trygonometria - politechnika gdańska · 2017. 11. 14. · trygonometria funkcje trygonometryczne...
TRANSCRIPT
-
Trygonometria
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 1 / 38
-
Trygonometria Miara łukowa kąta
Miara łukowa
DefinitionMiatą łukową kąta, α w kole o promienieniu r nazywamy stosunekdługości łuku s, na którym oparty jest ten kąt, do długości promieniatego koła. Jednostką miary łukowej jest radian. (α = sr ).
1◦ =π
180, 1rad =
180◦
π. (1)
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 2 / 38
-
Trygonometria Miara łukowa kąta
Miara łukowa
DefinitionMiatą łukową kąta, α w kole o promienieniu r nazywamy stosunekdługości łuku s, na którym oparty jest ten kąt, do długości promieniatego koła. Jednostką miary łukowej jest radian. (α = sr ).
1◦ =π
180, 1rad =
180◦
π. (1)
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 2 / 38
-
Trygonometria Miara łukowa kąta
Miara łukowa
jeden pełen obrót (360◦)⇒ α = sr
=
2πr
r= 2π rad
stopnie radiany
90◦ π2
180◦ π
270◦ 3π2
360◦ 2π
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 3 / 38
-
Trygonometria Miara łukowa kąta
Miara łukowa
jeden pełen obrót (360◦)⇒ α = sr
=2πr
r=
2π rad
stopnie radiany
90◦ π2
180◦ π
270◦ 3π2
360◦ 2π
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 3 / 38
-
Trygonometria Miara łukowa kąta
Miara łukowa
jeden pełen obrót (360◦)⇒ α = sr
=2πr
r= 2π rad
stopnie radiany
90◦ π2
180◦ π
270◦ 3π2
360◦ 2π
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 3 / 38
-
Trygonometria Miara łukowa kąta
Miara łukowa
jeden pełen obrót (360◦)⇒ α = sr
=2πr
r= 2π rad
stopnie radiany
90◦ π2
180◦ π
270◦ 3π2
360◦ 2π
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 3 / 38
-
Trygonometria Miara łukowa kąta
Miara łukowa
jeden pełen obrót (360◦)⇒ α = sr
=2πr
r= 2π rad
stopnie radiany
90◦ π2
180◦ π
270◦ 3π2
360◦ 2π
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 3 / 38
-
Trygonometria Miara łukowa kąta
Miara łukowa
jeden pełen obrót (360◦)⇒ α = sr
=2πr
r= 2π rad
stopnie radiany
90◦ π2
180◦ π
270◦ 3π2
360◦ 2π
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 3 / 38
-
Trygonometria Miara łukowa kąta
Miara łukowa
jeden pełen obrót (360◦)⇒ α = sr
=2πr
r= 2π rad
stopnie radiany
90◦ π2
180◦ π
270◦ 3π2
360◦ 2π
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 3 / 38
-
Trygonometria Miara łukowa kąta
Zamiana radianów i stopni
180◦ = π rad =⇒
1◦ =π
180rad lub 1 rad =
180◦
π
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 4 / 38
-
Trygonometria Miara łukowa kąta
Zamiana radianów i stopni
180◦ = π rad =⇒ 1◦ = π180
rad lub
1 rad =180◦
π
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 4 / 38
-
Trygonometria Miara łukowa kąta
Zamiana radianów i stopni
180◦ = π rad =⇒ 1◦ = π180
rad lub 1 rad =180◦
π
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 4 / 38
-
Trygonometria Miara łukowa kąta
Zamiana radianów i stopni
180◦ = π rad =⇒ 1◦ = π180
rad lub 1 rad =180◦
π
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 4 / 38
-
Trygonometria Funkcje trygonometryczne na trójkącie
α jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym, to sinusem tego kątanazywamy stosunek dlugości przyprostokątnej leżącej naprzeciwkokąta do długościprzeciwprostokątnej,sinα = ac , cosα =
bc , tgα =
ab , ctgα =
ba .
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 5 / 38
-
Trygonometria Funkcje trygonometryczne na trójkącie
Trójkąt prostokatny
α π6 = 30◦ π
4 = 45◦ π
3 = 60◦
sinα
cosα
tgα
ctgα
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 6 / 38
-
Trygonometria Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
DefinicjaKąt mierzymy od ramienia poczatkowego do końcowego w kierunkuprzeciwnym do ruchy wkazówek zegara. Kąt mierzony w kierunkuzgodnym z ruchem wskazówek zegara przyjmujemy jako posiadającywartość ujemną. Weźmy kąt α w tym układzie i obierzmy dowolnypunkt (x, y) i niech r =
√x2 + y2.
sinα =y
rcosα =
x
rtgα =
y
x(x 6= 0) ctgα = x
y(y 6= 0)
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 7 / 38
-
Trygonometria Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
DefinicjaKąt mierzymy od ramienia poczatkowego do końcowego w kierunkuprzeciwnym do ruchy wkazówek zegara. Kąt mierzony w kierunkuzgodnym z ruchem wskazówek zegara przyjmujemy jako posiadającywartość ujemną. Weźmy kąt α w tym układzie i obierzmy dowolnypunkt (x, y) i niech r =
√x2 + y2.
