u2-dca-m1

Unidad 2: Diseño completamente al azar o aleatorio (DCA), M1

Este tipo de diseño es utilizado cuando no hay necesidad de control local debido a que el ambiente experimental y las condiciones de manejo son homogéneas y los tratamientos se asignan a las unidades experimentales, mediante una aleatorización completa sin ninguna restricción. Ejemplo 13:

Cada tratamiento es asignado a las unidades experimentales de forma aleatoria con igual número de repeticiones o con diferente número de repeticiones, Las unidades experimentales no se agrupan porque son homogéneas.

Macetas con el mismo sustrato.Cajas Petri con el mismo medio de cultivo.Una camada de hámster del mismo sexo.

Ventajas:

la estructura del análisis estadístico es simple.

Permite máxima flexibilidad en cuanto al numero de tratamientos y numero de repeticiones.

La perdida de observaciones durante la conducción del experimento no genera dificultades en el análisis y en la interpretación de resultados.

Reúne el mayor numero de grados de libertad en el residuo, en comparación con otros diseños.

En experimentos pequeños tiene mayor precisión.

Inconvenientes:

Cuando el numero de unidades experimentales es muy grande es difícil encontrar lugares que presenten la homogeneidad requerida.

Debido a que las fuentes de variación no asociadas a los tratamientos o a los niveles del factor en estudio, están incluidas en el residuo como variación del azar, la buena precisión de los análisis se ve comprometida.

Es poco utilizado a nivel de campo, sin embargo puede utilizarse en laboratorios e invernaderos donde existe mayor control de los factores que las pueden afectar.

Aleatorización:

Ejemplo 14: Consideremos un experimento con t=5 niveles del factor A (tratamientos) y r=4 repeticiones para cada nivel, se tiene que el numero total de unidades experimentales (parcelas) incluidas en el experimento es txr= 5x4= 20.

Las (txr) parcelas serán aleatorizadas sin restricción, los t niveles del factor A en estudio con sus r repeticiones como se muestra.A

1A1 A

1A1

A4

A4

A4

A4

A2

A2

A2

A2

A5

A5

A5

A3

A3

A3A3

A5

Diseño del M1:

Cuadro de análisis de varianza (ANVA, ANOVA, ANDEVA):

Desarrollo matemático:

Termino corrector (TC):

Donde r son las repeticiones y t los tratamientos.

Donde Y.. es la sumatoria de todos las repeticiones u observaciones de todos los tratamientos o también la suma de la columna totales de la tabla en el diseño del M1.

Suma de cuadrados de tratamientos (SCtrt):

Suma de cuadrados totales (SCT):

Suma de cuadrados de residuales (SCRes)

SCT: Variación total de los datos de la variable de respuesta.

SCtrt: Variación debida a tratamientos o variables explicables.

SCRes: Variación no explicable o variación de los residuales.

Prueba F:

La estadística F, esta definida como la razón de dos variables aleatorias independientes con distribución X2 (Ji-cuadrado o Chi-square), cada una de ellas divididas por su respectivo grado de libertad.

Al nivel α = 0.05 de significancia si F calculado > f tablas, la Ho es rechazada por lo tanto existen diferencias significativas entre los efectos de los tratamientos.

Fcal > Ftablas Se rechaza la hipótesis nula.

Fcal < Ftablas Se acepta la hipótesis nula.

Ftablas = F(α=0.05, t-1, t(r-1)) = F(α, GLtrt, GLRes) = Fcritico

CMtrt= Cuadrados medios de los tratamientos.

CMRes= Cuadrado medio de los residuales.

También los cálculos y comparaciones se pueden realizar con las probabilidades que nos entregan los distintos programas estadísticos como SAS:

Pr(F ≥ Fcal) < α= 0.05 → Se rechaza la hipótesis nula.

Probabilidad del programa SAS < α= 0.05 → Se rechaza la hipótesis nula.

Se acepta la hipótesis nula (Ho).

1-α Se rechaza la hipótesis nula (Ho).

µ α

Contrastes:

Se usan cuando se desea comparar específicamente mas de dos hipótesis que involucran a mas de dos medias, se recomienda ordenar las medias de mayor a menor o de mejor a peor según el problema.

Son combinaciones lineales de las medias cuyos coeficientes suman cero.

Ayudan a estimar los cuadrados medios de contrastes.

Este proceso es necesario para calcular F, en función a los cuadrados medios de contrastes.

Cuadrado medios de los contrastes:

Donde ni es el numero de unidades experimentales por tratamiento y ci es el numero de coeficientes de cada media.

Todo esto sirve para calcular la aceptación de la hipótesis nula o su rechazo, tomando en cuenta la comparación entre medias.

Es un método de comparación especifica y detallada solo para el estadístico F, para el estadístico t, existe otro procedimiento.

Modelo estadístico para DCA:

= Variable de respuesta de la ij-ésima unidad experimental.

μ= Media general de la variable de respuesta.

