tujuan pembelajaran · 2014-12-21 · program linear ... bab ˇˆˆˆ ... ˜5˜i ˚ ˇ ˆ ˇ ˜ ˆ...
TRANSCRIPT
������ ��� ������������� 1
PROGRAM LINEAR
�������������� ����� �� ���� ������������� ������������
�� ������������� �������� ����������� ����� � ���� �� ������
�� � ����������������������� ��������� �� �� ����� �
� ��������������������������� �� �������� � �� �� ����� � �������!�� ���
����������
����������������������������������
"������������������ �� ���� ��� �� ������������ ���������� ������ �����
�� ������� ��������� ����������������������� �� ������������#�������
����������� ���� �$%������ �� �������$�� ������� ���� ����� �������� �� ������
������������������ ������������������� �� �� ��������� ������ ��� ����#
�� ��� ������� �������&� ������������ ��������������������� ���� �������� �� �
����� �������������������������������
�
BAB
�������������������������
Tujuan Pembelajaran
Pengantar
������������ !� �"�����#$$�%�&�����2
& �� �� ����� �� ������� ����� ����� ��������� ����������������������
����������������������������$������� �� ������� ���������������������������
���������� ��������#����������������������������������� �������#���������
�������������� �� ���� ������������� ������������� ������������
������������������������������������ ���������������� �������������������
���!�� ������������������ �������������� ���� ���������������� ���������������
� ��� ��������� ���������� �������� ��� ���������������� ������� ������������
�� ������ ����� ����� �������� ������ ����� �
'����������������������� ������������������������� �� ��#�� ��������������
�������� ����������������� ������������������������������������������������
������� �� �� ����� �� !������ ����������� ���������� ��������� �� �� ����� �
����������������������!������ �������������������������������� �� �� �����
��������� �����������
1.1 Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel������������������ ����� ������� ��������� �� ������� ����������������
��������������������������������������� ���������������� ������� ����������� �
���� �������� ����������� ����� � ���� �� ������ ������� ���� �� ����������
�����������������������
�'�(����(�)��≤��(�)�����≥ (�*�'�(����(�*��≤��(�)�����≥ (�*
��������������������������������������� ���� ��������� ���������� ����
��� ����� ��������������� )'+�*� ���������� ���������������� �������������� ����
��������� ���������� ����� �������� �������������� ������� ��� ����� � ����
���� ���������� ��������������������������������)'+�*��������������� ����������
������ ������ �� ����������� �� ������� ������� ����������� ��� �
��������������������� ���������������� ������������ ������������������������ �
��������������� ���������������� ������� �������'����������� ��������������� �����
������� �����
+����������� ����������������������� ����������� '�,�-��≤��-�
&������������
�������� ��������� ����������� ��� ��� '� ,� -�� .� �-��'������������ ��� ��� ���
���������� ����������� �����#������ ������� �� ��� �� ������ ������� ����#����
��� ���������������������������������������� �����
/��������� ��������� ��� ������ ������������������������ �����#�����
������������������#�������� �������������������� ����������������0��� ���
���������� �����
'�,�-��.��-
��' ��( ��-
��� �� ��(
+���� )(� * )-�(*
������ ��� ������������� 3
��������,
���������������������������� ����������������� �� '�,�-��≤��-��'����������� ������
0��� �������������
0� ����� ����������������������� �#-.��������������������+����#����������
�� ��� �� ������� ��������������������� ������������� ����� � '�,�-�� .� �-��+����
��������� ������� ������������� ����������������� ����������� ����� � '�,�-��1��-
�������� ����������������� ���������������� � '�,�-��2��-��'�������������������
����������� �����#�������������� �� �� �������������������������� ���������������
���� ������3����������������������������������������������������� ��� '�,�-��.��-��'����
���������������������)(�(*��'�����'�.�(�������.�(������ ���� )(*�,�-)(*�.�(�1��-�
4����� � ���������#������������������� ���������������� � '�,�-��1��-������
�����#������������� �����������5���� ��� '�,�-��1��-������������� ����������������� �
�� ����������� '�,�-��1��-���������� ���������� �� ���������� ��� �����
��������/
�
�������
$��������������������������������������5����� �����������������������
��� ���������� �� ���������������� �� ���������� ��������������������������
���� ���� ����� ���� ����� ������ �� �� ��� �� ������������� ������ �����
�� ����������� ����� �
.
#
6
)(� *
)(�-*
'�,�-��.��-
.
#
(
)(� *
)(�-*
'�,�-��.��-
������������ !� �"�����#$$�%�&�����4
������� ����!
+����������� ����������������������������� ����������� ����� ��� �����
'�,����≤��(���'�,���≤�7���'�≥�(�����≥�(&������������
$����� � ������������� ���'�,���� .� �(������� ���'� ,��� .� 7������ ��������� �����
8� �������������������� ��������������� ��� ����������������� ������8� ������
����������������������������#������������������������#�������� ������
0��� ������� ��� �� �������������������� ������������
��������0
" $�� ����������������� ��'� ,� ���≤� �(� ��������� ����� ��5������������� ��
'�,����.��(��9������� �� ���������� �������5���� ����� ������
" $�� ����������������� ��'�,���≤�7���������� �������5������������� ���'�,���.�7�
9������� �� ���������� �������5���� ��� �� ������
" $�� ����������������� ��'�≥�(���������� ��������������������������������.�
$�� ���������� �� ���������� �����������������������.�
" $�� ����������������� ����≥�(���������� �������������������������������#�
$�� ���������� �� ���������� ����������������������#�
" &� ������������� ���� ���'�,����.��(������� ����'�,���.�7����� ������������ �����
'�,����.��(
���'�,�����.�7���:
��������.��
/� ����'�,���.�7�������.��������'�.�7�;���.�<�
$������������������������������������ ����� ������������������)<��*�
"�������� ����������������� ���������� ����������� ����� �
'�,����≤��(����'�,���≤�7���'�≥�(�����≥�(
'�,���.�7
��' ����( �7
��� ����7 �(
+���� ��)(�7* �����������)7�(*
'�,����.��(
��' ����( ��(
��� ����- ��(
+���� ��)(�-* ����������)�(�(*
.
#
(
)(�7*
)(�-*
'�,���.�7
'�,����.��(
)7�(* )�(�(*
������ ��� ������������� 5
��������� ��- &1���������-)(�(*�� )7�(*��&)<��*������1)(�-*�� ���� ��� ����������
���� ������5������
��������2
�
������� ����#
+����������� ����������������������������� ����������� ����� ��� �����
'�,����≤�������-'�,�<��≤� (���'�≥�(�����≥�(
&������������
+����#��������������� ��� '�,����.���������� ���-'�,�<��.� (������������#�������� �����
���������� �����
+�������������������� ����� ������������
'�,����.�����������=� > � ��=�������⇒ ?'�,�<� .� <
-'�,�<��.� (��������=� > ����=�������⇒ -'�,�<���.� (�:
@' .�<
��' .�
32
/� ���� '�,���.��������'�.�
32���������.����;� �A�
�
�.�
�
�@ # ?
.�
�-
�
���������.�
154�
"�������������������������� ����� ������������������
3 15,2 4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�
$�� ����������������� �� �������� ����������� ����� �
'�,����≤�������-'�,�<��≤� (���'�≥�(�����≥�(
��������� ��- &1��������-)(�(*�� )@�(*��&
3 15,2 4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������1)(�-*������ �������������
0��� ���<��� ���������
-'�,�<��.� (
��' ����( �<
��� ����- �(
+���� ��)(�-* ��������������)<�(*
'�,����.���
��' ����( ��@
��� ����< ��(
+���� ��)(�<* ����)@�(*
.
