tugas hidro baru
TRANSCRIPT
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
1/21
BAB II
GERAK ELEMEN FLUIDA;
ALIRAN ROTASI DAN IROTASIONAL
2.1. Pengenalan Perbedaan Jenis Jenis Gerak
Dalam terminologi matematika, gerak dari elemen fluida yang berjalan sepanjang alur
mereka sendiri sesuai dengan posisi dari tiap jenis gerak utama yang berbeda. Arti dalam
istilah fisika dari gerak ini yang diberikan pertama kali dengan pertimbangan masalah yang
sederhana dari elemen fluida dua demensi, dimana semua kecepatannya adalah paralel pada
sumbu OX dan hanya tergantung dari y ( seperti sebuah alur laminer antara dua pesawat
paralel).
Sesuai elemen bujur sangkar ABCD yang sangat kecil sekali dari area dx dy pada saat
waktu tdan elemen yang sama ketika waktu t+ dt:A1B1C1D1 ( gbr 2-1 ).
Gambar 2.1. Analisa dasar gerakan partikel fluida yang berbeda
Kecepatan dariA danD adalah u, dan kecepatan dariB dan Cadalah
+ du = u + ( u/y)dy karena AB = dy dan u dalam kasus ini adalah hanya berfungsi
sebagai y saja.
Dalam hal ini sangat mungkin jika pergi ABCD ke A1B1C1D1 dengan mengikuti
langkahlangkah berikut:
1. Sebuah gerak translasi yang diberi tanda1221 DCBA ; kecepatan translasinya adalah u.
2. Sebuah gerak rotasional yang berbelok diagonal berturut - turut21CA dan 21BD ke 31CA
dan 31BD ,
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
2/21
3. Sebuah deformasi yang di pindah dari C3ke C1 danB3 B1.
Jika dalam batas dtcenderung bernilai nol,21
CC cenderung bernilai nol. Jika sudut
312 CCC akan bernilai 45
ketika dx = dy. Karenanya :
2
)/(
2
21
32
dydtyuCCCC
Kecepatan dari rotasi anguler adalah :
dydt
CC
dt
d
CA
CC
dt
d
radius
segment
dt
d
dt
dr
2
32
22
32
memperkenalkan nilai dari 32CC telah diketahui sebelumnya , telah diketahui bahwa rata-rata
dari rotasi anguler adalah :
y
u
dt
dr
2
1
dengan cara yang sama, ratarata dari deformasi akan di temukan dan akan sama dengan :
y
u
CA
CC
t
2
1
31
13
dalam kasuskasus yang umum, ada tiga konstituen utama dari partikel gerak dan deformasi
mereka adalah :
1. Komponen kecepatan V (u, v, w): translasi2. Jenis dari komponen kecepatan dalam arah mereka sendiri di sebut: dilatasi.3. Jenis dari komponen kecepatan yang meninjau arah normal terhadap arah mereka sendiri:
rotasi dan deformasi angular.
Tiga konstituen ini berturutturut akan kita bahas dalam bagian di bawah ini.
2.2. Gerak Perpindahan ( Translasi )
Menurut partikel pada titik A(x,z,y) saat waktu t titiknya adalah sebuah sudut dari
sebuah elemen segi empat kecil, sisinya paralel pada tiga sumbu OX, OY, OZ perhatikan
(gambar 2-2). Ketika sebuah partikel berpindah pindah kemudian sisi dari elemen segiempat berjejer paralel pada sebuah sumbu, dan membentuk sebuah bentangan konstan, ini
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
3/21
hanya gerak perpindahan. Hal ini berarti tidak ada jarak yang bergantung dari komponen
kecepatan. Perpindahan dapat terjadi sepanjang garis lurus atau garis bengkok ( kurva ).
Gambar 2.2. Gerak perpindahan ( translatori )
Jikax, y, dan z adalah koordinat dariA saat waktu t. Kemudian x + x, y +
y dan z + z adalah koordinat pada saat waktu t+ t. Perpindahan gerak yang digambarkan
oleh persamaan sebagai berikut:
x = u t dx = u dt
y = v t atau dy = v dt
z = w t dz = w dt
Aliran dari partikel memanjang secara paralel dan lurus sepanjang garis arus dengan
kecepatan konstan ( jadi disebut arus seragam/uniform ) adalah hanya masalah perpindahan
gerak (fig 2-3).
