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8/17/2019 trilce aritmetica.pdf

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ÍNDICEUNIDAD 1 FRACCIONES

Capítulo 1Números fraccionarios ..................................... 5

Capítulo 2Operaciones con fracciones .............................. 12

Capítulo 3Aplicación de fracciones (Parte I) ................... 19

Capítulo 4Aplicación de fracciones (Parte II) .................. 26

Capítulo 5

Complemento ................................................... 34

Capítulo 6Expresiones decimales: Fracción generatriz..... 37

Capítulo 7Operaciones con números decimales ................ 42

Capítulo 8Ejercicios de texto con números decimales ..... 46

Capítulo 9Repaso .............................................................. 48

UNIDAD 2 NUMERACIÓN

Capítulo 1Numeración decimal ......................................... 51

Capítulo 2Numeración en otras bases .............................. 58

Capítulo 3Relación entre sistemas de numeración ........... 65

UNIDAD 2 ¿RED NEURONAL ARTIFICIAL?

Capítulo 1Conteo de números. Progresión aritmética ...... 72

Capítulo 2Conteo de números. Paginación ....................... 78

Capítulo 3Complemento ................................................... 84

Capítulo 4Método combinatorio ....................................... 86

Capítulo 5Repaso .............................................................. 91

UNIDAD 4 ¿MULTIPLICANDO CON LÍNEAS?

Capítulo 1Cuatro operaciones: Adición ............................ 94

Capítulo 2Sustracción....................................................... 103

Capítulo 3Multiplicación ................................................... 110

Capítulo 4División ............................................................. 116


Capítulo 6Cuatro operaciones combinadas ...................... 125

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Aritmética

UNIDAD 5 LA RAÍZ CUADRADA

Capítulo 1Potenciación ..................................................... 133

Capítulo 2Radicación ........................................................ 139

Capítulo 3Repaso .............................................................. 145

UNIDAD 6 TEORÍA DE LOS NÚMEROS

Capítulo 1Divisibilidad y multiplicidad ............................. 148

Capítulo 2Operaciones y ecuaciones con múltiplos .......... 154

Capítulo 3Criterios de divisibilidad ................................... 160


Capítulo 5Números primos ............................................... 167

Capítulo 6Análisis de divisores ......................................... 173

Capítulo 7Repaso .............................................................. 179




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E s c r i b a E g i p c i o .

M u s e o d e E l C a i r o

UNIDAD 1

Fracciones¿Egipto conoció a los fraccionarios?

Alrededor de 3000 años antes de Cristo, los egipcios crearon una manera de escribir algunos delos números que hoy llamamos fraccionarios. Solo escribían números fraccionarios de la for-

ma 1n

así pues los egipcios utilizaron las fracciones cuyo numerador es 1 y cuyo denominador

es 2; 3; 4; ..., y las fracciones 2/3 y 3/4 y con ellas conseguían hacer cálculos fraccionarios detodo tipo. Su notación era la siguiente:

= 12

,

= 13

,

= 14

,

= 16

,

= 23

• ¿Cómo e ecribirá:

1

12 +

1

6 =

1

4?

APRENDIZAJES ESPERADOS

Comunicación matemática

• Reconocerán la fraccione como nmeroque permitan representar cantidades

• Relacionarán la fraccione y u rereenta-

ciones gráficas• Identificarán familia de fraccione.

Razonamiento y demostración

• Etablecerán relacione de orden entre fraccio-nes.

Resolución de problemas

• Reolverán la oeracione báica con lafracciones

• Reolverán roblema que imlican realizaroperaciones con fracciones• Utilizarán la fraccione ara reolver roble-

mas de contexto real.

E l d i o s H o r u s

E l O j o d e H o r u s



1Números fraccionarios

UNIDAD 1Central: 619-8100 5

Números fraccionariosEn este capítulo aprenderemos:

• A etablecer relacione de orden entre fraccione.

El Ojo de Horus

De acuerdo a la mitología egipcia el diosHorus, era hijo de Osiris y de la diosa so-lar Ii, e dice que Horu había erdido u

ojo en una batalla contra Set.

Asimismo los egipcios también utilizaban otras subunidades del Ojo de Horus, para expresar las fracciones12

; 14

; 18

;

116

;

132

y1

64.

Eta fraccione etaban rereentada como una arte del “Ojo de Horu”.

12

14

18

116

132

164

Como anécdota, la suma de estas fracciones no da la totalidad, es decir 1, sino que le falta una pequeñaparte, la fracción que falta era considerada como la parte que perdió Horus en su lucha contra Set.

• ¿Qué arte del “Ojo” erdió “Horu”?



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Saberes previos

Completa con letras:

ConjuntoZ

El MCDde 8 y 18

Sur, Oeste1 es elúnicodiviorcomún

“>” e leeDesciende

“<” e lee

4 + 3 × 2El MCDde 15 y

14

Hermanade tu tía

Capital deItalia

ConjuntoN

El MCMde 6 y 4

Primer númeronatural

500 enromanos

Los #s 2; 3;5; 7; 11; ...

Vocal

Verbo Palíndromo

VocalNota

musical

Primer #naturaloitivo 1 + 2 × 3 Ascienden

Vocal

Conceptos básicos

Número racional

E todo aquel nmero que uede er exreado como “ab

” de modo que:

a ∈ ; b ∈ ∧ b ≠ 0

Ejemplo:

49; 29

; 2,5; – 35

; 217

; – 10

Número fraccionario Definición

E aquel nmero racional que no e entero

representa a los númerosenteros:

= {0; ± 1; ± 2; ± 3; ...}

Términos

Los términos de una fracción son: a →Numeradorb →Denominador

Representación gráfica

2 ← Numerador: cantidad de partes a pintar7 ← Denominador: Cantidad de arte en que e divide

M

A





Clasificación de fracciones Por la comparación de sus términos

Fracciones propias

El numerador de eta fracción e menor que el denominador

f =

a

b e roia, i: a < b

Ejemplo:

27

; 1237

;

18101

Fracciones impropias

El numerador de eta fracción e mayor que el denominador

f =

ab

e imroia, i: a > b

Ejemplo:

327

; 127

; 1811

Por su denominador

Fracciones decimales

El denominador de eta fracción e una otencia de 10.

f =

ab

es decimal, si: b = 10n

Ejemplo:

210

;

121 000

;

18100

Fracciones ordinarias

El denominador de eta fracción no e otencia de 10.

f =

ab

es ordinaria, si: b ≠ 10n

Ejemplo:

3270

; 127

;

18110

Por los divisores de sus términos

Fracciones reductibles

El denominador y numerador tienen diviore comune

f =ab

e reductible, i: MCD(a; b) ≠ 1

Ejemplo:

212

;

12100

; 10830



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Fracciones irreductibles

El nico divior comn del denominador y numerador de eta fracción e la unidad

f =

ab

e irreductible, i “a” y “b” on pEsI

Ejemplo:

327

; 1213

; 1811

“a” y “b” onprimos entre sí

(pEsÍ) i el nico

divior en comnes la unidad.

Por grupos

Fracciones homogéneas

Los denominadores de estas fracciones son iguales

ab

;cb

son homogéneas

Ejemplo:

212

; 1312

; 11812

Fracciones heterogéneas

Los denominadores de estas fracciones son diferentes

ab

;cd

son heterogéneas, si: b ≠ d

Ejemplo:

12

7

;

18

110

Síntesis teórica

Decimales Ordinarias

Racionales

Términos Representación

Propias Impropias

Clasificación de fracciones

Homogéneas Heterogéneas Reductibles Irreductibles

Comparación de fracciones

Número mixto

Fracciones equivalentes

FRACCIONES

Por sus términos

Por grupos

Por su denominador

por lo diviore de u término





Aplica lo comprendido

10 x

5

50

1. Complete:

= ;

=

2. Rereente la fracción en nmero mixto

487

=

5912

=

3. Rereente el nmero mixto en fracción:

•

235

= ––––– •

478

= –––––

4. Bucando fraccione equivalente, comlete:

•

3660

<>30

<>9

•

3660

<>5

<>45

<>21

5. Comlete con “<”, “>” o “=”

127

1211

914

1114

125

205

Aprende más

1. ¿Cuánta fraccione roia reductible tienencomo denominador a 24?

2. Reducir la fracción 60/84 hata encontrar unafracción equivalente e irreductible. Halla lasuma de sus términos

3. Ordene las siguientes fracciones:

a =

712

; b =34

; c =

512

; d =13

en forma ascendente.

4. Determina una fracción equivalente a 3/8 de

modo que la suma de sus términos es 132.¿Cuál e la uma de cifra de u denominador?

5. Ordena de mayor a menor las siguientes frac-ciones.

a) 25

;310

;520

;315

b) 35;

47;

1270

c) 24

;39

;312

;78

6. Simplifica estas fracciones hasta obtener frac-ciones irreductibles.

a)

1218

= b)

2464

=

c)

120600

= d)

48240

=

7. ¿Cuánta fraccione roia e irreductible tie-nen como denominador a 36?

8. Determina una fracción equivalente a 36/60 demodo que la suma de sus términos sea 56. Darcomo respuesta la suma de cifras del denomi-nador.

9. ¿Cuánta fraccione con denominador 12 onmayores que 1/3 pero menores que 3/4?

10. Dada la fracción 11/15, si le agregamos 13 a sunumerador y denominador y luego simplifica-mo hata obtener la fracción equivalente irre-ductible, entonces de las proposiciones:

I. Lo término on conecutivoII. E equivalente a 11/15III. La uma de u término e 13La verdadera on:

a) solo I b) solo II c) solo IIId) I y II e) I y III



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11. Si a los dos términos de una fracción reducidaa simple expresión, se le suma el doble del de-nominador y al resultado se le resta la fracciónreulta la mima fracción. ¿Cuál e la fracciónoriginal?

12. Calcular la fracción equivalente a 123/287, demodo que la suma de sus términos es 40. Darcomo respuesta la suma de las cifras del nume-rador.

13. Indica la verdad o faledad de eta rooicio-nes:

• Exiten infinita fraccione entre 1/3 y 1/2.

• Todo nmero mixto e equivalente a unafracción impropia

Aplicación cotidiana

Clavos de carpintería

En una ferretería e muetra el iguiente avio:

1”

11 / 4”11 / 2”

13 / 4”2”

21 / 4”21 / 2”

Como e oberva, e refiere a la medida en ulgadade lo clavo ara carintería.

14. La medida de lo clavo de mayor tamaño e:

15. Si el grosor del tablero de una mesa es 12/7 pul-gada, ¿qué medida uede ecoger el carinte-ro, i el clavo debe atravear el groor de la mea?

¡Tú puedes!

1. ¿Cuánta fraccione roia e irreductible tienen como denominador a 120?

a) 40 b) 48 c) 60 d) 36 e) 32

2. Determina la fracción equivalente a 376/705, cuya uma de u término e 46. Dar como reueta lasuma de cifras del denominador.

a) 7 b) 3 c) 12 d) 9 e) 6

3. Si:ab

bb

e equivalente a3

11

, hallar: b – a.

a) 4 b) 5 c) 2 d) 1 e) 3

4. Hallar la fracción propia e irreductible mn

, abiendo que la fracción equivalente a

1m

+ 1n

tiene como

producto de términos a 840.

a)79

b)45

c)310

d)37

e)47

5. Hallar una fracción que no cambia u valor al umar 5 unidade a u numerador y 9 unidade a u

denominador.a)

1529

b)1528

c)1527

d)1627

e)1327





1. ¿Cuánta fraccione roia e irreductible tie-nen como denominador al 12?

2. El numerador de una fracción decimal roia e

425. Si esta fracción debe ser la mayor posible,¿cuál e la diferencia de u término?

3. Reducir la fracción 16/28 hata encontrar unafracción equivalente e irreductible. Halla lasuma de sus términos

4. Determina una fracción equivalente a 3/5 demodo que la suma de sus términos es 136.¿Cuál e la uma de cifra de u denominador?

5. Simplifica estas fracciones hasta obtener frac-ciones irreductibles.

120180

4864

180600

6. ¿Cuánta fraccione con denominador 18 onmayores que 1/3 pero menores que 5/6?


8. Determina una fracción equivalente a 36/84 demodo que la suma de sus términos sea 60. Darcomo respuesta la suma de cifras del denomi-nador.

9. Ordena las fracciones:

a =915

; b=1112

; c=56

y d=760

en forma ascendente.


11. Calcular la fracción equivalente a 188/329, de

modo que la suma de sus términos es 44. Darcomo respuesta la suma de cifras del numerador

Enunciado

El defile or Fieta atria e dará inicio a 11/12del mes de julio.

12. ¿Qué día erá dicho defile?

13. ¿A qué hora e dará inicio el defile?


Ya en el siglo XX, el 21 de mayo de 1904 se funda laFederación Internacional del Ftbol Aociado (FIFA)y or rimera vez e etablecen regla mundiale,algunas de ellas son:

Periodos de juego: El artido durará do tiemoiguales de 3/4 de hora cada uno.

Intervalo del medio tiempo: Los jugadores tienenderecho a un decano en el medio tiemo. El de-

canso del medio tiempo no deberá exceder de 1/4de hora.

14. ¿Cuánto tiemo en hora dura un artido de ft-bol considerando el descanso de 1/9 de hora?

15. si el decano e de 1/9 de hora, ¿qué fracciónde todo el juego es el descanso?

Practica en casa

18:10:45



2 Aritmética

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Operaciones con fraccionesEn este capítulo aprenderemos:

• A reolver la oeracione báica con la fraccione

El Chou pei suan ching

La civilizacione de China y de la India on má anti-gua que la de Grecia y Roma, or ello Chou pei suanChing, se considera como el más antiguo de los clási-

cos de contenido matemático.

Algunos historiadores consideran el Chou Pei como un buenejemplo de lo que era la matemática china del 1200 a.C.aproximadamente.

El libro etá ecrito en forma de diálogo entre un rínciey su ministro sobre el calendario; el ministro explica a suoberano que el arte de lo nmero deriva del círculo y delcuadrado, de los que el cuadrado pertenece a la tierra y elcírculo a lo cielo. La alabra “Chou pei” arecen referireal estudio de las órbitas circulares en los cielos.

Los chinos en este compendio explican bien las operaciones con fracciones ordinarias, hasta el punto deque en ete contexto hallaban el mínimo comn denominador de varia fraccione. Al igual que hacían enotra materia, también aquí etablecían analogía, refiriéndoe al numerador como “el hijo” y al denomi-nador como “la madre”; el énfai generalizado en toda la cultura china obre lo rinciio del yin y elyang hacía más fácil seguir las reglas para manipular fracciones.

Saberes previos

Completa con letras:

Únicoprimo par COLEGIO

TRILCE

12 y 25son ...entre sí

Vocales

El MCM de6; 4 y 3

Rereentala unión

2/3; 5/4;7/9; 3/7

Enero,Agosto ...

El MCM de12; 15 y 20

De 12; 18 y30 el 6 es

Uno en eldado

2/9; 4/9;5/9; 7/9

1/2

El MCD de12; 18 y 36

Azufre ycarbono

“<” e lee

Vocales

Mil enromanos

51 enromanos

Símbolo denitrógeno Azufre

1/6



2Operaciones con fracciones


Conceptos básicos

Adición y sustracción

Fracciones homogéneas

314

+514

=814

Como los denominadores son comunes, las adiciones y sustracciones se realizan con los numeradores.

an

+bn

–cn

=a + b – c

n

Ejemplo:

E = 712

–412

–112

=712

–412

+112

=7 – 4 + 1

12 ⇒ E =

412

Fracciones heterogéneas

1

3

+1

4

=4 + 3

12

=

7

12 Homogenizar las fracciones, para luego realizar las adiciones y sus-

tracciones

Ejemplo:

E =

25

+34

–512

=2×12+3×15–5×5

60 =

4460 ⇒ E =

1115

El comn denominador eel mínimo común múltiplo

de los denominadores.4 – 5 – 12 34 5 4 4

1 5 1 51m.c.m = 60

Ejemplo:

5

8

+2

15

=5 × 15 + 2 × 8

8 × 15

=

91

120

Para la suma de dos fraccio-ne (método del aa)

a

m +

b

n =

a . n + b . m

m . n

Multiplicación

La fracción producto tiene como numerador al producto de los numeradores y como denominador al pro-ducto de los mismos.

ab

×mn

=a × mb × n

Ejemplo:

E =1225

×4027

=12 × 4025 × 27

=

480675

⇒ E =3245

Se puede simplificar

antes de multiplicar1225

×7516

=3 × 31 × 4

= 94



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División

Recordemo que la diviión e la oeración invera a la multilicación, entonce:

ab

÷mn

=ab

.nm

=

a . nb . m

Ejemplo:

1236

÷825

=1236

×258

= 12 × 2536 × 8

⇒ Simplificando:

2524

En fracción de fracción

abm

n

=a . nb . m

Ejemplo:

2

35

327

=

5 × 2 + 35

7 × 3 + 27

=

135237

=

13 × 75 × 23

⇒ Reduciendo:91115

Producto de extremosentre producto

de medios

Potenciación

La fracción potencia, es la potencia del numerador entre lapotencia del denominador:

ab

n =

an

bn

Ejemplo:

35

3

=

33

53 = 27125

Cuando el exponen-te e negativo, la

fracción e invierte:

ab

–n =

ba

n

Radicación

La fracción raíz, se obtiene del cociente de la raíz del nu-merador entre la raíz del denominador:

ab

n

=

an

bn

Ejemplo:

32243

5

=

325

2435

=

23

El exonentefraccionario, indica

también la radicación:

ab

nm =

ab

m

n





Síntesis teórica

División

Adición ysustracción

OPERACIONES CONFRACCIONES

Homogéneas

Heterogéneas

Índice negativoExponente

fraccionario

Regla práctica Raíz

a

m +

b

m –

c

m =

a + b – c

m

ab ± mn = an ± bmb . n

ab

–n =

ba

n

ab

n

= an

bn

ab

–n =

ba

n

abn

= a

n

bn

ab

mn =

ab

n

m

ab ÷

mn

=ab .

nm

=anbm

Potencia

Multiplicación

Exponente negativo

ab

.mn

=a . mb . n


10 x 5

50

1. Calcula:

•

23

4 = ––––––

=––––––

•

120150

3 =

4

3 = ––––––

2. Completa:

•

827

3

=

3

3 = –––––—

•

5018

=25

= 9

= –––––—

3. Completa:

•

16

81

14

=

81

4

= –––––—



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1. Calcular:75

+ 815

+ 1160

2. Calcular: 1

1

2 + 2

1

3 + 1

1

6

3. Calcular: 7710

– 4815

4. Calcular: 416

+ 3310

– 2715

5. Calcular: 723

×1146

×1

121 × 69

6. Calcular: 1136 × 18121 × 235 × 213 ×55

7. Calcular: 235

÷ 3910

8. Calcular:

13

÷ 8

2 –56

9. Reducir: 1 + 12 × 1 + 13 × 1 + 14 × 1 + 15

10. Simplificar:

65

+16

73

–310

× 6141

11. Reducir:

34

× 4 ×16

5

6

× 6 ×1

10

3

12. Reducir: 134

× 1 –311

× 4 –67

13. Al simplificar el producto:

1 –

13

1 –14

1 –15

1 –16

... 1 –

1n

se obtiene:

14. Efectuar:

1

315

–

214

9

+

3582

+

47

447

15. Simplificar:

1 +

1

1 +

1

1 +

1

1 – 13

Aprende más


Pisco Sour

El ico del per e roduce dede fine del iglo XVI, y el cóctel llamado ico our e originó en Lima enlo año veinte del iglo XX en el Bar Morri, en el Jirón de la Unión del centro de Lima. El inventor de lafórmula fue el californiano Víctor V. Morri, roietario del Bar Morri

Para la preparación se requiere:

• 1 vao de ico

•12

vao de jarabe de azcar

•13

de vao de jugo de limón (4 a 5 limone)

• 2 clara de huevo• 1 taza de hielo en cubito

• Amargo de angotura o bitter, o canela en olvo16. De lo ingrediente que e colocan en el vao, el menor de ello e:

17. si una taza equivale a 112

vao, ¿cuánto vao uman lo ingrediente? (in coniderar el huevo)





¡Tú puedes!

1. Simplificar:

1

1 – 1

5

+

1

1 – 1

6 1

1 – 13

–

1

1 – 18

×

17

+ 249

–

62343

a) 50 b)1

50 c)

140

d) 40 e) 20

2. Simplificar:

E =

1 + 12

1 + 13

1 + 14

... 1 + 1

n

1 – 12

1 – 13

1 – 14

... 1 – 1

n

a) n(n+1) b)n + 1

2 c) n2 d)

n(n + 1)2

e)1n

3. La expresión:

5

36 +

548

–275

+

1213 600

equivale a:

a) 34

b) 13

c) 18

d) 14

e) 12

4. se tiene do nmero rimo con lo cuale e forma una fracción que umada con u invera da218/91. ¿Cuál e el denominador de la fracción mayor?

a) 7 b) 13 c) 19 d) 23 e) 91

5. si “a” y “b” on nmero naturale, hallar la uma de todo lo valore oible de “a” de modo que:

a9

+ b5

= 4615

a) 7 b) 21 c) 30 d) 15 e) 45

1. Calcular:75

+ 815

+

745

2. Calcular: 1112

+ 2

23

+ 114

3. Calcular: 5712

– 314

4. Calcular: 423

+ 3

35

– 2415

Practica en casa

18:10:45



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5. Calcular: 523

×1134

×1

110 × 60

6. Calcular: 1736

× 1839

× 235

× 217

× 45

7. Calcular: 635 ÷ 3

310

8. Calcular:35

× 169

×34

÷ 3

13

9. Calcular:

15

÷ 4

2 – 35

10. El numerador de la fracción irreductible equi-valente a:

13

÷ 6

1 – 53

× 14

es:

11. Reducir:

1 +512

2

12. Simplificar:

13

+15

2

3 –

3

10

× 338

13. Reducir:

412

× 1 –37

× 2 –49

14. Al simplificar el producto:

1 +13

1 +14

1 +15

1 +16

... 1 +

1n

se obtiene:

15. Simplificar:

1 +

1

1 +

1

1 +

1

1 + 13



3Aplicación de fracciones (Parte I)


Aplicación de fracciones(Parte I)

El hombre que calculaba

Dede la ciudad de “samarra”, a orilla del Tigri, van a camello elcalculita Beremiz samir y u joven amigo bagdalí camino de Bag -dad. Al llegar a un oasis asisten a la discusión de tres hermanos

Mutafá, Hamet y Harim, obre el rearto de una herencia. Entablándoe elsiguiente diálogo:

BEREMIZ:

Bueno hombre, ¿orqué dicuten?

MUsTAFÁ:

Nuestro padre nos ha dejado en herencia 35 camellos y la siguiente condi-ción de reparto, para mí, que soy el mayor será la mitad, para mi hermanomediano, Hamet, la tercera arte y ara Harim, el equeño, olo la novenaparte.

¡En nombre de Allah, lo tre acetamo la venerable voluntad de nuetro adre!

El roblema e que no no ale bien el rearto, ue, a mí me correonden má de 17 camello, eromeno de 18. A Hamet, má de 11 ero meno de 12 y ara Harim má de 3 ero meno de 4.”

BEREMIZ:

¡Allah ea loado! O daré la olución, joven bagdalí, amigo mío, rétame tu camello.

Él no se lo quería dejar, pero finalmente acepto y uniéndolo a los 35 dijo así:

BEREMIZ:“Voy a hacer la diviión juta y exacta de lo camello que como vei, ahora on 36”

T, Mutafá, recibirá la mitad de 36 camello, e decir 18. para Hamet erá la tercera arte de 36, que e juto 12. T, equeño Harim, recibirá la novena arte de 36, e decir 4 camello. Todo habéi ganadocon mi reparto.

“18 + 12 + 4 = 34, de lo 36 camello obran 2. Uno, como abéi e ara mi joven amigo el bagdalí,que no lo retó ara hacer el rearto. El otro que obra e juto que me correonda or haber reueltoventajoamente ara vootro, el comlicado roblema de la herencia.

MUsTAFÁ:

“Ere inteligente, extranjero, acetamo tu rearto hecho con juticia y equidad. Toma el camello quequiera”.

• ¿por qué le obran eo do camello?



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Saberes previos

Completa con números:

3×3+4×4

Un cuadrado

perfectoUna centena

Un cuboperfecto MCD de 36y 48

Cuadradode 7

11 alcuadrado

Cubo de 63 a lacuarta

5 + 2 × 7 202 + 20

3 + 72 CLIV

(5 – 2)4Númerocapicúa

MCM de 3y 17

MCM de 9;12 y 4

Unadocena

Cubo de 8Mediadocena

Cuadradode 20

Cubo de 7

Mltilode 7 Docena de

docenas

Neutro de la

multiplicación

Dos docenas 22 + 32

MCD de 4; 6;8 y 10

12

+ 13

+ 16

Números

consecutivos

Mediadocena

Primer primo

no parCuadradoperfecto

Dos decenas

Mltilo de 9

Neutro

Conceptos básicos

Parte todo

Cuando una cantidad e dividida, el objeto e determinar el valor de cada una de ella.

Fracción de una cantidad

Ejemplo:

• Calcular lo25

de 400 soles.

400 e divide en cinco arte, cada una de ellaserá 80, luego se toman dos de ellas

80 80 80 80 80

14444444244444443 400

Entonce:25

× 400 = 2 × 80 = 160

• Calcular lo7

15 de los

34

de 600.

De, del, de los, implica producto715

×34

× 600 = 210





¿Qué parte o fracción de “a” es “b”?

Ejemplos:

• ¿Qué arte de 40 es 25?

se divide en 40 arte y e tomarán 25.

140

× 25 = 2540

simplificando 58

• ¿Qué fracción e 18 de 45?

“De 45” imlica que e debe dividir en 45 artepara luego tomar 18 de ellas

145

× 18 =1845

simplificando25

¿Qué fracción de 32 e 24? 1442443 123 123

ab

× 32 = 24

Entonce:ab

× 32 = 24

• si en una reunión hay 12 mujere y 18 varone, ¿qué fracción de la reunión on la mujere?

¿Qué fracción de (12 + 18) on la 12 mujere?

¿Qué fracción de 30 e 12? 14243 123 123

ab

× 30 = 12

Entonce:

ab

=1230

simplificando:25

Fracción de lo que queda

Ejemplos:

• De 300 ole que tenía gaté 180 y luego erdí 23

de lo que quedaba. ¿Cuánto me queda al final?

Gasté 180, entonces queda: 300 – 180 = 120

Luego perdí23

de 120 = 80

Finalmente quedará: 120 – 80 = 40 ole

•

se comró 500 huevo, en el trayecto e romieron lo25

y luego e vendió lo56

del resto.

¿Cuánto huevo quedan?

Se rompieron 25

de 500 = 200 →

Quedan: 500 – 200 = 300

se venden:56

de 300 = 250 →

Etán quedando: 300 – 250 = 50 huevo

Fracción como operador

Elab

de “N”:ab

. N

Ejemplos:

•

Los

23

de 15:5

2 . 1531

= 10 •

Los

34

de los89

de 12:1

.2

.4

3 8 124 91 3

= 8



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Síntesis teórica

mn

× A = B

Parte – todo

APLICACIÓN DEFRACCIONES I

• Hallar lo25

de los37

de 105

25

×37

× 105 = 18

BA

25

× 150 = 60

16 ×

35 × 150 = 15

TOTAL = 60 + 15 = 75

Gasto25

, gasto16

del resto

Quedará:

(1 – 25

) de (1 – 16

) de 150

35

×56

× 150 = 75

• ¿Qué fracción de 40 e 60?mn

× 40 = 60

Fracción de unacantidad

Fracción defracción

• ¿Qué fracción e 25 de 45?

25 =mn

× 45

¿Qué arte de "A" e "B"?o

¿Qué fracción de "A" e "B"?

¿Cuánto gato? ¿Cuánto obra?

De un total de 150 gasto25

y luego gasto16 del resto






10 x

5

50

1. Cierto nmero e divide en 6 arte. si la extaarte vale 25, comleta:

14444444444244444444443 ¿

Entonce:

• Lo cuatro exto e: ……………

• El nmero e: …………………….

2. Completa:

•

16

× ......... = 5

•

25

× ......... = 12

3. Completa:

• ¿Qué arte e 12 de 60? ……………………..

• ¿Qué arte e 24 de 60? …………………….

4. Determina los25

de los37

de 210.

9. Tenía s/. 90, erdí lo 3/5 y reté 5/6 del reto.¿Cuánto me queda?

10. Una ecera con u ece ha cotado 48 ole.Sabiendo que el precio de la pecera es los 5/11del precio de los peces, hallar el precio de lapecera.

11. Alex recibió S/. 84 de propina y gastó 3/4 de loque no gató. ¿Cuánto gató?

12. Un cilindro contiene aceite hata un tercio desu capacidad. Si se añade 15 litros, el cilindroetará lleno hata la mitad. ¿Cuánto litro decapacidad tiene el cilindro?

13. Un atleta, deué de recorrer lo 2/7 de una i-ta, recorre lo 3/5 del reto. ¿Cuál e la longitudde la ita, i todavía le faltan recorrer 280 m?

14. Una erona tiene s/. 120 y gata lo 58

y luego

pierde79

de lo que le queda. ¿Cuánto tiene al

final?

15. a) Aumentar 250 en u35

.

b) Diminuir 360 en u59

.

1. a) ¿Qué arte e23

de78

?

b) ¿Qué arte de98

es34

?

2. a) ¿Lo 2/5 de qué nmero e 18?

b) ¿De qué nmero, 15 rereenta lo 3/7?

3. Tenía s/. 80, erdí s/. 20. ¿Qué arte de lo queno perdí es lo que perdí?

4. Si Alex tenía S/. 60 y en la compra de unos hela-do gató s/. 18, ¿qué arte de u dinero gató?¿Qué arte de lo que gató e lo que no gató?

5. En el alón del egundo año del colegio Trilce,hay 24 varone y 12 mujere. ¿Qué arte delalón on varone? ¿Qué arte de lo varone

son mujeres?6. si ya han trancurrido lo 5/6 de un día, ¿qué

hora es en ese momento?

7. De los S/. 25 que recibí de propina, gasté S/. 10.¿Qué arte de lo que no gaté e lo que gaté?

8. Joé comró medio litro de yogur y en el dea-yuno consumió 300 cm3. ¿Qué arte de lo queno consumió es lo que consumió?

Aprende más



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Gas de Camisea

Camisea es actualmente el principal yacimien-to de ga natural en el per. Fue decubiertoen la zona del mismo nombre, en Cusco, entre1983 y 1987. Su operación comercial se inicióen agosto de 2004, con la llegada del gas na-tural a Lima y Callao. Los estudios realizadosen Camisea, en febrero de 2009, demuestranque u reerva de ga natural acienden a 8000 TCF. El iguiente cuadro muetra la re-erva de ga natural de lo Lote 88 y 56. Locontrato de la venta del ga e ditribuyen eneste orden:

• La 1/50 de la roducción ara la indutria

• La 1/7 del reto ara la lanta eléctrica• Lo 9/40 del reto ara la ditribución en Lima y Callao.• El reto a la etroquímica

16. ¿Cuánto e utiliza en la indutria?

17. ¿Cuánto utilizan la lanta eléctrica?

¡Tú puedes!

1. Se deja caer una pelotita de jebe de cierta altura de modo que después de cada rebote pierde 1/3 de laaltura que cae. si deué del quinto rebote e eleva hata 64 cm, ¿de qué altura e dejó caer?

a) 320 m b) 486 c) 360 d) 385 e) 490

2. Un frutero debía vender 300 manzana a razón de 5 or un ol y otra 300 manzana a 3 or un ol.si la mezcla y vende toda a 4 or un ol, ¿ganó o erdió? ¿Cuánto?

a) gana s/. 10 b) gana s/. 20 c) ierde s/. 10 d) ierde s/. 20 e) no gana ni ierde

3. se divide un tubo en cuatro arte diferente, la rimera e un tercio de la longitud total del tubo, lasegunda parte es un cuarto del tubo y la tercera parte es 2/7 de la longitud del tubo. Si la cuarta partemide 11/2 m, entonces la longitud del tubo es:

a) 14 m b) 28 c) 42 d) 56 e) 60

4. Luis distribuye su dinero de la siguiente forma: 2/5 de su dinero en comida, 1/8 en transporte, 200 so-les en ropa, 1/4 en tragos y 700 soles en discos. Determinar la diferencia entre lo que gasta en comiday transporte.

a) s/. 900 b) 1 000 c) 1 100 d) 1 200 e) 1 300

5. A un tubo se le hacen tres cortes y cada parte es la mitad más que la anterior. Si el tubo mide 65 cm,hallar la medida de la menor parte.

a) 4 cm b) 6 c) 8 d) 12 e) 10





1. a) ¿Lo 3/7 de que nmero e 18?

b) ¿Lo 4/9 de qué nmero e 20?

2. a) ¿Qué arte e 1516

de 123

?

b) ¿Qué arte de45

es815

?

3. Carolina tenía S/. 90 y en la compra de unos re-galo gató s/. 18. ¿Qué arte de u dinero gató?¿Qué arte de lo que gato e lo que no gató?

4. En el alón del egundo año del colegio Trilce,

hay 33 varone y 24 mujere. ¿Qué arte delalón on varone? ¿Qué arte de lo varoneson las mujeres?

5. Lo 12/65 de un lote de tela vale s/. 480. ¿Cuán-to vale lo 3/13 de la tela?

6. si ya han trancurrido lo 3/8 de un día, ¿quéhora es en ese momento?

7. Del dinero que llevaba Alex, gató 2/7 en lacomra de una elota. ¿Cuánto dinero tenía, ile sobra 15 soles?

8. De los 15 soles que recibí de propina, gasté 9ole. ¿Qué arte de lo que no gaté e lo quegasté?

9. Carolina, de un litro de leche que tenía, en eldesayuno consumió 250 cm3 de leche. ¿Quéparte de lo que no consumió es lo que consu-

mió?

10. Tenía s/. 120, erdí lo 3/5 y reté 5/6 del re-to. ¿Cuánto me queda?

11. El recio de una gaeoa e de s/. 3, de lo cua-le el valor del envae e s/. 1. ¿Qué fraccióndel costo de la gaseosa es el del líquido?

12. Una ecera con u ece ha cotado 60 ole.

Sabiendo que el precio de la pecera es los 7/13del precio de los peces, hallar el precio de lapecera.

13. Alex recibió S/. 78 de propina y gastó 5/8 de loque no gató. ¿Cuánto gató?

14. Un cilindro contiene aceite hata un tercio desu capacidad. Si se añade 12 litros, el cilindroetará lleno hata la mitad. ¿Cuánto litro de

capacidad tiene el cilindro?

15. Un atleta, deué de recorrer lo 3/7 de una i-ta, recorre lo 2/5 del reto. ¿Cuál e la longitudde la ita, i todavía le faltan recorrer 240 m?

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Aplicación de fracciones (Parte II)

En este capítulo aprenderemos:

• A utilizar la fraccione ara exrear la cantidade or unidad de tiemo.• A utilizar la oeracione báica ara determinar la arte de un total.

Análisis nutricional

Varia marca de gaeoa ocultaban u comoición “ecreto de marca”. Eto motivó que AspEC ladenunciara, logrando aí que conignen en u envae la utancia uada en u fabricación. Al-gunos de estos ingredientes son agua carbonatada, azúcar, color caramelo, acidulante, saborizantes

naturale, aborizante, cafeína y colorante Tartrazina. De ello e ha hecho un análii nutricional de la

Inca Kola y Coca Cola.

Análisis Nutricional Peso Total(g)

Calorías(cal)

Proteínas(g)

Sodio(g)Bebidas

Coca Cola Regular 360 150 0 20

Coca Cola Mediana 480 200 0 25

Coca Cola Light Regular 360 1 0 54

Coca Cola Light Mediana 480 4/3 0 72

Inca Kola Regular360 144 0 36

Inca Kola Mediana 480 192 0 48

Como uede obervar en cada tio de bebida la relación (diviión) de eo total y cantidad de caloría emantiene.

• ¿Qué cantidad de caloría conume al ingerir Inca Kola en un vao?

