tutorial factorizaciÓn de polinomios
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Integrantes:Hector Orlando Valenzuela.Nereira Sarai Pinto Morán.
Esly Amaya.Antonia Euceda Videz.
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Pre-Prueba
Resuelva los siguientes ejercicios de factorización. 4,6,10 6(x+2), 9(x+6) 4X+4 2X(2X-3)2 +X2 (2X-3) X2-1 80X5-5X X4-Y4
X2+3X+2 2X2-7X-4 X2+Y2
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Pre-prueba: Respuestas
2X(2X-3)2 +X2 (2X-3) =x(2x-3)
X2-1 =(x+1)(x-1)
X2+3X+2 =(x+1)(x+2)
6(x+2), 9(x+6) =3
4X+4 =2(x+2)
80X5-5X =5x(4x2+1)(2x+1)(2x-1)
X4-Y4 =(x2+y2)(x+y)(x-y)
X2+Y2 No se puede factorizar
2X2-7X-4 =(x-4)(2x+1)
4,6,10 = 2
Factorizar completamente cada término:
Factorización de Polinomios
La factorización de expresiones algebraicas consiste en buscar el origen de las mismas, en descomponerlas.
Antes de continuar debemos tener en claro que la factorización da la posibilidad de factorizar de diferentes formas las expresiones algebraicas denominando a este proceso casos de factorización.
Durante el desarrollo de este tutorial se explicarán los diferentes
casos de factorización.
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original.
Casos de Factorización
Factorización de Trinomios
Factorización de Binomios
Factor Común
Factor Común Monomio
Factor Común Poliomio
Diferencia de Cuadrados
Factor Común por Agrupación
Trinomio de la forma ax2+bx+c, a=1
Trinomio Cuadrado Perfecto
Diferencia de Cubos Perfectos
Suma de cubos Perfectos
Trinomio de la forma ax2+bx+c, a≠1
Factor común
El factor común de dos o más términos es el término formado por el máximo común divisor (MCD ) de los coeficientes numéricos de los términos y las potencias de menor exponen-te de las literales comunes a todos ellos.
El máximo factor común (M.F.C.) o máximo común divisor (M.C.D.) de un conjunto de enteros se define como el entero mayor que divide a cada uno de los números de dicho conjunto.
Pasos para obtener el factor común de dos o más números
1) Recordemos que primero se factorizan los enteros en sus factores primos.
2) Como segundo paso se escriben los factores empleando exponentes.
3) Luego se toman las bases comunes, cada una con su exponentes mínimo.
4) Por último se efectúa el producto de los factores obtenidos en paso 3.
Ejemplo 1: Encontrar el M.F.C. de 30, 45, 60
Solución:
Paso 1Escriba el producto de sus números primos
30 45 60
15 2 5 9 6 10
3 5 3 3 2 3 2 5 30=2x3x5 45=3x3x5 60=2x2x3x5
Paso 2Escribir los factores empleando exponentes
30 = 2 x 3 x 545 = 32 x 5 60 = 22 x 3 x 5
Paso 3Determinar los factores primos comunes a todos los números con su mínimo exponente.
Las bases comunes son 3 y 5. El mínimo exponente de 3 es 1 y el de 5 es 1.
Paso 4Efectuar el producto.
Por consiguiente, el M.F.C. = 31 x 51 = 15.
Otra forma de encontrar máximo común factor (mcd)
Calcular el máximo común divisor de 30 , 45, 60.
30 45 60
32
2010 15
4
3
5
Menor Divisor primo común de 30, 45 y 60
Menor Divisor primo común de 10, 15 y 20
Aquí termina porque 2, 3 y 4 no un divisor primo común.
3*5=15 Máximo Común Divisor de 30, 45, 60
Pasos para obtener el factor común de dos o más términos
1) Calcular el factor común de los coeficientes de cada término.
2) Tomar las variables comunes de todos lo términos .
3) Escoger las variables elevadas al menor exponente.
4)Multiplicar el factor común de los coeficientes por las variables elevadas al menor exponente.
Ejemplo 1: Hallar el M.F.C. de 9x3 y2, 12x4 y,-15x5.
Solución
Se toman las variables comunes de todos términos.La variables común es x.
El mínimo exponente de x es 3.
Efectuar el producto de los factores obtenidos en paso 1 y paso 3Por lo tanto, el M.F.C. = 3x3
3x512=9=3x3
15=2x2x3
El factor Común es 3
Paso #1
Paso #3
Paso #2
Paso #4
Números primos
Ejemplo 2: Hallar el Máximo Factor Común de 18xy2, 15x3y3, 27xy5
15x3y318xy2 27xy5
2*32*x*y2 3*5x3*y3 33*x*y5
3 x y2
Factor Común en todos los términos
Observación: Se toman las bases de menor exponente.
Factor Común Monomio
Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio.