Gambar 2.3. Contoh gerak perpindahan : aliran uniform
Perpindahan gerak mungkin akan digambarkan lebih kaku sebagai sebuah gerak dari
pusat dari elemen segi empat sebagai ganti dari gerak dari sudut elemen. Walaupun,perubahan ini sedikit membingungkan di lihat dari gambar dan persamaan dan yang telah di
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
4/21
sampaikan, akhirnya dengan hasil yang sama. Karenanya dalam pembahasan selanjutnya,
perpindahan gerak akan di gambarkan sebagai gerak dalam sebuah sudut.
Dalam pembahasan berikut ini, arti fisika dan istilah - istilah matematika yang
berhubungan akan dipelajari dalam bab ini pada gerak dua demensi pada saat yang pertama,
kemudian akan di kembangkan menjadi gerak tiga demensi.
2.3. Deformasi
Lebih mudah untuk menjelaskan jenis dari perpindahan dengan bantuan contoh. Dua
jenis dari deformasi di bedakan dalam; deformasi bersudut dan deformasi tak bersudut
(dilatational dan angular deformation).
2.3.1. Dilatasional atau Linear deformation
Dalam aliran yang memusat, kecepatan mempunyai sebuah kecenderungan untuk
menambah alur sepanjang partikel. Oleh karena itu, kecepatan dari tepi garis tegak lurus
terhadap vektor V (atau terhadap garis arus) yang tidak sama (gambar 2-4). Partikel menjadi
lebih panjang dan lebih kecil. Dalam hal ini dilatasional atau deformasi linear telah terlapisi
pada sebuah perpindahan yang telah disediakan oleh sudutdi antara sisinya dan tidak boleh di
ubah.
Gambar 2.4. Deformasi dilatasional partikel fluida dalam aliran konvergen
Sekarang menurut partikel dua demensi ABCD yang kecepatannya dalam arahx dari
garis tepiAB adalah u, dan kecepatan dari CD adala u + du = u + ( u/x)dx, sehinggaAD =
dx (gambar 2-5). Dengan cara yang sama, kecepatan dari AD dalam arah y adalah v, dan
kecepatan dariBCadalah :v + ( v/y)dy. Perlu dicatat bahwa derivatif dari u dengany atau
v dengan x adalah tidak sesuai dan derivatif dari kecepatan ( u/x)dx dan ( v/y)dy.
Setelah sebuah waktu dt, BC menjadi 11CB , bentang BB 1menjadi sama dengan
perubahannya dan waktu, dimana BB 1= (( v/y)dy dt.(velositas (( v/y)dy adalah negatif
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
5/21
dalam wadah fig. 2-5). CD menjadi 11DC sama dengan DD 1 adalah sama dengan DD 1 = ((
u/x)dx dt.
Velositas dari deformasi dilasional adalah per unit dari jangkauan :
y
v
dy
dyyv
x
u
dx
dxxu
)/()/(
jumlah u/ + v/y adalah total rata rata dari deformasi dilasional, rata rata perubahan
per unit dari sebuah area. Area BCEB 1dan D 1 C 1 ED harus sama dalam fluida inkrompresibel.
Perubahan mereka memberikan tekanan atau perluasan dalam hal ini adalah kompresibel
fluida.
Gambar 2.5. Komponen dari deformasi dilatasional
2-3.2 Deformasi Anguler atau Tegangan Geser
Deformasi bersudut ( anguler ) mungkin digambarkan oleh sifat dari sebuah partikel
fluida berikut tanpa fungsi friksi sekitar sebuah tekukan. Ini adalah perihal pengamatan biasa
bahwa di pojok sebuah jala lebih berangin daripada di pertengahan. Dalam masalah yang
sama arus fluida di sekitar tekukan, melalaikan efek dari friksi, velotisitas punya sebuah
kesempatan untuk menjadi besar di dalam dari pada dari luar dari tekukan. Hukum V x R =
konstan kirakira mungkin akan bekerja ketika V adalah velositas dan R adalah radius dari
kurva dari alur. Karenanya jika partikel A adalah sudut dari segitiga ABCD, pada sisi AB
dari segitiga berpindah lebih besar velositasnya dari pada sisi CD dan inilah deformasi sudut
(deformation angular-gambar 2-6). Deformasi angular ini cukup untuk bisa perbedaan dari
velositas antara AB dan CD.
