o��wÅ?;�� � � � � � � �� �6Ç å �

� *U�,� # �� Å?;E� � ��w�.��� �o�� Å�; � � � � � � � �� � �=âdãd�

Î �©k��Ãelhj������a)��ele¾��x�h4�

� � � � � ; ) ���o� � �Å å

Page 20: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

� - ���o� ��� � �� ; ) � �o�l�=������� � � � ��w�� � � �� ; ) ���o� � � �� � - ����� ; ) ���o�������o�� � � �� ; ) ���o� � � �� �=â�Ų�

°Ãxoef��eP�Gad��e4¦�Å�; � � ��� Å�;�� � ; ) ���o� � � ��§��a�®Ue�ilhjq«��ef®b��kn��eJ�2âdã��\hj�

,�� - ��T�

*U�,� # �

�Í���o��wÅ?;�� � � � � � � �� � *U�

,� # ��w�;�� � ; � ���

� ��.����o�

�wÅ�;�� � � � � � � �� �=â�Çj�

� *U�,� # �

� �; � � �.��� �o��w�;�� � � � � � � �� ;

*U�,� # �

� � ��� �

�Í���o�� Å�; � � � � � � � �� �=âdâd�

� *U�,� # �

��� �o�� � � � �� ;

*U�,� # �

- � �o�� Å�; � � � � � �=âjÆ��

è�ef�©mo�bqoaj��e¾��x�h4�Ã��xoe¾�Gad���na²®bk�qot��k�c)�o��e k�roefqY��kn���_x�ad��ro�fê *U�,� # �

�������� � � � �� �

Å� ;ËÅ � �=â æ �

°Ãxokn� kn����elilhjmo��e6�����o� ��� � ; � � �� � � � � � �� � � ���

� � �* � ���� � � ���

� �� ���

; �� �¢ �Ò�«��moc)c�h4��k�adq�a²�def� �

�G��adc Å���a � ;Ëž®Ue¯tdeP�Ã��xoe�k�r�elq���k����d¢(�a²®'����m���k�q�t��=âjÆ��Òk�q(�=â æ �§hjqor_i;xohjqotdknqot­��xoeL��m�cJcJh4��knadq)k�qoroe±��knqJ��xoeL��efiladq�r0��moc��G��adc �

��a )®Ue�qoaj��k�ife���x�h4�î§e­tjaj�Ã��xoe��nelc)c�h�¢ "�C× � �����$A �

�; � � �; � � � � �

; - � � ��wÅ?;�� ����� � � �=â � �

�§´�µ²µ :\é �b��ef�Gad��ej¦]Å�;E� � Å�;�� ; ) � � � � ��aÅ�; � �wÅ�; � � �

� Å?;�� �wÅ?;�� ����� � � ;) � � � � �wÅ�; � � �

� � ; ) � � �� �; � �

� Å� ; - �wÅ�;�� ����� � � �=â �j�

"

(�a²®�¦ ®Ue­iphjq0tda���hji;¬J��a«�6Ç �j�\hjqor0mo��e���xoe���el��m��n���baj����x�e���®§a)��elc)cJhj�l¢8Î �îbkn���E�Gaj����a²®Ë��x�h4���Ä � � � ��È � Å �Ì� Å�

;$Å ; *U�,

� # �- ��T�

�w�;���� �

�*;¤� Å� ; - � Å�;�� �.��� � � � �

*U�,

� # �- ��T�

�w�;���� �

� Å�; - � Å�;�� ����� � ��=âdád�

é©����el�bilhjqoilef��h4��k�adq��\®Ue���efc�h4k�q�®bkn��x��Ä � � � � È � - � � �

� �;�� �.��� � � ��; - � � �� �;�� �.��� � � �

��� � �f�w�; � �

� �=â å �

Çjã

Page 21: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

°Ãxokn�©ifadqoif��moroef�©��xoe��o��aTaj��aj����xoe¾��xoelad��elc0¢ "ç���k�qotJ��xokn� ��ef��mo��� ®§e�iphjqAephj��k��n�0tdeP�¾hjq�aj��xoef� �o��a�a4�G���Gad���:aj��xA�Gad�©��xoe�na²®Uef� ��admoqoro� k�qA��xoe

