u.a.i algebra i

INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR PEDAGÓGICO PÚBLICO

“VÍCTOR ANDRÉS BELAUNDE”

JAÉN

Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera

FICHA DE INFORMACION Nº05

Practica Dirigida

1. Factorizar: F(x; y) = x2y

2 + x

2y + xy

2 + xy

El número de factores primos es:

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

2. Factorizar: F(x; y) = x3y

2 + x

2y + x

2y

3 + xy

2

El factor primo de 2do grado es:

a) xy + 1 b) xy + y2

c) x2 + y

2

d) x2 – y

2 e) x

2 + xy

3. Factorizar: F(x; y) = x4y – x

2y

3 – x

3y

2 + xy

4

El número de factores primos binomios es:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

4. Factorizar e indicar un factor primo:

Q(x, y) = x3 + 2x

2y + 4xy

2 + 8y

3

a) x + y b) x – y c) x + 2y

d) x – 2y e) x2 + y

2

5. Factorizar:

P(a; b; c) = a2 – abc – ac – ab + b

2c + bc

Indicar el número de factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

6. Factorizar:

P(a; b; c) = ab2 + ac

2 + bc

2 + a

2b + a

2c + b

2c +

3abc

Indicando un factor primo.

a) a2 + b

2 + c

2 b) a – b – c

c) a + b + c d) a3 + b

3 + c

3

e) a + b

7. Factorizar: F(x) = (x2 + 2)

2 – (2x - 1)

2

El factor que más se repite es:

a) x + 1 b) x – 1 c) x + 2

d) x – 2 e) x – 3

8. Factorizar: F(x; y) = (x2 – y

2)2 – (y

2 – z

2)2

Un factor primo es:

a) x + y b) x – y c) x + z

d) x2 + y e) y - z

9. Factorizar: F(x) = (x + 1)4 – (x - 1)

4

La suma de coeficientes del factor primo

cuadrático es:

a) 1 b) 2 c) 3

d) -2 e) -1

10. Factorizar: F(x) = x3 + x

2 – 9x - 9

Indicando un factor primo.

a) x – 1 b) x – 2 c) x - 3

d) x + 5 e) x + 7

11. Factorizar: P(x, y) = x2 – y

2 + 6y - 9

Indicando el factor primo de mayor suma de

coeficientes.

a) x + y – 3 b) x – y + 3 c) x + y + 2

d) x + 2y – 1 e) 3x + y + 2

12. Factorizar: (a3 + b

3 + c

3)3 – a

3 – b

3 – c

3

Indicando el número de factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

13. Factorizar: F(x) = (x + 1)4 – 5(x + 1)

2 + 4

e indicar el término independiente de un

factor primo.

a) 1 b) 2 c) 4

d) -2 e) -3

14. Factorizar:

Q(x) = (x2 + 5)

2 + 13x(x

2 + 5) + 42x

2

Indique la suma de coeficientes de un factor

primo.

ALGEBRA I 2013 FACTORIZACION

Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera

a) 5 b) 6 c) 2

d) 4 e) Hay 2 respuestas

15. Factorizar:

G = x6 – 6x

4 + 2x

3 + 5x

2 – 6x + 1

E indicar el coeficiente del termino lineal de

un factor primo.

a) -1 b) -2 c) 1

d) 2 e) 3

16. Factorizar:

F(x, y) = 3x2 + 7xy + 2y

2 + 11x + 7y + 6

Entonces un factor primo es:

a) 3x + 2y + 1 d) x + 2y + 3

b) x + 3y + 2 e) x + y + 6

c) 3x + 2y + 2

17. Factorizar:

F(x; y) = 3x(x - y) – 2y(x + y) + 7(2x + y) - 5

El término de un factor primo es:

a) 2y b) 2x c) -y

d) -5 e) 3x

18. Factorizar:

F(x; y) = (x + 3y)2 + 2(x - 3) + 3(2y - 3)

La suma de sus factores primos es:

a) 2x + 6y + 3 d) 2x + 5y - 14

b) 2x + 6y + 2 e) 2x + 10y - 1

c) 2x + 10y + 2

19. Factorizar:

F(x; y) = (3x - y)(x – 4y) + 5x(y + 2) – 8y + 3

La suma de coeficientes de un factor primo es:

a) -2 b) -1 c) 3

d) 1 e) 2

20. Factorizar:

F(x; y) = 4x2 – 13xy + 10y

2 + 12x – 15y

Señalar un factor primo:

a) x + 2y + 3 b) 4x + 5y c) 4x – 5y

d) 4x + 2y + 3 e) 4x – 2y + 3

21. Factorizar:

F(x) = x4 + 5x

3 + 13x

2 + 17x + 12

Uno de sus factores primos es:

a) x2 + 3x – 4 d) x

2 + 3x + 4

b) x2 + 2x + 2 e) x

2 + 3x + 3

c) x2 + 2x + 4

22. Factorizar:

F(x) = (x2 + 2x)(x

2 – x) + 7x + 3

La suma de sus factores primos es:

a) 2x2 + 3x + 1 d) 2x

2 + 5x + 4

b) 2x2 + 2x + 3 e) 2x

2 + x + 2

c) 2x2 + x + 4

23. Factorizar: F(x) = x4 – 5x

3 + 16x + 8

El coeficiente del término lineal de uno de sus

factores primos es:

a) 0 b) -1 c) -3

d) 3 e) 2

24. Factorizar:

F(x) = x4 + 1 – 3x(x + 1)(x - 1)

La suma de coeficientes de uno de sus

factores primos es:

a) -3 b) -2 c) 2

d) 3 e) 0

25. Factorizar:

F(x) = x3(x - 4) + (2x + 7) (2x - 7)