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
6/21
Gambar 2.6. Deformasi geser dalam lengkungan
Sekarang kita lihat, sebagai contoh dalam hal ini telah digambarkan dalam gambar
2.7., dimana velositas dari AB adalah u dan velositas dai CD adalah u +b du = u + ( u/
y)dy, kemudian jarak antara Cd (DD 1 ) setelah waktu dt ( u/y)dy dt . velositas angular
adalah
y
u
dy
dyyu
)/(
catatan bahwa kontras untuk kasus deformasi dilational, derifasi dari u dengany danx adalah
di tahan disini. Derivasi dari velositas ( u/ y)dy tidak dapat tergantung pada waktu tertentu.
Dengan cara yang sama BB(atauDD*) adalah sama pada ( v/x)dx dt. Ketika dua
dari deformasi ini ada pada saat yang bersamaan jumlah dari kecepatan angular ( u+y)+(
v/x) adalah rata dari derivatif angular.
Catatan bahwa u/y telah di pilih sama dengan v/x dalam gambar figur 2-7,
dan dan kedua sektor dari angel di buat oleh garis tepi dari elemen kotak yang cenderung
pada peralel utama pada identitas atau inisial posisi mereka selama pada deformasi angular.
Ketika ke dua sektor tidak menjadi paralel pada posisi yang sebenarnya mereka, maka gerak
di katakan irotasional.
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
7/21
Gambar 2.7. Anguler atau deformasi geser
2.4. Rotasi
Walaupun gerak arus dapat bedakan dalam bentuk yang bermacammacam menurut
beberapa tipe dari jenis mereka (seperti laminar atau turbulen, tak friksi atau viskositas
dengan atau tanpa friksi, steady atau tidak steady), satu yang paling penting divisi dari
hidrodinamik terdiri dari yang berhubungan dengan arus rotasional dan irotasional.
Karenanya, gambaran dari konsep irotasional telah sepenuhnya di kembangkan dalam bab ini
2.4.1. Definisi dalam Matematika
Untuk gerak dua demensi, telah di tunjukan oleh velositas angular pada deformasi
adalah u/y dan v/x .Rotasi dari sebuah partikel sudah cukup untuk membedakan
komponen ini. Tentu saja, jika u/y = v/ , ada deformasi yang tanpa rotasi dan kedua
sektornya tidak berotasi (gambar 2-7). Tetapi jika v/y v/, kedua sektor
berkesempatan merubah arah, dan kedua-duanya rotasi dan angular deformasi, atau hanya
rotasi.(gambar 2-8)
.
Gambar 2.8. Rotasi dan deformasi
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
8/21
Perbedaan ( u/y)( v/x) ditemukan dari rata rata dari rotasi, oleh karena itu
sebuah gerak dua dimensi irotasional di tulis dalam rumus matematika dengan ( u/y)(
v/x) = 0 .
Deformasi angular dapat di sesuaikan dengan rotasi ketika (
u/y) (
v/
x) = 0
dan ketika ( u/y)( v/x) 0 dan secara teori, rotasi dapat ada tanpa deformasi ketika (
u/y) ( v/x) 0 dan ( u/y) ( v/x) = 0. Kasus seperti ini sering kita jumpai
dalam praktek, sehingga rotasi pada umunya terjadi dengan deformasi angular di dalam
situasi secara fisika. Sebuah gaya vortek, seperti yang telah perlihatkan dalam gambar 2-9,
seperti kasuskasus yang lain di mana partikel berotasi tanpa deformasi. Sehingga kini dapat
lebih mengetahui seperti kasus khusus dalam hidrostatik dimana gaya sentrifugal di
tambahkan dengan gaya gravitasi, melainkan sebuah arus rotasional ideal.
Gambar 2.9. Gaya vortex (V = KR ), rotasi tanpa deformasi
2.4.2 Fungsi Kecepatan Potensial : Definisi
Konsep dari gerak irotasional sangat penting dalam hidrodinamik sehingga banyak
sekali arus ideal mendekati irotasional.
Kekayaan dari gerak irotasional menghasilkan analisa yang sederhana dan kuat, grafik
atau metode sederhana yang dapat digunakan solusi dari masalah hidrolik. Kebanyakan dari
metode ini dihasilkan dari keberadaan fungsi tertentu, kecepatan potensial.