(Un vao contiene aroximadamente 1/5 de la botella regular)

... en el 37% de los estadounidenses el mecanismo de la sed es tandébil que frecuentemente lo confunden con hambre?

... la falta de agua es la causa N° 1 de la fatiga diurna?

... egn etudio de la Univeridad de Wahington, un vao de agua

calma el hambre en casi un 100% de los casos bajo dieta adelgazante?

Sabías que...



4Aplicación de fracciones (Parte II)


Saberes previos

Complete con números:

Una centena Los4

5 de 25

8 – 1×2

Los 34

de 16 Cubo de 7

Cubo de 2

Cuadrado de8 menos 1

Medio millarLa mitad de

980

12

+ 13

+ 16

Raíz cuadradade 64

Cuadradoperfecto

Vigésimo

Los58

de 56

El numeradorde 1/5 + 1/9

Numeradorde 2 + 2/5

MCD de 12;18 y 24

34

de ... es 9

El MCM de6; 8 y 12

Decena ymedia

Mltilode 9

Docena ymedia

Conceptos básicos

Reducción a la unidad

El unto de artida e determinar el trabajo o volumen or unidad de tiemo (cada día, cada año, cadahora, cada minuto), ello ermitirá determinar el trabajo o volumen total.

El total es conocido

Ejemplos:

• Un tanque de 300 m3 e llenado or lo caño “A” y “B” en 30 y 20 hora reectivamente. ¿Enqué tiemo e llenará el tanque con lo do caño a la vez?

Calculemos cuánto llena cada uno en una hora

Caño Horas Cada hora

A 3030030

=10 m3 /h

B 20300

20

=15

m3 /h

Junto “A” y “B” llenarán 25 m3 /h, entonces los 300 m3 lo llenarán en:

30025

=12 horas

Como los tiempos estánen horas, nos preguntamos:¿Cuánto llenan cada hora?



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• para fabricar 1 200 envae, una máquina antigua e demora media hora. La fábrica comra otramáquina que hace lo 1 200 envae en 20 minuto. si la fábrica decide utilizar la do máquina,¿en qué tiemo terminarán lo 1 200 envae?

Calculemos la producción de las máquinas cada minuto

Máquina Cada minuto

Antigua1 200

30 =40 envae/min

Nueva1 200

20 =60 envae/min

Junta cada minuto harán 100 envae, entonce:1 200100

=12 minutos

Considerando al total como la unidad

Ejemplos:

• para llenar una icina hay do caño, uno lo llena en 12 hora y el otro en20 hora. ¿En cuánto tiemo la llenarán lo do junto?

si el volumen de la icina e 1, hallemo lo que cada caño llena or hora(la reducción a la unidad)


A 121

12

B 20 120

El volumen totale conidera “1”

Las dos juntas cada hora:

112

+

120

=

5 +360

Simplificando:

215

para llenar la icina (1) e demorarán:1215

=

152

= 7

12

= 7 horas 30 minutos

• para llenar una icina hay do caño y un deagüe, uno lo llena en 10 hora y el otro en 6 horay el deagüe la vacía en 15 hora. ¿En cuánto tiemo e llenarán i e abren la tre a la vez?

si el volumen de la icina e 1, hallemo lo que cada caño llena or hora (la reducción a la uni-dad)


A 10110

B 6 16

Deagüe 15115





Los tres juntos cada hora:110

+ 16

–

115

= 6 + 10 – 4

60

Simplificando: 15

para llenar la icina (1) e demorarán:

1

15

= 5 horas

Método rácticosean do caño (llenan en

“a” y “b” hora) y undeagüe (vacía en “c” hora).

Junto llenan

en:

1

1a

+ 1b

– 1c

horas

Mezclas

En una mezcla homogénea no e ercibe lo comonente (al en agua, azcar en agua, etc.). E imortan-te determinar la fracción que representa cada componente.

Ejemplo:

• En 300 cm3 de agua e diuelven 30 g de azcar. si e toma 120 cm3, ¿cuánto de azcar e etá toman-

do? La fracción de azúcar en los 300 cm3 de agua, en los 120 cm3 que se toman y en los 180 cm3 que

queda, es la misma.

¿Qué fracción e 30 (azcar) de 300 (agua)?

30300

=110

Con esta fracción:

La cantidad de azúcar que se tomó:

110

de 120 = 12 g

La cantidad de azúcar que quedó:110

de 180 = 18 g

Si son mezclas dela misma calidad,

la fracción decada componente

es constante



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Síntesis teórica

APLICACIÓN DEFRACCIONES II

Determinar el trabajo (vo-lumen) en cada unidad detiemo (minuto, hora)

La concentración (fracción)de los componentes de unamisma mezcla es constante

• se toma 18 mL de la mezcla, ¿cuánto colorante hay?

16

de lo que e tomó (18 mL)

Cantidad de colorante:16

× 18 mL = 3 mL

• si e toma 18 mL de la mezcla, ¿cuánto colorante obra?

16 de lo que queda (60 – 18 = 42 mL)

Cantidad de colorante que sobra:16

× 42 = 7 mL

Reducción a la unidad Mezclas

• ¿Cuánto llenan cada hora?

"A": 16

del tanque

"B":

1

12

del tanque

• ¿En qué tiemo llenan junto eltanque?

Cada hora llenan:16

+112

=14

Lo llenarán en 4 horas

Dos caños llenan un tanque:"A" lo llena en 6 hora"B" lo llena en 12 hora

Se mezcló 20 mL de agua con30 mL de alcohol y 10 mL de

colorante

• ¿Qué fracción e colorante?

Total = 20 + 30 + 10 = 60 mL

Colorante = 10 mL

El colorante e1060

= 16

de la mezcla





1. La capacidad de una piscina es de 1 200 m3 yla llave “A” la llena en 12 hora, mientra que lallave “B” lo hace en 20 hora.

• ¿Cuánto llena en cada hora la llave “A”?• ¿Cuánto llena en cada hora la llave “B”?

• ¿Cuánto llenan la do junta en cada hora?

2. Para llenar una piscina de 360 m3 se tiene dosllave, “A” que llena 12 m3 cada hora y “B” quellena 20 m3 cada hora, entonces:

• ¿En qué tiemo lo llenará la llave “A”?

• ¿En qué tiemo lo llenará la llave “B”?

3. Una taza con 60 mL de café contiene 20 g deazúcar y 6 g de cafeína, entonces:

• La relación de azcar y café e:

• La relación de cafeína y café e:

4. Se ha mezclado 2 litros de agua con 10 litros dealcohol, entonces:

• ¿Cuánto litro hay en total?

• ¿Qué arte e el alcohol?

5. si 1 000 mL de aceite ara carro lleva 36 mL deun aditivo, entonce:

• ¿Qué arte del aceite e el aditivo?

• ¿Qué arte del aceite no e el aditivo?


10 x

5

50

Aprende más

1. Alex demora cuatro horas en hacer su tarea.¿Qué arte de u tarea hace en una hora?

2. En un minuto un caño llenó 1/36 de un deó-

ito. ¿En qué tiemo llenará todo el deóito?

3. Alex hace lo 3/5 de una obra en 6 día. ¿Quéparte de la obra hizo en un día?

4. pedro hace una obra en 20 día y Max lo haceen 30 día. ¿Cuánto tiemo demorarán en ha-cerla los dos?

5. Una llave llena un reervorio en 6 hora y otrolo vacía en 10 hora. ¿En qué tiemo e llenará

dicho reervorio, i e abren la do llave i-multáneamente?

6. Se ha mezclado 40 mL de alcohol con 20 mLde agua. De los 60 mL formados solo se utilizó39 mL, ¿cuánto de alcohol e uó?

7. En una jarra e quio rearar 600 mL de angríay ara eo e mezcla vino con 150 mL de gaeo-a. si pedro toma 200 mL de angría, ¿cuánto devino etá tomando?

8. Para formar una aleación de oro y plata, se uti-liza 20 g de oro con 100 g de plata. Pero almomento de fundire e ierden 30 g. ¿Cuántogramos de oro hay en la aleación final?

9. Dos obreros necesitan 12 horas para hacer untrabajo. Si uno, trabajando solo, lo hace en 20hora, ¿cuánto tiemo emleará el egundo?

10. Tre obrero hacen un trabajo en 4 día. sabien-do que el primero lo haría solo en 9 días y elegundo en 12 día, averiguar lo que demora eltercero trabajando solo.

11. Un grifo uede llenar un tanque en 6 hora y undeagüe lo vacía en 8 hora. si ambo e abrena la vez, ¿en qué tiemo e llenará el tanque?

12. “A” uede hacer una obra en 20 día y “B” laodría hacer en 60 día. si “A” y “B” trabajan

junto, ¿en cuánto día odrán terminar?

13. Para hacer un buen café con leche se debenmezclar 12 partes de agua con 1 de café y 2 deleche. Para formar 450 mL de café con leche,¿cuánto de café e requiere?

14. Una taza con 300 mL de café, contiene diuelto20 g de azúcar. Si en cada sorbo se toma 30 mL,¿qué cantidad de azcar e toma en do orbo?

15. Roa dedica 1/6 del día a jugar, 1/18 del día acomer, 1/4 del día a dormir y el resto del día lodedica al colegio y la tarea. ¿Qué fracción deldía dedica a estas dos últimas labores?



Aritmética

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¿Qué es una amalgama dental?

E una aleación de mercurio con otro metal. La que e emlean en Odonto-logía ara ematar diente y muela (de color gri metálico). para elaborar100 arte de amalgama e requiere: mercurio líquido (50 arte), lata (35arte), etaño (12 arte), cobre (2 arte) y una equeñíima cantidad dezinc. Algunos miembros de la comunidad científica plantearon su inocui-dad, ue demotraron que en 5 año un 30% del mercurio e ha evaoradode la amalgama y robablemente aborbido or el aciente. Entonce araformar 60 g de amalgama:

16. ¿Qué cantidad de mercurio líquido e requiere?

17. ¿Qué cantidad de lata e utilizará?

¡Tú puedes!

1. “A” y “B” ueden hacer una obra en 3 día, “B” y “C” en 4 día y “A” y “C” en 5 día. ¿En cuánto tiem-o uede hacerla “A” trabajando olo?

a) 818

día b) 7117

c) 10 d) 7 e) 15

2. Un hombre y un muchacho hacen un trabajo en 16 día y cinco hombre y ei muchacho hacen elmismo trabajo en 3 días. Hallar el tiempo que se demora en hacer un hombre solo el trabajo.

a) 18 día b) 24 c) 25 d) 26 e) 32

3. “A” y “B” ueden hacer un trabajo en 18 hora y “B” uede hacer dicho trabajo en 24 hora. si “A”trabaja la rimera mitad y “B” trabaja el reto, hallar en cuánto tiemo harán la obra.

a) 36 día b) 48 c) 60 d) 72 e) 96

4. si Juan uede hacer una obra en 12 día y Lui la uede hacer en 36 día, hallar en cuánto tiemoharán 2/3 de la obra trabajando juntos.

a) 4 día b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

5. Un trabajador “A” uede hacer una obra en 9 día y ayudado or otro “B” la odría hacer en 8 día.

¿En cuánto tiemo haría la obra olo el trabajador “B”?a) 8 día b) 16 c) 24 d) 48 e) 72

Practica en casa

18:10:45

1. Do grifo “A” y “B” llenan junto un tanque en30 hora. si el grifo “A” e tardaría en llenar el

tanque 60 hora, ¿cuánto tiemo e demorará“B” en llenar el tanque olo?

2. Una erona hace lo 4/5 de una obra en 12día, ¿en qué tiemo hará lo 2/3 de la obra?

3. Do llave abierta a la vez ueden llenar unestanque en 5 horas y una de ellas sola lo pue-

de llenar en 8 hora. ¿En cuánto tiemo uedellenar el etanque la otra llave?

4. Un etanque e uede llenar con tre llave. Laprimera lo puede hacer en 5 horas, la segunda





en 10 hora y la tercera en 8 hora. ¿En cuántotiemo e llenará el etanque, i etando vacíoy cerrado el deagüe, e abren al mimo tiemola tre llave?

5. He gastado las tres cuartas partes de mi dineroy me quedan 900 euro. ¿Cuánto tenía? ¿Quéparte de lo que gastó, no gastó?

6. De un depósito de agua se saca 1/3 del conte-nido y después 2/5 de lo que quedaba. Si aúnquedan 600 litro, ¿cuánta agua había al rin-cipio?

7. ¿Cuánta botella de 3/4 de litro e ueden lle-nar con un bidón de 30 litros?

8. Un vendedor deacha or la mañana la 3/4partes de las naranjas que tenía y por la tardevende 4/5 de la que le quedaban. si al terminarel día an le quedan 100 kg de naranja, ¿cuán-tos kg tenía?

9. Aurora sale de casa con 3 000 euros. Se gasta1/3 en libros y después, 4/5 de lo que le queda-ba en roa. ¿Con cuánto dinero vuelve a caa?

10. Pedro puede hacer una obra en 6 días y Césaren olo 3 día. si lo hacen junto, ¿cuánto díanecesitan?

11. pedro uede hacer un trabajo en 8 día y Juanen 12 día. ¿En cuánto día odrán hacer el tra-bajo los dos juntos?

12. Do llave abierta a la vez ueden llenar unestanque en 8 horas y una de ellas sola lo pue-de llenar en 10 hora. ¿En cuánto tiemo uedellenar el etanque la otra llave?

13. Cuando se compra alcohol de 80°, los 4/5 esalcohol puro. Si se compra 120 mL de alcoholde 80°, ¿qué cantidad de alcohol uro tiene?

14. En una jarra e quiere rearar 800 mL de an-gría y ara eo mezcla vino con 240 mL de ga-eoa. si Gloria toma 300 mL de angría, ¿cuán-to de vino etá tomando?

15. Una taza de 500 mL de café, contiene diuelto30 g de azúcar. Si en cada sorbo se toma 50 mL,¿qué cantidad de azcar e toma en 3 orbo?



5 Aritmética

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Complemento

Aprende más

1. ¿Cuánta fraccione on roia e irreductibley tienen como denominador al 20?

2. Una fracción equivalente a 12/15, tiene comouma de término al 72. ¿Cuál e la uma decifras del denominador?

3. Calcular los2

5

de los3

7

de 210 más los3

4

de los

87

de 224.

4. En el alón del egundo año del colegio Trilce,hay 28 varone y 12 mujere. ¿Qué arte delalón on varone? ¿Qué arte de lo varoneson mujeres?

5. Simplificar:

2

35

+

4

67

115

–

113

6. ¿Cuánto le falta a lo23

de35

para ser igual a los

34

de47

?

7. ¿Cuánto le obra a 57

de 25

de 34

de 7 para ser

igual a la mitad de los43

de35

?

8. Un reciiente contiene 24 litro de alcohol y 3litros de agua. Si se extrae 18 litros de la mez-cla, ¿cuánto litro de alcohol quedan?

9. Zoila uede hacer una obra en 21 día, mientraque Charito tarda 28 días para hacer la misma

obra. si trabajan junta, ¿cuánto día neceitanpara hacer dicha obra?

10. Una tubería “A” uede llenar un tanque en 6hora y otra tubería “B” de deagüe la uedevaciar en 8 hora. Etando vacío el tanque, eabren la do llave el lune a la 09:00 de lamañana. ¿Cuándo e llenará?

11. Reducir:

2 +

1

3 +

11 +

1

1 + 12

12. Simplificar:

9 ÷

113

×

4

5

×

5

12

6 ÷

1

12

13. Al perder los 3/8 de mi dinero y luego la terce-ra arte del reto, me queda 75 ole. ¿Cuántotenía?

14. Simplificar:

2 – 25

45

+

3 – 13

43

4 – 14

12

+

5 – 15

24

×720

×112

15. Los 3/4 de un recipiente más 7 litros son de pe-tróleo y 1/3 del recipiente menos 20 litros sonde agua. ¿Cuánto litro on de etróleo?



5Complemento


¡Tú puedes!

1. Una elota e deja caer dede una altura de 1 250 cm y luego de cada rebote e eleva 3/5 de la alturade la cual cayó. Hallar a qué altura e elevará luego del cuarto rebote.

a) 81 cm b) 162 c) 220 d) 260 e) 280

2. ¿Cuánta fraccione roia e irreductible, tienen como denominador a 1 000?a) 400 b) 399 c) 401 d) 402 e) 404

3. ¿Cuánta fraccione de la forma abba

on equivalente a 4/7?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

4. Un adre, a u muerte deja reartida una herencia de la iguiente manera: el mayor hereda lo 4/10,el segundo los 7/10 del primero, el tercero los 3/10 del segundo, y el saldo que es de S/. 1 180 000 esara el mayordomo. ¿Cuánto fue la herencia total?

a) s/. 5 000 000 b) 6 000 000 c) 7 000 000 d) 4 000 000 e) 10 000 000

5. Tre nmero on entre í como 3; 8 y 15. si la uma de la mitad del menor má un quinto del mayore 54, ¿cuál e la cuarta arte del término intermedio?

a) 12 b) 18 c) 24 d) 30 e) 25

Practica en casa

18:10:45

1. ¿Cuánta fraccione on roia e irreductibley tienen como denominador al 30?

2. Una fracción equivalente a 12/15, tiene comouma de término al 81. ¿Cuál e la uma decifras del denominador?

3. Calcular los 25

de los

411

de 110

4. ¿Qué arte de 120 e 54?

5. ¿Qué fracción e521

de 2

17

?

6. En el alón del egundo año del colegio Trilce,hay 38 varone y 12 mujere. ¿Qué arte delalón on varone?

7. Gasté los 3/5 de mi dinero, luego los 3/4 delreto y an me quedan s/. 15. ¿Cuánto gaté?

8. Un laboratorio comercializa erfume en fra-cos que tienen una capacidad de 2/5 de litro.¿Cuánto litro de erfume e han de fabricarpara llenar 500 frascos?

9. He gastado las tres cuartas partes de mi dinero yme quedan 900 euro. ¿Cuánto tenía?

10. Con el contenido de un bidón de agua se hanllenado 60 botella de 3/4 de litro. ¿Cuánto li-tros de agua había en el bidón?

11. De un barril lleno de vino e aca la cuarta artey después se saca 2/3 de lo que queda. Si aúnquedan 12 litro, ¿cuánto de vino había al inicio?

12. Si cada botella mediana contiene 4/5 litros degaeoa, ¿cuánta botella e neceitan ara lle-nar un barril de 20 litros?

13. Efectuar:

1 + 12

2 + 12

+

2 – 12

3 – 12

14. Reolver:

a) Aumentar 24 en u 38

.

b) Diminuir 12 en u56

.



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15. Efectuar:

5 736

– 4 118

+ 1 172

× 36

78 – 12

16. Efectuar:

7

12

323+

5

18

119+ 2

23

111

5

23

111+

2

12

323+ 7

18

119



6Expresiones decimales: Fracción generatriz


Expresiones decimales:Fracción generatriz

Conceptos básicos

Número decimal

E la exreión lineal de una fracción ordinaria o decimal que e obtiene al dividir el numerador or eldenominador.

Ejemplos:

15

= 0,2; que reulta de dividir: 1 ÷ 5

23

= 0,666...; que reulta de dividir: 2 ÷ 3

715

= 0,4666...; que reulta de dividir: 7 ÷ 15

Valor de posición de las cifras de un número decimal

72 , 291

Parte decimal

Coma decimal

Parte entera

Clasificación de los números decimales

Número decimal

Número decimal exacto

Número decimal inexactoDecimal periódico puroDecimal periódico mixto

Número decimal exacto

Dada la fracción irreductible:

f =ab primos entre sí

La fracción “f” dará origen a un decimal exacto, cuando el denominador “b” tenga como divioreprimos solo a 2 y/o 5.

Ejemplos:

•14

= 0,25 porque 1 ÷ 4 = 0,25123

123

22 cifras decimales exactas

•725

= 0,28123

123

52 cifras decimales exactas

• 940

= 0,225123

123

2 .513 cifras decimales exactas



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Número decimal inexacto

Le llamamo aí, a aquél que tiene un nmero ilimitado de cifra decimale. Eto nmero decimaleueden er, a u vez, de do tio:

Decimal periódico puro


f = ab

primos entre sí

La fracción “f” dará origen a un decimal eriódico uro, cuando el denominador “b” no tengacomo diviore rimo a 2 y/o 5.

Ejemplos:

•23

= 0,6666... ⇒periodo: 6representación: 0, 6

•511

= 0,454545... = 0,45

• 19

= 0,1111...= 0,1

Decimal periódico mixto


f =ab

primos entre sí

La fracción “f” dará origen a un decimal eriódico mixto, cuando el denominador “b” tenga comodiviore rimo a 2 y/o 5 y otro.

Ejemplos:

•56

= 0,83333... ⇒parte no periódica: 8periodo: 3representación: 0,8 3

•1745

= 0,37777... = 0,37

Fracción generatrizTodo nmero decimal tiene u equivalente en forma de fracción. La fracción que genera un decimal ellama fracción generatriz.

Generatriz de un número decimal exacto

Cuando el número decimal tiene la parte entera nula Ejemplo:

• Hallar la fracción generatriz de 0,24

En el numerador ecribimo: → 24

En el denominador ecribimo 1 eguido de do cero (orque la arte decimal tiene 2 cifra):→ 100

Luego la fracción será:24100

Como 24 y 100 no son primos entre sí, podemos simplificar la fracción:

24100

= 3 × 2 × 22

52 × 22 = 6

25

La fracción generatriz de 0,24 es625





Cuando el número decimal tiene la parte entera no nula, lo desdoblamos para, luego, efectuaruna suma final, así:

Ejemplo:

• Hallar la fracción generatriz de 4,25

Desdoblamos el número así: 4,25 = 4 + 0,25

Ecribimo la fracción generatriz de la arte decimal:

4,25 = 4 +

25100

Finalmente, volvemo a umar, ero ahoracomo una suma de fracciones:

⇒ 4,25 = 4 +

14 ⇒ 4,25 =

174

La fracción generatriz de 4,25 es 174

.

Observación: otro método

4,25 =425100

= 17 × 52

4 × 52 =

174

Generatriz de un número decimal periódico puro• Hallar la fracción generatriz de 0,454545...

En el numerador de la fracción ecribimo el eriodo, e decir 45.

En el denominador de la fracción, ecribimo tanto nueve como cifra tenga el eriodo. En etecaso el periodo 45 tiene dos cifras, entonces en el denominador escribimos 99.

Luego la fracción será: 0,45 = 4599

Simplificando:

0,45 = 5 × 9

11 × 9= 5

11

La fracción generatriz de 0,4545... es 5

11

Observación: Si un número decimal periódico puro tiene parte enteraditinta de cero (Ejemlo: 2,4545...) e uede hacer de do forma:

I. 2,4545... = 2, 45 2, 45 = 2 + 0,45

= 2 + 45

99

= 2 + 5

11

2, 45 = 2711

II. 2,4545... = 2, 45

2, 45 = 245 – 2

99

= 243

99 2, 45 = 27 × 9

11 × 9

2, 45 = 2711

Generatriz de un número decimal periódico mixto

• Hallar la fracción generatriz de 0,24808080... = 0,2480

En el numerador de la fracción generatriz, ecribimo la arte no eriódica eguida de la arteperiódica menos la parte no periódica:

2480 – 24



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En el denominador de la fracción, ecribimo tanto nueve como cifra tenga el eriodo e-guido de tanto cero como cifra tenga la arte no eriódica. E decir:

9900

Entonce la fracción generatriz erá:

0,2480 = 2480 – 24

9900

= 2456

9900 Descomponiendo los términos y simplificando:

0,2480 = 307 × 2 × 4

9 × 11 × 52 × 4 = 614

2475

La fracción generatriz de 0,2480 es 614

2475


10 x

5

50

1. Hallar la fracción generatriz de los siguientesnúmeros decimales:

• 0,4 = • 0,666... =

• 0,6333... = • 0,72 =

• 1,13 = • 0,036 =

2. Hallar el valor de “x” i: 0,x = 45

3. Hallar el valor de “a + b”, i: 0,ab =311

4. Hallar el valor de “ . q”, i: 0,pq =75

100

5. Hallar el valor de “m + n”, i: 0,mn =1590

Aprende más

1. Hallar la fracción generatriz de 0,018


3. Hallar la fracción generatriz de 0,33...








11. Efectuar: F =0,4 + 0,5

0,3

12. simlificar: E = (0,1) . (0,1 2 ) . 900

13. Simplificar: 144 . 0,4 – 0,32,5 – 0,1

× 3

14. Simplifique la siguiente expresión:

F =

1,2 + 2,3 + 3,4 + ...+ 7,8

0,2 + 0,3 + 0,4 + ...+ 0,8

15. Calcule el valor de:

F =

0,23 + 0,34 + 0,45 + 0,56 + 0,6 7

0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0, 6





¡Tú puedes!

1. Calcular “x”, i: 1x22

= 0,xx2

a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8

2. Al convertir la fracción roiann37

a decimal, e oberva que la cifra de lo miléimo e igual a 4. Hallar

la suma de cifras que conforman el período.

a) 18 b) 16 c) 19 d) 20 e) 17

3. ¿En cuánto excede la fracción decimal eriódica ura 0,777... a la fracción decimal eriódica mixta0,6111...?

a)1

5

b)5

6

c)1

6

d)2

3

e)2

5

4. Si: 0,1a = m11

, hallar: m2 + a2

a) 60 b) 64 c) 66 d) 68 e) 62

5. Calcular el valor de “A”, en: A = 5,2 + 0,031 + 0,00031 + 0,0000031 + ...

a)5238900

b)3231990

c)5179990

d)31315900

e)4321900

Practica en casa

18:10:45











11. Calcule el valor de “a”, i e cumle que:

a,8 a = 9

2 – 23

12. Calcule: 0,694

13. Hallar el trile de “C”, i:

C =

0, 3 + 0, 4 + 0,5 + 0,6 + 7

9

14. Hallar “m + n”, i e abe que: 0,2n =m11

15. Si: 0,ab = b11

, hallar “a + b”.



7 Aritmética

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Operaciones con números

decimales

Conceptos básicos

Adición y sustracción de números decimales

• si e trata de decimale exacto, bucamo que tengan la mima cantidad de cifra en la arte decimalcompletando con ceros

• si e trata de umar o retar 6,83 con 11,8752, entonce, igualamo la cantidad de cifra de la artedecimal, es decir: 6,8300 con 11,8752

• Al umar o retar, ecribimo un nmero bajo el otro cuidando que la coma decimal eté alineada, ara

luego proceder a operar como si se tratara de números enteros.• En el reultado, volvemo a ecribir la coma decimal en la mima línea vertical que la demá.

Ejemplos:

• Efectuar: 7,3 + 15,18 + 2,0156

Completando con ceros a la derecha de la parte decimal: 7,3000 + 15,1800 + 2,0156

Ecribiendo uno bajo el otro:

7,3000 +

15,1800

2,015624,4956

La coma conerva el lugar de la demá

• Efectuar: 0,3 + 2,5 + 1, 6

39

+ 2 + 59

+ 1 + 69

= 3 + 5 + 6

9 + 3 =

149

+31

=419

= 4,555... = 4,5

Operaciones combinadas de adición y sustracción

Ejemplo:

• 7,8 – {6,5 + 3,2 + [5,1 – (7,8 + 2,2 – 1,3)]} = 7,8 – {6,5 + 3,2 + [5,1 – 7,8 – 2,2 + 1,3]} = 7,8 – {6,5 + 3,2 + 5,1 – 7,8 – 2,2 + 1,3}

= 7,8 – 6,5 – 3,2 – 5,1 + 7,8 + 2,2 – 1,3

= (7,8 + 7,8 + 2,2) – {6,5 + 3,2 + 5,1 + 1,3} 1442443 14444244443

17,8 – 16,1 14444424444443 1,7

Multiplicación y potenciación de números decimales

• para multilicar decimale exacto, oeramo como i e tratara de nmero entero. La cantidad decifras en la parte decimal del resultado es la suma de la cantidad de cifras decimales de los factores

Ejemplo:

• Efectuar: (–2,53) × (3,4)



7Operaciones con números decimales


Multilicamo lo igno y lo nmero in la coma decimale. (–253)(34) = – 8602

En el reultado earamo tre decimale (2 + 1) a artir de la derecha. (–2,53)(3,4) = –8,602

• para multilicar otencia de bae decimal, oeramo como i e tratara de otencia de nmero en-teros, considerando que el resultado tiene una cantidad de cifras de la parte decimal igual al productode multiplicar el exponente por la cantidad de cifras de la parte decimal de la base.

Ejemplo:

si efectuamo: (–2,53)3 tenemos:

Exonente: 3

Cantidad de cifras de la parte decimal: 2

Entonce: Cantidad de cifra de la arte decimal en el reultado: 3 × 2 e decir, 6

Luego oeramo in la coma decimal: (–253)3 = (–253)(–253)(–253) = –16194277

A partir de la derecha, separamos seis cifras que conformarán la parte decimal

Finalmente: (–2,53)3 = – 16,194277

División de números decimales

• para eto, multilicamo el dividendo y el divior or la unidad eguida de tanto cero como ea o-sible, para transformar los números decimales en enteros.

Ejemplo:

• Efectuar: 13,5 ÷ 7

Multilicamo ambo término or 10 ⇒ 135 ÷ 70 (diviión de entero)

135 7070 1,92

←Reueta

650630200140

60

Problemas resueltos

1. Encontrar el reultado de: 7,13 + 3,4 + 3,2

Reolución:

Sumando las partes enteras: 7 + 3 + 3, y laspartes decimales por separado:

0,13 + 0,4 + 0,2

7 + 3 + 3 +

1399

+ 49

+ 29

=

13 +

1399

+ 4499

+ 2299

= 13 +

7999

= 13,79

2. Hallar la diferencia: 472,3 – 238,69

Reolución:

472,3 –

238,69 ⇒472,30 –

238,69

233,61

3. Multilicar: 32,73 × 2,6

Reolución:

32,73 ×

2,6

19 638

65 46

85,098

4. Dividir: 160,75 ÷ 5

Reolución:

160 ,75 510 32,15

– – 725–0



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10 x

5

50

• Realizar la iguiente oeracione:

1. 0,5 + 0,8 – 0,3

2. 21,6 + 6,12 + 5,5

3. 0,8 × 5 + 1,2 × 3

4. (0,1232323...) ÷ (3,666...)

5. (0,222...) × (4,5)

1. Efectuar: (0,5 + 0,76) × 5

2. Efectuar: (14 + 0,003 + 6) × 9

3. Efectuar: 12 ÷ 0,003

4. Efectuar: 0,729 ÷9

5. Efectuar: 0,132 ÷132

6. Efectuar: 0,893 ÷ 19

7. Efectuar: 50 – (6,31 + 14)

8. Efectuar: 14 × 0,089. Efectuar: 0,64 ÷0,04

10. Efectuar: 0,86 ÷ 0,0043

11. Efectuar:

(0,03 + 0,456 + 8) × 6

25,458

12. Efectuar:

0,5 × 3 + 0,6 ÷ 0,03 + 0,5

0,08 ÷ 8 + 0,1 ÷ 0,1 – 0,01

13. Efectuar:

10,1

+

10,01

+

10,001

× 0,3

14. Efectuar: 0,060,3

+

0,0522

÷

60,36

3

15. Efectuar: 50,32

2

+

0,30,5

0,001

Aprende más

¡Tú puedes!

1. Si: 0,ab + 0,ba = 1,3; hallar: a + b

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

2. Efectuar y imlificar: E = ( 2,333... + 0,58333... )2

a)212

b)214

c)72

d)143

e)218

3. Simplificar: x =0,2 + 0,3 + ...+ 0,7

0,32 + 0,43 + ...+ 0,87

a) 0,8 3 b)

90

119 c)

119

450 d)

30

357 e) 0,98

4. La uma de un nmero y do vece u invera e 8,25. ¿De qué nmero e trata?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 0,75 e) 8



7Operaciones con números decimales


5. si “a” y “b” on nmero naturale, hallar la uma de todo lo valore oible de “a” de modo que:

a9

+ b5

= 3,066...

a) 7 b) 21 c) 30 d) 15 e) 45

Practica en casa

18:10:45

1. Efectuar: 5,2 + [6,9 + (17,3 – 12,9)]

2. Efectuar: 8,4 + {6,2 + (5,7 + 2,1 – 3,2)}

3. Efectuar: (3,5)(2,7)

4. Efectuar: (1,3)(2,5)(7,2)

5. Efectuar: (3,1)2 × (1,7)2

6. Efectuar: 7,2 ÷ 0,8 – (2,3)2 + 6,5 × 5,1

7. Efectuar: 8,2 – {6,1 – (2,5 + 2,03) + (1,1)2}

8. Efectuar: 3,7 + [8,6 + (5,2 – 3,4)] – (2,3)2

9. Simplificar:

16

0,010,1

+

0,10,0216

10. Simplificar: 0,5 + 0,02 + 12

11. Simplificar: 14

+ 0,04 + 15

× 0,03

12. Simplificar: 0,250,55 + 19 + 0,56

13. Efectuar: E =(0,7)2 + (0,8)2 + (0,9)2

3,82

14. Efectuar: (0,8÷0,5–0,6÷0,7)×2913

+312

÷0,5

15. Efectuar: (3, 2 – 2,8 ) × 3 + (0,7 – 0, 5 ) ÷ 212



8 Aritmética

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Ejercicios de texto connúmeros decimales


10 x

5

50

1. si una naranja cueta s/. 0,80; ¿cuánto agará Juan i deea adquirir 5 naranja?

2. Por la compra de 5 kg de carne se pagó S/. 43.¿Cuánto cueta 1 kg de carne?

3. si una caja de naranja (100 en total) cuetas/. 120, ¿cuánto cueta una ola naranja?

4. si un dólar equivale a s/. 3,15; ¿cuánto equivale25 dólares en soles?

5. si e agó s/. 141,75; ¿a cuánto equivale en dó-lare abiendo que un dólar equivale a s/. 3,15?

Aprende más

1. pedro tiene $ 5,64; Frank $ 2,37 má que pedroy Max $ 1,15 má que Frank. ¿Cuánto tienenentre los tres?

2. Gaby compra por $ 4,50 un par de zapatos, por$ 2 menos un libro y un lapicero por la mitad delo que le cotaron el libro y lo zaato. ¿Cuán-to le sobrará a Gaby después de hacer estos pa-gos, si tenía $ 15,83?

3. Tenía $ 14,25 el lune, el marte cobré $ 16,89; elmiércole cobré $ 97 y el jueve agué $ 56,07.¿Cuánto me queda?

4. Aldo tiene $ 0,60 y quiere reunir $ 3,75. Pide a

su padre $ 1,75 y éste le da $ 0,17 menos de loque le pide; luego pide a su hermano $ 0,30 yéte le da $ 0,15 má de lo que le ide. ¿Cuántole falta para obtener lo que desea?

5. La altura de una persona es 1,85 m y la alturade una torre e 26 vece la altura de la eronamenos 1,009 m. Hallar la altura de la torre.

6. Para pagar cierto número de cajas que compréa $ 0,70 cada una, entregué 14 sacos de azúcarde $ 6,25 cada uno. ¿Cuánta caja comré?

7. Se han comprado cuatro cajas de manzanas por$ 276. Al vender 85 manzana or $ 106,25 eha ganado $ 0,10 en cada manzana. ¿Cuántamanzanas se compraron?

8. La suma de dos números es 15,034 y su dife-rencia es 6,01. Hallar el menor de los números.

9. El trile de la uma de do nmero e 84,492y el doble de su diferencia es 42,02. Hallar elmayor de los números.

10. Una botella con gaeoa vale s/. 4,75 y la ga-eoa vale s/. 3,75 má que la botella. Hallar elprecio de la botella.

11. La diferencia de dos números es 6,80 y su co-ciente es 5. Hallar el mayor de los números.

12. Compro 100 libros por S/. 85. Vendo la quinta

parte a S/. 0,50 cada uno; la mitad de los restan-te a s/. 1,75 c/u y el reto a s/. 2 c/u. ¿Cuál emi ganancia?

13. El vino de un tonel ea 1 962 kg. si cada litroea 0,981 kg, ¿cuánto litro contiene el tonel?

14. Un tonel lleno de vino ea 614 kg. si el litro devino ea 0,980 kg y el eo del tonel e 75 kg,¿cuánto litro contiene el tonel?