sinα =y
rcosα =
x
rtgα =
y
x(x 6= 0) ctgα = x
y(y 6= 0)
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 7 / 38
-
Trygonometria Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
DefinicjaKąt mierzymy od ramienia poczatkowego do końcowego w kierunkuprzeciwnym do ruchy wkazówek zegara. Kąt mierzony w kierunkuzgodnym z ruchem wskazówek zegara przyjmujemy jako posiadającywartość ujemną. Weźmy kąt α w tym układzie i obierzmy dowolnypunkt (x, y) i niech r =
√x2 + y2.
sinα =y
rcosα =
x
rtgα =
y
x(x 6= 0) ctgα = x
y(y 6= 0)
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 7 / 38
-
Trygonometria Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
Znak funkcji trygonometrycznej
sinα =y
rcosα =
x
rtgα =
y
x, ctgα =
x
y
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 8 / 38
-
Trygonometria Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
Znak funkcji trygonometrycznej
sinα =y
rcosα =
x
rtgα =
y
x, ctgα =
x
y
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 8 / 38
-
Trygonometria Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne
sinα =y
rcosα =
x
rtgα =
y
x, ctgα =
x
y
Wzory redukcyjne
sin (−α) = −yr =cos (−α) = xr =tg (−α) = −yx =ctg (−α) = x−y =sinα = sin (α+ 2kπ), k ∈ Zcosα = cos (α+ 2kπ), k ∈ Ztgα = tg (α+ kπ), k ∈ Zctgα = ctg (α+ kπ), k ∈ Z
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 9 / 38
-
Trygonometria Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne
sinα =y
rcosα =
x
rtgα =
y
x, ctgα =
x
y
Wzory redukcyjne
sin (−α) = −yr =cos (−α) = xr =tg (−α) = −yx =ctg (−α) = x−y =sinα = sin (α+ 2kπ), k ∈ Zcosα = cos (α+ 2kπ), k ∈ Ztgα = tg (α+ kπ), k ∈ Zctgα = ctg (α+ kπ), k ∈ Z
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 9 / 38
-
Trygonometria Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne
sinα =y
rcosα =
x
rtgα =
y
x, ctgα =
x
y
Wzory redukcyjne
sin (−α) = −yr =
cos (−α) = xr =tg (−α) = −yx =ctg (−α) = x−y =sinα = sin (α+ 2kπ), k ∈ Zcosα = cos (α+ 2kπ), k ∈ Ztgα = tg (α+ kπ), k ∈ Zctgα = ctg (α+ kπ), k ∈ Z
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 9 / 38
-
Trygonometria Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne
sinα =y
rcosα =
x
rtgα =
y
x, ctgα =
x
y
Wzory redukcyjne
sin (−α) = −yr =cos (−α) = xr =
tg (−α) = −yx =ctg (−α) = x−y =sinα = sin (α+ 2kπ), k ∈ Zcosα = cos (α+ 2kπ), k ∈ Ztgα = tg (α+ kπ), k ∈ Zctgα = ctg (α+ kπ), k ∈ Z
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 9 / 38
-
Trygonometria Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne
sinα =y
rcosα =
x
rtgα =
y
x, ctgα =
x
y
Wzory redukcyjne
sin (−α) = −yr =cos (−α) = xr =tg (−α) = −yx =
ctg (−α) = x−y =sinα = sin (α+ 2kπ), k ∈ Zcosα = cos (α+ 2kπ), k ∈ Ztgα = tg (α+ kπ), k ∈ Zctgα = ctg (α+ kπ), k ∈ Z
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 9 / 38
-
Trygonometria Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne
sinα =y
rcosα =
x
rtgα =
y
x, ctgα =
x
y
Wzory redukcyjne
sin (−α) = −yr =cos (−α) = xr =tg (−α) = −yx =ctg (−α) = x−y =
sinα = sin (α+ 2kπ), k ∈ Zcosα = cos (α+ 2kπ), k ∈ Ztgα = tg (α+ kπ), k ∈ Zctgα = ctg (α+ kπ), k ∈ Z
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 9 / 38
-
Trygonometria Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne
sinα =y
rcosα =
x
rtgα =
y
x, ctgα =
x
y
Wzory redukcyjne
sin (−α) = −yr =cos (−α) = xr =tg (−α) = −yx =ctg (−α) = x−y =sinα = sin (α+ 2kπ), k ∈ Zcosα = cos (α+ 2kπ), k ∈ Z
tgα = tg (α+ kπ), k ∈ Zctgα = ctg (α+ kπ), k ∈ Z
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 9 / 38
-
Trygonometria Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne
sinα =y
rcosα =
x
rtgα =
y
x, ctgα =
x
y
Wzory redukcyjne
sin (−α) = −yr =cos (−α) = xr =tg (−α) = −yx =ctg (−α) = x−y =sinα = sin (α+ 2kπ), k ∈ Zcosα = cos (α+ 2kπ), k ∈ Ztgα = tg (α+ kπ), k ∈ Zctgα = ctg (α+ kπ), k ∈ Z
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 9 / 38
-
Trygonometria Wzory redukcyjne
sinα =y
rcosα =
x
rtgα =
y
x, ctgα =
x
y
Wzory redukcyjnesin(π − α) = yr =cos(π − α) = −xr =tg(π − α) = y−x =ctg(π − α) = −xy =
sin(π + α) = −yr =
cos(π + α) = −xr =
tg(π + α) = −y−x =
ctg(π + α) = −x−y =
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 10 / 38
-
Trygonometria Wzory redukcyjne
sinα =y
rcosα =
x
rtgα =
y
x, ctgα =
x
y
Wzory redukcyjnesin (π2 + α) =
cos (π2 + α) =
tg (π2 + α) =
ctg (π2 + α) =
sin (3π2 + α) =
cos (3π2 + α) =
tg (3π2 + α) =
ctg (3π2 + α) =
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 11 / 38
-
Trygonometria Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne
Prosta zasada
f, g : sin, cos, tg, ctg
g(α± x) = ±f(x)
dlaα = π, 2π : f = g , nie ma zmiany w funkcji
α = π2 ,3π2 : sin←→ cos, tg←→ ctg
Znak przed f(x) zależy od kąta α± x
W pierwszej same plusyW drugiej tylko sinus
W trzeciej tangens i cotangensI w czwartej cosinus.
