turinys diferencialines lygtys ir matematiniai modeliai ...olgas/dl/dl_1pmatmodel4.pdf · equation...

Diferencialines lygtys ir matematiniai modeliai1 paskaita

Olga Štikoniene

Diferencialiniu lygciu ir skaiciavimo matematikos katedra, MIF VU

2015-09-10

Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Diferencialines lygtys 1 paskaita 2015-09-10 1 / 51

Turinys

1 Kurso strukturaTikslai ir programa

2 Diferencialines lygtysPagrindines savokosDL sprendiniai

3 Diferencialines lygtys ir matematiniai modeliaiModeliavimasMatematinio modeliavimo etapai

4 Matematiniu modeliu pavyzdžiai


Kurso struktura Tikslai ir programa

Kurso tikslai

Placiau susipažinti su diferencialiniu lygciu teorija ir moketi pritaikytiigytas žinias realiu reiškiniu modeliavime.

Kurse pateikiami analiziniai, kokybiniai, skaitiniai diferencialiniu lygciutyrimo metodai, tai iliustruojant modeliavimo pavyzdžiais.

Because of static equilibrium we can write

By dividing the last equation by the first, we eliminate T2 and get tan � � W�T1. Butbecause dy�dx � tan �, we arrive at

(16)

This simple first-order differential equation serves as a model for both the shape of aflexible wire such as a telephone wire hanging under its own weight and the shape ofthe cables that support the roadbed of a suspension bridge. We will come back toequation (16) in Exercises 2.2 and Section 5.3.

WHAT LIES AHEAD Throughout this text you will see three different types ofapproaches to, or analyses of, differential equations. Over the centuries differentialequations would often spring from the efforts of a scientist or engineer to describesome physical phenomenon or to translate an empirical or experimental law intomathematical terms. As a consequence a scientist, engineer, or mathematician wouldoften spend many years of his or her life trying to find the solutions of a DE. With asolution in hand, the study of its properties then followed. This quest for solutions iscalled by some the analytical approach to differential equations. Once they realizedthat explicit solutions are at best difficult to obtain and at worst impossible to obtain,mathematicians learned that a differential equation itself could be a font of valuableinformation. It is possible, in some instances, to glean directly from the differentialequation answers to questions such as Does the DE actually have solutions? If asolution of the DE exists and satisfies an initial condition, is it the only such solu-tion? What are some of the properties of the unknown solutions? What can we sayabout the geometry of the solution curves? Such an approach is qualitative analysis.Finally, if a differential equation cannot be solved by analytical methods, yet wecan prove that a solution exists, the next logical query is Can we somehow approxi-mate the values of an unknown solution? Here we enter the realm of numericalanalysis. An affirmative answer to the last question stems from the fact that a differ-ential equation can be used as a cornerstone for constructing very accurate approxi-mation algorithms. In Chapter 2 we start with qualitative considerations of first-orderODEs, then examine analytical stratagems for solving some special first-order equa-tions, and conclude with an introduction to an elementary numerical method. SeeFigure 1.3.8.

dy

dx�

W

T1.

T1 � T2 cos � and W � T2 sin �.

26 ● CHAPTER 1 INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL EQUATIONS

(a) analytical (b) qualitative (c) numerical

y'=f(y)

FIGURE 1.3.8 Different approaches to the study of differential equations

iš knygos D.G. Zill, M.R. Cullen, Differential Equations with Boundary-Value Problems.



Turinys:

1 Matematiniai modeliai, aprašomi diferencialinemis lygtimis.2 Ivadas i kokybine paprastuju diferencialiniu lygciu teorija: Fazinis srautas.

Autonomines sistemos. Faziniu portretu klasifikacija plokštumoje. Evoliucijosoperatorius. Tiesines nehomogenines sistemos. Netiesines sistemosplokštumoje. Pirmieji integralai. Taikymai modeliavime.

3 Skaitiniai paprastuju diferencialiniu lygciu sprendimo metodai: Pagrindinessavokos. Lygties aproksimacija, metodo stabilumas ir konvergavimas.Vienažingsniai metodai. Runges ir Kuto metodai.

4 Matematines fizikos lygtys: Diferencialiniai operatoriai ir superpozicijosprincipas. Matematiniai modeliai: šilumos laidumo lygtis, hidrodinamikos irakustikos lygtys, stygos svyravimas, atsitiktinis judejimas, geometrine optika.Pradines ir kraštines salygos. Pirmosios eiles lygtys. Kvazitiesine lygtis.Charakteristiku metodas. Sprendinio egzistavimas ir vienatis. Dviejunepriklausomu kintamuju antros eiles tiesines lygtys, ju klasifikacija, suvedimas ikanonini pavidala. Hiperbolines, parabolines ir elipsines lygtys. Stygos lygtis.Dalambero formule. Furje metodas hiperboliniu ir paraboliniu lygciu atvejais.



Kurso struktura:

Paskaitos (koliokviumas)Pratybos (kontrolinis darbas)www.mif.vu.lt/~olgas Diferencialines lygtysPažymys = Egz + Kol + KD

10 = 5 + 3 + 2



Literatura

1 Arrowsmith, D. K.; Place, C. M., Dynamical Systems: Differential Equations,Maps, and Chaotic Behaviour. Chapman Hall , 1992.

2 A.Ambrazevicius, Ivadas i kokybine paprastuju diferencialiniu lygciu teorija.Paskaitu konspektai, 2000.

3 Y. Pinchover and J. Rubinstein, An Introduction to Partial Differential Equations,Cambridge University Press, 2005.

4 C.H. Edwards, D.E. Penney, Differential Equations and Boundary ValueProblems: Computing and Modeling, Prentice-Hall, 2004.

5 D G. Zill, M.R. Cullen, Differential Equations with Boundary-Value Problems.Cengage Learning, 2008.

6 J.C. Robinson, An introduction to ordinary differential equations. CambridgeUniversity Press, 2004.

7 Wei-Bin Zhang, Differential Equations, Bifurcations, and Chaos in Economics.World Scientific Publishing Company, 2005.

8 William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Elementary differential equations andboundary value problems. John Wiley&Sons, 2001.