15. Se compran 21 metros de cinta por S/. 7,35.¿Cuánto cotarán 18 metro?



8Ejercicios de texto con números decimales


Practica en casa

18:10:45

1. Un cohete viaja 744 km en 15,5 minuto.¿Cuánto kilómetro viaja en un minuto?

2. Se quiere embotellar 43,5 litros de leche en

botella de 0,750 de litro. ¿Cuánta botella enecesitan?

3. Cuatro cintas para grabar cuestan $ 14,10.¿Cuánto cueta cada una?

4. si or 3 kg de huevo e aga s/. 8,10 y en cadakg viene un romedio de 18 huevo, ¿cuántocueta cada huevo?

5. Si por 5 docenas de cuadernos se pagó $ 57,6;¿a cuánto debo vender cada cuaderno ara ga-

nar $ 0,20?

6. El eo de un cm3 de oro es de 19,2 gramos; delomo 11,7 y de cobre 8,79. ¿En cuánto e mápesado 1 cm3 de plomo más 1 cm3 de cobre,que 1 cm3 de oro?

7. Un jardín que tiene forma de rectángulo mide40,25 m de ancho y 83,20 m de largo. ¿Cuántometros de alambre tiene que comprar el jardine-ro ara cercarlo, i quiere darle 3 vuelta?

8. Gaby ha comrado limone or un valor de$ 6,75 y naranja or un valor de $ 13,278. si en-tregó or el ago $ 25, ¿cuánto le devolvieron?

9. si tuviera 25 ole má de lo que tengo odríacomprar un radio que cuesta S/. 87,50 y me so-bran 13 ole, ¿cuál e mi caital?

10. Para pagar cierto número de paquetes de caféque costaba $ 3,60 cada uno, un comercian-te entregó 72 sacos de maíz que costaban$ 6,50 c/u. ¿Cuánto aquete de café comró?

11. pierdo $ 19 en la venta de 95 aco de azcara $ 9,65 el saco. Hallar el costo de cada saco.

12. Un kg de carne de re cueta s/. 12,80. ¿Cuántoe agará or 2 1/2 kg? ¿Cuánto e agará or600 g?

13. Un kg de ollo cueta s/. 7,20. ¿Cuánto e a-gará or 3 3/4 kg? ¿Cuánto e agará or 250 g?

14. Un litro de aceite cueta s/. 2,80. ¿Cuánto cota-rá 1,2 l? ¿Cuánto cotará 3/4 l de aceite?

15. a) ¿Qué arte de 0,2 e 0,125?

b) ¿Qué arte de 0,04 e 0,004?



8 Aritmética

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Repaso

Aprende más1. En el alón del egundo año del colegio Trilce,

hay 24 varone y 8 mujere. ¿Qué arte del to-tal on varone? ¿Qué arte de lo varone onmujeres?

2. Si Alex hace su tarea en 8 horas,

• ¿Cuánto hace cada hora?• ¿Cuánto hace en do hora?

3. a) Lo 35 de qué número es 12

b) Lo47

de qué número es 16?

4. Si Lucho gasta 20 soles de los 45 soles que ledio su papá:

• ¿Qué fracción de u dinero gató?• ¿Qué fracción de u dinero le obra?• ¿Qué arte de lo que gató, no gató?

5. Joé comra una bola de caramelo or 30 o-le y lo vende or 35 ole:

• ¿Qué fracción de lo que le cotó gana?• ¿Qué fracción del recio de venta gana?

6. De las fracciones:

37;

712

;7

100;

1214

;12

100;

5525

• La fraccione roia on:• La fraccione imroia on:

• La fraccione decimale on:• La fraccione ordinaria on:

7. Hallar los34 de los

49 de los

98

de 40.

8. De las fracciones:32;56

;73

y 12

• Calcule el roducto de la do fraccionepropias

• Calcule la uma de la do fraccione imro-pias

9. Se mezcla 10 litros de ron con 2 de gaseosa. Side la mezcla e vende 8 litro, ¿cuál e la canti-

dad de gaseosa que queda en la mezcla?

10. Reducir a fracción ordinaria: 1 +

1

2 + 12

11. Simplificar: 115

× 119 × 1

18 × 1

35

12. Se tiene un barril que tiene 9 litros de ron y 6 li-tros de coca cola. Si se extraen 5 litros de la mez-cla, ¿cuánto de coca cola queda en la mezcla?

13. Un barril de 24 litro tiene 8 litro de ron y elresto de gaseosa. Si se extrae la cuarta parte delcontenido y luego se extrae la mitad de lo que-daba de la mezcla, determinar la cantidad deron en la mezcla final.

14. Reducir a fracción ordinaria: 2 +

1

1 +

1

1 + 12

15. Lo 15/64 de una obra vale s/. 75, ¿cuánto valelos 3/8 de la obra?

Practica en casa

18:10:45

1. En el alón del egundo año del colegio Trilce,hay 72 varone y 18 mujere. ¿Qué arte deltotal on varone?

2. Si Alex hace su tarea en 6 horas:• ¿Cuánto hace en 3 hora?• ¿Cuánto hace en 4 hora?



9Repaso


3. a) Lo35 de que número es 18.

b)

Los79 de que número es 49.

Enunciado

si Milenka, Alex y pier hacen un trabajo en 6 hora,18 hora y 36 hora reectivamente.

4. ¿Cuánto hace cada uno en tre hora?

Alex: pier: Milenka:

5. ¿Cuánto hace en cada hora:

• Milenka y Alex junto?

• Milenka y pier junto?

• Milenka, Alex y pier junto?

6. si trabajan junto Milenka y Alex, ¿en qué tiem-po hacen el trabajo?

7. si trabajan junto Milenka y pier, ¿en qué tiem-po hacen el trabajo?

• Un hortelano lanta 1/4 de u huerta de toma-tes, 2/5 de alubias y el resto, que son 280 m2,de patatas.

8. ¿Qué fracción ha lantado de atata?

9. ¿Cuál e la uerficie total de la huerta?

• El ao de cierta erona equivale a 7/8 de me-tro.

10. ¿Qué ditancia recorre con 1 000 ao?

11. ¿Cuánto ao debe dar ara recorrer una di-tancia de 1 400 m?

12. En un fraco de jarabe caben 3/8 de litro. ¿Cuán-tos frascos se pueden llenar con 4 litros y mediode jarabe?

13. Efectuar:

213

+

314

+

415

+

516

+

617

14. Efectuar:

35

× 159

×

645

× 87

× 49

15. a) ¿Qué arte de 35

es 69?

b) ¿Qué arte e

8

7

de

24

21

?



Numeración

Principales variacionesde los números mayas

con su equivalente enyucaleco oral.

¿Cómo contaban los mayas?

Los mayas conocían bien la matemática. Aligual que nosotros podían sumar, restar yescribir números muy grandes, hasta mi-

llones.El itema de lo maya era muy diferente

al nuetro. Ello uaban olo tre ímbolo que on:un unto (que rereenta la unidad, 1); una barra(que rereenta cinco unidade) y un dibujo areci-do a una concha y que representa el número cero.

0 1 5 20

¿Qué itema de numeración uaban lo maya?Lo maya contaban de veinte en veinte, e decir queuaban el itema vigeimal. puede er que nuetrosistema decimal esté basado en los diez dedos delas manos. Los mayas tomaron en cuenta tambiénlos dedos de los pies y con los puntos y barras, losmayas podían contar hasta el número 19.

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

Si incluimos el número 0 podemos decir que sonveinte nmero. Deué de eto debían reetir lomismos números, pero no lo hacían como nosotrosde izquierda a derecha, sino de abajo para arriba



• Ecribirán y leerán lo nmero en el itemadecimal

• Relacionarán lo itema de numeracióncon sus cifras


• Utilizarán la decomoición olinómica• Exlicarán lo método ara hacer cambio

de base


• Determinarán las cifras de un número conciertas características.

• Determinarán los numerales en diferentesbases• Relacionarán cifra, bae y numerale.

• ¿Cómo ecribían lo maya el nmero 30?

UNIDAD 2



9Numeración decimal


Numeración decimal


• A reconocer las cifras del sistema de numeración.

• A escribir correctamente los números.

• A establecer los lugares y las órdenes de las cifras de un número.

• A utilizar la descomposición polinómica de los números.

• A determinar las cifras de los números, con ciertas condiciones.

¿La civilización egipcia ya conocía el sistema decimal?

El faraón Mene unificó lo reino hacia el año2500 a.C., fundando la primera dinastía. Losegipcios crearon la más antigua escritura que se

conoce, la escritura jeroglífica desarrollada sobre labase de dibujos que representaban de alguna manerala idea del número o idea de que se quería represen-tar.

Eta cultura dearrolló u itema de conteo muy ori-ginal de bae diez (10), contando or decena, cadaímbolo odía reetire hata nueve vece y el nme-ro rereentado e encontraba umando lo valorede cada uno de los jeroglíficos o símbolos emplea-dos.

El rinciio de la numeración egicia etaba com-puesto de siete signos sencillos, que cualquier perso-na podía interpretar y realizar con ellos cuentas, aún

si esta no supiera leer ni escribir, pero no se tenía ple-namente identificado el conceto del valor oición.En la figura e rereentan lo ímbolo numérico.

Así el número 33 se escribirá: /// ∩∩∩

• ¿Cómo exrearía el nmero 124 100?



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Saberes previos


2 centenasHallar “x”:2x+4=28

4 centenas,1 decena y 5

unidades

4 decenasReolver:

6x – 5 = 7Máximo en

un dado

Cubo de 6

Cuadradode 8

Cifra de centenas

en 1 037LIV

Cifra de decenasen 1 342

Cubo de 8

Una decena ymedia

7 decenas

Tre cifraiguales

Reolver:2x2 – 2 = 30

Númeroprimo

Reolver:12 – 3x = 6

Cifra de cente-nas de 3 456

Docena ymedia

Númerocapicúa

Menor cifra

Conceptos básicos

Sistema de numeración

E el conjunto de regla, ímbolo y rinciio que ermiten ecribir y leer correctamente lo nmero.

Número

E un ente abtracto que ermite exrear cantidade

Numeral

E la rereentación mediante ímbolo, cifra o dígi-tos de un número

Oberva que hay diferenciaentre número y numeral,así para el número veinti-

cuatro sus numerales son:24; XXIV; ...

Sistema de numeración decimal

E el itema que no ermite rereentar lo nmero y con ello la cantidade. Debemo tener en cuenta:

Principios

Cada 10 unidades simples formarán una de orden superior, así:

10 unidades = 1 decena

10 decenas = 1 centena

10 centenas = 1 millar

Símbolos o dígitos

Los dígitos que se utilizan son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9





Reglas

Nos permite escribir los números de dos o más cifras.

Número de dos cifras = ab

Número de tres cifras = abc

Número capicúa de tres cifras = aba

Cuando alguna cifra esdesconocida, los numeralesllevan una raya en la arte

superior: 2a3, 4x5y, …

Ejemplo:

• si el nmero (a – 2)(3a)(a + 3) etá correctamente ecrito, hallar “a”

si “a” e 2, la rimera cifra e cero

si “a” e 4, la cifra (3a) e 12

Eto reultado no ueden dare en el itema decimal, entonce olo: a = 3

Nota:

Lugares⇒1° 2° 3° 4° 5° 6° 7°

4 6 8 2 3 9 17° 6° 5° 4° 3° 2° 1°

⇐Órdenes

Así la cifra 4 en elnumeral 124579, es la3ra cifra pero tambiénocupa el 4to orden.

Ejemplo:

• En un nmero, el 7 e la quinta cifra y a la vez ocua el tercer orden, ¿cuánta cifra tiene?

Quinta cifra:

1° 2° 3° 4° 5°

7

Tercer orden:

73° 2° 1°

Entonce:

1° 2° 3° 4° 5°

73° 2° 1°

El nmero tiene iete cifra

Descomposición polinómica

Valor absoluto

E el valor de cada cifra in coniderar el lugar que ocua dentro del nmero

Valor relativo

E el valor que rereenta una cifra dentro del nmero

Ejemplo:

Dado el número: 2 386

Número 2 3 8 6

Valor absoluto 2 3 8 6

Valor relativo 2 × 103 3 × 102 8 × 10 6

Así cada cifra tienedo valore: el relativo

y el absoluto.



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Descomposición polinómica

E la uma de lo valore relativo de la cifra del nmero

2 386 = 2 × 103 + 3 × 102 + 8 × 10 + 6

abc = 100a + 10b + c

Ejemplos:

• Un nmero de do cifra má otro formado or la mima cifra ero en orden invero.

ab + ba = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b

• A un nmero de do cifra le retamo otro nmero formado or la mima cifra ero enorden invero.

ab – ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b

Nota:

• También e ueden coniderar lo iguiente ca-sos:

2ab3 = 2 003 + ab0 = 2 003 + 10 . ab

4abc7 = 40 007 + abc0 = 40 007 + 10 . abc

Oberva:2ab = 200 + 10a + b

2ab = 2(10a + b)=20a + 2b

Síntesis teórica

De 10 en 1010 unidades = 1 decena10 decenas = 1 centena10 centenas = 1 millar

Menor nmero de cuatrocifras diferentes: 1 023Número de dos cifras: ab

Número capicúa de cuatrocifras: abba

Valor absoluto Valor relativo Descomposición polinómica

NUMERACIÓN

Sistema de numeración decimal

Las cifras son:0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9

Entero no negativo menore que 10

abc = 100a + 10b + ca0a = 100a + a

aa0 = 100a + 10a

Lo valore aboluto de lacifras del número 2 543

2543

Lo valore relativo de lacifras del número 2 543

2 × 1 0005 × 1004 × 10

3

Principios ReglasSímbolos





1. En el nmero 5 237:

• La cifra de egundo orden e:

• La egunda cifra e:

2. Luego de descomponer los números, reducir:

• ab + ba = • ab – ba =

3. ¿Cómo e rereenta en general:

• Un nmero de tre cifra, con la do rime-ras cifras iguales?

• Un nmero de cuatro cifra que emiece en2 y termine en 7?

4. Luego de descomponer los números, reducir:

• a2 + 2a = • aa + bb =

5. Descomponer y reducir:• El nmero: a0a

• El nmero: aa0


10 x

5

50

Aprende más

1. Para el número 524 793, relacione con líneaso flechas:

Orden Cifra

Unidade 7

3er orden 2

Millare 32da cifra 4

2. ¿Cuánta cifra tiene el numeral en el cual ucifra de tercer orden ocupa el quinto lugar?

3. Hallar el numeral de tres cifras que cumpla lassiguientes condiciones:

• La rimera cifra e el doble de la tercera cifra• La egunda cifra e el trile de la rimera ci-

fra.

Dar como respuesta la suma de sus cifras

4. Un nmero de do cifra e igual a nueve vecela cifra de la unidade. ¿Cuál e la uma de ucifras?

5. Un numeral aumentado en el trile de u cifra dedecenas resulta 93. Hallar la suma de sus cifras.

6. ¿Cuánto nmero de do cifra on iguale acuatro vece la uma de u cifra?

7. Si el numeral (a – 1)(b + 1)(a + 5)(3 – a) es ca-picúa, hallar la cifra de tercer orden

8. Un nmero eta formado or tre cifra en elcual la cifra de mayor orden es el doble de la ci-fra de menor orden y la cifra central es igual a lauma de la cifra extrema. ¿Cuánto nmerocumplen dicha condición?

9. ¿Cuánto nmero de do cifra on iguale a

iete vece la uma de u cifra?

10. Hallar un número de dos cifras cuya suma decifra e 14, tal que i e invierte el orden de ucifras, el número aumenta en 18.

11. Si a un numeral se le agrega la suma de sus ci-fra, e invierte el orden de u cifra. Hallar elproducto de sus cifras.

12. Si a un número de tres cifras que empieza conla cifra 6, se le suprime esta cifra, el númeroresultante es 1/26 del número original. Hallar lasuma de sus cifras

13. Un automóvil arte del kilómetro a0(2b) conuna velocidad b(2b) km/h. ¿Luego de cuántotiempo llegará al kilómetro a(2b)(6b)?

14. Una erona nació en el año 19aa y en el año19bb cumlió “4a +5b” año. ¿En qué año tuvo“a + b” año?

15. Un deóito tiene ab litros y se empieza a lle-nar con un caudal constante. Al cabo de mediahora tiene ba litros y cumplida la primera horatendrá: (a – 1)(a + 1)(b – 2) litro. Hallar “a + b”



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Las nuevas placas vehiculares

A artir del lune 4 de enero del 2010, e comenzó a entregar la nueva lacanica nacional de rodaje. El juego de laca conite en do laca de aluminioen la cual destaca la Bandera Nacional y un holograma de alta seguridad querealta la figura del Ecudo y de Machu picchu y tiene en la arte inferior gra-

bado el número de matrícula, por lo que es personalizado. Asimismo tiene unello de agua y un nmero de código en láer. Una tercera laca etará adheridaen el parabrisas donde se encuentra el copiloto y cuenta con un chip que per-mitirá a la olicía tener la hitoria del vehículo en tiemo real.

16. Con la rimera letra de tu aellido y el mayor nmero de cifra diferente, ¿qué laca e formaría?

17. ¿podrá haber una laca cuyo nmero ea igual a la uma de u cifra? ¿Cuánta?

¡Tú puedes!

1. Hallar la suma de cifras de un número de la forma abcabc tal que sumado con el producto del númeroabc por el menor número capicúa de dos cifras, resulte un número conformado por 9 decenas de cen-tenas de tercer orden, 46 centenas de decenas y 22 diezmilésimas unidades de sexto orden.

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 34

2. En una ciudad de abc personas, bcc son hombres, ab on mujere y “b” niño. Hallar “a + b + c”, i“a”; “b” y “c” on cifra ignificativa ditinta.

a) 14 b) 15 c) 17 d) 18 e) 19

3. Sabiendo que:abba

2 = (

a2)(a2)(2b)(2b)

Hallar “a” y “b”.

a) 2 y 3 b) 3 y 4 c) 9 y 5 d) 5 y 6 e) 2 y 4

4. Si: abcd = 37 . ab + 62 . cd , hallar el valor de “a + b + c + d”

a) 15 b) 16 c) 14 d) 17 e) 19

5. Si a un número de tres cifras se le agrega un 5 al comienzo y otro 5 al final, el número obtenido es 147

vece el nmero original. Dar como reueta la uma de la cifra de dicho nmero.a) 14 b) 11 c) 17 d) 18 e) 16

Practica en casa

18:10:45

1. ¿Cuánta cifra tiene el numeral, en el cual ucifra de cuarto orden ocupa el sexto lugar?

2. Dado el número (a + 1)(b + 1)(2b – 1)(2a – 3)que e caica, hallar “a.b”

3. Para el número 35 791, relacione con líneas oflechas.

Orden CifraUnidade 75to orden 5Centenas 32da cifra 1





4. Para el número 57 812, completa:

• La mayor cifra e: ……….• La cifra de mayor orden e: ………..• La ltima cifra e: ……………

5. Para que el numeral (a – 2)a(3a) este correcta-

mente ecrito, el valor de “a” e:

6. Hallar un número mayor que 800 y menor que1 000, tal que la cifra de las centenas sea el do-ble de la cifra de las unidades y esta el doble delde las decenas.

7. Si al número ab le restamos el numeral que seobtiene al invertir el orden de u cifra e ob-tiene 72, hallar “a + b”

8. Descomponer polinómicamente: b(2b)(7 + b).

9. Si Alex tiene ab año y dentro de “6a” año ten-drá 66 año, hallar “a . b”

10. Si el numeral (2a)(a – 4)a está correctamente es-crito, hallar “a”

11. Si: (a + 3)(3b – 5)(4b)(6 – a)(c – 1) es capicúa;hallar: “a + b + c”.

12. Si a un número de dos cifras se le suma el quereulta de invertir el orden de u cifra e ob-tiene 187. ¿Cuál e el roducto de la cifra dedicho numeral?

13. Al multiplicar un número de dos cifras por 3,se obtiene lo mismo que multiplicar por 8 alnmero que reulta de invertir el orden de ucifra. ¿Cuál e dicho roducto?

14. Si a un numeral de dos cifras se le suma el triplede la suma de sus cifras se obtiene 42. Hallar lasuma de cifras del numeral.

15. Un nmero que eta comrendido entre 600 y700 es tal que si se suprime la cifra de mayororden el número resultante es 1/25 del original.Dar como respuesta el producto de cifras delnúmero.



2 Aritmética

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Numeración en otras basesEn este capítulo aprenderemos:

• A relacionar lo itema de numeración con u cifra.• A utilizar la decomoición olinómica.

• A determinar lo numerale en diferente bae.

• A relacionar cifra, bae y numerale.

¿Cuántos byte hay en un kilobyte?

Primero hay que ir al origen del almacenamiento de la información en forma digital, la unidad básicae el BIT, fíicamente e un wich. Aí olo uede er 0 o 1 (0 = aagado, 1 = encendido); o ea 2oibilidade, 2 BIT

si tenemo do wiche, odrán er llenado or 00; 01; 10; 11 o ea 4 BIT

si tenemo tre wiche, odrán er llenado or 000; 001; 010; .... ...; 111 o ea 8 BIT, que e la iguienteunidad llamada byte, aí: 1 byte = 8 BIT

Para formar la siguiente unidad: 210 byte = 1 024 byte = 1 kilobyte

y la unidad: 210 kilobyte = 1 024 kilobyte = 1 Megabyte

• ¿Cuánto wich forman 1 kb?• ¿Cuánto wich forman 1 Mb?



2Numeración en otras bases


Saberes previos


Menor # parde cuatro cifras

diferentes

Capicúa detres cifras

Menor # de4 cifras

Primo y par

Año

bisiestoCapicúa

VR de 2

en 1234Docena

Cuadradode 20

8 – 2 × 3 X

Capicúa dedos cifras

Una decena Cubo de 8

52+3×5+2

2 decenas,1 millar, 5unidades

9 decenas

Potenciade 2

CCXI# no primo ni

compuestoMayor # de

tres cifrasdiferentes

EnroqueCuadrado

de 20

Mltilode 11

Mayor # de

dos cifras

Potenciade 2

Cuadradoperfecto

9 centenas,3 unidades,8 decenas,2 millares

Menor cifra

Una mano

Mayor # detres cifras

Mediocentenar

Mltilode 9

Mltilode 19

Conceptos básicos

Sistema de numeraciónPara escribir y leer los números, en los sistemas posicionales es necesario conocer los principios, símbolosy reglas del sistema de numeración.

Principios

Base: Rereenta la cantidad de unidade que forman una unidad uerior

Ejemplo:

En el itema quinario (bae cinco) 5 unidadeformarán una unidad uerior. Entonce como eescribe:

❍ ❍ ❍

❍ ❍

❍ ❍ ❍

❍ ❍ ❍

❍

❍

❍

❍

❍

3 12do 1er

ORDEN

Entonce la forma de ecribir erá: 31(5)

Ejemplo:

En el itema enario (bae ei) 6 unidade for-marán una unidad uerior. Entonce como eescribe:

❍ ❍ ❍

❍ ❍ ❍

❍

❍

❍ ❍ ❍

❍ ❍ ❍

❍

❍

2 42do 1er

ORDEN




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Como la “bae” irve ara agruarlas unidades, no puede ser:

• Menor que 2• Una fracción• Negativa

Símbolos

Como al completar una cantidad de unidades igual a la base, éstas forman una unidad superior, lascifra on nmero entero no negativo y menore que la bae.

Ejemplo:

En el itema cuaternario (bae cuatro), la cifrason: 0; 1; 2 y 3.

En el itema “cuaternario”,como 4 unidades forman

una unidad superior, no seutiliza la cifra 4, así: 1(4);

2(4); 3(4); 10(4); 11(4); 12(4);13(4); 20(4)

Ejemplo:

En el itema hetal (bae iete), la cifra on: 0;1; 2; 3; 4; 5 y 6

En el nmero: 4235(n) elmenor valor de “n” e 6,

y en el número: 2a47(9) elmayor valor de “a” e 8

Reglas

Cada cifra rereenta una cantidad dentro del nmero, aí definimo el valor aboluto y relativo decada cifra.

Ejemplo:

Sea el número: 2453(8)

Cifra Valor absoluto Valor relativo

1er orden 3 3

2do orden 5 5 × 81

3er orden 4 4 × 82

4to orden 2 2 × 83

Ejemplo:

Sea el número: 12345(n)

Cifra Valor absoluto Valor relativo

1er orden 5 5

2do orden 4 4 × n1

3er orden 3 3 × n2

4to orden 2 2 × n3

5to orden 1 1 × n4

Recuerda que el orden de la cifra vande derecha a izquierda, así en el número

245731(9) la cifra 7 está en el tercer orden y en el cuarto lugar.

Consecuencias

• La bae de un itema debe er un nmero entero y mayor que uno, en conecuencia hay infinitosistemas de numeración.

sitema cuaternario (bae 4)sitema octal (bae 8)sitema duodecimal (bae 12)





• La bae de un itema de numeración e mayor que u cifra.

Sistema de numeración Base CifrasEn el itema decimal

hay 10 cifras.En el itema hetal,7 cifras. Así en el sis-

tema de bae “n” hay“n” cifra.

Binario 2 0; 1

Ternario 3 0; 1; 2

Cuaternario 4 0; 1; 2; 3

Quinario 5 0; 1; 2; 3; 4Senario 6 0; 1; 2; 3; 4; 5

Decimal 10 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

Undecimal 11 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; aDuodecimal 12 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; a; b

Enéimal n 0; 1; 2; 3; ...; (n – 2); (n – 1)

La descomposición polinómica de un número, es unolinomio donde lo coeficiente on la cifra y la va-riable la base.

247(9) = 2 × 92 + 4 × 9 + 7

20405(7) = 2 × 74 + 0 × 73 + 4 × 72 + 0 × 7 + 5

2a0b(5) = 2 × 53 + a × 52 + 0 × 5 + b

abcd(n) = a × n3 + b× n2 + c × n + d

En ete olinomio:2 × n3 + 4 × n2 + 3 × n + 6,

los coeficientes son las cifrasdel número: 2436(n)

Conteo en otras bases:• Base 8

1(8); 2(8); 3(8); 4(8); 5(8); 6(8); 7(8); 10(8);11(8); 12(8); 13(8); 14(8); 15(8); 16(8); 17(8); 20(8);21(8); 22(8); 23(8); 24(8); 25(8); 26(8); 27(8); 30(8);31(8); 32(8); 33(8); 34(8); 35(8); 36(8); 37(8); 40(8);41(8); 42(8); 43(8); 44(8); 45(8); 46(8); 47(8); 50(8);51(8); 52(8); 53(8); 54(8); 55(8); 56(8); 57(8); 60(8);

61(8); 62(8); 63(8); 64(8); 65(8); 66(8); 67(8); 70(8);71(8); 72(8); 73(8); 74(8); 75(8); 76(8); 77(8); 100(8);101(8); 102(8); 103(8); 104(8); 105(8); 106(8); 107(8); 110(8);111(8); 112(8); 113(8); 114(8); 115(8); 116(8); 117(8); 120(8);

• Base 6

1(6); 2(6); 3(6); 4(6); 5(6); 10(6);11(6); 12(6); 13(6); 14(6); 15(6); 20(6);21(6); 22(6); 23(6); 24(6); 25(6); 30(6);31(6); 32(6); 33(6); 34(6); 35(6); 40(6);

41(6); 42(6); 43(6); 44(6); 45(6); 50(6);51(6); 52(6); 53(6); 54(6); 55(6); 100(6);101(6); 102(6); 103(6); 104(6); 105(6); 110(6);



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Síntesis teórica

2345(n):

2n3 + 3n2 + 4n + 5

2345:Primer orden: 5

Cuarto orden (1ra cifra): 2

NUMERACIÓN EN OTRAS BASES

Sistema quinario

22(5)

Sistema heptal

15(7)

Sistemas de numeración

Sistema quinario Sistema heptal

Principios Reglas

Eneimal(Bae “n”)

Símbolos o cifras

0; 1; 2; 3; 4 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

0; 1; 2; 3; ...; (n – 1)

❍ ❍ ❍ ❍

❍ ❍ ❍ ❍

❍ ❍ ❍ ❍

Sistema

posicional


10 x

5

50

1. Determina el menor valor que tiene “n” en cadacaso:

• 2341(n) ⇒ n =

• 370(n) ⇒ n =

• 2003001(n) ⇒ n =

2. Determina el mayor valor de “x” en cada uno

de los números:• 12x21(7) ⇒ x =

• 20x2(5) ⇒ x =

• 1(x + 2)24(8) ⇒ x =

3. En el itema de numeración hetal (bae 7):

• El mayor nmero de cuatro cifra diferentees:

• El menor nmero de cuatro cifra diferentees:

4. ¿Cómo e ecribe: 2 × 93

+ 4 × 92

+ 3× 9 + 6 en el sistema nonario?

5. ¿Cómo e decomone el nmero: 23a45(x)?





1. Determina el menor valor que tiene “n” en cadacaso:

• 2003001(n – 2) ⇒ n = ………

• 20601(n + 3) ⇒ n = ………

2. Determina el mayor valor de “x” en cada unode los números:

• 1(x + 2)24(8) ⇒ x = ………

• (x + 2)2x1(6) ⇒ x = ………

3. ¿Cuánta cifra tiene: 2×96 + 4×94 + 3×92 + 6al er ecrito en bae nueve?

4. Determina “a + b”, i lo nmero:

14(6); 1a(6); b0(6) on conecutivo

5. Calcular “a”, i: 1a2(5) = 60(7)

6. Determina “m”, i: 23a(13) = 38m

7. Hallar “x”, i: 13x0(4)

= 120

8. ¿Cuánta cifra tiene el nmero:

A. 2 × 75 +3 × 72 + 4 en base 7?B. 3 × 57 + 2 × 512 + 3 en base 5?C. 2 × 97 + 1 × 94 + 2 en base 9?

Dar como reueta la uma de “A”, “B” y “C”.

9. Determina la suma de cifras del resultado en elsistema senario de: 23(6) + 54(6).

10. Si los numerales aa3(b); b45(8) y 25(a) están co-rrectamente ecrito, hallar “a + b”.

11. Un nmero en el itema binario e ecribecomo 101010, ¿en qué itema e rereentacomo 132?

12. ¿Cuál e la uma de la cifra del numeral en elsistema quinario de:

2 × 56 + 7 × 54 + 3 × 52 + 6?

13. Determina el valor de “a”, i: a64 = a0a4(5).

14. ¿para qué valor de “a” e cumle:

a02(9) = aa11(4)?

15. Hallar “a”, i: a4a(7) = 120a(5)

Aprende más


Las docenas, gruesas y masas

11

12

10

8

7

96

5

4

32

1

El origen del itema duodecimal también etá ligado al cálculo or lo dedo:ueto que lo cuatro dedo de la mano (a exceción del ulgar) tienen 12 falangeen total, pasando el dedo pulgar por estas falanges se puede contar de 1 hasta 12.Lo vetigio del itema duodecimal e han conervado en la lengua hablada hatanuetro día: en lugar de “doce” a menudo decimo “docena”. Mucho objeto(cuchillo, tenedore, lato, añuelo, etc.) uelen contare or docena. Hoy díacai no e emlea la alabra “gruea”, que ignifica doce docena (o ea, la unidaddel tercer orden en el itema duodecimal), ero hace una decena de año era unapalabra bastante extendida especialmente en el mundo del comercio. La docena degruea e llamaba “maa”, aunque hoy día oca erona conocen eta ignifica-ción de la alabra “maa”.

16. En 3 941 huevo, ¿cuánta maa, gruea y docena exiten?

17. La cantidad de ieza de cubierto e: 3 gruea, 2 maa, 5 cubierto y 4 docena. ¿Cuánto cubiertohay en total?



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1. Calcula la suma de las cifras del mayor númerooctal de cuatro cifras diferentes.

2. Relaciona correctamente mediante flecha:

• La menor bae imar octal• La cifra máxima e 5 vigeimal• La bae ocho enaria• La cifra máxima e 19 ternaria

3. Determina el menor valor de “n” en cada cao:

• 50302(n – 2) ⇒ n = ………• 80609(n + 3) ⇒ n = ………

4. La suma de las cifras del numeral que represen-ta a 41 en el sistema senario.

5. Determina el mayor valor de “x” en cada unode los números:

• 1(x – 2)24(7) ⇒ x = ………

• (x + 3)2x1(9) ⇒ x = ………

6. ¿Cuánta cifra tiene: 5 × 76 + 4 × 74 + 72 + 2al ser escrito en base siete?

7. Calcular “a”, i: 1a3(4) = 30(9)

8. Determina “m”, i: 13a(12) = 1m0

9. Hallar “x”, i: 13x0(5) = 215

10. ¿Cuánta cifra tiene el nmero:

A. 2 × 75 + 3 × 78 + 4 en base 7?B. 3 × 57 + 2 × 52 + 3 en base 5?C. 2 × 95 + 1 × 94 + 2 en base 9?

Dar como reueta la uma de “A”, “B” y “C”.

11. Determina el valor correcto de “x” en cada cao:

• N=3(2x)6(x – 3)4(3x)11 ⇒ x = ………

• N=4x + 1

3x(x – 5)(6) ⇒ x = ………

• N = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(6) ⇒ x =

12. Determina la suma de cifras del resultado en elsistema heptal de: 23(7) + 54(7).

13. Si los numerales aa3(b); b45 y 75(a) están correc-tamente ecrito, hallar “a + b”

14. Si los números están correctamente escritos:b3c(8); 1b3(c) y 45(b), hallar “2b + c”

15. Calcular la suma de cifras de:

910 + 4 × 97 + 12 × 94 + 10

cuando se escribe en el sistema nonario.

¡Tú puedes!

1. Si el número: a(b + 3)(b – 2)(a

2)(2b – 1)(2a + 1)(6)

etá correctamente ecrito, calcular “a + b”.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

2. Calcular “n”, i: 121212n = 20

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

3. Hallar “a + b + c”, i el nmero: (n + 1)(n3)(n – 2)(9) en el sistema decimal se representa por abc.

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6

4. Determina la uma de la cifra del nmero: (n + 2) . n6 + (n + 3) . n4 + (n + 2) . n2 + n, cuando serepresenta en el sistema enesimal.

a) 10 b) 8 c) 6 d) 7 e) 11

5. Si el numeral: (a + 3)(2b)(a + 3)(5 – a)(5) e caica, ¿cómo e rereenta en el itema decimal?

a) 620 b) 630 c) 624 d) 625 e) 675

Practica en casa

18:10:45



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Saberes previos


Mayor # de doscifras en base 5

56(8) a labase 10

334(9) a labase 10

Menor nme-ro de cuatro

cifras diferen-te (bae 10)# primo Una mano 19 en base5 es

12(5) a base10

245(7) a base10 es

Conecutivodecena y

mediaMáxima cifra

en base 7

Capicúa200(3) en base

104 decenas

Mayor númerode cuatro cifras

diferentes enbase 10

Primo par

Potencia de 3

Número par Mayor # de docifras en base 7

Mediacentena

Mayor # de trescifras en base 4

Mínima bae Potenciade 3

277(9) abase 10

Base nonal Una grueaCuadrado

de 5

Númerocapicúa

Potenciade 2

Factorial de 5 Cuadradode 7

83 en la base5 es

Cubo de 4 100(6) a base10

80 en base7 es

Conceptos básicos

Cambios de base

El objetivo e oder rereentar un nmero en lo diferente itema de numeración. Del sistema decimal a otro sistema

Recuerda: para ecribir en el itema quinario:

❍

❍

❍

❍

❍

❍

❍

❍

❍ ❍

❍

❍

❍

❍

❍

❍


En general, ara llevar un nmero del itema decimal a bae “n”, el nmero e divide entre “n” hataobtener un cociente menor a “n”, ete ltimo cociente y lo reto obtenido on la cifra del nmeroen bae “n”.



3Relación entre sistemas de numeración


Ejemplo:

• Ecribir 123 en el itema quinario

123 5

3 24 5

4 4

Entonce e ecribirá: 443(5)

El ltimo cocientedebe ser menor quela base y se toma de

abajo hacia arriba.