ζᵢ= Efecto fijo del i-ésimo tratamiento (nivel del factor) en la variable dependiente ξᴊ₍ᵢ₎= Efecto aleatorio de los residuales o error experimental asociado a la ij-ésima unidad experimental.

ξᴊ₍ᵢ₎≈(0, σe2), Son variables aleatorias distribuidas normal

e independientemente con media cero y varianza constante.

Pasos para plantear un diseño experimental-DCA:

1. Objetivo.2. Factores.3. Variable de respuesta.4. Unidad experimental.5. Unidad de muestreo.6. Aleatorización.7. Repetición.8. Bloqueo.9. Modelo estadístico.10. Termino corrector.11. Suma de cuadrados totales.12. Suma de cuadrados de los tratamientos.

13. Suma de cuadrados de los residuales.14. Análisis de varianza con el cuadro ANVA.15. Pruebas de hipótesis.16: Nivel de significancia o nivel de riesgo.17. Estadístico de prueba.18. Región de rechazo.19. Cálculos y comparaciones con primer corrida del programa SAS.20. Conclusiones.21. Comparación de medias y graficas.22. Contrastes y segunda corrida del programa SAS.23. hipótesis de contrastes.24. Nivel de significancia para los contrastes.25. Estadístico de prueba para los contrastes.26. Región de rechazo para los contrastes.

27. Cálculos y comparaciones para contrastes.28. Conclusiones para contrastes.29. Conclusión general.

Ejercicio de aplicación del M1-DCA:

Determine los objetivos y los elementos del diseño experimental para el siguiente problema, los datos que se indican en una tabla son contenidos de ácido ascórbico de duraznos maduros de 3 variedades cultivadas en la localidad de San Benito todas las unidades fueron dadas en mg/100g:

1. Objetivo: Determinar el contenido de ácido ascórbico en las 3 variedades de duraznos.2. Factores: 1 solo factor VARIEDAD con 3 niveles VAR1, VAR2, VAR3.3. Variable de respuesta: Concentración de ácido ascórbico en mg/100g.4. Unidad experimental: Durazno.5. Unidad de muestreo: Durazno.6. Repetición: 10 veces.7. Aleatorización: Si, son aleatorias las variedades de durazno.8. Bloqueo: No hay. 9. Modelo estadístico para DCA: = Concentración de ácido ascórbico en la j-ésima unidad experimental de la i-ésima variedad de durazno.

μ= Media general.ζᵢ= Efecto fijo de la i-ésima variedad. ξᴊ₍ᵢ₎= Efecto aleatorio de los residuales con ξᴊ₍ᵢ₎~NIID (0, σe

2).

10. Termino corrector.

11. Suma de cuadrados totales:

12. Suma de cuadrados de los tratamientos:

13. Suma de cuadrados de los residuales.

14. Análisis de varianza con el cuadro ANVA.

15. Pruebas de hipótesis para el factor variedades.

Ho: μvar1 = μ var2 = μ var3 → Significa que la concentración de acido Ascórbico es la misma en las tres variedades de durazno.

Ha: la concentración de acido Ascórbico es diferente en al menos una de las tres variedades de durazno.

16: Nivel de significancia o nivel de riesgo.

α=0.05; Esto significa para un 95 % de confiabilidad se analizara el experimento.

17. Estadístico de prueba.

18. Región de rechazo.

Se rechaza la hipótesis nula si cumple cualquiera de las dos.

𝑷𝒓(𝑭 ≥ 𝑭𝒄𝒂𝒍) < 𝟎.𝟎𝟓 𝑺𝑨𝑺< 𝟎.𝟎𝟓 𝑭𝒄𝒂𝒍 > 𝑭𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 ൡ

𝑭𝒄𝒂𝒍 = 𝐂𝐌𝐭𝐫𝐭𝐂𝐌𝐑𝐞𝐬~𝐅(𝛂=𝟎.𝟎𝟓, 𝐭−𝟏=𝟐, 𝐑𝐞𝐬=𝟐𝟕)

19. Cálculos y comparaciones con primer corrida del programa SAS.

Se rechaza la hipótesis nula.

Con el SAS se confirma:

Se rechaza la hipótesis nula.

20. Conclusión:

Con 95 % de seguridad se puede concluir que la concentración de acido ascórbico es diferente en al menos una de las tres variedades de durazno. ¿Cuál variedad es la diferente?