9 P. Golokvoscius, Diferencialines lygtys. Vilnius, TEV, 2000.


Diferencialines lygtys Pagrindines savokos

Pagrindines savokos

Sritimi vadinama atviroji ir jungioji aibe. Jeigu D yra atviroji aibe,tuomet kiekvienas tos aibes taškas yra vidinis.Realiuju skaiciu tieseje R jungiosios aibes yra intervalai(a; b), [a; b), (a; b], [a; b], a, b ∈ R.Sritys yra tik atvirieji intervalai I = (a; b), (−∞; b), (a; +∞) ir patitiese R = (−∞; +∞).Žymesime R = [−∞; +∞], R+ = (0; +∞), R− = (−∞; 0).Funkcija f vadinamas atvaizdis f : Rn → R, o f (x1, . . . , xn) žymimafunkcijos reikšme taške (x1, . . . , xn) ∈ Rn, taciau dažnai patogu taipžymeti ir pacia funkcija, kai reikia nurodyti jos argumentus.Laikysime, kad visos nagrinejamos funkcijos yra tolydžios savoargumentu atžvilgiu, t.y. f ∈ C(D), cia D yra sritis.Funkcija f (x1, . . . , xn) yra tolydžiai diferencijuojama srityje D, t.y.F ∈ C1(D), jeigu visuose šios srities taškuose ji diferencijuojama irdalines išvestines yra tolydžios.Funkcija f (x1, . . . , xn) vadinama glodžia srityje D, jeigu F ∈ C∞(D).



Žymejimai

Funkcijos y = f (x) išvestines gali buti žymimos:

y′, y′′, y′′′, y(n), f ′(x), f ′′(x), f (n)(x),dydx,

dyn

dxn , y, y.

Tašku virš kintamojo dažniausiai žymesime funkcijos x = x(t)išvestines pagal kintamaji t, kurio prasme dažnai yra laikas,

x :=dxdt, x :=

d2xdt2 , x(n) =

dnxdtn .

∂2u∂x2 = uxx : ut + uux = cuxx, uxx + uyy + uzz = 0.


www.mif.vu.lt/~olgas


Apibrežimas.Paprastaja diferencialine lygtimi (PDL) vadinama lygybe, i kuria ieinanepriklausomas kintamasis x, ieškoma (nežinoma) funkcija y(x) ir josišvestines:

F(x, y, y′, . . . , y(n)

)= 0.

Laikoma, kad F(x, y, p1, . . . , pn) yra tolydi visu savo argumentu atžvilgiuir butinai priklauso nuo argumento pn.

PDL pavyzdžiai:

y′ = sin x, y′′′ + y′′ − xex − 1 = 0, ey′′ + y′′ − x = 0.



Diferencialines lygtys (DL)

Paprastoji diferencialine lygtis (PDL), angl. ODE (ordinarydifferential equation) –reikia rasti vieno kintamojo funkcija:

dudt

= g− cm

u2, cia u(t);

DL dalinemis išvestinemis, angl. PDE (partial differentialequation) – reikia rasti keliu kintamuju funkcija:

∂u∂t

+ u∂u∂x

= c∂2u∂x2 , cia u(t, x);

∂2u∂x2 +

∂2u∂y2 +

∂2u∂z2 = 0, cia u(x, y, z).



Diferencialines lygties eile

Apibrežimas.Diferencialines lygties eile vadinama didžiausios išvestines eilediferencialineje lygtyje.

1-os eiles DL (parašiutininko kritimas)

dudt

= g− cm

u2;

2-os eiles DL (svarelio- spyruokles sistema su trintimi)

md2xdt2 − c

dxdt

+ kx = 0;

ir t.t.n-osios eiles

F(x, y, y′, . . . , y(n)

)= 0.



Jeigu lygtis (nebutinai DL)

F(x, y, p1, . . . , pn) = 0

aprašoma glodžiaja funkcija F ir taške (x0, y0, p01, . . . , p

0n) išpildyta

salyga∂F∂pn

(x0, y0, p01, . . . , p

0n) 6= 0,

tuomet (remdamiesi neišreikštines funkcijos teorema) lygti galimaišspresti pn atžvilgiu taško (x0, y0, p0

1, . . . , p0n) aplinkoje:

pn = f (x, y, p1, . . . , pn−1),

cia f yra glodi kintamuju (x, y, p1, . . . , pn−1) funkcija.



DL kanoninis pavidalas

Apibrežimas.DL yra užrašyta kanoniniu (išreikštiniu) pavidalu, jei lygtis išsprestaaukšciausiosios eiles išvestines atžvilgiu:y(n) = f

(x, y, y′, . . . , y(n−1)

).

Pavyzdys.

DL y′′′ + y′′ − xex − 1 = 0 kanoninis pavidalas yra y′′′ = −y′′ + xex + 1.



Neišreikštine diferencialine lygtis

DLF(x, y, y′, . . . , y(n)

)= 0.

vadinama neišreikštine diferencialine lygtimi.

PDL pavyzdžiai:

y′ = sin x - išreikštine DL;y′′′ + y′′ − xex − 1 = 0 - neišreikštine DL;ey′′ + y′′ − x = - iš esmes neišreikštine, nes y′′ negalima išreikštijokia elementariaja funkcija.

Neišreikštines DL F(x, y, y′, . . . , y(n)

)= 0 apibrežimo sritis yra sritis

DF ⊂ Rn+2, kurioje funkcija F(x, y, p1, . . . , pn) yra tolydi kintamuju(x, y, p1, . . . , pn) atžvilgiu.Jeigu DF nera jungioji aibe, tuomet nagrinesime DL kiekvienojejungumo aibeje atskirai, t.y. laikysime, kad ta pati lygybe apibrežiakeleta DL.