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 12 / 38
-
Trygonometria Tożasamości trygonometryczne
Tożasamości trygonometryczne - które musisz pamiętać
tgα =sinα
cosα
ctgα =cosα
sinα
tgα · ctgα = 1
sin2 α+ cos2 α = 1
sin (2α) = 2 sinα cosα
cos (2α) = cos2 α− sin2 α
sin (α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ
cos (α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 13 / 38
-
Trygonometria Tożasamości trygonometryczne
Wzory na sumę i róznicę
Używane w wielu przypadkach
sin (u+ v) = sinu cos v + cosu sin v
cos (u+ v) = cosu cos v − sinu sin v
sin (u− v) = sinu cos v − cosu sin v
cos (u− v) = cosu cos v + sinu sin v
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 14 / 38
-
Trygonometria Tożasamości trygonometryczne
Wzory na sumę i róznicę
Używane w wielu przypadkach
sin (u+ v) = sinu cos v + cosu sin v
cos (u+ v) = cosu cos v − sinu sin v
sin (u− v) = sinu cos v − cosu sin v
cos (u− v) = cosu cos v + sinu sin v
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 14 / 38
-
Trygonometria Tożasamości trygonometryczne
Wzory na sumę i róznicę
Używane w wielu przypadkach
sin (u+ v) = sinu cos v + cosu sin v
cos (u+ v) = cosu cos v − sinu sin v
sin (u− v) = sinu cos v − cosu sin v
cos (u− v) = cosu cos v + sinu sin v
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 14 / 38
-
Trygonometria Tożasamości trygonometryczne
Zamiana iloczynu na sumę
sinu sin v = 12 [cos (u− v)− cos (u+ v)]
cosu cos v = 12 [cos (u− v) + cos (u+ v)]
sinu cos v = 12 [sin (u+ v) + sin (u− v)]
cosu sin v = 12 [sin (u+ v)− sin (u− v)]
sinα+ sinβ = 2 sin(α+β2
)cos(α−β2
)sinα− sinβ = 2 cos
(α+β2
)sin(α−β2
)cosα+ cosβ = 2 cos
(α+β2
)cos(α−β2
)cosα− cosβ = −2 sin
(α+β2
)sin(α−β2
)
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 15 / 38
-
Trygonometria Tożasamości trygonometryczne
Zamiana iloczynu na sumę
sinu sin v = 12 [cos (u− v)− cos (u+ v)]
cosu cos v = 12 [cos (u− v) + cos (u+ v)]
sinu cos v = 12 [sin (u+ v) + sin (u− v)]
cosu sin v = 12 [sin (u+ v)− sin (u− v)]
sinα+ sinβ = 2 sin(α+β2
)cos(α−β2
)sinα− sinβ = 2 cos
(α+β2
)sin(α−β2
)cosα+ cosβ = 2 cos
(α+β2
)cos(α−β2
)cosα− cosβ = −2 sin
(α+β2
)sin(α−β2
)Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 15 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Definicja i wykres
Funkcje trygonometryczne
Definicjaf(x) = sinx, f(x) = cosx. Dziedzina obu funkcji to Df = R, aprzeciwdziedzina Rf = 〈−1, 1〉.
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 16 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Definicja i wykres
Funkcje trygonometryczne
Definicjaf(x) = sinx, f(x) = cosx. Dziedzina obu funkcji to Df = R, aprzeciwdziedzina Rf = 〈−1, 1〉.
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 16 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Definicja i wykres
Funkcje trygonometryczne
Definicjaf(x) = sinx, f(x) = cosx. Dziedzina obu funkcji to Df = R, aprzeciwdziedzina Rf = 〈−1, 1〉.
