tÜrevİn uygulamalari 05
TRANSCRIPT
A. Artan Ve Azalan Fonksiyonlar
i) Her x1, x2∈ A için, x1<x2 iken, f(x1)< f(x2) ise, fonksiyonu, A kümesinde, artandır.
m=tanα= f ’(x1)>0 ise, f fonksiyonu (a,b)
aralığında artandır.
ii) Her x1, x2∈ A için, x1<x2 iken, f(x1)> f(x2) ise, f fonksiyonu, A kümesinde, azalandır.
m=tanα= f ’(x1)<0 ise, f fonksiyonu (a,b)
aralığında azalandır.
Sonuç:f:[a,b]→R fonksiyonu, (a,b) aralığında artan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi pozitiftir
Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında artan bir fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için f’(x)>0’dır.
a bf’(x)
f(x)
+ + + + +
artan
Sonuç:f:[a,b]→R, fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi negatiftir.
Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için, f’(x)<0’dır.
f’(x)
f(x)
a b- - - - -
azalan
Uygulamalar
Soru : f(x)=x2-2x fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz?
Fonksiyonunun, artan veya azalan olduğu aralıkları bulabilmek için,
Çözüm ::
türevinin işaretini incelemeliyiz.
f(x)=x2-2x ⇒ f’(x)= 2x-2
2x-2=0 ⇒ x=1 olur.f’(x)
f(x)
-∞ 1 +∞
- +
azalan artan
Soru : ∀×∈R-{-2} için, f(x)= fonksiyonu- nun daima artan olabilmesi için, m ne olmalıdır? Çözüm :
2x1mx
++
Fonksiyonun daima artan olabilmesi için, ol-malıdır.
f’(x)>0
f’(x)= = =2)2x()1mx.(1)2x.(m
++−+
2)2x(1mxm2mx
+−−+
2)2x(1m2
+−
Buradan; 0)2x(1m22 ⟩
+− ⇒ 01m2 ⟩− ⇒ 2
1m ⟩ bulunur.
Soru : Y=f(x)
y
x-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun [-3,4] aralığındaki gra- fiğini görmektesiniz.Bu grafiğe göre, f(x)’in türevinin pozitif veya negatif olduğu aralıkları bulunuz?
Çözüm :
a) [-3,-1) aralığında,Fonksiyon azalan olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır.
b) (-1,3) aralığında,
Fonksiyon artan olduğundan, f ‘(x) > 0’dır.
c) (3,4) aralığında,
Fonksiyon azalan olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır
Soru :
Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun, [-3,4] aralığında-ki türevinin grafiğini görmektesiniz. Grafiğe ba- karak, f(x)’in artan ve azalan olduğu aralıkları bu lunuz?
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y=f’(x)
y
x
Çözüm :
a) [-3,-2) aralığında:
f’(x) > 0 olduğundan,f(x) bu aralıkta artan’dır.
b) (-2,0) aralığında:
f’(x) < 0 olduğundan,f(x) bu aralıkta azalan’dır.
c) (0,4] aralığında:
f’(x) > 0 x=3 noktası hariç, olduğundan,f(x) bu aralıktaartan’dır.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y=f’(x)
y
x
B.Maksimum Ve Minimum Değerlerin Bulunması:
1. YEREL MAKSİMUM NOKTASI:
Tanım: f:[a,b]→R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0∈(a,b) ve ε > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ε,xo+ ε) aralığında en büyük değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel maksimumu vardır.f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel maksimum değeri denir.
x0- ε xo+ εx0
f(x0)
a b
Y=f(x)
f ’(x)
f(x)
a x0 b + -
f(x0)
Maksimum
2. YEREL MİNİMUM NOKTASI:Tanım:f:[a,b]→R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0∈(a,b) ve ε > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ε,xo+ ε) aralığında en küçük değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel minimumu vardır.f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel minimum degeri denir.
x0- ε xo+ εx0
a b
Y=f(x)
f(x0)
f ’(x)
f(x)
a x0 b +-
f(x0)
Minimum
Sonuç:
a
f(a)
b
f(b)
c
f(c)
d
f(d)
+
+++++ - --
-- - - - - +++++++
y=f(x)
f ’(x)>0 f ’(x)<0
Yerel maksimum
f ’(x)>0
Yerel minimum
Uygulamalar
Soru : f(x)= x3-3x2+1 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz?
Önce, f(x)’in türevini alıp, türevin işaretini incelemeliyiz:f’(x)= 3x2-6x = 0 ⇒
x1= 0 ve x2= 2x1= 0 ⇒ f(0)= 1x2= 2 ⇒ f(2)= -3
f’(x)
f(x)
-∞ 0 2 +∞ 0 0
1 -3
+ - +
Cözüm:
Soru :
-4 -2 –1 0 3 5
y=f ’(x)
y
x
Şekilde, y=f(x) fonksiyo-nunun türevinin grafiğini görüyorsunuz. Bu grafiğe bakarak, y=f(x) fonksiyo-nunun, yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz?
Cözüm :
+-
+-
f’(x)
f(x)
-4 5
- + -
C. İkinci Türevin Geometrik Anlamı
f:[a,b] →R fonksiyonu, (a,b) aralığında ikinci basamaktan türevli olsun:
a b
y=f(x)
Eğrinin çukurluk yönü yukarı doğru bakmaktadır.
A
B
x1 x2
α θ
a’dan b’ye, teğetlerin eğim açılarının büyüdüğüne dikkat!
a b
y=f(x)
A
B
x1 x2
α θ
Bu teğetlerin eğimleri;m1= tanα=f’(x1) ve m2=tanθ=f’(x2) α<θ ⇒ tanα< tanθ ⇒ f’(x1) < f’(x2) ‘dir.Yani;
x1< x2 için, f’(x1) < f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu artan’dır. f’ fonksiyonu artan olduğundan, türevi, f’’(x) > 0 ‘dır.
Şimdi de, eğrilik yönü aşağı doğru olan bir eğri inceleyelim:
a b
A
B
x1 x2
α θ
a’dan b’ye , teğetlerin eğim açılarının küçüldüğüne dikkat!
Bu teğetlerin eğimleri;
m1= tanα=f’(x1) ve m2= tanθ =f’(x2) ‘dir.
a b
A
B
x1 x2
α θ
α>θ ⇒ tanα> tanθ ⇒ f’(x1) > f’(x2) ‘dir.Yani;
x1< x2 için, f’(x1) > f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu azalan’dır. f’ fonksiyonu azalan olduğundan, türevi, f’’(x) < 0 ‘dır.
SONUÇ: Bir f fonksiyonu için, aralı-
ğın her noktasında, f’’(x)< 0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü aşağı doğrudur.
Bir f fonksiyonu için, aralı-ğın her noktasında, f’’(x)> 0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü yukarı doğrudur.
f’’(x)< 0 ⇒Konkav(İç bükey) f’’(x)> 0 ⇒Konveks(Dış bükey)
Soru :f:R →R, f(x)= x3+x2-2x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları araştırınız?
Çözüm :Öncelikle, f’in ikinci türevini alıp, işaretini incelemeliyiz.
f’(x)=3x2+2x-2
f’’(x)=6x+2 = 0
x= -1/3
f’’(x)
f(x)
- ∞ -1/3 +∞
- +
Bir önceki örnekte görüldüğü gibi, fonksiyon eğrisi, eğrilik yönünü bazı noktalarda değiştirmektedir:
Tanım:
Bir f fonksiyonunun grafiğinin, çukurluğunun yön değiş-tirdiği ve fonksiyonun sürekli olduğu noktaya,
Dönüm (büküm) noktası
denir.
Şekilleri dikkatle inceleyiniz!!!
a b0 x0
f(x0)
f ’’(x)<0 f ’’(x)>0
Dönüm noktası
a b0 x0
f(x0)
f ’’(x0)=0
f ’’(x)>0 f ’’(x)<0
f ’’(x0)=yokDönüm noktası
DİKKAT: İkinci türevin işaret değiştirdiği nokta DÖNÜM noktasıdır.
Uygulamalar
1. f: R→R, f(x)= x4+x3-2x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları ve varsa, dönüm noktalarını bulunuz?
Çözüm :f’(x)= 4x3+3x2-2 f’’(x)= 12x2+6x
İkinci türevin kökleri:
12x2+6x=0 6x(2x+1) = 06x=0 x1= 0
(2x+1)= 0 x2=-1
xf’’(x)
f(x)
-∞ -1/2 0 + ∞+ +
konveks konkav konveks
Dönüm noktası
Dönüm noktası
-
2. f: R→R, f(x)=(x-2)4 fonksiyonunun, varsa, dönüm noktasını bulunuz?