DL F(x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 apibrežimo sritis

-1 10

y

x

D D1 2

DL y′ =√

x(x2 − 1) apibrežimo sritys.

D

y

xa bA Bx

( ( )) tgx ,y x =0 0 a

a

0

f

f

DL apibrežimo sritis ir DL sprendinio grafikas.

Jeigu sprendinys yra apibrežtas intervale (a; b), tai ta pati funkcija bussprendinys ir intervale (a1; b1) ⊂ (a; b). Laikysime, kad I = (A; B) yramaksimalus toks intervalas. Sprendiniai, apibrežti tokiame intervale,vadinami maksimaliaisiais. Pagal nutylejima sprendini suprasime kaipmaksimaluji.



Akivaizdu, kad DL, užrašytos kanoniniu pavidaluy(n) = f

(x, y, y′, . . . , y(n−1)

), apibrežimo sritis yra DF = Df × R, cia Df

yra sritis, kurioje yra apibrežta ir tolydi funkcija f (x, y, y′, . . . , y(n−1)).Sritis Df vadinama išreikštines DL apibrežimo sritimi.

DL y′ =√

1− x2 − y2 apibrežimo sritis

DL y′ =√

1− x2 − y2 dešinioji puseapibrežta uždarame skritulyje{(x, y) : x2 + y2 6 1},o DL apibrežimo sritis Df yra vienetinisatvirasis skritulys su centru koordinaciupradžioje : Df = {(x, y) : x2 + y2 < 1}.

D

10

y

x

1

f

Pirmosios eiles DLy′ = f (x, y)

kanoninis pavidalas dar vadinamas normaliuoju.



Pirmosios eiles DL simetrinis pavidalas

Jeigu v,w ∈ C(D), sritis D ⊂ R2 ir |v(x, y)|+ |w(x, y)| 6= 0, tuomet lygtis

v(x, y)dx + w(x, y)dy = 0 (1)

vadinama tiesine homogenine pirmosios eiles diferencialu lygtimi.

Jeigu w(x0, y0) 6= 0, tuomet DL yra ekvivalenti lygciai

dydx

= − v(x, y)

w(x, y)= f (x, y) taško (x0, y0) aplinkoje Df .

Jeigu v(x0, y0) 6= 0, tuomet DL yra ekvivalenti lygciai

dxdy

= −w(x, y)

v(x, y)= g(y, x) (apverstoji lygtis) taško (x0, y0) aplinkoje Dg.

Lygybe (1) vadinama DL simetriniu pavidalu.

DL y′ = −x/y simetrinis pavidalas xdx + ydy = 0,apverstoji DL x′ = −y/x.



Tiesines ir netiesines PDL

Apibrežimas.

n-osios eiles DL F(x, y, y′, . . . , y(n)

)= 0 yra tiesine, jei F yra tiesine

pagal y, y′, . . . , y(n), t.y. ja galima užrašyti

an(x)dnydxn + an−1(x)

dn−1yxn−1 + · · ·+ a1(x)

dydx

+ a0(x)y = g(x).

Tiesines PDL: nežinomosios funkcijos ir ju išvestines i reiškiniieina tiesiškai

d2θ

dt2 +glθ = 0,

d3ydx3 + x

dydx

+ 3y = ex.

Netiesines PDL: kitais atvejaisd2θ

dt2 +glsin θ = 0,

d2udx2 + u

dudx

= −u,d4ydx4 + y2 = x2.

sin θ, u dudx , y2 – netiesiškumai.



PDL linearizavimas

Pavyzdys: svyruokleNetiesine PDL

d2θ

dt2 +glsin θ = 0.

Kartais netiesine PDL linearizuojama (=> gauta tiesine PDLgalima lengviau išspresti)Pavyzdys: mažas kampas

|θ| � 1

Netiesine PDL

d2θ

dt2 +gl

sin θ = 0.

⇒ sin θ ≈ θTiesine PDL

⇒ d2θ

dt2 +glθ = 0.


Diferencialines lygtys DL sprendiniai

Diferencialines lygties sprendiniai

Glodžioji funkcija ϕ ∈ Cn(I), vadinama DL sprendiniu, jeigu ja istate iDL gauname tapatybe.

DL (y′)2 = −1 neturi sprendiniu;(y′)2 + y2 = 0 turi vieninteli sprendini y ≡ 0;DL y′ = 1 visi sprendiniai užrašomi funkciju šeima priklausancianuo vieno parametro C: ϕ(x) = x + C, C ∈ R.

Pastaba. Jeigu sprendinys yra apibrežtas intervale I := (a; b), tai tapati funkcija bus sprendinys ir intervale (α;β) ⊂ (a; b). Laikysime, kadJ = (A; B) yra toks maksimalus intervalas. Sprendinys, kurio negalimapratesti nei i kaire, nei i dešine, vadinamas pilnuoju sprendiniu, ointervalas J = (A; B) vadinamas sprendinio egzistavimo maksimaliuojuintervalu. Pagal nutylejima sprendini suprasime kaip pilnaji.




Diferencialine lygtis bus išspresta, jei rasime visus jos sprendinius.DL sprendiniu radima vadinsime DL integravimu, o DL sprendiniografikas vadinamas integraline kreive.

Kiekviena n-osios eiles DL nusako bendra geometrine integraliniukreiviu savybe.

Pirmosios eiles DL F(x, y, y′) = 0 apibrežia koordinaciu x, y irsprendinio grafiko liestines polinkio saryši. Pavyzdžiui, išreikštinesDL integralines kreives liestines kampo su x ašimi tangentaskiekviename taške lygus DL dešiniosios puses reikšmei tametaške.Antrosios eiles DL apibrežia koordinaciu, sprendinio grafikoliestines polinkio ir kreivio saryši.



