two tank process

8/13/2019 Two Tank Process

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FAI2 - 10:45 The Two Tank Experiment:A Benchmark Control Problem

Roy S . S m i t h a n d J o h n D o y l eE l e c t r i c a l E n g i n e e r i n gC a l i f o r n i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g yP as a d en a, C . A . 9 1 1 2 5

A b s t r a c tT h i p a p e r desbe a n e x p e r i m e n t a l p r o c e s c o n t r o ls y s t e m u n d e r d e v e l o p m e n t a t C a l t e c h . I t i s i n t e n d e dt o b e a s o u r c e o f b e n c h m a k c o n t r o l a n d i d e n t i f i c a t i o np r o b l e m s . A f i r t p r i n c i p l e s t h e o r e t i c a m o d e l i s d e v e l -o p e d a n d c o m p ar e d t o p r e l i m i n a r y e x p e r i m e n t d a t a .1 I n t r o d u c t i o n1 . 1 E x p e r i m e n t a l C o n t r o l ResearchT h e r e i s n o s u b s t i t u t e f o r r e a l a p p l i c a t i o n s w h e n e v a l u a t i n gc o n t r o l s y s t e m d e s i g n a n d i d e n t i f i c a t i o n m e t h o d o l o g i e s . O fc o u r e , t h e d e s i g n o f a n y g i v e n c o n t r o l s y s t e m i n v o l v e s m a n yf a c t o r s , a n d s u c c e s s ( o r f a i l u r e o n o n e a p p l i c a t i o n p r o b l e m i sn o t a c o m p l e t e m e a s u r e o f a m e t h o d o l o g y s v a l u e . F u r t h e r -m o r e , a p p l i c a t i o n s c a n b e a b u s e d i n t h e s a m e w a y a s t h ea c a d e m i c e x a m p l e s t h a t a r e c a r e f L u l y c o n s t r u c t e d t o i l l u s t r a t et h e e f f e c t i v e n e s s o f e v e r y o n e s f a v o r i t e a p p r o a c h . N e v e r t h e -l e s s , m u c h o f t h e d e b a t e s u r r o u n d i n g t h e b e n e f i t s o f v a r i o u sm e t h o d o l o g i e s w o u l d s i m p l y d i s a p p e a r i f t h e r e w e r e m o r e h o n -e s t a t t e m p t s a t a p p l i c a t i o n s .S i n c e e x p e r i m e n t i n g w i t h u l l - s c a l e s y s t e m s c a n b e e x p e n -s i v e a n d t i m e - c o n s u m i n g , t h e c o n t r o l t h e o r e t i c i a n s e e k i n g amp l i c a t i o n o p p o r t u n i t i e s i s n a t u r a l l y l e d t o c o n s i d e r t h e u s e o fl a b o r a t o r y s y s t e m s , w i t h t h e h o p e t h a t t h e y w i l l a l l o w e x p e r i -m e n t s w i t h ne w m e t h o d o l o g i e s a t a m u c h e a r l i e r s t a g e i n t h e i rd e v e l o p m e n t t h a n i s t y p i c a l l y p o s s i b l e w i t h e v e n p r o t o t y p e i n -d u s t n r a l s y s t e m s . T h e d e s i g n o f l a b o r a t o r y e x p e r i m e n t s i n c o n -t r o l i s a c h a l l e n g e b e c a u s e m a n y i n t e r e s t i n g c o n t r o l p r o b l e m sd o n o t s c a l e w e l l . F o r e x a m p l e , i t i s d i f f i c u l t t o r e c r e a t e b o t ht h e p h y s i c a l a n d d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s o f p r o p o s e d l a r g e f l e x -i b l e s p a c e s t r u c t u r e s i n a l a b o r a t o r y s c a l e a n d l - g e n v i r o n m e n t .An e x a m p l e i n p r o c e s s c o n t r o l i s t h e h i g h - p u r i t y d i s t i l l a t i o nc o l u m n 1 1 i , w h e r e m a n y o f t h e i n t e r e s t i n g c o n t r o l p r o b l e m s a r ed i f f i c u l t t o m i m i c w i t h l a b o r a t o r y s c a l e d i s t i l l a t i o n c o l u m n s .A s w i t h e x p e r i m e n t s i n a n y d i s c i p l i n e , i t i s i m p o r t a n t t o d e -s i g n c o n t r o l e x p e r i m e n t s t o a c h i e v e s p e c i f i c g o a l s .T h e a p p r o a c h t a k e n i n t h e c o n t r o l l a b o r a t o r y a t C a l t e c h i st o d e s i g n e x p e r i m e n t s w h i c h d o n o t t r y t o m i m i c t h e p h y s i c a ld e t a s o f p r a c t i c a l e n g i n e e r i n g s y s t e m s , b u t f o c u s o n p r o v i d i n gs i m i l a r c o n t r o l d e s i g n p r o b l e m s i n a m o r e g e n e r i c s e n s e . T h eg o a l i s t o b u i l d l a b o r a t o r y s y s t e m s w h i c h a r e i n e x p e n s i v e , e a s yt o u n d e r s t a n d , o p e r a t e , a n d e x p a n d , a n d y e t p r o v i d e i n t e r -e s t i n g c o n t r o l d e s i g n c h a l l e n g e s o f t h e t y p e f o u n d i n p r a c t i c a le n g i n e e r i n g s y s t e m s . S i n c e m u c h more i s l e a r n e d f r o m f a i l u r et h a n s u c c e s s , an a d d i t i o n a l g o a l i s t o b u i l d e x p e r i m e n t s w h i c hd o n o t n e a t l y f i t a n y t h e o r e t i c a l f i a m e w o r k , t h u s s u g g e s t i n gne w l i n e s o f rearh. T o t h i s e n d , a s i m p l e two t a n k p r o -c e s s c o n t r o l e x p e r i m e n t h a s b e e n c o n s t m c t e d a t C a l t e c h . T h i s