La suma de los términos lineales de sus

factores primos es:

a) 4x b) -2x c) 2x

d) 0 e) -4x

26. Factorizar: F(x) = x3 + 2x

2 – 5x - 6

La suma de factores primos lineales es:

a) 3x + 2 b) 3x – 2 c) 2x - 1

d) 3x + 4 e) 3x + 5

27. Factorizar:

F(x) = x3 – 5x

2 – 2x + 24



La suma de los términos independientes de

sus factores primos es:

a) -11 b) -10 c) -5

d) 11 e) 2

28. Factorizar:

F(x) = 2x3 + 7x2 + 7x + 2

Indicar uno de sus factores lineales.

a) x + 3 b) x – 1 c) 2x + 1

d) 2x – 1 e) x - 2

29. Factorizar:

F(x) = 2(x + 1)(x2 – x + 1) – x(5x - 1)

El coeficiente principal de uno de sus factores

primos es:

a) -2 b) 2 c) -1

d) 3 e) -3

30. Factorizar:

F(x) = x(x + 1)(x - 1) + 2 – 2x

El factor primo que mas se repite es:

a) x + 2 b) x – 2 c) x + 1

d) x – 1 e) x + 3

Practica Grupal

1. Factorizar: P(x; y) x5y

4 + x

5y

2 + x

3y

4 + x

3y

2

e indicar un factor primo.

a) x + y b) x2 + y

2 c) x + 1

d) xy + 1 e) y2 + 1

2. Indicar un factor primo al factorizar la suma

de los factores primos de:

P(a; x) abx2 + aby

2 + xya

2 + xyb

2

a) a + y b) b + x c) x + y

d) a – b e) b – x

3. Factorizar:

F(x) (x - 3)(x - 2)(x - 1) + (x - 1)(x - 2) – (x - 1)

e indicar la suma de sus factores primos.

a) 2x – 4 b) 3x – 5 c) 3x - 6

d) 2x – 3 e) 3x - 4

4. Señale un factor primo de:

M(a; b) = a2 – 4 + 2ab + b

2

a) a + 2 b) b – 2c) a + b - 4

d) a + b + 2e) a - b

5. Factorizar: P(x; y) = y2 – x

2 + 6x - 9

e indicar el factor primo de mayor suma de

coeficientes

a) x + y – 3 b) x – y + 3 c) y + x + 3

d) x + y – 3e) 3 – x + y

6. Factorizar:

P(x) = x2 + 2(a + b)x + a

2 + 2ab + b

2

Indicando la suma de coeficientes de un

factor primo.

a) 3 b) a + b + 1 c) 2

d) a + b e) 1

7. Factorizar:

P(x) = x2 – (ac - b)x - abc

e indicar un factor primo.

a) x – ac b) x + b c) x + a

d) x – b e) x - a

8. Factorizar:

F(x; y) = 12x2 + 6y

2 + 17xy

e indicar el valor numérico de uno de sus

factores primos para x = 3; y = 2.

a) 13 b) 16 c) 20

d) 18 e) A D

9. Factorizar:

P(x) = 9x2 – 18x + 8

Q(x) = 12x2 + x - 6

e indicar la suma de sus factores primos no

comunes.

a) 6x – 4 b) 7x + 1c) 13x - 5

d) 7x – 1 e) 6x + 1



10. Indicar un factor primo en:

F(a; b) = (a + b + 2)2 + 11a + 11b + 40

a) a + b + 5 b) a + b + 8

c) a + b + 9 d) a + b – 7

d) a + b + 4

11. Factorizar:

a) 2x2 + 7xy + 6y

2 + 11x + 19y + 15

b) 6x2 + 17xy + 5y

2 + 19x + 28y + 15

c) 10x2 + xy – 2y

2 + 17x – 5y + 3

12. Indicar un factor primo de:

6(x2 – y

2) + 7(x - y) + 2(3y + 1)

a) 3x + 3y + 1 d) 2x + 3y + 1

b) 3x – 3y + 2 e) 3x + 2y + 2

c) 2x – 2y + 1

13. Factorizar:

a) x4 + 8x

3 + 19x

2 + 14x + 3

b) x4 + 11x

3 + 33x

2 + 26x + 6

c) 2x4 + 3x

3 + 2x

2 + 14x + 3

14. Indicar un coeficiente de un factor primo de:

3(2x4 - 1) + 11x(x

2 + x + 1)

a) 5 b) 6 c) 4

d) -5 e) 7

15. Indique la suma de coeficientes de un factor

primo de:

3(x4 + x

2 + 2) + x

2(7x + 2)

a) 6 b) 8 c) 7

d) 5 e) 9

16. Indicar la suma de factores primos de:

2x4 – 7x + 3(x

3 – x

2 - 1)

a) 5x + 6 b) 4x – 1 c) 3x - 2

d) 4x e) 5x

17. Dar la suma de factores lineales de:

2x4 – 13x – 3(x

3 – x

2 - 2)

a) No tiene b) 2x – 3 c) 3x - 3

d) 3x + 1 e) 3x - 1

18. Factorizar:

a) x3 + 2x

2 – 8x - 21

b) x3 + 7x

2 + 15x + 12

c) x3 – 3x

2 – 16x - 12


6x3 + x

2 – 9x - 9

a) 3x2 – 5x + 3 b) 2x + 3 c) 2x - 3

d) 3x2 + 5x -3 e) 3x - 2


3x3 + 7x

2 – 10x - 4

a) x – 2 b) x2 – 2x + 4 c) 3x - 1

d) x2 + 2x – 4 e) x + 1

21. Si: a + b = 5

ab = 2

Calcular: a3 + b

3

a) 83 b) 64 c) 78 d) 81 e) 95

22. Si: 5x

1x

Calcular:

3223

x

1

x

1xxE

a) 133 b) 121 c) 89

d) 76 e) 98



Practica Calificada

Nombre:_______________________________________________ Fecha: ____/05/2013

A B

1. Resuelve: Dado el polinomio:

P(x; y) = xa-2

yb+5

+ 2xa-3

yb + 7x

a-1y

b+6

Donde: G.A. = 17 G.R.(x) = 4

Calcular: (a - b)2

Si: G.A. = 45

Además:3

2

GR

GR

)y(

)x(

P(x) = abx2a-b

ya-2b

Halle el coeficiente del monomio:

2. Hallar:

a. )12)(12(

)13)(13()15)(15(P

b. P = (x + 1)(x2 – x + 1) – (x - 1)(x

2 + x + 1)

a. R = (x + n)(x - n)(x2 + n

2)(x

4 + n

4)(x

8 + n

8) + n

16

b. (x + 3)(x

2 – 3x + 9) + (x

2 + 3x + 9)(x - 3)

3. Resuelve:

Factoriza e indica el número de factores primos de:

3xy + mz + cy +3xz + my + cz


mx2 + 3mx – 3my –mxy + x

2z +3xz – 3yz - xy

4. Resuelve:

Factorizar:

P(x, y) = x2 – y

2 + 6y - 9


coeficientes.

¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar:

a4m + a

4n – b

4m – b

4n?

5. Resuelve:

Factorizar: F(x, y) = 3x

2 + 7xy + 2y

2 + 11x + 7y + 6

Factorizar:

F(x) = x4 – 5x

3 + 16x + 8

6. Resuelve:

Factorizar: 6x

3 + x

2 – 9x - 9

Factorizar:

3x3 + 7x

2 – 10x - 4

Practica Calificada



Nombre:____________________________________________ Fecha: ____/05/2013

A B

7. Resuelve: Dado el polinomio:

P(x; y) = xa-2

yb+5

+ 2xa-3

yb + 7x

a-1y

b+6

Donde: G.A. = 17 G.R.(x) = 4

Calcular: (a - b)2

Si: G.A. = 45

Además:3

2

GR

GR

)y(

)x(

P(x) = abx2a-b

ya-2b

Halle el coeficiente del monomio:

8. Hallar:

c. )12)(12(

)13)(13()15)(15(P

d. P = (x + 1)(x2 – x + 1) – (x - 1)(x

2 + x + 1)

c. R = (x + n)(x - n)(x2 + n

2)(x

4 + n

4)(x

8 + n

8) + n

16

d. (x + 3)(x

2 – 3x + 9) + (x

2 + 3x + 9)(x - 3)

9. Resuelve:


3xy + mz + cy +3xz + my + cz


mx2 + 3mx – 3my –mxy + x

2z +3xz – 3yz - xy

10. Resuelve:

Factorizar:

P(x, y) = x2 – y

2 + 6y - 9


coeficientes.

¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar:

a4m + a

4n – b

4m – b

4n?

11. Resuelve:

Factorizar: F(x, y) = 3x

2 + 7xy + 2y

2 + 11x + 7y + 6

Factorizar:

F(x) = x4 – 5x

3 + 16x + 8

12. Resuelve:

Factorizar: 6x

3 + x

2 – 9x - 9

Factorizar:

3x3 + 7x

2 – 10x - 4



1. PRODUCTO CARTESIANO

1.1. Par Ordenado: Es un conjunto de dos elementos, denotado por , que tiene la

propiedad de que el elemento es la primera componente y el elemento es la

segunda componente del par.

Ejemplo 1: etc.

1.2. Igualdad de Pares Ordenados: Dos pares ordenados y son iguales si

sus correspondientes componentes son iguales, esto es:

Análogamente, dos pares ordenados son diferentes si una de sus

correspondientes componentes es diferente, esto es:

Ejemplo 2: Determinar los valores de e de modo que:

a)

b)

1.3. Producto Cartesiano de dos Conjuntos: Dados dos conjuntos y , se llama

producto cartesiano de por , al conjunto formado por todos los pares ordenados

tales quetienen por primera componente a un elemento de y por segunda

componente a un elemento de .

Notación: Al producto cartesiano de por se denota por y simbólicamente

se representa:

ó

Ejemplo3: Sean los conjuntos y Hallar:

a)

b)

Ejemplo4: Sean los conjuntos y Hallar:

a) b)

Solución: Por extensión: y , entonces:

a)

b)

Observaciones:

1) no se cumple la propiedad conmutativa.

2) Cuando , denotaremos el producto cartesiano por .Particularmente,

si entonces el producto cartesiano de se denotará por , donde

es el conjunto de los números reales.



X X

A

B

Y

2 4 6

6

2

B

A

Y

2 6

6

4

2

3) Cuando los conjuntos y son finitos, el número de elementos del conjunto

es igual alnúmero de elementos del conjunto por elnúmero de elementos

del conjunto . Esto es:

Ejemplo 5: Del ejemplo 3, tenemos:

1.4. Producto Cartesiano : Dado el conjunto de los números reales, el

producto de por es el conjunto formado por todos los pares ordenados tales

que e pertenecen al conjunto de los números reales. Esto es:

1.5. Representación Geométrica del Producto

Cartesiano

Para graficar los pares ordenados del producto

cartesiano o , se usa el sistema coordenado

rectangular o sistema coordenado cartesiano en el

plano, o el plano cartesiano, donde representa al

conjunto de los números reales.