Kreives aprašymas funkcijomis - pavyzdys

Vienetinis apskritimas plokštumoje R2xy su centru

koordinaciu pradžioje aprašomasD

10

y

x

1

f

(globaliai) neišreikštine glodžiaja funkcija Ψ(x, y) := x2 + y2− 1 = 0.Pusplokštumeje y > 0: y =

√1− x2, x ∈ (−1; 1),

pusplokštumeje y < 0: y = −√

1− x2, x ∈ (−1; 1).Taciau jokia išreikštine funkcija y = ψ(x) negalime aprašyti šioapskritimo tašku (−1; 0) ir (1; 0) aplinkoje.Šiu tašku aplinkoje apskritimas aprašomas funkcijomisx = −

√1− y2, y ∈ (−1; 1) ir x =

√1− y2, y ∈ (−1; 1), atitinkamai.

Mes pasirinkome atviruosius intervalus, kad nekiltu klausimu del funkciju tolydumo ir glodumo apibrežimu. Beje, funkcija

y =√

1− x2, pvz. taške x = 1, yra tik tolydi iš kaires ir šiame taške neegzistuoja net vienpuse išvestine.

parametrizuotuoju pavidalu (x, y) = (cos t, sin t), t ∈ (0; 2π) arbat ∈ (−π;π). Pastebesime, kad šio vienetinio apskritimo atveju, galima globalioji parametrizacija t ∈ [0; 2π], nes

abi funkcijos x = cos t ir x = sin t yra apibrežtos t ∈ R ir yra periodines su periodu 2π. Bendruoju atveju globaliosios

parametrizacijos gali ir nebuti.



Kreives aprašymas funkcijomis

Jeigu Ψ ∈ C1(G), cia sritis G ⊂ R2xy, (x0, y0) ∈ G, ir ∇Ψ(x0, y0) 6= (0, 0)

(gradientas ∇Ψ = (∂Ψ∂x ,∂Ψ∂y )), tuomet ∃ taško (x0, y0) aplinka, kurioje

funkcija Ψ apibrežia kreive, ir ja galima aprašyti trimis budais:1 neišreikštine glodžiaja funkcija Ψ : R2 → R, tiksliau lygybeΨ(x, y) = Ψ(x0, y0) = C;

2 išreikštine glodžiaja funkcija ψ : I → R (arba funkcija y = ψx(x),ψx ∈ C1(Ix), arba funkcija x = ψy(y), ψy ∈ C1(Iy));

3 glodžiaja funkcija (ψ,ϕ) : It → R2, t.y. parametrizuotuoju pavidalu(x, y) = (ψ(t), ϕ(t)),ψ,ϕ ∈ C1(It), |ψ′(t0)|+ |ϕ′(t0)| 6= 0, (x0, y0) = (ψ(t0), ϕ(t0)).

I

y

x

2R

RR

00

II

x

y

t

t

t

C

j

jx

y

y=( )x,y =( )y ,j( ) ( )t t ( )x

( )y

z

z=Y( )x,y

x=( )x ,y

00




Funkcija y = y(x), x ∈ I, yra lygties F(x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 sprendinysintervale I ⊂ R, jei

F(x, y(x), y′(x), . . . , y(n)(x)

)= 0, x ∈ I.

integraline kreive (lokaliai) irgi galime užrašyti tiek neišreikštiniu, tiekišreikštiniu, tie parametrizuotuoju pavidalu. Todel žemiau pateiktisprendiniu apibrežimai tera to pacio sprendinio skirtingi užrašymobudai.

Išreikštinis DL sprendinys

Funkcija y = ϕ(x), x ∈ I ⊂ Rx, vadinsime DL F(x, y, y′, . . . , y(n)

)= 0.

išreikštiniu sprendiniu, jeiϕ ∈ Cn(I);(x, ϕ(x), ϕ′(x), . . . , ϕ(n)(x)

)∈ DF, ∀x ∈ I;

F(x, ϕ(x), ϕ′(x), . . . , ϕ(n)(x)

)≡ 0.



Pavyzdys [Pirmos eiles DL sprendinys].

DL y′ = −y2 apibrežta visoje R2. Funkcija y = 1x yra šios DL sprendinys

intervaluose (−∞; 0) ir (0; +∞; ), nes kai x 6= 0, tai funkcija y = 1x ∈ C1

ir (1x )′ = − 1

x2 = −(1x )2. Taške x = 0 sprendinys neapibrežtas, nes jame

funkcijos y = 1/x reikšme neapibrežta. Todel funkcija y = 1/x apibrežiadu sprendinius: viena intervale R−, kita – R+. Šiu sprendiniuintegralines kreives yra hiperboles šakos.

4 pav. DL y′ = −y2 integra-linės kreivės.

5 pav. 1.9 pvz. DL sprendiniųgrafikai.

6 pav. DL y′ = −xyintegra-

linės kreivės, kai y > 0.

1.9 pavyzdys [Antrosios eilės DL sprendiniai]. DL (y′′)2/3 − 1− (y′)2 = 0 apibrėžta visojeR4. Funkcija ϕ(x;C1, C2) = C2 +

p1− (x− C1)2 yra šios DL sprendinys intervale

I = (C1 − 1;C1 + 1): funkcija ϕ(x;C1, C2) ∈ C2(I),

ϕ′(x;C1, C2) = − x− C1p1− (x− C1)2

, ϕ′′(x;C1, C2) = − 1p1− (x− C1)2

3,

ir teisinga tapatybė“− 1p

1− (x−C1)23

”2/3

− 1−“ x− C1p

1− (x− C1)2

”2

≡ 0.

Pastebėsime, kad funkcijos ϕ(x;C1, C2) = C2 −p

1− (x− C1)2 taip pat yra sprendi-niai. DL sprendinių grafikai pavaizduoti 5 pav.

1.5Apibrežimas [Parametrizuotasis DL sprendinys]. Funkciją{

x = ψ(t),

y = ϕ(t),t ∈ I ⊂ Rt (1.5)

vadinsime (1.1) DL parametrizuotuoju sprendiniu, jei

1) ψ, ϕ ∈ Cn(I), ψ′ �= 0;

2) (ψ(t), ϕ(t), dϕ(t)dψ(t) , . . . ,

ddψ(t) (. . . (

dϕ(t)dψ(t) ))) ∈ D, ∀t ∈ I;

3) F (ψ(t), ϕ(t), dϕ(t)dψ(t) , . . . ,

ddψ(t) (. . . (

dϕ(t)dψ(t) ))) ≡ 0.