Recuerda que...

De otro sistema al sistema decimal

Recuerda que la decomoición olinómica de: 23(7) es 2 × 7 + 3.

Y al realizar las operaciones se obtiene 17, entonces: 23(7) = 17

En general ara llevar el nmero al itema decimal, e debe decomoner olinómicamente y luegorealizar las operaciones.

Ejemplo:

• Llevar 1234(7) al sistema decimal

Descomponemos el número:

1 × 73 + 2 × 72 + 3 × 7 + 4

luego se realiza las operaciones:

343 + 98 + 21 + 4 = 466, entonces: 1234(7) = 466

Se descompone y serealizan las opera-ciones en el sistemadecimal.

Recuerda que...

Entre dos sistemas diferentes del decimal

Lo recomendable e utilizar lo do método anteriore ara que el itema decimal irva como nexoentre los dos sistemas diferentes del decimal.

Ejemplo:

Llevar 253(7) al sistema quinario.

Decomonemo ara llevar al itema decimal:

253(7) = 2 × 72 + 5 × 7 + 3 = 136

Ahora dividimo ara llevar al itema quinario:

136 5

Luego: 253(7) = 1021(5).1 27 5

2 5 50 1

Observaciones:

A mayor base le corresponde menor numeral

Del ejemplo anterior: 253(7) = 1021(5), e oberva que el numeral en bae 5 tiene cuatro ciframientras que en base 7 solo tres cifras.

Menor numeral Mayor numeral – +

253(7) = 1021(5) + – 64748 64748 Mayor bae Menor bae



3Relación entre sistemas de numeración



10 x

5

50

3. Ecriba lo nmero:

• 30 en bae 7 • 24(6) en base 10

• 21 en bae 6 • 25(9) en base 10

4. ¿Cómo e ecribe 213(5) en el sistema decimal?

5. El nmero 101101(2) al ser escrito en el sistemadecimal es:

1. Determine los siguientes números en el sistemadecimal:

• 23(5) = • 32(7) =

• 121(4) = • 213(6) =

2. Ecriba lo nmero:

• 23 en bae 8: • 15 en bae 6:

• 14 en bae 7: • 30 en bae 9:

1. Determina “a + b + c”, i: 234 = abc(7).

2. Hallar “m + n + + q”, i: 61 = mnpq(3).

3. Sean los números: 2a31(n) = 4b5(m), completela relación de orden correcta (“>” o “<”):

Columna 1 Reueta Columna 2a nm bn m

4. Si los números están correctamente escritos:b3c(7); 1b3(c) y 142(b), hallar “2b + c”.

5. Hallar “a”, i e cumle: 2a2a(7) = 1 000

6. Determinar “a”, i: a64 = a0a4(5)

7. Sabiendo que: ab3(4) = ba4(5), hallar “a + b”

8. Cumpliéndose que: 3ab(5) = ba1(6), hallar “a + b”

9. Si se cumple que: 3a(2b)(6) = b0ba(5), hallar“a + b”

10. Calcular el valor de “a”, i e abe que:334(a) = 1142(5).

11. Sabiendo que: 4210(n)= nnn, determinar el va-lor de “n”.

12. Sabiendo que: a0b(11) = b0a(13), hallar “a + b”

13. Sabiendo que: aaa(7) = bc1, hallar “a + b + c”

14. Hallar “m”, i: a2a(12) = 1m7m

15. Calcular “a”, i: aa3a(6) = 64a(9)

Aprende más


Indicadores en el panel IBM

El IBM 650 tenía 7 bit: do ara lacomonente binaria (eo 0 5) y cin-co ara la comonente quinaria (e-o 0 1 2 3 4). En la foto e uedenobervar eto indicadore: hay 16 deellos, cada uno con una columna de5 luces, con las otras dos arriba a loslados.

Valor bits 05-01234

0 10–10000

1 10–01000

2 10–00100

3 10–00010

4 10–00001

5 01–10000

6 01–0100016. ¿Cómo e rereenta el nmero 7 en el itema biquinario?

17. Determina la representación del número 9 en el sistema biquinario.

7

8 01–00010

9



Aritmética

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¡Tú puedes!

1. Rereentar 1010 ... 10(2)14243 10 cifras

en el itema cuaternario. ¿Cuál e la uma de u cifra?

a) 10 b) 8 c) 12 d) 6 e) 18

2. Si el número 135(n) e lleva a bae “n + 1”, la uma de u cifra e:

a) 8 b) 9 c) 7 d) 5 e) 6

3. Si el número 131(n) e lleva a bae “n – 1”, la uma de u cifra e:

a) 11 b) 13 c) 10 d) 9 e) 12

4. Si: 3a9 + 63b + bba = (a + 1)(b + 1)a + b, dar el valor de “a . b”

a) 30 b) 56 c) 40 d) 42 e) 72

5. Si: acb = cba + 2 y a + b + c = 24, expresar abc en el sistema hexadecimal.

a) 351116 b) 37216 c) 36316 d) 31116 e) 38116

Practica en casa

18:10:45

1. Determina “a + b + c”, i: 343(6)

= abc.

2. ¿Cómo e ecribe 4334(5) en el sistema decimal?

3. Determina “a + b + c”, i: 254 = abc(8).

4. Hallar “m + n + + q + r + ”, i:

61 = mnpqrs(2).

5. ¿Cuánta cifra tiene el nmero 101221(4) en elsistema decimal?

6. Determinar el valor de “x – y” en la exreión:2x612 = 54y8

7. El nmero 222222(3), ¿cómo e rereenta en elsistema nonario? Dar como respuesta la sumade sus cifras

8. Hallar “m”, i: a2a(11) = 1m4m.

9. ¿Cómo e ecribe (m – 2)(2m)3(8) en el sistema

nonal?

10. Hallar “a”, i e cumle: 2a2a(5)

=338

11. Determinar “a”, i: 70(2a) = a0a4(7)

12. Sabiendo que: a(b – 1)3(4) = ba0(5),

hallar “a + b”.

13. Cumpliéndose que: 3ab(5) = ba1(6),

hallar “a + b”.

14. Hallar “a”, i: a4a(7) = 120a(5)

15. ¿Cuál de la iguiente exreione dada ensistemas de numeración distintos representa elnúmero mayor?

a) 43(6) b) 10110(2) c) 24(9) d) 212(3) e) 102(25)



1Entrada 1

Salida

Capa deentrada

1

1

m

2

2Entrada 2

3Entrada 3

......

...

nEntrada “n”

Capaoculta

Capa desalida

¿Red neuronal artificial?

La rede de neurona artificiale (denominada habitual-mente como RNA o en inglé como: “ANN” ) on un a-

radigma de aprendizaje y procesamiento automático ins-irado en la forma en que funciona el itema nervioode los animales. Se trata de un sistema de interconexión

de neuronas en una red que colabora para producir un estímulo dealida. En inteligencia artificial e frecuente referire a ella comoredes de neuronas o redes neuronales.

Una red neuronal e comone de unidade llamada neurona.Cada neurona recibe una erie de entrada a travé de interconexio-nes y emite una salida.

Internet como red artificial. Representación.

• ¿Cuántas salidas tendrá la red de la figura que correspondan a la entrada 1?



• Identificarán lo término de una uceión.• Determinarán lo elemento de la rogreión

aritmética• Determinarán lo valore de la cifra de un

número.


• Determinarán la fórmula del término enéimoen una P.A.

• Diferenciarán lo cao del uo del rinciiode adición y multiplicación.


• Uarán la fórmula del término enéimo.• Determinarán lo término de una uceión

• Determinarán la cantidad de término de unaP.A.

• Uarán el rinciio de multilicación de análi-sis combinatorio.

UNIDAD 3



1 Aritmética

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Conteo de números.

Progresión aritmética


• A identificar lo término de una uceión.

• A determinar lo elemento de la rogreión aritmética.

• A determinar la fórmula del término enéimo en una p.A.

• A uar la fórmula del término enéimo.

• A determinar lo término de una uceión.

¿Qué mes del año se llamaba sextilis?

lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo

26 27 28 29 30 31 1

2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 2223 24 25 26 27 28 29

30 31 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

El me Quintili, fue renombrado a Julio en honor de Julio Céar (nació en ee me). Deué del ae-inato de Julio Céar, u hijo adotivo Auguto tomó el oder. El enado romano honró a Augutocambiando el nombre de Sextilis por Augusto que tenía 30 días. Cuando Augusto se dio cuenta de

eo, mandó quitar un día del me de febrero ara onérelo en agoto, no odía acetar que u me tuvieramenos días que él de su padre.

• si ecribe la fecha de lo día lune de cada me, ¿cuál e la razón de la rogreión que e forma?

• si ecribe la fecha del rimer domingo, iguiente ábado, iguiente vierne, iguiente jueve y aíuceivamente, ¿qué tio de rogreión e forma?



1Conteo de números. Progresión aritmética


Saberes previos


Mayor # detres cifrasdiferentes

Para n = 10 enn3 + n2 + 1

Cuadradode 7

Cifras iguales Para n = 20 enn2 + 2n – 585(11)

J en carta

Primeros #primos

3; 8; 13; 18;23; ...

2; 6; 12;20; ...

6 docenas4; 9; 16; 25;

...

Máximo # enel dado Capicúa

Capicúa Mayor # primode una cifra

Para: n = 15en 2n2 + 65

Un término de12; 23; 34; ...

Cubo de 7 100(13)

Para: n = 4tn = 3n+4 es 32(7) As

2; 9; 16; 23;30; ...

Trequincenas

Un día (enhora)

Cuadradode 7

32(8)

Media docena Dos docenas

3/4 de año(me)

15 alcuadrado

Año comúnPrimeros

cuadradosperfectos

Conceptos básicos

Progresión aritmética

En eta uceión la diferencia de do término conecutivo e contante

• a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = r (Razón de la p.A.)

a1 a2 a3 a4 a5 ...

+r +r + r + r

También e uede exrear como:

a1 a1 + r a1 + 2r a1 + 3r a1 + 4r ...

+r +r + r + r

Ejemplo:

12 19 26 33 40 ...

+7 +7 +7 +7



Aritmética

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Término enésimo de la progresión aritmética

De la progresión:

n=1 ⇒ a1

an = a1 + (n – 1)r

n=2 ⇒ a1+r

n=3 ⇒ a1+2r

n=4 ⇒ a1+3rn=5 ⇒ a1+4r

Ejemplos:

• para la p.A: 9; 13; 17; 21; ...

La razón e: r = 13 – 9 = 17 – 13 = … = 4

El rimer término e: 9

Luego el término enésimo es: an = 9 + (n – 1)(4) = 4n +5

• Calcular el vigéimo término de la rogreión aritmética: 7; 12; 17; 22; …

La razón es: r = 12 – 7 = 5

El rimer término e: 7

Entonce: an = 7 + (n – 1)(5) = 5n + 2

Y el vigéimo término e: a20 = 5(20) +2 = 102

Recuerda que la diferencia de do término eguido e contante, dicha diferencia e la razón. También la

fórmula que permite determinar el término enésimo es:

an = a1 + (n – 1)r

Cantidad de términos

Conociendo el primer término, la razón y el último término, se puede determinar la cantidad detérminos o números que forman la progresión aritmética. Como la fórmula del término enésimo esan = a1 + (n – 1)r, deejemo “n”:

n = an – a1

r + 1

Ejemplo:

• ¿Cuánto término tiene la uceión: 5; 8; 11; 14; 17; ...; 32?

Como la razón es: r = 8 – 5 = 3

El rimer término = 5

El ltimo = 32

→ La cantidad de términos es: n = 32 – 5

3 + 1 =10

La fórmula

n =an – a1

r + 1

solo se aplica a unaprogresión aritmética



Aritmética

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Aprende más

1. Relaciona correctamente:

A. 2; 5; 8; … ( ) La razón e 4B. 5; 9; 13; …. ( ) El cuarto término e 20C. 2; 6; 12; … ( ) El quinto término e 14

2. Calcular el término “a41” en la p.A.:

30; 37; 44; 51; …

3. Calcular el término vigéimo de la rogreiónaritmética:

96; 93; 90; 87; …

4. Determina la razón de la siguiente progresiónaritmética:

42(6); 51(6); 100(6); ...

5. Determina la razón de la siguiente progresiónaritmética:

23(5); 32(5); 41(5); ...

6. En una rogreión aritmética, el tercer términoe 13 y el étimo e 37. ¿Cuál e la razón de laprogresión?

7. Si 22 y 43 son el tercer y sexto término de unarogreión aritmética, ¿cuál e el rimer térmi-no de la progresión?

8. La suma y diferencia de los dos primeros tér-minos de una progresión aritmética es 31 y 7.¿Cuál e el valor del quinto término?

9. Indicar el décimo quinto término de la iguienteprogresión aritmética:

(n + 6); (2n + 7); 4n; …

10. Calcula “n” ara que lo nmero:

10(n); 100(n); 150(n);………..

formen una progresión aritmética.

11. El rimer y egundo término de una rogreiónaritmética es aa y b2. si la razón e “a”, ¿quévalor tiene “a + b”, i “a” y “b” on diferente?

12. Hallar “a + b + c + d”, en la iguiente rogre-sión aritmética:

ab; 23; cd; 37; …


Años bisiestos

Un año e año biieto i dura 366 día, en vez de lo 365 de un año comn. Ee día adicional e añade enel me má corto, fechándoe como 29 de febrero. Ete día e añade ara corregir el defae que exite conla duración real de lo año: 365 día y 5 hora y 18 minuto aroximadamente. Eto hace que e corrijacada cuatro años. Un año e biieto i e diviible or 4, exceto el ltimo de cada iglo (aquel diviibleentre 100), alvo que ete ltimo ea diviible or 400.

13. Determina los cuatro primeros años bisiestos posteriores al último año bisiesto.

14. ¿Cuánto año biieto hubo entre el año 1890 y 1915?

15. ¿Cuánto año biieto habrán entre el año 2010 y el 2110?

¡Tú puedes!

1. Hallar “a + b” en la iguiente rogreión aritmética: a8b; a93; b04; ba5; ...

a) 6 b) 7 c) 3 d) 4 e) 5

2. Hallar “a + b + c + d + e + f”, en la iguiente rogreión aritmética: 8a; bc; aa; def; ...

a) 16 b) 27 c) 23 d) 24 e) 15



1Conteo de números. Progresión aritmética


1. Relaciona correctamente:

A. 2; 5; 8; ... ( ) El quinto término e 30B. 5; 9; 13; ... ( ) El cuarto término e 11C. 2; 6; 12; … ( ) El quinto término e 21

2. Calcular el término “a30” en la p.A.:

23; 30; 37; 44; 51; …

3. Calcular el término décimo de la P.A.:

93; 90; 87; …..

4. Hallar “a – b + c – d” i lo nmero:

aa; b3; (a + 1)8; c0d; ...

forman una progresión aritmética.

5. En una rogreión aritmética, el tercer términoe 3 y el étimo e 35. ¿Cuál e la razón de laprogresión?

6. Si 12 y 63 son el tercer y sexto término de unarogreión aritmética, ¿cuál e el rimer térmi-no?

7. La suma y diferencia de los dos primeros tér-minos de una progresión aritmética es 17 y 5.¿Cuál e el valor del quinto término?

8. Indicar el vigéimo quinto término de la iguien-te progresión aritmética:

(n + 6); (2n + 7); 4n; …

9. Hallar la razón para que los números:

10(n); 100(n); 150(n); …

formen una progresión aritmética

10. El rimer y egundo término de una rogreiónaritmética es aa y b4. si la razón e “a”, ¿quévalor tiene “a + b”, i “a” y “b” on diferente?

11. Hallar la razón en la siguiente progresión arit-mética:

ab; 23; cd; 37; ...

12. El tercer término de una p.A. e 12 y el décimoprimer término es –12. Hallar la razón.

13. Hallar el número de términos en:

• 18; 21; 24; …; 72

• 120; 118; 116; …; –100

14. En la p.A.: 5; 12; 19; …; 110, hallar: a12 + a13

15. Ecribir lo 10 término iguiente en bae 6:

P.A.: 12(6); 15(6); 22(6); …

3. La diferencia entre el quinto y segundo término de una progresión aritmética es 33. Halle la diferenciaentre el término de lugar 23 y el de lugar 25.

a) 22 b) 33 c) 44 d) 66 e) 88

4. Calcular “a + b + n”, en la iguiente rogreión aritmética: a3(n); a5(n); (a + 1)1(n); 4b(n); ...

a) 12 b) 15 c) 17 d) 18 e) 19

5. ¿Cuánto término tiene la iguiente rogreión aritmética?

12(n) ; 17(n) ; 24(n) ; 31(n) ; ....; 620(n)

a) 73 b) 75 c) 77 d) 79 e) 81

Practica en casa

18:10:45



1 Aritmética

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Conteo de números.Paginación


• A determinar lo valore de la cifra de un nmero.

• A determinar la fórmula ara calcular la cantidad de cifra en una uceión natural.

• A determinar la cantidad de cifra en una rogreión aritmética.

La avenida Arequipa

La avenida Arequia e una de la rinciale avenida de la ciudad de Lima, caital del per. En urecorrido de 52 cuadras de norte a sur, partiendo de Santa Beatriz en el Cercado de Lima, une losditrito de Lince, san Iidro y Miraflore.

En 1955 e contruyó uno de lo rimero ao a denivel en Lima, el uente Eduardo Villarán Freyre.Ete uente nombrado en honor a un alcalde del ditrito de san Iidro, e ubica en el cruce con la avenida Javier prado, arteria a la que divide en u do grande egmento: Javier prado Ete y Javier prado Oete.

• si la rimera cuadra e inicia con la numeración 100 y aroximadamente hay 50 caa en cada cuadra,¿cuánta cifra e requiere ara la numeración de la caa de toda la avenida?



2Conteo de números. Paginación


Saberes previos


¿Cuánto

# hay en:2; 5; 8; 11;...; 38?

La razón de 16;19; 22; ... Cubo de 6 El 8vo. térmi-

no de 14; 17;20; ...Máximo en el

dado Primer primo

El “t8” en 8;13; 18; 23; ...

# primo

Agoto (día)

Decena ymedia

Cuadradoperfecto

0; 12; 24; ...

La razón de12; 37; 62, ...

Mínimo “n”en 635(n)

Año común

2001(5)

Máximacifra en base

senaria

Único primo

parLa razón de 5;

9; 13; ...Cuadrado

de 21Mltilo

de 9

Un día(en hora)

Me de julio(día)

1; 8; 27; ...

Cubo de 6 Menor baeEl “t6” de 4; 9;

16; 25; ...

132(5)4 decenas n(n+1)=1806

“t6” de 4; 6;10; 16; ...

Mediacentena

Mayor cifra

Etá entre 100

y 200

Una mano

“t7” de 10; 16;22; 28; ...

32 + 302

Menor # capicúade 4 cifras

Una centena

Conceptos básicos

Cantidad de cifras

a) para determinar la cantidad de cifra que e utilizan al ecribir una uceión, debemo agruar lotérminos por la cantidad de sus cifras.

Ejemplos:

• ¿Cuánta cifra e utilizan al ecribir lo término de la uce-ión: 2; 5; 8; …; 20?

2; 5; 8; 11; 14; 17; 20 14243 1442443

3 números 4 números14444424444433(1) + 4(2) = 11 cifra

Agrupamos losnúmeros según su

cantidad de cifras.



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• ¿Cuánta cifra e utilizan al ecribir lo término de la uceión: 1; 5; 9; …; 61?

1; 5; 9; 13; 17; …; ….; 61 14243 14444244443

3 números

61 – 13

4 +1 =13 números

1444444244444433(1) + 13(2) = 29 cifra

• ¿Cuánta cifra e utilizan al ecribir lo término de la uceión: 1; 3; 5; …; 141?

1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; ... ...; 99; 101; 103; ...; ...; 141 14444244443 1444442444443 1444442444443

5 números

99 – 11

2 +1 =45 números

141 – 1012

+1 =21 números1444444444444444442444444444444444443

5(1) + 45(2) + 21(3) = 158 cifra

b) Cuando la uceión e de nmero naturale, odemo analizar como lo cao anteriore, ero tam-bién existe una forma práctica:

• Cuando el ltimo nmero e de tre cifra:

1; 2; 3; ...; ...; abc1444442444443Son abc números

3(abc + 1) – 111 cifra

Eto nmeroconecutivo

empiezan en 1

• Cuando el ltimo nmero e de cuatro cifra:

1; 2; 3; ...; ...; abcd1444442444443

Son abcd números

4(abcd + 1) – 1111 cifra

Eta fórmula odemo generalizarla, cuando el ltimo nmero “A” ea de “n” cifra:

n(A + 1) – (111 ... 1) 14243 “n” cifra

Para aplicar la fórmula:• Nmero conecutivo.• primer nmero e el 1• “n” e la cantidad de ci-

fras del último número





Síntesis teórica

CONTEO DE NÚMEROS II

Agrupar los números porcantidad de cifras

Cantidad de cifras

Cantidad de cifras para escribir:

1; 2; 3; ...; abc ⇒ 3(abc + 1) – 111 cifra1; 2; 3; ...; abcd ⇒ 4(abcd + 1) – 1111 cifra

Para la serie de losnúmeros naturales

• ¿Cuánta cifra hay?

13; 18; 23; 28; 33; ...; 233

Los números de dos cifras:13; 18; 23; ...; 98

son:98 – 13

5+ 1 = 18 → 18(2) = 36 cifra

Los números de tres cifras:103; 108; 113; ...; 233

son:233 – 103

5+ 1 = 27→ 27(3) = 81 cifra

Total de cifra: 36 + 81 = 117


10 x

5

50

1. si un libro tiene 51 hoja, ¿cuánta ágina tie-ne?

2. Para escribir los ocho primeros números pri-mo, ¿cuánta cifra e utilizan?

3. Determina la cantidad de cifras que has utiliza-do para escribir todos los términos de la suce-sión:

7; 12; 17; 22; ...; 67

4. Para numerar las primeras 100 páginas de unlibro, ¿cuánta cifra e utilizarán?

5. ¿Cuánta cifra e utilizan al ecribir lo térmi-nos de la serie?

2; 4; 6; 8; ………………… ; 40



Aritmética

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Aprende más

1. Determina la cantidad de cifras que se utili-zan al escribir los términos de la sucesión:7; 12; 17; 22; …; 92.

2. La numeración de los boletos de una rifa es:

001; 002; 003; …; map,

¿cuánto cero intile e han uado?

3. para ecribir lo nmero: 1; 3; 5; 7; …; 345.¿Cuánta cifra e utilizan?

4. Determinar cuántos tipos de imprenta se utiliza-ron en la numeración de un libro de 114 páginas.

5. ¿Cuánta cifra e utilizan al ecribir lo nme-ros: 24(7); 26(7); 31(7); ...; 55(7)? (Conidere tam-bién ecribir la bae).

6. Un libro tiene 47 hoja. si numeramo u ági-na, ¿cuánta cifra e requieren?

7. ¿Cuánto cero intile e utilizan al ecribir laserie: 0001; 0002; 0003; ...; 0999?

8. Al ecribir la erie natural: 45; 46; 47; …; 243,

¿cuánta cifra e utilizan?

9. para ecribir lo nmero: 12; 13; 14; 15; …; abce han utilizado 200 cifra. Hallar “a + b + c”.

10. Para numerar las páginas de un libro, se han uti-

lizado 450 tio de imrenta. ¿Cuánta áginatiene el libro?

11. Un libro tiene 400 ágina. si olo e numeranla ágina are, ¿cuánto tio de imrenta eutilizaron?

12. Se escribe la serie: 1; 2; 3; ...; abc.

Si se han usado 1 266 cifras, dar como respuestala cifra de mayor orden de abc.

13. ¿Cuánto término tiene la iguiente rogreiónaritmética?

12(n) ; 17(n) ; 24(n) ; 31(n) ; ..... 620(n)

14. Un libro tiene 300 ágina y e decide editarloen tre tomo iguale. ¿Cuánto tio de imren-ta se ahorran en la numeración de sus páginas?

15. ¿Cuánta hoja tiene un libro tal que al ecribirla numeración de sus páginas se han utilizado

600 tipos de imprenta?


El bingo ganador

La regla on encilla. El bingo e el de 75 bola. Eta e extraen de unabombona que uele tener la caacidad de girar ara revolver la bola,cada una con un número distinto.

La tarjeta suele tener 25 espacios, ordenados en una matriz de 5 por 5 y elespacio central no tiene número.

El objetivo e que a medida que van aliendo lo nmero, e debe ir lle-nando la tarjeta, el primero en llenar es el ganador.

16. ¿Cuánta cifra e utilizan en la numeración de la bola?

17. ¿Cuánta cifra como máximo habrá en una tarjeta?

18. ¿Cuánta cifra como mínimo tendrá una tarjeta?





¡Tú puedes!

1. Lourde ecribe todo lo nmero de do cifra, ero e olvida de todo lo nmero que terminan en2 y 7. ¿Cuánta cifra habrá utilizado?

a) 72 b) 162 c) 142 d) 144 e) 180

2. ¿Cuánta cifra e utilizan al ecribir lo término de la uceión: 11 13; 1214; 1315; ...; 120122?

a) 460 b) 483 c) 456 d) 484 e) 450

3. Indica la cantidad de cifra que e utilizan al ecribir todo lo término de la iguiente rogreiónaritmética: ab; 85; c2; cc; ...; ab5.

a) 300 b) 301 c) 302 d) 303 e) 304

4. ¿Cuánta ágina tiene un libro, i en la numeración de la 24 ltima ágina e han uado 69 cifra?

a) 60 b) 80 c) 215 d) 64 e) 120

5. ¿Cuánta cifra e utilizan al ecribir lo término de la uceión aritmética: 8a; bc; aa; def; ...; fff?

a) 214 b) 228 c) 216 d) 226 e) 213

Practica en casa

18:10:45

1. Determina la cantidad de cifras que se utili-zan al escribir los términos de la sucesión:7; 12; 17; 22; ...; 122.

2. La numeración de los boletos de una rifa es:001; 002; 003; ...; 999.

¿Cuánto cero intile e han uado?

3. Para escribir los números: 2; 4; 6; 8; ...; 340¿cuánta cifra e utilizan?

4. Determinar cuántos tipos de imprenta se uti-lizaron en la numeración de un libro de 214páginas.

5. ¿Cuánta cifra e utilizan al ecribir lo nme-ros 24(8); 26(8); 30(8); ...; 70(8)?

(conidere también ecribir la bae)

6. Un libro tiene 87 hoja. si numeramo u ági-na, ¿cuánta cifra e requieren?

7. ¿Cuánto nmero are tienen do cifra cuan-

do se expresan en el sistema octal?8. En ecribir la erie natural: 45; 46; 47; …; 143,

¿cuánta cifra e utilizan?

9. Para escribir los números: 12; 13; 14; 15; ...; abce han utilizado 362 cifra. Hallar “a + b + c”.

10. Para numerar las páginas de un libro, se han uti-lizado 480 tio de imrenta. ¿Cuánta áginatiene el libro?

11. Un libro tiene 420 ágina y e decide editarloen tre tomo iguale, ¿cuánto tio de imren-ta se ahorran en la numeración de sus páginas?

12. ¿Cuánta hoja tiene un libro tal que al ecribirla numeración de sus páginas, se han utilizado

450 tipos de imprenta?

13. Un libro tiene 400 ágina. si olo e numeranla ágina imare, ¿cuánto tio de imrentase utilizan?

14. Determinar la cantidad de cifras que se utilizanal escribir la serie natural desde el 15 hasta el328.

15. Se escribe la serie: 1; 2; 3; ...; abc.

Si se han usado 1 386 cifras, dar como respuestala cifra de mayor orden de abc.



3 Aritmética

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Complemento

Aprende más

1. Hallar la razón de la progresión aritmética:a1; mn; xy; a7; ...

2. Calcular la suma de las cifras del numeral, alconvertir 1 024 al itema hetal.

3. Hallar el valor de “x – y” en la exreión:2x6(12) = 54y(8).

4. Hallar “a”, i: 1a9 = a01(8).

5. Calcular “m + n”, i: a1; mn; a7; x00; ... es unaprogresión aritmética.

6. Si: (n – 1)n(n + 1)(8) = 311(11), calcular “n”.

7. Si: xyz(9) = 90, hallar “x + y + z”.

8. Calcular “a + b + c”, en: a0(b); 31(a); 1b(c); c3(7).

9. Calcular “x . y”, en: 1xy4(r) = r31(6)

10. Si se cumple que: 246(n) = 11a(12), hallar “n”.

11. Hallar “a + b”, i: 3a8(12) = 73b(8)

12. Calcular el vigéimo quinto término de la ro-gresión aritmética: 10; 24; 44; 70; 102; ...

13. Calcular la uma del décimo y vigéimo térmi-no de la progresión aritmética: 8; 14; 22; 32; ....

14. ¿Cuánto nmero imare hay entre 312(4) y312(7)?

15. El tercer término de una rogreión aritméticaes 12 y el décimo primer término es –12. Hallarla razón.

¡Tú puedes!

1. En la iguiente rogreión aritmética, calcular el término de lugar 29

1a(7); 1(2a)(7); (a – 1)(a – 1)(7); ...

a) 84 b) 87 c) 91 d) 94 e) 97

2. ¿Cuánto nmero de tre cifra del itema nonario exiten, tale que u cifra de tercer orden e lasuma de sus cifras de primer y segundo orden?

a) 44 b) 64 c) 72 d) 18 e) 10

3. ¿Cuánto nmero de tre cifra, en bae 7, no tienen la cifra 2 en u ecritura?

a) 194 b) 182 c) 167 d) 168 e) 161

4. ¿Cuánto nmero de tre cifra de la bae 6, tienen cuatro cifra en bae 4?

a) 313 b) 151 c) 179 d) 152 e) 180

5. Se desea pesar 1 642 g de azúcar, utilizando una balanza de dos platillos y pesas de 1 g, 7 g, 49 g,343 g, …, etc; y e dione de 6 ea de cada tio. ¿Cuál e el mínimo nmero de ea a utilizar?

a) 10 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24



3Complemento


1. Hallar la razón de la progresión aritmética:

a1; mn; a7; ...

2. Calcular la suma de las cifras del numeral, alconvertir 2 014 al itema enario.

3. ¿Cuánta cifra tiene 101101101(2), cuando serepresenta en el sistema ternario?

4. Un nmero e rereenta como 455 y 354 endo bae conecutiva. Hallar dicho nmero enbase decimal.

5. Si: 54(n + 1) = 49, calcular “n”

6. Hallar “a”, i: (a + 2)(a – 1)a(7) = 319

7. Hallar “a . b . c”, i: 2233(4) = abc(6)

8. Si: 12(12)(n) = 11, hallar “n”.

9. Si el número: a(b + 3)(b – 2)a2

(2b – 1)(2a + 1) (6)

etá bien ecrito, hallar “a + b”.

Practica en casa

18:10:45

10. Si: (n + 1)(n3)(n – 2)(9) = abc

hallar “a + b + c”.

11. ¿Cuánto nmero are hay entre 31 y 128?

12. ¿Cuánto nmero que on mltilo de 4 hayentre 10 y 116?

13. En la iguiente p.A.:

(x – 6); (x – 1); (x + 4); (x + 9); ...

hay 37 términos. Hallar el último.

14. si e abe que “a”; “a2” y “3a” on lo tre ri-meros términos de una progresión aritmética,entonces, hallar la suma de los cinco primerostérminos.

15. sea: (x + y); (4x – 3y); (5y + 3x) lo tre rime-ro término de una rogreión aritmética. ¿Quérelación hay entre “x” e “y”?



4 Aritmética

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Método combinatorioEn este capítulo aprenderemos:

• A determinar lo valore de la cifra de un nmero.

• A diferenciar lo cao del uo del rinciio de adición y multilicación.

• A uar el rinciio de multilicación de análii combinatorio.

Interconexión en una oficina

Una red de computadoras, también llamada red de ordenadores o red informática, es un conjuntode equio (comutadora y/o dioitivo) conectado or medio de cable, eñale, onda ocualquier otro método de tranorte de dato, que comarten información (archivo), recuro

(CD–ROM, imreora, etc.), ervicio (acceo a internet, e-mail, chat, juego), etc. incrementando la efi-

ciencia y roductividad de la erona. Aquí e muetra una red de árbol

• Indica una ventaja de ete tio de red.• Indica una deventaja de eta red.



4Método combinatorio


Saberes previos


55(8) en base10

Cifras máximas

en base 9

Mayor #octal de

cuatro cifras

diferentes33 en base8 es: Máx. cifra enbase 7

1/2 decena 1 + 2 × 3 Potencia de 2

Un día (...hora)

Mltilo de11

Númeroprimo

Factorialde 4 Menor # de

cuatro cifrasdiferentes

Máximo # enel dado

As Potencia de 2

Cifras enbase 6

MCII

Potencia de 8

Mltilo de 7

DuodecimalMayor # detres cifras en

base 3

Cuadradode 4

Primo parMáx. cifra en

base 4Máx. cifra en

base 3

CX Mltilo de41

Mayor # detres cifras enbase cuatro

Menor bae

Conceptos básicos

Principios fundamentales De adición

Cuando e debe ecoger entre do actividade, la cantidad de forma e la uma de cada una de ella.

A: “m” forma B: “n” forma

A o B (ecoger una de ella): “m + n”

Ejemplo:

• Carlo deea comrar en la tienda “A” o “B”

• A: tiene café, té y chocolate• B: tiene coca cola, inca cola, ei cola y cola inglea.

¿De cuánta forma uede ecoger un roducto?

puede ecoger de la tienda “A” (3 roducto) o de “B” (4 roducto), tendrá ara ecoger:

3 + 4 = 7 productos

De multiplicación

Cuando e deben ecoger do actividade, la cantidad de forma e el roducto de cada una de ella.

A: “m” forma B: “n” forma

A y B (ecoger amba): “m . n”



Aritmética

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Ejemplo:

• ¿De cuánta forma e uede vetir Alejandra i tiene ara ecoger entre:

• pantalón: azul, negro, blanco• Blua: roada, blanca, amarilla, verde?

Debe ecoger un antalón (3 cao) y una blua (4 cao), entonce e odrá vetir de:

3 × 4 = 12 formas.

Aplicación aritmética

Lo utilizaremos para determinar la cantidad de números, cuyas cifras tienen características especiales.

Ejemplo:

• ¿Cuánto nmero de tre cifra emiezan en cifra ar y terminan en cifra imar?

Sean los números abc donde:

• “a” e ar (2; 4; 6; 8)

• “c” e imar (1; 3; 5; 7; 9)

• “b” no tiene condición (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

Y como e neceario la tre cifra ara formar el nmero (rinciio de multilicación)

a b cTiene 4 valore Tiene 10 valore Tiene 5 valore

La cantidad de números es: 4 × 10 × 5 = 200

Síntesis teórica

CONTEO DE NÚMEROS III

Son: abc

a = 1; 2; 3; ...; 9 → 9 valoreb = 0; 1; 2; ...; 9 → 10 valorec = 0; 1; 2; ...; 9 → 10 valore

Son: 9×10×10 = 900 números

Son: abba

a = 1; 2; 3; ...; 9 → 9 valoreb = 0; 1; 2; ...; 9 → 10 valore

Son: 9 × 10 = 90 números

Método combinatorio

sean “A” y “B” do actividade indeendiente:

A o B <> A + B

sean “A” y “B” do actividade indeendiente:

A y B <> A . B

Principio de adición Principio de multiplicación

Son: (2a)c(4b)b(9)

a = 1; 2, 3; 4 → 4 valoreb = 0; 1; 2 → 3 valorec = 0; 1; ...; 8 → 9 valore

Son: 4×3×9 = 108 números

¿Cuántos números (2a)c(4b)b(9) existen?

¿Cuánto nmero tienen trecifras?

¿Cuántos números capicúas decuatro cifras existen?

• Con 4 are de zaatilla o 3 are de zaa-

to, ¿cuánta forma uedo ecoger?Se escogerá:

Zaato o zaatilla: 3 + 4 = 7 forma

• Con 4 antalone y 3 blua, ¿cuánta forma

de vetire hay?Se escogerá:

Pantalón y blusa: 4 × 3 = 12 formas



4Método combinatorio



10 x

5

50

1. ¿Qué valore tiene “a” ara que el nmero(2a)(a – 1)a esté correctamente escrito?

