tugas kalkulus 2008
DESCRIPTION
Kalkulus TaskTRANSCRIPT
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
1/40
1
Tugas :
a.
ALJABAR VEKTOR
7.46 Jika diketahui sebarang dua vektor A dan B, gambarkanlah secara geometric kesamaan 4 A +
3( BA )= A + 3B
Jawab :
dik : dua vektor A dan B, maka gambar secara geometrik kesamaan
4 A + 3( BA )= A + 3B adalah :
7.47 Seorang pria bergerak sejauh 25 mil ke arah timur laut, 15 mil ke arah timur dan 10 mil ke
selatan. Dengan menggunakan skala yang sesuai, tentukan secara grafik (a)seberapa jauh
dan (b) kea rah mana ia berada dari titik awalnya. Apakah mungkin untuk menentukan jawaban
secara analitik?
Jawab :
Vektor OP atau A merepresentasikan perpindahan 25 mil arah timur laut
Vektor PQ atau B merepresentasikan perpindahan 15 mil arah timur
A
B
A B
AB
A4
)(3 AB
)(34 ABA
B3
A
BA 3
W
N
S
EO
10
25
15
P Q
R
A
B
C
D=A+B+C
A+B
450
P
R
Satuan = 5 mil
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
2/40
2
Vektor QR atau C merepresentasikan perpindahan 10 mil arah selatan Vektor OR atau D
merepresentasikan resultant perpindahan (jumlah vektor-vektor A, B dan C), yaitu CBAD
a. Penentuan resultante secara grafik. Tempatkan satu satuan 5 mil pada vektor OR, untukmenentukan besr kira-kira 33,567 mil.
Sudut EOR . ..0
dengan menggunakan busur derajat, maka vektor
OR memiliki besar 33, 57 mil dan arah ...0timur ...
b. Penentuan resultante secara analitis. Dari 'OPP siku-siku di P,
OP
PPPOP
')'sin( 677,172
2
25'
25
'45sin 0 PP
PPmil.
PP = OP, sehingga RR=OP- QR = 17,677-10 = 7,677 mil, dan
OR=PQ = PP+PQ = 17,677+15=32,677 mil.
Dari 'ORR , siku-siku di R, maka
567,33722,1126)677,32()67,7(' 2222 RROROR .
7.48 Jika A dan B adalah sebarang 2 vektor bukan nol dengan arah yang berbeda, buktikanlah
bahwa mA + nB adalah sebuah vektor yang terletak dalam bidang yang ditentukan oleh A dan
B.
Jawab :
A dan B sebarang dua vektor tak nol dengan arah berbeda. Buktikan bahwaBA
nm adalahsebuah vektor yang terletak dalam bidang yang ditentukan oleh A dan B.
Misalkan A dan B vektor- Vektor di3R dengan
),,( 111 zyxA
),,( 222 zyxB
berpangkal di titik asal
)0,0,0( dan tidak segaris,
maka rentang (A , B ) adalah
sebuah bidang yang melalui
titik asal dan melalui titik-
titik ujung vektor-vektor
Am
Bn A
B
BA nm
0
bidang (A,B)
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
3/40
3
A dan B .
Vektor-vektor ),,( 111 mzmymxm A dan ),,( 222 nznynxn B masing-masing merupakan
kelipatan skalar dai vektor A dan B yang juga terletak pada bidang ),( BA . Karena vektor (
BA ) terletak pada bidang ),( BA , maka vektor ( BA nm ) juga terletak pada bidang
),( BA .
Bukti
BA ),,( 111 zyx ),,( 222 zyx ),,( 212121 zzyyxx
Am Bn ),,( 111 mzmymx ),,( 222 nznynx
),,( 212121 nzmznymynxmx
Misalakan tiga titik yang tidak kolinear , ),,(,),,( 222111 zyxQzyxP dan),,( 333 zyxR pada
bidang rata H.
121212 ,, zzyyxxPQ
131313 ,, zzyyxxPR
Untuk setiap titik sembarang ),,( zyxT
pada bidang H berlaku :
PRPQPT , R, [1]
Dari gambar tampak bahwa
PTOPOT PTOPOT [2]
Subtitusi [1] pada [2], diperoleh : OPOT PRPQ
zyx ,, 111 ,, zyx 121212 ,, zzyyxx 131313 ,, zzyyxx
merupakan persamaan bidang rata melalui tiga titik ),,(,),,( 222111 zyxQzyxP dan
),,( 333 zyxR . Vektor-vektor PQ dan PR disebut vector arah bidang
H
TR
Q
P
x
z
y
O
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
4/40
4
Misal vector-vektor arah bidang rata adalah aaa zyxa ,, dan bbb zyxb ,, ,
maka persamaan bidang rata melalui titik ),,( 111 zyxP dengan vector-vektor arah
aaa zyxa ,,dan
bbb zyxb ,,, adalah
zyx ,,
111 ,, zyx aaa zyx ,, bbb zyx ,, [5]
zyx ,,
111 ,, zyx a b [6]
yang merupakan persamaan bidang rata dalam bentuk vector.