p a p e r p r e s e n t s a p h y s i c a l d e s c r i p t i o n a n d , t o t h e e x t e n t t h a ti t h a s b e e n d e v e l o p e d , a m a th e ma t ic a l m o d e l o f t h e s y s t e m .T h e e x p e r i m e n t s c o u s t r u c t i o n a n d i n s t r u m e n t a t i o n w e r e o n l yr e c e n t l y c o m p l e t e d a n d t h i s p a p e r r e p o r t s o n w o r k i n p r o g r e s sT h e e x p e r i m e n t a l s y s t e m c o n s i s t s o f t w o w a t e r t a n k s ; t h ef i r s t f e e d i n g t h e s e c o n d . A c o m p u t e r b a s e d r e a l t i m e c o n t r o ls y s t e m i s u s e d t o c o n t r o l h o t a n d c o l d w a t e r f l o w s i n t o t h e f i r s tt a n k . A v a r i e t y o f l e v e l a n d t e m p e r a t u r e c o n t r o l p r o b l e m s c a nt h e n b e s t u d i e d . T h e d e t a i l s o f t h e e x p e r i m e n t a l a r r a n g e m e n ta r e g i v e n i n S e c t i o n 2 . I n S e c t i o n 3 a n o n l i n e a r m o d e l o f t h et w o t a n k s i s d e v e l o p e d f r o m f i r s t p r i n c i p l e s a l o n g w i t h a n e x -p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d a c t u a t o r a n d s e n s o r m o d e l s . S e v e r a li d e n t i f i c a t i o n a n d c o n t r o l p r o b l e m s o f v a r y i n g d i f f i c u l t y a r e d e -s c r i b e d i n S e c t i o n 4 . T h i s e x p e r i m e n t i s t y p i c a l o f p r o c e s sc o n t r o l s y s t e m s , b u t h a s s e v e r a l i s s u e s t h a t a r e i m p o r t a n t i nmany o t h e r p r o b l e m d o ma i ns a s w e l l . T h e f e a t u r e s t h a t a r ee x p e c t e d t o b e m o s t c r i t i c a l a r e : i n p u t u n c e r t a i n t y a n d s a t u -r a t i o n , a h i g h c o n d i t i o n n u m b e r p l a n t , u n c e r t a i n c o m p o n e n t st h r o u g h o u t t h e s y s t e m , a n d o p e r a t i n g r e g i m e s d o m i n a t e d b ya n o n l i e a r f u n c t i o n o f a m e as u r a b le q u a n t i t y .P r e l i m i n a r y o p e n l o o p i d e n t i f i c a t i o n e x p e r i m e n t s h a v e b e e np e r f o r m e d a n d a s a m p l e o f t h e r e s u l t s i s i n c l u d e d i n S e c t i o n 5 .C o n s i d e r a b l e d i s c r e p a n c i e s e x i s t b e t w e e n t h e t h e o r e t i c a l m o d e lo f t h e s y s t e m a n d t h e o b s e r v e d d a t a a n d s o m e p o t e n t i a l s o u r c e so f t h e s e d i s c r e p a n c i e s a r e d i s c u s s e d . F u r t h e r e x p e r i m e n t a lw o r k i s i n p r o g r e s s t o d e t e r m i n e w h i c h o f t h e o b s e r v e d e f f e c t sc a n b e e x p l i c i t l y i n c l u d e d i n t h e m od e l a nd w h i c h m u s t b ei n c l u d e d i n a n u n c e r t a i n t y d e s c r i p t i o n .We a r e e a g e r t o d i s c u s s t h e d e s i g n , c o n s t r u c t i o n , a n d i n -s t r a m e n t a t i o n o f e x p e r i m e n t a l c o n t r o l f a c i l i t i e s w i t h o t h e r r e -s e a r c h e r s a n d e n g i n e e r s . We b e l i e v e t h a t e x p e r i m e n t a t i o n i s ah i g h l y u n d e r r a t e d a c t i v i t y i n o u r f i e l d w i t h s u b s t a n t i a l c h a l -l e n g e s a n d e q u a l l y s u b s t a n t i a l r e w a r d s . We p l a n e v e n t u a l l y t om a k e t h i s e x p e r i m e n t a l f a c i l i t y a v a i l a b l e i n s o m e w a y t o o t h e rr e s e a r c h e r s . We h o p e t h a t t h e e a s e w i t h w h i c h e x p e r i m e n t a ld a t a a n d c o n t r o l l e r s c a n b e t r a n s m i t t e d b y e l e c t r o n i c m a i l w i l lf a c i l i t a t e t h i s , b u t t h e d e t a i l s r e m a i n t o b e w o r k e d o u t .2 E x p e r i m e n t a l System D e s c r i p t i o nT h e s y s t e m , s h o w n s c h e m a t i c a l l y i n F i g u r e 1 , c o n s i s t s o f t w ow a t e r t a n k s . T h e u p p e r t a n k , r e f e r r e d t o a s t a n k 1 , i s f e d b yh o t a n d c o l d w a t e r v i a c o m p u t e r c o n t r o l l a b l e v a l v e s . T h e l o w e rt a n k , r e f e r r e d t o a s t a n k 2 , i s f e d b y w a t e r f r o m a n e x i t a t t h eb o t t o m o f t a n k 1 . A c o n s t a n t l e v e l i s m a i n t a i n e d i n t a n k 2 b ymeans o f a n o v e r f l o w . A f i x e d s t r e a m o f c o l d w a t e r a l s o f e e d st a n k 2 . I t i s t h e p r e s e n c e o f t h i s b i a s s t r e a m t h a t a l l o w s t h et a n k s t o b e m a in t ai ne d a t d i f f e r e n t t e m p e r a t u r e s .