Es de la forma:ab + ac + ad = a ( b + c + d )
Pasos para obtener el Factor Común Monomio
1)Determinar el máximo común divisor de todos los términos del polinomio.
2)Dividir cada término entre el M.F.C o MCD
Ejemplo 1: Factorice el MFC en cada término de la expresión 4x-8
Solución:Paso 1Determinar el M.C.D.4x-8 =
MCD es 22
Paso 2Dividir cada término entre el M.F.C. o M.C.D.
22x-23
Se toma la base de menor exponente.=4
4X
4=
( )4x-8 =
4
8
4
=
X 2-
Máximo Común Divisor obtenido en el paso 1
Ejemplo 1: Factorice la expresión: 36x12+24x8
36x12+24x8 = 12X8 (
)3X4 + 2
36x12
12X8=
24x8
12X8 =
Factor Común de los Términos
Expresión factorizada
Factor Común Polinomio
Se de este caso de factorización cuando el factor común que aparece es un binomio o un polinomio.
En el siguiente caso podemos observar que tememos como factor común un binomio de la expresión polinómica.
Factor Común a+b. x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)
Expresión polinómica
Expresión factorizada
Ejemplo: Factorice 3b(a-2)-4(a-2)
El Factor Común de 3b(a-2)-4(a-2) es (a-2)
Al factorizarlo 3b(a-2)-4(a-2)= (a-
2)( )-3b 4 Expresión Factorizda
3b(a-2)(a-2)
=4(a-2)(a-2)
=
Dividir cada término entre el factor
común.
Factor Común por Agrupación
Ocurre cuando no existe un máximo común divisor para todos los
términos, pero al agrupar convenientemente, los términos
algebraicos de cada grupo si lo tienen. Requiere factorizar dos
veces de manera consecutiva .
Por ejemplo:
ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)
=x(a+b)+y(a+b)
=(a + b )( x + y )
Agrupar los términos donde se pueda factorizar
Factorizar la expresión
Expresión Factorizada
Ejemplo: Factorizar x2 - 2x+ax-2a
X(x-2)+a(x-2)
(x-2)(x+a)
(x2-2x)+(ax-2a)
x2 - 2x+ax-2a
Agrupar los términos que contengan factor común.
Factorizar la expresión
Expresión Factorizada
Factorización de Binomios
Los binomios son expresiones algebraicas que contienen dos términos o monomios.
Explicaremos algunos casos de factorización de binomios como los siguientes:
Cuadrados Perfectos (Diferencia de Cuadrados). Suma y Diferencia de Cubos Perfectos.
Diferencia de Cuadrados Perfectos
Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de
cuadrados. Para factorizar esta expresión se extrae la raíz
cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos
términos por la suma de los otros dos términos.
La fórmula de este tipo de factorización es la siguiente:
a2-b2=(a-b)(a+b)
Ejemplo 1: Factorice la expresión: x2-9
( - ) ( + )
√x2 √9
x3 3x
x 3
Se extrae la raíz cuadrada de cada término.
a2-b2=(a-b)(a+b)
Aplicar la fómula de Diferencia de Cuadrados
x2 - 9=
Ejemplo 2: Factorice 4x2-16y2
4(x2-4y2)
4(x-2y)(x+2y)
4x2-16y2 =
Sacar factor común de ambos términos. MFC 4
Aplicar la diferencia de cuadrados
Expresión factorizada
Suma de Cubos Perfectos
La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.
a3 b3=(a b)(a2 ab b2)+ + - +
Siempre positivo
Mismo signo
Signo opuesto
Ejemplo: Factorizar x3+8
x3+8=(x)3+(2)3
Aplicar la fórmula de la suma de dos cubos
3 + 3=( + )( 2 - * + 2)
3 3=()( 2 ) ( 2 2)
= (x + 2)(x2 - 2x + 4)
aa
x
b
2
b a a
x x
b b
2 2 2+ + x - * +
Expresión Factorizada-
Diferencia de Cubos Perfectos
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.
a3 b3=(a b)(a2 ab b2)- - + +
Siempre positivo
Mismo signo
Signo opuesto
Ejemplo: Factorizar y3+125
y3-125=(y)3+(5)3
Aplicar la fórmula de la diferencia de dos cubos
3 - 3=( - )( 2 + * + 2)
3 3=()( 2 ) ( 2 2)
= (y - 5)(y2 + 5y + 25)
aa
y
b
5
b a a
y y
b b
5 5 5- - y + * +
Expresión Factorizada.
Factorización de Trinomios
Primero debemos saber que un trinomio es una expresión que cuenta de 3 términos de esta forma aa+ab+ac donde las letras pueden ser cualquier termino conocido o desconocido ejemplo
8x+4y+10
ahora factor zar es encontrar un factor común de los 3 términos es decir un numero que pueda ser divisor de los 3 para expresarlo a una manera mas reducida
ahora factorizar un trinomio es realizar esa operación en una expresión como la que te dije(aa+ab+ac)
ejemplofactorizar:
8x+4x+10xR:2x(4+2+5) si multiplicamos esto llegasmos a lo mismo
Los siguientes casos de factorización de trinomios los estudiaremos Trinomio cuadrado perfecto.
