tugasstatmat
DESCRIPTION
statTRANSCRIPT
-
STATISTIKA MATEMATIKA I
Disusun Oleh :
Februl Defila
(10050051)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN PENDIDIKAN
(STKIP) PGRI SUMATERA BARAT
2012
-
1
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
BAB I
PELUANG
1.1 Ruang Sampel dan Kejadian
Ruang sampel atau sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin dari sebuah
experience, disimbolkan S. Himpunan bagian dari ruang sampel dinamakan kejadian/event.
Secara khusus, himpunan yang hanya terdiri dari satu kejadian dinamakan kejadian dasar.
Contoh :
1. Jika sebuah koin dilempar 3 kali, kejadian yang mungkin adalah :
S={GGG,GGA,GAG,AGG,GAA,AGA,AAG,AAA}. Dengan S adalah ruang sampel.
2. S = {1,2,3}
S 23 = { ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
Dari pernyataan diatas diperoleh : {1} S
{1} S
{1} S
Dimana S adalah power set atau himpunan bagian.
3. Sebuah dadu dilempar 120 kali. Dari kejadian tersebut, diperoleh hasil eksperimen atau
frekuensi kejadian sebagai berikut :
Angka 1 sebanyak 20 kali, angka 2 sebanyak 19 kali, angka 3 sebanyak 18 kali, angka 4
sebanyak 21 kali, angka 5 sebanyak 17 kali, angka 6 sebanyak 25 kali. Tentukan
banyaknya jumlah frekuensi jika :
a) Ada sebuah kejadian munculnya angka genap.
b) Ada sebuah kejadian munculnya angka ganjil.
c) Ada sebuah kejadian munculnya angka kurang dari 4.
Jawab :
Untuk menjawab pertanyaan diatas, pengertian peluang dapat diterjemahkan
menggunakan frekuensi relatif kejadian yang didefinisikan sebagai :
)(
)()(
Sf
AfAf n
-
2
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
1120
120
)(
)()(
Sf
SfSf n
a) A = {2,4,6} maka f(A) = 19 + 21 + 25 = 65
120
65
)(
)()(
Sf
AfAf n
b) B = {1,3,5} maka f(B) = 20 + 18 + 17 = 55
120
55
)(
)()(
Sf
BfBf n
c) C = {1,2,3} maka f(C) = 20 + 19 + 18 = 57
120
57
)(
)()(
Sf
CfCf n
Dari contoh soal diatas, frekuensi relatif memiliki sifat :
0)0( nf
1)( Sf n
BfAfBAf nnn )( jika BA
Kejadian dikatakan saling asing jika kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersama-sama.
Jika ruang sampel suatu percobaan dengan kejadian dasar S = {Si}, maka peluang
timbulnya kejadian dasar S = {Si} dengan i = 1,2,,n adalah :
Pi = P[{Si}], i = 1,2,,n dengan sifat :
Pi 0
11
i
iP
Jika A1,,Ak adalah kejadian dalam S yang saling asing maka
k
i
i
k
i
i PPP11
1.2 Peluang Klasik
Peluang Klasik adalah suatu kejadian yang mempunyai peluang yang sama, yaitu N
1.
NiiN
Pi ,...,2,1,,1
-
3
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
)(
)(
Sn
AnAP , dengan sifat : 0)( AP ; 1)( SP ; 0)( P dan )()()( BPAPBAP
jika BA
Sifat sifat lain dari peluang, dinyatakan dalam teorema berikut :
Jika A,B suatu kejadian dalam S, maka :
1. )()()()( BAPBPAPBAP
2. )(1)( APAP SAA
AA
3. )()()( BAPAPBAP
4. )()()()()()()( CBPCAPBAPCPBPAPCBAP +
CBAP
Contoh :
Dua kartu diambil secara acak satu persatu, tentukan peluang bahwa kartu yang terambil
pertama adalah kartu Jack dan kartu yang terambil kedua adalah kartu Queen!
Jawab :
Peluang dari kejadian diatas adalah :
663
4
2652
16
51
4
52
4
1.3 Peluang Bersyarat
Peluang bersyarat suatu kejadian dengan syarat terjadinya peristiwa yang lain (sebelumnya)
didefinisikan sebagai berikut :
BP
BAPBAP
| dengan 0BP
-
4
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Secara umum, jika dua peristiwa A1 dan A2 saling asing 21 AA , maka :
BPBAAP
BAAP
2121 |
=
BPBABAP 21
BP
BAP
BP
BAP
21
BAPBAP || 21
Sifat sifat lain dari peluang bersyarat adalah sebagai berikut :
1. P(A|B) = BAP | 2. BAAP |21 = BAAPBAPBAP ||| 2121
3. 1|0 BAP
Contoh :
1. Empat kartu diambil secara random satu persatu tanpa pengembalian. Tentukan
probabilitas bahwa kartu yang terambil secara berturut turut adalah as waru hitam
(AsWH), as waru merah (AsWM), as wajik (AsW), as semanggi (AsS)!
Jawab :
WMWHWJWHWMWHsWJWMWH AsAsAsPAsAsPAsPAsAsAsAsP ||)(
WJWMWHs AsAsAsAsP |
49
1
50
1
51
1
52
1 = 0,079
2. Kotak A berisi 10 bola merah (MA) dan 15 bola hijau (HA). Kotak B berisi 12 bola merah
(MB) dan 17 bola hijau (HB). Sebuah bola diambil secara acak dari kotak A kemudian
dikembalikan ke kotak B. Dari kotak B diambil sebuah bola secara acak. Tentukan
peluang bahwa 2 bola yang terambil berwarna hijau!
Jawab :
-
5
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
ABABA HHPHPHHP |
36,030
18.
25
15
1.4 Hukum Total Probabilitas
Menurut teori himpunan, telah diuraikan bahwa jika kejadian B dan kejadian B saling asing,
maka :
1. BB
2. SBB
3. A
4. AA
5. ASA
6. SSA
Hukum diatas disebut dengan Hukum Identitas.
SA = A
BBA = BABA
n BBA = BAnBAn , sehingga
AP = BBAP
= BAPBAP
Secara umum, jika kBBB ,...,, 21 kejadian kejadian saling asing, maka
kBBBS ...21 . Sehingga :
kk BABABABBBASA ...... 2121
Teorema :
Jika kBBB ,...,, 21 himpunan kejadian saling asing, maka untuk sebarang peristiwa A berlaku :
ik
i
i BAPBPAP |1
Bukti :
Karena kBABAA ...1
-
6
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
kBAPBAPAP ...1
= kk BAPBPBAPBP |....|. 11
= ik
i
i BAPBP |.1
Contoh :
a. Terdapat 3 dos berisi barang elektronik (lampu). Dos I berisi 25 lampu dan 5
diantaranya rusak. Dos II berisi 35 lampu dan 10 diantaranya rusak. Dos III berisi 40
lampu dan 5 diantaranya rusak. Sebuah dos dipilih secara random, tentukan probabilitas
bahwa produk yang terambil rusak!
Jawab:
Misal : A = lampu yang rusak
B1 = dos 1
B2 = dos 2
B3 = dos 3
321 BAPBAPBAPAP
= 332211 ||| BAPBPBAPBPBAPBP
= 40
5
3
1
30
10
3
1
25
5
3
1
Dari contoh di atas, dapat dikaitkan konsep aturan Bayes, sebagai berikut :
Jika diasumsikan seperti syarat pada teorema sebelumnya, maka untuk setiap j,j=1, 2, 3, ... , k
berlaku :
k
j
jj
jj
j
BAPBP
BAPBPABP
1
|
||
-
7
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
1.5 Kejadian Saling Bebas
Dua kejadian dikatakan saling bebas jika tidak saling mempengaruhi. Secara statistik, A dan
B dikatakan bebas / independent, jika :
BAP = BPAP Saling Bebas
BAP BPAP Tidak bebas / Saling tergantung
Sehingga : ,| APBAP jika A, B bebas
: ,| BPBAP jika B, A bebas
Teorema :
Jika A dan B adalah dua kejadian saling bebas jika dan hanya jika :
7. A dan ,B bebas
8. A dan B, bebas
9. A dan ,B bebas
Bukti :
10. BAP = BAPAP
= BPAPAP
= BPAP 1
= APBP Secara umum, jika Ai, i , ki ,...,2,1 adalah peristiwa saling bebas, maka :
k
i
k
i
ii APAP1 1
Contoh :
Jika dua dadu dilempar satu kali secara bersamaan, tunjukkan bahwa dua kejadian dibawah
ini saling bebas !
Jawab :
A : Dua dadu berjumlah tujuh.
B : Dua dadu memiliki angka yang sama.
-
8
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Jawab :
1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1A
6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1B
Sehingga dapat diketahui bahwa :
6
1 BPAP ,
36
1
6
1
6
1 BPAP
BA , 0 BAP
Karena BPAPBAP , maka dua kejadian A dan B adalah kejadian yang saling
bebas.
-
9
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
BAB II
VARIABEL RANDOM DAN FUNGSI DISTRIBUSI
2.1 Variabel Random
Variabel random adalah sebuah fungsi dengan domain kecil hasil pengamatan dan
kodomainnya merupakan himpunan bilangan real. Variabel random disimbolkan dengan
huruf kapital ( X, Y, Z, dll ). Contoh :
1. Sebuah koin dilemparkan tiga kali, maka ruang sampelnya adalah :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}
2. Misalkan X merupakan variabel random yang menyatakan banyaknya angka yang
muncul, Y adalah variabel random yang menyatakan banyaknya gambar yang muncul,
maka apa hubungan antara X dan Y?
Jawab :
S X Y P(X) P(Y)
AAA 3 0 8
1
8
1
AAG
AGA 2 1 8
3
8
3
GAA
AGG
GAG 1 2 8
3
8
3
GGA
GGG 0 3 8
1
8
1
Keterangan :
-
10
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Karena YPXP , dan YX , maka X dan Y merupakan variabel acak identik. Selain
itu, karena YPXPYXP X, Y independent.
Macam-macam variabel acak :
a. Variabel Acak Diskrit (Countable)
b. Variabel Acak Continue (Measurable)
2.2 Variabel Acak Diskrit (pdf)
Jika ruang sampel dari variabel random X countable, maka variabel random X dinamakan
variabel random diskrit. Suatu fungsi dengan domain variabel acak diskrit dinamakan fungsi
densitas probabilitas diskrit. Disingkat dengan pdf diskrit atau dinamakan fungsi masa
probabilitas.
Teorema :
Suatu fungsi f (x) adalah pdf diskrit jika hanya jika memenuhi sifat:
1. f (x) > 0
2. 1 xf
3. Penulisan lain f (x) xf X dengan x = nilai variabel random X
Contoh :
Dari contoh pelemparan koin di atas (Sebuah koin yang dilempar 3 kali), jelas bahwa f (x) =
P (X = x), x = 0, 1, 2, 3. Semuanya 0 dan jumlahnya = 1
2.3 Fungsi Distributif Kumulatif (CDF)
CDF dari variabel acak X didefinisikan untuk sebarang bilangan real x berlaku :
xFxXPxF X
= xFxXP 1
-
11
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Teorema :
Misal X variabel acak diskrit dengan pdf = f(x) dan CDF = F(x). Jika nilai-nilai dari variabel
acak X yang mungkin adalah berurutan naik, maka :
.....321 xxx
11 xFxf dan j , j>1 , berlaku jxf = 1 jj xFxF
Sedangkan untuk x < ix , maka F(x) = 0
Sehingga
xx
j
j
xfxF
Sifat-sifat CDF :
a. 1lim
xFX
b. 0lim
xFX
c. xFhxFh
0
lim
d. bFaFba
Contoh :
Dari contoh pelemparan koin diatas (sebuah koin yang dilemparkan tiga kali), bentuklah
fungsi distribusinya!
Jawab :
84
81
87
1
1 2 3
xF
x
-
12
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
2.4 Variabel Acak Kontinu
Suatu variabel acak X disebut variabel acak kontinu jika terdapat pdf f(x), sedemikian hingga
CDF-nya dapat dinyatakan sebagai :
CDF
x
dttfxF
pdf xFdx
dxf
Secara khusus, jika X variabel acak kontinu, maka :
a. bxaPbxaPbxaPbxaP
a. ,0 kxP dengan k = konstanta
b. b
a
dxxfbxaP
Teorema :
Suatu fungsi f (x) adalah pdf untuk beberapa variabel acak kontinu X, jika memenuhi :
1. 0xf , bilangan real X.
2. 1
dxxf
Contoh :
Jika X merupakan variabel acak kontinu dengan pdf
0,1
0,0
3xxc
x
xf
Tentukan CDF nya!
Jawab :
dxxc
31 = 1
0
21
2
1xc = 1
c = 2
-
13
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Maka, CDF nya adalah :
x
dttfxF = dttx
312
0,11
0,0
2xx
x
xF
2.5 Nilai Harapan
Apabila X adalah variabel acak diskrit dengan pdf f(x), maka Nilai Harapan dari X
didefinisikan sebagai :
n
X
xxfxE1
Contoh :
Dari contoh pelemparan koin di atas (Sebuah koin yang dilempar 3 kali), didapat
2
3xE .
2
3
8
1.0
8
3.1
8
3.2
8
1.3 xE
Jika X variabel acak kontinu dengan pdf f(x), maka Nilai Harapan
dxxxfxE
Contoh :
Dari contoh di atas (Jika X merupakan variabel acak kontinu), maka :
0
3112..0. dxxxdxxxE
Sifat sifat umum nilai harapan
Teorema :
Jika X variabel random dengan pdf f(x) dan u(x) merupakan fungsi bernilai real dari variabel
random X, maka :
R
xfxuxuE , X VAD
R
dxxfxuxuE , X VAK
-
14
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Jika X variabel random dengan pdf f(x), a, b suatu konstanta dan g(x), h(x) suatu fungsi
bernilai real dari variabel x, maka:
xhbExgaExbhxgaE .
Bukti :
Misalkan V variable acak kontinu, maka :
dxxfxbhxgaxbhxgaER
..
= dxxfxbhdxxfxgaRR
.
= dxxfxhbdxxfxgaRR
= xhbExgaE
Secara khusus, bExaEbaxE
RR
dxxfEdxxbfbE 1
2.6 Distribusi Campuran (Mixed Distribution)
Suatu distribusi probabilitas untuk variabel random X dinamakan campuran, jika CDF-nya
dapat dinyatakan sebagai berikut :
xFxFxF cd 1 , dengan 10 x
Contoh :
Misal X adalah variabel random yang menyatakan waktu tunggu sebuah proses dengan CDF
xFxFxF cd .6,0.4,0 , dengan 1xFd dan x
c exF 1 , untuk 0x . Tentukan
bentuk CDF campuran tersebut!
Jawab :
txP = xF
txP = xF1
4,000 xPx
-
15
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
636,016,04,05 xex
Jadi, 0| xtxP =
00
xP
txdanPxP
= 0
0
xP
txP
=
010
xF
FtF
=
4,01
16,04,0
te
= te1
tt eedt
dtF
dt
dtf 1
2.7 Varian
Varian dari variabel acak X didefinisikan sebagai Var(x) = V(x) =
,0,22 xExEx dengan xE
Atau xfxxVar 2 , variabel acak diskrit
Atau dxxfxxVarR
2
, variabel acak kontinu
Teorema :
Jika X variabel acak kontinu, maka 22 xExv
Bukti :
xV 22
xEdxxfxR
= 22 2 xxE
= 22 2 ExExE
= 22 .2 xE
xV 22 xE
-
16
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Contoh :
Perhatikan contoh pelemparan koin sebelumnya, dengan mean = 2
3 . Tentukan varian dan
simpangan bakunya!
Jawab :
x = 0, 1, 2, 3
Var(x) = xfx 2
= 8
1.338
3.2
328
2.2
318
1.
230
2222
Var(x) = 0.75
Maka, 8661,075,0 xV
Teorema :
Jika X variabel acak dan a, b suatu konstanta, maka :
V(ax+b)=V(ax) sehingga V(ax+b) = a2 V(x)
Bukti :
baxV 2baxEbaxE
= 22 baxEbaxE
= xva 2
Jika X,Y dua buah variabel random, maka berlaku :
yxCovyVxVyxV ,2
Jika X, Y independen dan cov (x, y) = 0, maka berlaku :
)()()( yvxvyxv
yxCov , yyxxE
= yExExyE .
Jika X, Y independen, maka :
yExExyE .
Sehingga Cov (x,y) = 0
-
17
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
yx, korelasi (x, y)
= xVyV
yx ),cov(
Secara khusus, ),cov()( xxxV
2.8 Momen
Momen ke-k di sekitar x=0 dari variabel random X didefinisikan sebagai :
kk xE
Momen ke k disekitar x = , didefinisikan : kk xE
Jika k=1 0)(1 xExE
k=2 222 )( xE
Contoh :
Misalkan ada seorang pembalap mobil yang diasumsikan waktu berkendaranya antara 20
hingga 30 menit. Jika X adalah variable acak yang menyatakan waktu dalam menit, maka
tentukan momen ke k dari variable tersebut!
Jawab :
101xf X , 3020 x
101 , untuk yang lain.
Momen ke k dari variable acak tersebut adalah :
kk XEm dxxk
30
2010
110
2030 11
k
kk
, dimana k = 1, 2, 3,
Sehingga diperoleh :
25210
203022
1
m dan
31
633310
203033
2
m
-
18
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Karena Xm 1 , sehingga diperoleh 25X . Dan karena 22
2 XXm , maka diperoleh
3
182 X
Batas batas probabilitas
Jika X suatu variabel random dan x fungsi bernilai real non-negatif, maka untuk sembarang
konstanta positif c, berlaku :
c
xEcp x
)(
Dari teorema batas batas probabilitas di atas, dapat diturunkan sebuah pertidaksamaan
Chebychev, sebagai berikut :
Teorema :
Jika X variabel random dengan mean dan varian 2 , maka untuk sebarang k>0, berlaku :
2
1
kkxP or
2
11
kkxp
Jika diambil
kk
2
2
xP atau
2
2
1
xp
2.9 Aproksimasi Mean dan Varian
Jika suatu fungsi dari variabel random X dapat dinyatakan atau diekspansikan dengan Deret
Taylor di sekitar x , maka mean dan variannya dapat ditentukan. Selanjutnya, misalkan
turunan dari fungsi xHxHxH n,....,, ''' dan xH dapat diekspansikan menurut Deret
Taylor di sekitar x , maka :
........."!2!1
2
''
Hx
Hx
HxH
Sehingga :
....)!2
)( "2
'
Hx
HxHExHE
-
19
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
=
.....2
".
2'
H
xEHxEH
=
200
''
HH
Jadi, 22"2
1
2
1 eeHHxHE
xHV ........' HxHV
= '0 HxV
= xvH2'
= 22' H
Jadi, 22' rHxHV
Contoh :
Jika X variabel random bernilai positif dengan pdf xxf ln , maka tentukan xE ln dan
xV ln
Jawab :
xxH ln maka xH ln
x
xH1'
2
1"
xxH
xHxxE ''22
1lnln
=
2
2 1
2
1ln
x
= 222
1ln
-
20
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
xV ln 22' H
= 22
1
=2
2
2.10 Momen Generation Function (MGF)
Jika X variabel random, maka MGF dari X didefinisikan sebagai berikut :
txx eEtM , hth , 0h
Ekspektasi ini ada nilainya, jika :
X Variabel acak diskrit 11
xfeeEtMi
txitx
x
X Variabel acak kontinu dxxfeeEtMr
txtx
x
Fungsi ini penting terutama dalam mendapatkan mean dan varian.
Secara khusus, jika X variabel diskrit, maka berlaku :
itxi
x xfetM
itxi xfxietxM '
itxi
i xfextxM2
"
:
:
itxir
i
r
x xfextM )(
Jika t = 0, maka :
iix xfxM 0'
= xE
iix xfxM 2'' 0
-
21
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
= 222 rxE
ir
ii
r
x xfxxfM
Jadi , 0' xM
2'''2 00 xMxM
Contoh :
Jika X variabel acak kontinu dengan 0, xexf x , maka tentukan MGF!
Jawab :
dxxfetMR
tx
x
= dxee xtx
0
= dxe xt
0
1
=
xtdt
e xt1
10
1
=
01
1
1 xtet
=
0
1
1
1 xtet
= 101
1
t
1,1
1
t
t
111
1
t
ttM x
111 2' ttM x
-
22
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
= 21 t
10' xM
112 3" ttM x
= 312 t
20" xM
Jadi, 1xE
112 22
Contoh :
Jika X variabel acak diskrit dengan pdf 1
2
1
x
xf dengan x=0,1... Tentukan MGF-nya!
Jawab :
ii
txi
x xfetM
0
=
1
0 2
1
ix
i
txie
=
ix
i
te
0 22
1
=
02
1
i
xis
= ...12
1 2 ss
=
81
1
2
1
= te2
1deret konvergen
Jadi, 2te
2lnt
-
23
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Sifat-sifat MGF :
1. Jika y = ax+b, maka MGF-nya adalah atMetM xbt
y
2. tMetMxy xt
y
Teorema :
Jika MGF X ada, maka 0rxr MxE dengan
1 !
1r
rr
xr
txEtM
-
24
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
BAB III
HUKUM HUKUM PROBABILITAS
Distribusi Probabilitas
Terdapat dua macam distribusi probabilitas, yaitu :
1. Variabel acak diskrit
2. Variabel acak kontinu
Macam-macam distribusi probabilitas variabel acak diskrit :
1. Distribusi Bernoulli
2. Distribusi Binomial
3. Distribusi Hipergeometrik
4. Distribusi Poisson
5. Distribusi Uniform, dll.
Macam-macam distribusi probabilitas variabel acak kontinu :
1. Distribusi Uniform
2. Distribusi Gamma
3. Distribusi Eksponensial
4. Distribusi Weibull
5. Distribusi Normal, dll.
VARIABEL ACAK DISKRIT
3.1 Distribusi Bernoulli
Suatu variabel acak X berdistribusi Bernoulli jika pdf-nya berbentuk :
,...1,0,)( 1 xqpxf xx
p = sukses, jika 0 < p < 1
q = gagal, jika (1 - p)
-
25
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Teorema :
Jika X Bernoulli, maka :
pxE )(
pqxv )(
Contoh :
Buktikan teorema diatas dan cari MGF-nya!
Jawab :
)()( xxfxE )()( 22 xfxxE
= pq .1.0 = pq .1.0
= p = p
Sehingga, 22 ))(()()( xExExv
= 2pp
= )1( pp
= pq
)()( qpetM tx
3.2 Distribusi Binomial
Ciri-ciri :
a. Percobaan dilakukan n kali dan independen
b. Peluang sukses (p) dan gagal (q)
Suatu variabel acak X berdistribusi Binomial, jika pdf-nya berbentuk :
,...1,0,)(
xqp
x
nxf xnx
),,()( pnxbxf
= ),( pnBIN
-
26
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Teorema :
Jika X BIN (n, p), maka :
npxE )(
npqxv )(
ntx qpetM )()(
Bukti :
)()( txx eEtM
= iiixnxtx
qpx
ne
=
ii xnxt qpe
x
n)(
= nt qpe )(
nba )( = inin
oi
bai
n
)0(')( xxE
2))0('()0('')( xxxv
Contoh :
0046,02
1
2
1
16
20
2
1,10,16
416
b
3.3 Distribusi Hipergeometris
Suatu populasi akan berdistribusi Hipergeometris apabila memenuhi :
a. Berukuran M, diantaranya bersifat a (tertentu).
b. Sampel diambil secara random berukuran n, x diantaranya bersifat a.
c. Pengambilannya tanpa pengembalian.
-
27
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Definisi :
Variabel random X dikatakan berdistribusi Hipergeometris, jika pdf-nya berbentuk :
nx
n
N
xn
MN
x
M
MNnxh ,...,2,1,0,),,,(
Teorema :
Jika X distribusi Hipergeometris, maka :
N
nMxE )(
11)(
N
MN
N
M
N
nMxv
Bukti :
)()( xxfxE
n
N
xn
MN
x
M
x
1
1
1
1
0
n
N
n
N
xn
MN
x
M
x
Mx
n
x
1
1
1
1
1
n
N
xn
MN
x
M
N
nMn
x
Misal :
1 xy , maka 1 xy , sehingga 0,1 yx
Sehingga :
-
28
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
1
0
1
1
1
1
n
x
n
N
yn
MN
y
M
N
nM
N
nMxEJadi )(,
n
N
xn
MN
x
M
xxE 22 )(
Dengan cara yang sama, maka
22 ))(()()( xExExv
11)(,
n
MN
n
M
N
nMxvJadi
Contoh :
Sepuluh produk diambil dari sebuah dos besar berisi 1000 produk, 400 diantaranya rusak.
Sampel tersebut diambil secara random. Dari sepuluh yang diambil tadi, terdapat lima
produk yang cacat.
Jawab :
x= 5, n=10, N=1000, M=400
2013,0
10
1000
5
600
5
400
)400,1000,10,5(),,,(
hMNnxh
Teorema :
Jika X berdistribusi Hipergeometris dan nx ,...,1,0 , N , M , PN
M ,maka :
-
29
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
xqx
Nqp
x
n
n
N
xn
MN
x
M
lim
3.4 Distribusi Poisson
Suatu variabel random X berdistribusi Poisson jika pdf-nya berbentuk :
0,...,2,1,0,!
)(),(
xx
exfxf
xx
Teorema :
Jika X berdistribusi Poisson, maka )1()(,)(,)( te
x etMxvxE
Bukti :
)()( ixx eEtM
=
n
x
xtx
x
ee
0 !
= !x
ee
xtx
= !
)(
x
ee
xt
= etxee
= )1( tee
tex eetM
t
)1()('
)0('xM
)1(2)1( )()()('' tt extte
x eeeetM
2)0(nM
2))0('()0()( xxn MMxv
= 22
=
-
30
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Teorema :
Jika ),( pnBINX , maka untuk setiap nilai x = 0,1,2,,n dan 0P dengan np
suatu konstanta, maka !
)1(limx
epp
x
n xxnx
n
, dengan .
Contoh :
Buktikan teorema diatas!
Jawab :
xnx
xnx
nnxnx
npp
x
n
1
)!(!
!)1(
=
xnx
nnxxx
xnnnn
1
)1)...(2)(1(
)1)...(2)(1(
=
xn
x
x
nnnx
xnnnn
11
!
)1)...(2)(1(
=
xnx
x nnxn
xnnnn
11
!
)1)...(2)(1(
=
xnx
n nnxnnnn
xnnn
11!.....
)1)...(1(lim
= 1..!
.1 ex
x
= !x
ex
(Terbukti)
-
31
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
3.5 Distribusi Uniform Diskrit (Seragam)
Suatu variabel random X berdistribusi Uniform Diskrit, jika pdf-nya berbentuk :
NNN
,...,2,1,1
f(x) = Memiliki peluang yang sama
0, yang lain
Teorema :
Jika )(NDUX , maka danNxE ),1(2
1)( )1(
12
1)( 2 Nxv
Contoh :
Buktikan teorema diatas!
Jawab :
N
x
xxfxE1
)()(
= N
x1
= NN
...211
= nUaNN
2
11
=
1
2
11NN
N
= 12
1N (Terbukti)
22 )()( xxfxfxxv
=
2222 14
1...321
1NN
N
-
32
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
= )1(12
1 2 N
(Terbukti)
VARIABEL ACAK KONTINU
3.6 Distribusi Uniform Kontinu
Suatu variabel acak X berdistribusi Uniform Kontinu pada interval (a,b), jika pdf-nya
berbentuk :
),( baUNIFx
bxaab
baxfpdf
,1
),,(
= 0, yang lain
ax ,0
),,( baxFCDF xaab
ax
,
bx ,1
Teorema :
Jika ),( baUNIFX , maka danabxE ),(2
1)( 2)(
12
1)( abxv
Contoh :
Buktikan teorema diatas!
Jawab :
b
a
dxxxfxE )()(
=
b
a
dxab
x1
-
33
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
=
b
ax
ab
2
2
11
=
22
2
1
2
11ba
ab
= ababab
2
11
= )(2
1ab
(Terbukti)
b
a
b
a
dxxxfdxxfxxv
2
2 )()()(
=
b
a
abdxab
x22
4
11
= 234
1
3
11ab
b
ax
ab
= 2233 24
1
3
11aabbab
ab
= 22224
1
2
1
4
1
3
11aabbaabbab
ab
= 2222
4
1
2
1
4
1
3
1
3
1
3
1aabbaabb
= 22
12
1
6
1
12
1aabb
= 22 212
1aabb
= 212
1ab
(Terbukti)
-
34
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
3.7 Distribusi Gamma
Untuk memahami distribusi Gamma, perlu diketahui fungsi Gamma secara umum dan
sifat-sifatnya. Secara umum, fungsi Gamma didefinisikan sebagai :
dtetx t
0
1
Sifat-sifatnya :
1. 0,1 xx
2. Annn ,!1
3. 11
4.
2
1
X suatu variabel acak kontinu dengan distribusi Gamma dengan parameter positif dan
negatif, jika pdf-nya berbentuk :
0,0,0,1
,,:),( 1
xexxfGAMxx
dan merupakan parameter-parameter tertentu, merupakan parameter bentuk
dan merupakan parameter skala. Karena merupakan bentuk, maka bentuk kurva
distribusi Gamma tergantung dari nilai .
Teorema :
Jika ),( GAMX , maka danxE ,)( 2)( xv
Contoh :
Buktikan teorema diatas!
Jawab :
dxxxfxE
0
)(
=
dxexx
xx
1
0
1
-
35
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
=
dxexx
x
0
1)1(1
=
dxexx
x
1)1(
0
1
1
1
11
=
dxexx
1)1(
0
1
1
1
11
=
1.
=
(Terbukti)
Akibat khusus :
CDF-nya : ),( GAMX
dtetxFt
1
0
1,,
Jika 2 dan 2
, maka
2,2)(2
GAMGAMxx
Jika 1 , maka aleksponensiGAM 1,
3.8 Distribusi Eksponensial
X berdistribusi Eksponensial ( )exp(X ), jika pdf-nya :
0,0,1
,
xexfx
Jika
1
, maka : 0,0,, xexf x
CDF-nya berbentuk : x
exF
1),(
-
36
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Teorema :
Jika X berdistribusi Eksponensial, maka danxE ,)( 2)( xv
Secara khusus, distribusi Eksponensial merupakan distribusi yang sangat penting,
khususnya di bidang teori (keandalan). Pada umumnya, pada distribusi eksponensial
berlaku sifat no memory, seperti pada teorema berikut :
)exp(X , jika hanya jika : 0,,| toatxPaxtaxP no memory
Bukti :
axPaxdanPtaxP
axtaxP
|
= taxP
=
a
ta
e
e
)(
= txP
(Terbukti)
Contoh :
Masa usia sejenis komponen listrik berdistribusi Eksponensial dengan rata-rata 100 jam.
Tentukan probabilitas bahwa komponen tersebut dapat digunakan 50 jam lagi dari batas
yang ditentukan perusahaan!
Jawab :
P = 0,6065
3.9 Distribusi Weibull
Seperti pembahasan sebelumnya, distribusi Weibull sering diaplikasikan untuk
mendapatkan keandalan sejenis komponen tertentu. Sama seperti distribusi Gamma
maupun distribusi Eksponensial.
Definisi :
-
37
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Suatu variabel acak 0,0,, weiX , maka :
0,1
xex
x
,,xf 0, yang lain
Jika 1 , maka :
x
exf1
1,, )exp(x
Jika 2 , maka :
2
22,,
x
xexf Rayleighx
Bentuk CDF-nya :
x
exF 1,,
Terorema :
Jika ),( weiX , maka :
1
1)(xE
11
21)( 22xv
3.10 Distribusi Normal
Distribusi ini dinamakan juga distribusi Gauss dan mempunyai 2 parameter. Selain
kelebihan di atas, distribusi ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan beberapa kasus /
persoalan yang terkait dengan distribusi hampiran (limited distribution). Salah satu
teorema yang terkenal yang terkait dengan distribusi Normal adalah CLT (Central
Limited Distribution).
Definisi :
Variabel X acak kontinu berdistribusi Normal dengan parameter (mean) dan
(simpangan baku).
-
38
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
xexfNx
x
,0,,2
1,,),(
2
2
1
2
2)(
RR
dxxxfdxxfxxv
= 2xE
Sifat-sifat :
1. 0,, xf
2. 1,, dxxfR
Contoh :
Buktikan : 1,, dxxfR
Jawab :
dxe
x
R
2
2
1
2
1
Ambil dxdzx
z
1
= dzez
R
2
2
1
2
12
Misal :
dvvdzvz
vz
zv
2
1
2
2
2
1.22
2
2
1
= dvve v 21
02
12
2
12
-
39
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
= dvev v
21
0
1
= dvev v
0
2
11
= 2
1
2
11
2
11
0
1
dtt
=
= 1
Selanjutnya, jika Z berdistribusi Normal baku dengan rata-rata = 0 dan = 1, yang
dinotasikan )1,0(Nz , maka pdf-nya berbentuk :
zezpdfz
,2
1 22
1
dttzCDF
Sifat-sifat :
1. pfungsigenazz
2. )1,0(N simetris di z = 0
Teorema :
Jika ),( NX , maka xxPx
xFx
Contoh :
Misalkan X variabel acak yang menyatakan masa pakai suatu komponen listrik dengan
ukuran bulan. Jika variabel diasumsikan berdistribusi Normal dengan = 60 dan 2 = 36
-
40
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
bulan. Tentukan probabilitas bahwa komponen tersebut masa pakainya maksimal 4
tahun!
Jawab :
6
604848 xP
= 2
= 2
= 0228,0
Teorema :
Jika ),( NX , maka 22
2
1tt
x etM
Bukti :
txx eEtM
Misal :
zx
xz
txx eEtM
= dzzfeR
t
2
= dzeez
R
tz2
2
1
2
1
=
dteettz
R
22
2
1
2
1
2
1
=
dzeetz
R
t22
2
1
2
1
2
1
= 1.2
2
1t
e
Sehingga tx MtM 2
-
41
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
= tzt Me
= 22
2
1t
t ee
= 22
2
1tt
e
(Terbukti)
Teorema :
Jika ),( NX , maka :
0'xxE
20'0" xxxv
-
42
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
BAB IV
JOIN DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM
4.1 Join Distribusi (Distribusi Bersama)
Dalam analisis statistik, distribusi bersama umumnya distribusi yang terdiri dari k buah
variabel random (berdimensi k) atau sering dinamakan vektor random.
vektoracakXXXX k ,...,, 21
Definisi :
pdf bersama dari variabel acak diskrit berdimensi k (vektor random) didefinisikan sebagai
berikut :
kkk xXxXPXXf ,...,,..., 111
= kk xXxXP ...11
Untuk semua nilai (x), kXXXX ,...,, 21 dari vektor random yang mungkin.
Contoh :
Sebuah dos berisi 1000 bolpen, 400 warna merah, 400 warna hitam, sisanya biru. Jika 10
bolpen diambil secara random sekaligus tanpa pengembalian, maka tentukan probabilitas
banyaknya bolpen yang terambil berwarna merah, hitam, dan biru.
Jawab :
10
1000
200400400
,,10,10002121
21
XXnXXXXf , dengan nXXX 321
Distribusi bersama biasanya terkait dengan distribusi multinomial (perluasan dari binomial).
4.2 Distribusi Multinomial
Misalkan terdapat 1k kejadian yang terbatas dan saling asing, yakni 121 ,...,, keee dengan e
= event yang terjadi dari sebuah eksperimen dan misalkan ii EPP .
-
43
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Misalkan Xi variabel acak menyatakan banyaknya kejadian Ei dari n eksperimen, maka
vektor random dikatakan berdistribusi multinomial, jika pdf-nya berbentuk :
11 1111
1 ...,!!...
!,...,
kX
k
X
k
k PPXX
nXXf
niXnXk
i
ik
0,1
1
k
i
ik PP1
1 1
kPPPnmultX ,...,,, 21
Teorema :
Suatu fungsi kXXf ,...,1 adalah pdf bersama untuk beberapa vektor random jika hanya jika
berlaku :
a. kiiXXf k ,...,2,1,,0,...,1
b. 1,...,...1
1 X X
k
k
XXf
Contoh :
1. Sebuah bidang tetrahedron dilemparkan sebanyak 20 kali, masing-masing permukaaan
mempunyai peluang yang sama, yakni 1/4. Tentukan probabilitas bahwa dari percobaan
tersebut munculnya angka 1 adalah 4 kali, angka 2 adalah 6 kali, angka 3 dan 4 adalah 5
kali.
Jawab :
205564
4
1
!5!.5!.6!.4
!20
4
1
4
1
4
1
4
1
!5!.5!.6!.4
!20
= %9,00089,0
2. 4,0;4,0;3multX
-
44
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
X1/X2 0 1 2 3
0 0,008 0,048 0,096 0,064 0,216 f1(0) = P(X1=0)
1 0,048 0,192 0,192 0 0,432 f1(1) = P(X1=1)
2 0,096 0,192 0 0 0,288 f1(2) = P(X1=2)
3 0,064 0 0 0 0,064 f1(3) = P(X1=3)
0,216 0,432 0,288 0,064 1
Peluang : harus 1 (0,4)0(0,4)0(0,2)3 = 0,008
3,23,12,13,02,01,0 ffffffXxP
=
00192,0064,0096,0048,0
= 4,0
Definisi :
Jika pasangan variabel acak diskrit X1, X2 mempunyai pdf 21 , XXf , maka pdf marginal
dari X1 dan X2 adalah :
2
2111 ,X
XXfXf (X1 fixed and X2 variable)
1
2122 ,X
XXfXf (X2 fixed and X1 variable)
CDF bersama dari k variabel acak (vector random) adalah suatu fungsi yang didefinisikan
sebagai berikut :
kkk xXxXFXXF ,...,,..., 111
Teorema :
Suatu fungsi 21 , XXF adalah CDF bivarian jika hanya jika berlaku :
1. 2221 ,0,,lim1
XXFXXFX
2. 1121 ,0,,lim2
XXFXXFX
-
45
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
3. 1,,lim 21, 21
FXXFXX
4. dcbacaFdaFcbFdbF ,,0,,,,
5. 2121210
210
,,,,lim,lim XXXXFhXXFXhXFhh
4.3 Variabel Acak Kontinu Bersama
Suatu variabel random (vektor random) dikatakan kontinu jika terdapat fungsi pdf bersama
kXXf ,...,1 dari vector random tersebut, sedemikian sehingga CDF-nya dapat dinyatakan
sebagai berikut :
kkX X
kk ttdtdttttfXXXFk
,...,,,...,,...,,........,, 112121
1
Teorema :
pdf bersama kXXf ,...,1 jika hanya jika memenuhi :
a. 0,...,1 kXXf
b. 1,...,,...,..... 11
kk dXdXXXf
Pdf marginal : 22111 , dXXXfXf
= 121, dXXXf
Contoh :
Misalkan X1 menyatakan konsentrasi dari substansi tertentu dari percobaan 1 dan X2
menyatakan konsentrasi dari substansi tertentu dari percobaan 2. Jika diasumsikan bahwa pdf
bersamanya 10;10,4,. 212121 XXXXXXf , maka tentukan CDF-nya.
Jawab :
-
46
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
212121 .,.....,2 1
dtdtttfXXF
X X
= 210 0
21 ...4.....2 1
dtdttt
X X
= 221 , XX
4.4 Variabel Random Bebas Stokastik
Dalam analisis statistik (inferensi statistik), variabel random bebas stokastik merupakan
pokok bahasan yang penting, karena hampir sebagian besar persoalan analisis statistic terkait
dengan variabel random bebas stokastik.
Definisi :
X1 dan X2 variabel acak diskrit dengan pdf bersama 21 , XXf , dikatakan bebas stokastik
jika dapat dinyatakan sebagai : 221121 ., XfXfXXf Dengan cara yang sama, apabila X1 dan X2 merupakan variabel acak kontinu sedemikian
sehingga 221121 ., XfXfXXf , maka :
212121 ,, dXdXXXfdXcbXaPd
c
b
a
= 2121 . dXdXXfXfd
c
b
a
= 222111 . dXXfdXXfd
c
b
a
Jadi, dXcPbXaPdXcbXaP 2121 ., Secara umum, variabel random 21 ,..., XX dikatakan bebas stokastik jika
kiba ii ,...,2,1, berlaku bahwa :
k
i
iiikkk bXaPbXabXaP1
111 ,...,
-
47
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Teorema :
Vektor random X bebas stokastik jika hanya jika :
CDF
k
i
iik XFXXF1
1 ,...,
pdf
k
i
iik XfXXf1
1 ,...,
Contoh :
X1/X2 0 1 2 f1(X1)
0 0,1 0,2 0,1 0,4
1 0,1 0,2 0,1 0,4
2 0,1 0,1 0 0,2
f2(X2) 0,3 0,5 0,2 1
f (1,2) = 0,1 1.11,1 21 fff f1 (X1) = 0,4 2.12,1 21 fff 5,0.4,02,0
f2 (X2) = 0,2 Sehingga bebas stokastik
Sehingga bukan bebas stokastik
4.5 Distribusi Bersyarat (Conditional Distribution)
Jika X1, X2 variabel acak diskrit atau variabel acak kontinu dengan pdf bersama 21 , XXf ,
maka pdf bersyarat dari X2 dengan syarat :
0,,
| 1111
21112 Xf
Xf
XXfxXXf
Dengan cara yang sama,
0,,
| 2222
21221 Xf
Xf
XXfxXXf
Jika X1, X2 bebas stokastik, maka :
-
48
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
a.
2211
2211
11
21122212
.,|| Xf
Xf
XfXf
Xf
XXfXXfXfXXf
b. 1121 | XfXXf
Contoh :
Jika x dan y dua variabel acak kontinu yang mempunyai pdf bersama :
10;10,, yxyxyxf
Tentukan :
a. xyf |
b.
4
1|
2
10 xyP
Jawab :
a.
2
1
0
1
2
1.
,|
21
0
x
yx
xyy
yx
dyyx
yx
xf
yxfxyf
b.
2
14
1|
2
10
x
yxxyP
= dy
y
.
2
1
4
14
12
1
0
=
4
3
02
1
4
1
2
1 2
yy
= 3
1
4
38
2
-
49
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Sifat sifat probabilitas
1. Jika X vektor random yang mempunyai pdf bersama kXXf ,...,1 dan jika )(xuy
merupakan fungsi dari vektor random, maka :
Variabel acak diskrit
))(()( xuEyE
= ),...,(),...,(... 111
kk
X X
XXfXXuk
Variabel acak kontinu
))(()( xuEyE
= kkk dXdXXXfXXu ,...,),,...(),...,(.... 111
Teorema :
Jika X1, X2 suatu random variabel dengan pdf bersama 21 , XXf , maka :
)()()( 2121 XEXEXXE
Bukti :
21212121 ),()( dXdXXXfXXXXE
= 22121211 ),(),( dXXXfXdXXXfX
= )()( 21 XXE
Jadi, terbukti bahwa )()()( 2121 XEXEXXE
2. Jika kiai ,...,2,1, suatu konstanta, maka :
iiii XaEXaE
Teorema :
Jika x, y dua variabel random bebas stokastik g(x) dan h(y) sebuah fungsi, maka :
-
50
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
))(())..(())()(( yhExgEyhxgE
Secara umum, jika x vektor random saling independen dan u(x) suatu fungsi, maka :
))()),...,(())(( 1 kXuXuExuE
= ))(()),...,(( 1 kXuEXuE
4.6 Covarian
Definisi covarian bersama antara x dan y :
yExExyEyxEyx xyyx ,cov Jika x = y, maka xx xxExx ,cov
= 22 2 xxxxE
= 22 xExE
= xv
= 2
x
Teorema :
Jika x dan y bebas stokastik, maka :
yExEyxE , , sehingga cov (x, y) = 0
Apabila cov (x, y) = 0, maka tidak berlaku x dan y bebas stokastik.
Sifat sifat covarian
1. Cov
Bukti:
=
=
=
-
51
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
2.
3.
4.
Teorema :
Jika X, Y variabel random, maka :
=
=
=
=
Jika X, Y independen, maka:
=
=
(Terbukti)
Jika X vector random yakni dan suatu konstanta, maka
varian jika x saling independen,
maka :
Contoh :
=
=
-
52
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
=
= 2 + 1 + 4 + 2
= 9
4.7 Korelasi
Jika X dan Y merupakan variabel random dengan variansinya maisng-masing adalah
dan kovariansinya adalah Maka korelasi X dan Y
didefinisikan
Sifat sifat korelasi :
1.
2.
Dengan
0,jika
-1,jika
3. a. corrxy 0
b. corrxy 0
c. eduncorrelatxy 0
4. Jika x,y bebas stokastik, maka tetapi tidak berlaku sebaliknya.
4.8 Ekspektasi Bersyarat
Jika X dan Y variabel random berdistribusi bersama f (X,Y), maka harapan Y yang diberikan X
didefinisikan sebagai :
xYfYxXYE |.| , x, y variabel acak diskrit
-
53
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
dyxYfYxXYE
|.| , x, y variabel acak kontinu
Contoh :
Misalkan diketahui pdf bersama dari variabel random Y yang diberikan X sebagai berikut :
ZXX
YX
XYE 0,2
0,2
|
Cari xXYEYEXYE XY || | !
Jawab :
40
22
1.
2.
2.| 2
2
0
2
0
xxY
xdY
xYYxXYE
xx
Teorema :
Jika X dan Y variabel random berdistribusi bersama, maka :
yExyEE |
Bukti :
Misal : xhxyE |
dxxfxhxhExyEE 1|
= dxxfxyE 1|
= dxdyxfxyfy ...|. 1
= dxdyyxfy ..,.
= dydxyxfy ..,
-
54
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
= yE
(Terbukti)
Contoh :
Dari soal sebelumnya, jika xxyE4
1| dan 20,
21 x
xxf , maka cari yE !
Jawab :
dxxx
dxxfxyEyE .2
.4
.|
2
0
1
2
0
= 0
2
4.2
1 3
x
= 3
1
24
8
Dari contoh-contoh di atas, ekspektasi bersyarat dapat juga digunakan untuk 2 variabel yang
saling bebas stokastik. Jika x, y bebas stokastik, maka :
a. yExyE |
b. xEyxE |
Variansi bersyarat dari y diberikan x didefinisikan sebagai :
22 ||| xyExyExyv
Teorema :
Jika X dan Y variabel random berdistribusi bersama, maka :
2|var|var xyExyEyv Bukti :
22 |||var xyExyEExyE
= 22 | xyEEyE
-
55
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
= 2222 | xyEEyEyEyE
= 22|var yExyEEy = xyEy |varvar
4.9 MGF Bersama
MGF bersama dari vector random X jika ada, didefinisikan sebagai :
hthXtEtMk
i
iix
1
1
,exp
Jika 21, , ttM yx ada, maka variabel random x, y bebas jika hanya jika :
2121, ., tMtMttM yxyx
-
56
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
BAB V
FUNGSI VARIABEL RANDOM
Tujuan dari subpokok bahasan ini adalah menentukan distribusi pdf dari fungsi variabel
acak. Dengan syarat, variabel acak sebelumnya (x) biasanya sudah diketahui bentuk CDF-nya.
Terdapat tiga metode / teknik untuk mendapatkan distribusi fungsi variabel acak. Teknik tersebut
antara lain :
5.1 Metode CDF.
5.2 Metode transformasi variabel acak (transformasi satu-satu atau transformasi yang lain).
5.3 Metode MGF.
5.1 Metode CDF
Misalkan variabel acak X mempunyai CDF Fx (x). Dan misalkan y = u(x) suatu fungsi
variabel acak X, maka teknik CDF ini adalah menentukan fungsi diatas dengan asumsi
variabel acak X terdefinisi dengan jelas. Secara khusus, misalkan untuk setiap bilangan real y
didefinisikan Ay = {x |u(x) y}, maka Y y X Ay.
Contoh :
A = {x | x A 10}
B = {1,2,3,,10}
C = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}
Sehingga dari pengertian diatas bentuk CDF dari Y adalah :
Fy (y) = P {u(x) y}
= P {x Ay}
= P [ 21 xxx ]
= dxxf
x
x
x )(2
1
= Fy ( 2x ) Fy ( 1x )
Jadi, pdf = yd
dCDF.
-
57
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Contoh :
1. Diketahui Fx (x) = 1 e-3x, x0 . Tentukan pdf dari Y = ex!
Jawab :
Fy (y) = P[Y y]
= P[ex y]
= P[x ln y]
= P[Fx (hy)]
= 1 e-3ln y
= 1 2
1
y, y1
Jadi, Fy (y) = )1
1(2ydy
d
= 3
2
y, y1
2. Jika X variabel acak kontinu. Tentukan pdf dari Y = x2 !
Jawab :
Fy (y) = P[Y y]
= P[x2 y]
= P[ yxy ]
= P( yx ) P( xy )
= Fx ( y ) Fx (- y )
Fy (y) = dy
d( Fx ( y ) Fx (- y ))
=
dy
yFd
dy
yFd xx
= y
yfy
yf xx2
1
2
1 , untuk 0y
-
58
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Teorema :
Misalkan X vector random dari variabel acak kontinu dengan pdf bersama kxxxX ,...,, 21 .
Maka CDF dari Y berbentuk yxuPyFy = kA
k dxdxxxxf
y
...,...,, 121 dengan Y =
xu dan yxuxAy |
Contoh :
Misalkan Y = 21 xx dengan 1~ Expxi , tentukan pdf dari Y, 21 xyxp , yx 10 ?
Jawab :
yFY = yYP
= yxxP 21
= 210 0
21
2
, dxdxxxf
y xy
=
21
0 0
2
21 dxdxe
y xy
xx
= 2100
2
12 dxdxee
xy
x
y
x
= 20
0
212 dxee
yxy
xx
= 2
0
221 dxeex
y
xy
= 20
2 dxee
y
yx
= yyx xee02
2
= 1 yy yee
= yy yee 1
Jadi, pdf dari 21 xxy adalah yy yeedy
d 1
-
59
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
5.2 Metode Transformasi Variabel Acak
Dalam metode transformasi ini, terdapat dua hal, yaitu :
5.2.1 Metode Transformasi Satu Satu
Misalkan X variabel acak diskrit dengan pdf f(x) dan misalkan y = u(x) merupakan
fungsi transformasi satu-satu, maka pdf dari Y dinyatakan sebagai:
)()( ywxxuy
Byywfyf xy , dengan 0 yfyB y
Contoh :
1. X ~ GEO (p) dengan pdf ,...2,1,1 xpqxf xx
Dan y = x-1, tentukan pdf Y!
Jawab :
x = y+1
ywx
yf y ywf x
= 1yfx
11. yqp
,....1,0, ypq y
Misalkan X variabel acak kontinu dengan pdf f(x) diasumsikan bahwa y=u(x)
merupakan fungsi satu-satu dari himpunan 0,0 yfyBxfxA yy dengan
transformasi invers x=w(y). Jika turunan w(y) kontinu dan tidak bernilai nol pada
himpunan B, maka pdf dari y dapat dinyatakan sebagai
ywdy
dywfyf xy Contoh :
Misalkan CDF dari variabel random X adalah xexF 21 , maka tentukam pdf dari
xey dengan metode transformasi!
Jawab :
-
60
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
ywyxey x ln
yw' y
1
yf y jywfx
= 3
ln2 1111yyy
e y
wf y 1 yFdy
dy , dengan y1
= 42 3 yy
4
2 3
y
y
xx exf21
xFdx
dxf xx
= xe 22
Jywfyf xy
=y
e y1
2 ln2
=3
2
y
2. Misalkan X variabel acak kontinu berdistribusi uniform
2,
2
U . Tentukan
distribusi fungsi axbY tan !
Jawab :
pdf ab
baU
1
,
1
22
1
2,
2
Uxf x
-
61
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
axby tan
ayxb tan
b
ayx
tan
yw =b
ayrcx
tan
Misal : b
ayyf
Maka : 21
''
yf
yfyw
2
1
1
b
ay
b
dy
ydw
= 22 aybb
Sehingga :
Jywfyf xy
=
22
1
ayb
b
5.2.2 Metode Transformasi Bukan Satu Satu ( Umum )
Transformasi untuk k buah variabel random
Secara umum, transformasi variabel random dapat diterapkan k buah variabel, y =
u(x) dengan asumsi fungsi variabel tersebut mempunyai penyelesaian tunggal.
X=(x1,x2,...,xk) dan mempunyai jacobian matriks sebagai berikut :
-
62
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Teorema :
Jika X suatu vektor random yang kontinu dengan PDF bersama:
pada himpunan A dan Y= , merupakan transformasi satu-satu yakni
yi=u(xi), i=1,2,...,k dan jacobian matriks kontinu tidak nol, maka PDF dari y adalah
X= solusi tunggal dari y.
Contoh :
Misalkan x1 & x2 adalah 2 variabel random independen yang masing-masing
berdistribusi eksponensial satu.
x=1 exp(1)
Dengan pdf bersamanya :
= , x1>0, x2>0
Maka tentukan pdf bersama dari y1 & y2 bila diketahui y1= , y2 =
-
63
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Jawab:
y1=
y2 =
= = 1
=
=
=
Jadi G
1,2,1 1
x
ex
-
64
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
5.3 Metode MGF
Sebagaimana metode sebelumnya, metode MGF ini juga dapat digunakan dengan mudah
untuk menentukan distribusi variabel random atau jumlah fungsi variabel random.
Jika (x1,x2,...,xk) merupakan n buah variabel random yang saling independen aatau bebas dan
masing-masing punya MGF : maka jumlah n buah variabel random
diatas yakni :
x,y independen
Contoh :
Misalkan variabel random berdistribusi binomial yang saling independen :
dengan
Tentukan distribusi dari
-
65
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Jawab:
=
=
=(
=
BIN (
5.4 Order Statistik (yi)
Konsep order statistik merupakan konsep yang terkait variabel random yang nilai-nilai
observasinya diurutkan sesuai variabel random tersebut.
Contoh :
Misalkan x variabel random yang menentukan lamanya waktu tahan hidup dari 5 macam
bola lampu yang diuji hasilnya.
x1 = 5 bulan y2
x2 = 2 bulan y1
x3 = 6 bulan y3 pengurutan mulai dari yang terkecil
x4 = 10 bulan y5
x5 = 7 bulan y4
Secara umum (misal terdapat n pengamatan)
-
66
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Teorema :
Jika variabel random dari suatu populasi yang kontunyu, maka PDF
bersamanya dari statistik urut
Misalkan : A1 =
A2 =
A3 =
A4 =
A5 =
A6 =
B =
A1= = , ,
A1= = , ,
Dengan memperhatikan nilai-nilai jacobian diatas dan berdasarkan metode transformasi
sebelumnya, maka PDF bersama dari kasus diatas merupakan perkalian dari faktor-faktor
, sehingga PDF bersamanya dinyatakan :
-
67
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Contoh :
1. Misalkan menyatakan sampel random dengan PDF
. Tentukan PDF bersama dari statistik bersama dan PDF
marginal!
Jawab :
Penurunan distribusi dari order statistik ke-k dapat juga dilakukan hubungan antara PDF
dan CDF :
2. Misalkan , variabel acak kontinyu dengan PDF :
. Tentukan bentuk dari distribusi marginal
dari (pengamatan yang terkecil)!
Jawab:
-
68
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
; a< 0
-
69
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Untuk a
-
70
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Maka dikatakan konvergen dalam distibusi ke dan dinyatakan
Contoh :
Misalkan sampel random dari distribusi eksponensial dan order statistik
terkecil. Maka tentukan CDF !
Jawab :
F(-) = 0
F() = 1
Definisi :
Suatu barisan dari variabel random dikatakan konvergen stokastik pada
konstanta c jika barisan tersebut mempunyai distribusi limit pada y=c.
Dari definisi tersebut, maka dapat diturunkan definisi distribusi generate.
5.6 Distribusi Generate
Fungsi G(y) adalah CDF dari distribusi generate pada nilai y=c jika :
Dengan kata lain, G(y) adalah CDF dari distribusi variabel acak diskrit jika probabilitas
bernilai 1 pada titik y=c dan bernilai 0 pada yang lain.
-
71
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
5.7 Distribusi Paretto
Suatu variabel acak kontinu X dikatakan berdistribusi paretto dengan >0, >0
Jika PDF-nya berbentuk :
Contoh :
Misalkan berdistribusi paretto satu-satu dan order statistik terkecil,
maka tentukan CDF dari !
Jawab :
= G(Y)
5.8 Teorema Limit Pusat
Misalkan suatu barisan variabel random dengan CDF masing-masing :
dan MGF masing-masing adalah
Jika M(t) suatu MGF dan CDFnya G(Y) dengan
-
72
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Maka
Contoh :
Misalkan suatu sampel random dari distribusi bernoulli dengan
Yn =
sedemikian hingga np= maka tentukan distribusi limit dengan
CLT!
Jawab :
M (t)
, maka Yn =
=M(t)
Dari contoh diatas, konsep distribusi limit dan CLT dan keduanya menentukan dengan
pendekatan
Satu hal yang perlu diketahui, apabila bentuk CDF tidak memenuhi sifat-sifat umum, maka
barisan Yn tidak mempunyai distribusi limit pendekatan.
Teorema limit pusat secara khusus :
Jika merupakan sampel random dari sebuah distribusi dengan PDF f(x), dan
mean dan varian berhingga, maka distribusi limit dari :
-
73
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa Theorema limit Central dapat dimodifikasi
berdasar konsep-konsep statistik dasar, yaitu :
1.
2. Jika , maka:
5.9 Aplikasi CLT
Untuk menerapkan dalil limit pusat dalam permasalahan sehari-hari maka theorema limit
pusat dapat dimodifikasi sesuai dengan kasus. Terdapat beberapa modifikasi dalam beberapa
hal :
1.
2.
Contoh :
Misalkan adalah mean sampel random berukuran 75 dari distribusi dengan PDF
Tentukan peluang P(0,45< !
Jawab :
-
74
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
5.10 Konvergen Stokastik
Konsep konvergen stokastik banyak digunakan untuk menunjukkan bagaimana sebuah
random variabel dapat digunakan untuk pendekatan asimtotik normal.
Misalkan merupakan distribusi dari variabel random yang distribusinya tergantung
pada bilangan bulat positif n. Jika c merupakan konstanta yang tidak tergantung pada n maka
variabel random dikatakan konvergen stokastik/ probabilistik/ lemah ke-c jika dan hanya
jika untuk setiap berlaku :
Dari konsep diatas, konvergensi stokastik dapat diperluas terhadap barisan variabel random.
Misalkan {Xn} barisan variabel random , n=1,2,.... dan X=variabel random yang terdefinisi
pada ruang parameter () maka : konvergensi dari barisan tersebut dapat diuraikan melalui 3
macam konvergen :
1. Konvergen almost sure / konvergen dengan probabiitas 1 / konvergen strong
2. Konvergen stokastik / konvergen probabilistik / konvergen weak
3. Konvergen distribusi / konvergen lengkap
Definisi :
Misalkan Xn barisan variabel random dikatakan konvergen hampir pasti ke-x, jika untuk
setiap > 0 berlaku :
Xn dikatakan konvergen lema ke-x jika untuk setiap > 0 berlaku :
Xn dikatakan konvergen dalam distribusi ke-x jika :
Untuk menentukan konvergensi sebuah barisan variabel random, dapat digunakan
Chebychev.
-
75
Februl Defila [email protected]
http://febroeldefila.wordpress.com
Langkah-langkah menentukan konvergensi :
1. Gunakan pertidaksamaan cheybychev
2. Tentukan mean dan variansinya
3. Subtitusikan ke cheybychev
4. Selesaikan
Contoh :
Misalkan merupakan sampel random dari distribusi eksponensial. Buktikan
konvergen stokastik ke !
Jawab :
Buktikan :
1)1(lim2
nn