7.49 Jika A, B, dan C adalah vekt or-vektor non-koplanar (vektor-vektor yang tidak semuanya
terletak dalam bidang yang sama dan x1A + y1B + z1C = x2A + y2B + z2C, buktikanlah bahwa
syarat berikut adalah syarat perlu, x1=x2,y1=y2,z1=z2
Jawab :
CBACBA 222111 zyxzyx
0222111 CBACBA zyxzyx
0)()()( 212121 CBA zzyyxx
0)()()( 212121 zzyyxx
0;; 212121 zzyyxx
7.50 Misalkan ABCD adalah sebarang kuadrilateral dan titik-titik P, Q, R, dan S adalah titik tengah
dari sisi berurutan. Buktikanlah (a) bahwa PQRS adalah sebuah jajaran genjang dan (b) bahwa
keliling PQRS adalah sama dengan jumlah diagonal ABCD
Jawab :
a. ABCD adalah sebarang kuadrilateral, PQRS adalah titik-titik tengah sisi berurutan
B
A
C
D
S
R
Q
P
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
5/40
5
Akan dibuktikan bahwa PQRS adalah sebuah parallelogram yaitu dengan menunjukkan bahwa
vector PQ sejajar dan sama panjang dengan vector SR dan vector PS sejajar dan sama
panjang dengan vector QR. Dari gambar diatas,
Karena } Maka SP=QR
Selanjutnya, || ||Jadi vector PS sejajar dan sama panjang dengan vector QR.
Dengan cara yang sama,
Karena } Maka PQ = SR
|| ||Jadi PQ sejajar dan sama panjang dengan vector SR.
b.
Keliling || || || || || |||| || || || || ||
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
6/40
6
X
7.51 Buktikanlah bahwa median-median dari sebuah segitiga berpotongan pada sebuah titik yang
merupakan titik trisection dari setiap median
Jawab :Misalkan diberikan segitiga ABC pada koordinat kartesius dengan titik titik P, Q dan R adalah
titik-titik tengah sisi-sisi segitiga dan S titik perpotongan ketiga garis median AQ, BR dan CP
seperti tampak pada gambar di bawah ini.
Persamaan garis BR adalah
Persamaan garis CP adalah
Kedua garis berpotongan di titik S(x,y) dimana
S
A(0,2a)
R(c,a)
C(2c,0)Q(b+c,0)B(2b,0)
P(b,a)
Y
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
7/40
7
Dengan mensubtitusi nilai x ini ke persamaan garis BR atau CP diperoleh . Jadi . /.Garis median BR dalam bentuk vector adalah
Selanjutnya,
* + Dengan cara yang sama diperoleh
Dengan demikian titik S merupakan titik pembagi tiga dari setiap garis tengah segitiga ABC.
7.52
Tentukan sebuah vektor satuan dalam arah vektor resultan A=2ij + k. B = i + j + 2k, C = 3i
2j + 4k
Jawab :
Vektor resultan dari A, B, C adalah
Vektor satuan dalam arah vector resultan
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
8/40
8
b.
PERKALIAN TITIK ATAU PERKALIAN SKALAR
7.53 Hitunglah |(A + B) . (AB)| jika A= 2i3j + 5k dan B = 3i + j2k
Jawab :
| | | | | | 7.54 Buktikanlah konsistensi hukum cosines untuk sebuah segitiga. [petunjuk : ambil sisi-sisi A,B,C
dimana C = AB. kemudian gunakanlah C.C = (AB).(AB)]
Jawab :
Perhatikan segitiga PQR dengan sisi A, B, C dimana dan sudut antara vector Adan B adalah .
Dari defenisi perkalian titik, Karena |||| dan || maka persamaan di atas menjadi|| || || |||| Yang menyatakan aturan kosinus pada segitiga.