𝑭𝒄𝒂𝒍 > 𝑭𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂𝟑𝟑𝟐.𝟕𝟒> 𝟑.𝟑𝟓 ቅ

𝑷𝒓(𝑭 ≥ 𝑭𝒄𝒂𝒍) < 𝟎.𝟎𝟓 𝑺𝑨𝑺< 𝟎.𝟎𝟓 𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏 < 𝟎.𝟎𝟓ൡ

21. Comparaciones de medias y graficas:

Analizando el factor variedades de durazno:

Factor cualitativo: Comparación de medias y grafico de barras, ordenar de mayor a menor las medias de las 3 variedades, es decir de mayor concentración de acido ascórbico a menor:

VAR1

5.34

5.58

5.26

5.47

5.39

5.50

5.42

5.47

5.71

5.62

VAR2

7.12

6.89

6.93

6.82

7.06

6.80

6.91

6.76

6.97

6.88

VAR3

6.28

6.01

6.27

6.15

6.38

6.4

6.12

6.24

6.31

6.37

Medias

Orden

μvar2 6.91

μvar3 6.253

μvar1 5.476

μVAR2 μVAR3 μVAR10

1

2

3

4

5

6

7

8

6.916.253

5.476

Para probar que la concentración de acido ascórbico es diferente en al menos una de las tres variedades de durazno, realizamos las pruebas de hipótesis para I y II.

22. Contrastes segunda corrida del programa SAS para los contrastes.

Los contrastes se calculan para hallar diferencias mínimas y especificas para así poder evaluarlas.

23. Prueba de hipótesis para contrastes de las medias de las variedades 2 y 3.

Ho: μvar2 = μvar3 o C= (0) μvar1+ (1) μvar2+ (-1) μvar3 = 0

Significa que la concentración de acido ascórbico de las variedades 2 y 3 es la misma.

Ha: μvar2 ≠ μvar3 o C ≠ 0

Significa que la concentración de acido ascórbico de las variedades 2 y 3 son diferentes.

Los contrastes se calculan para hallar diferencias mínimas y especificas para así poder evaluarlas.


Ho: μvar2 = μvar3 o C= (0) μvar1+ (1) μvar2+ (-1) μvar3 = 0




24. Nivel de significancia para los contrastes.

α= 0.05, significa de cada 100 ensayos podemos fallar 5 ensayos.

25. Estadístico de prueba para los contrastes.

26. Región de rechazos para contrastes.


𝐂𝐌𝐜Ƹ𝐂𝐌𝐑𝐞𝐬~𝐅(𝛂=𝟎.𝟎𝟓, 𝐭−𝟏=𝟏, 𝐑𝐞𝐬=𝟐𝟕)

27. Cálculos y comparaciones para los contrastes.

𝒄ො��= ሺ𝟎ሻ𝝁𝒗𝒂𝒓𝟏 +ሺ𝟏ሻ𝝁𝒗𝒂𝒓𝟐 +ሺ−𝟏ሻ𝝁𝒗𝒂𝒓𝟑 𝒄ො��= 𝟎+ሺ𝟏ሻሺ𝟔.𝟗𝟏𝟒ሻ+ሺ−𝟏ሻሺ𝟔.𝟐𝟓𝟑ሻ= 𝟎.𝟔𝟔𝟏

𝑭𝒄𝒂𝒍 = 𝑪𝑴𝒄ො��𝑪𝑴𝑹𝒆𝒔= 𝟐.𝟏𝟖𝟒𝟔𝟎.𝟎𝟏𝟓𝟓𝟕 𝟏𝟒𝟎.𝟑𝟏~𝑭𝒗𝒂𝒍𝒖𝒆 𝑺𝑨𝑺


Pr(F ≥ Fcal)<< 0.05 → Se Rechaza la hipótesis nula.

0.0001 < 0.05 → Se Rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna.

29. Conclusión de la comparación entre las medias de las variedades 2 y 3.

Con 95 % de seguridad se puede concluir que la concentración de acido ascórbico de la variedad 2 es diferente de la variedad 3. ¿De qué manera es diferente?

μvar2 >> μvar3 ⟶ La variedad 2 es superior o mejor en concentración de acido ascórbico:

(6.914-6.253)= 0.661 mg/100g


Ho: μvar3 = μvar1 o C= (-1) μvar1+ (0) μvar2+ (1) μvar3 = 0




31. Nivel de significancia para los contrastes.

α= 0.05


33. Región de rechazos para contrastes.



𝐂𝐌𝐜Ƹ𝐂𝐌𝐑𝐞𝐬~𝐅(𝛂=𝟎.𝟎𝟓, 𝐭−𝟏=𝟏, 𝐑𝐞𝐬=𝟐𝟕)

36. Cálculos y comparaciones para los contrastes de las medias de las variedades 3 y 1.

Pr(F ≥ Fcal)<< 0.05 → Se Rechaza la hipótesis nula.

0.0001 < 0.05 → Se Rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna.

37. Conclusión de la comparación entre las medias de las variedades 3 y 1.

Con 95 % de seguridad se puede concluir que la concentración de acido ascórbico de la variedad 3 es diferente de la variedad 1. ¿De qué manera es diferente?

μvar3 >> μvar1 ⟶ La variedad 3 es superior o mejor en concentración de acido ascórbico:

(6.253-5.476)= 0.777 mg/100g

38. Conclusión final.

μvar2>μvar3>μvar1 La variedad 2 de durazno es la mejor o la que contiene la mayor concentración de acido ascórbico de las tres variedades de durazno.

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