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 16 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Definicja i wykres
Funkcje trygonometryczne
Definicjaf(x) = tg x i g(x) = ctg x. Dziedziną tangensa jestDf = R− {π2 + kπ}, dziedziną cotangensa jest Dg = R− {kπ}.Przeciwdziedziną obu funkcji jest R.
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 17 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Definicja i wykres
Funkcje trygonometryczne
Definicjaf(x) = tg x i g(x) = ctg x. Dziedziną tangensa jestDf = R− {π2 + kπ}, dziedziną cotangensa jest Dg = R− {kπ}.Przeciwdziedziną obu funkcji jest R.
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 17 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Definicja i wykres
Funkcje trygonometryczne
Definicjaf(x) = tg x i g(x) = ctg x. Dziedziną tangensa jestDf = R− {π2 + kπ}, dziedziną cotangensa jest Dg = R− {kπ}.Przeciwdziedziną obu funkcji jest R.
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 17 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Definicja i wykres
Okresowość funkcji trygonometrycznych
Wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe
Okres T of sin i cos to 2π
sinx = sin (x+ 2kπ) , cosx = cos (x+ 2kπ)
Dla f(x) = sin (ax), g(x) = cos (ax) okres wynosi T = 2πaOkres T dla tangensa i cotangensa to π
tg x = tg (x+ kπ) , ctg x = ctg (x+ kπ)
Dla f(x) = tg (ax), g(x) = ctg (ax) okres to T = πa
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 18 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Definicja i wykres
Okresowość funkcji trygonometrycznych
Wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe
Okres T of sin i cos to 2π
sinx = sin (x+ 2kπ) , cosx = cos (x+ 2kπ)
Dla f(x) = sin (ax), g(x) = cos (ax) okres wynosi T = 2πaOkres T dla tangensa i cotangensa to π
tg x = tg (x+ kπ) , ctg x = ctg (x+ kπ)
Dla f(x) = tg (ax), g(x) = ctg (ax) okres to T = πa
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 18 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Definicja i wykres
Okresowość funkcji trygonometrycznych
Wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe
Okres T of sin i cos to 2π
sinx = sin (x+ 2kπ) , cosx = cos (x+ 2kπ)
Dla f(x) = sin (ax), g(x) = cos (ax) okres wynosi T = 2πa
Okres T dla tangensa i cotangensa to π
tg x = tg (x+ kπ) , ctg x = ctg (x+ kπ)
Dla f(x) = tg (ax), g(x) = ctg (ax) okres to T = πa
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 18 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Definicja i wykres
Okresowość funkcji trygonometrycznych
Wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe
Okres T of sin i cos to 2π
sinx = sin (x+ 2kπ) , cosx = cos (x+ 2kπ)
Dla f(x) = sin (ax), g(x) = cos (ax) okres wynosi T = 2πaOkres T dla tangensa i cotangensa to π
tg x = tg (x+ kπ) , ctg x = ctg (x+ kπ)
Dla f(x) = tg (ax), g(x) = ctg (ax) okres to T = πa
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 18 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Definicja i wykres
Okresowość funkcji trygonometrycznych
Wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe
Okres T of sin i cos to 2π
sinx = sin (x+ 2kπ) , cosx = cos (x+ 2kπ)
Dla f(x) = sin (ax), g(x) = cos (ax) okres wynosi T = 2πaOkres T dla tangensa i cotangensa to π
tg x = tg (x+ kπ) , ctg x = ctg (x+ kπ)
Dla f(x) = tg (ax), g(x) = ctg (ax) okres to T = πa
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 18 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równości
sinα =y
r
PytaniaDla jakiego α i β
sinα = sinβ ?
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 19 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równości
cosα =x
r
PytanieDla jakiego α i β zachodzi
cosα = cosβ ?