2. Sea el número: a(2a)(3b)b, entonce lo valore

de “a” on ..................................... y lo de“b” on ........................................

3. ¿Qué valore toma “a” ara que el nmero(a – 1)a(2a)(11) esté correctamente escrito?

4. Rereenta:

• A un nmero de tre cifra: .....................

• A un nmero de cuatro cifra que emieza

en 4 y termina en 7:...................................• A un nmero caica de cuatro cifra:

.........................

5. En el nmero caica abba(5), lo valore de“a” on ............................ y lo de “b” on...................., luego el producto de la cantidadde valore de “a” y “b” e ......................

1. ¿Cuánto nmero de tre cifra exiten en elsistema quinario?

2. ¿Cuánto nmero caica de cuatro cifraexisten en el sistema senario?

3. ¿Cuánto nmero de tre cifra exiten, tal quetodas sus cifras son pares?

4. De lo nmero are de tre cifra, ¿en cuántode ellos sus dos primeras cifras son impares?

5. ¿Cuánto nmero de la forma: a(2a)(3b)b exis-ten?

6. De los números que están comprendidos entre200 y 500, ¿cuánto on imare?

7. ¿Cuánto nmero de la forma: (a + 2)(2a)

b

3 b(8) existen?

8. ¿Cuánto nmero de tre cifra diferente exi-ten?

9. De lo nmero caica de tre cifra, ¿encuántos la suma de sus cifras es par?

10. ¿Cuánto nmero de tre cifra diferente exi-ten, tal que las tres cifras sean impares?

11. De lo nmero de tre cifra, ¿en cuánto elproducto de sus cifras es cero?

12. ¿Cuánto nmero de tre cifra tienen olo unacifra tres?

13. ¿Cuánto nmero de tre cifra exiten, tal queel producto de sus cifras es par?

14. En el itema binario, ¿cuánto nmero on denueve cifra y caica?

15. Hallar cuántos números de cinco cifras son ca-picúas.

Aprende más


Redes informáticas

Una red informática e la conexión de unconjunto de dioitivo electrónico. se-gún las necesidades se pueden utilizar dife-rentes tipos, aquí se muestran algunas:

16. Determina la cantidad de conexionescuando se escoge la red en forma deestrella.

Etrella Árbol Anillo

17. ¿Qué tio de red utiliza el centro de cómuto?



Aritmética

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¡Tú puedes!

1. ¿Cuánto nmero de la forma: (a + 2)ab3 (6) existen?

a) 16 b) 12 c) 24 d) 20 e) 32

2. ¿Cuánto nmero de la forma: (a + 2)(a – 2)(2b)(7) están correctamente escritos?

a) 18 b) 15 c) 21 d) 12 e) 20

3. ¿Cuánto nmero are de tre cifra no utilizan al 2 en u ecritura?

a) 160 b) 216 c) 256 d) 288 e) 648

4. Hallar cuántos números de cuatro cifras tienen por lo menos una cifra par, pero no todas sus cifraspares.

a) 6 500 b) 7 250 c) 7 500 d) 7 825 e) 7 875

5. Determinar cuántos números de cinco cifras capicúas impares, tienen por suma de cifras un númeropar.

a) 125 b) 250 c) 500 d) 150 e) 405

1. ¿Cuánto nmero de tre cifra exiten en elsistema senario?

2. ¿Cuánto nmero caica de cinco cifra exi-ten en el sistema senario?

3. ¿Cuánto nmero de tre cifra exiten, tal quetodas sus cifras son impares?

4. ¿Cuánto nmero caica de tre cifra exi-ten en el sistema octal?

5. ¿Cuánto nmero imare de tre cifra exi-ten, tal que sus dos primeras cifras sean pares?

6. ¿Cuánto nmero de tre cifra exiten, tal queel producto de sus cifras es cero?

7. De los números que están comprendidos entre200 y 600, ¿cuánto on imare?

8. ¿Cuánto nmero de la forma: (a – 2)(2a)(4b)b(12) existen?

9. ¿Cuánto nmero de la forma: (a – 2)(2a)b3

b(7) existen?

10. ¿Cuánto nmero de cuatro cifra diferenteexisten?

11. ¿Cuánto nmero caica de tre cifra exi-ten, tal que la suma de sus cifras es impar?

12. ¿Cuánto nmero comrendido entre 300 y800 existen?

13. De lo nmero de tre cifra, ¿cuánto tienenpor lo menos una cifra par?

14. ¿Cuánto nmero de tre cifra tienen olo docifras 4?

15. ¿Cuánto nmero de cuatro cifra, tienen al

menos una cifra 4 en su escritura?

Practica en casa

18:10:45



5Repaso


Repaso

Aprende más1. Dados los números: 4235(n) y (n – 2)35(8), el

máximo valor de “n” e ............................ y elmenor valor de “n” e ........................

2. ¿En qué bae: 32 + 4 = 40?

3. ¿Cuál e la uma de la cifra del numeral, alconvertir 345 al itema octal?

4. En la iguiente rogreión aritmética:

24; 27; 30; ...

la razón es ..........., el primer término es ...........,y el quinto término es ...........

5. Si los números 3a; 37; b2 son los primeros tér-minos de una progresión aritmética, entonces“a + b” e:

6. Determina la cantidad de términos de la progre-sión aritmética: 21; ab; 29; ...; ab7.

7. En la rogreión aritmética: 1; 3; 5; ...; 19

la cantidad de términos es ........................ , delos cuales .................... números son de unacifra y ................... números de dos cifras.

8. Para escribir los números 1; 2; 3; 4; ...; 45¿cuánta cifra e requieren?

9. Para que el número: (a – 2)18b

b(2a)

esté

correctamente ecrito lo valore de “a” on.................. y lo de “b” on .......................

10. ¿Cuánto nmero caica de cuatro cifraexisten en el sistema senario?

11. ¿Cuánto nmero de la forma (2a)(a – 2)b(3b) son pares?

12. Si: 175(a) + 5a7(b) = xyb, calcular “x + y”

13. ¿Cuánto nmero de la forma (2a)b(2b)a(7) existen?

14. En la numeración de la ágina de un libro e

han utilizado 2 112 cifra, ¿cuánta hoja tieneel libro?

15. Calcular “a + b + n”, i: a72(n) = a2b(9)

Practica en casa

18:10:45

1. Dados los números 635(n) y (n – 1)345(9), elmáximo valor de “n” e ......................... y elmenor valor de “n” e .........................

2. ¿En qué bae: 32 + 5 = 40?

3. ¿Cuál e la uma de la cifra del numeral, alconvertir 245 al itema quinario?

4. En la iguiente rogreión aritmética: 23; m; 31; ........

la razón es ..........., el primer término es ...........,y el quinto término es ...........

5. para ecribir lo nmero: 1; 2; 3; ...; 99, ¿cuán-tas cifras se usarán?

6. ¿Cuánto nmero de tre cifra terminan en 7?

7. Determina la cantidad de términos de la progre-sión aritmética: 21; ab; 27; ...; ab9.

8. Para escribir los números: 1; 2; 3; 4; ...; 75¿cuánta cifra e requieren?

9. La cantidad de cifras que se utilizan en la nu-meración de las fechas de los días del mes de junio es:



Aritmética

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10. Para que el número: (a – 1)12b

b(2a)

esté

correctamente ecrito lo valore de “a” on..................... y lo de “b” on ..........................

11. ¿Cuánto nmero caica de cuatro cifra

existen en el sistema heptal?

12. ¿Cuánto nmero de la forma: a(a – 2)b(3b) sonimpares?

13. Si se cumple que: 3a4(6) = 2b5(7), hallar “a + b”

14. ¿Cuánto nmero de la forma: (2a)b(3b)a(9) existen?

15. En la numeración de la ágina de un libro ehan utilizado 2 010 cifra, ¿cuánta hoja tieneel libro?



UNIDAD 4

¿Multiplicando con líneas?

Queremo multilicar: 23 × 12. Dibujamo do línea aralela (izquierda, arriba) y otra 3(derecha, abajo) aralela a la rimera correondiente al nmero 23. Ahora el egundonmero, 12: una línea (izquierda, abajo) y do (arriba, derecha). De derecha a izquierdahacemo agruacione verticale y contamo la intereccione (untito negro).

6 por la derecha

4 + 3 = 7 en el centro

2 a la izquierdaEntonce el roducto: 23 × 12 = 276



• Identificarán lo término de la oeracionearitméticas.

• Utilizarán lo algoritmo de la oeracionearitméticas.

• Utilizarán la roiedade de la oeracionearitméticas.

• Identificarán lo término de la diviión.


• Determinarán la fórmula ara la uma de lotérminos de una P.A.

• Uarán lo método ara calcular el comle-mento aritmético.

• Deducirán la roiedade en la diviión.


• Determinarán la cifra (crito aritmética) enuna operación aritmética.

• Uarán la cuatro oeracione combinadaara reolver roblema de la vida cotidiana.

23 × 12 = 276

2 6

7

2

31

2



1 Aritmética

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Cuatro operaciones: AdiciónEn este capítulo aprenderemos:• A identificar lo término de la oeracione aritmética.

• A utilizar lo algoritmo de la oeracione aritmética.

• A utilizar la roiedade de la oeracione aritmética

• A determinar la fórmula ara la uma de lo término de una p.A.

• A determinar la cifra (crito aritmética) en una oeración aritmética.

Ábaco Chino

El ábaco es un mecanismo formado por bolas de madera, estas bolas están sistemáticamente colocadasen una tablilla conocida con el nombre de Ábaco Chino. El término Aritmética del ábaco e le odría

denominar ciencia de lo nmero ero ya que e ua comnmente en la vida comercial, e máapropiado hablar de ella como arte del cálculo.

Comparando la Aritmética del ábaco y la Aritmética escrita o Aritmética del lápiz, ambas presentan suspuntos débiles y sus puntos fuertes. Al tratar con problemas complejos, la Aritmética del lápiz es más prác-tica ero ara la mayoría de la oeracione contable habituale, e mucho má conveniente la Aritméticadel ábaco. su mayor ventaja obre la Aritmética del láiz, e la economía de tiemo. se uede decir concerteza que ara reolver cualquier roblema con la oeracione fundamentale de la Aritmética neceita-remos la mitad del tiempo usando el ábaco, del que necesitaríamos usando la numeración escrita.

• ¿Cómo umaría 34 y 45 uando el ábaco chino?

• Al oerar: 234 + 456 + 274 + 356 con la Aritmética del ábaco y laAritmética del láiz, ¿cuál e má ráida?



1Cuatro operaciones: Adición


Saberes previos


Cuadrado

de 3

Cubo de 7Cubo de 2

La serienatural de 1;

2; ...100(7) abase 10

Cuadradode 21

1+2+...+9

Dos docenas64(8) a base

10

Menor # de trescifras diferentes

Máx. unt.en dados

# cuadradoperfecto

123 + 923 4 docenas

# primo y par CXI Enroque

Capicúa # capicúa Media cen-

tena

Una docena Después del100 2 + 4 × 8

Neutro Una docena Menor # de4 cifras dife-

rentes

Una vueltaen grados

# par Cifras pares 37 al cua-drado9 centenas

1 + 4 + 9 + 16+ 25 + 36 XV + LIX

657 + 613 3 + 33 + 333

Cuadrado

de 51 Tre cifradiferentes queson # primos

3 unidades y

8 decenas1 + 3 + 5 +

... + 113 centenas

+ 1Una vuelta en

gradosMltilo de

801/2 docena

Raíz cbicade 512 Mltilo de 9 8 docenas

1023 +8876

21 + LIV

Mltilo de 9 Menor # decuatro cifras

diferentes

62 + 72

Cuadradode 7 1 + 3 + 5 +... + 15



Aritmética

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Conceptos básicos

AdiciónE una oeración aritmética que tiene or roóito reunirdos o más cantidades homogéneas en una sola.

4 + 5 + 9 = 18

Sumandos Suma

La adición es toda la operación yla suma es el resultado de la ope-ración.

Recuerda que...

Algoritmo de la adición

Debemo ordenar lo umando de modo que e umen la unidade, decena, etc. reectivamente

Ejemplos:

• Calcular: 234 + 3 561 + 432 3 4 +

3 5 6 1

4 3

3 8 3 8

las unidades = 8la decena = 13 (e one 3 y e lleva 1)la centena = 7 (má lo que e lleva 8)los millares = 3

También e ueden acomodar:8 +

1 37

33 8 3 8 será la suma

• Calcular: 234(7) + 23(7) + 323(7)

2 3 4 +

2 3

3 2 3

6 1 3 (7)

10 7entonces: 10 = 13(7)3 1

Recuerda que...

Primer orden: 10 = 13(7) (e one 3 y llevo 1) Segundo orden: 7 = 10(7) (má 1 e 11(7), e one 1 y lleva 1) Tercer orden: 5 (má lo que e lleva 6)

• Calcular: 635(8) + 624(8) + 356(8)

6 3 5 +

6 2 4

3 5 6

2 0 3 7 (8)

17(8) + 1 = (1 × 8 + 7) + 1 = 16 = 20 (8)

Recuerda que...

Primer orden: 15 =17(8) (e one 7 y llevo 1)

Segundo orden: 10 = 12(8) (má 1 e 13(8), e one 3 y lleva 1)

Tercer orden: 15 = 17(8) (má 1, e one 20(8))

Cripto aritmética (Adición)

El objetivo e decubrir el valor de la cifra deconocida con la ayuda del algoritmo de la adición. serecomienda ordenar las cifras por órdenes.





Ejemplos:

• Hallar “a + b”, i: 4a6 + 64a + ba4 = 17a5

4 a 6 +

6 4 a

b a 41 7 a 5

Las unidades: a + 10 = 15 ⇒ a = 5

La centena: 10 + b + (1) = 17 ⇒ b = 6 → a + b = 11

• Hallar “a + b + c”, i: 4a2(5) + 4a(5) + ba3(5) = 13c2(5)

4 a 2 +4 a

b a 31 3 c 2 (5)

Primer orden: a + 5 = 12(5) ⇒ a = 2segundo orden: 2a + 4 + (1) = 14 (5) ⇒ c = 4Tercer orden: 4 + b + (1) = 13 (5) ⇒ b = 3

→ a + b + c = 9

Suma de los términos de una progresión aritmética

Recordemo que en la p.A.

• La diferencia de do término contínuo e contante, eta diferencia e llama razón

Ejemplo:

En la p.A.: 3; 10; 17; 24; ...

La razón es: 10 – 3 = 17 – 10 = 24 – 17 = 7

• para determinar el término enéimo: an = a1 + (n – 1)r.

Ejemplo:

En la p.A.: 3; 10; 17; 24; ...

El término enéimo e: an = 3 + (n – 1)7 = 7n – 4

• para determinar la cantidad de término: n =

an – a1r

+ 1

Ejemplo:

En la p.A.: 3; 10; 17; 24; ...; 87

La cantidad de términos es: n = 87 – 37

+ 1 = 13

\ La suma de los términos es:

S =

Primero + último2

× (nmero de término)

Ejemplo:

• Calcular: 2 + 5 + 8 + ... + 32

La razón: r = 3

Cantidad de términos: n =32 – 2

3 + 1 = 11

⇒ La suma: S =

2 + 322

× 11 = 187



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Ejemplo:

• Calcular: 2 + 7 + 12 + .... (lo 12 rimero término)

La razón: r = 5

El ltimo término: a12 = 2 + (12 – 1) × 5 = 57 ⇒

La suma: S =2 + 57

2

× 12=354

Sumatorias especiales

Son sumatorias frecuentemente utilizadas, como son sucesiones, también se puede aplicar las fórmulasde la progresión aritmética.

La suma de los primeros números naturales

1 + 2 + 3 + ... + n144424443

“n” nmero

=n(n + 1)

2

La sucesión: 1 + 2 + 3 + ... + 22también es una P.A.

S =

1 + 22

2 × 22=253

La suma de los primeros números pares

2 + 4 + 6 + ... + (2n)14444244443

“n” nmero

=n(n + 1)

Como en la suma:2 + 4 + 6 + ... + 42,

el último sumando es: 42 = 2nEl nmero de término e: n =21

s = 21(21+ 1) = 462

La suma de los primeros números impares

1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1)14444244443

“n” nmero

= n2La suma: 1 + 3 + 5 + ... + 47,

como el último sumandoes: 47 =2n – 1

El nmero de término e: n=24S = 242 = 576





Síntesis teórica

Suma

Cantidad de tér-minos

Término enéimo

2 + 4 + 6 + ... + (2n)14444244443

“n” nmero

=n(n + 1)

Suma de números pares

1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1)14444244443

“n” nmero

= n2

Suma de números impares

3 2 4 +

4 2 3

2 3 2

1 2 0 1 (8)

3 + 2 + 4 = 9 = 11(8)

2 + 2 + 3 + 1 = 8 = 10(8)

3 + 4 +2 +1 = 10 = 12(8)

1 + 2 + 3 + ... + n144424443

“n” nmero

=n(n + 1)

2

Suma de números naturales

324(8) + 423(8) + 232(8)

CUATRO OPERACIONES ARITMÉTICAS

2a3 + 42b + c36 = 1b34

2 a 3 +

4 2 b

c 3 61 b 3 4

b = 5; a = 7 y c = 8

En otras basesCripto aritmética Sumas especiales

Adición

Progresión aritméticaa1; a2; a3; ...; an



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10 x

5

50

1. si: 2 + 22 + 222 + … + 22…2 = …abc

9 cifras

Hallar: a + b + c

2. La suma de:

• El mayor nmero de tre cifra• El menor nmero de tre cifra diferente• El mayor nmero de tre cifra diferente• El menor nmero de tre cifra

es igual a:

3. si “a + b + c” e 15, hallar:

2a3b + b2ca + abb3 + ccac.

4. Calcular: 23(5) + 43(5) en base cinco

5. Calcular la suma: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 20

Aprende más

1. Calcular “A + B – C”, i:

A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 19 B = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 20 C = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 20

2. Hallar la suma de los términos de la P.A.

12 + 17 + 22 + ... + 97

3. Si: a + b =12, hallar: 4aa5 + b45b + abba.

4. Determinar “a + b”, i: 4aa5 + 2aaa = abb2

5. Hallar la cifra de mayor orden de la suma de los15 rimero nmero naturale oitivo.

6. Determinar “a + b + c”, i:

ab7 + 3ab + 234 = c036

7. En la iguiente oeración:

a7a + 1a + 1aa = cb6, hallar “a + b + c”.

8. Efectuar: 312(5) + 443(5) + 224(5)

9. Calcular: 415(7) + 362(7) + 254(7)

10. Calcular:

11 + 22 + 33 + 44 +.... ...+ 154

11. Calcular: S = 2 + 10 + 18 + 26 + ... 14444244443 (40 umando).

12. Hallar “a + b + c + d”, i:

15abcd + 487278 = abcd15

13. Para sumar:

123456789 + 12345678 + 1234567 + ... + 1

La suma de las dos últimas cifras es:

14. Si: N = cdu y c + d + u = 13,

tal que: cd + du = 97, hallar “N”.

15. Hallar “a.b.c”, i e abe que:

45ab = 38bc + abc


Docenas, gruesas y masas

3

2

1

6

5

48

9

1112

107

16. ¿Cómo e realizará: 364(12) + 478(12)?

17. ¿Cómo e uma: 5 docena, 6 gruea, 4 unida-des + 8 gruesas, 9 docenas, 9 unidades?





¡Tú puedes!

1. Hallar el valor de “x + y + z”, i:

2 +

10 sumandos

3 3

2 2 23 3 3 3

2 2 2 2 2M

3 3 3 ... 3 3 3x y z

a) 15 b) 14 c) 16 d) 13 e) 12

2. si “p” y “Q” rereentan la uma, reectivamente de lo are oitivo e imare oitivo no ma-yore que 1 000, calcular “A – B”

a) 0 b) 499 c) 500 d) 501 e) 1 000

3. La uma de 25 nmero conecutivo oitivo e 900. Hallar la uma de todo lo nmero naturaleanteriores a dichos 25 números

a) 672 b) 276 c) 726 d) 727 e) 267

4. Hallar “x”, i: abc + b0a + ac + cb = 1x27

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Hallar la suma de las cifras del resultado que se obtiene al sumar: 9 + 99 + 999 + ... + 999 ... 999 14243 28 cifras

a) 26 b) 36 c) 27 d) 30 e) 18

Practica en casa

18:10:45

1. Calcular “a + b”, i: 1 + 2 + 3 + ... + 9 = ab

2. Calcular “A + B”, i:

A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 29 B = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 28

3. Hallar la suma de los términos de la P.A.

11 + 17 + 23 + ... + 95

4. Hallar “a + b”, i:

101 + 202 + 303 + ... + 909 = abab

5. Hallar la cifra de mayor orden de la suma de los25 rimero nmero naturale oitivo.

6. Efectuar: 312(6) + 443(6)

7. Calcular: 415(9) + 362(9) + 254(9)

8. Calcular:

11 + 21 + 31 + 41 +.... ...+ 151

9. Calcular:

s = 2 + 10 + 18 + 26 + ... (30 umando)



Aritmética

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10. Determina la suma de todos los números de trescifras que terminan en 7

11. Hallar “x + y”, i: 1x4 + 5xx = 6y7

12. Si: a + b =15, hallar: 4aa5 + b45b + abba.

13. Hallar “a + b”, i: 2ab + ab6 = b23

14. Calcular la suma de las cifras de:

E = mnpq + abcd

si: mn + ab = 134 y cd + pq = 127

15. Al efectuar:

987654321 + 98765432 + 9876543 + ... + 9 La suma de las dos últimas cifras es:



2Sustracción


SustracciónEn este capítulo aprenderemos:

• A identificar lo término de la utracción.• A utilizar la definición de comlemento aritmético

Convierte la sustracción en adición

A – B A + B

B = B + 1

Z =A + B

Así por ejemplo: 3 456 + 543 – 357

El comlemento arit-mético de 357 es 633

3 4 5 6 +5 4 3

1 6 3 33 6 3 2

Las computadoras también usan este método: 101101(2) – 11110(2)

El comlementoaritmético de

11110(2) es 10(2)

1 0 1 1 0 1(2) +1 0 0 0 1 0(2)

1 1 1 1(2)

• ¿Cómo hallaría: 5 234 – 1 456 + 2 274 – 356, uando el comlemento aritmético?



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Saberes previos


Cuadradode 41

2 + 4 + ...+ 20

254 + 659 Cubo de 2

1 + 3 + 5+ ... + 21

23 elevadoa la 0

Máxima cifra 345 + 502

1 + 3 + 5+ 7

2 docenas+ 4

Docena ymedia

1 + 14 × 5Potencia

de 28 decenas

1+2+...+9

Menor # decuatro cifrasdiferentes

7 centenas 6 docenas

Númerocapicúa

23655 +52119

10 docenas 3 + 2 × 2

1 + 3 + 5 3 × 3 – 2

4ab – 3ab

Cuadradode 13

Conceptos básicos

Sustracción

E una oeración aritmética invera a la adición, que tiene orpropósito determinar el exceso de una cantidad sobre otra.

M – s = D Minuendo sutraendo Diferencia

Recuerda que la utraccióne la oeración invera de

la adición, entonces la suma

del sustraendo y diferenciaes igual al minuendo

Ejemplo:

La uma de lo término de una utracción e 264 y el utraendo e el doble de la diferencia. ¿Cuáleson los términos de la sustracción?

M – s = D entonce: M = s + D ............................. (1)

Ademá: M + s + D = 264 ................................. (2)

Dato: S = 2D .................................. (3)

Reemlazando (1) en (2): 2M = 264

M = 132 Reemlazando (3) en (1): M = 3D

D = 44

Entonce: D = 44; s = 88 y M = 132



2Sustracción


Algoritmo de la sustracción

Debemos ordenar el minuendo y sustraendo de modo que se resten las unidades, decenas, etc., res-ectivamente

Ejemplos:

• Calcular: 7 234 – 3 561

Las unidades = 4 – 1 = 3

La decena = (10 + 3) – 6 = 7

La centena = (10 + 1) – 5 = 6

Lo millare = ( 7 – 1) – 3 = 3

7 2 3 4 –3 5 6 13 6 7 3

Para comprobar, al

sumar el sustraendoy diferencia obtene-mos el minuendo

• Calcular: 524(7) – 43(7)

Primer orden: 4 – 3 = 1

Segundo orden: 7 + 2 – 4 = 5

(e reta una unidad de tercer orden)

Tercer orden: 5 – 1 = 4

5 2 4(7) –

4 3(7)

4 5 1(7)

En el itemaheptal, 7 unida-des forman unaunidad superior

Cripto aritmética (Sustracción)

El objetivo e decubrir el valor de la cifra deconocida con la ayuda del algoritmo de la utracción.

Ejemplo:

• Hallar “a + b”, i: 64a – ba4 = 1c5

Las unidades: a – 4 = 5 ⇒ a = 9

Las decenas: 10 + 4 – a = c ⇒ c = 5

Las centenas: 6 – 1 – b = 1 ⇒ b = 4

6 4 a –b a 41 c 5

Como para comprobar lasustracción, se suma elsustraendo y la diferen-cia, entonces podemosplantear una adición:

64a = ba4 + 1c5

Sustracción especial

se da de la diferencia entre un nmero y el que reulta de invertir el orden de u cifra.

• Para un número de dos cifras:

ab – ba = xy ⇒ 9(a – b) = xy

⇒ x + y = 9

Oberva la iguientediferencias:

72 – 27 = 45

51 – 15 = 36

81 – 18 = 63

Ejemplo:

Calcular “a + b”, i: ab – ba = 7y

Como: 7 + y = 9 ⇒ y = 2, también: 9(a – b) = 72

a – b = 8

Las únicas cifras que se diferencian en 8, son: a = 9 y b = 1

• para un nmero de tre cifra:

abc – cba = xny⇒ 99(a – c) = xny ⇒ x + y = 9

⇒ n = 9

Oberva lasiguientes diferencias:

723 – 327 = 396502 – 205 = 297

851 – 158 = 693



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Ejemplo:

Calcular: xy + yz + zx, si: abc – cba = xyz

En la utracción: abc – cba = xyz ⇒ x + z = 9

⇒ y = 9

Descomponiendo los números de la adición: (10x + y) + (10y + z) + (10z + x) = 11(x + y + z) = 11 . 18 = 198

Complemento aritmético

E la cantidad de unidade que le faltan a un nmero ara erigual a la unidad inmediata superior.

si “N” e de “n” cifra, la unidad uerior e 10n

Luego, el complemento aritmético es:

C.A.(N) = 10n – N

La unidadinmediata superior:

De 234 es 1 000De 2 457 es 10 000

De 7 es 10

Ejemplos:

• para 234 la unidad uerior e 1 000, entonce el comlemento aritmético de 234, erá lo que le faltapara ser 1 000.

C.A.(234) = 1 000 – 234 = 766

• Calcular: C.A(C.A(756)) + C.A(C.A(934)) + C.A(C.A(997))

Como son números de tres cifras, la unidad superior es 1 000.

CA(244) + CA(66) + CA(3)

756 + 34 + 7 = 797



2Sustracción


Síntesis teórica

C.A.(N) = 10n – N

ab – ba = nm → m + n = 9

abc – cba = mnp → m + p = 9 → n = 9

M – s = D

M → MinuendoS → SustraendoD → Diferencia

Término

Sustracción especial

(6 – 1) (9 + 4 – 1) (9 + 2)

6 4 2(9) –3 5 6(9)2 7 5(9)

Complementoaritmético

Comprobación de la sustracción

n → número de cifrasde “N”

C.A.(27) = 100 – 27 = 73C.A.(245) = 1 000 – 245 = 755

Si: abc – cba = 7np

Aplicando la propiedad:

n = 9, p = 2

99(a – c) = 792

a – c = 8, solo a = 9 y c = 1

En otra bae

Hallar la diferencia, si los númerosestán representados en base 9

M = S + D

Hallar “a”, “b” y “c” en:

a2b – 3c6 = 5b7

Como adición:

3 c 6 +5 b 7

a 2 bb = 3; c = 8; a = 9

SUSTRACCIÓN



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1. Si: a – b =4, hallar: 4a5b – 2b7a

2. Efectuar: 1312(5) – 443(5)

3. Si: a – b =4, hallar: 2a5b(7) – b3a(7)

4. Si: m – n =5, hallar: 4m5n(9) – 1n5m(9)

5. La suma de los términos de una sustracción es

1 024 y el minuendo es el cuádruplo del sus-traendo. ¿Cuál e la diferencia?

6. La suma de los términos de una sustracción es624 y el sustraendo es el doble de la diferencia.¿Cuál e el utraendo?

7. Si el complemento aritmético de abcd es bcd2,entonce “a + b + c + d” e:

8. Si el complemento aritmético de abcd es mnp,entonces la suma de abcd y mnp es:

9. Hallar “x + y”, i: abc – cba = xy3

10. Hallar un número de tres cifras, sabiendo que sise le agrega 245 resulta el doble de su comple-mento aritmético.

11. El nmero de tre cifra que retado de u com-plemento aritmético da 286 es:

12. Si: mcd – dcm = ale, hallar: lea + ale + eal.

13. La suma de los tres términos de una sustracciónes 1 092. Si el sustraendo es la sexta parte delminuendo, hallar la suma de cifras del comple-mento aritmético de la diferencia.

14. Si el complemento aritmético de abcd es(a – 1)(b – 2), hallar “a + b + c + d”

15. Un nmero de cuatro cifra diferente de cerotiene como suma de cifras a 24. Hallar la sumade cifras de su complemento aritmético.


Una boleta informativa del bancoEta e la boleta que un cliente ha edido al bancopara saber el estado de su cuenta corriente:

Consulta tus saldos y movimientos

Últimos movimientos

Fecha Descripción Nuevos Soles Dólares

24/02 Plaza Vea Risso 6,38

25/02 Norky's 22,50

05/03 Pago ventanilla 99,96

07/03 Plaza Vea Risso 44,49

25/03 Pago Bca Internet 50,00



24/05 Pago Ventanilla 100,00



Línea de crédito S/. 4 000,00

Crédito utilizado S/. 536,32

16. ¿Cuále on lo ago que e realizaron en lomeses de mayo, junio y julio?

17. ¿Cuál e el monto utilizado or ete cliente ha-ta el 24 de julio?


10 x

5

50

1. Determina en la columna central si corresponde“<”, “>” o “=”:

CA(23) = CA(32) =

CA(923) = CA(23) =CA(993) = CA(97) =

2. Determina las siguientes diferencias:

431 – 134 = 842 – 248 =

591 – 195 =

3. Calcula la cifra “a”, “b” y “c”,

si: 14b5 – a52 = 62c

4. Si el complemento aritmético de abcd es 234,identifica lo valore de:

a = b =c = d =

5. En la iguiente utracción: 594 + abc = cba,hallar “a”, i: a + c = 10

Aprende más



2Sustracción


¡Tú puedes!

1. Si: abc + bca + cab = 2 109 y abc – bca = 261, hallar “a . b . c”.

a) 224 b) 208 c) 196 d) 221 e) 168

2. Si: abc – cba = mn(m + 1), hallar “a – c”.a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

3. Hallar el mayor número abc tal que: C.A.(abc) = 2(cba – 1) y dar como reueta “a + b + c”.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12

4. Si: abc4 – 4cba = 4 635 y b + c = 8, hallar “a + b – c”.

a) 5 b) 4 c) 7 d) 8 e) 3

5. Hallar la suma de las cifras de ab2, sabiendo que este número disminuido en su C.A. da un número

de tres cifras iguales.a) 9 b) 11 c) 13 d) 15 e) 6

Practica en casa

18:10:45

1. Si: a – b = 3, hallar: 4a5b – 2b7a

2. Si: m – n = 4, hallar: 4m5n – 1n5m

3. Efectuar: 4412(7) – 1443(7)

4. Si: a – b =3, hallar: 2a5b(8) – b3a(8)

5. La suma de los términos de una sustracción es612 y el minuendo es el doble del sustraendo.¿Cuál e el utraendo?


7. Hallar “x + y”, i: abc – cba = xy6

8. Hallar un número de tres cifras, sabiendo que sise le quita 145 resulta el doble de su comple-mento aritmético.


10. Si: mcd – dcm = ale, hallar: aaa + lll + eee

11. La suma de los tres términos de una sustracciónes 1 090. Si el sustraendo es la quinta parte delminuendo, hallar la suma de cifras del comple-mento aritmético de la diferencia.

12. Si el complemento aritmético de abcd es(a – 4)(b – 3), hallar “a + b + c + d”

13. Un nmero de cuatro cifra diferente de cerotiene como suma de cifras a 18. Hallar la sumade cifras de su complemento aritmético.

14. Hallar “a + b + c”, i el comlemento aritméti-co de abc es (a + 3)(c + 1)(b + 2)

15. Si: abc – cba = 6mn, y además: a + c = 11,hallar “2a + 3c”



3 Aritmética

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MultiplicaciónEn este capítulo aprenderemos:

• A identificar lo término de la multilicación.• A reconocer lo roducto arciale y el roducto total.• A determinar la cifra terminale de un roducto.• A determinar la variación de lo término de la multilicación.

Multipliquemos de otra manera

En ete cao queremo multilicar23 × 12. Dibujamos dos líneasaralela (rojo) y otra 3 (azule)correspondientes a los dígitos delprimer factor. Ahora, el segundofactor, amarillo (un 1) y verde (un2). De derecha a izquierda hace-mo agruacione verticale y con-tamo la intereccione (untito

negro). Veamo: 6 or la derecha4+ 3=7 en el centro y 2 a la iz-quierda. Entonce: 23 × 12=276

23 × 12 = 276

2

7

6

• Con ete método, el roducto de 52 × 34 e:

• ¿podrá alicare a 234 × 32?



3Multiplicación


Saberes previos


47 × 51

6 docenas

3 + 2 × 2 Primer núme-ro primo

1 + 2 + 3 +... + 9

1 + 3 + 5 +... + 15

Cuadradode 7

7+7+7+ ...(9 vece) Cubo de 3

Cuadradode 2

C.A. (7989) 1 + 3 + 5+ 7 + 9

36 × 12

23 × 11

24 × 23 24 × 22 Una mano

13 × 17 1 × 3 × 5× 7

C.A.(57)

9 + 9 + 9 + ...(15 veces)

Cuádruplode 31

17 × 15

24 elevado

a la 0

Número

capicúa

6 docenas 13 × 7 C.A.(7)

C.A.(N) = Comlemento aritmético de “N”.

Conceptos básicos

Multiplicación

E la oeración aritmética que abrevia una adición, donde lo umando on iguale (multilicando) y lacantidad de ello e el otro nmero (multilicador).

A × B123

= P123

Factore Producto

Recuerda que:2 + 2 + ... + 2 + 2144424443

13 sumandos

= 2 × 13

2 es el multiplicando13 es el multiplicador

Algoritmo de la multiplicación

Debemos ordenar los productos parciales de modo que luego de sumarlos se determine el productototal.



Aritmética

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Ejemplo:

234 por 37

Multilicando → 2 3 4 ×Multilicador → 3 7

Productos parciales1 6 3 8

7 0 2Producto total → 8 6 5 8

Cripto aritmética (Multiplicación)

El objetivo e decubrir el valor de la cifra deconocida con la ayuda del algoritmo.

Ejemplos:

• Decubre el valor de la letra en la iguiente multilicación: AMOR × 4 = ROMA

Unidade: 4 × R = ...A entonce “A” e ar

Millare: 4 × A = R, entonce olo: A = 1; 2por ello “A” e 2 y “R” e 8

2 M O 8 x

48 O M 2

E recomendableanalizar primerolas cifras de

menor y mayororden.

