tujuan pembelajaran -...

4/20/2011

1

April 20, 2011 1

Tujuan Pembelajaran

• Memahami dan menggunakan analisis kombinatorial untuk kejadian kompleks: permutasi dan kombinasi

• Mendefinisikan terminologi-terminologi penting dalam probabilitas dan menjelaskan bagaimana probabilitas kejadian sederhana ditentukan

• Memahami dan menjelaskan konsep-konsep mengenai kejadian-kejadian bersyarat, bebas dan mutually exclusive

• Menggunakan dengan benar dan tepat aturan perkalian dan penjumlahan dalam melakukan perhitungan probabilitas

April 20, 2011 2

4/20/2011

2

AGENDA

• Pendahuluan

• Permutasi dan Kombinasi

• Konsep Probabilitas

April 20, 2011 3

1. Pendahuluan

• Probabilitas

– intepretasi keluaran peluang yang terjadi dalam suatu percobaan

– Tingkat kepastian dari munculnya hasil percobaan statistik

– Dilambangkan dengan P

• Konsep probabilitas berasal dari permainan yang dilakukan pengamatan untuk diperoleh fakta (empiris) kemudian diformulakan kedalam konsep dan dilakukan pengujian

• Matematika permutasi dan kombinasi banyak digunakan dalam probabilitas

April 20, 2011 4

4/20/2011

3

2. Permutasi dan Kombinasi

• Faktorial

n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1

0! = 1 dan 1! = 1

• Permutasi

susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan

dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota

himpunan dan memberi arti pada urutan anggota

dari susunan

!

!

rn

nPrn

April 20, 2011 5

2. Permutasi dan Kombinasi (Con’t)

• Contoh

Himpunan {a,b,c}

diambil 3 anggota, diperoleh susunan:

abc; acb; bac; bca; cab; cba

diambil 2 anggota, diperoleh susunan:

ab; ba; bc; cb; ac; ca

6! 33

! 323 P

6! 23

! 323 P

April 20, 2011 6

4/20/2011

4


• Contoh

Berapa banyak carakah cabang dari PII

menjadwalkan 3 pembicara untuk 3 pertemuan

yang berbeda bila mereka hadir pada masing-

masing dari 5 janji yang mungkin?

Penyelesaian:

Jumlah total jadwal yang mungkin adalah

5 3

5!5 4 3 60

2!P

April 20, 2011 7


• Permutasi dari sebagian anggota yang sama.

Banyaknya permutasi yang berlainan dari n

sampel bila n1 berjenis I, n2 berjenis II, …, nk

berjenis k diberikan oleh

!!!

!

2121 kk nnn

n

nnn

n

April 20, 2011 8

4/20/2011

5


Contoh

Dalam berapa carakah 7 ilmuwan dapat disatukan

ke dalam kamar hotel dengan satu kamar tiga

tempat tidur dan dengan dua kamar dua tempat

tidur?

Penyelesaian:

Jumlah total partisi yang mungkin adalah

7 7!210

3,2,2 3! 2! 2!

April 20, 2011 9


• Kombinasi

susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan

dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota

himpunan dan tanpa memberi arti pada urutan

anggota dari susunan

Contoh: himpunan {a,b,c} diambil 2 anggota,

diperoleh susunan: ab; bc; ca

{Permutasi ab = ba; bc = cb; ca = ac}

! !

!

rnr

n

r

nCrn

April 20, 2011 10

4/20/2011

6

Contoh

Ada berapa banyak cara untuk 3 pria, 5 wanita, 4 pemuda dan 4 gadis dapat dipilih dari 7 pria, 9 wanita, 5 pemuda, dan 5 gadis jika:

a. Semua orang bebas pada masing-masing kelompok

b. Seorang pria dan wanita tertentu harus terpilih

c. Seorang pria, 1 wanita, 1 pemuda, dan 1 orang gadis ttidak boleh dipilih.

Penyelesaian

a. Semua orang bebas pada masing-masing kelompok

Banyak cara = 7C3 * 9C5 * 5C4 * 5C4 = 35*126*5*5 = 110250 cara.

b. Seorang pria dan wanita tertentu harus terpilih

Banyak cara = 5C4 * 5C4 = 25 cara.

c. Seorang pria, 1 wanita, 1 pemuda, dan 1 orang gadis tidak boleh dipilih

Banyak cara = 6C3 * 8C5 * 4C4 *4C4= 20*56*1*1 = 1120 cara.


April 20, 2011 11

3. Konsep Probabilitas

• Derajat/tingkat kepastian dari munculnya hasil percobaan statistik disebut probabilitas/peluang, P

• Bila kejadian E terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul

• Jika kejadian E terjadi sebanyak f kali dari seluruh pengamatan sebanyak n, dimana n mendekati tak berhingga, maka probabilitas kejadian E

n

mEP

n

fEP

nlim

10 AP

April 20, 2011 12

4/20/2011

7


• Definisi Klasik– Jika sebuah peristiwa A dapat terjadi dengan fA cara

dari sejumlah total N cara yang mutually exclusive dan memiliki kesempatan sama untuk terjadi, maka probabilitas terjadinya peristiwa A dinotasikan dengan P(A) dan didefinisikan sebagai:

– Sedangkan probabilitas tidak terjadinya suatu peristiwa A atau komplemen A (sering disebut kegagalan A) dinyatakan sebagai:

( ) AfP AN

( ) ( ) (~ ) 1 1 ( )A AN f fP A P A P A P A

N N

April 20, 2011 13


Contoh

Definisi klasik cocok digunakan misalnya pada

permainan tembakan/undian (games of chance).

Misalnya dalam satu set kartu bridge yang terdiri

dari 52 kartu terdapat 4 buah kartu As, maka

probabilitas pengambilan satu kartu mendapatkan

kartu As adalah: P(As) = 4/52 = 1/13 = 0,077

April 20, 2011 14

4/20/2011

8


• Definisi Frekuensi Relatif

– Seandainya pada sebuah eksperimen yang dilakukan

sebanyak N kali dan kejadian A terjadi sebanyak fA

kali, maka jika eksperimen tersebut dilakukan tak

terhingga kali banyaknya (N mendekati tak hingga),

nilai limit dari frekuensi relatif fA/N didefinisikan

sebagai probabilitas kejadian A atau P(A).

( ) lim A

N

fP A

N

April 20, 2011 15


Contoh

Probabilitas mendapatkan sebuah motor baru merek “X” yang cacat saat seorang membelinya mungkin sulit diketahui dengan menggunakan definisi klasik probabilitas. Secara teoritis probabilitas tersebut dapat ditentukan jika dapat diketahui jumlah seluruh (populasi) produk motor baru “X” dan jumlahnya yang cacat.

Penyelesaian:

Jika memakai definisi frekuensi relatif, maka perlu dilakukan pemeriksaan terhadap sampel motor “X” sebanyak mungkin (menuju tak hingga). Namun, karena sangat sulit mengkaji jumlah yang tak terhingga banyaknya, maka jumlah sampel yang memadai dan dapat dipercaya namun cukup ekonomis dapat digunakan untuk menentukan frekuensi relatif tersebut

April 20, 2011 16

4/20/2011

9


• Definisi Subyektif (Intuitif)

– Dalam hal ini, probabilitas P(A) dari terjadinya

peristiwa A adalah sebuah ukuran dari “derajat

keyakinan” yang dimiliki seseorang terhadap

terjadinya peristiwa A. Definisi ini mungkin

merupakan definisi yang paling luas digunakan dan

diperlukan jika sulit diketahui besarnya ruang sampel

maupun jumlah event yang dikaji maupun jika sulit

dilakukan pengambilan sampel (sampling) pada

populasinya.

April 20, 2011 17


Contoh:

Suatu strategi perang memilih salah satu di antara dua alternatif yang masing-masing memberikan akibat berbeda, yaitu menjatuhkan bom atau tidak menjatuhkan bom ke daerah musuh. Karena masing-masing alternatif itu tidak bisa diuji coba secara eksperimen untuk mengetahui bagaimana musuh akan memberikan reaksi, maka kita harus percaya pada “penilaian dari ahli (expert judgement)” untuk menentukan probabilitas dari akibat yang akan muncul. Situasi yang sama terjadi pula misalnya dalam meramalkan siapa yang akan menjuarai suatu turnamen sepakbola. Dalam hal ini, interpretasi klasik dan frekuensi dari probabilitas tidak akan banyak gunanya, dan suatu penilaian yang subyektif dari pengamat sepak bola yang handal lebih diperlukan.

April 20, 2011 18

4/20/2011

10

3. Konsep Probabilitas• Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi

pada suatu percobaan statistik disebut ruang sampel,S; anggota dari S disebut sampel

– Pada pelemparan mata uang S={m,b}

– Pada pelemparan dadu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

– Untuk ruang sampel yang besar dinyatakan dengan pernyataan atau aturan

• Himpunan dari hasil yang muncul pada suatu percobaan statistik disebut kejadian (event), A; Anggota dari A disebut titik sampel

April 20, 2011 19

3. Konsep Probabilitas• Diagram Venn

Konsep Probabilitas Teori Himpunan

- Ruang sampel, S - Himpunan semesta S

- Kejadian, A - Himpunan bagian A

- Titik sampel - Anggota himpunan

A

S

A

April 20, 2011 20

4/20/2011

11


• Digram Pohon: cara untuk mendapatkan

ruang sampel

Contoh:

Andaikan tiga barang dipilih secara acak pada

proses pembuatan. Setiap barang diamati dan

diklasifikasi apakah cacat, D, atau tidak cacat, N.

Buatlah diagram pohon ruang sampelnya

April 20, 2011 21


S = {DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}

April 20, 2011 22

4/20/2011

12

3. Konsep Probabilitas• Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang

sampel S yang terjadi dalam n cara, maka

probabilitas kejadian A adalah

n

m

Sn

AnAP

)(

)(

April 20, 2011 23

3. Konsep ProbabilitasSifat probabilitas kejadian A

April 20, 2011 24

4/20/2011

13


• = daerah 1 dan 4



• = daerah 1, 2, 3, 4, 5, dan 6

• = daerah 1, 2, 3, 4, 6, dan 7

• = daerah 1, 2, 3, 4, 5, dan 7

• = daerah 1


• = daerah 4, 5, dan 6

A B

C S

51

4

2 3

7

6

BA

CB

CA

BA

CB

CA

CBA

AB

CBA )(

April 20, 2011 25


• Aksioma teori himpunan

April 20, 2011 26

4/20/2011

14


• Probabilitas dan BA

A B A

BA A

A

BA

BAPBPAPBAP )(

BA

BA

Aturan penjumlahan

CBAP

CBPCAPBAPCPBPAPCBAP

April 20, 2011 27


• De-Morgan Law

BABABABA ;

A B

BA

A B

BA

A B

BA

A B

BA

April 20, 2011 28

4/20/2011

15


Contoh:

Kemungkinan bahwa Paula lulus ujian matematika adalah 2/3, dan kemungkinan ia lulus Bahasa Inggris adalah 4/9. Bila probabilitas lulus keduanya adalah ¼, berapakah probabilitas Paula dapat paling tidak lulus salah satu dari kedua pelajaran tersebut?

Penyelesaian:

Bila M adalah kejadian “lulus matematika,” dan E adalah kejadian “lulus Bahasa Inggris,” maka dengan aturan penjumlahan kita dapatkan

36

31

4

1

9

4

3

2EMPEPMPEMP

April 20, 2011 29


Contoh: Sebuah sistem sembarang seperti yang ditunjukkan Gambar 3.6 tersusun atas tiga tingkat.

Sistem ini akan bekerja dengan baik jika ketiga tingkatnya berjalan dengan baik. Misalkan seluruh

unit dalam setiap tingkat saling bebas dan masing-masing probabilitas berjalan baiknya adalah :

P(A) = 0,7 P(B) = 0,7 P(C) = 0,9 P(D) = 0,8

P(E) = 0,6 P(F) = 0,6 P(G) = 0,6

April 20, 2011 30

4/20/2011

16


Penyelesaian:

1

2

3

( ) ( atau ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,7 0,7 (0,7)(0,7) 0,91

( ) ( dan ) ( ) ( ) ( ) (0,9)(0,8) 0,72

( ) ( atau atau ) ( )

P T P A B P A BP A P B P A B P A P B P A P B

P T P C D P C D P C P D

P T P E F G P E F G ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,6 0,6 0,6 (0,6)(0,6) (0,6)(0,6) (0,6)(0,6) (0,6)(0,6)(0,6) 0,936

P E P F P G P E F P E G P F G P E F GP E P F P G P E P F P E P G P F P G P E P F P G

1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( dan dan ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0,91)(0,72)(0,936) 0,613P sistem berjalan P T T T P T T T P T P T P T

Jadi sistem tersebut secara keseluruhan memiliki 61,3 % kemungkinan dapat berjalan dengan baik.

April 20, 2011 31


• Dua Kejadian Saling Lepas

Dua kejadian saling lepas terjadi bila A dan B

dua kejadian sembarang pada S dan berlaku

maka A dan B dua kejadian saling lepas

(mutually exclusive, ME)

0BA

BA

BA

)()( BPAPBAP

April 20, 2011 32

4/20/2011

17


• Dua Kejadian Saling Bebas

Dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak

mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya

kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A

)()( BPAPBAP

April 20, 2011 33


Contoh:

• Diketahui bahwa 30% mesin cuci buatan pabrik X memerlukan perbaikan (service) selagi masih dalam masa garansi, sementara hanya 10% mesin pengering buatan pabrik yang sama yang membutuhkan perbaikan.

• Jika sesorang membeli satu set yang terdiri dari mesin cuci dan mesin pengering probabilitas kedua mesin tersebut memerlukan perbaikan selama masih dalam masa garansi dapat ditentukan dengan hukum perkalian. Jika C adalah peristiwa mesin cuci memerlukan perbaikan dan K adalah peristiwa mesin pengering memerlukan perbaikan.

• Maka P(C) = 0,3 dan P(K) = 0,1. Dengan asumsi bahwa mesin cuci dan mesin pengering berfungsi secara terpisah (saling bebas) satu sama lainnya, maka probabilitas keduanya memerlukan perbaikan selama masa garansi adalah:

( dan ) ( ) ( ) ( ) (0,3)(0,1) 0,03P C K P C K P C P K

April 20, 2011 34

4/20/2011

18

3. Konsep Probabilitas• Probabilitas Bersyarat

probabilitas terjadinya kejadian A bila kejadian

B telah terjadi

• Untuk dua kejadian saling bebas

)()(atau )(

)(BPBAPBAP

BP

BAPBAP

)(dan )( BPABPAPBAP

April 20, 2011 35


321 ABABABB

B

SA1

A2 A3

)()()()()()()( 332211 APABPAPABPAPABPBP

April 20, 2011 36

4/20/2011

19


)(

)()(

)()(

)(

)()(

)()(

)(

)()(

)()(

3333

2222

1111

ii

ii

ii

APABP

APABP

BP

ABPABP

APABP

APABP

BP

ABPABP

APABP

APABP

BP

ABPABP

)(

)()(

)()(

ii

iiii

APABP

APABP

BP

ABPABP Aturan Bayes

April 20, 2011 37

3. Konsep ProbabilitasPohon Probabilitas

April 20, 2011 38

4/20/2011

20


Contoh :

Vendor I, II, III, dan IV menyediakan seluruh keperluan bantalan bush yang dibeli oleh perusahaan Sumber Teknik sebanyak masing-masing 25 %, 35 %, 10 % dan 30 %.

Dari pengalaman selama ini diketahui bahwa vendor I, II, III, dan IV masing-masing mengirimkan 20 %, 5 %, 30 % dan 10 % bantalan bush yang cacat.

Maka probabilitas bahwa sebuah bantalan yang dipilih secara acak merupakan bantalan yang cacat dapat dihitung sebagai berikut. Misalkan A adalah peristiwa pemilihan sebuah bantalan yang cacat, dan B1, B2, B3, dan B4, adalah peristiwa pemilihan bantalan dari vendor I, II, III, dan IV.

April 20, 2011 39


• Kemudian jika terpilih sebuah bantalan cacat, maka

probabilitas bantalan cacat itu berasal dari vendor III

adalah:

4 4

1 1

1 1 2 2 3 3 4 4

( ) ( ) ( | ) ( )

( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) (0,2)(0,25) (0,05)(0,35) (0,3)(0,1) (0,1)(0,3) 0,1275

i i ii i

P A P A B P A B P B

P A B P B P A B P B P A B P B P A B P B

33

( ) 0,03( | ) 0,2353

( ) 0,1275

P B AP B A

P A

April 20, 2011 40

4/20/2011

21


Contoh:

Sebuah tas berisi 4 bola putih dan 3 bola hitam, dan tas yang kedua berisi 3 bola putih dan 5 bola hitam. Satu bola diambil dari tas pertama dan diletakkan tanpa terlihat di dalam tas yang kedua. Berapa probabilitas bahwa sebuah bola yang sekarang ditarik dari tas kedua adalah hitam?

Penyelesaian:

Ambil B1, B2 dan W1 mewakili secara berurut penarikan sebuah bola hitam dari tas 1, sebuah bola hitam dari tas 2, dan sebuah bola putih dari tas 1. Kita tertarik kepada gabungan dari kejadian saling terpisah dan

1 2B B1 2W B

April 20, 2011 41


1 2 1 2 1 2 1 2P B B atau W B P B B P W B

1 2 1 1 2 1P B P B B P W P B W

3 6 4 5 38

7 9 7 9 63

April 20, 2011 42

4/20/2011

22

Tugas No 1 (pagi & Sore)

• Sembilan orang akan pergi piknik bersama

menggunakan 3 mobil. Masing-masing

mobil dapat memuat 2,4 dan 5 orang. Ada

berapa banyak cara menggunakan mobil

tsb, jika ketiga mobil tsb harus dipakai?

April 20, 2011 43

Tugas No 2. Pagi

Di sebuah universitas yg memiliki 500 mahasiswa di dapati

210 perokok, 258 suka minum kopi, 216 suka ngemil, 122

merokok dan minum kopi, 83 ngemil dan minum kopi, 97

merokok dan ngemil, 52 orang suka ketiganya. Jika dipilih

secara acak 1 mahasiswa dari kelompok ini, tentukan

probabilitasnya yg terpilih:

a) perokok tapi bukan peminum kopi.

b) ngemil dan peminum kopi tapi bukan perokok

c) bukan perokok atau tukang ngemil

April 20, 2011 44

4/20/2011

23

Tugas No 2. Malam

Sebuah pabrik mobil berdasarkan pengalamannya mendapati

kalau dicek secara random mobil produksinya memiliki

kemungkinan 25% akan memiliki catat sistem rem-nya ,

18% cacat di sistem transmisi, 17% di sistem bahan bakar,

dan 40% di bagian lain mobil.

a) Jika dipilih secara acak 1 mobil untuk dicek, berapa

probabilitasnya bahwa cacat mobil tsb adalah di sistem

remnya atau di sistem bahan bakarnya, jika kemungkinan

mendapatkan mobil yg cacat kedua hal ini 15%?

b) berapa probabilitasnya tak ada kerusakan di sistem rem

atau sistem bahan bakarnya?

April 20, 2011 45

Panduan menjawab :

• Upload Tugas di : kuliah.imm.web.id

• Gunakan Template untuk menjawab.

April 20, 2011 46

4/20/2011

24

Referensi

• www.ui.ac.id

• www.fti.mercubuana-yogya.ac.id

47April 20, 2011

http://www.ui.ac.id/

http://www.fti.mercubuana-yogya.ac.id/



tujuan pembelajaran -...

Documents