Trinomio de la Forma x2+bx+cTrinomio de la forma ax2+bx+c
Trinomio Cuadrado Perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.
Ejemplo: x2+6x+9=(x+3)2 a) Se escribe un paréntesis ( )b) Se obtiene la raíz cuadrada al primer término (en este caso x2),
por lo que se obtiene: se obtiene xc) Se obtiene la raíz cuadrada del tercer término, en este caso 9, por
lo que: se obtiene 3d) Se escribe el resultado de los pasos (b) y (c) en el paréntesis con
el signo del segundo término:(x+3)e) Se eleva al cuadrado el binomio resultante y se obtiene:(x+3)2, que mantiene la igualdad con el trinomio x2+6x+9
Factorización de Trinomios de la Forma ax2+bx+c ,a=1, por ensayo y error
Para factorizar este tipo de tipo de trinomio debemos seguir el siguiente procedimiento:
Encontrar dos números cuyo producto sea igual a la constante, c, y cuya suma sea igual al coeficiente del término con x, que es b.
Utilizar los dos numeros que encontramos en el paso 1, incluidos sus signos, para escribir el trinomio en su forma factorizada.Dicho trinomio será:
(x+ un numero )(x+ segundo numero)
Ejemplo: Factorizar x2+7x+12 por ensayo y error
Factorizar x2+7x+12 donde a=1, b=7, c=12
X2 7x+12=
(x ) (x )
c=12=3*4
b=3+4=7
Buscar dos números que multiplicado de el valor de c y
sumado el valor de b
3 4+ ++
++* =+
El signo del segundo factor se obtiene multiplicando el
primer signo por el segundo signo de la
expresión .
Factorización de Trinomios de la Forma ax2+bx+c ,a≠1, por ensayo y error
Para factorizar este tipo de tipo de trinomio debemos seguir el siguiente procedimiento:
Determinar si existe un factor común a los tres términos. Y si lo hay factorizarlo.
Escriba todas las parejas de factores del coeficiente del término cuadrado, a.
Escriba todas las parejas de factores del término constante, c.
Pruebe varias combinaciones de estos factores hasta encontrar hasta encontrar el término medio correcto, bx.
Ejemplo: Factorizar 3x2+20x+12
No hay factor común.
Parejas de factores del primer término3*1 y 1*3.
parejas de factores del último término1*12, 2*6, 3*4, 4*3, 6*2, 12*1.
Al probar los factores que da como resultado el término de bx = 20x son 3*1 y 2*6 quedando factorizado:
(x+2)(x+6) 2*x= 2x
3*6x= 18x 20x Término medio.
Procedimiento General para factorizar un polinomio
1.Si todos los términos del polinomio tiene un MFC o MCD distinto de 1 factorícelo.
2. Si el polinomio tiene dos términos (o es un binomio), determine si se trata de una diferencia de dos cuadrado o una suma o una diferencia de dos cubo. En cada caso, factorizar por la fórmula apropiada
3. Si el polinomio tiene tres términos, factorice con los métodos para factorizar trinomios.
4. Si el polinomio tiene más de tres términos, intente factorizarlo por agrupamiento.
5. Como paso final, estudie el polinomio que factorizó para determinar si los términos de cualesquiera factores tienen algún factor común. Si encuentra alguno, factorícelo en este punto.
Factorizar:
• 30a4x - 15a3xz - 10a3y + 5a2yz =
5a2.(6a2x - 3axz - 2ay + yz) = sacamos como M.F.C. 5a2,
5a2.[3ax(2a - z) + y.(-2a + z)] = agrupamos sacando factores comunes entre grupos
5a2.[3ax(2a - z) - y.(2a - z)] = factor común negativo
5a2.(2a - z).(3ax - y) factor común (2a - z)
Primero se puede sacar factor común 5a2, y luego agrupar para sacar factor común en grupos .Fue necesario incorporar el uso de corchetes son para no usar "paréntesis dentro de paréntesis". El tercer paso está de más si se prefiere sacar factor común negativo.
•
Post-Prueba
Factorizar completamente cada expresión
7x3-2401
5b3-125b
X(a+b+c)-2(a+b+c)
z2-z+2
ax+bx+ay+by
X2+2xy+y2-z2
x4+x3+x+1
8x5+32x3+112x2+96x
3x+9
4xy-8x2yVer respuesta
Post-prueba: Respuestas
z2-z+2
ax+bx+ay+by
8x5+32x3+112x2+96x
5b3-125b
x(a+b+c)-2(a+b+c)
X2+2xy+y2-z2
x4+x3+x+1
4xy-8x2y
3x+9
7x3-2401
Factorizar completamente cada expresión: