tugas matematika rekayasa fix
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
1/23
P a g e 1 | 23
BAB I
PENDAHULUAN
Matriks yang sering dijumpai adalah matriks yang entri-entrinya bilangan-
bilangan real atau kompleks. Seperti diketahui bahwa himpunan bilangan real
merupakan field terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Salah satu contoh
matriks yang entri - entrinya merupakan field adalah matriks yang dapat
didiagonalisasi. Matriks yang dapat didiagonalisasi banyak diterapkan dalam
berbagai ilmu khususnya dalam matematika sendiri.
Beberapa referensi menjelaskan tentang matriks yang dapat
didiagonalisasi, pertama diberikan matriks A yang berukuran n x n, maka dicari
matriks taksingular P yang mendiagonalkan A, sedemikian hingga diperoleh
suatu matriks diagonal D = P-JAP. Matriks taksingular P, diperoleh dengan
cara mencari nilai eigen dari matriks A, kemudian ditentukan vektor eigen yang
bersesuaian dengan masing-masing nilai eigen yang diperoleh tadi. Tiap-tiap
vektor eigen yang diperoleh tadi membentuk kolom-kolom matriks taksingular P.
Kemudian dilakukan pendiagonalan, yaitu dengan mencari vektor eigenyang bebas linear satu sarna lain, dan seterusnya. Pembahasan mendasar
mengenai matriks terutarna yang berkaitan dengan matriks yang dapat
didiagonalisasi ini, telah jelas dikemukakan dan disajikan dalam sejumlah buku
referensi yang biasanya digunakan oleh para mahasiswa sebagai salah satu buku
perkuliahan umum. Tetapi dilain pihak, akan muncul suatu masalah
bagaimana jika ada sebuah contoh yang lain untuk matriks yang dapat
didiagonalisasi sehingga ada suatu matriks bujur sangkar A 1.
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
2/23
P a g e 2 | 23
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 MATRIKS
2.1.1 Definisi matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang diatur dalam
baris-baris dan kolom-kolom berbentuk persegi panjang serta termuat
diantara sepasang tanda kurung.
suatu larikan bilangan-bilangan yang berbentuk empat persegi panjang.
Bentuk umumnya:
A =
mn3m2m1m
n2232221
n1131211
aaaa
aaaa
aaaa
A adalah notasi matriks sedang amn adalah elemen matriks.Deretan horisontal elemen-elemen disebut baris dan deretan vertikal
disebut kolom. Indeks m menunjukkan nomor baris elemen berada,
indeks n menunjukkan nomor kolom elemen berada, misal a23 artinya
elemen a berada pada baris 2 dan kolom 3.
Matriks diatas memiliki m baris dan n kolom, dan disebut juga
dimensi m kali n (mn).
Matriks dengan dimensi baris m = 1, seperti:
B = [ b1 b2 bn],
disebut dengan vektor bar is atau matri ks bari s . Sedang dengan
dimensi kolom n = 1, seperti:
C =
m
3
2
1
c
c
c
c
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
3/23
P a g e 3 | 23
Matriks yang semua unsurnya bernilai 0, seperti:
A =
000
000
000
disebut dengan matriks nol.
2.1.2 Macam-Macam Matriks
a) Matriks bujur sangkar (MBS) adalah sebuah matriks dimana m = n,
misal matriks 33, adalah:
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Diagonal yang terdiri dari a11, a22, dan a33 adalah diagonal utama
matriks.
MBS banyak digunakan pada penyelesaian sistem persamaan linier,
dalam sistem ini jumlah persamaan (baris) dan jumlah bilangan tak
diketahui (kolom) harus sama untuk mendapatkan penyelesaian
tunggal.
b) Matriks diagonal adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen
kecuali diagonal utama adalah 0, dan berbentuk:
A =
44
33
22
11
000
000
000
000
a
a
a
a
c) Matriks saklar, adalah matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama
besar tetapi bukan nol atau satu.
d) Matriks identitas, adalah matriks diagonal yang semua elemen pada
diagonal utama bernilai 1 atau dapat juga disebut matriks satuan,
seperti bentuk berikut ini:
I =
1000
0100
0010
0001
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
4/23
P a g e 4 | 23
e) Matriks segitiga atas (MSA), adalah matriks yang semua elemen
dibawah diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:
A =
44
3433
242322
14131211
000
00
0
a
aa
aaa
aaaa
f) Matriks segitiga bawah (MSB), adalah matriks yang semua elemen
diatas diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:
A =
44434241
333231
2221
11
0
00
000
aaaa
aaa
aa
a
g) Matriks simetris, bila aij = a ji, misalnya matriks simetris 33:
A =
872
731
215
h) Matriks simetris diagonal nol, bila aij = -a ji, misalnya matriks
simetris 33 yang semua unsur diagonalnya a ji = 0.
A =
072
701
210
i) Matriks pita, adalah matriks yang mempunyai elemen sama dengan 0,
kecuali pada satu jalur yang berpusat pada diagonal utama, bentuknya
sebagai berikut:
A =
4443
343332
232221
1211
00
0
0
00
aa
aaa
aaa
aa
, disebut juga dengan matriks
tridiagonal .
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
5/23
P a g e 5 | 23
j) Matriks transpose, adalah matriks yang terbentuk dengan mengganti
baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris (notasinya AT).
Untuk matriks: A =
mn3m2m1m
n2232221
n1131211
aaaa
aaaa
aaaa
,
maka transposenya ( AT) adalah AT =
mnn3n2n1
2m322212
1m312111
aaaa
aaaa
aaaa
k) Matriks ortogonal adalah matrik bujur sangkar yang memenuhi
aturan:
[A]T . [A] = [A] [A]
T = [I]
l) Peningkatan matriks
Matriks dapat ditingkatkan dengan menambahkan kolom (kolom-
kolom) pada matriks asli, misalnya suatu matriks koefisien berdimensi
33,
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
bila matriks ini akan ditingkatkan dengan menambahkan matriks
identitas sehingga menjadi matriks 36, yang mempunyai bentuk
sebagai berikut:
100|
010|
001|
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
bentuk ini lebih menguntungkan bila dilakukan operasi pada dua
matriks, dengan demikian operasi tidak dilakukan untuk dua matriks,
tetapi hanya pada satu matriks yang ditingkatkan.
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
6/23
P a g e 6 | 23
2.2 OPERASI MATRIKS
2.2.1 Penjumlahan Matriks
Dua matriks A dan matriks B dapat dijumlahkan jika ordo matriks A
sama dengan ordo matriks B. Menjumlahkan matriks A dengan matriks B
dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen-elemen matriks A dengan
elemen-elemen matriks B yang bersesuaian letaknya. Apabila matriks A
dan matriks B ordonya berlaianan maka penjumlahan matriks itu tidak
didefinisikan.
Contoh:
Diketahui matriks A =
43
21 dan B =
16
75
a. Tentukan A + B
b.
Tentukan B + A
Jawab:
a. A + B =
43
21 +
16
75 =
1463
7251 =
59
96
b. B + A =
16
75 +
43
21 =
4136
2715 =
59
96
Dari contoh di atas, ternyata A + B = B + A. Jadi pada matriks berlaku sifat
komutatif penjumlahan. Juga dapat kita buktikan bahwa pada matriks berlaku sifat assosiatif penjumlahan yaitu (A+B)+C = A+(B+C).
2.2.2 Pengurangan Matriks
Jika A dan B dua matriks yang ordonya sama maka matriks hasil
pengurangan A dan B sama artinya dengan menjumlahkan matriks A
dengan matriks negatif (lawan) B, atau ditulis sebagai berikut:
A – B = A + (-B).
Contoh:
1) Jika P =
23
74 dan Q =
23
12, maka tentukan P – Q !
Jawab:
P – Q =
23
74 -
23
12 =
23
74 +
23
12 =
40
62
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
7/23
P a g e 7 | 23
2) Jika X matriks ordo 2x2, tentukan matriks X jika diketahui persamaan :
X +
42
35 =
23
41
Jawab:
X +
42
35 =
23
41
X =
23
41 -
42
35 =
23
41 +
42
35 =
61
76
Jadi matriks X =
61
76
2.2.3 Perkalian Matriks
1. Perkalian Skalar Dengan Matriks
Jika k adalah sebuah bilangan real dan A adalah sebuah matriks,
maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan cara mengalikan k
(bilangan skalar) dengan setiap elemen matriks A.
Contoh:
Jika A =
9564 dan B =
4321 , tentukan :
a. 3A c. 3A + 4B
b. 4B d.21 A +
21 B
Jawab:
a.
3A = 3
95
64 =
2715
1812
b. 4B = 4
43
21 =
1612
84
c. 3A + 4B =
2715
1812 +
1612
84 =
433
2616
d. 21 A +
21 B =
21
95
64 +
21
43
21 =
2
925
32 +
2
1
23
21
=
2
13
25
1
4
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
8/23
P a g e 8 | 23
2. Perkalian Matriks Dengan Matriks Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom
matriks A sama dengan jumlah baris matriks B. Hasil perkaliannya
adalah matriks baru yang ordonya adalah jumlah baris matriks A kali
jumlah kolom matriks B. Secara umum ditulis :
Amxp x B pxn = C mxn
Cara mengalikan kedua matriks tersebut adalah dengan jalan mengalikan
setiap baris pada matriks A dengan setiap kolom pada matriks B,
kemudian dijumlahkan.
Contoh:
1) Jika A =
12
34 dan B =
2
3, tentukan A x B !
Jawab:
A x B =
12
34
2
3 =
2.13.2
2.33.4 =
8
18
2) Jika A =
14
52 dan B =
62
13, tentukan A x B !
Jawab:
A x B =
14
52
62
13 =
6.11.4)2.(13.4
6.51.2)2.(53.2 =
64212
302106 =
1010
324
3) Jika C =
654
123 dan D =
1
2
6
, tentukan C x D !
Jawab:
C x D =
654
123
12
6
=
1.62.56.4
1.12.26.3
=
40
23
4) Jika M =
15
32
64
dan N =
5
3
4
, tentukan M x N !
Jawab:
M x N tidak dapat dikalikan karena tidak memenuhi definisi
Amxp x Bpxn = Cmxn
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
9/23
P a g e 9 | 23
2.3 Determinan dan Invers Matriks
2.3.1 Determinan
Adalah sekumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara teratur
dalam sebuah bujur sangkar, yang letaknya horisontal dan vertikal
serta mempunyai satu harga tertentu.
1. Sifat-sifat determinan
a) Apabila semua unsur dalam suatu baris atau suatu kolom sama
dengan nol, maka harga determinan = 0
D =
000
532
142
= 0 D =
205
103
402
= 0
b) Harga determinan tidak berubah, bila semua baris diubah
menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris.
D =32
11 = 1 D =
31
21 = 1
c) Pertukaran tempat diantara baris dengan baris atau kolom
dengan kolom pada suatu determinan akan mengubah tanda
determinan.
D =32
11 = 1 → ditukar baris D =
11
32 = – 1
→ ditukar kolom D =23
11 = – 1
d) Bila suatu determinan terdapat dua baris atau kolom yang sama
(identik), maka harga determinan itu = 0
D =
653
421
421
= 0 D =
644
522
311
= 0
Ada 2 baris yang sama Ada 2 kolom yang sama
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
10/23
P a g e 10 | 23
e) Bila semua unsur sembarang baris atau kolom dikalikan dengan
sebuah faktor tidak bernilai 0, maka harga determinan dikalikan
dengan bilangan itu.
D =3211 = 1 ↔ baris 1 dikalikan 2 → D =
3222 = 6 – 4 = 2
↔ kolom 1 dikalikan 2 → D =34
12 = 6 – 4 = 2
f) Tanpa mengubah harga determinan, semua unsur sembarang
baris atau kolom dapat dikalikan dengan sebuah faktor (≠ 0)
dan menambahkannya pada atau mengurangi dari sembarang
baris (kolom) yang lain.
D = 43
21 = – 2 ↔ ekspansi baris H21 (-2) D = 43
21 =
D =01
21 = – 2
↔ ekspansi kolom K 21 (-1) D =13
11 = – 2
2. Perhitungan nilai determinan
a) Metode Sarrus
Metode ini hanya berlaku untuk menghitung harga determinan
tingkat atau orde tiga saja.
D =
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
D = (a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32) – (a13 . a22 .
a31) (a11 . a23 . a32) – (a12 . a21 . a33)
Contoh soal:
[A] =
142
131
421
→ →
142
131
421
2
1
1
4
3
2
= (1.( – 3).1) + (2.1.( – 2)) + (( – 4).1.4) – (( – 4).( – 3).( – 2)) – (1.1.4)
– (2.1.1)
= ( – 3) + ( – 4) + ( – 16) + 24 – 4 – 2
= – 5.
