u m simulation numÉrique d u un piano de concert
TRANSCRIPT
Le$mbredupianone semblepas être assez bien reproduit lorsque l’onu$lise la théorie linéaire des cordes, car les cordes se déforment nonseulement transversalement,maisaussi longitudinalement,et le couplageentre ces deux vibra$ons estnon linéaire. L’observa$ondu spectre d’unenotedepianorejointce@eaffirma$on,caronytrouvenonseulementlesharmoniqueshabituelles,retrouvéesparunmodèlelinéairedecorde,maisaussidesfréquencesappeléespar$elsfantômes,quisontexpliquésparcecouplagenonlinéaire.
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∂2
t ui − ∂x(∂uHi(∂xui,∂xvi)) = −Fi(t)δ(x − x0)∂2
t vi − ∂x(∂vHi(∂xui,∂xvi)) = 0
d2ξ
dt2=∑
i
Fi(t)Fi(t) =KiΦ(ui(x0, t) − ξ(t)) +Ri
d
dtΦ(ui(x0, t) − ξ(t))
E(t) =Nc∑
i=1
(12
∫ L
0(∂tui)2 +
∫ L
0Hi(∂xui) + KiΨ
(ui,1(x0)− ξ(t)
))+
M
2|U ′(t)|2 +
12|ΩU(t)|2 +
12|ξ′(t)|2
MODÉLISATION ET SIMULATION NUMÉRIQUE D’UN PIANO DE CONCERTJuliette Chabassier - [email protected]
Projet POEMS – INRIA Rocquencourt / UME - ENSTA
Cordesgravesenaciergainédecuivre.Lescordesontunegranderaideurquidoitêtrepriseencomptedanslamodélisa$oncarellecontribueau$mbredupiano.
Cordesaiguësenacier.Pourunemêmenote,plusieurscordessontmontéesafind’améliorerladuréedusonainsiquesonvolume.
Cadreenfontedes$néàsupporterlatensiondescordes:plusde20tonnes!
Tabled’harmonieenépicéa,renforcéeàl’arrièreparunbarrage.
VUEÉCLATÉED’UNPIANODECONCERT L’ANALYSENUMÉRIQUE
µ∂2U∂t2
− ∂
∂xF
(∂U∂x
)= 0(3)
Cette structure de système est connue sous le nom de structure hamiltonienne si cette fonctionF : RN −→ RN est le gradient d’une autre fonction, dénommée alors hamiltonien du système. SoitΦ : R −→ R une primitive de φ : R −→ R, alors on peut montrer que
(4) ∇U
[Φ d
(∂U∂x
)]= F
(∂U∂x
)
En effet,
∇U
[Φ d
(∂U∂x
)]= ∇U
[d(∂U
∂x
)]Φ′ d
(∂U∂x
)
Or, on peut écrire que
d(∂U∂x
) =∣∣∣ex +
∂U∂x
(x, t)∣∣∣− 1 =
√∣∣∣ex +∂U∂x
(x, t)∣∣∣2− 1 =
√1 + 2ex.
∂U∂x
+(∂U
∂x
)2− 1
D’où son gradient :
∇U
[d(∂U
∂x
)]=
ex + ∂U∂x (x, t)∣∣ex + ∂U∂x (x, t)
∣∣
On en conclut que si Φ′ = φ, la formule (4) est correcte. Quelle que soit la loi de comportement dumatériau dépendant de l’allongement relatif, on a donc montré que le système mécanique obtenuétait toujours hamiltonien.