Kecepatan potensial di gambarkan sebagai nilai tunggal fungsi dari seperti bahwa
= - ( /y) dan i = ( /y) (atau alternatifnya u= - ( /y)). Jika fungsi u dan v
adalah berkelanjutan (continous), fungsi ini akan sangat memuaskan dengan kondisi
irotasional., dimana dua dimensi adalah ( u/y) - ( u/x) = 0. Ketika ungkapan untuk u
dan v adalah di gantikan ke dalam kondisi untuk irotasional hasilnya adalah :
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
9/21
xy
2-
yx
2= 0
sehingga pembeda dengan dua variabel bebas dari urutan dalam diferensiasi telah selesai.
Potensial velositas akan ditunjukan keberadaannya untuk gerak yang tiga dimensi yang
bagus.
Nilai dari kecepatan adalah V dalam fungsi terminologi potensial kecepatan dari
adalah :
V = gradien =y
Jx
i
Dimana I dan j adalah unit dari vektor sepanjang sumbu x dan y. magnitudo dari velositas
menjadi :
2/122
yxV
2.4.3. Teori Remak pada arus irotasional
Ini berguna unuk mempelajari karakteristik dari sebuah arus irotasional. Untuk tujuan
ini, di berikan contoh sebelumnya `dari sebuah arus tanpa friksi dalam sebuah lengkungan,
atau dari gerak vortek bebas yang di gambarkan dengan persamaan VR = K, yang telah di
analisa sebelumnya. (lihat gambar 2-10)
Gambar 2.10. Masalah pergantian tempat yang sanat kecil dalam aliran irotasional
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
10/21
Sesuai dengan segi empat elemen fluida ABCD antara dua arus digambarkan dengan
jarak mereka dari R1
dan R2
sehingga R1
= R2
+ dR. dR menjadi sangat kecil sekali.
Sesudah sebuah interval waktu dt, ABCD menjadi A1
B1
C1
D1
dan sisi dari AB
berotasi menjadi A1
B1
oleh cakupan yang sangat kecil rsehingga
rBO
BBr
1
1
tan BOR
Kdt1
2
dan
AOR
Kdt
AO
AA
rr 111
1
tan
persamaan terakhir ini menjadi :
12
11 RRBOAO BO
AO
R
R
1
1
1
atau OB = RI dan OA = R2. Ketika nilainya disubstitusikan kedalam persamaan untuk r
hasilnya adalah : r = ( K dt/ R1R2 ). Karena dR kecil, R2 ~ R1 dan persamaan dapat ditulis
sebagai r = ( K dt/ R12
). Karena sin 1 kecil, sin 1 1. Dan 1= ( AA/R1 ) = ( K dt/R12
),
Karenanya r = 1 .
Sisi AC berputar menjadi ACmelalui sudut 1. Karena dua sisiAB danACberputar
dengan jumlah yang sama 1 , tapi dalam arah yang berbeda, garis bagi AXmeninggalkan
paralel menuju garis bagi AX. Orientasi dari garis median tidak meninggalkan perubahan,
yang kondisinya untuk menjadi gerakan irotasional.
Yang harus ditekankan bahwa pegangan demonstrasi sebelumnya hanya benar jikapergantian jarak yang kecil sekali dipertimbangkan. Ini tidak sepenuhnya benar untuk
perbedaan jarak yang terbatas, karena dua bidang batas mempunyai kecenderungan untuk
berputar dalam arah yang sama.
Kedua sudut rotasi dari bidang batas dan sudut deformasi anguler mempunyai nilai
batas untuk batas perpindahan dari elemen. Bagaimanapun juga, dalam gerakan irotasional,
sudut rotasi yang kecil sekali merupakan permintaan yang lebih tinggi dari pada sudut
deformasi. Dalam aliran yang nyata, gerakan irotasional tidak dapat ditentukan dengan
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
11/21
mengamati deformasi partikel dalam gerak sepanjang alurnya karena sifat khusus ini
merupakan lokal yang utama.
2.5. Batas Parsial dari Kenyataan Irotasional.
2.5.1. Rotasi yang Disebabkan karena Gesekan : Teorema Kelvin.Konsep dari irotasionalitas secara matematika sangat penting [(u/y )( v/x ) = 0 ,
dalam gerakan dua dimensi ]. Kesulitan muncul ketika seseorang mencoba menyusun
beberapa aturan parsial sederhana untuk menduga kebenaran dari asumsi ini. Tentu saja,
rotasi sering disebabkan oleh gaya gaya viskositas, tetapi solusi rotasional juga berlaku
untuk fluida ideal, dan aliran irotasinal berlaku dalam viskositas fluida.