�o��ef�Tk�ajmo�b��eliP��knadqo�l¢

� � � � � "0!�,.� ,.��� "���� 1 5 5 ����� ��1 �� £¥k���x��x�e\qoeph[�R�Gad��cm���h�knq��xoeÃ����ef�Tknadmo�8��mo�o��efif��k�adq]¦�®§eÃiphjq�ad���;hjknq���xoeÃm��o�:ef�R�:ajmoqor]¢¿°¿adtjef��x�el�®bk���x_��xoe��na3®§el�b��admoqor��l¦o®§e­x�hp�je¯��xoe¾��xoefad��efc �:ef��a²®�¢

��� ×YÚÜÛ3×�� � 0((¼�H +�·�¹PµNJ!+ (Eµ[¼ ·j¼2º6µ ( RÅ

c)k�q�ë,��� � � / - � � �±ì � ��Ä � � � � È!� Åc)k�qÜë,��� � � / - � � �±ì

ÅÅ�; � ��; - � ')( �2Æ�ãd�

� H + �²³�³ +P´­¹Pµ � (49)º�¶¯´,+�· )SH +�9�·j¼§¼2H + +��Y· )P¼=¸»½ ��º�(�:pµ[´0' +�9�¶P¼6·j¼ +;¶@?Ä "C��a�a4��ÈUß.k������l¦8��eP��mo��tdef��h«cJad��eJ����hjiP�;hj�o�ne)�Gaj��c �Gad� � � ; - � ')(C¢«£ eJ��hj����kn��k�adqO��xoe��w�;h4��e

����hjile­k�q���a���®§a���eP���fêUmoqor�el�wu k�q��Gaj��c)elr«hjqor0a3�jel� u�k�q��Gad��c)elr�®bkn��x0��xoe­e±��hjif���n��u�knq��Gad��c)elr��w�;h4��el� knqefkn��x�el�Ã��eP�p¢

� � ���$\������ ���� ��� �

é��b��xoe�����h4��ef� hj��e¾��ad�w��efr]¦���a�®Ue¯x�hp�de ���:efk�qot���xoe�rokn�Tk�r�k�qot���adk�q��

���$\��������ë � � ��ê - � � � � �Í� � �;ì</ ���� ��� ��ë � ; �_ê - � � �<; ��� � �;ì �

`belilhj���nk�qot � �! � ��� � � ; - � � ����Êã�¦�®§e¯x�hp�de

� ��; - � ' ( � ÅÇ , �! $ ��� � � ; - � � ��$ � ÅÇ Ä ,

�� ����������� ��� � � ; - � � ��� � ,

�� ���� ���� - � � � ; ��� � ����È

� , �! ���� ���

�¿� - � � � ; ��� � ��� � � � �� ; � � ����£Áe¯����a²�de���xoe�mo���:ef�©��admoq�r0�Gad�\��xoe�moqoroef�wu k�q��Gad��cJefr0hjqor�a²�del� u �Gad��cJefr«��ef������el����eliP��k��del���d¢� ·[¶ + ±ê mo�o��el�b�:ajmoqor��Gad�Ãmoqoroef�wu k�q��Gad��cJefr����;h[��el� � � �:¢ß�ad�Ãmoqor�el�wu k�q��Gaj��c)elr�����h4��ef�l¦ - � � � �¥cJknq:ë,��� � � / - � � �±ìY¢ß���adc �=â�Ų�P¦�®§e­¬Yqoa²® � � � �� ;���� �� � �

� ��±¢Òs�a�Í� � �f�wÅ�;�� �� ��� � �f�wÅ�;E� ���� � - � � � � �� � - � � �f�wÅ�;E� �� � � ����"�

Ç�Å

Page 22: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

ç©��k�q�t���xoe¾�Gad��c aj�¿��xoe¾��aj��hj�E�4hj��k�h4��k�adq]¦Y®§e­x�hp�je��Gaj�\��xoe���kntdx��b��knroe

c)k�q�ë,��� � � / - � � �±ì��wÅ?; � ��; - � ')(�� � - � � �f�wÅ�;E� � �� � � � ��w� �°ÃxYmo�b®Ue¯adqo����qoefelr���a)��xoa²®

� �� ; � � �� �8� �� ;E� � �����§��roefÏ�q�kn��knadq]¦���xok��Ãkn�Ãe�4Ymok��jh4��elq��Ã��a

� �� ��� � � ����� ��� � � - �� � - � � ���!� - ���o�

°Ãxokn�bk��Ãad���Tk�adm����n�J����moe��:efiphjmo��e­�w�;h4��el� � �'Å /!����� / ��h4��e�moqoroef�wu k�q��Gad��cJefr]¢°Ãxoe­e�4Ym�hj�nkn����k���h4���;hjknqoelr]¦Üh4� qoaj��k�ifelr��G��adc ��xoe��o��a�a4� ¦o®bxoelq���� � � � - /.? �¤Ä � / �TÈ=¦�®bx�k�i;xAkn�

��xoe�eP��hjif���n��u�knq��Gad��cJefr_���;h[��el�f¢� ·[¶ + Pê mo�o��el�b��admoqor��Gad�Ãa²�def�wu k�q��Gad��cJefr_����h4��ef� � ;���¢é �bc)k�q�ë,��� � � / - � � �±ì � ��� � �P¦ok��b��m )ifel����a���xoa²®

��� � �f�wÅ�;�� � � ��� � �l� Å�;E� � �� � � � ����%L�l¦

� �8� � �� ; � � �� �2ÆoŲ�é�� � � � � ��±¦okn�b��m )ilef����a���xoa²®X��x�h[�

� � �� �8� � �� ; � � ��ad� � � �� ; ) � � �'Å3� � � �� �8� � �� ; � � ��ad� � � ��P� Å�; ) � ���'Å3��� �¥ã

°Ãxoe¯��h4���Ã�w��el�«�:efiladc)el�Ã����kn�Tk�hj�]hj� ) � ���'Å3� ��ž�Gad�Ãa²�def�wu�knq��Gad��cJefr0�w�;h4��el�f¢À�4Ym�hj��k����)k�qJ��xok��§iphj��e kn�Uad����hjk�q�elr�k�� � �%� *U� � �!��� � � � ��Òh4qor ) ����� Å3���Åd¢.°Ãx�h4�\kn�§��xoe

e±�oh4if������u�k�q��Gad��c)elr_�w�;h4��ej¢C°Ãxok��bifadqoil�nmoroef�©ajmo�b�o��aTaj��aj�.��xoe�mo�o��el�b��admoqor]¢#"�¢

� � � ����� � � �����

Î�q�h­���T�okniphj�:iladc)�om���el�Ò��kn��knadq��;h4��¬Ü¦���moi;x0hj�\k�cJhjtdeb��h4����knqoto¦T��xoeLaj� $�eliP��kn�jeLk��Ò��a�ohj����e¾hjq_k�cJhjtdeknqY��a�kn���iladq�����k���moefq�����h4����el��qo�l¢Á°Ãxoe���h4����el��qo��k�qoif��mor�e���eftdk�adq��aj�©iladx�el��efq��Jifad��aj�l¦8��e±�T��mo��ej¦Òad�

ÇdÇ

Page 23: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

kn����m�cJknq�h4��knadq]¦Yilm����def�L������moiP��mo��el�f¦]hjqor«ad� $�efif���f¦E��moi;x�hj��xTm�c�hjq��2hjifel�l¦��defxok�if��el�f¦:��mok��nrok�qotj�l¦o��a�hjreP��ij¢Ë°Ãx�eAqYmoc��el�Jaj�LifadcJ��adqoefq����l¦\��xoelkn����aTiph4��k�adqo��h4qor?c)a�r�el���)hj��eAh4���Ãmoqo¬Yqoa²®bq]¢¥Î�qÌc)ad��etdefqoel��hj�]�o��ad�o�nelc)�l¦Y®Ue�qoefelr_��a�roelhj�:®bk���x_c)aj��knadq]¢¿°Ãxoe¾��ad�nm���knadq�����hjile¾kn�U�def���_��k�t�hjq�r_iladqo��k��w���aj�Lc�hjq�� ��m��o����h4ilel��aj�LroknÕ:el��elq���rokncJefqo��knadqo�f¢ �§m���®§e(iph4qÌroelifadc)�:ad��e(kn�Jk�q���a�hÁqYmoc��:ef��aj�Ð�h[��adc)k�ifÑ4u�����hjilef�\hj�§��xoeL�ohj��kniLmoqok����l¦���moi;x0hj�§��eP�T��mo��e4¦�ilad�nad�l¦TcJa4��k�ajq]¦Yef��i4¢C°Ãxoel��ef�Gad��e�hqTm�c�:ef�aj�8k�qoroef�:efqoroefqY��g«ef����ad��ad��kn�b��hjc)�o��ef����hj��e­mo��efr�k�q0ephji;x�h[��adc)k�i����ohjile¯®bkn��xAkn���©a²®bq(xoefmo��kn����knil�f¢°Ãxoe�gAhj��¬ja²�_i;x�h4k�q0¬jel��qoel�Íkn�bh�c)k��T��mo��e¾aj�¿cJhjq���� ��mo��u ¬jel��qoel�n�

Ö��.��/��o����,� # �� � Ö � �.��/$��� / �O� � "."." � � � � Å �

ç©qo��kn¬jeb��xoe©Îwg(sJ��k�c)�o��ebiph4��ej¦T��xoe�����h4��ef�Uk�q���x�e ���ohjile hj��e©qoaj�Ò�Gmo������u�ilajqoqoeliP��efr]¦�k=¢ªe4¢RÖ�����/$���� ã�Gad�Òc)ad���&��/$��¢8°ÃxYmo�U��xoe¾gAh4��¬ja²�)i;x�hjknq�ilhjqoqoaj�UcJa²�je��G��efel�����G��adcÉadq�e��w�;h4��e���a¯��xoe�aj��x�el�Òk�q�ajqoe�w��el�E¢°�a�hjqohj�n�TÔle¾k����b��elx�hp�Tk�ad�f¦�®§e­��x�hj���E��ad���de¾��xo��ele��o��ad�o��efcJ�Ãknq_�Gm���mo��ej¢

Åj¢©é�q�hj����Ôfk�qot�x�kn����k�qot[u ��kncJe©����iladc��ok�qoknqot�cmo����kn�o��e�Îwg(s0h[�broknÕ:el��elq��©rok�c)elqo��k�adq��l¢

ÇT¢©Î�q ��ajcJe����ohjile4¦U®Ue«cmo�w�Jm���e���xoe�xoefmo��kn����knil����a��Gad��c hOifadc)�:ad��kn��e_�o��ad��ad��hj�6¢¤s�moi;xÌhj���xoe�sT®Uefqoro��elq�u6£�hjq�t_ilm��²ÄªÇ[È�knq���xoe¯��hj����kn��k�adq����ohjile4¢Ã°Ãxoel��ef�Gad��e¯��xoe­����ad��ad��h4������ad��h4�ok��nkn���kn�­ifadc)�:ad��elrÁaj�\cJhjq��Oh4��ajcJkni)x�elmo��k�����k�if�l¢_é qohj�n�TÔlknqot���xoeJiladc)�:aj��kn��e��o��ad��ad��hj������m�i;x hj�sY®Uefqoro��efq�u £ hjqotJilm��©kn��h4����a�kncJ��ad�w�;hjq��p¢

â�¢b£Áe¾��x�admo��r�h4����a���ephj��i;x0��xoe¾���ohjile�k�q�hifa�hj����ePu6��a4u6Ï�qoe¾�w����h[��elt4�d¢8£Áe¾��xoadm���r�rok���il��ef��knÔleL��xoe��ephj��i;x�����hjifebila�hj����ef�n��hjqor��x�elq���ePÏ�qoe\��x�e\����h4��ef�Ra3�jel�R��kncJe4¢.à©a²® ��a¾iladc)�om���eU��x�eÃxokn����k�q�t��k�c)e �Gad�Ã��moi;xA�w����h[��elt4�_k��bhj�n��a�moqo¬Yqoa²®bq]¢