#
-)(�(*
)(�7*
1)(�-*
'�,���.�7
'�,����.��(
)7�(* )�(�(*
&)<��*
������������ !� �"�����#$$�%�&�����6
��������3
�
�� +������������������ ��8� ����������������������������� ����������� ����������
�� �����)'+���∈�B*������������ �� ���� ��������������� ���������� ���������������
�� '�≥�( �� '�≤�( �� ��≤�'�≤�- �� @�≤��'�≤�7�� ��≥�( �� ��≤�( !� ��≤���≤� � <�≤� ��≤��-
�� +��������� ����� ���� �� 8� ������� ��� �� ������������� �� �� �����#�����
�� ���������������� ��� �����)������ ��������������� �������������������� ����*�
�� '�,���≤�- �� ��≥� �� �'�,� ��≤�< �� (�≤���≤�C�� '�;���≥�@ �� ��≤�'�≤�- !� -'�;�@��≤��( � '�,�@��≥��@
� +������������������ ��8� ���������� ����������������� �������#������ �����
�� ����������� ����� ��� �����
�� @'�,����≤�7������'�,�<��≤�������'�≥�(�����������≥�(�� '�,����≤��(����-'�,����≤��(����'�≥�(�����������≥�(�� '�,���≤��-������'�,� ��≤��-����'�≥�(�����������≥�(�� ��≤�'�≤�-����������(�≤���≤�<���������'�,���≤�7�� (�≤�'�≤�7������������≤���≤�-���������'�,���≤�<���'�,���≥��
@� +������������������ ��8� ��������������������������� �������� �����������
��≤�'�≤�<���������≤���≤�<�������'+���∈�&�)��������������������������*�
1.2 Nilai Optimum Fungsi pada Daerah Penyelesaian$����������������������������������������������)����������������������
����*� ������ !������ ��������� ���������� ��������� ��������������� �����
�� ����������� ����� �
���� ������ ������� ����� �������� ����������� ����� �
'�,����≤��(����'�,���≤�7���'�≥�(�����≥�(
Latihan 1.1
.
#
-)(�(* ����������� )@�(* )<�(*
)(�<*
1)(�-*
'� ,� ��� .� ��
-'� ,� <�� .� (
�-
�
� @
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠&
������ ��� ������������� 7
�������� ���������������� ���������������� ������������������� �������������
���� ��� �����
��������4
"������������ ����������������� ����������!���������!������5�������� ������
�������
5�.� '�,�@�
����������!������5�������� ���#������ ����������������������������'�����������
�����������������$�����������������������������������������������������'���������
�������� ����������������������� ����������� ���������� ��������������������
!������5������������������D����������������������� ��������!�����
����� ���� ����� �� ������ ��� �����#������ ��� �� �������������� �������� �����
���������������������������������������������!��������������� �����������
���������������������#��������������� ���������������
���� ����������� �������������!������5�����������#������-)(�(*�� )7�(*��&)<��*�����
1)(�-*������ ���������������������� �����
$� �������������������������5��
�� D�����5������������(���� ����������������������-)(�(*��4����� � �����5�������
'�.�(�������.�(��5���������������������������������5��
�.�(��������'�.�(����
��.�(�
�� D�����5��������������<���� ���������������� ������&)<��*�� 4��� �� � ��� ��5�
������'�.�<�������.����������!������5��������������<����������5���
�.��<�������
'�.�<�������.��
������� ��!��
+������������������ ��8� ��������������������������� �������� �����������
��≤�'�≤� ������������≤���≤�@�������'����∈�&�)��������������������������*�������������������
�� ������'�,����� �������#�������������� ������
�� �����������'�,����� ������������������������ ���������������������������
���� �� �����
��+���� ��������������- � �& ��1
����' ��������������( �7 �< ��(
����� ��������������( �( �� ��-
�D�����5 ��������������( �@������������< ��(
.
#
-)(�(* )7�(*��������)�(�(*
)(�7*
1)(�-*
'�,����.��(
&)<��*
'�,���.�7
������������ !� �"�����#$$�%�&�����8
�� ������������'�,����� ������������������������ ������������������������
��� ���� �� �����
�� ��������#������������'�,���.�-E
&������������
�� '���������������������'�,�������������������������� �����
�� D����������'�,������������������������������ ������������ ���� �������������
)���*�
�� D�����������'�,���������������������������� �� ������������C�� �� �������
������) �@*�
�� D�����'�,���.�-��� �������������#������)��@*��)�� *������) ��*�
�
������� ��!�!
+����������� ��������������� �������� ����������� ����� ��� �����
'�,� ��≤�<����'�,���≤�@���'�≥�(�����≥�(/��������������������������������������������!������5�.��'�,�������!�����
�.�'�,�-����������� ����������������������� ������������� ������
&������������
$�� �� ������������� �������� ����������� ����� � �� ������ ������������� �������
�� �����
+�������������������� ����� ������������
'�,�� ��.�<
'�,������.�@
����������.��
'�,� ��.�<
��' ����( ��<
��� ����� ��(
+���� ��)(��* )<�(*
'�,���.�@
��' ����( ��@
��� ����@ ��(
+���� ��)(�@* ���������������)@�(*
.
#
@
�
�
(��������������������� ������@
����+���� D�����'�,��
����)���* �������
����)�� * �������@
����)��@* �������-
����)���* �������@
����)�� * �������-
����)��@* �������<
����) ��* �������-
����) � * �������<
����) �@* �������C
������ ��� ������������� 9
$��� ������.���������� ����������'��,���.�@�→ �'��,���.�@������'�.� �
"�������������������������� ����� ������������) ��*�
��������6
$�� ����������������� �� �������� ����������� ����� ���� ����� ��������� �
- &1�� /�������� ������ !������5� ���� !������ � ����� �����#������ �������� �� ��� �
�������������- &1��������������������� �����
$� ����������������� ������5��
" D������������� ��5�������7���������'�.�@�������.�(�
" D������������ ��5�������(��������'�.�(�������.�(�
" D������������� �� ��������(��������'�.�(�������.���
" D������������ �� �������(��������'�.�(�������.�(�
�
�� +������������������ ��8� �������������� ���������������������� �����������
��≤�'�≤�<������������≤���≤�-�������'+���∈�&�)��������������������������*�������������������
�� �������'�,����� �������#�������������� ������
�� �����������'�,����� ������������������������ ���������������������������
���� �� �����
�� ������������'�,����� ������������������������ ���������������������������
���� �� �����
�� ��������#������������'�,���.�7E
�� "����5�.� '�,������� �.��'�,�-���� ���'+�����������������#������������������������������
����������������������� ��5����� �����������#�������������� ����������
����� ��� �����
�� �'�,���≤�@����'�,�<��≤������'�≥�(�����≥�(
�����+���� - & 1
�������' ( @ �(
�������� ( ( � ��
5�.��'�,�� ( 7 C ��
�.�'�,�-� ( @ 7 �(
Latihan 1.2
.
#
-)(�(* � )@�(* �����)<�(*
)(�@*
&) ��*
'�,� ��.�<
1)(��*
'�,���.�@
������������ !� �"�����#$$�%�&�����10
�� '�,����≤��(���-'�,����≤��(���'�≥�(�����≥�(�� '�,�-��≤��-���'�,� ��≤��-���'�≥�(�����≥�(�� �'�,���≤� (����'�,����≤�@7���'�≥�(�����≥�(�� �'�,� ��≤� <���'�,���≤��<���'�≥�(�����≥�(
� +������������������ ��8� ����������������������������� ���������� ����������
�'�,����≤�7����'�,���≤�-���'�≥�(�����≥�(����������'+���∈�&�)���������������������*��/�������
����������������������� �� '�,�@������������������#���������� �����$������
������������'��������� ���������������� '�,�@�E
@� $������������������- &1�������������#������������-)(�(*��� )@�(*���&) �@*������1)(�-*�
�� 8� ���� �������� ����������� ����� � ����� ����������������������� �����
��� ������������- &1�
�� +�������������#�������� ��� '�,������������#������-+� +�&������1�
�� +���������������������� �� '�,������������#������-+� +�&������1�
�� +��������������������� �� '�,������������#������-+� +�&������1�
1.3 Model Matematika Persoalan Program Linear$������������������� �#� ��� ����� �������������������� ��������� ������
�������� ����������!������ ���� #���� ������ ������� �� ������� ���� #����
���������������� ������������� ����������������� ����������������� ���������
�������5����������������� ������������������������ ������������������������
� ����� �� ������
%����������������������������������������������������� ���������������
���� #���� �������� ������������������� �� ������� ��&��������� ������������
��������������� �� �� ����� � ������� �������������������� ����������
�������������� ������������������ ������� ��!� ���� ����� ����� ������
� ���������������������������������� �������������������������������
��������� �� ����������������������� ��5����� �� ������������������������
$����������� ��������������������������� �� �� ����� � ������ ��������� �
��������� �� ����������������������������� ������ �����#�� ����������
�� ����������#�� ���������������� ���������������������������������� ������
� �� �� ����� � ������ �������� ��������������������������� ���������#�����
�������� ����������������������������������������������� !�������������
���������� ����������������#���������������������������������������
��������� �����#�� ������������� ����������#�� ����������� ����� �
$������ ����� ����� ��� ������ �� � ��� ������ �� ������� ����������� ������
�� �������� �� �� ����� � ��������������������#������������ ����� ����
�� %����� !������ ������������� �������������������������������� !������ �����
�� ���� �����#�� �������������������������*)'+�*�7��'�,�����F������������������ ��
���� ������ ��������� �������������������������
�� ���� #���� �������� ����������� ������������ ������ )�������� �����������
����� �� �������5����� �� ������� ������� �� ������� ���� ����#����*�� &��������#
������������ ������� ���������������������������������� ����������� �����
�� ����������� ����� �
� G� ����� ���������� ����!���������������������������������������������������
������ ������������� ����������� !������ �������������������� ����
�����
'�������� ��������� ��������������������� ��������� �����#���� �����
����������� ������������� �����������������
������ ��� ������������� 11
������� ��#��
&� ������� ����H����& ���5�I����������������������� ������������� �����8�������
%�����#������� ������� �������� ������������������������� �����&��G� ��
����� ��������������8� ������B���-((�((������� ������B���(((�((��3��������� �����
�� ������ ������<�(((� �����������&� �������(�(((� ��������'������� ������� ����
������������� ���������������� ������������������������������������&������������
������������������ �������������������8����� ���������������� ��������������
���������������������&�������������������%���������������������������������
������������������ �����&�������� ������������������������ �����������8�����
��������������� ��������������������������������������������
'�������������������� ��� ��������� ������������������������������
�����������������!� ������ ������������������������������������� �������������
�������� �����
J������ �� ������������������������� ��� ����� ����� �����������
�������������� ��������� ���� ���������������� �� ��5���������'����
���� ����� �����������������5������������� ����� ��������������'��������������
� �����������8���������������������������������������������*)'+�*�.���-(('�,���(((��
+�������� ������������������������*)'+�*������� #���� ����������� � ����������
���������������� ������ #���� ����
/� ������������ ������������������������� ����������������������� ����
��������������&�������������������'�� ����������� ������'������������� ������'
������������&��$�������� �������������������������������������� �����������8
���� �������� ������������ ������� ������������&��$������������������������
����� � ��������� �������������� �������'� ������� ������������� ������� �����8
������ )'� ,��*� ��������3�������������� &���������� �������������� �������'
��������������������������������8�������)�'�,��*��������
/� ��������� �����&������#����������� �� ������<�(((�������������(�(((
������������� ����� ������� �����������
'�,���≤�<�(((���������'�,���≤���(�((($���������������� ����'������������#��������������������������� ����
������������ ������ 8������'�������� ��� ��������� ���������!� ����� � ��� �� ����
�� �����������
'�≥�(���������������≥��("�����������!� �������������������������������� �����������������
������������ ����������� ����������������������������� ������� ����H���
& ���5�I��������
+��������������'����������������������!������
*)'+�*�.���-(('�,���(((�
��������������#��������
'�,����≤��<�(((�'�,����≤���(�((('� ≥��(�����≥��(
�
& ���� "�����& ������ 3����3���
3��� � ��������8 �����+� �����
� ��������- �������<�(((
& � ��������( ������(�(((
������G� ���"��� ��������������-(( ������(((
������������ !� �"�����#$$�%�&�����12
������� ��#�!
�������� ����������������� ����������� ���������������������������������#
�������'����� �������� ������ �@� ��������� ��� ����������� <� ��������� ��� ���� �
&� �����������������5��� ������� �����������������<���������� �������������
@���������� ������� ��$���������������� ����������������������5��� �������������
�����������-���������� ������������������������� ������� ��6��������5��������
������������� ������� �������B�C-(�(((�((������������ ���������������B�-((�(((�((�
&� ��������� ���� ��������������� �������������� � ������� ����� � �������������
� �������5��������������������5������������������ ����������������� ��������
������������������
���� ������������������������������������ ���� ���������� ������&� ����
������������5������������ � ������� ����������5��������'��������������� � ��
���������������5����������������������� �������������5������������� ����� �����
������ *)'+�*� .�C-(�((('�,�-((�(((��� �+�������� ������������������������ *)'+�*
������������� � ����������� ������������������5��������������
/� ���� ������� ����� � ������� ����������������� <���������� ��� ����������
@���������� ������� ������'� � ������� �����������������<'���������� ���������
����@'���������� ������� ����������������� ����������������� ������������������������
-���������� ������������������������� ������� ��������� ������������������������
-����������� �������������������������� ������� �
3��������� ������ ������� ������ �@� ���� ���������� ������ ���� � ������ <�
����������� ����� ����� ��� ����������� ����� ��� �����
@'�,����≥�� <����������<'�,�-��≥���@$���������������� ����'������������#��������������������������� ������� ����
���������� � ��������������'�������� ���������������������!� ������ ����� ����
�� �����������
'�≥�(���������������≥��("��������������������� ���� �������� �� ������� ���������������
+��������������'����������������������!�������������
*)'+�*�.�C-(�((('�,�-((�(((�
��������������#��������
@'�,����≥�� <<'�,�-��≥���@��'�≥�(����≥��(
$� ����������������������������������������������5��������������� ���
� ��������� ����������������� !������ ������������������������ ������
�� ���������������� !������ ��������6����� ���� ����� �������� �����������
����������������� ��������� � ��� �����������������������������������������
����� � � � ��� �
3������������������������� �������� �� ������� ����������������
����������� ���������� �����
%��������� !������ �������
*)'+�*�7��'�,���
������� ��� ��#��� ���
)��'�(��
����≤��
�
�)��'�(��
����≤��
�
'�≥�(+���≥�(
������ ��� ������������� 13
/��� ������
3� ����� ���� ����� � ������� ����� ����� ������ ���� ������ ������ �����
����������������!�������������������������� ���������������������� �����
������� �����
�� +� ���������������� ����������������� �������������#����������������'�������
�� �������������#����������������� ����� ���������� ����'�������
� )�������
�������#��������������������������������������#����������������
�������� ��������� ������������ �����������������������'�������
@� �����������������������������������#�
3������������������������� �������� �� �� ����� ���������������
����������� ���������� �����
%�������� !������ �������
*)'+�*�7��'�,���
������� ��� ��#��� ���
)��'�,��
����≥��
�
)��'�,��
����≥��
�
'�≥�(����≥�(
/��� ������
3� ����� ���� ����� � ������� ����� ����� ������ ���� ������ ������ �����
���������������!������ �������������������� ���������������������� �����
������� �����
�� +� ���������������� ����������������� �������������#����������������'�������
�� �������������#�������������������� ������������� ���������� ����'�������
� )�������
�������#�����������������������������������#���������������������
�� ��������� ������������ �����������������������'�������
@� ��������������������������#������������� ����
�� ������ �� ��������� ������� ���� ������ �� ����� ������ ������������9�� '����
�� ����������� ������ �� ���� �� ���������� ������ ���������������� ����������
����� +�&������1���������������� ����&��� ���������������� +�&������1������#
������ ���������@��������������������������������� ����9��� ���������������
+�&������1������#���������-������<���������3������������������� +�&+�����1
�����#������ �� ������ ��(� �������� �-(� ������������ �@(� �������� "����� ��� ����� ��
������������#������� �����������9�������B��(�(((�((�����B�7�(((�((�� ��������
����������� ������� �� ������ ����9� ��� ����� ��������� ���������� ����� ������ #
���� ���� ������� ���������� ���������� ����� ���� �������� ������������
�� �������� ����� �� ������� 3�������������������� ������ �� ������� � �� �
����� � ����
Latihan 1.3
������������ !� �"�����#$$�%�&�����14
�� �������� ���������������������������� ����������������������������������������
�����&��'���������������������������������� ���������� ������������������ ���
������������ �����������������������������#�������� ������@(������(����� (����������-
����'���������������������������������������� ��� ������������������� �������� ������
������ ���� � ����������� ���������� ������ ������� �� �������������� ������ ������ &
�� ������-��������������������� �� ���������������������������/���������������������
�������������������� ������ �������B��(�(((�((������������������ ������&������
B�C�-((�((��3� ��������������� ������������#������������������� �� ������ ���
���� ��������������������������E�3�����������������������
� ��� �������� ����������������� �������������������������������������� ������
������������������ ������� ��������������������������������������� <���@�����
@(� ����������� ���� ���� ������ +�&�� ����1� �������� ������'��������� ����� �� ������
�� �����������������������������������������9�����������������������������������
��� ���� ������ +�&+�����1������#������������ � ������������������������������������
�������������9��������������� ���� ���� ������ +�&������1������#������������
��� ��� ���� �� ��������G� ��� ����� ���������� �������� ����9������#������ �����
B�7�(((�((�����B�<�(((�((��&��� ���� �� ������� ������������������ ����� �����
������������������������������������ ��������������������� ������� ����� ���
�� ������������� ���������������������������������������������������3����������
����������� ���� ������� ����
@� ����� ������������������������@�(��������� ���� ��������3� ������������ �
�� ������ ��������������� �������� � ���� �� ������ ������ ��������� ����� ���������
������������������������5�������� ���� ��������������������� ������������� ��
������6��� ������ ��������� ������������ �������� �� ������������ ��������������
J���� ���# ���������� ����������� ������������<���� ���������������� ���������
�������(���� �+������� �� � �� ������ ����������������� ������� �� C(�������+� �!
�� �� ������� ����������� ������������B�-�(((�((���������B��(�(((�((��3� �����
�����#������������� �������������� �� ����� ����� ��������������������������E
3���������������������������� �����������
-� �������������������������������������������������� ��-((�� ��������������������
��������������!���������5���� ������������������<(������������������������������
��������5���� �������������@(������/������� ��������������������5���� ���
������������� ���7��(((�����3����������������������������������������������!�B�@((�(((�((
�����������������B��((�(((�((���� ����������������������������#�����������
��� ����� ��������������� ��������#���������E�3�������������������������
�� ������� ����
1.4 Penyelesaian Persoalan Program Linear+������������������ ����� ������� ������������5�� �� �������������
�� �������� �� ������� ���������� ����������������������� �����������������8� �
���� ������������������������� �������� �� ������� �������
�� %��������� �������� �� ������� ��� ����������������������������������
����������!�������������������� ����!����������� �������� ��#��� �������������
������� ���� �������� ����������� ����� �������� ������ ����� �
�� %������������� ����������������� �� �������� ����������� ����� ����
� %���� �������������������������������� �� !������ ���������������� ����
�������� ���������������
@� %����5����� �������������������������������������������������������
������������������ �������� �� �� ����� ����
������ ��� ������������� 15
�������
"���� �������� �������� �� �� ����� � ��������������������������������
������������������������������������� �������������������������� ��� �
��������������������
3� ������������� ������������������������������ �������� �� ������� �������
�� ����� ��������� �������� �� ������� ���������������������������������
� ��������� �������� �� �� ����� ����������
������� ��$��
��� ������������ ������������ �� �������������������� ������ ����� ������&�������#
�������� �������������������������������4����������44��'�������������������
�� ����������������4���������������������������44�(��-���'������������������
&��� ����������������4���������������������������44����������(�-���&������
�� ������ �������������������� ���������������� ������������������� �� �����
��������#�����������/��������� 4� �� ������ (���������������� 44� �� ������ ����
3� ���������������������� �����������&�������������������������� ��������������
���������� ��������������������������#�����������������������������������
�� �����������E
&������������
�������� � %���������������������� ���� �������� �� ������� ���������
%��������������������������������� �������������������'��������
������������������������&�������������������������
&� �������� �� ������� �������������������������!�������������
*)'+�*�7�'�,��
������� ��� ��#��� ���
�'�,���≤� ( )�*
(��-'�,�(�-��≤����������������������������������������������������������������)��*����������������������'�≥�(���≥�(��������������������������������������������������������������������)���*
'+���∈�1�)�������������������������*
�������� ! %������������� ����������������� �� �������� ����������� �����
)�*;)���*
9������ �������� ����������������� ����'�,���.� (������� ���(��-'�,�(�-��.���
�� ����� ����#�������� ������
&� ���������5���������������������� �������� ��� (��-'� ,� (-�� .� ��
��������� ������ '� ,� ��� .� @7��� ������ ������ �� �������������
��������������������������������������� �������������/�������
���� ����������������� ���������� ����� ������
��������3���
����4 �������44
���� ����(��-
& ���� �����(�-
3��������� �� ����� �� ( �������
&������
�'�,���.� (
���' ����������( �����������-
���� ��������� ( �����������(
)'��* ������)(� (*�������)�-�(*
(��-'�,�(�-��.���
���' ���������( ����������@7
���� ���������@ �����������(
)'��* ������)(��@*�������)@7�(*
������������ !� �"�����#$$�%�&�����16
�'�,�����.� (���⇒����'�,�����.� (
��'�,����.�@7���⇒ �'�,�@��.�?<�:�������; ��.�;<<����������.���
������������'�.�@7�;�@@�.�@
"�������������������������� ����� ������������)@���*�
G������� ������������� ����� ��� �� ������������� �� �� �����
�� �����������)�*�;�)���*������������� �������������� �����
$�� ����������������� �� �������� ����������� ����� � )�*� ;� )��*� �����
��� ������������������������������- &1�
�������� # %������������������������ ��!��������������������� ���������������
'�����������������������������)'�,��*���������#�������������� �����������- &1�
"�����������������!�������������*)'+�*�7�'�,�����������<��� �������������
&)@���*���������'�.�@�������.����
�������� $ %������������������������� �������� �� �� ����� ����
/� ����'��� ���������������������������������������������������
���������������������������������������������� ������&�������������
�����������������������5�����������������������������������
���������� ��������������� ������������������ ������ ����������@����
��������������&������������������������������������������������������<�
�
������� ��$�!
��� ����������������������������������������� �� ����������� ������������� ��#
���� �� �������� ������� �� ������� ������� ��������������������������� �����
������:+�;������<������#����������������������C���������� (������������ �������� ������
$��� ������������ ������9����� ���������� ������� �� ������� �������������� ������ �
�������������� ������������:+�;������<������#������������ � ������������������
������������������������������9��������������� ������������:+�;+�����<������#
������������ ������������� ��������&� ��� ����������������5��� ����������������
������������9������#������������B�7�(((�((�����B�<�(((�((��&�������� ������� ��
�������������������������������������#���������������������� ����������
������� �� ������������� �������������������������������������� �������������
�� ������
.
#
��-)(�(* ������)@7�(*
)(� (*
)�-�(*
'�,����.�@7
1)(��@*&)@���*
�'�,���.� (
���+���� -)(�(* )�-�(* &)@���* �1)(��@*
������������' ����( �����- �����@ ������(
������������� ����( �����( ������ ������@
��'�,�� ����( �����- �����< ������@
������ ��� ������������� 17
&������������
4�!� ������ ���� �������� �� �� ����� ���� ��������������������������������� �����
���������� �����
�������� � %���������������������� ���� �������� �� ������� ���������
%���������������������������������������������������'���
��������������������������������9�����������������������
&� �������� �� ������� ������������������� ��K����������������#
������!�������������
*)'+�*�.�7�((('�,�<�(((�
������� ��� ��#��� ���
� '�,���≥��C�������������������������������������������������������������������������)�*����'�,����≥���������������������������������������������������������������������������)��*
�����'�,����≥� (�����������������������������������������������������������������������)���*�������������������������������������'�≥�(�������������������������������������������������������������������������)��*
��������������≥�(��������������������������������������������������������������������������)�*
�������� ! %���������� ������� ����� ��� �� ������������� �� �� �����
�� ���������������� �)�*�;�)�*�
9������ �������� ����������������������� ��#�� ��� '�,���.��C��'�,���.����
������ ���'�,����.� (��� ���������#�������� ������
+�������������� ��� '�,���.��C������� ���'�,���.������������������������� �����
'��,���.��C
������'��,���.����:
������������'��������.�<
�'��������.�
������������.��7
"�������������������������� ����� ������������&) ��7*�
+�������������� ���'�,���.���������� ���'�,����.� (���������������������� �����
���������'���,�������.���
'���,������.� (�:
�������;��.�;?
���������������������.�?
���������'�.���
"�������������������������� ����� ������������1)���?*�
'�,���.��C
������' �������( ������?
������� �������C ������(
���)'��* ��)(��C* ���)?�(*
'�,���.���
������' �������( �������
������� �������� ������(
���)'��* ��)(���* ��)���(*
'�,����.� (
������' �������( ����� (
������� ������- ������(
���)'��* ��)(��-* ���) (�(*
'��� �/���
��"�����: "�����; "�����<
�������� �������� ������ ������� 7�(((
�������9 ��������� ������ ������� <�(((
+�������� ��������C ������ ����� (
"�����&���� �����������G� ��
������������ !� �"�����#$$�%�&�����18
$�� ���������������)$&*��� ���������� ���������������� �)�*�;�)��*�������
������ ���� ���������� �����
�������� # %����������������������� ��!��������������������� ���������������
'����� ��������� ��������������� )7�((('� ,� <�(((�*���� �����#������ ������ +�&+�1�
������
"����������������!�������������*)'+�*�.�7�((('�,�<�(((���������� ��(((
�� ��������������&) ��7*���������'�.� �������.��7��������������������������
B�� ��(((�((�
�������� $ %������������������������� �������� �� �� ����� ����
��� �������� ���� ������ ��������������������������� �� ������ � ��
������������������ ���������� ��������������������&�����������7����
�
3� ��������� ����� ��������������������� �������� �� �� ����� � ����� ����
��������������������������
������� ��$�#
������������� �������� �� �� ����� ������������� �����
+��������������'����������������������!�������������
*)'+�*�.� '�,���
������� ��� ��#��� ���
'�,����≤�7�����������������������������������������������������������������������)�*'�,���≤�<����������������������������������������������������������������������)��*
�����������'�≥�(����≥�(��������������������������������������������������������������������)���*&������������
������������������������������������������� ���������� �����������)�*�;�)���*�
'����� �������� �� ��������������� ��� '�,����.�7������� ����'�,���.���� �� ���������#
�������� ������
.
#
(���������)?�(*����������)���(*
)(���*
)(��-*
'�,���.��C
'�,���.���
'�,����.� (
)(��C*
&) ��7*
1)���?*
�) (�(*
��������+���� )(��C* &) ��7* 1)���?* �) (�(*
�����������' ������( ����� ������ ���� (
������������ ������C �����7 �����? �����(
7�((('�,�<�(((� �<��((( � ��((( �-(�((( �@(�(((
������ ��� ������������� 19
Tugas Mandiri
+�������������� ���'�,����.�7������� ���'�,���.�<����������������������� �����
'�,����.�7
���'�,�����.�<�:
������������������������������������������������������������������.�������������������'�.�<�;���.�@
"�������������������������� ����� ������������)@��*�
G���������������������������� ����������������� ���������� ����������
)�*�;�)���*������������� �������������� �����
$�� ����������������� ���������� ����������� ����� � )�*�;� )���*���������� ������
�����������������������- &1�
D������������� ��!��������������������� �������������������������������
������������������������*)'+�*�.� '�,�������������#�������������� ������������- &1�
"�����������������!�������������*)'+�*�.� '�,������������7��� �������������� )<�(*�����
���'�.�<�������.�(�
�
8� ������!� ����������� ����������� �������������� �������� �� ������� ���������
����������� �����������������������������#������������������������ �����������
��������������� ���������������������
'�,���.�<
���' ����( �<
���� ����< �(
)'��* ��)(�<* ��������������)<�(*
'�,����.�7
���' ����( ��7
���� ����@ ��(
)'��* ��)(�@* ���������������)7�(*
��������+���� -)(�(* )<�(* &)@��* 1)(�@*
�����������' ������( �����< �����@ �����(
������������ ������( �����( ������ �����@
����� '�,��� ������( �����7 �����< �����7
.
#
�-)(�(* �������� )<�(*��������)7�(*
)(�<*
&)@��*
'�,����.�7'�,���.�<
1)(�@*
������������ !� �"�����#$$�%�&�����20
�� �������� ��������� ������������������� ������������ ����������������9��/����
�� ���� �� ��������������������������������������������������� 4���������� 44�
'������������� ���������� ���������������������4����� ������������44�����������
�������������� ����9����� ������@� �����������4������� �����������44��%�����4
���������� ����(������������ �����������44����������� ����7������������ ���"������ �
��������� ���� �� ���� ���� �����B�-�(((�((������� �� ��������� ����9����� ���� ����
B�7�(((�((�� ��������������������� ���� �������������� ���� ������9������� ���������
��� ����� ���������������������������G����������������������������
�� �������� ������� ������ �������-(�� �� ������������-(�� ��������������
������ ���������� ������������������������ ����������3����� �������-(�� ��������
�����((�� ����������&� ��������� ���������������� �����������������������
(����������������-�������������3� ���������������������#������������ ������ �
�������������� ���������������������� ����� �������������� ������ ���������������� �����
������E
� ����������5������ ���������� ������������ ������ ������� �� @((����������
������������������������������!���������5���� ��������������������<(����
����������������������������������������������������(�����&���5�����������������
���5��������� ������ ������� �� ���(((�����3���� ������������ ���������������������
��������!�B�7((�(((�((����� ������������������ �������B� ((�(((�((�� ����������� ���
���������� ��������������#������ ������ �� ������ ��� � ���� ���� ����������
��������#����������
@� 8� ����������'����������������������!�������������
*)'+�*�.�-'�,�@�
������� ��� ��#��� ���
� '�,����≤����'�,� ��≤�?'�≥�(����≥�(
-� 8� ����������'���������������������!�������������
*)'+�*�.� '�,���
������� ��� ��#��� ���
�'�,���≥�<����'�,���≥�@'�≥�(����≥�(
1.5 Penggunaan Garis Selidik untuk Nilai Optimum$������������������������������� ���� �����������������������������
���������������� !������ ������������ !�������������!� � *)'+�*� .��'� ,������������ �
������������������������������� ������ �� ��� ���������������� �� �� � ������� �
������ ������������������������������������'�,����7����"������������������������
�� ��� ���������'� ,����7��� ������ �������� ��� ������� !��������������������������
��������������������������������������!������������� *)'+�*�7��'�,��������
��� ������������������
Latihan 1.4
������ ��� ������������� 21
J�����#�������������������� ������������'�,����7����������������������� �����
�� 0��� ����� ����'� ,����7� ��� ����� ��������� ������8� ������������������
�����#�����������)��(*�����������������������������)(��*��0� ����������������������
�5����0� ����'�(����7���������������� #���� ������� ���������� ����� �������������
������*)'+�*�7��'�(���������������� ���#�����D�����*)'+�*��������������� ����
������� ����� ������������ ��������������������� �� ��������������� ������ ��
�� 3�������� ��#�� �������������� ���������� ����'�,����7��������������� ������
���������#���������� ���������� �����
�� "������ ����'�,����7���� ��������� �������������� ���������� ����'�,����7�������
��������������������������� ������������������������������������������������
�����������*)'+�*�7��'�,����7���� ��������������������� ��!�������������
+�������������� ������� �������������������������������������������� �����
������
�� "������ ����'�,����7���� ��������� �������������� ���������� ����'�,����7�������
������� ������ ����� ��������� ����������������������������������5������
��������� �������*)'+�*�7��'�,����7���� �������������������� ��!�������������
+�������������� ������� �������������������������������������������� �����
�����
�� "������ ����'�,����7���� ��������� �������������� ���������� ����'�,����7�������
�� ������������������������ ������������� ����� ������������������������
������� ����� ������������ ����������� *)'+�*� 7� �'� ,���� 7� ��� ������������
�������� �� !������ �������� ������� ������ ����� �� ��� �� ������ ���� ����
�� � ����� ������� ��� �� ������������� � ������� �����#������ ����
�������������������������� �������������G�������������������� ���������
*)'+�*�������� ���������� � ����� �� ��������������� ��������� ������������
�������� ��!�������������*)'+�*��������� ���������������
�� "������ ����'�,����7���� ��������� �������������� ���������� ����'�,����7�������
�� ������������������������ ������������� ����� ������������������������
���������5���������������� �������*)'+�*�7��'�,����7���� �����������������
�� ��!���������������������������������� ����� ����������������� � �����������
��� ���������������� ������� �����#������ ���������������������� ������
�� ������������G��� ���� ������������� ���������� *)'+�*� ����� �� ��� ����
�� � ����� �� ��������������� ��������� �������������������� �� !�����
�������*)'+�*��������� ���������������
������� ��%��
+��������������'����������������������!�������������
*)'+�*�7�'�,�,�
������� ��� ��#��� ���
��'�,���≤�7�'�,� ��≤�?'�≥�(����≥�(
&������������
+�������������������� ���
<'�,� ���.��@
��'�,� ���.��?�:
-'�����������.��-
��'�����������.� �����������.��
.
#
1)(� *
'�,����.��
&) ��*
)@�(*
�'�,���.�7
'�,����.�C '�,� ��.�?
)?�(*
)(�7*
-)(�(*
������������ !� �"�����#$$�%�&�����22
$�� ����������������� �� �������� ����������� ����� ���� ����� ��������� �� ����
�����- &1���"������������� ��#�� ���'�,����.����������������� ������������� ��������
�� ��� �� ������ � ������ ���������� ���'� ,� ���.���+� ����������� ���������������� ��
�� �������������������-������������������������� ��/� �������������� ���������������
�������� �� !������ �������������� �� ���� � ������������������ ���'�,���� .������
���������� ���������������� ��������������������� �� !������ �����������
���������� ������������������������ ���'�,����.���������������� ��������������
� �������������������� ��!��������������&� ����������� ������������5���� ��
'�,����.C�� ��������� ����������������������������������� ���������������
"�����������������!�������������*)'+�*�7�'�,�,����������� ����������������� �����
������C��������������������&) ��*�
�
������� ��%�!
+��������������'�����������������������!�������������
*)'+�*�.� '�,�-���������������
������� ��� ��#��� ���
�'�,���≥�?����'�,���≥�-'�≥�(����≥�(
&������������
+�������������������� ���
'�,���.�?
��'�,���.�-�:
�'�������.�@
����������������'��������.�������������.�
$�� ����������������� �� �������� ����������� ����� ���� ����� ��������� ������
��� �� ���"������������� ��#�� ���/'�,�2��7����������������� ������������� ����������� ��
�� ������������� ���������� ��� '�,�-��.�-��+� ��������������������������� ����� �����
�������������-������������������������� ��/� �������������� ������������������������ �
!���������������������� ���� ������������������� ��� '�,�-��.�������������
��� ���������������� ��������������������� ��!���������������������������� �����
������������������ ��� '�,�-��.����������������� ���������������� ������
������������� ��!��������������&� ����������� ������������5���� ��� '�,�-��.�-
� ��������� ������������ ��������������������� ������������������������������
)-�(*�
"����� ����������� !������ ������� *)'+�*�.� '�,� -�� �������� ��������������
�� �������������-�������������������� )-�(*�
.
#
-)(�(*�����������) �(*������� )-�(*
1)(�?*
)(�-*
'�,���.�?
&)�� *
'�,���.�-
'�,�-��.��- '�,�-��.��-
������ ��� ������������� 23
.
#
-)(�(* ���������������������)�@�(*������ )�(�(*
1)(��@*
)(�7*
-'�,�7��.�@( '�,���.��@-'�,�7��.�7�
�'�,�-��.�@(
&)�(�@*
���� ������������ ������� �������������5������ ������ �������� �� �
����� � �������������������������������� �������� ������� �� ���� � ��
�������� ����� ������ ����� ������������� ���������� ������� �����
������������������ ��������� ���� ������� ����� �� ��� � ���������#
���� � ����������������������������������������������������� �� �� ����� ����
3� ��������� ����������������������������� �������������������
������� ��%�#
������ ����������������6�4��������� �� ���� ��@(�� �������������������������
�������� ��� ���������� ��� � ������'����� ����� ���� � �������5�������������
&������������������������������������ ������������� ����������&��+���� ������
������������ �������������&����������������-�� �����&��������������������������
������������5����� �����������������@���� ��G� ����� ���� ������ ������
B��-�(((�((������ ����� ���� ������&�������B�@(�(((�((���3� �����������������
� �������5����� � ������������� ���������������������������������������
��� �#� ����E
&������������
%����������������������� ������ ����������5��������'���� ����
���������������������� ������&����������5�������������
3� ���� ������ �������� �� �� ����� � �� ��������� ���������� �����������������
���������� �����
%�������� !������ �������
*)'+�*�.��-�((('�,�@(�(((�
������� ��� ��#��� ���
�'�,�-��≥�@(����'�,�����≥��@'�≥�(����≥�(
+�������������������� ���
�'�,�-��.�@(
�'�,����.��7�:
��������� ��.���
�������������.�@�������������'�.��(
0� ��������������������-�((('�,�@(�(((��.���������-'�,�7��.�������������.�
�
-�(((
�
$�� ����������������� ���������� ���������������� ������������������ ���������
�� ���'�,��� .� �@�� �� ��� �'� ,� -�� .� @(������ �����#� �� ������ ������������� �����.�
/���������������� ��#�� ������������-'�,�7��.���������������������������� �����0� ��
�� ������������ ���������� ���-'�,�7��.�@(��0� �������������������� ����������������5�
������������������� ����������������������� ��� � -'� ,�7�� .�7���0� ��� �������
�� ���������������� ������������������������&)�(�@*��4����� � ���������'�.��(����
��.�@�� ���������������������� ������������������������
"����� ������������� � ����� ����������5���������(���� ����� �����&� ����
����5��������@���� �����������������5��������B��@�(�(((�((�
�
������������ !� �"�����#$$�%�&�����24
Tugas Mandiri
"������ ����������������� L�� ������������������������ ����������������������������
��������������E
�� $������������������� �������������� ����������'����������������������
!������ �������
*)'+�*�7�2'�,�/�����������
������� ��� ��#��� ���
��'�,���≤� ����'�,���≤��'�≥�(����≥�(
�� $������������������� �������������� ����������'����������������������
!������ �������
*)'+�*�.�7'�,�<����������
������� ��� ��#��� ���
���'�,���≥� (���'�,����≥��@'�≥�(����≥�(
� $������������������� �������������� ����������'����������������������
!������ �������
*)'+�*�.�-'�,�@�����������
������� ��� ��#��� ���
��'�,� ��≤�����'�,���≤�7'�≥�(����≥�(
@� $������������������� �������������� ����������'����������������������
!������ �������
*)'+�*�.� '�,�@����������
������� ��� ��#��� ���
����'�,�����≥��(���@'�,� ��≥�@7��'�≥�(����≥�(
Latihan 1.5
������ ��� ������������� 25
-� $������������������� ������������������������� �������� �� ������� ��� ������'����
�� ��������������� ��������� ����� ���������������� (��������5������� �������
�7����������������������� ��������� ���������&����� �����������������(�������
5����� �� �������� �@� ����M����� �� �������� ����� �� ������ ������ C�(� ������
��������������������������� ������������C-(�����"����� ���������������������� ���
�������B�-�(((�((������ ������������ ����&�������B�@(((�((��������������������
� ��������� ������� �� ��������� ����� �������������������������
<� �������� ������� ���������������������������� ����������� ��������� ����� ���
�����&��3���������������� ���������������� ��?(���������� ((������������ 7(��������
��������@(�����'�������������������� ��������� ����� ������(� �������� ���(�����
������(������������������(� ������������'�������������������� ���������&����� �����
(���������� ��(������������(�-����������������(��������������G� ����������������� ��������
�������B��(�(((�((������ ����������������� ���������&�������B��-�(((�((��3� �����
���������� ��������� ����� ���������&�� ������������� ����� �����������������������
������E
�� �������� ����������� �����
�������� ���������������� ������������������������� ������ ����������������
����������������������������+�����)�+�*�� ���������������������� �������������
�� ����������� ����� � � ����� ����� �������������� '� 7� �� ���� �� 7� �� ����� ������
�� ����������� ����� �������������� ����������� ����� � �� ����������������
�� ��������������� ������ ���� �
J�����#������� ���������������� ��� �� ������������� ������ �������� #
����������� ����� � ������
�� 0��� ����� �������� ���������� ������������������������ ����������
�������������
�� ����� ������ ����������� ���������� ������������������� ����������
����� ������
�� +�������������������������� ������������������������
�� %�������������
%��������������������� �������� ���� �������#�� �������� �����������
��������������������������� ��������� ����������������������������� ����������
� &� �������� �� �� �����
&� �������� �� ������� ���������� �����������������������������)�����
���������*��� �� ������ !������ �������!� �� ����� !�����#!������ ������������
���� ���������������� �������� �� ������� ���������� �� ���� ��������������������
�� F������ ������L�������!� )�����������������������*�
�� F��������������)�� ������������ ���������������� *�
@� %����������������������!�������������!
�������� ������ ������������������������������)���������������*
������!�������������!������ �����������������������
�� �� �����������������
�� �� ����� ����������
Rangkuman
������������ !� �"�����#$$�%�&�����26
&���� ���'������ �������� �������� ���� !����!��
��� ���� ������������� �� 4�� ����������
��������� ���� !������ ���� ��������5���
$���� ���� ��� � ��� +�� ������ &� ������� ��� �
��� �������������&������ ��(� ���������
����������� ���� � �� ����� ����� /� ��
������������������������������ �������� ��
�������+������ ���� ������� ����� �< C�� 4��
� ������� ������������� ����� �� ���
������ �� �������������������� �������� ����� �
������������������� ����� �������& �� �������
���������������� �� ��������� ���������� �
��� ���������������������������
��������=��>�������)�����
�������������������)��
Math Info
������ ��� ������������� 27
�� ������� ��������������������������� �� ����� �����������
�� ��������������������������������
�� &� �������� ����� ���������������������)(�<*�����)7�(*������������
�� @'�,� ��.��@ $� @��,� '�.��@
3� @'�;� ��.��@ N� @��;� '�.��@
8� @'�,� ��.�;�@
�� +���������������� ���� ���'�,���.��(�����'�;����.�@������������
�� )��7* $� );��7*
3� )7��* N� );7��*
8� )7�;�*
� $�������� �������� ����������� ����� �
@'�,� ��≤����'�,�-��≥��('�≥�(����≥�(
$�� ����������������� ���������� ���������������� ������������������ �
�������� �� ��� ������ ������
�� $�
3� N�
8�
Uji Kompetensi
@
�
��-
.
#
(
@
�
��-
.
#
(
@
�
��-
.
#
(
@
�
��-
.
#
(
@
�
��-
.
#
(
������������ !� �"�����#$$�%�&�����28
@� $�� ���������� �� ���������� ��8� ������������5������� ���������� �
��������������������� ��������������� �
�� ��'�,�����≤�@ $� ��'�,�����≥�@��'�,����≥�@ ��'�,����≥�@��'�;����≤�;@ ��'�;����≤�;@�'�;�����≥�@ �'�;�����≤�@
3� ��'�,�����≤�@ N� ��'�,�����≤�@��'�,����≥�@ ��'�,����≥�@��'�;����≥�@ ��'�;����≥�;@�'�;�����≤�@ �'�;�����≤�@
8� ��'�,�����≤�@��'�,����≤�@��'�;����≤�;@�'�;�����≤�@
-� ��������������������� �������������(((������� �������7(O�������� �#
����������� ��� ���� ��$������ �������� ��� ���� �� ����� ��������������
��������������������-(��� ������������5�� ������"����?�������������������
�� ��������������������������������������������������
�� ?�.��7(O� > �)�(((�;��-(* $� ?�;��-(�.�7(O� > ��(((
3� ?�,��-(�.�7(O� > ��((( N� 7(O� > �?�,��-(�.��(((
8� ?�.�7(O� > �)�(((�,��-(*
<� ��� ���������������������������������� ������ ���������������� ������
����&����������������� �� ����������� ������� ������������������
���((����������������������� ����������@(��������������������������&
��������� <(� ������� "���� '����������� ���������� ����� ����
������������ ����������������������������������� ����&����������
�� ���������������� ���������������� ���������������������� ����������
�����������
�� �'�,� ��≥�<( $� '�,����≥�<(3� �'�,� ��≤�<( N� '�,����≤�<(8� �'�,� ��.�<(
C� ��� ��������������������� �� ���������������� �� �� ������������(((
���+����� �� �������������������� �������� �� �������������� ��K��� "�������
�� ������ ������ ������� (������������ ��K���� ������ �������-�
��
����������� ���������������� ���������������������� ����������������������
�� <'�,� ��≥��(( $� '�,�<��≥��((3� '�,�<��≤��(( N� <'�,� ��.��((
8� <'�,� ��≤��((
@
�
( �� ������@
.
#
)@�@*
������ ��� ������������� 29
7� &� �������H����& ���5�I��� �������������������������������� ����������
&�������#�������� ��������������������������4����������44��'����
����������� ��� �����������4����������������������������44���������
(��-���'����������������&��� �����������4���������������������������
44� ��������� (�-� ��������3���� 4� �� ������ (� ���������������� 44� �� ������ ��
��������"�����������������������������������������#���������������������
�� �- $� (
3� �@ N� �<
8� �7
?� $�� ����������������� ���������������� ���������������� ����������� �����
D�����������!�������������*)'+�*�.� '�,������������� ���������� �� ��������
�����������
�� ( $� ?
3� �7 N� 7
8�
328
�(� G���������������������� ���������� ���������������� ��'�;���≥�(��'�,���≥� �����@'�,���≤��������������� ��������� ������������
�� �������������� ��� $� � ������
3� �� ������������ N� ��������
8� ��������
��� $������������ ����������������� ���������������� ���������������� ��������
�� �����
&� �������� �������������������������������� �����������������������#
�������!�������������*)'+�*�.�-'�,�@���������������������������������
�� < $� �@
3� ( N� �(
8� �<
.
#
@
�
( �������� �<
.
#
( � ���������������<
@
������������ !� �"�����#$$�%�&�����30
��� D���������� !������ *)'+�*� .� 7'� ,� <�� � ����� ��� �� ������������� �����
�� ���������������� ���'�,����≥� (��'�,����≥��@��'�≥�(��������≥�(�������������� �?� $� � �
3� �7( N� C�
8� �@�
� � ������������������ ����������������������������������������P��
����� ������ � �������� ������ �� (� ����������� ������&� �������� ������ �� �@
��������'���������������������� �������� �������������������������
���������������������������
���%��������������
�������������������������
�������P�������������� ��������������P��������������&��%����������������������
����������������� �������P�������� ������ ������� �������P�������� ������&�
G� �������������������������B�7�(((�((��� ��������� �����������������
�
������B�-�(((�((��� � ����3��� ���������������� ������ ���������� ���
� ������ ��������� ����������P���������� �������� ���������������� �
�� B�<(�(((�(( $� B�?<�(((�((
3� B�C-�(((�(( N� B�? �(((�((
8� B���(�(((�((
�@� ����������5������ ���������� ������������ ������ ������� �� ((���#
��������������������������������������!���������5���� �������������
������<(����� ������������������������� �������������������������
�(�����&���5��� ������������������5��������� ������ ������� �� ���(((����
3����������������������������������������������!�B�7((�(((�((����������������
�������������B�-((�(((�((������������������������������#�����������
�� ��������� ����� �����������������������#���������������� ���� �
�� B��?-�(((�(((�(( $� B��@(�(((�(((�((
3� B��<(�(((�(((�(( N� B� ((�(((�(((�((
8� B��-(�(((�(((�((
�-� D�����'����������������������!��������������*)'+�*�.�-'�,�@���������� �
���������������������������� ������������ '�,���≤��-���'�,����≤�?���'�≥�(��������≥�(�������������� 7 $� <
3� @- N� �-
8� <(
�� ������� ������ ����������������!"��������������� ������#
���������� ������
�<� "�����*)'+�*�.�-'�,����������)'+�*�.��'�,� ���� ���'+�����������������#��������������
������!���������������������������������������� ��!������*�����������
�����#������ �������� ����������� ����� ��� �����
�� �'�,���≤�@���'�,�<��≤������'�≥�(�����≥�(�� '�,����≤��(���-'�,����≤��(���'�≥�(�����≥�(
�C� J������� ���� �� � ������ -((���� J���� ���# ���������� ����������� ��K
�(��� ���� ������ ������ � ��� �-�
���$�� �� �� �� � �� ������ ������ ����
�������� ������� �� @(������ ����� "���� �� �!��� �� ������������ ��K����
� ��������#������������B�@�(((�((�����B�-�(((�((�� ������������������
����� ��K����� � ��������#������� ����� �� � ��� ����� ��������������
���������� ���������������������������� ������
������ ��� ������������� 31
�7� �������������������������������������������������� ��-((�� �����������
�����������������������!���������5���� ������������������<(�����������
���������������������������5���� �������������@(������/������� �����
��������������5���� ���� ������ ������� �� �7�� (((�����3���� �����������
������������������������������!�B�@((�(((�((������������������B��((�(((�((�
�� ���� ���������� ��������� �����#������ ������ ��� � ���� ���
�������������������#���������E�3���������������������������� ������
�������������������
�?� ��� ���� ������������������� ���������� ������ �� �� ���� �������
������������� �� ������ �� ��������� ������� �� ������� ������� ������������
�������������� ������������#+�.������@������#����������������������@�����
���� <������������ �������� �������$����������������������3������ ���������
��������� ��������������������������� ��������������� ������������#+�.+
����@������#������ ������ ���� ��������� �������� � ���������� �������������
������3��������������� ������������#+�.������@������#������������ ������
���� �� ��������G� ��� ����� ��� ������ ������ � ����&������#������ �����
B�7�(((�((�����B�<�(((�((��+������������������������������� ����������
��� �������������� �� ������
�(� �������� ������� ���������������������������� ����������� ���������
���� ���� �����&�� 3�������������� �� ������ ������ ���� � @((����� ����� -((����
�������7((���������������� �((�����'����������� ��������� ���� �����
���� ������(���������� ���(�����������������������������(� ������������'����
��������������� ���������&����� ������(���������� ��(������������(�7�����������
����(��������������G� ��� �������������� ���� ����� �������B����(((�((����
� ����������������� ���������&�������B��(�(((�((��3� ���������������� ���
����� ����� ���������&�� ������������� ����� ������������������������������E
�� ��� ��������������� ���������������� ������������<�������������
�������������������&��� �� ���4������������������������������
������������������������+�������� ����������������������������� ����
�������������&��������������������� ������������������@�������������
������������������&��"����� �������������������� �� ��#�� ���B�@((�((����
B� ((�((��� ����� ���� ������������ ��� ������������� ��������� ��
���������������������E
�� ��� �������������������������������������������������������#�����������
�������� �((������������ �������5������ �-(��������� +���� �� �����������
����� @((�������� ��������/���������� �������������� ������� ����#����
B���(((�((����� �������������� �������5������B�-((�((�� "���� ���������
������� ����#����� ������������������ �-(����������� ����������������
������� ���� ���������������� ���E
� &���5��������������������������������@7��� �������������������
�������������������5��������� <(����� ������������� ��������(����
&���5�����������������5�����������@@(�����G� ��� ����������������
B��-(�(((�((� ���� ������ �������B��((�(((�((����� � ����������� �� �
�������� ����������� ���������5������������������������� �����
���������������������������E
Soal Analisis
������������ !� �"�����#$$�%�&�����32
��� ( ���
D�� ����������������������������������������������������� +������ ������������������������������������������������������������
/���� ���Q44 %��� ��&���� ���& �� ��J����
/������ ����������������������������������������������������� ������ �����)����*
/������� ����� ������ �������� �� ������� ��������������������� �#� �
+����� ���%����������������������)��������������*�!������������
�� ���� ���� )����� ���� � �������
�� ����� ����� � $�!�� � ����������� ���� ��� ��
�� 3���� ������� @� M��������������� ���
�� ����� ���*�
�� 3��������������������� �� ��@������-����5��
�� �������5������ �� ���� ��� ������ � ������ �������������� J������� �� ���
�� ����������������������� ������������� �������������� �������� �� �
����� �
� %�����#������ �������� ��� ������ �������������������� ����
�� �������� �� �� ����� ����������� ���� ������� �������� �� �� �����
���������
@� J����������������������������� !������ ����������� !���������������� �
�����#�������� �������� �� ������� �������������������G������������
������������������������ ���������
-� 3� ���� ��������������������� �������������� �������� �� ������� �����
����������������������� ��������� ������ �������������������������������
��������������� �������#�������� �������� �� �� ����� � �� ������
<� 3������ ���� ������������� ���� ��������� ��������������� �������
� ������������������������
C� ����� �����5��������������� ����������������������������������������
�������� �������� ���������������� ���������� �������� �������� ����
� ������������ ����� ����������� �� ����� ���������L�� �������� �� �
���� �����������
�� ��� � �
3� ���� �����������������������������������������������������������������������
�� �������� �� ������� ������������������
Aktivitas Proyek
+��
��
��
�
@�
���������+���
,���� � -�����,���� � .�*���
/���� /������ ��