Çözüm :
f’(x)=4(x-2)3 ve f’’(x)= 12(x-2)2
12(x-2)2=0 ⇒ x1=x2=2
xf’’(x)
f(x)
- ∞ 2 + ∞
+ +
konveks konveks
?
x=2 noktası, ikinci türevin kökü olduğu halde, dönüm noktası değildir
Türev bu noktada, işaret değiştirmemektedir!
Yani; f’’(x0)=0 olması, x0 noktasının DÖNÜM noktası olmasını gerektirmez!!!!
D. L’HOSPITAL KURALI(TÜREVİN, LİMİT KAVRAMINDA KULLANIMI)
f ve g , [b,c] aralığında sürekli ve (b,c) aralığında türevli iki, fonksiyon olsun. f ve g fonksiyonları, a∈(b,c) olmak üzere, bir a noktasında tü- revli ve g’(a)≠0 olsun.
Tanım:
,0)x(flimax
=→ )x('g
)x('flimax→
ve varsa,,0)x(glimax
=→
)x(g)x(flim
ax→= )x('g
)x('flimax→
L’HOSPITAL KURALI
00
∞∞
BELİRSİZLİK HALLERİNE UYGULANIR
Uygulamalar
1.2x3x10x7xlim 2
2
2x +−+−
→limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
2x3x10x7xlim 2
2
2x +−+−
→= 0
0belirsizliği var
2x3x10x7xlim 2
2
2x +−+−
→= 3x2
7x2lim2x −
−→
= 32.272.2
−−
= 313 −=−
2.x
xx
11lim0
−+→
limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
xx
x
11lim0
−+→
= 00
belirsizliği var
xx
x
11lim0
−+→
= 0lim
→x
121
+x
1= 12
1lim0 +→ xx
= 1021
+ = 21
3.x
xπx sin
cos1lim +→
limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
xx
πx sincos1lim +
→ 00
belirsizliği var=
xx
πx sincos1lim +
→ πx →lim= - sinx
cosx
ππ
cossin− = 1
0− = 0
4.xe
xxx cos
)1ln(lim+
+∞→
limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
xex
xx cos)1ln(lim
++
∞→=∞∞
belirsizliği var
∞→xlim=xe
xxx cos
)1ln(lim+
+∞→
11+x
ex - sinx
0
∞
0
5.)2ln(sin)ln(sinlim
0 xx
x →limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
)2ln(sin)ln(sinlim
0 xx
x →=∞∞
belirsizliği var
)2ln(sin)ln(sinlim
0 xx
x →=
0lim
→x
cosx/sinx2cos2x/sin2x
0lim
→x
cosx/sinx2cos2x/sin2x =
Cosx.sin2x0
lim→x 2cos2x.sinx
Cosx.sin2x0
lim→x 2cos2x.sinx
2sinx.cosx
2.sinx.cos2x 0
lim→x 2cos2x.sinx
= )0.2cos(.20cos.2 2
= 2. 12. 1
= 1
6. x
xe
x⋅
∞→
1lim limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :x
xe
x⋅
∞→
1lim = 0 • ∞
x
xe
x⋅
∞→
1lim =x
x xe
∞→lim = ∞
∞
∞→xlim=
x
x xe
∞→lim ex
1 = e∞
1= ∞
1= ∞
7. ( )xxx 2sin.lim
∞→limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :( )xx
x 2sin.lim∞→
=∞•0
x
xx 1
)2sin(lim
∞→= 0
0
∞→xlim =
x
xx 1
)2sin(lim
∞→= xx
2cos22 ⋅−
21
x−
)/2cos(.2lim xx ∞→
=2
8.
−
−→ xxx ln1
11lim
1 limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
−
−→ xxx ln1
11lim
1= ∞ - ∞
−
−→ xxx ln1
11lim
1=
−⋅+−
→ )1(ln1lnlim
1 xxxx
x=
00
−⋅+−
→ )1(ln1lnlim
1 xxxx
x=
1lim
→x
11 −x
xxx
ln)1(1 +−⋅=
1lim
→xx
x−1
xxxx ln.)1( +− = xxx
xx ln.)1(
1lim1 +−
−→
=00
Bu aşamada, L’Hospital kuralı bir kere daha uygulanır:
xxxx
x ln.)1(1lim
1 +−−
→=
1lim
→x
21
x−
211xx
+=
2
2
1 1
1
lim
xx
xx +
−
→= 1
1lim1 +
−→ xx
= 21−