2 0 2 6


2/6

f h e

h i

f j

h o t ( t i )s u p p l y

c o l d t is u p p l yf C

s p p l yr~~t t dfh

I i + f

F i g u r e 1 : S c h e m a t i c D i a g r a m o f t h e Tw o T a n k S y s t e mT a n k 1 i s 5 j i n c h e s i n d i a m e t e r a n d 3 0 i n c h e s i n h e i g h t .T a n k 2 i s 7 1 i n c h e s i n d i a m e t e r . F o u r o v e r f l o w s a r e p r o v i d e da t 5 4 , 7 - , A , a n d 1 1 4 i n c h e s . F o r t h e e x p e r i m e n t s d e s c r i b e di n t h i s p a p e r t h e o v e r f l o w a t 7 4 i n c h e s w a s u s e d . T h i s c o n f i g -u r a t i o n m a i n t a i n s t h e w a t e r l e v e l i n t a n k 2 a t 4 , i n c h e s b e l o wt h e b a s e o f t a n k 1 .T h e h o t a n d c o l d w a t e r s u p p l i e s a r e f i l t e r e d t h r o u g h a 5 m i -

c r o n f i l t e r a n d r e g u l a t e d t o 2 0 p s i g . H a l f i n c h p i p i n g i s u s e d f o rt h e m a i n f l o w l i n e s a n d t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t a n k s 1 a n d 2 .Tw o h a l f i n c h K i m m e r v a l v e s ( 3 0 0 0 0 s e r i e s w i t h e l e c t r o p n e u -m a t i c a c t u a t o r s a r e u s e d t o c o n t r o l t h e f l o w s . T h e s e h a v e al i n e a r c h a r a c t e r i s t i c a n d a C , o f 1 . 0 . V a r i a b l e a r e a f l o w m e t e r sm e a s u r i n g f r o m 0 . 2 t o 2 . 0 gpm p r o v i d e a m e a n s o f c a l i b r a t i n gt h e a c t u a t o r s . A p p r o x i m a t e l y 7 2 i n c h e s o f p i p e c o n n e c t s t h ea c t u a t o r s t o t h e f l o w m e t e r s . T h e h o t a n d c o l d f l o w s a r e c o m -b i n e d i n a t e e j u n c t i o n 1 0 i n c h e s f r o m t h e f l o w m e t e r s a n d t h em i x e d f l o w i s p i p e d a f u r t h e r 1 8 i n c h e s t o t a n k 1 . T h e p i p eo u t l e t i s 3 1 i n c h e s a b o v e t h e b a s e o f t a n k 1 . A p p r o x i m a t e l y3 6 i n c h e s o f p i p e c o nn ec t s t he t a n k s , e n t e r i n g a t t h e b a s e o ft a n k 2 . T h e t a n k 2 b i a s s t r e a m i s f e d f r o m t h e c o l d s u p p l y v i aa n e e d l e v a l v e a n d f l o w m e t e r . T h i s a r r a n g e m e n t a l l o w s m a n u a la d j u s t m e n t o f t h e b i a s s t r e a m f l o w f r o m 0 . 0 1 5 t o 0 . 3 g p m .I s o l a t e d E t y p e t h e r m o c o u p l e s a r e i n s e r t e d i n t o e a c h o ft h e t a n k s a p p r o x i m a t e l y 4 i n c h a b o v e t h e b a s e . O m e g a MC Jt h e r m o c o u p l e c o n n e c t o r s p r o v i d e t h e i c e p o i n t r e f e r e n c e . T h et e m p e r a t u r e s i g n a l s a r e a m p l i f i e d b y O m e g a O m n i - A m p a m -p l i f i e r s ( g a i n : 1 0 0 0 ) . T h e r e i s a l s o p r o v i s i o n t o m e a s u r e t h et e m p e r a t u r e o f t h e h o t a n d c o l d f l o w s p r i o r t o t h e v a l v e s a n dt h e m i x e d f l o w j u s t b e f o r e i t e n t e r s t a n k 1 .A p r e s s u r e s e n s o r ( O t o 5 p s i g ) p r o v i d e s a m e a s u r e m e n t o ft h e w a t e r l e v e l i n t a n k 1 . B o t h t a n k s a r e s t i r r e d w i t h l a b o -

r a t o r y s t i r r e r s . T a n k 1 h a s a s h a f t r u n n i n g t h e f u l l l e n g t h o ft h e t a n k w i t h t h r e e 2 i n c h p r o p e l l e r s m o u n t e d o n i t . A s i n g l ep r o p e l l e r s t i r s t a n k 2 .A M a s s c o m p 5 4 0 0 i s u s e d f o r t h e d a t a a c q u i s i t i o n a n dc o n t r o l . A l l s i g n a l s f r o m t h e e x p e r i m e n t a r e f i l t e r e d u s i n gf o u r t h o r d e r b u t t e r w o r t h f i l t e r s e a c h w i t h a c u t o f f f r e q u e n c yo f 2 . 2 5 H z . T h e M a s s c o m p i s e q u i p p e d w i t h a n a l o g / d i g i t a l( A D 1 2 F A ) a n d d i g i t a l / a n a l o g ( D A O 8 F ) b o a r d s , e ac h w it h 1 2b i t r e s o l u t i o n , a n d a f l o a t i n g p o i n t p r o c e s s o r b o a r d . S o f t w a r ea l l o w s t h e d e s i g n e r t o p r o v i d e a r b i t r a r y c o n t r o l s i g n a l s t o t h ee x p e r i m e n t a n d i m p l e m e nt l i n e a r s t a t e s p a c e a n d n o n l i n e a rc o n t r o l e r s . A s a m p l e t i m e o f 0 . 1 s e c o n d s h a s b e e n u s e d .T h e e x p e r i m e n t a l a r r a n g e m e n t m a k e s i t p o s s i b l e t o f o r m u -l a t e a v a r i e t y o f c o n t r o l p r o b l e m s o f d i f f e r e n t c o m p l e x i t i e s .3 M o d e l i n g3 . 1 A Model o f t h e Tw o T a n k sT h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s h av e b ee n m a d e i n t h e d e r i v a t i o no f t h e m o d e l i n t h i s s e c t i o n :

* No t h e r m a l l o s s e s i n t h e s y s t e m .* P e r f e c t m i x i n g o c c u r s i n b o t h t a n k s .* T h e f l o w o u t o f t a n k 1 i s r e l a t e d o n l y t o t h e h e i g h t o ft a n k 1 .* T h e r e a r e n o d e l a y s .