Q
CB
RAP
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
9/40
9
7.55 Tentukanlah a sehingga 2i3j + 5k dan 3i + aj2k saling tegak lurus
Dua buah vector saling tegak lurus jika
7.56 Jika A = 2i + j + k, B = i2j + 2k dan C = 3i4j + 2k tentukan proyeksi dari A + C dalam arah B
Misalkan
| |
| |
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
10/40
10
7.57 Sebuah segitiga memiliki puncak-puncak pada A(2,3,1), B(-1,1,2), C(1,-2,3). Tentukanlah (a)
panjang median yang ditarik dari B ke sisi AC dan (b) sudut lancip yang dibentuk median ini
dengan sisi BC
Jawab :
a. Misalkan D adalah titik tengah sisi AC, maka
||
|| || ||
|| b. || 0 1 || ./ . / = Dari definisi perkalian titik,
|||| Jadi
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
11/40
11
7.58 Buktikanlah bahwa diagonal-diagonal dari sebuah belah ketupat adalah tegak lurus satu sama
lain
Jawab :
Perhatikan gambar belah ketupat PQRSdengan dua sisi yang diwakili oleh vector A dan vector
B, dimana || || Dari gambar diperoleh,
Selanjutnya,
|| || Hal ini menunjukkan bahwa diagonal PR dan SQ tegak lurus satu sama lain.
7.59 Buktikanlah bahwa vektor (AB + BA)/(A + B) merepresentasikan bisector dari sudut A dan B
Jawab :
Misalkan
Dengan menerapkan defenisi titik pada gambar, diperoleh
. /
R
S
P
A
B
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
12/40
12
Dan
. /
Dari persamaan (1) dan 2 diperoleh
Dengan demikian vector membagi dua sudut sama besar yang dibentuk olehvector A dan B
c.
PERKALIAN SILANG ATAU PERKALIAN VEKTOR
7.60 Jika A = 2ij + k dan B = i + 2j3k, tentukanlah |(2A + B) x (A 2B)|
Jawab :
| |
| |
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
13/40
13
7.61 Tentukanlah sebuah vektor satuan tegak lurus terhadap bidang dari vektor vektor A = 3i2j +
4k dan B = i + j2k
7.62 Jika A x B = A x C, apakah perlu B = C ?
Jawab :
Misalkan
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
14/40
14
Berdasarkan defenisi kesamaan dua vector, maka .. (1)
..(2)
..(3)Dari persamaan (1), (2), dan (3) hanya dapat terpenuhi, jika dan hanya jika vektor B samadengan vektor C.
7.63 Tentukanlah luas segitiga dengan titiktitik puncak (2,-3,1), (1,-1,2), (-1,2,3)
Jawab :
Misalkan
Luas segitiga | |
| | | |
Jadi luas segitiga 7.64 Tentukanlah jarak terpendek dari titik (3,2,1) ke bidang yang ditentukan oleh (1,1,0), (3,-1,1), (-
1,0,2)
Titik
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
15/40
15
Titik Titik Dengan mengubah persamaan di atas ke dalam bentuk matriks diperoleh :
Dalam persamaan :
Misalkan maka Jadi persamaan bidangnya
Jarak terpendek titik ke bidang adalah
| | | |
| | ||
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
16/40
16
d.
PERKALIAN RANGKAP TIGA
7.65 Jika A = 2i + j3k, B = I2j + k, C = -I + j4k, tentukanlah (a) A(B x C), (b) C (A x B), (c)A x (B x C), (d) (A x B) x C
Jawab :
a).
b).
c). dimana
jadi d).
dimana jadi
7.66 Buktikanlah bahwa (a) A (B x C) = B (C x A) = C (A x B)(b) A x (B x C) = B(A C)C((A B)Jawab :
A = B =
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
17/40
17
C = (a)
0 1 . 0 1 0 1 0 1/
Jadi A (B x C) = B (C x A) = C (A x B) terbukti(b) ( ) ( )( )
( )
( (
, -, -A x (B x C) = B(A C)C(A B) (terbukti)
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
18/40
18
7.67 Tentukanlah persamaan untuk bidang yang melewati (2,-1,-2), (-1,2,-3), (4,1,0)
Titik Titik Titik Dengan mengubah persamaan di atas ke dalam bentuk matriks diperoleh :
Dalam persamaan :
Misalkan maka Jika maka Jadi persamaan bidangnya
7.68 Tentukanlah volume tetrahedron dengan titiktitik puncak (2,1,1), (1,-1, 2), (0,1,-1), (1,-2,1)
Jawab :
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
19/40
19
Misalkan A, B dan C adalah sisi tetrahedron tersebut. Dengan memilih titik (2,1,1) sebagai titik
pangkal vector posisi dari sisi-sisi tetrahedron, maka volume tetrahedron = | | Jadi volumenya = 8
7.69 Buktikanlah bahwa (A x B)(C x D) + (B x C) (A x D) + (C x A) (B x D) = 0Jawab :
Misalkan
maka
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
20/40
20
Dengan menjumlahkan ketiga persamaan diatas maka diperoleh
(A x B)(C x D) + (B x C) (A x D) + (C x A) (B x D) = 0 (Terbukti)e.