Ejemplo 6: Si y . Graficar y

Ejemplo 7:Si , Graficar y

Solución:

y



Ejemplo8: Graficar: y nombrar el cuadrante en que

queda cada uno.

Solución:

Seanlos puntos:

El punto A está en el I cuadrante

El punto B está en el II cuadrante

El punto C está en el eje Y

El punto D está en el IV cuadrante

1.6. Ejercicios Resueltos

1. Determinar los valores de e , en cada caso:

a)

b)

Sumando las ecuaciones (1) y (2) de dos variables, tenemos:

Reemplazamos el valor de en la ecuación (1):

2. Dados los conjuntos y Hallar:

3. Si y Graficar y



4. Sean: y

; Hallar los conjuntos:

a) b) c)

Solución:Determinando los conjuntos por extensión:

a)

b)

c) ,

5. Que parte del plano cartesiano se obtiene si se presenta gráficamente los

siguientes productos cartesianos:

a)

b)

c)

d)



a) b)

c) d)

1.7. Actividades de Aprendizaje

I. Determinar los valores de e , en cada caso:

1)

2)

3)

4)

5)

II. En cada caso hallar los conjuntos y graficar:

1) Sea

2) Sean: y

; Graficar:

a) b) c)

3) Sean: y

; Hallar el conjunto

4) Si y Hallar

5) Si y Graficar y



FICHA DE INFORMACION Nº 02

2. RELACIONES

2.1. Definición: Dados dos conjuntos y no vacíos, decimos que es una relación

de en si essubconjunto del producto cartesiano . Simbólicamente, se

denota:

En toda relación existe:

Un conjunto de partida, el conjunto

Un conjunto de llegada, el conjunto y

Unaregla de correspondencia o proposición ,la cual nos indica la condición

que deben cumplir los pares ordenado de la relación.

Notación:

Conjunto de Partida Conjunto de Llegada

Regla de Correspondencia

Si , la proposición es verdadera entonces .

Ejemplo 1: Dados los conjuntos , se define la relación

Hallar los pares ordenados de .

Solución:

El conjunto de partida es:

El conjunto de llegada es:

La regla de correspondencia “ ” nos dice que: “la primera componente es

menor que la segunda componente de cada par ordenado de esto es:

Ejemplo 2: Sean y , entonces

Los siguientes conjuntos de pares ordenados son relaciones de en :

, , ,

Pero los siguientes conjuntos de pares ordenados no son relaciones de en :

, ,Puesto que , .

Por lo tanto, , .

2.2. Dominio y Rango de una Relación: Sea una relación, se definen:

Dominio de por el conjunto



Rango de por el conjunto

Es claro que y que

Ejemplo 3: Si entonces:

y

Ejemplo 4: Dado Se define:

Representar como un conjunto de pares ordenados,

hallar su dominio y rango.

Solución: Determinamos por extensión los conjuntos: y ,

la relación es:

Por lo tanto, y

2.3. Criterio para el calculo del Dominio y Rango de una Relacion en

- Para determinar el dominio de la relación, despejamos la variable , enseguida

se analiza los valores que puede tomar para que la variable sea real.

- Para determinar el rango dela relación, despejamos la variable , enseguida se

analiza los valores que puede tomar para que la variable sea real.

Ejemplo 6: Sea una relación, definida por:

Estaes una relación con infinitos elementos ya que los elementos e ,

entonces

Ejemplo 8: Determinar el dominio y rango de la siguiente relación:

Solución:

- Para determinar el dominio de , despejamos la variable de la ecuación

, esto es: , completando cuadrado

Ahora analizamos los valores que pueda tomar para que sea un número

real, esto es:

Por lo tanto,

- Para determinar el rango de , despejamos la variable de la ecuación

esto es:

Ahora analizamos los valores que pueda tomar para que sea un número

real, esto es:

Por lo tanto,




1. Si y , hallar el dominio y rango de las relaciones

y

Determinamos las relaciones:

Por lo tanto, , , y

2. Sea y una relación dada por

Entonces: y

3. Hallar el dominio y rango en:

Para calcular el dominio despejamos

Ahora, analizamos los valores que pueda tomar para que sea real, en este

caso debe cumplirse:

Por lo tanto el dominio es:

Para calcular el rango despejamos

Ahora, analizamos los valores que pueda tomar para que sea real, en este

caso debe cumplirse:

Por lo tanto el rango es:


1. Sea una relación definida por:

a) Exprese como un conjunto de pares ordenados b) Hallar y el

2. Sean y , verifica si los siguientes conjuntos de pares

ordenados son relaciones de en :

a)

b)

c)

d)

3. Sea , . Entonces , y son todas

relaciones de en . Hallar el dominio y rango de cada relación.

4. Sean y dos relaciones definidas por:

; . Encuentre el dominio y rango de: , y

.

5. Hallar el dominio y rango de las siguientes relaciones: a)

b)

c)

d)




2.6. Grafica de una Relación de en : Llamaremos gráfica de una relación de en

al conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfagan a dicha relación,

teniendo en cuenta que una relación puede estar expresada en una de las

siguientes formas de ecuación:

, , , ,

Para trazar la gráfica de una relación dada por la ecuación , seguiremos el

siguiente criterio:

1. Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados:

- Intersección con el eje :

- Intersección con el eje :

2. Determinación de la simetría con respecto a los ejes coordenados:

- Simetría con respecto al eje : Existe simetría con respecto al eje si se

cumple:

- Simetría con respecto al eje : Existe simetría con respecto al eje si se

cumple:

- Simetría con respecto al origen: Existe simetría con respecto al origen si se

cumple:

3. Determinación de la extensión de la curva: Consiste en determinar el

dominio y el rango.