Luego las otras cifras: 4 × O + 3 = ...M, entonce: “M” e imar

4 × M + ... = O, entonce: M = 1 y O = 7

• Determina lo valore de “A”, “L”, “E” y “X” en la iguiente multilicación: ALEX × 9999 = ...3426

E un cao articular, orque: 9 999 = 10 000 – 1 ⇒ ALEX (10 000 – 1) = ALEX0000 – ALEX

Eta diferencia:

A L E X 0 0 0 0 –A L E X

.................. 3 4 2 6

Entonce: X = 4; E = 7; L = 5; A = 6

• Determina la uma de cifra del roducto: 27 × 32 × 57 × 7

Aociando: (2 × 5)7 × 32 × 7= 107 × 9 × 7 = 630 000 000



3Multiplicación


Síntesis teórica

A × B = P

A → MultilicandoB → Multilicador

ab × m = 259ab × n = 111ab × p = 185

Hallar: ab × mnp

a b ×m n p1 8 5

1 1 12 5 9

2 7 1 9 5

Multiplicación por un dígitoseguido de ceros

Hallar: 346 × 20 000

3 4 6 ×2

6 9 2

Entonce: 6 920 000Multiplicación por nueves.

Hallar: 234 × 9 999

2 3 4 0 0 0 0 –2 3 4

2 3 3 9 7 6 6Producto

Multilicacione abreviada

MULTIPLICACIÓN

Multiplicación por 5

Hallar: 248 × 5

124 × 2 × 5 = 1 240

Término


10 x

5

50

1. ¿En qué cifra termina (cifra de unidade) cadauna de las siguientes multiplicaciones?

123 × 45 = ……………...

4 326 × 723 = ……………

5 432 × 34 567 = ……………...

987 × 456 = …………..

2. Determina el producto en las siguientes multi-plicaciones:

23 × 1 000 =

450 × 20 000 =

65 × 300 000 =

21 000 × 2 000 =

3. Determina el producto de 23 por 9 9994. Efecta en forma ráida:

234 × 11 =

342 345 × 11 =

5. Determina la suma de las cifras del producto:29 × 3 × 59 × 7



Aritmética

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Aprende más

1. Si abc se multiplica por 11, el producto resul-tante es m436, hallar “a + b + c”.

2. El roducto de ab5 por 23 es m40m, hallar

“a + b + m”

3. El roducto de ana por 111 es m1m04, hallar“m + a + n”

4. Si: a0a × 21 = 1m8m7, hallar “m + a”

5. Si multiplicamos abc por 9 999 se obtiene comoroducto ...564. Hallar “a + b + c”.

6. Hallar “m + n + ”, i: abab × 7 = mnp68

7. Determina la suma de cifras del producto:59 × 27 × 33.

8. Al multiplicar 37 por 999 ... 914243

12 cifras

, la cantidad de

cifras 9 que tiene el producto es:

9. ¿Cuál e la cifra terminal del roducto:

1 × 3 × 5 × 7 × 9 × ...1444442444443

2 012 factores

?

10. Hallar “a + b + c + d”, i: ...abcd × 7 = ... 2531

11. Si: abc × 19 = ... 541 y abc × 13 = ...107,hallar la suma de las tres últimas cifras del pro-ducto: abc × 12

12. Si: abc . a = 978 y abc . b = 652, hallar el valorde: abc . aba . Dar como respuesta la suma decifras.

13. El roducto de do nmero are conecutivoes 168. Hallar la suma de los números.

14. El roducto de do nmero e 720. si añadi-mos 6 unidades al multiplicando, entonces elroducto e 816. ¿Cuál e el multilicador?

15. En la multilicación de do nmero, i a unose le quita 3 decenas, el producto disminuye en10 830. Hallar uno de dichos números.


King kong de 18 huecos

Ete tio de ladrillo, como u nombre lo dice on uado generalmenteen el levantamiento de arede y tienen agujero en forma vertical.

Medida: 9 × 13 × 23 cm

Peso: 3,00 kg

Uo: parede y muro imortante

16. Calcular el área total del ladrillo.

¡Tú puedes!

1. Si se sabe que: ab × ba = 3 154, hallar “a + b”.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

2. si : N × 375 = ... 625 y N × 427 = ... 021, hallar la tre ltima cifra de “N × 156”.

a) 188 b) 243 c) 254 d) 366 e) 422

3. Si: aa × bb = 7cd3, hallar “c . d”

a) 15 b) 27 c) 18 d) 16 e) 12



4 Aritmética

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División


• A identificar lo término de la diviión.• A reconocer la clae de diviión.

La prueba de los nueves

Dividendo (d) → 4 6 7 8 3 9 ← Divior (d)

7 7 1 1 9

3 8 8 ↑

3 7 Cociente (c)↑

Reto (r)

D d

r c

D = 4 + 6 + 7 + 8 = 25 = 2 + 5 = 7 d = 3 + 9 = 12 = 1 + 2 = 3 c = 1 + 1 + 9 = 11 = 1 + 1 = 2 r = 3 + 7 = 10 = 1 + 0 = 1

d

D d × c + r

c

3

7 3 × 2 + 1 = 7

2

Alica ete método a la iguiente diviión

43 12

7 3

• ¿porqué e le llama rueba de lo nueve?



4División


Saberes previos


Trile de 53 C.A.(3458)

Cuádruplode 34 265 entre 5

23 × 250C.A.(7)

Una decena ymedia 69 × 630

511 entre 7 Doble de 47

245 entre 5 1041 entre 3

Divior uni-veral

Cuarta partede 12

# mayor de trescifras diferentes

1296 entre 4

1 × 2 × 3 ×4 × 5

# capicúa

Medio cen-tenar

Doble de237

Medio cente-nar + 1

91 entre 13

Quíntulode 17

225 entre 3

Dos decenas

13 × 90

C.A.(N) = Comlemento aritmético de “N”.

Conceptos básicos

División

E una oeración invera a la multilicación que conite en averiguar cuánta vece un nmero (el divior)etá contenido en otro nmero (el dividendo).

D d

q

D → Dividendod → Diviorq → Cociente

Clases de división entera

Exacta

si el divior etá contenido una cantidad entera de vece en el dividendo y lo término de eta diviiónson:

Dividendo, divior y cociente




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La relación entre lo término de la diviión exac-ta es:

D = d . q

Aí en la diviión:123 41

el objetivo e hallar una cantidad(cociente) que multilicada conel divior (41) dé el dividendo

(123), el cociente e 3.

Inexacta

Cuando el divior no etá contenido un nmero exacto de vece en el dividendo y la oeración tendráun resto o residuo.

Por defecto

Al roducto del divior or el cociente le falta algo ara er igual al dividendo, la cantidad que faltase llama residuo por defecto.

D → Dividendod → Diviorq → CocienteRd → Reiduo

D = d . q + Rd

En la diviión:127 40

al roducto del divior (40) y el cociente (3)le falta algo (reiduo) ara er el dividendo

(127), el reiduo or defecto e 7.

Por exceso

El roducto del divior or el cociente e excedió del dividendo, la cantidad en que e excedió ellama residuo por exceso.

D → Dividendod → Diviorq + 1 → CocienteRe → Reiduo

D = d (q + 1) – Re

En la diviión:115 40

el roducto del divior (40) y el cociente(3) e excedió (reiduo) del dividendo

(115), el reiduo or exceo e 5.

Propiedades en la división inexacta

De los residuos

• El reiduo e menor que el divior

R < d

RMáximo = d – 1 ∧ RMínimo = 1

• La uma de lo reiduo or defecto y exceoda el divior

Rd + Re = d

Aí en la diviión inexacta:

D 41

sea por defecto o exceso,el residuo mínimo es 1 y

el máximo es 40.

De los cocientes

Lo cociente or defecto y exceo on nmero conecutivo



4División


Ejemplos:

Dividir 97 entre 10

Por defecto Por exceso

97 10 97 10

Rd = 7 qd = 9 Re = 3 qe = 10

97 = 10(9) + 7 97 = 10(10) – 3

• Lo cociente on conecutivo

qd = 9 qe =10

• La uma de lo reto e igual al divior

rd + re = 10

Síntesis teórica


Término Diviión entera

Dividir 45 entre 13


45 13 45 136 3 7 4

45 = 13 × 3 + 6 45 = 13 × 4 – 7

En la diviión inexacta

D 15

R 7

Valor máximo:

D = 15 × 7 + 14

Valor mínimo:

D = 15 × 7 + 1

Inexacta

Sobre los cocientesSon númerosconecutivo

Sobre los residuosR + r = d

Exacta

D = d . qNo existe residuo

Sobre el residuoR < d

R(Máximo) = d – 1R(Mínimo) = 1

DIVISIÓN

D dq

Por defecto

D d

R q

Por exceso

D d

r q + 1

Propiedades

D = d . q + R D = d(q + 1) – r



Aritmética

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10 x

5

50

1. ¿Cuál e el cociente de dividir ababab entre ab?

2. ¿Cuánta cifra cinco como mínimo debe tenerel nmero 555 ... ara que al dividire entre 41la diviión ea exacta?

3. En una diviión entera inexacta, el divior y elcociente valen 17. ¿Cuál e el dividendo, i elresiduo es mínimo?

4. En una diviión entera, el divior e 15, el rei-duo e máximo y el cociente e 9. ¿Cuál e el

dividendo?

5. En una diviión entera inexacta, el divior e 23,el cociente y el residuo son iguales. Hallar eldividendo, i el reiduo e máximo.

6. Al dividir 123 entre 13, la uma de lo cociente

por defecto y exceso es:

7. Hallar el dividendo de una diviión en la cualel divior e 20, el cociente 29 y el reiduo lamitad del divior.

8. Hallar el dividendo de una diviión inexacta,donde el divior e 48, el cociente or exceoe la mitad del divior y el reiduo or exceo ela mitad del cociente por exceso.

9. En una diviión entera exacta, el dividendo ecinco vece el divior. si la uma de u térmi-no e 185, hallar el divior.

1. Identifica lo término en la iguiente diviión:

87 10

7 8

Divior = Cociente =

Reiduo = Dividendo =

2. Comleta la iguiente diviión or exceo:

79 11

Luego, identifica los términos:

Cociente = Reiduo =

3. En la iguiente diviione:

87 10 87 10

3 9 7 8

Identifica lo término:

Dividendo =

Divior =

Cociente por defecto =

Cociente por exceso =Reiduo or defecto =

Reiduo or exceo =

4. Comleta la iguiente diviión inexacta, i el co-ciente es 8 y el residuo es mínimo.

..........

10

.......... ..........

5. Comleta la iguiente diviión inexacta, i el co-ciente es igual que el residuo y el residuo es elmáximo posible.

.......... ..........

16 ..........

Aprende más



4División


13. En una diviión, el divior e de una cifra, elcociente 12 y el reiduo 8. ¿Cuál e la uma decifra del dividendo?

14. ¿Cuánto nmero cumlen tal que al dividirloentre 50, el residuo es el quíntuplo del cocien-te?

15. ¿Cuánto nmero exiten tal que al er divi-didos entre 37, originan un residuo que es elquíntuplo del cociente?

10. La diferencia de do nmero e 308 y al divi-dirlo el cociente e 13 y el reiduo 8. ¿Cuál eel menor número?

11. En una diviión, el cociente e 21 y el reiduo e15. si la uma del dividendo y el divior e 829,hallar el divior.

12. La suma de dos números es 479. Si su cocientees 28 y el residuo el máximo posible, hallar elmenor de los números.


Según la norma UNE en ISO

Las escalas se escriben en forma de razón donde el antecedente in-dica el valor en el lano y el conecuente el valor real. por ejemlola ecala 1:500, ignifica que 1 cm en el lano equivale a 500 cmreales.

Ejemlo: 1:1; 1:10; 1:500; 5:1; 50:1; 75:1

Una mea de forma rectangular tiene como dimenione a 3 m delargo por 2 m de ancho y 120 cm de altura.

16. si e tiene que dibujar en un lano a ecala 1:40, ¿qué dimen-siones debe tener?

¡Tú puedes!

1. ¿Cuánto e le debe umar al dividendo de una diviión cuyo divior y reiduo on 15 y 6, ara que elcociente aumente en 3 y el resto sea máximo?

a) 48 b) 50 c) 53 d) 57 e) 62

2. El cociente y el reto en una diviión inexacta on 4 y 30 reectivamente y i e uman lo términoel reultado e 574. Hallar el divior.

a) 438 b) 430 c) 108 d) 102 e) 170

3. ¿Cuánto nmero menore que 400 ueden er dividendo de una diviión cuyo cociente e 12 y cuyoresto es 14?

a) 32 b) 31 c) 20 d) 18 e) 14

4. En una diviión inexacta, el dividendo e un nmero mayor que 643, el divior e 34 y el cociente 18.El reto or exceo odría er:

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

5. Al dividir un nmero entre el C.A. de u C.A. e obtiene 42 de reiduo. Hallar dicho nmero.

a) 798 b) 978 c) 987 d) 877 e) 897



Aritmética

TRILCEColegios

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1. En cierta diviión, el divior y el cociente valen17 y 11 reectivamente. Calcula el dividendo,i la diviión e exacta.

2. Divida 101 entre 17 y halle el reto or defectoy exceso.

3. ¿Cuál e el cociente de dividir an0an0 entre an?

4. ¿Cuánta cifra cinco como mínimo debe tenerel nmero 555... ara que al dividire entre 7, ladiviión ea exacta?

5. Al dividir 1 205 entre 27, la diferencia de loresiduos por defecto y exceso es:

6. Hallar el dividendo de una diviión, tal que eldivior e 20, el cociente 16 y el reiduo la mi-tad del cociente.

7. En una diviión entera exacta, el dividendo ecuatro vece el divior. si la uma de lo térmi-no de la diviión e 184, hallar el divior.

8. En una diviión entera inexacta, el divior y elcociente on nmero conecutivo que uman

17. ¿Cuál e el dividendo, i el reiduo e míni-mo? (Cociente menor que el divior)

Practica en casa

18:10:45

9. En una diviión entera, el divior e 17, el rei-duo e máximo y el cociente e 8. ¿Cuál e eldividendo?

10. En una diviión entera inexacta, el divior e 17y el cociente y el residuo son iguales. Hallar eldividendo, i el reiduo e máximo.

11. En una diviión entera, el reiduo e 12 y el co-ciente e 13. Calcular el dividendo, i el reiduoes máximo.

12. Al dividir 227 entre 13, la uma de lo cocientepor defecto y exceso es:

13. La diferencia de do nmero e 146. si al divi-dirlo el cociente e 15 y el reiduo e 6, ¿cuáles el menor número?

14. En una diviión, el cociente e 17 y el reiduo e5. si la uma del dividendo y el divior e 761,hallar el divior.

15. La suma de dos números es 479. Si su cocientees 18 y el residuo el máximo posible, hallar elmenor de los números.



5Complemento


Complemento

Aprende más

1. En la iguiente utracción: 234 – 98 = 136, ial sustraendo se le agrega 15 y al minuendo sele reta 32, ¿cuál e la nueva diferencia?

2. En la iguiente multilicación: 23 × 45 = 1 035, ial multiplicando se le agrega 10 y al multiplica-dor e le reta 13, ¿en cuánto aumenta el ro-ducto?

3. ¿Cuál e la uma de cifra del reultado de

multiplicar bab por mn, si: mn × a = 161 ymn × b = 207?

4. Al dividir 198 entre 13, el cociente e 15 y elreiduo 3. si al divior le agregamo 2 y al divi-dendo e le reta 10, ¿cuál e el nuevo reiduo?

5. Al dividir un nmero entre ab, el cociente es 12y el reiduo e 98. Hallar el dividendo.

6. Al dividir abc entre 23 por defecto, el cociente

es 12 y el residuo 8. Determina la suma del co-ciente por exceso y el resto por exceso.

7. Si: a – b =2, hallar: 4a4b(9) – b5a(9)

8. Si abc se multiplica por 17, el producto esm182. Hallar “a + b + c”.

9. El cociente de do nmero e 7 y u roducto50 575, ¿cuál e el mayor?

10. Si: mnp × m= 4 321

mnp × n= 3 437

mnp × p= 2 345

Determine “mnp × pmn” y dar como reuetala suma de cifras del producto.

11. El roducto de do nmero e 396. si el multi-plicador aumenta en dos unidades, el productoaumenta en 44 unidades. Hallar el multiplican-do.

12. En una diviión inexacta, el cociente e 10, eldivior e 9 y el reiduo e el máximo oible.Hallar el dividendo.

13. En una diviión entera el dividendo e 72. Ha-llar el divior, abiendo que el cociente y el re-

siduo son iguales a 4.14. Si: a0a × 26 = 21mm8, hallar “m + a”

15. si el dividendo de una diviión e 1 081, el co -ciente y el reiduo on iguale y el divior e eldoble del cociente, calcule el divior.

Practica en casa

18:10:45

1. En la iguiente utracción: 234 – 98 = 136, ial sustraendo se le resta 25 y al minuendo se leagrega 54, ¿cuál e la nueva diferencia?

2. Hallar:

CA(CA(CA(...(CA(98 742)...))) 1442443

1081 vece

3. Si: m – n =5, hallar: 4m5n(7) – 2n6m(7)

4. Si abc se multiplica por 27, el producto esmn121. Hallar “a + b + c”.

5. El roducto de ab7 por 35 es 1m99m. Hallar“a + b + m”.

6. El cociente de do nmero e 7 y u roducto7 168. ¿Cuál e el mayor?

7. Si: mnp × m= 1 041

mnp × n= 1 388

mnp × p = 2 429

Determine “mnp × pmn” y dar como reuetala suma de cifras del producto.

8. El roducto de do nmero e 621. si el mul-tiplicador aumenta en 3 unidades, el productoaumenta en 81 unidades. Hallar el multiplican-do.



Aritmética

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9. Al dividir 240 entre 13, el cociente e 18 y elreiduo 6. si al divior le agregamo 3 y al divi-dendo e le reta 10, ¿cuál e el nuevo reiduo?

10. Al dividir abc entre 33, el cociente por defectoes 12 y el residuo por defecto es 8. Determina

la suma del cociente por exceso y el resto porexceso.

11. En una diviión, el cociente e 12, el divior e19 y el residuo el máximo posible. Hallar el di-videndo.

12. En una diviión, el cociente e 26, el divior e50 y el reiduo la mitad del divior. Hallar eldividendo.

13. Si: a0a × 13 = m1m1, hallar “m + a”.

14. ¿Cuál e el cociente de dividir ab00ab0 entre ab?

15. ¿Cuánta cifra nueve como mínimo debe tenerel nmero 999... ara que al dividire entre 73la diviión ea exacta?



6Cuatro operaciones combinadas


Cuatro operaciones combinadasEn este capítulo aprenderemos:

• A uar la cuatro oeracione combinada ara reolver roblema.

Esta figura es un cero, es el cero de la cultura maya.

En la prehistoria, la aritmética se limitaba al uso de números enteros, encontrados inscritos en objetosque indican una clara conceción de la uma y reta; el má conocido e el hueo Ihango de Áfricacentral, que data de entre 18 000 y 20 000 a.C.

Nicomachu de Geraa (60 – 120 a.C.) reume la filoofía de pitágora enfocada a lo nmero, y u rela-cione, en u introducción a la Aritmética. En ea éoca, la oeracione aritmética báica eran muy com-licada, hata que comenzó a utilizare el “método de lo indio” que e convirtió en la aritmética quehoy conocemos. La aritmética india era mucho más simple que la aritmética griega, debido a la simplicidaddel itema numérico indio que, ademá oeía el cero y una notación con valor numérico oicional. Loárabe arendieron ete método y lo llamaron heab. Fibonacci (también conocido como Leonardo depia) reenta el “método de lo indio” en Euroa en 1202. En la Edad Media, la aritmética e una de laiete arte liberale eneñada en la univeridade.

En América, la matemática e dearrolló notablemente como e traluce obre todo a artir de reciente re-decubrimiento. Noticia que no han llegado a travé de lo rinciale cronita, tanto eañole comomestizos, nos dan luz sobre la existencia y uso generalizado de una forma de ábaco, la yupana, cuyo usoestaría intensamente relacionado con el del kipu. Así pues hay fuertes indicadores que parecen decirnosque el kiu ería una forma matematizada de conervar la alabra.

En la ilustración podemos ver, de izquierda a derecha, ilustración del libro Crónica y buen gobierno de Guamán Poma de Ayala,en la parte inferior aparece una yupana, cuya utilidad algunos españoles, llegaron a conocer, pero que anclados, en sus prejuicios

jamás llegaron a comprender; la segunda ilustración es una yupana encontrada entre los restos dejados de la cultura Tiahuana-co, en Bolivia, observe cuidadosamente la coincidencia de los diseños entre la primera y la segunda. En el Perú también se hanencontrado yupanas, tal como la que aparece en tercer lugar, observe la tridimensionalidad de esta yupana, el porque de estatridimensionalidad no está comprendida aún. En los últimos tiempos vivimos una “resurrección de la yupana”, así en el últimolugar, vemos una yupana de madera triplay, hecha recientemente.

• ¿Cómo umaría 364 y 736, i no exitiera un ímbolo ara el cero?



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Saberes previos


14 más 16entre 2

Exceo de 78sobre 49

Diferencia de87 y 43

Tre quince-nas 8 – 3 × 2 Le falta 8 paraser 460

12 docenas

Cuadrado de2 × 10

54 + 30 × 30 742 – 247

Medio centenarmás 5

29 × 26

10 días enhoras

Trile de304

4 más 10entre 2

Mitad de 42más 6

Capicúa decuatro cifras

4 cientos

Capicúa dedos cifras

Capicúa

48 entre 3más 9 20(7)

23 × 4 Número par

620(9) C.A.(543)

60 docenasLa suma de

54 y 73

abcd(n) = Nmero rereentado en el itema de numeración de bae “n”

C.A.(N) = Comlemento aritmético del nmero “N”.

Conceptos básicos

Operaciones combinadas

El uo de la cuatro oeracione fundamentale en la olución de roblema e frecuente en la vida cotidiana.

Operaciones inversas

El objetivo e uar la oeracione invera ara determinar el valor del nmero ante de efectuada laoperación.

Ejemplos:

• ¿A qué nmero e le agrega 12 y e obtiene 40?

? + 12 = 40

El nmero e 28, ¿cómo e determinó?

40 – 12 = 28

se utilizó la oeración invera a la adición.





• si a un nmero le agregamo 12, al reultado lo multilicamo or 5 y a ete nuevo reultado leretamo 13, obtenemo 87. ¿Cuál e el nmero original?

?

+

12

×

5

–

13

=

87

Uando la oeracione invera:

87

+

13

÷

5

–

12

=

8


La idea es, si restamos la diferencia de los números a la suma, los números serían iguales.

Ejemplos:

• Entre Carlo y Joé tienen 120 nuevo ole. si Carlo tiene 20 nuevo ole má que Joé, ¿cuántodinero tiene cada uno?

A la suma le restamos la diferencia y la mitad de este resultado es el menor

Joé = 120 – 20

2 = 50

y Carlo = 50 + 20 = 70 nuevo ole

• Alex nació cuando Milenka tenía 4 año y en ete año la uma de u edade e 40 año. ¿Cuáleson las edades?

La diferencia de la edade de Milenka y Alex iemre erá 4 año.

A la suma le quitamos la diferencia y la mitad de esta es la edad de Alex

Alex =

40 – 42

= 18 y Milenka = 18 + 4 = 22 año

Suponer algo y luego corregir También e le conoce como fala uoición, la idea e uoner lo nmero que cumlan una de la

condiciones y luego comparar con el otro dato.

Adición y cociente

Suponer dos números que cumplan con el cociente, hallar la suma de ellos y comparar con lasuma correcta

Ejemplo:

• La uma de do nmero e 24 y el cociente entre ello e 3. ¿Cuále on lo nmero?

si el menor fuee 1, el mayor ería 3 y la uma 4; ero la uma debe er 24 (6 vece la umauueta)

Entonce la cantidade erán: 1(6) =6 y 3(6) = 18.

Sustracción y cociente

Suponer dos números que cumplan con el cociente, hallar la diferencia de ellos y comparar conla diferencia correcta.

Ejemplo:

• La diferencia de do nmero e 20 y el cociente entre ello e 5. ¿Cuále on lo nmero?

si el menor e 1, el mayor erá 5 y la diferencia 4; ero eta diferencia debe er 20 (5 vece lauueta)

Entonce la cantidade erán: 1(5)=5 y 5(5)=25



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Adición, cociente y residuo

si quitamo a la uma el reiduo, el roblema e reolver conociendo el cociente y la nueva uma,caso: Adición y cociente.

Ejemplo:

• La uma de do nmero e 48 y al dividirlo, el cociente e 4 y el reiduo 3. ¿Cuále on lo

números?

A la uma le retamo 3 (reiduo), entonce la diviión erá exacta (cociente 4) y la uma erá48 – 3=45.

si el menor e 1, el mayor erá 4 y la uma 5; ero la uma debe er 45 (9 vece la uueta),entonces los números son:

El nmero menor e: 1(9) = 9 y el mayor: 4(9) + 3 = 39

Sustracción, cociente y residuo

si quitamo a la diferencia el reiduo, el roblema e reolver conociendo el cociente y la nueva

diferencia, caso: Sustracción y cociente. Ejemplo:

• La diferencia de do nmero e 58 y al dividirlo el cociente e 6 y el reiduo 3. ¿Cuále onlos números?

si le retamo 3 a la diferencia, la diviión erá exacta (cociente 6) y la utracción 58 – 3=55.

si el menor e 1, el mayor erá 6 y la diferencia e 5, ero la diferencia correcta e 55 (11 vecela uueta)

Entonce el nmero menor e: 1(11) = 11 y el mayor: 6(11) + 3 = 69


10 x

5

50

1. Si a un número de dos cifras, lo duplicamos, alreultado le agregamo 12, luego al nuevo re-ultado lo dividimo entre 3 y finalmente a ete

resultado le restamos 15, obtenemos 13. Hallardicho número.

2. La suma de dos números es 56 y la diferencia deellos es 12. Determina los números.

3. Entre Carlo y Joé tienen 180 ole. si Carlotiene 30 ole má que Joé, ¿cuánto dinero tie-ne cada uno?

4. La suma de dos números es 24 y el cocienteentre ello e 3. ¿Cuále on lo nmero?

5. La diferencia de dos números es 20 y el cocien-te entre ello e 5. ¿Cuále on lo nmero?





1. Entre do erona tienen s/. 3 000. si la can-tidad que tiene una de ellas es el triple de loque tiene la otra, ¿cuál e la menor cantidad que

tiene uno de ellos?

2. La suma de dos números es 472, su cociente es5 y el reto 40. ¿Cuál e el menor nmero?

3. Dividir el nmero 555 en do arte, tal que udiferencia ea 125. ¿Cuále on lo nmero?

4. Se repartieron 858 soles en partes iguales entre37 obre y obraron 7 ole. ¿Cuánto le corre-pondió a cada uno?

5. ¿Cuánto tardará en cortar una ieza de tela de70 m de largo, en trozos de 10 m, si empleas 5segundos en hacer cada corte?

6. El roducto de tre nmero entero conecuti-vo e igual a 35 vece el egundo. La uma delos números es:

7. De un alón “A” aan al alón “B” 15 alumno,

luego del alón “B” aan 20 alumno al alón“A”. si al final “A” y “B” tienen 65 y 35 alumno,¿cuánto alumno tenía inicialmente cada alón?

8. Un adre de 40 año, tiene do hijo de 8 y 6año. ¿Cuál erá la edad del adre cuando lasuma de las edades de los dos hijos sea 52 años?

9. Una erona deja al morir a cada uno de u hijos 840 soles. Habiendo fallecido uno de ellos,la herencia de este se repartió entre los demás.Entonce cada hijo recibe 1 120 ole. ¿Cuál erala fortuna dejada?

10. Al término de una reunión, hubo 28 estrecha-das de mano. Suponiendo que cada uno de losparticipantes fue cortés con cada uno de los de-

más, el número de personas presentes fue:

11. Un microb arte de la laza 2 de Mayo endirección a Comas. Llega al paradero final con53 pasajeros. Sabiendo que cada pasaje cuesta3 soles y que ha recaudado en total 195 soles,¿cuánto aajero artieron del aradero ini-cial, si además se sabe que en cada paraderopor cada pasajero que bajaba subían tres?

12. Un comerciante comra libro a s/. 50 cada

uno. Por cada docena le obsequian un libro, ob-teniéndose en total 780 libros. Si decide regalar30 libro, ¿a qué recio debe vender cada libropara ganar S/. 6 000?

13. Se contrata a un empleado por el tiempo de9 meses, prometiéndole pagar $ 800 más unreloj. Pero al cabo de 5 meses se le despide, pa-gándole entonces $ 200 más el reloj. Determineel precio del reloj.

14. Se han de repartir 160 caramelos entre 45 alum-nos de un salón, dándole 3 caramelos a cadavarón y 4 caramelo a cada niña. ¿Cuánta niñahay en el aula?

15. El roducto de do factore e 2 184. si el mul-tiplicando aumenta en 5, el producto resulta2 444. Hallar los dos factores e indicar la suma.

Aprende más

¡Tú puedes!

1. Enrique e ha canado ya de u colección de oavao y ha llamado a u cinco obrino ara reartir-la entre ello. si tiene 2 457 oavao y uno de lo obrino viene a la cita con do amigo y Enriquedecide incluirlo también en el rearto, ¿cuánto oavao correonden a cada niño?

a) 350 b) 351 c) 400 d) 382 e) 540



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2. Tre amigo muy inquieto neceitan litone de madera ara realizar una maqueta y han calculadoque necesitan 14 metros en total para su proyecto. Acuden a la carpintería a pedir ayuda y les dicenque busquen entre los recortes porque han desechado pequeños listones de 30 cm de longitud. Ansel-mo encuentra 12 ieza, Bibiana 15 y Celia 8. ¿Cuánto centímetro de litone de madera neceitanaún para poder construir su maqueta?

a) 200 cm b) 150 c) 250 d) 350 e) 300

3. Manuel y Terea hacen ulera muy originale. La de Manuel on de cuero y la vende a cuatro eurocada una. La de Terea on de hilo de colore y la vende a tre euro la unidad. El ábado aado,ella vendió 12 ulera or la mañana y 5 or la tarde y él tuvo má uerte: vendió 15 or la mañanay 7 or la tarde. ¿Cuánto obtuvieron en total al terminar u jornada?

a) s/. 120 b) 132 c) 139 d) 140 e) 145

4. He ahorrado durante mucho tiemo ara comrar una colección de libro de literatura univeral quecueta 120 euro. Al romer mi alcancía he vito que ya tenía 85 euro y que me faltaba oco araconeguir la colección. Mi madre, muy acertadamente, me ha dicho que no detinae todo mi aho-

rro a lo libro y que reervae 15 euro ara imrevito. siguiendo el conejo de mi madre, ¿cuántodinero neceito todavía ara oder comrar mi libro?

a) 40 euro b) 45 c) 35 d) 50 e) 60

5. Quiroz igue emeñado en etudiar rectángulo. Ahora ha dibujado uno de 27 cm de bae y 18 cmde altura ero no lo ha convencido demaiado y ha decidido agrandarlo. La bae la ha aumentado en5 cm y la altura en 8 cm. ¿Qué área tiene ete ltimo rectángulo?

a) 840 cm2 b) 832 c) 920 d) 846 e) 885

1. Un intituto decide comrar cuatro vídeo alprecio de 68 soles cada uno. La secretaria co-menta que disponen de un total de 575 solesara eta oeración. ¿Cuánto dinero obrarádespués de realizar la compra?

2. Al dividir do nmero entero e obtiene 11 decociente y 39 de reiduo. Hallar el dividendo,sabiendo que es menor que 500 o termina en 0y es mayor que 400.

3. Una lata de ardina ea 360 g, ero con lamitad de u contenido ea 200 g. ¿Cuánto eala lata?

4. En una reunión hay 83 erona y al bailar o -bran 5 mujere y 12 hombre. ¿Cuánta mujere

hay en la reunión?

5. Una correa con u hebilla cuetan s/. 24. si lahebilla cueta s/. 4 meno que la correa. ¿Cuán-to cuesta la hebilla?

6. Tre hermano: Juan, pedro y santiago recibie-ron una herencia de S/. 19 200. Según el testa-mento, pedro recibiría s/. 1 500 má que Juany santiago s/. 1 200 má que pedro, ¿cuántorecibió Pedro?

7. En un etanque e dulica inicialmente el n-mero de peces que había en él. Luego se leagregan 55 peces obteniendo un total de 103ece, ¿cuánto ece había al rinciio en elestanque?

8. Se duplica un número, luego se disminuye en3 el roducto y e dulica de nuevo eta dife-rencia, obteniéndoe 102. ¿Cuál e el nmerooriginal?

9. por la venta de 400 aeleta e recaudaron$ 650, una arte de la aeleta e vendió a$ 1,50 y el reto a $ 2,00. ¿Cuánta aeleta deuno y otro tio e vendieron?

Practica en casa

18:10:45





10. El ancho de un terreno rectangular e 30 m mácorto que su largo. Si la longitud de la cerca quelo rodea e 240 m, ¿cuál e el área del terreno?

11. El ltimo me pedro ganó $ 250 de alario, in-cluyendo el ago or vinculacione. El alarioacendió a $200 má de lo recibido or vincula-ción. ¿Cuál e el alario báico de pedro?

12. Un adre tiene 40 año y u hijo 9. ¿Dentro decuántos años sus edades sumarán 75 años?

13. Víctor tiene 16 año y u adre 37. ¿Dentro decuántos años la edad del padre duplicará la deVíctor?

14. El cociente de la diviión entera de 97 or uncierto divior e 4. si el divior uera en 3 uni-dade al reto, calcula el reto y el divior.

15. La edad de un padre supera en 34 años a la de suhijo y dentro de 4 años ambas edades sumarán66 año. ¿Cuál e la edad actual de cada uno?



La raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un nmero “x”, e otro nmero “y”, tal que multilicado or í mimo tengacomo roducto “x”. simbólicamente lo anterior e exrea aí: x = y ⇔ y2 = x.

La raíz cuadrada fue decubierta hace ya vario milenio y de or í uuo un hito en la hitoriade la matemática. En el airo de Ahme aarece un método rimitivo del cálculo de la raícecuadradas. Sin embargo son los hindúes quienes dejan tratados en los que definen y establecen

método ara u cálculo. Recordemo que on lo babilonio, quiene inventan el cero, que luego ería to-

mado or lo hinde y chino. Luego de ello, todo lo arece indicar, lo griego, de algn modo (comerciorincialmente), e hacen con eto conocimiento.



• Identificar lo cuadrado y lo cubo erfecto• Utilizar aroximacione ara obtener la raí -

ces• Identificar lo término de la otenciación• Identificar lo término de la radicación


• Utilizar lo criterio de excluión.• Uar la roiedade ara reconocer lo cua-

drados perfectos.• Deducir la roiedade de la raíz cuadrada

inexacta.


• Uar la aroximacione ara obtener un cua-drado o cubo perfecto.

• Uar la aroximacione ara obtener la raízde un número.

searar la cifra de do en do (la cantidad de gruo indicacuanta cifra entera tiene la raíz).Aroximando la raíz del ri-mer gruo ( 9 = 3). Bajamo el gruo que igue y dulicamo3, ahora aroximar la iguiente cifra de la raíz (61 × 1 = 61).

Nuevamente el mimo ao, ara la iguiente cifra.

9. 87. 65. 43 .21 31426,–9 61 × 1 = 61

0 87 624 × 4 = 2496– 61 6282 × 2 = 12564

26 65 62846 × 6 = 377076–24 96 62852 ? × ? =

1 69 43–1 25 64

43 79 21

–37 70 766 08 4500

Las potencias y raíces están presentes en nues-tra vida y aparecen a cada instante: El reloj, deraíces cuadradas, figura superior, nos sirve pararomper la monotonía de las horas. En la figu-ra de la derecha, abajo, podemos ver de modogeométrico la generación de las “n” primerasraíces cuadradas. Para construir esta figura, secomienza trazando un cuadrado de lado 1, evi-dentemente la diagonal de este cuadrado mide

2. Luego con centro en “B” se traza un arco de circunferencia con radio 2. También sobre B, se traza la perpendicular hasta

que corte el arco anteriormente trazado en B', seguidamente trazamos el triángulo B'BC, de base 1 y altura 2, la diagonal deeste triángulo mide 3, del mismo modo proseguimos generando más triángulos.

213

45

67

1

1 1 1 1 1 11 A B C ...

A'

B'

C'...