A s w i l l b e s e e n i n l a t e r s e c t i o n s , t h e r e a r e s o m e s i g n i f i c a n t d i s -c r e p a n c i e s b e t w e e n t h e m o d e l b a s e d o n t h e s e a s s u m p t i o n s a n de x p e r i m e n t a l d a t a . A p r e l i m i n a r y d i s c u s s i o n o f m o r e r e f i n e da s s u m p t i o n s a n d a c o r r e s p o n d i n g m o d e l i s g i v e n i n S e c t i o n 5 . 2 .T h e s y s t e m v a r i a b l e s a r e g i v e n t h e f o l l o w i n g d e s i g n a t i o n s .f h cf hf c cf cf iA lh it lt 2A 2f dt dt ht c

command t o h o t f l o w a c t u a t o r .h o t w a t e r f l o w i n t o t a n k 1 .c o m m a n d t o c o l d f l o w a c t u a t o r .c o l d w a t e r f l o w i n t o t a n k 1 .t o t a l f l o w o u t o f t a n k 1 .c r o s s - s e c t i o n a l a r e a o f t a n k 1 .t a n k l w a t e r l e v e l h e i g h t .t e m p e r a t u r e o f t a n k 1 .t e m p e r a t u r e o f t a n k 2 .c r o s s - s e c t i o n a l a r e a o f t a n k 2 .h 2 t a n k 2 w a t e r l e v e l .f l o w r a t e o f t a n k 2 b i a s s t r e a m .t e m p e r a t u r e o f t a n k 2 b i a s s t r e a m .h o t w a t e r s u p p l y t e m p e r a t u r e .c o l d w a t e r s u p p l y t e m p e r a t u r e .

T a n k 1 i s c o n s i d e r e d f i r s t . C o n s e r v a t i o n o f m a s s g i v e s :d _ ( A l h i ) = f h + f c - f A ( 1 )

I t i s a s s u m e d t h a t t h e f l o w o u t o f t a n k 1 f l i s a m e m o r y l e s sf u n c t i o n o f t h e h e i g h t h i . T h i s i s r e a s o n a b l e b e c a u s e o f t h ei n c o m p r e s s i b i l i t y o f t h e m e d i a . A s t h e e x i t f r o m t a n k 1 i s a p i p ew i t h a l a r g e l e n g t h t o d i a m e t e r r a t i o , t he f l ow i s p r o p o r t i o n a l t ot h e p r e s s u r e d r o p a c r o s s t h e p i p e a n d t h u s t o t h e h e i g h t i n t h et a n k . W V i t h a c o n s t a n t c o r r e c t i o n t e r m f o r t h e f l o w b e h a v i o r a tl o w t a n k l e v e l s t h e h e i g h t a n d f l o w c a n b e r e l a t e d b y an a f f i n ef u n c t i o n .h = a c t f 1 - w h e r e a , 3 > 0 a n d f i > 3 / a . ( 2 )

2 0 2 7


3/6

F i g u r e 2 : S c h e m a t i c Diam o f t h e S y s t e m M o d e l .T h t r e o r e A l a f 1 = f h + f c f i .D e f i n i h g f a s a s t a t e v a i a b l e l e a d s t o a l i n e a r s t a t e e q u a t i o na n d a n a f f i e o u t p u t e q u a t i o n f o r h , ( i n t h e a l l o w a b l e r a n g e o ff I .

A l = A j - l f i + fA + A f J 4h i a f i - P . ( 5 )

C o n s e r v a t i o n o f e n e r g y w i l l e a d t o a m o d e l f o r t h e t e m p e r -a t u r e o f t a n k 1 t i a sd ( A l h l t l ) = f A t h + f t c f i t i . ( 6 )

I t i s u s e f u l t o d e f i n e a v a r i a b l eE l = h 1 t ( 7 )

w h i c h c a n l o o s e l y b e t h o u g h t o f a s t h e e n e r g y i n t a n k 1 . N o wf i t = ( l . / ) t

= I 1 + t E l . ( 8 )D e f i n i n g E 1 a s a s t a t e v a r i a b l e g i v e s a n o n l n e a r s t a t e e q u a -t i o n a n d a n o n l i n e a r o u t p u t e q u a t i o n f o r t l .

- l ; 5 + t h f t= A l+ r E l + r A + r f c .t l = -E lh i

( 9 )( 1 0 )

N o t e t h a t f o r a f i x e d h 1 t h e a b o v e e q u a t i o n s a r e l i n e a r . T h i sw i l l a i d i n t h e i d e n t i f i c a t i o n .I n t a n k 2 t h e h e i g h t ( h 2 ) i s f i x e d a n d t h e i n p u t f l o w f r o mt a n k 1 ( f i ) i s o f t e m p e r a t u r e t l . T h i s g i v e s o n l y o n e e q u a t i o n :d ( A 2 h 2 t 2 ) = f l t l + f d t d f t + f d t 2 - ( 1 1 )

U d n g t h e p r e v i o u s d e f i n i t i o n o f L i a n d t h e r e l a t i o n s h i p b e -t w e e n h i a n d f i g i v e sd 1 f 1+A 2 h 2 t t 2 = - ( 1 + B - ) E + f t x - ) t 2 - f j t 2 1 2

D e f i n i n g t 2 a s a s t a t e v a i a b l e l e a d s t o t h e f o l l o w i n g s t a t e e q u a -t i o n a n d a t r i v i a l o u t p u t e q u a t i o n . h , +P + a f d \ ~ ~ I _= aA t 2 + - +A 1+ . ( 1 3 )aI :/ A 2 1 z 2 a A 2 h 2 h i 3

F o r a f i x e d h l t h e t 2 s t a t e e q u a t i o n i s a f f i n e .E q u a t i o n s 4 , 5 , 9 t 1 0 , a n d 1 3 p r o v i d e a s i m p l e m o d e l f o rt h e t w o t a n k s . T o c o m p l e t e t h e d e s c r i p t i o n o f t h e s ys t e m am o d e l m u s t b e o b t a i n e d f o r t h e a c t u a t o r s a n d s e n s o r s . T h eu n c e r a n t y a s s o c i a t e d w i t h e l e m e n t s o f t h e m o d el m u s t a l s ob e i d e n t i f i e d .T h e s t r u c t u r e o f t h e f u l l s y s t e m m o d e l i s s h o w n i n F i g u r e 2 .T h e f u l l s y s t e m h a s f i v e i n p u t s : t w o c o n t r o l i n p u t s ( f a n df o ) a n d t h r e e n o i s e i n p u t s ( h 1 n o i s e , t l n o i s e , a n d t 2 n o i s e . Aw e i g h t i n g f u n c t i o n i s i n c l u d e d o n e a c h n o i s e i n p u t ( W , n , W m l ,a n d W t , 2 ) . T h e u n c e r t a i n t y i s p r o v i d e d b y t h e f i v e A b l o c k s ,w h e r e A 1 < 1 . E a c h u n c e r t a i n t y b l o c k i s w e i g h t e d b y o n e o ff i v e u n c e r t a i n t y w e i g h t s : o n e o n t h e o u t p u t o f e a c h a c t u a t o r( W . a ) , a n d o n e o n t h e o u t p u t o f e a c h o f t h e m o d e l s f o r h 1 W , h t l W 1 l , a n d t 2 W t 2 .3 . 2 C h o i c e o f U n i t sT o q u a n t i f y t h e a b o v e m o d e l t h e u n i t s a r e d e f i n e d b y :