Dans le cas où la loi de comportement Φ est affine, la loi de comportement est la loi de Hooke,qui s’écrit :
(5) φ(τ) = T0 + EA τ soit T (x, t) = T0 + EA(∣∣∣ex +
∂U∂x
(x, t)∣∣∣− 1
)
Ainsi en posant Φ(τ) = T0 τ + EA τ2
2 , le système s’écrit sous sa forme hamiltonienne :
µ∂2U∂t2
− ∂
∂x∇U
[Φ d
(∂U∂x
)]= 0
En utilisant alors les expressions des fonctions, on a :
µ∂2U∂t2
− ∂
∂x
(T0
ex + ∂U∂x (x, t)∣∣ex + ∂U∂x (x, t)
∣∣ + EA(∣∣∣ex +
∂U∂x
(x, t)∣∣∣− 1
) ex + ∂U∂x (x, t)∣∣ex + ∂U∂x (x, t)
∣∣)
= 0
µ∂2U∂t2
− ∂
∂x
(EA
(ex +
∂U∂x
(x, t))
+ (T0 − EA)ex + ∂U
∂x (x, t)∣∣ex + ∂U∂x (x, t)
∣∣)
= 0
En projetant sur les deux axes et en développant remarquant que ex ne dépend pas de x, onobtient le système :
µ∂2u
∂t2=
∂
∂x
EA∂u
∂x− (EA− T0)
∂u∂x√(
∂u∂x
)2 +(1 + ∂v
∂x
)2
, x ∈ Ω, t > 0,
µ∂2v
∂t2=
∂
∂x
EA∂v
∂x− (EA− T0)
(1 + ∂v
∂x
)√(
∂u∂x
)2 +(1 + ∂v
∂x
)2
, x ∈ Ω, t > 0,
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Phénomènephysique Modélisa$on Simula$onnumériquePhysique AnalyseNumérique
Lacompréhension scien$fiquedumonde reposesur deuxprincipes : lacapacité àétudier lesphénomènes observés, et lacapacité à lesprévoir. Laphysique donne les équa$ons quiperme@entde comprendre etdécrire ceque l’on observe, et c’estl’analysenumériquequipermetdefairecalculeràunordinateurlesconséquencesd’uneexpérience«virtuelle»dansunmondequisecomporteraitselonceséqua$ons.
L’objetdemathèseest,delamêmefaçonquecidessus,dedéterminerleson(etbiend’autresinforma$ons)d’unpianoquin’ajamais été construit. J’u$lise pour cela la connaissance physique des vibra$ons des cordes, de la table d’harmonie et de lapropaga$ondu sondans l’air afin d’écrire unensemble d’équa$ons, c’est à dire unmodèle du piano, et créer une simulaKonnumérique,c’estàdireunmondevirtueloùcepianoexistera,vibrera,etgénéreraunson.
Lemodèledoit refléter laphysiquesous‐jacenteauproblèmeétudié, etenpar$culier ildoitposséderdebonnespropriétéscommeavoiruneuniquesoluKon.Ladémonstra$onmathéma$quedecespropriétésn’estsouventpasévidenteetestpourtantcruciale.
Latransi$onentre lemodèleet lasimula$onnumériquen’estpas immédiateet il fauts’assurerque lescalculs effectués parl’ordinateur,résuméssous lenomde«schémanumérique»,vontbienconduireàuneapproximaKondelasolu$ondumodèle(quel’onnesaitpascalculerexactement).Plusieurscritèressontu$lisésparlesanalystesnumériciensafindequalifierunschémanumérique : stabilité,convergence,ordrede convergence. Lorsqu’onconnaîtdespropriétés de l’équa$ondumodèle, ilestbond’essayerdelesretranscrireauniveaudiscret(numérique)afind’améliorerlaconvergence.
PHÉNOMÈNESNONLINÉAIRES
SYSTÈMEDECORDESCOUPLÉESÀUNMARTEAUETUNCHEVALET
Spectre expliqué par la théorie linéaire
Partiels dits «fantômes»
L’interac$ondumarteauaveclescordesestégalementunphénomènenonlinéaire.En effet, non seulement la pression exercée n’est pas une fonc$on linéaire del’écrasement dumarteau ; mais de plus, àmême écrasement, la force n’est pas lamêmeselonquelemarteauestentraindesecompresseroudesedécompresser.
cordeaurepos
cordeendéplacement
mouvementd’un
point
mou
vemen
ttransversal
mouvementlongitudinal
Lechevaletestsupposémobiledansles3direc$ons,secomportantcommeunoscillateur.