TURUNAN
7.70 Sebuah partikel bergerak disepanjang kurva ruang r = ,tentukanlah besar (a) kecepatan dan (b) percepatan pada sebarang waktu t.
Jawab :(a) Kecepatan , -
Untuk t = 0
, -
(b) Percepatan
, -, -
,-Untuk t=0
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
21/40
21
7.71 Buktikanlah bahwa dimana A dan B adalah fungsi u
yang dapat didiferensiaisi
Jawab :
uBABBAALimitBA
dud
u
)()()(
0
u
BABABABABALimitBA
du
d
u
0)(
u
BABABALimitBA
du
d
u
0)(
B
u
AB
u
A
u
BALimitBA
du
d
u 0)(
BLimit
uALimitB
uALimit
uBLimitABA
dud
uuuu 0000)(
)(0)( terbuktiBdu
dA
du
dBA
du
dAB
du
dA
du
dBABA
du
d
7.72 Tentukanlah sebuah vektor satuan yang menyinggung kurva ruang x = t, y = t2, z = t3 pada
titik dimana t = 1
Jawab :
Dik
Vektor satuannya :
||
7.73 Jika r = dimana a dan b adalah sebarang vektor non-kolinier yangkonstan dan adalah sebuah scalar yang konstan, buktikanlah bahwa (a) r =
= (a x b),(b)
Jawab :
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
22/40
22
a).
Karena a a = 0 dan a b = - b a, maka
b) )
7.74 Jika A = x2iyj + xzk, B = yi + xjxyzk dan C = iyj + x3zk, tentukanlah (a)
dan (b) d[A (B x C)] pada titik (1,-1,2)Jawab :
a).
| |
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
23/40
23
| |Pada titik (1, -1, 2)
b). , -
Pada titik (1, -1, 2), - 7.75 Jika R = x2yi2y2zj + xy2z2k, tentukanlah pada titik (2,1,-2)
Jawab :
| | Pada titik | | ||
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
24/40
24
f.
GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL
7.76
Jika U, V, A, B memiliki turunan-turunan parsial kontinu, buktikanlah bahwa :
a. b. c. Jawab :
a).
0
1
(terbukti)
b). misalkan
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
25/40
25
0 1 ( (terbukti)c). 0 1
0 1 0 1 ( (Terbukti)
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
26/40
26
7.77 Jika dan A = , tentukanlaha. b. c.
Pada titik (3,-1,2)
Jawab :
a). 0 1 ( )Di titik (3, -1, 2) maka ( )
b). 0 1 0 1
dititik (3, -1, 2) c). 0 1
( ) ( ) ( )Di titik (3, -1,2)
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
27/40
27
7.78 Perlihatkanlah bahwa dimana r = dan r = |r|Jawab : ||
7.79 Buktikanlah bahwa :
(a) (b) Jawab :
misalkan a). 0 1
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
28/40
28
Dimana,
Sehingga
(Terbukti)
b). ( ) Sehingga
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
29/40
29
(
0
1 0
1 0
1
(
(Terbukti)
7.80 Buktikanlah bahwa curl grad U = 0, dengan menyatakan kondisi U yang sesuai
Jawab :
Dengan menganggap bahwa U mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu, sehingga
urutan diferensiasi tidak penting, artinya
7.81 Tentukanlah sebuah satuan normal terhadap permukaan padatitik (2,1,-1)
Jawab :
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
30/40
30
Di titik (2, 1, -1), Normal satuan pada permukaan tersebut dititik (2, 1, -1) adalah
7.82 Jika A = , tentukanlah curl A.Jawab :
(Terbukti)7.83 (a). buktikanlah bahwa
(b). Buktikanlah hasil dalam (a) jika A diketahui seperti dalam soal 35 diatas
Jawab :
a). misalkan
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
31/40
31
(Terbukti)b).
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
32/40
32
Dan
(Terbukti)g.