� � � � � ��� � $ � ���

°Ãxokn�Ò®§ad��¬Jkn�Ò��mo�o��ad����elr_���Jhs��na�hjq��Gel�n��a²®b��xokn��h4qor�hjq (Ls�ßOtd��hjq��§Î�ÎwsYu�ã�Ç3u ÆdÆ4u � � â�¢Í°Ãxoe¾hjm���xoad�����x�hjqo¬�yExYmoa²®§elqO°¿mE¦��Lk�qotjqok�hjq(£Ám]¦Íhjq�rOé���hjq��Òmokn���ne¯�Gad�¾�w��kncmo��h[��k�q�t�rokn��ilm�����knadqo�f¦¿h4qor���x�hjq�¬"�el����k�ÂLk�hjifadqok��\hjqor �jmoqAè�knm��Gad�Ãk�qo��k�tdx����Gmo�]k�q��Gad��cJh4��knadq]¢

Çjâ

Page 24: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

� � � � �� �� � �

��������� ������������������������������ !������"�#$�&%(')���� *�&#,+��.-0/1'������)��������23�,���4�(56/$'��&%(7984#;:�<1��=->�������&?(�@8BAC#$��DE� �F-3��� ���������HGI�BJK84?!%L�&"�8M�&7ONQPSR;84#,+T�@842VUT7,�&7,���97,��/4�W� 84%(�&#$7,D)8H�X74�

�Y:.��Z��RB�&#,?(�!�����[U\�L]^'3�_�a`$b #$�&%('dc��&#$7,�@7,�@���V?32VUTJK8H���(�98H�Tegfh����"iPj��7,�,kT�LlBm9nHo.panrq s&tjtQuv�L:&w�w�x3�

�Yx.��c��(R;#,8HDy���(�_�z`, *�&#,+��F-[Pj'��������4{KbQ�@?�?(�j���@8H���(�4�( !���|7980Pj�&#$�@�}UT��D�����&7,�����V�����*~���8H��8H�4�Ik}U3%�#1����"�84#H�� 84Jje��a��#,+\�v�H�����3�

� �&��c��_������/���������������c��_�=���������_�j`9�z�@"�8H���������@2T�,��� A���#Q�9��D)808��T��Dy%(�@8H� ��Az7,'�8y d8479#,��%^������� ���@"���#$�@7,'(DykT�t�n&�L�����=�Tn&m9�&m��}�h�����T�4�y���6�6o4�1���|�(���L���.e$���F�|���H����:3�

�Y�.��c���������/��������������)�z�XUT���@�&�\e�P;���9798�� `rf¡'��&7a����J;8j+3���FJ¢�&?^����7�7,'�8O d8479#,��%^�����������@"���#$�@7,'(D}£HkT��¤�n&¥Tm��L�&¦nrqit�n&�=�L¥�����m���L§}¨��>�������©¨Lo4�g���\o1�����L���|�L:&w>eªx�«3���H����¬3�

�Y«.�yf­�I®)�|� ���97,����"��4��`, d���|798¯Pj�&#$�@�M�,��Dy%(������"ZD)847,'��T���z���$����"M *�&#,+��F-i/$'������(�K������7,'�8H�@#;�&%�%(����/4�&7,�������,kT�° ��n&���4�6m���±��&�L���|�\���Fe$�4w��3���H���>wT�

�I�F�}���²U\� � ���_��`, !8479#,��%^������³48H�´���(��84%^8H����8H��/�8y�,��Dy%(������"VJ=�@7,'µ/���D)%L�&#$���9�����Z79�[#,8�¶r8H/�7,�����´�,��Dy%(������"*�������Dy%\��#$7,����/�8Q�,��D)%(������"�kT�^¨(�g���6�C���6��o���&�\§·t�n&�=�L¥��6�C�|¸��L«3{����Hx.e$���H�3���H�����3�

�Y¬.��®)�I�z�K d8H��"�84#$�98H�¹�����¢º¯�I�z�z»jJ;848H���@8��)`9ºO�&798H�}��AMP;���|-�84#,"�8H��/�8[��A 7,'�8d�=���,7,����"������(�¼ !8479#$��%\������� �@"���#$�@7,'(Dy�4�Iky½ ���L��¦¾�ZnrqM¨(�g���6�C���6��o��1�^:>��{��4w���e$�H:T�&�a�H���>���

�Y�.�iU\�Ic��| d842T�������yºM�I�a�X»WJK848H����8��3�h�&m1±&n�¿Zo��3���C�����&�L§���gnHo��3�&���6��o����g�|À���¦²�6�6�&��U3%(#$����"�84#9egÁ�84#1���&"��������������_��H����x3�

���4w>� � �� d8479#,��%^�������4�� h� � ��ºW���98H�|?(����7,'_�|Z�YfÂ��ºO���98H�X?L����7,'_�3M�I�Z��»v8H����84#H�3���(�}�O�3» 8H���@84#H��`9�zÃ3���&7,�@�����;��AU37,�&7980PB����/4�����&7,�������B?|2Ä�����97QP;��D)%(��7,����"y d��/1'�����8H�$kT��¤Tpjt �����ypvl;�|�.�4p^:T�&�v�4w�¬��Feª��:3���H����x3�

��������º¯�I�z�KUTDy�@7,'Å�����Å�z�a»W�@84#$��842��Z`9������/�7�79#1�����,�@7,�@���Æ%�#$��?(�&?(������7,�@8H�MA���#} d8479#,��%^�����@³48H�Å���(��84%^8H����8H��/�8�,��Dy%(������"�kT�zÇ\�,o4�X����o$�&¦_ÈW�ª�Tn�m��6�^� 84%�74����AaU37,�&7,���97,��/4�H�(N=�(�@-L�T��A � ��#,7,'*PB�&#,���������T�_�H���>���

Ç4Æ

Page 25: UCLA Statistics | Websitesczhu/papers/Romeo_bound.pdfhjile4¢AÀRc) ok k ilhj 0 xoe elifelq r h4 h[u r kn jelq gAhj ¬4a² Ái;xohjk q g«adq e v\hj na 2¾ g(vÃg(và i;xoelc)e

���H:.�i]��Yf­�B»��¡» �¡����� U\�WP �O]^'3�_��` � Dy�&"�8´U384"�D)8H�|7,�&7,�@���¡?32¼���&7,�>e�� #$�@-�8H� *�&#,+��F- PB'(�����¹ d���X798PB�&#1�@���Ik�s������ Ç�m9�&����p�l_½=�*s1�TÁ������L:>��� � ���¾�3�\ *�H2��_:&w�w�:3�

���Hx.�i]��Yf­�X» ������Iº¯�3PB'�8H�_�XZ�I�a���z�������@8��������}U^�²P �|]^'3�_�v` � Dy�&"�8O%(�&#1�,����"�{��984"�D)8H�|7,�&7,�@���_�T��84798H/�7,�@���i�����#,8H/���"��(�@7,�@����kT�LljmrnHo.pznrq�s&tjtQu�� � ��/�8��(��#1����/�8��L:&w�w�x3�

�����&�iU\�²P ��]^'|���&ºM��]_'�����"��������)]��YfÂ�&»��_�_` � �|7984"�#$�&7,����"�79��%�e����FJO���.?^��7979��D0e���%A���#���?T¶r8H/�7�#,8H/���"��(�@7,�@���Z?|2���&7,�>e�� #$�@-�8H�i d�&#,+��.-}PB'������y d���|798 PB�&#$�@��kT��lBm9nHoFpvnrqZt�n&�=�L¥�����mÄu��C�1��n&�!�&�L§¯lO��������m���ÈW�,o1n,¸��(���6��n&���:&w�w�wT�

Ç æ