4. Determinación de las ecuaciones de las Asíntotas:

- Asíntotas verticales: Despejamos la variable de e igualamos el

denominador a cero.

- Asíntotas horizontales: Despejamos la variable de e igualamos el

denominador a cero.

5. Tabulación: Consiste en determinar un número de pares ordenados a partir de

la ecuación

6. Trazado de la curva: Mapeo de los pares ordenados



Ejemplo 1: discutir y graficar la relación:

Solución: La relación dada es de la forma:

1. Intersección con los ejes:

- Con el eje : hacemos en


2. Simetrías:

Con respecto al eje :

Por lo tanto, no existe simetría en el eje

Con respecto al eje :

Por lo tanto, no existe simetría en el eje

Con respecto al origen:

Por lo tanto, no existe simetría con el origen

3. Extensión:

Dominio: Despejamos en , tenemos:

Por lo tanto,

Rango: Despejamos en , tenemos:

Por lo tanto,

4. Asíntotas:

Vertical: Despejamos en , tenemos:

Por lo tanto, la ecuación de la asíntota vertical es

Horizontal: Despejamos en , tenemos:

Por lo tanto, la ecuación de la asíntota horizontal



5. Tabulación: 6. Trazado de la gráfica:

Ejemplo 2: Discutir y graficar :

Solución: La relación dada es de la forma:

1. Intersección con los ejes:



2. Simetrías:

- Con respecto al eje :

Por lo tanto, existe simetría en el eje

- Con respecto al eje :

Por lo tanto, existe simetría en el eje

- Con respecto al origen:

Por lo tanto, existe simetría en el origen

3. Extensión:

- Dominio: Despejamos en , tenemos:

Por lo tanto,

-3 0.6

-2 0.5

-1 0.3

0 0

1 -1

3 3

4 2



- Rango: Despejamos en , tenemos:

Por lo tanto,

4. Asíntotas:

- Vertical: Despejamos en , tenemos:

Por lo tanto, la asíntota vertical es

- Horizontal: Despejamos en , tenemos:

Por lo tanto, la ecuación de la asíntota horizontal

5. Tabulación: 6. Trazado de la gráfica:


1. Discutir y graficar :








-4

-3

0 0

3

4



Función

Regla

Entrada

Salida

f

f A

.

.

.

.

.

B

.

.

.

.

.


3. FUNCIONES

3.1. Introducción: Los matemáticos inventaron el concepto defunciónde manera

sumamente útil para describirsituaciones de la “vida real” en las que una cantidad

depende de otra cantidad. Por ejemplo:

a) En la producción de un cierto artículo, el costo fijo es de S/.850 y todos los otros

costos adicionales son de S/. 20 por unidad producida. La siguiente igualdad

expresa que el costo total de producción , dependen de la

cantidad de artículos a producir .

b) El área de un círculo , depende del radio . La fórmula para hallar el área del

círculo es .

c) La distancia recorrida durante 120 minutos de unmóvil depende de la

velocidad alcanzada . La forma de calcular la distancia es

Estos ejemplos tienen en común dos características, la primera es que en cada

uno se encuentran dos variables, una variable independiente que representa las

entradas y unavariable dependiente que representa las salidas; y la segunda

característica es que en cada uno hay una regla de correspondencia, según la cual

cada entrada determina una salida, esto es:

Ejemplos Primera Característica Segunda Característica

Entradas Salidas Regla de correspondencia

a) Tiempo Interés simple

b) Cantidad de artículos Costo total

c) Radio Área del circulo

d) Velocidad Distancia recorrida

Estassituaciones se pueden expresar

como relaciones funcionales que en general

se especifican mediante una fórmula que

muestra lo que debe hacerse con la entrada

para determinar la salida. La definición

formal de función tiene las mismas características (entrada/regla/salida), con la

terminología, esto es: una función es una regla que asigna a cada número de

entrada ( ) exactamente un número de salida ( ).

3.2. Función de dos conjuntos:Una

función es una regla de

correspondencia que asigna a cada

elemento de (entrada) exactamente

un elemento de (salida). Esto

es:Donde , se dice que es

la imagen de por o también, que

es el valor de en el punto

De la misma manera, es la

imagen de ;y tienedos imágenes

de y . Notamos, que en una función puede ocurrir que dos elementosdel

conjunto se le asocien el mismo elemento del conjunto . En otras palabras,

diferentes entradas pueden producir la misma salida.



Observación: Toda función es una relación, pero no toda relación es función.

Ejemplo 1: la relación no es una función, puesto que

para el elemento tiene dos imágenes y tales que , que contradice a

la definición de función.

3.3. Dominio y Rango de una Función: Sea , se tiene:

Al conjunto formado por todas las entradas para los cuales se aplica la regla se

le llama el dominio de la función.Se denota por:

Al conjunto formado por todas lassalidaso imágenes de sellama rango de la

función.Sedenota por:

Ejemplo 2: Sean y . Determinar si , es

una función de en , el dominio y rango. Mediante el siguiente diagrama:

Se muestra que es función porque cada elemento de le corresponde

exactamente un elemento de .

y

3.4. Aplicación de en : Sea una función, es una aplicación de en si y

solo si .

Observación: Una aplicación es un caso particular de una función, luego toda

aplicación es una función, pero toda función no siempre es una aplicación.

Ejemplo 3: Sean . Entonces:

a) El conjunto es función donde y pero

no es una aplicación de en puesto que el

b) El conjunto es una función donde y

como entonces es una aplicación de en .

Observación:Si , se define la función de en llamada función real de

variable real y se denota por:

3.5. Funciones de en : Sepueden escribir en la forma:

Donde la ecuación es llamada regla de correspondencia que permite

calcular para cualquier , su imagen .

f A

1 2 3 4

Dominio

B

1

4

5

9

10

Rango



Número de

salida

Instrucciones que dicen qué hacer

con la entrada para producir la

correspondiente salida .