Sebagai contoh kita lihat sebuah bendungan, dimana arus velositas pada kenyataannya
bernilai nol dan dihubungkan dengan pipa. Pada awalnya fluida adalah irotasional, tetapi
tekanan viskos kadangkala menyebabkan arus menjadi rotasional pada saat memasuki pipa;
disinilah gaya friksi menyebabkan rotasi. Kenyataan di lapangan yang di terjemahkan dalam
istilah matematika oleh Kevin Thorem yang meneliti kerja dari fluida viscos yang
kepadatannya tetap, di bawah gaya gravitasi konstan. Sebuah percobaan dari Thorem yang
melebihi cakupan dari buku ini tetapi sebuah pengenalan fisika pada rotasi akan di bahas
selanjutnya.
Gambar 2.11. Variasi kecepatan dalam arah tegak lurus terhadap perbedaan
aliran ke dalam dalam arah gaya gesek dan menghasilkan putaran
dalam gerak rotasiona
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
12/21
Gambar 2.12. Contoh aliran rotasional dan irotasional
Gambar 2.13 Contoh aliran rotasional dan irotasional
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
13/21
Pada umumnya, gerak dapat di asumsikan sebagai irotasional gradien
kecepatan sangat kecil (seperti dalam gelombang gravitasi berjangka), ketika garis
arus memusat dengan cepat, dan ketika distribusi kecepatan menggantung pada
bentuk dari garis tepi bada bagian yang kasar. Gerak irotasional berdekatan dengan
garis tepi tapi menyimpang dengan garis alur.
Sebagai contoh telah di sebutkan pada awal, berdekatan dengan garis tepi
deferensial kecepatan yang besar antara partikel pada alur yang bersebelahan
menyebabakan garis menjadi rotasional. Sebuah bagian dari gradien kecepatan
ketinggian sangat kecil sebagai sebuah gerak secara matematika di sebut irotasional.
Suku dari gradien tertinggi di sebut sebagai instance, sebuah garis tepi batas jika ini
terjadi dekat sebuah garis tepi atau dari di antara fluida dengan perbedaan yang alami
(permukaan gas di permukaan) atau garis geser antara dua garis fluida. Sebuah gerak
mungkin bisa disebut irotasional hanya jika garis batas sedikit penting atau lumayan
kecil. Gambar 2.14 menggambarkan wadah pada bendungan air dimana garis tepi
tepi bawah melebihi arus bawah. Pergerakan yang irotasional hanya terjadi pada
dekat bagian atas.
2-5.1 solusi rotasi dalam fluida sempurnaKelihatan bahwa rotasi mungkin secara fisika berkaitan dengan friksi. Dalam
fisika efek gesek telah di hasilkan dalam aturan praktik sebagai berikut.
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
14/21
Walaupun, disana ada solusi secara matematika ada pergerakan rotasi dimana
gaya gesek diabaikan. Persamaan klasik Bernaulli tentang hidrolik dasar yang
berguna hanya sepanjang garis arus ketika gerak adalah rotasional tanpa gesekan
(lihat bab 10). Satu contoh kasus dari nondisipative (tanpa gesekan) gerak rotasional
adalah teori dari Gestner tentang gelombang gravitasi periodik.
Dalam teori ini aliran dalam partikel fluida digambarkan memutar. Partikel
partikelnya juga ikut berotasi mengelilingi diri mereka sendiri dalam arah yang
terbalik (gambar 2-15). Hasilnya telah digambarkan dengan sebuah solusi alternatif
dari persamaan dasar dimana terminologi geseknya telah diabikan. Tetapi dimana
terminologi rotasi inersia di ambil dengan mengambil hasil dari penghitungan (lihat
bab 17-1.4)
Gambar 2-15 alur dan rotasi partikel fluida dalam gelombang
Gerstner
2-5.2 Solusi irotasional dalam fluida viskosSeseorang juga menemukan gerak disipatif, dimana termasuk irotasional.