UNIDAD 5



1Potenciación


Potenciación


• A identificar lo cuadrado y cubo erfecto• A identificar lo término de la otenciación

• A utilizar lo criterio de excluión.

Cuadratura del cuadrado

E

l roblema conite en dieccionar o dividir un cuadrado en otro má equeño. El cao má e -tudiado e el de la “cuadratura del cuadrado erfecto”, con la retricción de que toda la laza ocuadrado deben de tener diferente tamaño, y dentro de ete un “cuadrado imle” ería aquel en el

que ningn ubconjunto de laza forma a u vez otro cuadrado.

50

3527

15 1711

198

29

4

25

96

2418

7

16

33 37 42

2

La cuadratura del cuadrado erfecto imle (o algo aí) má equeña de orden 21 fue decubierta en 1978or A.J.W. Duijvetijn.

• ¿Cuál e el lado del cuadrado erfecto imle?

• ¿Cuánto cuadrado de lado entero etán dentro del cuadrado erfecto imle?



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Saberes previos


# cuadradoperfecto

Cubo de 6

Cubo de 7 Quinta potenciade 2

Número par Una mano

131 × 11Cuadrado

de 19

Cuadradode 35

Sexta potenciade 2

Cuadradode 12

Doble de 31

Cuadradode 18

Cubo de 3

Cubo de 8 5 a la cuarta

Dos docenasCuadrado

de 24

1 + 2 + 3 +... + 9

Raíz cuadradade 900

Medio cen-tenar

Raíz cuadradade 4

Cubo de 11Cuadrado

de 5

Cuadrado de10, más 2

1 × 2 × 3

Conceptos básicos

Potenciación

se deriva de la multilicación de un nmero or ímimo varia vece.

Exonente ↓

Base → bn = P ← Potencia

Recuerda que...

bn = b × b × b × ... × b 144424443 “n” vece

Cuadrado perfecto

Cuando el exponente es 2 o °2

N = k2

Los primeros números cuadrados perfectosson: 1; 4; 9; 16; 25; ...

Cuadrados perfectos:



1Potenciación


Criterios de exclusión

• Lo nmero que terminan en 2; 3; 7 y 8 no oncuadrados perfectos. Los cuadrados per-

fectos 1; 4; 9; 16; 25;36; 49; 64; 81; 100;... pueden terminar

en 0; 1; 4; 5; 6 y 9

• Lo nmero que terminan en una cantidad im-par de ceros no son cuadrados perfectos. También e alica ara nme-

ros de más cifras, así para ha-llar el cuadrado de 995:

99 × 100 = 9 900 y 52 = 25

Entonce: 9952 = 990 025

Propiedades

• Lo exonente de la decomoición canónica de un nmero que e cuadrado erfecto on are.

1 600 = 26 × 52 = (23 × 5)2

• El cuadrado de un nmero que termina en 5

a52 = ............ 25 123

↓ a(a + 1)

Ejemplo:

752 = 5 625

Porque: 7 × 8 = 56 y 52 = 25También e alica ara nme-ros de más cifras, así para ha-llar el cuadrado de 995:

99 × 100 = 9 900 y 52 = 25

Entonce: 9952 = 990 025

Cubo perfecto

Cuando el exponente es 3 ó °3.

N = k3

Los primeros cubos perfectos son: 1; 8;27; 64; ...

Si cada unidad se representa comouna bolita, el 8 es un cubo perfecto:

Propiedad

En la decomoición canónica de un cubo erfecto, lo exonente on mltilo de 3.

64 000 = 29 × 53 = (23 × 5)3



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Síntesis teórica

an = P

Término de potenciación

POTENCIACIÓN

Los exponentes de

la descomposicióncanónica son pares

a52 = a(a + 1)25

No puede terminaren 2; 3; 7; 8

Propiedades

Los exponentes dela descomposicióncanónica son múlti-

plos de 3

Propiedades

Cuadrado perfecto Cubo perfecto

N = K2 N = K3


10 x

5

50

1. Calcula:

• 2 0002 =

• 3002 =

• 702 =

• 12 0002 =

2. Los números de dos cifras que son cubos per-fectos son:

3. Determina las siguientes potencias:

• 112 =

• 1112 =• 1 1112 =

• 11 1112 =

4. Ecribe lo tre rimero nmero que ean cu-bo y cuadrado erfecto a la vez.

5. Calcula:

• 152 =

• 352 =

• 652 =

• 852 =

• 952 =



1Potenciación


Aprende más

1. ¿Cuánto cuadrado erfecto on de tre cifra?

2. ¿Cuánta cifra tiene el cuadrado de 95 000 000?

3. ¿Cuánto cubo erfecto on de tre cifra?

4. Determine “a + b + c”, i: 9952 = aa00bc.

5. Calcular “a + b + m”, i: 4m2 = ab01.

6. Determina la suma de las cifras del cuadrado de:

11 ...... 114243

5 cifras

.

7. Determina la cantidad de cifras del cuadrado de:

90 ...... 01424315 cifras

.

8. Determina la cantidad de cifras del cubo de:

40 ...... 01424310 cifras

.

9. Si: ...x2 = ... 4, la uma de lo valore que ue-de tomar “x” e:

10. Si: ...x3 = ... 7, hallar el valor de “x”.

11. ¿por cuánto e le debe multilicar como mínimoa 25 × 37 × 76 para ser un cuadrado perfecto?

12. ¿por cuánto e le debe multilicar como míni-mo a 25 × 37 × 76 para ser un cubo perfecto?

13. ¿por cuánto e le debe multilicar como míni-mo a 12 000 ara que e convierta en un cua -drado perfecto?

14. ¿por cuánto e le debe multilicar como míni-mo a 6! ara obtener un nmero cuadrado er-fecto?

15. ¿por cuánto e le debe multilicar como míni-mo a 6! ara obtener un nmero cubo erfecto?

Aplicación cotidianaLas memorias son potencias de 2

La unidade de memoria UsB iguen u caminoa la grandeza, pero me refiero a su capacidad dealmacenamiento que cada vez e mayor. Ha idoKington la rimera en anunciar una Data Travelerde 128 GB. Solo el tiempo hará que la demanda yel acceo a lo recio ermita cambiar lo UsB de4 y 8 GB.

16. ¿Qué otencia de 64 kB e 128 GB?

¡Tú puedes!

1. Hallar la raíz cuadrada de 1 164 241 y dar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 21

2. ¿Cuánto nmero cuadrado erfecto tienen cinco cifra?

a) 316 b) 216 c) 215 d) 217 e) 218

3. Indicar el reiduo de la raíz cuadrada de 8 366 557.

a) 2 800 b) 2 893 c) 3 564 d) 9 800 e) 7 566



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4. ¿Cuánto nmero cuadrado erfecto hay entre 225 y 15 625?

a) 108 b) 109 c) 110 d) 111 e) 112

5. ¿Cuánto cuadrado erfecto de la forma 6abc1 existen?

a) 3 b) 4 c) 8 d) 10 e) 6

Practica en casa

18:10:45

1. ¿Cuánto nmero menore que 100, on cua-drados perfectos?

2. ¿Cuánto cuadrado erfecto on de do cifra?

3. ¿Cuánto cubo erfecto on de do cifra?

4. Determina la suma de las cifras del cuadrado de111 111.

5. Determina la cantidad de cifras del cuadrado de:

90 ...... 01424312 cifras

.

6. Determina la cantidad de cifras del cubo de:

20 ...... 01424315 cifras

.

7. Si: ... x2 = ...9, la uma de lo valore que ue-de tomar “x” e:

8. Si: ...x3 = ... 9, hallar el valor de “x”.

9. ¿Cuánto cubo erfecto on menore que1 000?


11. ¿por cuánto e le debe multilicar como míni-mo a 25 × 37 × 74 para ser un cubo perfecto?

12. ¿por cuánto e le debe multilicar como míni-mo a 18 000 ara que e convierta en un cua-drado perfecto?

13. Si: ab3 = 1c8a4, calcular “a + b”

14. Si: ab2 = ba9, calcular “a + b”

15. ¿por cuánto e le debe multilicar como míni-mo a 24 × 35 × 76 × 11 para ser un cuadradoperfecto?



2Radicación


Radicación


• A identificar lo término de la radicación.• A deducir la roiedade de la raíz cuadrada inexacta.

Cálculo de raíces

Las raíces cuadradas son el resultado de plantear pro-blemas geométricos como la longitud de la diagonalde un cuadrado y urgieron ya en la antigüedad. El

Papiro de Ajmeed datado en 1650 a. C., que copia textosmás antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces

cuadrada. En la antigua India, el conocimiento de aec-tos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadradafue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechadosalrededor del 800-500 a. C.

Un método ara encontrar la raíce cbica e:

3 17 580 26–8 300 × 22 × 7 = 8400

9 580 30 × 2 × 72 = 2940– 9 576 73 = 343

4 = 11683 No 300 × 22 × 6 = 7200

30 × 2 × 62 = 216063 = 216

9576 3

Cálculo gráfico de la raíz cuadrada de un número “n” cualquiera:

Emlear ael milimetrado, o rearar un cuadriculado. Mientramás grande el ojo de la cuadrícula, mejor.

1. Sobre el eje x de coordenadas determinamos P, a una distanciaigual a 1/4 de unidad del origen, luego trazamos pQ de longitudigual a “n – 1/4”, “n” e el nmero del cual queremo calcular laraíz.

2. Con centro en p y radio igual a “n + 1/4”, trazamo un arco decircunferencia, tal que e corte con la erendicular levantadaobre Q. La ditancia pQ e la raíz bucada

Demostración

Trazamo el egmento pQ = n sobre el eje de las abscisas. P está auna ditancia “a = 1/4” del origen. Con centro en p, trazamo el arco

de circunferencia de radio “n + a”, Q e el unto de interecciónentre ete arco de circunferencia y la vertical trazada obre R. El trián-gulo pQR e recto.

Aplicando el teorema de Pitágoras:

pQ2 = pR2 + QR2, del gráfico vemo que:

Qn – 1/4P

a

P Q

R

n – 1/4

n + 1 / 4

(n + a)2 = (n – a)2 + QR2 ⇒ (n + a)2 = (n – a)2 + QR2 ⇒ 4na = QR2

Por comodidad escogemos, a = 1/4, tendríamos que n = QR2, es decir QR = n.

(Sobre la base de un artículo aparecido en la Revista do Professor do Matemática de Brasil, escrito por José Luiz Pastore Mello).

• ¿Cómo hallaría la raíz cbica de 123 345?



Aritmética

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Saberes previos


Potenciade 2 Número

cuboperfecto

Cuadradode 3

33 × 29 Capicúa múltiplode 4 007

Cubo per-fecto

Cubo de 41

Raíz cuadradade 4

Cuadradode 9

Cuadradoperfecto

Cuadradode 35

Cubo de 8Númerocapicúa

Númerocapicúa

Cuadradode 26

Potenciade 2

Cubo de 9

Cuarta per-fecta

Cuadradode 5

91 al cua-drado

Cuadrado ycubo perfecto

Cuadradode 5

Númerocapicúa

Conceptos básicos

Radicación

E la oeración invera a la otenciación.

Índice Nn

= k Raíz

Radicando

Raíz cuadrada

Cuando el índice de la raíz es 2

Raíz cuadrada exacta

N = k

Tal que: N = k2

“N” e un cuadrado erfecto

Ejemplo:

Determina la raíz cuadrada de 2 209

2 209 = 47

El nmero 15 876 e un cuadradoperfecto, su raíz cuadrada es:

La raíz de 158 = 12 (arox.) Unk2 que termine en 6 es 4 o 6.

Entonce la raíz erá 124 o 126.Comprobando: 15876 = 126



2Radicación


Raíz cuadrada inexacta

Cuando el radicando no es un cuadrado perfecto


N

R

k N

r

k +1

N = k2 + R N = (k + 1)2 – r

Ejemplos:

• La raíz cuadrada de 78

Buscamos cuadrados perfectos que es-tén cerca de 78: 82 = 64 y 92 = 81

Entonce: 78 = 82 + 14 ∧ 78 = 92 – 3

Todo nmero que no e cuadra-do perfecto, siempre estará com-prendido entre dos cuadradosperfectos, las raíces de ellos sonlas raíces por defecto y exceso.

La raíce or defecto y exceo on 8 y 9 con u reectivo reiduo 14 y 3

• La raíz cuadrada de 168

Buscamos cuadrados perfectos que estén cerca de 168: 122=144 ∧ 132=169

168 = 122 + 24 = 132 – 1

La raíz cuadrada de 168 or defecto e 12 y or exceo 13, el reiduo or defecto 24 (reiduomáximo) y el reiduo or exceo 1.

Propiedades

• La raíz cuadrada tiene la mitad de cifradel radicando.

106276= 326

68121= 261

• El reto máximo en una raíz cuadrada e el doble de la raíz or defecto.

N

R

k

1 < R < 2k + 1

• La raíce or defecto y exceo on nmero conecutivo

• La uma de lo reto or defecto y exceo e igual al doble de la raíz or defecto má uno

N

R

k N

r

k +1

N = k2 + R N = (k + 1)2 – r

Igualando: k2 + R =(k + 1)2 – r

y reduciendo:

R + r = 2k + 1



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Síntesis teórica

Término de radicación

Inexacta

RADICACIÓN

Nn = K

Raíz cuadrada

N = K

Exacta

“N” e un cuadra-do perfecto

N

R

k

N = k2 + R


10 x

5

50

1. Calcular la raíz cuadrada de: 24 × 52 × 32.

2. Calcular la raíz cuadrada de: 43 × 52 × 93.

3. Calcular la raíz cuadrada de:

• 4 096 • 6 561 • 2 401• 1 024 • 1 089

4. La raíz cuadrada de 90 es:

5. Operar:

• 64 . 49 – 81 . 36

• 196 + 169 + 225

• 7225 – 5625

Aprende más

1. Calcular la raíz cuadrada de 1 764.

2. Hallar la raíz cuadrada de 4aa5, si es un cuadra-do perfecto.

3. Calcula el resto que se obtiene al extraer la raízcuadrada de 125.

4. Calcula el residuo de la raíz cuadrada de 250.

5. Calcular la raíz de 7aa5, si es un cuadrado per-fecto.

6. Si el número 13 456 es un cuadrado perfecto,¿cuál e la uma de cifra de u raíz cuadrada?

7. Calcular el residuo que se obtiene al extraer laraíz cuadrada de 200.

8. Determina el residuo al extraer la raíz cuadrada

de 125.

9. Determina la raíz cuadrada de 300.

10. Determina la raíz cuadrada de 2 130.



2Radicación



12. ¿Cuánto nmero cuadrado erfecto tienencuatro cifras?

13. ¿Cuánto nmero de tre cifra terminado en 1

son cuadrados perfectos?

14. Si la raíz cuadrada de un número es 23 y el res-to e máximo, ¿cuál e la uma de cifra del ra -dicando?

15. ¿Cuánto nmero de cuatro cifra terminadoen 6 son cuadrados perfectos?

¡Tú puedes!

1. Calcular la suma de cifras de 3abcd0, si es un cubo perfecto.

a) 10 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

2. Si el número 2abcdef0 es quinta perfecta, la suma de cifras de la raíz quinta de dicho número es:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 3

3. La suma de un número, su raíz cuadrada y el residuo que es máximo, suman 234. Halle el número.

a) 186 b) 196 c) 204 d) 185 e) 195

4. Hallar un cuadrado perfecto de la forma abcd, sabiendo que ab y cd también son cuadrados perfectos.Dar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 20

5. Si el número: N = 1aaa e un cuadrado erfecto, ¿cuál e el valor de “a”?

a) 1 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9

Practica en casa

18:10:45

1. Calcular la raíz cuadrada de 1 296.

2. Hallar la raíz cuadrada de 5ab5, si es un cuadra-

do perfecto.

3. Calcula el resto que se obtiene al extraer la raízcuadrada de 205.

4. Calcula la raíz cuadrada de 350.

5. ¿por cuánto e le debe multilicar como míni-mo a 9 000 ara que e convierta en un cuadra-do perfecto?


7. Calcular la raíz cuadrada de 450.



10. Determina la suma de la raíz y el residuo que seobtiene al extraer la raíz cuadrada de 456.

11. Si 4aa5, e un cuadrado erfecto, hallar “a”.




15. Determina el residuo de la raíz cuadrada de1 300.



Aritmética

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Repaso

Aprende más

1. Efectuar: 1312(7) – 443(7).

2. Determina la raíz cuadrada por defecto de1 230.

3. La suma de los términos de una sustracción es1 026 y el minuendo es el triple del sustraendo.¿Cuál e la diferencia?


5. Hallar “x + y”, i: abc – cba = xy2.

6. ¿Cuál e la uma de cifra del cuadrado de 295?

7. El roducto de 7 or “N” e un nmero formadoolo or cifra 4. ¿Cuál e la uma de cifra delmenor valor de “N”?

8. Si multiplicamos abc por 9 999 se obtiene comoroducto ...315. Hallar “a + b + c”.

9. En una diviión entera inexacta, el divior y elcociente valen 13, ¿cuál e el dividendo, i elresiduo es máximo?

10. Hallar un número de tres cifras, sabiendo que sise le agrega 240 resulta el triple de su comple-mento aritmético. Dar la suma de sus cifras


12. El roducto de do nmero imare conecuti-vo e 323. Hallar la uma de lo nmero.

13. El roducto de do nmero e 456. si añadi-mos 6 unidades al multiplicando, entonces elroducto e 600. ¿Cuál e el multilicador?

14. El nmero abc0, es el mayor cubo perfecto,¿cuál e la uma de u cifra?

15. ¿por cuánto e le debe multilicar como míni-mo a 24 000 ara que e convierta en un cua-drado perfecto?

1. Al restar abc y cba se obtiene una diferencia quee encuentra entre 300 y 400. ¿Cuál e la umade las dos cifras de menor orden de la diferencia?

2. El nmero 54 756 e un cuadrado erfecto,¿cuál e la uma de cifra de u raíz cuadrada?

3. Calcular el residuo que se obtiene al extraer la

raíz cuadrada de 3 180.

4. Calcular:

C.A.(2) + C.A.(4) + C.A.(6) + ... +C.A.(10)

5. Si el complemento aritmético de abcd esa(a – 1)(a – 2), hallar “a + b + c + d”.

6. Al multiplicar ab por mnp, los productos par-ciale on 203; 145 y 261, ¿cuál e la uma delas cifras del producto, si es el máximo posible?

7. Calcular “a + b + c”, i al multilicar 2abc por23, el producto termina en 457.

8. Calcular el residuo por exceso al extraer la raízcuadrada de 4 200.

9. Determina la suma de los residuos por defecto yexceso de la raíz cuadrada de 4 125.

10. Determina la suma de las raíces cuadradas pordefecto y exceso de 4 300.

11. En una diviión inexacta, el divior e 26 y el re-iduo e el trile del cociente. ¿Cuánto valoreuede tomar el dividendo?

12. El reiduo de una diviión inexacta e 7, el co-ciente e 12 y el divior e un nmero de una ci-fra. ¿Cuánto valore uede tomar el dividendo?


14. Calcular “a + b”, i 5ab5 es un cuadrado per-fecto.

15. Víctor tiene 16 año y u adre 37. ¿Dentro decuántos años la edad del padre duplicará la deVíctor?

Practica en casa

18:10:45



Teoría de los números¿El colador de Eratóstenes?

Se trata de un algoritmo eficiente ara calcular lo rimo y también e le conoce como la Criba de Eratótene. su filo-sofía es muy sencilla, ya que se basa en ir tachando los números compuestos hasta que en un momento dado podemosgarantizar que todos los que quedan son primos.¿Cómo? e muy imle. suongamo que queremo calcular todo lo rimo menore que “N”. Hacemo una litacon todo lo nmero naturale entre 2 y “N”. El rimer nmero de la lita (2) e rimo. Tachamo todo lo mltilo

de 2 (e decir, todo lo are).Volvemo al rinciio: el rimer nmero obrante (3) e rimo. Tachamo todo lo mltilo de 3 (e decir, uno de cada 3 nmero).Ahora, al llegar al rinciio de la lita, 4 etá ya tachado (e mltilo de 2). El rimer nmero obrante que encontramo e el 5, uetambién lo marcamos como primo y repetimos el proceso.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

4 Mltilo de 2 9 Mltilo de 3 an no tachado

65 Mltilo de 5 an no tachado 77 Mltilo de 7 an no tachado



• Identificar lo diviore y mltilo de un n-mero

• Identificar lo criterio de diviibilidad o multi-

plicidad• Identificar lo nmero rimo, comueto ysimples

• Analizar lo diviore or u caracterítica


• Uar la oeracione con mltilo.• Demotrar lo criterio de diviibilidad• Reconocer lo nmero rimo, comueto y

simples.


• Determinar la cifra de un nmero uando locriterio de diviibilidad

• Determinar la cantidad de diviore de un n-mero.

• Claificar lo diviore.

197 196 195 194 193 192 191 190 189 188 187 186 185 184 183

198 145 144 143 142 141 140 139 138 137 136 135 134 133 182

199 146 101 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 132 181

200 147 102 65 64 63 62 61 60 59 58 57 90 131 180

201 148 103 66 37 36 35 34 33 32 31 56 89 130 179

202 149 104 67 38 17 16 15 14 13 30 55 88 129 178

203 150 105 68 39 18 5 4 3 12 29 54 87 128 177

204 151 106 69 40 19 6 1 2 11 28 53 86 127 176

205 152 107 70 41 20 7 8 9 10 27 52 85 126 175

206 153 108 71 42 21 22 23 24 25 26 51 84 125 174

207 154 109 72 43 44 45 46 47 48 49 50 83 124 173

208 155 110 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 123 172

209 156 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 171

210 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170

211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225

UNIDAD 6Eratóstenes deCirene, fue el

primero de losmatemáticos,hasta donde sesabe, que seocupó de encon-trar un algoritmocapaz de calcu-lar los números

primos. Comose anota en la

parte inferior, el ofreció como resultado su famosa Criba.Sin embargo lo único cierto es que encontrar la “reglade formación” de la secuencia de los números primos,

ha escapado a los esfuerzos de muchos matemáticos. Sinembargo recientes descubrimientos hacen pensar que lasolución de este problema está cerca. La figura de puntosy la matriz numérica sobre esta leyenda son espirales nu-méricas, como se puede ver en ellas los números primosestán resaltados, sugiriendo una “regla de formación”.Obs.: La diferencia entre las dos espirales numéricas esque en la imagen de puntos, el punto correspondienteal número 1 esta desplazado a la derecha una posición.



1 Aritmética

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Divisibilidad y multiplicidad


• A identificar lo diviore y mltilo de un nmero.

• A usar las operaciones con múltiplos.

• A determinar la cifra uando diviibilidad y multilicidad.

¿Enviando huevos?

Lo etuche male han ido dieñado ara contener una amlia gama de tamaño de huevo, yminimizar roblema de rotura ya que cuentan con nervio centrale que le otorgan mayor rigidez.

La calidad de la ata de celuloa ermite reervar la temeratura interior del huevo, y aborber elexceo de humedad. Eta e una java etándar ara huevo, lita ara u venta en un uermercado.

• ¿Cuánto huevo contiene eta java?

• ¿El nmero de huevo que contiene, tiene beneficio ara u venta?

• para la venta al or mayor, la java e llenan en caja una obre otra, formando una fila de 10 java,¿cuánto huevo contendrá una caja?



1Divisibilidad y multiplicidad


Saberes previos


Cuadradode 19

Cuboperfecto

Reto máximoal dividir

N entre 24

Cuadradoperfecto Baseundecimal Mínima cifraoitiva

Reiduo aldividir 104

entre 7

Máximo númeroen un dado


Reiduo aldividir 56entre 11

CHallar el resi-duo al dividir900 entre 37

Media cen-tena y media

decena

Cubo perfectoNeutroaditivo

# que dividea todos

Una mano Capicúa dedos cifras

Cubo de 8

3 + 7 × 7

Número capi-cúa de cuatro

cifras

Docena ymedia

Cuadradode 4

CXI

3 + 2 × 2Neutro multi-

licativoResto al dividir

68 entre 7

Cuadrado

de 25

11 + 12 × 13

Conceptos básicos

Divisibilidad En la iguiente diviión exacta:

A B

q

Divior o módulo “A” e diviible entre “B”

“B” e divior de “A”

Ejemplos:

• Como: 45 9 45 e diviible entre 99 e divior de 455

• si 2343x e diviible entre 73, hallar “x”.

2 3 4 3 x 7 32 1 9 3 2 1

1 5 3

1 4 67 x7 3 Entonce: x = 3- -

Aí en la diviión:

12 d

q

Lo diviore de 12 erán:1; 2; 3; 4; 6 y 12



Aritmética

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Multiplicidad

A = B × q“A” e mltilo de “B”

“B” e factor de “A”

Ejemplos:

• Como: 120 = 8 × 15 120 es múltiplo de 8

8 es factor de 120• si x139 e mltilo de 43, hallar “x”.

4 3 X7 3

1 2 93 0 1x 1 3 9 Entonce: x = 3

Así en la multiplicación:

N = 14. q

Los múltiplos de 14 se-rán: 14; 28; 42; 56; 70;...

Notación

siendo: “A” diviible entre “B” “A” e mltilo de “B” ⇒ A =

°B Oberva que:“A” e diviible entre “B”

e equivalente a:“A” e mltilo de “B”

Así: 45 = °9 120 = °8

Cuando la división no es exacta

Por defecto

A dR q

A = d. q + R ⇒ A = °B + R

Por exceso

A dr q + 1

A = d(q+1) – r ⇒ A = °B – r

Ejemplo:

Como 47 no e diviible entre 7

47 = °7 + 5 47 = °7 – 2

porque: 47 = 7(6) + 5 = 7(7) – 2

Recuerda que en ladiviión inexacta la uma de

lo reiduo e igual al divior.

Observación

Para determinar la cantidad de múltiplos, tenemos:

Por agrupación De los números: 1; 2; 3; ...; 12

• Lo °3 son:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12 123 123 123 14243

un °3 un °3 un °3 un °3

La tercera parte son °3, entonces:123

= 4

• Lo °4 son:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12 14243 14243 1442443 un °4 un °4 un °4

La cuarta parte son °4, entonces:

124

= 3

Por desigualdad De los números de tres cifras:

• Lo °7 son:

100 ≤ 7k < 999

14,2 ≤ k < 142,7

Lo valore de “k” on: 15; 16; 17; ...; 142

Son en total:

142 – 15

1 + 1 = 128 números





• También:

1. °n + °n = °n 2. °n – °n = °n

3. °n . k = °n 4. °nk = °n

5. (°n + r)k = °n + r 6. A = °b

A =°c

A = °dA =

°mcm(b; c; d)

Síntesis teórica

A = B. q

son criterio equivalente:

A = °B

A = mB

A B

q

Divior o módulo

Divisibilidad Multiplicidad

6 e divior de 18


R + r = d

Diviore de 12:1; 2; 3; 4; 6; 12

18 es múltiplo de 6

Mltilo de 12:12; 24; 36; 48;...

TEORÍA DE LOS NÚMEROS

Cuando hay resto

A = d . q + R

A = d(q + 1) – r

“A” e diviible entre “B”“B” e divior de “A”

“A” e mltilo de “B”“B” e factor de “A”


10 x

5

50

1. Ecribe tre nmero de do cifra que ean di-viore de 60.

2. Ecribe lo tre rimero nmero de tre cifraque sean múltiplos de 45.

3. Si: 3a = °7, entonce el valor de “a” e:

4. Si: 5a = °9, entonce el valor de “a” e:

5. Los múltiplos de 6, menores que 50 son:



Aritmética

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1. Calcular “a”, de modo que 271a ea diviibleentre 13.

2. Hallar “x”, ara que el nmero 1854x ea divi-sible entre 73.

3. La diferencia entre un número de tres cifras yel que reulta de invertir el orden de u cifra,iemre erá diviible entre:

4. Hallar “x”, i el nmero 52x e diviible entre 31.

5. ¿Qué valor toma “x”, i el nmero 7x es: °13 – 2?

6. ¿Cuánta cifra cuatro debe tener el nmero444... ara que ea diviible entre 13?

7. Calcular “x”, i el nmero 538x es °23 + 2.

8. ¿Cuánto mltilo de 29 on de do cifra?

9. ¿Cuánto nmero de tre cifra terminan en 4 yson múltiplos de 8?

10. ¿Cuánto nmero comrendido entre 115 y250, son múltiplos de 17?

11. ¿Cuánto nmero de tre cifra on mltilode 6 o 4?

12. ¿Cuánto nmero de do cifra on mltilode 5 y 3?

13. ¿Cuánto nmero de cuatro cifra on mlti-plos de 25?

14. ¿Cuánto nmero de cuatro cifra que termi-nan en 1, on diviible entre 41?

15. ¿Cuánto nmero de tre cifra on mltilode 5 pero no de 3?

Aprende más


Embalaje de huevos

para el rearto y la venta de huevo e utilizan diferente envae, te-niendo en cuenta el tamaño de cada huevo, la temeratura a la quedebe mantenerlo, la humedad, etc. Todo on factore imortante,pero la facilidad para comercializarlos hace que los embalajes seancomo el de la figura los más utilizados.

16. si comra varia java, ¿cómo exrearía la cantidad de huevocomprados?

17. para almacenar la java ailada, etá ermitido a lo má 10 javauna obre otra. En tre fila de java, ¿cuánto huevo hay?

¡Tú puedes!

1. Un nmero de la forma (3a)(3b)ab es siempre múltiplo de:

a) 41 b) 43 c) 11 d) 17 e) 9

2. Un nmero de la forma a0(2a) e iemre diviible or:

a) 2; 3 y 4 b) 2; 17 y 5 c) 3; 5 y 17 d) 2; 6 y 17 e) 2; 3 y 11

3. Hallar la suma de los 42 primeros números naturales múltiplos de 6:

a) 3 612 b) 5 418 c) 5 318 d) 3 712 e) 4 812

4. ¿Cuánto nmero imare de cuatro cifra on diviible entre 17?

a) 475 b) 405 c) 279 d) 265 e) 138





5. ¿Cuánto mltilo de 30 hay en la iguiente erie: 24; 48; 72; 96; …; 24 000?

a) 100 b) 150 c) 170 d) 190 e) 200

Practica en casa

18:10:45

1. La suma de los seis primeros números enterosoitivo e diviible entre:

2. Si: 145 = °17 + x, hallar “x”

3. ¿Cuánto nmero de tre cifra on mltilode 41?

4. Si: 2 425 = °7 + x, hallar “x”.

5. Hallar “n”, i el nmero 13n7 es múltiplo de 73.

6. ¿para qué valor de “n”, el nmero caica 3n3al er dividido entre 23 deja como reto 5?

7. ¿Cuánto nmero de do cifra exiten, tal queal er dividido entre 21 el reto que e obtienees 3?

8. ¿Cuánto nmero de do cifra on mltilode 7?

9. Hallar la suma de los múltiplos comunes de 2 y3 menores que 28

10. ¿Cuánto nmero de do cifra on mltilode 6?

11. Si 6n es múltiplo de 6, hallar la suma de losvalore de “n”

12. ¿Cuánto mltilo de 29 on de tre cifra yterminan en 3?

13. Rereentar 836 en función del módulo 7





2 Aritmética

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Operaciones y ecuacionescon múltiplos


• A efectuar oeracione con mltilo

Los días de la semana

Domingo viene del latín dominuc die, que ignifica día del señor; el lune roviene de lunae die,o día de la luna; el marte e el día conagrado a Marte, el dio de la guerra; miércole fue cona-grado al dio Mercurio; el jueve fue nombrado en honor al dio Jiter, el vierne fue nombrado

en honor a Venus, la diosa del amor; y el sábado fue nombrado así por el latín sabbatum, que significadescanso.

• si hoy e marte 26 de julio, ¿qué día erá dentro de 300 día?

• ¿Dentro de cuánto día, nuevamente erá 26 y marte?



2Operaciones y ecuaciones con múltiplos


Saberes previos


Mltilo de12

Mltilode 7

Cuadradode 13 Una gruea

Divior de 24 Divior de 12

Mltilo de147

Divioruniveral

Mltilode 11

Potencia de 2Cuadradoperfecto

Máx. nmeroen un dado

6 docenasMltilo

de 17

Mltilode 17

Cuadrado

de 31

Mayor # decuatro cifrasdiferentes.

Mltilode 13

Númerocapicúa de

cuatro cifras

Una docena Diviorde 45

Una decena

E mltilode 9

Cuadradode 6

Mltilo de27

Una mano II Menor cifra

Mltilo de335

C

Conceptos básicos

Definiciones previas

Divisibilidad

En la iguiente diviión exacta:

A B

q

Divior o módulo “A” e diviible entre “B”“B” e divior de “A”

Multiplicidad

En la iguiente multilicación de nmero entero

A = B × q “A” e mltilo de “B”“B” e factor de “A”

Notación

Cuando la diviión no e exacta


A d A = d . q + RA = °d + R

A d A = d(q + 1) – rA = °d – rR q r q + 1



Aritmética

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Operaciones aritméticas


sean lo nmero “A” y “B” que e exrean en función del divior o módulo “n” como:

A = °n + ra y B = °n + rb

Entonce:

A + B = °n + (ra + rb)

A – B = °n + (ra – rb)

Ejemplo:

• sean lo nmero:

A = °13 + 3 B = °13 + 8 C = °13 + 6

Entonce: A + B + C = °13 + (3 + 8 + 6) = °13 + 17

Como: 17 = 13 + 4 ⇒ A + B + C = °13 + 4

Recuerda que elresiduo de una

diviión debe ermenor que el divior

Multiplicación sean lo nmero “A” y “B” que e exrean en función del divior o módulo “n” como:

A = °n + ra y B = °n + rb

Entonce:

A . B = °n + (ra . rb)

Ejemplo:

• sean lo nmero: A = °11 + 3; B = °11 + 8; C = °11 + 6

Entonce: A . B . C = °11 + (3 × 8 × 6) = °11 + 144

Como: 144 = 11(13) + 1 → A . B . C = °11 + 1

División

Son diferentes los casos:

sea el nmero “A” tal que: A = °14 + 6

Entonce:

A2

= °7 + 3A3

= °14 + 2

A

5 =°14 + 4, porque: A =

°14 + 6 =

°14 + (14 + 6)

para dividir o im-plificar, el

nuevo reiduodebe ser entero

Potenciación

sea el nmero “A” que e exrea en función del divior o módulo “n” como:

A = °n + ra

Entonce:

Ak = °n + (ra)

k

Ejemplo:

• sean lo nmero: A = °7 + 3; B = °7 + 2

Entonce: A2 + B3 = °7 + (32 + 23) = °7 + 17

Como: 17 = 7(2) + 3 ⇒ A2 + B3 = °7 + 3





Ecuaciones

Como la olucione que bucamo on valore entero y de referencia oitiva, en alguno cao e ue-den determinar por tanteo.

Con una variable

Si: A = °11 + 6, entonces:

A = 11(k) + 6 con valore de: k = 0; 1; 2; 3; ...

A = 6; 17; 28; 39; ...

Lo valore de “A” forman una rogreión aritmética de razón 11

Con dos variables

si: 11A + 7B = 95.... (1)

Con módulo 7:

(7 + 4)A + 7(B) = 7(13) + 4 ⇒ °7 + 4A + °7 = °7 + 4 ⇒ 4A = °7 + 4 ⇒ A = °7 + 1

A = 1; 8; 15; 22; 29; ...

Lo valore de “A” forman una rogreión aritmética de razón 7.

Reemlazando en la ecuación (1):

B = 12; 1; –10, ...

Lo valore de “B” forman una rogreión aritmética de razón 11.

A estas ecuacionesse les llama ecua-ciones Diofánticasy existen diferen-

tes métodosde solución.

Síntesis teórica


Cuando hay resto

A = d . q + RA = d(q + 1) – r



son criterio equivalente:A = °B

A = mBA = B . q

A Bq

A + B = °n + (a + b)

A – B = °n + (a – b)

A k = °n + ak

EcuacioneOperacionesA = °n + aB = °n + b



Divior

A . B = °n + (a . b)

Adición

Sustracción

Potencia

Multilicación

R + r = d



Aritmética

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10 x

5

50

1. Completa:

• 38 = °7 + .......