Número de

entrada

Nombre de

la función

3.6. Notación Funcional: Las funciones suelen denotarse con una sola letra minúscula

como , o , etc. Si es una entrada (número en el dominio), entonces

indica el número de salida que la función produce con la entrada . El símbolo

se lee “ de ” ó “ en ” ó evaluada.

3.7. Valores de una Función: Son los números de salida que están en el rango de

la función, que se obtienen al sustituir la variable independiente por su valor.

Ejemplo 4: Sea , define a la función que asigna a cada número de

entrada el número de salida . Escribiremos algunos valores de la función:

Observación:

Ejemplo 5: Sea . Encuentre , y compruebe

y .

Solución: Si , entoces:

Reemplazar y comprobar

3.8. Dominio y Rango de una Función Real: Sea una función de la forma

, entonces:

El dominio de , se determina analizando todos los valores posibles que pueda

tomar , de tal manera que sea real, salvo el caso que dicho dominio sea

especificado.

El rango de , se determina despejando la variable en función de , luego

se analiza todos los valores posibles que pueda tomar , de tal manera que

sea real.

Ejemplo 6: Hallar el dominio y rango de las funciones:

a) ,

El dominio de la función está especificado: , entonces

El rango de la función es



b)

Para que la división exista o sea .

Por lo tanto, el

Despejamos la variable , entonces ,

Por lo tanto, el

c)

Para que exista la raíz cuadrada de un número real , entonces .

Luego, .

Despejamos la variable , . Luego,


1. Dada la función . Determinar:

a) Dominio y rango de la función

b) La tabla de valores

c) Intersección con los ejes coordenados

d) Dibujar la gráfica

2. Determine las intersecciones de la gráfica y haga el bosquejo de la

gráfica. Con base en su gráfica, ¿es una función de ?, si es así, ¿Cuál es su

dominio y cuál su rango?

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Obtenga el dominio de cada función:

a) b) c)

d) e)

2. Determinar los valores de la función para cada una de las funciones:

a)

b)

c) ;

d) Sea y sea una función dada por:

Encuentre , , , .

3. Hallar dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes:

a) b)

c) d)



3.10. Funciones Especiales: Funciones que tienen formas y representaciones

especiales.

3.11. Graficas de Funciones: La gráfica es una forma de representar geométricamente

una función en un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas.

Un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas nos permite especificar y

localizar un punto en un plano determinado por un par ordenado de números

reales de la forma , llamamos a abscisa o coordenada de , y a

ordenada o coordenada del punto . Mediante este procedimiento a cada punto

en un plano le corresponde exactamente un par ordenado de números reales,

y recíprocamente, a cada par ordenado de números reales le corresponde un

único punto en el plano. Consecuentemente, como el sistema coordenado establece

una correspondencia uno a uno entre los puntos en el planoy los pares ordenados

de números reales vamos a referirnos al punto con abscisa y ordenada ,

simplemente como el punto o como .

La gráfica de una función se define como la gráfica de la ecuación ,

que es el conjunto de todos los puntos en el plano, donde pertenece al

dominio de la función .

Técnica General para Graficar una Función: Consiste en dar valores a para

calcular el valor de , obteniendo puntos de la forma . Luego estos

puntos son representados en el plano y finalmente se hace un trazo suave que una

estos puntos. Los valores de deben estar en el dominio de la función, se escogen

por conveniencia detal maneraque sea fácil calcular el valor de y nos dé una

idea de la forma de la gráfica.

Ejemplo 7:Graficar la función

Función Forma o Regla de

correspondencia Dominio y Rango

Constante ,

Identidad

Lineal , donde ,

Cuadrática +c, ,

Raíz Cuadrada

Compuesta

Valor

Absoluto

Máximo

Entero ,

Racional

Exponencial , ,

Logarítmica , ,



Solución:El dominio de la función es , puesto que es la función raíz

cuadrada.

Damos algunos valores a para obtener el valor de a través de la

fórmula .

Luego representamos estos puntos

de la gráfica en el plano.

Finalmente, hacemos un trazo suave

uniendo los puntos de la gráfica

dibujados.

Otras técnicas que nos facilitará determinar más rápidamente la formay las

características más importantes de la función , pueden ser la intersección

con los ejes coordenados, que consiste en obtener los puntos donde la gráfica de

la función corta los ejes de coordenadas; y la simetría, esta técnica nos puede

ahorrar trabajo, pues con la mitad de la gráfica podemos obtener por simetría el

resto de la gráfica.

Ejemplo 7: Determinar las intersecciones e de la gráfica de y hacer

el bosquejo de su gráfica.

Solución:

Intersección con el eje : hacemos en

:

Obtenemos el punto ,donde la gráfica

corta al eje .

Intersección con el eje : hacemos en

:

Obtenemos el punto , donde la gráfica corta

al eje .

Observación: La gráfica de una función lineal es una línea recta.

Ejemplo 8: Probar la simetría con respecto al eje , al eje y al origen de la gráfica

de y graficar.



Solución:

Simetría con respecto al eje : al

reemplazar por en se obtiene:

que no es equivalente a la ecuación dada. Por

tanto, la gráfica no es simétrica con respecto

al eje .

Simetría con respecto al eje : al

reemplazar por en se obtiene:

que no es equivalente a la ecuación dada. Por

tanto, la gráfica no es simétrica con respecto

al eje .

Simetría con respecto al origen: al

reemplazar por y por en se

obtiene:

que es equivalente a la ecuación dada. Por tanto, la gráfica si es simétrica con

respecto al origen.

Prueba de la recta vertical:Consiste en determinar si una curva es o no la gráfica

de una función. Si una recta vertical interseca una gráfica en más de un punto, ésta

no es la gráfica de una función.

Ejemplo 9: verificar si las siguientes ecuaciones definen o no una función a través

de la prueba de la recta vertical.

Si es función, la recta corta No es función, la recta

en un solo punto a la curva. corta en dos puntos a

de la gráfica. la curva de la gráfica.

3.12. Operaciones con Funciones: Sea y , dos funciones cualesquiera, definimos:

Operaciones Dominio



Ejemplo 10: Sea y . Encuentre , , y

y establezca su dominio.

Solución:

y , entonces

Por lo tanto,

3.13. Composición de Funciones: Dadas dos funciones y , se define la composición

de con , denotada por como:

Donde el dominio de es el conjunto de todas las en el dominio de , tales

que pertenece al dominio de .

Ejemplo 11: Sean y .encontrar:

a) b)

Solución:

a)

y . Entonces,

b)

y . Entonces,

Observación:

3.14. Aplicaciones de la Función Lineal:

1. Función Lineal de Costo Total: En la producción de una empresa de cualquier

bien, se tiene dos tipos de costos:

Costo Fijo; es la suma de todos los costos que son independientes del nivel

de producción, como renta, seguros, tasa interés sobre préstamos, etc.

Costo Variable; es la suma de todos los costos dependientes del nivel de

producción, como salarios y materiales.

Luego el Costo Total está dado por:



Simbólicamente, denotaremos la función lineal de costo total por:

Donde representa el precio por cada unidad producida o el costo variable por

unidad, el número de unidades de artículos producidos y el costo fijo.

2. Función Lineal de Ingresos: Es el dinero que recibe un fabricante por la venta

de un producto. Está dado por:

Si es el número de unidades de artículosproducidos o vendidos y es el precio

de venta por unidad, entonces la función lineal de ingreso es:

3. Función Lineal de Ganancia:

Simbólicamente, denotaremos la función lineal de ganancia por:

Donde representa el número de unidades de artículos producidos y vendidos.

Ejemplo 29: Una empresa, fabricantes de filtros para agua, tiene costos fijos

por S/. 20 000.00, costos de producción de S/. 20.00 pro unidad y un precio de

venta unitario de S/. 30.00. Determinar las funciones de costos, ingresos y

ganancias para la empresa.

Solución: Sea el número de unidades producidas y vendidas. ,

, . Reemplazando:

Función de Costos

Función de Ingreso

Función de Ganancia

Punto de Equilibrio:Es cuando el ingreso y el costo total son iguales:

, es decir cuando

Hay ganancia, cuando , es decir,

Hay pérdida, cuando el , es decir,

El punto de equilibrio está dado por el punto que es la solución de las

ecuaciones simultáneas y , donde es la cantidad de equilibrio y es

el ingreso de equilibrio.

Geométricamente, el punto de equilibrio es el punto de intersección de

las líneas rectas que representan las funciones de costos e ingresos.



Pé

rdi

da

Ga

na

nci

a

0

1 2 3

30

20

10

Ejemplo 30: La compañía J.J. Servicios fabrica sus productos con un costo S/.

4.00 por unidad y los vende a S/. 10.00 la unidad. Si los costos fijos de la

empresa son de S/. 12 000.00 al mes.

a) Determinarel punto de equilibrio de la empresa.

b) ¿Cuál es la pérdida de la empresa sisólo se producen y venden 1500 unidades

por mes?

c) ¿Cuál es la ganancia si se producen y venden 300 unidades por mes?

d) ¿Cuántas unidades debe producir y vender la empresa para obtener una

ganancia mínima de S/. 9000.00 al mes?

Solución: De los datos del problema, las funciones de costos y de ingresos

están dados por:

y

a) Igualamos:

Reemplazamos el valor de

en , tenemos:

Esto quiere decir que para una

empresa de equilibrio, la

empresa debe fabricar 2 000

unidades de su producto, a fin de producir un ingreso de S/. 20 000.00

b) La función de la ganancia es:

Si se producen y venden 1500 unidades por mes, se tiene:

Entonces, , es decir la empresa tendrá una pérdida de S/. 3 000 por

mes.

c) Si se producen y venden 3 000 unidades por mes, se tiene:

Entonces, , es decir la empresa tendrá unagananciade S/. 6 000 por

mes.

Pé

rdi

da

Ga

na

nci

a

0



d) , reemplazamos en la ecuación de la ganancia ,

esto es:

Es decir, la empresa debe producir al menos 3 500 unidades para obtener una

ganancia mensual mínima de S/. 9 000.00


1. Determine los valores de la función:

Solución: Para , cuando , reemplazamos en la función ,

entonces . Para , cuando , reemplazamos en la

función , entonces: .Para no

está definido ya que o .

2. Hallar el dominio y rango de la función:

Solución: Igualamos el denominador a cero y resolvemos para .

Por lo tanto, el

Despejamos la variable , en:

Por lo tanto, el

3. Graficar la función definida por partes:

Solución:

Damos valores a para obtener los puntos

Dibujamos los puntos en el plano cartesiano y hacemos el trazo uniendo los

puntos:

Rango:

Dominio:



De la gráfica observamos que el




Solución:

Intersección con el eje :

hacemos en :

Obtenemos dos puntos y

, donde la gráfica va a cortar al

eje .

Intersección con el eje :

hacemos en :

Obtenemos el punto , donde la

gráfica corta al eje .

Con respecto a la gráfica si es una

función de ya que al trazar una

recta vertical a la gráfica siempre se

corta en un solo punto.