JACOBIAN DAN KOORDINAT KURVILINIER
7.84 Buktikanlah bahwa Jawab :
Misalkan Jacobian di definisikan sebagai
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
33/40
33
Sehingga
7.85 Nyatakanlah (a) grad , (b) div A, (c) dalam koordinat-koordinat seriesJawab :
(a) grad =
=
persamaan transformasi : , , Dimana r Sehingga faktor skala Maka :
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
34/40
34
(b) div A =
(c)
7.86 Transformasi dari koordinat siku-siku menjadi koordinat silindris parabolik didefinisikan oleh
persamaan-persamaan , y , z = z.(a)Buktikanlah bahwa system tersebut adalah orthogonal
(b)Tentukanlah ds2 dan faktor-faktor skala
(c)Tentukanlah Jacobian dari transformasi dan elemen volume
Jawab :
a). misalkan notasi vector dari transformasi tersebut adalah dimana
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
35/40
35
Misalkan vector satuan diseberan g titik P pada trasformasi tersebut adalah ,dimana
selanjutnya
Ini menunjukkan bahwa system orthogonal
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
36/40
36
b). Dengan menggunakan hasil-hasil yang diperoleh pada (a),
(
Dengan factor skala,
c). Jacobian dari transformasi tersebut adalah
Elemen Volume,
7.87
Tuliskanlah (a) dan (b) div A dalam koordinat silindris parabolicJawab :(a)
(b)
. / . /
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
37/40
37
. / . / 7.88 Buktikanlah bahwa untuk koordinat kurvilinier orthogonal
[petunjuk : misalkan dan gunakanlah fakta bahwa pasti sama baik dalam koordinat siku-siku maupun dalam koordinat kurvilinier]Jawab :
Misalkan dan , dimana +
jadi
+ Dengan demikian
Sehingga
+
7.89 Berikanlah interpretasi vektor untuk teorema dalam soal 6.35 dari Bab 6
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
38/40
38
h.
SOAL LAIN-LAIN
7.90 Jika A adalah sebuah fungsi u yang dapat didiferensiasi dan |A(u)| = 1, buktikanlah bahwa
dA/dt adalah tegaklurus terhadap A.
Jawab.
Misalkan
. /
Selanjutnya, maka menurut perkalian titik,
Karena maka menurut perkalian titik, sudut yang dibentuk vector A dengan vector sama dengan 900. dengan demikian vector A dengan vector
saling tegak lurus.
7.91
Buktikanlah rumus-rumus 6,7,8 pada halaman 129
7.92 Jika dan adalah koordinat-koordinat polar dan A,B, n adalah sebarang konstanta,buktikanlah bahwa memenuhi persamaan laplace.
7.93 Jika , tentukanlah 7.94 Tentukankah fungsi paling umum dari (a) koordinat silindris , (b) koordinat sferis r, (c)
koordinat sferis yang memenuhi persamaan laplace
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
39/40
39
7.95 Jika T dan N beturut-turut melambangkan satuan vektor tangensial dan satuan vektor normal
utama terhadap kurva ruang r = r(u), dimana r(u) diasumsikan dapat didiferensiasi.
Definisikanlah vektor B = T x N yang disebut vektor binormal satuan terhadap kurva ruang.
Buktikanlah bahwa
Jawab :
a). Karena i.e.tegak lurus terhadap .Jika Nadalah vector yang dibentuk oleh
, maka b). misalkan , maka
selanjutnya maka adalah tegak lurus terhadap .Tetapi dari sehingga ,kemudian tegak lurus terhadap danmerupakan anggota Berawal dari
yang merupakan anggota dan tegak lurus pada ,juga harusparallel pada ,maka
dikatakan binomial dan dikatakan torsic). Membentuk suatu system yang dibenarkan sebagai berikut Selanjutnya
7.96 (a) buktikanlah bahwa jari-jari kelengkungan pada sebarang titik dari kurva bidang
dapat didiferensiasi, ditentukan oleh (b) tentukanlah jari-jari kelengkungan pada titik (, 1, 0) dari kurva y = sin x, z=0
-
5/20/2018 Tugas Kalkulus 2008
40/40
40
7.97 Buktikanlah bahwa percepatan dari sebuah partikel disepanjang kurva ruang ditentukan
berturut-turut dalam (a) koordinat silindris (b) koordinat sferis sebagai
rrrerrrerrr r )sincos2sin2()cossin2()sin(
......2.....2
2.2...
Jawab :
a). Dari koordinat kartesian posisi vector dari dan percepatan danakselerasi vector adalah
dan
Selanjutnya
Maka
membentuk koordinat silindris
b). ( ) 7.98 Asas