• 48 = °9 + .......

• 51 = °6 + .......

2. Completa:

• 48 = °9 – .......

• 68 = °11 – .......

• 59 = °7 – .......

3. Completa:

• °9 + 5 = °9 – ............• °15 + 7 = °15 – ............

• °13 + 5 = °13 – ............

4. Sean los números: A = °7 + 3; B = °7 + 4y C = °7 + 6. Hallar el reiduo de dividir“A + B + C” entre 7.

5. Sean los números: A = °13 + 5 y B = °13 + 4.Hallar el reiduo de dividir “A . B” entre 13.

Aprende más

1. si 234 × 453 e divide entre 11, ¿qué reiduose obtiene?

2. Calcular el reiduo al dividir: a4b – b2a entre11.

3. Calcular el reiduo al dividir: a4(2a) entre 17.

4. Si 6784 e divide entre 13, ¿qué reiduo e ob-tiene?

5. Si 7355 e divide entre 11, ¿qué reiduo e ob-tiene?

6. Si el número 3xx2 e divide entre 11, ¿cuál eel residuo?

7. Si: A = °13 + 5 y B = °13 – 2, el residuo de di-vidir “A2 + B6” entre 13 e:

8. si: M = °17 + 15 y N= °17 + 14, hallar el restode dividir “M5 + N3” entre 17.

9. Si: A = °11 + 4 y B = °11 + 2, el residuo dedividir “A4 + B4” entre 11 e:

10. Si: ab = °7, calcular el reto de dividir: 1ab + ab1entre 7.

11. Calcula el reto de dividir:1233 + 2312 × 321 + 1324 entre 6

12. Hallar el reto de dividir 52007 entre 9

13. Hallar el reto de dividir 7421 entre 9

14. Si el número 1x16 e diviible entre 19, calcular“x”.

15. Calcular “x”, i el nmero xx73 e diviible en-tre 17.


Sistema duodecimal

Como sabemos en este sistema de numeración se tiene unida-des, docenas, gruesas, masas, ... La tabla de multiplicar en estesistema se muestra en la tabla:

16. En todo nmero que e mltilo de 6, la cifra de unidadees:

17. La suma de cifras de todo número múltiplo de 11 es:

2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10

2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20

3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30

4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40

5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50

6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60

7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70

8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80

9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0

B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100





¡Tú puedes!

1. ¿Cuánto nmero de la forma ab0ab son múltiplos de 17?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 12 e) Má de 12

2. Por 500 soles se compraron 100 frutas entre sandías, manzanas y ciruelas. Si los precios unitarios decada uno on 50; 10 y 1 ole reectivamente, ¿cuánta fruta entre andía y manzana hay?

a) 39 b) 40 c) 41 d) 42 e) 43

3. se dione de 100 ole ara comrar ello de correo de 1; 4 y 12 ole. ¿Cuánto ello de cada unode estos precios se podrán comprar?

a) 23; 11 y 6 b) 21; 10 y 9 c) 28; 9 y 3 d) 25; 6 y 9 e) 29; 9 y 2

4. ¿Cuánto cuadrado erfecto de tre cifra on °7 + 2?

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 6

5. ¿Cuál o cuále de la iguiente afirmacione on verdadera, abiendo que “n” e °14?

I. n(n + 3) = °14

II. (n – 2)(n – 21) = °14

III. 2(n + 7) + 3n = °14

IV. (n + 1)(n + 2)(n – 3) – 8 = °14

a) I y II b) II y III c) I; II y III d) I y III e) Toda

Practica en casa

18:10:45

1. si 34 × 45 × 34 e divide entre 9, ¿qué reiduose obtiene?

2. Reducir: (°7 + 5)2 + (°7 + 2)(°7 + 4).

3. Exrear 6! en función del módulo 11.

4. Reducir: (°9 + 4)2 + (°9 + 3)2(°9 + 2).

5. Si 815 e divide entre 5, ¿cuál e el reiduo dela diviión?

6. Reducir: ( °13 + 5)2 + ( °13 + 2)2( °13 + 4)

7. Calcular el reiduo al dividir: a4b – b2a entre 9.

8. Si: A = °11 + 5 y B = °11 + 6, ¿cuál e el rei-

duo al dividir “A . B + A + B” entre 11?

9. Calcular el reiduo al dividir a4b – b2a entre99.

10. Si el número (2x)32x e divide entre 23, ¿cuáles el residuo?

11. Si: A = °9 + 5 y B = °9 + 6, ¿cuál e el reiduoal dividir “A . B” entre 9?

12. A una fiesta asistieron 50 personas. La quintaarte de lo varone y la étima arte de ladama on caada. ¿Qué diferencia hay entredama y varone?

13. Calcular “x”, i el nmero xxx8 e diviible en-tre 43.

14. Calcular “x”, i el nmero xx05 e diviible en-tre 23.

15. Calcular “x”, i el nmero 2xx5 e diviible en-tre 41



3 Aritmética

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Criterios de divisibilidadEn este capítulo aprenderemos:

• A identificar lo criterio de diviibilidad y alicarlo.

• A demotrar lo criterio de diviibilidad

Los años bisiestos

La regla para los años bisiestos según el calendario gregoriano es:

Un año e biieto i e diviible or 4, exceto el ltimo de cada iglo (aquel diviible or 100), alvoque ete ltimo ea diviible or 400.

Febrero 2008

L M M J V S D

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29

Conocimientos astronómicos precolombinos

La cultura Tiahuanaco e extendió obre una enormeregión del sur peruano y gran parte de lo que hoy esBolivia. Al igual que mucha cultura recolombina,entre otros, alcanzaron un alto conocimiento de lasmatemáticas y de la geografía, particularmente de laastronomía, lamentablemente con la llegada de los es-pañoles muchos de sus descubrimientos fueron sim-lemente detruido, in embargo vivimo en eto

últimos años un redescubrir de saberes que se creíanerdido y revalorar aquello a lo que no e le dabala debida importancia.

Aí en la portada del sol (Bolivia), la iconografía talla-da en su parte superior, corresponde a un calendariobaado en el ciclo olar. En él, el año e divide en 12meses de 30 días, más 5 días y fracción, que ponen enevidencia que conocían erfectamente la duración delaño solar y de la existencia y necesidad de los añosbisiestos.

• Hoy e marte 27 de julio de 2010, ¿qué día erá dentro de 10 año?

• ¿El 28 de julio de qué año erá domingo?



3Criterios de divisibilidad


Saberes previos


Cuadradode 11

Mltilo de11

Suma decifras es 18

51 es múltiplode 13 más...

Mayor númeromúltiplo de 13




Capicúa decuatro cifras

Menor # de cuatro

cifras diferentes

Mltilode 7

Potencia de 2


Cubo de 7

Reiduomínimo

Mltilo de 8

42 – 24 Suma decifras 13


Dos docenasMltilo de

11Tre docena

Cifras igualesNúmero capicúa

de tres cifras

Reiduomínimo


Cuadradode 21

Cubo de 6

Conceptos básicos

Criterios de divisibilidadson regla ráctica que ermiten reconocer i un nmero e diviible entre cierto módulo.

Criterio por 2n

Criterio por 2

abcd = °2 + d

Para que abcd ea diviible entre 2, la cifra“d” e: 0; 2; 4; 6; 8

Si un número esdiviible entre

2, la cifra de lasunidades debeser par o cero.

Criterio por 4

abcd = °4 + cd

Para que abcd ea diviible entre 4, el nme-ro “cd” e: 00; 04; 08; 12; ...

También e uede alicar:

abcd =°4 + (2c + d) ↑↑

21 (Multilicamo or ...)



Aritmética

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Criterio por 8

abcd = °8 + bcd

Para que abcd ea diviible entre 8, el nme-ro “bcd” debe er mltilo de 8.

También e uede alicar:abcd = °8 + (4b + 2c + d) ↑↑↑ 421 (Multilicamo or ...)

Criterio por 5n

Criterio por 5

abcd = °5; d = °5 ó 0

Para que abcd ea diviible entre 5, la cifra “d” e: 0 o 5

Criterio por 25

abcd = °25; cd = °25 ó 00

Si un número esdiviible entre

5, la cifra de lasunidades debe

ser cinco o cero.

Para que abcd ea diviible entre 25, el nmero “cd” e: 00; 25; 50 o 75

Criterio por 125

abcd = °125; bcd = °125 ó 000

Para que abcd ea diviible entre 125, el nmero “bcd” debe er mltilo de 125

Criterio por 3 y 9

Criterio por 3

abcd = °3 + (a + b + c + d)

Para que abcd ea diviible entre 3, la uma de u cifra debe er mltilo de 3.

Criterio por 9

abcd = °9 +(a + b + c + d)

Para que abcd ea diviible entre 9, la uma de u cifradebe ser múltiplo de 9.

Para el criterio por3 y 9, la suma delas cifras debe sermúltiplo de 3 o 9.

Criterio por 7

= °7 + a(–2) + b(–3) + c(–1) + d(2) + e(3) + f(1)abcdef 231231= °7 + (f + 3e + 2d) – (c + 3b + 2a)123123

– +

Para que abcd ea diviible entre 7, la exreión “d + 3c + 2b – a” debe er mltilo de 7.

Criterio por 11

= °11 + (f + d + b) – (e + c + a)a b c d e f – + – + – +

Para que abcd ea diviible entre 11, la exreión “d – c + b – a”debe ser múltiplo de 11.

Eto do ltimocriterios se aplican apartir de la cifra de

unidades.





Criterio por 99 o 33

abcdef = °99 o °33

ab + cd + ef = °99 o °33

Criterio por 13

a b c d e f g = °13 +a + 4b + 3c – d – 4e – 3f + g1431431+++–––+

Observaciones

• si el nmero termina en un cero, el nmero e °2; °5 ó °10

• si el nmero termina en do cero, el nmero e °4; °25 ó °100

• si el nmero termina en tre cero, el nmero e °8; °125 ó °1000

Síntesis teórica

abcde = °2 + e

abcde =°4 + de

abcde = °8 + cde

Lasúltimascifras

CRITERIOS DE DIVISIBILIDADO MULTIPLICIDAD

abcde = °3 + a + b + c + d + e abcde = °9 + a + b + c + d + e

A = B . q

abcde = °5 + e;e = 0 ó °5

abcde = °25 + de;

de = °25

abcde = °125 + cde;cde = °125





A Bq

Por 5n

Lasúltimascifras

Por 2n

Sea el número abcde

Por: –3 –1 2 3 1 Por: + – + – +La suma de cifras

Por 3 y 9 Por 11Por 7

abcde = °11 + (a + c + e) – (b + d)abcde = °7 + 2c + 3d + e – 3a – b

Divior



Aritmética

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10 x

5

50

3. ¿Qué nmero on diviible entre 3?

1 245 ............... (Sí ) 2 348 ............... ( )

19 980 ............. ( ) 2 340 ............... ( )

1 001 ............... ( ) 43 212 ............. ( )

4. ¿Cuánto nmero on diviible entre 5?

2 346 ............... (No) 4 346 ............... ( )

20 007 ............. ( ) 1 890 ............... ( )

1 000 ............... ( ) 84 115 ............. ( )

5. Determina “a” en cada cao:

a22a = °5 ⇒ a = ...

2aa5 = °25 ⇒ a = ... y a = ...

1. ¿Cuále de lo iguiente nmero on diviibleentre 2?

12 345 ............. (No) 2 348 ............... ( )

29 982 ............... ( ) 2 340 ............... ( )1 001 ............... ( ) 43 211 ............. ( )

2. ¿Cuále de lo iguiente nmero on diviibleentre 4?

1 242 ............... (No) 3 576 ............... ( )

30 457 ............. ( ) 876 ................... ( )

1 986 ............... ( ) 64 348 ............. ( )

1. ¿Cuál e la uma de lo valore de “x”, i el n-mero x245x e diviible entre 4?

2. Calcular “x”, i: 4251x = °8

3. ¿Cuál e la uma de lo valore de “m”, i elnúmero 5mm5 e diviible entre 25?

4. Calcular “x”, i: 83x51 = °9

5. Calcular “x”, i: 43x214 = °7.

6. Calcular “x”, i: x245x = °11.

7. Hallar el valor de “a”, i: 73a35 = °7.

Aprende más

8. Hallar “n”, i el nmero n(n + 3)(2n)(n + 1) esmúltiplo de 4.

9. Calcular “x”, i: xx27xx = °8.

10. Determinar el valor de “a”, en: a55(a – 4) = °7.

11. Calcular “a + b”, i: a8ab = °125.

12. Determinar el valor de “a . b”, en: ba34b = °45

13. Determinar el valor de “a . b”, en: a34b = °72

14. Determinar el valor de “a . b”, en: 3a71b = °56

15. Determinar el valor de “a . b”, en: 1a45b = °72


Los años bisiestos

El calendario juliano conideraba biieto lo año diviible entrecuatro. Así el año juliano dura 365 días +1/4=365,25 días.

La regla para los años bisiestos según el calendario gregoriano es:

Un año e biieto i e diviible or 4, exceto el ltimo de cadaiglo (aquel diviible or 100), alvo que ete ltimo ea diviible

por 400.16. ¿Cuále on lo róximo 5 año biieto?

17. Lo año en que e realizan lo mundiale de ftbol, ¿on bi-siestos?





¡Tú puedes!

1. Si a2abb e diviible or 77, entonce “a + b” vale:

a) 12 b) 10 c) 7 d) 5 e) 4

2. Hallar el mayor valor de “a . b”, i 23ba5 es múltiplo de 125.a) 12 b) 56 c) 62 d) 65 e) 87

3. Determinar el valor de “x + y”, i: xxx37y = °88

a) 10 b) 6 c) 8 d) 9 e) 11

4. Determinar el valor de “a + b”, abiendo que el nmero aab8b es múltiplo de 5; 8 y 9

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 13

5. ¿Cuánto nmero de la forma: N= 89a46b son múltiplos de 56?a) Ninguno b) 1 c) 2 d) 3 e) Má de 3

Practica en casa

18:10:45

1. Determinar el valor de “x” en 3444x, i e divi-sible entre 11.

2. Determinar el valor de “x”, i: y23x =°8

3. Determinar el valor de “x”, i: 61x9x =°8

4. Calcular el valor de “a”, ara que el numeral7439a ea diviible or 7.

5. Calcular “a”, i: 3a6a123 = °9

6. Calcular “a2 – b2”, i: a892 = °9 y 4b97 = °11.

7. Calcular “b – a”, i a2ba es múltiplo de 5 y 9.

8. Hallar el reiduo al dividir b32b entre 7.

9. Determinar el valor de “b”, i: 7b4b3 = °7

10. Calcular el valor de “n”, i: 2n45n =°9.

11. Hallar “x + y”, ara que 3x523y ea diviibleentre 72.

12. Hallar “a . b”, i: a713b = °88

13. Si el número: xy57x = °56, hallar el valor de “y”.

14. Dar el valor de “a”, en: a577n = °72

15. Hallar un número mayor que 200 y menor que300 tal que al dividirlo entre 9; 5 y 2, deja re-siduo 1.



4 Aritmética

TRILCEColegios

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Complemento

Aprende más

1. Si: A = °17 + 5 y B = °17 + 2, el residuo que seobtiene al dividir “A2 + B6” entre 17 e:

2. Calcular “a”, de modo que 205a ea diviibleentre 17.

3. ¿Cuánto mltilo de 19 on de tre cifra yterminan en 3?

4. Hallar el valor de “n”, i el nmeron(n + 3)(2n)(n – 1) es múltiplo de 4.

5. Calcular “x”, i: 6253x =°8

6. Calcula el reto al dividir: 233 + 312 × 32 + 324 entre 7.

7. ¿Cuánto valore uede tomar “x”, ara que elnúmero 6253x2 sea múltiplo de 8?

8. Hallar “n”, i el nmero 3n42 es múltiplo de 73.



11. Hallar el reto al dividir 52012 entre 7.

12. Hallar el reto al dividir 1742 entre 11

13. Determinar el valor de “x . y”, i: x2y3x = °45

14. Determinar el valor de “x . y”, i: xy53x = °72

15. Determinar el valor de “x . y”, i: y4x3x = °56

1. Determina la suma de todos los números de doscifras que son múltiplos de 30.

2. Determina la uma de diviore del nmero 30que sean de dos cifras.

3. ¿Cuánto nmero de tre cifra on mltilode 5 y 3?

4. ¿Cuánto nmero de tre cifra on mltilode 17?

5. ¿para qué valor de “a”, el nmero (a – 1)5(a + 1) es múltiplo de 4?

6. Halle la uma de valore de “x”, i el nmero(x + 1)x(x + 1) es °5 + 3.

7. Determinar el valor de “x”, i: 5xx3x = °8.

8. Si: A = °13 + 4 y B = °13+2, el residuo que seobtiene al dividir “A4 + B4” entre 13 e:

9. Hallar “a”, i el nmero 62a53 es múltiplo de 9.

10. Calcular “x”, i: 43x14 = °7.

11. Calcular “x”, i: x21xx5x = °11.

12. Determinar el valor de “x”, i: 23x2(x + 1) = °11.

13. Determinar la uma de lo valore de “x”, i:25x3 =°7.

14. Determinar el valor de “x + y”, i: 62y53xx = °77.

15. Hallar el mayor valor de “x . y”, en: 6y43x = °56.

Practica en casa

18:10:45



5Números primos


Números primosEn este capítulo aprenderemos:

• A identificar lo nmero rimo, comueto y imle.• A reconocer lo nmero rimo, comueto y imle.

• A determinar la cantidad de diviore de un nmero.

El número primo más grande

Un itema de comutadora en red de la Univeridad de California, ha encontrado el nmero ri -mo má grande hata el momento. El inmeno nmero etá hecho de cai 13 millone de dígito(12,978,189 ara er má exacto).

El nmero e: 243112609 – 1.

3 1 6 4 7 0 2 6 9 3 3 0 2 5 5 9 2 3 1 4 3 4 5 3 7 2 3 9 4 9 3 3 7 5 1 6 0 5 4 1 0 6 1 8 8 4 7 5 2 6 4 6

4 4 1 4 0 3 0 4 1 7 6 7 3 2 8 1 1 2 4 7 4 9 3 0 6 9 3 6 8 6 9 2 0 4 3 1 8 5 1 2 1 6 1 1 8 3 7 8 5 6 7 2

6 8 1 6 5 3 9 9 8 5 4 6 5 0 9 7 3 5 6 1 2 3 4 3 2 6 4 5 1 7 9 6 7 3 8 5 3 5 9 0 5 7 7 2 3 8 1 7 9 3 5 7

9 0 0 8 7 6 4 2 6 1 0 3 9 4 3 7 8 2 3 7 6 4 9 4 5 9 1 7 4 2 9 3 4 5 8 8 4 9 7 1 1 7 5 8 7 1 4 6 9 1 6 9

7 2 9 8 4 7 6 1 1 5 9 0 6 0 8 7 3 2 5 0 9 3 9 4 6 2 0 8 5 5 7 5 7 4 0 7 5 4 5 7 7 0 9 8 6 2 0 5 5 8 0 1

1 7 7 9 5 2 9 8 8 4 0 4 2 1 9 8 2 8 7 6 4 3 3 1 9 3 3 0 4 6 5 0 6 4 4 5 5 2 3 4 9 8 8 1 4 2 1 3 9 5 6 5

7 8 5 4 4 7 4 7 4 0 2 3 5 4 6 3 5 3 7 5 8 5 3 7 3 2 4 8 0 1 8 3 8 1 2 0 3 8 7 6 0 0 8 6 8 4 1 6 5 2 5 4

0 0 7 9 0 3 8 1 2 8 5 8 8 8 2 5 6 6 8 7 0 8 5 8 5 5 4 5 6 2 3 1 5 7 7 5 2 7 9 3 9 3 0 5 9 2 0 8 1 1 7 66 5 8 5 3 0 8 6 7 0 1 3 2 1 2 9 1 5 5 2 2 1 8 0 4 3 8 1 5 4 8 6 2 5 7 8 7 9 4 3 0 2 0 6 9 4 5 2 8 0 1 5

9 9 9 2 2 1 7 1 8 1 9 1 5 5 7 7 6 1 ...(millone de nmero omitido)... 0 6 9 9 3 4 1 5 9 7 0 9 8 0

3 6 8 8 3 0 8 9 9 8 3 7 2 0 5 1 4 6 3 4 4 1 1 1 5 9 7 6 0 2 8 2 2 6 9 0 9 1 5 6 6 8 2 1 9 2 0 1 3 9 8 1

8 3 0 8 2 2 0 1 4 0 4 6 1 0 6 6 0 9 1 1 2 9 0 3 4 2 0 3 6 5 8 6 0 8 1 2 5 3 3 5 5 0 7 9 2 4 0 7 4 4 2 6

1 8 1 4 8 7 0 9 1 8 0 5 5 9 2 0 4 3 2 3 7 2 3 0 1 9 6 2 0 1 6 8 3 5 3 5 9 4 6 2 3 1 0 9 8 0 0 6 7 4 3 4

9 8 4 6 2 5 3 8 0 7 8 7 2 4 7 8 0 2 5 3 2 7 5 8 5 1 1 3 3 3 5 0 2 4 6 0 7 7 8 8 8 4 3 3 9 0 3 4 0 1 9 7

0 0 9 2 7 6 6 3 9 5 8 1 6 7 6 9 8 9 0 8 0 1 0 7 3 6 1 0 1 4 1 0 1 3 6 9 9 6 8 5 2 9 2 5 7 0 3 2 7 2 5 5

3 5 4 4 6 2 2 4 6 4 6 8 5 9 2 8 7 0 7 5 2 6 5 6 8 1 0 5 9 9 3 6 8 9 9 1 5 2 1 8 0 7 3 8 0 1 4 4 3 4 0 4

9 4 5 0 0 8 2 6 6 4 2 5 9 3 2 4 1 3 1 3 9 8 2 6 9 1 5 0 8 4 0 6 9 9 9 1 1 5 9 2 7 9 7 9 1 9 0 8 3 9 8 1

3 0 2 2 3 3 0 4 8 2 4 0 8 3 1 1 9 0 9 3 1 9 5 9 9 8 0 1 4 5 6 2 4 5 6 3 4 7 9 4 1 2 0 2 1 9 5 9 0 0 9 2

8 0 7 9 6 7 0 7 2 9 4 4 7 9 2 1 6 1 6 4 9 1 8 8 7 4 7 8 2 6 5 7 8 0 0 2 2 1 8 ...

• ¿Lo nmero de la forma “2n – 1” on rimo?



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Saberes previos


Menor # de 4cifras distintas

Mltilo de7 y capicúa

2 decenas

1 + 4 × 4 Una gruea 2 docenas

Máximopuntaje enun dado

Cubo de 20,más 1

Ocho alcuadrado

Mltilo de 7menor que 20

Cubo per-fecto

Mltilode 16

Mltilo de 9

Divior de105

Mltilode 11

53 × 7 × 2Capicúa múlti-

plo de 5 y 9

Mayor cifrapar

Capicúa múlti-plo de 5 y 9

Capicúa dedos cifras 3 + 2 × 2

Mltilode 17

Mltilode 7

Docena ymedia

Una manoCuadrado

de 85Cuadrado

de 25

Conceptos básicos

Número primo

También e le conoce como rimo aboluto. E aquel nmero que aceta olo do diviore, la unidad yel mismo número.

Ejemplo:

Aí el nmero 59 e rimo, orque u nico diviore on el 1 y el 59.

Obervación:

• suceión de nmero rimo: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; ...

El rimer nme-ro primo es el 2,además es el úni-co primo y par

Número compuesto

E aquel nmero que aceta má de do diviore.

Ejemplo:

Aí el nmero 12 e comueto orque tiene como diviore a 1; 2; 3; 4; 6 y 12 (má de do)

Obervación:

• La uceión de nmero comueto e: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; ...



5Números primos


Número simple

E aquel nmero que no e comueto, ni rimo

Obervación:

• El 1 no e rimo, ni comueto.

• La uceión de nmero imle e: 1; 2; 3; 5; 7; 11; ...

El nmero 1:E el divior univeral.

Número especial. No esprimo ni compuesto.

Números primos entre sí

Do o má nmero on p.E.si, cuando el nico divior comn de dicho nmero e la unidad.

Ejemplo:

12 y 25 on p.E.si, orque el nico divior comn e el 1.

Obervación:

• Do nmero conecutivo on p.E.si

• La unidad e p.E.si con todo nmero

Teorema fundamental de la Aritmética

También e llama decomoición canónica de un nmero y conite enexpresar el número como el producto de sus factores primos.

La descomposición canónica de 120 es:

120 260 230 215 35 51

Luego: 120 = 23 . 3 . 5

Análisis de divisores

Tabla de divisores de un número sirve ara determinar lo diviore de un nmero

de forma ordenada.

Así por ejemplo: 72 = 23 x 32.

Potencias 1 21 22 23

1 1 2 4 83 3 6 12 2432 9 18 36 72

De lo diviore de un nmero:• El menor e la unidad

• El mayor e el mimo nmero

Cantidad de divisores Sea: N = aa . bb . c g

Nmero de diviore = (a + 1)(b + 1)( g + 1)

Ejemplo:

• Del nmero 72:

Para aplicar esta fórmulaes necesario descomponercanónicamente el número

Descomposición canónica: 72 = 23 x 32.

Nmero de diviore = (3 + 1)(2 + 1) = 12

Clasificación de divisores

Total de diviore =Simples

La unidadLos primos

Compuestos



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Ejemplo:

• Analicemo el nmero 18.

Descomposición canónica: 18 = 21 × 32

Nmero de diviore = (1 + 1)(2 + 1) = 6

Total de diviore = 6 3 simples La unidad = 1Los primos = 2; 3

3 compuestos: 6; 9; 18

Síntesis teórica

NúMEROs pRIMOs ENTRE sÍ

El nmero 1, no e rimo ni comueto

Número que tienemá de do diviore

NÚMEROS PRIMOS

Número primo Número compuesto

2; 3; 5; 7; 11; 13; ... 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; ...

Número que tieneolo do diviore

Son infinitos númeroscompuestos

Son infinitos númerosprimos

Son dos o más números que tienen unolo divior en comn, que e la unidad.

Por ejemplo: Cantidad de diviore

La unidad:1

1 4 2

4 3

Los simplesLos primos:2; 3; 5; 7; 11; ...

Los compuestos:4; 6; 8; 9; 10; ...

(a + 1)(b + 1)( g + 1)720 = 24 × 32 × 5

1 800 = 23 × 32 × 52

N = aa . bb . c g

“a”, “b” y “c” on rimo

Teorema fundamental de la Aritmética



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¡Tú puedes!

1. Hallar “n”, i 189n tiene 133 diviore.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

2. La cantidad de vece que hay que multilicar or 6 al nmero 12, ara que el roducto reultantetenga 42 diviore, e:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

3. Si: 2xyy3 = °77 (x > y), halle la cantidad de diviore de yx2.

a) 10 b) 12 c) 15 d) 14 e) 18

4. Determinar el valor de “n”, i el nmero 15n. 21 tiene 20 diviore comueto.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Si se sabe que: 101 . 102 . 103 . 104 ... 10n tiene 484 diviore, hallar “n”.

a) 4 b) 6 c) 7 d) 11 e) 21

Practica en casa

18:10:45

1. Descomponer 90 en sus factores primos

2. Si el número 600 se descompone en facto-res primos se obtiene: 2n × 3m × 5p. Hallar“2n + 3m + 5”.

3. ¿Cuál e el menor nmero que umado o reta-do de 71 da como resultado un número primo?

4. ¿Cuánto diviore tiene el mayor nmero arde tres cifras?

5. Determina la cantidad de diviore rimo delnúmero 9 999.

6. ¿Cuánto nmero menore que 20 on p.E.sicon 15?

7. ¿Cuánto diviore tiene 1 800?

8. ¿Cuánto nmero menore que 25 on p.E.sicon 36?

9. ¿Cuánto diviore tiene el nmero 875?

10. Calcular “n”, ara que el nmero 2n × 3n × 52 tenga 48 diviore.

11. Calcular “n”, ara que el nmero2n × 7n + 1 × 52 tenga 90 diviore.

12. Calcular “n”, ara que el nmero 22 × 6n tenga35 diviore.

13. Un nmero tiene do diviore rimo y 21 di-viore en total. ¿Cuál e el menor nmero quecumple dicha condición?

14. Uno de lo diviore rimo de 2x31 es el 7.¿Cuánto diviore tiene en total el nmero?

15. ¿Cuánto diviore tiene 51x, i uno de u divi-sores es el 8?



6Análisis de divisores


Análisis de divisoresEn este capítulo aprenderemos:

• A analizar lo diviore or u caracterítica .

• A claificar lo diviore.• A determinar la uma y el roducto de lo diviore de un nmero

Números especiales

Orden

Tipo 1 2 3 4 5

T r i a n

g u l a r e s

Valor 1 3 6 10 15

C u a d r a d o s

Valor 1 4 9 16 25

P e n t a g o n a l e

s

Valor 1 5 12 22 35

H e x a g o n a l e s

Valor 1 6 15 28 45

H e p t a g o n a l e s

Valor 1 7 18 34 55

Rereentación de lo nmero triangulare, cuadrado, entagonale y hexagonale.• ¿Cómo erá el nmero iramidal?



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Saberes previos


Mltilode12

Cuadradode 23

Decena

Mltilo de127

4 + 5 × 7Divior

univeral

2 centenas

7 × 23 × 37

Mltilo detodos

Mayor cifra

# que no es primo

ni compuesto

Cuadrado

de 2

L

# primo ma-yor que 23

Diezdocenas

Menor #primo impar

Mayor número

primo de tres cifras


Númeroprimo

Primo parMltilo

de 11Cuadrado

de 6

Númeroprimo

Menor nme-ro primo

Divioruniveral

Númeroprimo

Menor #

primo 6 docenas

Cuadrado de4 más 1

Máx. #en el dado

Conceptos básicos

Análisis de divisores

Cantidad de divisores

Sea: N = aa . bb . cd

Nmero de diviore = (a + 1)(b + 1)(d + 1)

Ejemplo:

• Del nmero 72:

Descomposición canónica: 72 = 23 x 32.

Para aplicar esta fórmula,es necesario descomponercanónicamente el número

Nmero de diviore = (3 + 1)(2 + 1) = 12 diviore

Clasificación de divisores

Total de diviore =Simples =

La unidadLos primos

Compuestos





Cantidad de divisores (condicional)

Sea el número: 360 = 23 × 32 × 51.

360 = 23 × 32 × 51

(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 diviore

• 360 = 2(22 × 32 × 51) (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18 diviore mltilo de 2

• 360 = 3(23 × 31 × 51)

(3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16 diviore mltilo de 3• 360 = 6(22 × 31 × 51) (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12 diviore mltilo de 6

• 360 = 23 × 32 × 51

(2 + 1)(1 + 1) = 6 diviore no on are

• 360 = 23 × 32 × 51

(3 + 1)(1 + 1) = 8 diviore no on mltilo de 3

Suma de divisores


suma de diviore = aa + 1 – 1

a – 1×

bb + 1 – 1

b – 1×

cd + 1 – 1

c – 1

Ejemplo:

• Del nmero 72:

Descomposición canónica: 72 = 23 × 32.

suma de diviore =24 – 12 – 1

× 33 – 13 – 1

= 15 × 13 = 195

Producto de divisores


producto de diviore = N(a + 1)(b + 1)(d + 1)

Ejemplo:

• Del nmero 72:

Descomposición canónica: 72 = 23 × 32.

producto de u diviore= 72(3 + 1)(2 + 1) = 726



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Síntesis teórica

ANÁLIsIs DE DIVIsOREs Número quetiene más dedo diviore

NÚMEROS PRIMOS

Número primo Número compuesto

Número quetiene solo dos

diviore

producto de divioreCantidad de diviore

La unidad:1

1 4 2 4 3

Los simplesLos primos:2; 3; 5; 7; 11; ...

Los compuestos:4; 6; 8; 9; 10; ...

(a + 1)(b + 1)( g + 1) N(a + 1)(b + 1)(d + 1)

N = aa . bb . c g

“a”, “b” y “c” on rimo

Teorema fundamental dela Aritmética

aa + 1 – 1a – 1

× bb + 1 – 1

b – 1×

cd + 1 – 1

c – 1

suma de diviore


10 x

5

50

1. ¿Cuánto diviore de 180 on are?

2. ¿Cuánto diviore de 120 on mltilo de 3?


4. ¿Cuál e la uma de lo diviore de 36?

5. ¿Cuánto diviore de 400, on mltilo de 10?





Aprende más


2. ¿Cuánto diviore de 2 250 on mltilo de15?

3. Calcule la uma de lo diviore de 75.

4. si el roducto de lo diviore de 12 e 12n,hallar “n”.

5. Con reecto al nmero 3 600, ¿cuánto de udiviore on comueto?


7. ¿Cuánto diviore comueto tiene 450?


9. ¿Cuánto de lo diviore de 8 100 no on divi-sibles entre 9?

10. Con reecto al nmero 8 100, ¿cuánto de u

diviore on mltilo de 6?

11. Con reecto al nmero 3 600, ¿cuánto de udiviore on imare?

12. Con reecto al nmero 3 600, ¿cuánto de udiviore no on diviible entre 12?

13. ¿El nmero 4 050 e mltilo de cuánto nme-ros compuestos?

14. ¿Cuál e el menor nmero imar que oee 10

diviore?

15. ¿Cuánto diviore tiene 67x, i uno de u divi-sores es el 8?


Los números perfectos de Euler

Un nmero erfecto e igual a la uma de u diviore oitivo, in incluire él mimo (divioreroio).

Lo diviore roio del 6 on 1; 2 y 3, la uma de ello 1 + 2 + 3 = 6, entonce el nmero 6 e erfecto.Euclide demotró que la fórmula 2n – 1(2n – 1) genera un nmero erfecto iemre que 2n – 1 sea primo.

16. Diga uted, ¿cuál e el iguiente nmero erfecto?

¡Tú puedes!

1. ¿Cuánto diviore de 500...000 (2 000 cero) terminan en 5?

a) 2 000 b) 2 001 c) 2 002 d) 4 002 e) 4 000


a) 6 b) 9 c) 5 d) 3 e) 7

3. ¿Cuánto rectángulo exiten, tale que u cateto ean entero en metro y u área 60 m 2?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 15 e) 12

4. Calcular el valor de “n”, i 12n. 28 tiene 72 diviore.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. ¿Cuánto cero tiene 600...0, i u nmero de diviore e el éxtulo del nmero de diviore de 600?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9



Aritmética

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1. Descomponer 84 en sus factores primos.

2. La suma de los exponentes de la descomposi-

ción canónica de 2 400 es:3. ¿Cuánto diviore tiene 720?

4. Determina el nmero de diviore comuetode 4 500.

5. ¿Cuál e la cantidad de diviore de 450 queson múltiplos de 6?

6. Determina la uma de lo diviore de 200

7. Determina el roducto de diviore de 144

8. Hallar “n”, i 2n × 3n × 54 tiene 80 diviore.

9. Calcular la uma de lo diviore de 300.

10. Hallar “n”, i 2n × 3n + 1 tiene 27 diviore

compuestos.11. Calcular la cantidad de diviore imare de

1 800.

12. Hallar “n”, i 2n × 6n tiene 66 diviore.

13. Determina la cantidad de diviore de 1 200que son múltiplos de 3.

14. Hallar “n”, i 2n × 152 tiene 41 diviore com-

puestos.


Practica en casa

18:10:45



7Repaso

RepasoSaberes previos

1. De 360:

a) Hallar la cantidad de diviore.

b) Hallar la uma de diviore.

c) Hallar la cantidad de diviore °12

Aprende más

• para el nmero: 1 800

1. La uma de u diviore rimo e:

2. La uma de u diviore imle e:3. ¿Qué cantidad de diviore tiene?

• Dado el nmero: 3x5.

4. si e mltilo de 9, el valor de “x” e:

• Dado lo nmero:

A = 24 . 32 . 53 y B = 22 . 34

9. La cantidad de diviore de “A” e:10. La cantidad de diviore de “B” e:

• para el nmero: 3x7.

11. si e mltilo de 9, el valor de “x” e:

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