t e m p e r a t u r e : t z = 1 . 0 t u n i tt c = 0 . 0 t u n i th e i g h t : t a n k 1 f u l l = 1 . 0 h u n i tt a n k 1 e m p t y = 0 . 0 h u n i t .T h es e t w o d e f i n i t i o n s d e f i n e a l l o f t h e o t h e r u n i t s i n t h e p r o b -l e m . N o t e f r o m S e c t i o n 2 t h a t t h e i n p u t f l o w s r a n g e f r o m 0t o 2 . 0 g a l l o n s / m i n u t e . I t i s c o n v e n i e n t t o d e f i n e a f l o w u n i t a tt h e i n p u t b y 2 . 0 gpm = 1 . 0 f u n i t . U s i n g t h e a b o v e u n i t s t h es y s t e m d i m e n s i o n s a r e n o w :

2 0 2 8


4/6

A lA 2h 2f dt f sf l o w s c a l i n g

0 . 0 2 5 60 . 0 4 7 70 . 2 4 17 . 4 X 1 0 - i0 . 00 - 0 0 0 2 8

h u n i t s 2h u n i t s 2h u . n i t sh u n i t s 3 / s e ct u n i t sh u n i t s 3 / s e c / f u n i tT h e f l o w s c a l i n g f a c t o r c o n v e r t s t h e i n p u t ( O t o 1 f u n i t s ) t of l o w i n h u n i t s 3 / s e c o n d .3 . 3 A c t u a t o r and S e n s o r ModelsI n t h e f i e q u e n c y r a n g e o f i n t e r e s t t h e a c tu a t or s c a n b e m o d e l e da s a s i n g l e p o l e s y s t e m w i t h r a t e a n d m a g n i t u d e s a t u r a t i o n s .S o f t w a r e i s u s e d t o i m p o s e a m a g n i t u d e s a t u r a t i o n a t t h e i n -p u t t o t h e a c t u a t o r w h i c h i s s m a l l e r t h a n t h e a c t u a l a c t u a t o rm a g n i t u d e l i m i t . T h i s i s d o n e i n o r d e r t h a t t h e f l o w s a r e m a i n -t a i n e d i n t h e c a l i b r a t e d r a n g e . T h e r a t e s a t u r a t i o n h a s b e e ne s t i m a t e d f r o m o b s e r v i n g t h e e f f e c t o f t r i a n g l e w a v e s o f d i f f e r -e n t f r e q u e n c i e s a n d m a i t u d e s . T h e f o l l o w i n g m o d e l h a s b e e ne s t i m a t e d f o r t h e a c t u a t o r s .

= 1 + 0 . 0 5 s 2 ( 1 4 )w i t h : m a g n i t u d e l i m i t : 1 . 0 f u n i t sr a t e l i m i t : 3 . 5 f u n i t s / s e cN o t e t h a t t h e r a t e l i m i t d e t e r m i n e s t he a c tu a t or p e r f o r m a n c er a t h e r t h a n t h e p o l e l o c a t i o n . F o r a l i n e a r m o d e l s o m e o f t h ee f f e c t s o f r a t e l i m i t i n g c a n b e i n c l u d e d i n a n u n c e r t a i n t y m o d e l .E x c e p t f o r a p o s s i b l e s m a l l t i m e d e l a y i n t h e t h e r m o c o u p l e s ,w e e x p e c t t h e s e n s o r d y n a m i c s t o b e i n s i g n i f i c a n t r e l a t i v e t ot h e d y n a m i c s o f t h e r e s t o f t h e s y s t e m . T h i s w i l l n o t b e t r u e o ft h e s e n s o r n o i s e . A l t h o u g h t h e s e n s o r n o i s e w a s s m a l l e n o u g ht o a l l o w t h e e x p e r i m e n t s d e s c r i b e d l a t e r , we w e r e u n a b l e t og e t a c o n s i s t e n t e s t i m a t e o f t h e s e n s o r n o i s e l e v e l . T h e p o t e n -t i a l s o u r c e s o f n o i s e i n c l u d e e l e c t r o n i c n o i s e i n t h e r m o c o u p l ec o m p e n s a t o r s , a m p l i f i e r s , a n d f i l t e r s , r a d i a t e d n o i s e f r o m t h es t i r r e r s , a n d p o o r g r o u n d i n g t h i s i s , a f t e r a l l , a n i n e x p e n s i v el a b o r a t o r y e x p e r i m e n t ) .T h e r e a r e a d d i t i o n a l d i s t u r b a n c e s o r n o i s e s a s s o c i a t e d w i t ht h e m e a s u r e m e n t s t h a t a r e n o t , s t r i c t l y s p e a k i n g , s e n s o r n o i s e .F o r e x a m p l e , i n t a n k t h e i m p e r f e c t m i x i n g o f t h e b i a s s t r e a mc a u e s v a r i a t i o n s i n t h e t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t . Ho w t h e s ev a r i o u s n o i s e s a n d d i s t u r b a n c e s a r e t r e a t e d d e p e n d s o n o n e sp h i l o s o p h y . T h e p h i l o s o p h y we t a k e f o r t h i s e x p e r i m e n t a l s y s -t e m i s t h a t o u r p e r f o r m a n c e o b j e c t i v e s w i l l b e i n t e r m s o f t h em e a s u r e d q u a n t i t i e s , s i n c e t h a t i s a l l t h a t c a n b e v e r i f i e d . T h u sd i s t i n g u i s h i n g b e t w e e n s e n s o r n o i s e a n d o t h e r d i s t u r b a n c e s w i l ln o t e f f e c t t h e c o n t r o l d e s i g n o r t h e d o s e d l o o p p e r f o r m a n c e .4 The I d e n t i f i c a t i o n and C o n t r o l P r o b -l e m sO n l y p r e l i m i n a r y i d e n t i f i c a t i o n e x p e r i m e n t s h a v e b e e n p e r -f o r m e d . I t w i l l b e s e e n i n s u b s e q u e n t s e c t i o n s t h a t t h e a b o v et h e o r e t i c a l m o d e l p r e d i c t s r e s p o n s e s t h a t h a v e s i g n i f i c a n t d i f -f e r e n c e s f r o m t h e e x p e r i m e n t a l d a t a . N o t s u r p r i s i n g l y , t h em o d e l f i t s t h e d a t a v e r y w e l l a t l o w f r e q u e n c i e s b u t n o t a th i g h e r f r e q u e n c i e s .O u r m o d e l i n g p h i l o s o p h y i s t h a t a l l t h e e x p e r i m e n t a l r e -s p o n s e s m u s t b e a c c o u n t e d f o r e x p l i c i t l y . S o m e o f t h e d i f f e r -e n c e s b e t w e e n t h e t h e o r e t i c a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n m o d e l a n d