Sebagai contoh, gaya gesek punya peranan dominan sebagai pembasah dari
gelombang gravitasi ke dalam sebuah saringan dan mengalir kedalam sebuah medium
yang mudah menyerap. Walaupun dalam kasus ini hanya mengartikan kecepatan
dengan menganggap jarak dipertimbangkan. Sistem terbaru dari gerak rotasional
yang rumit yang mengalir kedalam medium yang mudah menyerap dipelajari sebagai
sebuah gerak rata-rata yang berhubungan dengan irotasional saat mencapai angka
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
15/21
Renold (lihat bab 9). Dengan cara yang sama, aliran turbulen berotasi dengan sangat
kuat tetapi bukan berarti gerak berhubungan dengan waktu mungkin lebih sering
dianggap sebagai irotasional ( lihat bab 8).
Ini mungkin juga terjadi bahwa aliran adalah irotasional ketika jumlah dari
semua viskositas yang muncul dalam persamaan momentum sama dengan nol,
meskipun tiap istilah secara individu bukan nol. Jenis gerakan tertentu adalah
disipatif dan irotasional. Contoh yang spesifik dari kasus ini adalah gerakan yang
digerakkan oleh silinder bundar yang berotasi dengan tetap di sekitar sumbunya
dalam fluida viskos tak termampatkan yang tak terbatas. Gradien kecepatan normal
ke garis lurus dapat menjadi besar mendekati silinder gerakannya tetap irotasional.
Gerakan dari vortek bebas adalah sama apakah salah satu menurut fluidasempurna atau viskos. Solusi unuk persamaan momentum untuk fluida sempurna (
VR = konstan ) membuat jumlah dari seluruh term viskositas dari persamaan
momentum sama dengan nol.
2-5.4 Energi disipasi, deformasi geser dan rotasionalitas
Bukti bahwa gerakan adalah rotasional tidak perlu mengartikan bahwa ini
adalah disipatif. Sebuah gerakan adalah disipatif kanguler tergabung dengan sebuah
koefisien viskositas yang tidak diabaikan. Jadi irotasional vortek bebas dapat menjadi
disipatif.
Tentu saja, hal ini akan terlihat pada bagian 5-5.3.2 bahwa tegangan viskositas
sesuai dengan koefisien deformasi linier dan anguler yang disampaikan pada bab ini.
Karenanya tegangan viskositas tergantung pada keberadaan deformasi dan bukan
rotasionalitas.
2-6 Ungkapan matematika untuk mendefinisikan gerakan partikel fluida.2-6.1 Gerakan Dua Dimensi.Mempertimbangkan elemen flida ABCD pada saat t ( gbr. 2-16). Komponen
kecepatan u dan v adalah fungsi dari x dany yaitu du = ( u/x ) + ( u/y )dy dan
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
16/21
dv = ( u/x) dx + (v/y )dy. Pada waktu t ruang koordinat A adalah x, y dan D
adalahx + dx,y + dy.
Gambar 2-16 sistem koordinat dua dimensi
KoordinatA dan D pada saat t + dtdiberikan pada persamaan 2-1
dtvy
dtuxA
'
dtdvvdyy
dtduudxxD'
dtdyy
vdx
x
vvdtdyy
dtdyy
udx
x
uudtdxx
D'
Menambahkan dan mengurangkan ( v/x ) dy dt ke koordinat x dan
( u/x ) dx dtke koordinaty menjadi bentuk koordinatDyang ditunjukkan pada
persamaan 2-2. Arti fisika dari term menjadi nyata dengan pertimbangan paragrap
sebelumnya.
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
17/21
dtdx
y
u
x
vdtdx
x
v
y
udtdy
y
vdtvdy
dtdyy
u
x
vdtdy
x
v
y
udtdx
x
udtudxx
D
2
1
2
1y
2
1
2
1
'
2-6.2 Gerakan Tiga Dimensi : Definisi dari VorticitySama dengan masalah dua dimensional, koordinat dari titikD( x + dx, y +
dy, z + dz ) dari elemen fluida tiga dimensi setelah waktu dtmenjadi persamaan 2-
3.
