Programa Matemática BásicaTEMA I: LA RECTA REAL1.1. Conjuntos Numéricos. Operaciones con los conjunto numéricos.1.2. Propiedades.1.3. La recta numérica. Valor absoluto. Intervalos. Tipos de intervalos.1.4. Potenciación. Radicación. RacionalizaciónTEMA II: EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS2.1. Expresiones algebraicas. Polinomios. Definiciones.2.2. Operaciones con polinomios.2.3. Productos y cocientes notables. 2.4. Binomio de Newton.2.5. Factorización. 2.6. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.2.7. Expresiones algebraicas racionales. Operaciones con expresiones algebraicas racionales.2.8. División de polinomios. División sintética. Teorema del residuo. TEMA III: ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES3.1. Ecuación lineal en una variable.3.2. Ecuación lineal en una variable con valor absoluto.3.3. Inecuaciones lineales en una variable.3.4. Inecuaciones con valor absoluto.3.5. Sistemas de ecuaciones lineales.3.6. Ecuaciones Cuadráticas. Raíces reales y complejas.TEMA IV: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. GRAFICAS4.1. Sistemas de coordenadas rectangulares.4.2. Distancias entre dos puntos. Punto medio.4.3. La circunferencia. La línea recta.4.4. Funciones. Grafica de funciones algebraicas. TEMA V: FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS5.1. Funciones exponenciales.5.2. Los logaritmos y sus propiedades5.3. Funciones logarítmicas.5.4. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.TEMA VI: FUNCINES TRIGONOMETRICAS6.1. Ángulos y sus medidas.6.2. La circunferencia unitaria. Funciones circulares. Gráfica de las funciones circulares.6.3. Funciones trigonométricas inversas. Gráficas.6.4. Identidades trigonométricas.6.5. Ecuaciones trigonométricas.TEMA VII: FORMA POLAR Y TRIGONOMETRICAS DE NUMEROS COMPLEJOS7.1. El plano Gaussioano.7.2. Forma polar y trigonométrica de los números complejos.7.3. Operaciones con números complejos. Formula de Moivre.

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TEMA VIII: ANALISIS COMBINATORIO8.1. Permutaciones Lineales.Permutación con repetición. Permutación circular.8.4. Variaciones sin repetición. Variaciones con repetición.8.5. Combinaciones sin repetición. Combinaciones con repetición. Bibliografía1) Algebra Autor: Aurelio Baldor.2)Matemática Básica Autor: Rafael Peña Geraldino.3)Precálculo Autor: James Stewart.

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Conjuntos NuméricosConjunto de los números Naturales(N): son aquellos que surgieron para contar.Ej.: 3 plátanos5 mangos2 casasN= {1,2,3 ,…,n }Propiedades

1. Son infinitos.2. El primer número es el uno.3. Entre dos números naturales no consecutivos existe un número finito de

números naturales.Conjunto de los números Enteros (Z): surgieron para restar.Ej . :5−2=3∈N pero2−5=−3∉N pero∈Z∈=Pertenece∉=No pertenecez= {−n ,…,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3 ,…,n }Propiedades

1. Son infinitos.2. Entre dos números enteros no consecutivos existe un número finito de

números enteros.Ejemplo :Determinar cuantos númerosN y Z hay entre :−2 y3Solución: entre−2 y3={−1,0,1,2 }2N= {1,2 }4 Z= {−1,0,1,2 }Conjunto de los números Racionales (Q): son aquellos que se pueden expresar como el cociente de dos números enteros. Surgieron para dividir.

Ej . :1¿ 34deaceite

2¿ 12libra deazucar

3¿2libras de azucar

Q={N ,Z ,Z1Z2 }

Propiedades1. Son infinitos.2. Densidad : Entre dos números racionales existen infinitos números racionales.

Ejemplo :Determine por lomenos5númerosracionales entre :1 y2

Solución:Entre1 y 2=32,43,54,65,76,…

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Conjunto de los números Irracionales (Q´): Son aquellos que no se pueden expresar como el cociente de dos enteros.

Todas la raíces inexactas son números irracionales: √2 ,√3 ,√5 , 3√7 , etc .Otros números irracionales importantes en la creación son el número e y π .