t h e o b s e r v e d d a t a may b e a t t r i b u t e d t o a m o r e s o p h i s t i c a t e dm o d e l w h i c h i n d u d e s a d d i t i o n a l p h e n o m e n a . A f t e r r e f i n i n gt h e t h e o r e t i c a l m o d e l , a r e s i d u a l d i f f e r e n c e b e t w e e n m o de l a ndd a t a w i l l r e m a i n a n d m u s t b e i n c l u d e d i n a n e x p l i c i t u n c e r -t a i n t y m o d e l . T h i s u n c e r t a i n t y m a y b e t h o u g h t o f a s a r i s i n gi n s e v e r a l d i s t i n c t w a y s :* e x t e r n a l d i s t u r b a n c e s a n d n o i s es u n m o d e l e d d y n a m i c s* p a r a m e t r i c v a r i a t i o n s i n t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n m o d e l

I t c o u l d b e a r g u e d t h a t t h e s e d i s t i n c t i o n s a r e a r t i f i c i a l , a n dr e f l e c t a s m u c h , t h e r e s t r i c t i o n s o f o u r m o d e l i n g m e t h o d o l o g i e sa s t h e e x i g e n c i e s o f p h y s i c a l r e a l i t y . A f t e r a l l , u n c e r t a i n t y i nt h e s e n s e u s e d h e r e i s i n t h e m o d e l , n o t i n t h e p h y s i c a l s y s t e mb e i n g m o d e l e d . We a r e n o t t r y i n g t o m a k e a n y s t a t e m e n t sa b o u t p h y s i c a l r e a l i t y . N e v e r t h e l e s s , w i t h i n t h e c o n t e x t o fa v a i l a b l e m o d e l i n g t e c h n i q u e s w e m u s t d i s t r i b u t e t h e r e s i d u a lu n c e r t a i n t y a m o n g t h e s e m e c h a n i s m s . A s y s t e m a t i c m e t h o d -o l o g y f o r d o i n g t h i s d o e s n o t c u r r e n t l y e x i s t . A m a j o r g o a l f o rt h i s e x p e r i m e n t i s t o p r o v i d e a t e s t b e d f o r t h e d e v e l o p m e n t o fa n i d e n t i f i c a t i o n m e t h o d o l o g y t o b e u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t hr o b u s t c o n t r o l s y n t h e s i s t e c h n i q u e s .S e v e r a l i n t e r e s t i n g c o n t r o l p r o b l e m s c a n b e s t u d i e d . T h em o s t s i m p l e i s t h e c o n t r o l o f h l . O u r m o d e l f o r t h e d y n a m i c s o ft h i s s y s t e m i s l i n e a r . T h e m u l t i v a i a b l e p r o b l e m s a r e m o r e i n -t e r e s t i n g . C o n t r o l o f h 1 a n d t 1 i s n o t d i f f i c u l t , a n d t h i s p r o b l e mi s o n e o f t h e m o s t c o m m o n p r o c e s s c o n t r o l e x p e r i m e n t s . A s t h ee q u a t i o n s f o r t 1 a r e a f u n c t i o n o f h i t h i s p r o b l e m l e n d s i t s e l f t ot e s t i n g g a i n s c h e d u l e d o r n o n l i n e a r c o n t r o l l e r s t o a c h i e v e h i g hp e r f o r m a n c e . T h e m o s t d i f f i c u l t p r o b l e m i s t h e c o n t r o l o f t 1a n d t 2 . I n a d d i t i o n t o t h e n o n l i n e a r i t i e s , t h e r e i s a c o n d i t i o nn u m b e r p r o b l e m [ 1 ] . T h i s w i l l p r o v e p a r t i c u l a r l y t r o u b l e s o m ei n t h e p r e s e n c e o f i n p u t u n c e r t a i n t y . I n p u t s a t u r a t i o n w i l l a l s oh a v e a l a r g e e f f e c t o n t h e a c h i e v a b l e p e r f o r m a n c e i n t h i s p r o b -l e m [ 2 ] .I n a n y o f t h e a b o v e c a s e s a n o p e r a t i n g p o i n t c a n b e s e l e c t e da n d a l i n e a r c o n t r o l l e r c a n b e d e s i g n e d f o r t h e l i n e a r i z e d s y s -t e m . T o c o v e r a r an g e o f o p e r a t i n g p o i n t s t h e p a r a m e t e r s o ft h e l i n e a r i z e d m o d e l c o u l d b e c o n s i d e r e d a s v a r y i n g o r u n c e r -t a i n . F i n a l l y , t h e f u l l n o n l i n e a r m o d e l m a y b e u s e d t o c o n s i d e rp r o b l e m s i n v o l v i n g l a r g e s i g n a l s .5 E x p e r i m e n t a l R e s u l t s5 . 1 I d e n t i f i c a t i o n E x p e r i m e n t sT h e p a r a m e t e r s a a n d / h a v e b e e n e s t i m a t e d f r o m s t a t i c h 1a n d f i m e a s u r e m e n t s a n d a r e :