Chaquecordevibredefaçonnonlinéaire,couplantlesdirec$onstransversaleetlongitudinale.
Lescordessontreliéesauniveauduchevalet.Leurmouvementestdonciden$queencepoint.
L'agrafeestsupposéeimmobile.Lescordesnebougentpasence@eextrémité.
Lemarteauestlancéavecunevitesseini$ale,frappetouteslescordesàlafois,interagissantavecellesdefaçonnonlinéaire.
SCHÉMASPRÉSERVANTUNEÉNERGIE
Unphénomèneest linéairequand,sionajoutedes causes, leurseffets s’ajoutent aussi.Beaucoupdephénomènesphysiquesnesontpaslinéaires,maisilestengénéralplussimpledesupposerqu’ilslesont,cequisouventdonnedesrésultatssa$sfaisants.
Enanalysenumérique,l’appari$ondenonlinéaritéscompliquebeaucouplatâche,enpar$culierlorsqu’ils’agitdedémontrerqueleproblèmeini$alpossèdeunesolu$on,ouqueleschémanumériquedonneunesolu$on,etqu’elleressemblebienàlasolu$onduproblèmeini$al.
Afin de garan$r la stabilité d’un schéma numérique pour un système d’équa$ons non linéaires quiconserveuneénergie,uneméthodeconsisteàfaireensortequeleschémapréserveunéquivalentdiscretdece@eénergie.
Chevalets.Ilstransme@entl’énergievibratoiredes
cordesàlatabled’harmoniequi
vibreraàsontourdansl’airetproduira
lesonquel’onentend.
Claviercomposéde88touches,ac$onnantlesmarteauxàtraversunmécanismecomplexe.
Marteauxcouvertsdefeutre,me@entenmouvementune,deuxoutroiscordesparnote.
MU′′(t) +Ω2U(t) +RU′(t) = −∑i
∇Hi(∂xui,∂xvi)(L, t)
Plus besoin de faire des crash tests et d’abîmer des voitures ! La simula$on numérique nous donnera par le calcul quelledéforma$onauraitsubiunevoitureréellesionl’avaitconstruiteetprojetéecontreunmur...Elledonneaussiparfoisaccèsàdesgrandeursdifficilesàmesurer.
MATHÈSE
Ce@eméthodeestassez facileàme@reenoeuvredans lecasoùl’équa$onestscalaire,c’estàdirequel’on ne résout pas un système d’équa$ons. Le problème de cordes couplées avec un marteau et unchevalet,présentédansl’encadréàdroite,estunsystèmed’équa$ons,nousavonsdoncdûdévelopperuneméthodenumériqued’élémentsfinis enespaceetdifférencesfinies entemps quipréserve l’énergiedusystème.
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∂2
t ui − ∂x(∂uHi(∂xui,∂xvi)) = −Fi(t)δ(x − x0)∂2
t vi − ∂x(∂vHi(∂xui,∂xvi)) = 0
Le systèmed’équa$ons qui poseproblème est celuidumodèledecordes. Le point difficile est detrouver une expression discrètede laquan$téencadréeenrougecicontre:gradientd’unefonc$onnonlinéaire.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5x 10−3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
x 10−9
time
Ener
gy
total energybridge energycoupling energystrings energyhammer energyEnergiemarteauEnergiecordesEnergiecouplageEnergiechevaletEnergietotale
Temps
Energie
Lasolu$onquenousproposonsestd’u$liserunedifférencefiniedirecKonnelle pour approcher chaque ligne du gradient. Ce@eméthode conduit à plusieurs schémas possibles, ayant uneconvergenced’ordre1.Unemeilleureconvergence,d’ordre2,esta@einteenfaisantunemoyennepondéréebienchoisiedetouslesschémasdécritsprécédemment.
Force
Ecrasemen
t
Force(N)
Ecrasement(mm)