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
11/23
P a g e 11 | 23
b) Metode Chio
Harus dibuat MSA
A =
142
131421
700
310421
= Harga determinannya menjadi = 1.1.( – 7) = – 7 (Kalikan
diagonal utamanya)
Contoh soal:
A =
2031
1153
1442
0321
2310
11010
1200
0321
Karena tidak boleh ada bilangan 0 pada a22 maka diadakan pertukaran
baris dengan baris (baris ke 2 dan ke 3 ditukar)
Setelah diadakan pertukaran baris, maka dikalikan ( – 1).
( – 1)
2310
1200
11010
0321
→ → ( – 1)
11300
1200
11010
0321
( – 1)
11300
1200
11010
0321
→ → ( – 1)
215000
1200
11010
0321
[A] = ( – 1) . 1 . ( – 1) . 2 . 215 = 15.
H21 (1)
~
H21 (2)
~
H31 (3)
H42 ( –1)
~
H43 213
~
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
12/23
P a g e 12 | 23
c) Metode minor (ekspansi) Jika di dalam suatu determinan tingkat atau orde n, elemen-elemen
pada baris ke-i dan kolom ke-j diambil (dihapus) terdapat suatu
determinan tingkat (m – 1), simbol yang ditulis Mij.
Contoh soal:
1). A =
2031
1153
1442
0321
→ → Minor (M23) =
231
153
021
→ → Minor (M41) =
115
144
032
2). D =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Harga determinannya adalah:
D = [(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32)] –
[(a13 . a22 . a31) + (a11 . a23 . a32) + (a12 . a21 . a33)]= [a11(a22 . a33 – a23 . a32)] – [a12 (a21 . a33 – a23 . a31)] +
[a13 (a21 . a32 – a22 . a31)]
= a113332
2322
aa
aa – a12
3331
2321
aa
aa + a13
3231
2221
aa
aa
= (a11 . M11) – (a12 . M12) + (a13 . M13)
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
13/23
P a g e 13 | 23
Contoh :
Diketahui matriks A =
101
312
243
Tentukan nilai determinan matriks A.
Jawab :
det A =
01
12
43
101
312
243
= [( – 3 × 1 × ( – 1)) + (4 × 3 × 1) + (2 × 2 × 0)] – [(1 × 1 × 2) +
(0 × 3 × ( – 3)) + ( – 1 × 2 × 4)]
= (3 + 12 + 0) – (2 + 0 – 8) = 21
Jadi, nilai determinan matriks A adalah 21.
2.3.2 INVERS MATRIKS
Apabila A dan B matriks bujur sangkar berordo n, sedemikian
sehingga AB = BA = I, maka B disebut invers dari A (B = A-1),
dan A disebut invers dari B (A = B-1).
I = merupakan matriks Identitas
B =
12
31 B-1 =
5/15/2
5/35/1
Bukti Inversnya benar
Mencari Invers matriks dapat dengan cara :
1.
Adjoint2. Transformasi Elementer Baris
B.B-1
= B-1
.B = I
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
14/23
P a g e 14 | 23
1. Cara Metode Adjoint
a.
menentukan nilai determinan dari matriks
b. menentukan adjoint matriks.
c.
Mengalikan adjoint matrik dengan kebalikan determinan
C =
314
532
001
Adj (C) =
3110
5314
004
C = 4
Jadi C-1
= ¼
3110
5314
004
=
4/34/12/5
4/54/32/7
001
2. Metode transformasi Elementer baris
Anxn, nilai A ≠ 0
1
A-1
= _____
. Adj (A)
A
I A ).(ahij 1 A I
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
15/23
P a g e 15 | 23
C =
314
532
001
100314
010532
001001
104310
012530
001001
)2.(23h
104310
216110
001001
)1.(32h
3110400
216110
001001
)4/1.(3h
4/34/12/5100
216110
001001
)1.(23h
4/34/12/5100
4/54/32/7010
001001
_____________ __________________________
I C-1
2.3.3
Determinan dan Invers Matriks Ordo 2x2
Jika A =
d c
ba, maka matriks A akan mempunyai invers jika det(A) 0 atau A
= a.d – b.c 0.
Secara umum hubungan ini dinyatakan :
Jika A =
d c
ba , maka A-1 =
ac
bd
A)det(
1
Keterangan :
A-1 = Invers dari matriks A
det(A) = determinan dari matriks A
)2.(21h )4.(31h
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
16/23
P a g e 16 | 23
Contoh:
Diketahui A =
21
53
, tentukan A
-1
!
Jawab:det(A) = ad – bc = 3.2 – 5.1 = 6 – 5 = 1
A =
21
53 A-1 =
ac
bd
A)det(
1
=
31
52
1
1 =
31
52
Jadi, invers matriks A adalah
31
52.
Apakah setiap matriks mempunyai invers? Telah diuraikan di atas bahwa
matriks yang determinannya sama dengan nol (det = 0) tidak mempunyai invers
dan disebut matriks singular; misalnya B =
12
36.
Invers sebuah matriks dapat digunakan untuk menyelesaiakan persamaan
matriks.
Contoh:Jika A matriks rdo 2x2, tentukan A dari :
34
12 A =
42
314 !
Jawab:Untuk mencari matriks A, kedua ruas dikalikan dengan invers matriks.
Invers matriks P =
34
12 adalah P-1 =
24
13
10
1
24
13.
34
12
1
24
13
10
1
34
12 A =
24
13
10
1
42
314
10
01A =
2060
540
10
1 =
26
421
Jadi, matriks A =
26
421
.
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
17/23
P a g e 17 | 23
Dua matriks yang saling invers.
Jika A dan B adalah dua buah matriks persegi yang berordo sama dan berlakuAB = BA = I (matriks satuan), maka dikatakan b invers dari A (ditulis B = A-1)
atau A invers dari B (ditulis A = B-1).
Contoh:
Diketahui A=
57
23 dan B =
37
25. Apakah A invers dari B ?
Jawab:
AB =
57
23
37
25 =
3.5)2.(7)7.(55.7
3.2)2.(3)7.(25.3 =
10
01 = I
BA =
37
25
57
23 =
5.32).7(7.33).7(
5).2(2.57).2(3.5 =
10
01 = I
Jadi, A invers dari B atau B invers dari A.
2.3.4 Determinan dan Invers Matriks Ordo 3x3
Misal A =
332331
232221
131211
aaa
aaa
aaa
.
Invers matriks A yang berordo 3x3 dapat dicari dengan menggunakan
aturan :
A-1 = )(.)det(
1 A Adj
A
Keterangan :
A-1 = Invers dari matriks A
Adj(A) = matriks Adjoin dari A
det(A) = determinan dari matriks A
Cara menghitung determinan A adalah :
Cara I (metode sarrus)
- - -
det (A) =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3231
2221
1211
aa
aa
aa
+ + +
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
18/23
P a g e 18 | 23
= (a11a22a33) + (a12a23a31) + (a13a21a32) – (a31a22a13) – (a32a23a11) –
(a33a21a12)
Cara II (metode cramer)
det (A) =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
= a113332
2322
aa
aa - a12
3331
2321
aa
aa + a13
3231
2221
aa
aa
= a11(a22a33-a32a23) – a12(a21a33-a31a23) + a13(a21a32-
a31a22)
Cara menentukan matriks Adj(A) adalah :
Ajd(A) =
2221
1211
3231
1211
3231
2221
2321
1311
3331
1311
3331
2321
2322
1312
3332
1312
3332
2322
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aaaa
aa
aa
aa
aa
aa
Contoh:
Hitunglah invers matriks A =
543320
121
!
Jawab:
Pertama-tama kita hitung determinan A.
- - -
det(A) =
543
320
121
43
20
21
+ + +
= [1.(-2).5] + [2.3.(-3)] + [(-1).0.4] – [(-3).(-2).(-1)] – [4.3.1] – [ 5.0.2]= -10 – 18 + 0 + 6 – 12 – 0 = -34
atau
det(A) =
543
320
121
= 154
32 - 2
53
30
+ (-1)
43
20
= 1(-10-12) – 2(0-(-9)) + (-1)(0-6)
= -22 -18 + 6 = -34
Jadi, determinan A adalah -34.
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
19/23
P a g e 19 | 23
Adjoin dari A adalah:
Adj(A) =
20
21
43
21
43
20
03
11
53
11
53
30
32
12
54
12
54
32
=
2106
329
41422
Invers dari matriks A adalah :
A-1 = )(.)det(
1 A Adj
A
Diperoleh :
A-1 =34
1
2106
329
41422
=
34
2
34
10
34
634
3
34
2
34
934
4
34
14
34
22
2.3.5 Penyelesaian Persamaan MatriksPenyelesaian persamaan matriks berbentuk A.X = B atau X.A = B, dengan
A, B, dan X adalah matriks-matriks berordo 2x2, dan matriks A adalah
matriks nonsingular, sehingga matriks A mempunyai invers (A-1).