a1 0 4 8 7 60 . 5 9O p e n l o o p e x p e r i m e n t s h a v e b e e n c o n d u c t e d t o t e s t t h ev a l i d i t y o f t h e m o d e l d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 . B a n d l i m i t e d

n o i s e , i n s e v e r a l f r e q u e n c y b a n d s , i s u s e d f o r t he i n p u t s i g n a l s .D a t a r e c o r d s w e r e 8 1 9 2 s a mp l e s i n l e n g t h w i t h s a m p l e r a t e s o f1 . 0 Hz a n d 1 0 . 0 H z . T h e t r a n s f e r f u n c t i o n e s t i m a t e s , p r e s e n t e db e l o w , h a v e b e e n o b t a i n e d b y t h e W e l c h m e t h o d , u s i n g H a n -n i n g w i n d o w s o n s e c t i o n s o f t h e d a t a [ 3 ] . T h e d a t a p l o t t e d i nt h e f i g u r e s c o m e s f r o m s e v e r a l w i n d o w l e n g t h s , t y p i c a l l y 1 0 2 4a n d 4 0 9 6 . O n l y t h e p o i n t s w i t h g o o d c o h e r e n c y a r e p l o t t e d .F i g u r e 3 s h o w s t h e e s t i m a t e d t r a n s f e r f u n c t i o n b e t w e e nf r , + f c t a n d h l , a n d t h e t r a n s f e r f u n c t i o n p r e d i c t e d f r o m t h e

2 0 2 9


5/6

1 0

1 0 0

I1 0 4 ~

. 5 0- ' W- 1 5 5

- 3 W- 3 5 0

1 0 - 1 0 3 9 4 1 0 - 10 i tb o q m c yHz

1 0 1

l 0 o

I 1 0 - 11 0 - 21 0 3 4

I1

1 0 - 4 1 0 s l S10 213 1 0 1b e o w ~ r H zF i g u r e 3 : T r a n s f e r f u n c t i o n b e t w e e n f i . . + f e a n d h l . E x p e r i -m e n t a l d a t a a n d t h e o r e t i c a l m o d e l ( s o l i d l i n e .m o d e l ( e q u a t i o n s 4 a n d 5 , i n c l u d i n g t h e n o m i n a l a c t u a t o r a n db u t t e r w o r t h f i l t e r . T h e e x p e r i m e n t a l d a t a c o m e s f r o m f i v e e x -p e r i m e n t s a t t h r e e d i f f e r e n t l e v e l s . F o r f r e q u e n c i e s g r e a t e r t h a n0 . 2 H z , t h e p l o t t e d d a t a c o m e s f r o m a n e x p e r i m e n t a t h 1 =0 . 4 7 .F o r h 1 f i x e d , t h e E 1 s t a t e v a r i a b l e e q u a t i o n ( 9 ) a n d t h et 1 o u t p u t e q u a t i o n ( 1 0 ) a r e l i n e a r . E x p er i m e nt s h av e b e e np e r f o r m e d a t h i = 0 . 1 3 , 0 . 2 5 , 0 . 4 7 , a n d 0 . 7 6 . T h e i n p u t w a v e -f o r m s w e r e g e n e r a t e d s u c h t h a t f = - f c c w h i c h m a i n t a i n sa c o n s t a n t h l F i g u r e 4 s h o w s t h e t r a n s f e r f u n c t i o n b e t w e e nfh- f c A ( = 2 f h c ) a n d t 1 c a l c u l a t e d f r o m t h e e x p e r i m e n t a l d a t aa n d e s t i m a t e d f r o m t h e m o d e l ( e q u a t i o n s 9 a n d 1 0 ) . F o r t h ed a t a s h o w n h i = 0 . 1 3 a n d h , = 0 . 7 6 . T h e o t h e r c a s e s l i eb e t w e e n t h e t w o c u r v e s s h o w n .

We h a v e n o t y e t p e r f o r m e d e x t e n s i v e e x p e r i m e n t a l v e r i f i -c a t i o n o f t h e t a n k 2 m o d e l .5 . 2 Towards a S y s t e m ModelF i g u r e s 3 a n d 4 s h o w s a m p l e r e s u l t s f r o m t h e a b o v e s e r i e s o fe x p e r i m e n t s . S e v e r a l d i s c r e p a n c i e s a r e i m m e d i a t e l y o b v i o u sb e t w e e n t h e t h e o r e t i c a l m o d e l a n d t h e t h e s m o o t h e d e m p i r i -c a l t r a n s f e r f u n c t i o n e s t i m a t e s ( S E T F E ) [ 4 ] T h e l a t t e r a r ed e r i v e d f r o m d a t a t h a t i s a v e r a g e d , s o m u c h o f t h e i n f o r m a -t i o n o n t h e u n c e r t a i n t y h a s b e e n s m o o t he d o u t a n d t h e r e a r e

