tu giac noi tiep.pdf

V Ti n Trnh

toan999.wordpress.com 1

CH NG MINH T GI`C N I TI P

PP1. ChQJPLQKnh ca t JLiFFiFK XL PNKLyL PFiFK u l tm cDmng trn ngoi ti p t gic.

V d 1. &KRKDLmng trn (O), (O) ct nhau ti A, B (O, O nPKDLSKtDi vLmng thng AB). Ti p tuy n ti A ca (O) ct (O) ti D v ti p tuy n ti A ca (O) ct (O) ti C. GL(OjL Pi xng ca A qua B. Chng minh t gic ACED ni ti Smng trn.

GL,OjWUXQJLm cD22.OjL Pi xng ca A qua K.

.KLyWDFy/ / KB OO KB AE A

0j%OjWUXQJLm cD$(QrQ.%Ojmng trung trc ca AE

KA KE .

V Ti n Trnh


Ta c t gic AOKO l hnh bnh hnh (hai mng cho ct nhau tLWUXQJLm mLmng) / / OK AO OK AC A

V AC l dy cung c Dmng trn (O) nn OK l trung trc ca AC

KA KC .

7mkQJW ta cung chQJPLQKmc KA KD .

Vy KA KC KE KD

t gic ACED ni ti Smng trn tm K, bn knh KA.

PP2. Dng cung cha gc, ta chQJPLQKKDLnh cng v mt pha nhn mt cnh Gmi nhng gc bng nhau.

V d 2. Cho gc nxOy khc gc bt, trn tia Ox l'\KDLLm A, D OA OD , trn tia Oy l'\KDLLm B, C OB OC sao cho . .OAOD OB OC . Chng minh t gic ABCD ni ti Smng trn.

V Ti n Trnh


V . .OA OB

OAOD OB OCOC OD

v nDOC chung

Nn n nOAC OBD OCA ODB

+DLnh C v D nm cng mWSKtDi vi AB v nhn AB theo hai gc bng nhau suy ra t gic ABCD ni ti p.

V d 3. &KRLm M nPQJRjLmng trn (O), t M v hai ti p tuy n MA, MB vi (O) (A, B l ti SLm). MO ct AB ti H. MCD l ct tuy n qua M ct (O) tai C, D (C nm gia M, D). Chng minh t gic CHOD ni ti p.

Trong tam gic vung MAO ta c: 2 .MA MH MO

7DPJLiF0$&ng dng vi tam gic MDA nn 2 .MA MC MD

Ry . .MH MO MC MD t gic CHOD ni ti p (theo v d trn).

PP3. Chng minh tQJKDLJyFi ca mt t gic l 0180 .

V Ti n Trnh


V d 4. Cho tam gic ABC nhn, D l mWL PWKD\i trn cnh BC. Gi (I) l mng trn qua D v ti p xc vi AB tL%-Ojmng trn qua D v ti p xc vi AC tL&KDLmng trn (I) v (J) ct nhau tLLm th hai l E (E khc D).

a) Chng minh t gic ABED ni ti p. b) Chng minh rQJNKLWKD\i trn cQK%&mng thQJ(OX{QLTXDPt

L m c nh. c) Chng minh rQJNKLWKD\i trn cQK%&mng trn ngoi ti p tam gic IEJ

OX{QLTXDPWL m c nh.

a) Ta c: n nBED ABD (gc ni ti p v gc t o bi tia ti p tuy n v dy cung cng chn cung BD).

n nDEC DCA (gc ni ti p v gc t o bi tia ti p tuy n v dy cung cng chn cung CD).

Ryn n n n n 0180BAC BED BAC DBA DCA

Suy ra t gic ABED ni ti Smng trn.

b) GL7OjJLDRL m ca ED vi (O).

V Ti n Trnh


Ta c: n n nATC TEC ACB / /AT BC

T c nh (v (O) v A, B, C c nh)

Ry(LTXD7F nh.

c) Ta c : OI vung gc BE ti K, OJ vung gc CE ti H (tnh ch'Wmng ni tm v dy cung chung cDKDLmng trn ct nhau)

t gic OKEH ni ti p

n n 0180KOH BEC (1)

OJ ko di ct (J) tL3NKLyWDFyW gic DEPC ni ti p (J)

n nEPC BDE

Ryn n n n n n1 12 2

PIE BDE EPC EJC BIE EJC

n n n nIEB JEC BEC IEJ (2)

T (1) v (2) ta c : n n 0180KOH IEJ

t gic OIEJ ni ti SKD\mng trn ngoi ti SWDPJLiF,(-OX{QLTXD2c QKNKLWKD\i trn cnh BC.

BI T P.

Bi 1. Cho tam gic nhn ABC ni ti Smng trn (O; R) v n 060BAC . Cc mQJFDR$%(&)ng qui ti H.

a) Chng minh t gic AEHF, BFEC ni ti p. b) GL,OjWUXQJL P$+.OjWUXQJL m BC. Chng minh EIFK ni ti p c) Chng minh BHOC ni ti S;iFQKWkPYjEiQNtQKmng trn y d) Gi J l WkPmng trn ni ti p tam gic ABC, chng minh BJOC ni ti p.

Bi 2. Cho nDmng trn tm O, mQJNtQK%&$OjLm thuc nDmng trn. V mng cao AH. Gi D, E l hnh chi u ca H ln AB, AC.

a) Chng minh . .AD AB AC AE

V Ti n Trnh


b) Chng minh BDEC ni ti p c) mng trn mng knh AH ct (O) tLL m th hai khc A l F, AF ct BC ti I,

chng minh . .IB IC IF IA d) Chng minh t gic IFDB ni ti p. e) Chng minh I thuFmng thng DE

Bi 3. Cho tam gic ABC nhQmng trn tm O mng knh BC ct AB, AC ti F, E. BE v CF ct nhau ti H.

a) Chng minh H l trc tm tam gic ABC v AH vung gc BC b) GL,OjWUXQJLm AH, chng minh IE, IF l ti p tuy n cDmng trn (O) c) Chng minh t gic FDEI ni ti p, vLOjJLDRL m ca BC v AH

Bi 4 . Cho t gic ABCD ni ti SWURQJmng trn (O). S l Lm chnh gia cung AB, SC v SD ct AB E v F.

a) Chng minh t gic CDEF ni ti p. b) Chng minh SO l phn gic gc ASB. c) DE v CF ko di ct (O) N v M. Chng minh SO vung gc MN.

Bi 5 . Cho tam gic ABC ni ti SWURQJmng trn (O). MWmng thng song song vi ti p tuy n ti A gp cc cnh AB, AC theo th t ti D, E v cWmng thng BC ti F.

a) Chng minh t gic BDEC ni ti p. b) Chng minh . . . .AB AD AC AE FB FC FD FE

c) mng thng FD ct (O) ti I, J. Chng minh . .FI FJ FD FE

Bi 6 . T mWL P0WUrQmng trn ngoi ti p tam gic ABC h FiFmng thng MD, ME, MF lQOmt vung gc v LFiFmng thng BC, CA, AB.

a) Chng minh D, E, F thng hng. b) GL3OjWUXQJL m cD$%4OjWUXQJL m ca DE. Chng minh MQ vung gc

vi PQ.

Bi 7 . &KRmng trn tm O mng knh AB. Trn ti p tuy n cDmng trn ti A l'\Lm M khc A. T M k ct tuy n MCD (C nm giD0Yjmng thng BC v BD cWmng thng OM lQOmt ti E v F. Chng minh OE = OF.

V Ti n Trnh


Bi 8 . Cho nDmng trn tm O, mng knh AB. M l mWLm b't k trn cung AB. K MD vung gc AB. Qua mWLm C trn cung AB, k ti p tuy n Cx ct DM ti I. DM ct AC E v ct BC ko di F. Chng minh

a) Cc t gic BCED v ADCF ni ti p

b) n nMEC ABC c) ,OjWkPmng trn ngoai ti p tam gic FEC.

Bi 9 . Cho tam gic ABC vung ti A v M l m WL PWUrQ$&mng trn mng knh MC ct BC ti N, BM cWmng trn ti D, AD cWmng trn ti S.

a) Chng minh t gic ABCD ni ti p. b) Chng minh CA l phn gic gc SCB. c) CD ct AB ti J. Chng minh J, M, N thng hng.

Bi 10 . T nh A ca hnh vung ABCD ta k hai tia to vi nhau mt gc 045 . Mt tia ct cnh BC ti E, cWmng cho BD ti P, tia cn li ct cnh CD ti F v cWmng cho BD ti Q.

a) ChQJPLQKQPLm E, P, Q, F, C cng nm trn mWmng trn. b) Chng minh 2AEF APQS S .

c) Trung trc cnh CD ct AE ti M v gi s n nCPD CMD . Tnh s R0$%

Bi 11 . &KRmng trn ;O R v ; O R ct nhau tL$Yj%7UrQWLDi ca tia AB l'\Lm C. K ti p tuy n CD, CE vLmng trn tm O trong y(OjFiFti SLm v E nPWURQJmng trn O mng thng AD, AE cWmng trn O lQOmt ti M v N(M, N khc A). Tia DE ct MN ti K. Chng minh

a) Cc t gic BEKN, BDMK ni ti p. b) 7DPJLiF%.0Yj%($ng dng. c) OK vung gc MN

tu giac noi tiep.pdf

Documents