1. Persamaan bentuk A.X = B
Untuk persamaan A.X = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A-1
dari arah kiri.
A-1.(A.X) = A-1 .B
(A-1.A).X = A-1 .B I.X = A-1 .B (sebab A-1 .A = I )
X = A-1 .B (sebab I.X = X.I = X )
Jadi, jika A.X = B, maka X = A-1.B
2. Persamaan bentuk X.A = BUntuk persamaan X.A = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A-1
dari arah kanan.
(X.A) A-1 = B. A-1
X.(A. A-1 ) = B. A-1
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
20/23
P a g e 20 | 23
X.I = B. A-1 (sebab A.A-1 = I )
X = B. A-1 (sebab I.X = X.I = X )
Jadi, jika X.A = B, maka X = B. A-1
Contoh:
Diketahui matriks-matriks A =
5723 dan B =
3215 .
Tentukan matriks X berordo 2x2 yang memenuhi persamaan berikut !
a. A.X = B b. X.A = B
Jawab:
det(A) =57
23 = 15 – 14 = 1, sehingga A-1 =
37
25.
a. Untuk persamaan matriks A.X = B penyelesaiannya adalah :
X = A-1 .B =
37
25
32
15 =
229
121
b. Untuk persamaan matriks X.A = B penyelesaiannya adalah :
X = B. A-1 =
32
15
37
25 =
511
718
2.3.6 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dengan Invers Matriks
Untuk persamaan linear berbentuk :
qdycx
pbyax
Dapat diubah menjadi perkalian matriks sebagai berikut :
q
p
y
x
d c
ba dengan masing-masing ruas dikalikan invers matriks
d c
ba
diperoleh :
q
p
d c
ba
y
x
d c
ba
d c
ba 11
q
p
d c
ba
y
x 1
10
01
q
p
ac
bd
bcad y
x 1
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
21/23
P a g e 21 | 23
Contoh:
Selesaikan persamaan :
11321754
y x y x dengan menggunakan invers
matriks !
Jawab:
11
17
32
54
y
x
5
2
10
4
2
1
11
17
42
53
1012
1
y
x
Jadi x = -2 dan y = 5.
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
22/23
P a g e 22 | 23
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang diatur dalam
baris-baris dan kolom-kolom berbentuk persegi panjang serta termuat
diantara sepasang tanda kurung. Jenis-jenis matriks dapat dibedakan
berdasarkan susunan elemen matriks dan berdasarkan sifat dari
operasi matriks.operasi pada matriks dapat dilakukan dengan cara
penjumlahan,pengurangan dan perkalian langsung. Dekomposisimatriks adalah transformasi atau modifikasi dari suatu matriks
menjadi matriks segitiga bawah (L) dan atau matriks segitiga atas (U).
3.2 Saran
Demikian yang dapat saya paparkan mengenai materi yang menjadi
pokok bahasan dalam makalah ini, tentunya masih banyak kekurangan
dan kelemahannya,kerena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya
rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah
ini. Penulis banyak berharap para pembaca yang budiman sudi
memberikan saran yang membangun kepada penulis demi
sempurnanya makalah ini dan penulisan makalah di kesempatan-
kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini berguna bagi penulis
pada khususnya juga para pembaca yang budiman pada umumnya.
-
8/18/2019 Tugas Matematika Rekayasa Fix
23/23
P a g e 23 | 23
DAFTAR PUSTAKA
Bintang Kalangu, Josep. 2005. Matematika ekonomi untuk bisnis.Edisi ke-1. Jakarta: Penerbit Salemba Empat.
C.Chiang. alpha dan Kevin Wainwright. 2006. Dasar-Dasar
Matematika Ekonomi. edisi ke-4 jilid 1. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Gazali,Wikaria. 2005. Matriks dan transpormasi linear . edisi ke-1.
Yogyakarta: Penerbit Graha Ilmu.
Mairy,Du. 2007. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi.
Yogyakarta: BPFE-YOGYAKARTA.
Ruminta. 2009. Matriks persamaan linear dan pemrograman
linear . edisi ke-1. Bandung. Penerbit Rekayasa Sains.
Sarjono,Haryadi dan Sanny,Lim. 2012. Aplikasi Matematika untuk
Bisnis dan Manajemen. Jakarta: Penerbit Salemba Empat.