A 1 0 - 1 0 9 4 1 0 4 1 0 0 1 0c y M l b

r h o r f iF i g u r e 4 : T r a n s f e r f u n c t i o n b e t w e e n f h f , a n d t 1 . E x -p e r i m e n t a l d a t a a n d m o d e l s ( s o l i d l i n e s . h 1 = 0 . 1 3 a n dh i = 0 . 7 6 . ( T h e s y s t e m w i t h t h e h i g h e r g a i n i s h , 0 . 1 3 . )b i a s e s . T h e r e m a i n i n g d i s c r e p a n c i e s may b e d u e t o c o n s i s t e n tl i n e a r e f f e c t s t h a t a r e a s y e t u n m o d e l e d o r t o t h e a v e r a g i n g o fn o n l i n e a r o r t i m e - v a r y i n g e f f e c t s . We w i l l r e f i n e t h e m o d e l t oa t l e a s t a c c o u n t f o r t h e s e a v e r a g e d e f f e c t s , w i t h t h e r e m a i n d e rt o b e i n c l u d e d i n a n u n c e r t a i n t y m o d e l . T h i s m u s t b e d o n e o na n a d h o c b a s i s a s we d e v e l o p m o r e s y s t e m a t i c i d e n t i f i c a t i o nm e t h o d s .T h e t h e o r e t i c a l m o d e l f o r h 1 f i t s t h e SETFE q u i t e w e l l r e -f e r F i g u r e 3 . b u t we h a v e o bs er v ed s o m e c o n s i s t e n t h e i g h td e p e n d e n t p h e n o m e n a a t h i g h f r e q u e n c i e s ( a r o u n d I H z . ) t h a tm i g h t b e m o d e l e d b y s e v e r a l p o s s i b l e m e c h a n i s m s . T h e r e i ss o m e t i m e d e l a y i n t he s t r e a m b e t w e e n t h e p i p e e x i t a n d t h ew a t e r s u r f a c e i n t a n k 1 . S p l a s h i n g may a l s o h av e s o m e e f f e c ta t h i g h f r e q u e n c i e s . A l e s s l i k e l y s o u r c e c o u l d b e n o n l i n e a rs e n s o r d y n a m i c s . E x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n i n g t h e s e h i g h f r e -q u e n c y c h a r a c t e r i s t i c s i s m a d e d i f f i c u l t b e c a u s e t h e s i g n a l s a r es m a l l r e l a t i v e t o n o i s e a n d d i s c r e t i z a t i o n l e v e l s . N o t e t ha t t her e s p o n s e a t 1 H z . i s down d e c a d e s f r o m i t s d c l e v e l . I t i s u n -l i k e l y t h a t a more r e f i n e d m o d e l a t t h e s e f r e q u e n c i e s w i l l l e a dt o b e t t e r d o s e d l o o p p e r f o r m a n c e .F o r t h e t i t r a n s f e r f u n c t i o n s t h e d i s c r e p a n c i e s f r o m t h em o d e l a r e o b s e r v e d a t l o w e r f r e q u e n c i e s r e f e r F i g u r e 4 , d u em o s t l y t o i m p e r f e c t m i x i n g i n t a n k 1 a n d t h e r m a l d e l a y s . T h ef l o w d e p e n d e n t t h e r m a l d e l a y i s d u e t o t h e h o t a n d c o l d s t r e a m s

2 0 3 0

.

r . . . . . t

. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . ..

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 T . TI T

- . 7 7.

4 . z . . . . . . . . . . . . . . . . . ; 4 4 41 0 1 4 , IIII - - - - - - - , 1 0 - 4 . .. - .. .jU p. - M .... -. r Ii i .

1 0 - 1 .


6/6

m i x i n g b e f o r e b e in g p i p ed t o t a n k 1 a n d t o t h e d r o p f r o m t h ep i p e e x i t t o t h e w a t e r s u r f a c e . A t h l = 0 . 1 3 t h e d e l a y i sa p p r o x i m a t e l y 1 s e c o n d . C o m b i n e d w i t h a p o s s i b l e s m a l l t h e r -m o c o u p l e d e l a y , t h i s a c c o u n t s f o r m u c h o f t h e d i s c r e p a n c y i nt h e p h a s e . I m p e r f e c t m i x i n g p r o b a b l y a c c o u n t s f o r m o s t o f t h er e s t .A t h i = 0 . 7 6 t h e e f f e c t s o f M i xi n g d o m in a te t h e r e s p o n s ea n d t h e d i s c r e p a n c i e s o c c u r a t m u c h l o w e r f r e q u e n c i e s . T h et h e o r e t i c a l t h e r m a l d e l a y i s a p p r o x i m a t e l y 0 . 4 s e c o n d s , w h i c hi s s w a m p e d b y t h e h i g h e r o r d e r m i x n g d y n a m i c s . T h i s h a sb e e n c o r r o b o r a t e d b y v i s u a l l y o b s e r v i n g t h e m i x i n g u s i n g d y e s .T h u s t h e m o d e l i n g d i s c r e p a n c i e s a r e d o m i n a t e d b y i m p e r f e c tm i x i n g a t h i g h f l o w l e v e l s a n d h e i g h t s a n d b y t h e r m a l d e l a y sa t l o w f l o w s a n d h e i g h t s .T h e p r o b l e m i s n o t a s s i m p l e a s m o d i f y i n g t h e m o d e l t om a k e i t f i t t h e d a t a o f F i g a r e 4 . L i n e a r t e m p e r a t u r e c o n -t r o l l e r s , d e s i g n e d f o r f i x e d h i , b a s e d o n b e s t f i t d a t a , h a v eb e e n f o u n d t o b e u n s t a b l e o n t h e a c t u a l s y s t e m . S o m e o f t h eo b s e r v e d e f f e c t s m u s t t h e r e f o r e b e a t t r i b u t e d t o n o n l i n e a r i t i e so r u n c e r t a i n t y . We a r e c u r r e n t l y w o r k i n g o n t h i s p r o b l e m f r o mb o t h a t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l p o i n t o f v i e w .R e f e r e n c e s

[ 1 ] S k o g e s t a d , S . , M . M o r a r i , a n d J . C . D o y l e . ( 1 9 8 7 ) . R o -b u s t C o n t r o l o f r n - c o n d i t i o n e d P l a n t s : H i g h P u i t y D i s -t i U a t i o n . IEEE t r a n s . A C . , i n p r e s s . S e e a l s o 1 9 8 7 J I A CT r i e n n i a l W o r l d C o n g u r e s , M u n i c h , W e s t G e r m a n y , a n d1 9 8 7 A m e r i c a n C o n t r o l C o n f . , M i n n e a p o l i s , MN , USA.[ 2 ] D o y l e , J . C . , R . S . S m i t h , a n d D . F . E ns ( 1 9 8 7 ) . C o n -t r o l o f P l a n t s w i t h I n p u t S a t u r a t i o n N o n l i n e a r i t i e s . 1 9 8 7A m e r i c a n C o n t r o l C o n f . , M i n n e a p o f i s , M N , U . S . A .[ 3 ] P r o - M a t l a b U s e r s G u i d e . ( 1 9 8 6 ) . T h e M a t h W o r k s , I n c .[ 4 ] L j u n g , L . ( 1 9 8 7 ) . S y s t e m I d e n t i f i c a t i o n , T h e o r y f o r t h eU s e r . P r e n t i c e - H a l l .

2 0 3 1

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