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 20 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równości
Odpowiedź
sinα = sinβ ⇔ α = β + 2kπ ∨ α = π − β + 2kπ
cosα = cosβ ⇔ α = ±β + 2kπ
tgα = tg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= π2 + kπ
ctgα = ctg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= kπ
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 21 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Przykłady
Rozwiąż: sinx = 12
sinx =1
2= sin
π
6
sinα = sinβ ⇔ α = β + 2kπ ∨ α = π − β + 2kπ
Rozwiązanie
x = π6 + 2kπ ∨ x =5π6 + 2kπ, k ∈ Z
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 22 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Przykłady
Rozwiąż: sinx = 12
sinx =1
2= sin
π
6
sinα = sinβ ⇔ α = β + 2kπ ∨ α = π − β + 2kπ
Rozwiązanie
x = π6 + 2kπ ∨ x =5π6 + 2kπ, k ∈ Z
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 22 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Przykłady
Rozwiąż: sinx = 12
sinx =1
2=
sinπ
6
sinα = sinβ ⇔ α = β + 2kπ ∨ α = π − β + 2kπ
Rozwiązanie
x = π6 + 2kπ ∨ x =5π6 + 2kπ, k ∈ Z
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 22 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Przykłady
Rozwiąż: sinx = 12
sinx =1
2= sin
π
6
sinα = sinβ ⇔ α = β + 2kπ ∨ α = π − β + 2kπ
Rozwiązanie
x = π6 + 2kπ ∨ x =5π6 + 2kπ, k ∈ Z
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 22 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Przykłady
Rozwiąż: sinx = 12
sinx =1
2= sin
π
6
sinα = sinβ ⇔ α = β + 2kπ ∨ α = π − β + 2kπ
Rozwiązanie
x = π6 + 2kπ ∨ x =5π6 + 2kπ, k ∈ Z
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 22 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Przykłady
Rozwiąż: sinx = 12
sinx =1
2= sin
π
6
sinα = sinβ ⇔ α = β + 2kπ ∨ α = π − β + 2kπ
Rozwiązanie
x = π6 + 2kπ ∨ x =5π6 + 2kπ, k ∈ Z
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 22 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Rozwiąż równanie
sinx = 12
cosx =√22
sinx = −√32
cos (4x) =√32
tg (2x) = −√
3
cosx = −√32
Użyteczne wzory
sinα = sinβ ⇔ α = β + 2kπ ∨ α = π − β + 2kπ
cosα = cosβ ⇔ α = ±β + 2kπ
tgα = tg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= π2 + kπ
ctgα = ctg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= kπ
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 23 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Rozwiąż równanie
sinx = 12
cosx =√22
sinx = −√32
cos (4x) =√32
tg (2x) = −√
3
cosx = −√32
Użyteczne wzory
sinα = sinβ ⇔ α = β + 2kπ ∨ α = π − β + 2kπ
cosα = cosβ ⇔ α = ±β + 2kπ
tgα = tg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= π2 + kπ
ctgα = ctg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= kπ
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 23 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Rozwiąż równanie
sinx = 12
cosx =√22
sinx = −√32
cos (4x) =√32
tg (2x) = −√
3
cosx = −√32
Użyteczne wzory
sinα = sinβ ⇔ α = β + 2kπ ∨ α = π − β + 2kπ
cosα = cosβ ⇔ α = ±β + 2kπ
tgα = tg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= π2 + kπ
ctgα = ctg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= kπ
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 23 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Rozwiąż równanie
sinx = 12
cosx =√22
sinx = −√32
cos (4x) =√32
tg (2x) = −√
3
cosx = −√32
Użyteczne wzory
sinα = sinβ ⇔ α = β + 2kπ ∨ α = π − β + 2kπ
cosα = cosβ ⇔ α = ±β + 2kπ
tgα = tg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= π2 + kπ
ctgα = ctg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= kπ
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 23 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Rozwiąż równanie
sinx = 12
cosx =√22
sinx = −√32
cos (4x) =√32
tg (2x) = −√
3
cosx = −√32
Użyteczne wzory
sinα = sinβ ⇔ α = β + 2kπ ∨ α = π − β + 2kπ
cosα = cosβ ⇔ α = ±β + 2kπ
tgα = tg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= π2 + kπ
ctgα = ctg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= kπ
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 23 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Rozwiąż równanie
sinx = 12
cosx =√22
sinx = −√32
cos (4x) =√32
tg (2x) = −√
3
cosx = −√32
Użyteczne wzory
sinα = sinβ ⇔ α = β + 2kπ ∨ α = π − β + 2kπ
cosα = cosβ ⇔ α = ±β + 2kπ
tgα = tg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= π2 + kπ
ctgα = ctg β ⇔ α = β + kπ, α, β 6= kπ
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 23 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Trochę bardziej skomplikowane równania
ctg x cos2 x = 2 ctg x
ctg x(cos2 x− 2) = 0
ctg x = 0 ∨ cos2 x = 2
ctg x = 0 ∨ cosx = ±√
2
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 24 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Trochę bardziej skomplikowane równania
ctg x cos2 x = 2 ctg x
ctg x(cos2 x− 2) = 0
ctg x = 0 ∨ cos2 x = 2
ctg x = 0 ∨ cosx = ±√
2
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 24 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Trochę bardziej skomplikowane równania
ctg x cos2 x = 2 ctg x
ctg x(cos2 x− 2) = 0
ctg x = 0 ∨ cos2 x = 2
ctg x = 0 ∨ cosx = ±√
2
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 24 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Trochę bardziej skomplikowane równania