Elnúmero π (Pi ): Es un número irracional que se forma del cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

π= LD

=3.141592653589793…

Elnúmero e : es un número irracional que se forma de:

e=limx→0

(1+x )1/ x=2.718281828459045…

Es la base de los logaritmos neperianos o naturales. Se llaman neperianos en Honor al matemático y teólogo escocés John Neper(1550-1617), quien lo descubrió.El conjunto de los números Reales(R):Están formados por:R={N ,Z ,Q ,Q´ }Se representan sobre una recta llamada recta Real.Números Imaginarios: surgen de las raíces pares de números negativos.Ej.:

√4=2 porque2 x 2=4√−4=−2? pero (−2 ) x (−2 )=4√−4=√4(−1)=√4 x√−1=2√−1=2 ii=√−1Conjunto de los números Complejos(C): están formados por un número real más un número imaginario.C=a+biEj . :1¿1+3i2¿3−5 iResumen de los conjuntos numéricos:

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D

Operación Interna: una operación es interna en un conjunto numérico si al realizar la operación con elementos del conjunto, da como resultado elementos del conjunto.Operaciones internas en los conjunto numéricos N= {1,2,3 ,…,n } z= {−n ,…,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3 ,… ,n }

Q={N ,Z ,Z1Z2 }

Ej . :1+2=3∈N pero2−5=−3∉N pero∈Z

2×3=6∈N pero2÷3=23∉N pero∈Q

Las operaciones internas en los conjuntos numéricos son:N= {+ ,× }Z=Q=R={+,− ,× }La división no es interna en ningún conjunto numérico debido al cero.44=1; 4

2=2 ; 4

1=4 , 4

0.5=8 ; 4

0.25=16 ; 4

0.125=32 ;…;

40=∞

PROPIEDADESI) CONMUTATIVA1)Conmutativa de la suma: el orden de los sumandos no altera la suma.a+b=b+a2)Conmutativa de la multiplicación: el orden de los factores no altera el producto.a×b=b×aII) ASOCIATIVA1) Asociativa de la suma: la forma en que se agrupan los sumandos no altera la suma.a+ (b+c )= (a+b )+c2)Asociativa de la multiplicación: la forma en que se agrupan los factores no altera el producto.a× (b×c )= (a×b )×c

III) DISTRIBUTIVA1) Distributiva de la multiplicación respecto a la sumaa× (b+c )=a×b+a×c2) Distributiva de la suma respecto a la división(a+b)

c=ac+ bc

3) Distributiva de la potenciación respecto a la multiplicación(a×b)n=an×bn

4) Distributiva de la potenciación respecto a la división

( ab )n

=an

bn

5) Distributiva de la radicación respecto a la multiplicaciónn√a×b=n√a× n√b

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6) Distributiva de la radicación respecto a la división

n√ ab=

n√an√b

Elemento Neutro: el elemento neutro n para una operación ¿ en un conjunto A, es un elemento tal que:a∗n=aEl neutro de la suma es 0.a+0=aEl neutro de la multiplicación es el 1.a×1=aElemento opuesto o simétrico: el opuesto o simétrico de un elemento a para una operación *, en un conjunto A, es otro elemento a´ ,tal que al realizar la operación entre ellos da como resultado el elemento neutro de dicha operación:a∗a´=n

El simétrico aditivo: para la suma equivale a cambiarle el signo, o sea el opuesto.a+(−a)=0El inverso multiplicativo: en la multiplicación equivale al inverso.

a×1a=1

Para una fracción:ab×ba=1

Operaciones con los conjuntos numéricosFracciones Propias: son aquellas en las cuales el numerador es menor que el denominador.Ej . :3/ 4Fracciones Impropias: son aquella en las cuales el numerador es mayor que el denominador.Ej . :5/2Números Mixtos: son aquellos que están formados por un número entero y una fracción propia.

Ej .3 :12se lee3enterounmedio

Los números mixtos surgen de las fracciones impropias. Para formar un número mixto a partir de la fracción impropia, se hace la división. El cociente será la parte entera, y el residuo entre el divisor, será la fracción propia.Para pasar de número mixto a fracción impropia:

abc=a×c+b

c-6-

Decimales Exactos: son aquellos cuya cifra decimal no se repite infinitamenteDecimales Periódicos: son aquellos cuya cifra decimal se repite infinitamente. Son de dos tipos:Decimales Periódicos Puros: son aquellos en los cuales la cifra que se repite comienza justamente después del punto.Decimales Periódicos Mixtos: son aquellos en los cuales la cifra que se repite no comienza justamente después del punto. También su pueden definir como aquellos que están formados, un su parte decimal, por una cifra que no se repite infinitamente y otra que sí.Ejemplo:1¿0.25 Exacto2¿0.3333….Perióico Puro1¿0.312222….PeriódicoMixto

Fracción Generatriz (F.G): es la fracción que genera el decimal.Fracción generatriz de un decimal ExactoPasos:

1. Multiplicar y dividir por 1 seguido de tantos ceros como dígitos tenga la cifra decimal.

2. Simplificar.Fracción generatriz de un decimal Periódico PuroSea: 0.aaaa…=0.bel decimal periódico puro . Dondeaes la cifraque serepiteinfinitamenteEntonces:

F .G= b999→b

999→b=tantos9comodígitostenga a .Fracción generatriz de un decimal Periódico MixtoSea: 0.abbbbb…=0.abel decimal periódicomixto .Donde :a=cifra quenose repite infinitamenteb=cifraque se repite infinitamenteEntonces:

F :G= ab−a100→ab−10→a

100→ab=1 seguidode tantosceroscomodígitos tenga ab10→a=1 seguidode tantosceroscomodígitos tenga a

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Operaciones con conjuntos numéricos

Operaciones con las fraccionesSuma Suma de fracciones con el mismo denominadorac+bc=a+b

cSuma de fracciones con diferentes denominadoresPara sumar dos a más fracciones se debe determinar el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M) de los denominadores. El M.C.M. de dos o más números es mínimo numero que es divisible entre cada uno de los números dados. Para determinar el M.C.M. de dos o más números, se descomponen simultáneamente en sus factores primos. La multiplicación de todos los factores será el M.C.M. El M.C.M. siempre será el mayor de los números, y sino un múltiplo entero del mayor.

n1d1

+n2d2

+n3n3

+…+nn

dn

=

M .C .Md1

×n1+M .C .M

d2×n2+

M .C .Md3

×n3+…+ M .C .Mdn

×nn

M .C . M .

Multiplicación de fraccionesab×cd= acbd

División de fraccionesab÷cd=adbc

En forma de cociente:abcd

=adbc

, se dice producto de los extremosentre el producto de losmedios .

Operaciones con radicalesSuma: para sumar dos o más radicales debe tener el mismo índice y la misma cantidad sub-radical.a n√b+c n√b=(a+c) n√bMultiplicación y División de radicales del mismo índicen√a× n√b=n√a×bn√an√b

=n√ ab

Operaciones con números complejosSuma: se suma real con real, e imaginario con imaginario.(a+bi )+ (c+di )=(a+c )+ (b+d ) i

-8-Potencia imaginariai=√−1

i2=(√−1 )2=−1 , i3=i2×i=−i , i4=i2×i2=1En resumen:i0=1 , i=i , i2=−1 , i3=−i , i4=1Cuando la potencia sea mayor que 4, se divide la potencia entre 4, el residuo de esta división será el nuevo exponerte de la i .

Multiplicación: se multiplica real por real, real por imaginario, e imaginario por real, e imaginario por imaginario, y luego se simplifica.Complejo conjugado: el complejo conjugado de un número complejo es otro complejo con la parte imaginaria cambiado de signo.a+bi→conjugado=a−bia−bi→conjugado=a+biSuma de un complejo con su conjugado(a+bi )+ (a−bi )=2aLa suma de un complejo con su conjugado es igual a un número real puro.Multiplicación de un complejo por su conjugado(a+bi )× (a−bi )=a2+abi−abi+b i2=a2+b2 (−1 )=a2−b2

La multiplicación de un complejo por su conjugado es igual a un número real puro.División de números complejosPara dividir dos complejos se debe convertir el denominador en un numero real. Para hacer esto multiplicamos y dividimos (para que no se altere la expresión) por el conjugado del denominador. Luego simplificamos y hacemos la división.

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IntervalosEs un rango de valores de números reales. Se clasifican en:

1. Intervalos Acotados: son aquellos cuyos extremos son números finitos.a≤ x≤b→ [a ,b ]a=limite inferiorb=limite superior

2. Intervalos no Acotados: son aquellos que tienen infinito en uno de sus extremos.x≥a→¿

Los intervalos acotados se clasifica en:1. Intervalos Cerrados (I.C.): son aquellos que incluyen los extremos.2. Intervalos Abiertos (I.A.): son aquellos que no incluyen los extremos.3. Intervalos Mixtos (I.M.): son aquellos que incluyen un solo extremo.

Longitud y punto medioLongitud (L): es la distancia que hay de un extremo al otro.a≤ x≤bL=b−a

Punto Medio (xm¿: es la coordenada de x que divide el intervalo en dos partes iguales.

xm=a+b2

L a b xmAxiomas de desigualdad

1. Si se suma o resta una misma cantidad a ambos miembros de una desigualdad, la desigualdad no se altera.

2. Si se multiplica o divide ambos miembros de una misma desigualdad por una misma cantidad positiva, la desigualdad no se altera.

3. Si se multiplica o divide ambos miembros de una misma desigualdad por una misma cantidad negativa, la desigualdad se invierte.

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Intervalo Forma de Par Ordenado

Forma de Desigualdad Graficas

Cerrado [a ,b ] a≤ x≤bSe lee : xmayor oigualque a , ymenoro igual queb.

x 0 a b

x 0 a b

Abierto ¿a ,b¿ a< x<bSe lee : xmayorque a , ymenor b .

x 0 a b

x 0 a b

Mixto ¿a ,b¿¿

¿

a< x≤bSe lee : xmayor queay menor queb .

a≤ x<b

Se lee : xmayor o igualque a , ymenor queb .

x 0 a b

x 0 a b

x 0 a b

x 0 a b

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Intervalos no acotadosForma de Par ordenado Forma de desigualdad Gráficas

¿ x≥a …∞ x 0 a

…∞ x 0 a

¿a ,∞ ¿ x>a …∞ x 0 a

…∞ x 0 a

¿−∞ ,a¿¿ x≤a -∞… x 0 a

-∞… x 0 a

¿−∞ ,a¿ x<a -∞… x 0 a

-∞… x 0 a

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Valor Absoluto: el valor absoluto de un número real x se define como

|x|={ x cuando x>00cuando x=0

−x cuando x<0

Es decir, el valor absoluto de un número real x es igual a su valor positivo. Propiedades:1¿|a−b|=|b−a|2¿|x|≤a se convierteen elintervalo acotado−a≤x ≤a

3¿|x|≥ase convierte endos intervalosnoacotados :x≥a y x≤−aEXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOSExpresión Algebraica: es una relación entre números y letras.Ej . :1¿5xy 2¿ x2−7 x+123¿4m2−25n2

Términos: son cada una de las expresiones algebraicas separadas por el signo de mas o de menos.Monomio: es una expresión algebraica que consta de un solo término,Binomio: es una expresión algebraica que consta de dos términos.Trinomio: es una expresión algebraica que consta de tres términos.Polinomio: es una expresión algebraica que consta de dos o más términos.FACTORIZACIONFactotizar: es descomponer una expresión algebraica en dos o más factores.CASOS DE FACTORIZACIONCASO I: Factor Común MonomioEs la máxima expresión que divide a cada una de las expresiones dadas.Está formado por:

1. Factor numérico: es máximo número que divide a cada uno de los coeficientes dados. Siempre será el menor y sino un sub-múltiplo entero del menor.

2. Factor literal: letras comunes con su menor exponente.CASO II: Factor Común polinomioPasos:

1. Agrupar los términos de manera tal que se puedan factorizar, y factorizarlos.2. Factorizar el polinomio resultante del paso 1.

CASO III: Diferencia de Cuadrados Perfectosa2−b2= (a+b ) (a−b )CASO IV: Diferencia de Cubos Perfectos

a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 )CASO V: Suma de Cubos Perfectos

a3+b3=(a+b ) (a2−ab+b2 )-13-

CASO VI: Trinomio Cuadrado Perfecto T.C.P.Para un trinomio ser T.C.P. debe cumplir:

1. El primer y tercer término del mismo signo.2. El segundo término debe ser igual a dos veces la raíz cuadrada del primer

término por la raíz cuadrada del segundo término.El T.C.P. se factorizará como:a2 x2±2abxy+b2 y2=(ax±by )2

ax bx´

CASO VII: Trinomio de la forma x2+bx+cPasos:

1. Abrir dos factores:x2+bx+c=( x ) (x )

2. El primer factor tendrá el signo del segundo término, y el segundo factor tendrá el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término.