dtdzz
udy
y
udx
x
udtudxx
dtdzz
vdy
y
vdx
x
vdtvdyy
dtdz
z
wdy
y
wdx
x
wdtwdzz
menambahkan dan mengurangkan
dtdzx
wdtdy
x
v
2
1dan
2
1
ke baris pertama ;
dtdxy
udtdz
y
w
2
1dan
2
1
ke baris kedua ; dan
Oordin
at
translas
i
Dilatasi
atau
deformasi
Laju
deformasi
an uler
Laju rotasi
RotasiAnguler
atau
de ormasi
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
18/21
dtdyz
vdtdx
z
u
2
1dan
2
1
ke baris ketiga menghasilkan persamaan 2-4
dtdyy
u
x
vdz
x
w
z
udz
x
w
z
udy
y
u
x
vdtdx
x
udtudxx
2
1
2
1
2
1
2
1
dtdzz
v
y
wdx
y
u
x
vdx
y
u
x
vdz
z
v
y
wdtdy
y
vdtvdyy
2
1
2
1
2
1
2
1
dtdxx
w
z
udy
z
v
y
wdy
z
v
y
wdx
x
w
z
udtdz
z
wdtwdzz
2
1
2
1
2
1
2
1
koefisien deformasi geserakan dijelaskan sebaagai
z
v
y
wf
2
1
x
w
z
ug
2
1
z
v
y
wf
2
1
koefisien rotasi akan dijelaskan sebagai
z
v
y
w
2
1
x
w
z
u
2
1
z
v
y
w
2
1
koordinat dari titikDsekarang ditulis dalam persamaan 2-5, dalam hal ini 2, 2, 2
adalah komponen vektor yang mencerminkan vortisiti fluida pada suatu titik.
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
19/21
x + dx + u dt + a dx dt + ( h dy + g dz ) dt + ( dz - dy ) dt
y + dy + v dt + b dy dt + ( f dz + h dx ) dt + ( dx dz ) dt
z + dz + w dt + c dz dt + ( g dx + f dy ) dt + ( dy - dx ) dt
Sebuah gerakan irotasional tiga dimensi didefinisikan melalui = 0, = 0, dan = 0;
yaitu
y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w
,,
2-6.3 Fungsi Kecepatan Potensial Dalam Kasus Gerakan Tiga Dimensi.
zw
yv
xu
Ini mungkin dapat ditulis dalam bentuk vetor sebagai V = grad .
Ketika nilai dari kecepatan potensial disubstitusikan dalam persamaan untuk
gerak irotasional, hasilnya adalah :
xyyxxzzxzyyz
222222
hal ini memperkuat definisi dari karena selalu sesuai dengan kondisi untuk
aliran irotasional. Dengan kata lain, keberadaan dari menandakan bahwa aliran
tersebut adalah irotasional.
Persamaan diatas akan tetap dijaga, meskipun kecepatan potensial menjadi
negatif, jadi kecepatan potensial dapat juga didefinisikan oleh V = - grad .
Koordina
t awal
translasi Deformas
i
Deformas
i anguler
rotasi
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
20/21
2-6.4 Analogi Stoke: Percobaan ShawSebuah gerakan rotasi tiga dimensi merupakan gerakan irotasional dua
dimensi ketika rotasinya selalu pada pesawat yang sama. Sebagai contoh, lapisan tipis
air yang mengalir pada plat gelas horisontal yang ketebalan dari lapisannya sangat
kecil dibandingkan dengan dimensi lain, hanya mempunyai gerakan rotasional dalam
pesawat vertikal ( Gbr 2-17 ). Jika gerakannnya terlihat pada pesawat, gerakannya
akan dianggap sebagai gerakan irotasional dua dimensi.
Gambar 2-17 dalam aliran air tipis, rotasi ada hanya pada pesawat vertikal
Dalam kasus gambar 2-17, gerakan dalam arah vertikal XOZdan YOZadalah
rotasional dan 0, sedangkan gerakan dalam arah horizontal XOY adalah
irotasional dan = ( u/y - v/x ) = 0. ini mungkin dapat ditunjukkan bahwa
kecepatan rata rata yang meninjau vertikal mempunyai kondisi yang sama dengan
irotasionalitas.
Stream line dipandang dalam alat adalah sederhana ditunjukkan oleh suntikancelup. Hasil yang sama diperoleh dari aliran diantara dua alta paralel vertikal. Metode
ini sering digunakan untuk mejelaskan bentuk aliran dua dimensi atau hampir gerakan
dua dimensi. Beberapa contoh antara lain : bentuk aliran disekitar sayap, pengaruh
dari maukan pada sungai yang dangkal dan lebar ( gbr . 2-18 )
-
8/2/2019 Tugas Hidro baru
21/21
Gambar 2-18 contoh studi berdasarkan pada analogi stoke.