ctg x cos2 x = 2 ctg x
ctg x(cos2 x− 2) = 0
ctg x = 0 ∨ cos2 x = 2
ctg x = 0 ∨ cosx = ±√
2
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 24 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Trochę bardziej skomplikowane równania
2 sin2 x− sinx− 1 = 0
Niech sinx = t ∈ 〈−1, 1〉
2t2 − t− 1 = 0
∆ = 9, x1,2 =1± 3
4= −1
2, 1
sinx = −12∨ sinx = 1
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 25 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Trochę bardziej skomplikowane równania
2 sin2 x− sinx− 1 = 0
Niech sinx = t
∈ 〈−1, 1〉
2t2 − t− 1 = 0
∆ = 9, x1,2 =1± 3
4= −1
2, 1
sinx = −12∨ sinx = 1
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 25 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Trochę bardziej skomplikowane równania
2 sin2 x− sinx− 1 = 0
Niech sinx = t ∈ 〈−1, 1〉
2t2 − t− 1 = 0
∆ = 9, x1,2 =1± 3
4= −1
2, 1
sinx = −12∨ sinx = 1
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 25 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Trochę bardziej skomplikowane równania
2 sin2 x− sinx− 1 = 0
Niech sinx = t ∈ 〈−1, 1〉
2t2 − t− 1 = 0
∆ = 9, x1,2 =1± 3
4= −1
2, 1
sinx = −12∨ sinx = 1
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 25 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Trochę bardziej skomplikowane równania
2 sin2 x− sinx− 1 = 0
Niech sinx = t ∈ 〈−1, 1〉
2t2 − t− 1 = 0
∆ = 9, x1,2 =1± 3
4= −1
2, 1
sinx = −12∨ sinx = 1
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 25 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Trochę bardziej skomplikowane równania
2 sin2 x− sinx− 1 = 0
Niech sinx = t ∈ 〈−1, 1〉
2t2 − t− 1 = 0
∆ = 9, x1,2 =1± 3
4= −1
2, 1
sinx = −12∨
sinx = 1
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 25 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Trochę bardziej skomplikowane równania
2 sin2 x− sinx− 1 = 0
Niech sinx = t ∈ 〈−1, 1〉
2t2 − t− 1 = 0
∆ = 9, x1,2 =1± 3
4= −1
2, 1
sinx = −12∨ sinx = 1
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 25 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Trochę bardziej skomplikowane równania
2 cosx+ sin (2x) = 0
2 cosx+ 2 sinx cosx = 0
2 cosx (1 + sinx) = 0
cosx = 0 ∨ sinx = −1
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 26 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Trochę bardziej skomplikowane równania
2 cosx+ sin (2x) = 0
2 cosx+ 2 sinx cosx = 0
2 cosx (1 + sinx) = 0
cosx = 0 ∨ sinx = −1
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 26 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Trochę bardziej skomplikowane równania
2 cosx+ sin (2x) = 0
2 cosx+ 2 sinx cosx = 0
2 cosx (1 + sinx) = 0
cosx = 0 ∨ sinx = −1
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 26 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Trochę bardziej skomplikowane równania
2 cosx+ sin (2x) = 0
2 cosx+ 2 sinx cosx = 0
2 cosx (1 + sinx) = 0
cosx = 0 ∨ sinx = −1
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 26 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Trochę bardziej skomplikowane równania
sinu+ sin v = 2 sin
(u+ v
2
)cos
(u− v
2
)
sin (5x) + sin (3x) = 0
2 sin (4x) cosx = 0
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 27 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Trochę bardziej skomplikowane równania
sinu+ sin v = 2 sin
(u+ v
2
)cos
(u− v
2
)
sin (5x) + sin (3x) = 0
2 sin (4x) cosx = 0
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 27 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Nierówności
Przykład
sinx >1
2
x ∈(π
6+ 2kπ ,
5π
6+ 2kπ
)
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 28 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Nierówności
Przykład
sinx >1
2
x ∈(π
6+ 2kπ ,
5π
6+ 2kπ
)
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 28 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Nierówności
Przykład
sinx >1
2
x ∈(π
6+ 2kπ ,
5π
6+ 2kπ
)
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 28 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Nierówności
Przykład
sinx >1
2
x ∈(π
6+ 2kπ ,
5π
6+ 2kπ
)
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 28 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Nierówności
Przykład
sinx >1
2
x ∈(π
6+ 2kπ ,
5π
6+ 2kπ
)
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 28 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Nierówności
Przykład
sinx >1
2
x ∈(π
6+ 2kπ ,
5π
6+ 2kπ
)
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 28 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Nierówności
Rozwiąż
cosx <√32
tg x < 1
ctg (5x) ≥ −1
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 29 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Nierówności
Rozwiąż
cosx <√32
tg x < 1
ctg (5x) ≥ −1
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 29 / 38
-
Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności
Nierówności
Rozwiąż
cosx <√32
tg x < 1
ctg (5x) ≥ −1
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 29 / 38
-
Funkcje odwrotne
Funkcje odwrotne
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 30 / 38
-
Funkcje odwrotne
Funkcja odwrotna
Kiedy istnieje funkcja odwrotna???