1.10 pavyzdys [DL parametrizuotieji sprendiniai]. Srityje y > 0 DL y′ = −xyparametrizuo-

tieji sprendiniai yra (žr. 5 pav.)(x = C cos t,

y = C sin t,t ∈ (0; π), C > 0,

nes ψ(t;C) = C cos t ∈ C1(0; π), ψ′ = C cos′ t = −C sin t �= 0, ϕ(t;C) = C sin t ∈C1(0;π), ir

d(C sin t)

d(C cos t)=

C cos t

−C sin t≡ −C cos t

C sin t.

Pirmosios ir antrosios eilės išvestines pagal kintamąjį t, kurio prasmė dažnai yralaikas, žymėsime

x :=dx

dt, x :=

d2x

dt2.

Jeigu x = x(t), y = y(t), tuomet

dy

dx=

y

x,

d2y

dx2=

d

dx

( yx

)=

1

x

d

dt

( yx

)=

yx− yx

x3. (1.6)

1.11 pavyzdys [Antrosios eilės DL parametrizuotieji sprendiniai]. DL (y′′)2/3 −1− (y′)2 =0 parametrizuotieji sprendiniai yra(

x = C1 + cos t,

y = C2 + sin t,t ∈ (0;π),

nes ψ = C1 + cos t, ψ′ = − sin t �= 0, ϕ = C2 + sin t ∈ C1 intervale (0;π).Pasinaudodami (1.6) formulėmis, randame

y′ = − cos t

sin t, y′′ = − 1

sin3 t.

Istatę šias išraiškas į DL, gauname tapatybę“− 1

sin3 t

”2/3

≡ 1 +“cos t

sin t

”2

.

Nagrinėjami parametrizuotieji sprendiniai atitinka išreikštinius sprendinius y = C2 +p1− (x− C1)2. Norint gauti sprendinius y = C2 −

p1− (x− C1)2, pakanka paimti

t ∈ (π; 2π).

1.6Apibrežimas [Neišreikštinis DL sprendinys]. (1.1) DL sprendinį y = ϕ(x), užrašytąlygybe Φ(x, y) = 0, vadinsime DL neišreikštiniu sprendiniu.

1.12 pavyzdys [DL neišreikštiniai sprendiniai]. Lygybė Φ(x, y;C1, C2) ≡ (x−C1)2+(y−

C2)2 − 1 = 0 apibrėžia DL (y′′)2/3 − 1 − (y′)2 = 0 neišreikštinius sprendinius, kai

y �= C2. Iš tikro, ∂Φ∂y

= 2(y − C2) �= 0, ir galime užrašyti sprendinių išreikštinius

pavidalus y = C2 ±p

1− (x− C1)2, x ∈ (C1 − 1;C1 + 1).

Pirmosios eilės (1.3) normaliajai DL, funkcijaΦ(x, y) apibrėžia neišreikštinį spren-dinį Φ(x, y) = 0, jei teisinga tapatybė

dΦ

dx=

∂Φ(x, y)

∂x+

∂Φ(x, y)

∂yf(x, y) ≡ 0.

1.13 pavyzdys [DL neišreikštinis sprendinys]. Funkcija Φ(x, y) = x2 + y2 − C2, C > 0apibrėžia DL y′ = −x

yneišreikštinius sprendinius x2 + y2 − C2 = 0, pusplokštumėje

y > 0, nes dΦdx

= 2x+2y(−xy) ≡ 0. Integralinės kreivės (pusapskritimiai) pavaizduotos

6 pav.

1.14 pavyzdys [DL sprendiniai]. Lygties y′′ = y sprendiniai yra y = C1chx + C2sh x subet kokiais C1, C2 ∈ R. Šie sprendiniai sudaro kreivių šeimą, priklausančią nuo dviejųkonstantų C1, C2.



Parametrizuotasis DL sprendinysDvi funkcijas

x = ψ(t), y = ϕ(t), t ∈ I ⊂ Rt

vadinsime DL F(x, y, y′, . . . , y(n)

)= 0 parametrizuotuoju sprendiniu, jei

ψ,ϕ ∈ Cn(I), ψ 6= 0;

(ψ(t), ϕ(t), dϕ(t)dψ(t) , . . . ,

ddψ(t)(. . . (

dϕ(t)dψ(t)))) ∈ DF, ∀t ∈ I;

F(ψ(t), ϕ(t), dϕ(t)dψ(t) , . . . ,

ddψ(t)(. . . (

dϕ(t)dψ(t)))) ≡ 0.



Diferencialines lygties sprendinys

Dažniausiai DL lygtis turi be galo daug sprendiniu, ir jie sudarosprendiniu šeimas, priklausancias nuo keleto konstantu.

DL sprendiniai

Lygties y′′ = y sprendiniai yra y = C1 cosh x + C2 sinh x su C1,C2 ∈ R.Šie sprendiniai sudaro kreiviu šeima, priklausancia nuo dviejukonstantu C1, C2.

Konstantos C1, . . . ,Cn, ieinancios i DL sprendinio išraiška, vadinamoslaisvosiomis. Šios konstantos gali igyti bet kokias reikšmes, o kartais irbegalines reikšmes, t.y. ±∞.



Bendrasis DL sprendinysBendruoju n-osios eiles DL sprendiniu vadinsime DL sprendiniu šeimay = ϕ(x; C1, . . . ,Cn), priklausancia nuo laisvuju konstantu C1, . . . ,Cn, irpasižymincia savybe, kad sistema

y = ϕ(x; C1, . . . ,Cn),

y′ = ϕ′(x; C1, . . . ,Cn),

. . .

y(n−1) = ϕ(n−1)(x; C1, . . . ,Cn)

yra vienareikšmiškai išspendžiama laisvuju konstantu atžvilgiu:

C1 = ψ1(x, y, . . . , y(n−1)),

. . .

Cn = ψn(x, y, . . . , y(n−1)).



Bendrasis sprendinys gali buti užrašytas parametrizuotu pavidalu

x = ϕ(t; C1, . . . ,Cn), y = ψ(t; C1, . . . ,Cn),

arba neišreikštiniu pavidalu

Ψ(x, y; C1, . . . ,Cn) = 0.

Pastaruoju atveju, sprendiniu šeima dar vadinama bendruoju integralu.Iš bendrojo sprendinio (bendrojo integralo), imdami konkreciasC1, . . . ,Cn reikšmes, gauname atskiraji sprendini (atskiraji integrala).

Funkcija y = sin x + C yra DL y′ = cos x bendrasis sprendinys, oy = sin x, y = sin x− 2, y = sin x + 1 atskirieji sprendiniai.



𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑 𝑑𝑑

𝑑𝑑

𝑑𝑑

𝑑𝑑

dydx

= f (x, y).


𝑑𝑑 𝑑𝑑

𝑑𝑑

𝑑𝑑

𝑑𝑑

PDL sprendinyspriklauso nuo pradiniusalygu.Ta pati PDL, betskirtingos pradinessalygos.



Analizinis DL sprendimas

1 Surandama sprendiniu šeima.2 Pasirenkamas atitinkantis pradines salygas sprendinys.3 Užrašoma analizine sprendinio y(x) formule.


𝑑𝑑 𝑑𝑑

𝑑𝑑

𝑑𝑑

𝑑𝑑



Koši uždavinys (PDL + pradines salygos)

Pirmosios eiles PDL

dydt = f (t, y), 0 ≤ t ≤ T

y(0) = y0.

n-osios eiles PDL

y(n) = f(t, y, y′, . . . , y(n−1)

),

y(t0) = a1, y′(t0) = a2, · · · , y(n−1)(t0) = an.

pirmosios eiles PDL sistemai

y1 = f1(t, y1, y2, · · · , yn),y2 = f2(t, y1, y2, · · · , yn),

......

yn = fn(t, y1, y2, · · · , yn),

y1(t0) = a1,y2(t0) = a2,...yn(t0) = an.



PDL sistemos - vektorinis pavidalas

Apibendrinsime DL lygties savoka DL sistemoms.Vektorine DL

vektorine m-tosios eiles DL (m-osios eiles DL sistema)

F(x, y, y′, . . . , y(m)) = 0,

cia y = (y1, . . . , yn), F = (F1, . . . ,Fn) ∈ C1(DF), DF ⊂ Rn(m+1)+1 yrafunkcijos F (kartu ir vektorines DL apibrežimo sritis).

F1(x, y1, . . . , yn, y′1, . . . , y′n) = 0,

. . .

Fn(x, y1, . . . , yn, y′1, . . . , y′n) = 0.

D(F1,...,Fn)D(y′1,...,y′n)

6= 0

⇒y′1 = f1(x, y1, . . . , yn),

. . .

y′n = fn(x, y1, . . . , yn).

Tokia DLS vadiname n-osios eiles normaliaja DLS.



n-osios eiles normaliojiDLS

y′1 = f1(x, y1, . . . , yn),

. . .

y′n = fn(x, y1, . . . , yn).

jos vektorinis pavidalas

y′ = f(x, y), f ∈ C(Df ), Df ⊂ Rn+1.

Šiai DLS (vektorinei DL) apibendrinamos visos savokos, kuriasapibrežeme skaliarinei DL y′ = f (x, y).

Koši uždavinys

y′ = f(x, y), y(x0) = y0.

Bendrasis sprendinys

y = ϕ(x,C),

Bendrasis integralasΨ(x, y,C) = 0 arba Φ(x, y) = C,

cia C = (C1, . . . ,Cn), o visos funkcijos yra glodžiosios.



Aukštesnes eiles PDL

Visada galima suvesti aukštesnes eiles PDL i pirmosios eiles PDLsistema.

Pavyzdys

ad3xdt3 + b

d2xdt2 + c

dxdt

= f (t);

Tegul

y =dxdt, z =

d2xdt2 ⇒

dxdt = ydydt = zdzdt = 1

a(f (t)− bz− cy).

Svarbu išmokti spresti pirmosios eiles PDL (sistemas).



Aukštesnes eiles PDL suvedimas i PDL sistema

Kaip suvesti aukštesnes eiles PDL

y(n) = f(t, y, y′, . . . , y(n−1)

),

y(t0) = a1, y′(t0) = a2, · · · , y(n−1)(t0) = an.

i pirmos eiles PDL sistema?Tegul

y1 = yy2 = y′...yn = y(n−1)

⇒

y′1 = y2y′2 = y3

...y′n = f (t, y1, y2, . . . , yn)

y1(t0) = a1y2(t0) = a2

...yn(t0) = an

PDL sistema pradines salygos



Aukštesnes eiles PDL pavyzdys

Išspreskime antrosios eiles DL: x′′

+ 2x′+ 5x = sin t

x(0) = x′(0) = 0

Suvedame antrosios eiles DL i pirmosios eiles DL sistema.

Ivedame naujus kintamuosius:x1 = x, x2 = x

′.

Tada x′1 = x

′= x2.

Iš duotosios DL: x′2 = x

′′= sin t − 5x− 2x

′= sin t − 5x1 − 2x2.

Gaunama DL sistema:

x′1 = x2

x′2 = −5x1 − 2x2 + sin t

x1(0) = 0, x2(0) = 0.

DLS sprendimas - pavyzdys Gaunama DL sistema:

txxx

xx

sin25 212

21

0)0(

0)0(

2

1

x

x

DL sprendinys (integralinė kreivė):

DL sprendinys (integralinekreive).


Diferencialines lygtys ir matematiniai modeliai Modeliavimas

http://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2012-13-3-154.pdfHenri Poincare: Mathematics is the art of giving the same name todifferent things.

Matematinis modeliavimasTaikomosios matematikos dalis, skirta ivairiu sriciu (fizikiniu, biologiniu,cheminiu, ekonominiu ir t.t.) uždaviniu sprendimui naudojant virtualiojoeksperimento metodika.

Uždavinio sprendimo irankiai:analiziniai sprendiniai,artutiniai metodai,skaitiniai metodai,statistiniai metodai,grafikai, ir t. t.

Taikoma moksliniu tyrimu programine iranga.


Diferencialines lygtys ir matematiniai modeliai Matematinio modeliavimo etapai

Matematiniai modeliai

Suformuluoti realuji uždavini matematiniais terminais(matematinio modelio konstravimas)Matematinio uždavinio analize arba sprendimas.Matematiniu rezultatu interpretavimas pradinio realaus uždaviniokontekste.

Matematinismodeliavimas:

Matematinis modeliavimasTaikomųjų arba fizikinių uždavinių sprendimo eiga

O.Štikonienė (MIF VU) Skaitiniai metodai2

Interpretavimas

Uždavinioanalizė

Formulavimas

Reali situacija

Sprendimo rezultatai

Matematinis modelis



Matematinis modelis

Desniai užrašomi kaip lygciu sistema (algebriniu, diferencialiniu,integraliniu, gali buti ir netiesine)

Algebrine lygtis ma = F

Paprastoji diferencialine lygtis

mdvdt

= F, md2xdt2 = F

Diferencialine lygtis dalinemis išvestinemis(matematines fizikos lygtis)∂u∂t

=∂2u∂x2 +

∂2u∂y2



Taikomieji arba fizikiniai uždaviniai

Pavyzdys.

Realus uždavinys – gyventoju skaiciaus nustatymas ateityje.Matematinis modelis – kintamieji (P, t) ir diferencialinis uždavinys

dPdt

= kP, P(0) = P0.

Uždavinio analize – lygties sprendimas (nustatyti P kaip funkcija nuo t).Gautu matematiniu rezultatu taikymas ir interpretavimas.


Matematiniu modeliu pavyzdžiai

Normalaus dauginimosi lygtis

Dauguma populiaciju (bakterijos, žuvys ir t.t.) dauginasi pagal desni:populiacijos augimo greitis tiesiogiai proporcingas individu skaiciui. Šisdesnis teisingas, kai populiacija turi pakankamai maisto.x(t) – populiacijos dydis.

dxdt

= kx, k > 0,

cia k yra proporcingumo koeficientas.Ta pati diferencialine lygtis - skirtingi taikymai.

Demografiniai procesai,Radioaktyvusis skilimas,Chemines reakcijos,Kainu augimo dinamika, kai infliacija pastovi,Gamybos augimas (be konkurencijos).



Radioaktyvusis skilimas

Nustatyta, kad radioaktyviu izotopu skilimo greitis proporcingas(koeficientas k < 0) radioaktyvios medžiagos kiekiui.x(t) – radioaktyviuju atomu skaicius medžiagos meginyje laikomomentu t.

dxdt

= kx, k < 0.

Laikas, per kuri suskyla puse radioaktyvaus izotopo branduoliu,vadinamas pusamžiu.

radžio 226Ra pusamžis yra 1600 metai,radioaktyvaus anglies izotopo 14C – 5730 metai.

W. Libby už radioaktyviosios anglies datavimo metodo ideja gavoNobelio premija (chemija, 1960 metai).



Uždavinys - Datavimas radionuklidais

Paimta iš Kristaus laikams priskiriamos relikvijos anglis turejo 4, 6 · 1010

izotopo 14C atomu grame.Išgauta iš šiu dienu pavyzdžio anglis turi 5, 0 · 1010 izotopo 14C atomu/g.Apskaiciuokite apytiksli relikvijos amžiu. (Jusu nuomone, ar ji yraautentiška?).

N(t) = 4, 6 · 1010;N0 = 5, 0 · 1010;τ ≈ 5700.

dNdt

= −kN, k > 0,

http://www.shroud.com/Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Diferencialines lygtys 1 paskaita 2015-09-10 44 / 51


Niutono empirinis aušimo desnis

Kuno aušimo greitis tiesiogiai proporcingas kuno ir aplinkostemperaturu skirtumui T − Ta:

dTdt

= −k (T − Ta) ,

T(t) – kuno temperatura laiko momentu t,Ta – aplinkos temperatura,

k > 0 yra proporcingumo konstanta.Sprendinys: jei T(0) = T0, tai

T(t) = (T0 − Ta)e−kt + Ta.

Koeficientas k priklauso nuo oro cirkuliavimo kambaryje, kunošiluminio laidumo ir panašiai.



Uždavinys

Kambaryje su pastovia temperatura Ta = 21oC prieš vidurdieni rastaslavonas (žudiko auka). Kuno temperatura vidurdieni buvo 27o, o povalandos – 24o. Tarkime, kad mirties momentu temperatura buvonormali (36, 6o) ir kunas veso pagal Niutono desni. Kada ivykožmogžudyste?

dTdt

= −k (T − Ta) .

T(t) – kuno temperatura laiko momentu t,T(0) = 36, 6,Ta = 21 – aplinkos temperatura.

Sprendinys: jei T(0) = T0, tai

T(t) = (T0 − Ta)e−kt + Ta.



MišiniaiDruskos kieki dvieju skirtingos koncentracijos druskos tirpalu mišinyje aprašo pirmoseiles diferencialines lygtys.A(t) - druskos kiekis rezervuare laiko momentu t

dAdt

=

(input rate

of salt

)−(

output rateof salt

)= Rin − Rout.

concentrationof salt input rate input rate

in inflow of brine of salt↓ ↓ ↓

Rin = 2 · 3 = 6.

concentrationof salt output rate output rate

in outflow of brine of salt↓ ↓ ↓

Rout =A(t)300 · 3 = A(t)

100 .

Pavyzdys.brine solution is pumped into the large tank at a rate of 3 gallons per minute; theconcentration of the salt in this inflow is 2 pounds per gallon. When the solution inthe tank is well stirred, it is pumped out at the same rate as the entering solution. SeeFigure 1.3.1. If A(t) denotes the amount of salt (measured in pounds) in the tank attime t, then the rate at which A(t) changes is a net rate:

. (7)

The input rate Rin at which salt enters the tank is the product of the inflow concentra-tion of salt and the inflow rate of fluid. Note that Rin is measured in pounds perminute:

Now, since the solution is being pumped out of the tank at the same rate that it ispumped in, the number of gallons of brine in the tank at time t is a constant 300 gal-lons. Hence the concentration of the salt in the tank as well as in the outflow isc(t) � A(t)�300 lb/gal, so the output rate Rout of salt is

The net rate (7) then becomes

(8)

If rin and rout denote general input and output rates of the brine solutions,* thenthere are three possibilities: rin � rout, rin � rout, and rin � rout. In the analysis lead-ing to (8) we have assumed that rin � rout. In the latter two cases the number of gal-lons of brine in the tank is either increasing (rin � rout) or decreasing (rin � rout) atthe net rate rin � rout. See Problems 10–12 in Exercises 1.3.

DRAINING A TANK In hydrodynamics Torricelli’s law states that the speed v ofefflux of water though a sharp-edged hole at the bottom of a tank filled to a depth his the same as the speed that a body (in this case a drop of water) would acquire infalling freely from a height h—that is, , where g is the acceleration due togravity. This last expression comes from equating the kinetic energy with thepotential energy mgh and solving for v. Suppose a tank filled with water is allowed todrain through a hole under the influence of gravity. We would like to find the depth hof water remaining in the tank at time t. Consider the tank shown in Figure 1.3.2. Ifthe area of the hole is Ah (in ft2) and the speed of the water leaving the tank is

(in ft/s), then the volume of water leaving the tank per second is (in ft3/s). Thus if V(t) denotes the volume of water in the tank at time t, then

, (9)dV

dt� �Ah12gh

Ah12ghv � 12gh

12mv2

v � 12gh

dA

dt� 6 �

A

100 or

dA

dt�

1

100A � 6.

Rout � ( lb/gal) (3 gal/min) � lb/min.A(t)––––300

A(t)––––100

concentrationof salt

in outflowoutput rate

of brineoutput rate

of salt

concentrationof salt

in inflowinput rateof brine

input rateof salt

Rin � (2 lb/gal) (3 gal/min) � (6 lb/min).

dA

dt� �input rate

of salt � � �output rate

of salt � � Rin � Rout

1.3 DIFFERENTIAL EQUATIONS AS MATHEMATICAL MODELS ● 23

input rate of brine3 gal/min

output rate of brine3 gal/min

constant300 gal

FIGURE 1.3.1 Mixing tank

h

Aw

Ah

FIGURE 1.3.2 Draining tank

*Don’t confuse these symbols with Rin and Rout, which are input and output rates of salt.

dAdt

= 6− A100

, dAdt

+ 0, 01A = 6.



Modelio taikymai

Tvenkiniu, ežeru užterštumas,vaistu koncentracija žmogaus organuose,balanso principu pagristi finansiniai uždaviniai.

Sunkiai nustatomas arba nepastovus srauto greitis.Koncentracija gali buti nepastovi.Itekejimo ir ištekejimo srautai gali skirtis, tada reikia atsižvelgti ikintama skyscio kieki.Matematinis modelio tinkamumas. Neitraukti

Vandens garavimas arba prasisunkimas i grunta, krituliai.Chemines medžiagos sugerimas tvenkinyje gyvenanciomisžuvimis ar kitais organizmais.Ar chemines medžiagos koncentracija vienoda visame tvenkinyje?

Ar galima pasitiketi gautais rezultatais priklauso nuo šiusupaprastinimo prielaidu pagristumo.



Banko paskolaBankas gali suteikti paskola su metine palukanu norma 8%. Paskolosgavejas nori pasiskolinti 20 tukstanciu litu ir paskola gražinti perketverius metus. Kokia menesio imoka turetu buti?

S(t) – paskolos likutis (litais) bet kuriuo laiku t (metais).r – metine palukanu norma,k – menesio imoka.

Remiantis balanso principu dSdt = rate in− rate out, galima užrašyti

dSdt

= rS− 12k,

Pradine salyga (paskolos suma) S(0) = S0.Pagal uždavinio salygas r = 0, 08 ir S0 = 20000.Koši uždavinys

dSdt

= 0, 08S− 12k, S(0) = 20000.



DL sprendinysS(t) = 150k + Ce0,08t.

Iš pradiniu salygu gauname, kad C = 20000− 150k, taigi

S(t) = 20000e0,08t − 150k(e0,08t − 1). (2)

Noredami rasti toki menesio imokos dydi, kad paskola butu gražintaper ketverius metus, istatome i (2) t = 4 (metai), S = 0 (Lt) ir gauname

k =20000

150e0,32

e0,32 − 1= 486, 88(Lt).

Taigi, iš viso mokedami 48 kartus (4 · 12) po 486,88 Lt,bendra išmoketa suma – 23 370,24 Lt,bendra palukanu suma – 3370,24 Lt.



Finansiniai taikymai

Koši uždavinys

dSdt

= rS− 12k, S(0) = S0.

r – yra apskaiciuota gražos norma (palukanos, dividendai, kapitaloprieaugis),k – yra menesio indeliu arba imokos norma.

Jo sprendinys

S = S0ert − 12kr(ert − 1).

Rezultatas gali buti naudojamas ivairiuose finansinese situacijoseivairiu rušiu investicines programos,paskolos,hipotekos.


turinys diferencialines lygtys ir matematiniai modeliai ...olgas/dl/dl_1pmatmodel4.pdf · equation...

Documents