Por lo tanto, el dominio de es todos los valores reales de y su rango es

5. Si y , encuentre: , , , ,

, ,

Solución:



6. El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de S/. 1.50 y los

costos fijos por día son S/. 900.00.

a) Escriba la ecuación de costo lineal y dibujar su gráfica

b) Determine el costo de procesar 1000 kilos de granos de café por un día.

Solución:

a)

Reemplazamos:

……(1)

b) Sustituimos en la ecuación (1), se obtiene:

Por lo tanto, el costo de procesar 1000 kilos de granos de café al día será de S/.

2 400.00.

7. El costo marginal de producir un medicamento por unidad es de S/. 10.00,

mientras que el costo de producir 100 unidades es de S/. 1 500.00. encuentre la

función de costo , suponiendo que es lineal.

Solución: Como es lineal, entonces:

El costo marginal es de S/. 10.00 por unidad, es decir que entonces

Ahora calculamos el valor que es el costo fijo y para esto se tiene que el costo

de producir 100 unidades del medicamento es de S/. 1 500.000 es decir

, entonces reemplazando en , tenemos:

Por lo tanto, la función de costo es


3. Dada la función . Determinar:

e) Dominio y rango de la función

f) La tabla de valores

g) Intersección con los ejes coordenados

h) Dibujar la gráfica

(0, 900)

(200, 1200) 1200

1000

800

600

400

200

0

200 400

Gráfica






5. Sean y . Encuentre , ,

y

6. Un fabricante tiene costos fijos de S/. 60 000.00 al mes y un costo de

producción unitario de S/. 10.00. el producto se vende por S/. 15.00 la unidad.

a) Determinar las funciones de costos, ingresos y ganancia

b) Calcule la ganancia o pérdida correspondiente a los niveles de producción de

10 000 y 14 000 unidades.

4. PROBLEMAS PROPUESTOS

4. Determina los valores de x e y en cada caso:

a) b)

c) d)

e) f)

5. Determine por extensión y graficar los siguientes productos cartesianos:

a) y hallar

b) y ,

c) Hallar

d) y Hallar

e) , ,

2 −3=0, ∈ℤ}, × , × , ×

6. Hallar dominio y rango de las siguientes relaciones:

b) Sea una relación en definida por “ e son primosrelativos”(el único

divisor común de e es 1).

c) Sea una relación definida en los naturales,

d)

e)

7. Sean , . Sean una relación de en ,

una relación de en y una relación de en . Encuentre:

a) b) c) .d) e) f) .

8. Discutir y graficar las siguientes relaciones:

a) b)

c) d) e)

9. Obtenga el dominio de cada función:

a) b) c)

d) e)

10. Determinar los valores de la función para cada una de las funciones:

a)

b)

c) ;

d) Sea y sea una función dada por:

Encuentre , , , .

11. Hallar dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes:



a) b)

c) d)

12. Determine los interceptos de la gráfica de cada ecuación, haga el bosquejo y

determine su dominio y su rango para cada función.

a) b) c)

13. Probar la simetría con respecto a los ejes coordenados y el origen de las gráficas de

las siguientes ecuaciones:

a) b) c)

14. Si y , encontrar lo siguiente:

a) b) c) d)

15. Problemas:

a) El costo toral de producir 10 unidades de una calculadora es de S/. 100.00. el

costo marginal es S/. 4.00 por calculadora. Encuentre la función de costo, si

es lineal.

b) La compañía Anderson fabrica un producto para el cual el costo variable por

unidad es de S/. 6.00 y el costo fijo es de S/. 80 000.00 Cada unidad tiene un

precio de venta de S/. 10.00 Determine el número de unidades que deben

venderse para obtener una ganancia de S/. 60 000.00.

c) Una compañía de refinación de maíz produce gluten de maíz para alimento de

ganado, con un costo variable de S/. 76.00 por tonelada. Si S/. 110 000.00 son

los costos fijos por mes y el alimento se vende en S/. 126.00 por tonelada,

¿cuántas toneladas deben venderse para que la compañía tenga una utilidad

mensual de $540 000?

d) Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en S/.

19.95. el costo de fabricación de cada cartucho es de S/. 12.92. los costos fijos

mensuales son de S/. 8 000.00. durante el primer mes de ventas de un nuevo

juego, ¿cuántos cartuchos debe vender el fabricante para llegar al punto de

equilibrio (esto es, para que el ingreso sea igual al costo total)?

e) Un fabricante produce lámparas, que vende a S/. 820.00 y sus costos de

producción son los siguientes: S/. 1 300.00 en arriendo, y S/. 350.00 por el

material y la mano de obra de cada lámpara producida. ¿Cuántas lámparas debe

producir para obtener utilidades de S/. 26 900.00?

5. ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN

1. Determina los valores de x e y en cada caso:

a) b)

2. Sean , . Graficar en el plano cartesiano

y .

3. Considere la siguiente relación en :

Hallar el dominio y rango dela relación.

4. Discutir y graficar la siguiente relación:



5. Calcular el dominio y rango de la siguiente función, graficar:

6. Sean y . Encuentre, , y .

7. Un fabricante tiene gastos fijos mensuales de S/. 40 000.00 y un costo unitario de

producción de S/. 8.00. el producto se vende a S/. 12.00 la unidad.

a) Determinar las funciones de costos, ingresos y ganancias.

b) Determinar el punto de equilibrio del fabricante.

c) Calcule la ganancia o pérdida correspondiente a niveles de producción de 8 000 y 12

000 unidades.

d) ¿Cuántas unidades debe producir y vender el fabricante para obtener una ganancia

de S/. 10 000.00?

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