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 31 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Funkcje cyklometryczne
Funkcje trygonometryczne nie sa różnowartościowe
Musimy ograniczyć dziedzinę
y = sinx, x ∈〈−π
2,π
2
〉y = cosx, x ∈ 〈0, π〉
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 32 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Funkcje cyklometryczne
Funkcje trygonometryczne nie sa różnowartościowe
Musimy ograniczyć dziedzinę
y = sinx, x ∈〈−π
2,π
2
〉y = cosx, x ∈ 〈0, π〉
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 32 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Funkcje cyklometryczne
Funkcje trygonometryczne nie sa różnowartościowe
Musimy ograniczyć dziedzinę
y = sinx, x ∈〈−π
2,π
2
〉
y = cosx, x ∈ 〈0, π〉
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 32 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Funkcje cyklometryczne
Funkcje trygonometryczne nie sa różnowartościowe
Musimy ograniczyć dziedzinę
y = sinx, x ∈〈−π
2,π
2
〉y = cosx, x ∈ 〈0, π〉
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 32 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Funkcje cyklometryczne
Definicja
y = arc sinx wtedy i tylko wtedy sin y = x
x ∈ 〈−1, 1〉, y ∈ 〈−π/2, π/2〉.
PrzykładOblicz jeżeli to
arc sin
(−1
2
), arc sin
(√3
2
), arc sin 2
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 33 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Funkcje cyklometryczne
Definicja
y = arc sinx wtedy i tylko wtedy sin y = x
x ∈ 〈−1, 1〉, y ∈ 〈−π/2, π/2〉.
PrzykładOblicz jeżeli to
arc sin
(−1
2
),
arc sin
(√3
2
), arc sin 2
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 33 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Funkcje cyklometryczne
Definicja
y = arc sinx wtedy i tylko wtedy sin y = x
x ∈ 〈−1, 1〉, y ∈ 〈−π/2, π/2〉.
PrzykładOblicz jeżeli to
arc sin
(−1
2
), arc sin
(√3
2
),
arc sin 2
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 33 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Funkcje cyklometryczne
Definicja
y = arc sinx wtedy i tylko wtedy sin y = x
x ∈ 〈−1, 1〉, y ∈ 〈−π/2, π/2〉.
PrzykładOblicz jeżeli to
arc sin
(−1
2
), arc sin
(√3
2
), arc sin 2
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 33 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Wykres funkcji Arcsin
Wykres f i f−1 jest symetryczny względem y = x.
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 34 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Wykres funkcji Arcsin
Wykres f i f−1 jest symetryczny względem y = x.
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 34 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Funkcje cyklometryczne
Definicje
Funkcja Dziedzina Przeciwdziedzinay = arc sinx ⇔ sin y = x 〈−1, 1〉 〈−π/2, π/2〉
y = arc cosx ⇔ cos y = x 〈−1, 1〉 〈0, π〉y = arc tg x ⇔ tg y = x 〈−∞,∞〉 (−π/2, π/2)y = arc ctg x ⇔ ctg y = x 〈−∞,∞〉 (0, π)
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 35 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Funkcje cyklometryczne
Definicje
Funkcja Dziedzina Przeciwdziedzinay = arc sinx ⇔ sin y = x 〈−1, 1〉 〈−π/2, π/2〉y = arc cosx ⇔ cos y = x 〈−1, 1〉 〈0, π〉
y = arc tg x ⇔ tg y = x 〈−∞,∞〉 (−π/2, π/2)y = arc ctg x ⇔ ctg y = x 〈−∞,∞〉 (0, π)
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 35 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Funkcje cyklometryczne
Definicje
Funkcja Dziedzina Przeciwdziedzinay = arc sinx ⇔ sin y = x 〈−1, 1〉 〈−π/2, π/2〉y = arc cosx ⇔ cos y = x 〈−1, 1〉 〈0, π〉y = arc tg x ⇔ tg y = x 〈−∞,∞〉 (−π/2, π/2)
y = arc ctg x ⇔ ctg y = x 〈−∞,∞〉 (0, π)
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 35 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Funkcje cyklometryczne
Definicje
Funkcja Dziedzina Przeciwdziedzinay = arc sinx ⇔ sin y = x 〈−1, 1〉 〈−π/2, π/2〉y = arc cosx ⇔ cos y = x 〈−1, 1〉 〈0, π〉y = arc tg x ⇔ tg y = x 〈−∞,∞〉 (−π/2, π/2)y = arc ctg x ⇔ ctg y = x 〈−∞,∞〉 (0, π)
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 35 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Notatka
arc sin (sinx) = x, sin (arc sinx) = x
arc tg (tg x) = x, tg (arc tg x) = x
Znajdź dokładną wartość
arc cos (cos(π6
)) =
arc sin (sin(5π3
)) =
tg (arc cos(23
)) =
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 36 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Notatka
arc sin (sinx) = x, sin (arc sinx) = x
arc tg (tg x) = x, tg (arc tg x) = x
Znajdź dokładną wartość
arc cos (cos(π6
)) =
arc sin (sin(5π3
)) =
tg (arc cos(23
)) =
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 36 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Notatka
arc sin (sinx) = x, sin (arc sinx) = x
arc tg (tg x) = x, tg (arc tg x) = x
Znajdź dokładną wartość
arc cos (cos(π6
)) =
arc sin (sin(5π3
)) =
tg (arc cos(23
)) =
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 36 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Notatka
arc sin (sinx) = x, sin (arc sinx) = x
arc tg (tg x) = x, tg (arc tg x) = x
Znajdź dokładną wartość
arc cos (cos(π6
)) =
arc sin (sin(5π3
)) =
tg (arc cos(23
)) =
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 36 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Rozwiązanie równości i nierówności
Przed rozwiązaniem równości/nierówności określ dziedzinę.