3. Si los signos son: Iguales: se buscaran dos números que sumados nos del el coeficiente

del segundo término, y multiplicado el tercer término. Contrarios: se buscaran dos números que restados nos del el

coeficiente del segundo término, y multiplicado el tercer término.4. El mayor de los números se colocara en el primer factor.

CASO VIII: Trinomio de la forma ax2+bx+cPasos:

1. Multiplicar y dividir por a :

ax2+bx+c=a (ax2+bx+c)

a=

(a2 x2+b(ax)+ac)a

2. Resolver como en caso VII:

(a2 x2+b(ax )+ac )a

=(ax ) (ax )

a3. Simplificar

CombinacionesTrinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P.) con Diferencia de cuadrados PerfectosPaso:

1. Factorizar el T.C.P.2. Factorizar la Diferencia de Cuadrados Perfectos resultante del paso 1.

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Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y SustracciónPasos:

1. Sumar y restar el término que completa el T.C.P.2. Factorizar el T.C.P.3. Factorizar la Diferencia de Cuadrados Perfectos resultante del paso 2

Productos Notables Son ciertos productos que se realizan por simple inspección.Suma de dos cantidades al cuadradoLa suma de dos cantidades al cuadrado es igual al cuadrado de la primera cantidad más dos veces la primera por la segunda, mas la segunda al cuadrado.(a+b )2=a2+2ab+b2

Diferencia de dos cantidades al cuadradoLa diferenciade dos cantidades al cuadrado es igual al cuadrado de la primera cantidad menos dos veces la primera por la segunda, mas la segunda al cuadrado.(a−b )2=a2−2ab+b2

Suma de dos cantidades al cuboLa suma de dos cantidades al cubo es igual al cubo de la primera cantidad, mas tres veces el cuadrado de la primera por la segunda, mas tres veces la primera por el cuadrado de la segunda, mas la segunda cantidad al cubo.(a+b )3=a3+3a2b+3ab2+b3

Diferencia de dos cantidades al cubo(a−b )3=a3−3a2b+3ab2−b3

Suma de dos cantidades por la diferencia de las cantidades(a+b ) (a−b )=a2−b2

El binomio de Newton

(a+b)n=an+ nan−1b1

+n(n−1)an−2b2

2+n (n−1 )(n−2)an−3b3

3+…+bn

Pasos:1. El primer termino estará elevado a la n.2. El coeficiente del segundo término será n . El coeficiente del próximo termino

se forma multiplicando el coeficiente del término anterior por la potencia de a en ese termino, y este resultado dividido entre la potencia de b aumentada en 1. El procedimiento se repite hasta llegar a bn. Las potencias de a van disminuyendo en 1, mientras que las de b, van aumentando en 1 hasta llegar a bn. La expresión final tendrá n+1 terminos.

3. Si el binomio es (a−b)n, el procedimiento será igual, solo que los signos se alternaran.

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Cocientes NotablesSon ciertos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden ser escritos por simple inspección.Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.a2−b2

a+b=a−b

a2−b2

a−b=a+b

Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.a3+b3

a+b=a2−ab+b2

a3−b3

a−b=a2+ab+b2

Caso general para los cocientes notables1.an−bn es siempredivisible por a−b , siendonunnúmero entero , yaseapar o impar .

2.an−bn es divisible por a+b , siendonunnúmero entero par .3.an+bn esdivisible por a+b , siendonunnúmeroentero impar .4.an+bnnuncaes divisible por a+b∋ por a−bsiendonunnúmeroentero par .En resumen: la resta es siempre divisible entre la resta para cualquier potencia de n. Cuando el divisor sea una suma será divisible cuando el dividendo sea una suma con n impar, y con una resta con n par.Leyes que siguen estos cocientes:1. El cociente tiene tantos términos como unidades tiene el exponente de las letras en el dividendo.2. El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer termino del divisor y el exponente de a disminuye en 1 en cada término.3. El exponente de b en el segundo término del cociente es 1, y este exponente aumenta 1 en cada termino posterior a éste.4. Cuando el divisor es a−b todos los signos del cociente son positivos y cuando el divisor es a+b los signos son alternados +/-.

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