Jak rozwiązać?Skorzystaj z definicji
arc cos (x+ 2) =π
3⇔ cos
(π3
)= x+ 2
Użyj własności funkcji odwrotnej
arc sin (x− 4) < π6⇔ sin (arc sin (x− 4)) < sin
(π6
)Skorzystaj z monotoniczności funkcji trygonometrycznych(pamiętaj, że cos, arc cos, ctg, i arc ctg są malejące)
arc ctg (x− 4) > arc ctg (x2) ⇔ x− 4 < x2
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 37 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Rozwiązanie równości i nierówności
Przed rozwiązaniem równości/nierówności określ dziedzinę.
Jak rozwiązać?Skorzystaj z definicji
arc cos (x+ 2) =π
3⇔
cos(π
3
)= x+ 2
Użyj własności funkcji odwrotnej
arc sin (x− 4) < π6⇔ sin (arc sin (x− 4)) < sin
(π6
)Skorzystaj z monotoniczności funkcji trygonometrycznych(pamiętaj, że cos, arc cos, ctg, i arc ctg są malejące)
arc ctg (x− 4) > arc ctg (x2) ⇔ x− 4 < x2
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 37 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Rozwiązanie równości i nierówności
Przed rozwiązaniem równości/nierówności określ dziedzinę.
Jak rozwiązać?Skorzystaj z definicji
arc cos (x+ 2) =π
3⇔ cos
(π3
)= x+ 2
Użyj własności funkcji odwrotnej
arc sin (x− 4) < π6⇔ sin (arc sin (x− 4)) < sin
(π6
)Skorzystaj z monotoniczności funkcji trygonometrycznych(pamiętaj, że cos, arc cos, ctg, i arc ctg są malejące)
arc ctg (x− 4) > arc ctg (x2) ⇔ x− 4 < x2
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 37 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Rozwiązanie równości i nierówności
Przed rozwiązaniem równości/nierówności określ dziedzinę.
Jak rozwiązać?Skorzystaj z definicji
arc cos (x+ 2) =π
3⇔ cos
(π3
)= x+ 2
Użyj własności funkcji odwrotnej
arc sin (x− 4) < π6⇔
sin (arc sin (x− 4)) < sin(π
6
)Skorzystaj z monotoniczności funkcji trygonometrycznych(pamiętaj, że cos, arc cos, ctg, i arc ctg są malejące)
arc ctg (x− 4) > arc ctg (x2) ⇔ x− 4 < x2
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 37 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Rozwiązanie równości i nierówności
Przed rozwiązaniem równości/nierówności określ dziedzinę.
Jak rozwiązać?Skorzystaj z definicji
arc cos (x+ 2) =π
3⇔ cos
(π3
)= x+ 2
Użyj własności funkcji odwrotnej
arc sin (x− 4) < π6⇔ sin (arc sin (x− 4)) < sin
(π6
)
Skorzystaj z monotoniczności funkcji trygonometrycznych(pamiętaj, że cos, arc cos, ctg, i arc ctg są malejące)
arc ctg (x− 4) > arc ctg (x2) ⇔ x− 4 < x2
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 37 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Rozwiązanie równości i nierówności
Przed rozwiązaniem równości/nierówności określ dziedzinę.
Jak rozwiązać?Skorzystaj z definicji
arc cos (x+ 2) =π
3⇔ cos
(π3
)= x+ 2
Użyj własności funkcji odwrotnej
arc sin (x− 4) < π6⇔ sin (arc sin (x− 4)) < sin
(π6
)Skorzystaj z monotoniczności funkcji trygonometrycznych(pamiętaj, że cos, arc cos, ctg, i arc ctg są malejące)
arc ctg (x− 4) > arc ctg (x2) ⇔
x− 4 < x2
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 37 / 38
-
Funkcje odwrotne Funkcja odwrotna
Rozwiązanie równości i nierówności
Przed rozwiązaniem równości/nierówności określ dziedzinę.
Jak rozwiązać?Skorzystaj z definicji
arc cos (x+ 2) =π
3⇔ cos
(π3
)= x+ 2
Użyj własności funkcji odwrotnej
arc sin (x− 4) < π6⇔ sin (arc sin (x− 4)) < sin
(π6
)Skorzystaj z monotoniczności funkcji trygonometrycznych(pamiętaj, że cos, arc cos, ctg, i arc ctg są malejące)
arc ctg (x− 4) > arc ctg (x2) ⇔ x− 4 < x2
Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka Trygonometria 37 / 38
TrygonometriaMiara łukowa kataFunkcje trygonometryczne na trójkacieFunkcje trygonometryczne dowolnego kataWzory redukcyjneTozasamosci trygonometryczne
Funkcje trygonometryczneDefinicja i wykresRównosciRównania i nierównosci
Funkcje odwrotneFunkcja odwrotna
Derivatives and IntegralsBasic Derivatives